Matrice Definicija i primjeri matrica
|
|
- Ευαδνη Γιαννόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Matrice 1Definicijaiprimjerimatrica 1 2Operacijesmatricama 6 3 Algebramatrica 8 4 Matrična jednadžbaiinverzna matrica 14 5 Algebarskestrukture 17 6Blokmatrice Definicija i primjeri matrica Matrice Matrica 1 je pravokutna tablica sačinjena od nekoliko redaka i stupaca ispunjenih njezinim elementima Ti su elementi obično brojevi, najčešće realni, no ponekad i kompleksni Elementi mogu biti i drugi objekti, poput funkcija, vektora, diferencijalnih operatora, pa čak i samih matrica Mi ćemo promatrati uglavnom matrice realnih brojeva Evo primjera nekih matrica: A 2 1 ; B ; C 21 π Matrica A imadvaretkaidvastupca B ima dva retka i tri stupca, dok C ima tri retka i dva stupca 1 engl matrix, njemmatrix, franc matrice, rusmatrica od lat matrix stablo, matica
2 2 1 MATRICE Zapis matrice Element matrice označavamo indeksima, pozivanjem prvo na redak pa zatim na stupac u kojem se on nalazi Tako (A) 11 2 naznačava da je element matrice A koji se nalazi u prvom retku i prvom stupcu jednak 2 Na primjer, (B) 13 1, (B) 21 2islično Običaj je da se opći (po volji odabrani) element matrice označava malim latinskim (ponekad i grčkim) slovom Tako je a 11 element matrice A koji leži u prvom retku i prvom stupcu, a 11 (A) 11,islično a ij (A) ij Opći oblik matrice je a 11 a 12 a 1n a A 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Ova matrica ima m redaka i n stupaca Za nju kažemo da je tipa m n ili tipa (m, n) Elementi matrice su brojevi a ij ; i 1,,m, j 1,,n, indeksirani s dva indeksa Prvi označava broj retka, a drugi broj stupca u kojem se dotični element nalazi Prema tome, retci se sastoje od sljedećih elemenata: prvi redak a 11 a 12 a 1j a 1n i -ti redak a i1 a i2 a ij a in m -ti redak a m1 a m2 a mj a mn (prvi indeks je čvrst i označava broj retka, a drugi se mijenja) Stupce pak sačinjavaju elementi čiji je drugi indeks čvrst i označava broj stupca, a prvi indeks se mijenja Sl 11 Zapis općeg elementa matrice
3 1 MATRICE 3 prvi stupac j -ti stupac n -ti stupac a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn Kraće matricu A zapisujemo na način A (a ij ) navodeći samo ime njezinog općeg elementa Jednakost matrica Dvije matrice, A i B su jednake ako su istoga tipa (imaju jednak broj redaka i jednak broj stupaca), imaju jednake odgovarajuće elemente, tj vrijedi a ij b ij za sve i, j Matricu tipa (1, 1) možemo poistovjetiti s realnim brojem, tako smijemo pisati [3] 3 Ovakvo poistovjećivanje neće nikad uzrokovati zabunu Ako je broj redaka m jednak broju stupaca n, za matricu kažemo da je kvadratna matrica reda n * Navedimo sad nekoliko karakterističnih matrica te tipove matrica specijalnoga oblika Nul-matrica Matrica čiji su svi elementi nule naziva se nul-matrica ioznačava s 0, neovisno o tome kojega je tipa ili reda Ta nepreciznost neće stvarati nikakvih problema Tako su sve sljedeće matrice nul-matrice [0], 00, , [ 000], Dijagonalna matrica Dijagonala matrice definirana je samo za kvadratne matrice Ona sadrži elemente s jednakim indeksima: a 11, a 22,,a nn Matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli naziva se dijagonalna matrica Sljedeće su matrice dijagonalne 20, , 004 a a a nn U literaturi se dijagonalna matrica ponekad označava simbolom diag Tako na primjer gornje se matrice mogu zapisati ovako: diag(2, 1),diag(3, 0, 4),diag(a 11,,a nn )
4 4 1 MATRICE Jedinična matrica To je dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi jednaki 1 Označavamo ju slovom I (Ponegdje se u literaturi koristi i slovo E ) 10 I ili ili Trokutaste matrice Pojam je definiran samo za kvadratne matrice Matrica je gornja trokutasta ako su svi njezini elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli Evo nekih primjera: 2 1, , 001 a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn Matrica je donja trokutasta ako su svi njezini elementi iznad dijagonale jednaki nuli: 10, 300 a a 020, 21 a a n1 a n2 a nn Transponirana matrica Matrica B je transponirana matrica matrice A ako vrijedi (B) ij (A) ji, za sve i, j Kako dobivamo transponiranu matricu? Elemente prvoga retka matrice A,ne mijenjajući njihov poredak, zapišemo na mjesto prvog stupca matrice B itd Matrica B je tipa (n, m) Ovopridruživanje nazivamo transponiranjem Evo nekoliko primjera transponiranja , , a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n a 12 a 22 a m2 a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn Kroneckerov simbol Sδ ij uobičajeno označavamo Kroneckerov delta simbol: j 1 akoje i j, δ ij 0 akoje i j Vidimo da su δ ij upravo matričnielementijedinične matrice: I (δ ij )
5 1 MATRICE 5 Transponiranu matricu označavamo simbolom A, (A ) ij :(A) ji, i, j Primjer 11 a) Ako je D dijagonalna matrica, tad je D D b) Ako je L gornja trokutasta, tad je L donja trokutasta, i obratno c) (A ) A, za svaku matricu A Ako je A kvadratna matrica, tad se transponirana matrica dobiva tako da se elementi matrice A zrcale s obzirom na njezinu dijagonalu Simetrične matrice Matrica A je simetrična ako je A A, tj a ij a ji, i, j Simetrična matrica nužno je kvadratna Zrcaljenjem s obzirom na dijagonalu matrica se ne mijenja: 12, itd Matrica je antisimetrična ako vrijedi A A, tj a ij a ji, i, j Antisimetrična matrica nužno je kvadratna i ima nule na dijagonali; a ii a ii daje a ii 0 Evo primjera: 0 3, itd Vektor kao matrica Matrice koje imaju samo jedan redak ili samo jedan stupac nazivamo vektorima Tako govorimo o vektor-retku ili pak o vektor-stupcu Evo primjera vektor-stupaca: 1, 2 0 0,, 1 Za prvog kažemo da je dimenzije 2, drugi je dimenzije 3, a posljednji dimenzije n Vektore obično označavamo masnim malim slovima latiničke abecede, iako ćemo ponekad koristiti i velika slova, jer vektor je i matrica tipa (n, 1) ili pak (1, n) Akojeb b 1 b 2 b n Zagrade koje okružuju matricu mogu biti i drugoga oblika U literaturi se susreću i sljedeći zapisi 0 a 11 a 12 a 1 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A C A a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn» a b Za matrice maloga reda obično ne koristimo zapis s indeksima; pišemo radije A islično c d
6 6 1 MATRICE vektor-stupac, tad je njemu transponirani vektor b vektor-redak b 1 b 2 [b 1 b 2 b n ], b n i obratno, transponiranjem vektor-retka dobiva se vektor-stupac Govorimo li samo vektor, onda mislimo na vektor-stupac S druge strane, u retcima knjige lakše je zapisati vektor-redak Stoga se vektori često zapisuju s pomoću znaka transponiranja Tako je npr vektor [ 013] zapisan u ovome retku zapravo vektor-stupac, tipa (3, 1) Matrica je skup vektora Stupce (i retke) matrice možemo u mislima shvatiti kao vektore Tako je matrica a 11 a 12 a 1n a A 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn sastavljena od sljedećih vektor-redaka a 1 [a 11 a 12 a 1n ], a 1 a 2 [a 21 a 22 a 2n ], a m [a m1 a m2 a mn ], ili pak od sljedećih vektor-stupaca a 11 a 12 a 21 a 22 a m1, a2 a m2,,an a 1n a 2n a mn A a 1 a 2 a m 12 Operacije s matricama,, A [a1 a 2 a n ] Skup svih matrica istog tipa (m, n) označavamo sa M mn definirane dvije operacije zbrajanje matrica, množenje skalara i matrice Zbrajanje matrica definirano je na način Na tom su skupu (A + B) ij :(A) ij +(B) ij (11) Da bi zbroj matrica bio definiran, matrice A i B moraju biti istoga tipa Rezultat zbrajanja je opet matrica, istoga tipa (m, n) Element matrice A + B na mjestu (i, j) jednak je zbroju elemenata matrica A i B na istom tom mjestu
7 1 MATRICE 7 Tako vrijedi, na primjer , a 11 a 1n b 11 b 1n a 11 +b 11 a 1n +b 1n + a m1 a mn b m1 b mn a m1 +b m1 a mn +b mn Bit će korisno da se priviknemo na zapis matrice u kome se redak zapisuje u obliku vektora Tako zbrajanje matrica možemo predočiti formulom a 1 b 1 a 1 +b 1 a 2 + b 2 a 2 +b 2 a m b m a m +b m Tu je dakako a 1 + b 1 [a 11 + b 11, a 12 + b 12,, a 1n + b 1n ] islično za preostale retke Množenje matrice skalarom Neka je λ R bilo koji skalar, te A M mn Umnožak matrice A skalarom λ je matrica λ A definirana na način (λa) ij : λ(a) ij (12) Dakle, matrica se množi skalarom tako da se svaki njezin element množi tim skalarom: , a 11 a 1n λa 11 λa 1n λ a m1 a mn λa m1 λa mn Matricu ( 1)A označavamo s A Razlika dviju matrica svodi se na već uvedene operacije: A B : A +( 1)B Skup matrica čini vektorski prostor Izdvojimo sljedeća svojstva ovih dviju operacija 1) ( A, B, C M mn ) A +(B + C) (A + B)+C 2) ( 0 M mn )( A M mn ) A A A 3) ( A M mn )( A M mn ) A + A A + A 0 4) ( A, B M mn ) A + B B + A 5) ( α, β R)( A M mn ) α(βa) (αβ)a 6) ( α R)( A, B M mn ) α(a + B) αa + αb 7) ( α, β R)( A M mn ) (α + β)a αa + βa Skalar je drugi naziv za realan broj Korisno ga je rabiti u ovakvim situacijama, zato što po potrebi skalarom nazivamo i kompleksne brojeve Množenje matrice s kompleksnim brojem definira se na potpuno istovjetan način, stoga ova definicija vrijedi i kad skalare zamišljamo kao kompleksne brojeve
8 8 1 MATRICE 8) 1 A A Kažemo da skup svih matrica M mn uz operacije zbrajanja matrica i množenja skalara i matrice čini vektorski prostor 13 Algebra matrica Množenje matrica znatno je složenija operacija od zbrajanja Prije no što navedemo definiciju, upozorit ćemo na sljedeće: Umnožak nije definiran za bilo kakve dvije matrice, pa čak niti za matrice istoga tipa (m, n), ukoliko je m n I kad je umnožak definiran, on ovisi o poretku matrica Krenimo od pojma umnoška vektora Umnožak vektor-retka i vektor-stupca Nekajea vektor-redak i b vektorstupac iste duljine: b 1 a [a 1 a 2 a n ], b Njihov se umnožak definira na način: b 1 b [ a 1 a 2 a n ] 2 : a 1b 1 + a 2 b a n b n (13) b n Rezultat je ovog množenja skalar Evo primjera: [ 2 1 3] 3 2 : 2 3 +( 1) ( 2) Množenje matrica Da bi postojao umnožak dviju matrica, one moraju biti ulančane: broj stupaca prve mora biti jednak broju redaka druge matrice (Odnosno, duljina retka prve mora biti jednaka duljini stupca druge matrice) Tako, ako je A tipa (m, n) da bi umnožak AB postojao, matrica B mora biti tipa (n, p) Pritomm i p mogu biti bilo kakvi Rezultat množenja bit će ponovno matrica, tipa (m, p) Kako množimo matrice? Neka je A (a ij ) tipa (m, n), B (b ij ) tipa (n, p) Opći element umnoška AB dan je formulom (AB) ij : a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj a ik b kj (14) k1 b 2 b n
9 1 MATRICE 9 Ovaj umnožak prepoznajemo kao umnožak i -toga retka matrice A i j -tog stupca matrice B : b 1j b 2j (AB) ij [a i1 a i2 a in ] b nj Sl 12 Dvije matrice mogu se množiti samo ako su ulančane Rezultat je matrica koja ima jednak broj redaka kao prva i jednak broj stupaca kao i druga matrica Element unmoška na mjestu (i, j) jednak je skalarnom umnošku i -toga retka prve i j -toga stupca druge matrice Primjer [ 12 ][ Evo nekoliko ] [ primjera umnožaka matrica ] ( 1) a) ( 1) ( 1)+3 2 ( 1) b) , c) 3 1 ] 2 0 [ , d), e), f) * 010, 7 9 Ovi primjeri potvr - duju sljedeća neuobičajena svojstva ako je umnožak AB definiran, BA to ne mora biti (primjer d), ako postoje AB i BA,tadjeopćenito AB BA (primjer c) Čak i onda ako su matrice AB i BA istoga tipa, općenito je AB BA (matrice u primjeru a i e),
10 10 1 MATRICE Ako je AB 0 (nul-matrica), tad ne mora biti A 0 niti B 0 * Matrični umnožak vektora Neka su a i b vektor-stupci istoga tipa Shvatimo li ih kao matrice, onda su definirana oba umnoška, a b i ab Pritome a b je matrica tipa (1, 1) s elementom b 1 a b [a 1 a 2 a n ] b 2 b n [a 1b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ] Ovakvu matricu, s jednim elementom, poistovjećujemo sa skalarom i rezultat pišemo bez zagrada Zato je, u ovom slučaju, matrični umnožak vektora jednak gore opisanom umnošku vektor retka s vektor stupcem ab je matrica tipa (n, n)! Zaista, a 1 a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b n a 2 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b n ab a n [ b 1 b 2 b n ] a n b 1 a n b 2 a n b n Primjer 13 [ 21 3 ] ( 1)+( 3) 2 1, [ 3 1 2] Ovaj je primjer vrlo značajan Jer, matrično množenje možemo opisati na potpuno identičan način, shvatimo li retke odnosno stupce matrica kao zasebne vektore Evo kako: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1p a AB 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2p a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b np a 1 a 2 a m [ b1 b 2 b p ] a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b p a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b p a m b 1 a m b 2 a m b p
11 1 MATRICE 11 Vidimo da je opći element matrice AB upravo (AB) ij a i b j [a i1 a i2 a in ] b nj b 1j b 2j a ik b kj k1 * Zapis linearnog sustava U nastavku ćemo u nekoliko navrata spomenuti da je problem rješavanja linearnih sustava najvažniji problem linearne algebre Dobar dio motivacija za proučavanje matrica upravo proizlazi iz njihove veze s linearnim sustavima Sustavod m linearnih jednadžbi s n nepoznanica danas uobičajeno zapisujemo u obliku a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n b m (15) Ovdje su nam poznate vrijednosti koeficijenata a ij te b i, a trebamo odrediti nepoznanice x 1,x n Čitatelj će primijetiti da sesustav (15) može napisati u obliku matrične jednadžbe gdje smo označili a 11 a 12 a 1n a A 21 a 22 a 2n, x a m1 a m2 a mn Ax b, (16) x 1 x 2 x n, i b Matrica A naziva se matrica koeficijenata sustava, x je vektor nepoznanica, b desna strana sustava Pokazat ćemo u četvrtom poglavlju da se postupak rješavanja ovoga sustava svodi na operacije s elementima matrice A ivektora b Takoder, - problem egzistencije i jedinstvenosti rješenja ovisi uglavnom o svojstvima matrice koeficijenata b 1 b 2 b m Primjer 14 Za strujni krug na slici po Kirchhoffovim zakonima možemo postaviti sljedeće jednadžbe
12 12 1 MATRICE i 4 i i i 2 1 R 2 R 1 i 3 R 3 R R 5 4 i Sl 13 i 5 i 1 + i 2 i, i 2 i 3 i 4 0, i 1 + i 3 i 5 0, R 1 i 1 R 2 i 2 R 3 i 3 0, R 3 i 3 R 4 i 4 + R 5 i 5 0 Umatričnom zapisu: i 1 i i i 3 R 1 R 2 R i R 3 R 4 R 5 i 5 0 Svojstva matričnoga množenja Izdvojimo neka svojstva matričnoga množenja Ona pokazuju da unatoč neobičnoj definiciji, to množenje ipak posjeduje neka očekivana dobra svojstva Asocijativnost Vrijedi (AB)C A(BC) kad god je umnožak (s bilo koje strane) definiran Dokaz ovoga svojstva može čitatelj u prvome čitanju preskočiti Nešto kasnije, ovo će svojstvo proizaći iz veze matrica s linearnim operatorima i svest će se na svojstvo asocijativnosti za kompoziciju funkcija Ovdje ga navodimo radi vježbe zapisivanja operatora sumiranja te zapisivanja indeksa matričnih elemenata Obratite osobito pozornost na zamjenu poretka sumacije Dakle, ako je A (a ij ), tipa (m, n), B (b jk ), tipa (n, p), C (c kl ), tipa (p, r),
