1 TIES ES IR PLOK TUMOS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 TIES ES IR PLOK TUMOS"

Transcript

1 G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas ortas (vienetinio ilgio vektorius) n 0, einantis i² koordina iu centro link plo²tumos α ir statmenas jai; atstumas p nuo plok²tumos α iki koordina iu pradºios ta²ko O Tarkime, M yra bet kuris plok²tumos α ta²kas, N plok²tumos α ir tieses, lygiagre ios vektoriui n 0 ir einan ios per koordina iu pradºios ta²k O, susikirtimo ta²kas Ai²ku, kad vektoriaus OM projekcija i vektoriu n 0 yra lygi ON, o ON = p Paºymekime r = OM Tuomet (11) Pr n 0 r = p Pasinaudoj vektoriu skaliarines sandaugos savybemis, (11) s lyg galime uºra²yti taip: (1) ( r, n 0 ) p = 0 (1) lygtis vadinama normaline plok²tumos lygtimi (vektorine forma) Ortas n 0 vadinamas plok²tumos α normale arba normaliniu vektoriumi Vis apra²yt proced ur galime paºodºiui pakartoti tiesei plok²tumoje Tieses α padetis koordina iu sistemos Oxy atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas ortas (vienetinio ilgio vektorius) n 0, statmenas tiesei α; atstumas p nuo tieses α iki koordina iu pradºios ta²ko O Tarkime, M yra bet kuris tieses α ta²kas, N tieses α ir tieses, lygiagre ios vektoriui n 0 ir einan ios per koordina iu pradºios ta²k O, susikirtimo ta²kas Ai²ku, kad vektoriaus OM projekcija i vektoriu n 0 yra lygi ON, o ON = p Paºymekime r = OM Tuomet (13) Pr n 0 r = p 1

2 Pasinaudoj vektoriu skaliarines sandaugos savybemis, (13) s lyg galime uºra²yti taip: (14) ( r, n 0 ) p = 0 (14) lygtis vadinama normaline ties es plok²tumoje lygtimi (vektorine forma) 11 Koordinatin e forma Tarkime, kad vektorius n 0 su koordina iu a²imis sudaro kampus α, β, γ Tuomet jo projekcijos i koordinatines a²is yra lygios ²iu kampu kosinusams ir, uºra² vektoriu n 0 koordinatine forma, turesime: n 0 = (cos α, cos β, cos γ) Tegul ta²ko M koordinates yra x, y, z, ty r = (x, y, z) Tuomet (1) lygti galime uºra²yti taip: (15) x cos α + y cos β + z cos γ p = 0 (15) lygtis vadinama plok²tumos normaline lygtimi (koordinatine forma) Visi²kai analogi²kai gautume ties es plok²tumoje normalin lygti (koordinatine forma): (16) x cos α + y sin α p = 0 iuo atveju cos β = sin α Gavome svarbu dalyk Teorema 1 Kiekviena plok²tuma apra²oma pirmojo laipsnio lygtimi Taip pat kiekviena tiese plok²tumoje apra²oma pirmojo laipsnio lygtimi Kitame skyrelyje parodysime, kad kiekviena pirmojo laipsnio lygtis apibreºia plok²tum (ties plok²tumoje) 1 Bendroji plok²tumos ir bendroji ties es plok²tumoje lygtys Teorema Kiekviena pirmojo laipsnio lygtis (17) Ax + By + Cz + D = 0 apra²o plok²tum Irodymas Paºymekime n = (A, B, C), r = (x, y, z) Tuomet (17) lygyb galime uºra²yti taip: (18) ( r, n ) + D = 0 (18) lygyb padalinkime i² vektoriaus n ilgio n Gausime ( ) (19) r n, + D n n = 0

3 1 Tegul D 0 Paºymekime n n = n 0 ir uºra²yti taip: (110) ( r, n 0 ) p = 0 D n = p Dabar (19) galime Gautoji lygtis apra²o plok²tum, kuri yra statmena ortui n 0, o jos atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko yra lygus p Tegul D > 0 Padauginkime (19) i² 1 Turesime ( ) (111) r n, D n n = 0 Kad p b utu teigiamas, ²iuo atveju paºymekime uºra²yti taip: (11) ( r, n 0 ) p = 0 D = +p Dabar (111) galime n Ir ²iuo atveju gautoji lygtis apra²o plok²tum, kuri yra statmena ortui n 0 (taip pat ir ortui n 0 ), o jos atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko yra lygus p I² teremos irodymo i²plaukia, kad (17) plok²tumos normales n 0 koordinatiniai kosinusai ir atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko p yra lyg us: A cos α = ± A + B + C, (113) B cos β = ± A + B + C, C cos γ = ± A + B + C, D p = ± A + B + C ƒia vir²utinis ºenklas "+" imamas, kai D 0 ir " ", kai D > 0 Visi²kai analogi²kai galima parodyti, kad lygtis (114) Ax + By + C = 0 apibreºia ties plok²tumoje (17) lygtis vadinama bendr ja plok²tumos lygtimi, o (114) lygtis bendr ja ties es plok²tumoje lygtimi Uºduotis Kokia plok²tumos, apra²omos lygtimi Ax+By+Cz+D = 0, padetis, kai 1 D = 0; vienas i² koecientu A, B arba C lygus nuliui; 3 du i² koecientu A, B, C lyg us nuliui; 4 trys koecientai A, B ir D lyg us nuliui 3

4 Uºduotis Kokia tieses, apra²omos lygtimi Ax + By + C = 0, padetis, kai 1 C = 0; vienas i² koecientu A arba B lygus nuliui; 3 du koecientai A ir C lyg us nuliui 13 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje a²in es lygtys Kai bendrojoje plok²tumos lygtyje Ax + By + Cz + D = 0 ne vienas koecientas nelygus nuliui, perkel D i de²in pus ir padalij lygti i² D, gausime plok²tumos a²in lygti: (115) x a + y b + z c = 1 A²in lygti tenkina ta²kai M(a, 0, 0), N(0, b, 0), P (0, 0, c) Taigi ji parodo kuriuose ta²kuose plok²tuma kerta koordinatines a²is Ties es plok²tumoje a²in e lygtis: (116) x a + y b = 1 14 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje, einan iu per duot ta²k lygtys Plok²tumos, einan ios per ta²k M 0 (x 0, y 0, z 0 ), lygtis: (117) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 () apra²o plok²tum, ne tik einan i per ta²k M 0 (x 0, y 0, z 0 ), bet ir statmen vektoriui n = (A, B, C) Keisdami koecientus tokiu lyg iu gausime daug Plok²tumos tieses, einan ios per ta²k M 0 (x 0, y 0 ), lygtis: (118) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 15 Plok²tumos, einan ios per tris duotus ta²kus lygtis Plok²tumos, einan ios per tris duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0, z 0 ), M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ir M (x, y, z )lygtis: (119) x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x x 0 y y 0 z z 0 = 0 Uºduotis Apra²ykite plok²tumu aib, einan i per du duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0, z 0 ) ir M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 4

5 16 Plok²tumos ties es, einan ios per du duotus ta²kus lygtis Plok²tomos tieses, einan ios per du duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0 ) ir M 1 (x 1, y 1 ) lygtis: (10) x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 17 Kryptin es plok²tumos tiesiu lygtys Jei plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 koecientas B 0, tai ²i ties galima uºra²yti kryptine ties es lygtimi: (11) y = kx + b ƒia koecientas k = tg α, o α kampas, kuri tiese sudaro su x a²imi koecientas A 0, tai ties galima uºra²yti kryptine ties es lygtimi: O jei (1) x = lx + c ƒia koecientas l = tg β, o β kampas, kuri tiese sudaro su y a²imi 18 Kampai tarp plok²tumu ir plok²tumos tiesiu Tarkime, turime dvi plok²tumas A 1 x+b 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A x+b y +C z + D = 0 Tegul ϕ yra kampas tarp ²iu plok²tumu Vektoriai n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) ir n = (A, B, C ) yra statmeni ²ioms plok²tumoms ir kampas tarp ²iu vektoriu yra lygus kampui tarp plo²tumu I² vektoriu skaliarines sandaugos savybiu i²plaukia, kad kampo tarp plok²tumu kosinusas (13) cos ϕ = A 1 A + B 1 B + C 1 C A 1 + B1 + C 1 A + B + C Sakykime, turime dvi tieses A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A x + B y + C = 0 Tegul α yra kampas tarp ²iu tiesiu Visi²kai analogi²kai gautume, kad kampo tarp plok²tumos tiesiu kosinusas (14) cos α = A 1 A + B 1 B A 1 + B1 A + B 181 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu statmenumas I² kampo tarp plok²tumu (13) formules gausime, kad plok²tumu A 1 x+b 1 y+ C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 statmenumo s lyga yra tokia: (15) A 1 A + B 1 B + C 1 C = 0 I² (14) formules gausime plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 statmenumo s lyg : (16) A 1 A + B 1 B = 0 5

6 18 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu lygiagretumas Kad plok²tumos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 b utu lygiagre ios reikia, kad ir vektoriai n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) ir n = (A, B, C ) b utu lygiagret us, ty, kad ju koordinates b utu proporcingos Taigi, plok²tumu A 1 x+b 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A x+b y +C z +D = 0 lygiagretumo s lyga: (17) A 1 A = B 1 B = C 1 C Plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A x + B y + C = 0 lygiagretumo s lyga: (18) A 1 A = B 1 B 19 Ties es parametrin e lygtis 191 Vektorin e forma Pradekime nuo tieses erdveje Erdvines tieses padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas vienas jos ta²kas, tarkime, M 0 (x 0, y 0, z 0 ); lygiagretus tiesei vektorius, tarkime, s = (m, n, p) Tegul M(x, yz) yra bet kuris tieses ta²kas lygiagretus (ir proporcingas) vektoriui s Taigi M 0 M = t s I² vektoriu sumos savybiu i²- Tegul O yra koordina iu pradºios ta²kas plaukia, kad (19) Paºymekime r = OM, r 0 taip: OM = OM 0 + M 0 M Tuomet vektorius M 0 M yra = OM 0 Tuomet (147) lygyb galesime perra²yti (130) r = r0 + t s Tai ir yra ties es parametrin e lygtis vektorine forma (148) lygtis teisinga ir plok²tumos tiesei Uºtenka pakartoti tuos pa ius samprotavimus, tik vektoriai r, r 0 ir s tures po dvi koordinates 19 Koordinatin e forma Sulygin vektorines (148) lygties abieju pusiu koordinates gausime (131) x = x 0 + mt, y = y 0 + nt, z = z 0 + pt 6

7 Tai yra ties es erdv eje parametrin e lygtis koordinatine forma Ties es plok²tumoje parametrin e lygtis koordinatine forma tokia: (13) { x = x 0 + mt, y = y 0 + nt 110 Ties es kanonin es lygtys I² (131) lyg iu i²rei²k parametr t ir sulygin gautas i²rai²kas, turesime (133) x x 0 m = y y 0 = z z 0 n p Tai tieses erdveje kanonines lygtys Plok²tumos ties es kanonin e lygtis: (134) x x 0 m = y y 0 n 111 Bendroji ties es lygtis erdv eje Tiese erdveje gali b uti gaunama susikertant dviem plok²tumoms Todel bendroji ties es lygtis erdv eje: (135) { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A x + B y + C z + D = 0 11 Kampai tarp tiesiu, kai ties es duotos kanonin emis lygtimis Pradekime nuo erdviniu tiesiu: (136) x x 1 m = y y 1 = z z 1 n p ir (137) x x m = y y = z z n p Kampu tarp dvieju tiesiu erdveje vadinamas kampas tarp susikertan iu joms lygiagre iu vektoriu Taigi, kampas α tarp erdviniu tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimis gali b uti surastas naudojantis formule: (138) cos α = m 1 m + n 1 n + p 1 p m 1 + n 1 + p 1 m + n + p Jei turime tieses plok²tumoje: (139) x x 1 m = y y 1 n 7

8 ir (140) x x m = y y, n tai, kampas α tarp plok²tumos tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimis gali b uti surastas naudojantis formule: (141) cos α = m 1 m + n 1 n m 1 + n 1 m + n 111 Tiesiu lygiagretumas Erdv es tiesiu, apibreºtu (136) ir (137) lygtimis, lygiagretumo s lyga: (14) m 1 m = n 1 n = p 1 p Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (139) ir (140) lygtimis, lygiagretumo s - lyga: (143) m 1 m = n 1 n 11 Tiesiu statmenumas Erdv es tiesiu, apibreºtu (136) ir (137) lygtimis, statmenumo s lyga: (144) m 1 m + n 1 n + p 1 p = 0 Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (139) ir (140) lygtimis, statmenumo s - lyga: (145) m 1 m + n 1 n = Kampas tarp ties es ir plok²tumos Pirma suraskime kamp θ (θ [0, π)), tarp tiesei x x 0 m = y y 0 = z z 0 n p lygiagretaus vektoriaus s = (m, n, p) ir plok²tumai Ax + By + Cz + D = 0 statmeno vaktoriaus n = (A, B, C) To kampo kosinusas cos θ = Am + Bn + Cp A + B + C m + n + p Tarkime, α yra kampas tarp tieses ir plok²tumos Ai²ku, kad α [0, π/] Beto π [0, α = θ, jei θ π ], θ π ( π ), jei θ, π 8

9 [ Jeigu θ 0, π ] ( π ) ( π ), tai sin α = cos α = cos θ Jeigu θ, π, tai ( π ) sin α = cos α = cos(π θ) = cos θ Taigi kampo tarp tieses ir plok²tumos sinusas (146) sin θ = Am + Bn + Cp A + B + C m + n + p 1131 Ties es ir plok²tumos lygiagretumas I² (146) formules gauname Ties es ir plok²tumos lygiagretumo s lyg : (147) Am + Bn + Cp = Ties es ir plok²tumos statmenumas Tiese statmena plok²tumai, kai vektoriai n ir s lygiagret us, ty ju koordinates proporcingos Ties es ir plok²tumos statmenumo s lyg : (148) A m = B n = C p 114 Ta²ko atstumas nuo plok²tumos ir nuo ties es plok²tumoje Ta²ko M 0 (x 0, y 0, z 0 ) atstumas nuo plok²tumos Ax + By + Cz + D = 0 yra lygus (149) d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Ta²ko M 0 (x 0, y 0 ) atstum nuo plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 galima surasti naudojantis formule: (150) d = Ax 0 + By 0 + C A + B ANTROSIOS EIL ES KREIV ES 1 Elips e Apibr eºimas Elipse vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku suma yra pastovi Du pastov us ta²kai, minimi elipses apibreºime, vadinami elips es ºidiniais I²vesime elipses koordinatin lygti, kai elipses ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum c šidinius paºymekime F 1 ( c, 0) ir F (c, 0) Atstumas tarp ºidiniu bus lygus c Elipses ta²kus ºymekime 9

10 M(x, y) Tarkime, kad atstumu nuo elipses ta²ko iki ºidiniu suma (ji pastovi) lygi a Ai²ku ²i suma turi b uti nemaºesne uº atstum tarp ºidiniu, ty c a I² elipses apibreºimo turime F 1 M + F M = a Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime (x + c) + y + (x c) + y = a Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x + cx + c + y + (x + c) + y (x c) + y + x cx + c + y = 4a Arba suprastinus x + c + y a = (x + c) + y (x c) + y Dar kart pakeliame kvadratu: x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + x c + x y 4x a + c y 4c a 4y a = (x + cx + c + y )(x cx + c + y ) = x 4 cx 3 + x c + x y + cx 3 4c x + c 3 x + cxy + c x c 3 x + c 4 + c y + x y cxy + c y + y 4 Suprastiname: (a c )x + a y = a (a c ) Kai a > c galime abi lygties puses dalinti i² a (a c ) b = a c galutinai gausime elipses kanonin lygti: Ived paºymejim (1) x a + y b = 1 Kai a = c, turime ne elips, o tik atkarp : c x c, y = 0 Ta²kas O(0, 0) yra elipses (1) centras Past um elips taip, kad jos centras atsidurtu ta²ke C(x 0, y 0 ), gausime toki elipses kanonin lygti: () (x x 0 ) a + (y y 0) b = 1 Taigi ta²kas C(x 0, y 0 ) vadinamas elipses centru Ta²kai V x1 (x 0 +a, y 0 ), V x (x 0 a, y 0 ), V y1 (x 0, y 0 + b), V y (x 0, y 0 b) elipses vir² unemis Atkarpa V x1 V x didºi ja a²imi, o atkarpa V y1 V y maº ja a²imi a ir b yra didºiojo ir maºojo pusa²iu ilgiai Ta²kai F 1 (x 0 c, y 0 ) ir F (x 0 + c, y 0 ) vadinami elipses ºidiniais Kai a = b elipse virsta apskritimu Jeigu b > a elipse yra i²t sta y a²ies kryptimi ir ºidiniai bus i²sidest vertikaliai Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamos elipses simetrijos a²imis Skai ius ε = c vadinamas elipses ekscentricitetu Elipses ekscentricitetas visuomet yra maºesnis uº 1 ir parodo a kiek elipse skiriasi nuo apskritimo Kai ε = 0 elipses ºidiniai sutampa, pati elipse tampa apskritimu 10

11 11 Elips es parametrin e lygtis Ived parametr t elipses (1) kanonin lygti galime uºra²yti taip: (3) { x = a cos t, y = b sin t, (t [0, π)), o () kanonin lygti taip: (4) { x = x 0 + a cos t, y = y 0 + b sin t, (t [0, π)), (3) ir (4) lygtys vadinamos elips es parametrin emis lygtimis Hiperbol e Apibr eºimas Hiperbole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku skirtumo modulis yra pastovus Du pastov us ta²kai, minimi hiperboles apibreºime, vadinami hiperbol es ºidiniais I²vesime hiperboles koordinatin lygti, kai hiperboles ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum c šidinius paºymekime F 1 ( c, 0) ir F (c, 0) Atstumas tarp ºidiniu bus lygus c Hiperboles ta²kus ºymekime M(x, y) Tarkime, kad atstumu nuo hiperboles ta²ko iki ºidiniu skirtumas (jo modulis pastovus) lygus ±a io skirtumo modulis turi b uti nedidesnis uº atstum tarp ºidiniu, ty c a I² hiperboles apibreºimo turime F 1 M F M = ±a Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime (x + c) + y (x c) + y = ±a Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x + cx + c + y (x + c) + y (x c) + y + x cx + c + y = 4a Arba suprastinus x + c + y a = (x + c) + y (x c) + y Dar kart pakeliame kvadratu: x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + x c + x y 4x a + c y 4c a 4y a = (x + cx + c + y )(x cx + c + y ) = x 4 cx 3 + x c + x y + cx 3 4c x + c 3 x + cxy + c x c 3 x + c 4 + c y + x y cxy + c y + y 4 11

12 Suprastiname: (c a )x a y = a (c a ) Kai a < c galime abi lygties puses dalinti i² a (c a ) Ived paºymejim b = c a galutinai gausime hiperboles kanonin lygti: (5) x a y b = 1 Kai a = c, turime ne hiperbol, o tik dvi pustieses: x c, y = 0 ir x c, y = 0 Ta²kas O(0, 0) yra hiperboles (1) simetrijos centras Past um hiperbol taip, kad jos simetrijos centras atsidurtu ta²ke C(x 0, y 0 ), gausime toki hiperbol es kanonin lygti: (6) (x x 0 ) a (y y 0) b = 1 Taigi ta²kas C(x 0, y 0 ) vadinamas hiperboles simetrijos centru Ta²kai V x1 (x 0 + a, y 0 ), V x (x 0 a, y 0 ) hiperboles vir² unemis Ta²kai F 1 (x 0 c, y 0 ) ir F (x 0 + c, y 0 ) vadinami hiperboles ºidiniais Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamos hiperboles simetrijos a²imis Skai ius ε = c vadinamas hiperboles a ekscentricitetu Hiperboles ekscentricitetas visuomet yra didesnis uº 1 Tieses y = y 0 ± b a (x x 0) vadinamos hiperbol es asimptot emis Hiperboles grakas, kai x ± arteja prie ²iu tiesiu Lygtis (7) (x x 0) a + (y y 0) b = 1 taip pat yra hiperbol es kanonin e lygtis Tik ²ios hiperboles ºidiniai ir vir² unes i²sides iusios vertikaliai, o ²akos nukreiptos y a²ies teigiama ir neigiama kryptimis 3 Parabol e Apibr eºimas Prabole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, kuriu atstumai nuo pastovaus ta²ko ir pastovios tieses yra lyg us Pastovus ta²kas, minimas paraboles apibreºime, vadinamas parabol es ºidiniu, o pastovi tiese parabol es direktrise I²vesime paraboles koordinatin lygti, kai paraboles ºidinys guli x a²yje (teigiamoje dalyje), direktrise statmena x a²iai ir abu vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum p/ šidini paºymekime F (p/, 0) Atstumas tarp ºidinio ir direktrises bus lygus p Paraboles ta²kus ºymekime M(x, y) Direktrises ta²kai gali b uti ºymimi D( p/, y) I² paraboles apibreºimo turime F M = MD 1

13 Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime ( x p ) + y = x + p Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x px + p 4 + y = x + px + p 4 Suprastin gauname parabol es kanonin lygti: (8) y = px Kai a = c, turime ne hiperbol, o tik dvi pustieses: x c, y = 0 ir x c, y = 0 Ta²ke O(0, 0) yra parabol es (8) vir² un e Past um parabol taip, kad jos vir² une atsidurtu ta²ke V (x 0, y 0 ), gausime toki paraboles kanonin lygti: (9) (y y 0 ) = p(x x 0 ) Taigi ta²kas V (x 0, y 0 ) vadinamas paraboles vir² une Ta²kas F (x 0 +p/, y 0 ) vadinamas paraboles ºidiniu Tiese x = x 0 p/ vadinama paraboles direktrise Tiese y = y 0 yra paraboles simetrijos a²is Skai ius ε = 1 vadinamas parabol es ekscentricitetu Lygtys (10) (y y 0 ) = p(x x 0 ), (11) (x x 0 ) = p(y y 0 ), (1) (x x 0 ) = p(y y 0 ) taip pat yra paraboliu kanonin es lygtys Tik ²iu paraboliu ²akos nukreiptos neigiama x a²ies kryptimi, teigiama y a²ies kryptimi, neigiama y a²ies kryptimi, o simetrijos a²ys yra tieses y = y 0, x = x 0, x = x 0, atitinkamai 4 Antrosios eil es kreiviu lygties tyrimas Algebrines kreives klasikuojamos pagal ju lyg iu laipsnius Bendriausia antrojo laipsnio lygties forma: (13) a 11 x + a 1 xy + a y + a 10 x + a 0 y + a 00 = 0 Bent vienas i² koecientu a 11, a 1, a neturi b uti lygus nuliui, nes prie²ingu atveju turesime pirmos eiles lygti (apibreºian i plok²tum ) Bet kuri antros eiles lygtis apibreºia elips, hiperbol, parabol I²imtiniais atvejais tai gali b uti tiese, dvi lygiagre ios tieses, dvi susikertan ios tieses, ta²kas ir net tu² ia aibe Panagrinesime visus atvejus 13

14 Pasukant koordina iu sistem (del laiko ir ºiniu tr ukumo mes to nedarysime) galima panaikinti antr ji lygties nari a 1 xy Po to, i²skiriant piln kvadrat ir atitinkamai pastumiant koordina iu sistem, galima panaikinti pirmojo laipsnio nari a 10 x, jei a 11 0, ir pirmojo laipsnio nari a 0 y, jei a 0 Tokia proced ura visi²kai nesunki Po tokiu operaciju turesime paprastesn lygti, kuri ir patyrinesime Tai b utu viena i² lyg iu: (14) Ax + By + C = 0, A 0 arba B 0, (15) Ax + Dy + C = 0, A 0, (16) By + Ex + C = 0, B 0 Tarkime, kad (14) lygtyje A > 0 Tuomet (14) lygtis apibreºia: elips, jei B > 0, C < 0;, jei B > 0, C > 0; ta²k, jei B > 0, C = 0; hiperbol, jei B < 0, C 0; dvi susikertan ias tieses, jei B < 0, C = 0; dvi lygiagre ias tieses, jei B = 0, C < 0; ties, jei B = 0, C = 0;, jei B = 0, C > 0 Kai koecientas B > 0, galime nagrineti analogi²kai Nemaºindami bendrumo galime laikyti, kad (15) lygties koecientas A > 0 Prie²ingu atveju lygti galima padauginti i² 1 (15) lygtis apibreºia: parabol, jei D 0; dvi lygiagre ias tieses, jei D = 0, C < 0; ties, jei D = 0, C = 0;, jei D = 0, C > 0 (16) lygti galime nagrineti analogi²kai kaip ir (15) 3 ANTROSIOS EIL ES PAVIR IAI iame skyrelyje pateiksime tik kai kuriu paprastesniu antros eiles pavir²iu analizines i²rai²kas Apibr eºimas Pavir²ius, kuri sudaro plok² i ja kreive judedama tiese, kai jos vienas ta²kas lieka pastovus, vadinamas k uginiu pavir²iumi Apibr eºimas Pavir²ius, kuri sudaro plok² i ja kreive lygiagre iai judedama tiese, vadinamas cilindriniu pavir²iumi 14

15 Apibr eºimas Pavir²ius, gaunamas sukant kreiv apie ties (taip, kad kreives ta²kai breºtu apskritimus, statmenus tai tiesei, ir apskritimu centrai guletu toje tieseje), vadinamas sukimosi pavir²iumi Minima tiese vadinama sukimosi a²imi (31) x a + y b z c = 0 tai antrosios eiles k ugio lygtis Koordina iu pradºios ta²kas O yra ²io k ugio simetrijos centras, o koordina iu plok²tumos xy, xz, yz pavir²iaus simetrijos plok²tumos (3) x a + y a + z c = 1 tai sukimosi elipsoidas Sukimosi a²is yra z a²is Tria²is elipsoidas: (33) (34) Viena²akis sukimosi hiperboloidas: Sukimosi a²is yra z a²is Viena²akis hiperboloidas: (35) (36) Dvi²akis sukimosi hiperboloidas: Sukimosi a²is yra x a²is Dvi²akis hiperboloidas: (37) Sukimosi paraboloidas: x a + y b + z c = 1 x a + y a z c = 1 x a + y b z c = 1 x a y c z c = 1 x a y b z c = 1 (38) x + y = pz Sukimosi a²is yra z a²is Elipsinis paraboloidas: (39) x p + y = z, pq > 0 q Hiperbolinis paraboloidas: (310) x p y = z, pq > 0 q 15

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

Matematinis modeliavimas

Matematinis modeliavimas ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas... MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav. LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers 1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotechnikos pagrindai

Elektrotechnikos pagrindai Valentinas Zaveckas Elektrotechnikos pagrindai Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 Vilnius Technika 2012 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra Juozas Navickas FIZIKA I dalis MOKOMOJI KNYGA KAUNAS, ARDIVA 8 UDK 53(75.8) Na95 Juozas Navickas FIZIKA, I dalis

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015

Διαβάστε περισσότερα

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai 1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors

Διαβάστε περισσότερα

Gabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas. Astronomijos pratybų užduočių komplektas

Gabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas. Astronomijos pratybų užduočių komplektas Gabija Maršalkaitė Motiejus Valiūnas Astronomijos pratybų užduočių komplektas Vilnius 2014 1 Įvadas 1.1 Astronomijos olimpiados Lietuvoje kylant moksleivių susidomėjimu astronomijos olimpiada buvo pastebėta,

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA

MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais?

6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais? Matematikos istorijos egzamino klausimai 2014 Klausimo verte 2/3 balo. Pavyzdºiui, jei per semestr sukaupete 3 balus, tai j usu egzamino uºduotyje bus 7 3/2 10 klausimu. 1. Skai iai ir skai iavimai 1.

Διαβάστε περισσότερα

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai)

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai) 0 m. ietuvos 6-ojo fizikos čempionato UŽDUOČŲ SPRENDMA 0 m. gruodžio 6 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas 0 taškų, visa galimų taškų suma 00). Pervyniojant transformatoriaus ritę buvo pastebėta, kad ritėje

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos

Διαβάστε περισσότερα

FRANKO IR HERCO BANDYMAS

FRANKO IR HERCO BANDYMAS VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

Lietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas. Algirdas Antanavičius. Mokomoji knyga

Lietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas. Algirdas Antanavičius. Mokomoji knyga Lietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Algirdas Antanavičius GEODEZIJOS PAGRINDAI Mokomoji knyga Akademija, 2007 Redaktorė: M. Židonienė turinys ĮVADAS... 1. Geodezijos

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα