Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
|
|
- Ῥαφαὴλ Διαμαντόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako dve razne ravni π 1 i π 2 poseduju najmanje jednu zajedničku tačku, one se seku po jednoj pravoj. 4. Ako su A, B, C, D četiri nekomplanarne tačke, dokazati da su svake tri od tih tačaka nekolinearne. 5. Dokazati da u prostoru E 3 postoje mimoilazne (nekomplanarne) prave. 6. Ako su A i B dve razne tačke, tada na pravoj AB postoji tačka C takva da je A C B. 7. Ako je A, B par neistovetnih tačaka i A kraj neke poluprave p, tada na polupravoj p postoji jedinstvena tačka B takva da je (A, B) = (A, B ). 8. Dokazati da unutrašnje tačke P, Q, R, stranica BC, CA, AB trougla ABC ne pripadaju jednoj pravoj. 9. Relacija paralelnosti definisana na skupu pravih prostora E n (n = 2, 3) je relacija ekvivalencije. 10. Ako u prostoru E 3 prava p ne pripada ravni π i ako u ravni π postoji prava q takva da je p q, tada je p π. 11. Relacija paralelnosti definisana na skupu ravni prostora E 3 je relacija ekvivalencije. 12. Ako su a i b prave po kojima neka ravan σ seče dve medu sobom paralelne ravni α i β prostora E 3, dokazati da je a b. 13. Ako u prostoru E 3 neka prava s prodire jednu od dveju medu sobom paralelnih ravni α i β, dokazati da prava s prodire i drugu od tih dveju ravni. 14. Ako su a i b dve paralelne prave prostora E 3 i π ravan tog prostora paralelna sa pravom a, dokazati da je π b. 15. Dokazati da u prostoru E 3 postoji jedinstvena ravan α koja sadrži datu tačku A i paralelna je s datom ravni π. Podudarnost 1. Ako su B 1 i C 1 središta stranica CA i AB trougla ABC, dokazati da je AB = AC BB 1 = CC Ako su B 1 i C 1 središta stranica CA i AB trougla ABC u ravni E 2, dokazati da je BC C 1 B 1 i BC = 2C 1 B Ako su M i N središta bočnih stranica AD i BC trapeza ABCD, dokazati da je AB +CD = 2MN. 4. Dokazati da središta stranica bilo kojeg četvorougla predstavljaju temena nekog paralelograma ili se nalaze na jednoj pravoj. 1
2 5. Neka je u prostoru E 3 dat nekomplanaran četvorougao ABCD. Ako je pri tome AB = CD i BC = AD, dokazati da je prava koja sadrži središta P i Q dijagonala AC i BD zajednička normala mimoilaznih pravih AC i BD. 6. Neka je u prostoru E 3 dat nekomplanaran četvorougao ABCD. Ako su P, Q, R, S središta stranica AB, BC, CD, DA tog četvorougla, dokazati da je P R = QS AC BD. 7. Neka je u ravni E 2 dat pravougaonik ABCD kome je AB = 3BC. Ako su E i F tačke stranice AB takve da je AE = EF = F B, dokazati da je AED + AF D + ABD = Dokazati da medijatrise stranica trougla u ravni E 2 pripadaju konkurentnom pramenu pravih. 9. Neka je u ravni E 2 dat tetivan šestougao ABCDEF. Ako pri tome naspramne stranice AB i DE imaju zajedničku medijatrisu p, a naspramne stranice BC i EF imaju zajedničku medijatrisu q, dokazati da i naspramne stranice CD i AF imaju zajedničku medijatrisu r. 10. Dokazati da prave odredene visinama trougla u ravni E 2 pripadaju konkurentnom pramenu pravih. Konstruktivni zadaci 1. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su težišne duži podudarne s trima datim dužima t a, t b, t c. 2. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su zbir stranica AB i BC, zbir visina BB i CC i poluprečnik upisanog kruga podudarni s datim dužima s,v,ρ. 3. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su simetrala AE ugla kod temena A i poluprečnik upisanog kruga podudarni s datim dužima l a, ρ, a razlika unutrašnjih uglova kod temena B i C podudarna datom uglu δ. 4. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su unutrašnji uglovi kod temena B i C podudarni s datim uglovima β, γ, a poluobim trougla podudaran s datom duži p. 5. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su poluprečnici upisanog kruga i spolja pripisanog kruga koji odgovara temenu A podudarni s datim dužima ρ, ρ a, a unutrašnji ugao kod temena A podudaran s datim uglom α. 6. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su stranica BC, visina AD i poluprečnik upisanog kruga podudarni s datim dužima a, h a, ρ. 7. U ravni E 2 konstruisati ABC kome su zbir (razlika) stranica AB i AC, visina iz temena A i poluprečnik upisanog kruga podudarni s datim dužima s,h a, ρ. 8. U ravni E 2 dat je konveksan ugao P AQ i na njegovoj bisektrisi tačka E. Konstruisati pravu s koja sadrži tačku E seče poluprave AP i AQ u tačkama B i C takvim da duž BC bude podudarna s datom duži a. 9. Dati su u ravni E 2 ugao AOB i dve tačke M, N. Odrediti na polupravoj OA tačku X takvu da prave MX i NX seku polupravu OB u tačkama Y i Z koje zadovoljavaju relaciju XY = XZ. 2
3 Izometrijske transformacije ravni 1. Dve osne refleksije S p i S q euklidske ravni E 2, sa raznim osama p i q, su komutativne transformacije ako i samo ako je p q, naime biće S q S p = S p S q p q 2. Ako u izometrijskoj transformaciji I ravni E 2 pravama p 1,..., p m odgovaraju respektivno prave p 1,..., p m dokazati da je I (S pm S p1 ) I 1 = S p m S p Ako su a, b i c tri prave ravni E 2, dokazati da je S c S a S c = S b S c (a) = b. 4. Neka je u ravni E 2 dat ABC. Ako je tačka P podnožje upravne iz središta S upisanog kruga na stranici BC, dokazati da je R C, ACB R A, BAC R B, CBA = S P, Kompozicija triju centralnih refleksija ravni E 2 predstavlja takode centralnu refleksiju te ravni. 6. Ako su S A i S B dve razne centralne refleksije ravni E 2 i S c osna refleksija te iste ravni, tada kompozicija S B S c S A predstavlja neku osnu refleksiju S d ako i samo ako je AB c, naime biće S B S c S A = S d AB c. 7. Neka je u ravni E 2 dat ABC. Ako su M i N središta stranica AB i AC, a p i q prave od kojih prva predstavlja medijatrisu stranice BC, a druga pravu odredenu visinom iz temena A trougla ABC, dokazati da je S N S q S M = S p. 8. Ako su S O, S P, S Q centralne refleksije ravni E 2, dokazati da je S P S O = S O S Q S O (P ) = Q. 9. Ako su S A i S B dve razne centralne refleksije ravni E 2 i S p osna refleksija te iste ravni, dokazati da je S B S p S A = S A S p S B p AB. 10. Kompozicija dveju centralnih rotacija ravni E 2 predstavlja centralnu rotaciju, translaciju ili koincidenciju. 11. Ako je T P Q translacija i R O,ω centralna rotacija ravni E 2, dokazati da svaka od kompozicija I 1 = R O,ω T P Q i I 2 = T P Q R O,ω predstavlja centralnu rotaciju ravni E Ako je T P Q translacija i S m osna refleksija ravni E 2 kojoj je osa upravna na pravoj P Q, dokazati da svaka od kompozicija I 1 = S m T P Q i I 2 = T P Q S m predstavlja osnu refleksiju ravni E Kompozicija sastavljena iz triju osnih refleksija neke ravni E 2, kojima ose ne pripadaju jednom pramenu pravih, predstavlja klizajuću refleksiju te ravni. 14. Ako su P i P dve razne tačke neke ravni E 2 i s prava te iste ravni, tada je G P P = S s S P S s (P ) = P. 15. Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke ravni E 2 i c prava koja u tački A dodiruje krug opisan oko ABC, dokazati da je G CA G BC G AB = S c. 16. Dokazati da su dva kruga ABC i ACD ravni E 2 ortogonalna medu sobom ako i samo ako je zadovoljena relacija G DA G CD G BC G AB = S A. 3
4 Stereometrija 1. Ako je u prostoru E 3 prava P Q upravna na ravni π u tački Q, a prava P R upravna na pravoj s π u tački R, dokazati da je QR s. 2. Konstruisati skup svih tačaka prostora E 3 podjednako udaljenih od triju datih nekolinearnih tačaka A, B, C E Dokazati da se oko svakog tetraedra ABCD u prostoru E 3 može opisati sfera. 4. Ako su P i Q podnožja zajedničke normale dveju mimoilaznih pravih p i q prostora E 3, dokazati da je duž P Q kraća od svih ostalih duži koje spajaju tačke pravih p i q. 5. Dokazati da u prostoru E 3 postoji jedinstvena prava koja sadrži datu tačku O a upravna je na svakoj od dveju mimoilaznih pravih p i q. 6. Date su u prostoru E 3 četiri mimoilazne prave p, q, r, s. Konstruisati skup središta svih paralelograma P QRS kojima temena P, Q, R, S respektivno pripadaju pravama p, q, r, s. 7. U prostoru E 3 date su dve ravni α i β koje se seku po jednoj pravoj. Konstruisati skup svih tačaka tog prostora kojima je zbir ili razlika odstojanja od ravni α i β jednaka datoj duži s. Izometrijske transformacije prostora 1. Dve ravanske refleksije S α i S β euklidskog prostora E 3, sa raznim osnovama α i β, su komutativne transformacije ako i samo ako je α β, naime biće S β S α = S α S β α β. 2. Ako su S π,s µ,s ν ravanske refleksije prostora E 3, dokazati da je S π S µ S π = S ν S π (µ) = ν. 3. Dokazati da kompozicija dveju osnih rotacija euklidskog prostora E 3, kojima se ose seku u nekoj tački O, predstavlja osnu rotaciju kojoj osa sadrži tačku O. 4. Ako su p, q, r tri prave prostora E 3 upravne medu sobom u tački O, dokazati da je S r S q S p = E. 5. Dokazati da kompozicija dveju osnih refleksija S p i S q prostora E 3, kojima se ose p i q seku u nekoj tački O, predstavlja osnu rotaciju tog prostora. 6. Dokazati da kompozicija sastavljena iz tri osne refleksije S p, S q, S r prostora E 3, kojima su ose upravne na nekoj ravni π E 3 predstavlja takode osnu refleksiju kojoj je osa upravna na ravni π. 7. Odrediti zakon za transmutaciju osnorotacione refleksije R π;s,ω prostora E 3 bilo kojom izometrijskom transformacijom J tog prostora. 8. Ako je S o centralna refleksija i I bilo koja izometrijska transformacija prostora E 3, zatim O tačka takva da je I(O)=O, tada je I S o I 1 = S o. 9. Centralna refleksija S o i ravanska refleksija S π prostora E 3 su dve komutativne transformacije ako i samo ako tačka O pripada ravni π, naime biće S π S o = S o S π O π. 10. Kompozicija triju centralnih refleksija prostora E 3 predstavlja takodje centralnu refleksiju tog prostora. 4
5 11. Ako su S A, S B dve razne centralne refleksije i S γ ravanska refleksija prostora E 3, dokazati da kompozicija S B S γ S A predstavlja neku ravansku refleksiju S δ ako i samo ako je AB γ, naime biće S B S γ S A = S δ AB γ. 12. Ako su S α, S β ravanske refleksije i S c centralna refleksija prostora E 3, dokazati da kompozicija S β S c S α predstavlja neku centralnu refleksiju S D ako i samo ako su ravni α i β medju sobom paralelne, naime biće S β S c S α = S D α β. 13. Ako su A, B, C tri razne tačke prostora E 3, dokazati da važe sledeće relacije: (a) T T AC ; (b) T CA T BC T AB = E. BC T AB = 14. Dokazati da kompozicija parnog broja centralnih refleksija prostora E 3 predstavlja translaciju ili koincidenciju. 15. Date su u prostoru E 3 dve sfere σ 1,σ 2 i ravan π. Konstruisati ravan ψ koja je paralelna sa ravni π i koja seče sfere σ 1,σ 2 po medu sobom podudarnim krugovima k 1, k Ako su A, B, C tri razne tačke neke ravni π u prostoru E 3, dokazati da je G π; CA G π; BC G π; S π. 17. Ako osa s osne rotacije R s,ω i osnova π ravanske refleksije S π prostora E 3 nemaju zajedničkih tačaka, dokazati da svaka od sledećih dveju kompozicija I 1 = R s,ω S π i I 2 = S π R s,ω predstavlja klizajuću refleksiju prostora E Ako u prostoru E 3 duž P P nije upravna na ravni π, dokazati da svaka od kompozicija I 1 = T P P S π i I 2 = S π T P P predstavlja klizajuću refleksiju prostora E Dokazati da kompozicija sastavljena iz triju ravanskih refleksija kojima su osnove odredene bočnim pljosnima bilo koje trostrane prizme ABCA B C zadate u prostoru E 3 predstavlja klizajuću refleksiju tog prostora. 20. Kompozicija I sastavljena iz dveju osnih refleksija S p i S q prostora E 3, kojima su ose p i q mimoilazne, predstavlja zavojno kretanje. 21. Dokazati da zavojno kretanje Z P P,ω prostora E3 u opštem slučaju nema invarijantnih ravni. Specijalno, ako je ugao ω opružen, svaka ravan koja sadrži pravu P P je invarijantna. 22. Dokazati da kompozicija sastavljena iz triju osnih refleksija S a, S b, S c prostora E 3, kojima ose a, b, c pripadaju jednoj ravni, no ne pripadaju jednom pramenu, predstavlja zavojno poluobrtanje. 23. Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke prostora E 3 i t tangenta u tački A na krugu k opisanom oko ABC, dokazati da je Z CA Z BC Z AB = S t. 24. Dokazati da se svako zavojno kretanje prostora E 3 može predstaviti kao kompozicija jedne osnorotacione i jedne ravanske refleksije. 25. Dokazati da se svako zavojno poluobrtanje prostora E 3 može predstaviti kao kompozicija jedne centralne i jedne ravanske refleksije. 26. Ako su OP, OQ, OR tri medju sobom ortogonalne duži prostora E 3, dokazati da kompozicija I = Z OR Z OQ Z OP predstavlja translaciju tog prostora. AB = 5
6 Transformacije sličnosti prostora 1. (Ojlerova prava) Dokazati da ortocentar H, težište T i središte O opisanog kruga ABC zadatog u ravni E 2 pripadaju jednoj pravoj, pri čemu je HT : T O = 2: (Menelaj) Neka je u ravni E n dat ABC. Dokazati da tačke P, Q, R koje se nalaze respektivno na pravama BC, CA, AB i različite su od temena ABC pripadaju jednoj pravoj ako i samo ako BP ( ) P C CQ QA AR RB = (Čeva) Neka je u ravni En dat ABC. Dokazati da prave odredene temenima A, B, C i tačkama P, Q, R koje se nalaze na pravama BC, CA, AB pripadaju jednom pramenu ako i samo ako je ( ) BP P C CQ QA AR RB = Ako je E tačka u kojoj simetrala ugla A seče stranicu BC trougla ABC koji se nalazi u ravni E 2, dokazati da središta S i S a upisanih krugova tog trougla koji dodiruju stranicu BC zadovoljavaju relaciju AS : SE = AS a : S a E = (AB + AC): BC. 5. Neka je u ravni E 2 dat paralelogram ABCD. Ako su E i F tačke u kojima krug opisan oko ABC seče prave AD i CD, dokazati da je EBC EF D. 6. Neka je u ravni E 2 dat ABC i na stranici BC tačka D. Ako su O 1 i O 2 središta krugova opisanih oko trouglova ABD i ACD, dokazati da je ABC AO 1 O Neka je u ravni E 2 dat ABC. Ako je t tangenta u tački A na krugu l opisanom oko ABC i D tačka prave AC takva da je BD t, dokazati da je AB 2 = AC AD 8. Neka je u ravni E 2 dat ABC kome je A prav. Ako upravna kroz proizvoljnu unutrašnju tačku P hipotenuze BC seče prave AC i AB u tačkama Q i R, a opisani krug oko ABC u tački S, dokazati da je P S 2 = P Q P R. 9. Dokazati da kod ABC u ravni E 2 simetrala spoljašnjeg ugla A i simetrale unutrašnjih uglova B i C seku prave odredene naspramnim stranicama u kolinearnim tačkama. 10. Dokazati da kod ABC u ravni E 2 tangente opisanog kruga u temenima A, B, C seku prave odredene naspramnim stranicama u kolinearnim tačkama. 11. Dokazati da su kod ABC u ravni E 2 središte visine AD, središte upisanog kruga i dodirna tačka stranice BC sa spolja upisanim krugom tri kolinearne tačke. 12. Dokazati da se kod ABC u ravni E 2 prave odredene temenima i dodirnim tačkama naspramnih stranica sa upisanim krugom seku u jednoj tački, tzv. Žergonovoj tački tog trougla. 13. Dokazati da su dva para kolinearnih tačaka A, B i C, D medu sobom harmonijski spregnuti ako i samo ako središte O duži CD zadovoljava relaciju OA OB = OC 2. 6
7 14. Dokazati da su dva para kolinearnih tačaka A, B i C, D medu sobom harmonijski spregnuti ako i samo ako orijentisane duži AC, AB, AD odreduju harmonijsku progresiju, naime biće H(A, B; C, D) 1 AC + 1 AD = 2 AB. 15. Neka kod ABC koji se nalazi u ravni E 2 simetrala unutrašnjeg i simetrala spoljašnjeg ugla A seku pravu BC u tačkama E i F. Ako obeležimo sa S središte upisanog kruga i sa S a, S b, S c središta spolja upisanih krugova tog trougla, dokazati da je (a) H(B, C; E, F ); (b) H(A, E; S, S a ) (c)h(a, F ; S b, S c ). 16. Date su na pravoj s tri razne tačke A, B, C. Konstruisati tačku D takvu da je H(A, B; C, D). 17. U ravni E 2 dati su ABC i tačka S. Konstruisati pravu s koja sadrži tačku S i seče prave AB, AC, BC respektivno u tačkama P, Q, R takvim da je H(P, Q; R, S). 18. Potencijalne ose triju krugova ravni E 2 pripadaju jednom pramenu pravih. 19. Neka je u ravni E 2 dat ABC. Ako je l(o, r) opisan krug, k(s, ρ) upisan krug i k(s a, ρ a ) spolja upisani krug koji dodiruje stranicu BC tog trougla, dokazati da je OS 2 = r 2 2rρ i OSa 2 = r 2 + 2rρ a. 20. Date su u ravni E 2 tri kolinearne tačke A, B, O. Koristeći potenciju tačke u odnosu na krug, odrediti na pravoj AB tačke C i D takve da je H(A, B; C, D), a tačka O središte duži CD. 21. Date su u ravni E 2 dve razne tačke A, B i duž l. Koristeći potenciju tačke u odnosu na krug, odrediti na pravoj AB tačke C i D takve da je H(A, B; C, D) i CD = l 22. Date su u ravni E 2 četiri kolinearne tačke A, B, C, D. Odrediti na njihovoj pravoj tačke E i F takve da je H(A, B; E, F ) i H(C, D; E, F ). 23. Ako se u ravni E 2 prave odredene tetivama AB i CD dvaju krugova k 1 i k 2 seku na radikalnoj osi tih krugova, dokazati da tačke A, B, C, D pripadaju jednom krugu. 24. Ako u ravni E 2 neki krug k seče dva kruga k 1 i k 2, prvi u tačkama A i B, a drugi u tačkama C i D, dokazati da se prave AB i CD seku na radikalnoj osi s krugova k 1 i k 2 ili su paralelne sa osom s. 25. Dokazati da u ravni E 2 prava odredena visinom AD trougla ABC predstavlja radikalnu osu krugova kojima su prečnici težišne linije BB i CC tog trougla. 26. Dokazati da u ravni E 2 ortocentar H predstavlja radikalno središte krugova kojima su prečnici stranice tog trougla. 27. Ako su A 1, B 1, C 1 središta stanica BC, CA, AB trougla ABC koji se nalazi u ravni E 2, dokazati da simetrala unutrašnjeg ugla A 1 trougla A 1 B 1 C 1 predstavlja radikalnu osu: a) upisanih krugova ABC koji dodiruju stranicu BC b) spolja upisanih krugova ABC koji odgovaraju temenima B i C. 28. Ako je s radikalna osa dvaju ekscentričnih krugova k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ) ravni E 2, P proizvoljna tačka te iste ravni i Q podnožje upravne iz tačke P na pravoj s, dokazati da je p(p, k 1 ) p(p, k 2 ) = 2 O 1 O 2 P Q. 7
8 29. Dokazati da skup središta svih krugova ravni E 2 koje seče svaki od dvaju zadatih krugova k 1 i k 2 u dijametralno suprotnim tačkama predstavljaju tačke radikalne ose krugova k 1 i k 2 koje se nalaze u tim krugovima. 30. Dokazati da skup središta svih krugova u ravni E 2 koji seku svaki od dvaju datih krugova k 1 ik 2 u dijametralno suprotnim tačkama predstavlja pseudoradikalnu osu krugova k 1 i k 2, tj. pravu simetričnu s radikalnom osom tih krugova u odnosu na središte duži koja spaja njihove centre. 31. Dati su u ravni E 2 ekscentrični krugovi k 1, k 2 i tačka A. Konstruisati u toj ravni krug k koji sadrži tačku A i ortogonalan je na svakom od krugova k 1 i k 2. Inverzija u odnosu na krug 1. Ako je ψ k inverzija u odnosu na neki krug k(o, r) i A, B bilo koji par tačaka različitih od tačke O, dokazati da je r 2 ψ k (A)ψ k (B) = OA OB AB. 2. Ako su A, B, C, D četiri razne kolinearne tačke ravni E 2 i krug k kome je duž AB prečnik, dokazati da je ψ k (C) = D H(A, B; C, D). 3. Ako u inverziji ψ k : E 2 E 2 tački P / k odgovara tačka P, dokazati da je svaki krug l koji zadovoljava uslove P, P l i l E 2 ortogonalan na krugu k. 4. Neka je l opisani krug ABC koji se nalazi u ravni E 2. Ako su P i Q tačke u kojima medijatrisa m stranice BC seče prave AB i AC, dokazati da je ψ(p ) = Q. 5. Neka je O središte kruga l opisanog oko ABC koji se nalazi u ravni E 2 Ako su B i C tačke polupravih AB i AC takve da je AB AB = AC AC, dokazati da je OA B C. 6. Primenom inverzije konstruisati u ravni E 2 krug k koji sadrži dve date tačke A i B i dodiruje datu pravu p. 7. U ravni E 2 konstruisati krug k koji sadrži datu tačku A i dodiruje dva data kruga k 1 i k U ravni E 2 konstruisati krug k koji dodiruje tri data kruga k 1, k 2, k 3. 8
EUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPotencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραPoenkareov model u hiperboličkoj geometriji
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Poenkareov model u hiperboličkoj geometriji Master rad Mentor: Prof. dr Milan Zlatanović Student: Aleksandra Milovanović Niš,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραVektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:
Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Karakteristične krive i površi u Hiperboličkoj geometriji Master rad Student: Vuk Vujović Mentor: dr Milan Zlatanović Niš, septembar
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije
Računarska grafika Transformacije u 3D i projekcije I ove se pretpostavlja konvencija pokretne virtuelne kamere Postoji formalna sličnost sa transformacijama u 2D grafici: oaje se jean član jenačina (a
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike 10.12.2005. Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραPrimene kompleksnih brojeva u geometriji
Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραViša Geometrija 1. Vedad Pašić. Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Tuzli
Viša Geometrija 1 Vedad Pašić Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Tuzli 1 Sva prava zadržana. Svako objavljivanje, štampanje ili umnožavanje zahtjeva odobrenje autora 2 Predmet: Viša geometrija
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα