1 TIES ES IR PLOK TUMOS
|
|
- Ἥβη Βιλαέτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas ortas (vienetinio ilgio vektorius) n 0, einantis i² koordina iu centro link plo²tumos α ir statmenas jai; atstumas p nuo plok²tumos α iki koordina iu pradºios ta²ko O Tarkime, M yra bet kuris plok²tumos α ta²kas, N plok²tumos α ir tieses, lygiagre ios vektoriui n 0 ir einan ios per koordina iu pradºios ta²k O, susikirtimo ta²kas Ai²ku, kad vektoriaus OM projekcija i vektoriu n 0 yra lygi ON, o ON = p Paºymekime r = OM Tuomet (11) Pr n 0 r = p Pasinaudoj vektoriu skaliarines sandaugos savybemis, (11) s lyg galime uºra²yti taip: (1) ( r, n 0 ) p = 0 (1) lygtis vadinama normaline plok²tumos lygtimi (vektorine forma) Ortas n 0 vadinamas plok²tumos α normale arba normaliniu vektoriumi Vis apra²yt proced ur galime paºodºiui pakartoti tiesei plok²tumoje Tieses α padetis koordina iu sistemos Oxy atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas ortas (vienetinio ilgio vektorius) n 0, statmenas tiesei α; atstumas p nuo tieses α iki koordina iu pradºios ta²ko O Tarkime, M yra bet kuris tieses α ta²kas, N tieses α ir tieses, lygiagre ios vektoriui n 0 ir einan ios per koordina iu pradºios ta²k O, susikirtimo ta²kas Ai²ku, kad vektoriaus OM projekcija i vektoriu n 0 yra lygi ON, o ON = p Paºymekime r = OM Tuomet (13) Pr n 0 r = p 1
2 Pasinaudoj vektoriu skaliarines sandaugos savybemis, (13) s lyg galime uºra²yti taip: (14) ( r, n 0 ) p = 0 (14) lygtis vadinama normaline ties es plok²tumoje lygtimi (vektorine forma) 11 Koordinatin e forma Tarkime, kad vektorius n 0 su koordina iu a²imis sudaro kampus α, β, γ Tuomet jo projekcijos i koordinatines a²is yra lygios ²iu kampu kosinusams ir, uºra² vektoriu n 0 koordinatine forma, turesime: n 0 = (cos α, cos β, cos γ) Tegul ta²ko M koordinates yra x, y, z, ty r = (x, y, z) Tuomet (1) lygti galime uºra²yti taip: (15) x cos α + y cos β + z cos γ p = 0 (15) lygtis vadinama plok²tumos normaline lygtimi (koordinatine forma) Visi²kai analogi²kai gautume ties es plok²tumoje normalin lygti (koordinatine forma): (16) x cos α + y sin α p = 0 iuo atveju cos β = sin α Gavome svarbu dalyk Teorema 1 Kiekviena plok²tuma apra²oma pirmojo laipsnio lygtimi Taip pat kiekviena tiese plok²tumoje apra²oma pirmojo laipsnio lygtimi Kitame skyrelyje parodysime, kad kiekviena pirmojo laipsnio lygtis apibreºia plok²tum (ties plok²tumoje) 1 Bendroji plok²tumos ir bendroji ties es plok²tumoje lygtys Teorema Kiekviena pirmojo laipsnio lygtis (17) Ax + By + Cz + D = 0 apra²o plok²tum Irodymas Paºymekime n = (A, B, C), r = (x, y, z) Tuomet (17) lygyb galime uºra²yti taip: (18) ( r, n ) + D = 0 (18) lygyb padalinkime i² vektoriaus n ilgio n Gausime ( ) (19) r n, + D n n = 0
3 1 Tegul D 0 Paºymekime n n = n 0 ir uºra²yti taip: (110) ( r, n 0 ) p = 0 D n = p Dabar (19) galime Gautoji lygtis apra²o plok²tum, kuri yra statmena ortui n 0, o jos atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko yra lygus p Tegul D > 0 Padauginkime (19) i² 1 Turesime ( ) (111) r n, D n n = 0 Kad p b utu teigiamas, ²iuo atveju paºymekime uºra²yti taip: (11) ( r, n 0 ) p = 0 D = +p Dabar (111) galime n Ir ²iuo atveju gautoji lygtis apra²o plok²tum, kuri yra statmena ortui n 0 (taip pat ir ortui n 0 ), o jos atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko yra lygus p I² teremos irodymo i²plaukia, kad (17) plok²tumos normales n 0 koordinatiniai kosinusai ir atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko p yra lyg us: A cos α = ± A + B + C, (113) B cos β = ± A + B + C, C cos γ = ± A + B + C, D p = ± A + B + C ƒia vir²utinis ºenklas "+" imamas, kai D 0 ir " ", kai D > 0 Visi²kai analogi²kai galima parodyti, kad lygtis (114) Ax + By + C = 0 apibreºia ties plok²tumoje (17) lygtis vadinama bendr ja plok²tumos lygtimi, o (114) lygtis bendr ja ties es plok²tumoje lygtimi Uºduotis Kokia plok²tumos, apra²omos lygtimi Ax+By+Cz+D = 0, padetis, kai 1 D = 0; vienas i² koecientu A, B arba C lygus nuliui; 3 du i² koecientu A, B, C lyg us nuliui; 4 trys koecientai A, B ir D lyg us nuliui 3
4 Uºduotis Kokia tieses, apra²omos lygtimi Ax + By + C = 0, padetis, kai 1 C = 0; vienas i² koecientu A arba B lygus nuliui; 3 du koecientai A ir C lyg us nuliui 13 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje a²in es lygtys Kai bendrojoje plok²tumos lygtyje Ax + By + Cz + D = 0 ne vienas koecientas nelygus nuliui, perkel D i de²in pus ir padalij lygti i² D, gausime plok²tumos a²in lygti: (115) x a + y b + z c = 1 A²in lygti tenkina ta²kai M(a, 0, 0), N(0, b, 0), P (0, 0, c) Taigi ji parodo kuriuose ta²kuose plok²tuma kerta koordinatines a²is Ties es plok²tumoje a²in e lygtis: (116) x a + y b = 1 14 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje, einan iu per duot ta²k lygtys Plok²tumos, einan ios per ta²k M 0 (x 0, y 0, z 0 ), lygtis: (117) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 () apra²o plok²tum, ne tik einan i per ta²k M 0 (x 0, y 0, z 0 ), bet ir statmen vektoriui n = (A, B, C) Keisdami koecientus tokiu lyg iu gausime daug Plok²tumos tieses, einan ios per ta²k M 0 (x 0, y 0 ), lygtis: (118) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 15 Plok²tumos, einan ios per tris duotus ta²kus lygtis Plok²tumos, einan ios per tris duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0, z 0 ), M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ir M (x, y, z )lygtis: (119) x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x x 0 y y 0 z z 0 = 0 Uºduotis Apra²ykite plok²tumu aib, einan i per du duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0, z 0 ) ir M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 4
5 16 Plok²tumos ties es, einan ios per du duotus ta²kus lygtis Plok²tomos tieses, einan ios per du duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0 ) ir M 1 (x 1, y 1 ) lygtis: (10) x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 17 Kryptin es plok²tumos tiesiu lygtys Jei plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 koecientas B 0, tai ²i ties galima uºra²yti kryptine ties es lygtimi: (11) y = kx + b ƒia koecientas k = tg α, o α kampas, kuri tiese sudaro su x a²imi koecientas A 0, tai ties galima uºra²yti kryptine ties es lygtimi: O jei (1) x = lx + c ƒia koecientas l = tg β, o β kampas, kuri tiese sudaro su y a²imi 18 Kampai tarp plok²tumu ir plok²tumos tiesiu Tarkime, turime dvi plok²tumas A 1 x+b 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A x+b y +C z + D = 0 Tegul ϕ yra kampas tarp ²iu plok²tumu Vektoriai n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) ir n = (A, B, C ) yra statmeni ²ioms plok²tumoms ir kampas tarp ²iu vektoriu yra lygus kampui tarp plo²tumu I² vektoriu skaliarines sandaugos savybiu i²plaukia, kad kampo tarp plok²tumu kosinusas (13) cos ϕ = A 1 A + B 1 B + C 1 C A 1 + B1 + C 1 A + B + C Sakykime, turime dvi tieses A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A x + B y + C = 0 Tegul α yra kampas tarp ²iu tiesiu Visi²kai analogi²kai gautume, kad kampo tarp plok²tumos tiesiu kosinusas (14) cos α = A 1 A + B 1 B A 1 + B1 A + B 181 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu statmenumas I² kampo tarp plok²tumu (13) formules gausime, kad plok²tumu A 1 x+b 1 y+ C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 statmenumo s lyga yra tokia: (15) A 1 A + B 1 B + C 1 C = 0 I² (14) formules gausime plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 statmenumo s lyg : (16) A 1 A + B 1 B = 0 5