13 1 MATRICE 13 tad imamo te je [(AB)C] il (AB) ik (BC) jl a ij b jk, j1 p b jk c kl, k1 p (AB) ik c kl k1 p k1 p ( a ij b jk )c kl k1 a ij b jk c kl j1 j1 ( p ) a ij b jk c kl k1 j1 a ij (BC) jl [A(BC)] il j1 Matrični polinom Ako je A kvadratna matrica (i samo u tom slučaju!), definirana je potencija A 2 : AA Induktivno definiramo potenciju: A p : } AA {{ A } p faktora Očevidno je (zbog asocijativnosti množenja) da za ove potencije vrijede jednakosti A p A q A q A p A p+q, (A p ) q A pq, za sve prirodne brojeve p i q Po definiciji, stavljamo A 0 I Takomožemo definirati matrični polinom: ako je f (x) α p x p + + α 1 x + α 0 bilo koji polinom stupnja p, tad definiramo f (A) : α p A p + + α 1 A + α 0 I 21 Primjer 15 Neka je A i f (x) x x + 3, g(x) x 2 4x + 7 Tad vrijedi f (A) A A + 3I 24 9 g(a) A A + 7I 00 Distributivnost Vrijedi (A + B)C AC + BC Zaista, [(A + B)C] ik (A + B) ij c jk (a ij + b ij )c jk j1 a ij c jk + j1 j1 b ij c jk j1 (AC) ik +(BC) ik [AC + BC] ik
14 14 1 MATRICE Umnožak s jediničnom matricom Ako je I jedinična matrica reda n, tad za svaku kvadratnu matricu A istoga reda vrijedi A I I A A Uvjeriseutonaprimjerimamatricareda2ireda3! Uopćem slučaju, element umnoška A I na mjestu (i, j) iznosi (AI) ij a ik δ kj a i1 δ 1j + + a ij δ jj + + a in δ nj a ij (A) ij k1 (Od svih pribrojnika u gornjoj sumi preostaje samo jedan, kod kojega je k j ) Slično vrijedi i za umnožak IA Transponiranje Odnos množenja matrica prema transponiranju je sljedeći: (AB) B A Provjerimo najprije ulančanost! Matrica B je tipa p n, A tipa n m te B A postoji i ima tip p m,baš kao i matrica (AB) Sadpišemo: [(AB) ] ik (AB) ki a kj b ji j1 (B ) ij (A ) jk (B A ) ik j1 Primjer 16 Umnožak vektor-retka i vektor-stupca ne ovisi o njihovu poretku Zaista, kako je a b skalar, vrijedi S druge strane, po pravilu transponiranja je Tako smo dobili a b b a (a b) a b (a b) b a b a 14 Matrična jednadžba i inverzna matrica Uovojćemo točki promatrati samo kvadratne matrice istoga reda n Sa M n označavamo skup svih takvih matrica Promatramo samo kvadratne matrice radi toga štosusamoutomslučaju na istome skupu definirane sve tri prije uvedene operacije: zbrajanje matrica, množenje skalara i matrice te množenje matrica
15 1 MATRICE 15 Matrična jednadžba Neka su A i B dvije zadane matrice iz M n Matrična jednadžba je jednadžba oblika AX B (17) gdje je X M n nepoznata matrica Postavlja se pitanje: Kad će jednadžba (17) imati jedinstveno rješenje X? Vidjet ćemo da odgovor na ovo pitanje ovisi samo o matrici A Ideja se sastoji u tome da se promotri pomoćna jednadžba YA I (18) Pretpostavimo da ona ima rješenje A,dakle, A A I Množeći jednadžbu (17) s A (s lijeve strane!) dobivamo A (AX) A B kako je A (AX) (A A)X IX X, odavde slijedi da je traženo rješenje jednadžbe (17) matrica A B Interesantno je primijetiti da provjera, tj uvrštavanje X A B u (17) daje A(A B)B što sugerira da vrijedi AA I Pokazat ćemo poslije da je to zaista istina Primjer 17 Riješimo jednadžbu [ [ ab ] X ] Množenjem matrica s lijeve strane i izjednačavanjem s Stavimo X c d matricom na desnoj strani dolazimo do jednadžbi 3a + c 1, 3b + d 2, 5a + 2c 3, 5b + 2d 1, 5 3 odakle lagano slijedi a 5, c 14, b 3, d 7, tj X 14 7 Zadatak možemo riješiti i tako da najprije riješimo pomoćnu jednadžbu A A I : e f g h odakle imamo Odavde A e + 5f 1, e + 2f 0, Sadje X A B [ g + 5h 0, g + 2h 1 ] Nije uobičajeno u matematici isticati svojstva koja ne vrijede Ovdje ćemo učiniti iznimku pošto sljedeća nevažeća svojstva razlikuju matričnu algebru od uobičajenih algebri brojeva: (i) Općenito je AB BA (ii) Jednakost AB AC ne povlači nužno B C, čak niti u slučaju A 0 (iii) Ako je AB 0, tad nije nužno A 0 niti mora biti B 0
