Credit Risk Διάλεξη 1

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Credit Risk Διάλεξη 1 Εκτιμώντας πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές αγοράς Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr 1

2 Υπολογίζοντας απλές αποδόσεις με πιστωτικό κίνδυνο r i = r 0 + cp i r 0 = Βασικό επιτόκιο δανεισμού (διάρκεια, κλάδος, είδος, νόμισμα κτλ) r i = Επιτόκιο δανεισμού για τον δανειολήπτη i cp i = Credit risk premium για τον δανειολήπτη i R i = Απόδοση για κάθε ευρώ από τον δανεισμό στον δανειολήπτη i. R i είναι τυχαία μεταβλητή 1+ E[R i ] = (1-p i )x(1+r i ) + p i xg i όπου p i είναι η πιθανότητα αθέτησης υποχρεώσεων του δανειολήπτη i και g i το εκτιμώμενο ποσοστό ανάκτησης (recovery rate). Το σωστό cp i είναι αυτό που: (1) είναι τόσο υψηλό για να καλύψει την θετική πιθανότητα αθέτηση και (2) τόσο χαμηλό έτσι ώστε να μην αυξήσει περαιτέρω τη πιθανότητα p i. (r i και p i είναι πιθανώς θετικά συσχετισμένα). 2

3 Εκμαιεύοντας την πιθανότητα αθέτησης Οι τιμές των r i είναι σε αρκετές περιπτώσεις στοιχεία της αγοράς (market data). Σε περίπτωση δανεισμού, r i είναι το σταθερό επιτόκιο που θα προσφερόταν για ένα νέο δανεισμό, ενώ σε περίπτωση ομολογίας είναι το yield to maturity (απόδοση στην λήξη) της ίδιας διάρκειας. Χρησιμοποιώντας αυτά τα στοιχεία μπορούμε να εκμαιεύσουμε την πιθανότητα αθέτησης που βλέπει η αγορά για τον συγκεκριμένο δανειολήπτη (implied probability of default). Υπάρχει ένας απλός τρόπος για να γίνει αυτός ο υπολογισμός υποθέτοντας ουδετερότητα στον κίνδυνο (risk neutrality): Στηριζόμαστε στην υπόθεση ότι ο δανειστής είναι αδιάφορος ανάμεσα στην επιλογή επένδυσεων με την ίδια αναμενόμενη απόδοση. 1+ E[R i ] = (1-p i )x(1+r i ) + p i xg i = 1 + r f εξίσωση αδιαφορίας (indifference equation) όπου r f είναι η επένδυση αντίστοιχης διάρκειας μηδενικού κινδύνου. i f i 1 ri gi Επομένως, p r r που μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. 3

4 Υπολογίζοντας την πιθανότητα αθέτησης (δύο περίοδοι) Η ίδια ιδέα μπορεί να εφαρμοστεί και σε περισσότερες από μία περιόδους. Σκοπός είναι ο υπολογισμός μέσα από τα στοιχεία της αγοράς των πιθανοτήτων αθέτησης υποχρέωσης σε κάθε ένα χρόνο ξεχωριστά. Θέλουμε δηλαδή να υπολογίσουμε τις περιθώριες/δεσμευμένες πιθανότητες αθέτησης πληρωμών (marginal probabilities of default) με βάση τα υπάρχοντα στοιχεία δανεισμού: P(D ) και P(D D c i 1 i 2 1 Τη πρώτη πιθανότητα την έχουμε ήδη υπολογίσει. Για τη δεύτερη, εργαζόμαστε αναλόγως με τη μόνη διαφορά ότι θα πρέπει να απομονώσουμε τις αποδόσεις από το πρώτο στο δεύτερο χρόνο. ) 4

5 Υπολογίζοντας την πιθανότητα αθέτησης (δύο περίοδοι) Πρώτα υπολογίζεται η υποσχόμενη απόδοση από το πρώτο στο δεύτερο χρόνο (forward promised rate), f i (2) 1 r i(2) 1 fi(2) 1 r i(1) όπου r i (2) είναι η ετήσια υποσχόμενη απόδοση για δανεισμό δύο χρόνων στον δανειολήπτη i (ή διαφορετικά η απόδοση στην λήξη). 2 Παρομοίως, για τον δανεισμό μηδενικού κινδύνου έχουμε την απόδοση από το πρώτο στο δεύτερο χρόνο (one year forward rate): 1 f (2) f 1 rf (2) 1 r (1) f 2 5

6 Υπολογίζοντας την πιθανότητα χρεοκοπίας (δύο περίοδοι) Η εξίσωση αδιαφορίας για το δεύτερο χρόνο (υποθέτοντας το ίδιο ποσοστό ανάκτησης) γίνεται: 1 f Επομένως, f (2) P(D D c c i 2 1 ) ( 1 fi(2)) ( 1 P(D i 2 D1 P(D D i 2 c 1 fi(2) ff (2) ). 1 f (2) g i i )) g i Υπενθυμίζουμε ότι c c Pi (D2 ) P(D i 1) P(D i 2 D1 ) P(D i 1) P(D i 2 D1 ) Pi (D1 Χρησιμοποιείται ο συμβολισμός c ). 6

7 Εκμαιεύοντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές των ομολόγων Κεντρική ιδέα: 1. Συγκρίνουμε την διαφορά των τιμών ενός ομολόγου που έχει default risk με το αντίστοιχο ομόλογο (ίδιας διάρκειας και νομίσματος) που θεωρείται risk free. 2. Αυτή η διαφορά στη τιμή μπορεί να θεωρηθεί η αναμενόμενη απώλεια από τη αθέτηση του εκδότη της ομολογίας. 3. Η αναμενόμενη απώλεια για κάθε χρόνο είναι συνάρτηση της πιθανότητας αθέτησης και του ποσοστού ανάκτησης. Παραδοχές/Υποθέσεις: i. Ο μοναδικός κίνδυνος που έχει η ομολογία είναι ο πιστωτικός κίνδυνος (δεν λογίζονται δηλαδή άλλοι κίνδυνοι, όπως πχ ο κίνδυνος ρευστότητας, ανάκλησης, αλλαγής φορολογίας κλπ). ii. Τίθενται παραδοχές σχετικά με τον ακριβή χρόνο που θα συμβεί (αν συμβεί) η χρεοκοπία σε κάθε έτος. iii. Η αγορά είναι ουδέτερη στον κίνδυνο. 7

8 Παράδειγμα Έστω τα εξής δεδομένα: a. Ομολογία 6%/5yrs με 6μηνη καταβολή κουπονιών και ονομαστική αξία 100, έχει αγοραστική αξία 95,34 (ή ισοδύναμα απόδοση στην λήξη 7,13%). b. Τα ετήσια επιτόκια προεξόφλησης είναι 5% (risk-free, ετήσιος ανατοκισμός). Επομένως, η αναμενόμενη απώλεια από τον κίνδυνο αθέτησης είναι: Αξία ομολογίας χωρίς πιστωτικό κίνδυνο αγοραστική αξία ομολογίας = 104,38-95,34 =9,04. Εxpected lossesupto 5 years Expected lossesat year 1 Expected lossesat year... Expected lossesat year Expected losses at year t = q(t) x losses at year t. όπου q(t) είναι η μη δεσμευμένη πιθανότητα αθέτησης στον χρόνο t. Δηλαδή, c c q( 1) P( D1 ), q(2) P( D2 D1 ), q(3) P( D3 D2 )... Υπόθεση: Η αθέτηση θα συμβεί (αν συμβεί) στην μέση της χρονιάς t (παραδοχή ii.) και το ποσοστό ανάκτησης είναι σταθερό στο 50% μέχρι και τη λήξη

9 Παράδειγμα Χρόνος Αξία ομολογίας Απώλεια από αθέτηση Παράγοντας προεξόφλησης ΠΑ Αναμενόμενης απώλειας 0,5 106, , ,97561 q(1)52,18 1,5 106, , , q(2)49,29 2,5 105, , , q(3)46,54 3,5 104,428 52, , q(4)43,92 4,5 103, ,7439 0, q(5)41,43 Expected total losses = 52,18xq(1) + 49,49xq(2) ,43xq(5) Υποθέτοντας επιπλέον σταθερές πιθανότητες q(t)=q για κάθε t: Expected total losses = 233,39xq Θέτοντας αυτή την τιμή ίση με 9,04, έχουμε q=3,87%. Παρατηρήστε ότι υποθέτοντας σταθερές πιθανότητες, οι περιθώριες πιθανότητες αυξάνονται όσο περνάει ο χρόνος. 9

10 Μη σταθερές πιθανότητες (παράδειγμα) Βγάζοντας την υπόθεση των σταθερών πιθανοτήτων θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και άλλες τιμές ομολόγων (με διαφορετικές ωριμάνσεις). Ας δούμε πως γίνεται η διαδικασία μέσα από ακόμα ένα παράδειγμα. Παράδειγμα Μια εταιρεία έχει εκδώσει 2 ομολογίες 4%/3yrs και 4%/5yrs με ετήσια καταβολή κουπονιών και τιμές 98,35 και 96,24 (δηλ. αποδόσεις στη λήξη 4,6% και 4,85% αντίστοιχα). Έστω ότι τα επιτόκια προεξόφλησης είναι 3,5% και το ποσοστό ανάκτησης σταθερό και ίσο με 40%. Πρώτα υπολογίζουμε την πιθανότητα αθέτησης για τα πρώτα 3 χρόνια με βάση τη πρώτη ομολογία: Χρόνος Αξία ομολογίας Απώλεια από αθέτηση Παράγοντας προεξόφλησης ΠΑ Αναμενόμενης απώλειας 0,5 103, , , ,82x q(3) 1,5 102, , , ,48x q(3) 2,5 102, , , ,23x q(3) 10

11 Μη σταθερές πιθανότητες χρεωκοπίας (παράδειγμα) Επίσης, αν δεν υπήρχε καθόλου credit premium, η τιμή της πρώτης ομολογίας θα ήταν: ,4 2 3 (1 0,035) (1 0,035) (1 0,035) Επομένως, θα πρέπει 1,738% είναι η πιθανότητα αθέτησης για κάθε έναν από τα τρία πρώτα έτη. Ομοίως για την πενταετή ομολογία θα έχουμε: 175,54 q(3) 101,4 98,35 q( 3) 1,738% Χρόνος Αξία ομολογίας Απώλεια από αθέτηση Παράγοντας προεξόφλησης ΠΑ Αναμενόμενης απώλειας 0,5 104, , , ,33 q(3) 1,5 103,588 62, , q(3) 2,5 103, , , ,74 q(3) 3,5 102, , , ,56 q(5) 4,5 102, , , ,46 q(5) 11

12 Μη σταθερές πιθανότητες χρεωκοπίας (παράδειγμα) Επίσης, αν δεν υπήρχε καθόλου πιστωτικός κίνδυνος, η τιμή της δεύτερης ομολογίας θα ήταν: ,25 t 5 (1 0,035) (1 0,035) t 1 Επομένως, θα πρέπει 177,08 q(3) 107,03 q(5) q(5) 102,25 96,24 2,74% 2,74% είναι η πιθανότητα χρεοκοπίας για κάθε ένα χρόνο στο διάστημα 4-5. Πώς θα υπολογίσουμε τις δεσμευμένες πιθανότητες για κάθε έτος? λ(1) =1,738%, λ(2) = 1,76%, λ(3) = 1,79%, λ(4) = 2,89% και λ(5) =2,97%. q(3) q(5) λ( t ), για 0 t 3 και λ( t), για 4 t 5. 1 ( t 1) q(3) 1 3 q(3) ( t 4) q(5) 12

13 Historical Probabilities and Credit Ratings Ιστορικές πιθανότητες με βάση την βαθμολογία αξιοπιστίας (πηγή: Moody s) Μέσες αθροιστικές πιθανότητες αθέτησης (%) Χρόνος Aaa ,026 0,099 0,251 0,521 0,992 1,91 Aa 0,008 0,019 0,042 0,106 0,177 0,343 0,522 1,111 1,929 A 0,021 0,095 0,22 0,344 0,472 0,759 1,287 2,364 4,238 Baa 0,181 0,506 0,93 1,434 1,938 2,959 4,637 8,244 11,362 Ba 1,205 3,219 5,568 7,958 10,215 14,005 19,118 28,380 35,093 B 5,236 11,296 17,043 22,054 26,794 34,771 43,343 52,175 54,421 Caa-C 19,476 30,494 39,717 46,904 52,622 59,938 69,178 70,870 70,870 Για παράδειγμα, 11,296% είναι η πιθανότητα αθέτησης υποχρεώσεων της κατηγορίας Β μέσα στα επόμενα δύο χρόνια. Η πιθανότητα αθέτησης της Β μέσα στον δεύτερο χρόνο και όχι στον πρώτο είναι 11,296%-5,236%= 6,06%. 13

14 Historical Probabilities and Credit Ratings Για την κατηγορία Β έχουμε: κοκ. P( D 1 P( D P( D 2 3 ) 5, 236% D D C 1 c 2 ) 6, 06% ) 17, 043% 11269, % 5, 774% Παρατηρούμε ότι για τις κατηγορίες με αυξημένη βαθμολόγηση (investment grades), οι πιθανότητες σε κάθε χρόνο αυξάνονται, ενώ στις χαμηλότερες βαθμολογίες φαίνεται να μικραίνουν. Για τις «καλές» κατηγορίες τα όποια προβλήματα θα εμφανιστούν μετά τα πρώτα χρόνια, ενώ για τις «κακές» τα πρώτα χρόνια είναι πολύ κρίσιμα και αν αποφευχθεί η αθέτηση τότε οι πιθανότητες για ευκολότερη χρηματοδότηση αυξάνουν. 14

15 Default intensities Οι πιθανότητες που είδαμε είναι μη δεσμευτικές πιθανότητες αθέτησης. Για παράδειγμα, η κατηγορία Caa-C έχει 9,233% πιθανότητα να αθετήσει στην διάρκεια του τρίτου έτους. Για τις δεσμευτικές έχουμε: c c P( D3 D2 ) 9,223% P( D3 D2 ) 13,27% 1 P( D2 ) 1 30,494% Οι δεσμευμένες πιθανότητες αθέτησης ονομάζονται (και) εντάσεις αθέτησης (default intensities or hazard rates). Η ένταση αθέτησης στο χρόνο 3 είναι 13,27%. 15

16 Historical vs. Implied default intensities Σύγκριση a. Ο κίνδυνος ρευστότητας υπάρχει και είναι πιο έντονος στις χαμηλότερες κατηγορίες ποιότητας. Η αγοραστική τιμή είναι πιο χαμηλή και επομένως οι risk neutral πιθανότητες πιο υψηλές. b. Οι επενδυτές δεν είναι ουδέτεροι στον κίνδυνο (είναι risk averse και όχι risk neutral). c. Ο σημαντικότερος λόγος προέρχεται από το γεγονός ότι πιστωτικός κίνδυνος δεν είναι ανεξάρτητος (φαινόμενο credit contagion). Στα χαρτοφυλάκια ομολόγων η εξάλειψη του συστημικού κινδύνου μέσα από την διαφοροποίηση (diversification) είναι πιο δύσκολη. 16

17 Default intensities Παρόμοια διαδικασία μπορεί να ακολουθηθεί όταν η χρονική περίοδος είναι μικρότερη: Δt. Η ένταση πιθανότητας αθέτησης στον χρόνο t συμβολίζεται με λ(t) και ορίζεται έτσι ώστε η ποσότητα λ(t)δt να είναι ίση με την πιθανότητα αθέτησης στο χρονικό διάστημα (t, t+δt], δοθέντος ότι δεν έχει γίνει αθέτηση μέχρι τον χρόνο t. Αν P(t) ορίζεται ως η αθροιστική πιθανότητα μη αθέτησης (cumulative surviving probability) μέχρι την στιγμή t. Επομένως, θα πρέπει να ισχύει: Και στο όριο όταν Δt dt έχουμε t P( t) P( t t) P( t) dp( t) λ( t) P( t) dt λ( s) ds 0 0 P( t) e Q( t) 1 e λ( t) t. ή ισοδύναμα όπου Q(t) είναι η πιθανότητα αθέτησης μέχρι τον χρόνο t. Υποθέτοντας σταθερή ένταση μέχρι τον χρόνο t, λ( t) t Q( t) 1 e. Για παράδειγμα, στην κατηγορία Α, Q( 7) 0, 759% καιεπομένως λ( 7) 0, 11%. t λ( s) ds 17

18 Modeling of default intensity: λ(t) Η πιθανότητα αθέτησης μέχρι την χρόνο t, μπορεί να ληφθεί ως η πιθανότητα μια counting stochastic process να κάνει το πρώτο της άλμα. όπου είναι ο χρόνος P( D t ) P( t) αναμονής μέχρι το πρώτο άλμα. Αν ο χρόνος αναμονής είναι εκθετικός με σταθερή παράμετρο λ τότε: P( D t ) P( t) Q( t) 1 e λt δηλαδή, η πιθανότητα το πρώτο βήμα μιας διαδικασίας Poisson να γίνει πριν τον χρόνο t. Για λ=0,005 λ=0,01 λ=0,02 18

19 Πιθανίτιτές Modeling of default intensity: λ(t) Για τις ιστορικές έχουμε για παράδειγμα. 4.5 Αθροιστικές πιθανότητες αθέτησης (%) Κατηγορία Α Χρόνια 19

20 Mean-reverting models Η διαδικασία λ(t) είναι ντετερμινιστική αλλά κάνει άλματα όταν γίνεται κάτι έκτακτο που επηρεάζει την πιθανότητα χρεοκοπίας. Ανάμεσα στο άλματα έχει την τάση να γυρνά σε έναν μακροχρόνια μέσο. Ανάμεσα στο άλματα έχουμε: λ( t) k( T t) e (λ( T) ) 20

21 ΗΜ #1 Α) Δίνονται τα παρακάτω επιτόκια δανεισμού (ετήσιος ανατοκισμός): Maturity Risk free rates Interest rates for corporation 1 0,2% 3% 2 0,3% 4% 3 0,5% 4,5% 5 1% 5% Με βάση την εξίσωση αδιαφορίας, υπολογίστε την πιθανότητα χρεοκοπίας σε ένα χρόνο, σε δύο χρόνια, σε τρία και σε πέντε των παραπάνω εταιρικών ομολόγων. Υιοθετείστε σταθερό ποσοστό ανάκτησης 40%. 21

22 ΗΜ #1 B. Μια εταιρεία έχει εκδώσει 2 ομολογίες 5%/4yrs και 5%/6yrs με ετήσια καταβολή κουπονιών και τιμές 97 και 95. Έστω ότι τα ετήσια επιτόκια προεξόφλησης είναι 4% και το ποσοστό ανάκτησης σταθερό και ίσο με 40%. α) Υπολογίστε τις μη δεσμευμένες πιθανότητες αθέτησης για τα πρώτα 6 έτη υποθέτοντας σταθερή πιθανότητα ανάμεσα στα διαστήματα 0-4 και 4-6. β) Υπολογίστε και τις δεσμευμένες πιθανότητες για κάθε ένα έτος ξεχωριστά. C. Μια εταιρεία έχει εκδώσει 2 ομολογίες που λήγουν σε ένα και δύο χρόνια αντίστοιχα και οι κάθε μία δίνει ένα κουπόνι ετήσια 8%. Η ετήσια απόδοση στην λήξη είναι 6% για την πρώτη και 6,6% για την δεύτερη ομολογία, ενώ το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 4,5%. Υπολογίστε τις δεσμευμένες και τις μη δεσμευμένες πιθανότητες αθέτησης για τα δύο πρώτα έτη. (υποθέστε ότι η χρεοκοπία γίνεται στην μέση κάθε έτους). 22