Η Ημερομηνία του Πάσχα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Ημερομηνία του Πάσχα"

Transcript

1 Η Ημερομηνία του Πάσχα Δημήτρης Ι. Μπουνάκης τ. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών (Aπό τον Ευκλείδη Γ, τ.80,2014) ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η ιστορία της ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα χάνεται στα βάθη των αιώνων και αρχίζει σχεδόν αμέσως με την Ανάσταση του Χριστού. Από τότε μέχρι σήμερα εξακολουθεί να αποτελεί πεδίο διαφωνιών, ερίδων και αντιπαραθέσεων στην χριστιανική κοινότητα. Πολλά έχουν γραφτεί για το θέμα αυτό, αντιμετωπίζοντάς το από ιστορικής και εκκλησιαστικής πλευράς. Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με την ημερομηνία του Πάσχα μόνο από μαθηματικής και αστρονομικής πλευράς, βρίσκοντας τον τύπο για την εύρεση της ημερομηνίας του ορθόδοξου αλλά και του καθολικού Πάσχα. Στην αρχή θα αναφέρουμε όσα στοιχεία, ιστορικά, αστρονομικά και μαθηματικά, είναι χρήσιμα για την πληρότητα του άρθρου. Σκοπός είναι να παρουσιαστεί με ολοκληρωμένη και σύγχρονη μορφή το Μαθηματικό μέρος της ημερομηνίας του ορθόδοξου και συνοπτικά του καθολικού Πάσχα και η έκφραση των σχετικών αλγορίθμων σε όσο γίνεται συνεπτυγμένη και χρήσιμη μορφή. The date of Easter Dimitris I. Bounakis Former Mathematics School Counsellor ABSTRACT History related to Easter celebration date is deeply lost in the ages and begins almost right after the Christ s Resurrection. From that period until today, it remains a field of argument, dispute and controversy in the Christian community. There are many writings on this issue, confronting it from a historical and church aspect. In this article, we will analyse the Easter date only from the mathematical and astronomical aspect,

2 2 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης introducing the calculation formula of the Orthodox as well as the Catholic Easter. Firstly, we will mention all the historical, astronomical and mathematical components that are useful for the completeness of the article. Its purpose is to fully and contemporarily present the mathematical aspect of the Orthodox Easter date and provide a brief reference to the Catholic Easter date as well as the expression of relevant algorithms as concisely and purposefully as possible. ΕIΣΑΓΩΓΗ - Ιστορικά και Αστρονομικά στοιχεία Οι διαφωνίες και οι έριδες για το ποια μέρα πρέπει να εορτάζεται το Πάσχα, άρχισαν αμέσως μετά την Ανάσταση του Χριστού (πιθανά έτη: 26, 30, 33 μ.χ., [3], σελ.270) και συνεχίστηκαν στα μετέπειτα χρόνια, ώσπου το θέμα έφτασε και στην Α Οικουμενική σύνοδο (Νίκαια -Iζνίκτης Βιθυνία, 325 μ.χ.). Η σύνοδος αυτή, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι Eβραίοι εόρταζαν το Πάσχα κατά την ημέρα της πανσελήνου που γινόταν μετά ή κατά την εαρινή ισημερία και επειδή ο Χριστός αναστήθηκε την επομένη της εορτής του εβραϊκού Πάσχα, δηλ. την επομένη της εαρινής πανσελήνου, καθόρισε τον εξής κανόνα: Το χριστιανικό Πάσχα πρέπει να εορτάζεται την πρώτη Κυριακή μετά την Πανσέληνο που θα γίνει κατά την ημέρα της εαρινής ισημερίας ή μετά από αυτήν. Αν η πανσέληνος γίνει Κυριακή τότε το Πάσχα θα εορτάζεται την επομένη Κυριακή. Η πανσέληνος που συμβαίνει κατά, ή μετά, την εαρινή ισημερία λέγεται και πανσέληνος του Πάσχα ή πασχαλινή πανσέληνος. Ο κανόνας αυτός δεν τηρήθηκε τα πρώτα χρόνια μετά την σύνοδο από όλες τις χριστιανικές εκκλησίες, αλλά τελικά επικράτησε και εφαρμόστηκε από όλους τους χριστιανούς και διατηρείται μέχρι σήμερα τόσο για το ορθόδοξο όσο και για το καθολικό Πάσχα, ανεξάρτητα από κάποιες σημαντικές- διαφοροποιήσεις, που θα δούμε παρακάτω. Μετά την Α Οικουμενική σύνοδο ανετέθη στον Πατριάρχη της Αλεξάνδρειας να φροντίσει τον καθορισμό της πανσελήνου του Πάσχα

3 Η Ημερομηνία του Πάσχα 3 και κατ' επέκταση την ημερομηνία του Πάσχα για όλες τις χριστιανικές εκκλησίες. Στην Αλεξάνδρεια όμως χρησιμοποιούσαν τον Κύκλο του Μέτωνα για τον προσδιορισμό των μελλοντικών Πανσελήνων, καθώς και το Ιουλιανό ημερολόγιο. Το ημερολόγιο αυτό συντάχθηκε από τον Αλεξανδρινό Αστρονόμο Σωσιγένη και καθιερώθηκε το 45 π. Χ. από τον αυτοκράτορα Ιούλιο Καίσαρα (βλ. [1], το Ημερολόγιο). Σύμφωνα με το ημερολόγιο αυτό το (Ιουλιανό) έτος έχει 365 ημέρες για 3 χρόνια και στο τέταρτο (δίσεκτο) 366 ημέρες, δηλαδή έχει κατά μέσο όρο 365,25 ημέρες και θεωρεί δίσεκτα τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4. Πολλά χρόνια πριν, ο Αθηναίος Αστρονόμος Μέτων (432 π. Χ.) είχε ανακαλύψει ότι 235 συνοδικοί μήνες ισοδυναμούν με 19 τροπικά (ηλιακά) έτη. Συνοδικός μήνας είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών ομωνύμων φάσεων της σελήνης (π.χ. μεταξύ δυο πανσελήνων ή μεταξύ δυο πρώτων τέταρτων) και είναι ίσος με 29, ημέρες κατά μέσο όρο (ο χρόνος αυτός δεν είναι σταθερός και κυμαίνεται μεταξύ 13 ωρών). Η μη σταθερότητα του χρόνου αυτού και η ανάγκη για υπολογισμούς με ακέραιες ημέρες, λόγω του ημερολογίου και των αναγκών της καθημερινής ζωής, μας αναγκάζει στα σχετικά θέματα σε προσεγγιστικούς υπολογισμούς, παραβιάζοντας μερικές φορές την μαθηματική αυστηρότητα και αυτό ας το έχει υπόψη του ο αναγνώστης παρακάτω. Εξάλλου το τροπικό έτος, είναι το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δυο διαδοχικές διαβάσεις του ήλιου από το εαρινό ισημερινό σημείο (γ), κατά την φαινόμενη ετήσια κίνηση του ήλιου πάνω στην εκλειπτική (που αντιστοιχεί ακριβώς στην περιφορά της γης γύρω από τον Ήλιο) και είναι ίσο, περίπου, με 365, (μέσες ηλιακές) ημέρες. Επειδή το τροπικό έτος μειώνεται (μόνο) κατά 0,53 δευτερόλεπτα ανά αιώνα, θεωρούμε σταθερή την διάρκειά του για ένα μεγάλο διάστημα πριν και μετά το 1900 μ.χ. και λαμβάνουμε ως τιμή του, την παραπάνω, που είχε το 1900 μ.χ. (βλ.[2], σελ.9). To σημείο (γ) είναι το ένα από τα δυο σημεία στα οποία τέμνονται η Εκλειπτική και ο Ουράνιος ισημερινός και σ αυτό βρίσκεται ο ήλιος στις 20/21 Μαρτίου, όπου έχουμε την εαρινή ισημερία. Κάθε (πολιτικό ηλιακό ή σεληνιακό) ημερολόγιο προσπαθεί να εναρμονισθεί με το τροπικό έτος, επειδή πρέπει να εξασφαλίσει την πλήρη διαδοχή των 4 εποχών και ταυτόχρονα, για να είναι λειτουργικό στην καθημερινή χρήση, να έχει ακέραιο αριθμό ημερών.

4 4 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Αυτή η περίοδος των 19 τροπικών ετών ή 6940 ημερών περίπου, ονομάστηκε κύκλος του Μέτωνα ή κύκλος της σελήνης. Ο κύκλος αυτός είναι πρακτικά χρήσιμος, διότι αν καταγράψομε τις ημερομηνίες των φάσεων της σελήνης επί 19 συνεχόμενα έτη, οι φάσεις θα επανέρχονται στις ίδιες περίπου ημερομηνίες και κατά την ίδια σειρά στα επόμενα 19 έτη κ.o.κ.. Η αστρονομική βέβαια αλήθεια είναι ότι μια ορισμένη φάση, π.χ. πανσέληνος σε ένα μήνα ενός έτους, δεν συμβαίνει ακριβώς την ίδια στιγμή με αυτή που συνέβη πριν 19 έτη, αφού η συνοδική περιφορά της σελήνης, όπως αναφέραμε παραπάνω, δεν είναι σταθερή. Eπί πλέον εντός 19 ετών άλλοτε περιέχονται 4 και άλλοτε 5 δίσεκτα έτη και αυτό έχει ως συνέπεια επί της φάσεως, άλλοτε να συμβαίνει 17,5 ώρες βραδύτερα της προβλεπομένης από τους πίνακες των φάσεων της σελήνης («σεληνoδρόμια» με βάση των κύκλο του Μέτωνα) στιγμής και άλλοτε 6,5 ώρες ενωρίτερα της ίδιας στιγμής (βλ.[2], σελ. 39). Εκτός από αυτά, ο κύκλος του Μέτωνα παρουσιάζει και ένα άλλο σφάλμα, το οποίο οι ορθόδοξοι χριστιανοί δεν λαμβάνουν υπόψη, σε αντίθεση με τους καθολικούς, όπως θα δούμε παρακάτω στο Πάσχα των καθολικών. Η περίοδος των 235 συνοδικών μηνών (235x29,530588=6939, ημερών) δεν είναι ακριβώς ίση με 19 Ιουλιανά έτη που έχουν 19x365,25=6939,75 ημέρες, αλλά μικρότερη κατά 0,06182 ημέρες ανά 19 έτη. Το σφάλμα αυτό έχει συγκεντρωθεί από το 325 μ.χ. (ελήφθη ως βάση) και σήμερα είναι 5 περίπου ημέρες, ακριβέστερα κυμαίνεται από 4 μέχρι 6 ημέρες αν λάβουμε υπόψη και την κύμανση της συνοδικής περιφοράς της σελήνης (13 ώρες) και του γεγονότος ότι εντός 19 ετών άλλοτε περιέχονται 4 και άλλοτε 5 δίσεκτα έτη (με σύνολο ημερών 6939, 6940 αντίστοιχα). Ακόμη ο υπολογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα, όσον αφορά την εαρινή ισημερία, στηρίχθηκε στο Ιουλιανό (παλαιό) ημερολόγιο (π. η.), τo οποίο έχει και αυτό σφάλμα: επειδή το Ιουλιανό έτος είναι μεγαλύτερο του τροπικού έτους (κατά 11 λεπτά και 14 δευτερόλεπτα), καθυστερεί σε σχέση με αυτό, δηλαδή δείχνει την εαρινή ισημερία βαθμιαία όλο και με μεγαλύτερη καθυστέρηση (πιο ενωρίτερα), με αποτέλεσμα, π.χ. το 1582 μ. Χ. η εαρινή ισημερία να συμβεί στις 10 Μαρτίου, όταν το 325 μ. Χ ήταν στις 21 Μαρτίου!. Το διορθωμένο π. η. ή νέο ή Γρηγοριανό ημερολόγιο εφαρμόστηκε στη Δύση το 1582, από την Ελληνική πολιτεία το 1923 (1 Μαρτίου (16/2)), ενώ από την Εκκλησία της Ελλάδος το Σύμφωνα με την διόρθωση αυτή, η

5 Η Ημερομηνία του Πάσχα 5 5/10/1582 ονομάστηκε 15/10/1582 και καλύφθηκε η καθυστέρηση των 10 ημερών και επί πλέον θεσπίστηκε εις το εξής να λαμβάνονται ως δίσεκτα, όχι όλα τα πολλαπλάσια του 4 (όπως στο π.η.). Συγκεκριμένα, δίσεκτα θα είναι τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4 και από τα επαιώνια (:πολλαπλάσια του 100) μόνο όσα διαιρούνται με το 400. Η εκκλησία της Ελλάδας, δέχθηκε το νέο ημερολόγιο (ν. η.) στις 10 Μαρτίου 1924, αλλά χωρίς μετακίνηση του Πασχάλιου (και των κινητών εορτών που το συνοδεύουν) που εξακολουθούν να εξαρτώνται από το Ιουλιανό ή παλαιό ημερολόγιο (π. η.). Έτσι οι ορθόδοξοι χριστιανοί για τον υπολογισμό της εαρινής ισημερίας χρησιμοποιούν το Ιουλιανό (παλαιό) ημερολόγιο και για τον υπολογισμό της εαρινής πασχαλινής πανσελήνου τον κύκλο του Μέτωνα, παρά τα σφάλματά τους, ενώ οι καθολικοί χρησιμοποιούν το νέο ημερολόγιο και τον διορθωμένο κύκλο του Μέτωνα, όπως θα δούμε παρακάτω. Σ αυτές ακριβώς τις διαφορές οφείλεται η διαφοροποίηση στην ημερομηνία εορτασμού του ορθόδοξου και καθολικού Πάσχα. Α. XΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Α1. Πηλίκο και υπόλοιπο ακεραίας διαίρεσης Από την Ευκλείδεια διαίρεση μας είναι γνωστό ότι, αν α, βζ, β0, τότε υπάρχουν (μοναδικοί ) ακέραιοι λ, υ ώστε α = βλ + υ, 0 υβ. Ο αριθμός λ λέγεται ως γνωστό πηλίκο και ο αριθμός υ υπόλοιπο της διαίρεσης α:β. Τους αριθμούς αυτούς θα συμβολίζουμε στο άρθρο αυτό αντίστοιχα με α λ α / β β, υ = (α, β) α α Έτσι ισχύουν α = β + (α, β), (α, β) = α - β β β, 0 (α, β) β. Παραδείγματα: 14 3, 3 2, 4 0, (15, 7) = 1, (19, 30) = 19, (2014, 19) =

6 6 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Α2. Ισοϋπόλοιποι αριθμοί Έστω α, β, ν Ζ, ν > 1.Θα λέμε ότι οι αριθμοί α, β είναι ισοϋπόλοιποι ως προς ν (ή μέτρου ν), αν διαιρούμενοι με τον αριθμό ν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Συμβολικά α β(mod ν), π.χ. 9 1(mod 4), 30 2 (mod 7), -9 7(mod 4) κ.τ.λ.. Εύκολα προκύπτει ότι ισχύει, α β(mod ν), αν και μόνο ο ν διαιρεί την διαφορά α - β. Επίσης με κζ ισχύει, α+κ β+κ (mod ν) α β (mod ν). Παραδείγματα: (mod4), 28 0 (mod7 ), (mod 7), -ν 6ν (mod 7), -11μ 19μ (mod30), 100α 2α (mod7) (ν, μ, α N) Τις παρακάτω χρήσιμες ιδιότητες, αφήνουμε ως ασκήσεις. 1.Το πηλίκο λ της διαίρεσης α:β (α, βζ, β0), δηλαδή το ακέραιο μέρος του ρητού α β μικρότεροι ή ίσοι του ρητού 2.Το πηλίκο, είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος από αυτούς που είναι α β α β, δηλαδή ισχύει α β α β 1 α β (α, βν*) δηλώνει το (μέγιστο) πλήθος των πολλαπλασίων του β από το 1 μέχρι και τον αριθμό α. Έτσι π.χ. τα πολλαπλάσια του 4 από το 1 μέχρι και το 2011 είναι [2011/4]=502 (όσα ακριβώς είναι τα δίσεκτα έτη με το παλαιό ημερολόγιο μέχρι το 2011). Τα πολλαπλάσια του 4 από το 1 μέχρι και τον αριθμό Ε είναι [Ε/4], δηλαδή ο αριθμός [Ε/4] δηλώνει το πλήθος των δίσεκτων ετών με το παλαιό ημερολόγιο (π.η.) από 1 μέχρι και το έτος Ε. 3. Αν α, β, κ ακέραιοι, β0 τότε ισχύει (α + κβ, β) = (α, β) ή α + κβ α(modβ),.

7 Η Ημερομηνία του Πάσχα 7 π.χ. (23+330, 30) = (23, 30) = 23, (15-11μ,30) = (15+19μ,30), μ N. 4. Αν α, β, γ ακέραιοι, β0 τότε ισχύει (α + γ, β) = ((α, β) +γ, β) π.χ. (334+α, 30) = (4+α, 30). ΛΗΜΜΑ 1 Η καθυστέρηση του παλαιού ημερολογίου (π.η.) το έτος Ε, σε σχέση με το νέο ημερολόγιο (ν.η.), είναι ίση με Κ= E 400 E 100 του έτους Ε > = α α 2 4 ημέρες, όπου α = E 100 οι αιώνες Απόδειξη Η μόνη διαφορά στα δυο ημερολόγια είναι ο υπολογισμός των δίσεκτων ετών. Με το π. η. δίσεκτα είναι όσα διαιρούνται με το 4, οπότε από το 1 μ. Χ. μέχρι και το έτος Ε υπάρχουν [Ε/4] δίσεκτα έτη. Με το ν. η., που εφαρμόστηκε το 1582 μ. Χ., δίσεκτα είναι τα έτη που: α) δεν είναι επαιώνια, δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσια του 100 και διαιρούνται με το 4, και β) Από τα επαιώνια μόνο όσα διαιρούνται με το 400. Έτσι τα δίσεκτα έτη με το ν.η. από το 1 μέχρι και το έτος Ε είναι πλήθους Δ(Ε)= E 4 - E E 400 Άρα το παλαιό ημερολόγιο έχει παραπάνω. E E 400 δίσεκτα έτη (γενικά, αν εφαρμοζόταν κανονικά από το έτος 1 μ.χ). Έτσι το 1582 (που εφαρμόστηκε το ν.η.) το παλιό είχε τυπικά καθυστέρηση E E 400 =15-3=12 έτη, που αντιστοιχούν σε 12 ημέρες, αλλά η πραγματική (αστρονομική) καθυστέρηση (στην εαρινή ισημερία) ήταν 10 ημέρες. Άρα η κανονική καθυστέρηση του π.η. είναι ίση με Κ= E E ημέρες.

8 8 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Αν α = E 100 E α οι αιώνες του έτους Ε, τότε εύκολα προκύπτει, οπότε Κ = α α 2 4, α >15. Αυτή η καθυστέρηση σημαίνει ότι όσοι ακολουθούν το π.η. έχουν την ίδια ημέρα της βδομάδας με όσους ακολουθούν το ν. η., αλλά με ημερομηνία κατά Κ ημέρες μικρότερη. Από το 1900 (1 Μαρτίου) μέχρι το 2100 (28 Φεβρουαρίου) είναι Κ=13, από 1/3/2100 μέχρι 28/2/2200 θα είναι Κ=14 κ.τ.λ.. Β. Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΟΡΘΟΔΟΞΟΥ ΠΑΣΧΑ Θα δούμε αναλυτικά τον τρόπο για την εύρεση της ημερομηνίας του Ορθόδοξου (Ιουλιανού) Πάσχα ενός έτους Ε, με το παλιό (π. η.) και το νέο ημερολόγιο (ν. η.), καθώς και την απόδειξη του σχετικού τύπου του Gauss. Όπως αναφέραμε παραπάνω ο υπολογισμός της ημερομηνίας του ορθόδοξου Πάσχα γίνεται με βάση τον κανόνα της Α Οικουμενικής συνόδου, χρησιμοποιώντας το παλιό ημερολόγιο για την εύρεση της εαρινής ισημερίας και τον κύκλο του Μέτωνα για την εύρεση της πασχαλινής πανσελήνου. Για τον καθορισμό λοιπόν της ημερομηνίας του ορθόδοξου Πάσχα απαιτούνται : α) Η εύρεση της ημερομηνίας της Μετώνειας ή Ιουλιανής, (όχι αστρονομικής) πασχαλινής πανσελήνου, έστω ΜΠ μέρες Μαρτίου με το π.η. ή ΜΡ μέρες Απριλίου με το ν. η. και β) Ο υπολογισμός των ημερών από την επόμενη της προηγούμενης ημερομηνίας μέχρι και την (αμέσως επόμενη) Κυριακή, του Πάσχα, έστω Η ημέρες. Τότε η ημερομηνία του Ορθοδόξου Πάσχα θα είναι στις ΟΠ = ΜΠ + Η Μαρτίου με το π.η. και ΟΠ = ΜΡ + Η Απριλίου με το ν.η. (Σημ. To να εκφράζουμε την ημερομηνία του Πάσχα με το π.η. σε μέρες Μαρτίου και με το ν.η. σε μέρες Απριλίου δεν έχει καμιά ουσιαστική σημασία. Απλά μας διευκολύνει, επειδή το ορθόδοξο Πάσχα με το π.η.

9 Η Ημερομηνία του Πάσχα 9 μπορεί να εορτάζεται μόνο σε μήνα Μάρτιο ή Απρίλιο, ενώ με το ν.η. μόνο σε Απρίλιο ή Μάιο). Για την εύρεση της ημέρας της πασχαλινής πανσελήνου ενός έτους, ένα στοιχείο χρήσιμο είναι η λεγόμενη Επακτή (ή Σελήνης Θεμέλιον, Epacte, Epact, Epakte) του έτους. ΟΡΙΣΜΟΣ Επακτή (Μετώνεια ή Ιουλιανή) ενός έτους Ε, συμβολικά Τ, είναι η ηλικία της σελήνης την 31 η Δεκεμβρίου (π.η.) του προηγούμενου έτους Ε-1 (με το Ιουλιανό ημερολόγιο και χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη το σφάλμα του κύκλου του Μέτωνα). Λέγοντας ηλικία της σελήνης στις 31/12 /E-1 εννοούμε πόσων ημερών είναι η σελήνη στις 31/12/E-1 από την αμέσως προηγούμενη νέα σελήνη. Eπίσης λέγοντας γενικά ότι σήμερα η σελήνη είναι ν ημερών, εννοούμε ότι ο χρόνος από την τελευταία νέα σελήνη μέχρι σήμερα είναι μεγαλύτερος των ν-1 ημερών και μικρότερος ή ίσος των ν ημερών. Η Επακτή Τ παριστάνει μια υποθετική-προσεγγιστική ηλικία της σελήνης και όχι την ακριβή αστρονομική ηλικία της σελήνης. ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Για την επακτή Τ του έτους Ε, ισχύει Τ = (11μ+8, 30), μ = (Ε, 19). Απόδειξη Η σελήνη για 12 περιφορές περί την Γη χρειάζεται (περίπου) 12x29,530588=354, ημέρες, χρόνος που υπολείπεται του Ιουλιανού έτους κατά 365,25-354,367056=10, μέρες Άρα σε ένα Ιουλιανό έτος η ηλικία της σελήνης αυξάνεται κατά 11 μέρες. Έχομε όμως την πληροφορία ότι, στις 31/12 του έτους -1 (2 π. Χ.) η σελήνη ήταν 8 ημερών ([2], σελ.42), οπότε η επακτή του έτους Ε = 0 (1 π. Χ.) είναι 8. Έτσι η επακτή του Ε=1 μ.χ. είναι Τ=8+11=19=(19, 30 ), του Ε=2 η επακτή είναι Τ=8+211=30 (άρα σελήνη 30 ημερών, δηλαδή (30, 30)=0 ημερών), το έτος Ε=3 η επακτή είναι Τ=8+311=41, δηλαδή η σελήνη είναι (41, 30) = 11 ημερών.

10 10 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Γενικά το έτος Ε η σελήνη έχει, προς το παρόν ηλικία Τ = (11Ε+8, 30) με Ε=0,1,2,..,18. Γενικά και λόγω του κύκλου του Μέτωνα (επανάληψη κάθε 19 έτη, που χρησιμοποιούταν ανέκαθεν) η σελήνη θα έχει την ίδια ηλικία μετά από 19 έτη, άρα η επακτή του έτους Ε>18 είναι ίδια με αυτή του έτους (Ε, 19), οπότε Τ = (11(Ε,19) +8, 30) = (11μ+8, 30), μ = (Ε, 19), μ{0,1,,18} Η επακτή Τ παίρνει διαδοχικά και με περίοδο 19, τις τιμές Τ = 8, 19, 0, 11, 22, 3, 14, 25, 6, 17, 28, 9, 20, 1, 12, 23, 4, 15, 26 με μέγιστη τιμή 28 και ελάχιστη 0. Παράδειγμα: για την επακτή του έτους Ε=2013 έχουμε μ = (2013, 19) =18, Τ = (11μ+8, 30) = (206, 30) = 26, οπότε στις 31 Δεκεμβρίου 2012 π.η. ή 13/1/2013 ν.η., η σελήνη ήταν 26 ημερών. Για να ελέγξουμε την ακρίβειά της, θα βρούμε πόσων ημερών είναι πραγματικά (αστρονομικά) η σελήνη στις 31/12/2012 π.η. Από τους σύγχρονους αστρονομικούς πίνακες (βλ. [6]) έχουμε ότι η σελήνη στις 31/12/2012 ν.η, δηλαδή 18/12/2012 π.η. είναι 18 ημερών. Άρα στις 31/12/ 2012 π.η. η σελήνη αστρονομικά είναι 31 ημερών, επομένως η σελήνη είναι 26 ημερών στις 26/12 π.η., δηλαδή υπάρχει καθυστέρηση -σφάλμα-της Μετώνειας κατά 5 ημέρες. Σημείωση Με βάση την (Μετώνεια) Επακτή ενός έτους μπορεί να βρεθεί η (Μετώνεια ή Ιουλιανή) ηλικία της σελήνης μιας οποιαδήποτε ημέρας του έτους. Έτσι, αν Α ο αύξων αριθμός της ημέρας (από 1/1) τότε την ημέρα εκείνη η σελήνη είναι (Τ+Α, 30) ημερών και ακόμη καλύτερα (Τ+Α, 29,53) ημερών. (κατ επέκταση της ευκλείδειας διαίρεσης, εννοούμε τον ρητό αριθμό υ=τ+a-29,53 k, με την ιδιότητα 0υ<29,53 για κάποιο-μοναδικό όπως αποδεικνύεται-kn. Ο αριθμός αυτός εκφράζει το υπόλοιπο της διαίρεσης (Τ+A) : 29,53) Για παράδειγμα, η Σελήνη στις 26/8/2013 ν.η., δηλαδή 13/8/2013 π.η., είναι (Τ+Α, 29,53) = ( , 29,53) = ( 251, 29,53) = 14,76 ημερών, (η διαίρεση 251: 29,53 δίνει πηλίκο 8 και υπόλοιπο 14,76)

11 Η Ημερομηνία του Πάσχα 11 δηλαδή πανσέληνος. Δεδομένου ότι στις 21/8/2013 ν.η. έχουμε αστρονομική πανσέληνο (βλ. [6]), βλέπουμε ότι η Ιουλιανή πανσέληνος του Αυγούστου 2013 δίνεται 5 μέρες αργότερα της αστρονομικής. To παρακάτω Λήμμα βοηθά στην εύρεση της ημέρας της εβδομάδας στις Η Μαρτίου ενός έτους Ε με το παλαιό ημερολόγιο (π.η.). ΛΗΜΜΑ 2 Ι. Το πλήθος των ημερών από 1/1/1 μέχρι και Η/3/Ε (π.η.) είναι ίσο με Β = 365(Ε-1) + Δ(Ε) Η όπου Δ(Ε) = [Ε/4] το πλήθος των δίσεκτων ετών (με το π.η.) από το έτος 1 μέχρι και το έτος Ε. ΙΙ. Αν Υ = (Ε+Δ(Ε)+Η+2, 7) τότε η Η/3/Ε είναι ημέρα Υ{0,1,2,3,4,5,6}, όπου 1: Σάββατο, 2: Κυριακή, 3: Δευτέρα, 4 : Τρίτη, 5: Τετάρτη, 6:Πέμπτη, 0: Παρασκευή. Απόδειξη Ι. Από 1/1/1 μέχρι 31/12/(Ε-1) υπάρχουν Δ(Ε-1) δίσεκτα και Ε-1-Δ(Ε-1) απλά έτη, επομένως περιέχονται 365(Ε-1-Δ(Ε-1))+366Δ(Ε-1) = 365(Ε-1) + Δ(Ε-1) ημέρες. Επίσης, από 1/1/Ε μέχρι τέλους Φεβρουαρίου του έτους Ε υπάρχουν θ = θ ημέρες, όπου θ=1 αν Ε δίσεκτο και θ=0 αν Ε απλό έτος (όχι δίσεκτο). Επειδή Δ(Ε) = Δ(Ε-1) +θ, θα έχουμε τελικά Β = 365(Ε-1)+Δ(Ε-1) Η+θ =365(Ε-1)+Δ(Ε) Η, Η1. ΙΙ. Λόγω της διαδοχικής συνέχειας του 7-ήμερου της εβδομάδας η ημέρα με αύξοντα αριθμό B, θα αντιστοιχεί στο υπόλοιπο της διαίρεσης B:7, αν τους αριθμούς 0,1,2,,6 αντιστοιχήσουμε στις 7 πρώτες ημέρες του έτους 1 μ.χ. Έχουμε όμως, λόγω και (365, 7) = 1, (28,7) = 0, (B, 7) = (365(Ε-1)+Δ(Ε) Η, 7) = ( Ε-1+Δ(Ε) +3+Η, 7) = Υ Για την εύρεση της αντιστοιχίας των ημερών της εβδομάδας και των υπολοίπων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, θεωρούμε μια γνωστή ημέρα, π.χ. την

12 12 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης 15/4/2012 που ήταν μέρα Κυριακή (Πάσχα). Την ημέρα αυτή το π.η, δείχνει 15-13=2 Απριλίου. Η μέρα αυτή είναι η Η=31+2= 33 Μαρτίου π.η.. Έτσι με Ε=2012, Δ(Ε) = [Ε/4]=503 έχουμε, Υ= (Ε+Δ(Ε)+ Η +2, 7) = ( , 7) = (2550,7) = 2 Άρα θα πρέπει να λάβουμε Υ=2 για την Κυριακή, 3: Δευτέρα, 4 : Τρίτη, 5: Τετάρτη, 6: Πέμπτη, 0: Παρασκευή, 1: Σάββατο. Για παράδειγμα: Τι μέρα είναι ήταν στις 17/4/2013 π.η. (30/4/2013 με το ν.η.); Η ημέρα αυτή είναι η 48/3/2013 π.η (Κ=13), οπότε Υ= (Ε+Δ(Ε)+ Η +2, 7) = ( , 7) = (2566,7) = 4, δηλαδή Τρίτη. Σημείωση Γενικός τρόπος για τη εύρεση της ημέρας της εβδομάδας, οποιασδήποτε δοθείσης ημερομηνίας και με τα δυο ημερολόγια, ανάλογο με τον προηγούμενο, υπάρχει στο [4], σελ. 10. Το Λήμμα που ακολουθεί θα μας χρειαστεί στην επόμενη πρόταση 2. ΛΗΜΜΑ 3 Αν Τ η επακτή ενός έτους Ε και μ = (Ε, 19), τότε ισχύει 1 + (53-Τ, 30) = (19μ+16, 30) Απόδειξη Από την πρόταση 1 προκύπτει Τ=(11μ+8, 30) και αν κ το πηλίκο της διαίρεσης (11μ+8):30, έχουμε μ 8, 30, μ 8 30κ, μ, μ 30κ, 30 ιδιότητα μ, 30 ιδιότητα μ, 30 Η τελευταία ισότητα ισχύει, λόγω του ότι (15+19μ, 30) < 29 με μ = 0,1,.,18, όπως μπορούμε να επαληθεύσουμε.

13 Η Ημερομηνία του Πάσχα 13 ΠΡΟΤΑΣΗ 2 - Ημερομηνία Πασχαλινής Πανσελήνου Α. Η Μετώνεια (Ιουλιανή) πασχαλινή πανσέληνος του έτους Ε, με το π. η., είναι στις ΜΠ = 21+(53-Τ, 30) = Λ+20 Μαρτίου π. η., όπου Τ η επακτή του έτους Ε και Λ = (19μ+16, 30). Β. Η Μετώνεια ( Ιουλιανή) πασχαλινή πανσέληνος με το ν. η. είναι στις ΜΡ = Λ + Κ - 11 Απριλίου ν. η. όπου Κ = α - [α/4]-2 η καθυστέρηση των δυο ημερολογίων το έτος E, α = [E/4]. Απόδειξη Α. Σύμφωνα με την Πρόταση 1, η ηλικία της σελήνης στις 31 Δεκεμβρίου του έτους Ε-1 είναι Τ = (11μ+8, 30) ημέρες, όπου μ = (Ε, 19). Επειδή από 1/1 μέχρι 30/3 μεσολαβούν κατά μέσο όρο (λαμβάνοντας υπόψη και την ημέρα του ανά τετραετία δίσεκτου) 31+28,25+30=30+29,25+30 ημέρες, η σελήνη στις 30/3 μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι επίσης Τ ημερών, οπότε στις 31/3/Ε η σελήνη είναι Τ+1 ημερών. Έτσι η πρώτη μέρα της είναι στις (31 Τ ) Μαρτίου (31 Τ 3) και η Πανσέληνος μετά από 13 μέρες, στις 31-Τ +13 = 44 - Τ Μαρτίου (π.η.). Αν 44 Τ = 21+ (23 - Τ) 21 (ή Τ 23), η πανσέληνος είναι Πασχαλινή αφού είναι μετά την εαρινή ισημερία ή κατά την εαρινή ισημερία (21 Μαρτίου π.η.). Αν 44 - Τ < 21, (ουσιαστικά τότε Τ = 25, 26, 28), τότε η πανσέληνος αυτή του Μαρτίου δεν είναι πασχαλινή και στην περίπτωση αυτή περιμένουμε την μετά 30 μέρες νέα (πασχαλινή πλέον) πανσέληνο στις ΜΠ = 44 Τ + 30 = 21+ (53 Τ ) = 74 - Τ Μαρτίου Επειδή στην πρώτη περίπτωση είναι 023-Τ<30, ενώ στην δεύτερη 0<53-Τ<30, γενικά θα έχουμε ΜΠ = 21 + (23-Τ, 30) = 21+ (53 - Τ, 30) Μαρτίου και σύμφωνα με το Λήμμα 3, ΜΠ = 20 + Λ Μαρτίου, όπου Λ = (19μ+16, 30), μ = (Ε, 19).

14 14 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Β. Επειδή η καθυστέρηση του Ιουλιανού ημερολογίου είναι Κ = [Ε/100]-[Ε/400]-2 μέρες (μέχρι και το 2099 είναι Κ=13) η ημερομηνία της Ιουλιανής πανσελήνου με το ν. η. είναι ΜΡ = 20+Λ + Κ μέρες Μαρτίου και σε μέρες Απριλίου ΜΡ = 20 + Λ+ Κ - 31= Λ + Κ - 11 Απριλίου ν.η.. Παρατήρηση Είναι, Λ + 20 μέρες Μαρτίου = Λ - 11 Aπριλίου π.η., άρα η Μετώνεια πασχαλινή πανσέληνος δίνεται την ίδια ημέρα αλλά με άλλη ημερομηνία στα δυο ημερολόγια (Κ μικρότερη με το π.η.) Παραδείγματα 1. Για την (Μετώνεια) πασχαλινή πανσέληνο του έτους Ε=2013 έχουμε, μ = (Ε,19)=18, Λ = (19μ+16, 30) =(358, 30)=28, οπότε ΜΠ = 20 + Λ=48 Μαρτίου, δηλαδή 17 Απριλίου π.η. και ΜΡ = =30 Απριλίου με το ν.η. (λόγω K=13). 2. Για την πασχαλινή πανσέληνο του έτους Ε=2014 έχουμε, μ = (Ε,19)=0, Λ = (19μ+16, 30) = 16, οπότε ΜΠ = 20 + Λ=36 Μαρτίου, δηλαδή 5 Απριλίου π.η. και ΜΡ = =18 Απριλίου με το ν.η. (λόγω K=13). ΠΡΟΤΑΣΗ 3 - Ημέρα Πασχαλινής Πανσελήνου Αν Υ = (Ε+[E/4]+Λ +1, 7) τότε η Μετώνεια (Ιουλιανή) πασχαλινή πανσέληνος είναι ημέρα Υ (Υ=1: Σ, 2: Κ, 3: Δ,,0: Πα) και το πλήθος των ημερών Η, από την επομένη της πασχαλινής πανσελήνου μέχρι και την Κυριακή του Πάσχα είναι ίσο με Η = 7- (Ε+[E/4] + Λ -1, 7). Απόδειξη Με βάση τo Λήμμα 2.ΙΙ η (20+Λ) Μαρτίου (π.η.) της Μετώνειας (Ιουλιανής) πασχαλινής πανσελήνου είναι ημέρα Υ= (Ε+[E/4] + 20+Λ+2, 7) = (Ε+[E/4]+ Λ +1, 7) Έτσι οι ημέρες από την επαύριον της Υ μέχρι και την αμέσως επόμενη Κυριακή είναι Η =7- (Υ+5, 7), όπως μπορούμε επαληθεύουμε. Άρα

15 Η Ημερομηνία του Πάσχα 15 Η 7 Υ 5, 7 7 ((Ε [E / 4] Λ 1, 7) 5, 7) ιδιότητα Α2.4 7 (Ε E / 4 Λ 6, 7) 7 (Ε [E / 4] Λ 1,7) Έτσι π.χ. η Μετώνεια πασχαλινή πανσέληνος του 2013 είναι ημέρα (Λ = 28) Υ = ( , 7) = (2545, 7) = 4, Τρίτη και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η = 7 - (2543, 7) = 5. Επίσης του 2014, είναι Υ=( , 7) = (2534, 7) = 0, Παρασκευή και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η=7-(2532, 7) = 2. ΠΡΟΤΑΣΗ 4 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΟΡΘΟΔΟΞΟΥ ΠΑΣΧΑ Για ένα έτος Ε, έστω μ = (Ε, 19), δ = (Ε, 4), β = (Ε, 7), Λ = (19μ+16, 30), Μ = (2δ+4β+6Λ,7). Τότε η ημερομηνία του ορθόδοξου Πάσχα είναι στις ΟΠ = 21+Λ+Μ Μαρτίου με το π. η. και ΟΠ = Κ+Λ+Μ -10 Απριλίου με το ν. η., όπου Κ= α-[α/4]-2, α = [Ε/100]>15, η καθυστέρηση των δυο ημερολογίων. Aπόδειξη Έχουμε ήδη αποδείξει ότι η πασχαλινή πανσέληνος είναι στις MΠ = 21+(53-Τ, 30) = Λ+20 μέρες Μαρτίου π.η. και MΡ = Λ+K-11 Απριλίου ν.η., οπότε η ημερομηνία του Πάσχα είναι αντίστοιχα ΟΠ = MΠ + Η = Λ+20+Η Μαρτίου με π.η., ΟΠ = MΡ + Η= Λ+K-11+Η Απριλίου με ν.η.. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι Η = Μ+1 (και για τις δυο περιπτώσεις). Από την προηγούμενη Πρόταση 3 έχουμε, Η =7- (Ε+[E/4]+ Λ-1, 7) Αν Π το πηλίκο της διαίρεσης (Ε+[E/4]+ Λ -1):7 θα ισχύει (Ε+[E/4]+Λ -1, 7) = (Ε + [E/4] + Λ -1) 7Π, οπότε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του υπολοίπου έχουμε,

16 16 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης H 1 6 (E [E / 4] Λ 1, 7) 6 Ε E / 4 Λ 1 7Π 7 Ε E / 4 Λ 7Π mod7 Ε E / 4 Λ 6E 6 E / 4 6Λ 2Ε 4(7 E / 7 β) 6 E / 4 6Λ 2Ε 4β 8 E / 4 6Λ 4β 2 E 4 E / 4 6Λ 4β 2δ 6Λ Άρα (Η-1, 7) = (2δ+4β+6Λ, 7) = Μ. Όμως Η-1 = 0,1,2,,6 (αφού 1Η7) οπότε Μ = Η - 1. Σημειώσεις 1. Όρια του Ορθόδοξου - Ιουλιανού Πάσχα Aπό τη πρόταση 2 και δοθέντος ότι, με μ=0,1,2..,18 έχουμε για το Λ μικρότερη τιμή 1 και μεγαλύτερη 29, συμπεραίνουμε ότι τα όρια της Μετώνειας πασχαλινής πανσελήνου είναι από 21 Μαρτίου μέχρι 18 Απριλίου π.η. Έτσι, αν η 21 Μαρτίου είναι Σάββατο έχομε το ενωρίτερα εορταζόμενο Πάσχα στις 22 Μαρτίου π.η., ενώ αν στις 18 Απριλίου είναι Κυριακή έχουμε το πιο όψιμο Ορθόδοξο Πάσχα στις 25 Απριλίου με το π.η.. Με το ν.η., από το 1900 μέχρι το 2099, που είναι Κ=13, έχουμε το πιο πρώιμο Ορθόδοξο Πάσχα στις 4 Απριλίου και το πιο όψιμο στις 8 Μαΐου. Οι ημερομηνίες αυτές μετατοπίζονται αργότερα όσο αυξάνει η καθυστέρηση του π.η. έναντι του ν.η. Το 2010 είχαμε στις 4 Απριλίου (με το ν. η.) το τελευταίο πιο πρώιμο Ορθόδοξο Πάσχα του αιώνα μας αλλά και όλων των επόμενων αιώνων! (βλ. επόμενο σχόλιο). 2. Περίοδος του Ορθόδοξου Πάσχα Παρατηρούμε ότι η ημερομηνία του Ορθοδόξου-Ιουλιανού Πάσχα δομείται βασικά από τις ποσότητες μ = (Ε, 19), δ = Ε, 4), β = (Ε, 7). Έτσι, λόγω της ιδιότητας Α2.3, μετά από 19x4x7 = 532 (EKΠ των 19,4,7) έτη, οι ποσότητες αυτές θα είναι ίδιες και έτσι το Πάσχα θα εορτάζεται την ίδια μέρα. Επομένως η Περίοδος του Ορθόδοξου Πάσχα,

17 Η Ημερομηνία του Πάσχα 17 σύμφωνα με το π.η., είναι 532 έτη, οπότε το Πάσχα του έτους Ε είναι την ίδια μέρα με αυτό του έτους Ε+532ν, ν=1,2,3 Ο κανόνας αυτός χρησιμοποιούταν παλαιά για την σύνταξη των Πασχάλιων πινάκων. Mε το ν.η. η περιοδικότητα αυτή χαλάει στην ημερομηνία του ορθόδοξου Πάσχα, λόγω της καθυστέρησης του π.η. που μετατοπίζει την ημερομηνία αυτή αργότερα. Έτσι κάθε 532 χρόνια, έχουμε 3 ή 4 ή 5 μέρες αργότερα την ημερομηνία του Πάσχα με το ν.η., λόγω ακριβώς της καθυστέρησης του π.η. έναντι του ν.η. που μπορεί να υπάρχει στα 532 χρόνια. Για παράδειγμα, το 2010 το Πάσχα ήταν στις 4 Απριλίου (με το ν.η.) ενώ το 2542 θα είναι στις 8 Απριλίου, λόγω της διαφοράς των 4 επί πλέον δίσεκτων ετών του π.η. που μεσολαβούν στα 532 χρόνια (ενώ με το π.η. και στα δυο έτη το Πάσχα είναι στις 22 Μαρτίου). Όμοια το 2070 το ορθόδοξο Πάσχα θα είναι στις 4 Μαΐου (με το ν.η.) και το 2602 στις 9 Μαΐου (ενώ με το π.η. και τα δυο έτη στις 21 Απριλίου). 3. Κοινός εορτασμός του Πάσχα. Eπειδή ΟΠ=21+Λ+Μ Μαρτίου π. η. = Λ+Μ-10 Απριλίου π.η. προκύπτει ότι το ορθόδοξο Πάσχα εορτάζεται την ίδια μέρα (κοινός εορτασμός) και στα δυο ημερολόγια και η μόνη διαφορά είναι στον αριθμό της ημερομηνίας του ημερολογίου (Κ μέρες μικρότερη στο π.η.). 4. Από το Πάσχα του 1924 (που η Ελληνική εκκλησία άρχισε να εφαρμόζει για το Πάσχα το ν.η.) μέχρι και το Πάσχα του 2099, λόγω της καθυστέρησης Κ=13 ημέρες του παλαιού ημερολογίου, έχουμε Ορθόδοξου Πάσχα στις ΟΠ = Λ+ Μ + 3 Απριλίου με το ν.η., με την πασχαλινή πανσέληνο στις ΜΠ = Λ+2 Απριλίου ν.η., όπου, μ = (Ε, 19), δ = (Ε,4), β = (Ε, 7), Λ = (19μ+16,30), Μ = (2δ+4β+6Λ,7). Από το 2100 μέχρι το 2199 είναι Κ=14, οπότε ΟΠ = Λ+ Μ + 4 Απριλίου με το ν.η. κ.τ.λ.. 5. Αν Λ+Μ+Κ-10 > 30 τότε έχουμε Πάσχα στις Λ+Μ+Κ-40 Μαΐου, ενώ αν Λ+Μ+Κ-10 > 61 έχουμε Πάσχα Λ+Μ+Κ-71 Ιουνίου κ.τ.λ.. 6. O παραπάνω τύπος της Πρότασης 4 αναφέρεται συχνά ως τύπος του Gauss. Πράγματι σε εργασία του Gauss (1800, [5], σελ.128) αναφέρεται παρόμοια έκφραση με Κ=13 με διαφορετική απόδειξη. Στο [2] (1959) δεν αναφέρεται καθόλου ο τύπος αυτός για την ημερομηνία του Ιουλιανού Πάσχα, αλλά μια άλλη ισοδύναμη -πιο πολύπλοκη- έκφραση

18 18 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης ([2], σελ. 49). Αντίθετα, στο [2], σελ. 51, αναφέρεται η προσφορά του Gauss στην ενιαία έκφραση του τύπου του Γρηγοριανού Πάσχα. Εφαρμογές 1. Για το έτος Ε=2014 έχουμε, μ = (Ε, 19) = (2014, 19) = 0, δ = (2014, 4) = 2, β = (Ε, 7) = (2014, 7)=5, Λ = (19μ+16, 30)= (16, 30) = 16, Μ = (2δ+4β+6Λ, 7) = (24+96, 7) = (120, 7) = 1, οπότε το Πάσχα είναι στις ΟΠ = Λ+ Μ + 3 = = 20 Απριλίου ν.η., και στις ΟΠ =Λ+Μ-10=7 Απριλίου με το π. η. Η πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΜΠ= Λ+2=16+2=18 Απριλίου ν.η.. 2. Για το έτος Ε=2015 έχουμε, μ = (Ε, 19) = (2015, 19) = 1, δ = (2015, 4) = 3, β = (Ε, 7) = (2015, 7) = 6, Λ = (19μ+16, 30)= (35, 30) = 5, Μ = (2δ+4β+6Λ, 7) = ( , 7) = (60, 7) =4, οπότε το Πάσχα είναι στις ΟΠ = Λ+ Μ + 3 Απριλίου = = 12 Απριλίου ν.η., και στις ΟΠ =Λ+Μ-10=9-10=-1 Απριλίου, δηλαδή 30 Μαρτίου με π. η.. Η (Μετώνεια) πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΜΠ= Λ+Κ-11=18-11=7 Απριλίου ν. η. (25/3 με π. η.). 3. Για το έτος Ε=2100, έχουμε μ = (Ε, 19) = (2100, 19) = 10, δ= (2100, 4) = 0, β = (Ε, 7) = (2100, 7)=0, Λ = (19μ+16, 30)= (206, 30) = 26, Μ = (2δ+4β+6Λ, 7) = (156, 7) = 2, οπότε, λόγω και Κ=14, το Πάσχα του 2100 θα είναι στις ΟΠ = K+Λ+ Μ -10 Απριλίου = = 32 Απριλίου ν.η., δηλαδή 2 Μαΐου και στις ΟΠ =Λ+Μ-10=18 Απριλίου με το π. η.. Η πασχαλινή πανσέληνος του 2100 είναι στις ΜΠ= Λ+Κ-11= =29 Απριλίου ν.η.. Γ. Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΠΑΣΧΑ Ο υπολογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα των Καθολικών και Διαμαρτυρομένων (Λατίνων Πάσχα) χρησιμοποιεί τον κανόνα της Α Οικουμενικής συνόδου, αλλά διαφοροποιείται σε δυο βασικά σημεία σε σχέση με αυτόν του Ορθόδοξου: χρησιμοποιεί το Γρηγοριανό (νέο) ημερολόγιο (ν.η.) για τον προσδιορισμό της εαρινής ισημερίας και την

19 Η Ημερομηνία του Πάσχα 19 διορθωμένη Μετώνεια (Ιουλιανή) πανσέληνο για τον προσδιορισμό της πασχαλινής πανσελήνου. Όπως και προηγουμένως για τον καθορισμό της ημερομηνίας αυτής απαιτούνται: α) Η εύρεση της ημερομηνίας της Γρηγοριανής πασχαλινής πανσελήνου, έστω ΓΠ μέρες Απριλίου με το ν.η., και β) Ο υπολογισμός των ημερών από την επόμενη της προηγούμενης ημερομηνίας μέχρι και την Κυριακή του Πάσχα, έστω Η ημέρες, 1 H 7. Τότε η ημερομηνία KΠ του Καθολικού (ή Γρηγοριανού) Πάσχα θα είναι στις KΠ = ΓΠ + Η Απριλίου (στην ενότητα αυτή όλες οι ημερομηνίες θα είναι με το νέο ημερολόγιο (ν. η.) εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) Επειδή οι αποδείξεις των σχετικών προτάσεων στην ενότητα αυτή είναι μακροσκελείς και επίπονες, θα αναφέρουμε τις προτάσεις χωρίς αποδείξεις, δίνοντας στο τέλος και τον προσωπικό ενιαίο τύπο της ημερομηνίας του καθολικού Πάσχα. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να μου τις ζητήσει. Γρηγοριανή Επακτή (Ρ) Όπως είδαμε η Μετώνεια-Ιουλιανή (πασχαλινή ή μη) πανσέληνος προσδιορίζεται μόνο από την Ιουλιανή επακτή Τ. To ίδιο συμβαίνει και με την Γρηγοριανή πανσέληνο, αλλά η Γρηγοριανή πανσέληνος για να είναι πιο ακριβής (πιο κοντά στην πραγματική-αστρονομική) χρησιμοποιεί την Γρηγοριανή επακτή, έστω Ρ, που είναι η Ιουλιανή επακτή διορθωμένη κατά το σφάλμα του κύκλου του Μέτωνα, την λεγόμενη εκκλησιαστική πρόπτωση Θ, αναγόμενη στην 31 Δεκεμβρίου με το ν.η.. Aποδεικνύεται ([2], σελ ) ότι ο κύκλος του Μέτωνα δίνει κάθε φάση της σελήνης, από την εποχή της Α Οικουμενικής συνόδου μέχρι και το έτος Ε, Θ ημέρες αργότερα της πραγματικής φάσης, όπου Θ = - 2, α = Ε 100 8α Για παράδειγμα: για το 2014 είναι Θ=4 που εκφράζει την διαφορά μεταξύ της Γρηγοριανής πανσέληνου, στις 14 Απριλίου 2014 (όπως θα

20 20 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης δούμε παρακάτω) και της παραπάνω, στις 18 Απριλίου. Μετώνειας πανσέληνου, όπως είδαμε ΠPOTAΣH 5 Αν Τ η Mετώνεια (Ιουλιανή) επακτή του έτους Ε, τότε η Γρηγοριανή επακτή του έτους Ε είναι ίση με Ρ = (Τ+Θ- Κ, 30) = (11μ+8+ [(8α+13)/25] α+[α/4], 30) ή Ρ = (11μ+23-F, 30), όπου F = 15- [(8α+13)/25] +α-[α /4], Θ η εκκλησιαστική πρόπτωση, Κ = α - [α/4] - 2 η καθυστέρηση του π.η., μ = (Ε, 19), α = [Ε/100]. Παράδειγμα 1 Για το έτος Ε=2013 έχουμε μ=(ε, 19) = 18, α=[2013/100]=20 οπότε η Γρηγοριανή επακτή είναι Ρ = (197, 30) = 17. Άρα η (Γρηγοριανή) σελήνη στις 31/12/2012 ν.η. είναι 17 ημερών. Από τους αστρονομικούς πίνακες (βλ. [6]) στις 31/12/2012 έχουμε σελήνη 18 ημερών, δηλαδή μια μέρα μόνο διαφορά, ενώ χωρίς την διόρθωση (με την Mετώνεια επακτή), όπως είδαμε, στο παράδειγμα μετά την πρόταση 1, είχαμε σφάλμα 5 ημερών. Παράδειγμα 2 Για το Ε=2014 έχουμε, α=20, μ=0, Ρ=( ,30)=(-1, 30)=29, δηλαδή η σελήνη στις 31/12/2013 είναι 29 ημερών, που συμπίπτει με την αστρονομική (βλ. [6]). Σημείωση Με βάση την Γρηγοριανή Επακτή ενός έτους μπορεί να βρεθεί η ηλικία της σελήνης μιας οποιαδήποτε ημέρας του έτους. Έτσι, αν Α ο αύξων αριθμός της ημέρας (από 1/1) τότε την ημέρα εκείνη η σελήνη είναι (Ρ+Α, 30) ημερών και ακόμη καλύτερα (Ρ+Α, 29,53) ημερών. Για παράδειγμα, η σελήνη στις 22/8/2013 είναι (Ρ+Α, 29,53) = ( , 29,53) = ( 251, 29,53) = 14,76 ( η διαίρεση 251: 29,53 δίνει πηλίκο 8 και υπόλοιπο 14,76) ημερών, δηλαδή πανσέληνος. Δεδομένου ότι στις 21/8/2013 ν.η. έχουμε αστρονομική πανσέληνο (βλ. [6]), βλέπουμε ότι η Γρηγοριανή πανσέληνος του Αυγούστου 2013 δίνεται 1 μόνο ημέρα αργότερα της πραγματικής, ενώ όπως είδαμε (πρόταση 1, σημείωση) η Ιουλιανή

21 Η Ημερομηνία του Πάσχα 21 πανσέληνος του Αυγούστου 2013 δίνεται 5 μέρες αργότερα. Στην μεγάλη πάντως πλειοψηφία των ετών οι δυο πανσέληνοι, Γρηγοριανή και αστρονομική, συμπίπτουν. Γρηγοριανή Πασχαλινή Πανσέληνος (ΓΠ) ΠΡΟΤΑΣΗ 6 Ι. Η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος ΓΠ του έτους Ε, συναρτήσει της επακτής Ρ, είναι (συμβαίνει) στις ΓΠ = (53-Ρ, 30)-10 - Σ Απριλίου όπου Σ=1 αν Ρ=24 ή (Ρ=25 και μ>10) και Σ = 0 διαφορετικά. ΙΙ. Η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος του έτους Ε δίνεται και με την ισοδύναμη μορφή, στις ΓΠ = 21 + D - Σ Μαρτίου = D-10- Σ Aπριλίου όπου D = (53-Ρ, 30) = (19μ+F, 30), μ = (Ε,19), α = [Ε/100], F = 15- [(8α+13)/25] +α-[α /4]. Η παράμετρος Σ μπορεί να εκφραστεί και με ενιαίο τύπο, ως Σ = 1 1 P 24 ( P 25 [11/ (1 μ)]) 1 = 1 D 29 ( D 28 [11/ (1 μ)]). (Iσχύουν: P=24 D=29, P=25 D=28) Παράδειγμα 1 Για το έτος Ε=2013, όπως είδαμε είναι P=17, οπότε Σ=0 και η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΓΠ = (53-17, 30)-10 = 6-10= -4 Απριλίου, δηλ. 27 Μαρτίου. Παράδειγμα 2 Για το Ε=2014 έχουμε, Ρ=29, οπότε Σ=0 και η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΓΠ = (53-29, 30)-10 = = 14 Απριλίου.

22 22 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΡΟΤΑΣΗ 7 - Εύρεση ημέρας Γρ. Πασχαλινής πανσελήνου και Η Αν Υ =(Ε+[E/4]+ΓΠ-Κ+2, 7) με την (Γρηγοριανή) πασχαλινή πανσέληνο ΓΠ σε μέρες Μαρτίου (ν.η.), τότε η πασχαλινή πανσέληνος συμβαίνει ημέρα Υ (Υ= 1:Σ, 2:Κ, 3:Δ, 4:Τ, 5:Τε, 6::Π, 0:Πα), και το πλήθος των ημερών, Η, από την επομένη της πασχαλινής πανσελήνου μέχρι και την Κυριακή του Πάσχα είναι ίσο με Η = 7 - ( Ε + [E/4] + ΓΠ - Κ, 7). Παράδειγμα Για το έτος Ε=2013, είναι ΓΠ=27 Μαρτίου, οπότε Υ = (Ε+[E/4]+ΓΠ-Κ+2, 7) = ( , 7) = (2532, 7) =5. Άρα η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι ημέρα Τετάρτη και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η =7- ( Ε+[E/4]+ΓΠ-Κ,7) = 7- ( 2530,7) =7-3 = 4. Όμοια για το έτος Ε=2014 είναι Υ = ( ,7) = (2551,7) =3, οπότε η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι ημέρα Δευτέρα (14/4) και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η=7-(2549,7) =7-1=6. ΠΡΟΤΑΣΗ 8 - Ημερομηνία Καθολικού Πάσχα - Τύπος ΔΙΜ Για ένα έτος Ε, έστω οι αριθμοί α = Ε 100, 8α 13 α F 15 α 25 4, α R 4 α,7 4 μ = (Ε, 19), δ = (Ε, 4), β = (Ε, 7), D = (19μ+F, 30), Ζ = (2δ+4β+6D+R, 7) S = 1 Σ, ε = (Ε, 100), L = ε-2α + [α/4] + [ε/4]. 1+ D + (L,7) - 33 Τότε το καθολικό (Γρηγοριανό) Πάσχα το έτος Ε εορτάζεται στις ΚΠ = D + Ζ - 9-7S Απριλίου

23 Η Ημερομηνία του Πάσχα 23 και η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι στις (D-10-Σ) Απριλίου, όπου Σ = 1 1 D 29 ( D 28 [11/ (1 μ)]) (Είναι Σ=1 όταν D=29 ή (D=28 και μ>10) ενώ διαφορετικά Σ=0. Επίσης S=1 όταν Σ=1 και D+ (L, 7)=33, ενώ διαφορετικά S =0). Παραδείγματα 1. Για το έτος Ε=2014 έχουμε α = 20, F = 15- [(8α+13)/25] +α-[α/4] = 24, R = (4+α-[α/4], 7) = 5 (οι αριθμοί F, R είναι σταθεροί για όλα τα έτη του ίδιου αιώνα) μ = (2014,19) = 0, D= (19μ+F, 30) = (24,30) = 24, οπότε Σ=S= 0, δ = (Ε, 4) = 2, β = (Ε,7) = 5, Ζ= ( ,7) = 5, οπότε το καθολικό Πάσχα είναι στις ΚΠ= D +Ζ- 9-7S = = 20 Απριλίου (μαζί με το ορθόδοξο), με τη Γρηγοριανή πανσέληνο ΓΠ στις D Σ =24-10 = 14 Απριλίου. 2. Για το έτος Ε=2015, έχουμε, α = 20, F = 24, R = 5, μ = (2015,19) = 1, D= (19μ+F, 30) = (43,30) = 13, οπότε Σ=S= 0, δ = (Ε, 4) = 3, β = (Ε,7) = 6, Ζ = (2δ+4β+6D+R, 7) = ( ,7) = (113, 7) = 1. Έτσι το καθολικό Πάσχα του 2015 εορτάζεται στις ΚΠ = D +Ζ- 9-7S = = 5 Απριλίου. (με τη Γρηγοριανή πανσέληνο ΓΠ στις D Σ =13-10 =3 Απριλίου). 3. Για το έτος Ε=2100, έχουμε, α = 21, F = =24, R = (20,7)=6, μ = (2100,19) = 10, D= (19μ+F, 30) = (214,30) =4, οπότε Σ=S= 0, δ = (Ε, 4) = 0, β = (Ε,7) = 0, Ζ = (2δ+4β+6D+R, 7) = ( ,7) = (30, 7) =2. Έτσι το καθολικό Πάσχα του 2100 θα εορταστεί στις ΚΠ = D +Ζ- 9-7S = = -3 Απριλίου, δηλαδή 28 Μαρτίου. (με τη Γρηγοριανή πανσέληνο ΓΠ στις D Σ =4-10 = -6 Απριλίου, δηλαδή 25 Μαρτίου)..

24 24 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σημειώσεις 1. Τα έτη με D=29 ή ( D=28 και μ>10) και των οποίων η Γρηγοριανή πανσέληνος είναι Σάββατο, ας τα ονομάσουμε έτη με Σ - πασχαλινή πανσέληνο (Σ π. πανσέληνο). Τα έτη Ε με Σ π. πανσέληνο ικανοποιούν τις συνθήκες (D=29 ή (D=28 και μ>10)) και Υ = (Ε+[E/4]+ D+1 - Κ, 7) =1 ή, ισοδύναμα, όπως αποδεικνύεται, (D=29 ή ( D=28 και μ>10)) και D+(L, 7)=33 με L=ε-2α+[α/4]+[ε/4]. Τα έτη με Σ π. πανσέληνο είναι ακριβώς αυτά για τα οποία S = Για τα έτη με Σ π. πανσέληνο αποδεικνύεται ότι Ζ=6, οπότε το Καθολικό Πάσχα εορτάζεται στις ΚΠ = D - 10 Απριλίου, με D=29, 28, δηλαδή στις 19 ή 18 Απριλίου, με την πασχαλινή πανσέληνο (Σ=1) στις 18, 17 Απριλίου αντίστοιχα). Έτσι ο τύπος του Καθολικού Πάσχα μπορεί να πάρει και την μορφή ΚΠ = (1-S) (D + Z 9)+ (D-10)S Απριλίου με την Γρ. πασχ. πανσέληνο στις ΓΠ = D 10 - Σ Απριλίου. 3. Αποδεικνύεται ότι τα μόνα έτη του 21 ου αιώνα με Σ-π. πανσέληνο είναι τα έτη 2049 και Έτσι, για όλα τα έτη του 21 ου αιώνα ο τύπος του Καθολικού Πάσχα παίρνει την απλούστερη μορφή ΚΠ = ( 1-S) (D + Z - 9) + (D-10)S, με S= 1 1 E 2049 E Mε την Γρηγοριανή πανσέληνο στις ΓΠ = D Σ Απριλίου. Ειδικότερα, τo 2049, το Πάσχα είναι στις D-10=28-10=18 Απριλίου και το 2076 στις D-10=29-10=19 Απριλίου και οι πανσέληνοι στις 17, 18 Απριλίου αντίστοιχα. Ανάλογες απλές εκφράσεις μπορούμε να έχουμε και για τους άλλους αιώνες, έχοντας υπόψη και τον παρακάτω πίνακα. 4. Αποδεικνύεται ότι μεταξύ των ετών μ.χ. υπάρχουν ακριβώς 10 έτη με Σ- π. πανσέληνο, τα οποία φαίνονται στον πίνακα:

25 Η Ημερομηνία του Πάσχα 25 Έτη με Σ - Π. Πανσέληνο μεταξύ μ. Χ. D= KΠ:19/4 D=28 μ> KΠ:.18/4 5. Από την παραπάνω μορφή του αλγορίθμου για την εύρεση του Καθολικού Πάσχα, μπορεί να προκύψει ως ειδική περίπτωση ο αλγόριθμος του Ορθόδοξου-Ιουλιανού Πάσχα: πράγματι, αν λάβουμε S=0 και K=Θ=0 (συνθήκες λογικές για τα Ιουλιανά δεδομένα) τότε, R=6, F=15 και προκύπτει η ημερομηνία ΚΠ = D +Ζ- 9-7S= D +Ζ- 9= (D+1) + Z - 10 = Λ+Z-10 Aπριλίου με D = (19μ+15, 30), Λ= D+1 = (19μ+16, 30) (λόγω 0D<29), Ζ = (2δ+4β+6D+6, 7) = (2δ+4β+6Λ, 7) = Μ, η οποία είναι η ημερομηνία του ορθόδοξου Πάσχα με το π. η. σε μέρες Απριλίου, που είδαμε στην πρόταση 4 (και Λ+Μ +Κ -10 Απριλίου με το ν.η.). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. (ΙΙ. Ημερολόγιο, ημερομηνίες κ.ά.) 2. Κατσή Δ. (1959), Τα ημερολόγια και ο κανών του Πάσχα, Αθήναι. 3. Διονυσίου Στ.- Δανέζη Μ.(1995), Η Οδύσσεια των ημερολογίων, τόμος Β. 4. Μπουνάκη Δ., Το Ημερολόγιο, Ευκλείδης Β τεύχος 3, htm 6.

Το τελευταίο πιο πρώιµο Πάσχα

Το τελευταίο πιο πρώιµο Πάσχα Το τελευταίο πιο πρώιµο Πάσχα ηµήτρη Ι. Μπουνάκη Σχ. Συµβούλου Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Στην µνήµη του αείµνηστου θείου και ασκάλου µου Μανώλη. Μπουνάκη Ο φετινός εορτασµός του Πάσχα των ορθοδόξων χριστιανών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ

Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Το Πάσχα είναι µια µεγάλη εορτή του Ιουδαϊσµού που καθιερώθηκε για να γιορτάζεται η ανάµνηση της διάβασης των Εβραίων από την

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα

Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Σχολικό έτος 2013-14 Καθορισμός ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα ΚΑΡΑΜΠΕΛΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τάξη : Α1 ΤΟ ΑΓΙΟ ΠΑΣΧΑ: Η γιορτή και ο υπολογισμός της ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Η ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΤΟΥ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Μια από τις µεγάλες κατακτήσεις του ανθρώπου είναι η κατανόηση και η µέτρηση του χρόνου. Οι πρώτοι άνθρωποι στη γη, για

Διαβάστε περισσότερα

Tο Ημερολόγιο διά μέσου των Αιώνων

Tο Ημερολόγιο διά μέσου των Αιώνων Tο Ημερολόγιο διά μέσου των Αιώνων H Μαθηματική Σκέψη οδήγησε στην Μέτρηση του Χρόνου... έτσι ήρθαν και τα δίσεκτα χρόνια... Δημήτρης Μπουνάκης Καθηγητής Μαθηματικών, τ. Σ.Σ.Μ. Ημερολόγος dimitrmp@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΩΝ. Η ιστορία του ημερολογίου και η προτεινόμενη ημερολογιακή μεταρρύθμιση

ΠΕΡΙ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΩΝ. Η ιστορία του ημερολογίου και η προτεινόμενη ημερολογιακή μεταρρύθμιση ΠΕΡΙ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΩΝ Η ιστορία του ημερολογίου και η προτεινόμενη ημερολογιακή μεταρρύθμιση Πολυχρόνης Καραγκιοζίδης Χημικός Σχολικός Σύμβουλος Site: www.polkarag.gr ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Έτος: Είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

*(Κάποιες φορές η περιστροφή της γης καθυστερεί οπότε προσθέτουμε ένα επιπλέον δευτερόλεπτο το χρόνο εκείνο)

*(Κάποιες φορές η περιστροφή της γης καθυστερεί οπότε προσθέτουμε ένα επιπλέον δευτερόλεπτο το χρόνο εκείνο) Από αρχαιοτάτων χρόνων οι άνθρωποι θέλησαν να σπάσουν κάτι που είναι συνεχές και μονότονο: το χρόνο Η περιστροφή της γης γύρω από τον εαυτό της δημιουργεί τη μέρα και τη νύχτα δηλαδή τη περιοδικότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Η Μεγάλη Νύχτα. Το Χειμερινό Ηλιοστάσιο και τα Χριστούγεννα. Η Μεγάλη Νύχτα του Διονύση Π. Σιμόπουλου 1/5

Η Μεγάλη Νύχτα. Το Χειμερινό Ηλιοστάσιο και τα Χριστούγεννα. Η Μεγάλη Νύχτα του Διονύση Π. Σιμόπουλου 1/5 Η Μεγάλη Νύχτα του Διονύση Π. Σιμόπουλου 1/5 Το Χειμερινό Ηλιοστάσιο και τα Χριστούγεννα Η Μεγάλη Νύχτα Του Διονύση Π. Σιμόπουλου Διευθυντή Ευγενιδείου Πλανηταρίου Η νύχτα της ερχόμενης Πέμπτης, 22 Δεκεμβρίου,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης Σχολικό Έτος 2006 2007 Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Τρίτη 10 Οκτωβρίου στο Σ Ε Αλεξανδρούπολης. 2 η Ώρα : Μαθηµατικά στο Β2. ΙΣΜΑΗΛ : Λεµονιά, θέλω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες μέτρησης χρόνου

Μονάδες μέτρησης χρόνου Μονάδες μέτρησης χρόνου ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικός Γραμματισμός ΤΑΞΗ: Α ΕΝΟΤΗΤΑ: Μονάδες μέτρησης χρόνου ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: Δραγανιδάκη Στυλιανή Διδακτικοί στόχοι: Α: Βασικοί στόχοι: 1. Να εξοικειωθούν στους αλγορίθμους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ. Οι εκλείψεις στην Ωριαία αστρολογία

ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ. Οι εκλείψεις στην Ωριαία αστρολογία ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ Οι εκλείψεις στην Ωριαία αστρολογία Οι εκλείψεις παίζουν σημαντικό ρόλο στην Ωριαία αστρολογία. Από τα βάθη των αιώνων μέχρι σήμερα πολλοί αστρονόμοι και αστρολόγοι έχουν μελετήσει το φαινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 41 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελέτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ

ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Το πρόβλημα: Δεδομένα: δύο ακέραιοι a και b Ζητούμενο: ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί και τους δύο δοσμένους αριθμούς, γνωστός ως Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους (Greatest

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 4. Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με το ΒΥΟΒ Ενότητα 4: Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων -1- Ενότητα 4. Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με το ΒΥΟΒ α. Υπολογισμός δύναμης ακεραίων Σε προηγούμενη ενότητα, είδαμε ότι το ΒΥΟΒ δεν γνωρίζει την πράξη της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΕΛΟΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΝΤΑΣ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΤΟ ΒΕΛΟΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΝΤΑΣ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΤΟ ΒΕΛΟΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΝΤΑΣ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ομάδα HSBTProject Ρωσσοπούλου Ναυσικά, Τραγόπουλος Βαγγέλης, Τσούμπελης Δημήτρης, Χατζοπούλου Μαργαρίτα H S B History Science Biology

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Μάθημα 3 ο (Κεφ. 2 ο ) Ν. Στεργιούλας Τα 3 πρώτα ορίζονται με βάση περιοδικές κινήσεις ουρανίων σωμάτων. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ Τα κυριότερα συστήματα χρόνου στην Αστρονομία: (α) Αστρικός

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο 43 2.55 Ποιες είναι οι δύο μορφές της δομής πολλαπλής επιλογής και ποτέ χρησιμοποιείται; 1 η Μορφή:Η πολλαπλή επιλογή εφαρμόζεται στα προβλήματα όπου μπορούν να ληφθούν διαφορετικές αποφάσεις ανάλογα με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑΜΕ ΤΟ ΜΗΚΟΣ. Υποδιαιρέσεις του μέτρου. 1 m = 100 mm και 1 mm = 1000 m ή 0,001 m. Πολλαπλάσια του μέτρου

ΜΕΤΡΑΜΕ ΤΟ ΜΗΚΟΣ. Υποδιαιρέσεις του μέτρου. 1 m = 100 mm και 1 mm = 1000 m ή 0,001 m. Πολλαπλάσια του μέτρου ΜΕΤΡΑΜΕ ΤΟ ΜΗΚΟΣ Για να μετρήσουμε τις διαστάσεις των σωμάτων, δηλαδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος, καθώς και τις αποστάσεις στην ξηρά, χρησιμοποιούμε σαν μονάδα μέτρησης το μέτρο. Το μέτρο συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Παρατήρησης

Πρόγραμμα Παρατήρησης Πρόγραμμα Παρατήρησης Η αναζήτηση του ζοφερού ουρανού Άγγελος Κιοσκλής Οκτώβριος 2005 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ * η παρατήρηση πραγματοποιείται κατά προτίμηση όταν η Σελήνη δεν εμφανίζεται στον ουρανό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 2. Το σφάλµα προσέγγισης είναι πάντοτε θετικό. Μονάδες 1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Αλέξανδρος-Μιχαήλ Χατζηλύρας katoomba@cytanet.com.cy

Αλέξανδρος-Μιχαήλ Χατζηλύρας katoomba@cytanet.com.cy Ο ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ Θεωρείται η μεγαλύτερη γιορτή του Χριστιανισμού. Ο ημερολογιακός καθορισμός του Πάσχα, φαινομενικά ένα καθαρά αστρονομικό θέμα (άρα και τυπικό ζήτημα), έχει αναμφισβήτητα

Διαβάστε περισσότερα

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ»

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» Δημ. Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών (Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 6, 2009, του περιοδικού «φ») Στο τελευταίο τεύχος (5 ο, 2008) του

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Εργάσιμες 78. 2009 2 Ο + 3 Ο Τρίμηνο. 2 ο Εργάσιμες 64. Μέρες και ημερομηνίες. Έτος Τρίμηνο Μήνας. Αργίες 2. Δεκέμβρης

1 ο Εργάσιμες 78. 2009 2 Ο + 3 Ο Τρίμηνο. 2 ο Εργάσιμες 64. Μέρες και ημερομηνίες. Έτος Τρίμηνο Μήνας. Αργίες 2. Δεκέμβρης Ημερολόγιο εργάσιμων και αργιών σχολικού έτους 008-009 Έτος Τρίμηνο Μήνας 008 ο 78 75 ΔΕΥΤ 6 ΤΡΙΤ 4 ΤΕΤΑ 4 ΠΕΜΠ 5 ΠΑΡΑ 6 Σεπτέμβρης Οκτώβρης Νοέμβρης Δεκέμβρης Μέρες και ημερομηνίες Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΟΥΆΡΙΟΣ 31 ΤΡΊΤΗ 1 ΚΥΡΙΑΚΉ 30 ΔΕΥΤΈΡΑ 20 ΠΑΡΑΣΚΕΥΉ 25 ΤΕΤΆΡΤΗ 26 ΠΈΜΠΤΗ 28 ΣΆΒΒΑΤΟ 22 ΚΥΡΙΑΚΉ 6 ΠΑΡΑΣΚΕΥΉ 7 ΣΆΒΒΑΤΟ 8 ΚΥΡΙΑΚΉ 9 ΔΕΥΤΈΡΑ

ΙΑΝΟΥΆΡΙΟΣ 31 ΤΡΊΤΗ 1 ΚΥΡΙΑΚΉ 30 ΔΕΥΤΈΡΑ 20 ΠΑΡΑΣΚΕΥΉ 25 ΤΕΤΆΡΤΗ 26 ΠΈΜΠΤΗ 28 ΣΆΒΒΑΤΟ 22 ΚΥΡΙΑΚΉ 6 ΠΑΡΑΣΚΕΥΉ 7 ΣΆΒΒΑΤΟ 8 ΚΥΡΙΑΚΉ 9 ΔΕΥΤΈΡΑ ΙΑΝΟΥΆΡΙΟΣ Δεκέμβριος 2016 1 ΚΥΡΙΑΚΉ Πρωτοχρονιά 17 ΤΡΊΤΗ Φεβρουάριος 1 Πέμπτη 2 Παρασκευή 3 Σάββατο 4 Κυριακή 5 Δευτέρα 6 Τρίτη 7 Τετάρτη 8 Πέμπτη 9 Παρασκευή 10 Σάββατο 11 Κυριακή 12 Δευτέρα 13 Τρίτη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ

ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ του Θεόφιλου Κανακάρη Μεταπτυχιακό Μάθημα : Διπλωματική Εργασία Επιβλέποντες Καθηγητές

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Επαναληπτικό Φυλλάδιο Μαθηματικών Α Γυμνασίου uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 3 η έκδοση 29/04/15

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

6 ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» 14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» 14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΡΟΔΟΠΗΣ Φιλίππου 33 69 13 ΚΟΜΟΤΗΝΗ Τηλ. 5310805 Πρόεδρος εξεταστικού 697335814 e-mail: emerodopis@gmail.com ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου

Διαβάστε περισσότερα