Matematika 1 4 dalis

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika 1 4 dalis"

Ἀγαπητός Κούνδουρος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių.

2 Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios kreivės K lygtimi Dekarto koordinatėse vadinama du kintamuosius x ir y siejanti lygtis f(x,y) = 0, kurią tenkina kiekvieno kreivės taško koordinatės, bet netenkina kitų plokštumos taškų koordinatės: M 0 x 0, y 0 K M 1 x 1, y 1 K f x 0, y 0 =0; f x 1, y 1 0; Viena plokštumos kreivių yra tiesė. Jos padėtį galima nusakyti keliais būdais. 2

3 Bendroji tiesės lygtis Tiesė T apibrėžiama tašku M 0 (x 0,y 0 ), per kurį eina šį tiesė, ir tiesei T statmenu nenulinių vektoriumi n=(a,b), vadinamu tiesės normaliuoju vektoriumi (normalę). Tegu M(x,y) bet kuris tiesės T taškas. Tuomet n M 0 M n M 0 M =0. 3

4 Kadangi Bendroji tiesės lygtis M 0 M = x x 0, y y 0, n= a,b, a x x 0 b y y 0 =0. todėl Šią lygtį galima perrašyti paprasčiau: a x b y a x 0 b y 0 =0, pažymėję -ax 0 -by 0 = c, gausime lygtį a x b y c=0. Ji vadinama bendrąja tiesės lygtimi. 4

5 Bendroji tiesės lygtis Horizontaliosios tiesės atveju (tiesė lygiagreti Ox ašiai) nenulinis vektorius n yra vertikalus (lygiagretus Oy ašiai). Todėl n=( 0, b). Jam statmenos tiesės T lygtis yra tokia: b y c=0 y= c b y=const. Vertikaliosios tiesės atveju nenulinis vektorius tokia: n=(a, 0). a x c=0 x= c x=const. a Jos lygtis Norint nubrėžti tiesę, kurios lygtis yra žinoma, pakanka rasti du šios tiesės taškus, t.y. jų koordinates. Taško koordinatės randamos vieno kintamojo reikšmę parinkę laisvai, o kito apskaičiavus iš tiesės lygties. 5

Kryptinė tiesės lygtis Gulsčiosios (horizontaliosios arba pasvirusios) tiesės T padėtį vienareikšmiškai galima nusakyti tašku B(0,b), kuriame tiesė kerta Oy ašį, ir kampu α, kurį tiesė

6 Kryptinė tiesės lygtis Gulsčiosios (horizontaliosios arba pasvirusios) tiesės T padėtį vienareikšmiškai galima nusakyti tašku B(0,b), kuriame tiesė kerta Oy ašį, ir kampu α, kurį tiesė sudaro su Ox ašimi (0 0 α < 180 0, α 90 0 ). Norėdami gauti tokios tiesės lygtį, imkime bet kurį tiesės tašką M(x,y) ir tiesei statmeną vienetinį vektorių n 0 = cos 90 0,sin 90 0 = sin, cos. 6

7 Taigi tiesės T lygtis yra tokia: Kryptinė tiesės lygtis sin, cos x 0, y b =0 xsin y b cos =0. Kadangi tiese T yra gulsčioji, tai α 90 0 ir cos α 0. Gauname y= tg x b. Kintamojo x koeficientas tg α žymimas raide k ir vadinamas tiesės krypties koeficientu. Gavome lygtį, kuri vadinama tiesės kryptinę lygtį: y=k x b. Jei tiesė yra horizontalioji, tai α = 0 ir tiesės lygtis yra y = b. 7

8 Tiesės, einančios per žinomą tašką žinoma kryptimi, lygtis Gulsčiosios tiesės T padėtį vienareikšmiškai galima nusakyti tiesės tašku M 0 (x 0,y 0 ) ir kampu α, kurį ji sudaro su Ox ašimi. Iš kryptinės lygties gauname, kad ir iš čia - Gulsčiosios tiesės T padėtį vienareikšmiškai galima nusakyti tiesės tašku M 0 (x 0,y 0 ) ir tiesės krypties vektoriumi kuris yra lygiagretus tiesei T: k=tg α y 0 =k x 0 +b, b= y 0 k x 0, y=kx y 0 k x 0. y y 0 =k( x x 0 ). l=(l x,l y ), l M 0 M y y 0 l y = x x 0 l x. Gavome tiesės, einančios per žinomą tašką žinoma kryptimi, lygtį. 8

9 Tiesės, einančios per du taškus, lygtis Gulsčiosios nehorizontaliosios tiesės padėtį vienareikšmiškai galima nusakyti žinant du skirtingus tiesės taškus M 1 (x 1,y 1 ) ir M 2 (x 2,y 2 ). Tiesės lygtį gausime iš tiesės, einančios per žinomą tašką žinoma kryptimi, lygties. Tiesės krypties vektorius: l= M 1 M 2 =( x 2 x 1, y 2 y 1 ). Gauname tiesės, einančios per du taškus, lygtį: y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1. 9

10 Ašinė tiesės lygtis Sakykime, kad pasviroji tiesė Ox ir Oy ašyse atkerta nenulines atkarpas a ir b. Tuomet tiesė eina per taškus M 1 (a,0) ir M 2 (0,b). Iš aukščiau sudarytos lygties gauname: arba y 0 b 0 = x a 0 a x a y b =1. Ši lygtis vadinama ašine tiesės lygtimi. 10

11 Taško atstūmas nuo tiesės Atstumas h nuo taško M 0 (x 0, y 0 ) iki tiesės T: ax + by + c = 0 yra statmens, nuleisto iš taško M 0 (x 0, y 0 ) į tiesę T, ilgis. Imkime bet kurį tiesės tašką M 1 (x 1,y 1 ). Tada h yra lygus vektoriaus M 0 M 1 projekcijos į krypties n=(a,b) ašį moduliui: h= pr n M 0 M 1 = M 0 M 1 cosφ. Panaudodami tiesės T normaliojo vektoriaus ortą (vienetinio ilgio krypties vektorių): gauname Kadangi M 1 (x 1,y 1 ) priklauso tiesei T, turime ax 1 + by 1 + c = 0, ax 1 + by 1 = - c, todėl gauname n 0 = n n = ( h= M 0 M 1 n 0 cos φ = M 0 M 1 n 0 = a a 2 +b 2, h= a x 0 b y 0 c a 2 b 2. n=(a,b) b a 2 +b 2), (x 1 x 0 )a a 2 +b +( y 1 y 0 )b 2 a 2 +b 2 = a x 1+b y 1 (a x 0 +b y 0 ) a 2 +b. 2 11

12 Kampas tarp dviejų tiesių Turime tieses T 1 : y = k 1 x + b 1 ir T 2 : y = k 2 x + b 2 su k 1 = tg α 1 ir k 2 = tg α 2. Kampas tarp tiesių φ = α 2 - α 1. Gauname tg =tg 2 2 = tg 2 tg 1 1 tg 2 tg 1 = k 2 k 1 1 k 1 k 2. Jei šis reiškinys yra teigiamas, tai kampas φ yra smailusis, o jei neigiamas - bukasis. Smailusis kampas randamas iš formulės =arctg k 2 k 1 1 k 1 k 2. Kai turime dviejų tiesių bendrąsias lygtis: T 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ir T 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, tai kampą tarp jų apskaičiuojame kaip kampą tarp atitinkamų normaliųjų vektorių: cosϕ= n n 1 2 n 1 n = a 1 a 2 +b 1 b a b 1 a 2 2 +b. 2 12

13 Dviejų tiesių tarpusavio padėtis Jei tieses užduotos kryptinėmis lygtimis: T 1 : y = k 1 x + b 1 ; T 2 : y = k 2 x + b 2, tiese T 1 statmena tiesei T 2 tada ir tik tada, kai 1 + k 1 k 2 = 0 arba k 2 = -1/k 1 Jei tieses užduotos bendrosiomis lygtimis: T 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ir T 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, tai T 1 T 2 a 1 a 2 +b 1 b 2 =0, T 1 T 2 a 1 a 2 = b 1 b 2, T 1 =T 2 a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2. 13

Σχετικά έγγραφα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento