Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)"

Transcript

1 Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

2 : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και να αναγνωρύζουν πεπλεγμϋνεσ ςυναρτόςεισ 1.2 υναρτόςεισ που ορύζονται παραμετρικϊ Ορύζουν τι εύναι παρϊμετροσ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν ςυναρτόςεισ που ορύζονται παραμετρικϊ Η γραφικό παρϊςταςη να γύνει με τη χρόςη αντύςτοιχων τιμών των και y για διϊφορεσ τιμϋσ τησ παραμϋτρου. 2 Βρύςκουν το πεδύο οριςμού και το πεδύο τιμών ςυναρτόςεων που ορύζονται παραμετρικϊ Αναγνωρύζουν πότε ϋνα ςημεύο με ςυντεταγμϋνεσ (χ, ψ) ανόκει ςε καμπύλη η οπούα δύνεται με παραμετρικϋσ εξιςώςεισ Κϊνουν τη γραφικό παρϊςταςη ςυνϊρτηςησ που ορύζεται παραμετρικϊ Απαλεύφουν την παρϊμετρο για να καταλόξουν ςτην καρτεςιανό εξύςωςη τησ, f(χ, ψ) =, όπου εύναι δυνατόν TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 2

3 2. ΠΑΡΑΓΨΓΟ ΤΝΑΡΣΗΗ 2.1 Επανϊληψη Εφαρμόζουν τουσ τύπουσ παραγώγιςησ: c', ' 1 1,, ' v 1 ', e ' e 2 f g' f ' g ', f ' f ',, - ςταθερϊ f g ' f ' g f g ', ' f f ' g f g ' 2 g g ', ' 2 2 ', ' ', ' Βρύςκουν την παρϊγωγο ςύνθετησ ςυνϊρτηςησ Βρύςκουν την παρϊγωγο πεπλεγμϋνησ ςυνϊρτηςησ Βρύςκουν παραγώγουσ ανώτερησ τϊξησ (αν υπϊρχουν) Βρύςκουν την παρϊγωγο τησ αντύςτροφησ μιασ ςυνϊρτηςησ (αν υπϊρχει) Εφαρμόζουν τουσ τύπουσ παραγώγιςησ: ln ' 1, log 1 ' ln, ' ln Να δοθούν παραδεύγματα που περιϋχουν ςυνδυαςμό των περιπτώςεων που αναφϋρονται ςτουσ ςτόχουσ. 3 TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 3

4 : 2.2 Παρϊγωγοι ςυναρτόςεων που ορύζονται παραμετρικϊ Βρύςκουν την πρώτη και τη δεύτερη παρϊγωγο ςυναρτόςεων που δύνονται παραμετρικϊ Εφαρμογϋσ παραγώγων Εφαρμόζουν τουσ κανόνεσ de L Hospitl για να υπολογύζουν όρια που παρουςιϊζουν απροςδιοριςτύα τησ μορφόσ και Βρύςκουν την εξύςωςη και την κλύςη τησ εφαπτομϋνησ μιασ καμπύλησ ςε ςημεύο τησ Ορύζουν την κϊθετη μιασ καμπύλησ ςε ςημεύο τησ Βρύςκουν την εξύςωςη και την κλύςη τησ κϊθετησ μιασ καμπύλησ ςε ςημεύο τησ Ανϊμεςα ςε ϊλλα παραδεύγματα, να δοθούν και αςκόςεισ που απαιτούν την εύρεςη τησ εξύςωςησ τησ εφαπτομϋνησ και τησ κϊθετησ του κύκλου, τησ ϋλλειψησ, τησ παραβολόσ και τησ υπερβολόσ ςε ςημεύο τουσ Διαφορικό ςυνϊρτηςησ Ορύζει και βρύςκει το διαφορικό μιασ ςυνϊρτηςησ 1 TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 4

5 ΓΡΑΥΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ Ειςαγωγό Αναγνωρύζουν ςτη γραφικό παρϊςταςη: α) τα διαςτόματα και τα εύδη τησ μονοτονύασ τησ β) τα ςημεύα τοπικών ακρότατων τησ -μϋγιςτο, ελϊχιςτο-(αν υπϊρχουν) γ) τα ςημεύα ολικών ακρότατων τησ (αν υπϊρχουν) δ) τα διαςτόματα ςτα οπούα ςτρϋφει τα κούλα προσ τα ϊνω ό προσ τα κϊτω ε) τα ςημεύα καμπόσ (αν υπϊρχουν) ςτ) τισ αςύμπτωτεσ τησ (αν υπϊρχουν) Να δοθούν παραδεύγματα γραφικών παραςτϊςεων ςτισ οπούεσ να περιϋχονται οι διϊφορεσ ϋννοιεσ. Να ςυμπεριληφθούν και περιπτώςεισ όπου η ςυνϊρτηςη εύναι οριςμϋνη ςε κλειςτό διϊςτημα. Με παραδεύγματα να φανεύ η χρηςιμότητα τησ μελϋτησ και χϊραξησ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ μιασ ςυνϊρτηςησ, π.χ. η ανϊγκη προςδιοριςμού τησ μεγαλύτερησ ό τησ μικρότερησ τιμόσ ενόσ μεγϋθουσ, κ.ο.κ. Να εξηγηθεύ ςτουσ μαθητϋσ ότι ςτο πλαύςιο αυτόσ τησ ενότητασ θα διδαχθούν θεωρόματα και προτϊςεισ που υποβοηθούν τη ςυγκϋντρωςη πληροφοριών γύρω από τα ςημαντικϊ ςτοιχεύα μιασ καμπύλησ και τη χϊραξη τησ. 3.2 Σο Θεώρημα Μϋςησ Σιμόσ του Διαφορικού Λογιςμού Διατυπώνουν το Θεώρημα Μϋςησ Σιμόσ (Θ.Μ.Σ.) του Διαφορικού Λογιςμού και να εξηγούν τη γεωμετρικό του ςημαςύα Εφαρμόζουν το Θ.Μ.Σ. ςτην απόδειξη ϊλλων θεωρημϊτων και ςτην επύλυςη αςκόςεων. Σο θεώρημα δύνεται χωρύσ απόδειξη. Η απόδειξη του εύναι ϋξω από τουσ ςτόχουσ του αναλυτικού προγρϊμματοσ. Γύνεται μόνο εποπτικό επαλόθευςη του θεωρόματοσ. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 5

6 ΔΙΔΑΚΣΕΑ ΤΛΗ ΣΟΦΟΙ ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΕ ΠΕΡ. 3.3 Μονοτονύα ςυνϊρτηςησ Ορύζουν την αύξουςα/φθύνουςα/γνηςύωσ αύξουςα/γνηςύωσ φθύνουςα/ςταθερό ςυνϊρτηςη ςε διϊςτημα Δ Διατυπώνουν και να εφαρμόζουν ςτη μελϋτη τησ μονοτονύασ ςυνεχούσ ςυνϊρτηςησ το κριτόριο: και Αν μια ςυνάρτηςη f είναι οριςμένη ςε διάςτημα R παραγωγίζεται ςε κάθε ςημείο προτάςεισ είναι ιςοδύναμεσ:, τότε οι πιο κάτω δύο α) Ιςχύει f (χ) (αντίςτοιχα f (χ) ) για κάθε, επιπλέον όμωσ δεν υπάρχει κανένα υποδιάςτημα του Δ τέτοιο ώςτε η f (χ) να μηδενίζεται ςε κάθε ςημείο του υποδιαςτήματοσ αυτού. β) Η ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ αύξουςα (αντιςτοίχωσ γνηςίωσ φθίνουςα) ςτο διάςτημα Δ. Να γύνεται και εποπτικό υποςτόριξη του κριτηρύου. 3.4 Σοπικϊ ακρότατα Ορύζουν την τοπικϊ μϋγιςτη/τοπικϊ ελϊχιςτη τιμό μιασ ςυνϊρτηςησ Ορύζουν τα ςημεύα τοπικών ακρότατων τησ γραφικόσ παρϊςταςησ μιασ ςυνϊρτηςησ. Διακρύνουν μεταξύ τησ τοπικϊ μϋγιςτησ/ελϊχιςτησ τιμόσ και τησ ολικϊ μϋγιςτησ/ελϊχιςτησ τιμόσ μιασ ςυνϊρτηςησ. Διατυπώνουν και να αποδεικνύουν την αναγκαύα ςυνθόκη για να εύναι ϋνα εςωτερικό ςημεύο του πεδύου οριςμού μιασ παραγωγύςιμησ ςυνϊρτηςησ, ςημεύο τοπικού ακρότατου (θεώρημα του Fermt): Να τονιςτεύ ότι ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςε κλειςτό διϊςτημα ϋχει ολικϊ μϋγιςτη και ολικϊ ελϊχιςτη τιμό. Να δοθεύ και εποπτικό υποςτόριξη του θεωρόματοσ. Να τονιςτεύ ότι το αντύςτροφο του θεωρόματοσ δεν ιςχύει κατ ανϊγκη, π.χ. ςτα.κ. Μπορούν επύςησ να δοθούν και παραδεύγματα ςυναρτόςεων που ϋχουν ακρότατο ςε ςημεύο χ, χωρύσ να υπϊρχει η f ', π.χ y, καθώσ και περιπτώςεισ ακρότατων τιμών ςτα ϊκρα του Αν η f/δ παρουςιάζει ςτο εςωτερικό ςημείο χ του Δ τοπικό ακρότατο (μέγιςτο ή ελάχιςτο) και υπάρχει η f '( ), τότε είναι f '( ). Π.Ο. ςυνϊρτηςησ f/[α,β], χωρύσ κατ ανϊγκη μηδενικό παρϊγωγο, π.χ. y,,. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 6

7 `Διατυπώνουν και να αποδεικνύουν το θεώρημα (κριτόριο τησ α' παραγώγου): Έςτω f ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη ςε διάςτημα, και με, f '. α) Αν, είναι f ' και, f ', τότε η τιμή f είναι τοπικά μέγιςτη. είναι Μπορεύ να τονιςτεύ ότι το θεώρημα ιςχύει και ςτην περύπτωςη όπου η ' f δεν υπϊρχει ςτο και να δοθούν παραδεύγματα όπωσ 2 y 3, y, κ.ϊ. β) Αν, είναι f ' και, f ', τότε η τιμή f είναι τοπικά ελάχιςτη. είναι Χρηςιμοποιούν το κριτόριο τησ πρώτησ παραγώγου για την εύρεςη των ακρότατων τιμών ςυνϊρτηςησ. Διατυπώνουν και να εφαρμόζουν ςτην εύρεςη ακρότατων τιμών ςυνϊρτηςησ το θεώρημα (κριτόριο τησ β' παραγώγου): Έςτω f παραγωγίςιμη ςε διάςτημα Δ και χ εςωτερικό ςημείο του Δ για το οποίο ιςχύει f ' και υπάρχει η '' Αν f '', τότε η τιμή Αν f '', τότε η τιμή f : f είναι τοπικά μέγιςτη. f είναι τοπικά ελάχιςτη. Να τονιςτεύ από αυτό το ςτϊδιο ότι, ςτην περύπτωςη όπου f ' και η f δεν αλλϊζει πρόςημο εκατϋρωθεν του χ, τότε το ςημεύο, f εύναι ςημεύο καμπόσ. Η απόδειξη του θεωρόματοσ εύναι ϋξω από τουσ ςτόχουσ του αναλυτικού προγρϊμματοσ. Μπορεύ όμωσ να δοθεύ εποπτικό επαλόθευςη του θεωρόματοσ. Οι μαθητϋσ να καθοδηγηθούν να επιλϋγουν το καταλληλότερο, κατϊ την περύπτωςη, κριτόριο για το χαρακτηριςμό τοπικών ακρότατων. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 7

8 3.5 Κούλη/κυρτό ςυνϊρτηςη ημεύα καμπόσ Ελϋγχουν την κοιλότητα/κυρτότητα του διαγρϊμματοσ μιασ ςυνϊρτηςησ από το πρόςημο τησ β' παραγώγου τησ Ορύζουν τα ςημεύα καμπόσ του διαγρϊμματοσ μιασ ςυνϊρτηςησ (αλλαγό από κούλα προσ τα ϊνω ςε κούλα προσ τα κϊτω και αντύςτροφα). Να δοθούν παραδεύγματα διαγραμμϊτων και να ςχολιαςτεύ ότι η εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο καμπόσ του διαγρϊμματοσ τησ ςυνϊρτηςησ «διαπερνϊ» το διϊγραμμα. Να δοθούν και παραδεύγματα όπου η κλύςη τησ εφαπτομϋνησ εύναι μηδενικό ό απειρύζεται. Δικαιολογούν με χρόςη διαγρϊμματοσ ότι, αν ςημεύο P, y εύναι ςημεύο καμπόσ, τότε f '' ό δεν υπϊρχει η ''. Εφαρμόζουν το κριτόριο εύρεςησ ςημεύων καμπόσ: f ςτο Να τονιςτεύ η πρακτικό ςημαςύα τησ πρόταςησ, ότι δηλαδό τα ςημεύα καμπόσ του διαγρϊμματοσ μιασ ςυνϊρτηςησ αναζητούνται ςτισ ρύζεσ τησ β παραγώγου τησ ςυνϊρτηςησ (ανεξαρτότωσ του μηδενιςμού ό μη τησ α' παραγώγου). Αν ςτο ςημείο του πεδίου οριςμού ςυνάρτηςησ f '' και η '' το ςημείο, ( ) f. f είναι f αλλάζει πρόςημο εκατέρωθεν του, τότε P f είναι ςημείο καμπήσ του διαγράμματοσ τησ Εφαρμόζουν το κριτόριο εύρεςησ ςημεύων καμπόσ: Αν ςτο ςημεύο χ του πεδύου οριςμού ςυνϊρτηςησ f εύναι f ' και η f δεν αλλϊζει πρόςημο εκατϋρωθεν του ςημεύου χ, τότε το ςημεύο P, f ( ) εύναι ςημεύο καμπόσ TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 8

9 3.6 Αςύμπτωτεσ ευθεύεσ του διαγρϊμματοσ ςυνϊρτηςησ Ορύζουν και να βρύςκουν τισ κατακόρυφεσ αςύμπτωτεσ του διαγρϊμματοσ μιασ ςυνϊρτηςησ Ορύζουν και να βρύςκουν τισ οριζόντιεσ αςύμπτωτεσ του διαγρϊμματοσ μιασ ςυνϊρτηςησ την εύρεςη των κατακόρυφων αςύμπτωτων και των οριζόντιων αςύμπτωτων να εφαρμόζεται ο οριςμόσ. Βρύςκουν τισ πλϊγιεσ αςύμπτωτεσ ςυναρτόςεων τησ μορφόσ y h, όπου g βαθμόσ του του g. h και g ακϋραια πολυώνυμα και ο h εύναι κατϊ μύα μονϊδα μεγαλύτεροσ του βαθμού 3.7 Γραφικϋσ παραςτϊςεισ ςυναρτόςεων Μελετούν και να παριςτϊνουν γραφικϊ ςυναρτόςεισ των μορφών: α) Πολυωνυμικόσ μορφόσ. β) Σησ μορφόσ y f, όπου f και g g πολυώνυμα. γ) Τπερβατικϋσ, των μορφών τουσ, όπωσ, y e, y ln( ), κ.ο.κ. y y 2 e, e, y ln και ςυνδυαςμούσ 1 y e, y ln, 3.8 Προβλόματα μεγύςτων και ελαχύςτων Εφαρμόζουν το κριτόριο ακρότατων ςτην επύλυςη προβλημϊτων TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 9

10 4. ΑΝΣΙΣΡΟΥΕ ΣΡΙΓΨΝΟΜΕΣΡΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ Επανϊληψη Ορύζουν πότε μια ςυνϊρτηςη f : A, A, εύναι 1-1 από τον τύπο ό τη γραφικό τησ παρϊςταςη. Αναγνωρύζουν πότε μια ςυνϊρτηςη f : 1-1 από τον τύπο ό τη γραφικό τησ παρϊςταςη. A, A, εύναι Αναγνωρύζουν πότε μια ςυνϊρτηςη f ϋχει αντύςτροφη ςυνϊρτηςη. 4.2 Αντύςτροφεσ τριγωνομετρικϋσ ςυναρτόςεισ Ορύζουν τισ αντύςτροφεσ τριγωνομετρικϋσ ςυναρτόςεισ, περιορύζοντασ κατϊλληλα το πεδύο οριςμού των αντύςτοιχων τριγωνομετρικών ςυναρτόςεων Βρύςκουν την παρϊγωγο των αντύςτροφων τριγωνομετρικών ςυναρτόςεων. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

11 5. ΑΟΡΙΣΟ ΟΛΟΚΛΗΡΨΜΑ Οριςμόσ Ορύζουν το αόριςτο ολοκλόρωμα ωσ την αντιπαρϊγωγο μιασ ςυνϊρτηςησ f d F c F '( ) f ( ). 5.2 Σύποι βαςικών ολοκληρωμϊτων Αναφϋρουν τα βαςικϊ ολοκληρώματα 1 d c, d c, 1 1 Θα πρϋπει να τονιςτεύ ότι η ςυνϊρτηςη πρϋπει να εύναι ςυνεχόσ, για να υπϊρχει το ολοκλόρωμα τησ. Οι τύποι των βαςικών ολοκληρωμϊτων να χρηςιμοποιηθούν ωσ παραδεύγματα για την εμπϋδωςη του οριςμού. d ln c, e d e c, d c ln, d c, d c, 2 d c, 2 d c d c, d c d c, d 1 c Προςδιορύζουν τη ςταθερϊ c, όταν δύνεται η κατϊλληλη ςυνθόκη. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 11

12 5.3 Ιδιότητεσ Να αναφϋρουν και να εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ του διαφορικού ςτα ολοκληρώματα d d c d c 1 d d d Αναφϋρουν και να εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ του αόριςτου ολοκληρώματοσ df f c f d f d, α ςταθερϊ f g d f d g d ' f u u d f u du Να εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ ςτα βαςικϊ ολοκληρώματα, π.χ. f d 1 f d f f ' d f df, 1 ' f df d ln f c f f g g e g ' d e c g g g ' d c ln ' g g d g c κτλ TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 12

13 5.4 Ολοκλόρωςη με αντικατϊςταςη Τπολογύζουν ολοκληρώματα με αλγεβρικό και τριγωνομετρικό αντικατϊςταςη Να δοθούν παραδεύγματα, όπωσ: α) τριγωνομετρικϊ ολοκληρώματα ςτα οπούα ο παρονομαςτόσ εύναι ϊθροιςμα ό διαφορϊ τριγωνομετρικών αριθμών, ό ολοκληρώματα ρητών τριγωνομετρικών ςυναρτόςεων y f, β), f d TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 13 γ) Ολοκληρώματα των μορφών: f, d, f, d, f, d, f, d, f, d. τισ δύςκολεσ περιπτώςεισ η αντικατϊςταςη θα δύνεται. Τπολογύζουν τριγωνομετρικϊ ολοκληρώματα Να δοθούν παραδεύγματα, όπωσ: α) 21 2 d, d β) 2 d, γ) d 2 d, δ) d 2 d

14 5.5 Ολοκλόρωςη κατϊ παρϊγοντεσ Χρηςιμοποιούν τη μϋθοδο τησ παραγοντικόσ ολοκλόρωςησ ςτον υπολογιςμό ολοκληρωμϊτων. 5.6 Ολοκλόρωςη ρητών ςυναρτόςεων υπολογύζουν ολοκληρώματα ρητών ςυναρτόςεων τησ μορφόσ f d, οπού f και g g ακϋραια πολυώνυμα, κατόπιν ανϊλυςησ ςε ϊθροιςμα απλών κλαςμϊτων. Να δοθούν και παραδεύγματα όπου ο βαθμόσ του f εύναι μεγαλύτεροσ ό ύςοσ με το βαθμό του g. Επύςησ, παραδεύγματα όπου ο παρονομαςτόσ g καλύπτει τισ ακόλουθεσ περιπτώςεισ: α) Οι ρύζεσ του g εύναι πραγματικϋσ και ϊνιςεσ. β) Μερικϋσ από τισ πραγματικϋσ ρύζεσ του g εύναι πολλαπλότητασ μεγαλύτερησ του ϋνα. γ) Μερικϋσ από τισ ρύζεσ του g εύναι μιγαδικϋσ, αλλϊ βαθμού πολλαπλότητασ ϋνα. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 14

15 6. ΟΡΙΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΨΜΑ Οριςμόσ και υπολογιςμόσ οριςμϋνου ολοκληρώματοσ Ορύζουν το οριςμϋνο ολοκλόρωμα ωσ ϊθροιςμα: f d lim f 1 Αναφϋρουν τον τύπο του οριςμϋνου ολοκληρώματοσ όπου f d F F ολοκλόρωμα τησ f F αόριςτο και να τον εφαρμόζουν ςτην εύρεςη οριςμϋνων ολοκληρωμϊτων Τπολογύζουν οριςμϋνα ολοκληρώματα με αντικατϊςταςη. Να προςεχθεύ η ςυνϋχεια ςυνϊρτηςησ ςτο διϊςτημα [α, β]. Να δοθούν αςκόςεισ ώςτε να τονιςτεύ η ςημαςύα του οριςμού. 6.2 Ιδιότητεσ αναφϋρουν και να αποδεικνύουν τισ ιδιότητεσ του οριςμϋνου ολοκληρώματοσ f d, f d f u du Να λυθούν αςκόςεισ και με την αλλαγό των ορύων και με επιςτροφό ςτην αρχικό μεταβλητό. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 15

16 f d f d f d f d f d f g d f d g d 6.3 Εφαρμογϋσ Εφαρμόζουν το οριςμϋνο ολοκλόρωμα για να υπολογύζουν: Η εύρεςη του όγκου που παρϊγεται από περιςτροφό επύπεδου χωρύου γύρω από α) Εμβαδόν χωρύου που περικλεύεται από μια καμπύλη, τον ευθεύα ό y, αφόνεται ςτην ϊξονα των χ (ό των ψ) και τισ ευθεύεσ χ = α και χ = β (ό ψ = κρύςη του καθηγητό, ο οπούοσ θα δρϊςει α και ψ = β) ςύμφωνα με τισ δυνατότητεσ των μαθητών. β) εμβαδόν χωρύου που περικλεύεται μεταξύ των καμπύλων y f y f και των ευθειών χ = α και 1 και 2 f y και f y χ = β (ό των καμπύλων των ευθειών ψ = α και ψ = β) 1 και γ) Όγκο ςτερεών εκ περιςτροφόσ γύρω από ϋναν από τουσ ϊξονεσ των ςυντεταγμϋνων, όταν η καμπύλη δύνεται με καρτεςιανό εξύςωςη 2 TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 16

17 7. ΤΝΔΤΑΣΙΚΗ Αρχό τησ απαρύθμηςησ και εφαρμογϋσ Ορύζουν το ν! Διατυπώνουν και να εφαρμόζουν ςτη λύςη προβλημϊτων την αρχό τησ απαρύθμηςησ. Αποδεικνύουν και να εφαρμόζουν ςτη λύςη αςκόςεων και προβλημϊτων τουσ τύπουσ: α) των μεταθέςεων των ν διαφορετικών αντικειμένων β) των κυκλικών μεταθέςεων των ν διαφορετικών αντικειμένων γ) των επαναληπτικών μεταθέςεων των ν αντικειμένων δ) των διατάξεων των ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ ε) των επαναληπτικών διατάξεων των ν αντικειμένων ανά κ ςτ) των ςυνδυαςμών των ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ 7.2 Ιδιότητεσ των ςυνδυαςμών ν ανϊ κ Αποδεικνύουν και να εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ: και TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 17

18 8. ΘΕΨΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΨΝ 14 Πιθανότητεσ Αναφϋρουν από τη θεωρύα των ςυνόλων τισ βαςικϋσ ϋννοιεσ, πρϊξεισ και ιδιότητεσ. Γνωρύζουν τι εύναι το πεύραμα τύχησ και τα απλϊ ενδεχόμενα του. Ορύζουν το δειγματικό χώρο ενόσ πειρϊματοσ τύχησ. Να αναφερθούν οι τύποι του de Morgn: A B ' A' B ' A B ' A' B ' Ορύζουν την πιθανότητα ενόσ ενδεχομϋνου κατϊ Lplce και να εφαρμόζουν τον οριςμό ςτη λύςη προβλημϊτων. Γνωρύζουν τουσ βαςικούσ οριςμούσ και πρϊξεισ μεταξύ των ενδεχομϋνων. Γνωρύζουν την αξιωματικό θεμελύωςη τησ θεωρύασ πιθανοτότων (αξιώματα Kolmogorov). Αποδεικνύουν με τη θεωρύα των ςυνόλων και να εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ των πιθανοτότων: ' 1, ' P A P A P A B P A P A B P A B P A P B P A B Γνωρύζουν την ϋννοια τησ δεςμευμϋνησ ό υπό ςυνθόκη πιθανότητασ και να εφαρμόζουν τον τύπο του Byes ςτη λύςη προβλημϊτων. Γνωρύζουν την ϋννοια των ανεξϊρτητων ενδεχομϋνων. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 18

19 9. ΠΙΝΑΚΕ 6 Πύνακεσ Γρϊφουν ςύνολο πληροφοριών υπό μορφό πύνακα. Ορύζουν τον πύνακα μν και να ςυμβολύζουν τυχαύο ςτοιχεύο του. Αναγνωρύζουν τισ μορφϋσ πινϊκων (πύνακασ-γραμμό, πύνακασ-ςτόλη, μηδενικόσ, τετραγωνικόσ, διαγώνιοσ, μοναδιαύοσ, ςυμμετρικόσ, αντιςυμμετρικόσ πύνακασ) Αναγνωρύζουν πότε δύο πύνακεσ μν εύναι ύςοι. Προςθϋτουν και να αφαιρούν πύνακεσ ύδιασ τϊξησ. Εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ του αθρούςματοσ πινϊκων. Πολλαπλαςιϊζουν πύνακα επύ πραγματικό αριθμό. Εφαρμόζουν τισ ιδιότητεσ του πολλαπλαςιαςμού αριθμού επύ πύνακα. Να αναγνωρύζουν πότε δύο πύνακεσ εύναι ςύμφωνοι για πολλαπλαςιαςμό. Βρύςκουν το γινόμενο πινϊκων (μν) (νρ). Να ορύζουν τον αντύςτροφο πύνακα και να εφαρμόζουν τισ ςχετικϋσ ιδιότητεσ. Βρύςκουν τον αντύςτροφο ενόσ πύνακα 2 2. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 19

20 1. ΓΕΨΜΕΣΡΙΚΟΙ ΣΟΠΟΙ Αναφϋρουν απλούσ Γεωμετρικούσ Σόπουσ (Γ.Σ.) από την Ευκλεύδειο Γεωμετρύα. 4 Εκφρϊζουν την ιδιότητα των ςημεύων του Γ.Σ. υπό μορφό ςχϋςησ μεταξύ των ςυντεταγμϋνων τυχόντοσ ςημεύου του Γ.Σ. Βρύςκουν την καρτεςιανό εξύςωςη τησ καμπύλησ πϊνω ςτην οπούα βρύςκονται τα ςημεύα του Γ.Σ. Βρύςκουν την καρτεςιανό εξύςωςη του Γ.Σ. αν οι ςυντεταγμϋνεσ του τυχόντοσ ςημεύου του Γ.Σ. δύνονται ςτη μορφό f t, y g t ή f t, y g t, με απαλοιφό, των παραμϋτρων. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 2

21 11. ΚΨΝΙΚΕ ΣΟΜΕ Κύκλοσ Ορύζουν τον κύκλο ωσ Γ.Σ. και να βρύςκουν την εξύςωςη του y R, όταν δύνεται το κϋντρο Κ(α, β) και η ακτύνα R. Αναφϋρουν τη γενικό εξύςωςη του κύκλου 2 2 y g fy c 2 2 και να εκφρϊζουν το κϋντρο και την ακτύνα του, ςε ςυνϊρτηςη με τισ ςταθερϋσ g, f και c 2 2 K g, f R g f c. Αναγνωρύζουν πότε μια εξύςωςη τησ μορφόσ 2 2 y y παριςτϊνει κύκλο. Εφαρμόζουν τα πιο πϊνω ςτη λύςη αςκόςεων. Αναφϋρουν τισ δυνατϋσ θϋςεισ μιασ ευθεύασ ωσ προσ τον κύκλο. Να γύνει φανερό ςτουσ μαθητϋσ ότι η χρόςη γνώςεων από την Ευκλεύδειο Γεωμετρύα μπορεύ να απλοποιόςει πολύ την επύλυςη αςκόςεων και προβλημϊτων. Βρύςκουν τη θϋςη μιασ ευθεύασ ωσ προσ τον κύκλο. Βρύςκουν την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ και τησ κϊθετησ κύκλου ςε ςημεύο του, T y. 1 1 Βρύςκουν τισ εξιςώςεισ των εφαπτόμενων του κύκλου: α) όταν εύναι γνωςτό η κλύςη τουσ και β) όταν ϊγονται από ςημεύο εκτόσ του κύκλου. Αναφϋρουν τισ δυνατϋσ θϋςεισ δύο κύκλων. Βρύςκουν τη θϋςη δύο δεδομϋνων κύκλων. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 21

22 Ορύζουν, ςυμβολύζουν και υπολογύζουν τη δύναμη ςημεύου Σ ωσ προσ κύκλο (Κ,R). Βρύςκουν τη θϋςη ςημεύου Σ ωσ προσ κύκλο (Κ, R) με τη βοόθεια τησ δύναμησ Δκ (Σ) του ςημεύου Σ. Αναφϋρουν τισ παραμετρικϋσ εξιςώςεισ κύκλου με κϋντρο Κ(α, β) και ακτύνα R και να τισ εφαρμόζουν ςτη λύςη αςκόςεων Γενικϊ περύ κωνικών τομών Αναγνωρύζουν τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ τησ παραβολόσ, τησ ϋλλειψησ και τησ υπερβολόσ (και του κύκλου ωσ ειδικόσ περύπτωςησ τησ ϋλλειψησ) Να παρουςιαςτούν γραφικϋσ παραςτϊςεισ των καμπύλων και να αναλυθούν και να ςχολιαςτούν προηγούμενεσ γνώςεισ γι' αυτϋσ. Ορύζουν τισ κωνικϋσ τομϋσ ωσ επύπεδεσ τομϋσ ορθού κυκλικού κώνου και να διακρύνουν τισ προώποθϋςεισ κϊτω από τισ οπούεσ μπορεύ να προκύψει το κϊθε εύδοσ καμπύλησ. Αναφϋρουν βαςικϋσ ιδιότητεσ τησ κϊθε κωνικόσ τομόσ και τισ πρακτικϋσ εφαρμογϋσ των ιδιοτότων αυτών Να εξηγηθεύ ότι μπορεύ να οριςτούν ωσ επύπεδεσ τομϋσ κώνου και ωσ γεωμετρικού τόποι με βϊςη χαρακτηριςτικϋσ ιδιότητεσ τουσ. Με τον οριςμό των καμπύλων ωσ επύπεδων τομών κώνου μπορεύ να γύνει και ςύντομη ιςτορικό αναφορϊ ςτη μελϋτη τουσ. Να παρουςιαςτούν βαςικϋσ ιδιότητεσ των καμπύλων και πρακτικϋσ εφαρμογϋσ τουσ. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 22

23 11.3 Παραβολό Ορύζουν την παραβολό ωσ το γεωμετρικό τόπο των ςημεύων του επιπϋδου τα οπούα απϋχουν εξύςου από δοθϋν ςημεύο (εςτύα) και δοθεύςα ευθεύα (διευθετούςα). Βρύςκουν, με βϊςη τον οριςμό τησ παραβολόσ, την καρτεςιανό τησ εξύςωςη. Ορύζουν τη γεωμετρικό ςημαςύα τησ παραμϋτρου α ςτην εξύςωςη ² 4 τησ παραβολόσ. Αφού γύνει η γραφικό παρϊςταςη τησ ψ 2 = 4αχ, α >, οι ϊλλεσ περιπτώςεισ να προκύψουν απλϊ ωσ μεταςχηματιςμού τησ. Ειδικϊ για την περύπτωςη τησ χ 2 = 4αψ να τονιςτεύ ότι αυτό εύναι γνωςτό από την Α' Λυκεύου. Παριςτϊνουν γραφικϊ τισ παραβολϋσ ψ 2 = 4αχ και χ 2 = 4αψ. Ορύζουν και να βρύςκουν ςε δοθεύςα παραβολό τα ςτοιχεύα τησ: εςτύα, διευθετούςα, κορυφό, ϊξονασ ςυμμετρύασ, διϊμετροσ, χορδό, ορθό πλϊτοσ (ltus rectum). Βρύςκουν την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ και τησ κϊθετησ ςε ςημεύο Σ(χ, ψ) τησ παραβολόσ. Βρύςκουν τισ δυνατϋσ θϋςεισ ευθεύασ ωσ προσ παραβολό. Αναφϋρουν και να χρηςιμοποιούν τισ παραμετρικϋσ εξιςώςεισ τησ παραβολόσ. Μπορεύ να αναφερθεύ ςτουσ μαθητϋσ η ιδιότητα του παραβολικού κατόπτρου και να δοθούν παραδεύγματα εφαρμογόσ ςτην καθημερινό ζωό. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 23

24 11.4 Έλλειψη Ορύζουν την ϋλλειψη ωσ το γεωμετρικό τόπο των ςημεύων του επιπϋδου των οπούων το ϊθροιςμα των αποςτϊςεων, από δύο δοθϋντα ςημεύα του επιπϋδου (εςτύεσ), εύναι ςταθερό. Μπορεύ να αναφερθεύ και ο τρόποσ χϊραξησ τησ ϋλλειψησ με ςυνεχό κύνηςη. Βρύςκουν, με βϊςη τον οριςμό τησ ϋλλειψησ, την καρτεςιανό τησ εξύςωςη. 2 2 y Παριςτϊνουν γραφικϊ την ϋλλειψη 1,. 2 2 (αντύςτοιχα α < β) και να βρύςκουν τα ςτοιχεύα τησ, εςτύεσ, κορυφϋσ, ϊξονεσ, κϋντρο, χορδό, διϊμετρο. 2 2 y Τπολογύζουν την εκκεντρότητα τησ ϋλλειψησ 1 από τισ 2 2 τιμϋσ των παραμϋτρων α και β και να αναγνωρύζουν τη ςημαςύα τησ εκκεντρότητασ ςτον καθοριςμό τησ μορφόσ τησ ϋλλειψησ. Να τονιςτεύ ότι η ιδιότητα αυτό αποτελεύ ιςοδύναμο οριςμό τησ ϋλλειψησ. Η απόδειξη τησ ιδιότητασ να ζητηθεύ ωσ ϊςκηςη. Αναφϋρουν και να αποδεικνύουν ότι ο λόγοσ των αποςτϊςεων του τυχαύου ςημεύου Σ(χ, ψ) τησ ϋλλειψησ από την εςτύα Ε (γ, ) και τη διευθετούςα ευθεύα : : ϋλλειψησ. (αντύςτοιχα Ε' (-γ, ) και ) εύναι ςταθερόσ και ιςούται με την εκκεντρότητα τησ Βρύςκουν την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ και τησ κϊθετησ ςε ςημεύο Σ(χ 1, ψ 1 ) τησ ϋλλειψησ. Βρύςκουν τη θϋςη ςημεύου Σ (χ 1, ψ 1) ωσ προσ ϋλλειψη. Βρύςκουν τισ δυνατϋσ θϋςεισ ευθεύασ ωσ προσ ϋλλειψη. Αναφϋρουν, να δικαιολογούν και να χρηςιμοποιούν τισ παραμετρικϋσ εξιςώςεισ τησ ϋλλειψησ. Να μην αφιερωθεύ πολύσ χρόνοσ για αποδεύξεισ ςτην τϊξη, αφού η διαδικαςύα εύναι γνωςτό. Μπορεύ να αναφερθεύ ςτουσ μαθητϋσ η ανακλαςτικό ιδιότητα ελλειπτικού κατόπτρου και να δοθούν παραδεύγματα πρακτικών εφαρμογών. TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 24

25 ΙΟΚΕΛΗ ΤΠΡΒΟΛΗ (y=c²) Ορύζουν την υπερβολό ωσ το γεωμετρικό τόπο των ςημεύων του επιπϋδου των οπούων η διαφορϊ των αποςτϊςεων από δύο ςταθερϊ ςημεύα του επιπϋδου (εςτύεσ) ϋχει ςταθερό απόλυτη τιμό. Ορύζουν την ειδικό περύπτωςη τησ ιςοςκελούσ υπερβολόσ με εςτύεσ Ε(α,α) και Ε (-α, -α) και με απόλυτη τιμό τησ διαφορϊσ των αποςτϊςεων κϊθε ςημεύου τησ από τισ εςτύεσ 2α, α>. Βρύςκουν, με βϊςη τον οριςμό, την καρτεςιανό εξύςωςη τησ ιςοςκελούσ υπερβολόσ με εςτύεσ Ε(α,α) και Ε (-α, -α) και με απόλυτη τιμό τησ διαφορϊσ των αποςτϊςεων κϊθε ςημεύου τησ από τισ εςτύεσ ύςη με 2α, α>. Να μελετηθεύ μόνο η περύπτωςη τησ ιςοςκελούσ υπερβολόσ η οπούα ϋχει ωσ αςύμπτωτεσ τουσ ϊξονεσ των ςυντεταγμϋνων. Παριςτϊνουν γραφικϊ την ιςοςκελό υπερβολό y=c 2, (αντύςτοιχα y= - c 2 ) και ορύζουν τα ςτοιχεύα τησ: εςτύεσ, κορυφϋσ, ϊξονεσ, κϋντρο, αςύμπτωτεσ, χορδϋσ, διϊμετροι. Βρύςκουν την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ και τησ κϊθετησ τησ ιςοςκελούσ υπερβολόσ ςε ςημεύο τησ. Αναφϋρουν και να χρηςιμοποιούν τισ παραμετρικϋσ εξιςώςεισ τησ ιςοςκελούσ υπερβολόσ y=c 2. ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΧΗ Να γύνει επύλυςη αςκόςεων και προβλημϊτων για εμπϋδωςη και κατανόηςη των εννοιών τησ κϊθε ενότητασ. Να γύνει επύλυςη αςκόςεων και προβλημϊτων που ςυνδϋουν ϋννοιεσ και γνώςεισ από διαφορετικϋσ ενότητεσ και περιοχϋσ. 12 TAΞΗ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 25

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικά. Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικά Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ) Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Επανϊληψη ύλησ τησ Α' Λυκεύου (5 περύοδοι). Απόλυτη τιμό πραγματικού αριθμού (5 περύοδοι) 3. υναρτόςεισ, πεδύο οριςμού, πεδύο τιμών, ιςότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΧΗ ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Β'ΣΑΞΗ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και δεξιοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ δοκύμια, φύλλα εργαςύασ, αςκόςεισ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Α' ΣΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη.

ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη. ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ λϋγεται ϋνα ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, το οπούο παύρνει τιμϋσ μϋςα από ϋνα ςύνολο Α. Σο Α λϋγεται πεδύο οριςμού. Αν το πεδύο οριςμού εύναι υποςύνολο του ςυνόλου των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ.

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ. Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ. Αμϋςωσ μετϊ ο Χαμπϊσ-αλ-Χαςύμπ δημιούργηςε την εφαπτομϋνη. Η εφαπτομϋνη εύναι το ιδανικό εργαλεύο για την μϋτρηςη του ύψουσ.

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4 Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 1 Περιεχόμενα Προτϊςεισ επανϊληψησ Προτϊςεισ Διακλϊδωςησ Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 2 Προτάςεισ επανάληψησ Οι προτϊςεισ επανϊληψησ (iterative ό loop

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Ρητοί Αριθμοί Πρόσθεση και αφαίρεση Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Στόχοσ : Αθρούςμα δύο ρητών αριθμών Αςκόςεισ 1. Να βρεύτε τα αθρούςματα : α. (+ 5 ) + (+ 19) β. 2) + ( 12) γ. ( ) ( ) δ. ( ) ε. ( ) Βαςικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Τρίγωνα -Κφρια και δευτερεφοντα στοιχεία τριγώνου Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ τόχοσ 1 : Κύρια ςτοιχεύα τριγώνου Αςκόςεισ 1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ. Να ορύςετε τα κύρια ςτοιχεύα του. Να βρεύτε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ

Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Θέμα Α Α.1 γ Α.2 β Α.3 γ Α.4 γ Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ Α.5 α Σ, β Λ, γ Σ, δ Λ, ε Λ Θέμα Β Β.1 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Στην θϋςη ιςορροπύασ τησ m1

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά ΕΓΦΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΗΗ ΕΡΓΑΛΕΙΨΝ ΑΝΑΓΝΨΡΙΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ύπαρξη ϋγκυρων και αξιόπιςτων εργαλεύων αναγνώριςησ χαριςματικών μαθητών κρύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ τισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ

ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ Τμθμα: Χρηματοοικονομικθς και Τραπεζικθς Διοικητικθς Εξάμηνο: Γ Μ. Ανθρωπέλοσ. Άςκηςη 1 α) Γρϊψτε το πρόβλημα ςτην τυποποιημϋνη του μορφό.

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 6. Δομ. Προγραμ. - Συναρτόςεισ - Διϊλεξη 6

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 6. Δομ. Προγραμ. - Συναρτόςεισ - Διϊλεξη 6 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 6 1 Αφαιρετικότητα ςτισ διεργαςύεσ Συνϊρτηςεισ Δόλωςη, Κλόςη και Οριςμόσ Εμβϋλεια Μεταβλητών Μεταβύβαςη παραμϋτρων ςε ςυναρτόςεισ Μηχανιςμόσ Κλόςησ Συνϊρτηςησ 2 Διεργαςύα : βαςικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι 6 Δεκεμβρύου 2015 ΕΙΑΓΩΓΗ Με την παραγώγιςη μιασ ςυνϊρτηςησ ϋςτω F(x) παύρνουμε μια ϊλλη ςυνϊρτηςη,

Διαβάστε περισσότερα

Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Διδακτικό Μαθηματικών ΙΙ. Μϊθημα 9 ο Αξιολόγηςη

Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Διδακτικό Μαθηματικών ΙΙ. Μϊθημα 9 ο Αξιολόγηςη Διδακτικό Μαθηματικών ΙΙ Μϊθημα 9 ο Αξιολόγηςη 1. Μαθηματικϊ: περιεχόμενο ςχολικών Μαθηματικών διϊρθρωςη «ύλησ» η αξιολόγηςη ςυνόθωσ επικεντρώνεται ςε ανϊκληςη αςύνδετων πληροφοριών και λεπτομερειών. Αντύ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο 1 Οριςμοί Ζννοια τησ Λογιςτικήσ Εύναι μϋςο παροχόσ οικονομικών πληροφοριών προσ διϊφορεσ ομϊδεσ ενδιαφερομϋνων για την πορεύα μιασ επιχεύρηςησ που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ

ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη Ευαγγελύα Καβϊλα Οκτώβριοσ 2018 Θεωρία χαρτοφυλακίου Η θεωρύα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΑΓΩΓΗ ~ 1 ~ τυλιανού. 1 Σο ςχϋδιο μαθόματοσ ςυζητόθηκε με το ςύμβουλο του μαθόματοσ τησ Νϋασ Ελληνικόσ Γλώςςασ κ. Μϊριο

1. ΕΙΑΓΩΓΗ ~ 1 ~ τυλιανού. 1 Σο ςχϋδιο μαθόματοσ ςυζητόθηκε με το ςύμβουλο του μαθόματοσ τησ Νϋασ Ελληνικόσ Γλώςςασ κ. Μϊριο ΔΙΚΣΤΟ ΤΝΕΡΓΑΙΑ ΧΟΛΕΙΩΝ ΔΗΜΟΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ Οικείοσ επιθεωρητήσ: Δρ Ανδρέασ Κυθραιώτησ Α' ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΧΟΛΕΙΟ ΓΕΡΙΟΤ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΗ ΤΝΑΝΣΗΗ ΔΙΕΤΘΤΝΣΩΝ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει

Διαβάστε περισσότερα

E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ

E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ 1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΗ-Ι-04/07/2008 ΘΕΜΑ 1 ο Οριζόντια απαραμόρφωτη ρϊβδοσ ΟΟ' (θεωρεύται αβαρόσ) ςτηρύζεται με ϊρθρωςη ςτο ςημεύο Ο και κρϋμεται όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1 Περιεχόμενα Πύνακεσ Αλφαριθμητικϊ Σκοπόσ μαθόματοσ: Να αναγνωρίζετε πότε είναι απαραίτητη η χρήςη του τύπου του πίνακα, Να δώςετε παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ

1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ -4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Αν =e t και y=e t να δείξετε ότι : y d y +χ dy = d d Αν χ= d d t και ψ=τοξημt,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακασ τεχνικών και λειτουργικών προδιαγραφών. Πλόρεσ ελληνικό περιβϊλλον (interface) για Διαχειριςτϋσ, Εκπαιδευτϋσ, Εκπαιδευόμενουσ

Πίνακασ τεχνικών και λειτουργικών προδιαγραφών. Πλόρεσ ελληνικό περιβϊλλον (interface) για Διαχειριςτϋσ, Εκπαιδευτϋσ, Εκπαιδευόμενουσ Τλοποίηςη προγραμμάτων με την μέθοδο τησ τηλεκατάρτιςησ 1 Τλοπούηςη προγραμμϊτων με την μϋθοδο τησ τηλεκατϊρτιςησ δύναται να λϊβει χώρα μετϊ από πλόρωσ αιτιολογημϋνο αύτημα του Κλαδικού Υορϋα (Αναδόχου),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αβεβαιότητεσ ςτον υπολογιςμό τησ δόςησ των επαγγελματικά εκτιθεμένων ςε ιοντίζουςα ακτινοβολία

Αβεβαιότητεσ ςτον υπολογιςμό τησ δόςησ των επαγγελματικά εκτιθεμένων ςε ιοντίζουςα ακτινοβολία Αβεβαιότητεσ ςτον υπολογιςμό τησ δόςησ των επαγγελματικά εκτιθεμένων ςε ιοντίζουςα ακτινοβολία Παναγιώτησ Αςκούνησ www.eeae.gr www.eeae.gr 1 Τμόμα Δοςιμετρύασ Προςωπικού Το Τμόμα Δοςιμετρύασ βρύςκεται

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Μαθηματικά στην εκπαίδευση: Επίλυση προβλήματος - Ρεαλιστικά Μαθηματικά

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Μαθηματικά στην εκπαίδευση: Επίλυση προβλήματος - Ρεαλιστικά Μαθηματικά ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Ειδικά Θέματα Μαθηματικών Μαθηματικά στην εκπαίδευση: Επίλυση προβλήματος - Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ ΘΕΜΑ A Α. Μονάδεσ 10 Μονάδεσ 5 Μονάδεσ 4 4 Ε. 1 Μονάδεσ 2 Ε. 2 Μονάδεσ 5 ΣΕΛΟ 1Η ΕΛΙΔA

ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ ΘΕΜΑ A Α. Μονάδεσ 10 Μονάδεσ 5 Μονάδεσ 4 4 Ε. 1 Μονάδεσ 2 Ε. 2 Μονάδεσ 5 ΣΕΛΟ 1Η ΕΛΙΔA ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΔΙΑΓΨΝΙΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΤΡΙΑΚΗ 17 ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2016 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΕΥΑΡΜΟΓΨΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΠΟΤΔΨΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΨΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ [1] ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών, ενταγμϋνη ςτουσ γενικότερουσ ςκοπούσ τησ Εκπαύδευςησ, ςτοχεύει ςτην ολοκλόρωςη του μαθητό ςε επύπεδο προςωπικότητασ και κοινωνικόσ του ϋνταξησ.

Διαβάστε περισσότερα

Η Διαύρεςη 134:5. Η Διαύρεςη 134:5. Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ

Η Διαύρεςη 134:5. Η Διαύρεςη 134:5. Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ Μάθημα 4 ο Η διαίρεςη (ςυνέχεια) Είδη ερωτήςεων Η Διαύρεςη 134:5 Μεριςμού Θϋλω να μοιρϊςω 134 ςε 5 Μέτρηςησ Θϋλω να βρω πόςεσ ομϊδεσ των 5 υπϊρχουν ςτο 134 Αντίςτροφη του πολλαπλαςιαςμού

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Θεωρία, στη σελίδα 260 του σχολικού βιβλίου (Θ. Fermat). Α2. Θεωρία, στη σελίδα 169 του σχολικού βιβλίου.

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Θεωρία, στη σελίδα 260 του σχολικού βιβλίου (Θ. Fermat). Α2. Θεωρία, στη σελίδα 169 του σχολικού βιβλίου. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Πέμπτη, 9/6/6 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω Έζηω ζπλάξηεζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο f γηα γηα ηελ ηελ νπνία νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: ςυνεόσ είλαη ζπλερήο ςτο [α,β] ζην [α,β] f(α)=f(β) παξαγωγίζηκε ζην (α,β) f(α)=f(β) Σόηε ππάξρεη έλα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγόσ πουδών 2014-2015

Οδηγόσ πουδών 2014-2015 Οδηγόσ πουδών 2014-2015 ΕΞ ΑΠΟΣΑΕΨ ΕΠΙΜΟΡΥΨΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «Νεοελληνικό Λογοτεχνύα & Χηφιακϋσ Σεχνολογύεσ» ΚΕΝΣΡΟ ΔΙΑ ΒΙΟΤ ΜΑΘΗΗ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΥΙΛΟΛΟΓΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΨΑΝΝΙΝΨΝ Ειςαγωγικϊ τοιχεύα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΟΓΙΚΟΣ ΦΑΡΤΗΣ ΤΟΥ ΣΑΚΦΑΡΩΓΗ ΓΙΑΒΗΤΗ ΣΤΗΝ ΔΛΛΑΓΑ

Ο ΟΓΙΚΟΣ ΦΑΡΤΗΣ ΤΟΥ ΣΑΚΦΑΡΩΓΗ ΓΙΑΒΗΤΗ ΣΤΗΝ ΔΛΛΑΓΑ Ο ΟΓΙΚΟΣ ΦΑΡΤΗΣ ΤΟΥ ΣΑΚΦΑΡΩΓΗ ΓΙΑΒΗΤΗ ΣΤΗΝ ΔΛΛΑΓΑ 1 Ο Σακχαρώδησ Διαβότησ (ΣΔ) εύναι μια μεταβολικό διαταραχό και αποτελεύ ϋνα από τα ςυχνότερα χρόνια νοςόματα και μια από τισ ςημαντικότερεσ αιτύεσ πρόωρησ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ.

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ. Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ. Ειςαγωγό των mid-terms exams (Για το τμόμα μασ 22/11/2016 και ώρα 10.00-11.00).Προςοχή είναι υποχρεωτική η ςυμμετοχή ςασ (ποςοςτό 20%).

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων Ενημερωτικό ημείωμα Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων -Σι προβλέπει η νομοθετική ρύθμιςη για την προ-πτωχευτική διαδικαςία εξυγίανςησ επιχειρήςεων; Με την προτεινόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου

Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου ΑΝΑΛΤΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΑΡΙΜΑΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΕΙΑΓΩΓΗ το πλαύςιο του ερευνητικού προγρϊμματοσ, ϋγινε ςυγγραφό αναλυτικού

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c,

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c, Σύγχρονο www.asma.ro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο sit του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 2018

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 2018 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 18 ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΘΕΜΑ Α Α1. Πότε η ευθεία : λέγεται κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

α = 2q + r με 0 r < 2 Πιθανϊ υπόλοιπα: r = ο: α = 2q r = 1: α = 2q + 1 Ευκλεύδεια διαύρεςη Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών Διαιρετότητα

α = 2q + r με 0 r < 2 Πιθανϊ υπόλοιπα: r = ο: α = 2q r = 1: α = 2q + 1 Ευκλεύδεια διαύρεςη Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών Διαιρετότητα Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών 8 ο Μάθημα Διαιρετότητα Ευκλεύδεια διαύρεςη Για κϊθε ζεύγοσ ακεραύων αριθμών α, β με β 0, υπϊρχει μοναδικό ζεύγοσ ακεραύων q, r ϋτςι ώςτε: α = βq + r με 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ 2. ΣΟΙΦΕΙΑ ΗΛΕΚΣΡΙΚΩΝ ΚΤΚΛΩΜΑΣΩΝ

ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ 2. ΣΟΙΦΕΙΑ ΗΛΕΚΣΡΙΚΩΝ ΚΤΚΛΩΜΑΣΩΝ ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ 1.1 Ειςαγωγό 1.1 1.2 υμβολιςμού και μονϊδεσ 1.3 1.3 Υορτύο, τϊςη και ενϋργεια 1.5 1.4 Γραμμικότητα 1.7 1.5 Φρονικό αμεταβλητότητα 1.11 1.6 Αιτιότητα 1.11 1.7 υγκεντρωμϋνα

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος 2015-2016 Κεφάλαιο 1ο Παράγραφοι: 1.1, 1.2 Κεφάλαιο 2ο Παράγραφοι: 2.3, 2.4 Κεφάλαιο 3ο Παράγραφοι: 3.1, 3.3 Κεφάλαιο 4ο Παράγραφοι: 4.1, 4.2 Κεφάλαιο 6ο Παράγραφοι:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

α. η ελϊχιςτη μεταβολό μόκουσ που μπορεύ να υποςτεύ ϋνα αρχικό μόκοσ L=10cm επύ τησ επιφϊνειασ του ςώματοσ. ε ε ]=[ 3 ε ε ε

α. η ελϊχιςτη μεταβολό μόκουσ που μπορεύ να υποςτεύ ϋνα αρχικό μόκοσ L=10cm επύ τησ επιφϊνειασ του ςώματοσ. ε ε ]=[ 3 ε ε ε 1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ - 16/12/2011 Θϋμα 1ο το επύπεδο ςώμα του ςχόματοσ ϋχουν επικολληθεύ τρύα ηλεκτρομ/ρα όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Οι ενδεύξεισ εύναι α 1=3μ,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 19/05/2017 8:00 11:00

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Περί δημιουργικότητας (συνέχεια) Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Περί δημιουργικότητας (συνέχεια) Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Ειδικά Θέματα Μαθηματικών Περί δημιουργικότητας (συνέχεια) Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

19/10/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων. Δομή του μαθήματοσ

19/10/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων. Δομή του μαθήματοσ Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων Δημότρησ Μιχελϊκησ Τμόμα Εφαρμοςμϋνησ Πληροφορικόσ και Πολυμϋςων Σχολό Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5)

ΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5) ΘΕΜΑ Ο ΟΚΙΜΑΙΑ- (ΜΟΝΑΕ 6) (α) Να αποδεύξετε ότι οι αριθμού -3 3-3 7 = -+ και = - 4-4 6 εύναι αντύςτροφοι. (β) Αριθμότοιχοσ: Αν κϊθε αριθμόσ εύναι ύςοσ με το ϊθροιςμα των δύο αριθμών που βρύςκονται κϊτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

19/10/2009. Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations. Σήμερα... Τφποι ερωτήςεων (Queries)

19/10/2009. Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations. Σήμερα... Τφποι ερωτήςεων (Queries) Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations Δημότρησ Μιχελϊκησ Τμόμα Εφαρμοςμϋνησ Πληροφορικόσ και Πολυμϋςων Σχολό Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρότησ dimmihel@epp.teicrete.gr

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη.

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονϊδεσ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

1.ΕΘΝΙΚΕ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΕ ΠΑΡΑΔΟΕΙ ΓΙΑ ΣΟΝ ΣΟΚΕΣΟ

1.ΕΘΝΙΚΕ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΕ ΠΑΡΑΔΟΕΙ ΓΙΑ ΣΟΝ ΣΟΚΕΣΟ 1.ΕΘΝΙΚΕ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΕ ΠΑΡΑΔΟΕΙ ΓΙΑ ΣΟΝ ΣΟΚΕΣΟ Ο τοκετόσ εύναι ϋνα ςημαντικό κοινωνικό και ςυναιςθηματικό γεγονόσ όχι μόνο για τη γυναύκα, αλλϊ και για την οικογϋνειϊ τησ και ύςωσ και για ολόκληρη την

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Πρόσθεση-αφαίρεση Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα