ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα...

Transcript

1 4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ Γενικά Απλά προβλήµατα ροής Τύποι απλών προβληµάτων ροής Τύπος απλού προβλήµατος 1: Υπολογισµός γραµµικών απωλειών... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Τύπος απλού προβλήµατος : Υπολογισµός παροχής... 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Τύπος απλού προβλήµατος : Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα... 7 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Προβλήµατα ροής µε µηχανολογικό εξοπλισµό Εισαγωγή Εξίσωση ενέργειας και µανοµετρικό ύψος Ισχύς αντλίας ή υδροστρόβιλου Έλεγχος υποπίεσης στην αντλία... 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Συστήµατα πολλαπλών σωλήνων Οι τρείς βασικές περιπτώσεις Σύστηµα σωλήνων σε σειρά... 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σύστηµα παράλληλων σωλήνων... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σύστηµα σωλήνων διερχόµενοι από κόµβο... 6 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σύνθετα προβλήµατα ροής... 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ

2 4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ 4.1 Γενικά Στo παρόν κεφάλαιο πραγµατοποιούµε την επίλυση πρακτικών προβληµάτων ροής σε σωλήνες. Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση να επιλύσετε προβλήµατα ροής: 1) πολύ απλής µορφής για τον υπολογισµό των γραµµικών απωλειών, της παροχής ή της διαµέτρου ενός σωλήνα, ) µε µηχανικό εξοπλισµό (αντλία ή υδροστρόβιλο) και απαιτούν συνήθως τον υπολογισµό και των τοπικών απωλειών, ) µε πολλαπλούς σωλήνες (που βρίσκονται σε σειρά ή είναι παράλληλοι ή διέρχονται από ένα κοινό σηµείο) και 4) σύνθετης µορφής, που προκύπτουν από συνδυασµούς των προηγούµενων περιπτώσεων ροής. 4. Απλά προβλήµατα ροής 4..1 Τύποι απλών προβληµάτων ροής Ας συνοψίσουµε τις βασικές εξισώσεις υπολογισµού. 1. Εξίσωση Darcy-Weibach h f L V = f (.-16) D g. Εξισώσεις που συνδέουν τα V, Q, D, ν και Re. Εξίσωση ορισµού αριθµού Reynold VD Re = (1.4-1) ν Εξίσωση παροχής πd 4Q Q = V ή V = (.-1) 4 πd. Εξίσωση υπολογισµού του συντελεστή τραχύτητας f, η οποία εξαρτάται από το είδος ροής, κυρίως τον Re και την τραχύτητα του σωλήνα (k /D). Ο f µπορεί να προσδιοριστεί µε µια από τις ακόλουθες εξισώσεις Για στρωτή ροή f στ 64 = (.5-11) Re Για τυρβώδη ροή - Εξίσωση Darcy-Weibach

3 k 1 D.51 =.0log + f.7 Re f (.6-16) Εναλλακτικά, ο προσδιορισµός του f µπορεί να γίνει µε το διάγραµµα Moody (βλ. Σχ..6-). Οι παραπάνω 4 εξισώσεις (περιλαµβανοµένης της εξίσωσης προσδιορισµού του f) περιλαµβάνουν 8 µεταβλητές (h f, L, D, k, f, V, Q και Re), 8-4=4 εκ των οποίων είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Ας θεωρήσουµε ως ανεξάρτητες µεταβλητές τις ακόλουθες: h f, L, D και Q. Στα απλά προβλήµατα ροής το µήκος του σωλήνα L είναι συνήθως δεδοµένο και ζητείται µια από τις µεταβλητές h f, D και Q. O τύπος του απλού προβλήµατος καθορίζεται από την άγνωστη µεταβλητή και είναι: 1. Τύπος 1: Ζητείται το h f.. Τύπος : Ζητείται το Q.. Τύπος : Ζητείται το D. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι µεθοδολογίες επίλυσης του κάθε τύπου απλού προβλήµατος. ΣΧΟΛΙΑ 1. Παρατηρείστε ότι η επίλυση των 4 εξισώσεων για τον προσδιορισµό της άγνωστης µεταβλητής γίνεται πολύ εύκολα σε περιβάλλον EXCEL, οπότε πρακτικά τα προβλήµατα µπορεί να απλοποιηθούν σε ένα.. Η επίλυση του κάθε τύπου απλού προβλήµατος απλοποιείται περαιτέρω µε τη χρησιµοποίηση ρητών εξισώσεων υπολογισµού του f, αντί της ακριβούς πεπλεγµένης εξ. (.6-16). Τις ρητές εξισώσεις υπολογισµού µπορείτε να χρησιµοποιείτε όταν κάνετε υπολογισµούς µε υπολογιστή τσέπης, ο οποίος δεν έχει τη δυνατότητα προγραµµατισµού επίλυσης της εξ. (.6-16). Στη συνέχεια µπορείτε να κάνετε ένα γρήγορο έλεγχο µε την ακριβή εξίσωση ή το διάγραµµα Moody.. Στα απλά παραδείγµατα που ακολουθούν χρησιµοποιούµε και τις ρητές εξισώσεις για να εκτιµήσουµε το σφάλµα υπολογισµού σε σχέση µε την επίλυση χρησιµοποιώντας την ακριβή εξίσωση υπολογισµού, εξ. (.6-16). Για το λόγο αυτό ορισµένα µεγέθη δίνονται µε σχετικά µεγάλη ακρίβεια, π.χ. 4-6 δεκαδικών ψηφίων. 4.. Τύπος απλού προβλήµατος 1: Υπολογισµός γραµµικών απωλειών Ο ακριβής υπολογισµός των γραµµικών απωλειών h f πραγµατοποιείται µε την εξ. (.-16), αφού πρώτα υπολογίσουµε τον συντελεστή f (α) µε δοκιµές από την εξ. (.6-16) και (β) άµεσα από το διάγραµµα Moody. Εναλλακτικά, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη ρητή εξίσωση των Swamee and Jain (1976). f 0.5 = 1 k 5.74 log +.7 D Re 0.9 (4.-1)

4 η οποία ισχύει για 5000 <Re< 10 8 και <k /D< Η εξ. (4.-1) έχει ακρίβεια υπολογισµού της τάξης του %. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.-1 Υπολογίστε τις γραµµικές απώλειες στη ροή νερού (ν= m /), παροχής Q=0.167 m / που διέρχεται από σωλήνα µε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: L=1500 m, D=00 mm και k =1.5 mm. Λύση 1. Υπολογίζουµε τα k /D και Re. k 1.5 mm D = = 00 mm m V = = 1.79 π(0.00 m) m (1.79 m / ) (0.00 m) Re = = m /. Υπολογίζουµε τoν συντελεστή f από την ακριβή εξίσωση, εξ. (.6-16), ίσο µε f=0.006 και τις γραµµικές απώλειες ίσες µε m. Οι υπολογισµοί παρουσιάζονται στον Πίν. 1 Πίνακας 1. Υπολογισµός των γραµµικών απωλειών του παραδείγµατος 4.-1 µε την εξ. (.- 16) Χαρακτηριστικό Τιµή Μονάδες D 0.00 m L 1500 m Q m / A m V 1.79 m/ Re k 1.5 mm k /D f h f m. Υπολογίζουµε τoν συντελεστή f µε την εξ. (4.-1) και τις απώλειες από την εξ. (.- 16) f = = = log ( ) log (48877) 4

5 m (1.79 ) (1500 m) h f = = 5.14 m (0.00 m) m (9.81 ) Το σφάλµα υπολογισµού του h f είναι ίσο µε 5.14 m m = 0.% m 4.. Τύπος απλού προβλήµατος : Υπολογισµός παροχής Ο ακριβής υπολογισµός της παροχής Q πραγµατοποιείται άµεσα (χωρίς δοκιµές) µε τις εξισώσεις (.-16), (1.4-1), (.-1) και (.6-16) ακολουθώντας την ακόλουθη διαδικασία 4 βηµάτων. 1. Υπολογίζουµε την ποσότητα Re f συνδυάζοντας την εξ. (1.4-1) µε την εξ. (.- 16). Re f gdh f D 1.5 gh f D L = = ν L ν (4.-). Υπολογίζουµε την ποσότητα 1 f από την εξ. (.6-16). k 1 D.51 =.0log + f.7 Re f (.6-16). Υπολογίζουµε την V επιλύοντας την εξ. (.-16) ως προς V. 1 gdh V = f f L (4.-) 4. Υπολογίζουµε την Q από την εξ. (.-1). πd Q = V (.-1) 4 Εναλλακτικά, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη ρητή εξίσωση των Swamee and Jain (1976) gd h f 1 k.17ν L Q = ln + L.7 D gd h f 0.5 (4.-4) η οποία ισχύει για Re>000 και έχει την ίδια ακρίβεια υπολογισµού µε αυτή του διαγράµµατος Moody. 5

6 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.- Υπολογίστε την παροχή νερού (ν= m /) που διέρχεται από σωλήνα µε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: D=400 mm, k =0.5 mm, L=100 m και h f =8.11 m. Λύση 1. Υπολογίζουµε την Q εφαρµόζοντας την άµεση µέθοδο που περιγράφεται στο Κεφ (i) Υπολογίζουµε την ποσότητα Re f. m 9.81 ( 8.11 m) 1/5 (0.400 m) Re f == = (100 m) m / (ii) Υπολογίζουµε την ποσότητα 1 f m m.51 =.0 log + = 6.80 f (iii) Υπολογίζουµε την V από την εξ. (.-16). m 9.81 ( m)( 8.11 m) m V = (6.80) = 1.58 (100 m) (iv) Υπολογίζουµε την Q από την εξ. (.-1). π(0.400 m) m m Q = (1.58 ) = Επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς χρησιµοποιώντας την εξ. (4.-4). 0.5 m (0.400 m) (8.11 m) f m gd h = = L (100 m) k 1 = m = D m 6

7 0.5.17ν L.17( m / ) (100 m) = = gd h m f 9.81 ( m ) (8.11 m) m m Q = ln ( ) = 0.00 Το σφάλµα υπολογισµού της Q είναι µηδενικό Τύπος απλού προβλήµατος : Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα Ο ακριβής υπολογισµός της διαµέτρου D πραγµατοποιείται µε δοκιµές. Η εξίσωση που επιλύουµε µε δοκιµές προσδιορίζεται επιλύοντας την εξ. (.-16) ως προς D και αντικαθιστώντας την V από την εξ. (.-1) στην εξίσωση που προκύπτει. 4Q L V L πd 8LQ D = f = f = f ή h g h g gπ D h οπότε 4 f f f 1/5 8fLQ D = gπ hf Η εξ. (4.-5) γράφεται µε την ακόλουθη µορφή D 5 = 8LQ f gπ h f (4.-5) 1/5 1/5 1/5 8f 8LQ 8LQ D = a = gπ hf hf 8f όπου a = (4.-6) gπ Η διαδικασία υπολογισµού είναι η ακόλουθη 1. Εκλέγουµε µια αρχική διάµετρο. Αυτή µπορεί να υπολογιστεί από την εξ. (4.-6) θέτοντας a=0.6, 0.8 και 0.0, για λείους, τραχείς και πολύ τραχείς σωλήνες, αντίστοιχα.. Υπολογίζουµε την ποσότητα Re f από την εξ. (4.-). Re f gh L D ν 1.5 f = (4.-). Υπολογίζουµε τον συντελεστή f από την εξ. (.6-16) 1 f = k D.51.0log +.7 Re f (.6-16) 4. Υπολογίζουµε τη D από την εξ. (4.-5). 7

8 5. Ελέγχουµε αν η τιµή της D που υπολογίζουµε είναι περίπου ίδια µε την τιµή που υποθέσαµε στο 1, δηλ. να έχει µια διαφορά µικρότερη από %. Αν όχι, επαναµβάνουµε τους υπολογισµούς µέχρι 4 θέτοντας τη νέα τιµή της D που υπολογίσαµε. Σηµειώνεται, ότι η ταχύτητα σύγκλισης των υπολογισµών είναι πολύ µεγάλη (βλ. Σχόλιο, Κεφ ) και συνήθως απαιτούνται - δοκιµές. Εναλλακτικά, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη ρητή εξίσωση των Swamee and Jain (1976) LQ ν LQ D = 0.66 k + (4.-7) ghf Q gh f η οποία ισχύει για 5000 <Re< 10 8 και <k /D< Η εξ. (4.-6) έχει ακρίβεια υπολογισµού της τάξης του %. Η εξ. (4.-7) υπολογίζεται εύκολα σε περιβάλλον EXCEL. Για να περιορίσουµε την πιθανότητα σφάλµατος κατά τους υπολογισµούς µε έναν υπολογιστή τσέπης θέτουµε 0.04 A 1 LQ = οπότε (4.-8) gh f ν D = 0.66 k A + A Q (4.-9) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.- Υπολογίστε τη διατοµή σωλήνα µε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: k =0.5 mm, L=1800 m και h f =56.98 m για να διοχετεύει παροχή νερού (ν= m /) ίση µε Q=0.15 m /. Λύση 1. Υπολογίζουµε την D εφαρµόζοντας τη µεθοδολογία που περιγράφεται στο Κεφ Από τους υπολογισµούς, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίν. 1, προκύπτει ότι D=0.50 m. Πίνακας 1. Υπολογισµός της διατοµής του παραδείγµατος 4.- Βήµα υπολογισµού οκιµή 1 οκιµή οκιµή οκιµή 4 1. Υποθέτουµε D Υπολογίζουµε Re f Υπολογίζουµε k/d Υπολογίζουµε f Υπολογίζουµε V Υπολογίζουµε D Υπολογίζουµε την D από την εξ. (4.-7). m (1800 m) A1 = = m m (9.81 )(56.98 m) 8

9 -6 m D = 0.66 ( m) ( m ) + ( m ) = 0.57 m m Το σφάλµα υπολογισµού της D είναι ίσο µε 0.57 m 0.50 m err = =.8% 0.50 m ΣΧΟΛΙΑ 1. Η υπολογιζόµενη διάµετρος αποτελεί τη θεωρητική διάµετρο του σωλήνα, η οποία σπάνια συµπίπτει µε την ονοµαστική διάµετρο ενός σωλήνα του εµπορίου. Στην πράξη χρησιµοποιούµε δυο σωλήνες του εµπορίου σε σειρά, οι οποίοι ικανοποιούν τους δυο κανόνες των σωλήνων σε σειρά του Κεφ Επιπλέον, το άθροισµα των µηκών των δυο σωλήνων είναι ίσο µε το µήκος του σωλήνα µε τη θεωρητική διάµετρο που υπολογίσαµε (βλ. Παράδειγµα 4.5-).. Παρατηρείστε τη γρήγορη σύγκλιση των υπολογισµών στον Πίν.1 του παραδείγµατος 4.-. Αν και ξεκινήσαµε τις δοκιµές µε µια πολύ µεγάλη διάµετρο, στην 4 η δοκιµή είχε επιτευχθεί πλήρης σύγκλιση. Πολύ γρηγορότερη σύγκλιση θα πετυχαίναµε χρησιµοποιώντας ως αρχική τιµή αυτή που υπολογίζεται από την εξ. (4.-6). οκιµάστε την τιµή αυτή. 4. Προβλήµατα ροής µε µηχανολογικό εξοπλισµό 4..1 Εισαγωγή Ο συνηθισµένος µηχανολογικός εξοπλισµός που χρησιµοποιούµε στα υδραυλικά έργα είναι οι αντλίες και οι υδροστρόβιλοι. Με µια αντλία προσδίδουµε µηχανική ενέργεια στη ροή αυξάνοντας τη στάθµη της ΓΕ και µε ένα υδροστρόβιλο απορροφούµε ενέργεια µειώνοντας τη στάθµη της ΓΕ. 4.. Εξίσωση ενέργειας και µανοµετρικό ύψος Η εξίσωση ενέργειας (εξ. (1.-11) και εξ. (1.-1)) στην περίπτωση χρησιµοποίησης µιας αντλίας για την ανύψωση της στάθµης του νερού, έστω από τη δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β του Σχ. 4.-1, γράφεται ως εξής H + H = H + h + h (4.-1) A man B f (A B) m(a B) όπου H man είναι το µανοµετρικό ύψος της αντλίας, Η Α είναι η ενέργεια στη δεξαµενή Α, Η Β η ενέργεια στη δεξαµενή Β, hf (A B) το άθροισµα των γραµµικών απωλειών των σωλήνων και hm(a B) το άθροισµα των τοπικών απωλειών. 9

10 ΣΧΗΜΑ Χρησιµοποίηση αντλίας για την ανύψωση της στάθµης του νερού από τη δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β Η εξ. (4.-1) γράφεται ως εξής V p V p z α H z α h h g γ g γ A A B B A man = B f (A B) + m(a B) Επιλύοντας ως προς H man προκύπτει (4.-) V V p p H z z α α h h g g γ γ B A B A man = B A f (A B) + m(a B) Για την περίπτωση του Σχ η εξ. (4.-) γράφεται H = z z + α α + + h + h g g γ γ (4.-) ή man B A f (A B) m(a B) H = z z + h + h man B A f (A B) m(a B) Οι όροι των απωλειών ενέργειας αναλύονται ως εξής (4.-4) 10

11 h h h f (A B) = f,an + f,nb (4.-5) h h h h m(a B) = m,a + m,n + m,b (4.-6) όπου h f,an και h f,nb είναι οι γραµµικές απώλειες στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ, αντίστοιχα και h m,a, h m,n και h m,b είναι οι τοπικές απώλειες στις θέσεις εισόδου (Α), αντλία (Ν) και εξόδου (Β). Η εξίσωση ενέργειας, εξ. (1.-11) ή εξ. (1.-1), στην περίπτωση χρησιµοποίησης ενός υδροστρόβιλου που απορροφά ενέργεια κατά την πτώση του νερού από τη δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β του Σχ. 4.-, γράφεται H = H + H + h + h (4.-7) A man B f (A B) m(a B) όπου H man είναι το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου. ΣΧΗΜΑ 4.-. Χρησιµοποίηση υδροστρόβιλου µεταξύ των δεξαµενών Α και Β για την απορρόφηση ενέργειας Σε αντιστοιχία µε την εξ. (4.-4), η εξίσωση υπολογισµού του µανοµετρικού ύψους του υδροστρόβιλου είναι η ακόλουθη H = z z h h (4.-8) man A B f (A B) m(a B) 11

12 4.. Ισχύς αντλίας ή υδροστρόβιλου Η ισχύς που απαιτεί µια αντλία ή αποδίδει ένας υδροστρόβιλος P (σε KW) υπολογίζεται από τις ακόλουθες εξισώσεις γqhman ρgqhman P = n = n (4.-9) p p P = γqhmann y = ρgqhmann y (4.-10) όπου n p και n y είναι οι συντελεστές απόδοσης της αντλίας και του υδροστρόβιλου, αντίστοιχα Έλεγχος υποπίεσης στην αντλία Γράφουµε την εξίσωση ενέργειας µεταξύ της στάθµης της δεξαµενής Α και της εισόδου στην αντλία Ν (βλ. Σχ. 4.-1). VA pa VN pn za + α + = z N + α + + hf (A N) + hm(a N) g γ g γ ή (4.-11) pn za + α + = z N + α + + hf (A N) + h m(a N) g γ g γ ή p γ N = (z z ) h h (4.-1) A N f (A N) m(a N) Αντικαθιστούµε τη σχετική πίεση p Ν µε την απόλυτη τιµή της p Νa, οπότε η εξ. (4.-1) γράφεται p Na p γ atm = (z z ) h h (4.-1) A N f (A N) m(a N) Λύνουµε την εξ. (4.-1) ως προς p Νa και γράφουµε την συνθήκη ελέγχου της υποπίεσης (βλ. Κεφ..10) pna patm pυ = (za z N ) h f (A N) h m(a N) ή γ γ γ p p = (4.-14) γ atm υ NPSH (za z N ) hf (A N) h m(a N) 0 Το αριστερό µέλος της ανισότητας καλείται καθαρό θετικό ύψος αναρρόφησης (Net Poitive Suction Head, NPSH). To NPSH πρέπει να είναι θετικό για να αποφεύγεται η σπηλαίωση ανάντη µιας αντλίας. ΣΧΟΛΙΑ 1. Στα Σχ και 4.- φαίνεται ότι η µεταβολή της στάθµης της ΓΕ ( και της ΠΓ) στη θέση εγκατάστασης µιας αντλίας ή ενός υδροστρόβιλου θεωρείται ότι γίνεται σηµειακά, όπως και στην περίπτωση των τοπικών απωλειών ενέργειας. Έτσι, η ΓΕ παρουσιάζει «σηµειακή» ανύψωση στην περίπτωση της αντλίας και «σηµειακή» πτώση στην περίπτωση του υδροστρόβιλου. 1

13 . Για να αποφύγουµε σφάλµατα κατά την εφαρµογή της εξ.(4.-9) σηµειώνουµε τις µονάδες του κάθε όρου kg m m ρ g Q H man [ m] m kgm = P n p [-] ή Με βάση τις µονάδες του Πιν. 1.-1, ισχύουν τα ακόλουθα 1 J 1 Nm m kgm m kgm 1 W = = = 1 N = 1 = 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.-1 Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν= m /) ίση µε Q=0.00 m / µέσω δυο σωλήνων ΑΝ και ΝΒ µε τα στοιχεία του Πιν. 1, και µιας αντλίας Ν µε συντελεστή απόδοσης ίσο µε 0.75, όπως φαίνεται στο Σχ. 1. 1) Υπολογίστε το µανοµετρικό ύψος και την ισχύ της αντλίας που είναι εγκατεστηµένη σε υψόµετρο ίσο µε Ζ Ν =15.00 m. Λάβετε υπόψη τις τοπικές απώλειες και θεωρείστε ότι ο συντελεστής τοπικών απωλειών της αντλίας είναι ίσος µε 5.0. ) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα την ΓΕ και την ΠΓ και προσδιορίστε την υποπίεση στην αντλία. ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος

14 Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.-1 Σωλήνας ΑΝ ΝΒ Μήκος (m) ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm) Λύση 1. Υπολογίζουµε τη V, τον Re και το ύψος κινητικής ενέργειας στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ. m V = =.89 π(0.00 m) m (.89 m / ) (0.00 m) Re = = m / m (.89 ) V = = m g m (9.81 ). Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ (τύπος απλού προβλήµατος 1). (50 m) hf,an = (0.408 m) = m (0.00 m) (100 m) hf,nb = (0.408 m) =.190 m (0.00 m) hf (A B) = m m =.85 m. Υπολογίζουµε τις τοπικές απώλειες στις θέσεις Α, Ν και Β. Εισόδου (θέση Α): Αντλίας (θέση Ν): Εξόδου (θέση Β): h m,a = 0.5 (0.408 m) = 0.04 m h m,n = 5.0 (0.408 m) =.040 m h m,b = 1.0 (0.408 m) = m hm(a B) = 0.04 m m m =.65 m 4. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος της αντλίας και την ισχύ της από τις εξ. (4.-4) και (4.-9), αντίστοιχα. Hman =.000 m m +.85 m +.65 m = m m 14

15 kg m m (998 ) (15.0 m) m P = = 9161 W ή Ρ 9. KW 0.75 (-) 5. Προσδιορίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ και της ΠΓ. Θέση Α: Θέση Α, δεξιά: Θέση Ν, αριστερά: Θέση Ν: Θέση Ν, δεξιά: Θέση Β, αριστερά: Θέση Β: H Α = m H Αδ = m m = m H Να = m m = m H Ν = m m = m H Νδ = m m= m H Βα = m m =.408 m H Β =.408 m m =.000 m Η ΠΓ βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση m. 6. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο Σχ.. ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος Eλέγχουµε την πίεση στην είσοδο της αντλίας. 15

16 Ισχύει z V g p γ + N N N = m p N m m + = m ή γ p N m > -8.0 m γ = Άρα, δεν αναµένεται πρόβληµα σπηλαίωσης. Εναλλακτικά, µπορούµε να υπολογίσουµε το NPSH από την εξ. (4.-14) Pa 40 Pa NSPH = ( m m) (1.095 m) - (0.04 m +.04 m) N 9790 m ή NSPH = m m m.44 m = 5.7 > 0 δηλ. επιβεβαιώνεται ότι δεν αναµένεται σπηλαίωση στην περιοχή της αντλίας. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.- Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν= m /) ίση µε Q=0.00 m / µέσω δυο σωλήνων ΑΝ και ΝΒ µε τα στοιχεία του Πιν.1, όπως φαίνεται στο Σχ. 1. Μεταξύ των δυο δεξαµενών παρεµβάλλεται υδροστρόβιλος µε συντελεστή απόδοσης ίσο µε ) Υπολογίστε το µανοµετρικό ύψος και την ισχύ του υδροστρόβιλου που είναι εγκατεστηµένος σε υψόµετρο ίσο µε Ζ Ν =18.00 m. Λάβετε υπόψη τις τοπικές απώλειες και θεωρείστε ότι ο συντελεστής τοπικών απωλειών του υδροστρόβιλου είναι ίσος µε 5.0. ) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ και την ΠΓ και προσδιορίστε την υποπίεση στον υδροστρόβιλο. 16

17 ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.- Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.- Σωλήνας ΑΝ ΝΒ Μήκος (m) ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm) Λύση 1. Υπολογίζουµε τη V, τον Re και το ύψος κινητικής ενέργειας στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ. Παρατηρείστε ότι τα βασικά δεδοµένα είναι τα ίδια µε αυτά του παραδείγµατος m V =.89, Re = και V m g =. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες στους σωλήνες ΑΝ και ΝΒ (τύπος απλού προβλήµατος 1). h = h = m f,an f,an (100 m) hf,nb = (0.408 m) =.190 m (0.00 m). Υπολογίζουµε τις τοπικές απώλειες στις θέσεις Α, Ν και Β. Εισόδου (θέση Α): Αντλίας (θέση Ν): h m,a = 0.5 (0.408 m) = 0.04 m h m,n = 5.0 (0.408 m) =.040 m 17

18 Εξόδου (θέση Β): h m,b = 1.0 (0.408 m) = m 4. Προσδιορίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ και της ΠΓ. Θέση Α: Θέση Α, δεξιά: Θέση Ν, αριστερά: Θέση Ν: Θέση Β: Θέση Β, αριστερά: Θέση Ν, δεξιά: H Α =.000 m H Αδ =.000 m m =.796 m H Να =.796 m m = m H Ν = m m = m H Β = m H Βα = m m = m H Νδ = m m = m Η ΠΓ βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση m. 5. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο Σχ.. ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου από τα υψόµετρα της ΓΕ ή εναλλακτικά από την εξ. (4.-8) και την ισχύ του υδροστρόβιλου από την εξ. (4.- 10). Hman = m m =.06 m.00 m 18

19 kg m m P = (998 ) (.0 m)(0.60) = 54 W ή Ρ.5 KW m 7. Eλέγχουµε την πίεση στην έξοδο του υδροστρόβιλου. Ισχύει z V g p γ + N N N = m p N m m + = m ή γ p N m -8.0 m γ = > Άρα, δεν αναµένεται πρόβληµα σπηλαίωσης. 4.4 Συστήµατα πολλαπλών σωλήνων Οι τρείς βασικές περιπτώσεις Στο Σχ παρουσιάζονται οι βασικές περιπτώσεις συστηµάτων πολλαπλών σωλήνων. Στο Σχ (α) φαίνεται ένα σύστηµα n= σωλήνων σε σειρά, στο Σχ (β) ένα σύστηµα n= παράλληλων σωλήνων και στο Σχ (γ) ένα σύστηµα n=5 σωλήνων που διέρχονται από ένα κοινό σηµείο (κόµβο). ΣΧΗΜΑ Οι βασικές περιπτώσεις συστηµάτων πολλαπλών σωλήνων 19

20 (α) σωλήνες σε σειρά, (β) παράλληλοι σωλήνες και (γ) σωλήνες διερχόµενοι από κόµβο Για κάθε ένα σωλήνα i θα χρησιµοποιήσουµε τους ακόλουθους συµβολισµούς: διάµετρος D i, µήκος L i, παροχή Q i, ταχύτητα V i, συντελεστής τραχύτητας f i, άθροισµα συντελεστών τοπικών απωλειών σε κάθε σωλήνα i Σk i, γραµµικές απώλειες h f,i και τοπικές απώλειες h m,i. Η παροχή και οι απώλειες σε κάθε σωλήνα υπολογίζονται από τις ακόλουθες εξισώσεις: Q i πdi = Vi (4.4-1) 4 L V V H = h + h = f + k (4.4-) i i i i f,i m,i i i Di g g 4.4. Σύστηµα σωλήνων σε σειρά Σε ένα σύστηµα σωλήνων σε σειρά ισχύουν οι ακόλουθοι δυο κανόνες: 1) Σε κάθε σωλήνα η παροχή είναι η ίδια. QAB = Q1 = Q = Q =... = Qn (4.4-) ) Οι ολικές απώλειες στο σύστηµα είναι ίσες µε το άθροισµα των απωλειών σε κάθε έναν από τους σωλήνες. Η AB = H1 + H + H H n (4.4-4) ΣΧΟΛΙΑ 1. Παρατηρείστε ότι οι εξ.(4.4-) και (4.4-4) είναι όµοιες µε τις εξισώσεις υπολογισµού αντιστάσεων σε σειρά στον ηλεκτρισµό. Αρκεί να αντικαταστήσουµε στις εξισώσεις τις εντάσεις των ρευµάτων (I i ) µε τις παροχές (Q i ) και τις αντιστάσεις (R i ) µε τις απώλειες ενέργειας.. Η οµοιότητα των εξισώσεων της υδραυλικής µε αυτές του ηλεκτρισµού ισχύει και στις περιπτώσεις των παράλληλων σωλήνων (βλ. Κεφ. 4.4.) και των σωλήνων που διέρχονται από ένα κόµβο (βλ. Κεφ ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν= m /) ίση µε Q=0.167 m / µέσω ενός συστήµατος σωλήνων σε σειρά A1, 1 και Β µε τα στοιχεία του Πιν. 1, όπως φαίνεται στο Σχ. 1. 1) Υπολογίστε τη στάθµη της δεξαµενής Β λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες. ) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ και την ΠΓ. 0

21 ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα σωλήνων σε σειρά του παραδείγµατος Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος Σωλήνας Α1 1 Β Μήκος (m) ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm) Λύση 1. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες σε κάθε σωλήνα. m (0.707 ) (1000 m) h f,a1 = 0.05 = m (0.600 m) m (9.81 ) m (1.59 ) (500 m) h f,1 = = 4.05 m (0.400 m) m (9.81 ) m (.89 ) (00 m) h f,b = 0.06 = m (0.00 m) m (9.81 ) Τα αναλυτικά αποτελέσµατα φαίνονται στον Πιν.. 1

22 Πίνακας. Υπολογισµοί των γραµµικών απωλειών των σωλήνων του παραδείγµατος Σωλήνας Α1 1 Β Μονάδες D m L m Q m / A m V m/ Re k mm k /D f h f m. Υπολογίζουµε τους συντελεστές τοπικών απωλειών και τις τοπικές απώλειες στις θέσεις Α, 1, και Β. Θέση Α: Θέση 1: (0.707 m / ) hma = 0.50 = 0.01 m ( 9.81 m / ) ( ) ( m) m (1.59 m / ) (1.59 m / ) h m,1 = 1 = 0.09 = m ( 9.81 m / ) ( 9.81 m / ) Θέση : ( ) ( m) 0.00 m (.89 m / ) (.89 m / ) h m, = 1 = = m ( 9.81 m / ) ( 9.81 m / ) Θέση Β: (.89 m / ) hm,b = 1.0 = m ( 9.81 m / ). Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση. Θέση Α: H Α = m Θέση Α, δεξιά: H Αδ = m m = m Θέση 1, αριστερά: H 1α = m m = m Θέση 1, δεξιά: H 1δ = m m = m Θέση, αριστερά: H α = m m = m Θέση, δεξιά: H δ = m m = m Θέση Β, αριστερά: H Βα = m m = m Θέση Β: H Β = m m = m Το υψόµετρο της στάθµης της δεξαµενής Β είναι ίσο µε m. Η ΠΓ των σωλήνων Α1, 1 και Β βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση 0.05 m, 0.19 m και m, αντίστοιχα. 4. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο Σχ..

23 ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ στο σύστηµα των σωλήνων σε σειρά του παραδείγµατος Σύστηµα παράλληλων σωλήνων Σε ένα σύστηµα παράλληλων σωλήνων ισχύουν οι ακόλουθοι δυο κανόνες: 1) Σε κάθε σωλήνα οι απώλειες είναι οι ίδιες. Η AB = H1 = H = H =... = H n (4.4-5) ) Η ολική παροχή στο σύστηµα είναι ίση µε το άθροισµα των παροχών σε κάθε ένα από τους σωλήνες. QAB = Q1 + Q + Q Qn (4.4-6) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.4- Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (ν= m /) ίση µε Q=0.167 m / µέσω ενός συστήµατος παράλληλων σωλήνων 1, και µε τα στοιχεία του Πιν. 1, όπως φαίνεται στο Σχ. 1. 1) Υπολογίστε την παροχή µε την οποία τροφοδοτείται η δεξαµενή Β λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες. ) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ και την ΠΓ.

24 ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των παράλληλων σωλήνων του παραδείγµατος 4.4- Πίνακας 1. Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4- Σωλήνας 1 Μήκος (m) ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm) Λύση 1. Υπολογίζουµε την παροχή σε κάθε σωλήνα θεωρώντας ότι το σύνολο των απωλειών για κάθε σωλήνα είναι ίσο µε m m = m, δηλ. για κάθε σωλήνα ισχύει h f,ab + h m,a + h m,b = ΗΑΒ = m ή L1 V1 V1 V1 f = m D g g g 1 L V V V f = m D g g g L V V V f = m D g g g Οι αναλυτικοί υπολογισµοί φαίνονται στον Πίν.. 4

25 Πίνακας. Υπολογισµοί των παροχών των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4- Σωλήνας 1 Μονάδες D m L m Q m / A m V m/ Re k mm k/d f h m,a m h f,ab m h m,b m Η ΑΒ m. Aπό τα νούµερα του Πιν. 1 υπολογίζεται η συνολική παροχή ίση µε Q AB = 0.60 m / m / m / = m /.. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση. Θέση Α: H Α = m Θέση Α, δεξιά: H Αδ = m m = m για το σωλήνα 1. Θέση Α, δεξιά: H Αδ = m m = 9.99 m για το σωλήνα. Θέση Α, δεξιά: H Αδ = m m = m για το σωλήνα. Θέση Β: H Β = m Θέση Β, αριστερά: H Βα = m + 0. m = 0. m για το σωλήνα 1. Θέση Β, αριστερά: H Βα = m m = 0.14 m για το σωλήνα. Θέση Β, αριστερά: H Βα = m m = m για το σωλήνα. Η ΠΓ βρίσκεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση 0. m, 0.14 m και m για το σωλήνα 1, και, αντίστοιχα. 4. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ και της ΠΓ για τον σωλήνα 1 στο Σχ.. 5

26 ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ για το σωλήνα 1 του παραδείγµατος Σύστηµα σωλήνων διερχόµενοι από κόµβο Σε ένα σύστηµα σωλήνων που διέρχονται από ένα κόµβο ισχύουν οι ακόλουθοι δυο κανόνες: 1) Ισοζύγιο παροχών. Το άθροισµα των παροχών που «εισέρχονται» στον κόµβο είναι ίσο µε το άθροισµα των παροχών που «εξέρχονται» από αυτόν. ) Στην περιοχή του κόµβου κάθε σωλήνας υφίσταται µεταβολή πίεσης, η οποία εξασφαλίζει το ίδιο υψόµετρο της ΠΓ στον κόµβο. Χαρακτηριστική περίπτωση ενός συστήµατος σωλήνων που διέρχονται από έναν κόµβο αποτελεί το πρόβληµα των δεξαµενών, το οποίο φαίνεται στο Σχ ΣΧΗΜΑ Το πρόβληµα των δεξαµενών 6

27 Ας θεωρήσουµε ότι οι στάθµες των δεξαµενών και τα χαρακτηριστικά των σωλήνων είναι γνωστά και σταθερά και ζητούνται οι παροχές στους σωλήνες. Για να λύσουµε το πρόβληµα αυτό θα πρέπει να προσδιορίσουµε το υψόµετρο της ΓΕ στον κόµβο Κ, Η Κ. Για να το κάνουµε αυτό υποθέτουµε διάφορες τιµές του Η Κ και υπολογίζουµε τις παροχές στους σωλήνες (τύπος απλού προβλήµατος ) µέχρι να ικανοποιηθεί ο πρώτος κανόνας. Σηµειώστε ότι ο πρώτος κανόνας (ισοζύγιο παροχών) αλλάζει ανάλογα µε το υψόµετρο Η Κ και µπορεί να έχει µια από τις ακόλουθες µορφές: 1) Η Α > Η Κ >Η Β >Η Γ. Η δεξαµενή Α τροφοδοτεί τη Β και τη Γ και ισχύει: Q 1 =Q +Q ) Η Α > Η Β > Η Κ >Η Γ. Οι δεξαµενές Α και Β τροφοδοτούν τη Γ και ισχύει: Q 1 +Q =Q ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.4- Υπολογίστε τις παροχές νερού (ν= m /) στο πρόβληµα των δεξαµενών του Σχ.1 για τα στοιχεία των σωλήνων του Πιν.1 αγνοώντας τις τοπικές απώλειες και σχεδιάστε σκαρίφηµα της ΓΕ. ΣΧΗΜΑ 1. Το πρόβληµα των δεξαµενών του παραδείγµατος 4.4- Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4- Σωλήνας 1 (ΑΚ) (ΒΚ) (ΚΓ) Μήκος (m) ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm)

28 Λύση 1. Πραγµατοποιούµε την 1 η δοκιµή θέτοντας Η Κ = m, δηλ. θέτουµε το υψόµετρο της ΓΕ στο Κ ίσο µε τη στάθµη της δεξαµενής Β, οπότε η παροχή στο σωλήνα είναι ίση µε µηδέν. Προσδιορίζουµε τις απώλειες στους σωλήνες. hf,1 = 50.0 m 45.0 m = 5.0 m hf, = 45.0 m 45.0 m = 0.0 m hf, = 45.0 m 0.0 m = 15.0 m Με δεδοµένες τις παραπάνω απώλειες υπολογίζουµε τις παροχές (τύπος απλού προβλήµατος ) και ελέγχουµε τον 1 ο κανόνα (ισοζύγιο παροχών στον κόµβο). Υπολογίζονται: Q 1 =0.070 m /, Q =0 και Q =0.06 m /. Το σφάλµα υπολογισµού είναι ίσο µε Q 1 +Q -Q =-0.44 m /<0 και δείχνει ότι πρέπει H K < 45.0 m.. Πραγµατοποιούµε τη η δοκιµή θέτοντας Η Κ =40.00 m, οπότε οι δεξαµενές Α και Β τροφοδοτούν τη Γ. Υπολογίζονται τα ακόλουθα: hf,1 = 50.0 m 40.0 m = 10.0 m hf, = 45.0 m 40.0 m = 5.0 m hf, = 40.0 m 0.0 m = 10.0 m Q 1 =0.100 m /, Q =0.150 m / και Q =0.50 m /. Το σφάλµα υπολογισµού είναι ίσο µε Q 1 +Q -Q = m />0 και δείχνει ότι πρέπει H K < 40.0 m.. Πραγµατοποιούµε την η δοκιµή θέτοντας Η Κ =8.00 m, οπότε οι δεξαµενές Α και Β τροφοδοτούν τη Γ. Υπολογίζονται τα ακόλουθα: hf,1 = 50.0 m 8.0 m = 1.0 m hf, = 45.0 m 8.0 m = 7.0 m hf, = 8.0 m 0.0 m = 8.0 m Q 1 =0.110 m /, Q =0.178 m / και Q =0. m /. Το σφάλµα υπολογισµού είναι ίσο µε Q 1 +Q -Q =+0.00 m /, οπότε το υψόµετρο της ΓΕ στο Κ είναι ίσο µε 8.0 m. Οι αναλυτικοί υπολογισµοί της ης δοκιµής φαίνονται στον Πίν.. 8

29 Πίνακας. Υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.4- Σωλήνας 1 Μονάδες D m L m Q m / A m V m/ Re k mm k /D f h f m 4. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση. Θέση Α: H Α = m Θέση Κ: H Κ = m m = m Θέση Κ: H Κ = m m = m Θέση Β: H Β = m m = m 5. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ στο Σχ.. ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο πρόβληµα των δεξαµενών του παραδείγµατος Σύνθετα προβλήµατα ροής Στα κεφάλαια 4.1, 4., 4. και 4.4 µάθατε πώς να λύνετε απλά προβλήµατα ροής σε σωλήνες. Αυτά τα απλά προβλήµατα µπορεί να συνδυαστούν και να δηµιουργήσουν σύνθετα προβλήµατα ροής. Για να λύσετε ένα σύνθετο πρόβληµα ροής θα πρέπει να το «σπάσετε» σε απλά και στη συνέχεια να λύσετε κάθε απλό πρόβληµα µε τις µεθόδους που γνωρίζετε. 9

30 Στη συνέχεια θα λύσουµε µια σειρά παραδειγµάτων σύνθετων προβληµάτων ροής. Προσπαθείστε να λύσετε µόνοι/ες σας τα προβλήµατα αυτά έχοντας υπόψη σας τα ακόλουθα: 1) ιαβάστε προσεκτικά την εκφώνηση προσέχοντας το σχήµα του προβλήµατος και τα δεδοµένα. ) Μην ξεκινάτε στην τύχη µε υποθέσεις και δοκιµές ακολουθώντας τη µεθοδολογία του προβλήµατος των δεξαµενών (βλ. Κεφ ). Πρώτα, εντοπίστε κάποιον σωλήνα για τον οποίο γνωρίζετε όλα τα στοιχεία εκτός από ένα (γραµµικές απώλειες ή παροχή ή διατοµή), το οποίο µπορείτε να υπολογίσετε µε έναν από τους βασικούς τύπους των απλών προβληµάτων (1, ή, αντίστοιχα). Εάν δεν υπάρχει τέτοιος σωλήνας, τότε ξεκινήστε τις δοκιµές υποθέτοντας κάποια τιµή για ένα µέγεθος το οποίο γνωρίζετε καλύτερα από τα άλλα δυο. ) Στη συνέχεια «σπάστε» το σύνθετο πρόβληµα σε απλά και λύστε κατά σειρά τα απλά προβλήµατα. 4) Κατά τη διάρκεια της λύσης σχεδιάστε πρόχειρα τη ΓΕ. Θα σας βοηθήσει σηµαντικά. Για την επίλυση των προβληµάτων: 1) όταν έχετε τη δυνατότητα χρήσης PC ή προγραµµατιζόµενου υπολογιστή τσέπης, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε EXCEL και την ακριβή εξίσωση υπολογισµού εξ. (.6-16) και ) σε διαφορετική περίπτωση, όπως π.χ. σε ένα διαγώνισµα, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τις προσεγγιστικές εξισώσεις του Κεφ. 4.. Οι επιλύσεις των παραδειγµάτων που ακολουθούν πραγµατοποιούνται µε την ακριβή εξίσωση υπολογισµού, εξ. (.6-16). Ειδικότερα, το πρώτο παράδειγµα λύνεται και µε τις προσεγγιστικές εξισώσεις για να πάρετε µια ιδέα για τις διαφορές των τιµών των διάφορων µεγεθών που περιµένετε, µεταξύ των δυο µεθόδων. Στο παράδειγµα θα διαπιστώσετε ότι οι απώλειες των m που υπολογίζετε µε την προσεγγιστική εξισώση είναι «περίπου ίδιες» και εξίσου αποδεκτές µε το «σωστό» νούµερο των m που υπολογίζεται µε την ακριβή εξίσωση. οκιµάστε να λύσετε και άλλα σύνθετα προβλήµατα που περιέχονται στον Κατσαρέλη (008). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρείστε το σύστηµα του Σχ. 1 το οποίο αποτελείται από 1) δεξαµενές Α, Β και Γ µε σταθερές στάθµες νερού (ν= m ), ) 4 σωλήνες τραχύτητας k =1 mm µε τα ακόλουθα στοιχεία: Α1 (διαµέτρου D A1 =400 mm και µήκους L A1 =100 m), 1Β (διαµέτρου D 1B και µήκους L 1B =60 m), 1Σ (διαµέτρου D 1Σ =400 mm και µήκους L 1Σ =80 m) και ΣΓ (διαµέτρου D ΣΓ =400 mm και µήκους L ΣΓ =80 m) και ) υδροστρόβιλο Σ. Από τη δεξαµενή Α παροχετεύεται στη δεξαµενή Β παροχή νερού ίση µε 0.5 m µέσω των σωλήνων Α1 και 1Β, για τις ακόλουθες συνθήκες λειτουργίας: 1) Συνθήκη 1. Στάθµη του νερού στη δεξαµενή Α= Κατώτατη (ΚΣY). Στη δεξαµενή Γ δεν µεταφέρεται παροχή, οπότε ο στρόβιλος δεν λειτουργεί. ) Συνθήκη. Στάθµη του νερού στη δεξαµενή Α = Ανώτατη (ΑΣY). Στη δεξαµενή Γ µεταφέρεται παροχή µέσω των σωλήνων 1Σ και ΣΓ και ο στρόβιλος λειτουργεί. Yπολογίστε αγνοώντας τις τοπικές απώλειες: 1) Τη θεωρητική διάµετρο D 1B του σωλήνα 1Β. 0

31 ) Το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου. ) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ για την ΑΣY (συνθήκη ). 4) Ελέγξτε τα σηµεία του δικτύου όπου εµφανίζεται υποπίεση και σχολιάστε. Λύση ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των δεξαµενών του παραδείγµατος Οι υπολογισµοί πραγµατοποιούνται αναλύοντας το σύνθετο πρόβληµα σε µια σειρά 5 απλών προβληµάτων 1 µέχρι 5. Τα απλά αυτά προβλήµατα επιλύουµε αρχικά χρησιµοποιώντας την ακριβή εξ. (.6-16). Στον Πίνακα 1 συνοψίζονται τα αποτελέσµατα. Πίνακας 1. Αναλυτικοί υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος Σωλήνας Α1 1Β Α1 1Σ ΣΓ - D m L m Q m/ A m V m/ Re k mm k /D f h f m 1. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα Α1 (τύπος απλού προβλήµατος 1) και το υψόµετρο της ΓΕ στη θέση 1 για τη συνθήκη λειτουργίας 1. h f,a1 = m και H1 = HA,KΣΥ hf,a1 = m m = 5.54 m Το υψόµετρο της θέσης 1 παραµένει σταθερό και στις συνθήκες λειτουργίας. 1

32 . Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα 1Β (τύπος απλού προβλήµατος ) για τη συνθήκη λειτουργίας 1 µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα 1Β, οι οποίες είναι ίσες µε hf,1b = H1,ΑΣΥ H B = 5.54 m.000 m = 9.54 m. Η τιµή αυτή είναι περίπου ίση µε την τιµή του Πίν m. D 1B =00 mm.. Υπολογίζουµε την παροχή στο σωλήνα Α1 ( τύπος απλού προβλήµατος ) για τη συνθήκη λειτουργίας µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα Α1, οι οποίες είναι ίσες µε hf,a1 = H A,ΑΣΥ H1 = m 5.54 m =.458 m. Η τιµή αυτή είναι περίπου ίση µε την τιµή του Πίν m. Q A1 =0.0 m /. 4. Υπολογίζουµε τις απώλειες στους σωλήνες 1Σ και 1Γ (τύπος απλού προβλήµατος 1) µε δεδοµένη την παροχή, η οποία είναι ίση µε Q 1Σ =Q 1Γ =Q A1 -Q 1B =0.0 m /-0.5 m /=0.105 m /. h f,1σ =7.496 m και h f,σγ =7.496 m 5. Υπολογίζουµε τα υψόµετρα της ΓΕ σε κάθε θέση. Θέση Α: H Α = m Θέση 1: H 1 = m.458 m = 5.54 m Θέση Σ,ανάντη: H Σ,α = 5.54 m m = m Θέση Σ,κατάντη: H Σ,κ = m m = m Θέση Γ: H Β = m 6. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος του υδροστρόβιλου. Η man = m m=0.5 m. 7. Σχεδιάζουµε στο Σχ. σκαρίφηµα της ΓΕ για την ΑΣY (συνθήκη ). ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα των δεξαµενών του παραδείγµατος για την ΑΣΥ (συνθήκη )

33 8. Ελέγχουµε τις υποπιέσεις. Η µέγιστη υποπίεση παρατηρείται κατάντη του στροβίλου, όπου η ΠΓ βρίσκεται σε στάθµη ίση µε PΣ,κ V ΣΓ (.19 m / ) = ΗΣ,κ = m = m 0. m = 4.46 m γ g 9.81 m / Η διαφορά από τη στάθµη του υδροστρόβιλου είναι ίση µε P Σ,κ 4.46 m m 5.57 m 8.00 m γ = = > Άρα, δεν αναµένεται πρόβληµα σπηλαίωσης. Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς χρησιµοποιώντας τις προσεγγιστικές εξισώσεις του Κεφ. 4.. Παρατηρείστε για κάθε µέγεθος που υπολογίζουµε τα δεκαδικά ψηφία που «κρατάµε» και φαίνονται στις εξισώσεις υπολογισµού. 1. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα Α1 (τύπος απλού προβλήµατος 1) και το υψόµετρο της ΓΕ στη θέση 1 για τη συνθήκη λειτουργίας 1. k 1.0 mm D = =, 400 mm m m V = = και π(0.400 m) (1.790 m / ) (0.400 m) Re = = ( , βλ. Πιν. 1) m / fa1 = = = log ( ) log (650909) m (1.790 ) (100 m) h f,a1 = 0.05 = m (0.400 m) m (9.81 ) Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί h f,a1 = m, δηλ. η απόκλιση είναι περ. 4 cm. H1 = HA h f,a1 = m m = m. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα 1Β (τύπος απλού προβλήµατος ) για τη συνθήκη λειτουργίας 1 µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα 1Β, οι οποίες είναι ίσες µε hf,1b = H1,ΑΣΥ HB = m.000 m = m

34 m (60 m) 0.5 A = = m m (9.81 )(9.506 m) 5-6 m D = 0.66 (0.001 m) ( m ) + ( m ) m 0.5 = 0.07 m B Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί 0.00 m, δηλ. η απόκλιση είναι περ. +7 mm.. Υπολογίζουµε την παροχή στο σωλήνα Α1 (τύπος απλού προβλήµατος ) για τη συνθήκη λειτουργίας µε δεδοµένες τις απώλειες στο σωλήνα Α1, οι οποίες είναι ίσες µε hf,a1 = HA,ΑΣΥ H1 = m m =.494 m 0.04 m (0.400 m) (.494 m) m A1 = = (100 m) m A = = m ( m / ) (100 m) A = = (9.81 m / )(0.400 m) (.494 m) 0.5 m m QA1 = ln ( ) = 0.0 Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί Q A1 =0.0 m /, δηλ. η απόκλιση είναι µηδενική. 4. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα 1Σ και 1Γ (τύπος απλού προβλήµατος 1) µε δεδοµένη την παροχή στους σωλήνες σε σειρά 1Σ και 1Γ, η οποία είναι ίση µε Q 1Σ =Q 1Γ =Q A1 -Q 1B =0.0 m /-0.5 m /=0.105 m /. k 1.0 mm D = =, 50 mm m m V = =.19 και π(0.50 m) (.19 m / ) (0.50 m) Re = = m / 4

35 f1σ = = = log ( ) log (48616) m (.19 ) (80 m) h f,1σ = = m (0.50 m) m (9.81 ) Σηµ. Με την ακριβή εξίσωση είχαµε βρεί h f,1σ =7.496 m, δηλ. η απόκλιση είναι µηδενική. Οι υπόλοιποι υπολογισµοί παραµένουν ίδιοι. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.5- Από τη δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού θερµοκρασίας 0 ο C µέσω ενός συστήµατος παράλληλων σωλήνων 1 και µε τα χαρακτηριστικά του Πίνακα 1 και µιας αντλίας Ν (που τοποθετείται πολύ κοντά στη δεξαµενή Α), η οποία έχει ισχύ 8 KW και συντελεστή απόδοσης 0.70, όπως φαίνεται στο Σχ. 1. 1) Υπολογίστε την παροχή µε την οποία τροφοδοτείται η δεξαµενή Β και το µανοµετρικό ύψος της αντλίας αγνοώντας τις τοπικές απώλειες και το µήκος µεταξύ της δεξαµενής Α και της αντλίας. ) Σχεδιάστε σκαρίφηµα της ΓΕ. ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5-5

36 Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5- Σωλήνας 1 Μήκος (m) ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm) Λύση 1. Προσδιορίζουµε από τον Πιν τις τιµές της πυκνότητας και της κινηµατικής συνεκτικότητας του νερού ρ=998 kg/m και ν= m /.. Γράφουµε τις εξισώσεις που ισχύουν (α) Εξίσωση ενέργειας για τον σωλήνα 1 ή τον σωλήνα, καθόσον οι γραµµικές απώλειες στους δυο σωλήνες είναι ίδιες, δηλ. hf,1 = hf, = hf z V p H z V p h g γ g γ A A B B A man = B f VA pa VB pb za Hman = zb hf g γ g γ ή Hman = h f g γ g γ ή h = H 8.0 (1) f man (β) Εξισώσεις υπολογισµού παροχών στους σωλήνες 1 και. L V (6.0 m) V hf = f = f (α) D m g (0.08 m) (9.81 ) L1 V1 (6.0 m) V1 hf = f1 = f1 (β) D m 1 g (0.04 m) (9.81 ) Q π(0.08 m) = V (γ) π(0.04 m) Q = V (δ) 4 6

37 (γ) Εξίσωση συνέχειας. Q = Q1 + Q () (δ) Εξίσωση υπολογισµού του µανοµετρικού ύψους της αντλίας kg m m (998 )(9.81 )Q( )H man (m) 8000 W = m ή 0.70 kgm (8000 ) (0.70) m = Q( )H man (m) ή kg m (998 )(9.81 ) m 4 m QHman = 0.57 (4). Εφαρµόζουµε την ακόλουθη διαδικασία υπολογισµού 4 βηµάτων µε δοκιµές. (i) Βήµα 1. Υποθέτουµε µια τιµή του H man. (ii) (iii) (iv) Βήµα. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (1) και την συνολική παροχή Q από την εξ. (4). Βήµα. Με δεδοµένες τις απώλειες υπολογίζουµε τις παροχές στους δυο σωλήνες Q 1 και Q, τύπος απλού προβλήµατος, βλ. εξ. (). Βήµα 4. Υπολογίζουµε την παροχή από την εξ. () και ελέγχουµε αν συµπίπτει µε αυτή που υπολογίσαµε στο Βήµα 1. Προσδιορίζουµε το σφάλµα υπολογισµού της 1 ης δοκιµής. Υποθέτουµε µια νέα τιµή του H man και επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία υπολογισµού. Στη συνέχεια παραθέτουµε τους υπολογισµούς για την 1 η δοκιµή. (i) Βήµα 1. Υποθέτουµε H man =15.0 m. (ii) Βήµα. Υπολογίζουµε hf = 15.0 m 8.0 m = 7.0 m (1) 4 m Q(15.0 m) = 0.57 ή m Q = (4) (iii) Βήµα. Υπολογίζουµε τις παροχές Q 1 και Q (τύπος απλού προβλήµατος ). Q 1 = m / και Q = m / (iv) Βήµα 4. Υπολογίζουµε την ολική παροχή. 7

38 Q = m / m / = 0.07 m / < () Το σφάλµα υπολογισµού υπολογίζεται ίσο µε err = = 7.85% Άρα, θα πρέπει να αυξηθεί το H man =15.0 m που υποθέσαµε, µέχρι το σφάλµα να είναι αποδεκτό, έστω µικρότερο από %. 4. Οι αναλυτικοί υπολογισµοί δοκιµών παρουσιάζονται στον Πιν.. Πίνακας. Αναλυτικοί υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5- Βήµα υπολογισµών οκιµή 1 οκιµή οκιµή Μονάδες 1. Υποθέτουµε H man m α. Υπολογίζουµε Q από εξ. (4) m / β. Υπολογίζουµε h f από εξ. (1) m α. Υπολογίζουµε την παροχή Q 1 D m L m Q m / A m V m/ Re k mm k /D f h f m α. Υπολογίζουµε την παροχή Q D m L m Q m / A m V m/ Re k mm k /D f h f m 4α. Υπολογίζουµε την παροχή Q από την εξ. () 4. Q=Q 1 +Q (εξ.) m / 4β. Υπολογίζουµε το σφάλµα -7.85% 9.7% 0.4% % 8

39 5. Σχεδιάζουµε στο Σχ. σκαρίφηµα της ΓΕ. ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα του παραδείγµατος 4.5- ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.5- Θεωρείστε το σύστηµα των σωλήνων του Σχ. 1 το οποίο αποτελείται από 1) δεξαµενές Α, Β και Γ µε σταθερές στάθµες νερού (ν= m ) και ) 4 σωλήνες µε τα γνωστά και σταθερά στοιχεία του Πίν. 1. Από τη δεξαµενή Α παροχετεύεται στη δεξαµενή Β παροχή νερού ίση µε m µέσω των σωλήνων και 4. 1) Υπολογίστε τα άγνωστα στοιχεία του Πίν. 1 αγνοώντας τις τοπικές απώλειες. ) Σχεδιάστε σκαρίφηµα της ΓΕ. 9

40 ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5- Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5- Σωλήνας 1 4 Μονάδες D ; m L m Q ; ; ; ; m / k mm Λύση 1. Παρατηρούµε ότι στον σωλήνα 4 το µόνο στοιχείο που δεν γνωρίζουµε είναι η παροχή, την οποία υπολογίζουµε (τύπος απλού προβλήµατος ) µε δεδοµένες τις απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε hf,4 = HA HΓ = m m = m Υπολογίζεται Q 4 =0.15 m /, οπότε η παροχή του σωλήνα υπολογίζεται ίση µε Q =0.175 m /-0.15 m /=0.050 m /.. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα (τύπος απλού προβλήµατος 1) και το υψόµετρο της ΓΕ στο κόµβο Κ. h f, = m και HK = HΓ + hf, = m m = m 40

41 Παρατηρούµε ότι το υψόµετρο της ΓΕ στο κόµβο Κ είναι µεγαλύτερο από το υψόµετρο της ΓΕ της δεξαµενής Β, οπότε η δεξαµενή Α τροφοδοτεί τις δεξαµενές Β και Γ.. Υπολογίζουµε την παροχή στον σωλήνα (τύπος απλού προβλήµατος ) µε δεδοµένες τις απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε hf, = HK HΒ = m m = m Υπολογίζεται Q =0.075 m /, οπότε η παροχή του σωλήνα (1) υπολογίζεται ίση µε Q 1 =0.075 m / m /=0.15 m /. 4. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα 1 (τύπος απλού προβλήµατος ) µε δεδοµένες τις απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε hf,1 = HA HK = m m = m D 1 =78 mm. Χρησιµοποιούµε δυο σωλήνες εµπορίου σε σειρά µε διαµέτρους D 1-1 =00 mm και D 1- =50 mm και αντίστοιχα µήκη L 1-1 και L 1- =900-L 1-1, οπότε ισχύει η ακόλουθη εξίσωση. m m (1.768 ) (.546 ) L ( 1 1) L f f1 = m (0.00 m) m (0.00 m) m (9.81 ) (9.81 ) Με δοκιµές προκύπτει L 1-1 =000 m και L 1- =900 m. Στον Πίν. συνοψίζονται τα αποτελέσµατα. Πίνακας. Υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος 4.5- Σωλήνας Μονάδες D m L m Q m / A m V m/ Re k mm k /D f h f m 5. Σχεδιάζουµε σκαρίφηµα της ΓΕ στο Σχ.. 41

42 ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα του παραδείγµατος 4.5- ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρείστε το σύστηµα του Σχ. 1 το οποίο αποτελείται από 1) δεξαµενές Α, Β και Γ µε σταθερές στάθµες νερού (ν= m ), ) 4 σωλήνες µε τα γνωστά και σταθερά στοιχεία του Πίν. 1 και ) αντλία Ν. Από τις δεξαµενές Α και Β παροχετεύονται λύµατα (ν= m και γ=1005 kg/m ) στη δεξαµενή καθαρισµού Γ, όπου υφίστανται µερική επεξεργασία. Τα επεξεργασµένα νερά (ν= m ) διατίθενται στη θάλασσα. 1) Υπολογίστε αγνοώντας τις τοπικές απώλειες τα άγνωστα στοιχεία του Πίν. 1 και την απαιτούµενη ισχύ της αντλίας, η οποία έχει απόδοση 75%. ) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα τη ΓΕ. 4

43 ΣΧΗΜΑ 1. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά των σωλήνων του παραδείγµατος Aγωγός ΑΓ ΒΝ ΝΓ Ε Γ Μονάδες D ; m L m Q ; 0.15 ; ; ; m / k mm Λύση 1. Παρατηρούµε ότι στο σωλήνα ΑΓ το µόνο στοιχείο που δεν γνωρίζουµε είναι η παροχή, την οποία υπολογίζουµε (τύπος απλού προβλήµατος ) µε δεδοµένες τις απώλειες, οι οποίες είναι ίσες µε hf,aγ = HA HΓ = m m = m Υπολογίζεται Q ΑΓ =0.15 m /.. Υπολογίζουµε τις απώλειες στους σωλήνες ΒΝ και ΝΓ (τύπος απλού προβλήµατος 1). Υπολογίζονται h f,βν =5.000 m και h f,νγ =5.000 m.. Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος της αντλίας και την ισχύ της Hman = hf,bn + hf,nγ = m m = m kg m m (1005 ) (10.0 m) m P = = W ή Ρ 16.4 KW 0.75 (-) 4

44 4. Υπολογίζουµε τις απώλειες στο σωλήνα Ε (τύπος απλού προβλήµατος 1) µε δεδοµένη την παροχή, η οποία είναι ίση µε Q Ε =0.15 m /+0.15 m /=0.50 m /. Υπολογίζεται h f, Ε =11.1 m. 5. Υπολογίζουµε το υψόµετρο της ΓΕ του σηµείου είναι ίσο µε H = HE + hf, E = m m = 11.1 m 6. Υπολογίζουµε τη διάµετρο του σωλήνα Γ (τύπος απλού προβλήµατος ) µε δεδοµένες τις απώλειες του σωλήνα Γ, οι οποίες είναι ίσες µε hf,γ = HΓ - H = m 11.1 m = 9.79 m. Υπολογίζεται D Γ =400 mm. Στον Πίν. συνοψίζονται τα αποτελέσµατα των υπολογισµών. Πίνακας. Υπολογισµοί των σωλήνων του παραδείγµατος Aγωγός AΓ ΒΝ ΝΓ Ε Γ Μονάδες D m L m Q m / A m V m/ R e k mm k /D f h f m 7. Σχεδιάζουµε στο Σχ. σκαρίφηµα της ΓΕ. 44

45 ΣΧΗΜΑ. Σκαρίφηµα της ΓΕ στο σύστηµα του παραδείγµατος