6. Πολυκριτηριακός Προγραμματισμός

Transcript

1 6. Πολυκριτηριακός Προγραμματισμός Βασικές αρχές Παράδειγμα Μέθοδοι με έκφραση προτίμησης πριν την επίλυση Συντελεστές βαρύτητας Προγραμματισμός στόχων Μέθοδοι με έκφραση προτίμησης μετά την επίλυση Παραγωγή αντιπροσωπευτικών λύσεων Μέθοδος σταθμισμένου αθροίσματος Μέθοδος περιορισμών Παραγωγή συνόλου των ικανών λύσεων Μέθοδοι με έκφραση προτίμησης κατά την επίλυση Αλληλεπιδραστική μέθοδος Tchebyscheff

2 Υποστήριξη αποφάσεων με πολλαπλά κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Συνεχές σύνολο επιλογών ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (Electre, Promethee, AHP κλπ) ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μη-γραμμικές συναρτήσεις Γραμμικές συναρτήσεις ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

3 Μαθηματικός προγραμματισμός Ìáèçìáôéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÌÐ) Eðßëõóç ðñïâëçìüôùí âýëôéóôçò êáôáíïìþò ðåñéïñéóìýíùí ðüñùí óå áíáôáãùíéóôéêýò äñáóôçñéüôçôåò ìå âüóç ìßá áíôéêåéìåíéêþ óõíüñôçóç Áñéóôç ëýóç (optimal solution) Ðïëõêñéôçñéáêüò Ìáèçìáôéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÐÊÌÐ) Eðßëõóç ðñïâëçìüôùí âýëôéóôçò êáôáíïìþò ðåñéïñéóìýíùí ðüñùí óå áíáôáãùíéóôéêýò äñáóôçñéüôçôåò ìå âüóç ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò (äéáíõóìáôéêþ âåëôéóôïðïßçóç) IêáíÝò Þ áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò (non-dominated solutions, efficient solutions).

4 Εφαρμογές Åíåñãåéáêüò ó åäéáóìüò (energy planning) Ðñïãñáììáôéóìüò åðýêôáóç óõóôþìáôïò çëåêôñïðáñáãùãþò (power generation expansion planning) Äéá åßñçóç õäüôéíùí ðüñùí (Water management) Äéá åßñçóç äáóéêþí ðüñùí (Forest management) Êáôáìåñéóìüò äéáöçìéóôéêþò äáðüíçò (media selection) ÅðïëïãÞ áñôïöõëáêßïõ (portfolio selection) Ðñüâëçìá äßáéôáò-äéáôñïöþò (Diet problem) Äéá åßñéóç áâåâáéüôçôáò óå ðñïâëþìáôá ÌÐ (uncertainty)

5 Χαρακτηριστικά Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού (ΠΚΓΠ) Ãñáììéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÃÐ) (Linear Programming) Ðïëõêñéôçñéáêüò Ãñáììéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÐÊÃÐ) (Multi-Objective Linear Programming) Ìßá áíôéêåéìåíéêþ óõíüñôçóç ÌïíïäéÜóôáôç áñéóôïðïßçóç Áñéóôç ëýóç (optimal solution) ÐïëëÝò áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò (êñéôþñéá) ÄéáíõóìáôéêÞ áñéóôïðïßçóç ÉêáíÝò Þ áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò (non dominated, efficient, Pareto optimal solutions) ÁíáæÞôçóç ôçò ó åôéêü âýëôéóôçò ëýóçò áðü ôï óýíïëï ôùí éêáíþí ëýóåùí

6 Ορισμός προβλήματος ΠΚΓΠ Ôï ãåíéêü ðñüâëçìá ÐKÃÐ ïñßæåôáé ùò åîþò: max { c 1 x = z 1, \ x S } max { c 2 x = z 2, \ x S }... max { c p x = z p, \ x S } üðïõ S = { x R n \ A x <=,=,>= b, x >= 0, b R m } n, m: ï áñéèìüò ôùí ìåôáâëçôþí êáé ðåñéïñéóìþí áíôßóôïé á p: ï áñéèìüò ôùí áíôéêåéìåíéêþí óõíáñôþóåùí c i : ôï äéüíõóìá 1 x n ôùí óõíôåëåóôþí ôçò i áíôéêåéìåíéêþò óõíüñôçóçò x: ôï äéüíõóìá n x 1 ôùí ìåôáâëçôþí áðüöáóçò z i : ç ôéìþ ôçò i áíôéêåéìåíéêþò óõíüñôçóçò S: ôï åöéêôü ùñßï Á: ï ðßíáêáò m x n ôùí ôå íïëïãéêþí óõíôåëåóôþí b: ôï äéüíõóìá m x 1 ôùí óôáèåñþí üñùí

7 Ικανή λύση Åóôù Ýíá ðñüâëçìá ÐÌÐ ìå p áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò êáé S ôï åöéêôü ùñßï ôùí ðåñéïñéóìþí: max {z 1 (x), z 2 (x),..., z p (x) \ x S} Ìßá ëýóç x ôïõ ðáñáðüíù ðñïâëþìáôïò ëýãåôáé éêáíþ (Þ êáôü Pareto Üñéóôç) üôáí äåí õðüñ åé Üëëç ëýóç x ôýôïéáþóôå: z i (x ) >= z i (x) i=1...p êáé z i (x ) > z i (x) ãéá ôïõëü éóôïí Ýíá i. ÉêáíÞ ëýóç: êüèå ëýóç ãéá ôçí ïðïßá ç âåëôßùóç ìéáò áíôéêåéìåíéêþò óõíüñôçóçò óõíåðüãåôáé ôç åéñïôýñåõóç ôïõëü éóôïí ìßáò Üëëçò (efficient solution, non dominated solution).

8 Aπεικόνιση στο χώρο των κριτηρίων max (f1,f2) = max(x2, 3X1 X2) s.t X1 + X X1 + X X X X X2 6.5 X1 - X2 3 (α) Χώρος μεταβλητών απόφασης (β) Χώρος αντικειμενικών συναρτήσεων 4 3 B C f 1 D F E D IP x 2 2 f 2 f C 1 A E 2 O B 0 O x 1 F A f 1

9 Aλλες βασικές έννοιες Ιδανικό σημείο: το μη εφικτό σημείο που προσδιορίζεται από το βέλτιστο όλων των αντικειμενικών συναρτήσεων (IP) Ικανό σύνορο: το σύνολο των ικανών λύσεων (C-D-E) Ικανή ακραία λύση: Η ικανή λύση που αποτελεί κορυφή του εφικτού χωρίου (C, D και Ε) Πίνακας τιμών (payoff table): Ο πίνακας με τις τιμές που προκύπτουν από την ανεξάρτητη αριστοποίηση κάθε αντικειμενικής συνάρτησης Στη διαγώνιο διαβάζουμε f1 το ιδανικό σημείο max f1 3 f2 3 max f2 1 11

10 Παράδειγμα Πρόβλημα ηλεκτροπαραγωγής Κριτήρια Κόστος Εκπομπές CO 2 Ενεργειακές μορφές: λιγνίτης, πετρέλαιο, ΦΑ, ανανεώσιμες Ζήτηση: φορτίο βάσης, ενδιάμεσο, αιχμής

11 Μοντέλο ΠΚΓΠ! LIGN, OIL, NG, REN in GWh, Cost in thousand MIN 30 LIGN + 75 OIL + 60 NG + 90 REN! CO2 in kt MIN 1.44 LIGN OIL NG ST LIGN1 + LIGN2 - LIGN = 0 OIL2 + OIL3 - OIL = 0 NG1 + NG2 + NG3 - NG = 0 REN1 + REN3 - REN = 0! demand=58000 GWh = 58000/0.9=64000 production! base load 60%, medium load 30%, peak load 10% LIGN1 + NG1 + REN1 >= LIGN2 + NG2 + OIL2 >= OIL3 + NG3 + REN3 >= 6400 LIGN <= OIL <= NG <= REN <= 20000

12 Ικανό σύνορο - Γράφημα CO2 (kt) Kόστος (M )

13 Ικανές λύσεις Payoff table Κόστος CO2 min κόστος min CO Ικανές ακραίες λύσεις Kόστος CO

14 Χαρακτηριστικά και ταξινόμηση μεθόδων ΠΚΓΠ Η επίλυση προβλημάτων ΠΚΓΠ έχει δύο φάσεις: Εύρεση ικανών λύσεων Επιλογή από τον αποφασίζοντα της προτιμότερης από τις ικανές λύσεις (σχετικά βέλτιστη λύση). Ταξινόμηση μεθόδων ΠΚΓΠ (Hwang and Masud, 1979) Εκφραση προτίμησης πρίν τη διαδικασία εύρεσης των ικανών λύσεων (συνάρτηση χρησιμότητας - utility functions, προγραμματισμός στόχων - goal programming) Εκφραση προτίμησης μετά τη διαδικασία εύρεσης των ικανών λύσεων (μέθοδοι παραγωγής, generation methods) Εκφραση προτίμησης κατά τη διάρκεια της διαδικασία εύρεσης των ικανών λύσεων (αλληλεπιδραστικές μέθοδοι, interactive methods)

15 Εκφραση προτίμησης πριν τη διαδικασία επίλυσης Συντελεστές βαρύτητας στις αντικειμενικές συναρτήσεις (weighted sum) H πιο απλή μέθοδος Προγραμματισμός στόχων (Goal Programming) H περισσότερο διαδεδομένη μέθοδος ΠΚΓΠ (White, 1990)

16 Μέθοδος συντελεστών βαρύτητας Επίλυση του προβλήματος ΓΠ max Σ λ i c i (x) x S, λ i > 0 (1) Θεώρημα: H άριστη λύση του προβλήματος (1) είναι ικανή λύση για το αντίστοιχο πρόβλημα ΠΚΓΠ Μεταβάλλοντας τα λ i παίρνουμε διαφορετικές ικανές λύσεις Προσοχή: Οι αντικειμενικές συναρτήσεις πρέπει να έχουν την ίδια τάξη μεγέθους (scaling). Διαίρεση με την κατάλληλη δύναμη του 10 των συντελεστών των αντικειμενικών συναρτήσεων Η μέθοδος των συντελεστών βαρύτητας χρησιμοποιείται συνήθως ως κομμάτι άλλων μεθόδων

17 Προγραμματισμός στόχων Charnes-Cooper 1961, Lee 1972, Ignizio 1976 Οαποφασίζωνεισάγειτιμές-στόχους για τις αντικειμενικές συναρτήσεις (g i i=1..p) Προσδιορίζει συντελεστές βαρύτητας (προτεραιότητας) για κάθε στόχο (w i ) Εισαγωγή μεταβλητών απόκλισης από κάθε στόχο Ελαχιστοποίηση του σταθμισμένου αθροίσματος των μεταβλητών απόκλισης

18 Mεταβλητές απόκλισης Εξαρτώνται από τον τύπο του στόχου Παράδειγμα Η c 1 (x) τουλάχιστον g 1 : c 1 (x) + d 1- >= g 1 Η c 2 (x) το πολύ g 2 : c 2 (x) d 2+ <= g 2 Η c 3 (x) ίση με g 3 : c 3 (x) + d 3- -d 3+ = g 3 Η c 4 (x) μεταξύ [gl 4, gu 4 ]: c 4 (x) + d 4- >= gl 4 c 4 (x) - d + 4 <= gu 4 Αντικειμενική συνάρτηση min w 1 d 1- + w 2 d 2+ + w 3 d 3- + w 3 d 3+ + w 4 d 4- + w 4 d + 4

19 Προτεραιότητες Προγραμματισμός στόχων με προτεραιότητες (preemptive programming) Συντελεστές βαρύτητας με διαφορά στην τάξη μεγέθους Π.x. αν θέλουμε να ικανοποιηθεί πρώτα ο στόχος 1 μετά ο στόχος 2 κ.ο.κ w1 >> w2 (w1=1000, w2=1) Παρατήρηση: Η λύση του προβλήματος με τον προγραμματισμό στόχων δεν εγγυάται ότι θα είναι και ικανή λύση. Αυτό εξαρτάται από τους στόχους που έχουν τεθεί.

20 Προγραμματισμός στόχων στο παράδειγμα Στόχος: Κόστος 3500 Μ και εκπομπές CO kt Συντελεστές βαρύτητας κόστος 70%, CΟ 2 30% min 0.7 d (100 d 2+ ) st 30 LIGN + 75 OIL + 60 NG + 90 REN + d 1- -d 1+ = LIGN OIL NG + d 2- -d 2+ =45000 (υπόλοιποι περιορισμοί) Σημείωση: Η απόκλιση των εκπομπών πολλαπλασιάζεται επί 100 για να έρθει στην ίδια τάξη μεγέθους με την απόκλιση του κόστους

21 Προγραμματισμός στόχων στο παράδειγμα CO2 (kt) Στόχος Σχετικά βέλτιστη λύση Kόστος (M )

22 Παραγωγή αντιπροσωπευτικού υποσυνόλου ικανών λύσεων Μέθοδος σταθμισμένου αθροίσματος (weighting sum method) max Σ i λ i (c i x i ), x S i=1 p, λ i (0,1) Παράγει μόνο ικανές ακραίες λύσεις Ομογενοποίηση κλίμακας (scaling) Μέθοδος των περιορισμών (constraint method ή e-con method) max Σ j c 1j x 1j s.t. Σ j c 2j x 2j e 2 Σ j c pj x pj e p x S Παράγει και μη-ακραίες ικανές λύσεις Παράγει ικανές λύσεις μόνο όταν οι περιορισμοί των p-1 αντικειμενικών συναρτήσεων είναι ενεργοί-δεσμευτικοί

23 Μέθοδος σταθμισμένου αθροίσματος στο παράδειγμα Scaling: Διαίρεση της πρώτης αντ. συνάρτησης με 10 Παραγωγή 11 τυχαίων συνδυασμών (λ 1, λ 2 ) Επίλυση 11 προβλημάτων ΓΠ Προκύπτουν 4 διαφορετικές ικανές λύσεις Για να προκύψουν περισσότερες λύσεις πρέπει να πυκνώσει το πλέγμα (περισσότεροι συνδυασμοί βαρών)

24 Ικανές λύσεις από τη μέθοδο του σταθμισμένου αθροίσματος παράδειγμα (συνδυασμοί: 2, 7 (συνδυασμός: 11) CO2 (kt) (συνδυασμός: 9) (συνδυασμοί: 1,3,4,5,6,8,10) Kόστος (M )

25 Μέθοδος περιορισμών στο παράδειγμα Χωρίζεται το εύρος της δεύτερης αντικειμενικής συνάρτησης όπως προκύπτει από τον πίνακα τιμών σε 10 ίσα διαστήματα με 11 σημεία πλέγματος (e i ). Επιλύονται 11 προβλήματα ΓΠ της μορφής MIN 30 LIGN + 75 OIL + 60 NG + 90 REN ST 1.44 LIGN OIL NG <= e i (υπόλοιποι περιορισμοί) Για περισσότερες από 2 αντικειμενικές συναρτήσεις δυσκολεύει

26 Μέθοδος περιορισμών στο παράδειγμα CO2 (kt) Kόστος (M )

27 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΩΝ ΙΚΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ Οι μέθοδοι παραγωγής υπολογίζουν αρχικά το σύνολο των ικανών ακραίων λύσεων, δηλ. των κορυφών του πολυέδρου των ικανών λύσεων (ικανό πολύεδρο). Βασίζονται στην ιδιότητα του διασυνεδεμένου συνόλου των ικανών ακραίων λύσεων. Μερικές μέθοδοι παραγωγής προχωρούν και στον προσδιορισμό των εδρών του ικανού πολυέδρου ώστε να προκύψουν και οι μη-ακραίες ικανές λύσεις. Οι μέθοδοι παραγωγής διαφοροποιούνται κυρίως στα εξής: Στον αλγόριθμο επίλυσης των υποπροβλημάτων ΓΠ Στον τρόπο ελέγχου της ικανότητας των λύσεων Στον τρόπο δημιουργίας και ενημέρωσης της λίστας των ικανών λύσεων Στο αν υπολογίζουν και μη-ακραίες ικανές λύσεις Μέθοδος ADBASE (Steuer, 1975, 1995)

28 ÅÎÁÍÔËÇÔÉÊÇ ÁÍÁÆÇÔÇÓÇ ÁÐÏÔÅËÅÓÌÁÔÉÊÙÍ ËÕÓÅÙÍ Ôï óýíïëï ôùí áðïôåëåóìáôéêþí ëýóåùí åßíáé äéáóõíåäåìýíï (äçë. êüèå áðïôåëåóìáôéêþ ëýóç Ý åé ôïõëü éóôïí ìßá ãåéôïíéêþ áðïôåëåóìáôéêþ ëýóç). ÃåíéêÜ âþìáôá áëãïñßèìïõ 1.Åýñåóç ôçò ðñþôçò áðïôåëåóìáôéêþò ëýóçò áñéóôïðïéþíôáò ìßá áðü ôéò áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò 2.ÅîÝôáóç ôùí ãåéôïíéêþí ëýóåùí áí åßíáé áðïôåëåóìáôéêýò 3.ÁðïèÞêåõóç ôùí íýùí áðïôåëåóìáôéêþí ëýóåùí ðïõ ðñïêýðôïõí 4.ÌåôáöïñÜ óå êüðïéá áðü ôéò íýåò áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò ðïõ äåí Ý ïõí åîåôáóèåß êáé åðáíüëçøç ôùí âçìüôùí 2 êáé 3. Ï áëãüñéèìïò ôåñìáôßæåé üôáí äåí ðñïêýðôïõí íýåò ãåéôïíéêýò áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò óôï âþìá 3.

29 ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΙΚΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ EFFTREE 1. Ευρεση της πρώτης ικανής ακραίας λύσης 2. Ευρεση των γειτονικών της ικανών ακραίων λύσεων 3. Σύγκριση με τις υπάρχουσες και αποθήκευση των νέων ικανών ακραίων λύσεων 4. Μετάβαση σε μια νέα ικανή ακραία λύση και επανάληψη των Τερματισμός όταν δεν υπάρχουν νέες ικανές ακραίες λύσεις 1 Επίπεδο 0 f Επίπεδο Επίπεδο Επίπεδο 3 f3 f Επίπεδο 4

30 Επιλογή προτιμότερης (σχετικά βέλτιστης) ικανής λύσης Αφού παραχθεί το σύνολο των ικανών ακραίων λύσεωνπροχωράμεστηνεύρεσητηςσχετικά βέλτιστης λύσης Μέθοδοι Πολυκριτηριακής ανάλυσης επί των διακριτών πλέον λύσεων (ικανών λύσεων) Αλληλεπιδραστική διύλιση (Steuer)

31 Αλληλεπιδραστική διύλιση ικανών λύσεων ηεπανάληψη ηεπανάληψη ηεπανάληψη ηεπανάληψη

32 Εκφραση προτίμησης κατά τη διάρκεια επίλυσης Αλληλεπιδραστικές μέθοδοι Δεν υπολογίζουν το σύνολο των ικανών λύσεων Ο αποφασίζων κατευθύνει τη διαδικασία αναζήτησης της προτιμότερης λύσεις από δείγματα ικανών λύσεων που εξετάζει Επαναληπτική διαδικασία. Φάσεις υπολογισμού εναλλάσσονται με φάσεις διαλόγου με τον αποφασίζοντα Αντιπροσωπευτικές μέθοδοι Stem (1971) Geoffrion-Dyer-Feinberg (1972) Zionts-Wallenius (1976,1983) Interactive Tchebyscheff (Steuer, 1983)

33 Mέθοδος Τchebyscheff Οι ικανές λύσεις προκύπτουν ελαχιστοποιώντας τη σταθμισμένη απόσταση Tchebyscheff του εφικτού χωρίου από το ιδανικό σημείο Σταθμισμένη απόσταση Tchebyscheff z*-z λ = max i=1 k {λ i z i *-z i } Επαυξημένη σταθμισμένη απόσταση Τchebyscheff (Augmented weighted Tchebyscheff) z*-z λ = max i=1 k {λ i z i *-z i } + ρ Σ z i *-z i (ρ [0.0001, 0.01]) Υπάρχουν επίσης: Ευκλείδια απόσταση z*-z λ 2 = (Σ λ i (z i *-z i )2 ) 1/2 Απόλυτη απόσταση z*-z λ 1 = (Σ λ i z i *-z i

34 Μοντέλο Τchebyscheff - μοντελοποίηση Eστω το πρόβλημα πολυκριτηριακού προγραμματισμού: max {f 1 (x), f 2 (x) f k (x) x S } (Α) z i *=max f i (x)+ε (z 1 *, z 2 *, z k *) = ιδανικό σημείο Ελαχιστοποίηση απόστασης Τchebyscheff min (max i {λ i (z i *- f i (x))}) x S Ισοδύναμο μοντέλο min a St a >= λ i (z i *- f i (x)) i=1 k x S *Πολλές φορές χρησιμοποιείται η επαυξημένη απόστασηtchebyscheff

35 Mέθοδος Τchebyscheff Πλεονέκτηματα μεθόδου Μπορεί να παράγει και μη ακραίες ικανές λύσεις Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλήματα ακέραιου και μη γραμμικού πολυκριτηριακού προγραμματισμού Μπορεί να χρησιμοποιηθεί με συμβατικά προγράμματα επίλυσης προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού (γραμμικού, μη γραμμικού, ακέραιου προγραμματισμού) Η μέθοδος Tchebyscheff για την παραγωγή ικανών λύσεων χρησιμοποιείται ως μέρος μιας αλληλεπιδραστικής διαδικασίας για τον προσδιορισμό της προτιμότερης ικανής λύσης

36 Aλληλεπιδραστική μέθοδος Tchebyscheff Προσδιορισμός Payoff table (z**) h=h+1 Παραγωγή 50 k λ-διανυσμάτων από Λ h k: αριθμός αντικειμενικών συναρτήσεων P: αριθμός στοιχείων δείγματος t: αριθμός επαναλήψεων Φιλτράρισμα σε 2 P Επίλυση 2 P προβλημάτων Tchebyscheff Επιλογή των P πιο διαφορετικών λύσεων Ο αποφασίζων επιλέγει την προτιμότερη από τις P λύσεις Υπολογισμός νέων ορίων στο Λ h με βάση την απάντηση του αποφασίζοντα h < t Τέλος (z=z h, x=x h )

37 Συρρίκνωση χώρου Λ h Σε κάθε επανάληψη συρρικνώνεται το πεδίο Λ h από το οποίο παίρνουν τιμές οι συντελεστές βαρύτητας. Η συρρίκνωση γίνεται γύρω από την επιλογή του αποφασίζοντα σε κάθε επανάληψη. Eστω ότι ο αποφασίζων στην h-επανάληψη επιλέγει το σημείο z h από τα P σημεία του δείγματος, το οποίο αντιστοιχεί στο διάνυασμα λ (h) i των συντελεστών βαρύτητας Ο χώρος από τον οποίο θα παραχθούν τα λ στην επόμενη επανάληψη υπολογίζεται ως εξής (r ο συντελεστής συρρίκνωσης r < 1) : [0, r h ] αν λ (h) i r h /2 <= 0 [l (h+1) i, μ (h+1) i ]= [1-r h, 1] αν λ (h) i + r h /2 >= 1 [λ (h) i r h /2, λ (h) i + r h /2] στις άλλες περιπτώσεις

38 Παράδειγμα Στο παράδειγμα της ηλεκτροπαραγωγής θέτουμε r=0.5 και t=4 επαναλήψεις και P=5 (στοιχεία δείγματος). Το ιδανικό σημείο είναι (z 1 *, z 2 *)=(3000, 3000) μετά από το ομογενοποίηση της κλίμακας (βλ. oρισμό COST, CO2) Το πρόβλημα που λύνεται είναι το εξής: MIN A COST CO2 ST -A + λ 1 COST <= λ 1 *3000 -A + λ 2 CO2 <= λ 2 * 3000 (Τ) LIGN OIL NG REN - COST = LIGN OIL NG - CO2 = 0 (υπόλοιποι περιορισμοί) Τα λ 1 και λ 2 είναι οι παράμετροι των συντελεστών βαρύτητας. Είναι τα μόνα που αλλάζουν από μοντέλο σε μοντέλο.

39 Παράδειγμα (1) 1η επανάληψη: Λ (1) =[0,1] για λ 1 και [0,1] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 1 1η λ λ COST 3640 CO Επιλογή αποφασίζοντα

40 Παράδειγμα (2) 2η επανάληψη: Συρρίκνωση χώρου συντελεστών βαρύτητας Λ (2) =[ , ] για λ 1 και [ , ] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 2η λ 1 λ 2 COST CO Επιλογή αποφασίζοντα

41 Παράδειγμα (3) 3η επανάληψη: Συρρίκνωση χώρου συντελεστών βαρύτητας Λ (3) =[ /2, /2] για λ 1 και [ /2, /2] για λ 2 Λ (3) =[0.875, 0.625] για λ 1 και [0.125, 0.375] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 3η λ 1 λ 2 COST CO Επιλογή αποφασίζοντα

42 Παράδειγμα (4) 4η επανάληψη: Συρρίκνωση χώρου συντελεστών βαρύτητας Λ (4) =[ /2, /2] για λ 1 και [ /2, /2] για λ 2 Λ (4) =[0.6375, ] για λ 1 και [0.2475, ] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 4η λ 1 λ 2 COST CO Επιλογή αποφασίζοντα

43 Παράδειγμα - Γράφημα CO2 (kt) Προτιμότερη λύση Kόστος (M )

44 Βιβλιογραφία Belton, V., Stewart, T. (2002), Multiple Criteria Decision Analysis. An Integrated Approach. Kluwer Academic Publishers, Chankong, V., Haimes, Y.Y. (1983). Multiobjective Decision Making: Theory and Methodology. North- Holland, New York. Cohon, J.L. (1978). Multiobjective Programming and Planning. Academic Press, New York. Ehrgott, M. Gandibleux, X. (2002) Multiple Criteria Optimization. State of the Art Annotated Bibliographic Surveys. Kluwer Academic Publishers Goicoechea, A., Hansen, D.R., Duckstein, L. (1982). Multiobjective Decisison Analysis with Engineering and Business Applications. John Wiley & Sons. Hwang, C.L., Masud, A. (1979). Multiple Objective Decision Making. Methods and Applications: A state of the art survey. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Vol Springer- Verlag, Berlin. Ignizio, J.P. (1982). Linear Programming in Single- & Multiple- Objective Systems. Englewood Cliffs, Prentice Hall, New Jersey. Murtagh, B. A. (1981). Advanced Linear Programming: Computation and Practice. McGraw-Hill Steuer, R.E. (1989). Multiple Criteria Optimization-Theory, Computation and Application. 2nd edition, Krieger, Malabar FL. Williams, H.P. (1985). Model Building in Mathematical Programming. John Wiley & Sons Zeleny, M. (1982). Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill.