Aplicatii tehnice ale gazului perfect si ale transformarilor termodinamice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aplicatii tehnice ale gazului perfect si ale transformarilor termodinamice"

Transcript

1 Aplicatii tehnice ale gazului perfect si ale transformarilor termodinamice 4.. Gaze perfecte 4... Definirea gazului perfect Conform teoriei cinetico-moleculare gazul perfect este definit prin următoarele ipoteze: - moleculele gazului sunt perfect sferice şi perfect elastice; - volumul propriu al moleculelor este neglijabil în raport cu volumul total ocupat de gaz; - forţele de interacţiune intermoleculare sunt nule. Ca atare, gazul perfect este lipsit de viscozitate, nu apare frecarea în procesul de curgere a gazului perfect, el rămâne în stare gazoasă şi cu aceleaşi proprietăţi, indiferent de presiunea şi temperatura la care este supus. În apropierea punctului de zero absolut, volumul gazului perfect tinde spre zero, din cauza volumului propriu neglijabil al moleculelor, fără să se lichefieze. Interacţiunea dintre molecule, în decursul agitaţiei termice, se produce numai sub formă de ciocniri elastice. Între două ciocniri moleculele au o mişcare rectilinie uniformă, până întâlnesc altă moleculă. Lungimea medie a drumului parcurs între două ciocniri (parcursul liber mijlociu), depinde de densitatea gazului. Deoarece gazele reale, la presiuni mici, se comportă din multe puncte de vedere ca şi gazul perfect, se vorbeşte de gaze perfecte deşi riguros vorbind nu există decât un singur gaz perfect, cel imaginar, definit mai sus. Întrucât gazele reale prezintă unele abateri faţă de gazul perfect, chiar în stare rarefiată, convenţional se numesc gaze perfecte acele gaze reale a căror comportare se apropie de comportarea gazului perfect. Gazul perfect are căldura specifică independentă de presiune şi de temperatură, pe când gazele perfecte (adică gazele asimilabile gazului perfect), au căldura specifică mai mult sau mai puţin variabilă cu temperatura. Aceste gaze au fost numite de către Stodola gaze semiperfecte. Se poate afirma că toate gazele (inclusiv vaporii) la presiuni mici au comportarea gazelor semiperfecte. Variaţia căldurii specifice cu temperatura şi presiunea, poate fi studiată cu ajutorul EES, prin utilizarea funcţiilor implementate în acest program pentru calculul căldurii specifice: CP(subst_gaz_perfect,T=T) CP(subst_reala,T=T,P=P) Programul utilizat este: p= c_p_id=cp(ho,t=t) c_p_r=cp(water,t=t,p=p) În cazul aerului, Air desemnează aerul ca gaz perfect şi Air_ha desemnează aerul ca amestec de gaze având comportare reală.

2 În figurile alăturate sunt prezentate variaţiile obţinute pentru cp în diferite situaţii. Curbele de culoare roşie cu simboluri cerc, reprezintă rezultatele obţinute pentru substanţe considerate ideale, iar curbele ce culoare albastră cu simboluri patrat, reprezintă rezultatele obţinute pentru substanţe considerate reale. Variaţia c p cu temperatura pt. aer (p= bar) Variaţia c p cu temperatura pt. vapori de apă (p= bar; t>00 C) Se remarcă variaţia semnificativă şi abaterea puternică a c p de la curba obţinută pentru substanţa ideală, în zona din apropierea temperaturii de 00 C, când vaporii de apă se apropie de zona de saturaţie şi comportarea acestora se abate mult de la comportarea gazului perfect.

3 Variaţia c p cu temperatura pt. apă (p= bar; t= C) Se remarcă variaţia puternică a c p de la curba obţinută pentru substanţa ideală, în zona temperaturilor mai mici de 00 C, pentru care vaporii de apă încep să condenseze şi comportarea acestora nu mai poate să fie considerată în nici un caza apropiată de a gazului perfect. Variaţia c p cu presiunea pt. vapori de apă Se observă că în cazul substanţei reale, c p variază cu presiunea, în timp ce pentru gazul perfect, c p nu variază cu presiunea. Coeficienţii de dilatare izobară şi de compresibilitate izocoră a gazului perfect sunt constanţi, independenţi de presiune şi temperatură şi au valoarea α = β = K, iar 73,5 coeficientul de compresibilitate izotermă χ = /035 Pa -. În calculele termodinamice, referitoare la procesele din maşinile şi instalaţiile termice cu gaze, agenţii de lucru pot fi consideraţi gaze perfecte cu o aproximaţie suficient de bună.

4 4... Legile gazelor perfecte Legile transformărilor simple ale gazelor perfecte redau relaţiile dintre doi parametri de stare, la menţinerea constantă a celui de-al treilea parametru. Legea Boile-Mariotte se referă la legătura dintre volum şi presiune într-o transformare izotermică şi a fost stabilită experimental, în mod independent, de către Boyle în anul 66 şi Mariotte în anul 676. Conform acestei legi, într-o transformare izotermică produsul dintre volum şi presiune rămâne constant. Valoarea acestei constante depinde de temperatură şi de natura gazului. Forma matematică a acestei legi, pentru o stare iniţială caracterizată prin p, v şi o stare finală p, v este: p v = pv = constant = f(t), adică produsul pv este proporţional cu temperatura gazului. Diferenţiind relaţia anterioara şi împărţind cu pv = constant se obţine forma diferenţială a ecuaţiei izotermei: dv dp + = 0. v p Legea Gay-Lussac exprimă legătura dintre volum şi temperatură într-o transformare izobară: la presiune constantă volumul unui gaz perfect este proporţional cu temperatura absolută. T v T v = v 0 ; = = constan t = f ( p) T 0 v0 T0 Legea lui Charles stabilită experimental se referă la legătura dintre presiune şi temperatură într-o transformare izocoră: într-o transformare la volum constant presiunea gazului este proporţională cu temperatura. p T = = cons tan t = f( v). p0 T0 Ecuaţia termică de stare a gazelor perfecte (Ecuaţia lui Clapeyron) exprimă relaţia dintre parametrii de stare într-o transformare oarecare. p V pv N MN M = T T ; 035,44 pvm = T = R M T N 73,5 unde R M este constanta universală a gazelor perfecte, R M = 834 Jkmol - K -. Pentru n kmoli de gaz, de masă m kg, şi masa molară M kg/kmol, ecuaţia termică de stare devine: pv = n R M T; pv = RT; pv = m R T unde R = R M /M = 834/M J kg - K - reprezintă constanta de gaz perfect a gazului respectiv. Aceasta depinde numai de natura gazului şi are semnificaţia lucrului mecanic efectuat de kg de gaz la creşterea temperaturii acestuia cu un grad. Între constanta universală a gazelor perfecte şi numărul lui Avogadro există proporţionalitatea scrisă de Boltzmann: R M = k N A [J kmol - K - ] în care constanta universală a lui Boltzmann (k = R M /N A ) reprezintă cota parte din lucrul mecanic ce revine unei molecule, la o variaţie de temperatură de un grad. Ecuaţia de stare a gazelor perfecte sub formă diferenţială: dv dp dt + = v p T Între o stare iniţială v 0, p 0, T 0 şi o stare finală v, p, T se obţine:

5 p v pv = 0 T Legea lui Avogadro enunţată în 8, confirmată ulterior, atât teoretic cât şi experimental, are următoarea formulare: volume egale din orice gaz perfect, la aceeaşi presiune şi temperatură, conţin acelaşi număr de molecule. Reciproca legii lui Avogadro este: volumul ocupat de un kmol de gaz, considerat gaz perfect, în condiţii de presiune şi de temperatură egale este acelaşi, independent de natura gazului. Astfel la starea normală fizică, 3 toate gazele perfecte au volumul molar V MN =,44m N kmol, sau kmol =,44 m 3 N. Legea lui Joule stabileşte influenţa volumului şi a presiunii asupra energiei interne a gazului perfect. Se consideră doi cilindrii întroduşi într-un vas calorimetric foarte bine izolat termic, umplut cu apă, legaţi între ei printr-o conductă, prevăzută cu un robinet. În cilindrul este un gaz la o presiune la care acesta se comportă ca un gaz perfect, iar în cilindrul s-a realizat un vid înaintat, robinetul de pe conducta de legătură fiind închis. Întregul sistem se găseşte în echilibru termic, la temperatura t iniţial, evidenţiată cu termometrul T. Prin deschiderea robinetului are loc destinderea în vid a gazului din cilindrul, care trece parţial în cilindrul, unde presiunea se micşorează iar volumul creşte. În urma acestui experiment se constată că, în final, la restabilirea echilibrului termic, temperatura apei din termostat ajunge la temperatura iniţială t final = t iniţial. Aplicând ecuaţia primului principiu al termodinamicii acestui sistem, se observă că lucrul mecanic schimbat cu exteriorul (lucrul mecanic de dilatare) este nul, δl = 0, pentru că sistemul în ansamblul său este suficient de rigid pentru a nu-şi modifica volumul, căldura este de asemenea nulă, δq = 0, pentru că temperatura apei nu s-a modificat şi sistemul este adiabat. Ca urmare: du = 0 adică energia internă a sistemului a rămas constantă, cu toate că volumul şi presiunea s-au modificat. 0 0 T. Experienţa lui Joule: cilindru cu gaz; cilindru vidat; R robineţi; T termometru. Concluzia care se desprinde este chiar legea lui Joule: energia internă a gazului perfect nu depinde de volum şi de presiune ci numai de temperatură. Având în vedere definiţia entalpiei ( h = u + pv) este uşor de văzut că nici entalpia gazului perfect nu depinde de volum şi de presiune ci numai de temperatură. Aceasta pentru că produsul pv este funcţie doar de T, conform ecuaţiei termice de stare a gazelor perfecte.

6 Măsurători riguroase au arătat că energia internă şi entalpia gazelor reale depind atât de temperatură cât şi de volum şi presiune. Pe această proprietate se bazează de exemplu, tehnica lichefierii gazelor. Variaţia energiei interne şi a entalpiei cu temperatura, pt aer, calculate cu EES (p= bar) Variaţia energiei interne cu presiunea, pt aer, calculate cu EES (t=00 C) Variaţia entalpiei cu presiunea, pt aer, calculate cu EES (t=00 C)

7 4.3. Transformările particulare reversibile ale gazelor perfecte Transfomările particulare sunt transformările la care se impune o anumită restricţie ca: menţinerea constantă a unui parametru, lipsa schimbului de energie sub formă de căldură sau având o anumită căldură specifică. Dintre transformările particulare cunoscute, izocora şi izobara fac parte din transformările calorice, iar izoterma, adiabata şi politropa se încadrează în transformările mecanice. În studiul oricărei transfomări se urmăreşte: legea după care are loc transformarea (ecuaţia transformării sub forma diferenţială şi integrală), reprezentarea transformării în diferite coordonate, (deocamdată se prezintă reprezentarea în diagrama dinamică p-v, iar pentru unele transformări şi diagrama T-v), relaţiile pentru calculul schimbului de energie (căldura şi lucrul mecanic), în absenţa şi prezenţa curgerii (sisteme termodinamice închise, respectiv deschise), măsura în care căldura se transformă în lucru mecanic, bilanţul energetic al transformării şi se dau câteva exemple privind locul unde se întâlneşte în practică transformarea respectivă Transformarea izocoră Transformarea izocoră este transformarea termodinamică în care volumul rămâne constant. Ea se desfăşoară după legea lui Charles, conform căreia într-o transformare izocoră presiunea este proporţională cu temperatura. Forma diferenţială: dp dt = p T Pentru o transformare între o stare iniţială şi o stare finală, ecuaţia izocorei, în mărimi finite, este: p p p = = = constan t T T T Reprezentarea izocorei în coordonate p-v se face printr-o verticală descendentă, dacă procesul este de răcire şi una ascendentă dacă se produce încălzirea sistemului, reprezentarea în diagrama T-v este asemănătoare, dar nu prezintă un interes deosebit. Transformarea izocoră; Bilanţul energetic al transformării izocore a. În absenţa curgerii, căldura primită sau cedată de un kg de gaz perfect într-o transformare izocoră, reversibilă este: q = + = = ( ) = ( ) kj du pdv u u c v T T c v t t kg sau pentru m kg de substanţă, = mq = nc (T T ) Q Mv [ kj]

8 Lucrul mecanic absolut, schimbat cu mediul exterior este: l = pdv = 0, adică sistemul nu schimbă cu mediul exterior energie sub formă de lucru mecanic de dilatare. Bilanţul energetic al transformării izocore, arată că toată căldura (energia primită sau cedată de un corp prin contact termic) serveşte la variaţia energiei sale interne. Raportul dintre lucrul mecanic tehnic şi cel de dilatare, la transformarea izocoră este infinit. b. În prezenţa curgerii, în transformarea izocoră, căldura se calculează folosind entalpia şi temperatura frânată: q = dhf vdp = hf hf v( p p) T p q = c T f p v kj p f T p kg f kj kg În prezenţa curgerii, lucrul mecanic tehnic se produce nu numai datorită variaţiei presiunii ci şi ca urmare a variaţiei energiei cinetice: w w l = q ( h h ) = c ( T T ) c ( T T ) + t f f v p w w l v( p p ) t = + Transformarea izocoră se întâlneşte la studiul proceselor de ardere la volum constant, în camerele de ardere ale instalaţiilor de turbine cu gaze, în ciclul teoretic al motoarelor cu ardere internă cu piston cu aprindere prin scânteie etc Transformarea izobară Transformarea izobară este cea mai utilă transformare calorică. Ea se desfăşoară după legea Gay-Lussac, conform căreia, într-o transformare termodinamică la care presiunea rămâne constantă, volumul este proporţional cu temperatura absolută. Forma diferenţială a ecuaţiei izobarei este: dv dt =. v T Pentru o transformare finită între stările şi, se poate scrie: v v v = = = cons tan t. T T T În diagrama p-v izobara se reprezintă printr-o orizontală, - într-un proces de încălzire şi - într-un proces de răcire. În diagrama T-v izobara este o dreaptă care trece prin origine, cu un coeficient unghiular cu atât mai mare cu cât presiunea este mai mare: dt T tg α = = dv v

9 Transformarea izobară în diagrama p-v; Transformarea izobară în diagrama T-v. a. În absenţa curgerii, energia schimbată cu mediul exterior sub formă de căldură se calculează din ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme închise: q = du + pdv = u u + p ( v v ) T v q = + c vt pv T v Lucrul mecanic de dilatare este: l = = ( ) pdv p v kj v kg kj kg În diagrama p-v, l este numeric egal cu aria cuprinsă între izobară şi axa volumului. Măsura în care căldura se transformă în lucru mecanic este dată de raportul: l c p c v k = = q c k p unde k = c p /c v. Din căldura primită de un gaz, o parte se transformă în lucru mecanic, iar restul se acumulează sub formă de energie internă, aşa cum este ilustrat în figură. Bilanţul energetic al transformării izobare b. În prezenţa curgerii, căldura se calculează prin integrarea ecuaţiei primului principiu pentru sisteme deschise, introducând restricţia dp = 0, δ q = dh vdp dh ;q h h c ( T T ) kj f = f = f f = p f f ; kg q = c T Tf T kj ; kg p f f

10 Concluzia ce se desprinde din relaţiile de mai sus este că într-un proces de încălzire sau răcire izobar, în prezenţa curgerii, toată căldura provoacă variaţia entalpiei frânate. Lucrul mecanic tehnic al unui sistem deschis, într-o transformare izobară, este produs numai prin variaţia energiei cinetice, într-adevăr: w w l = q ( h h ) = c ( T T ) c ( T T ) = kj t f f p p f f kg În general, toate procesele de transfer termic în aparatele termice se consideră că au loc la presiune constantă, acolo unde variaţia presiunii este relativ mică. De asemenea, procesul de ardere în focare şi camere de ardere, în cele mai multe cazuri, sunt izobare, exemple: instalaţii de turbine cu gaze, cu ardere la presiune constantă, o parte din ciclul teoretic al motoarelor Diesel etc. Izobara de încălzire a aerului, ca gaz perfect şi ca substanţă reală Izobara de încălzire a vaporilor de apă, ca gaz perfect şi ca substanţă reală

11 Transformarea izotermică Transfomarea izotermică este o transformare mecanică la care temperatura rămâne constantă. Conform legii Boyle-Mariotte, cu această restricţie, produsul dintre presiune şi volum rămâne constant, astfel ecuaţia izotermei este: v = p v = pv constan t iar sub formă diferenţială: p = dv v + dp = 0 p În diagrama p-v izoterma se reprezintă printr-o hiperbolă echilateră. O izotermă împarte planul p-v în două zone; deasupra izotermei se găsesc punctele de temperatură mai mare, iar sub izotermă sunt puncte de temperatură mai mică decât temperatura izotermei. Cu cât o curbă izotermă se găseşte mai sus sau la dreapta, reprezintă o temperatură mai mare, T 3 >T. În sensul - are loc o destindere izotermică, iar - reprezintă o comprimare la temperatură constantă. Transformarea izotermic în diagrama p-v; Subtangenta la transformarea izotermică dp p 0 ab p tgα = = ; tgα = tg( 80 β) = tgβ = = dv v bc bc bc = v adică, subtangenta la izotermă este numeric egală cu volumul în punctul de tangenţă. Această proprietate este foarte importantă pentru studiul transformărilor termodinamice în diagrama dinamică p-v. În diagrama T-v izoterma este o dreaptă orizontală, - reprezentînd o destindere iar, - o comprimare izotermică. Având în vedere legea lui Joule, într-o transformare izotermică variaţia energiei interne şi a entalpiei gazului perfect este nulă: du = 0; u -u = 0; dh=0, h -h = 0, ca urmare la gazul perfect izoterma este totodată şi izentalpă. sau a. În absenţa curgerii: dv v δ q = δl = pdv ; q = = = = l pdv pv pv ln v v v p q = l = RT ln = RT ln ; Q = L = v p p mrt ln p [ kj]

12 Transformarea izotermică în diagrama T-v; Bilanţul energetic al transformării izotermice Se observă că, în această transformare, toată căldura primită de un sistem termodinamic se transformă în lucru mecanic, în sistem nu se acumulează energie internă, bilanţul energetic fiind cel redat în figură. Lucrul mecanic tehnic produs pe seama lucrului mecanic de dilatare este: dp p = = = p l = t vdp pv pv kj ln RT ln p p kg p iar l t /l =, adică lucrul mecanic tehnic este egal cu lucrul mecanic de dilatare. Aceasta se explică prin faptul că lucrul mecanic de dislocare la intrare şi ieşire din sistem sunt egale şi de semne contrare. b. În prezenţa curgerii, căldura se obţine din ecuaţia principiului I pentru sisteme deschise, cu particularizarea dh = 0: p w w δ q = vdp + wdw;q p v ln kj = + ; p kg p w w δ l q wdw; l p v ln kj t = δ t = +. p kg Aceste relaţii arată că energia primită de gazul perfect, prin contact termic (căldura) într-o transformare izotermică, în prezenţa curgerii, se foloseşte pentru producerea de lucru mecanic şi variaţia energiei cinetice a sistemului, iar lucrul mecanic tehnic apare prin efectul de dilatare şi variaţia energiei cinetice. Realizarea practică a unei transformări izotermice presupune o viteză de desfăşurare infinit mică, pentru a se putea produce schimbul de energie sub formă de căldură în proporţia reclamată de menţinerea constantă a temperaturii. Această transformare se foloseşte ca transformare de referinţă în studiul proceselor termodinamice din compresoarele cu piston, intervine la instalaţiile de turbine cu gaze cu destindere şi comprimare izotermică etc.

13 Transformarea izotermă de comprimare a vaporilor de apă

14 Transformarea adiabatică Transformarea care are loc fără schimb de energie prin contact termic, adică fără căldură, se numeşte transformare adiabatică. Relaţia dintre mărimile de stare într-o transformare adiabatică se deduce din ecuaţiile principiului I al termodinamicii: dv dp k + = 0 v p unde k reprezintă indicele adiabatic. Prin integrare, se obţine ecuaţia adiabatei: v p kln k k k + ln = 0; pv = pv = pv = const. v p Ţinând seama de ecuaţia de stare a gazului perfect, se poate scrie: k k pv = RT v ; k k k T v = Tv = Tv. k k pv = RT v, k v T v = T k k p = p În diagrama dinamică p-v adiabata se reprezintă printr-o hiperbolă. ab p dp p tgα = tgβ = = ; tgα = = bc bc dv v k Transformarea adiabatică în diagrama p-v; Subtangenta la transformarea adiabatică astfel că, subtangenta la adiabată are valoarea bc = v, mai mică decât subtangenta la k izotermă ( bc < bd ). Ca urmare, la destindere adiabata coboară sub izotermă, gazul micşorându-şi temperatura, iar la comprimare adiabata urcă deasupra izotermei, gazul mărindu-şi temperatura. În diagrama T-v adiabata se reprezintă printr-o hiperbolă a cărei ecuaţie este Tv k- = constant.

15 Transformarea adiabatică în diagrama T-v; Bilanţul energetic al transformării adiabatice a. În absenţa curgerii, lucrul mecanic de dilatare schimbat între mediul exterior şi sistem, într-o transformare adiabatică, se calculează din relaţia: δl = du = pdv; l = pdv = u u = cv T ( T ) de unde se poate vedea că, într-o destindere adiabatică, lucrul mecanic se produce pe seama reducerii energiei interne a gazului, aspect evidenţiat în bilanţul energetic al acestei transformări. Lucrul mecanic primit de un gaz într-un proces de comprimare, duce la creşterea energiei sale interne. k RT k T pv p l = = k T k p Aceste relaţii sunt mult folosite pentru calculul lucrului mecanic în procesele de destindere şi comprimare din maşinile termice motoare cu piston, precum şi în maşinile generatoare. Lucrul mecanic tehnic schimbat de un sistem cu mediul exterior prin efectul dilatării se calculează: k l t = vdp = p v p dp = kl adică, într-o transformare adiabatică lucrul mecanic tehnic este de k ori mai mare decât lucrul mecanic de dilatare. b. În prezenţa curgerii, lucrul mecanic tehnic se calculează din ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise, cu particularizarea specifică transformării adiabatice: w w l t = dh f = h f h f = c p ( Tf Tf ) = c p ( T T ) + ; krt T + w w l = kj t k T kg Se observă că lucrul mecanic tehnic într-o transformare adiabatică, în prezenţa curgerii este egal cu variaţia entalpiei frânate. Realizarea în practică a unei transformări apropiată de o adiabată presupune o viteză de desfăşurare a procesului foarte mare şi o bună izolaţie termică. Transformarea adiabatică se întâlneşte la analiza termodinamică a ciclurilor teoretice ale motoarelor cu ardere internă cu k

16 piston, la studiul proceselor de destindere a agentului de lucru în turbine, la determinarea lucrului mecanic necesar antrenării turbocompresoarelor etc. Adiabata de comprimare a vaporilor de apă la presiuni mari Adiabata de comprimare a vaporilor de apă la presiuni mici Variaţia fugacităţii la comprimarea adiabatică a vaporilor de apă, calculată cu EES p [bar],5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 f [bar] 0,8,3,80,8,77 3,5 3,73 4, 4,69 5,8

17 Transformarea politropică Transformarea politropică se caracterizează prin variaţia tuturor mărimilor de stare, în prezenţa schimbului de energie prin contact termic (adică a căldurii) şi a schimbului de lucru mecanic dintre sistem şi mediul exterior. O asemenea transformare se poate defini printr-o valoare constantă a căldurii specifice. Într-adevăr, aşa cum transformările izocoră şi izobară sunt definite prin căldurile specifice c v, respectiv c p, se poate determina o căldură specifică c pol = constant pentru o transformare politropică. În această accepţiune ecuaţiile primului principiu al termodinamicii, se pot scrie sub forma: δ q = cv dt + pdv = cpoldt ; δ q = cp dt vdp = cpoldt de unde rezultă: ( cv cpol ) dt = pdv ; ( cp cpol ) dt = vdp Prin eliminarea lui dt şi împărţirea cu se obţine: cp cpol dv dp + = 0 cv cpol v p Cum c pol este constant şi primul raport din relaţie este constant. Acest raport se notează cu n şi se numeşte indice politropic: cp cpol n = [ ] cv cpol În practică indicele politropic se determină cunoscând valorile parametrilor de stare determinate experimental, astfel încât se poate calcula c pol cu relaţia: n k kj cpol = cv n kgk Ecuaţia diferenţială a transformării politropice: dv dp n + = 0 v p De remarcat asemănarea dintre ecuaţia transformării adiabatice şi a transformării politropice, sub formă diferenţială. Ca urmare toate relaţiile dintre parametrii de stare p, v, T, deduse la transformarea adiabatică sunt valabile şi la transformarea politropică prin înlocuirea lui k cu n. Astfel ecuaţiile transformării politropice au forma: v p nln n n n + ln = 0; pv = pv = pv = const. v p T n n n v = T v = Tv = n n v T n p = v = T p const. Transformarea politropică în diagrama dinamică se reprezintă printr-o curbă a cărei alură depinde de valoarea indicelui politropic. În mod similar ca la transformarea adiabatică, se demonstrează că subtangenta la transformarea politropică, în diagrama p-v, este numeric egală cu volumul în punctul de tangenţă împărţit la n, bc = v. n

18 Subtangenta la transformarea politropică a. În absenţa curgerii, pentru o transformare politropică cu n, lucrul mecanic de dilatare se calculează: n n pv p v l p v v dv kj = =, n kg sau p v p v R l = = ( T T ) kj n n kg Pentru cazul particular n =, expresia de calcul a lucrului mecanic devine similară cu cea de la transformarea izotermică: = v p l p v v dp = p v ln = RT ln kj v p kg Căldura într-o transformare politropică se poate calcula uşor folosind căldura specifică a acestei transformări c pol : q R n k = cpoldt = cpol T k n ( T T ) = ( T ) La acelaşi rezultat se ajunge şi dacă se integrează ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme închise: q n k = cvdt + pdv = cv T n ( T ) Fracţiunea care se transformă în lucru mecanic din căldura primită de un sistem termodinamic într-o transformare politropică, este dată de raportul: q k n = l k Din acest raport se vede că dacă n > k, cum k >, căldura şi lucrul mecanic au acelaşi semn; adică la destindere, sistemul primeşte căldură şi transmite mediului exterior lucru mecanic, iar la comprimare sistemul primeşte energie prin contact mecanic, sub formă de lucru mecanic şi cedează energie sub formă de căldură, mediului exterior. Pentru n = toată căldura se transformă în lucru mecanic (cazul transformării izotermice). Pentru n, lucrul mecanic tehnic obţinut prin efectul de dilatare, este: n n n l t = vdp = pv = nl n ε adică, lucrul mecanic tehnic este de n ori mai mare decât lucrul mecanic de dilatare. Această proprietate rămâne valabilă şi pentru transformarea izotermică, la care n =, dar nu se poate aplica pentru transformarea izocoră, la care n = ±.

19 b. În prezenţa curgerii lucrul mecanic tehnic rezultă din ecuaţia principiului I al termodinamicii pentru sisteme deschise: n n w w l t = δq dhf = ( cpol cp ) dt wdw ; l p v n t = + n ε Căldura primită sau cedată de sistem într-o transformare termodinamică însoţită de curgere este: n w w q vdp c dt ( p v p v ) c (T T ) = + p f = + p + ; n ( T T ) W w + q = kj cpol kg Transformarea politropică este una dintre cele mai utilizate transformări în studiul proceselor termodinamice din maşinile şi instalaţiile termice, pentru că ea se apropie cel mai mult de transformările reale. Pentru a aproxima o transformare reală printr-o transformare politropică trebuie cunoscută valoarea indicelui politropic. Dacă se cunosc valorile presiunii şi a volumului în două puncte ale transformării reale, (p, v, p, v ), din ecuaţia transformării politropice, prin logaritmare, se obţine: ln p ln p ln p + nln v = ln p + nln v n = ln v ln v În coordonate logaritmice transformarea politropică între două puncte este reprezentată printr-un segment de dreaptă. n = tgβ Reprezentarea transformării politropice în coordonate logaritmice; Determinarea grafică a indicelui politropic Dacă experimental se cunoaşte alura transformării în diagrama p-v, indicele politropic se poate determina grafic, folosind relaţia care precizează mărimea subtangentei la transformarea politropică. v ob n = = bc bc Prelungind tangenta la o politropă într-un punct până intersectează axa presiunilor, se poate obţine o altă expresie pentru calculul indicelui politropic, astfel se ajunge la relaţia: np de n = = p od

20 Segmentul de = np pentru că, utilizând ecuaţia diferenţială a transformării politropice, dp np de de se poate scrie tg β = =, iar din figură se vede că tg β = =. dv v da v Transformările reale care nu pot fi descrise printr-o transformare politropică cu n = constant, se divid în porţiuni atât de mici încât, fiecare interval să poată fi aproximat cu o politropă de n = constant, cu o precizie suficient de mare.