DISKREČIOJI MATEMATIKA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DISKREČIOJI MATEMATIKA"

Transcript

1 VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003

2 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos žodis diskretus (discretus, lot.) reiškia atskirtas. (Nemaišykite su iš pranc ūzu kalbos kilusiu žodžiu diskretiškas, kuris reiškia laikantis paslaptį.) Taigi, diskrečioji matematika nagrinėja objektus kurie yra tam tikra prasme atskirti vienas nuo kito, pavieniai. Tuo diskrečioji matematika yra priešpastatoma tolydžiajai matematikai, kurios nagrinėjami objektai yra tolyd ūs, vientisi, ir kur didžiausia vaidmenį vaidina ribos ir tolydumo sąvokos. Paprasčiausi diskret ūs objektai yra baigtinės ir skaičiosios aibės, pavyzdžiui, aibė {0, 1}, nat ūraliuj u skaiči u aibė N ir racionaliuj u skaičiu aibė Q. Tolydžiu objektu pavyzdžiai yra realiuj u skaičiu aibė R bei kompleksiniu skaičiu aibė C. Remiantis tokiu nagrinėjamu objektu skirstymu, diskrečiai matematikai plačiąja šios sąvokos suvokimo prasme galima b ūtu priskirti gera pusę matematikos: algebra, skaičiu teorija, tikimybių teorija, matematinę logika ir t.t. Kadangi minėti mokslai išsivystė į savarankiškas matematikos šakas, tai tradiciškai diskrečiajai matematikai priskiriamos matematikos sritys nagrinėjančios baigtinius objektus, jų skaičiavima, sąryšius tarp jų bei paprasčiausias operacijas su jais: Kombinatorika; Grafų teorija; B ūlio funkciju ir schemu teorija; Kodavimo teorija; Algoritmu teorija. Pirmieji du aukščiau išvardinti dalykai jums bus dėstomi kituose semestruose, todėl šį semestra mes nagrinėsime tris likusias sritis, t.y., B ūlio funkcijas bei schemas, kodavimo teorija ir algoritmu teorija. Algoritmu teorija priklauso diskrečiai matematikai todėl, kad intuityvia prasme algoritmas yra baigtinis instrukciju (komandu) rinkinys, leidžiantis žingsnis po žingsnio taikant šias instrukcijas konstruktyviems objektams išspręsti norimą uždavinį. Taigi, tiek algoritmas, tiek jo vykdymas, tiek objektai, kuriais gali manipuliuoti algoritmas, paprastai yra diskret ūs. Be trijų minėtų sričiu mes trumpai panagrinėsime matematinės logikos pradmenis, kadangi matematinė logika nagrinėja formalius samprotavimus bei įrodymus, jų teisinguma, automatinio 1

3 (algoritminio) įrodymo galimybes, o visa tai reikalinga tiek matematikoje, tiek informatikoje. Matematinė logika jums padės suprasti ir kai kuriu jums dėstomu disciplinu logika, o kartais ir pačių dėstytoju logika. J ūs tur b ūt jau žinote, kad šiuolaikiniai kompiuteriai operuoja dvejetainiais kodais. Dvejetainiu pavidalu galime koduoti tiek skaičius, tiek ir įvairius kitokius objektus. Be to, kompiuterio atmintyje gali b ūti saugomi tik baigtinio ilgio kodai. Kadangi realieji skaičiai yra begalinės periodinės arba neperiodinės trupmenos, tai jie visada yra apvalinami iki artimiausios baigtinės dvejetainės trupmenos. Taigi, informatikos, kaip kompiuteriu ir algoritmu mokslo, objektai taip pat yra diskret ūs. Jei norėsite suprasti šiuolaikiniu kompiuteriu architekt ūra, programinę įrangą, komunikacijos sistemas, skaitmeninį signalu apdorojima, informacijos teorija, neuroninius tinklus, valdymo sistemas ir t.t., j ūs turėsite išmokti bent truputį, o gal ir daugiau, diskrečiosios matematikos. Daugelis šiuolaikinės ekonomikos modelių taip pat yra diskret ūs. Taigi, diskrečioji matematika yra daugelio matematikos, informatikos, ekonomikos sričiu pagrindas, o tuo pačiu ir daugelio šiandienos progresyviu technologiju pagrindas! Rekomenduojama literat ūra 1. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 5-as leid., McGraw-Hill, Boston, S.V. Jablonskij, Vvedenije v Diskretnuju Matematiku, 2-as leid., Nauka, Maskva, 1986 (rusų k.). 3. S. Norgėla, Matematinės Logikos Įvadas, VU leidykla, Vilnius, R. Grigutis, Baigtinės Algebrinės Strukt ūros, VU leidykla, Vilnius, V. Stakėnas, Informacijos Kodavimas, VU leidykla, Vilnius,

4 1 skyrius Aibės, funkcijos ir saryšiai 1.1 Aibiu algebra Paprasčiausias diskretus objektas yra baigtinė aibė, todėl šiame skyrelyje priminsime kai kurias aibiu teorijos sąvokas. Aibė ir jos elementas yra pirminės matematikos sąvokos (kaip skaičius, taškas ir pan.). Intuityviai aibę laikome skirtingu objektu rinkiniu, o pačius objektus vadiname tos aibės elementais. Tai, kad elementas a priklauso aibei A, žymime a A. Jei b nepriklauso A, rašome b / A. Tuščią rinkinį vadiname tuščia aibe ir žymime. Aibė B yra aibės A poaibis (B A), jei B =, arba kiekvienas aibės B elementas priklauso ir aibei A. Jei B A ir B A, poaibį B vadiname tikru ir žymime B A. Aibės A poaibiu aibę žymime P(A). Baigtinę aibę, turinčia n 0 elementu, vadiname n-aibe, o bet kurį jos poaibį, turintį m elementu, vadiname m-poaibiu (0 m n). Baigtinės aibės elementu skaičius dar vadinamas jos galia. Aibės A galia žymima A. Baigtinė aibė paprastai apibrėžiama, išvardijant jos elementus: A = {a 1,...,a n }. Kitas aibės apibrėžimo b ūdas nurodomasavybė S, kuria pasižymi tos aibės elementai ir nepasižymi visi kiti objektai. Tokiu atveju naudojamas užrašas A = {x: S(x)}. Pavyzdžiui, Z 3 = {x: x yra sveikasis skaičius, kuris dalinasi iš 3}. Trečias aibės apibrėžimo b ūdas yra induktyvus arba konstruktyvus. Paprastai induktyvus apibrėžimas b ūna sudarytas iš trijų skirsniu. Pirmajame skirsnyje mes nurodome viena ar keleta objektu, kurie priklauso apibrėžiamai aibei. Anrajame skirsnyje pateikiame b ūda kaip iš jau turimu aibės elementu gauti naujus jos elementus. Pagaliau trečias skirsnis teigia, kad objektas priklauso apibrėžiamai aibei tada ir tik tada, kai tai išplaukia iš pirmojo ir antrojo skirsniu. Pavyzdys Visais trimis išvardintais b ūdais apibrėšime vieną ir tą pačia lyginiu sveikuj u skaičiu aibę Z 2 : Z 2 = {..., 4, 2,0,2,4,6,...}; Z 2 = {x: x yra lyginis sveikasis skaičius}; 3

5 1. 0 Z 2 ; 2. Jei x priklauso Z 2, tai x + 2 ir x 2 taip pat priklauso Z 2 ; 3. Bet kuris objektas priklauso aibei Z 2 tada ir tik tada, kai tai išplaukia iš 1 ir 2 šio apibrėžimo skirsniu. Dabar apibrėšime pagrindines aibių operacijas (naudodami antra aibių apibrėžimo b ūda): aibiu A ir B sajunga A B = {x: x A arba x B}; aibiu A ir B sankirta A B = {x: x A ir x B}; aibiu A ir B skirtumas A \ B = {x: x A ir x / B}. Kai visos nagrinėjamos aibės yra poaibiai kokios nors didesnės (universalios) aibės U, dažnai apibrėžiama dar viena aibių operacija: aibės A U papildinys (iki aibės U) A = U\A = {x: x / A}. Aišku, kad aibė U turi b ūti nurodyta arba nuspėjama iš konteksto. Pavyzdys Nagrinėsime nat ūriniu skaiči u aibės N = {0,1,2,...} poaibius, t.y., U = N. Apibrėžę N 2 = {x: x dalinasi iš 2} ir N 3 = {x: x dalinasi iš 3}, gauname N 2 N 3 = {x: x dalinasi iš 2 arba 3} = {0,2,3,4,6,8,9,...}; N 2 N 3 = {x: x dalinasi iš 6} = {0,6,12,...}; N 2 \ N 3 = {x: x dalinasi iš 2, bet nesidalina iš 3} = {2,4,8,10,14,...}; N 2 = {x: x nesidalina iš 2} = {1,3,5,...}. Aibių operacijos, ir \ atitinka aritmetines operacijas +, ir. Todėl aibiu operacijos tenkina kelis dėsnius, kuriuos j ūs jau žinote iš aritmetikos: (1) A B = B A (komutatyvumas; čia vietoje abiejose lygybės pusėse galime įstatyti arba ); (2) A (B C) = (A B) C (asociatyvumas); (3) A (B C) = (A B) (A C) (distributyvumas); (4) (a) A = A; (b) A = (tuščia aibė atitinka skaičiu 0 aritmetikoje); 4

6 (5) A = A. Aibių visumą, kurioje apibrėżtos sąjungos, sankirtos ir papildinio operacijos, vadina aibių algebra. Aibių algebroje galioja ir kiti dėsniai, neturintys analogu aritmetikoje: (6) (a) A A = A; (b) A A = A (idempotentumas); (7) A (B C) = (A B) (A C) (antras distributyvumo dėsnis); (8) (a) A B = A B; (b) A B = A B (de Morgano dėsniai); Pastebėkime, kad dėsnius (6)(b), (7) ir (8)(b) galima gauti atitinkamai iš dėsniu (6)(a), (3) ir (8)(a), pakeitus juose ženklus į ir atvirkščiai. Pasirodo, aibių algebroje galioja dualumo principas: Dualumo principas. Jei turime teisinga aibių lygybę, sudaryta iš universalios aibės U poaibiu ir operaciju, bei (papildinio), tai pakeitę abiejose lygybės pusėse ženklus į, į, į U ir U į, vėl gausime teisinga aibiu lygybę. Pavyzdžiui, iš (4) galime gauti teisingas lygybes (9) (a) A U = A; (b) A U = U. Norint įrodyti, kad dvi aibės yra lygios (C = D), pakanka įrodyti, kad kiekviena iš jų yra kitos poaibis (C D ir D C). Įrodykime, pavyzdžiui, distributyvumo dėsnį (7). Įrodymas. Jei A (B C) =, tai aišku, kad (A B) (A C). Tarkime, x A (B C) bet kuris šios aibės elementas. Tada x priklauso bent vienai iš aibiu A ir B C. Antruoju atveju gauname x B ir x C. Vadinasi, x priklauso bent vienai iš aibių A, B ir tuo pačiu metu priklauso bent vienai iš aibių A, C. Gavome, kad x (A B) (A C). Kadangi tai teisinga bet kuriam x, tai A (B C) (A B) (A C). Atvirkštinė įdėtis (A B) (A C) A (B C) įrodoma, kartojant aukščiau pateiktus samprotavimus atvirkščia tvarka. Formaliai m ūsų įrodyma galime užrašyti taip: x A (B C) x A arba x B C (x A arba x B) ir (x A arba x C) x A B ir x A C x (A B) (A C). 5

7 U U A B A B A \ B A B Pav. 1.1: Veno diagramos. Nesudėtingas aibių algebros formules patogu patikrinti grafiškai Veno diagramu (dar vadinamų Oilerio skrituliais) pagalba. Universalia aibę vaizduojame stačiakampiu, o jos poaibius susikertančiais skrituliais. Pavyzdžiui, aibių lygybę A \ B = A B demonstruoja diagramos pavaizduotos paveikslėlyje 1. Kairiojoje diagramoje užštrichuota aibė A \ B, o dešiniojoje diagramoje aibę A B atitinka ta sritis, kuri užštrichuota bent vienu b ūdu. Norėdami apibrėžti paskutinę aibių operacija, pateikiame dar keleta sąvoku. Bet kokiu objektu (t.y., neb ūtinai skirtingu) rinkin i vadiname multiaibe (vietoje žodžio multiaibė taip pat yra vartojamas terminas šeima). Baigtinę multiaibę, turinčia m elementu, vadiname m-multiaibe. Sutvarkyta multiaibę vadiname seka. Sekoje turi reikšmę ne tik pats objektas, bet ir jo vieta. Sukeitę du skirtingus objektus vietomis, gauname kita seką. Baigtines sekas iš m objektu dar vadina m-vektoriais, o begalines sekas tiesiog sekomis. m-vektoriaus α = (α 1,...,α m ) i-ąjį elementa α i vadina vektoriaus α i-aja koordinate. Pavyzdys A = {0,1} 2-aibė; P(A) = {, {0}, {1},A}; A = {0,1,1,1} šeima; α = (0,1,0,0) ir β = (1,0,0,0) du skirtingi 4-vektoriai; γ = begalinė periodinė seka. Netuščiu aibiu A 1,A 2,...,A m Dekarto sandauga vadiname aibę A 1 A m = {α = (α 1,...,α m ): α i A i,i = 1,...,m}. Jei A 1 = A 2 = = A m = A, tai gautą aibę žymėsime A m ir vadinsime aibės A m-uoju Dekarto laipsniu, o jos elementus m-vektoriais aibėje A. Vektorius aibėje {0, 1} vadiname dvejetainiais. Taigi, α ir β iš pavyzdžio 1.3 dvejetainiai vektoriai ir α,β {0,1} 4. Praplėtę aibės Dekarto laipsnio apibrėžima, simboliu A žymėsime aibę begaliniu seku, sudarytu iš aibės A elementu. Jei γ seka iš pavyzdžio 1.2, tai γ {0,1}. Pavyzdys Tegu V = {a,b,...,h} (vertikalės), H = {1,2,...,8} (horizontalės). Tada L = V H = {a1,a2,...,h8} šachmatu lentos laukeliu aibė (vietoje vektoriaus (a, 1) čia mes naudojame šachmatininkams įprasta žymėjima a1; vėliau mes taip pat dažnai praleisime kablelius ir skliaustus vektoriu žymėjime, pvz. α = 0111 ir pan.) 6

8 Uždaviniai 1. Duotas aibes užrašykite pavidalu {x: S(x)}. Pateikite taip pat induktyvius aibiu A ir B apibrėžimus. (a) A = {1,3,5,7,...}; (b) B = {1,6,11,16,...,96}; (c) C = {2,3,5,7,11,13, 17, 19,23, 29,...,997}. 2. Duotos aibės A = {Jonas,Petras} ir B = {, { }}. Raskite jų poaibiu aibes P(A) ir P(B). 3. Duotos aibės A = {0,1,2} ir B = {1,2,3}. Raskite aibes A B, A B, A \ B, B \ A, A, B, A B, A B, A \ B, B \ A ir (A B) (A B). 4. Aibę D = A (B C) pavaizduokite Veno diagrama. 5. Įrodykite lygybę (A \ B) (B\A) = (A B) \ (A B): (a) Veno diagramu pagalba; (b) analitiškai. 6. Supaprastinkite reiškinius: (a) ((A B)\(A ))\B; (b) (A ((C\B) )) (A U). 7. Raskite visus trejetainius 2-vektorius, t.y. α {0,1,2} Funkcijos ir saryšiai Atitiktimi tarp netuščiu aibiu A ir B vadiname bet kokį netuščia poaibį F A B. Atitiktis F funkcinė, jei kiekvienam ( ) a A egzistuoja ( ) vienintelis vektorius (a, b) F. Jei F funkcinė atitiktis, tai sakome, kad F apibrėžia funkcija f : A B ir vektoriaus (a,b) F koordinatę b žymime f(a). Taigi, funkcija f :A B yra atitiktis tarp A ir B, priskirianti kiekvienam aibės A elementui kokį nors aibės B elementa. Aibės B poaibį f(a) = {b: a A toks, kad b = f(a)} vadiname aibės A vaizdu. Aibės A poaibį f 1 (b) = {a: f(a) = b} vadiname elemento b B pirmvaizdžiu. Kai aibės A ir B yra baigtinės, funkcija f :A B taip pat vadiname baigtine. Jei A = {a 1,...,a n }, baigtinę funkcija galime vaizduoti jos reikšmiu lentele: x f(x) a 1 f(a 1 ) a 2 f(a 2 ).. a n f(a n ) 7

9 Funkcijos f : A B, pasižyminčios svarbiomis savybėmis, turi dar kitus pavadinimus: f injekcija, jei a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) a 1,a 2 A; f surjekcija, jei f(a) = B; f bijekcija, jei f injekcija ir surjekcija kartu. Bijekcija dar vadina abipus vienareikšmiu atvaizdavimu, kadangi šiuo atveju kiekvienam b B egzistuoja vienintelis a A toks, kad f(a) = b. Pažymėję tokį elementa a = g(b), gauname funkciją g :B A, kuria vadina atvirkštine funkcijai f. Aišku, kad jei A ir B yra baigtinės aibės, o f :A B bijekcija, tai A ir B turi po tiek pat elementu. Pavyzdys Tegu A = {0,1}, B = {a,b,c}, F 1 = {(0,a),(1,a)}, F 2 = {(0,b),(1,a)}. 1. Tarkime, F i apibrėžia f i : A B. Tada f 2 injekcija, o f 1 nei injekcija, nei surjekcija. 2. Tarkime, F 2 apibrėžia f 2 : A B 2 = {a,b}. Tada f 2 bijekcija. 3. Tarkime, F 1 apibrėžia f 1 : A B 1 = {a}. Tada f 1 surjekcija. Jei A ir B begalinės aibės ir egzistuoja bijekcija f : A B, tai A ir B vadiname vienodos galios aibėmis ir žymime A = B. Nat ūriniu skaiči u aibės galia žymima alef-nulinis raide: N 0 = N ( alef yra pirmoji hebraju abėcėlės raidė). Aibė A vadinama skaičia, jei A = N, t.y. egzistuoja bijekcija f :A N. Realiųju skaičiu aibės galia R vadinama kontinuumu ir žymima c raide (paprastai yra naudojama gotiška c raidė). Kadangi galima įrodyti, kad skaičiosios aibės poaibiu aibės galia sutampa su realiuj u skaičiu aibės galia, t.y. P(N) = R, tai kontinuumo galia dar žymima 2 N 0. Pavyzdys Sveikųju skaičiu aibė Z yra skaiti, nes funkcija { 2x, x 0, f(x) = 2x 1, x < 0 yra bijekcija tarp Z ir N. Funkcija f atvaizduoja neneigiamus sveikuosius skaičius į lyginius nat ū- rinius skaičius, o neigiamus sveikuosius skaičius į nelyginius nat ūrinius skaičius. Iš šio pavyzdžio matome, kad begalinė aibė gali b ūti tos pačios galios su savo poaibiu, nes N Z. n-viečiu (n-nariuoju) saryšiu aibėje A vadiname bet kokį poaibį σ A n. Pavyzdžiui, Pitagoro skaičiu trejetai sudaro trivietį sąryšį P = {(x,y,z): x 2 + y 2 = z 2, x,y,z Z} sveikuj u skaičiu aibėje. Toliau nagrinėsime tik dviviečius (binariuosius) sąryšius, kuriuos vadinsime tiesiog sąryšiais. Pavyzdžiui, kiekviena funkcija f : A A atitinka sąryšis {(a,f(a)): a A} Jei (a i,a j ) σ, tai sakome, kad a i ir a j susieti saryšiu σ ir žymime a i σ a j. Sąryšį σ vadiname: 8

10 refleksyviu, jei aσ a a A; simetriniu, jei aσ b bσ a a,b A; antisimetriniu, jei aσ b ir bσ a a = b a,b A; tranzityviu, jei aσ b ir bσ c aσ c a,b,c A. Refleksyvu, tranzityvu ir simetrinį sąryšį vadiname ekvivalentumo sąryšiu. Refleksyvu, tranzityvu ir antisimetrinį sąryšį vadiname tvarkos sąryšiu ir žymime. Aibė A sutvarkyta, jei joje apibrėžtas koks nors tvarkos sąryšis. Griežtos tvarkos sąryšis < sutvarkytoje aibėje apibrėžiamas taip: a < b a b ir a b. Sutvarkyta aibę vadiname pilnai sutvarkyta, jei a,b A a b arba b a. Sutvarkytos aibės grafiškai yra vaizduojamos Hesės diagramomis. Pavyzdys Tegu A = {1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 10} ir σ 1 = {(a,a): a A} (A 2 įstrižainė ), σ 2 = {(a,b): a b (nelygybė tarp nat ūriniu skaiči u)}, σ 3 = {(a,b): b a dalinasi iš 3 be liekanos}, σ 4 = σ 2 σ 3. Nesunku patikrinti, kad σ 1 ir σ 3 ekvivalentumo sąryšiai, o σ 1,σ 2 ir σ 4 tvarkos sąryšiai. Iš šių trijų tvarkos sąryšiu tik su sąryšiu σ 2 aibė A bus pilnai sutvarkyta. Pavyzdys Dvejetainiu vektoriu aibėje {0,1} n apibrėžkime sąryšį. Tegu α = (α 1,...,α n ) ir β = (β 1,...,β n ) {0,1} n. Sakysime, kad α yra mažesnis arba lygus β ir žymėsime α β, jei α 1 β 1, α 2 β 2,..., α n β n. Nesunku patikrinti, kad yra tvarkos sąryšis, taigi aibė {0,1} n su šiuo sąryšiu yra sutvarkyta. Tačiau ši aibė nėra pilnai sutvarkyta (kai n 2), nes, pavyzdžiui, vektoriai (0,1) ir (1,0) yra nepalyginami. Rasime objektu skaičiu dviejose iš skyrelyje 1.1 apibrėžtu aibiu. Priminsime, kad baigtinės aibės A galia A vadiname jos elementu skaičiu. Teorema A 1 A k = A 1 A k (A 1,... A k baigtinės netuščios aibės); 2. P(A) = 2 A (aibė A baigtinė). Įrodymas. Pirma lygybė akivaizdi, nes k-vektoriaus α A 1 A k i-oji koordinatė α i gali b ūti bet kuris iš A i aibės A i elementu (i = 1,...,k). Todėl skirtingu k-vektoriu bus A 1 A k. 9

11 Antrą lygybę įrodysime, remdamiesi pirmąja, iš kurios išplaukia, kad {0,1} n = 2 n. Jei A tuščia, tai P(A) = { } ir turime teisinga lygybę 1 = 2 0. Tarkime, A netuščia, t.y. A = {a 1,...,a n } ir apibrėžkime funkcija χ:p(a) {0,1} n, kur kiekvienam B A α = χ(b) yra n-vektorius su koordinatėmis α i = { 1, ai B; 0, a i / B. Vektorius χ(b) dar vadinamas poaibio B charakteringuoju vektoriumi. Jis nusako, kurie aibės A elementai priklauso poaibiui B, o kurie ne. Nesunku įsitikinti, kad kiekviena dvejetainį vektoriu α {0,1} n atitinka lygiai vienas poaibis B P(A) toks, kad α = χ(b). Taigi, χ yra bijekcija ir P(A) = {0,1} n = 2 n. Išvada C 0 n + C1 n + + Cn n = 2n. Įrodymas. Kadangi n-aibė turi lygiai Cn k skirtingu k-poaibi u, tai abi lygybės pusės išreiškia visų skirtingu n-aibės poaibiu skaičiu. Uždaviniai 1. Duota funkcija f : A B. Rasti aibės A 1 A vaizda f(a 1 ), aibės B 1 B pirmvaizdį f 1 (B 1 ) ir funkcijos f reikšmiu sritį R f = f(a). Nustatyti, ar ši funkcija yra injekcija, surjekcija, bijekcija. (a) A = B = N = {0,1,2,...}, A 1 = B 1 = {1,2,3,4}, f(x) = x + 1; (b) A = B = Z = { 2, 1,0,1,2,...}, A 1 = B 1 = {1,2,3,4}, f(x) = x Sukonstruoti bijekcijas f :A B: (a) f : Z N; (b) f : Z 2 = {..., 4, 2,0,2,4,...} N; (c) f : N N N; (d) f : R R + = (0, ); (e) f :[0,1) ( 1 4, 1 2 ]. 3. Žmonių aibėje apibrėžti tokie sąryšiai: (a) a σ 1 b a ir b yra vienmečiai ; (b) a σ 2 b a ir b turi tą patį senelį arba tą pačia senelę ; (c) a σ 3 b a sveria daugiau už b. 10

12 Panagrinėkite, kurias iš keturiu sąryšiu savybiu (refleksyvumas, simetriškumas, antisimetriškumas ir tranzityvumas) tenkina kiekvienas iš šių sąryšiu. Kurie iš šių sąryšiu bus ekvivalentumo sąryšiais? 4. Sveikųju skaičiu aibėje apibrėžti tokie sąryšiai: (1) a = b, (2) a > b, (3) a = b, (4) a = b+1, (5) a+b 3 ir (6) a dalo b. Panagrinėkite, kurias iš trijų sąryšiu savybiu (refleksyvumas, simetriškumas, antisimetriškumas ir tranzityvumas) tenkina kiekvienas iš šių sąryšiu. Kurie iš šių sąryšiu bus tvarkos sąryšiais? 11

13 2 skyrius Matematin s logikos pradmenys Kaip žmonija gauna žini apie j dominan ius objektus? Vis pirma, duomenys renkami atliekant bandymus ir steb jimus, o antra, m stant ir samprotaujant. Samprotaudami susiduriame su dvejopo pob džio žiniomis: vienas jau turime, o kitas išvedame iš j samprotavimais. Kaip sužinoti, ar teisingai išved me? Dar senov je žymiausi m stytojai, ypa Aristotelis IV a. pr. m. e., steng si nustatyti tokias samprotavimo taisykles, d snius, schemas, kad b t samprotaujama tik teisingai. Taip atsirado logikos mokslas. XIX amžiuje jisai buvo formalizuotas, buvo prad ti taikyti matematikos metodai, sudaryti logikos nagrin jam objekt matematiniai modeliai, ir taip atsirado matematin logika. 2.1 Teiginiai Apibr žimas Teiginys tai sakinys, kuris išreiškia ties arba neties. Pavyzdžiui: 1. Kolumbas atrado Amerik. 2. Drambliai moka skraidyti. 3. Koks rytoj oras? 4. Penki daugiau už tris (trumpiau: 5>3) (-48) >0 6. Kitose planetose gyvena protingos b tyb s. Visi šie sakiniai, išskyrus tre i, yra teiginiai. Jie yra arba teisingi, arba ne (bet ne abu iš karto!), nors mes galb t ir negalim to nustatyti (pavyzdžiui, šeštas sakinys). Jeigu teiginys išreiškia ties, jis vadinamas teisingu, jei neties klaidingu arba neteisingu. Teiginius paprastai žym sime mažosiomis raid mis, pavyzdžiui, p, q, r, s, Jei teiginys teisingas, sakome, kad jis gyja reikšm t (arba 1). Jei neteisingas reikšm k (arba 0). Taigi, teiginiai gyja reikšmes iš aib s {t, k} (arba {1,0}). Reikšmes t ir k vadiname login mis konstantomis. Matematin logika nagrin ja, kaip nustatyti teiginio teisingumo reikšm, kai teiginys yra sud tinis, tai yra sudarytas iš keli kit teigini. 2.2 Login s operacijos Iš paprast teigini galime sudaryti sud tinius, naudodami logines jungtis, pavyzdžiui, netiesa, kad, ir, arba ir t.t. Sud tinio teiginio sudarymas pasinaudojus logine jungtimi vadinamas logine operacija. Išskirsime tokias logines operacijas: 12

14 2.2.1 Neigimas Jei p yra teiginys, tai teiginys netiesa, kad p ( ne p ) vadinamas teiginio p neiginiu ir žymimas p. Teiginio p neiginys p yra teisingas tada ir tik tada, kai teiginys p yra neteisingas. Galime sudaryti lentel, vadinam teisingumo reikšmi lentele (arba tiesiog teisingumo lentele, žr. dešin je). p p t k k t Konjunkcija (login daugyba) Jei p ir q yra teiginiai, tai teiginys p ir q vadinamas teigini p ir q konjunkcija (arba logine sandauga) ir žymimas p&q arba p q. Teigini p ir q konjunkcija yra teisingas teiginys tada ir tik tada, kai abu teiginiai p ir q yra teisingi. Teisingumo reikšmi lentel žr. dešin je Disjunkcija (login sud tis) Jei p ir q yra teiginiai, tai teiginys p arba q vadinamas teigini p ir q disjunkcija (arba logine suma) ir žymimas pvq. Teigini p ir q disjunkcija yra neteisingas teiginys tada ir tik tada, kai p ir q abu neteisingi. Kitaip sakant, disjunkcija teisinga tada ir tik tada, kai bent vienas iš p ir q yra teisingas. Teisingumo reikšmi lentel žr. dešin je. p q p&q t t t t k k k t k k k k p q pvq t t t t k t k t t k k k Implikacija Jei p ir q yra teiginiai, tai teiginys jei p, tai q (arba iš p išplaukia q ) vadinamas teigini p ir q implikacija ir žymimas p q arba p q. Pavyzdžiui, jei p yra 5>3, o q 5>0, tai p q yra jei 5>3, tai 5>0. Implikacija p q yra neteisingas teiginys tada ir tik tada, kai p yra teisingas, o q neteisingas. Teisingumo reikšmi lentel žr. dešin je. Pasteb kime, kad teigini p q ir q p reikšm s gali skirtis, pavyzdžiui, jei dabar saul ta, tai dabar diena yra teisingas teiginys, o jei dabar diena, tai dabar saul ta yra neb tinai teisingas (gali b ti ir apsiniauk ). p q p q t t t t k k k t t k k t Ekvivalencija Jei p ir q teiginiai, tai teiginys p tada ir tik tada, kai q vadinamas teigini p ir q ekvivalencija (arba ekvivalentumu) ir žymimas p q arba p q. Ekvivalencija p q yra teisingas teiginys tada ir tik tada, kai teigini p ir q teisingumo reikšm s sutampa, t.y., arba jie abu teisingi, arba jie abu klaidingi. Teisingumo reikšmi lentel žr. dešin je Šeferio funkcija Jei p ir q teiginiai, tai teiginys p ir q nesutaikomi vadinamas teigini p ir q Šeferio funkcija ir žymimas p q arba p/q (skaitome p Šeferio funkcija q ). Šeferio funkcija p q yra neteisingas teiginys tada ir tik tada, kai abu teiginiai p ir q yra teisingi. Teisingumo reikšmi lentel žr. dešin je. p q p q t t t t k k k t k k k t p q p/q t t k t k t k t t k k t 13

15 2.2.7 Griežta disjunkcija (suma moduliu 2) Jei p ir q yra teiginiai, tai teiginys arba p, arba q vadinamas teigini p ir q griežta disjunkcija (arba suma moduliu 2) ir žymimas p q arba p+q. Griežta disjunkcija yra teisingas teiginys tada ir tik tada, kai lygiai vienas iš teigini p ir q yra teisingas. Teisingumo reikšmi lentel žr. dešin je. Vadinama suma moduliu 2, nes jei pažym tume t vienetu, o k nuliu, tai teisingumo reikšmi lentel b t tokia, kokia pavaizduota dešin je. Tas pa ias reikšmes gautume ir sud j p ir q moduliu 2 (t.y. sud j p ir q, ir pa m dalybos iš dviej liekan ) Kitos login s operacijos Galime apibr žti ir kitas logines jungtis, kurios galb t neturi pavadinim ir atitikmen šnekamojoje kalboje. Pavyzdžiui, toki, kurios teisingumo reikšmi lentel yra kaip dešin je. Iš viso j galime apibr žti tiek, kiek yra skirting teisingumo reikšmi lenteli, pavyzdžiui, dvinar ms login ms jungtims j yra 2 4 = Formul s Kaip jau min jau, teiginius žymime mažosiomis raid mis p,q,r,s,, ir jungiame juos login mis jungtimis. Matematin je logikoje mums teiginio turinys yra visiškai nesvarbus. Mums svarbu tik tai, ar jis teisingas, ar ne. Tod l nuo šiol nebesigilinsime teigini turin, o nagrin sime juos kaip kažkokius kintamuosius (vadinsime juos loginiais kintamaisiais), galin ius gyti reikšmes t arba k, ir iš j sudarin sime sud tingesnius teiginius, naudodami logines jungtis. Apibr žimas Login mis formul mis vadinami reiškiniai, gauti baigtin skai i kart pavartojus logini operacij ženklus bei skliaustus raidži jungimui. Formaliai tai galima apibr žti taip: a) login s konstantos k ir t yra login s formul s; b) loginiai kintamieji (p,q,r,s, ) yra login s formul s; c) jei Q yra login formul, tai ( Q) taip pat yra login formul ; d) jei P ir Q yra login s formul s, tai (P Q) yra login formul, kur žymi bet kuri dvinar login jungt (pavyzdžiui, v, &,,, /,, ). Pastaba Kad supaprastintume formuli užrašym, mes vedame kai kuri logini jung i atlikimo tvark (,&,v, kitos), ir daug kur skliaustus praleidžiame. Pavyzdys Reiškiniai p q, q, q r, (p&q) v r, (p q), ((p q)&( q r)) (qv q) yra login s formul s. Pagal login s formul s apibr žim tur tume rašyti (( q) r), bet rašome tiesiog q r, nes susitar me, kad bet kuriuo atveju neigimas bus skai iuojamas prieš implikacij. Taip pat galime rašyti p&qvr vietoj (p&q)vr, nes vis tiek pirma atliekame konjunkcij, o tik paskui disjunkcij. 14 p q p q t t k t k t k t t k k k p q p q p q t t t t k t k t k k k t

16 Žinodami, kokias reikšmes gyja formules sudarantys teiginiai (t.y., loginiai kintamieji), galime apskai iuoti formul s reikšm. Apskai iuodami naudojam s logini operacij teisingumo reikšmi lentel mis. Taigi, formul galime ži r ti kaip funkcij, kurios argumentai gyja reikšmes iš aib s {k, t} (arba {0, 1}), ir kuri gyja reikšmes iš tos pa ios aib s. Pavyzdys Sudarysime formul s Q(p, q) := p (q& (qvp)) teisingumo reikšmi lentel ( ia ir toliau := yra pažym jimo ženklas: dešin je jo pus je esant reiškin pažymime kair je pus je esan iu simboliu): p q p qvp (qvp) q& (qvp) Q(p,q) t t k t k k t t k k t k k t k t t t k k k k k t k t k k Jei formul eina n logini kintam j, tai teisingumo lentel tur s 2 n eilu i. Jei formul A priklauso nuo kintam j p 1, p 2,, p n, tai j žym sime A(p 1, p 2,, p n ). Apibr žimas Tegu A(p 1, p 2,, p n ) yra login formul. Tada konkretus kintam j p 1, p 2,, p n reikšmi rinkinys vadinamas formul s A interpretacija. t. Pavyzdys p = t, q = k yra formul s Q interpretacija. Formul Q su šia interpretacija gyja reikšm Matome, kad kiekvien interpretacij atitinka viena teisingumo reikšmi lentel s eilut, ir atvirkš iai. Tod l, jeigu formul priklauso nuo n kintam j, tai yra 2 n skirting jos interpretacij. Apibr žimas Formul vadinama tapa iai teisinga (arba tautologija), jei ji teisinga su bet kuria interpretacija. Formul vadinama tapa iai klaidinga (arba prieštara, arba ne vykdoma), jeigu ji klaidinga su bet kuria interpretacija. Formul vadinama vykdoma, jei atsiras interpretacija, su kuria jinai teisinga. Tapa iai teising (t.t.), tapa iai klaiding (t.k.) ir vykdom formuli santyk galima pavaizduoti tokia diagrama: 15

17 Pavyzdys Sudar teisingumo reikšmi lenteles, sitikinsite, kad formul s p (q p) ir p p yra tapa iai teisingos (t.t.), p& p yra tapa iai klaidinga (t.k.), o formul p p yra vykdoma (jinai yra teisinga, kai p=k). Akivaizdu, kad jei formul A yra tapa iai teisinga, tai A yra tapa iai klaidinga, ir atvirkš iai. Pavyzdžiui, jei A priklauso nuo kintam j p ir q, žr. lentel dešin je. Pavyzdys Nesunkiai sitikinsite, kad (p (q p)) yra tapa iai klaidinga. Norint patikrinti, ar formul A(p 1, p 2,, p n ) yra tapa iai teisinga, pakanka sudaryti jos teisingumo reikšmi lentel ir paži r ti, ar paskutiniame stulpelyje yra vien tik reikšm s t. Bet, sudarant teisingumo reikšmi lentel, reikia apskai iuoti formul s A reikšm 2 n interpretacij. Tai labai greitai auganti funkcija, tod l praktikoje naudoti teisingumo reikšmi lentel formul s tapataus teisingumo nustatymui galima tik nedideliems n. Atrodyt, kad patikrinti, ar formul yra vykdoma, yra daug lengviau negu patikrinti jos tapat teisingum, nes užtenka surasti vien reikšm t. Bet taip n ra. Iš tikro, tarkime, kad turime algoritm, kuris bet kuri formul A patikrina, ar jinai vykdoma, ar ne. Bet žinome, kad formul A yra tapa iai teisinga tada ir tik tada, kai A yra tapa iai klaidinga, t.y. kai A ne vykdoma. Taigi, pritaikome t algoritm formulei A. Jei atsakymas, kad A vykdoma, tai A n ra tapa iai teisinga, o jei ne, tai A yra tapa iai teisinga. Apibr žimas Dvi login s formul s A ir B vadinamos logiškai ekvivalen iomis (arba tiesiog ekvivalen iomis), jei su bet kuria interpretacija jos gyja t pa i reikšm. Žymime A ~ B (arba A B). Pavyzdys Nesunkiai patikrinsite, kad p&q ~ q&p, p&(q&r) ~ (p&q)&r, pv(q& q) ~ pv(r& r), p p ~ q q. Žr., pavyzdžiui, lentel : p q t t t t t k t k t t k k t k k t t Taigi, formul A yra tapa iai teisinga, jei ji ekvivalenti loginei konstantai t, t.y. A ~ t. Iš tikro, login konstanta t yra login formul, kuri su bet kuria interpretacija gyja reikšm t, pavyzdžiui, kaip kair je. Analogiškai, formul A yra tapa iai klaidinga, kai jinai ekvivalenti loginei konstantai k. Be to, bet kurios dvi tapa iai teisingos formul s yra ekvivalen ios, ir bet kurios dvi tapa iai klaidingos formul s taip pat yra ekvivalen ios. Atkreipsiu j s d mes skirtum tarp žym jim ir ~. Tur kite omenyje, kad tai login operacija, kuri sujungia formules A ir B sud tin formul A B, o A ~ B tiesiog reiškia, kad formul s A ir B ekvivalen ios, t.y. j reikšm s vienodos su bet kuria interpretacija. Bet tarp ši žym jim yra aiškus ryšys, kur rodo šis teiginys. A p q A A t t t k t k t k k t t k k k t k p q p p q q t t t t t k t t k t t t Teiginys Login s formul s A ir B yra logiškai ekvivalen ios tada ir tik tada, kai login formul B yra tapa iai teisinga. 16

18 rodymas. Prisiminkime, kad formul s A B teisingumo reikšmi lentel yra tokia, kaip parodyta dešin je. Pagal formul s A B teisingumo reikšmi lentel, A B yra teisinga tada ir tik tada, kai formuli A ir B reikšm s sutampa. Tod l A B yra tapa iai teisinga tada ir tik tada, kai A ir B reikšm s sutampa su kiekviena kintam j interpretacija, t.y. tada ir tik tada, kai A ~ B. Šit teigin galime užrašyti taip: A ~ B tada ir tik tada, kai A B ~ t. Pavyzdys p&q ~ q&p, tod l (p&q) (q&p) yra tapa iai teisinga formul, t.y. (p&q) (q&p) ~ t. Ir atvirkš iai, pavyzdžiui, žinome, kad p p ~ t, tod l p ~ p. 2.4 Logikos d sniai A B A B t t t t k k k t k k k t Apibr žimas Logikos d sniu vadiname tapa iai teising formul. Logikos d sniai naudojami samprotaujant. Kelis logikos d snius (t.y., tapa iai teisingas formules) jau sutikome, pavyzdžiui, p (q p). Be to, kaip mat me k tik rodytame teiginyje, logikos d sn gauname iš kiekvienos ekvivalen i formuli poros: jei A ~ B, tai formul A B yra logikos d snis. Pavyzdžiui, mat me, kad p&q ~ q&p. Taigi, (p&q) (q&p) yra logikos d snis. Kadangi tai tokios artimos s vokos, tai ekvivalen i formuli por irgi vadinsime logikos d sniu, pavyzdžiui, p&q ~ q&p vadinsime logikos d sniu. Kai kurie logikos d sniai vartojami dažniau, kiti re iau. Dabar susipažinsime su svarbesniais d sniais. Vis j rodymas labai paprastas. Tiesiog sudarome j teisingumo reikšmi lenteles, ir patikriname, kad tai tikrai ekvivalen ios formul s. Neigimo savyb : 1. p p dvigubo neigimo d snis Konjunkcijos savyb s: Disjunkcijos savyb s: 2. a) p&p p b) pvp p idempotencijos d sniai 3. a) p& p k (prieštaravimo d snis) b) pv p t (negalimo tre iojo d snis) 4. a) p&q q&p b) pvq qvp komutatyvumo d sniai 5. a) (p&q)&r p&(q&r) b) (pvq)vr pv(qvr) asociatyvumo d sniai Kiti d sniai: 6. a) (pvq)&r (p&r)v(q&r) b) (p&q)vr (pvr)&(qvr) distributyvumo d sniai 7. a) (p&q) pv q b) (pvq) p& q De Morgano d sniai 8. a) (p&q)vp p b) (pvq)&p p absorbavimo d sniai 9. p q pvq implikacijos pašalinimo d snis 10. p q (p q)&(q p) ekvivalencijos pašal. d. 11. p/q (p&q) Šeferio f-jos pašal. d. 12. p q (p q) griežtos disj. pašal. d. 17

19 Pavyzdys Sudarykime 8a) d snio teisingumo reikšmi lentel ir sitikinkime, kad iš tikr j tai yra logikos d snis, t.y. ekvivalen i formuli pora (žr. dešin je). Iš komutatyvumo ir asociatyvumo d sni (ketvirtas ir penktas loginiai d sniai) matome, kad formul je, kuri eina vien kintamieji, skliaustai ir, pavyzdžiui, disjunkcijos ženklai, galima kintamuosius keisti vietomis, bet kaip juos suskliausti arba ir visai neskliausti visos taip gautos formul s bus ekvivalen ios. Pavyzdžiui, (pvq)vr ~ qv(pvr) ~ pv(qvr) ~ ~ pvqvr (jei skliaust n ra, operacijas atliekame j užrašymo tvarka). Tas pats galioja ir konjunkcijai, t.y. veiksm atlikimo tvarka neturi reikšm s, vis tiek gausime t pat rezultat. Atkreipkite d mes, kad distributyvumo d snis (pvq)&r ~ (p&r)v(q&r) labai primena gerai jums žinom aritmetikos taisykl (p+q)r = pr + qr, užtenka pakeisti disjunkcij v sud t +, ir konjunkcij & daugyb. Bet logikoje galima dar daugiau! Logikoje galioja dar vienas distributyvumo d snis: (p&q)vr ~ (pvr)&(qvr), kurio atitikmuo pq+r = (p+r)(q+r) negalioja aritmetikoje! Distributyvumo d snius galima apibendrinti didesniam nari skai iui, t.y. (p 1 v p 2 v vp n )&q ~ (p 1 &q)v(p 2 &q)v v(p n &q), (p 1 & p 2 & &p n )vq ~ (p 1 vq)&(p 2 vq)& &(p n vq). De Morgano d snius taip pat galime apibendrinti: (p 1 vp 2 v vp n ) ~ p 1 & p 2 & & p n, (p 1 & p 2 & & p n ) ~ p 1 v p 2 v v p n. 1 pastaba Loginiai d sniai tebegalios, jei pakeisime kintamuosius bet kokiomis formul mis. Iš tikro, turime tok teigin : p q p&q (p&q)vp t t t t t k k t k t k k k k k k 1 teiginys Tarkime, A(p 1,,p n ) yra tapačiai teisinga formul, o B 1,,B n yra bet kokios formul s. Tada A(B 1,,B n ) yra tapačiai teisinga. Įrodymas. Imkime bet kurias formuli B 1,,B n interpretacijas. Tarkime, kad su tomis interpretacijomis B 1 gyja reikšm α 1, B 2 gyja reikšm α 2,, B n reikšm α n, kur α i {t, k} (1 i n). Tada formul s A(B 1,,B n ) reikšm su tomis formuli B 1,,B n interpretacijomis bus lygi reikšmei A(α 1,,α n ). Ta iau formul A(p 1,,p n ) yra tapa iai teisinga, tod l A(α 1,, α n ) yra t. Parod me, kad su bet kokia interpretacija formul A(B 1,,B n ) yra teisinga, o tai reiškia, kad A(B 1,,B n ) yra tapa iai teisinga formul. Išvada Jei A(p 1,,p n ) B(p 1,,p n ), o C 1,,C n yra bet kokios formul s, tai A(C 1,,C n ) B(C 1,,C n ). Įrodymas. Jei A(p 1,,p n ) B(p 1,,p n ), tai A(p 1,,p n ) B(p 1,,p n ) yra tapa iai teisinga formul, tod l, pagal pirm teigin, A(C 1,,C n ) B(C 1,,C n ) yra tapa iai teisinga formul ir A(C 1,,C n ) B(C 1,,C n ). Ši išvada leidžia naudotis išvardintais loginiais d sniais ne tik tokia forma, kokia jie užrašyti, bet ir sta ius sud tingesnes formules vietoj kintam j. 18

20 Pavyzdys Absorbavimo d snis ne tik parodo, kad formul s (pvq)&p ir p yra ekvivalen ios, bet kad ekvivalen ios ir formul s (PVQ)&P bei P, kur P ir Q bet kokios formul s. Tod l, pavyzdžiui, ((p q)v(r/s))&(p q) ~ p q ( ia stat me p q vietoj P ir r/s vietoj Q). Analogiškai, jei De Morgano d sn (p&q) ~ pv q vietoj kintamojo p statysime formul p/ r, o vietoj q statysime r q, tai gausime logikos d sn ((p/ r)&(r q)) ~ (p/ r)v (r q). 2 pastaba Ekvivalen ias formules gausime ir pakeit dal formul s jai ekvivalen ia formule. Iš tikro, tarkime, A, B ir C yra bet kurios formul s, ir formul B yra formul s A sud tyje, t.y. B yra formul s A dalis. Pavyzdys Formul pv q yra formul s r&(pv q) q sud tyje. Beje, formul B gali kelis kartus pasikartoti formul je A. Formul, kuri gaunama iš formul s A, pakeitus joje kuri nors formul B formule C, žym sime A[B,C]. Pavyzdys Jei A yra r&(pv q) q, B yra pv q, C yra p q, tai A[B,C] yra r&( p q) q. 2 teiginys Tarkime, B ir C yra ekvivalenčios formul s. Tada formul s A[B,C] ir A irgi yra ekvivalenčios. Įrodymas. Reikia rodyti, kad formuli A[B,C] ir A reikšm s su visomis interpretacijomis sutampa, t.y. kad j teisingumo reikšmi lenteli paskutiniai stulpeliai sutampa. Sudarykime formul s A teisingumo reikšmi lentel taip, kad iš pradži joje b t apskai iuojamos formul s B reikšm s ( skaitant formules, einan ias B). Analogiškai sudarykime formul s A[B,C] teisingumo lentel taip, kad iš pradži b t apskai iuojamos formul s C reikšm s. Tada iki stulpeli B ir C formuli A ir A[B,C] teisingumo lenteli reikšm s gali skirtis, bet stulpeliuose B ir C jos pasidarys lygios, nes B ir C yra ekvivalen ios formul s. Tolesniuose stulpeliuose reikšm s taip pat liks lygios, nes formul s A ir A[B,C] daugiau niekuo nesiskiria, tod l paskutiniai stulpeliai irgi sutaps. Pavyzdys Tegu A yra formul [(p q) v (q p)] / (p q), B yra p q, ir C yra pvq. Tada formul A[B,C] gali b ti tokia: [( pvq) v (q p)] / (p q). Formuli A ir A[B,C] teisingumo reikšmi lenteles galima skai iuoti taip: p q B q p B v (q p) A t t t k t k t k k t t t k t t t t k k k t k t k p q p C q p C v (q p) A[B,C] t t k t k t k t k k k t t t k t t t t t k k k t t k t k Taigi, skai iuodami formul s A teisingumo reikšmi lentel, iš pradži apskai iuojame formul B, o paskui kitas formul s A dalis bet kuria tvarka. Skai iuodami A[B,C], iš pradži apskai iuojame formul C, o paskui kitas formul s A[B,C] dalis ta pa ia tvarka, kaip ir formulei A. Matome, kad, kadangi formul s B ir C ekvivalen ios, tai stulpeliai B ir C, o ir 19

21 visi toliau einantys stulpeliai, sutampa. Tod l [(p q) v (q p)] / (p q) ~ [( pvq) v (q p)] / (p q). Pavyzdys Kadangi p q pvq, tai formul je [(p q) v (q p)] / (p q) galime pakeisti formul p q formule pvq, taip gaudami formul [( pvq) v (q p)] / (p q). Tod l [(p q) v (q p)] / (p q) ~ [( pvq) v (q p)] / (p q). Naudojantis turimais logikos d sniais ir k tik gautais rezultatais, galima išvesti naujus logikos d snius. Antra pastaba tvirtina, kad pakeit bet kuri formul, einan i formul A, jai ekvivalen ia formule, gausime formulei A ekvivalen i formul. O pirmoji sako, kad galime naudoti logikos d snius, stat bet kokias formules vietoj kintam j. Pavyzdys (p q)/r ~ implikacijos pašalinimo d snis ir 2 pastaba ( pvq)/r ~ Šeferio f-jos pašalinimo d snis ir 1 pastaba [( pvq)&r] ~ De Morgano d snis ir 1 pastaba ( pvq)v r ~ De Morgano d snis ir 1 bei 2 pastabos ( ( p)& q)v r ~ dvigubo neigimo d snis ir 2 pastaba (p& q)v r 2.5 Esminiai ir fiktyv s kintamieji Apibr žimas. Sakysime, kad loginis kintamasis p i login je formul je Q(p 1, p 2,,p n ) yra esminis, jei galime rasti tokias reikšmes α 1, α 2,,α i-1, α i+1,, α n {t,k}, kad Q(α 1, α 2, α i-1, t, α i+1,, α n ) Q(α 1, α 2, α i-1, k, α i+1,, α n ). Priešingu atveju kintamasis vadinamas fiktyviu formul je Q. Komentaras Taigi, jei, esant kažkokioms fiksuotoms kit kintam j reikšm ms, kintamojo p i reikšm s pakeitimas iš t k pakei ia formul s reikšm, tai kintamasis p i yra esminis. Jei kintamojo p i reikšm s pakeitimas iš t k nepakei ia formul s reikšm s, kad ir kokios b t fiksuotos kit kintam j reikšm s, tai kintamasis p i vadinamas fiktyviu. Kaip matysime, tokiu atveju jis formul eina fiktyviai, t.y. egzistuoja ekvivalenti formul, kuri kintamasis p i ne eina. Pavyzdys Nustatysime, kurie loginiai kintamieji yra fiktyv s, o kurie esminiai formul je Q(p,q,r) = ( p& q&r) v ( p&q&r). Sprendimas b t toks. Reikia sistatyti visus galimus kintam j reikšmi rinkinius ir paži r ti, ar formul s reikšm priklauso nuo kintamojo reikšm s pakeitimo. Kad b t papras iau, pirmiausia sudarysim formul s teisingumo reikšmi lentel : p q r p q p& q&r p&q&r Q(p,q,r) t t t k k k k k t t k k k k k k t k t k t k k k 20

22 t k k k t k k k k t t t k k t t k t k t k k k k k k t t t t k t k k k t t k k k Iš pirmos ir penktos eilučių matome, kad kintamasis p yra esminis. Iš tikro, pirmoje ir penktoje eilut se kitų kintamųjų (q ir r) reikšm s nesikeičia (ir yra lygios atitinkamai t ir t), keičiasi tik kintamojo p reikšm (t pirmoje eilut je, k penktoje). Ir formul s reikšm taip pat keičiasi! Taigi, formul Q(p,q,r) nuo kintamojo p priklauso iš esm s, jis yra esminis. Kintamasis q yra fiktyvus. Iš tikro, imkim pirmą ir trečią lentel s eilutes. Jose skiriasi tik kintamojo q reikšm s (t pirmoje eilut je, k trečioje), o kitų kintamųjų reikšm s lieka tos pačios (t). O formul s reikšm nesikeičia išlieka k. Bet to dar neužtenka, kad gal tume tvirtinti, kad q yra fiktyvus, nes mes patikrinome tik vieną porą interpretacijų. Galbūt kokioje kitoje poroje, kurioje keisis vien tik kintamojo q reikšm, formul s reikšm irgi keisis. Taigi, turime patikrinti visas galimas poras. Taip ir padarome: antroje ir ketvirtoje eilut se keičiasi vien tik kintamojo q reikšm, o formul s reikšm nesikeičia; tas pats ir penktoje septintoje, ir šeštoje aštuntoje eilut se. Patikrinom visas galimas interpretacijų poras, ir niekur formul s reikšm nesikeičia, keičiantis vien tik kintamojo q reikšmei. Taigi, kintamasis q iš tikro yra fiktyvus. Belieka patikrinti kintamąjį r. Pirma antra eilut s: keičiasi vien tik kintamojo r reikšm, o formul s reikšm nesikeičia; trečia ketvirta: nesikeičia; penkta šešta: keičiasi! Taigi, kintamasis r yra esminis. Jeigu kintamasis yra fiktyvus duotoje formul je, tai mes galime rasti ekvivalenčią formulę, į kurią tas kintamasis neįeina. Pavyzdys Imkime tą pačią formulę Q(p, q, r) ~ ( p& q&r) v ( p&q&r). Pasinaudodami loginiais d sniais, galime ją suprastinti: Q(p, q, r) ~ [( p&r)& q] v [( p&r)&q] ~ ( p&r)&( qvq) ~ ( p&r)&t ~ p&r ~ P(p,r). Gavome formulę P(p,r), ekvivalenčią formulei Q(p, q, r), į kurią neįeina kintamasis q. Naudojantis logikos d sniais gali būti sud tinga pašalinti fiktyvius kintamuosius iš formul s. Parodysime, kaip galima tai padaryti naudojantis teisingumo reikšmių lentele. Pavyzdys V lgi imkime tą patį pavyzdį. Nustat me, kad kintamasis q yra fiktyvus. Kaip jį pašalinti iš formul s? Bandykime perdirbti teisingumo p r Q(p,q,r) reikšmių lentelę taip, kad jinai nebepriklausytų nuo kintamojo q. t t k Kadangi kintamasis q yra fiktyvus, tai iš teisingumo reikšmių lentel s t k k galime išmesti stulpelį su q reikšm mis. Palikime tik stulpelius su t t k esminiais kintamaisiais p ir r bei stulpelį su formul s Q(p,q,r) t k k reikšm mis (žr. dešin je). k t t Kadangi liko tik du kintamieji, lentel je tur tų būti tik 4 eilut s. Iš tikro, lengva pasteb ti, kad kai kurios lentel s eilut s kartojasi (taip yra k k k d l to, kad q yra fiktyvus pakeitus vien tik jo reikšmę, formul s k t t reikšm išlieka ta pati, tod l ta eilučių pora skiriasi vien tik kintamojo q k k k reikšme, o išmetus stulpelį su kintamojo q reikšm mis ir iš viso nebesiskiria). Išmetame 21

23 besikartojančias eilutes ir gauname lentelę iš keturių eilučių (žr. dešin je). Ši lentel vaizduoja funkciją P(p,r), priklausančią tik nuo kintamųjų p ir r, ir jos reikšm s duotoms kintamųjų p, q ir r reikšm ms sutampa su formul s Q(p,q,r) reikšm mis, tai yra Q(p,q,r) P(p,r). Taigi, belieka tik užrašyti formulę P(p,r), kurios teisingumo reikšmių lentelę radome, ir tur sime formulę, ekvivalenčią duotai formulei, kurioje neb ra fiktyvių kintamųjų. O kaip užrašyti formulę iš duotos teisingumo reikšmių lentel s, mes išmoksime netrukus, kai nagrin sime normaliąsias formas. Pastabos 1. Jei formul yra tapačiai teisinga arba tapačiai klaidinga, tai visi į ją įeinantys kintamieji yra fiktyvūs. 2. Lengva patikrinti, kad jei formul s Q(p 1, p k, p k+1, p n ) ir P(p 1, p 2, p k ) yra ekvivalenčios, tai kintamieji p k+1, p n yra fiktyvūs formul je Q. 2.6 Kontaktin s schemos p r P(p,r) t t k t k k k t t k k k Vienas akivaizdžiausių matematin s logikos pritaikymų yra elektros grandin se. Kontaktinis elementas (pavyzdžiui, jungiklis arba rel ), žymimas, gali būti dvejose būsenose: 1) jis praleidžia elektros srovę, kontaktai sujungti, sakome, kad jis jungtas. Žym jimas: 2) kai kontaktai nesujungti, elementas išjungtas, jungiklis elektros srov s nepraleidžia. Žym jimas: Kontaktin schema tai sujungtų kontaktinių elementų rinkinys su dviem iš jimais į išorę. Pavyzdys Čia jūs matote elektros grandinę, kurią sudaro šaltinis, lemput ir kontaktin schema: p q r Kontaktin schema Lemput Srov s šaltinis Kiekvieną kontaktinį elementą žymime raide. Jei, pavyzdžiui, elementai p ir r yra išjungti, o q įjungtas, tai kontaktin schema bus tokia: q p r 22

24 Jinai srov s nepraleis, nes elementas p yra išjungtas. Galima kelis elementus pažym ti ta pačia raide. Tai reiškia, kad jie išjungti ar įjungti vienu metu. Taip pat galima kontaktinius elementus žym ti ir raide su neiginiu (pavyzdžiui, p). Tai reiškia, kad toks elementas bus išjungtas tada ir tik tada, kai elementas p bus įjungtas. Pavyzdys p r q Ši schema praleis srovę, jei kontaktiniai elementai p ir q įjungti, arba jei r įjungtas, o p išjungtas, arba jei q įjungtas, o r išjungtas. Elektros srov s praleidimo sąlygą galima užrašyti kaip formulę. Pavyzdys Paskutinio pavyzdžio schema praleis srovę tada ir tik tada, kai bus teisingas sud tinis teiginys (p q) (r p) (q r), kur p yra teiginys jungiklis p įjungtas, o q ir r yra analogiški teiginiai. Nuoseklų kontaktinių elementų jungimą atitinka konjunkcija, o lygiagretų disjunkcija. Iš tikro: kontaktin schema praleis srovę tada ir tik tada, kai abu kontaktiniai elementai p ir q p q bus įjungti, tai yra, kai teiginys p įjungtas ir q įjungtas yra teisingas, tai yra, kai teiginys p q yra teisingas. Analogiškai kontaktin schema praleis srovę tada ir tik tada, kai bent vienas kontaktinis elementas p p arba q bus įjungtas, tai yra, kai teiginys p įjungtas arba q įjungtas yra teisingas, tai yra, kai teiginys p q yra teisingas. Taigi, kiekvienai kontaktinei schemai galima parašyti ją q atitinkančią formulę. Teisingas ir atvirkščias tvirtinimas: jeigu turime formulę, kurioje yra tik login s operacijos,,, ir yra tik prieš loginius kintamuosius, tai galima nubr žti ją atitinkančią schemą. Kai mokysim s apie normaliąsias formas, matysime, kad bet kuri formul gali būti išreikšta tokiu pavidalu, taigi, bet kuriai formulei egzistuoja kontaktin schema, kuri praleidžia srovę tada ir tik tada, kai ta formul teisinga. Kontaktin s schemos vadinamos ekvivalenčiomis, jei viena praleidžia srovę tada ir tik tada, kai kita taip pat praleidžia srovę. Žinome, kad schema praleidžia srovę tada ir tik tada, kai ją atitinkanti formul yra teisinga. Jei kontaktin s schemos ekvivalenčios, tai kiekvienam kontaktinių elementų reikšmių rinkiniui jos abi kartu praleidžia srovę arba ne, tod l jas atitinkančios formul s yra kartu teisingos arba ne, tai yra formul s yra ekvivalenčios. Ir atvirkščiai, jei dvi formul s yra ekvivalenčios, tai jas atitinkančios kontaktin s schemos yra ekvivalenčios. Pavyzdys Tarkime, turime dvi schemas: q p r 23

25 Jos yra ekvivalenčios, nes jas atitinkančios formul s yra ekvivalenčios. Iš tikro: (( a ( d c )) b ) (( a b e ) c ) ~ ~ ( a d ) ( a c ) b (a c) ( b c) ( e c ) ~ ~ ( a d ) ( c ( a a b e )) b ~ ~ ( a d ) ( c (t b e )) b ~ ~ ( a d ) ( c t) b ~ ~ ( a d ) c b. Tokiu būdu gavome metodą kontaktinių schemų ekvivalentiškumui patikrinti: imame jas atitinkančias logines formules ir nustatome, ar jos ekvivalenčios. Į matematinę logiką suvedama keletas praktinių, įprastų inžinieriams, uždavinių. Pavyzdžiui, duotai schemai rasti jai ekvivalenčią ir paprastesnę. Kas ta paprastesn schema, patikslinama konkrečiam uždaviniui, įvedus sud tingumo sąvoką. Schemos sud tingumu gali būti bendras elementų skaičius, skirtingomis raid mis pažym tų elementų skaičius, elementų, pažym tų tam tikromis raid mis skaičius ir t.t. Taip pat, žinant elementų kainas (skirtingų elementų jos gali būti nevienodos), apskaičiuojama schemos kaina ir stengiamasi rasti ekvivalenčią schemą, kurios kaina būtų mažiausia (schemos minimizacijos pagal kainą uždavinys). 2.7 Normaliosios formos Normalioji disjunkcin forma Apibr žimas Elementaria konjunkcija (EK) vadiname login formul, kintamieji ir j neiginiai, sujungti konjunkcijomis. kuri eina tik loginiai Pavyzdys Formul s a b c, p q r s, p 2, p 3 yra elementarios konjunkcijos. Kiekviena elementari konjunkcija yra arba tapačiai klaidinga, arba teisinga tik su viena interpretacija. Iš tikrųjų, jei į elementarią konjunkciją įeina kuris nors kintamasis ir jo neiginys, tai jinai yra tapačiai klaidinga. 24

26 Pavyzdys Elementari konjunkcija p q r q yra tapačiai klaidinga, nes p q r q p r (q q) ( p r) k k. Priešingu atveju, jinai teisinga su vienintele interpretacija. Pavyzdys Elementari konjunkcija p q r yra teisinga, kai p, q ir r yra teisingi, tai yra, kai p=k, q=t ir r=t, o visais kitais atvejais klaidinga, nes bent vienas iš p, q ar r bus klaidingas. Apibr žimas Normaliąja disjunkcine forma (NDF) vadiname formul, kurios pavidalas yra m K i, kur K i elementarios konjunkcijos. Formul s Q normaliąja disjunkcine forma vadiname jai ekvivalen i NDF. Pavyzdys Formul (a b) (b c) ( a b c) b yra NDF. Teorema Kiekvienai loginei formulei egzistuoja NDF. Pirmas rodymas. Užrašome formul s teisingumo reikšmių lentelę ir iš jos gauname formul s NDF tokiu būdu: imame tik tas lentel s eilutes, kur formul s reikšm yra t, ir iš kiekvienos tokios eilut s suformuojame vieną elementarią konjunkciją, konstantas t keisdami į atitinkamus loginius kintamuosius, o konstantas k į jų neiginius. Parodysime pavyzdžiu. Tarkime, formul s Q(p,q,r) teisingumo reikšmių lentel yra parodyta dešin je. Turime tris eilutes, kuriose formul s reikšm yra t. Kiekvienai eilutei keičiame t į atitinkamą kintamąjį, k į jo neiginį. Iš pirmos eilut s gauname elementarią konjunkciją p q r, iš penktos p q r, iš šeštos p q r, ir imame jų disjunkciją: P(p,q,r) = (p q r) ( p q r) ( p q r). Tai ir bus formul s Q(p,q,r) NDF. Iš tikro, pirma elementari konjunkcija teisinga tik su interpretacija p=t, q=t, r=t, antra su p=k, q=t, r=t, trečia su p=k, q=t, r=k, tod l jų disjunkcija k k k k teisinga tik su šiomis trimis interpretacijomis, o su kitomis klaidinga. Taigi, formul s P(p,q,r) teisingumo reikšmių lentel sutampa su formul s Q(p,q,r) teisingumo reikšmių lentele, tod l jos ekvivalenčios. Ir formul P(p,q,r) yra elementarių konjunkcijų disjunkcija, tod l P(p,q,r) yra formul s Q(p,q,r) NDF. O ką darome, kai formul s reikšm niekada nebūna t, tai yra, kai formul yra tapačiai klaidinga? Tokiu atveju jos NDF yra bet kuri tapačiai klaidinga NDF, pavyzdžiui, p p. Pastaba Įrodymas parod, kaip, turint formulę, užduotą teisingumo lentele, užrašyti ją atitinkančią loginę formulę. Mes nor jome to išmokti, kai nagrin jome esminius ir fiktyvius kintamuosius. Antras rodymas. Suvedame formulę į NDF, naudodami logikos d snius. 1 žingsnis. Pašaliname visas operacijas, išskyrus,,. Tam naudojam s šiais logikos d sniais: 25 i= 1 p q r Q(p,q,r) t t t t t t k k t k t k t k k k k t t t k t k t k k t k

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

5 klasė. - užduotys apie varniuką.

5 klasė. - užduotys apie varniuką. 5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

PNEUMATIKA - vožtuvai

PNEUMATIKA - vožtuvai Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos 5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas... MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU 2011/2012 m.m. 2011/2012 Matematinė logika

doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU 2011/2012 m.m. 2011/2012 Matematinė logika doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU m.m. 1/31 doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra Studentų 50-326 a tel. 300313 FMF dekanatas

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.

Διαβάστε περισσότερα

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams

Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras Giedrė Beconytė DUOMENŲ BAZIŲ PROJEKTAVIMAS Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilnius 2012 Aprobuota VU Gamtos mokslų

Διαβάστε περισσότερα

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka. Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.

Διαβάστε περισσότερα

1 teorinė eksperimento užduotis

1 teorinė eksperimento užduotis 1 teorinė eksperimento užduotis 2015 IPhO stovykla DIFERENCINIS TERMOMETRINIS METODAS Šiame darbe naudojame diferencinį termometrinį metodą šiems dviems tikslams pasiekti: 1. Surasti kristalinės kietosios

Διαβάστε περισσότερα

Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA

Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA Vilnius, 2004 1 ISBN - Recenzavo: dr. R.Alonderis, doc. hab.dr. R.Pliuškevičius, dr. J.Sakalauskaitė 2 TURINYS I ι vadas...5 1. Aibės ir grafai...7 1.1 Skaičiosios

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai TERMODINAMIKA 1. Pagrindinės sąvks ir apibrėžimai Įvadas Termdinamika (T) graikiškas ždisiš dviejų daliųterm (šiluma) + dinamika (jėga). Tai fundamentalus bendrsis inžinerijs mkslas apie energiją : js

Διαβάστε περισσότερα

Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4

Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Techninis aprašymas Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Aprašymas HRB rotacinius vožtuvus galima naudoti kartu su elektros pavaromis AMB 162 ir AMB 182. Savybės: Mažiausias pratekėjimas šioje klasėje Uniklalus

Διαβάστε περισσότερα

Donatas Surgailis Finansų matematika

Donatas Surgailis Finansų matematika Donatas Surgailis Finansų matematika Paskaitų konspektas Vilnius 2015 vasario 9 ii Turinys 1 Įvadas 1 2 Finansų rinka 3 2.1 Finansų rinkos struktūra................................. 3 2.2 Opcionai..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA

Vilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

KENGŪRA Klausimai po 3 taškus. 2. Dominyko lentynoje yra du meškiukai, mašinėlė ir du kamuoliai. Kuris paveikslėlis

KENGŪRA Klausimai po 3 taškus. 2. Dominyko lentynoje yra du meškiukai, mašinėlė ir du kamuoliai. Kuris paveikslėlis Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Kengūros konkurso organizavimo komitetas Matematikos ir informatikos institutas Leidykla TEV KENGŪRA 2010 Konkurso trukmė 50 minučiu Konkurso metu negalima

Διαβάστε περισσότερα

FRANKO IR HERCO BANDYMAS

FRANKO IR HERCO BANDYMAS VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios

1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios . Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas

Διαβάστε περισσότερα