MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES. Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM Agosto 4, 4

2 INTRODUCCIÓN Este documento constituye un material de apoyo para el curso de Matemáticas Aplicadas a la Economía, para las carreras de Economía y Dirección Financiera en el ITAM. Contiene las soluciones detalladas del documento de trabajo Matemáticas Aplicadas a la Economía, Cuaderno de Ejercicios, Lorena Zogaib, Departamento de Matemáticas, ITAM, agosto 4 de 4. Todas las soluciones fueron elaboradas por mí, sin una revisión cuidadosa, por lo que seguramente el lector encontrará varios errores en el camino. Ésta es una transcripción en computadora, de mis versiones manuscritas originales. Para este fin, conté con la colaboración de Carlos Gómez Figueroa, que realizó la primera transcripción de las soluciones en Scientific WorkPlace. Agradezco de antemano sus comentarios y correcciones en relación con este material. Lorena Zogaib

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA - SOLUCIONES ECUACIONES EN DIFERENCIAS I (Temas.-.3). (a) x t+ 3tx t esunaecuaciónnoautónoma,lineal,homogénea. (b) x t+ ( x t ) x t es una ecuación autónoma, no lineal. (c) x t 3x t + 4 es una ecuación autónoma, lineal, no homogénea.. (a) x t 3 t+ + x t+ 3 (t+)+ + 3 t+ + 3x t 4 3 (3 t+ + ) 4 3 t t+ + x t+ 3x t 4 x t+ (b) z t t +t z t (t ) + (t ) z t z t (t +t) (t ) + (t ) (t +t) (t t + +t ) t z t z t t (c) a t (5) t/ a t+ (5) (t+)/ a t+ 5a t (5) (t+)/ 5 (5) t/ a t+ 5a t 4 (5) t+ 5 4 (5) t 3. La solución de la ecuación lineal autónoma x t+ ax t +b, con condicióninicialx,es: i)x t x +bt,sia,ii)x t a t (x x ) +x, sia, en dondex b es el punto fijo. a (a) Ecuación: P t P t El punto fijo esp. Suponiendo que la población inicial esp, la solución es P t t P, t,,,... (b) Ecuación: K t+ K t rk t, o bien,k t+ ( +r)k t El punto fijo esk. Suponiendo que el capital inicial es K, la solución es K t ( +r) t K, t,,,... 3

4 (c) Ecuación: K t+ K t rk, o bien,k t+ K t +rk Suponiendo que el capital inicial esk, la solución es K t ( +rt)k, t,,,... (d) Ecuación: I t I t ri t +d, o bien,i t ( +r)i t +d El punto fijo esi d. Suponiendo que la inversión inicial r esi, la solución es I t ( +r) t I + d d, t,,,... r r 4. (a) x t+ (/)x t + 3,x 3 Punto fijo: x (/)x + 3 x x t ( /) t (3 ) + x t ( /) t +, t,,,... Estabilidad: lim x t lim t ( /) t + lim ( /) t + x t t x es asintóticamente estable. El sistema presenta convergencia alternante. Gráfica de la solución: (b) x t+ 3x t 4, x Reescribimos la ecuación comox t+ 3 x t + 4

5 Punto fijo: x 3 x + x 4 x t (3/) t ( ( 4)) + ( 4) x t 4 (3/) t 4, t,,,... Estabilidad: lim x t lim 4 (3/) t 4 diverge t t lim t x t 4 lim t (3/)t 4 4 x x 4 es asintóticamente inestable. El sistema presenta divergencia monótona. Gráfica de la solución: (c) x t+ x t (/)x t +, x Este ejercicio es idéntico al del inciso anterior. (d) x t+ x t + 5, x 5 Punto fijo: x x + 5 x 5 5 x t ( ) 5 t + 5 x t 5 + ( ) t, t,,,... Estabilidad: Notamos que 5, sites par x t, sites impar No existen limx t y lim x t t. t El punto fijo no es estable, ni inestable (caso degenerado). 5

6 Gráfica de la solución: (e) x t+ x t + 5, x 5 Es la misma ecuación que en (c), pero con diferentex. Punto fijo: x x + 5 x 5 x t ( ) t x t 5, t,,,... Estabilidad: La sucesión es constante, con lim x t lim t 5 El sistema es estable. Gráfica de la solución: t 5 (f) x t+ x t +, x 5 Punto fijo: x x + no hay punto fijo 6

7 x t 5 + t, t,,,... Estabilidad: No hay estabilidad (diverge lim x t ). t ± Gráfica de la solución: 5. (a) p t p t β (φ p t ), φ,β> Precio de equilibrio: p p β (φ p ) p φ (b) Reescribimos la ecuación, como p t ( +β) p t +βφ p t p t + βφ +β +β t p t (p φ) +φ, t,,,... +β (c) Estabilidad: Como < <, por lo tanto +β t lim p t (p φ) lim +φ φ t t +β el precio converge ap φ. Por último, la convergencia es monótona, ya que +β >. 7

8 6. S t αy t, I t+ β (Y t+ Y t ), S t I t, <α<β β (Y t+ Y t ) I t+ S t+ αy t+ Y t+ β β α Y t La solución es t β Y t Y, t,,,... β α β Por último, como <α<β, por lo tanto >. Así, β α lim Y t diverge, t t β lim Y t Y lim. t t β α Por lo tanto, el punto fijoy es asintóticamente inestable. 7. Y t C t +I t +G t, C t C +αy t, <α< Y t (C +αy t ) +I t +G t Y t αy t + (C +I t +G t ) Suponiendo quei t I,G t G, se tiene Y t αy t +C +I +G El punto fijo se obtiene dey αy +C +I +G, de donde Y C +I +G α En ese caso, la solución a la ecuación para el ingreso es Y t α t (Y Y ) +Y, t,,,... Por último, como <α<, por lo tanto lim Y t (Y Y ) lim +Y Y. t Así, el punto fijoy C +I +G es asintóticamente estable. α t α t 8. y t+ (a +by t ) cy t, y t+ (a +by t ) cy t, a,b,c> yy > (a) Partimos dey t+ cy t, cona,b,c>. Comoy >, por a +by t lo tantoy >. Con este mismo razonamiento, se sigue que y >, etc... De esta manera,y t > para todot. 8

9 (b) Seax t /y t.sustituyendoy t /x t enlaecuacióny t+ se tiene x t+ c x t a +b x t c ax t +b cy t a +by t x t+ a c x t + b ecuación lineal parax t c En particular, paray t+ ( + 3y t ) 4y t,y /, se obtiene x t+ x t + 3 4, x y x t t + 3 t+ + 3 y t t+ + 3 t,,,... Por último, lim y t t (a) x t tx t, x x x ()x () () x ()x () () x 3 (3)x (3) () () 3! x 4 (4)x 3 (4) (3) () () 4!. x t t!, t,,,... donde se utilizó que!. (b) x t+ ax t +b t,x dada,a,b> x ax +b ax + x ax +b a (ax + ) +b a x +a+b x 3 ax +b a a x +a+b +b a 3 x +a +ab +b 9

10 x 4 ax 3 +b 3 a a 3 x +a +ab +b +b 3 a 4 x +a 3 +a b +ab +b 3. t t x t a t x + a (t ) k b k a t x +a t k k k b a t b x t a t x +a t a a b t x + bt a t a b a x t x a t + b a b a bt, t,,,... (c) x t+ a t x t +b,x dada,a,b> x a x +b x +b x a x +b a (x +b) +b ax +ab +b x 3 a x +b a (ax +ab +b) +b a a x + a a b +a b +b x 4 a 3 x 3 +b a 3 a a x + a a b +a b +b +b a 3 a a x + a 3 a a b + a 3 a b +a 3 b +b a 3 a a x + a 3 a a + a 3 a +a 3 + b 3 3 a x s 3 + a s + a s 3 + x t. s t s s t t a x s +b k sk+ s s3 a s, t,,,... a s + b donde se usó que el producto t st as de cero términos es.. w t+ ( +r)w t c t, c t c γ t, w dada w t+ ( +r)w t c γ t w ( +r)w c w ( +r)w c γ ( +r) [( +r)w c ] c γ ( +r) w ( +r)c c γ w 3 ( +r)w c γ ( +r) ( +r) w ( +r)c c γ c γ ( +r) 3 w c ( +r) + ( +r)γ +γ. t w t ( +r) t w c ( +r) (t ) k γ k k

11 t k γ w t ( +r) t w c ( +r) t +r w t k ( +r) t w c ( +r) t γ +r t γ +r ( +r) t γ t ( +r) t w c γ ( +r) ( +r) t γ t ( +r) t w +c w c +r γ +r γ ( +r) t +. (a) D t 3p t +, S t p t + D t S t 3p t + p t + p t 3 p t Punto fijo: p 3 p p p t 3 t (p ) + Estabilidad: lim p t (p ) lim t t t 3 p es asintóticamente estable. Diagrama de fase: c +r γ γt, t,,,... + p

12 (b) D t 4p t + 5, S t 4p t + 3 D t S t 4p t + 5 4p t + 3 p t p t + Punto fijo: p p + p 4 p t ( ) t p Estabilidad: Notamos que p, sites par p t p,sites impar. Noexisten limp t y lim p t (haydospuntosdeacumulación) t t El sistema no es estable, ni inestable. Se trata de un caso degenerado. Diagrama de fase: (c) D t (5/)p t + 45, S t (5/)p t + 5 D t S t (5/)p t + 45 (5/)p t + 5 p t 3p t + 6 Punto fijo: p 3p + 6 p 4 p t ( 3) t (p 4) + 4

13 Estabilidad: lim p t lim ( 3) t (p 4) + 4 diverge t t lim p t (p 4) lim t t ( 3)t p p 4 es asintóticamente inestable. Diagrama de fase:. (a) x t+ 4x t 3, x t 3 4 Puntos fijos: x 4x 3 (x ) 4x 3 (x ) 4x + 3 (x ) (x 3) x, x 3 Estabilidad: Seaf(x) 4x 3 f (x) 4x 3 3 es asintótica- f () y f (3) 3 f () > y f (3) < x es asintóticamente inestable yx mente estable. 3

14 Diagrama de fase: Parax, 3 se tiene: 3 4 x < lim x t, t <x < 3 lim x t t x > 3 limx t 3. t y lim t x t 3, (b) x t+ x 3 t Puntos fijos: x (x ) 3 x (x ) 3 x (x ) x ( +x ) ( x ) x, x, x 3 Estabilidad: Seaf(x) x 3 f (x) 3x f (),f ( ) f () 3 f () < y f ( ) f () > x es asintóticamente estable; x yx 3 son asintóticamente inestables. 4

15 Diagrama de fase: Parax,, se tiene: x < lim x t, t <x < lim x t t <x < lim x t t x > lim x t. t (c) x t+, x x t > t Puntos fijos: x (x ) (x ) 3 (x ) 3 (x ) (x ) +x + x Estabilidad: Seaf(x) x y limx t, t y lim t x t, f (x) x 3 f () f () > x es asintóticamente inestable. 5

16 Diagrama de fase: Parax se tiene: lim t x t. (d) x t+ x t, x t > Puntos fijos: x x (x ) x (x se descarta, ya quex t > ) Estabilidad: Seaf(x) x f (x) x f () f () no se puede aplicar el teorema. Observamos que x, sites par x t,sites impar. x hay dos puntos de acumulación (caso degenerado) el sistema no es estable, ni inestable. 6

17 Diagrama de fase: Parax se tiene: lim t x t y lim t x t divergen ambos. (e) x t+ x t +x 3 t Puntos fijos: x x + (x ) 3 x Estabilidad: Seaf(x) x +x 3 f (x) + 3x f () f () no se puede aplicar el teorema. Observamos quef (x)> alrededor dex, por lo que x es asintóticamente inestable. Diagrama de fase: Parax se tiene: lim t x t. 7

18 (f) x t+ e (xt). Nota: el punto fijo esx Puntos fijos: x e x x Estabilidad: Seaf(x) e x f (x) e x f () f () no se puede aplicar el teorema. Observamos quef (x) > parax>, y f (x)<para x<. Por lo tanto, x x es asintóticamente estable, x > x es asintóticamente inestable. Diagrama de fase: Parax se tiene: x < lim t x t x > lim t x t 3. (a) x t+ x t +c Puntos fijos: x (x ) +c (x ) x +c x ± 4c 8

19 De aquí se siguen tres casos: sic< hay dos puntos fijos, si 4 c 4 sólo hay un punto fijo, y sic> 4 no hay puntos fijos. (b) x t+ x t, x Puntos fijos: x (x ) (x ) x (x + ) (x ) x, x Obtenemos la sucesión de puntos a partir del punto inicial dado: x x. x x 3 ( ) x 4 () orb,,,,,... 9

20 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA - SOLUCIONES ECUACIONES EN DIFERENCIAS II (Temas.-.). (a) x t+ 3x t+ + x t ; x t A +B t x t A+B t x t+ A+B t+ x t+ A+B t+ x t+ 3x t+ +x t (A +B t+ ) 3 (A +B t+ )+ (A +B t ) A ( 3+) +B( t+ 3 t+ + t ) B t ( 3 () + ) (b) x t+ x t+ +x t ; x t A +Bt x t A+Bt x t+ A+B (t + ) x t+ A+B (t + ) x t+ x t+ +x t (A +Bt + B) (A +Bt +B) + (A + Bt) A ( +) +B( ) +Bt ( +). (a) x t+ 5x t+ + 6x t Proponemosx t λ t λ t+ 5λ t+ + 6λ t λ t λ 5λ + 6 λ 5λ + 6 (λ ) (λ 3) λ, λ 3 (raíces reales distintas) x t k t +k 3 t, t,,,... Estabilidad: lim x t lim [k t +k 3 t ] diverge t t lim x t lim [k t +k 3 t ] t t El sistema es asintóticamente inestable. (b) x t+ x t Proponemosx t λ t λ (λ + ) (λ ) λ, λ (raíces reales distintas) x t k ( ) t +k, t,,,...

21 Estabilidad: lim x t lim k ( ) t +k diverge t t lim x t lim k ( ) t +k diverge t t El sistema no es estable ni inestable (caso degenerado). (c) x t+ x t+ + 4x t Proponemosx t λ t λ λ + 4 λ, ± 4 4 (4) ± 3 ± 3 i λ + 3i, λ 3i (raíces complejas) α, β 3, λ β α +β, θ tan α π π x t k t cos 3 t +k sen 3 t, t,,,... π 3 Estabilidad: Nota que x t < t (k +k ). Por lo tanto, lim t x t diverge lim t x t (usando el teorema del sandwich) El sistema es asintóticamente inestable. (d) 9x t+ 6x t+ +x t, x, x Proponemosx t λ t 9λ 6λ + (3λ ) λ λ (raíces reales repetidas) 3 t t x t k +k t 3 3 Condiciones iniciales: x k x k 3 +k 3 k, k 5

22 x t t + 5t 3 t ( + 5t) 3 t, t,,,... 3 Estabilidad: lim x + 5t t lim L 5 lim t t 3 t t 3 t ln 3 (RegladeL Hopital) lim x t diverge t El sistema es asintóticamente estable. 3. La solución de la ecuación no homogéneaax t+ +bx t+ +cx t d t está dada por x t x (h) t +x (p) t, donde x (h) t es la solución general de la ecuación homogénea asociada y x (p) t es cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. (a) x t+ + 4 x t 5 x (h) t : x (h) t+ + 4 x(h) t Proponemosx (h) t λ + 4 λ, ± λ t ± i λ i, λ i (raíces complejas) α, β, λ α +β β θ tan tan ( ) π α x (h) t π π t k cos t +k sen t x (p) t : x (p) t+ + 4 x(p) t 5 Proponemosx (p) t A x p t+ x p t+ A A + 4 A 5 A 4 x (p) t 4 t π x t k cos t π +k sen t +4, t,,,...

23 (b) x t+ 4x t 3, x, x x (h) t : x (h) t+ 4x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 4 (λ + ) (λ ) λ, λ x (h) t k ( ) t +k t x (p) t : x (p) t+ 4x (p) t 3 Proponemosx (p) t A x p t+ x p t+ A A 4A 3 A x (p) t x t k ( ) t +k t Condiciones iniciales: x k +k x k + k k, k x t ( ) t + ( t ) ( ) t + t+, t,,,... (c) x t+ 4x t 9t, x, x x (h) t : x (h) t+ 4x (h) t x (h) t k ( ) t +k t (ver inciso anterior) x (p) t : x (p) t+ 4x (p) t 9t Proponemosx (p) t At +B x p t+ A (t + ) +B x p t+ A (t + ) +B [A (t + ) +B] 4 [At +B] 9t 3At + (A 3B) 9t 3A 9 y A 3B A 3 y B x (p) t 3t + x t k ( ) t +k t + 3t + 3

24 Condiciones iniciales: x k +k + x k + k k, k x t ( ) t t + 3t +, t,,,... (d) x t+ 7x t+ + x t 5 ( t ), x, x x (h) t : x (h) t+ 7x(h) t+ + x(h) t Proponemosx (h) t λ t λ 7λ + (λ 3) (λ 4) λ 3, λ 4 x (h) t k 3 t +k 4 t x (p) t : x (p) t+ 7x (p) t+ + x (p) t 5 ( t ) Proponemosx (p) t A t x p t+ A t+ A t x p t+ A t+ 4A t [4A t ] 7 [A t ] + [A t ] 5 ( t ) A 5 x (p) t 5 (t ) x t k 3 t +k 4 t + 5 (t ) Condiciones iniciales: x k +k + 5 x 3k + 4k + 5 k 3, k x t 3 t+ + 4 t + 5 (t ), t,,,... (e) x t+ 3x t+ + x t 3 (5 t ) x (h) t : x (h) t+ 3x (h) t+ + x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 3λ + 4

25 (λ ) (λ ) λ, λ x (h) t k +k t x (p) t : x (p) t+ 3x (p) t+ + x (p) t 3 (5 t ) Proponemosx (p) t A5 t x p t+ A5 t+ 5 (A5 t ) x p t+ A5t+ 5 (A5 t ) [5A5 t ] 3 [5A5 t ] + [A5 t ] 3 (5 t ) 5A 5A + A 3 A 4 x (p) t 4 5t x t k +k t + 4 5t, t,,,... (f) x t+ 3x t+ + x t x (h) t : x (h) t+ 3x(h) t+ + x(h) t x (h) t k +k t (ver inciso anterior) x (p) t : x (p) t+ 3x (p) t+ + x (p) t No sirve proponerx (p) t A (es l.d. a ): x (p) t A A 3A + A Proponemosx (p) t At x p t+ A (t + ) x p t+ A (t + ) A (t + ) 3A (t + ) + At A x (p) t t x t k +k t t, t,,,... (g) x t+ 3x t+ + x t 6() t x (h) t : x (h) t+ 3x(h) t+ + x(h) t x (h) t k +k t (ver inciso anterior) x (p) t : x (p) t+ 3x(p) t+ + x(p) t 6() t No sirve proponerx (p) t A() t (es l.d. a t ): x (p) t A () t 4A() t 3 [A() t ] + [A() t ] 6() t 6 5

26 Proponemosx (p) t At() t x p t+ A (t + ) ()t+ x p t+ A (t + ) ()t+ A (t + ) () t+ 3A (t + ) () t+ + At() t 6() t A 3 x (p) t 3t() t x t k +k t + 3t() t, t,,,... (h) x t+ 6x t+ + 9x t ( t ) x (h) t : x (h) t+ 6x (h) t+ + 9x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 6λ + 9 (λ 3) λ λ 3 x (h) t k 3 t +k t3 t x (p) t : x (p) t+ 6x (p) t+ + 9x (p) t ( t ) Proponemosx (p) t A +B t x p t+ A +B t+ x p t+ A +Bt+ [A +B t+ ] 6 [A +B t+ ]+9 [A +B t ] 8+3 ( t ) 4A +B t ( t ) A, B 3 x (p) t + 3 ( t ) x t k 3 t +k t3 t ( t ), t,,, (a) x t+ + 4x t,x 5 x (h) t : x (h) t+ + 4x(h) t x (h) t+ 4x (h) t x (h) t A ( 4) t x (p) t : x (p) t+ + 4x (p) t Proponemosx (p) t B x (p) t+ B B + 4B B 6

27 x (p) t+ x t A ( 4) t + Condiciones iniciales: x 5 A + A 3 x t 3 ( 4) t +, t,,,... Este es el mismo resultado que el obtenido con el método de la tarea (x t a t (x x ) +x ). (b) x t+ x t + 9 (5 t ),x 3 x (h) t : x (h) t+ x (h) t x (h) t A ( t ) x (p) t : x (p) t+ x(p) t + 9 (5 t ) Proponemosx (p) t B (5 t ) x (p) t+ B (5 t+ ) B (5 t+ ) B (5 t ) + 9 (5 t ) 5B B + 9 B 3 x (p) t+ 3 (5 t ) x t A ( t ) + 3 (5 t ) Condiciones iniciales: x 3 A + 3 A x t 3 (5 t ), t,,, x t+3 3x t+ + x t Proponemosx t λ t λ t+3 3λ t+ + λ t λ t λ 3 3λ + λ 3 3λ + (λ ) λ +λ (λ ) (λ ) (λ + ) λ λ, λ 3 x t k t +k t t +k 3 ( ) t ( raíces reales repetidas) x t k +k t + k 3 ( ) t, t,,,... 7

28 6. x t+ 5x t+ + x t 6, conx 4 yx β. (a) El punto fijox se obtiene de x 5x +x 6, de donde x 6. (b) x (h) t : x (h) t+ 5x (h) t+ + x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 5λ + λ, 5± 5 6 5±3 4 4 λ, λ x (h) t k t +k t x (p) t : x (p) t+ 5x(p) t+ + x(p) t 6 Proponemosx (p) t A A 5A + A 6 A 6 x (p) t 6 x x t k t +k t + 6 Condiciones iniciales: x 4 k +k + 6 x β k () +k + 6 β k, k 4 β 3 3 t β 4 β x t t + +6, t,,, (c) Como lim t diverge,x es estable sólo sik t esto es, siβ 5. En ese caso, t x t + 6 t lim x t lim x t t β 3, 8

29 (d) Como lim t (/)t diverge,x esinestablesólosik 4 β 3 esto es, siβ. En ese caso, x t () t + 6 lim x t lim t t t x, 7. x t+ ax t+ + 6 x t, conaconstante. Proponemosx t λ t λ aλ + 6 λ, a± a 4 Lasoluciónpresentauncomportamientooscilatoriocuandoa < 4, esto es, cuando <a<. En ese caso, λ, a± ( ) 4 a a±i 4 a Reescribiendoλ, de la formaλ, α±iβ se tiene α a, β 4 a λ α +β β 4, θ tan α x t t [k cos (θt) +k sen (θt)], t,,, F t+ F t+ +F t, F, F ProponemosF t λ t λ λ λ + 5, λ 5 F t k + 5 t +k 5 (raíces reales distintas) t 9

30 Condiciones iniciales: F k +k + 5 F k 5, k 5 F t t k k t, t,,, C t cy t, K t σy t, Y t C t +K t K t, c,σ> Y t (cy t ) + (σy t ) (σy t ) Y t (c +σ)y t σy t Y t (c +σ)y t +σy t o bien,y t+ (c +σ)y t+ +σy t Ecuación: Y t+ (c +σ)y t+ +σy t ProponemosY t λ t λ (c +σ)λ +σ! (c +σ)± (c +σ) 4σ λ, i) Si (c +σ) > 4σ, entoncesλ yλ son reales y distintas Y t k λ t +k λ t, t,,,... ii) Si (c +σ) 4σ, entoncesλ λ c +σ son reales repetidas c +σ t c +σ t Y t k +k t, t,,,... iii) Si (c +σ) < 4σ, entoncesλ yλ son complejas (c +σ)±! 4σ (c +σ) Enestecaso,λ, Reescribiendoλ, de la formaλ, α±iβ se tiene! 4σ (c +σ) α c +σ, β 3! (c +σ)±i 4σ (c +σ)

31 λ α +β σ, θ tan β α Y t σ t/ [k cos (θt) +k sen (θt)], t,,,.... Y t C t +I t +G t, C t C +αy t, I t I +β(y t Y t ), con <α<,c,i,β>, (α +β) > 4β Y t (C +αy t ) + (I +β(y t Y t )) +G t Y t (α +β)y t βy t + (C +I +G t ) Suponiendo queg t G, se tiene Y t (α +β)y t +βy t C +I +G o bien,y t+ (α +β)y t+ +βy t C +I +G Ecuación: Y t+ (α +β)y t+ +βy t C +I +G Y (h) t : Y (h) t+ (α +β)y(h) t+ +βy(h) t ProponemosY (h) t λ t λ (α +β)λ +β! (α +β)± (α +β) 4β λ, Como (α +β) > 4β, entoncesλ yλ son reales y distintas Y (h) t k λ t +k λ t Y (p) t : Y (p) t+ (α +β)y (p) t+ +βy (p) t C +I +G ProponemosY (p) t A Y (p) t+ Y (p) t+ A A (α +β)a +βa C +I +G A C +I +G α Y (p) t C +I +G α Y t k λ t +k λ t +C +I +G, t,,,... α 3

32 . (a) 3 Xt X t+ 3 3 SeaA 3 Valores propios dea : p A (λ) λ 6λ + 8 (λ ) (λ 4) λ,λ 4 (raíces reales distintas) Vectores propios dea, m v : n 3 m λ : 3 n m n m +n n m Tomandom, se tienen v (o cualquier múltiplo de éste) 3 4 m λ 4 : 3 4 n m n m +n n m Tomandom, se tienen v (o cualquier múltiplo de éste) Por lo tanto, la solución es Xt k t +k 4 t, t,,,... En otras palabras, x t k t +k 4 t y t k t +k 4 t, t,,,... (b) 6 9 Xt 6 X t+, X 6 9 SeaA 3

33 Valores propios dea : p A (λ) λ 6λ + 9 (λ 3) λ λ 3 (raíces reales repetidas) Vector propio dea, m v : n m 3 n 3 9 m 3 n 3m + 9n m 3n Tomandon, se tienem 3 3 v (o cualquier múltiplo de éste) Vector propio generalizado dea, p w : q 3 9 p 3 3 q 3p + 9q 3 p 3q Tomandoq, se tienep w (o cualquiera que satisfagap 3q) 3 X t k 3 t +k 3 t t Condiciones iniciales: 6 3 X k 3 +k 3 () 3 k + 3k 6 3k + 6k k 3k k 6, k Por lo tanto, la solución es Xt 6 (3) t 3 (3) t t , t,,,...

34 En otras palabras, x t (6t + 6) 3 t y t t 3 t, t,,,... (c) Xt X t+ 3 SeaA 3 Valores propios dea : p A (λ) λ λ + 4 λ, ± 4 4 (4) ± 3 ± 3 i λ + 3i, λ 3i (raíces complejas) α, β 3, λ β α +β, θ tan α Vectores propios dea, m v : n λ + + 3i 3i : 3 + m 3i n 3i 3 3i m n 3im +n n 3im Tomandom, se tienen 3i v r 3i, +i 3 s 3 π 3 Por lo tanto, la solución es π Xt t k cos 3 t +k 3 π sen + 3 t 3 π sen 3 t π cos " 3 t. En otras palabras, π π x t k t cos 3 t +k sen 3 t y t π t 3k sen 3 t + π 3k cos 3 t, t,,,... 34

35 (d) Xt X t+ SeaA Valores propios dea : p A (λ) λ λ+3 (λ + ) (λ 3) λ,λ 3 (raíces reales distintas) Vectores propios dea, m v : n ( ) m λ : ( ) n m 4 n m n m n Tomandon, se tienem v (o cualquier múltiplo de éste) 3 m λ 3 : 3 n 4 m n m n n m Tomandom, se tienen v (o cualquier múltiplo de éste) Por lo tanto, la solución es Xt k ( ) t En otras palabras, +k 3 t, t,,,... x t k ( ) t +k 3 t y t k ( ) t k 3 t, t,,,... (e) Xt 6 X t+ +, X 3 3 Xt X (h) t + X (p) t 35

36 X (h) t : X (p) t : X (h) t+ X (h) t k ( ) t X (p) t+ X (h) t +k 3 t X (p) t Proponemos X (p) α t β α α + β β α α β + 6 β α + β + 3 α, β X (p) t X t k ( ) t 6 3 +k 3 t + Condiciones iniciales: X k 3 ( ) +k 3 + k +k + k +k + 3 k k + k 5, k 4 5 X t 5 ( )t 4 5 3t + Por lo tanto, la solución es 4 5 ( )t 4 5 3t + Xt 5 ( )t + 8, t,,, t + En otras palabras, x t 4 5 ( )t 4 5 3t + y t 5 ( )t t +, t,,,... (ver inciso anterior) 36

37 (f) X t+ Xt X (h) t X (h) t : X (p) t : Xt + 7 (5 t, ) + X (p) t X (h) t+ X (h) t k ( ) t (p) X t+ Como 7 (5 t ) α5 t+ β5 t+ α5 t+ α5 t β5 t X (h) t +k 3 t 4 X 3 X (p) t + 7 (5 t ) 7 5 t, proponemos X (p) β5 t+ α5 t + β5 t + 7 (5 t ) 5α α β 5β α + β + 7 α, β 3 X (p) t 3 X t k ( ) t 5 t +k 3 t Condiciones iniciales: 4 X k 3 +k + 4 k +k 3 k k + 3 k, k X t ( ) t 4 +3 t En otras palabras, x t 4 ( ) t + 3 t 5 t α5 t β5 t + (ver inciso anterior) α t β 7 (5 t ) + 5 t t +5 t, t,,,... 3 y t ( ) t (3 t ) + 3 (5 t ), t,,,... 37

38 . Se tiene con x t+ qx t +py t y t+ ( q)x t + ( p)y t x t +y t L (L constante) La matriz del sistema es q p A. q p Valores propios dea: p A (λ) λ (q + p)λ +q ( p) p ( q) λ (q + p)λ + (q p) (λ (q p)) (λ ) λ q p,λ (raíces reales distintas) Vectores propios dea, m v : n λ q p : λ : q (q p) p m q ( p) (q p) n p p m q q n pm +pn n m Tomandom, se tienen v (o cualquier múltiplo de éste) q p m q ( p) n q p m q p n (q )m +pn n q p m Tomandom p, se tienen q p v (o cualquier múltiplo de éste) q 38

39 Por lo tanto, la solución es xt k y (q p) t t En otras palabras, x t k (q p) t +k p p +k. q y t k (q p) t +k ( q), t,,,... ComoL x t +y t, por lo tanto L k (q p) t +k p k (q p) t +k ( q) k (p + q) L k (p + q) La solución es xt k y (q p) t L p +, t,,,... t (p + q) q Comoq ypson probabilidades (sus valores están entre y ), por lo tanto q p <, de modo que Lp xt p + q lim t y t L ( q). p + q De esta manera, tanto el número de personas empleadas como el de desempleadas se estabiliza a largo plazo. Algunos casos particulares: (a) Sip q, entonces xt L lim. t y t (b) Sip +q, entonces xt L/ lim. t y t L/ (c) Sip, entonces xt lim. t y t L 39

40 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA 3 - SOLUCIONES ELEMENTOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (Temas ). (a) Seaβ y sea n S β k +β +β + +β n +β n. Así, k βs β +β +β 3 + +β n +β n+ S βs β n+ ( β)s β n+ n k S βn+ β β k βn+ β (b) Derivamos el resultado anterior con respecto a β: d n β k d β n+ dβ dβ β k n dβ k dβ ( β) ( (n + )βn ) β n+ ( ) ( β) k n kβ k (n + ) ( β)βn + β n+ ( β) k n kβ k (n + )βn +nβ n+ β ( β) k n kβ k β (n + )β n +nβ n+ ( β) k. (a) Como β <, se tiene En ese caso, β k lim k n n k lim n βn. β k β n+ lim n β 4 limβ n+ β n β.

41 k β k β (serie geométrica) (b) Sabemos que β <. Por regla de L Hopital, se tiene n lim n nβn lim L n β n lim n β n lnβ lnβ lim n βn. De esta manera, kβ k lim k n n k kβ k β (n + )β n +nβ n+ lim n ( β) β ( β) lim (n + )β n + limnβ n+ n n kβ k k 3. V (x ) max {u t} ) k β ( β) (serie aritmético-geométrica) x k 4 u k Función valor a partir del períodot: ) V t (x t ) max x k {u t } 4 u k, t,,. kt Ecuación de Bellman: V t (x t ) max {u t} x t 4 u t Condiciones de primer orden: s.a. x t+ x t u t, x +V t+ (x t+ ). La variable de estado esx t y la de controlu t. Sean f t (x t,u t ) x t 4 u t, g t (x t,u t ) x t u t. De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ (x t+ ) g t, u t u t V t (x t) f t +V t+ x (x t+) g t, t x t x t+ x t u t, se reducen a 4 β ( β)

42 u t V t+ (x t+),...() V t (x t) 4 +V t+ (x t+),...() x t+ x t u t...(3) Condición de transversalidad: Maximizamos la función valor en el último período, dada por V (x ) max x u 4 u maxf (x,u )...(4) u El máximo def ocurre cuando f u u, esto es, u...(5) Sustituyendo (5) en (4): V (x ) x 4,...(6) de donde V (x ) 4...(7) Sustituyendo (7) en (), cont : u 4 u 4...(8) Sustituyendo (7) en (), cont : V (x ) (9) Sustituyendo (9) en (), cont : u u...() Sustituyendox y () en (3), cont : x x u...() 4

43 Sustituyendo (8) y () en (3), cont: x x u () La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: 4. V (x ) max {u t} t x t u t / / /4 /4 ) ( x k u k ) s.a. x t+ x t u t, x dado. k Función valor a partir del períodot: ) V t (x t ) max ( x k {u t } u k ), t,,. kt Ecuación de Bellman: V t (x t ) max {u t} [ ( x t u t) +V t+ (x t+ )]. Condiciones de primer orden: La variable de estado esx t y la de controlu t. Sean f t (x t,u t ) x t u t, g t (x t,u t ) x t u t. De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ u (x t+) g t, t u t V t (x t ) f t +V t+ (x t+ ) g t, x t x t x t+ x t u t, se reducen a 4u t V t+ (x t+),...() V t (x t) x t +V t+ (x t+),...() x t+ x t u t...(3) Condición de transversalidad: Maximizamos la función valor en el último período, dada por V (x ) max u ( x u ) max u f (x,u )...(4) 43

44 El máximo def ocurre cuando f u 4u, esto es, u...(5) Sustituyendo (5) en (4): V (x ) x,...(6) de donde V (x ) x...(7) Sustituyendo (7) en (), cont : 4u ( x ) u x...(8) Sustituyendo (7) en (), cont : V (x ) x + ( x ) x x...(9) Sustituyendo (9) en (), cont : 4u ( x x ) u (x +x )...() Sustituyendo (8) en (3), cont : x x u x x x 3 x...() Sustituyendo () en (): x + u 3 x 5 6 x...() Sustituyendo () en (3), cont : x x u x 5 6 x x 6 x...(3) Sustituyendo (3) en (): x 6 3 x 4 x...(4) 44

45 Sustituyendo (4) en (8): u 4 x x...(5) Por último, sustituyendo (3) en (): Sustituyendo () en (3), cont : u x 5 x...(6) La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: t x t u t x 5x / 6x / x / 4x / 5. V (x ) max {y t} ) k y k y k x k s.a. x t+ x t y t, x 8. Función valor a partir del períodot: ) V t (x t ) max y k y k, t,,...() {y t } x k kt Ecuación de Bellman: V t (x t ) max {y t } y t y t x t Condiciones de primer orden: +V t+ (x t+ )...() La variable de estado esx t y la de controly t. Sean f t (x t,y t ) y t y t, g t (x t,y t ) x t y t...(3) x t De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ y (x t+) g t, t y t V t (x t ) f t +V t+ (x t+ ) g t, x t x t x t+ x t y t, se reducen a y t V t+ x (x t+),...(4) t V t (x t ) y t x t +V t+ (x t+ ),...(5) 45

46 x t+ x t y t...(6) Condición de transversalidad: Maximizamos la función valor en el último período, dada por V (x ) max y y maxf (x,y )...(7) y x y El máximo def ocurre cuando f y y x, esto es, y x...(8) Sustituyendo (8) en (4) cont obtenemos: V 3(x 3 )...(9) Sustituyendo (8) y (9) en (5), cont : V (x ) y +V x 3(x 3 )...() Sustituyendo () en (4), cont : y x V (x ) y x y x...() Sustituyendo () y () en (5), cont : V (x ) y x +V (x ) () Sustituyendo () en (4), cont : y x V (x ) y x 5 8 y 3x 8...(3) Sustituyendox 8 en (3): y 3 (8) 3...(4) 8 Sustituyendox 8 y (4) en (6), cont : x x y (5) Sustituyendo (5) en (): y (6) 46

47 Sustituyendo (5) y (6) en (6), cont : x x y (7) Por último, sustituyendo (7) en (8): y 5...(8) La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: t x t (reservas) y t (extracción) Observa que el total extraído esy +y +y 8 x. 6. V (k ) max {c t } ) n β n cn s.a. k t+ ( +r)k t c t, k dado. Función valor a partir del períodot: ) V t (k t ) max β n cn, t,,...() {c t} nt Ecuación de Bellman: V t (k t ) max β t ct +V t+ (k t+ )...() {c t } Condiciones de primer orden: La variable de estado esk t y la de controlc t. Sean f t (k t,c t ) β t ct, g t (k t,c t ) ( +r)k t c t...(3) De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ c (k t+) g t, t c t V t (k t) f t +V t+ k (k t+) g t, t k t k t+ ( +r)k t c t, se reducen a β t c t V t+ (k t+ ),...(4) V t (k t ) ( +r)v t+ (k t+ ),...(5) k t+ ( +r)k t c t...(6) 47

48 Condición de transversalidad: Partimos de la ecuación () cont: V (k ) max c β c max c f (k,c )...(7) Comof (k,c ) β c es creciente, ésta es máxima cuando c toma el mayor valor posible. Como k 3 ( +r)k c esto ocurre cuandok 3, de donde c ( +r)k...(8) Sustituyendo (8) en (7) obtenemos V (k ) β ( +r)k...(9) De esta manera, V (k ) β +r k...() Sustituyendo () en (4) cont : β c V (k ) β +r k k β ( +r)c...() Sustituyendo () en (6) cont : β ( +r)c ( +r)k c ( +r) c +β ( +r) k...() Sustituyendo () en (): k β ( +r) +β ( +r) k...(3) Sustituyendo (9), () y (3) en la ecuación () cont : V (k ) max β c +V (k ) c ( +r) β +β ( +r) k +β β ( +r) 3 +β ( +r) k +β ( +r) β ( +r) +β ( +r)! β ( +r) +β ( +r) k 48 k

49 De esta manera,! β ( +r) +β 4 ( +r) k...(4) c V (k )! β ( +r) +β 4 ( +r) V (k )...(5) k Sustituyendo (5) en (4) cont :! β ( +r) +β 4 ( +r) k k β ( +r) +β 4 ( +r) c...(6) Sustituyendo (6) en (6) cont : β ( +r) +β 4 ( +r) c ( +r)k c c ( +r) +β ( +r) +β 4 ( +r) k...(7) Sustituyendo (7) en (6): k β ( +r) +β 4 ( +r) 3 +β ( +r) +β 4 ( +r) k...(8) Sustituyendo (8) en () y (3): c k β ( +r) 3 +β ( +r) +β 4 ( +r) k...(9) β 4 ( +r) 4 +β ( +r) +β 4 ( +r) k...() Por último, sustituyendo () en (8): c β 4 ( +r) 5 +β ( +r) +β 4 ( +r) k...() La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos, en donde se ha definidoγβ ( +r): t k t c t k ( +r) c +γ +γ k γ ( +γ) ( +r) γ ( +r) k k +γ +γ c +γ +γ k k γ ( +r) +γ +γ k c γ ( +r) 3 +γ +γ k 49

50 7. V (w ) max {c t} 5) k Función valor a partir del períodot: V t (w t ) max {c t} 5) kt β k u (c k ) s.a. w t+ ( +r) (w t c t ),w dado. β k u (c k ), t,,,...,5. Ecuación de Bellman: V t (w t ) max β t u (c t ) +V t+ (w t+ ). {c t } Condiciones de primer orden: La variable de estado esw t y la de controlc t. Sean f t (w t,c t ) β t u (c t ), g t (w t,c t ) ( +r) (w t c t ). De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ (w t+ ) g t, c t c t f t +V t+ w (w t+) g t V t t w (w t), t w t+ ( +r) (w t c t ), se reducen a β t u (c t ) ( +r)v t+ (w t+ ),...() ( +r)v t+ (w t+ ) V t (w t ),...() w t+ ( +r) (w t c t )...(3) 8. V (w ) max {c t } ) k β k u (c k ) s.a. w t+ ( +r) (w t c t ),w dado. Función valor a partir del períodot: ) V t (w t ) max β k u (c k ), t,,,... {c t} kt Ecuación de Bellman: V t (w t ) max β t u (c t ) +V t+ (w t+ ). {c t } Condiciones de primer orden: Son las mismas condiciones que en el problema anterior, esto es, β t u (c t ) ( +r)v t+ (w t+ ),...() ( +r)v t+ (w t+ ) V t (w t ),...() 5

51 w t+ ( +r) (w t c t )...(3) Ecuación de Euler: De la ec. (): V t+ (w t+ ) βt u (c t )......(4) +r Sustituimos (4) en (): β t u (c t ) V t (w t )...(5) Iteramos (5) un período hacia adelante: β t+ u (c t+ ) V t+ (w t+ )...(6) Sustituimos (6) en (): β t u (c t ) ( +r)β t+ u (c t+ ) de donde se obtiene la ecuación de Euler: u (c t ) β ( +r)...(7) u (c t+ ) 9. Deacuerdoconelproblema8, setieneu (c t )/u (c t+ ) β ( +r). Sea u (c t ) c α t...() Por lo tanto, u (c t ) u (c t+ ) αcα t β ( +r). αct+ α Así, la ecuación de Euler para este modelo es c t+ [β ( +r)] α...() c t Por simplicidad, definimos γ [β ( +r)] α,...(3) con <γ<. Así, la ecuación () se convierte en c t+ γc t, (ec. lineal homogénea) c t c γ t...(4) Ecuación de restricción paraw t : w t+ ( +r) (w t c t ) w t+ ( +r)w t c ( +r)γ t (ec. lineal no homogénea) 5

52 La ecuación no es autónoma. Podemos resolverla como sigue: a) Método (coeficientes indeterminados): w t w (h) t +w (p) t w (h) t : w (h) t+ ( +r)w (h) t w (h) t A ( +r) t w (p) t : w (p) t+ ( +r)w (p) t c ( +r)γ t Proponemosw (p) t Bγ t Bγ t+ ( +r)bγ t c ( +r)γ t Bγ ( +r)b c ( +r) B c ( +r) +r γ w (p) t+ c ( +r) +r γ γt w t A ( +r) t + c ( +r) +r γ γt Condiciones iniciales: w A + c ( +r) w t +r γ w c ( +r) +r γ b) Método (por iteración): A w c ( +r) +r γ ( +r) t + c ( +r) +r γ γt...(5) Iterando la solución se obtiene w t ( +r) t w + t ) ( +r) t k c ( +r)γ k k ( +r) t w c ( +r) t t ) k γ k +r γ t ( +r) t w c ( +r) t +r γ +r w t w c ( +r) ( +r) t + c ( +r) +r γ +r γ γt, que coincide con la solución (5). 5

53 Funcionesw t yc t : Como +r>, la solución (5) converge a la larga sólo si w c ( +r) +r γ c w ( +r γ) +r w γ...(6) +r Sustituyendo (6) en (4) y (5), concluimos que c t w γ γ t...(7) +r w t w γ t...(8) Función valor paraα /: Cuandoα/,γ en (3) se convierte en γ [β ( +r)]...(9) En ese caso, las soluciones (7) y (8) están dadas por c t w β ( +r) [β ( +r)] t...() w t w [β ( +r)] t,...() Sustituyendo () en (), se tiene u (c t ) w! β ( +r) [β ( +r)] t...() ComoV (w ) ) k βk u (c k ), por lo tanto, ) V (w )! β k w β ( +r) [β ( +r)] k k w! β ( +r) ) k β ( +r) k. Usando el resultado del ejercicio a se obtiene V (w ) w! β ( +r) β ( +r) w β ( +r)...(3). Deacuerdoconelproblema8, setieneu (c t )/u (c t+ ) β ( +r). Ecuación de Euler parac t : Sea u (c t ) lnc t...() 53

54 Por lo tanto, u (c t ) u (c t+ ) c t+ c t β ( +r). Así, la ecuación de Euler para este modelo es c t+ c t β ( +r)...() c t+ β ( +r)c t, (ec. lineal homogénea) c t c [β ( +r)] t...(3) Ecuación de restricción paraw t : w t+ ( +r) (w t c t ) w t+ ( +r)w t c β t ( +r) t+ (ec. lineal no homogénea) Procediendo simillarmente al problema 7, se obtiene w t w c ( +r) t + c β β [β ( +r)]t...(4) Funcionesw t yc t : La solución (4) converge a la larga sólo si w c β de donde c w ( β)...(5) Sustituyendo (5) en (3) y (4), concluimos que c t w ( β) [β ( +r)] t...(6) w t w [β ( +r)] t...(7) Función valor: Sustituyendo (6) en (), se tiene u (c t ) ln w ( β) [β ( +r)] t ln [w ( β)] +t ln [β ( +r)]...(8) ComoV (w ) ) k βk u (c t ), por lo tanto ) V (w ) β k {ln [w ( β)] +kln [β ( +r)]} k V (w ) ln [w ( β)] ) k β k + ln [β ( +r)] ) k kβ k 54

55 De acuerdo con el resultado del ejercicio b se obtiene β V (w ) ln [w ( β)] +ln [β ( +r)] β ( β)...(9). V (k ) max {c t} ) i β i lnc i s.a.k t+ k α t c t, k dado. Función valor a partir del períodot: ) V t (k t ) max β i lnc i, t,,,... {c t} it Ecuación de Bellman: V t (k t ) max β t lnc t +V t+ (k t+ ). {c t} Función valor en tiempo corriente : *V t (k t ) β t V t (k t ), t,,,... Ecuación de Bellman en tiempo corriente: *V t (k t ) max lnc t +β*v t+ (k t+ ) {c t} Condiciones de primer orden en tiempo corriente: Sean f t (k t,c t ) lnc t, g t (k t,c t ) kt α c t. De esta manera, las condiciones de primer orden f t +β V c * t+ (k t+ ) g t t c t f t +β V k * t+ (k t+ ) g t V t k * t (k t ) t k t+ kt α c t se reducen a β V c * t+ (k t+ )...() t β V * t+ (k t+ ) αkt α *V t (k t )...() k t+ k α t c t...(3) 55

56 Ecuación de Euler: De la ec. (): β * V t+ (k t+) c t...(4) Sustituimos (4) en (): αk α t *V t c (k t)...(5) t Iteramos (5) un período hacia adelante: αk α t+ *V t+ (k t+ )...(6) c t+ Sustituimos (6) en (): αβ kt+ α c t c t+ de donde se obtiene la ecuación de Euler: c t+ αβkt+ α...(7) c t Puntos fijos (k t k yc t c ): Las ecuaciones (3) y (7) conducen al sistema k t+ k α t c t c t+ αβk α t+ c t. Los puntos fijos del sistema se obtienen de k (k ) α c c αβ (k ) α c, de donde k (αβ) α c (αβ) α α (αβ) α. 56

57 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA 4 - SOLUCIONES ECUACIONES DIFERENCIALES I (PRIMERA PARTE) (Temas 4.-4.). (a) ẋ 3x + e t, x() ; x(t) Ce 3t e t x Ce 3t e t ẋ 3Ce 3t + e t ẋ 3x 3Ce 3t + e t 3 Ce 3t e t ẋ 3x e t ẋ 3x + e t Condición inicial: x(t) Ce 3t e t, conx() C C 3 x(t) 3 e3t e t (b) ẋ + tx, x() 3; x(t) t +C x t +C ẋ t (t +C) ẋ + tx t (t +C) + t t +C ẋ + tx Condición inicial: x(t) t +C, conx() 3 3 C +C 3 x(t) t (/3) 3 3t (c) ẋ 3t (x + ), x() ; x(t) tan (t 3 +C) x tan (t 3 +C) ẋ 3t sec (t 3 +C) 3t (x + ) 3t [tan (t 3 +C) + ] Como tan θ + sec θ, por lo tanto 3t (x + ) 3t sec (t 3 +C) 57

58 3t (x + ) ẋ Condición inicial: x(t) tan (t 3 +C), conx() tan ( +C) tanc C tan () π 4 x(t) tan t 3 + π 4. (a) dv dt 5 v Para eliminar el símbolo de proporcionalidad introducimos una constantek: dv k (5 v). dt (b) dn dt P N dn dt k (P N), conk> una constante. (c) dn dt N(P N). dn dt kn (P N), conk> una constante. 3. (a) y Cualquier polinomio de primer grado tendrá una segunda derivada igual a cero. y Ax +B, cona,b constantes. (b) y 3y Proponemos cualquier multiplo dee 3x y ke x, conk constante. (c) xy +y 3x Es suficiente tener una solución potencial de grado, para que la suma de ésta con su derivada sea de grado. y kx x(kx) + (kx ) (x) 3x 3kx 3x k y x (d) y +y e x Buscamos una solución que sea múltiplo dee x. Por lo tanto, proponemos 58

59 y ke x y ke x (ke x ) + (ke x ) e x ke x e x k y ex (e) y +y Buscamos una solución que sea el negativo de su segunda derivada. Por ejemplo, proponemos y senx, o bien,y cosx (f) (y ) +y La forma de esta ecuación sugiere utilizar cos x +sen x. y senx, o bien,y cosx 4. (a) ẋ, x() dx dt x(t) + dt t +C. Condición inicial: x() () +C C x(t) t + (b) ẋ 5x, x(3) dx dt 5x dx, x 5dt, dx x 5 dt (esto se justifica formalmente en clase) ln x 5t +C x e 5t+C e 5t e C x ±e C e 5t Ae 5t, donde se definióa ±e C. x(t) Ae 5t Condición inicial: x(3) Ae 5(3) A e 5 x(t) (e 5 )e 5t x(t) e 5(t 3) 59

60 (c) ẋ +x dx dt x x(t) Ae t/ (d) ẋ 8 x, x() 5 Usamos el teorema: x(t) x h (t) +x p (t) x h : ẋ h x h dx h dt x h x h (t) Ae t x p : ẋ p 8 x p Proponemosx p (t) K ẋ p (t) 8 K K 8 x p (t) 8 x(t) Ae t + 8 Condición inicial: x() 5 A + 8 A 3 x(t) 3e t + 8 (e) ẋ 8 x, x() 8 Del inciso anterior, se tiene x(t) Ae t + 8 Condición inicial: x() 8 A + 8 A x(t) 8 (f) ẋ 5x + x h : ẋ h 5x h x h (t) Ae 5t x p : ẋ p 5x p + x p (t) x(t) Ae 5t + 6

61 5. P [D(P) S(P)],S(P) P 4,D(P) P,P() P P [( P) (P 4)] P 3 6P P h : P h 6P h P h (t) Ae 6t P p : P p 3 6P p P p (t) 5 P(t) Ae 6t + 5 Condición inicial: P() P A + 5 A P 5 P(t) (P 5)e 6t + 5 Comportamiento a largo plazo: limp(t) lim [(P 5)e 6t + 5] 5 t t Esto significa que el precio tiene a estabilizarse en P λ [D(P) S(P)],S(P) α +βp,d(p) a bp, a,b,α,β>,a>α P λ[(a bp) (α +βp)] P +λ (b +β)p λ (a α) P h : P h λ (b +β)p h P h (t) Ae λ(b+β)t 6

62 P p : P p +λ (b +β)p p λ (a α) P p (t) a α b +β P(t) Ae λ(b+β)t + a α b +β Comportamiento a largo plazo: Comoλ,b,β>, por lo tanto limp(t) lim t t Ae λ(b+β)t + a α b +β a α b +β Pe Por lo tanto, el precio tiene a un precio de equilibriop e a α b +β. 7. (a) dp dt αp, α>, P() P P(t) Ae αt Condición inicial: P() P A P(t) P e αt (b) Se buscat t tal quep(t ) P P(t ) P P e αt e αt αt ln t ln (independientemente del valor dep ) α (c) Comoα>, por lo tanto limp(t) lim (P e αt ) t t Esto significa que la población crece indefinidamente. 6

63 (d) Siα<, entoncesα α <. En ese caso, P(t) lim P e α t lim t t Esto implicaría que la población se extingue a la larga. 8. dp dt (α β)p, α,β>, P() P P(t) Ae (α β)t Condición inicial: P() P A P(t) P e (α β)t Casos: i. α>β α β> limp(t) lim P e (α β)t. t t Por lo tanto, si la tasa de nacimientos es mayor que la de muertes, la población crece sin límites. ii. α β α β limp(t) limp P. t t Por lo tanto, si las dos tasas son iguales, la población se mantiene constante. iii. α<β α β< limp(t) lim P e (α β)t. t t Por lo tanto, si la tasa de nacimientos es menor que la de muertes, la poblaciòn a largo plazo desaparece. 63

64 dp 9. dt αp E, α,e>,p() P P h : P h αp h P h (t) Ae αt P p : P p αp p E P p (t) E α P(t) Ae αt + E α Condición inicial: P() P A + E α P(t) P E e αt + E α α A P E α Casos: E i. α >P A< limp(t) lim Ae αt + E. t t α Por lo tanto, emigran más de los que nacen, la población se extingue. E ii. α P A limp(t) lim Ae αt + E E t t α α P. Por lo tanto, si emigran el mismo número que los que nacen, la población se mantiene constante. E iii. α <P A> limp(t) lim Ae αt + E. t t α Porlotanto, siemigranmenosquelosquenacen, lapoblación crece sin límite. 64

65 . Partimos del sistema C(t) +I(t) Y (t) () I(t) kċ(t) () C(t) ay (t) +b, (3) cona,b,k R +, a<. Sustituimos (3) en (), y de esta última despejamos I, obteniendo I(t) ( a)y (t) b. (4) Sustituimos I(t) de (4) en (), obteniendo Ċ(t) [( a)y (t) b]. (5) k Por otra parte, tomando la derivada de la ecuación(3) con respecto atse obtiene. C(t) aẏ (t). (6) Por último, igualamos (5) y (6) para eliminarċ(t), de donde a Ẏ Y b ka ka. (7) a Así, se trata de resolverẏ Y b,b,k>, <a<, ka ka Y () Y. a Y h : Ẏ h Y h ka Y h (t) Ae ( a ka )t a Y p : Ẏ p Y p b ka ka Y p (t) b a Y (t) Ae ( a ka )t + b a Condición inicial: Y () Y A + b a A Y b a > 65

66 Y (t) Función I(t) : Y b e ( a ka )t + b a a Sustituyendo Y (t) en la ecuación (4), obtenemos I(t) ( a)y (t) b ( a) Y b a I(t) ( a) Y b e ( a ka )t a Comportamiento asintótico de Y (t) I(t) : Y b Y (t) lim t I(t) lim t Y (t) lim t I(t) lim t ( a) Y (t) lim t I(t) a + Y (t) lim t I(t) a, a + e ( a ka )t + a Y b a b a e ( a ka )t b ( a) Y b a b e ( a ka )t + e ( a ka )t ( a) Y a b lim e ( a ka )t t en donde se usó que lime ( a ka )t, ya queα<. t. (a) ẋ t, x() 3 x(t) + tdt t +C Condición inicial: x() 3 +C C 4 x(t) t + 4 (b) ẋ + ( cost)x cost Usamos el método del factor de integración µ(t): µ(t) e costdt e sent e sent [ẋ + ( cost)x] e sent cost d dt [esent x(t)] e sent cost b a b 66

67 e sent x(t) + e sent costdt esent +C x(t) +Ce sent (c) ẋ tx t( +t ) µ(t) e t dt e t e t [ẋ tx] t( +t )e t d e t x(t) t( +t )e t dt e t x(t) + (t +t 3 )e t dt e t x(t) + te t dt + + t 3 e t dt +C Integramos por partes el segundo término: + t 3 e t dt + t te t dt t e t + + te t dt u dv e t x(t) + te t dt + t + + e t te t dt +C e t x(t) + te t dt t e t +C Integramos por sustitución el primer término: + te t dt e t e t x(t) e t t e t +C x(t) + t +Ce t (d) ẋ + x + e t ẋ + 6x et µ(t) e 6dt e 6t e 6t [ẋ + 6x] et e 6t d dt [e6t x(t)] e6t e 7t e 6t x(t) + e6t e 7t dt e6t 7 e7t +C x(t) 7 et +Ce 6t (e) ẋ +t x 5t, x() 6 µ(t) e t dt e t3 /3 67

68 e t3 /3 [ẋ +t x] 5t e t3 /3 d e t3 /3 x(t) 5t e t3 /3 dt e t3 /3 x(t) + 5t e t3 /3 dt 5e t3 /3 +C x(t) 5 +Ce t3 /3 Condición inicial: x() 6 5 +C C x(t) 5 +e t3 /3 (f) ẋ x t + t3, x() 3 ẋ + t x t 3 µ(t) e t dt e ln t e ln t e lnt t t ẋ + t x t t 3 d dt [t x(t)] t t x(t) + dt ln t +C t ln t +C x(t) t Condición inicial: ln +C x() 3 C 3 x(t) 3 + ln t t (g) tẋ + x t 3, x() ẋ + t x t 4 µ(t) e t dt e ln t e ln t e lnt t t ẋ + t x t t 4 d dt [t x(t)] t t x(t) + t dt t +C x(t) t 3 +C t 68

69 . (a) Condición inicial: x() +C C 3 x(t) t t ẏ ty et µ(t) e ( t)dx e t e t [ẏ ty] e t e t d e t y(t) dt e t y(t) + dt e t y(t) t +C y(t) (t +C)e t (b) λ α λ + 5α λ +α λ 5α µ(α) e α dα e α3 /3 e α3 /3 [λ +α λ] 5α e α3 /3 d e α3 /3 λ(α) 5α e α3 /3 dα e α3 /3 λ(α) + 5α e α3 /3 dx e α3 /3 λ(α) 5e α3 /3 +C λ(α) 5 +Ce α3 /3 (c) x + ( cosθ)x cosθ µ(θ) e cosθ dθ e senθ e senθ [x + ( cosθ)x] e senθ cosθ d e senθ x (θ) (cosθ)e senθ dθ e senθ x (θ) + (cosθ)e senθ dθ e senθ x (θ) esenθ +C x(θ) +Ce senθ (d) dy dx x +y dy dx y x 69

70 µ(x) e dx e x/ d e x/ y(x) xe x/ dx e x/ y(x) + xe x/ dx e x/ y(x) xe x/ 4e x/ +C y(x) x 4+Ce x/ (e) y + 3u y u, y() µ(u) e 3u du e u3 e u3 [y + 3u y] u e u3 d e u3 y(u) e u3 u du e u3 y(u) + e u3 u du e u3 y(u) 3 eu3 +C y(u) 3 +Ce u3 Condición inicial: y() 3 +C C 3 y(u) e u3 (f) dx dy + x ey, x() µ(y) e dy e y dx e y dy + x e y e y d dy [ey x(y)] e 3y e y x(y) + e 3y dy e y x(y) 3 e3y +C x(y) 3 ey +Ce y Condición inicial: x() 3 +C C 3 x(y) 3 ey + 3 e y 7

71 (g) xy + 5y 7x, y() 5 y + 5 x y 7x µ(x) e 5 x dx e 5ln x x 5 x> x 5 y + 5 x y (7x)x 5 x< ( x 5 ) y + 5x y (7x) ( x 5 ) (se cancela el ) En cualquier caso, se obtiene x 5 y + 5 x y (7x)x 5 d dx [x5 y(x)] 7x 6 x 5 y(x) + 7x 6 dx x 5 y(x) x 7 +C y(x) x + C x 5 Condiciòn inicial: y() 5 + C 5 C 3 y(x) x + 3 x 5 (h) (t + 4)ẏ + 3ty t, y() ẏ + 3t (t + 4) y t (t + 4) 3t µ(t) e (t dt +4) e 3 ln(t +4) e ln(t +4) 3/ (t + 4) 3/ (t + 4) 3/ ẏ + 3t (t + 4) y t (t + 4) (t + 4) 3/ d (t + 4) 3/ y(t) t (t + 4) / dt (t + 4) 3/ y(t) + t (t + 4) / dt (t + 4) 3/ y(t) 3 (t + 4) 3/ +C y(t) 3 + C (t + 4) 3/ Condiciòn inicial: y() 3 + C C 6 4 3/ 3 y(t) (t + 4) 3/ 7

72 (i) ẋ x t, x() x ẋ x t µ(t) e ( )dt e t e t [ẋ x] te t d dt [e t x(t)] te t e t x(t) + te t dt e t x(t) te t +e t +C x(t) t + +Ce t Condiciòn inicial: x() x +C C x x(t) t + + (x )e t 3. Partimos del sistema (σ,α,h,µ R +,ασµ): X(t) σk(t) () K(t) αx(t) +H(t) () H(t) H e µt, (3) Sustituimos () y (3) en (), obteniendo K(t) ασk(t) +H e µt. (4) Así, se trata de resolver K (ασ)k H e µt, σ,α,h,µ R +, ασµ,k() K. Factor de integracióne (ασ)dt e ασt. e ασt K (ασ)k e ασt [H e µt ] d dt [e ασt K(t)] H e (µ ασ)t e ασt K(t) + H e (µ ασ)t dt e ασt K(t) H µ ασ e(µ ασ)t +C K(t) H µ ασ eµt +Ce ασt Condición inicial: K() K H µ ασ +C C K H µ ασ K(t) H µ ασ eµt + K H e ασt µ ασ 7

73 x+ 4. (a) y (x) e x, y() 5; y(x) 5 + e s ds 5. x+ Seay(x) 5 + e s ds. Por una parte, y (x) d x e s ds d + x dx dx Por otra parte, y() e s ds 5 e s ds e x (b) y (x) + xy(x), y() ; y(x) e x x+ x+ Seay(x) e x e s ds. Por una parte, y (x) d + x e x e s ds d + x e x dx dx + x y (x) xe x e s ds +e x e x x+ y (x) x e x e s ds + y (x) xy(x) + y (x) + xy(x) Por otra parte, + y() e e s ds e s ds (c) Ḃ(t) r(t)b(t), B() B ; B(t) B e t r(s)ds SeaB(t) B e t r(s)ds. Por una parte, Ḃ(t) B e t d + r(s)ds t r(s)ds dt Ḃ(t) B e t dx dt + x t r(s)ds r(t) Ḃ(t) B(t)r(t) Por otra parte, B() B e r(s)ds B sent, x() 3, t t 3 sent t 3 ẋ + x t µ (t) e t dt e lnt e lnt t e s ds+e d + x x dx e s ds 73

74 t ẋ + x t sent t t 3 d dt [t x(t)] sent t t x(t) + sent dt t La integral del lado derecho no posee una antiderivada simple. Por lo tanto, debemos utilizar integrales definidas con límite variable (Teorema Fundamental del Cálculo), de donde t x(t), t a sens ds. s Sabemos quex() 3, por lo que sustituimost en la integral anterior, esto es, x(), a, a sens ds, s sens ds s De esta manera, t x(t) t x(t) t x(t) t x(t) +, t a, t a, t, t x(t) + t sens s ds sens s ds + sens s ds. sens ds s, t sens s, a, a ds. sens ds s sens ds s 74

75 6. 7. dy dx y G(x), y(3) 6, x 3. x dy dx x y G(x) µ(x) e ( x)dx e lnx e lnx x dy x dx x y G(x) x d dx x y (x) G(x) x, x x y (x) G(u) u du a, 3 3 y (3) a G(u) u du x y (x), x 3 y (3) x y (x), x 3 (6) y(x) x +, x 3 3 a G(u) u du G(u) u du G(u) u du dy + xy, y() 3 dx dy dx xy µ(x) e ( x)dx e x dy e x dx xy d e x y(x) e x dx e x y(x), x a e x e t dt, 3 a G(u) u du 75

76 , e y() a e t dt e x y(x) y(), x e t dt, e t dt e x y(x) y() a, x e t dt a e x y(x) 3, x e t dt y(x) e x 3 + y(x) e x 3 +, x e t dt π e x 3 + π erf(x), x π e t dt 8. ṗ λ p λ m(t), p(t ) p, t t. ṗ λ p λ m(t) µ(t) e ( λ)dt e t/λ e t/λ ṗ λ p e t/λ λ m(t) d dt e t/λ p(t) λ e t/λ m(t) e t/λ p(t) λ e t /λ p λ, t a, t a e s/λ m(s)ds e s/λ m(s)ds e t/λ p(t) e t/λ p e s/λ m(s)ds λ t, t 76

77 p(t) e t/λ o bien,, t e t/λ p e s/λ m(s)ds λ t, t p(t) e (t t)/λ p e (t s)/λ m(s)ds λ t 9. Ẏ ry X(t), Y (T) Y T, r>, t T. (a) Ẏ ry X(t) µ(t) e t T ( r)dt e r(t T) (b) e r(t T) Ẏ ry X(t)e r(t T) d e r(t T) Y (t) e r(t T) X(t) dt e r(t T) Y (t), T e Y (T) a, t a e r(s T) X(s)ds e r(s T) X(s)ds e r(t T) Y (t) Y (T), t, T e r(s T) X(s)ds+ e r(s T) X(s)ds a, T e r(t T) Y (t) Y T e r(s T) X(s)ds a Y (t) e r(t T) Y T + t, T t, T e r(s T) X(s)ds Y (t) e r(t T) Y T + e r(t T) e r(s T) X(s)ds Y (t) e r(t T) Y T + t, T t e r(s t) X(s)ds 77

78 (c) Y (t) lim e r(t T) Y T + lim T T, T t e r(s t) X(s)ds Comor>, por tanto lim T er(t T), de donde Y (t), t e r(s t) X(s)ds. (d) Sea τ(s) s t. Así, dτ ds. Los nuevos límites de integración sonτ(t) t t yτ( ) t. Así, Y (t), t e r(s t) X(s)ds, e rτ X(τ +t)dτ. El valor de la inversión al tiempo t es la suma de los flujos de inversión a tiempos posteriores, X(τ + t), descontados al tiempoτ, donde τ <.. Modelo general (visto en clase): con Ẏ r(t)y +δ(t)b(t),...() B(t) B T e T t r(s)ds, para todo t T...() Modelo particular: Ẏ r Y T + t + t +,...(3) Y (T),r > constante. (a) Comparando las ecuaciones () y (3) se observa que r(t) r...(4) t + (b) Sustituyendo (4) en (), se tiene B(t) B T e T t (r s+)ds B(t) B T e r(t t) e ln(t+ T + B(t) B T e r (T t) t + Se pideb(t) B T. B(t) e r (T t) T +...(5) t + t+ ) 78

79 (c) Comparando las ecuaciones () y (3), se observa que δ(t)b(t) T + t +, conb(t) dada en (5). δ(t) e r (T t)...(6) (d) ComoŻδ(t), conδ(t) de (6), por lo tanto Z(t) + δ(t)dt + e r (T t) dt Z(t) r e r (T t) +C ComoZ(t) Y (t) B(t) Z(T) Y (T) B(T) Z(T) r e +C C r Z(t) e r(t t) + r r Z(t) r e r (T t) +...(7) (e) Queremos resolver la ecuación (3), esto es, Ẏ r Y T + t + t +...(8) µ(t) e t T(r s+)ds µ(t) e r (t T) e t+ ln( T+) µ(t) t + T + e r (t T)...(9) Comparando (8) con (5), se tiene µ(t) B(t)...() Multiplicamos (8) por µ(t) dada en (): B(t) d dt Ẏ B(t) Y (t) Y (t) B(t) r t +, t a Y e r (t T) e r (s T) ds 79 B(t) T + t +

80 , T Y (T) B(T) a e r (s T) ds B(t) Y (t), t Y (T) B(T), T B(t) Y (t) Y (t) B(t) + t, T t a e r (s T) ds e r(s T) ds, T e r(s T) ds+ a e r (s T) ds Y (t) B(t) + e r (t T)...() r Por último, sustituyendo (5) en (), y llevando a cabo algunas simplificaciones, se obtiene Y (t) T + e r r(t T) + r...() t + Observa que, efectivamente, la función Y (t) en () satisface Y (t) Z(t)B(t), con Z(t) y B(t) dadas en (7) y (5), respectivamente. 8

81 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA 5 - SOLUCIONES ECUACIONES DIFERENCIALES I (SEGUNDA PARTE) (Temas ). (a) y + xy y dy dx y( x) + dy y + ( x)dx ln y x x +C y e x x +C e x x e C y ±e x x e C y Ae x x, A ±e C y(x) Ae x x (b) dε dσ ε σ (lnσ) + dε ε + dσ σ (lnσ) ln ε ln lnσ +C ε e ln lnσ +C e ln lnσ e C lnσ e C ε ± (lnσ)e C ε A lnσ, A ±e C ε(σ) A lnσ (c) t ẏ t y dy dt t y t + dy y + t t dt sen y t +C y(t) sen t +C (d) p dp dx x x 6 +, dx pdp x x 6 8

82 p x 4 sec +C 4 x p(x) ± 4 sec +C 4 (e) ( +x )y y dy dx +y +x + dy +y + dx +x tan y tan x +C y(x) tan [tan x +C] Nota: Aquí no se anulan tan y tan, debido al término +C (f) x y x +y x y x dy dx ( x ) +y ( x ) ( x ) ( +y ) dy dx ( x ) ( +y ) x + dy +y + ( x ) x dx tan y x x+c y(x) tan x x+c. (a) y (λ) ye λ, y() dy dλ yeλ + dy y + e λ dλ ln y e λ +C y e eλ +C e eλ e C y Ae eλ, A ±e C Condición inicial: y() Ae e Ae A e y(λ) e eλ 8

83 t (b) ẋ, x() x +t 3 x dx dt t x ( +t 3 ) + xdx + t +t 3dt x 3 ln +t3 +C x ± 3 ln +t3 + C Condición inicial: x() ± 3 ln + C ± C C 4 y tomamos la raíz negativa x(t) 3 ln +t3 + 4 (c) tanx dy π dx y, y 4 dy dx y tanx + dy y + tanx dx + dy y + cosx senx dx ln y ln senx +C y e ln senx +C e ln senx e C senx e C y ± (senx)e C y Asenx, A ±e C Condición inicial: π y 4 π Asen 4 y(x) senx (d) x dy dx cos y, y(4) π 4 dy dx cos y x + dy cos y + dx x 83 A A

84 + sec ydy + dx x tany x +C y tan ( x +C) Condición inicial: y(4) π 4 tan ( +C) π tan +C 4 +C C y(x) tan ( x ) (e) ẏ t3 + y 3 +, y() dy dt t3 + y (y 3 + )dy + (t 3 + )dt y4 4 +y t4 4 +t+c y 4 + 4y t 4 + 4t + 4C Condición inicial: () () + 4C 4C 9 Solución (implícita): y 4 + 4y t 4 + 4t + 9 (f) dy dx xy + 3x y, y() dy dx y (x + 3x ) + dy y + (x + 3x )dx y x +x 3 +C y x +x 3 +C Condición inicial: y() C +C y(x) x +x 3 84

85 3. dc dq C Q, C,Q> + dc C + dq Q lnc lnq +K C e lnq+k e lnq e K C AQ, A e K C(Q) AQ (función de costos lineal) 4. X AK α L α, K sx,l(t) L e λt, con <α<,<s< ya,l,λ R +.K() K. K sx s (AK α L α ) sak α L α sak α L e λt α dk dt salα eαλt K α + K α dk sal α + e αλt dt Kα α salα αλ eαλt +C sal α K λ eαλt +αc Condición inicial: /α 5. K() K K(t) sal α λ K α + salα λ +αc /α αc K α salα λ e αλt /α dy dp eαp+βy+γ, Y (q) I, α,β,γ,q,i R +. dy dp eαp+βy+γ e αp+γ e βy + e βy dy + e αp+γ dp β e βy α eαp+γ +C e βy β α eαp+γ βc 85

86 Y β ln β α eαp+γ βc Condición inicial: Y (q) I β ln β α eαq+γ βc e βi β α eαq+γ βc βc e βi + β α eαq+γ Y (p) β ln β α (eαq+γ e αp+γ ) +e βi 6. dy dx y ( αyρ ), x>, <y<α /ρ,ρ. x + dy y ( αy ρ ) + dx x + y + αyρ dy + dx αy ρ x lny ρ ln ( αyρ ) lnx +C y ln lnx +C ( αy ρ ) /ρ y ( αy ρ ) /ρ elnx+c e lnx e C y Ax, A ( αy ρ ec /ρ ) y ρ αy ρ (Ax)ρ y ρ (Ax) ρ [ αy ρ ] y ρ [ + (Ax) ρ α] (Ax) ρ (Ax) ρ /ρ y + (Ax) ρ α (Ax) ρ +α /ρ y, β A ρ βx ρ +α y(x) [βx ρ +α] /ρ 86 /ρ

87 7. (a) dr r 4θ + 4 dθ Seau r 4θ (esto es,u(θ) r(θ) 4θ) du dθ d dr (r 4θ) 4 (r 4θ + 4) 4 r 4θ u dθ dθ du dθ u u Ae θ r 4θ Ae θ r(θ) Ae θ + 4θ (b) t dx dt e xt x, x() Seau xt (esto es,u(t) x(t)t) du dt d (xt) x +tdx dt dt x + (e xt x) e xt e u du dt e u + e u du + dt e u t +C u ln (t +C) xt ln (t +C) ln (t +C) x t Condiciòn inicial: x() ln ( +C) C x(t) lnt t (c) (x +e y )y xe y Seau x +e y (esto es,u(x) x +e y(x) ) du dx d dx (x +ey ) +e ydy xe y dx +ey x +e y du dx x +ey +e y (xe y ) x +e y x x +e y x u du dx x u + udu + xdx u x +C u ± x + C 87