6 18 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu lygiagretumas Kad plok²tumos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 b utu lygiagre ios reikia, kad ir vektoriai n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) ir n = (A, B, C ) b utu lygiagret us, ty, kad ju koordinates b utu proporcingos Taigi, plok²tumu A 1 x+b 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A x+b y +C z +D = 0 lygiagretumo s lyga: (17) A 1 A = B 1 B = C 1 C Plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A x + B y + C = 0 lygiagretumo s lyga: (18) A 1 A = B 1 B 19 Ties es parametrin e lygtis 191 Vektorin e forma Pradekime nuo tieses erdveje Erdvines tieses padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas vienas jos ta²kas, tarkime, M 0 (x 0, y 0, z 0 ); lygiagretus tiesei vektorius, tarkime, s = (m, n, p) Tegul M(x, yz) yra bet kuris tieses ta²kas lygiagretus (ir proporcingas) vektoriui s Taigi M 0 M = t s I² vektoriu sumos savybiu i²- Tegul O yra koordina iu pradºios ta²kas plaukia, kad (19) Paºymekime r = OM, r 0 taip: OM = OM 0 + M 0 M Tuomet vektorius M 0 M yra = OM 0 Tuomet (147) lygyb galesime perra²yti (130) r = r0 + t s Tai ir yra ties es parametrin e lygtis vektorine forma (148) lygtis teisinga ir plok²tumos tiesei Uºtenka pakartoti tuos pa ius samprotavimus, tik vektoriai r, r 0 ir s tures po dvi koordinates 19 Koordinatin e forma Sulygin vektorines (148) lygties abieju pusiu koordinates gausime (131) x = x 0 + mt, y = y 0 + nt, z = z 0 + pt 6
7 Tai yra ties es erdv eje parametrin e lygtis koordinatine forma Ties es plok²tumoje parametrin e lygtis koordinatine forma tokia: (13) { x = x 0 + mt, y = y 0 + nt 110 Ties es kanonin es lygtys I² (131) lyg iu i²rei²k parametr t ir sulygin gautas i²rai²kas, turesime (133) x x 0 m = y y 0 = z z 0 n p Tai tieses erdveje kanonines lygtys Plok²tumos ties es kanonin e lygtis: (134) x x 0 m = y y 0 n 111 Bendroji ties es lygtis erdv eje Tiese erdveje gali b uti gaunama susikertant dviem plok²tumoms Todel bendroji ties es lygtis erdv eje: (135) { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A x + B y + C z + D = 0 11 Kampai tarp tiesiu, kai ties es duotos kanonin emis lygtimis Pradekime nuo erdviniu tiesiu: (136) x x 1 m = y y 1 = z z 1 n p ir (137) x x m = y y = z z n p Kampu tarp dvieju tiesiu erdveje vadinamas kampas tarp susikertan iu joms lygiagre iu vektoriu Taigi, kampas α tarp erdviniu tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimis gali b uti surastas naudojantis formule: (138) cos α = m 1 m + n 1 n + p 1 p m 1 + n 1 + p 1 m + n + p Jei turime tieses plok²tumoje: (139) x x 1 m = y y 1 n 7
8 ir (140) x x m = y y, n tai, kampas α tarp plok²tumos tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimis gali b uti surastas naudojantis formule: (141) cos α = m 1 m + n 1 n m 1 + n 1 m + n 111 Tiesiu lygiagretumas Erdv es tiesiu, apibreºtu (136) ir (137) lygtimis, lygiagretumo s lyga: (14) m 1 m = n 1 n = p 1 p Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (139) ir (140) lygtimis, lygiagretumo s - lyga: (143) m 1 m = n 1 n 11 Tiesiu statmenumas Erdv es tiesiu, apibreºtu (136) ir (137) lygtimis, statmenumo s lyga: (144) m 1 m + n 1 n + p 1 p = 0 Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (139) ir (140) lygtimis, statmenumo s - lyga: (145) m 1 m + n 1 n = Kampas tarp ties es ir plok²tumos Pirma suraskime kamp θ (θ [0, π)), tarp tiesei x x 0 m = y y 0 = z z 0 n p lygiagretaus vektoriaus s = (m, n, p) ir plok²tumai Ax + By + Cz + D = 0 statmeno vaktoriaus n = (A, B, C) To kampo kosinusas cos θ = Am + Bn + Cp A + B + C m + n + p Tarkime, α yra kampas tarp tieses ir plok²tumos Ai²ku, kad α [0, π/] Beto π [0, α = θ, jei θ π ], θ π ( π ), jei θ, π 8
9 [ Jeigu θ 0, π ] ( π ) ( π ), tai sin α = cos α = cos θ Jeigu θ, π, tai ( π ) sin α = cos α = cos(π θ) = cos θ Taigi kampo tarp tieses ir plok²tumos sinusas (146) sin θ = Am + Bn + Cp A + B + C m + n + p 1131 Ties es ir plok²tumos lygiagretumas I² (146) formules gauname Ties es ir plok²tumos lygiagretumo s lyg : (147) Am + Bn + Cp = Ties es ir plok²tumos statmenumas Tiese statmena plok²tumai, kai vektoriai n ir s lygiagret us, ty ju koordinates proporcingos Ties es ir plok²tumos statmenumo s lyg : (148) A m = B n = C p 114 Ta²ko atstumas nuo plok²tumos ir nuo ties es plok²tumoje Ta²ko M 0 (x 0, y 0, z 0 ) atstumas nuo plok²tumos Ax + By + Cz + D = 0 yra lygus (149) d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Ta²ko M 0 (x 0, y 0 ) atstum nuo plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 galima surasti naudojantis formule: (150) d = Ax 0 + By 0 + C A + B ANTROSIOS EIL ES KREIV ES 1 Elips e Apibr eºimas Elipse vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku suma yra pastovi Du pastov us ta²kai, minimi elipses apibreºime, vadinami elips es ºidiniais I²vesime elipses koordinatin lygti, kai elipses ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum c šidinius paºymekime F 1 ( c, 0) ir F (c, 0) Atstumas tarp ºidiniu bus lygus c Elipses ta²kus ºymekime 9
10 M(x, y) Tarkime, kad atstumu nuo elipses ta²ko iki ºidiniu suma (ji pastovi) lygi a Ai²ku ²i suma turi b uti nemaºesne uº atstum tarp ºidiniu, ty c a I² elipses apibreºimo turime F 1 M + F M = a Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime (x + c) + y + (x c) + y = a Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x + cx + c + y + (x + c) + y (x c) + y + x cx + c + y = 4a Arba suprastinus x + c + y a = (x + c) + y (x c) + y Dar kart pakeliame kvadratu: x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + x c + x y 4x a + c y 4c a 4y a = (x + cx + c + y )(x cx + c + y ) = x 4 cx 3 + x c + x y + cx 3 4c x + c 3 x + cxy + c x c 3 x + c 4 + c y + x y cxy + c y + y 4 Suprastiname: (a c )x + a y = a (a c ) Kai a > c galime abi lygties puses dalinti i² a (a c ) b = a c galutinai gausime elipses kanonin lygti: Ived paºymejim (1) x a + y b = 1 Kai a = c, turime ne elips, o tik atkarp : c x c, y = 0 Ta²kas O(0, 0) yra elipses (1) centras Past um elips taip, kad jos centras atsidurtu ta²ke C(x 0, y 0 ), gausime toki elipses kanonin lygti: () (x x 0 ) a + (y y 0) b = 1 Taigi ta²kas C(x 0, y 0 ) vadinamas elipses centru Ta²kai V x1 (x 0 +a, y 0 ), V x (x 0 a, y 0 ), V y1 (x 0, y 0 + b), V y (x 0, y 0 b) elipses vir² unemis Atkarpa V x1 V x didºi ja a²imi, o atkarpa V y1 V y maº ja a²imi a ir b yra didºiojo ir maºojo pusa²iu ilgiai Ta²kai F 1 (x 0 c, y 0 ) ir F (x 0 + c, y 0 ) vadinami elipses ºidiniais Kai a = b elipse virsta apskritimu Jeigu b > a elipse yra i²t sta y a²ies kryptimi ir ºidiniai bus i²sidest vertikaliai Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamos elipses simetrijos a²imis Skai ius ε = c vadinamas elipses ekscentricitetu Elipses ekscentricitetas visuomet yra maºesnis uº 1 ir parodo a kiek elipse skiriasi nuo apskritimo Kai ε = 0 elipses ºidiniai sutampa, pati elipse tampa apskritimu 10
11 11 Elips es parametrin e lygtis Ived parametr t elipses (1) kanonin lygti galime uºra²yti taip: (3) { x = a cos t, y = b sin t, (t [0, π)), o () kanonin lygti taip: (4) { x = x 0 + a cos t, y = y 0 + b sin t, (t [0, π)), (3) ir (4) lygtys vadinamos elips es parametrin emis lygtimis Hiperbol e Apibr eºimas Hiperbole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku skirtumo modulis yra pastovus Du pastov us ta²kai, minimi hiperboles apibreºime, vadinami hiperbol es ºidiniais I²vesime hiperboles koordinatin lygti, kai hiperboles ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum c šidinius paºymekime F 1 ( c, 0) ir F (c, 0) Atstumas tarp ºidiniu bus lygus c Hiperboles ta²kus ºymekime M(x, y) Tarkime, kad atstumu nuo hiperboles ta²ko iki ºidiniu skirtumas (jo modulis pastovus) lygus ±a io skirtumo modulis turi b uti nedidesnis uº atstum tarp ºidiniu, ty c a I² hiperboles apibreºimo turime F 1 M F M = ±a Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime (x + c) + y (x c) + y = ±a Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x + cx + c + y (x + c) + y (x c) + y + x cx + c + y = 4a Arba suprastinus x + c + y a = (x + c) + y (x c) + y Dar kart pakeliame kvadratu: x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + x c + x y 4x a + c y 4c a 4y a = (x + cx + c + y )(x cx + c + y ) = x 4 cx 3 + x c + x y + cx 3 4c x + c 3 x + cxy + c x c 3 x + c 4 + c y + x y cxy + c y + y 4 11
12 Suprastiname: (c a )x a y = a (c a ) Kai a < c galime abi lygties puses dalinti i² a (c a ) Ived paºymejim b = c a galutinai gausime hiperboles kanonin lygti: (5) x a y b = 1 Kai a = c, turime ne hiperbol, o tik dvi pustieses: x c, y = 0 ir x c, y = 0 Ta²kas O(0, 0) yra hiperboles (1) simetrijos centras Past um hiperbol taip, kad jos simetrijos centras atsidurtu ta²ke C(x 0, y 0 ), gausime toki hiperbol es kanonin lygti: (6) (x x 0 ) a (y y 0) b = 1 Taigi ta²kas C(x 0, y 0 ) vadinamas hiperboles simetrijos centru Ta²kai V x1 (x 0 + a, y 0 ), V x (x 0 a, y 0 ) hiperboles vir² unemis Ta²kai F 1 (x 0 c, y 0 ) ir F (x 0 + c, y 0 ) vadinami hiperboles ºidiniais Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamos hiperboles simetrijos a²imis Skai ius ε = c vadinamas hiperboles a ekscentricitetu Hiperboles ekscentricitetas visuomet yra didesnis uº 1 Tieses y = y 0 ± b a (x x 0) vadinamos hiperbol es asimptot emis Hiperboles grakas, kai x ± arteja prie ²iu tiesiu Lygtis (7) (x x 0) a + (y y 0) b = 1 taip pat yra hiperbol es kanonin e lygtis Tik ²ios hiperboles ºidiniai ir vir² unes i²sides iusios vertikaliai, o ²akos nukreiptos y a²ies teigiama ir neigiama kryptimis 3 Parabol e Apibr eºimas Prabole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, kuriu atstumai nuo pastovaus ta²ko ir pastovios tieses yra lyg us Pastovus ta²kas, minimas paraboles apibreºime, vadinamas parabol es ºidiniu, o pastovi tiese parabol es direktrise I²vesime paraboles koordinatin lygti, kai paraboles ºidinys guli x a²yje (teigiamoje dalyje), direktrise statmena x a²iai ir abu vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum p/ šidini paºymekime F (p/, 0) Atstumas tarp ºidinio ir direktrises bus lygus p Paraboles ta²kus ºymekime M(x, y) Direktrises ta²kai gali b uti ºymimi D( p/, y) I² paraboles apibreºimo turime F M = MD 1
13 Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime ( x p ) + y = x + p Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x px + p 4 + y = x + px + p 4 Suprastin gauname parabol es kanonin lygti: (8) y = px Kai a = c, turime ne hiperbol, o tik dvi pustieses: x c, y = 0 ir x c, y = 0 Ta²ke O(0, 0) yra parabol es (8) vir² un e Past um parabol taip, kad jos vir² une atsidurtu ta²ke V (x 0, y 0 ), gausime toki paraboles kanonin lygti: (9) (y y 0 ) = p(x x 0 ) Taigi ta²kas V (x 0, y 0 ) vadinamas paraboles vir² une Ta²kas F (x 0 +p/, y 0 ) vadinamas paraboles ºidiniu Tiese x = x 0 p/ vadinama paraboles direktrise Tiese y = y 0 yra paraboles simetrijos a²is Skai ius ε = 1 vadinamas parabol es ekscentricitetu Lygtys (10) (y y 0 ) = p(x x 0 ), (11) (x x 0 ) = p(y y 0 ), (1) (x x 0 ) = p(y y 0 ) taip pat yra paraboliu kanonin es lygtys Tik ²iu paraboliu ²akos nukreiptos neigiama x a²ies kryptimi, teigiama y a²ies kryptimi, neigiama y a²ies kryptimi, o simetrijos a²ys yra tieses y = y 0, x = x 0, x = x 0, atitinkamai 4 Antrosios eil es kreiviu lygties tyrimas Algebrines kreives klasikuojamos pagal ju lyg iu laipsnius Bendriausia antrojo laipsnio lygties forma: (13) a 11 x + a 1 xy + a y + a 10 x + a 0 y + a 00 = 0 Bent vienas i² koecientu a 11, a 1, a neturi b uti lygus nuliui, nes prie²ingu atveju turesime pirmos eiles lygti (apibreºian i plok²tum ) Bet kuri antros eiles lygtis apibreºia elips, hiperbol, parabol I²imtiniais atvejais tai gali b uti tiese, dvi lygiagre ios tieses, dvi susikertan ios tieses, ta²kas ir net tu² ia aibe Panagrinesime visus atvejus 13
14 Pasukant koordina iu sistem (del laiko ir ºiniu tr ukumo mes to nedarysime) galima panaikinti antr ji lygties nari a 1 xy Po to, i²skiriant piln kvadrat ir atitinkamai pastumiant koordina iu sistem, galima panaikinti pirmojo laipsnio nari a 10 x, jei a 11 0, ir pirmojo laipsnio nari a 0 y, jei a 0 Tokia proced ura visi²kai nesunki Po tokiu operaciju turesime paprastesn lygti, kuri ir patyrinesime Tai b utu viena i² lyg iu: (14) Ax + By + C = 0, A 0 arba B 0, (15) Ax + Dy + C = 0, A 0, (16) By + Ex + C = 0, B 0 Tarkime, kad (14) lygtyje A > 0 Tuomet (14) lygtis apibreºia: elips, jei B > 0, C < 0;, jei B > 0, C > 0; ta²k, jei B > 0, C = 0; hiperbol, jei B < 0, C 0; dvi susikertan ias tieses, jei B < 0, C = 0; dvi lygiagre ias tieses, jei B = 0, C < 0; ties, jei B = 0, C = 0;, jei B = 0, C > 0 Kai koecientas B > 0, galime nagrineti analogi²kai Nemaºindami bendrumo galime laikyti, kad (15) lygties koecientas A > 0 Prie²ingu atveju lygti galima padauginti i² 1 (15) lygtis apibreºia: parabol, jei D 0; dvi lygiagre ias tieses, jei D = 0, C < 0; ties, jei D = 0, C = 0;, jei D = 0, C > 0 (16) lygti galime nagrineti analogi²kai kaip ir (15) 3 ANTROSIOS EIL ES PAVIR IAI iame skyrelyje pateiksime tik kai kuriu paprastesniu antros eiles pavir²iu analizines i²rai²kas Apibr eºimas Pavir²ius, kuri sudaro plok² i ja kreive judedama tiese, kai jos vienas ta²kas lieka pastovus, vadinamas k uginiu pavir²iumi Apibr eºimas Pavir²ius, kuri sudaro plok² i ja kreive lygiagre iai judedama tiese, vadinamas cilindriniu pavir²iumi 14
15 Apibr eºimas Pavir²ius, gaunamas sukant kreiv apie ties (taip, kad kreives ta²kai breºtu apskritimus, statmenus tai tiesei, ir apskritimu centrai guletu toje tieseje), vadinamas sukimosi pavir²iumi Minima tiese vadinama sukimosi a²imi (31) x a + y b z c = 0 tai antrosios eiles k ugio lygtis Koordina iu pradºios ta²kas O yra ²io k ugio simetrijos centras, o koordina iu plok²tumos xy, xz, yz pavir²iaus simetrijos plok²tumos (3) x a + y a + z c = 1 tai sukimosi elipsoidas Sukimosi a²is yra z a²is Tria²is elipsoidas: (33) (34) Viena²akis sukimosi hiperboloidas: Sukimosi a²is yra z a²is Viena²akis hiperboloidas: (35) (36) Dvi²akis sukimosi hiperboloidas: Sukimosi a²is yra x a²is Dvi²akis hiperboloidas: (37) Sukimosi paraboloidas: x a + y b + z c = 1 x a + y a z c = 1 x a + y b z c = 1 x a y c z c = 1 x a y b z c = 1 (38) x + y = pz Sukimosi a²is yra z a²is Elipsinis paraboloidas: (39) x p + y = z, pq > 0 q Hiperbolinis paraboloidas: (310) x p y = z, pq > 0 q 15
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραMatematinis modeliavimas
ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραKLASIKIN E MECHANIKA
KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότερα1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos
1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραVilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA
VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραt. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.
LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότερα2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότεραTRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA
Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius
Διαβάστε περισσότεραSheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραElektrotechnikos pagrindai
Valentinas Zaveckas Elektrotechnikos pagrindai Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 Vilnius Technika 2012 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραP P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra Juozas Navickas FIZIKA I dalis MOKOMOJI KNYGA KAUNAS, ARDIVA 8 UDK 53(75.8) Na95 Juozas Navickas FIZIKA, I dalis
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραGabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas. Astronomijos pratybų užduočių komplektas
Gabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas Astronomijos pratybų užduočių komplektas Vilnius 2014 1 Įvadas 1.1 Astronomijos olimpiados Lietuvoje kylant moksleivių susidomėjimu astronomijos olimpiada buvo pastebėta,
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραMECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA
LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis
LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραTEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότερα6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais?
Matematikos istorijos egzamino klausimai 2014 Klausimo verte 2/3 balo. Pavyzdºiui, jei per semestr sukaupete 3 balus, tai j usu egzamino uºduotyje bus 7 3/2 10 klausimu. 1. Skai iai ir skai iavimai 1.
Διαβάστε περισσότερα. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai)
0 m. ietuvos 6-ojo fizikos čempionato UŽDUOČŲ SPRENDMA 0 m. gruodžio 6 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas 0 taškų, visa galimų taškų suma 00). Pervyniojant transformatoriaus ritę buvo pastebėta, kad ritėje
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραFizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas
Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραLietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas. Algirdas Antanavičius. Mokomoji knyga
Lietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Algirdas Antanavičius GEODEZIJOS PAGRINDAI Mokomoji knyga Akademija, 2007 Redaktorė: M. Židonienė turinys ĮVADAS... 1. Geodezijos
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραAUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA
Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότερα1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότερα