Inecuacións. Obxectivos
|
|
- Φωτεινή Αλαβάνος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas. Resolver de forma gráfica sistemas de inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas. Formular e resolver problemas con inecuacións. 1. Inecuacións de primeiro grao. páx. 4 cunha incógnita Definicións Inecuacións equivalentes Resolución Sistemas de inecuacións 2. Inecuacións de segundo grao. páx. 7 cunha incógnita Resolución por descomposición Resolución xeral 3. Inecuacións de primeiro grao páx. 10 con dúas incógnitas Definicións Resolución gráfica Sistemas de inecuacións 4.Problemas con inecuacións páx. 13 Formulación e resolución Exercicios para practicar Para saber máis Resumo Auto-avaliación Actividades para enviarlle ao titor MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 1
2 2 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
3 Antes de empezar Para poñerte en situación As inecuacións utilízanse con frecuencia para resolver problemas de mesturas. Aquí formulámosche un problema para que vaias investigando pola túa conta. No capítulo 4 has atopar a solución, se non a deches atopado ti só. Un viñateiro dispón no seu almacén de dous tipos de viño: un a 4 o litro e outro a 7 o litro. Quere mesturalos para encher un tonel de 500 litros de capacidade e quere que a mestura non custe máis de 6 nin menos de 5 o litro. Descubre entre que valores debe estar a cantidade de litros do primeiro tipo de viño para que o prezo final estea no intervalo desexado. As imaxes adxuntas preséntanche dúas situacións próximas á solución do problema. Usa a calculadora para tentar achegar máis os resultados ao valor real da solución. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 3
4 1. Inecuacións de primeiro grao cunha incógnita Definicións Unha desigualdade é calquera expresión na que se utilice algún dos seguintes símbolos: < (menor que), > (maior que) (menor ou igual que), (maior ou igual que) Por exemplo: 2<3 (dous é menor que 3) 7>π (sete é maior que pi) x 5 (x é menor ou igual que 5) Unha inecuación é unha desigualdade entre expresións alxébricas. Aquí estudamos só as de primeiro grao. Unha inecuación de primeiro grao é unha inecuación na que os seus dous membros son polinomios de grao menor ou igual a 1. As solucións dunha inecuación son todos os números reais que fan que esa inecuación sexa certa. Inecuacións equivalentes O proceso de resolución de inecuacións que veremos despois baséase (igual que no caso das ecuacións) na transformación da inecuación inicial noutra equivalente máis sinxela. Dise que dúas inecuacións son equivalentes se teñen o mesmo conxunto de solucións. Se aos dous membros dunha inecuación se lles suma ou resta a mesma cantidade, obtense unha inecuación equivalente. Se se multiplican ou dividen os dous membros dunha inecuación por unha mesma cantidade, obtense unha inecuación equivalente co mesmo sentido da desigualdade, se esa cantidade é positiva, e co sentido contrario se esa cantidade é negativa. 4 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
5 Resolución Este proceso consiste en ir transformando a inecuación inicial noutras equivalentes máis simples ata que o resultado final sexa dalgún dos seguintes tipos: ou ata que o resultado final sexa contraditorio, e daquela, a inecuación non ten solucións. EXEMPLO: x+2 1 Restámoslles 2 aos dous membros e queda: x -1 O conxunto de solucións represéntase de calquera das seguintes maneiras: a) Como conxunto: {x IR / x -1} b) Como intervalo: (, 1] c) En forma gráfica: x < 2 x (,2) x < 4 x (,4) Solucións do sistema: x (,2) Sistemas de inecuacións Un sistema de inecuacións de primeiro grao é un conxunto de dúas ou máis inecuacións de primeiro grao. x 9 x (, 9] x > 4 x (4, + ) Solucións do sistema: x (4, 9] Para resolver un sistema de inecuacións cunha incógnita resólvese cada inecuación por separado. As solucións do sistema fórmanas todos os números reais que satisfagan todas e cada unha das inecuacións do sistema. Cada inecuación do sistema debe resolverse de forma independente ata que quede nalgunha das formas seguintes: x 5 x (, 5] x 4 x [ 4, + ) Solucións do sistema: Non ten Na marxe podes ver algúns exemplos de resolución de sistemas de inecuacións de primeiro grao cunha incógnita. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 5
6 EXERCICIOS resoltos 1. En cada caso indica cal das inecuacións, I, II, III, IV é equivalente á dada: a) Dada a inecuación 4x 3x 5, indica cal das seguintes inecuacións é equivalente a ela: I) x 5 II) x 5 III) x 5 IV) x 5 b) Dada a inecuación 9x 6, indica cal das seguintes inecuacións é equivalente a 6 6 ela: I) x II) x 9 9 6x 5 c) Dada a inecuación 5, indica cal das seguintes inecuacións é equivalente a ela: I) x II) x Resolve a inecuación 6x + 7 8x 4 > 3 2 6x + 7 8x 4 > x + 14 < 24x + 12 x 12x 1, 6 < 2 3. Resolve o seguinte sistema de inecuacións mostrando as solucións nas formas indicadas na explicación: x < 2 12 = 1 6 As solucións comúns son os puntos que son a un tempo maiores ou iguais que -10'66 e menores estritamente que 1,28. Xa que logo, as solucións do sistema son os puntos do intervalo [-10 66,1 28) 6 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
7 2. Inecuacións de segundo grao cunha incógnita. Resolución por descomposición Unha inecuación de segundo grao é toda inecuación equivalente a unha das seguintes: ax 2 +bx+c<0, ax 2 +bx+c<=0 ax 2 +bx+c>0, ax 2 +bx+c>=0 onde a, b e c son números reais. EXEMPLOS CASO 1: 7(x+10)(x+1)<0 equivale aos sistemas: x < 10 x > 10 ou x > 1 x < 1 Se o polinomio que caracteriza a inecuación ten raíces reais, pódese usar a súa descomposición en factores para resolvela como un sistema de ecuacións de primeiro grao. Pódense dar os seguintes casos: CASO 1: a (x-r1) (x-r2) <0 Para que o produto de tres factores sexa negativo han de ser negativos un ou tres deles. Se a é positivo, só outro dos factores pode selo, polo que a inecuación é equivalente aos sistemas: x r1 < 0 x r1 > 0 ó x r2 > 0 x r2 < 0 Se a é negativo, os outros dous deben ser simultaneamente positivos ou negativos, polo que a inecuación é equivalente aos sistemas: -2(x+6)(x-3) 0 equivale aos sistemas: x 6 x 6 ou x 3 x 3 x r1 < 0 x r2 < 0 CASO 2: a (x-r1) (x-r2) 0 ó x r1 > 0 x r2 > 0 A única diferenza co caso anterior é que agora os intervalos son pechados. CASO 3: a (x-r1) (x-r2) > 0 Semellante ao caso 1. CASO 4: a (x-r1) (x-r2) 0 Semellante ao caso 2. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 7
8 CASO 5: a (x-r) 2 <0 Se a>0 nunca é certo e non ten solucións. Se a<0 sempre é certo e as solucións son todos os números reais. CASO 6: a (x-r) 2 0 Se a>0 só é certo se x=r, daquela, o conxunto solución ten un único elemento. Se a<0 sempre é certo e as solucións son todos os números reais. CASO 7: a (x-r) 2 >0 É como o caso 5 pero coas situacións ao revés. Á esquerda podes ver algúns exemplos que ilustran este procedemento de resolución gráfica. O cadrado dun nº distinto de 0 sempre é positivo, (x-3) (x-3) 2 <0 Solución: IR 2(x-3) 2 0 Solución: x=3 2(x-3) 2 >0 Solución: IR -2(x-3) 2 >0 Non ten solución CASO 8: a (x-r) 2 0 É como o caso 6 pero coas situacións ao revés. Resolución xeral x 2-3x>0 y=x 2-3x a>0 a parábola está cara arriba O procedemento empregado no apartado anterior é válido se o polinomio de segundo grao resultante ten raíces reais. No caso contrario non nos serve. Neste apartado veremos un procedemento xeral que é válido para calquera inecuación de segundo grao, teña ou non raíces reais. Este procedemento baséase en saber se a representación gráfica do polinomio (unha parábola) está aberta cara arriba ou cara abaixo e se corta o eixe das abscisas. Solución: (-,0) U (3,+ ) 2x 2-3x+3>0 y=2x 2-3x+3 a>0 a parábola está cara arriba -2x 2-3x+3>0 Sen solución y=-2x 2-3x+3 a<0 a parábola está cara abaixo Solución: (-2,18, 0,68) 8 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
9 EXERCICIOS resoltos 4. Resolve a inecuación seguinte por descomposición: 2x 2 8 x 24 0 Achamos as raíces do polinomio: 8 ± x = = 4 2 Descompoñemos a inecuación en factores: 2(x-6)(x+2) 0. A inecuación é equivalente aos dous sistemas da esquerda. O primeiro non ten solucións e as solucións do segundo e da nosa inecuación son os puntos do intervalo pechado [ -2,6] 5. Resolve a inecuación seguinte en forma gráfica: x 2 5x>0 Achamos as raíces do polinomio: x (x-5) = 0 É unha parábola aberta cara arriba (coeficiente principal 1 >0) que corta o eixe das abscisas nos puntos x=0 e x=5. Daquela, a solución da inecuación é (,0) (5, + ) MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 9
10 3. Inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas. Definicións Unha inecuación de primeiro grao con dúas incógnitas é calquera inecuación equivalente a algunha destas: ax+by+c<0 ax+by+c 0 ax+by+c>0 ax+by+c 0 A recta x-3y+2=0 divide o plano en dous semiplanos. Descubre en que zonas do plano, os valores que se obteñen ao substituír as coordenadas dun punto calquera na ecuación da recta son positivos, negativos ou nulos. Neste caso, as solucións non son conxuntos de números, senón conxuntos de parellas de números, polo que non se poden representar sobre unha liña recta: débense representar como subconxuntos do plano. A(4,2) =0 o punto está na recta B(-2,3) =-7<0 C(2,-3) 2-3 (-3)+2=13>0 Resolución gráfica Unha solución dunha inecuación de dúas variables é unha parella de números (x 0,y 0 ), tales que, ao substituír os seus valores nas incógnitas da inecuación, fan que a desigualdade sexa certa. Cada parella de números reais pódese representar como un punto do plano. Xa que logo, resolver a inecuación equivale a obter todos os puntos do plano cunhas coordenadas que fan que se verifique a desigualdade. Para iso procédese do seguinte xeito: debúxase a recta, elíxese un punto que non pertenza a ela e compróbase se as coordenadas do punto cumpren a desigualdade ou non; se a cumpren, a zona na que está o punto elixido é a solución da inecuación, se non a cumpren, a solución é a outra zona. -5x-8y+3 0 P(-2,3) 5 (-2)-8 3+3=-11<0 A zona verde é a solución, incluída a recta, posto que a desigualdade é 3x-5y+3<0 P(-2,3) 3 (-2)-5 3+3=-18<0 A zona verde é a solución. 10 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
11 8x + 2y + 2 < 0 2x 4y + 7 < 0 Sistemas de inecuacións Solución da 1ª inecuación: 8x + 2y + 2 < 0 Un sistema de inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas é un conxunto formado por dúas ou máis inecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas. Como no caso dos sistemas cunha incógnita, resólvese cada inecuación por separado, e o conxunto de todas as solucións comúns a todas as inecuacións do sistema é o conxunto solución del. Solución da 2ª inecuación: 2x 4y + 7 < 0 Fíxate nos exemplos desenvolvidos e observa que se poden dar situacións sen solución. Engadindo unha terceira inecuación: 8x + 2y + 2 < 0 2x 4y + 7 < 0 5x 2y + 8 < 0 A solución é o triángulo común ás tres zonas A intersección das dúas zonas é a solución do sistema. OUTRO EXEMPLO x + 2y 2 0 2x y 4 0 y 3 0 A solución é o triángulo de vértices ABC, común ás tres zonas MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 11
12 EXERCICIOS resoltos 6. Descubre se o punto P(-1,-2) é unha solución Podemos da inecuación debuxar -2x a + recta 3y dándolle 1 e debuxa dous o semiplano solución, indicando se inclúe ou non valores a recta a x -2x e obtendo + 3y = 1 os correspondentes valores de y. x=1 y=1 x=-2 y=-1 Deseguido substituímos as coordenadas de P no polinomio e vemos que a desigualdade é certa. Xa que logo a solución é o semiplano onde está P, incluíndo a recta, porque o símbolo de desigualdade é menor ou igual. 7. Descubre se o punto P(-4,-1) é unha solución do sistema de inecuacións: -2x-5y-1<0 2x+3y-1<0 -x-3<0 Debuxa o conxunto de solucións e se P non Observa pertence no debuxo a este conxunto os valores atopa que se algún obteñen punto que pertenza. ao substituír as coordenadas de P nos tres polinomios. Os valores obtidos cumpren as dúas últimas inecuacións pero non a primeira, polo tanto P non é unha solución do sistema. As solucións son os puntos que estean por enriba da recta vermella (1ª), por debaixo da recta azul (2ª) e á dereita da recta verde (3ª). É dicir, todos os puntos do interior do triángulo que determinan as tres rectas. Unha posible solución é Q (-2,1) 12 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
13 4. Problemas con inecuacións. Formulación e resolución Para resolver un problema con inecuacións debemos seguir os seguintes pasos: 1. Asignación de variables: poñerlles nome aos termos descoñecidos. 2. Formulación: establecer relacións entre os datos coñecidos e os descoñecidos, formulando unha ou varias inecuacións (de primeiro ou de segundo grao, cunha ou con varias incógnitas). 3. Resolución: de entre os métodos explicados aplicar o que se axuste á nosa formulación. Un viñateiro dispón no seu almacén de dous tipos de viño: un a 4 o litro e outro a 7 o litro. Quere mesturalos para encher unha cuba de 500 litros de capacidade e quere que a mestura non custe máis de 6 nin menos de 5 o litro. Descubre entre que valores debe estar a cantidade de litros do primeiro tipo de viño para que o prezo final estea no intervalo desexado. ASIGNACIÓN DE VARIABLES: x=nº de litros do primeiro tipo 500-x=nº de litros do segundo tipo FORMULACIÓN: 4x+7(500-x)> x+7(500-x)<6 500 RESOLUCIÓN: 4x x>2500-3x> x< =333, x x<3000-3x< x> =166, SOLUCIÓN: x pode tomar calquera valor entre 167 e 333 litros. EXERCICIOS resoltos Problema 1 Un fabricante de pensos quere obter unha tonelada dun determinado penso, para vendelo a 0,21 /kg. Para obtelo vai mesturar dous tipos de penso dos que xa dispón e que custan a 0,24 /kg e 0,16 /kg respectivamente. 1) Calcula a cantidade que debe entrar polo menos na mestura do penso máis barato para non perder diñeiro. 2) Cales deben ser as cantidades de cada tipo na mestura se quere gañar polo menos 0,03 /kg? Asignación de variables: x=nº kg do tipo barato 1000-x: nº de kg do tipo caro Formulación: Custo da mestura: 0,16x+0,24(1000-x) Para non perder diñeiro debe cumprir: 0,16x+0,24(1000-x) 0, Para gañar polo menos 0,03 /kg debe ser: 0,16x+0,24(1000-x) 0, Resolución: a) -0,08x -30 x 30/0,08 x 375 kg b) -0,08x -60 x 60/0,08 x 750 kg Problema 2 Unha biblioteca ten un orzamento de 600 para adquirir exemplares de dúas novas novelas que se editaron. Cada exemplar da primeira custa 25 e cada exemplar da segunda 30. Cantos exemplares de cada unha pode adquirir? Representa o problema en forma dun sistema de inecuacións, represéntao graficamente e indica varias posibles solucións. x=nº exemplares da 1ª y: nº de exemplares da 2ª Formulación: 25x+30y 600 x>0 y>0 Solución: Calquera punto da zona sombreada con valores enteiros é solución do problema. Se o punto está na recta axústase de todo ao orzamento. Por exemplo x=10, y=10 ou x=6, y=15. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 13
14 Para practicar 1. Inecuacións con valor absoluto. Resolve as seguintes inecuacións: a) x+6 < 1 b) -x-4 4 c) -2x-1 > 3 d) 2x Inecuacións de segundo grao. Resolve as inecuacións: a) 2x 2 -x+2 0 b) -2x 2 +6x+1 0 c) -x 2 +7x-9 0 d) (x 8)(x 1) < 0 3. Inecuacións racionais. Resolve as inecuacións: x + 4 a) < 0 1 x 2x + 4 b) > x Observa que nestes casos non se trata dun sistema de inecuacións senón de todas as solucións das dúas. 3x 5 c) 0 2x + 1 x + 4 d) 0 1 x 4. Inecuacións con dúas incógnitas. Resolve os seguintes sistemas: a) b) c) 3x < 1 4x 3y > 4 3x y < 2 5x + 4y > 0 4x y < 4 5x 4y > 4 14 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
15 Para saber máis Para que serven as inecuacións? Unha das principais utilidades das inecuacións é a súa aplicación aos problemas de decisión: consiste en programar unha situación co obxectivo de decidirse por unha alternativa que sexa óptima. En xeral, o proceso de optimizar consiste en lograr un resultado máximo ou mínimo segundo lle conveña ao problema formulado. Mira o exemplo adxunto. PROGRAMACIÓN DUNHA DIETA PARA CEBAR ANIMAIS Téntase programar unha dieta con dous alimentos A e B. Unha unidade do alimento A contén 500 calorías; unha unidade de B contén 500 calorías e 20 gramos de proteínas. A dieta require como mínimo 3000 calorías e 80 gramos de proteínas diarias. Se o prezo dunha unidade de A é 8 e o dunha unidade B é 12, que cantidade de unidades de A e de B debe comprar para satisfacer as esixencias da dieta a un custo mínimo?. O esquema seguinte mostra as cantidades respectivas en forma ordenada. A B mínimo Calorías Proteínas Prezo 8 12? Sexan: x o número de unidades do alimento A, y o número de unidades do alimento B. De acordo con isto, a inecuación 500x + 500y >=3000 representa a restrición ou condición relativa ás calorías. Igualmente, 10x + 20y >= 80 corresponde á restrición referida á cantidade de proteínas. Ademais, débese cumprir que x >= 0 e y >= 0, xa que en ningún caso a cantidade de alimentos A ou B pode ser negativa. A rexión en cor verde é a intersección dos conxuntos solución das inecuacións formuladas e chámase rexión de solucións factibles, xa que as coordenadas de calquera dos seus puntos satisfán as restricións impostas. Pero aínda non se considerou o prezo posible dos alimentos. Se x e y son as cantidades dos alimentos A e B, respectivamente, e os prezos son 8 e 12, daquela a función custo é: F = 8x + 12y. Pódese probar que esta función se optimiza, neste caso tomando un valor mínimo, para aqueles valores de x e y que corresponden a un vértice no gráfico. Vértices Valor da función custo (0,6) x = 0; y = 6 F = 8 x x 6 = 72 (4,2) x = 4; y = 2 F = 8 x x 2 = = 56 (8,0) x = 8; y = 0 F = 8 x x 0 = 64 Dos tres valores da función custo F, o mínimo é 56. Corresponde a x = 4 e y = 2, é dicir, a 4 unidades de A e 2 unidades de B. Tales cantidades de A e B proporcionan un total de calorías e proteínas de acordo coas esixencias formuladas. 4 unidades de A : 4 x 500 = 2000 calorías 2 unidades de B : 2 x 500 = 1000 calorías Total = 3000 calorías 4 unidades de A : 4 x 10 = 40 gramos de proteínas 2 unidades de B : 2 x 20 = 40 gramos de proteínas Total = 80 gramos de proteínas O custo mínimo para lograr isto é 56. Con esta cantidade, pódense adquirir 4 unidades do alimento A e 2 do B. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 15
16 Lembra o máis importante Inecuacións cunha incógnita As súas solucións exprésanse en forma de intervalos, abertos, cando as desigualdades son estritas (<, >), e pechados no caso contrario (< =, = >). Inecuacións de dúas incógnitas As súas solucións son semiplanos e resólvense en forma gráfica. Inecuacións equivalentes Se aos dous membros dunha inecuación lles sumamos a mesma cantidade obtense unha inecuación equivalente: x < y <===> x+a < y+a Se os dous membros dunha inecuación se multiplican pola mesma cantidade, non nula, obtense unha inecuación equivalente (pero ollo co signo): a>0 ==> (x < y <===> ax < ay) a<0 ==> (x < y <===> ax > ay) Sistemas cunha incógnita Solucións do sistema: Cada inecuación resólvese de forma independente. As solucións do sistema son as comúns a todas elas. Exprésanse como intervalos ou como unión de intervalos. Inecuacións de segundo grao. Pódense resolver como un sistema ou en forma gráfica, descubrindo se a parábola que a representa corta o eixe X e se se abre cara arriba ou cara abaixo. Sistemas con dúas incógnitas Cada inecuación resólvese de forma independente. As solucións do sistema son as comúns a todas elas. Resólvense de forma gráfica. 16 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
17 Auto-avaliación 2x 4 1. Resolve a inecuación: < Un móbil desprázase en liña recta a unha velocidade que varía entre 69 m/s e 84 m/s. Entre que distancias dende o punto de partida está o móbil ao cabo de dez horas? 7 3. Resolve o sistema 4. Resolve o sistema x < 5. x 2 x > 5. x 2 5. Resolve a inecuación 2x 2 16x Resolve a inecuación 2x x A imaxe adxunta é a gráfica do polinomio de segundo grao da inecuación 2x 2 + 5x + 2 < 0. Indica cal é o conxunto solución dela. a) No ten solucións b) Todos os números reais c) Un intervalo finito d) A unión de dous intervalos infinitos 8. Indica cal das seguintes imaxes representa o conxunto solución da inecuación x < y 9 9. Indica cal dos seguintes sistemas de inecuacións con dúas incógnitas ten como conxunto solución esta imaxe: a) x<-2 y<3 b) x<-2 y>3 c) x>-2 y<3 d) x>-2 y>3 10. Indica cal dos seguintes sistemas de inecuacións con dúas incógnitas ten como conxunto solución esta imaxe: 10 a) x>-2 y>3 x+y>6 b) x<-2 y>3 x+y<6 c) x>-2 y<3 x+y<6 d) x>-2 y>3 x+y<6 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 17
18 Solucións dos exercicios para practicar 1) Inecuacións valor absoluto: 4) Inecuacións con 2 incógnitas a. (-7,-5) b. [-8,0] c. (-,-1)U(1,+ ) d. (-,-1/2]U[9/2,+ ) 2) Inecuacións 2º grao: a. Non ten solucións b. (-,-0 16]U[3 16,+ ) c. [1 7,5 3] d. (1,8) a. b. 3) Inecuacións racionais a. (-,-4)U(1,+ ) b. (-,-3)U(-2,+ ) c. (-1/2,5/3] d. [-4,1) c. Solucións AUTO-AVALIACIÓN 1. (-2,+ ) 2. Entre 2484 e 3024 km 3. [2,5) 4. (5,+ ) 5. {-4} 6. (-,2) U (5,+ ) 7. Resposta D 8. Resposta A 9. Resposta C 10. Resposta A 18 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραTema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,
Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS
EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto
Διαβάστε περισσότεραSistemas e Inecuacións
Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II
PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραPolinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio
3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,
Διαβάστε περισσότεραTema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA
Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735
Διαβάστε περισσότεραln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)
Διαβάστε περισσότεραExpresións alxébricas
5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA
Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M
Διαβάστε περισσότεραTema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016
Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á
NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:
NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (
Διαβάστε περισσότεραXEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.
XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que
Διαβάστε περισσότεραFuncións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos
9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45 Índice 1. Programación da unidade...3
Διαβάστε περισσότεραProcedementos operatorios de unións non soldadas
Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)
1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a
Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS
Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase
Διαβάστε περισσότεραIX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes
IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)
21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.
Διαβάστε περισσότεραObxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común.
Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Manexar as expresiónss alxébricas e calcular o seu valor numérico. Recoñecer os polinomios e o seu grao. Sumar, restar e multiplicar polinomios. Sacar
Διαβάστε περισσότεραECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS
ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións
Διαβάστε περισσότεραNúmeros reais. Obxectivos. Antes de empezar.
1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.
Διαβάστε περισσότεραFuncións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido
9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se
Διαβάστε περισσότεραA circunferencia e o círculo
10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais
CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais
Διαβάστε περισσότεραVII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO
VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio
Διαβάστε περισσότεραA proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.
Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5
Διαβάστε περισσότεραINICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS
INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,
Διαβάστε περισσότεραPAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS
PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa
TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto
Διαβάστε περισσότεραExpresións alxébricas
Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS
Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS
61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραVolume dos corpos xeométricos
11 Volume dos corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Comprender o concepto de medida do volume e coñecer e manexar as unidades de medida do S.M.D. Obter e aplicar expresións para o
Διαβάστε περισσότεραSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119
Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21
PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación
Διαβάστε περισσότεραLUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS
LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo
Διαβάστε περισσότεραPÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109
PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.
Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma
Διαβάστε περισσότερα1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados
1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:
Διαβάστε περισσότεραCADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.
Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición
Διαβάστε περισσότεραXUÑO 2018 MATEMÁTICAS II
Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio
Διαβάστε περισσότεραSemellanza e trigonometría
7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.
Διαβάστε περισσότεραAno 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.
ABAU CONVOCAT ORIA DE SET EMBRO Ano 2018 CRIT ERIOS DE AVALI ACIÓN FÍSICA (Cód. 23) Elixir e desenvolver unha das dúas opcións. As solución numéricas non acompañadas de unidades ou con unidades incorrectas...
Διαβάστε περισσότεραFísica e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:
DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste
Διαβάστε περισσότεραExercicios de Física 02a. Campo Eléctrico
Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Problemas 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4,0) e B( 4,0) (en metros). Caalcula: a) o campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0) b) o potencial
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS
EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo
Διαβάστε περισσότερα1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE
O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións
Διαβάστε περισσότεραProbas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.
Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.
Διαβάστε περισσότεραCaderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene
Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
PAU XUÑO 2013 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.
7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos
Διαβάστε περισσότεραÁreas de corpos xeométricos
9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.
Διαβάστε περισσότερα1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos
V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións
Διαβάστε περισσότεραIntrodución á análise numérica. Erros no cálculo numérico
1 Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico Carmen Rodríguez Iglesias Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra
Διαβάστε περισσότεραMétodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)
L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación
Διαβάστε περισσότεραProblemas xeométricos
Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS
61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) 1 0 0 1-1 -1 Sexan as matrices
Διαβάστε περισσότεραEstatística. Obxectivos
1 Estatística Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os conceptos de poboación e mostra. Diferenciar os tres tipos de variables estatísticas. Facer recontos e gráficos. Calcular e interpretar
Διαβάστε περισσότεραTEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO
TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.
Διαβάστε περισσότεραa) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )
.. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector
Διαβάστε περισσότεραCorpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro
9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un
Διαβάστε περισσότεραQuímica P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO
Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS 1. A 670 K, un recipiente de 2 dm 3 contén unha mestura gasosa en equilibrio de 0,003 moles de hidróxeno, 0,003 moles de iodo e
Διαβάστε περισσότεραProbabilidade. Obxectivos. Antes de empezar
12 Probabilidade Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os experimentos aleatorios dos que non o son. Achar o espazo da mostra e distintos sucesos dun experimento aleatorio. Realizar operacións
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS
61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) Un autobús transporta en certa
Διαβάστε περισσότεραESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS
Química P.A.U. ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS CUESTIÓNS NÚMEROS CUÁNTICOS. a) Indique o significado dos números cuánticos
Διαβάστε περισσότερα1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES
TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL
Διαβάστε περισσότεραFÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B
ÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada apartado). Cuestións 4 puntos ( cada
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMACIÓN CURSO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROGRAMACIÓN CURSO 2017-18 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS IES Ramón Menéndez Pidal Página 1 Táboa de contidos 1.-Identificación da programación... 3 2.-Lenda competencias... 5 3.-Concreción curricular...
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA
Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor
Διαβάστε περισσότεραI.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza
Semellanza Contidos 1. Semellanza Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado 3.
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
PAU XUÑO 2014 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 5 Movementos e forzas Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da
Διαβάστε περισσότεραExame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)
Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:
Διαβάστε περισσότεραOptimización baixo incerteza en redes de gas.
Traballo Fin de Mestrado Optimización baixo incerteza en redes de gas. Ana Belén Buide Carballosa Mestrado en Técnicas Estatísticas Curso 2016-2017 ii iii Proposta de Traballo Fin de Mestrado Título en
Διαβάστε περισσότεραEstatística. Obxectivos
11 Estatística Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir os conceptos de poboación e mostra. Diferenciar os tres tipos de variables estatísticas. Facer recontos e gráficos. Calcular e interpretar
Διαβάστε περισσότεραQuímica P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES
Química P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES PROBLEMAS ÁCIDO/BASE DÉBIL 1. Unha disolución de amonuíaco de concentración 0,01 mol/dm³ está ionizada nun 4,2 %. a) Escribe a reacción de disociación e calcula
Διαβάστε περισσότεραResorte: estudio estático e dinámico.
ESTUDIO DO RESORTE (MÉTODOS ESTÁTICO E DINÁMICO ) 1 Resorte: estudio estático e dinámico. 1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA. (No libro).. OBXECTIVOS. (No libro). 3. MATERIAL. (No libro). 4. PROCEDEMENTO. A. MÉTODO
Διαβάστε περισσότεραObxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles.
8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir as clases de corpos xeométricos. Construíloss a partir do seu desenvolvemento plano. Calcular as súas áreas e volumes. Localizar
Διαβάστε περισσότεραFÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)).
22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas, 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións, 4 puntos
Διαβάστε περισσότεραQuímica 2º Bacharelato Equilibrio químico 11/02/08
Química º Bacharelato Equilibrio químico 11/0/08 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: PROBLEMAS 1. Nun matraz de,00 litros introdúcense 0,0 10-3 mol de pentacloruro de fósforo sólido. Péchase, faise
Διαβάστε περισσότεραPAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,
Διαβάστε περισσότεραÁmbito científico tecnolóxico. Estatística. Unidade didáctica 4. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 4 Estatística Índice 1.1 Descrición da unidade didáctica... 3 1.
Διαβάστε περισσότεραEducación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica 2 Xeometría
Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade didáctica...
Διαβάστε περισσότεραÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU
ÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU XUÑO-96 CUESTION 2. opa Disponse de luz monocromática capaz de extraer electróns dun metal. A medida que medra a lonxitude de onda da luz incidente, a) os electróns emitidos
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO
Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO PROBLEMAS CAMPO ELECTROSTÁTICO 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0,
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA
Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10¹⁴ Hz incide cun ángulo de incidencia de 30 sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor 10
Διαβάστε περισσότεραCiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA
CiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA PAAU (LOXSE) XUÑO 2001 Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios:
Διαβάστε περισσότεραPAAU (LOXSE) Setembro 2009
PAAU (LOXSE) Setembro 2009 Código: 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada
Διαβάστε περισσότεραVIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos
VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo
Διαβάστε περισσότερα