16 16 1 MATRICE Korist od ovoga pristupa sastoji se u tome da znajući matricu A možemo odrediti rješenje jednadžbe (17) za bilo kakvu matricu B Uvjerite se takoder - da matrica A zadovoljava i jednadžbu AA I : * Inverzna matrica Neka je A M n zadana matrica Matrica A za koju vrijedi A A AA I (19) naziva se inverzna matrica matrice A Provjerimo najprije da je inverzna matrica (ako postoji!) jedinstvena Pretpostavimo da postoje dvije matrice, A i A koje zadovoljavaju (19) Tad iz A A I, množeći s desna s matricom A dobivamo (A A)A IA A Kako je po pretpostavci (A A)A A (AA )A I A, odavde slijedi tvrdnja Inverznu matricu obično označavamo s A 1 Za matricu A kažemo da je regularna ukoliko postoji njezina inverzna matrica A 1 * Čitatelj će se možda zapitati: postoji li kvadratna matrica A koja zadovoljava samo jednu od relacija u (19), a drugu ne? Na primjer, za koju vrijedi AA I ali A A I? Odgovor je ne!, jedna jednakost u (19) povlači drugu Dokaz ove tvrdnje dat ćemo u narednom poglavlju Do tad je korisno znati da je dovoljno provjeriti samo jednu jednakost u relaciji (19) * Takoder, - vrlo je važno spomenuti da inverz ne mora uvijek postojati Pri tom ne mislimo [ samo ] na nul matricu, za koju je takva tvrdnja očevidna Tako npr matrica 01 A nema inverza Zaista, iz uvjeta AA 00 I dobivamo 01 ab 10 c d c d što je nemoguće Učinilivamsedajerazlogtomešto i ova matrica ima previše nula, pokušajte pronaći inverz matrice * Svojstva inverzne matrice Iskažimo sljedeći Teorem 11 Ako su A i B regularne matrice, tad je i AB regularna i vrijedi (AB) 1 B 1 A 1 (110)
17 1 MATRICE 17 Dokaz Matrica B 1 A 1 postoji po pretpostavci Direktna provjera sad daje Slično se dobiva i (AB)(B 1 A 1 )ABB 1 A 1 AIA 1 AA 1 I (B 1 A 1 )(AB) B 1 A 1 AB I Zato postoji inverz od AB i on je jednak B 1 A 1 Formula (110) vrijedi i za umnožak n regularnih matrica: ako su A 1,,A n regularne, tad je i matrica A 1 A n regularna i vrijedi (A 1 A n ) 1 An 1 A 1 1 Utosemožemo uvjeriti direktnim množenjem * U nastavku ćemo pokušati odgovoriti na sljedeća važna pitanja Kad je matrica A regularna? Ako je A regularna, kako se računa njezin inverz? Jedan od mogućih odgovora na ova pitanja daje teorija determinanti 15 Algebarske strukture Pri proučavanju skupa matrica, ali i mnogih drugih struktura, pojavljuju se izvjesne zakonitosti i zajednička svojstva Stoga je korisno uočiti ih i izdvojeno promatrati Na taj se način stječe mnogo bolji uvid u zajednička svojstva nekih na prvi pogled posve različitih matematičkih struktura Jedan od osnovnih pojmova algebre koji ćemo ovdje ukratko spomenuti, jest pojam grupe Grupe Grupa je matematička struktura koja se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije : G G G Toznači da je za svaka dva elementa x, y G definiran njihov umnožak x y G Pri tome zahtjevamo da vrijede sljedeća svojstva 1) Asocijativnost Za sve x, y, z G vrijedi (x y) z x (y z) 2) Postojanje neutralnog elementa Postoji element e G takav da za svaki x G vrijedi e x x e x 3) Postojanje inverznog elementa Za svaki x G postoji element x 1 G takav da je x x 1 x 1 x e Ako je k tome za svaka dva elementa x, y G ispunjeno x y y x, onda za G kažemo da je komutativna ili Abelova grupa Terminologija U najjednostavnijim i najvažnijim primjerima, G je obično neki skup brojeva, a operacija bilo zbrajanje, bilo množenje Ako je operacija nalik na zbrajanje, tad grupu nazivamo aditivnom, neutralni element nulom, a inverzni element zovemo suprotnim elementom Ako pak operacija nalikuje na množenje, grupu nazivamo multiplikativnom, neutralni element jedinicom, a inverzni element recipročnim Evo primjera
18 18 1 MATRICE 1 Aditivna grupa realnih brojeva (R, +), s operacijom zbrajanja kao grupovnom operacijom Neutralni element je 0 (nula), a suprotni element broja x je broj x Slično, aditivne grupe su grupe cijelih brojeva (Z, +), racionalnih (Q, +), kompleksnih (C, +) Prirodni brojevi (N, +) ne čine grupu: ne postoji niti neutralni, niti suprotni element niti jednoga prirodnoga broja 2 Multiplikativna grupa (R, ), gdje je R R \{0},a operacija množenja Jedinica (neutralni element) je 1, inverzni element od x je 1/x Sličnosugrupei (R +, ), (Q, ), (Q +, ), (C, ) Me - dutim, (Z, ) ne čini grupu: ne postoji inverzni element niti jednoga cijeloga broja koji je veći od 1 3 Neka je n prirodan broj i (Z n, +) grupa ostataka modulo n Tu je skup Z n {0, 1, 2,,n 1}, operacija + dvama elementima iz Z n pridružuje ostatak pri dijeljenju njihova zbroja brojem n Provjeri da je (Z n, +) grupa za slučaj n 2, 3, 4, 5, 6 Ispiši tablicu zbrajanja, poput ove za n Ako je p prost broj, Z p {1, 2,,p 1} i operacija definirana kao operacija množenja modulo p koja paru brojeva pridružuje ostatak pri dijeljenju njihova umnoška brojem p,tadje (Z p, ) grupa Tablica množenja za p 5glasi Iz ove tablice čitamo: 2 2 4, 2 3 1, 3 4 2, 4 1 4, itd Provjeri direktno da je (Z p, ) grupa za p 2, 3, 7 Ako p nije prost, onda (Z p, ) nije grupa Npr za p 6umnožak 2 3 jednak je 0 i ne pripada grupi 5 Ure - deni par (F, +) je grupa, gdje su F sve funkcije sa skupa S u R (ili u C ), a + operacija zbrajanja funkcija Neutralni element je funkcija identički jednaka nuli Što je suprotni element? Ova je grupa Abelova 6 Ure - deni par (B, ) svih bijekcija sa skupa S u S je grupa je kompozicija funkcija, e identiteta, a x 1 inverzna funkcija Grupa nije Abelova Primjeri grupa su mnogobrojni Tijekom ovoga kursa, kao i u kursu matematičke analize, srest ćemo se s velikim brojem sličnih primjera Osnovna svojstva grupe Navedimo neka najjednostavnija svojstva svake grupe Neutralni element je jedinstven Zaista, ako postoje dva elementa, e i e recimo, za koje vrijedi 2), tad bi bilo e e e
19 1 MATRICE 19 jer je e neutralni element, ali i e e e jer je e neutralan Stoga je nužno e e Inverzni element je jedinstven Zaista, ako x ima dva inverza, x i x recimo, tad bi bilo pa množenje s x (slijeva) daje Zbog asocijativnosti je tad te konačno dobivamo x x e x (x x )x e x (x x) x x e x x, x x U svakoj grupi jednadžba a x b ima jedinstveno rješenje Zaista, množenjem s a 1 dobivamo a 1 (a x) a 1 b e x a 1 b te je x a 1 b Rješenje je jedinstveno, jer, kad bi postojala dva recimo x 1 i x 2 tadbiiz a x 1 b i a x 2 b slijedilo a x 1 a x 2 te, množenjem s a 1, dobili bi x 1 x 2 Slično, jednadžba y a b ima jedinstveno rješenje y b a 1 Polje Sljedeća važna matematička struktura jest polje Polje čini neprazni skup X na kojemu su definirane dvije operacije i koje zadovoljavaju svojstva koja ćemo navesti u nastavku Operacije ćemo označiti s + is iako to ne moraju biti klasične operacije zbrajanja i množenja Zahtijevamo da bude ispunjeno sljedeće: 1) (X, +) je (aditivna) Abelova grupa, 2) (X, ) je (multiplikativna) Abelova grupa, pri čemu je X X \{0}, 3) vrijede zakoni distribucije, za sve x, y, z X (x + y) z x z + y z x (y + z) x y + x z Standardni primjeri polja su polja brojeva (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) Polje čini takoder i skup (Z p, +, ) za prost broj p,pričemu su obje operacije definirane kao ostatak modulo p Matrice Neka je K bilo koje polje Matrica je svaka funkcija A : {1,,m} {1,,n} K Za nju kažemo da je matrica nad poljem K Uobičajeno je označiti s a ij vrijednost A(i, j) Takoder, - uobičajeno je cjelokupnu matricu pisati u obliku tablice 2 a 11 a 12 a 3 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn Ako matricu interpretiramo kao funkciju, tad skup (M mn, +) svih matrica tipa (m, n) čini grupu, pri čemu je + operacija matričnog zbrajanja Asocijativnost zbrajanja vrijedi jer vrijedi za funkcije, neutralni element (nula) je matrica identički jednaka nuli dakle, nul matrica 0 za koju je 0(i, j) 0zasvei, j Suprotni element je matrica A za koju je ( A)(i, j) : A(i, j) itd
20 20 1 MATRICE Matrice nad poljem C Zbog svojstava polja C kompleksnih brojeva korisno je, a ponekad i neophodno, promatrati matrice čiji su elementi kompleksni brojevi Ovakve matrice imaju sve osobine skupa matrica nad poljem realnih brojeva; dodatni oprez treba učiniti pri definiciji transponiranja Ovdje je korisnije definirati umjesto transponirane tzv adjungiranu matricu Označimo najprije s Ā matricu s kompleksno-konjugiranim elementima: A» 2+i 1 1 i 3+2i Ā Sad definiramo adjungiranu matricu A formulom u gornjem primjeru A A (Ā),» 2 i 1+i 1 3 2i» 2 i 1 1+i 3 2i Primijetimo, ako je A realna, tad je A A Matrica A imat će ulogu matrice A u mnogim teoremima u kojima se, u slučaju realnih matrica, javlja transponirana matrica A Matrica je hermitska ako vrijedi A A Vektorski prostor (X, +, ) Skup X na kojemu su definirane operacije zbrajanja te množenja sa skalarom je vektorski prostor ukoliko te dvije operacije zadovoljavaju sljedeća svojstva: 1) ( x, y, z X) x +(y + z) (x + y)+z 2) ( 0 X)( x X) x x x 3) ( x X)( x X) x + x x + x 0 4) ( x, y X) x + y y + x 5) ( α, β R)( x X) α(βx) (αβ)x 6) ( α R)( x, y X) α(x + y) αx + αy 7) ( α, β R)( x X) (α + β)x αx + βx 8) 1 x x Svako od ovih svojstava ima svoj naziv: 1) asocijativnost zbrajanja, 2) postojanje nul elementa, 3) postojanje suprotnog elementa, 4) komutativnost zbrajanja, 5) kompatibilnost množenja, 6) distributivnost množenja prema zbrajanju u X, 7) distributivnost množenja prema zbrajanju u R, 8) netrivijalnost množenja Iako i u definiciji vektorskoga prostora sudjeluju dvije operacije + i, njih ne smijemo brkati s takvim operacijama koje su definirale polje Kod polja se operacija množenja vršila nad dva elementa iz toga polja, dok se u vektorskome prostoru množi skalar i element vektorskoga prostora Primijetimoda pritome skalari čine polje! Zato još govorim o vektorskom prostoru nad poljem R, ili pak o vektorskom prostoru nad poljem C, ukoliko su skalari kompleksni brojevi itd
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραGeologija, Znanost o okolišu Matematika 1
1 Algebra matrica 11 Osnovni pojmovi Definicija 1 Neka su m i n prirodni brojevi Niz elemenata (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn R m n posloženih u pravokutnu shemu A = a 11 a 12
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA MATEMATIKA. By Štreberaj ID: 10201
MATEMATIKA MATEMATIKA By Štreberaj 1 ID: 10201 Ovo je samo pregled, a cijela skripta (44 str.) te čeka u našoj SKRIPTARNICI! 1 Bok! Drago nam je što si odabrao SKRIPTARNICU za pronalazak materijala koji
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 6 Linearni sustavi i njihovo rješavanje Lekcije iz Matematike. 6. Linearni sustavi i njihovo rješavanje I. Naslov i objašnjenje naslova U lekciji se obradjuje
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραOsnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραMatrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori
Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Franka Miriam Brückler Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi Neka je dano n nepoznanica x
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα