MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

Transcript

1 MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16

2 Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

3 Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

4 Metoda kona nih elemenata Posmatrani realan zi ki problem treba da se (dobro) razume Za zi ke pojave i probleme od interesa postoje odgovaraju e matemati ke formulacije Ako moºe da se odredi analiti ko re²enje matemati ke formulacije problema, problem je (na elno) re²en Ako je matemati ka formulacija problema suvi²e kompleksna, analiti ko re²enje ( esto) nije mogu e U takvim slu ajevima matemati ka formulacija se upro² ava i/ili se traºi numeri ko re²enje

5 Metoda kona nih elemenata MKE je najpoznatija i najvi²e kori² ena metoda za numeri ka re²avanja posmatranih realnih problema MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri ke postupke: - MKE moºe da se primeni na bilo koji grani ni i/ili po etni problem: prenos toplote, naponsku analizu, analizu magnetnih i elektromagnetnih polja, analizu kretanja uida, probleme interakcije uida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd - u primeni MKE nema geometrijskih ograni enja: MKE moºe da se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika - nema nikakvih ograni enja po pitanju grani nih uslova i optere enja koje deluje

6 Metoda kona nih elemenata MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri ke postupke (nastavak): - materijalne osobine nisu ograni ene, npr., na izotropiju (jednaka zi ka svojstva u svim pravcima), ve mogu da budu proizvoljne, uklju uju i i razli ite u svakom elementu - u istom ra unskom modelu mogu da se istovremeno primenjuju kona ni elementi koji su mežusobno razli itog pona²anja (kona ni elementi za proste ²tapove, za gredene elemente, za kablove, za plo e i ljuske itd) - primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi: geometrijski i/ili materijalno

7 Metoda kona nih elemenata MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri ke postupke (nastavak): - ra unski model formiran primenom MKE najvi²e odgovara realnom prototipu - numeri ka aproksimacija moºe da se pobolj²a pove anjem gustine mreºe kona nih elemenata: globalno, ali i lokalno, u zonama gde je ve i gradijent promene nepoznatih veli ina - imaju i u vidu sve ve e mogu nosti ra unara, ra unski modeli mogu da budu jako veliki: n 10 6 nepoznatih

8 Metoda kona nih elemenata MKE ne moºe da se realizuje pe²ice, bez ra unara Postoje brojni komercijalni programi zasnovani na MKE, kao i slobodni (Open Source) programi za istraºiva ke potrebe MKE ra unarski programi mogu da budu - op²te namene (prakti no, za bilo kakav problem) - specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. za uticaje zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova, zgrada, za analizu uida (CFD - Computational Fluid Dynamics), za geotehni ke probleme,... ) Prakti no da nema oblasti u inºenjerstvu i zici (pa i hemiji - Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE

9 Metoda kona nih elemenata Vrhunski MKE programi op²te namene: MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA, ABAQUS Vrhunski programi orjentisani na dinami ke probleme: MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM) MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija: Sostic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM, Tower, Lisa, Diana, STAAD MKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova: ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas

10 Metoda kona nih elemenata Open Source FEM programi op²te namene: FreeFEM++, GetFEM++, OOFEM Open Source FEM programi speci ne namene - za seizmi ku analizu: OpenSees, SeismoStruc, SASSI - za analizu uida i interakciju uida i konstrukcije: OpenFOAM - za analizu dinami ke interakcije tla i konstrukcije: SASSI

11 ANSYS - primena MKE na razne oblasti

12 ANSYS - mogu nosti u primeni na konstrukcije

13 Numeri ki model automobila

14 Numeri ki model kontakta to ak - ²ina

15 Numeri ki model sloºene pojave

16 Numeri ki model sloºene pojave

17 Numeri ki model sloºene pojave

18 Fasade od (perforiranog) bakarnog lima

19 MKE - Linijski kona ni elementi Perforirani bakarni lim Tecu-Oxid-Mesh

20 Fasada od perforiranog bakarnog lima

21 Numeri ki model fasade

22 Numeri ki model eli no-betonske hale

23 Numeri ki model stambeno-poslovne zgrade

24 Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

25 Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

26 Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

27 Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

28 Metoda kona nih elemenata Program zasnovan na MKE moºe da koristi svako ko dovoljno nau i user interface Mežutim, takvom korisniku name u se razna pitanja, npr: - koji kona ni elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom - da li treba na nekim mestima domena da bude gu² a mreºa - koji nivo detalja zi kog problema treba da bude prikazan - da li je zna ajni aspekt pona²anja posmatranog problema linearan ili nelinearan / stati ki ili dinami ki - koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje - kolika e da bude ta nost dobijenih rezultata - kako da se proveri da li su rezultati dobri - itd...

29 Metoda kona nih elemenata Numeri ko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema) nije jednostavan posao Potrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za zi ki problem koji se posmatra: - teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost,... ) - speci nosti materijala (beton, elik, drvo, opeka,... ) - speci nosti odgovaraju ih konstrukcija (AB, prednapregnute, eli ne, spregnute, zidane konstrukcije,... ) - na ine prikazivanja pojedinih optere enja: uticaj vetra, zemljotresa, uskladi²tenog materijala u silosu, vodotornju, rezervoaru za naftu,... - detalja raznih postupaka i algoritama u speci nim nelinearnim i/ili dinami kim analizama

30 Metoda kona nih elemenata Podrazumeva se da onaj ko vr²i numeri ku analizu u dovoljnoj meri poznaje i ra unarski program koji koristi, kao i mogu nosti i ograni enja programa Osim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metoda kona nih elemenata, kao i aproksimacije koje su usvojene i sadrºane u samoj MKE Naravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave razne gre²ke u opisivanju problema ra unarskom programu Ra unari rade onako kako je napravljen program, a ne onako kako bi korisnik ºeleo da ra unar radi

31 Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

32 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Matri na analiza konstrukcija je postupak analize linijskih nosa a zasnovan na primeni matrica Osnovna ideja matri ne analize je da se linijski nosa posmatra kao skup odreženog broja elemenata (²tapova) koji su mežusobno vezani u vorovima nosa a U svakom elementu nosa a sile i pomeranja unutar elementa izraºavaju se preko izabranih parametara u vorovima nosa a Ti parametri u vorovima nosa a pretstavljaju osnovne nepoznate veli ine u matri noj analizi

33 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Za nepoznate parametre u vorovima nosa a (u ravni) mogu da se izaberu: 1 generalisanja pomeranja (komponente pomeranja i obrtanje)... u, v, ϕ 2 sile u vorovima (komponente sile i spreg)... H, V, M Za odreživanje nepoznatih parametara u vorovima koriste se dve grupe jedna ina: 1 uslovi ravnoteºe sila u vorovima 2 uslovi kompatibilnosti generalisanih pomeranja u vorovima

34 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Ako se za nepoznate izaberu pomeranja u vorovima onda se takva varijanta matri ne analize naziva metoda deformacije (direct stiness method) U tom slu aju, nepoznata vorna pomeranja odrežuju se iz uslova ravnoteºe sila u vorovima Ako se za vorne nepoznate usvoje sile u vorovima nosa a, onda se takva varijanta matri ne analize zove metoda sila, metoda eksibilnosti Nepoznate vorne sile se u tom slu aju odrežuju iz uslova kompatibilnosti pomeranja u vorovima

35 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a U matri noj analizi linijskih nosa a dominantna je metoda deformacije (direktna metoda krutosti), dok se metoda sila prakti no ne koristi Matri na analiza linijskih nosa a sastoji se iz tri celine: 1 analize ²tapa... uspostavljaju se matri ne veze izmežu sila na krajevima ²tapa, vornih pomeranja i optere enja duº ²tapa 2 analize nosa a... matri ne relacije za svaki ²tap sabiraju se i formiraju se uslovne jedna ine za ceo sistem 3 re²avanja jedna ina... uslovne jedna ine sistema se re²e, pa se, sa odreženim osnovnim nepoznatim vornim pomeranjima, odrežuju sile u preseku i pomeranja duº svih ²tapova nosa a

36 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Matri na analiza linijskih nosa a (u ravni) je osnov metode kona nih elemenata MKE se brzo razvila u znatno ²iri postupak od matri ne analize linijskih nosa a (koja je zasnovana na linearnoj teoriji ²tapa) MKE se brzo pro²irila sa linijskih (1D) na 2D i 3D nosa e, kao i na dinami ke probleme i probleme stabilnosti Paralelno, razvijali su se i prvi ra unari: Univac I IBM 701

37 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Takože, pojavio se i prvi programski jezik za programiranja u nauci i tehnici: FORTRAN, 1957 Osim toga, razvili su se postupci za analizu nelinearnih problema, kako u domenu geometrijske, tako i u oblasti materijalne nelinearnosti Naravno, MKE se vremenom razvila i na primene u (prakti no) svim drugim oblastima inºenjerstva, zike, hemije, medicine (analiza krvotoka, kostiju,... ) itd. Naziv MKE (t.j. FEM) dao je Ray Clough u radu iz 1960 Edward Wilson je doktorirao 1963 (mentor R. Clough) "Finite Element Analysis of 2D Structures"

38 Nastanak MKE iz Matri ne analize MSA - Matrix Structural Analysis DSM - Direct Stiness Method

39 Edward Wilson, PhD sa Fortran programom, 1963

40 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Matri na analiza ²tapa u ravni Mežusobne veze ²tapova u vorovima mogu da budu krute ili zglobne U zavisnosti od toga, razlikuju se ²tapovi: - tipa k... na oba kraja ²tapa (i,k) je kruta veza - tipa g... na jednom kraju ²tapa (i) je kruta veza, na drugom (g) je zglobna - prost ²tap... na oba kraja ²tapa je zglobna veza i nema optere enja duº ²tapa Zglobna veza zna i da je omogu ena relativna rotacija zglobno vezanog ²tapa u odnosu na osu u zglobu na ravan nosa a Na zglobno vezanom kraju g ²tapa obrtanje ϕ nije nepoznata veli ina (moºe da se odredi iz uslova M g = 0)

41 Tipovi ²tapova kod linijskog nosa a Tipovi ²tapova kod linijskog nosa a u ravni i odgovaraju a generalisana vorna pomeranja

42 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Matri na analiza ²tapa u ravni Analiza ²tapa podrazumeva uspostavljanje veza izmežu pomeranja i sila na krajevima ²tapa, odn. izmežu pomeranja na krajevima i optere enja ²tapa Imaju i u vidu proizvoljnu topologiju linijskih nosa a u ravni, geometrija nosa a deni²e se u izabranom globalnom koordinatnom sistemu OXY Takože, za svaki ²tap se deni²e lokalni koordinatni sistem ixy, gde je i po etni vor ²tapa, osa x je osa ²tapa (sa smerom od vora i ka voru k), dok je osa y upravna na pravac ²tapa u ravni nosa a

43 Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Matri na analiza ²tapa u ravni Oba koordinatna sistema, globalni i lokalni, su desne orjentacije U analizi pojedina nog ²tapa izvode se prvo veze izmežu sila i pomeranja na krajevima ²tapa u lokalnom sistemu Imaju i u vidu poloºaj svakog ²tapa u odnosu na globalni koordinatni sistem, izraºen preko ugla α = (X, x), vr²i se transformacija iz lokalnog u globalni sistem Veze izmežu sila i pomeranja na krajevima ²tapa, izraºene u globalnom sistemu, sabiraju se i dolazi se do globalnih jedna ina sistema

44 Matri na analiza ²tapa u ravni ƒvorna pomeranja i vorne sile Posmatra se, kao najop²tiji slu aj, ²tap tipa k (kruta veza na oba kraja) ƒvorna pomeranja na krajevima ²tapa u lokalnom sistemu obeleºavaju se sa: - na kraju i... u i, v i, ϕ i (pomeranja vora i u pravcima osa x i y i obrtanje vora oko ose z) - na kraju k... u k, v k, ϕ k Alternativno, koriste se oznake q i (i = 1, 2,..., 6) i naziv generalisane koordinate: - na kraju i... q 1, q 2, q 3 - na kraju k... q 4, q 5, q 6

45 Matri na analiza ²tapa u ravni ƒvorna pomeranja i vorne sile ƒvorne sile u lokalnom sistemu obeleºavaju se takože na dva na ina - na uobi ajen na in... vor i: N i, T i, M i, vor k: N k, T k, M k - alternativno, sa oznakom R i... vor i: R 1, R 2, R 3, vor k: R 4, R 5, R 6 Napominje se da su pozitivni smerovi vornih sila i vornih pomeranja, na oba kraja ²tapa, u pozitivnim smerovima lokalnih osa ƒvorna pomeranja i vorne sile, izraºene u globalnom sistemu obeleºavaju se sa gornjim indeksom (..) : qi, R i, (i=1,2...,6)

46 Lokalni i globalni koordinatni sistem Sile i pomeranja na krajevima ²tapa izraºene u (a) lokalnom i (b) globalnom koordinatnom sistemu

47 Matri na analiza ²tapa u ravni ƒvorna pomeranja i vorne sile Vektori vornih pomeranja i vornih sila na krajevima ²tapa tipa k, izraºeno u lokalnim koordinatama ixy, prikazuju se u obliku vektora kolona: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k

48 Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Veza izmežu vektora vornih sila i vornih pomeranja prikazuje se u obliku R = K q (1) gde je sa K ozna ena matrica krutosti ²tapa Relacija (1) pretstavlja osnovnu jedna inu neoptere enog ²tapa Matrica K moºe da se posmatra kao preslikavanje vektora vornih pomeranja q na vektor vornih sila R

49 Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Za ²tap tipa k, sa 6 stepeni slobode, matrica krutosti K je kvadratna matrica reda 6 k 11 k 12 k 1j k 16 k 21 k 22 k 2j k 26 K =.... k i1 k i2 k ij k i6.... k 61 k 62 k 6j k 66

50 Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Ako se relacija (1) R = K q napi²e u razvijenom obliku: R 1 k 11 k 12 k 1j k 16 q 1 R 2 k 21 k 22 k 2j k 26 q 2. =..... R i k i1 k i2 k ij k i6 q j R 6 k 61 k 62 k 6j k 66 q 6 vidi se da je sila R i jednaka R i = 6 k ij q j (2) j=1

51 Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Iz relacije (2) dobija se zi ko zna enje elemenata matrice krutosti: Element k ij matrice krutosti pretstavlja silu R i usled pomeranja q j = 1, pri emu su sva ostala pomeranja jednaka nuli q i = 0, i j To zna i da elementi kolone j matrice krutosti: k 1j, k 2j,..., k 6j pretstavljaju sile R 1, R 2,..., R 6 usled jedini nog vornog pomeranja, odn. usled stanja q j = 1

52 Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Matrica krutosti je simetri na: k ij = k ji usled stava o uzajamnosti reakcija (odn. Maxwell-ovog stava o uzajamnosti pomeranja) Matrica krutosti je singularna: od 6 sila na krajevima ²tapa 3 su linearno nezavisne, dok ostale 3 mogu da se odrede iz uslova ravnoteºe Kada se totalno uklje²tenom i neoptere enom ²tapu zada generalisano pomeranje q j = 1 i odrede reakcije oslonaca R i (i=1,2,..., 6) usled tog pomeranja, tada reakcije pretstavljaju elemente kolone j matrice krutosti

53 Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Ako se ovakav postupak ponovi za sva generalisana pomeranja q j, j=1,2,...,6, dobijaju se sve kolone matrice krutosti, a time i svi elementi matrice K Ovakav na in odreživanja matrice krutosti ²tapa naziva se direktan postupak (metoda) Relacija (1) je osnovna jedna ina neoptere enog ²tapa Ako je ²tap optere en duº svoje ose, uticaj optere enja se prikazuje preko vektora ekvivalentnog optere enja

54 Matri na analiza ²tapa u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja Ekvivalentno optere enje je koncentrisano optere enje na krajevima ²tapa kojim se zamenjuju spolja²nji uticaji duº ose ²tapa Ekvivalentno optere enje Q u vorovima datog nosa a jednako je negativnim vrednostima reakcija oslonaca i uklje²tenja deformacijski odreženog sistema datog nosa a Vektor ekvivalentnog optere enja ²tapa jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca optere enog ²tapa kome su spre ena pomeranja krajeva

55 Vektor ekvivalentnog optere enja

56 Matri na analiza ²tapa u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja Kao ²to je re eno, nepoznata vorna pomeranja nosa a odrežuju se iz uslova ravnoteºe sila u vorovima Sile u vorovima poti u od spolja²njeg optere enja, t.j. od: - spolja²njih sila koje deluju direktno u vorovima - ekvivalentnog optere enja u vorovima koje zamenjuje raspodeljeno ili koncentrisano spolja²nje optere enje duº ose ²tapova Osim toga, prema vezi (1), nepoznate vorne sile prikazuju se preko matrice krutosti i nepoznatih vornih pomeranja

57 Matri na analiza ²tapa u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja Sve matrice i vektori prikazuju se u globalnom koordinatnom sistemu (vr²i se transformacija iz lokalnog u globalni sistem) Posle odgovaraju eg sabiranja po pojedinim vorovima nosa a dolazi se do globalnih uslova ravnoteºe celog nosa a: K q = S (3) (sa gornjim indeksom (..) ozna ene su matrice i vektori u globalnom sistemu OXY U jedna ine ravnoteºe (3) uneti su odgovaraju i grani ni uslovi Re²avanjem jedna ina (3) dobija se vektor nepoznatih vornih pomeranja u globalnom sistemu

58 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Posmatra se prost ²tap konstantnog popre nog preseka F, modula elasti nosti E i duºine l Koordinatni po etak lokalnog sistema xy je u voru i ƒvorna pomeranja i vorne sile su, redom, q 1, q 2, kao i R 1, R 2

59 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Vektori vornih pomeranja i vornih sila dati su sa { } { } { } q1 ui R1 q = = R = = q 2 u k R 2 { Ni N k } Veza izmežu vornih sila i vornih pomeranja (1), u ovom slu aju, je { } [ ] { } R1 k11 k = 12 q1 R 2 k 21 k 22 q 2

60 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Element matrice krutosti k ij je sila na mestu i usled jedini nog pomenranja u j = 1, pri emu su sva ostala pomeranja krajeva ²tapa jednaka nuli Elementi prve kolone matrice K su sile na krajevima prostog ²tapa usled pomeranja q 1 = 1 i q 2 = 0, dok su elementi druge kolone matrice krutosti sile na krajevima za pomeranje q 1 = 0 i q 2 = 1

61 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Promena duºine tetive (prostog) ²tapa jednaka je razlici pomeranja krajeva ²tapa: Dilatacija ose ²tapa je jednaka l = q 2 q 1 ε = l l = q 2 q 1 l Imaju i u vidu relaciju teorije elasti nosti σ = E ε, normalna sila u prostom ²tapu data je sa N = σ F = EF ε = EF l l = EF l (q 2 q 1 )

62 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Sile na krajevima prostog ²tapa R 1 i R 2 jednake su normalnim silama, sa odgovaraju im znakom: - normalne sile su pozitivne za zategnut ²tap - vorne sile su pozitivne kada su u pozitivnom smeru lokalne ose (na oba kraja ²tapa)

63 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Prema tome, dobija se R 2 R 1 = N = EF (q 1 q 2 ) l R 2 = N = EF (q 2 q 1 ) l Napisano u matri nom obliku, ove relacije postaju: { } R1 = EF [ ] { } 1 1 q1 l 1 1 q 2

64 Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Imaju i u vidu osnovnu relaciju za neoptere en ²tap R = Kq, matrica krutosti prostog ²tapa data je u obliku K = EF l [ Matrica krutosti aksijalno napregnutog (prostog) ²tapa je kvadratna matrica reda 2 Kao ²to se vidi, matrica krutosti je simetri na i singularna (determinanta je jednaka nuli): detk = 0 ] (4)

65 Matrica krutosti prostog ²tapa u ravni

66 Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Osnovna jedna ina optere enog ²tapa data je u obliku gde je Q vektor ekvivalentnog optere enja R = K q Q (5) Vektor ekvivalentnog optere enja jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca optere enog ²tapa kome su spre ena pomeranja krajeva Prost ²tap moºe da bude optere en silama u pravcu ose ²tapa i uticajem temperaturne promene duº ose ²tapa t

67 Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa U slu aju temperaturne promene duº ose ²tapa dodatna dilatacija je data sa ε t = α t t gde je α t koecijent temperaturne dilatacije materijala ²tapa Prema tome, normalna sila je data u obliku N = EF ε = EF ( l l + α t t) = EF l (q 2 q 1 ) + EF α t t

68 Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Imaju i u vidu konvenciju o pozitivnim smerovima sila na krajevima ²tapa u matri noj analizi, dobija se { } ] { R1 q1 R 2 = EF l [ q 2 } EF α t t { 1 1 Prema tome, vektor ekvivalentnog optere enja aksijalno optere enog ²tapa, za slu aj temperaturne promene u osi ²tapa, dat je sa { } 1 Q = EF α t t 1 } (6)

69 Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa za uticaj temperaturne promene u osi ²tapa: { } 1 Q = EF α t t 1

70 Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Ukoliko je ²tap optere en proizvoljnim raspodeljenim optere enjem u pravcu ose ²tapa, komponente vektora ekvivalentnog optere enja dobijaju se kao reakcije obostrano oslonjenog ²tapa, sa promenjenim znakom:

71 Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Prost ²tap kod koga su spre ena pomeranja u pravcu ose ²tapa na oba kraja je jednom stati ki neodrežen nosa Reakcije oslonaca se odrežuju primenom metode sila Ako je aksijalno optere enje konstantno, p x (x) = p = const, reakcije veza su jednake 1/2 rezultante optere enja: pl/2, pa je vektor ekvivalentnog optere enja u tom slu aju jednak Q = { Q1 Q 2 } = { pl 2 pl 2 }

72 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Osnovna jedna ina neoptere enog, (1), ili optere enog ²tapa, (5), formulisana je u lokalnom koordinatnom sistemu Lokalni sistem ²tapa ixyz ima koordinatni po etak u jednom voru, voru i, osa x je u pravcu ose ²tapa, u smeru i k, dok je osa y upravna na ²tap u ravni nosa a, tako da ose xyz ine desni koordinatni sistem Topologija nosa a (u ovom slu aju ravne re²etke) odrežena je u odnosu na globalni koordinatni sistem OXY Z desne orjentacije, pri emu je XY ravan nosa a

73 Lokalni i globalni sistem ƒvorne sile i vorna pomeranja prostog ²tapa prikazani u (a) lokalnom i (b) globalnom sistemu

74 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Za razliku od vektora vornih sila i pomeranja u lokalnom sistemu, koji imaju po dve komponente (jer su u pravcu lokalne ose x), ti isti vektori izraºeni u globalnom sistemu imaju po etiri komponente, po dve u svakom voru u pravcima globalnih osa X i Y : q = q 1 q 2 q 3 q 4 R = R 1 R 2 R 3 R 4

75 Lokalni i globalni sistem Transformacija vorne sile R 1 u voru i iz globalnog u lokalni sistem: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α i obratno, iz lokalnog u globalni sistem: R 1 = R 1 cos α R 2 = R 1 sin α

76 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Ugao koji deni²e poloºaj lokalne ose ²tapa x u odnosu na globalni sistem XY odrežen je sa orjentisanim uglom izmežu globalne ose X i lokalne ose x: α = (X, x) Projektovanjem komponenti u globalnom sistemu R 1 i R 2 na pravac lokalne komponente vorne sile, dobija se R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α Sli no se dobija i za sile u voru k: R 2 = R 3 cos α + R 4 sin α

77 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Napisano u matri nom obliku dobija se relacija { R1 R 2 } = ili u skra enom obliku: [ cos α sin α cos α sin α ] R 1 R 2 R 3 R 4 R = T R (7)

78 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Sa T je ozna ena matrica transformacije: [ ] cos α sin α 0 0 T = 0 0 cos α sin α (8) Analogno izrazu (7) dobija se i za vorna pomeranja q = T q (9) Matrica transformacije prostog (re²etkastog) ²tapa pretstavlja transformaciju vornih veli ina (sila i pomeranja) iz globalnog u lokalni sistem

79 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Imaju i u vidu razlaganje sila u voru i, relacije kojima se prikazuju sile u globalnom sistemu preko sila u lokalnom sistemu, za vor i, date su sa: R 1 = R 1 cos α R 2 = R 1 sin α Analogne relacije vaºe i za vor k: R 3 = R 2 cos α R 4 = R 2 sin α

80 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Napisano u matri nom obliku, ove relacije postaju R 1 R 2 R 3 R 4 = R 1 cos α R 1 sin α R 2 cos α R 2 sin α = cos α 0 sin α 0 0 cos α 0 sin α { R1 R 2 } Ova relacija moºe da se napi²e u obliku R = T T R (10) i pretstavlja transformaciju vornih sila iz lokalnog u globalni sistem

81 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Analogna relacija vaºi i za vorna pomeranja q = T T q Posmatra se osnovna jedna ina neoptere enog ²tapa, odn. veza izmežu generalisanih ( vornih) sila i generalisanih pomeranja u lokalnom sistemu, (1): R = K q Unose i u ovu relaciju vezu (9): q = T q i mnoºe i sa leve strane sa transponovanom matricom transformacije T T, dobija se T T R = T T K T q (11)

82 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Izraz na levoj strani (11) pretstavlja vektor vornih sila u globalnom sistemu, dat sa (10): R = T T R, tako da se dobija: R = T T K T q (12) Relacija (12) moºe da se napi²e u obliku R = K q (13) gde je K matrica krutosti ²tapa u globalnom sistemu K = T T K T (14)

83 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Dakle, relacija (13) pretstavlja osnovnu jedna inu neoptere enog prostog ²tapa u globalnom sistemu Ako je prost ²tap optere en duº svoje ose aksijalnim optere enjem ili temperaturom u osi ²tapa, osnovna jedna ina optere enog ²tapa, u lokalnom sistemu, data je sa (5): R = K q Q (15) Vektor ekvivalentnog optere enja Q pretstavlja vorne sile koje zamenjuju optere enje duº ose ²tapa, izraºene u lokalnom sistemu ²tapa

84 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Prema tome, i za vektor ekvivalentnog optere enja vaºe relacije transformacije iz lokalnog u globalni sistem: Q = T T Q (16) Ako se jedna ina (15) pomnoºi sa leve strane sa transponovanom matricom transformacije ²tapa, dobija se T T R = T T K T q T T Q odn. dobija se osnovna jedna ina optere enog ²tapa u globalnim koordinatama R = K q Q (17)

85 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Matrica krutosti prostog ²tapa u globalnim koordinatama data je sa (14) Ako se uvedu oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica krutosti (14) moºe da se prikaºe u obliku: [ K = T T k k K T = ] k k gde je k = EF l [ λ 2 λµ λµ λ 2 ]

86 Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Vektor ekvivalentnog optere enja Q, dat sa (16), dobija se u obliku λ 0 { } λq 1 Q = T T Q = µ 0 Q1 µq 0 λ = 1 Q 2 λq 2 0 µ µq 2

87 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu Posmatra se puni ²tap tipa k u ravni OXY, dakle ²tap koji je kruto vezan na svojim krajevima i, k Lokalni sistem ²tapa u ravni nosa a je xy, pri emu je koordinatni po etak u (prvom) voru i, a lokalna osa x je u pravcu ose ²tapa, sa smerom i k Kao ²to je re eno, nepoznate veli ine su vorna pomeranja: - u voru i... u i, v i, ϕ i, ili, alternativno q 1, q 2, q 3 - u voru k... u k, v k, ϕ k, ili, alternativno q 4, q 5, q 6 Dakle, ²tap tipa k (beam), kao deo nosa a u ravni, raspolaºe sa 6 stepeni slobode (6 dof)

88 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu: vorne sile i pomeranja tap tipa k je duºine l i od materijala sa konstantnim modulom elasti nosti E Popre ni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama: - povr²ina preseka... F - momenat inercije... J

89 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu tap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni je element punog nosa a u ravni tap tipa k moºe da bude izloºen - aksijalnom naprezanju - savijanju U linearnoj teoriji ²tapa (koja se usvaja), takva dva naprezanja su mežusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju se superpozicijom

90 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu Vektori vornih pomeranja i vornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 6 elemenata sa utvrženim redosledom, prvo za vor i, pa za vor k: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k Sa u i v su ozna ene komponente pomeranja u pravcima osa x i y, dok je ϕ obrtanje oko ose z

91 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Razdvajanje naprezanja kod punih ²tapova Aksijalno naprezanje i savijanje su mežusobno nezavisni u linearnoj teoriji ²tapa Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi se princip superpozicije

92 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu Matrica krutosti i odgovaraju e relacije za ²tap izloºen aksijalnom naprezanju su iste kao ²to je prikazano u razmatranju re²etkastih ²tapova Posmatra se ²tap tipa k izloºen savijanju Za savijanje relevantna su vorna pomeranja - u voru i... v i, ϕ i - u voru k... v k, ϕ k kao i vorne sile - u voru i... T i, M i - u voru k... T k, M k

93 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Analiza savijanja kod punih ²tapova U nezavisnom posmatranju savijanja ²tapa ima po dve nepoznate u svakom voru Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste se oznake q 1, q 2, q 3, q 4, za vorna pomeranja, kao i R 1, R 2, R 3, R 4 za vorne sile Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi se ra una o redosledu nepoznatih

94 Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Po²to se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnog naprezanja, vorne sile i vorna pomeranja, kao i druge veli ine, ozna avaju se sa gornjim indeksom s Vektori vornih pomeranja i vornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 4 elementa: q s = q 1 q 2 q 3 q 4 R s = R 1 R 2 R 3 R 4

95 Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Matrica krutosti ²tapa tipa k Matrica krutosti za slu aj savijanja K s moºe da se izvede na bazi zi kog zna enja elemenata matrice krutosti: Koecijent matrice krutosti k ij pretstavlja vornu silu R i obostrano uklje²tenog ²tapa usled jedini nog vornog pomeranja q j = 1, pri emu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j Reakcije veza obostrano uklje²tene grede za jedini na pomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila

96 Dobijene reakcije vezaza za q 1 = 1 Reakcije veza za q 1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti

97 Matrica krutosti ²tapa tipa k Reakcije veza za svako od jedini nih pomeranja pretstavljaju odgovaraju u kolonu matrice krutosti K s Isprekidanom linijom prikazana je elasti na linija ²tapa (ugibi)

98 Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Matrica krutosti ²tapa tipa k Matrica krutosti K s je kvadratna, simetri na i singularna matrica reda 4 Elementi matrice krutosti dati su sa K s = EJ l l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (18)

99 Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa Q s = Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Elementi vektora ekvivalentog optere enja jednaki su negativnim vrednostima reakcija obostrano uklje²tene grede usled zadatog optere enja

100 Vektor ekvivalentnog optere enja Za jednostavna optere enja postoje gotova re²enja za reakcije veza obostrano uklje²tene grede Za proizvoljno optere enje p y (x) reakcije veza se odrežuju primenom metode sila (za dva puta stati ki neodrežen nosa )

101 Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja za jednakopodeljeno optere enje p y (x) = p = const

102 Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slu aj jednakopodeljenog opter enja p y (x) = p = const dat je sa: Q s p = pl 2 pl 2 12 pl 2 pl2 12 = pl 2 1 l 6 1 l 6

103 Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja Q s u lokalnom sistemu, za slu aj temperaturne razlike t dat je sa: Q s t = E J α t t h Sa α t je ozna en koecijent temperaturne dilatacije, dok je h visina preseka nosa a

104 Matrica krutosti ²tapa tipa k

105 Matrica krutosti ²tapa tipa k Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s odrežuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti ²tapa tipa k je kvadtratna matrica reda 6 Elemeti matrica krutosti K a i K s sme²taju se na odgovaraju e pozicije

106 Matrica krutosti ²tapa tipa k

107 ƒvorna pomeranja i vorne sile ²tapa tipa k

108 Vektor ekvivalentnog optere enja ²tapa tipa k

109 Vektor ekvivalentnog optere enja ²tapa tipa k Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno optere enje konstantnih intenziteta

110 Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slu aj jednako-podeljenog aksijalnog opter enja p x (x) = const, kao i istovremenog jednako-podeljenog transverzalnog opter enja p y (x) = const, dat je sa: Q s p = p xl 2 p yl 2 p yl 2 12 p xl 2 p yl 2 pyl2 12

111 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k tap tipa k, u sastavu nosa a u ravni, zauzima proizvoljan poloºaj u odnosu na globalni koordinatni sistem Poloºaj ²tapa u posmatranom nosa u, koji pripada globalnoj ravni OXY, odrežen je sa poloºajem prvog vora i ²tapa i k, kao i orjentisanim uglom α = (X, x) koji zaklapa lokalna osa ²tapa x prema globalnoj osi X Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnuto odrežene su matricom transformacije T

112 Globalni i lokalni sistem ƒvorna pomeranja i vorne sile ²tapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

113 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Vektori vornih pomeranja i vornih sila imaju po 6 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraºeni u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 6 R =. R 6 q q = 2. q 6 R = R 1 R 2. R 6

114 Globalni i lokalni sistem Prikazi vektora vornih pomeranja i vornih sila ²tapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

115 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Matrica transformacije ²tapa tipa k dobija se kada se, npr., vorne sile u lokalnom sistemu R i izraze preko vornih sila u globalnom sistemu R i Imaju i u vidu da je α = (X, x), dobijaju se slede e relacije, posmatraju i vorne sile u voru i: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α R 2 = R 1 sin α + R 2 cos α (19) R 3 = R 3

116 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Prikazano u matri nom obliku, relacije (19) mogu da se napi²u kao R 1 R 2 R 3 = cos α sin α 0 sin α cos α R 1 R 2 R 3 Relacije (20) mogu da se napi²u u skra enom obliku: (20) R i = t R i (21)

117 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Analogne relacije mogu da se napi²u i za sile u voru k: R k = t R k (22) Matrica t je vorna matrica transformacije Relacije (21) i (22) mogu da se zajedno napi²u u obliku { } [ ] { } Ri t 0 R = i R k 0 t Rk (23) ili u kompaktnijem obliku R = T R (24)

118 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Relacija (24) pretstavlja transformaciju vektora vornih sila iz globalnih u lokalne koordinate Matrica T je matrica transformacije za ²tap Napisano u razvijenom obliku, relacije (24) glase R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 (25)

119 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T data je sa T = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α (26) Matrica transformacije je simetri na kvadratna matrica reda 6

120 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Na isti na in, vaºe relacije izmežu vornih pomeranja q: q = T q (27) kao i izmežu vektora ekvivalentnog optere enja Q: Q = T Q (28) Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalna matrica, odn. njena transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici: T T = T 1 (29)

121 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Imaju i u vidu relacije (24) i (28), kao i svojstvo ortogonalnosti matrice transformacije, vektori vornih sila i vektori ekvivalentnog optere enja, izraºeni u lokalnom sistemu, mogu da se izraze u globalnom sistemu: R = T R R = T T R Q = T Q Q = T T Q (30) Radi skra enog pisanja, koriste se oznake λ = cos α, µ = sin α

122 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Matrica transformacije za vor, kao i njena inverzna matrica, date su λ µ 0 λ µ 0 t = µ λ 0 t 1 = µ λ dok je matrica transformacije za ²tap data sa T = λ µ µ λ λ µ µ λ (31)

123 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Ako su poznate globalne koordinate vorova i i k ²tapa i k: (X i, Y i ), (X k, Y k ), onda se lako izra unavaju elementi matrice transformacije λ i µ za dati ²tap: l = (X k X i ) 2 + (Y k Y i ) 2 λ = 1 l (X k X i ) µ = 1 l (Y k Y i )

124 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Posmatra se osnovna jedna ina neoptere enog ²tapa R = K q Unose i u ovu jedna inu relacije izmežu vornih sila i vornih pomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama: R = T R q = T q dobija se T R = K T q (32)

125 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Ako se jedn. (32) pomnoºi sa transponovanom matricom transformacije sa leve strane, dobija se T T T R = T T K T q Imaju i u vidu ortogonalnost matrice transformacije, T T = T 1, dobija se R = T T K T q (33) ili skra eno, R = K q (34)

126 Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Jedna ina (34) pretstavlja osnovnu jedna inu neoptere enog ²tapa u globalnim koordinatama U toj jedna ini matrica K pretstavlja vezu izmežu vornih sila i vornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da je K matrica krutosti ²tapa u globalnim koordinatama: K = T T K T (35)

127 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

128 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Matrice krutosti ²tapova (punih i re²etkastih) u lokalnim koordinatama zavise od - duºine ²tapa... l - geometrijskih karakteristika popre nog preseka... F, J - karakteristika materijala... E Matrice krutosti ²tapova u globalnim koordinatama zavise jo² i od - poloºaja ²tapa u odnosu na globalni sistem... ugao α = (X, x)

129 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Ulazni podaci o ra unskom modelu (text le) Ulazni podaci koji deni²u ra unski model posmatranog nosa a sastoje se iz slede ih celina: - op²ti podaci o ra unskom modelu (naziv, vrsta analize,... ) - podaci o topologiji nosa a: koordinate vorova i povezanost ²tapova - podaci o popre nim presecima i o materijalima - podaci o grani nim uslovima - podaci o optere enju: osnovni slu ajevi optere enja i kombinacije optere enja U posmatranom nosa u (u ravni, ali i u 3D) svaki vor i svaki ²tap imaju svoj jedinstveni identikacioni broj

130 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Ulazni podaci o ra unskom modelu (text le) Numeracije vorova, kao i ²tapova, mežusobno su nezavisne i po inju sa 1,2,3,... Za svaki vor unose se koordinate ta aka (u globalnom sistemu) Za svaki ²tap unose se globalni brojevi prvog i drugog vora (i, k), pri emu je lokalna x osa orjentisana od i ka k Formiraju se liste razli itih popre nih preseka i razli itih materijala u modelu nosa a Unose se podaci o grani nim uslovima: koji vor je grani ni i kakvi su grani ni uslovi

131 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Ulazni podaci o ra unskom modelu (text le) Unose se podaci o osnovnim slu ajevima optere enja: - naziv slu aja optere enja (eventualno i redni broj) - podaci o koncentrisanim silama i spregovima u vorovima nosa a - podaci o raspodeljenim optere enjima duº osa ²tapova: konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena optere enja - podaci o koncentrisanim optere enjima duº ose ²tapa (mada je mogu e da se ²tap podeli na 2 dela na mestu koncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom voru) - podaci o temperaturnim uticajima duº ose ²tapa Podaci o kombinacijama osnovnih slu ajeva optere enja

132 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti U fazi u itavanja i analize ulaznih podataka svakom voru nosa a dodeljuju se globalni brojevi za vorna pomeranja u tom voru Ti globalni brojevi vornih pomeranja pretstavljaju redne brojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja u ukupnom vektoru generalisanih pomeranja q Za svaki ²tap time su odreženi globalni brojevi vornih pomeranja njegovih vornih ta aka i i k Za sve ²tapove koji su vezani u zajedni koj vornoj ta ki globalni brojevi vornih pomeranja u zajedni kom voru su isti

133 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Prema tome, svaki ²tap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnih stepeni slobode (u i, v i, ϕ i, u k, v k, ϕ k ) i svaka od tih generalisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj Globalni redni brojevi vornih nepoznatih nazivaju se kodni brojevi Za svaki ²tap se formira odgovaraju a matrica krutosti, prvo u lokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu Matrica krutosti ²tapa j u globalnom sistemu ima razdvojene submatrice koje odgovaraju njenim vorovima i i k: k j ii, k j ik, k j ki = k j ik, k j kk ( vorne matrice krutosti)

134 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Posle toga vr²i se sabiranje matrica krutosti po svim elementima (assembly) Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutosti nosa a K i svi elementi se iniciraju sa nulom Zatim se redom, za svaki ²tap j, u globalnu matricu krutosti nosa a unose vorne matrice krutosti k j ii, k j ik, k j ki, k j kk, pri emu se vorne matrice unose u pozicije globalne matrice koje odgovaraju globalnim brojevima vornih pomeranja posmatrane vorne matrice (postupak kodnih brojeva)

135 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Kada se na istoj poziciji nažu vorne matrice krutosti dva ili vi²e ²tapova, elementi matrica vornih krutosti se sabiraju Kada se saberu matrice krutosti svih ²tapova, odn. unesu vorne krutosti svih ²tapova na odgovaraju e pozicije globalne matrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema ²tapova u globalnom sistemu K

136 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje vektora slobodnih lanova Zatim se vr²i formiranje vektora slobodnih lanova u globalnim koordinatama S Vektor slobodnih lanova ine spolja²nje sile koje su direktno koncentrisane u vorovima nosa a, P, kao i vektor ekvivalentnog optere enja koji pretstavlja uticaj spolja²njeg optere enja duº ²tapova nosa a R : S = P + R

137 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Za svaki ²tap koji je optere en duº svoje ose formira se vektor ekvivalentnog optere enja, prvo u lokalnom, a zatim u globalnom sistemu Vektor ekvivalentnog optere enja pripada vorovima i i k ²tapa na kome se nalazi raspodeljeno optere enje Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi) nepoznatih pomeranja u posmatranom voru Ako je vi²e optere enih ²tapova vezano u istom voru, odgovaraju e komponente vektora ekvivalentnog optere enja u tom voru se sabiraju

138 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Na sli an na in se formira i vektor slobodnih lanova, koji je dat kao odgovaraju i zbir vektora koncentrisanih sila u vorovima nosa a, kao i vektora ekvivalentog optere enja koji poti e od optere enja duº ²tapova Tako dobijen sistem jedna ina K q = S ne moºe da se re²i, jer je matrica krutosti sistema ²tapova singularna matrica - nisu uneti grani ni uslovi

139 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

140 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova U vektoru vornih pomeranja q ve i deo su nepoznata generalisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranja oslona kih vorova Ako se nepoznata vorna pomeranja ozna e sa qf, a poznata vorna pomeranja sa qb, onda je mogu e da se izvr²i particija: { } q q = f qb

141 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Takože, mogu e je da se jedna ine ravnoteºe (??) prikaºu u dekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatih i poznatih pomeranja: [ K ff K fb K bf K bb ] { q f q b } = { S f S b Jedna ina (36) moºe da se napi²e u vidu dve jedna ine: } (36) K ff q f + K fb q b = S f K bf q f + K bb q b = S b (37)

142 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Iz prve od jedna ina (37) dobija se vektor nepoznatih vornih pomeranja: q f = K 1 ff (S f K fb q b ) (38) Imaju i u vidu da je S b = R b + Q b iz druge od jedna ina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcija oslonaca: R b = K bf q f + K bb q b Q b (39)

143 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Grani ni uslovi mogu da budu: - homogeni... q b = 0 - nehomogeni... q b 0 U slu aju homogenih grani nih uslova dobija se: 1 vektor nepoznatih vornih pomeranja 2 vektor nepoznatih reakcija veza qf = K 1 ff Sf Rb = Kbf qf Q b = Kbf K 1 ff Sf Q b

144 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova U slu aju nehomogenih grani nih uslova (zadata pomeranja oslonaca), koriste se izrazi (38) i (39) Mežutim, u realnoj implementaciji matri ne analize linijskih nosa a, odn. u izradi odgovaraju ih ra unarskih programa, koriste se drugi pristupi uno²enja grani nih uslova: 1 redukcija matrice krutosti 2 transformacija matrice krutosti Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponenta pomeranja, nepoznatog ili zadatog grani nim uslovima, ima svoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricu krutosti

145 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Redukcija matrice krutosti zna i slede e: - neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn. zadat grani nim uslovom (jednak je nuli) - vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti, uklju uju i i element m u vektoru slobodnih lanova (unesu se nulte vrednosti) - sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatorno se pomere na gore za jedan red, tako ²to red m + 1 dospe u poziciju reda m i tako ²to poslednji red N dospe u poziciju reda N 1 - sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno se pomere levo za jednu kolonu, tako ²to kolona m + 1 dospeva u kolonu m, a poslednja kolona N dolazi u poloºaj kolone N 1

146 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Redukcija matrice krutosti zna i slede e (nastavak): - na taj na in, za jedan grani ni uslov matrica krutosti se smanji za jedan: sa reda N na red N 1 - takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih lanova, vr²i se redom za sve grani ne uslove po generalisanim pomeranjima - time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosi samo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovan vektor slobodnih lanova - tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularna kvadratna simetri na matrica koja ima inverznu matricu

147 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Transformacija matrice krutosti zna i slede e: - neka je zadat grani ni uslov po pomeranjima: q m = 0, gde je m globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q - u matrici krutosti postoje em elementu na glavnoj dijagonali na mestu (m, m), dakle elementu k mm koji odgovara vornom pomeranju q m, dodaje se jako veliki broj - jako veliki broj se dobija kada se najve i broj u matrici krutosti (to je, obi no, neki od elemenata na glavnoj dijagonali) pomnoºi sa, recimo, 10 6

148 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Transformacija matrice krutosti zna i slede e (nastavak): - isto se uradi i sa svim ostalim zadatima grani nim uslovima: na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih (homogenih) grani nih uslova dodaju se veliki brojevi - takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se red matrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima koja odgovaraju zadatim grani nim uslovima, dodaju veliki brojevi - posledica takve transformacije matrice krutosti je da su promenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti koji odgovaraju rednim brojevima vornih pomeranja koja su zadata grani nim uslovima (jednaka su nuli)

149 u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Transformacija matrice krutosti zna i slede e (nastavak): - tako transformisana matrica krutosti nije vi²e singularna (ima inverznu matricu) i sistem jedna ina moºe da se re²i - zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matrice krutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim grani nim uslovima, u re²enju se dobijaju nule za vorna pomeranja koja su zadata homogenim grani nim uslovima (jer se deli sa jako velikim brojem) Metoda transformacije matrice krutosti vi²e je u upotrebi od metode redukcije jer se lak²e implementira u programu