AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

Transcript

1 AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A rašome: a A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome b / A. Pavyzdžiui, 1 {0,1,3,5} ir 2 / {0,1,3,5}. Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes N = {1,2,3,...} natūralieji skaičiai, Z = {..., 2, 1,0,1,2,3,...} sveikieji skaičiai, Q = { m, m Z, n N} racionalieji skaičiai, n R realieji skaičiai. Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai bet kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.

2 Aibės poaibis Apibrėžimas. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B elementai, sakome, kad A yra aibės B poaibis ir rašome A B. Pavyzdžiui, {1,2,3} { 1,0,1, 2,2,3,π} R Pastebėkime, kad skaičių aibės N Z Q R Iš poaibio apibrėžimo išplaukia, kada A, t. y. kiekviena aibė yra savo poabis. 2

3 Skaičių intervalai Intervalai aibės R poaibiai [a, b] uždarasis intervalas (atkarpa) aibė {x R : a x b}; (a, b) atvirasis intervalas aibė {x R : a < x < b}; (a, b] pusiau atvirasis intervalas aibė {x R : a < x b}; [a, b) pusiau atvirasis intervalas aibė {x R : a x < b}. Begaliniai intervalai: (,a] aibė {x R : x a}; (,a) aibė {x R : x < a}; (b,+ ) aibė {x R : x > b}; [b,+ ) aibė {x R : x b}. Pastebėkime, kad (,+ ) = R. 3

4 Aibių sąjunga ir sankirta Apibrėžimas. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę (žymime A B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso bent vienai iš aibių A, B (t. y. iš elementų, kurie priklauso arba aibei A, arba aibei B, arba abiems aibėms A ir B). Pavyzdžiui, {1,2,5} {0,1,3,4,5,6} = {0,1,2,3,4,5,6} Pastebėkime, kad tų pačių elementų du kartus nerašome. Dar susitarkime, kad nėra svarbi aibės elementų tvarka. Apibrėžimas. Aibių A ir B sankirta vadiname aibę (žymime A B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso ir aibeia, ir aibeib (t. y. iš elementų, kurie priklauso abiems aibėms A ir B). Pavyzdžiui, {1,2,5} {0,1,3,4,5,6} = {1,5} 4

5 Tuščioji aibė Kai aibės A ir B neturi bendrų elementų, jų sankirta irgi neturi elementų ir vadinama tuščiąja aibe (žymime ). Pavyzdžiui, {1,2} {3,4,5} = (0,1) (1,1) = {x R : x 2 +1 = 0} = Teorema. Jei A yra bet kuri aibė, A 5

6 Aibių skirtumas Aibių A ir B skirtumu (žymime A\B) vadinama aibė, sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nėra (nepriklauso) aibės B elementai. Pavyzdžiai {1,2,3}\{2,3,4} = {1}, {2,3,4}\{1,2,3} = {4} {x R : x 0} = R, {x R : x > 0} = R\{0} {x R : x > 0} = 6

7 Veiksmų su aibėmis Oilerio diagramos 7

8 Veiksmai su skaičių intervalais (,a) [a,+ ) = R (,a) (a,+ ) = R\{a} (,a) [a,+ ) = (,a] [a,+ ) = {a} Tarkime, kad a < b. Tada (,b] [a,+ ) = [a,b] (,b) (a,+ ) = (a,b) (,a] [b,+ ) = 8

9 Funkcijos apibrėžimas Tarkime, kad f yra taisyklė, kuri kiekvienam aibės A elementui, priskiria kurį nors vieną aibės B elementą. Rašome f : A B. Pavyzdžiui,A = {Jonas,Petras,Birutė} firmos darbuotojų aibė, B = {vadovas,pavaduotojas,referentas} pareigų aibė. Taisyklė f, kuri nurodo darbuotojo pareigas: yra funkcija. f : Jonas vadovas Petras pavaduotojas Birutė referentas Tarkime, kad a A, b B. Tada funkciją galima apibrėžti jos reikšmėmis f(a) = b. Pažymėkime, JJ Jonas Jonaitis, PP Petras Petraitis, JP Jonas Petraitis, PJ Petras Jonaitis, v vadovas, p patarėjas, r referentas. Taisyklė g: g(jj) = v, g(jp) = p, g(pj) = p, g(pp) = r irgi yra funkcija. 9

10 Funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys Aibė A vadinama funkcijos f : A B apibrėžimo sritimi, visų reikšmių f(a) aibė vadinama funkcijos reikšmių sritimi. Paveiksle pavaizduota funkcija f : A B, A = {a,b,c,d}, B = {α,β,γ,δ}. Jos reikšmių aibė yra {α,β,δ} B. 10

11 Funkcijų pavyzdžiai Dolerio kursas Surašykime į lentelę Lietuvos banko nustatytus JAV dolerio kursus [Lt]: data Lt už $ data Lt už $ data Lt už $ Turime funkciją L : D R. D datų aibė, R realiųjų skaičių aibė. Pateikta lentelėje informacija leidžia sužinoti dienos d dolerio kursą k = L(d). Kintamasis d vadinamas nepriklausomu kintamuoju, o funkcijos reikšmė k priklausomu kintamuoju. 11

12 Funkcijų pavyzdžiai Paprastųjų palūkanų skaičiavimas Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) paprastųjų palūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S 0 [Lt]. Tada sukaupta po n metų suma S p (n) = S 0 ( 1+ r 100 n ). Sudėtinių palūkanų skaičiavimas Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) sudėtinių palūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S 0 [Lt]. Tada sukaupta po n metų suma ( S s (n) = S 0 1+ r ) n. 100 Taigi abiem atvejais S p,s : N R. 12

13 Funkcijos grafikas Nagrinėsime skaičių funkcijas, t. y. f : A B, A R,B R. Tarkime, kadayra baigtinis arba begalinis intervalas. Tada aibę A galima pavaizduoti skaičių tiesėje 0x (abscisių ašyje), o funkcijos reikšmes y = f(x) vaizduojame vertikalioje (ordinačių) ašyje 0y. Taigi plokštumos taškai, kurių Dekarto koordinėtės(x, y), sudaro kreivę funkcijos grafiką. Paveiksle pavaizduotos funkcijų y = x + 1 ir y = x 2 grafikai. 13

14 Elementariųjų funkcijų grafikai Tiesinė funkcija y = kx+b 14

15 Kvadratinė funkcija y = ax 2 +bx+c Diskriminantas D = b 2 4ac. Lygties y = 0 šaknys (egzistuoja, kai D 0) x 1,2 = b± D. 2a Paveiksle pavaizduotos parabolės y = x 2, y = 2x 2, y = 2x

16 Trigonometrinės funkcijos Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = sinx ir y = cosx grafikai 16

17 Laipsninės ir rodiklinės funkcijos 17

18 Logaritminė funkcija y = log a x, x > 0, a > 0, a 1. a log ax = x Žymime log 10 x = lgx, log e x = lnx,e = 2, Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = log 2 x (1), y = lnx (2), y = lgx (3) grafikai. 18

19 Funkcijų reiškimas keliomis formulėmis Tarkime, kad funkcijos f(x) aibrėžimo sritis yra aibė D ir A D. Jei funkcija f(x) reiškiama formule f 1 (x), kai x A ir formule f 2 (x) priešingu atveju. Tada rašome f(x) = { f1 (x), kai x A, f 2 (x), kai x D \A. Pavyzdys. Tarkime, kad tam tikra paslauga buvo pasiūlyta laiko momentų t 1, o laiko momentu t 2 ja naudojosi 100% visų vartotojų. Funkcija L(t) = 0, kai t t 1, 100 t t 1 t 2 t 1, kai t 1 < t < t 2, 100, kai t t 2 gali būti tokios paslaugos tiekimo lygio matematinis modelis. 19

20 Atkarpomis tiesinė funkcija Funkcija L(t) vadinama atkarpomis tiesinė funkcija. Jos grafikas pavaizduotas paveiksle. Uždavinys. Nustatykime laiko momentą, kai paslauga naudojosi 30% visų vartotojų. Sprendžiame lygtį: L(t) = 100 t t 1 t 2 t 1 = 30 t = t 1 +0,3(t 2 t 1 ) = 0,7t 1 +0,3t 2. 20

21 Tiesės lygtis Tarkime, kad žinomos dvi tiesinės funkcijos y(x) = kx+b reikšmės y ( x 1 ) = y1, y ( x 2 ) = y2. Tiesė eina per taškus A 1 ( x1,y 1 ) ir A2 ( x2,y 2 ). Tada arba Taigi x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 y = y 2 y 1 x 2 x 1 x y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 +y 1. k = y 2 y 1 x 2 x 1, b = y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 +y 1. Pavyzdys. Užrašykime tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(2,1) lygtį. Taikome formulę: x = y arba y = x+3. x 1 = y +2 21

22 Pavyzdys Akcijos kaina didėjo nuo sausio 7 (12Lt) iki vasario 11 (20Lt), po to mažėjo iki vasario 28 (15Lt). Sudarykime atkarpomis tiesinę kainos funkciją k(t). Laiką t matuosime dienų skaičiais nuo metų pradžios: sausio 7 pažymėkime t 1 = 7, vasario 11: t 2 = 42 ir vasario 28: t 3 = 59. Tada, kai t [ ] t 1,t 2, turime tiesės einančios per taškus (7,12) ir(42,20) atkarpą. Kait [ t 2,t 3 ] per taškus (42, 20) ir (59, 15). Taigi pirmuoju atveju o antruoju Užrašome k(t) = k = t , k = t t kai 7 t 42 0,2286t+10, t kai 42 t 59 0,2941t+32,35 22

23 Apskaičiuokime akcijos kainą sausio 17 ir vasario 21 dienomis. Sausio 17 yra 17-oji metų diena. Kadangi 17 [7,42], gauname k(17) 0, ,40 = 14,29[Lt] Vasario 21 yra = 52-oji metų diena. Turime 52 [42,59] ir k(52) 0, ,35 = 17,06[Lt] 23

24 Interpoliacija Raskime einančią per tris žinomus taškus parabolę y = ax 2 +bx+c. ( ) ( ) Tarkime, kad žinomi taškai A 1 x1,y 1, A2 x2,y 2, ( ) A 3 x3,y 3 ir x1 x 2, x 1 x 3, x 2 x 3. Tada kvadratinį trinarį galima užrašyti taip: ( ) ( ) x x2 x x3 y(x) = y 1 ( x1 x 2 ) ( x1 x 3 )+ ( x x1 ) ( x x3 ) +y 2 ( x2 x 1 ) ( x2 x 3 )+ ( x x1 ) ( x x2 ) +y 3 ( x3 x 1 ) ( x3 x 2 ), kuris vadinamas Lagranžo interpoliaciniu daugianariu (polinomu). 24

25 Pavyzdys Raskime, einančią per taškus(7,12),(42,20) ir(59,15), parabolę k(t) = 12(t 42)(t 59) (t 7)(t 59) +20 (7 42)(7 59) (42 7)(42 59) (t 7)(t 42) (59 7)(59 42) = = 12(t2 101t+2478) (t2 49t+294) 884 = t (t2 68t+413) = t

26 Apskaičiuokime k(17) ir k(52). Turime k(t) 0,0101t 2 +0,7211t+7,444 ir k(17) 0, , ,444 16,80, k(52) 0, , ,444 17,76. 26

27 Paveiksle pavaizduota parabolė ir dviejų tiesių atkarpos, jungiančios tuos pačius taškus(7, 12),(42, 20) ir(59, 15). 27