Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών"

Transcript

1 Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Ειρήνη Περυσινάκη Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ηρακλείου Ελισάβετ Καλογερία 3ο Γυμνάσιο Αργυρούπολης Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας Περίληψη Τα DGS (Dynamic Geometry Systems) επιτρέπουν μια σειρά από χειρισμούς των γεωμετρικών αντικειμένων, όπως το σύρσιμο, η αποτύπωση ίχνους, ο εύκολος και γρήγορος γεωμετρικός μετασχηματισμός τους (μεταφορά, περιστροφή, ανάκλαση, αντιστροφή), για τους οποίους η έρευνα έχει δείξει ότι βοηθούν τον μαθητή να αναπτύξει νέες στρατηγικές στην επίλυση γεωμετρικών - και όχι μόνο - προβλημάτων. Όμως, οι δυνατότητες αυτές ελάχιστα αξιοποιούνται στις αποδεικτικές διαδικασίες των σχολικών βιβλίων (παραμένουν αναχρονιστικά), ούτε έχει αναπτυχθεί κάποια μεθοδολογία πάνω σε αυτές. Το κενό αυτό επιχειρεί να καλύψει αυτό το άρθρο, περιγράφοντας μια μέθοδο αξιοποίησης του «συρσίματος με ενεργοποιημένο ίχνος», προκειμένου να αναδειχθούν οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, ως κλειδιά για την λύση προβλημάτων. Λέξεις κλειδιά: DGS, γεωμετρικές κατασκευές, γεωμετρικοί τόποι, μετασχηματισμοί 1 Εισαγωγή Η παρούσα εισήγηση επιχειρεί να αναδείξει πτυχές της χρήσης DGS στην επίλυση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών και γεωμετρικών τόπων, εστιάζοντας στη δυνατότητα αξιοποίησης μετασχηματισμών για την επίλυσή τους. Η οπτική μέσα από την οποία επιχειρούμε να προσεγγίσουμε τη χρήση των DGS, επικεντρώνεται στη δυνατότητα αξιοποίησής τους σε όλες τις φάσεις της αποδεικτικής διαδικασίας ή τουλάχιστον στις περισσότερες από αυτές. Έχει επισημανθεί από αντίστοιχες έρευνες, όπως για παράδειγμα της Laborde [7], η τάση αξιοποίησης των τεχνολογικών εργαλείων κυρίως μέχρι τη φάση του σχηματισμού εικασίας και με την τυπική απόδειξη να λαμβάνει χώρα με χαρτί μολύβι, εκτός υπολογιστικού περιβάλλοντος. Έτσι, εστιάσαμε στην εξεύρεση δραστηριοτήτων που μεγιστοποιούν τη χρήση περιβαλλόντων DGS και σε άλλες φάσεις της αποδεικτικής διαδικασίας, μέσα από την αξιοποίηση αντίστοιχων εργαλείων ή μεθόδων. 1 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

2 2 Οι μετασχηματισμοί στα Π.Σ. των μαθηματικών Στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, η διδασκαλία των μετασχηματισμών ξεκινά από την Α Γυμνασίου με την αξονική και κεντρική συμμετρία, αρχικά μέσω εμπλοκής των μαθητών σε χειραπτικές εργασίες δίπλωσης ή περιστροφής γεωμετρικών αντικειμένων και στη συνέχεια μέσω κατασκευών των συμμετρικών βασικών γεωμετρικών σχημάτων ως προς άξονα ή κέντρο συμμετρίας, με χρήση των γεωμετρικών οργάνων. Ωστόσο, στις υπόλοιπες τάξεις του Γυμνασίου, συναντάμε ελάχιστες αναφορές στη συμμετρία, κάποιες από αυτές στην Άλγεβρα και κάποιες στη Γεωμετρία. Ανάλογη είναι και η εικόνα στο Λύκειο, με τη διαφορά ότι η συμμετρία είναι πολλές φορές το ζητούμενο κάποιων ασκήσεων κυρίως γεωμετρίας, ενώ η χρήση μετασχηματισμών ευρύτερα (μεταφορών και συμμετριών) απαντάται κυρίως σε γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στην Άλγεβρα. Παντελώς δε απουσιάζουν άλλοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, όπως η περιστροφή και η ομοιοθεσία. Ειδικότερα, σε ό,τι αφορά στη συμμετρία, παρά το γεγονός ότι θεωρείται μια πολύ σημαντική μαθηματική έννοια, η οποία έχει ισχυρές συνδέσεις και με άλλα διδακτικά αντικείμενα ή τομείς της καθημερινότητας, η έρευνα δείχνει - πχ Leikin et al [9] - ότι σπάνια χρησιμοποιείται στα μαθηματικά της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων. Η Leikin [10] σε έρευνα που πραγματοποίησε προκειμένου να ανιχνεύσει τις προτιμήσεις εκπαιδευτικών σχετικά με τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων, διαπίστωσε ότι η τεχνική που επιλέγουν για να λύσουν ένα πρόβλημα είναι στενά συνδεδεμένη με τη συγκεκριμένη μαθηματική ενότητα στην οποία το πρόβλημα δίνεται για επίλυση. Το εύρημα αυτό, φαίνεται να εξηγεί το γεγονός ότι η συμμετρία χρησιμοποιείται κυρίως σε προβλήματα που προτείνονται στους μαθητές στην ομώνυμη ενότητα των σχολικών βιβλίων της γεωμετρίας. Παράλληλα, η έρευνα της Leikin έδειξε ότι στις περιπτώσεις που οι εκπαιδευτικοί αξιοποιούν τη συμμετρία ως μέθοδο επίλυσης προβλημάτων, επιλέγουν την γεωμετρική και όχι τόσο την αλγεβρική συμμετρία (πχ σε γραφικές παραστάσεις, συστήματα κλπ), με την οποία δεν φαίνεται να είναι ιδιαίτερα εξοικειωμένοι. Στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα, η διδασκαλία της συμμετρίας στο γυμνάσιο περιορίζεται σε λίγες διδακτικές ώρες προς τη λήξη της Α Γυμνασίου, ενώ στις υπόλοιπες τάξεις υπάρχουν λιγοστές αναφορές σε αυτήν. Στο Λύκειο, αποτελεί μια σύντομη παράγραφο στη Γεωμετρία της Α Λυκείου, ως εφαρμογή της μεσοκαθέτου τμήματος, με περιορισμένη χρήση στις ασκήσεις του βιβλίου (λίγο στις ανισοτικές σχέσεις) και στην μετέπειτα θεωρία. Συνεπώς, σε ένα εκπαιδευτικό σύστημα του οποίου το Πρόγραμμα Σπουδών (Π.Σ.) δεν ευνοεί τη χρήση της συμμετρίας ως τεχνικής επίλυσης προβλημάτων (διαφορετικών μαθηματικών περιοχών) και με δεδομένη τη διαπίστωση ότι ευρύτερα οι εκπαιδευτικοί δεν είναι ιδιαίτερα εξοικειωμένοι με αυτή, είναι αναμενόμενο το ίδιο ακριβώς να συμβαίνει και με τους μαθητές. Πρέπει βεβαίως να επισημάνουμε, ότι τα παραδοσιακά διδακτικά μέσα δεν είναι ιδιαίτερα εύκολο να την αποδώσουν ως αποτέλεσμα μετακίνησης ενός αντικειμένου από μια θέση του επιπέδου σε μια άλλη. Και αν - σε επίπεδο γυμνασίου - η δίπλωση ενός διαφανούς χαρτιού είναι μια διαδικασία που 2 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

3 προσδιορίζει με σχετική ευκολία τη νέα θέση του αντικειμένου, η περίπτωση της περιστροφής γύρω από ένα σημείο, δεν αποδίδεται το ίδιο εύκολα, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για σύνθετο γεωμετρικό σχήμα. Αυτό το κενό, έρχονται να καλύψουν τα περιβάλλοντα δυναμικής γεωμετρίας, τα διαθέσιμα εργαλεία των οποίων, έχουν τη δυνατότητα να προσφέρουν μια μεγάλη ποικιλία αναπαραστάσεων αυτής της κίνησης, ευνοώντας αρχικά την εξοικείωση των μαθητών με τα διαφορετικά είδη συμμετρίας - ιδιαίτερα σε μικρότερες βαθμίδες της εκπαίδευσης - ώστε στη συνέχεια να καταστεί εφικτή η χρήση τους ως μεθόδου επίλυσης άλλων προβλημάτων. 3 Αξιοποίηση DGS στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων 3.1 Ο ρόλος του συρσίματος Γενικότερα, η διείσδυση της τεχνολογίας στα Π.Σ. των μαθηματικών, φαίνεται να προσφέρει νέες δυνατότητες μέσα από τη χρήση εργαλείων που επιτρέπουν στο μαθητή να χειρισθεί άμεσα τα γεωμετρικά σχήματα, με πιο σημαντική λειτουργία αυτή του συρσίματος. Μπορεί το ίδιο το σύρσιμο να μην αποτελεί εργαλείο κατασκευής, όμως η εφαρμογή του πάνω στα γεωμετρικά αντικείμενα απαιτεί τη λήψη αποφάσεων για τη συμπεριφορά τους καθώς αυτά μετακινούνται, ενώ ταυτόχρονα - σε συνδυασμό με άλλα εργαλεία - δημιουργεί νέους τρόπους αιτιολόγησης [4], νέες στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων [11] και νέες - εναλλακτικές προς τις παραδοσιακές - μεθόδους απόκτησης της γεωμετρικής γνώσης [11]. Οι τρόποι με τους οποίους ο μαθητής σύρει τα γεωμετρικά αντικείμενα δεν αποτελούν μια απλά παρατηρούμενη εξωτερικά ενέργεια, αλλά περιγράφουν μια εσωτερική διανοητική δομή του λύτη και σχετίζονται άμεσα με τη φάση επίλυσης ενός προβλήματος. Οι τρόποι αυτοί, μελετήθηκαν και ταξινομήθηκαν αρχικά από τους Arzarello et al [1] σε επτά διαφορετικά είδη συρσίματος, που ξεκινούν από το σχηματισμό μιας εικασίας και καταλήγουν στην επιβεβαίωσή της (περιπλανητικό, δεσμευμένο, καθοδηγούμενο, κρυφού γεωμετρικού τόπου, γραμμής, συνδεδεμένο και ελέγχου). Μια τροποποιημένη εκδοχή της παραπάνω κατηγοριοποίησης - την οποία υιοθετούμε ως την πλέον συμβατή με το περιεχόμενο της παρούσας εργασίας - προτείνεται από τις Baccaglini - Frank & Mariotti [2]: (1) Περιπλανητικό/τυχαίο σύρσιμο (wandering/random dragging), μέσω του οποίου αναζητούνται ενδιαφέροντες σχηματισμοί η κανονικότητες στο σχήμα. (2) Σύρσιμο διατήρησης (maintaining dragging), κατά το οποίο, ένα αντικείμενο σύρεται έτσι, ώστε το σχήμα να διατηρεί κάποια ιδιότητα που παρατηρήθηκε, καθιστώντας την ιδιότητα αυτή ως σταθερά που δεν υπήρχε στα δεδομένα του προβλήματος, αλλά δημιουργήθηκε από το σύρσιμο της προηγούμενης φάσης. (3) Σύρσιμο με ενεργοποιημένο ίχνος (dragging with trace activated), σε ένα ή περισσότερα αντικείμενα, που επιτρέπει τη δημιουργία εικασίας. (4) Σύρσιμο ελέγχου (dragging test), με το οποίο σύρονται βασικά 3 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

4 σημεία, ώστε το σχήμα που κατασκευάσθηκε σε προηγούμενη φάση, να ελεγχθεί αν διατηρεί τις επιθυμητές ιδιότητες. Στις δραστηριότητες που παραθέτουμε και προτείνουμε στη συνέχεια, αξιοποιούνται ιδιαίτερα οι τέσσερις παραπάνω μορφές συρσίματος σε όλη τη διαδικασία επίλυσης και μάλιστα αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της. 3.2 Γεωμετρικές κατασκευές και μετασχηματισμοί Η διαδικασία μιας κατασκευής, η οποία είναι γνωστή ως αναλυτικο-συνθετική μέθοδος, περιλαμβάνει τα στάδια ανάλυση σύνθεση απόδειξη διερεύνηση. Χρησιμοποιούμε την ανάλυση όταν η κατασκευή του ζητούμενου σχήματος δεν είναι άμεσα φανερή: θεωρώντας ότι η κατασκευή πραγματοποιήθηκε, προσπαθούμε να εντοπίσουμε σχέσεις ή ιδιότητες ανάμεσα στα δεδομένα μεγέθη του προβλήματος, με τις οποίες μπορούμε να ανάγουμε τη ζητούμενη κατασκευή σε άλλες, που είναι ήδη γνωστές, δηλαδή επιδιώκουμε να δημιουργήσουμε ένα σχήμα, που να απορρέει από το αρχικό και να είναι κατασκευάσιμο. Πρόκειται για μια διαδικασία αποδόμησης του προς κατασκευή σχήματος, με μια πορεία από το άγνωστο προς το γνωστό. Με βάση τα ευρήματα της ανάλυσης, ακολουθείται η αντίστροφη διαδικασία, της σύνθεσης, όπου οι επιμέρους κατασκευές, οδηγούν στη ζητούμενη, με πορεία αυτή τη φορά από τα γνωστά προς τα ζητούμενα. Στη συνέχεια, είναι η τυπική απόδειξη αυτή που θα επιβεβαιώσει την ορθότητα της κατασκευής και τέλος, η διερεύνηση, μελετά όλες τις περιπτώσεις που οι παράμετροι του προβλήματος επιτρέπουν ή όχι την κατασκευή, το πλήθος των δυνατών λύσεων και τις ειδικές περιπτώσεις. Στο Γυμνάσιο, τα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών είναι ελάχιστα και σε καμία περίπτωση δεν γίνεται χρήση της αναλυτικο-συνθετικής μεθόδου, η οποία επίσης σπάνια χρησιμοποιείται και στο Λύκειο. Η σημασία της μεθόδου αυτής, έχει υπογραμμισθεί, όχι μόνο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, αλλά και για την ευρύτερη χρήση της, ως νοητικού εργαλείου. Επιπλέον, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι ακόμα και η διαδικασία κατασκευής σχημάτων στα προβλήματα γεωμετρίας κυρίως γυμνασίου είναι ιδιαίτερα υποβαθμισμένη, καθώς στις περισσότερες ασκήσεις των σχολικών βιβλίων τα σχήματα δίνονται στους μαθητές. Οι κατασκευές που χρησιμοποιούνται στις δραστηριότητες με χρήση DGS, ταξινομήθηκαν από την Healy [5] σε δυο είδη: (α) Οι ανθεκτικές κατασκευές (robust constructions), οι οποίες έχουν συμπεριλάβει με σωστό τρόπο τις ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και μέσω του συρσίματος ελέγχου διατηρούν τις ιδιότητες αυτές. Βοηθούν τον μαθητή να διακρίνει τις ιδιότητες που είναι συμπτωματικές (οπτικές) από αυτές που είναι απαραίτητες, καθώς και τις ιδιότητες που είναι πάντα αληθείς, από άλλες πιο ειδικές [8]. β) Οι εύπλαστες κατασκευές (soft constructions), δεν συμπεριλαμβάνουν όλες τις ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων, ή έχουν υλοποιηθεί οπτικά. Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο που παραμένει τετράγωνο καθώς σύρεται μια κορυφή του (γιατί μετακινούνται συγχρόνως και οι άλλες κορυφές του) αποτελεί μια ανθεκτική 4 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

5 κατασκευή, ενώ ένα τετράγωνο που μεταβάλλεται σε τυχαίο τετράπλευρο κατά το σύρσιμο μιας κορυφής του αποτελεί μια εύπλαστη κατασκευή. Ενώ μέχρι το 2000 οι ανθεκτικές θεωρούνταν το βασικό πλεονέκτημα των DGS, σταδιακά άρχισε να αναδεικνύεται η σημασία των εύπλαστων, της συμπληρωματικότητάς τους με τις ανθεκτικές και της ανάγκης διδακτικής τους αξιοποίησης. Ειδικότερα, σε ότι αφορά στην επίλυση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών, με χρήση της αναλυτικο-συνθετικής μεθόδου, η συμβολή των DGS δεν έχει μελετηθεί ιδιαίτερα. Αυτήν ακριβώς τη διάσταση, θελήσαμε να προσεγγίσουμε στην παρούσα εργασία, μέσα από ένα παράδειγμα που επιλέξαμε από τη βιβλιογραφία, ειδωμένο υπό αυτό το πρίσμα και επινοώντας μια ακόμα δραστηριότητα γεωμετρικής κατασκευής που περιγράφει ξεκάθαρα και ενισχύει τις θέσεις μας γύρω από αυτό το ζήτημα. Κατά την επίλυση προβλημάτων κατασκευής με DGS, έχει επισημανθεί από τον Hölzl [6], η ανάδυση τελείως διαφορετικών στρατηγικών από τους μαθητές - σε σχέση με τις παραδοσιακές - μια εκ των οποίων περιγράφει στο άρθρο του How does dragging affect the learning of geometry : Η κατασκευή πραγματοποιείται από το πρώτο στάδιο, αλλά όχι πλήρως. Εάν οι συνθήκες είναι πολλές, παραλείπεται προσωρινά μία από αυτές και με τις υπόλοιπες υλοποιείται μια ημιτελής κατασκευή που όμως ο δυναμικός χειρισμός της εμπεριέχει και κάποια πλήρη-σωστά στιγμιότυπα. Το ίχνος θα αποκαλύψει σε ποια θέση βρίσκονται τα σωστά στιγμιότυπα. Σχήμα 1 Σχήμα 2 Ο Hölzl διαπίστωσε τη δυνατότητα αυτή, μέσα από την εργασία δεκατετράχρονων μαθητών με το Cabri, στην ακόλουθη δραστηριότητα: Να κατασκευασθεί τετράγωνο ΑΒΓΔ, του οποίου δίνεται μια κορυφή Α και η διαγώνιός του ΒΓ ανήκει σε δοσμένη ευθεία ε. Είναι ενδιαφέρουσα η προσέγγιση ενός μαθητή που περιγράφεται από τον Hölzl ως ακολούθως: κατασκευάζει τετράγωνο με μια κορυφή το Α και τη δεύτερη κορυφή του Β να είναι τυχαίο σημείο της διαγωνίου. Με την κατασκευή αυτή, ο μαθητής εγκαταλείπει την τρίτη προϋπόθεση, δηλαδή να ανήκει και το σημείο Δ στην ευθεία ε (σχήμα 1). Μετακινεί το Β πάνω στην ε έως ότου πετύχει οπτικά την τρίτη προϋπόθεση (σχήμα 2). Το τετράγωνο που έχει κατασκευάσει, είναι μεταβλητής πλευράς, με 5 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

6 μοναδικό σταθερό σημείο το Α και το Β να ολισθαίνει πάνω στην ε. Πρόκειται δηλαδή - με όρους Healy [5]- για μια εύπλαστη κατασκευή, που σε κάποια θέση του Β πληροί και την τρίτη προϋπόθεση, δηλαδή η διαγώνιος ΒΔ να ανήκει στην ε. Ο δικός μας σχολιασμός πάνω στη στρατηγική του μαθητή, είναι ότι αυτή η φάση, ουσιαστικά αντιστοιχεί στο ξεκίνημα της ανάλυσης, δηλαδή στην παραδοχή ότι το ζητούμενο σχήμα κατασκευάσθηκε. Σχήμα 3 Σχήμα 4 Στη συνέχεια, ο Hölzl περιγράφει ότι ο μαθητής επαναλαμβάνει τη διαδικασία ενεργοποιώντας το ίχνος στην κορυφή Δ (dragging with trace activated κατά Baccaglini-Frank & Mariotti,) και παρατηρεί ότι το μονοπάτι που ακολουθεί, είναι μια ευθεία κάθετη στην ε (σχήμα 3), πάνω στην οποία οι διαφορετικές θέσεις του Δ, προκύπτουν από την περιστροφή του Β γύρω από το Α κατά 90ο, αναδεικνύοντας τη συμμετρία των Β και Δ ως προς τη διαγώνιο ΑΓ. Με αυτό τον τρόπο, οπτικά διαπιστώνει και τη συμμετρία των Α και Γ ως προς τη διαγώνιο ΒΔ (σχήμα 4), συνεπώς τη δυνατότητα κατασκευής του Γ. Έτσι, επανερχόμενοι στο σχολιασμό μας, βλέπουμε ότι η διαδικασία της ανάλυσης υποβοηθάται από τη χρήση των εργαλείων, ως προς την εξεύρεση των ιδιοτήτων εκείνων που θα οδηγήσουν στη σύνθεση, απόδειξη και διερεύνηση του προβλήματος. Ωστόσο, καθώς η ενεργοποίηση του ίχνους είναι μια απόφαση που προϋποθέτει εξοικείωση των μαθητών με τα εργαλεία, όπως έχει δείξει η έρευνα των Baccaglini-Frank & Mariotti [2], σπάνια είναι αυθόρμητη και συνήθως προτείνεται από τον εκπαιδευτικό. 4 Προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών σε DGS: η περιστροφή ως μέθοδος επίλυσης Δραστηριότητες DGS αντίστοιχου χαρακτήρα υπάρχουν πολλές και μπορούν να αξιοποιηθούν στο Α.Π.Σ. της Γεωμετρίας - κυρίως στο Λύκειο - με τις οποίες η χρήση της αναλυτικο-συνθετικής μεθόδου θα υποστηριχθεί από την αξιοποίηση των εργαλείων των DGS. Ενδεικτικά αναφέρουμε την ακόλουθη: Να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου η μια κορυφή είναι δοσμένο σημείο Α, η κορυφή Β ανήκει σε κύκλο (Ο, ρ) και η κορυφή Γ σε ευθεία ε. Η προτεινόμενη από εμάς στρατηγική επίλυσης - κατά το παράδειγμα του Hölzl - 6 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

7 είναι η παράλειψη της μιας από τις τρεις Σχήμα 5 προϋποθέσεις για την κατασκευή του ισοπλεύρου, δηλαδή η κατασκευή ενός εύπλαστου-ημιτελούς ισοπλεύρου τριγώνου, μεταβλητής πλευράς, του οποίου η μια κορυφή είναι το Α και η άλλη τυχαίο σημείο Β του κύκλου (σχήμα 5). Ο μαθητής, σύροντας το Β πάνω στον κύκλο, αυξομειώνει την πλευρά του ισοπλεύρου και αλλάζει διαρκώς τη θέση του Γ στο επίπεδο, έως ότου το Γ γίνει - οπτικάσημείο της ε, κάτι που φαίνεται να συμβαίνει σε δυο διαφορετικές θέσεις του Γ πάνω στην ε (σχήματα 6 και 7). Σχήμα 6 Σχήμα 7 Η φάση αυτή θα μπορούσε να αποτελέσει το ξεκίνημα της ανάλυσης με το συγκριτικό πλεονέκτημα - σε σχέση με τα παραδοσιακά μέσα - ότι έχει ήδη προσδιορισθεί ότι οι λύσεις μπορούν να είναι και περισσότερες της μιας. Εδώ, τα εργαλεία μπορούν να συνεισφέρουν σημαντικά, καθώς μέσα από το σύρσιμο του Β, γίνεται εμφανές ότι οι διαδοχικές θέσεις του Γ προκύπτουν μέσω περιστροφής των αντίστοιχων του Β, γύρω από το Α κατά 60 ο. Σχήμα 8 Σχήμα 9 7 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

8 Η ενεργοποίηση του ίχνους του Γ, καθώς το Β κινείται πάνω στον κύκλο είναι η επόμενη στρατηγική (σχήμα 8), από την οποία φαίνεται ότι η κορυφή Γ κινείται πάνω σε κύκλο, οπτικά ίσο με τον (Ο, ρ). Η τομή αυτού του κύκλου με την ε, δίνει τις δυο θέσεις του Γ για τις οποίες πραγματοποιείται η κατασκευή. Συνεπώς, το πρόβλημα μετατίθεται στην εύρεση του κέντρου του κύκλου αυτού, ο οποίος εύκολα συνάγεται - με βάση τα προηγούμενα - ότι προκύπτει από την περιστροφή του (Ο, ρ) γύρω από το Α κατά 60 ο, άρα το ίδιο θα συμβαίνει και για το κέντρο του Ο. Η εικασία αυτή, μπορεί να επιβεβαιωθεί και με τα έτοιμα εργαλεία μετασχηματισμού των DGS. Η παραπάνω διαδικασία, κάνει εμφανή τη σχέση των Α, Ο και Ο, παρέχοντας όλο το απαιτούμενο υλικό για τη σύνθεση. Ταυτόχρονα, η διερεύνηση του δυναμικού σχήματος, εκτός από τη δυνατότητα εύρεσης των δυο λύσεων, εξετάζει την επιλυσιμότητά του μέσω της αλλαγής της θέσης των σταθερών στοιχείων του σχήματος. Για παράδειγμα, η μεταφορά της ευθείας ε στο σχήμα 10, δεν επιτρέπει στον κύκλο (Ο, ρ) να τμήσει την ε και αναζητούνται οι συνθήκες επίλυσης του προβλήματος. Τόσο στο παράδειγμα του Hölzl, όσο και σε αυτό του ισοπλεύρου τριγώνου, μέσα από το σύρσιμο αναδείχθηκε η δυνατότητα αξιοποίησης της περιστροφής ως μεθόδου για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών. Παράλληλα, προτάθηκε η στρατηγική της κατασκευής με παράλειψη προϋποθέσεων, που δημιουργεί εύπλαστα σχήματα, η κίνηση των οποίων σταδιακά συμπληρώνει τις παραλήψεις και υποστηρίζει ισχυρά τη διαδικασία της ανάλυσης, συγκεντρώνοντας τα απαραίτητα στοιχεία για τη φάση της σύνθεσης. Αναφερόμαστε λοιπόν, σε μια νέα γεωμετρία, τόσο σε σχέση με το περιεχόμενο, όσο και τις στρατηγικές που χρησιμοποιεί, η οποία μπορεί να μπορεί να Σχήμα 10 λειτουργήσει υποστηρικτικά σε μεθόδους της ευκλείδειας γεωμετρίας, όπως την αναλυτικο-συνθετική, που αποτελεί εργαλείο για την ανθρώπινη σκέψη. 5 Προβλήματα γεωμετρικών τόπων σε DGS 5.1 Το πρόβλημα του κρυμμένου θησαυρού: συμμετρία και περιστροφή ως μέθοδος επίλυσης Το πρόβλημα αυτό αποτελεί κλασσικό παράδειγμα για την αξιοποίηση των DGS στην διδασκαλία των μαθηματικών (Τουμάσης - Αρβανίτης [18], Σογιούλ [17], Νικολουδάκης - Σπάθης [15]) εξαιτίας της μαγικής απρόσμενης δυναμικής εικόνας που το συνοδεύει. Το πρόβλημα τέθηκε αρχικά από τον George Gamow το 1948 [3] και αναφέρει: 8 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

9 Ένας ξεχασμένος χάρτης στη σοφίτα ενός παππού (σχήμα 11), παριστάνει ένα έρημο νησί με έναν φοίνικα, μια φτελιά (σημείο Α) και μια βελανιδιά (σημείο Β), καθώς και το σημείο Μ όπου κάποιοι πειρατές έκρυψαν τον θησαυρό τους με τον εξής τρόπο: Ένας πειρατής μέτρησε τα βήματά του από τον φοίνικα προς την φτελιά, έπειτα έστριψε δεξιά 90 ο και προχώρησε ίδιο πλήθος βημάτων καταλήγοντας στο σημείο Α. Όμοια κινήθηκε ένας δεύτερος πειρατής από τον φοίνικα προς την βελανιδιά, στρίβοντας όμως αριστερά στο σημείο B, ο οποίος κατέληξε στο Β. Το μέσο Μ του Α Β επιλέχθηκε ως Σχήμα 11 το σημείο ταφής του θησαυρού. Μετά από χρόνια, ο εγγονός που βρήκε τον χάρτη στη σοφίτα του παππού του, μεταβαίνει στο νησί με σκοπό να ξεθάψει τον θησαυρό. Εκεί αντιμετωπίζει το εξής πρόβλημα: ο φοίνικας είχε καταστραφεί ολοσχερώς από κεραυνό και η θέση του ήταν αδύνατον να εντοπισθεί. Πώς είναι δυνατόν να ανακαλύψει τον θησαυρό μονάχα από τα άλλα δύο δέντρα; Η εικόνα είναι πραγματικά μαγική σε περιβάλλοντα DGS: Σέρνοντας το σημείο Φ (η άγνωστη θέση του φοίνικα), οι θέσεις των Α, Β επίσης μεταβάλλονται, όμως, το μέσο Μ του Α Β παραμένει αμετακίνητο. Ώστε η θέση του δεν επηρεάζεται από την θέση του φοίνικα και ο ευτυχής εγγονός μπορεί να εντοπίσει τον θησαυρό από μια τυχαία θέση για το Φ! Για το πρόβλημα προτάθηκαν διάφορες λύσεις (ιδιαίτερα κομψή η πρόταση του Srinivasan [12] με την χρήση μιγαδικών). Η απλούστερη γεωμετρική λύση, συσχετίζει το Μ με τα άλλα δύο σταθερά σημεία του σχήματος, τα Α και Σχήμα 12 Β, μέσω της ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων ΦΑΛ=ΑΑ Γ και ΦΒΛ=ΒΒ Δ, όπως σκιαγραφείται στο σχήμα 12. Όσο μαγική ήταν η διατύπωση του προβλήματος σε περιβάλλον DGS, τόσο κραυγαλέα είναι η απουσία του DGS στην επίλυσή του, τουλάχιστον μέχρι το σημείο να σχεδιαστούν οι προβολές όλων των σημείων στην ευθεία ΑΒ (σημεία Γ, Κ, Λ, Δ). Η ενεργοποίηση όμως του ίχνους των Α, Β σε πρώτη φάση, αποκαλύπτει ότι τα σημεία αυτά έχουν κέντρο συμμετρίας το Μ (φυσικά, αφού το Μ είναι το μέσο του Α Β ). Αν όμως ενεργοποιηθεί και το ίχνος του Φ (συρόμενο σημείο), τότε αποκαλύπτεται η διπλή περιστροφή του Φ ως προς το Α κατά 90 ο 9 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

10 αριστερόστροφα και ως προς το Β κατά 90 ο δεξιόστροφα (σχήμα 13). Δεσμεύοντας το Φ σε τυχαίο τμήμα ΓΔ (σχήμα 14) οδηγούμαστε και στην τυπική απόδειξη: Τα τμήματα Γ Δ και Γ Δ στα οποία κινούνται τα Α και Β αντίστοιχα, είναι ίσα και παράλληλα καθώς και τα δυο είναι ίσα και κάθετα με το ΓΔ. Οπότε το παραλληλόγραμμο Γ Δ Γ Δ έχει ως κέντρο το Μ, ένα σταθερό σημείο (αν διατηρήσουμε το Γ σταθερό και το Δ μεταβαλλόμενο, είναι το μέσο του Γ Γ ). Σχήμα 13 Σχήμα 14 Στην παραπάνω απόδειξη, το δεσμευμένο σύρσιμο του Φ και τα ίχνη των σημείων, ανέδειξαν τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς που κρύβονταν πίσω από την μαγική εικόνα, αλλά και κάτι ακόμα: η κεντρική συμμετρία είναι δυνατόν να προκύψει ως σύνθεση δύο περιστροφών. Το «υπό ποιες γωνίες», μπορεί να διερευνηθεί περαιτέρω, όπως αναλύουν οι Νικολουδάκης και Σπάθης [15]. Ίσως να μην αναμένουμε οι μαθητές μας να εμπνευστούν καμία από τις δύο λύσεις που παρουσιάσαμε. Όμως η δεύτερη βασίζεται σε τεχνικές που είναι δυνατόν να διδαχθούν, αρκεί να λάβει χώρα ο κατάλληλος σχεδιασμός. 5.2 Ένα πρόβλημα με ορθογώνιο τρίγωνο: περιστροφή και μετατόπιση ως μέθοδος επίλυσης Το δεύτερο πρόβλημα γεωμετρικού τόπου που επιλέξαμε συνδυάζει περιστροφή και μετατόπιση: Η κορυφή Α της ορθής γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ περιστρέφεται κατά 60 ο γύρω από το Β αριστερόστροφα και κατά 60 ο γύρω από το Γ δεξιόστροφα, δίνοντας τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα (σχήμα 15). Οι παράλληλες από το Δ προς την ΑΒ και από το Ε προς την ΑΓ τέμνονται στο Ζ. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του Ζ εάν το Α κινηθεί στον κύκλο διαμέτρου ΒΓ; Καθώς σέρνουμε το Α επάνω στον κύκλο, η δυναμική εικόνα υποδεικνύει πως το ΖΑ διατηρεί μήκος και προσανατολισμό (είναι πάντα κάθετο στο ΒΓ), άρα ο κύκλος που διαγράφει το Ζ είναι μια μετατόπιση του αρχικού κύκλου κατά διάνυσμα κάθετο στο ΒΓ. Η μετατόπιση γίνεται ακόμα πιο εμφανής όταν αποτυπώνεται το ίχνος των σημείων Α και Ζ. 10 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

11 Σχήμα 15 Σχήμα 16 Εφόσον τα Δ και Ε προέκυψαν από περιστροφές του Α, κι αυτά διαγράφουν ίσους κύκλους με τον αρχικό. Μια πιο προσεκτική ματιά στους τέσσερις κύκλους και τα σημεία τομής τους (σχήμα 16) συμπληρώνει την εικόνα: Αν το ΒΓ περιστραφεί αριστερόστροφα γύρω από το Β και δεξιόστροφα γύρω από το Γ θα σχηματιστεί ισόπλευρο τρίγωνο που η τρίτη κορυφή, η απέναντι της ΒΓ, (το σημείο τομής των κύκλων που διαγράφουν τα Δ και Ε) είναι το κέντρο του μετατοπισμένου κύκλου (γεωμετρικός τόπος του Ζ). Το μέτρο της μετατόπισης εξάγεται από την απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων (αρχικού και μετατοπισμένου), ίσο δηλαδή με ΒΓ 3. Ας παρατηρήσουμε εδώ πόσο σημαντικό ήταν να εστιάσουμε 2 στις δύο περιστροφές του ΒΓ για να προδιορίσουμε το μέτρο της μετατόπισης και το κέντρο του ζητούμενου κύκλου, ώστε εν τέλει να είμαστε σε θέση να τον κατασκευάσουμε. Μια παραλλαγή του παραπάνω προβλήματος είναι να μην απαιτήσουμε το ΒΓ να είναι διάμετρος, αλλά να είναι απλώς μια τυχαία χορδή ενός σταθερού κύκλου. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει μεταφορά, αλλά ομοιοθεσία, ενώ πάλι τα σημεία τομής των κύκλων είναι σημαντικά, καθώς προσδιορίζουν την θέση των άκρων της ομοιόθετης χορδής της ΒΓ και του μέσου της. 5.3 Η σύζευξη των δύο προβλημάτων γεωμετρικών τόπων Ας θέσουμε ακόμα ένα πρόβλημα γεωμετρικού τόπου που ουσιαστικά συνδυάζει τα δύο προηγούμενα: Θεωρούμε κάθετα τμήματα ΑΒ και ΑΓ (σχήμα 17). Το σημείο Δ προκύπτει από την περιστροφή του Α γύρω από το Β κατά 90 ο αριστερόστροφα, ενώ το σημείο Ε προκύπτει από την περιστροφή του Α γύρω από το Γ κατά 90 ο δεξιόστροφα. Στα σημεία Δ και Ε φέρνουμε τις κάθετες στις 11 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

12 ΔΒ και ΕΓ αντίστοιχα, που τέμνονται στο Ζ. Λαμβάνοντας επί της ΔΖ σημείο Η με ΖΗ=ΑΒ και επί της ΖΕ σημείο Θ με ΖΘ=ΑΓ, διαπιστώνουμε σε περιβάλλον DGS πως κατά την κίνηση του Α σε ημικύκλιο διαμέτρου ΒΓ (ώστα να διατηρείται η καθετότητα των ΑΒ, ΑΓ), τα Η και Θ παραμένουν σταθερά. Γιατί; Αρκεί να εντοπίσουμε τα δύο κρυμμένα τετράγωνα: Στο πρώτο οι τρεις κορυφές είναι τα μεταβλητά σημεία Δ, Ζ, Ε, ενώ στο δεύτερο οι κορυφές είναι τα σταθερά σημεία Η, Θ, Γ, Β. Και τα δυο έχουν κοινό κέντρο, το σημείο που οι πειρατές έκρυψαν τον θησαυρό τους (αν θεωρήσουμε ότι ο φοίνικας αντιστοιχεί στο σημείο Σχήμα 17 Α). 6 Συμπεράσματα Οι δραστηριότητες στις οποίες αναφερθήκαμε - κάποιες μέσα από τη διεθνή έρευνα, ειδωμένες μέσα από τη δική μας οπτική και κάποιες που προτάθηκαν από εμάς - είχαν ως χαρακτηριστικό τη χρήση των εργαλείων των DGS ως αναπόσπαστου μέρους της διαδικασίας επίλυσης. Το «σύρσιμο με ενεργοποιημένο ίχνος» φαίνεται να είναι μια δυνατότητα των DGS, που σε συνδυασμό με την ύπαρξη ημιτελών εύπλαστων κατασκευών, μπορεί να προσφέρει στο μαθητή πολύτιμα συνθετικά για την τυπική απόδειξη. Ταυτόχρονα, αναδεικνύει τους μετασχηματισμούς, ανάγοντάς τους σε μέθοδο για την επίλυση. Εστιάσαμε ιδιαίτερα σε στρατηγικές αξιοποίησης των μετασχηματισμών, οι οποίες δεν συνηθίζονται στην παραδοσιακή μαθηματική τάξη και βέβαια δεν θα μπορούσαμε να ισχυρισθούμε ότι μπορούν να ενταχθούν με ευκολία σε αυτήν. Απαιτούν την εξοικείωση αρχικά των εκπαιδευτικών με τα εργαλεία, ώστε σταδιακά να εισαγάγουν τους μαθητές στη χρήση τους και στη συνέχεια να τους καταστήσουν ικανούς να αναπτύξουν αυτού του τύπου τις στρατηγικές επίλυσης. Η μύηση των μαθητών σε δραστηριότητες όπως αυτές στις οποίες αναφερθήκαμε, είναι μια μακρόπνοη διαδικασία που απαιτεί αντίστοιχες αλλαγές στα Π.Σ. των μαθηματικών. Ωστόσο, θα είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον η διερευνητική εφαρμογή τους στα Πειραματικά Σχολεία, ενδεχομένως στην αρχή σε επίπεδο ομίλων. Αναφέρουμε ενδεικτικά, το περιεχόμενο ενός τέτοιου ομίλου για το Λύκειο: Διδασκαλία των γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS (μεταφορά, συμμετρία ως προς άξονα, συμμετρία ως προς σημείο, περιστροφική συμμετρία, ομοιοθεσία). 12 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

13 Σύνθεση σχημάτων από απλά με εφαρμογή μετασχηματισμών (για παράδειγμα συζήτηση για τον τρόπο κατασκευής των κανονικών πολυγώνων με διαδοχικές περιστροφές ενός ισοσκελούς τριγώνου γύρω από την κορυφή του) Οι μετασχηματισμοί ως εργαλείο προσδιορισμού γεωμετρικών τόπων (παραδείγματα όπως αυτά που εκθέσαμε στο παρόν άρθρο) Γεωμετρικές κατασκευές που αξιοποιούν τους μετασχηματισμούς (όπως όσα αναφέρθηκαν στο παρόν άρθρο, το πρόβλημα του Fagnano στο [16] και άλλα στα [13], [14]) Ο μετασχηματισμός της αντιστροφής, Αρχιμήδους άρβυλος, προβλήματα του Απολλωνίου με εφαπτόμενους κύκλους. Βιβλιογραφία [1] Ferdinando Arzarello, Federica Olivero, Domingo Paola, Ornella Robutti, A cognitive analysis of dragging practices in Cabri environments, ZDM Mathematics Education (2002), 34 (3), [2] Anna Baccaglini-Frank, Maria-Alessandra Mariotti, Generating Conjectures in Dynamic Geometry: The Maintaining Dragging Model, International Journal of Computers for Mathematics Learning (2010), 15, [3] George Gamow, One, Two, Three...Infinity, Viking Press (1947, 1961), επανέκδοση από Dover Publications, ISBN [4] Paul Goldenberg, Principles, Art and Craft in Curriculum Design: The case of Connected Geometry, International Journal of Computers for Mathematical Learning (1999), 4(2-3), [5] Lulu Healy, Identifying and explaining geometric relationship: interactions with robust and soft Cabri constructions, Proceedings of the 24th conference of the IGPME, Hiroshima, Japan, (2000), v.1, [6] Reinhard Ηölzl, How does dragging affect the learning of Geometry, International Journal of Computers for Mathematical Learning, Kluwer Academic Publishers, Netherlands (1996), 1, [7] Colette Laborde, The use of new technologies as a vehicle for reconstructing teachers mathematics, In F.-L. Lin, T.J. Cooney, (Eds), Making Sense of Mathematics Teacher Education, Kluwer Academic Publishers, Netherlands 2001, [8] Colette Laborde, Robust and soft constructions, Proceedings of the 10th Asian technology conference in mathematics, National University of Education, Korea, (2005), [9] Roza Leikin, Abraham Berman, Orit Zaslavsly, Applications of symmetry to problem solving, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (2000), v.31, n.6, [10] Roza Leikin, Problem-solving preferences of mathematics teachers: focusing on 13 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

14 symmetry, Journal of Mathematics Teacher Education (2003), 6: [11] Allen Leung, An epistemic model of task design in dynamic geometry environments, ZDM Mathematics Education (2011), 43: [12] V. K. Srinivasan, Classroom notes. A geometric application of complex numbers, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, (1983), 14:4, [13] Ανδρέας Βαρβεράκης, Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί, Διπλωματική Εργασία, Πανεπιστήμιο Κρήτης, 2006, [14] Εμμανουήλ Λαμπράκης, Η εκτέλεση ενός γεωμετρικού μαγικού βήμα-βήμα, (2012) Εργαστήριο Μαθηματικών ΠΠΣ Ηρακλείου, [15] Εμμανουήλ Νικολουδάκης, Μάριος Σπάθης, Η συμβολή ενός λογισμικού DGS στη λύση προβλήματος, Proceedings of the 5th Conference on Informatics in Education (2013), Πειραιάς. [16] Πάρης Πάμφιλος, Εισαγωγή στη Γεωμετρία, Πανεπιστήμιο Κρήτης, 2010 [17] Aλκαίος Σογιούλ, Το πρόβλημα του χαμένου θησαυρού, li=1 [18] Μπάμπης Τουμάσης, Τάσος Αρβανίτης, Διδασκαλία Μαθηματικών με χρήση Η/Υ, Σαββάλας, Αθήνα, Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Ειρήνη Περυσινάκη peririni@hotmail.com Δρ. Πανεπιστημίου UCL Επιμορφώτρια Β Επιπέδου Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΟΝΤΑΣ ΝΕΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ

ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΟΝΤΑΣ ΝΕΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ 1 ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΟΝΤΑΣ ΝΕΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ *Ελισάβετ Καλογερία, * Χρόνης Κυνηγός, **Ειρήνη Περυσινάκη *Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας, Φ.Π.Ψ., ΕΚΠΑ ** Πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /

Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4 Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GEOGEBRA Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΠΡΩΤΗ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ GEOGEBRA 1. ΓΕΝΙΚΑ Με το λογισµικό Geogebra µπορούµε να κατασκευάσουµε όλα σχεδόν τα γεωµετρικά επίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra.

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra. 9.3. Σενάριο 9. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx +βx+γ Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ +βχ+γ (γραφική παράσταση, μονοτονία, ακρότατα). Θέμα: Το προτεινόμενο θέμα αφορά την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων!

Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων! Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων! Επ ιτρέπ ει τη σχεδίαση και το χειρισμό γεωμετρικών αντικειμένων απ ό τα απ λά έως τα π ιο π ερίπ λοκα

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α): Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ Εξισώσεις α βαθμού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση Το παρόν έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου

Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση αριθμών Γ2.1 Oνομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες) με διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών. (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου)

Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών. (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου) Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου) αντιλήψεις παιδιών (κι όχι µόνο) τι είναι γεωµετρία; Όταν αντιμετωπίζω προβλήματα γεωμετρίας νιώθω σαν να κάνω ένα είδος μεταγνωστικής

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1 ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Άρθρα - Υλικό Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Χειραπτικά εργαλεία Υλικά/εργαλεία στο νέο Πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μαριάννα Τζεκάκη Παρουσίαση των άρθρων:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους

Διαβάστε περισσότερα