4. Integrale improprii cu parametru real
|
|
- Ἡρώδης Αναγνώστου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie cu prmetru rel cd ] F( y) f (, y) (VII.3) F: [, R R, b = d su F( y) = f (, y) d ( b= +). Fucţi F este defiită pritr-o itegrlă improprie cu prmetru rel, de form: F( y) = f (, y) d (tip I) su f (, ) puct sigulr l lui f). b yd (de tip II cu = b Vom studi î ce codiţii F este fucţie cotiuă, respectiv fucţie derivbilă pe [ cd, ]. Î cest scop, defiim oţiue de "itegrlă improprie cu prmetru uiform covergetă" (se vor cosider î cotiure dor itegrlele improprii de tip I). Defiiţi VII.6 Itegrl improprie f ( yd, ) este uiform covergetă pe [ cd, ] (î rport cu y) către fucţi F, dcă: 57
2 ε >, uε > şi uε >.î. u > uε u (VII.3). f (, y) d F( y) <ε, y [ c, d] Dcă otăm + + (VII.3) ϕ ( y) = f ( y) d y [ c d] +,, cu şi,, tuci se pote reprezet itegrl improprie f (, ) serii de fucţii rele: ydsub form uei (VII.33) f ( yd ) =ϕ ( y) +ϕ ( y) + +ϕ ( y) + y [ cd],......,,. Teorem VII. (Criteriul de uiformă covergeţă) Dcă eistă o fucţie pozitivă g: [, ) R locl itegrbilă Riem stfel îcât f (, y) g(), [, ), y [c, d], ir g d este covergetă, tuci (, ) f ydeste uiform covergetă pe [c, d]. Demostrţie: Di ipotez f (, y) g (), (, y) [, ) [c, d], rezultă că seri de + + y deste mjortă de o serie umerică cu termei fucţii f (, ) = + pozitivi, covergetă, g d şi tuci, după criteriul lui 57
3 + + este Weierstrss, itegrl improprie (, ) (, ) uiform şi bsolut covergetă pe [c, d]. f yd= f yd = + Teorem VII.3 (Teoremă de trsfer de cotiuitte) Dcă f: [, ) [ cd, ] R este fucţie cotiuă pe D=[, ) [, ] = este uiform covergetă pe [, ] F( y) f, y d este cotiuă pe [ cd, ]. Demostrţie cd R şi cd, tuci fucţi F Cum f este cotiuă pe D, tuci fucţiile ϕ (y) di (VII.3) sut cotiue pe [ cd, ], petru orice ir f ( yd, ) = ϕ ( y) = Fy este uiform = covergetă pe [ cd, ] şi deci F este o fucţie cotiuă pe [, ] cd. Teorem VII.4 (Teoremă de trsfer de derivbilitte) Fie f: [, ) [ cd, ] R o fucţie cotiuă pe D = [, ) [, ] cd. Dcă: (i) eistă fucţi f, cotiuă pe D y ( y [, ], f cd ( y) def, lim (, ) (, ) f y f y = y y y y y R ), (ii) itegrl improprie F( y) = f (, y) d este covergetă pe [, ] cd şi 57
4 (iii) itegrl improprie (, y) d este uiform covergetă pe [ cd, ], f y tuci fucţi F este derivbilă pe [ cd, ] şi re loc eglitte: f = y (VII.34) F ( y) (, y) d. Demostrţie După (VII.33) ϕ ( y) este o serie de fucţii covergetă cd, ] (, ) pe [ cu sum F y = f y d. Teorem de derivre itegrlelor defiite cu prmetru dă + + f ϕ y =, y d,, ϕ sut fucţii cotiue pe y eglitte + f [ cd], după (i). Di (iii) (, y) d y este uiform covergetă pe [ cd, ]. ] Rezultă stfel că seri ϕ y este uiform covergetă pe [ cd, cu sum (, y) d, y [, ] f y cd. Atuci, după teorem de derivre terme cu terme seriilor de fucţii uiform covergete, vem (VII.34). Eemple ) ye y d este covergetă petru fiecre y [,], dr u coverge uiform î rport cu prmetrul y. Astfel, y (,] pri schimbre de vribilă y = t, vem: 573
5 u y t yu lim ye d = lim e dt = lim e = u u u yu. Aşdr: def, y y = F( y) = ye d=., y (,] y şi, petru y (, ], ye d F ( y) u <ε cu ε >, rezultă că u ye y d <ε, dică e y l <ε u > ε cu < ε <. Î ceste codiţii y ieglitte (VII.3) re loc dcă u > u ε (y) cu u ( y) ε l ε = şi deci y ye y d u este uiform covergetă î rport cu y [, ]. y ) y d, cu y [, ], este covergetă petru fiecre y [, ], dr u + este uiform covergetă pe [, ]. L fel c l eerciţiul ), u l ε y y y ε y d <ε u <ε < u < u y = e, y (,]. 3 ) si y F( y) = d cu y >. Nu putem plic teorem de derivre î rport cu y deorece cos yd este divergetă. 574
6 β si y Luăm Gβ ( y) = e d cu β > şi y >, cre se pote deriv î rport cu y, deorece itegrl e β cos yd este uiform covergetă pe β β β (, ) ( e cos y e, y > şi e Avem tuci: d este covergetă petru β > ). β β y β β y β β β G ( y) = e cos yd=, G ( y) dy = G ( y) = dy = rctg +β +β y (cosiderâd costt de itegrre C = ). Itegrl e β si y d fiid uiform covergetă î rport cu β, petru β rezultă că G este o fucţie cotiuă şi petru β =, vem: β si y si y β G( y) = lim e d= d= limrctg y β β =. si U cz prticulr, petru y =, vem d =. 5. Itegrle improprii remrcbile A. Itegrl Dirichlet si d cu α >. Cosiderăm α si si I = d şi I = d + α α. Avem: si cos I = d= cos α cos d= lim + α α α+ α 575
7 cos cos cos + cosα d = cos α d. Cum d este bsolut covergetă, α+ α+ α+ si deci covergetă, rezultă că d ( = α I R) este covergetă petru orice α >. si Reltiv l I = d petru < α, vem: + α si ;< α< lim =. Î cest cz, I α = > ; α= si d este covergetă. + α Pri urmre si α d este covergetă petru < α. Dcă <α<, tuci < α - < şi si = α lim α >. Î coseciţă, si d dică I, este covergetă. După situţiile + α prezette, vem: si d, cu <α<, este bsolut covergetă, deci şi covergetă; pri α urmre, itegrl improprie si α d este covergetă petru α (, ). Cercetăm dcă u vem chir bsolută covergeţă petru α (, ). Astfel, petru α (, ] şi si f =, vem α f si =, α 576
8 si si cos = (cu >) şi α α α cos covergetă. Dr α d α este divergetă. Deci si α d este divergetă, cee ce îsemă că si α d este semicovergetă. C tre si α d este dor semicovergetă petru < α. U rţiomet log cu cel de mi sus coduce l fptul că, petru < α <, itegrl si α d este semicovergetă. si si Petru α [, ), vem: =, α α α (, ) cu d suficiet de mic. Cum α -, itegrl improprie este divergetă. α + Deci si d este divergetă şi, idiferet de tur itegrlei + α si α d rezultă că si α d este divergetă petru α [, ). Î czul α =, itegrl improprie văzut dej, covergetă. Să dovedim că si d este, după cum m si d =. Î cest ses, 577
9 si si petru (, ], vem: ( + ) + cos + cos cos = şi, prelugid pri cotiuitte, î = fucţi h() = si ( + ) si lim h + =, vem pri itegrre: si ( + ) (*) = cos cos... cos d = si d. Astfel, petru: si si si = = cu (,] eistă g g lim =. Deci g se pote prelugi pri cotiuitte î =. Notăm g% prelugire s, vem: lim g % si kd=. Î coseciţă: k (+ ) (**) lim si d =. si 578
10 Di (*) şi (**), se obţie: (+ ) lim si d = şi, pri substituţi t = (+ ), lim (+ ) si t d =. Aşdr: t si d =. B. Itegrlele lui Fresel si d şi cos d sut covergete. Pri substituţi c itegrlă Dirichlet cu = t cu t >, obţiem α = ). sit si d = dt (covergetă t Î mod log, cost cos d = dt şi, cum t ( = t) cost lim t t =, t itegrl improprie cost dt t este covergetă. Deorece + cost dt este t covergetă, urmeză că cost dt este covergetă. Astfel, cos d t este covergetă. C. Itegrlele lui Euler (Fucţiile lui Euler) p Fucţi bet lui Euler: β pq, = d(p >, q > ). q q d. p. Covergeţ itegrlei improprii ( ) 579
11 p q Petru p şi q, fucţi f: [, ] R, este cotiuă şi deci eistă f d R. f = Petru p şi q <, = este puct sigulr, petru p q ( ) f = cu [, ). λ λ+ q p După criteriul î λ, lim( ) lim( ) f = = l <, < câd λ < şi q > λ >. Deci, petru q >, itegrl cre defieşte fucţi β este covergetă. p q Petru p < şi q, vem f: (, ] R, = puct sigulr. petru f =, cu λ λ+ p q După criteriul î λ, λ< şi p > λ> lim f = lim = l < <. Aşdr, câd p > itegrl este covergetă. Petru p < şi q <, = şi = sut pucte sigulre petru f, dr p q p ( ) d este covergetă câd p > şi ( ) p covergetă câd q >. Deci ( ) p > şi q >. q q d este d este covergetă petru 58
12 p Î cocluzie, fucţi β: (, ) (, ) R, β pq, = d, q re ses, deorece itegrl improprie + ( ) p q d este covergetă petru p > şi q >.. Proprietăţi le fucţiei β ( ) β(p +, q) + β(p, q + ) = β(p, q); p, q. Îtr-devăr, p, q, vem: d q d= p q β(p +, q) + β(p, q + ) = ( ) p + ( ) q q [ ]. p p = + d= d=β p, q ( ) qβ(p +, q) = p β(p, q + ) (' ) β(p +, q) = q p β(p, q + ), p, q. Evidet, p, q, vem: q p q p ( ) p p p d p p q q ( ) (, ) qβ p +, q = q d = q + p d = p = = β + (3 ) β(p, q) = ( p ) ( q ) ( p+ q! )!!, pq, N. q 58
13 Se rtă că, folosid ('), p > şi N*, (*) β ( p, ) =β[ p,( ) + ] = β ( p+, ) p β ( p+, ) =β [ p+, ( ) + ] = β ( p+, ) p +... ( p, ) p, =β + + = β, p p + + β + [ ] Îmulţid membru cu membru ceste relţii obţiem: ( )... ( + )...( + ) β p, = β p+,, p p p p+ ude (,) ( ). p+ β p+ = d= Pri urmre vem: ( p, ) β = (! ) ( + )...( + )( + ) p p p p. De ici, petru p N* şi = q N*, găsim (3 ): ( pq, ) β = ( p ) ( q ) ( p+ q! )!!. p Fucţi gm lui Euler: Γ ( p) = e d (p > ). 58
14 3. Covergeţ itegrlei improprii f e p Fie f: (, ) R, p e d =. Avem = puct sigulr şi după λ criteriul î λ, lim > f = l < lim λ+ p > e = l < câd petru λ + p - > şi λ <, dică p > - λ >. Deci p >, itegrl improprie p e d este covergetă. + p De semee, itegrl improprie e d este covergetă după criteriul î α. Astfel vem: α+ p α α+ p lim f l lim e l. Dr lim, = < = < = petru α>. e Deci, p >, p e d este covergetă. Î cocluzie, fucţi Γ:(, ) R cu 4. Proprietăţi le fucţiei Γ (4 ) Γ(p + ) = pγ(p), p >. Îtr-devăr, p >, vem: p p e d Γ = re ses. p p p ( p ) e d e p e d p p. Γ + = = + = Γ 583
15 (5 ) Γ( + ) =!, N*. Î cest ses, di (4 ), petru p = N*, vem: Γ( + ) = Γ() = ( - ) Γ( - )... Γ() =!, ude Γ()= e d = e =. 5. Alte proprietăţi le fucţiilor β şi Γ (6 ) Γ( p) Γ( q) β ( pq, ) =, petru pq, N Γ ( p+ q) Folosid (3 ) şi (5 ) petru p, q N vem: (! )!! (5 o p q, ) Γ p Γ q β pq = =. p+ q Γ p+ q Observţie. Se rtă că (6 ) este devărtă pq, R * + (dică p >, q>). Folosid substituţi = si t, se rtă că: d sit costdt β, = = sitcost =. ( ) Astfel, ţiâd sem de (6 ), deducem propriette: (7 ) Γ =., β = si, < <. (8 ) ( p p ) ( p ) p Petru < p < şi q = - p, vem: 584
16 p p q t β( p, p) = ( ) d = dt + t pri substituţi =, t >. + t p t Itegrl improprie dt se clculeză mi uşor petru + t m + p =, cu, m N * şi m<.astfel, pri schimbre de vribilă t y, m+ m t t t = y se găseşte că dt = =, + + m + si ultim eglitte fiid obţiută folosid umere complee. Relţi cest se etide poi petru orice p (, ). Di (7 ) şi (8 ) se pote deduce ş umit formulă rgumetului complemetr: Γ p Γ p = cu < p<. si (9 ) ( p) De ici, î prticulr, petru reobţiem relţi (7 ). p = q = ţiâd sem de fptul că Γ() =, D. Itegrl Euler Poisso. Itegrl Guss. Itegrl Euler Poisso e d este covergetă, căci, α>, lim e α = <. Pri schimbre de vribilă = t >, obţiem: t dt t e d= e = t e dt = Γ t. 585
17 Aşdr, folosid (7 ), vem: e d=. Itegrl Guss e d este covergetă, deorece lim e α = <, α >. Î celşi timp, vem: e d = e d + e d = e d = =. E. Itegrle Cuchy Frulli Fie f:(, ) R locl itegrbilă şi >, b >. Se umeşte itegrlă Cuchy Frulli o itegrlă improprie de form: (VII.35) + f f b d. Covergeţ şi vlore itegrlei (VII.35) sut precizte de următorele rezultte: Teorem VII.5. Dcă eistă şi sut fiite limitele lim = λ şi lim f f itegrl Cuchy Frulli este covergetă şi re loc relţi: = µ, tuci (VII.35') + f f b b d = ( λµ ) l. Demostrţi se fce rătâd că, î ipotezele teoremei, eistă şi este fiită limit v u v u f f b b lim d cu vlore ( λµ ) l ([5] pg. 5-6). 586
18 Teorem VII.6 Dcă eistă λ, µ R, stfel îcât δ > suficiet de mic şi A + δ f t λ dt să fie covergetă petru t f t µ dt să fie covergetă petru A >, t suficiet de mre, tuci itegrl Cuchy Frulli este covergetă şi re loc vlore: (VII.35") + f f b b d = ( λµ ) l. Demostrţi se obţie pri plicre teoremei Cuchy petru itegrle improprii ([5] pg. 7). Observţii. Cocluzi ultimei teoreme este vlbilă şi î czul câd fucţi re limită fiită îtr-u cpăt l itervlului de itegrre şi limită, î medie, î celăllt cpăt.. Itegrlele Cuchy Frulli u şi o "vrită ditivă": (VII.35'") f ( + ) f ( + b) d= ( λµ )( b) ude λ= lim f R şi lim f µ = R. Legătur ditre itegrlele + de tip (VII.35) şi (VII.35"') se stbilieşte cu jutorul logritmului. ([5] pg. 8). cos cosb d, cu f = cos. 3. Eemple. ) 587
19 Eistă λ= lim cos = şi eistă µ=, stfel îcât cos µ d este A covergetă. Deci cos cosb b b d = l = l. b e e d f = e. ), cu Eistă lime λ= = şi eistă µ = lim e =. Deci b e e b d = l. 3) l d, cu, b, p, q >, şi f = l b ( p + qe ) p+ qe p+ qe Eistă λ= lim f = l( p+q ) şi lim µ= f = l p.. Deci p+ qe p + q b l d = = l l. b p+ qe p 4) rctg rctg ( b) d ( >, b > ) cu rctg f =. Eistă λ= lim rctg = µ= lim rctg = rctg rctg şi vem b d = l b. F. Formul lui Wllis Fie Φ = d ( + ), cu R, N*. Pri metod itegrării pri părţi, 3 Φ = + Φ, R. vem: ( + ) 588
20 Astfel, cum itegrl improprie ( + ) d ( ) este covergetă, obţiem: d 3 d I = = lim ( ) ( ) Φ + ( ) ( ) + + ( + ) De ici, rezultă că: d 3 I = =, I = I + I (3)!! =... I = 4 4 ()!! Totodtă, d,( ) este covergetă, căci: λ lim( ) f = <+cu λ =. Se pote efectu schimbre de < vribilă = si t cu t [, ) şi obţiem: si t J = d= costdt = si td si t t = L Acest se clculeză folosid itegrre pri părţi şi se obţie o formulă de recureţă. Astfel, si d = si cos + si d, cu deci: 589
21 (k )!! L ; = L petru k = ( k)!!.de ici rezultă L = ( k)!! L = ; L = ; = k+ (k + )!! Aşdr: J J k + ; = k k + J deci lim = =. Totodtă, deorece [,), k + J ; = k+ k vem +, şirul ( ) J este mooto descrescător şi deci: J J J,. Astfel, lim =, de ude îlocuid pe J pri J k J J J şi J + pri J k+, obţiem: ( k)!! Lk + lim lim k (k )!! = = k k + L k deci: ( k)!! = lim k k+ (k)!!, umită formul lui Wllis. G. Itegrl Poisso : e d Itegrl Poisso e d este covergetă, deorece α > α lim e = <+. Să- i clculăm vlore. 59
22 Fie p I p = e d, cu p > şi N. Acest este o itegrlă improprie covergetă. Aplicâd itegrre pri părţi, vem: p p p I ( p) = e d= e + e d p p p = p p = lim e + e dşi se obţie : p p I( p) = I ( p ), petru > şi p >, ir p p p I ( p) = e d= e = p p p ( p) I ( p) = e d= e d( p) I () p = p t t I () = e d = e dt = e dt = =. Î coseciţă, rezultă: (* ) I ( p) ( k)!!, = k+ k + p =. (k + )!!, = k+ k + p p De ici, petru p = se obţie şirul de ieglităţi (*) I () < I + () < I + (), pe bz cărui deducem: I + < I + < I +,. (**)
23 Îlocuid epresiile lui I (p) di (* ) î şirul de ieglităţi (**), se obţie:!! (+ )!! I() (+ )!! < < (+ ) + (+ ) Astfel, rezultă:!!!! + (***) < I() < ()!! + ()!! + +. Trecâd l limită, petru î (***) şi folosid formul lui Wllis, găsim:!! lim = ( )!! +. Î cocluzie, vem: I() = e d= (itegrl Poisso). Observţie Fucţi f = e b *, cu R şi R, b fiţi se umeşte, î Teori probbilităţilor, "desitte ormlă". Folosid covebil itegrl Poisso se pote răt că re loc relţi R + f d= ş umit itegrlă probbilităţilor ([4] pg ). H. Formul lui Stirlig! e ([4] pg ),reltivă l Cosiderâd şirul! =,, vem: e 59
24 + = + şi l = + l +. + e + Totodtă, cum petru fucţi f f f 3 = cu >, vem = < şi = >, dică fptul că f este o fucţie descrescătore şi coveă, pe bz grficului lui f se obţie relţi: ri(abcd) < + d < ri(abc'd') D' C' C D A + B + Altfel spus, vem: + < l( + ) l < + +. De ici pri mplificre cu + şi scădere lui, rezultă 593
25 < + l + < + + =, dică < l = + l + < < < k k Aşdr, l k +. De ude : < < e,, k. 4 + k + k Astfel rezultă că şirul ( ) este descrescător. Cum este şi mărgiit iferior de zero, ( ) este şir coverget î R +, otăm = lim. Trecâd poi l limită petru k, obţiem relţi 4 e < e,, di cre rezultă că >. Pe de ltă prte, vem:! 4 e! = lim = lim = lim e! ( )!. Folosid formul lui Wllis, găsim:!!! = lim = lim =!! +! +. Pri urmre, =, cee ce implică fptul că = lim e! pe bz cărui rezultă formul:! e (formul lui Stirlig). 594
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότερα3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραŞiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότερα0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα, să scriem un program pentru a afla rangul n 1 începând de la care
Serii - lbrtr Ştiid că = k = k π = π π s = . =; S=S./.^;ed» [,S] s =.. Fie seri ; să scriem u prgrm
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus
ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre,
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότερα2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55
Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie.........................
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραCURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl
Διαβάστε περισσότεραAdrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Διαβάστε περισσότεραx x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:
ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότερα1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)
CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4. vectorială continuă definită pe un interval I din cu valori în. Dacă
58 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4 DRUMURI PARAMETRIZATE Defiiţi 4 Pi dum pmetizt î se îţelege oice fucţie vectoilă cotiuă defiită pe u itevl I di cu vloi î Dcă otăm cu x, y şi z compoetele scle le
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα