TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar"

Transcript

1 TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19

2 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

3 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

4 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Poloºaj krutog tela Poloºaj slobodnog krutog tela u prostoru je odrežen ako se poznaje poloºaj tri nekolinearne ta ke tela (A, B, C) Svaka od ta aka je odrežena sa svojim vektorom poloºaja (po 3 koordinate), ukupno 9 koordinata Kruto telo rastojanje izmežu bilo koje 2 ta ke je konstantno Izmežu 9 koordinata ta aka A, B, C postoje tri veze AB = l 1 = const, AC = l 2 = const, BC = l 3 = const Broj stepeni slobode kretanja slobodnog krutog tela je n = 9 3 = 6

5 Poloºaj krutog tela u prostoru Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

6 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Poloºaj krutog tela Prostorni (inercijalni) sistem Oxyz bazni vektori ( ı, j, k) Materijalni (pokretni) sistem Aξηζ bazni vektori ( λ, µ, ν) Referentna ta ka tela A Poloºaj ta ke tela: r = r A + ρ - vektori r i r A su u sistemu Oxyz: r = {x, y, z} r A = {x A, y A, z A } - vektor ρ je u sistemu Aξηζ: ρ = {ξ, η, ζ}

7 Poloºaj krutog tela u prostoru Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

8 Poloºaj krutog tela u prostoru Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

9 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Poloºaj krutog tela Za datu ta ku tela, materijalne koordinate ξ, η, ζ su konstantne veli ine Kretanje tela je promena poloºaja tela tokom vremena Prilikom kretanja tela menjaju se - koordinate referentne ta ke A, - pravci baznih vektora λ, µ, ν materijalnog koord. sistema Zaklju ak: poloºaj krutog tela (u odnosu na prostorni sistem) u potpunosti je odrežen sa poloºajem referentne ta ke tela A i poloºajem materijalnog sistema u odnosu na prostorni sistem

10 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

11 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Odnos prostornog i materijalnog sistema Oba sistema se posmatraju sa istim koordinatnim po etkom Odnos baznih vektora materijalnog i prostornog sistema λ a 11 a 12 a 13 ı µ = a 21 a 22 a 23 j ν a 31 a 32 a 33 k Matrica [a ij ] (i, j = 1, 2, 3) je matrica rotacije Elementi matrice a ij su kosinusi uglova izmežu pravaca λ, µ, ν u odnosu na pravce ı, j, k Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [a ij ] 1 = [a ij ] T

12 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Odnos prostornog i materijalnog sistema

13 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Izmežu 9 elemenata matrice [a ij ] postoji 6 veza (relacija) 1 Bazni vektori materijalnog sistema su mežusobno ortogonalni: λ µ = 0, µ ν = 0, ν λ = 0 2 Bazni vektori materijalnog sistema su jedini ni: λ λ = 1, µ µ = 1, ν ν = 1

14 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Izmežu 9 kosinusa pravaca a ij postoje slede e relacije a 11 a 21 + a 12 a 22 + a 13 a 23 = 0 a 21 a 31 + a 22 a 32 + a 23 a 33 = 0 a 31 a 11 + a 32 a 12 + a 33 a 13 = 0 a a a 2 13 = 1 a a a 2 23 = 1 a a a 2 33 = 1

15 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Odnos materijalnog prema prostornom sistemu odrežen je sa 9 kosinusa pravaca, odn. sa matricom rotacije Izmežu 9 elemenata matrice [a ij ] postoji 6 veza, odn. izraºavaju se preko 3 nezavisne veli ine Umesto komplikovane eliminacije, poloºaj sistema Aξηζ prema sistemu Oxyz moºe da se direktno odredi preko 3 mežusobno nezavisna ugla Ta 3 ugla su Ojlerovi uglovi ψ, ϑ, ϕ: - Ugao precesije ψ - Ugao nutacije ϑ - Ugao sopstvene rotacije ϕ

16 Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

17 Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

18 Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

19 Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

20 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Prostorni i materijalni sistem i Ojlerovi uglovi - Prostorni (nepokretan) sistem xyz - Materijalni (pokretan) sistem XY Z ξηζ - Linija vorova N (presek ravni xy i ξη) - Ugao precesije α ψ - Ugao nutacije β ϑ - Ugao sopstvene rotacije γ ϕ

21 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Trijedri Oxyz i Aξηζ se poklapaju (po etni poloºaj) Pomo u tri uzastopne rotacije za tri nezavisna kona na ugla, pokretan trijedar Aξηζ se dovodi u proizvoljan poloºaj u odnosu na nepokretan trijedar Oxyz Tri uzastopne kona ne rotacije su: 1 rotacija oko z ose za ugao PRECESIJE ψ 2 rotacija oko linije vorova n za ugao NUTACIJE ϑ 3 rotacija oko ose ζ za ugao SOPSTVENE ROTACIJE ϕ Odrežuju se relacije izmežu baznih vektora λ, µ, ν i ı, j, k

22 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Posle rotacije oko z ose za ugao ψ ose ξ i η su u ravni Oxy, ali rotirane za ugao ψ Osa ξ pretstavlja, u tom poloºaju, liniju vorova (presek ravni Oxy i Aξη Posle rotacije oko linije vorova (odn. oko ose ξ u tom poloºaju), za ugao ϑ, osa ζ se odvaja od ose z, a osa η se izdiºe iz ravni Oxy Posle rotacije oko ose ζ za ugao sopstvene rotacije ϕ i osa ξ se izdiºe iz ravni Oxy i dospeva u svoj kona an poloºaj Time je sistem Aξηζ dospeo u proizvoljan poloºaj u odnosu na nepokretan sistem Oxyz

23 Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

24 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Ispisivanjem relacija rotacije izmežu jedini nih vektora, posle svake kona ne rotacije, transformacijama se dolazi do veza izmežu jedini nih vektora sistema Oxyz: ı, j, k, kao i vektora pokretnog sistema Aξηζ: λ, µ, ν Time se dolazi do koecijenata matrice rotacije [a ij ], odn. matrica rotacije se izraºava preko Ojlerovih uglova: [a ij ] = [a ij (ψ, ϑ, ϕ)]

25 Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

26 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Dobija se za vektor λ: λ = a11 ı + a 12 j + a 13 k gde je a 11 = cos ψ cos ϕ sin ψ cos ϑ sin ϕ a 12 = sin ψ cos ϕ + cos ψ cos ϑ sin ϕ a 13 = sin ϑ sin ϕ

27 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Dobija se za vektor µ: µ = a 21 ı + a 22 j + a 23 k gde je a 21 = cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϑ cos ϕ a 22 = sin ψ sin ϕ + cos ψ cos ϑ cos ϕ a 23 = sin ϑ cos ϕ

28 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Dobija se za vektor ν: ν = a 31 ı + a 32 j + a 33 k gde je a 31 = sin ψ sin ϑ a 32 = cos ψ sin ϑ a 33 = cos ϑ

29 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Odnos prostornog i materijalnog sistema Kra e napisano, odnos baznih vektora materijalnog i prostornog sistema je ili skra eno λ µ ν = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 {λ } = [a ij ] {x } ı j k Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [a ij ] 1 = [a ij ] T tako da vaºe i inverzne relacije {x } = [a ij ] T {λ }

30 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

31 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine kretanja krutog tela (n = 6) su date sa: zakonima promene vektora poloºaja referentne ta ke A: x A = x A (t) y A = y A (t) z A = z A (t) zakonima promene poloºaja materijalnog sistema ξηζ u odnosu na prostorni xyz: ψ = ψ(t) ϑ = ϑ(t) ϕ = ϕ(t)

32 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine proizvoljne ta ke P krutog tela u vektorskom obliku: r P = r A + ρ P u skalarnom (matri nom) obliku: x y z P = x y z A + a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 T ξ η ζ P ili, skra eno: {x} P = {x} A + [a ij ] T {ξ} P

33 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine kretanja ta ke krutog tela

34 Vrste kretanja krutog tela Translatorno kretanje Obrtanje tela oko nepokretne ose Obrtanje tela oko nepokretne ta ke (sferno kretanje) Op²te kretanje krutog tela Ravansko kretanje Sloºeno kretanje tela po telu

35 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

36 Translacija je takvo kretanje tela pri kome svaki orjentisan materijalni pravac u telu pri kretanju tela zadrºava paralelan pravac i istu orjentaciju Denicija translatornog kretanja AP = A P = const Ta ka A je referentna ta ka, pa je AP = ρ Takože je A P = ρ, pa je AP = A P ekvivalentno sa ρ = ρ = const

37

38 Po deniciji krutog tela je ρ = ρ, ali kod translatornog kretanja ρ zadrºava i paralelan pravac i isti smer Prema tome, ako se telo kre e translatorno, ρ = ρ = const, onda je u vektoru poloºaja ta ke tela r = r A + ρ samo vektor r A promenljiv sa vremenom: r A = r A (t) Kako je ρ = const, kao i ρ = ξ λ + η µ + ζ ν, pri emu je (po deniciji krutog tela) ξ = const, η = const, ζ = const, sledi da su PRAVCI materijalnog sistema konstantni Prema tome, koecijenti matrice rotacije su konstantni: a ij = const ψ = const, ϑ = const, ϕ = const

39 Zna i, pri translatornom kretanju se menja samo r A, dok su Ojlerovi uglovi konstantni Kona ne jedna ine translatornog kretanja krutog tela su date sa: x A = x A (t) ψ = const y A = y A (t) z A = z A (t) ϑ = const ϕ = const Broj stepeni slobode kretanja tela je n = 3

40 Kona ne jedna ine proizvoljne ta ke P krutog tela u vektorskom obliku su: r P = r A + ρ P odn. u skra eno napisanom matri nom obliku: {x} P = {x} A + [a ij ] T {ξ} P Kod translacije je [a ij ] = const, a takože, kod krutog tela je {ξ} P = const, tako da su kona ne jedna ine proizvoljne ta ke tela koje vr²i translaciju date sa: {x} P (t) = {x} A (t) + {b}

41 U izrazu {x} P (t) = {x} A (t) + {b} je uvedena oznaka za konstantan vektor [a ij ] T {ξ} P = {b} = const koji pretstavlja vektor oset-a" (rastojanja) posmatrane ta ke P u odsnosu na referentnu ta ku A (u sistemu Oxyz) Vidi se da se bilo koja ta ka tela koje vr²i translatorno kretanje, kre e isto kao i referentna ta ka, samo po paralelnoj putanji (udaljenoj za vektor {b})

42

43 Vektor kona nog pomeranja ta ke A, odn. P, je razlika vektora poloºaja u t 2 i t 1 : d A = AA odn. dp = P P Kako je kod translacije, po deniciji pomeranja ta ke P dat sa ρ = ρ, onda je vektor d P = r P r P = ( r A + ρ ) ( r A + ρ) = ( r A r A ) odnosno, d P = d A = d

44 Isto se dobija se i iz paralelograma AP A P : ρ = ρ d P = d A odn. pomeranja ta aka A i P su mežusobno ista Alternativna denicija translatornog kretanja: Sve ta ke tela koje se translatorno kre e vr²e mežusobno ista pomeranja

45 Kako sve ta ke tela, koje se translatorno kre e, vr²e mežusobno ista pomeranja (u kona nom intervalu vremena t), d P = d A, onda su i za beskona no mali interval vremena t 0 elementarna pomeranja svih ta aka ista: d r P = d r A Sledi i da su brzine i ubrzanja svih ta aka mežusobno ista: d r P = d r A v P = v A, a P = a A Prilikom translacije, telo se kre e kao jedna materijalna ta ka (kona ne mase) Ta ke tela se kre u po mežusobno paralelnim trajektorijama

46

47 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

48 Denicija rotacije krutog tela oko nepokretne ose: Telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose ako su tokom kretanja tela dve ta ke tela stalno nepokretne Teorema 1: Ako se kruto telo kre e tako da su stalno nepokretne dve ta ke A i B, onda su nepokretne i sve ostale ta ke na osi kroz ta ke A i B - rotacija oko nepokretne ose

49

50 Ako su, po deniciji, dve ta ke tela nepokretne (vektor poloºaja se ne menja sa vremenom), r A = const, r B = const onda je broj stepeni slobode kretanja tela n = 1, jer je poloºaj tela odrežen sa 3 ta ke, A, B i C, odn. u ovom slu aju, samo jo² sa ta kom C: r C = {x C, y C, z C } Izmežu 3 koordinate r C postoje 2 veze: AC = const, BC = const, tako da je n = 1 Dve nepokretne ta ke A i B odrežuju osu AB, sa jedini nim vektorom s 0

51 Posmatra se ta ka P 1 koje je na osi AB. Njen vektor poloºaja je r P1 = r A + AP 1 = r A + AP 1 AB ( r B r A ) Kako je r A = const i r B = const, a takože (zbog pretpostavke o krutom telu) i AP 1 = const, to se dobija r P1 = r A + AP 1 s 0 = const r P1 = const Ako su nepokretne 2 ta ke tela, onda su nepokretne i sve druge ta ke na osi AB

52 Teorema 2: Brzine i ubrzanja ta aka na osi rotacije su jednake nuli Kako je r P1 = const, to je (diferenciranjem) r P1 = const r P1 = v P1 = 0, rp1 = a P1 = 0 odn. brzina i ubrzanje bilo koje ta ke na osi rotacije su jednake nuli (nepokretna osa) Sve ta ke tela izvan ose rotacije kre u se po kruºnim putanjama u ravnima upravnim na osu rotacije i sa centrima na osi rotacije

53 Usvaja se slede e u analizi rotacije oko nepokretne ose: - Koordinatni po eci sistema Oxyz i Aξηη se poklapaju (O = A) - Osa rotacije AB je osa z i poklapa se sa osom ζ - Time je ugao nutacije jednak nuli: ϑ = 0 - Ravni xy i ξη se poklapaju Ojlerovi uglovi ψ i ϕ nisu denisani (nema preseka ravni Oxy i Aξη) Generalisana koordinata je q 1 = θ, gde je θ = ψ + ϕ = (x, ξ)

54

55

56 Kona na jedna ina kretanja tela: θ = θ(t) Ako se u matricu rotacije [a ij ], gde je a ij = a ij (ψ, ϑ, ϕ), unese da je ϑ = 0, dobija se slede e: a 11 = cos ψ cos ϕ sin ψsinϕ = cos(ψ + ϕ) = a 22 a 12 = sin ψ cos ϕ + cos ψ sin ϕ = sin(ψ + ϕ) = a 21 a 13 = a 23 = a 31 = a 32 = 0 a 33 = 1

57 Matrica rotacije je funkcija samo ugla θ = θ(t) Kona ne jedna ine kretanja proizvoljne ta ke tela ( r A = 0): x cos θ sin θ 0 ξ y = sin θ cos θ 0 η z ζ P P ili, skra eno: {x} P = [a ij ] T {ξ} P

58

59 - Rodrigov obrazac Rodrigov obrazac: veza izmežu vektora pomeranja ta ke tela koje vr²i rotaciju oko nepokretne ose i ugla rotacije θ Veza se odrežuje za kona an ugao rotacije θ, a zatim se posmatra i mali ugao rotacije dθ Telo se obrne za kona an ugao rotacije θ Ta ka M je u preseku simetrale ugla θ i tetive P P

60 - Rodrigov obrazac Vektor pomeranja ta ke P je r P = r r odn. r P = ρ ρ Pravci ose obrtanja s, prave P 1 M i tetive P P ine tri mežusobno ortogonalna pravca u prostoru Vektor pomeranja ta ke P moºe da se prikaºe kao r P = P P ( s 0 m) (1)

61

62 - Rodrigov obrazac Sa slike (b) je P P = 2 P M = 2 P 1 M tan θ/2 (2) Takože je jedini ni vektor m dat sa, videti sl. (a), m = P 1 P 2 P 1 P + P 1 P = P 1 P 2 2 P 1 M

63 - Rodrigov obrazac Kako je, videti sliku u prostoru, P 1 P = P 1 O + OP = P1 O + ρ P 1 P = P 1 O + OP = P 1 O + ρ tako da se jedini ni vektor m dobija u obliku m = P 1 O + ρ + P 1 O + ρ 2 P 1 M

64 - Rodrigov obrazac Vektorski proizvod s 0 m moºe da se izrazi u obliku s 0 m = s 0 P 1 O P 1 M + s ρ + ρ 0 2P 1 M odnosno kao jer je (kao kolinearni vektori) s 0 m = s 0 ( ρ + ρ ) 2P 1 M s 0 P 1 O = 0 (3)

65 - Rodrigov obrazac Unose i (3) i (2) u relaciju (1) dobija se vektor pomeranja r = 2P 1 M tan θ 2 s 0 ( ρ + ρ ) 2P 1 M odonosno, dobija se Rodrigov obrazac r = tan θ 2 s 0 ( ρ + ρ ) (4) Veli ina (tan θ 2 ) s 0 se naziva verzor kona ne rotacije

66 Rodrigov obrazac

67 Rodrigov obrazac prikazuje vezu izmežu vektora kona nog pomeranja ta ke i kona nog ugla rotacije (za rotaciju tela oko nepokretne ose) Za beskona no mali ugao rotacije (θ dθ) se dobija (a) tan θ tan dθ 2 2 = dθ 2 (b) r = ρ ρ r = d ρ (c) ρ + ρ = ρ + ρ + d ρ = 2 ρ + d ρ

68 Uno²enjem u Rodrigov obrazac (4) dobija se d ρ = dθ 2 s 0 (2 ρ + d ρ) Uz zanemarivanje proizvoda malih veli ina na kvadrat, dobija se elementarno pomeranje ta ke: d ρ = dθ s 0 ρ odn. d ρ = d θ ρ gde je d θ = dθ s 0 vektor elementarne rotacije tela

69 Vektor elementarne rotacije je dat sa: d θ = dθ s 0 Intenzitet vektora elementarne rotacije je mali ugao dθ Pravac vektora elementarne rotacije se poklapa sa osom rotacije s 0 Smer vektora elementarne rotacije je takav da je, gledaju i u smeru vektora rotacije, obrtanje u smeru desnog zavrtnja

70 Vektor ugaone brzine tela je izvod po vremenu vektora elementarne rotacije: ω = d θ dt = θ s 0 = ω s 0 Vektor ugaonog ubrzanja tela je izvod po vremenu vektora ugaone brzine: ε = d ω dt = θ s 0 = ε s 0

71 Vektor elementarnog pomeranja ta ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je d ρ = d θ ρ Elementarno pomeranje je na ravan koju ine osa obrtanja s 0 i vektor poloºaja ta ke ρ: d ρ (d θ, ρ)

72 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

73 Ukoliko je prilikom kretanja krutog tela jedna ta ka stalno nepokretna, onda telo vr²i rotaciju oko te nepokretne ta ke (vr²i sferno kretanje) Ako je jedna ta ka stalno nepokretna, zbog pretpostavke o krutom telu, sve ostale ta ke tela se kre u tako da su uvek na istom rastojanju od nepokretne ta ke Sve ta ke tela se kre u po sfernim povr²ima iji je centar nepokretna ta ka, a polupre nik rastojanje od nepokretne ta ke to posmatrane ta ke

74

75 telo vr²i SFERNO KRETANJE i ima tri stepena slobode kretanja (n = 3) Nepokretna ta ka tela A je izabrana za referentnu ta ku, a takože i za koord. po etak nepokretnog sistema Oxyz Tada je r A = 0, kao i r = ρ (ali se izraºavaju u razli itim koord. sistemima Generalisane koordinate su tri Ojlerova ugla, pa su kona ne jedna ine kretanja tela date sa ψ = ψ(t) ϑ = ϑ(t) ϕ = ϕ(t)

76

77 Svaka ta ka P vr²i kretanje po sferi sa centrom u nepokretnoj ta ki A, polupre nika AP Kona ne jedna ine kretanja proizvoljne ta ke tela su: x y z P = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 T ξ η ζ P ili, skra eno: {x} P = [a ij ] T {ξ} P

78 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Dalamberova teorema: Svako telo koje vr²i sferno kretanje moºe da se prevede iz poloºaja (1) u poloºaj (2) ekvivalentnom rotacijom oko ose koja prolazi kroz nepokretnu ta ku A Alternativno: Svako kona no obrtanje tela oko nepokretne ta ke moºe da se prikaºe kao kona no obrtanje oko ose kroz nepokretnu ta ku (oko ose ekvivalentne rotacije) To je Osa ekvivalentne rotacije za kona an interval vremena t = t 2 t 1

79 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Iz ta ke A se opi²e (zami²ljena) sfera takvog radijusa da preseca telo Presek tela i sfere je neka kriva linija i ta ke P i Q su proizvljne dve ta ke tela koje pripadaju i toj krivoj, odn. sferi Ta ke P i Q, sa ta kom A, ine ravan. Presek ravni i sfere je veliki krug na sferi Ta ke P i Q se spoje delom luka na toj velikoj kruºnici (ovaj luk nije deo tela) Kretanje ta aka P i Q se prati (prikazuje) kretanjem luka PQ Kretanje tela se, prema tome, prati kretanjem luka PQ

80 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Rotacijom tela oko nepokretne ta ke A, ta ke P i Q su iz poloºaja (I) pre²le u poloºaj (II): P' i Q' Spoje se ta ke P i P', kao i Q i Q', odgovaraju im lucima velikih kruºnica sfere i nažu se srednje ta ke na lucima: P M = P M, QN = Q N U ta ki M, normalno na ravan APP', konstrui²e se (simetralna) ravan koja prolazi kroz centar sfere A Presek ove ravni i sfere je opet velika kruºnica Na isti na in se i u ta ki N konstrui²e ravan normalno na ravan AQQ' Presek i ove ravni sa sferom je velika kruºnica

81 : Dalamberova teorema

82 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Presek luka koji je na P P u ta ki M, kao i luka koji je na QQ u ta ki N, je ta ka C Posmatraju se sferni trouglovi CPQ i CP'Q': ova dva sferna trougla (na istoj sferi) su podudarna Dokaz podudarnosti sfernih trouglova - Ta ka C je podjednako udaljena od krajeva luka PP', kao i od krajeva luka QQ', jer leºi u preseku simetralnih ravni lukova PP' i QQ' i sfere: ĈP = ĈP, ĈQ = ĈQ - Telo je kruto, pa je P Q = P Q - Sve tri strane sfernih trouglova CPQ i CP'Q' su iste

83 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Ako su sferni trouglovi podudarni (iste sve tri stranice"), onda su isti i sferni uglovi: P CQ = P CQ Ako se levoj i desnoj strani doda isti sferni ugao QCP, onda je P CQ + QCP = QCP + P CQ odnosno, dobija se P CP = QCQ

84 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Zaklju ak: Pri obrtanju tela oko ta ke A iz poloºaja (I) u poloºaj (II), ta ke P i Q su se obrnule oko ta ke C na sferi za iste sferne uglove Moºe da se kaºe da se za taj ugao obrnuo oko ta ke C luk velikog kruga P Q pre²av²i u poloºaj P Q Mežutim, telo vr²i rotaciju oko nepokretne ta ke A, tako da se luk P Q istovremeno obr e i oko ta ke A, kao i oko ta ke C Luk P Q, odn. kruto telo, se obr e oko ose kroz ta ke A i C Osa AC je osa ekvivalentne rotacije (QED)

85 Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Telo koje vr²i sferno kretanje je izvr²ilo neko kona no pomeranje iz poloºaja (I) u poloºaj (II) kre u i se na neki na in Mežutim, nezavisno od stvarnog na ina kretanja u poloºaj (II), postoji prava AC kroz ta ku A, iji pravac zavisi samo od po etnog i krajnjeg poloºaja Ova prava ima osobinu da se izvr²eno pomeranje moºe da prikaºe kao obrtanje tela oko te prave kao nepokretne ose (ose ekvivalentne rotacije) Tada vaºi i Rodrigov obrazac za vektor kona nog pomeranja ta ke r = tan θ 2 s 0 ( ρ + ρ )

86 Trenutna osa rotacije Osa ekvivalentne rotacije se odnosi na kona no pomeranje (pri sfernom kretanju tela) unutar kona nog intervala vremena t = t 2 t 1 Trenutna osa rotacije je grani ni poloºaj ose ekvivalentne rotacije kada interval vremena, u kome se posmatra obrtanje tela oko nepokretne ta ke, teºi ka nuli: t 2 t 1 = n t n = 1, 2, 3,... (n N) Kada se smanjuje interval vremena, n t 0 (dt) osa ekvivalentne rotacije u malom intervalu vremena postaje trenutna osa rotacije

87 Kada t 0, grani ni poloºaj ose ekvivalentne rotacije je trenutna osa rotacije Vaºi tada Rodrigov obrazac za elementarno pomeranje ta ke (i pri sfernom kretanju, jer je to rotacija oko trenutne ose): d ρ = d θ ρ Ova relacija je izvedena za rotaciju tela oko nepokretne ose (koja je stalnog pravca) Vektor elementarne rotacije d θ je takože stalnog pravca (ima pravac ose rotacije) Intenzitet vektora d θ jednak je diferencijalu ugla obrtanja tela oko ose: dθ = θ(t) dt

88 Pri obrtanju oko nepokretne ta ke, trenutne ose rotacije uvek prolaze kroz nepokretnu ta ku, ali su mežusobno razli itih pravaca Mežutim, osim u slu aju rotacije oko nepokretne ose, vektor elementarne rotacije d θ ne predstavlja diferencijal neke kinemati ke veli ine (ugla) Vektor elementarne rotacije oko trenutne ose (kod sfernog kretanja) predstavlja veli inu koja je denisana u trenutku t, a ne u intervalu vremena (t 2, t 1 ) Trenutna osa rotacije je prava u prostoru oko koje se telo obr e u datom trenutku t. Takože su u tom trenutku t brzine ta aka tela na trenutnoj osi rotacije jednake nuli.

89 Trenutna osa rotacije moºe da se deni²e i kao materijalna prava linija u telu duº koje su u tom trenutku brzine ta aka jednake nulli Pojam trenutne ose rotacije je uveden na dva na ina: 1 kao geometrijska linija u prostoru oko koje se telo obr e u posmatranom trenutku 2 kao materijalna linija u telu ije su brzine jednake nuli u datom trenutku Trenutnu osu rotacije su nezavisno (i u sli no vreme) denisali D'Alambert (1749) i Euler (1750)

90 Obrtanje tela oko nepokretne ta ke (a i za op²te kretanje) je odreženo zakonima promene Ojlerovih uglova kao generalisanih koordinata Vektor d θ pri rotaciji oko nepokretne ta ke, odn. oko trenutne ose rotacije, ne odrežuje svojim koordinatama diferencijale nekih generalisanih koordinata (uglova) Vektor elementarne rotacije d θ je mali ugao u razli itim ravnima koje su na trenutnu osu u tom trenutku. Zato se vektor d θ, u slu aju sfernog (ili op²teg) kretanja obeleºava sa ž θ Elementarno pomeranje ta ke tela u slu aju sfernog kretanja je dato sa d ρ = ž θ ρ

91 Vektor elementarne rotacije ž θ je mali ugao u ravni na trenutnu osu rotacije - nije diferencijal nekog ugla U svakom narednom trenutku je trenutna osa rotacije neka druga osa, razli ita od trenutne ose u prethodnom trenutku, ali sve trenutne ose prolaze kroz nepokretnu ta ku A Sve trenutne ose formiraju konusnu povr² sa vrhom u ta ki A (pokretan ili nepokretan aksoid) Kod rotacije oko nepokretne ose, osa rotacije je stalna i ugao elementarne rotacije dθ je diferencijal ugla θ = θ(t) a vektor d θ je stalnog pravca

92 Kod sfernog kretanja je vektor elementarne rotacije ž θ samo mali vektor u pravcu trenutne ose Vektor ž θ nije diferencijal nekog ugla (odn. generalisane koordinate) Teorema: Vektor elementarne rotacije pri sfernom kretanju je nezavistan od poloºaja ta ke u telu. Alternativno: U svakom trenutku, pri sfernom kretanju, sve ta ke tela vr²e obrtanje oko zajedni ke trenutne ose rotacije za isti mali ugao.

93 Postavlja se pitanje da li se elementarno pomeranje d ρ, u datom trenutku, svih ta aka tela koje vr²i sferno kretanje, izraºava preko istog vektora elementarne rotacije, ili svaka ta ka tela ima neki "svoj" vektor elementarne rotacije Drugim re ima, da li je vektor ž θ zavistan od izbora, odn. od poloºaja posmatrane ta ke tela Pretpostavlja se da je vektor ž θ zavistan od poloºaja ta ke tela Posmatraju se dve ta ke P i P 1 i pretpostavlja se da one imaju "svoje", odn. nezavisne vektore elementarne rotacije ž θ i ž θ 1

94 Ako su vektori poloºaja ta aka dati, redom, sa ρ i ρ 1, onda su elementarna pomeranja ta aka, u istom trenutku vremena, data sa: - za ta ku P... d ρ = ž θ ρ - za ta ku P 1... d ρ 1 = ž θ 1 ρ 1 Kako se posmatra kruto telo, to su trouglovi AP P 1 i AP P 1 mežusobno podudarni (sve 3 stranice iste) AP P 1 = AP P 1 (trougao AP P 1 prelazi u blizak susedni poloºaj AP P 1 ne menjaju i svoj oblik)

95

96 Kako su trouglovi podudarni, onda su isti i odgovaraju i uglovi (a ne samo stranice) Tada moºe da se napi²e relacija koja u sebi sadrºi i jednakost dve stranice i jednakost ugla izmežu njih: odnosno relacija AP AP 1 = AP AP 1 ρ ρ 1 = ( ρ + d ρ) ( ρ 1 + d ρ 1 ) (5)

97 Ako se relacija (5) razvije, dobija se ρ ρ 1 = ρ ρ 1 + d ρ ρ 1 + ρ d ρ 1 + d ρ d ρ 1 (6) U relaciji (6) se skrate lan na levoj strani i prvi lan na desnoj strani, pa se, uz zanemarivanje malih veli ina 2. reda, dobija d ρ ρ 1 + ρ d ρ 1 = 0 Uno²enjem relacija za d ρ i d ρ 1 dobija se (ž θ ρ) ρ 1 + ρ (ž θ 1 ρ 1 ) = 0 (7)

98 Jedna ina (7) moºe da se prikaºe u obliku (transformacija me²ovitih proizvoda) odakle se dobija ž θ ( ρ ρ 1 ) ž θ 1 ( ρ ρ 1 ) = 0 (8) (ž θ ž θ 1 ) ( ρ ρ 1 ) = 0 Kako su P i P 1 proizvoljne ta ke tela, to je ( ρ ρ 1 ) 0, tako da se dobija ž θ ž θ 1 = 0 (uslov ( ρ ρ 1 ) = 0 zna i da su ta ke A, P i P 1 kolinearne)

99

100 Prema tome, sferno kretanje predstavlja sukcesivan niz rotacija tela oko trenutnih osa rotacije Sve trenutne ose rotacije prolaze kroz nepokretnu ta ku Vektor elementarne rotacije je vektor koji ima pravac trenutne ose rotacije Intenzitet vektora ž θ je jednak malom uglu rotacije oko trenutne ose U svakom trenutku sve ta ke tela vr²e obrtanje oko zajedni ke trenutne ose rotacije za isti ugao elementarne rotacije ž θ

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Sli cnost trouglova i Talesova teorema

Sli cnost trouglova i Talesova teorema Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 Kinematika krutog tela

1 Kinematika krutog tela M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd

Geometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 MKE - Linijski

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016.

Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016. Elektrodinamika 1 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 18. januar 016. 1. Zapreminska gustina naelektrisanja u prostoru ima oblik ρ( r) = αδ(ρ + z a )ν(z), gde su ρ i z cilindri

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer. UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET Dr Valentina Golubović - Bugarski MEHANIKA (Skripta izvodi predavanja) Banja Luka, februar 017. 1 PREDGOVOR Ova skripta priređena su prema važećem nastavnom

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Napomene

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951 Na²ao sam

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα