Μονηελοποίηζη Σσμπεριθοράς Μαγνηηικών Μικροζθαιριδίων

Transcript

1 ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ Σσολή Μησανολόγων Μησανικών Τομέαρ Μησανολογικών Κατασκεςών & Αςτομάτος Ελέγσος ΓΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑΙΑ Μονηελοποίηζη Σσμπεριθοράς Μαγνηηικών Μικροζθαιριδίων Τσιμπούκη Γεωπγία Επιβλέπον Καθηγητήρ: Λ. Αλεξόποςλορ Αθήνα Οκτώβπιορ 2011

2

3 ΠΡΟΛΟΓΟ Η παξνύζα δηπισκαηηθή εξγαζία πξαγκαηνπνηήζεθε ζηα πιαίζηα ηνπ καζήκαηνο «Βηνταηξηθή Σερλνινγία» ηνπ ελάηνπ εμακήλνπ ηεο ζρνιήο Μεραλνιόγσλ Μεραληθώλ. Η εξγαζία απηή πξαγκαηεύεηαη ηελ κνληεινπνίεζε ζε εκπνξηθό πξόγξακκα ηεο ζπκπεξηθνξάο καγλεηηθώλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Δπίζεο πεξηιακβάλεη ηελ παξνπζίαζε θαη απνηύπσζε ησλ απνηειεζκάησλ πεηξάκαηνο εμαθξίβσζεο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθόηεηαο ησλ ελ ιόγσ κηθξνζθαηξηδίσλ. Η κνληεινπνίεζε πνπ παξνπζηάδεηαη εληάζζεηαη ζην γεληθό πιαίζην ηεο κειέηεο θαη θαηαζθεπήο κηαο πξσηόηππεο ζπζθεπήο ρεηξηζκνύ βηνινγηθώλ δεηγκάησλ κε καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα. Η κειέηε θαη θαηαζθεπή ηεο ζπζθεπήο απηήο πξαγκαηνπνηείηαη ζηα πιαίζηα δηπισκαηηθήο εξγαζίαο, ζην εξγαζηήξην Βηνταηξηθήο ηνπ ηνκέα κεραλνινγηθώλ θαηαζθεπώλ θαη απηνκάηνπ ειέγρνπ από ηνλ πξνπηπρηαθό θνηηεηή Καλαθάξε Γεώξγην, ηνλ νπνίν θαη επραξηζηώ ζεξκά γηα ηηο πνιύηηκεο πιεξνθνξίεο πνπ πξνζέθεξε. Δπίζεο νθείισ λα επραξηζηήζσ γηα ηε βνήζεηα θαη ηελ ππνζηήξημε ηνπο ζε ζέκαηα ηνπ εξγαζηεξίνπ ηνλ πξνπηπρηαθό θνηηεηή Μεζζίλε Γεκήηξην θαη ηνλ ππνςήθην δηδάθηνξα Μειά Ισάλλε. Σέινο επραξηζηώ πνιύ ηνλ επηβιέπνληα θαζεγεηή θύξην Αιεμόπνπιν Λεσλίδα γηα ηελ πίζηε ηνπ ζην όιν εγρείξεκα θαη γηα ηε ζπλερή ππνζηήξημε.

4 Ειζαγωγή Η εξγαζία απηή αθνξά ηελ κνληεινπνίεζε κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ζε εκπνξηθό θώδηθα, ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ καγλεηηθώλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Η κνληεινπνίεζε εληάζζεηαη ζηα πιαίζηα κηαο επξύηεξεο θαηαζθεπήο πνπ ζα πξαγκαηνπνηεί ην ρεηξηζκό βηνινγηθώλ δεηγκάησλ κε ρξήζε ησλ ελ ιόγσ κηθξνζθαηξηδίσλ. Σα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα είλαη ζσκαηίδηα δηακέηξνπ ηεο ηάμεο ησλ κεξηθώλ κm, πνπ εμαηηίαο ηνπ ζηδεξνύρνπ ππξήλα ηνπο παξνπζηάδνπλ καγλεηηθέο ηδηόηεηεο. Σν ραξαθηεξηζηηθό απηό είλαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθό γηαηί, ζε ζπλδπαζκό κε ηελ ηδηόηεηα ηνπο λα κπνξνύλ λα ζπλδεζνύλ κε βηνινγηθέο νπζίεο, νδεγεί ζε απμεκέλεο δπλαηόηεηεο ρεηξηζκνύ βηνινγηθώλ δεηγκάησλ. Σα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα εληάζζνληαη όιν θαη πεξηζζόηεξν ζηελ εθηέιεζε δηάθνξσλ εξγαζηώλ βηνινγηθήο αλάιπζεο, όπσο είλαη ην πξσηόθνιιν ELISA. Σα βαζηθά ηνπο πιενλεθηήκαηα είλαη όηη δύλεηαη ε δπλαηόηεηα λα ρεηξηζηνύκε επαίζζεηεο βηνινγηθέο νπζίεο από απόζηαζε, κε κηθξέο δπλάκεηο θαη ρσξίο λα απαηηείηαη παξεκβνιή ρεκηθώλ νπζηώλ θαη όηη κεηώλνληαη θαηά πνιύ νη ρξόλνη ρεηξηζκνύ ησλ δεηγκάησλ θαη εθηέιεζεο ησλ πξσηνθόιισλ. θνπόο καο είλαη λα κνληεινπνηήζνπκε κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ηε ζπκπεξηθνξά ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ απηώλ, ηόζν ππό ηελ επίδξαζε εμσηεξηθνύ πεδίνπ ξνήο, όζν θαη ππό ηελ επίδξαζε εμσηεξηθνύ καγλεηηθνύ πεδίνπ. Η κνληεινπνίεζε γίλεηαη κε ρξήζε εκπνξηθνύ θώδηθα ηνπ πξνγξάκκαηνο Ansys. Γηα λα επηηειέζεη ην ζθνπό ηεο ε παξνύζα εξγαζία ρσξίδεηαη ζε ηέζζεξα θεθάιαηα. Σν πξώην θεθάιαην, «Θεσξεηηθό Μέξνο», αθνξά ηελ παξνπζίαζε θαη επεμήγεζε όισλ ησλ ζεσξεηηθώλ ελλνηώλ πνπ ζα εκθαληζηνύλ ζηε ζπλέρεηα. Κπξίσο επεμεγνύληαη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα, νη έλλνηεο ηνπ καγλεηηζκνύ θαη ησλ καγλεηηθώλ πεδίσλ θαη νη ηδηαηηεξόηεηεο ηεο ξνήο κηθξνζθαηξηδίσλ. Σν δεύηεξν θεθάιαην, «Πεπεξαζκέλα ηνηρεία», αθνξά ηηο ηδηαηηεξόηεηεο θαη ηηο δηαθνξνπνηήζεηο πνπ πξνθύπηνπλ θαηά ηελ εθαξκνγή ηεο ζεσξίαο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζε ζηνηρεηώδε θαη δηαθξηηά ζσκαηίδηα. Σν ηξίην θεθάιαην, «Μνληεινπνίεζε», αθνξά ηε ρξήζε ηνπ εκπνξηθνύ θώδηθα γηα ηελ πινπνίεζε ησλ κνληέισλ πνπ πεξηιακβάλνπλ κηθξνζθαηξίδηα. Η κνληεινπνίεζε γίλεηαη πάληα βαζηδόκελε ζηηο αξρέο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ θαη κε γλώκνλα ηελ ζεσξία πνπ έρεη αλαπηπρζεί. Σέινο ζην ηέηαξην θεθάιαην, «Πεηξακαηηθόο ππνινγηζκόο καγλεηηθήο επηδεθηηθόηεηαο», γίλεηαη κηα πξνζπάζεηα λα εμαθξηβσζνύλ νη καγλεηηθέο ηδηόηεηεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη. Σα πεηξακαηηθά απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη κε ιεπηνκέξεηα ζην παξάξηεκα ηεο παξνύζαο εξγαζίαο.

5 Περιετόμενα Κεθάλαιο 1 ο : Θεωρηηικό Μέρος... ζελ.6 1.0: Δηζαγσγή... ζει.8 1.1: Μαγλεηηθά Μηθξνζθαηξίδηα... ζει : Ιζηνξηθή αλαδξνκή... ζει : Τιηθά, κνξθή θαη ηδηόηεηεο... ζει : Δθαξκνγέο... ζει : Μαγλεηηζκόο... ζει : Μαγλεηηθέο ηδηόηεηεο νπζηώλ... ζει : Πεδίν δαθηπιίνπ πνπ δηαξξέεηαη από ξεύκα... ζει : Γύλακε πάλσ ζε δίπνιν από εμσηεξηθό πεδίν... ζει : Ηιεθηξηθό ξεύκα ζηα άηνκα-δηακαγλεηηζκόο... ζει : Μαγλεηηθή ξνπή ηδηνπεξηζηξνθήο-παξακαγλεηηζκόο... ζει : Μαγλεηηθή πόισζε ή καγλήηηζε... ζει : Διεύζεξα ξεύκαηα θαη ην πεδίν Η... ζει : Φεξξνκαγλεηηζκόο... ζει : Μαγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα... ζει : Μεηαηξνπή κεγεζώλ... ζει : Ρνή Μηθξνζθαηξηδίσλ... ζει : Ιρλειάηεζε ζσκαηηδίσλ... ζει : Μεηαθνξά νξκήο... ζει : Σύξβε ζηελ ηρλειάηεζε ζσκαηηδίσλ... ζει.47 Κεθάλαιο 2 ο : Πεπεραζμένα ηοιτεία... ζελ : Δηζαγσγή... ζει : Βαζηθέο Αξρέο... ζει : Αιιειεπηδξάζεηο Ρεπζηνύ σκαηηδίσλ... ζει : Μέζνδνο δηθηπσηνύ πιέγκαηνο Boltzmann... ζει : Δλζσκάησζε ηύξβεο... ζει : Τδξνδπλακηθέο επηδξάζεηο... ζει : ύδεπμε ξεπζηνύ-ζσκαηηδίνπ... ζει : Μαγλεηηζκόο... ζει : Απιό καγλεηηθό δίπνιν... ζει : Μνληέιν αιιειεπίδξαζεο καγλεηηθνύ δηπόινπ... ζει.62 Κεθάλαιο 3 ο : Μονηελοποίηζη... ζελ : Δηζαγσγή... ζει : Γεληθά ηνηρεία... ζει : Γεσκεηξία... ζει : Πεδίν ξνήο... ζει : Μαγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα... ζει : Μόληκνο καγλήηεο... ζει : 1 ν Μνληέιν-Μαγλεηνζηαηηθό Πξόβιεκα... ζει : Γεδνκέλα... ζει.80

6 3.2.2: Πιέγκα... ζει : Δπίιπζε... ζει : Απνηειέζκαηα... ζει : 2 ν Μνληέιν-Ιρλειάηεζε Μηθξνζθαηξηδίσλ... ζει : Πιέγκα... ζει : Γεδνκέλα... ζει : Δπίιπζε... ζει : Απνηειέζκαηα... ζει : 3 ν Μνληέιν-Ρεπζηνκεραληθό Πξόβιεκα... ζει : Πιέγκα... ζει : Γεδνκέλα... ζει : Δπίιπζε... ζει : Απνηειέζκαηα... ζει : Δθαξκνγή Μαγλεηηθνύ Πεδίνπ... ζει : Μνληεινπνίεζε... ζει Απνηειέζκαηα... ζει : πκπεξάζκαηα - Πξνηάζεηο... ζει.152 Κεθάλαιο 4 ο : Πειραμαηικός σπολογιζμός μαγνηηικής επιδεκηικόηηηας... ζελ : Δηζαγσγή... ζει : Θεσξεηηθή Σεθκεξίσζε... ζει : Πεηξάκαηα θαη Απνηειέζκαηα... ζει : Πείξακα 1 ν... ζει : Πείξακα 2 ν... ζει : Πείξακα 3 ν... ζει : Πείξακα 4 ν... ζει : πκπεξάζκαηα Πξνηάζεηο... ζει.176 Βιβλιογραθία... ζελ.182 Παράρηημα... ζελ.184

7 Θεσξεηηθφ Μέξνο

8 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος 7

9 1.0: Δηζαγωγή Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ην θεθάιαην απηφ ζα αζρνιεζνχκε κε ηελ αλάιπζε φισλ ησλ ζεσξεηηθψλ ελλνηψλ πνπ εκπιέθνληαη ζηε δηαδηθαζία ηεο κνληεινπνίεζεο. Γηα ην ζθνπφ απηφ ζα ρσξίζνπκε ην θεθάιαην ζε ηξείο ζεκαηηθέο ελφηεηεο. ηελ πξψηε ελφηεηα, πνπ νλνκάδεηαη «Μαγλεηηθά Μηθξνζθαηξίδηα», ζα εηζάγνπκε ηηο απαηηνχκελεο έλλνηεο ψζηε λα γίλεη θαηαλνεηή ε θχζε θαη νη βαζηθέο ηδηφηεηεο ησλ ελ ιφγσ ζθαηξηδίσλ. ηε δεχηεξε ελφηεηα, πνπ νλνκάδεηαη «Μαγλεηηζκφο», ζα δψζνπκε έκθαζε ζηε ζεσξία ηνπ καγλεηηζκνχ πνπ αθνξά ηελ ζπγθεθξηκέλε εθαξκνγή πνπ εμεηάδνπκε. Δπίζεο ζα δψζνπκε επεμεγήζεηο γηα ηα κεγέζε θαη ηηο καγλεηηθέο ηδηφηεηεο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ ζηε ζπλέρεηα ζηε κνληεινπνίεζε. ηελ ηξίηε θαη ηειεπηαία ελφηεηα απηνχ ηνπ θεθαιαίνπ, πνπ νλνκάδεηαη «Ρνή Μηθξνζθαηξηδίσλ» ζα εμεηάζνπκε ηηο ηδηαηηεξφηεηεο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζθαηξηδίσλ πνιχ κηθξήο δηακέηξνπ κέζα ζε ξνή ξεπζηνχ. Δπίζεο ζα εμεηάζνπκε ηηο ζπγθεθξηκέλεο απαηηήζεηο ηεο κνληεινπνίεζεο κηαο ηέηνηνπ είδνπο ξνήο θαη ηηο δηάθνξεο δπλαηφηεηεο πνπ πξνζθέξνληαη. 1.1: Μαγλεηηθά Μηθξνζθαηξίδηα Σα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα (magnetic beads, magnetic particles) είλαη «ζθαηξίδηα» πνιχ κηθξήο δηακέηξνπ, ηεο ηάμεσο ησλ 0.5 κε 500 κm. πλήζσο ρξεζηκνπνηνχληαη ζε βηνινγηθέο εθαξκνγέο γηα ηνλ ρεηξηζκφ θπηηάξσλ, πξσηετλψλ θαη λνπθιετθψλ νμέσλ. [1.1] Σν ζρήκα ησλ «ζθαηξηδίσλ» δελ είλαη πάληα θαη θαη αλάγθε ζθαηξηθφ, αιιά ε πηζηφηεηα ζην ζθαηξηθφ ζρήκα θαη ε κεγαιχηεξε δπλαηή αθξίβεηα ζηελ νλνκαζηηθή ηνπο δηάκεηξν είλαη ηα βαζηθφηεξα θξηηήξηα θαζνξηζκνχ ηεο πνηφηεηάο ηνπο. Σν φζν ην δπλαηφλ ζθαηξηθφ ζρήκα εμαζθαιίδεη ηελ νκνηνκνξθία φισλ ησλ δεηγκάησλ θαη πξνζθέξεη κηα εμσηεξηθή επηθάλεηα πιήξσο εθηεζεηκέλε θαη νκνηφκνξθε πξνο φιεο ηηο θαηεπζχλζεηο. Δπίζεο ε αθξίβεηα ηεο δηακέηξνπ είλαη πνιχ ζεκαληηθή φρη κφλν γηα λα ππάξρεη νκνηνκνξθία ζην δείγκα, αιιά θαη γηα λα κελ παξνπζηαζηνχλ πξνβιήκαηα ζηνλ εληνπηζκφ θαη ηελ αλίρλεπζε ησλ ζθαηξηδίσλ θαηά ηε δηαδηθαζία ηεο κέηξεζήο ηνπο. Σέινο κε ηα δχν παξαπάλσ ραξαθηεξηζηηθά εμαζθαιίδνληαη θαη νη ζηαζεξέο ρεκηθέο θαη θπζηθέο ηδηφηεηεο φισλ ησλ δεηγκάησλ. Σν θπξίαξρν ραξαθηεξηζηηθφ ηνπο πνπ ηα θάλεη ηφζν ρξήζηκα ζε δηάθνξεο εθαξκνγέο είλαη νη καγλεηηθέο ηνπ ηδηφηεηεο. Σα ζθαηξίδηα απηά έρνπλ ηε δπλαηφηεηα λα καγλεηίδνληαη θαη λα έιθνληαη παξνπζία καγλεηηθνχ πεδίνπ, ελψ φηαλ δελ ππάξρεη καγλεηηθφ πεδίν επαλέξρνληαη ζε κε καγλεηηζκέλε θαηάζηαζε. Απηή ε ηδηφηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ πξνζθέξεη ηε δπλαηφηεηα ρεηξηζκνχ ηνπο απφ απφζηαζε, κε κεγάιε αθξίβεηα θαη ρσξίο λα ηξαπκαηίδεηαη ή λα θηλδπλεχεη ην εθάζηνηε δείγκα. Κχξηα κέζνδνο κε ηελ νπνία ρξεζηκνπνηνχληαη είλαη ε επηθάιπςε ηεο επηθάλεηάο ηνπο κε δηάθνξα κφξηα ηα νπνία ζηε ζπλέρεηα έρνπλ ηε δπλαηφηεηα λα ζπλδεζνχλ κε ζπγθεθξηκέλα κφξηα ηνπ δείγκαηνο θαη λα πξαγκαηνπνηήζνπλ ηε κέηξεζε ή ην δηαρσξηζκφ κηαο ζπγθεθξηκέλεο νπζίαο κέζα ζε έλα δείγκα. Δπίζεο, θπξίσο ηα λαλνζσκαηίδηα, κπνξνχλ λα εηζαρζνχλ κέζα ζε δσληαλά θχηηαξα θαη λα πξαγκαηνπνηεζεί κέηξεζε ή δηαρσξηζκφο ρσξίο λα πξνθιεζεί βιάβε ζηηο δσηηθέο ιεηηνπξγίεο ηνπ θπηηάξνπ. ηελ ηειεπηαία απηή πεξίπησζε κάιηζηα, ν δηαρσξηζκφο κπνξεί λα γίλεηαη κε βάζε ηε δπλαηφηεηα θάζε ηχπνπ θπηηάξνπ λα απνξξνθά ηα καγλεηηθά ζσκαηίδηα (ζπλήζσο ξηλίζκαηα ζηδήξνπ ή νμεηδίσλ ηνπ ζηδήξνπ). [1.2] 8

10 1.1.1: Ιζηνξηθή αλαδξνκή Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Ζ ηζηνξία ηεο δεκηνπξγίαο θαη επξείαο ρξήζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ (microbeads) μεθηλά ην 1976 φηαλ ν Ννξβεγφο θαζεγεηήο John Ugelstad, ζην Παλεπηζηήκην ηνπ Trondheim (ζήκεξα Ννξβεγηθφ Παλεπηζηήκην Δπηζηήκεο θαη Σερλνινγίαο, NTNU) θαηάθεξε λα δεκηνπξγήζεη νκνηφκνξθα πνιπκεξή ζθαηξίδηα. Απηά ζηε ζπλέρεηα έγηλαλ γλσζηά κε ηελ εκπνξηθή νλνκαζία DynaBeads. Αληίζηνηρν παξφκνην επίηεπγκα είρε θαηαθέξεη κέρξη ηφηε κφλν ε NASA ζε ζπλζήθεο έιιεηςεο βαξχηεηαο. Δηθφλα 1.1: DynaBeads Ζ βαζηθή ηδέα απηήο ηεο αλαθάιπςεο ήηαλ κηα δηαδηθαζία δηφγθσζεο ησλ ζθαηξηδίσλ ζε δχν βήκαηα. Μηθξά «ελεξγνπνηεκέλα» ζσκαηίδηα πνιπκεξνχο δηαιχνληαη ζε λεξφ θαη ζηε ζπλέρεηα απνξξνθνχλ νξγαληθέο νπζίεο, δηαιπηέο ζην λεξφ. Έηζη απμάλεηαη πάλσ απφ 1000 θνξέο ν αξρηθφο ηνπο φγθνο. Πεξεηαίξσ εμέιημε ηεο ηδέαο απηήο επέθεξε ηελ δεκηνπξγία νκνηφκνξθσλ παξακαγλεηηθψλ ζθαηξηδίσλ ην Απηά θαηαζθεπάδνληαη δηαιχνληαο πνξψδε ζθαηξίδηα, ηα νπνία είλαη επηθαιπκκέλα κε νμεηδσηηθέο νκάδεο ζηηο εμσηεξηθέο θαη εζσηεξηθέο επηθάλεηεο, κέζα ζε πδάηηλν δηάιπκα αληφλησλ ζηδήξνπ Fe 2+ πνπ πεξηέρεη άιαηα. Σα ηφληα αληηδξνχλ κε ηηο νμεηδσηηθέο νκάδεο θαη ζρεκαηίδνπλ ιεπηνχο θφθθνπο καγλεηηθψλ νμεηδίσλ κέζα ζε φιν ην ζψκα ησλ ζθαηξηδίσλ, δεκηνπξγψληαο ηα ππεξπαξακαγλεηηθά ζθαηξίδηα. Σα ζθαηξίδηα απηά έρνπλ ηελ ηδηφηεηα λα εκθαλίδνπλ καγλεηηθέο ηδηφηεηεο κφλν παξνπζία καγλεηηθνχ πεδίνπ, ελψ εθηφο καγλεηηθνχ πεδίνπ ράλνπλ ηηο ηδηφηεηέο ηνπο απηέο. [1.3] Σα DynaBeads έγηλαλ γηα πξψηε θνξά εκπνξηθφ πξντφλ απφ ηελ εηαηξία Dyno Industrier ην 1981 θαη απφ εθεί θαη πέξα κε ζεηξέο ζπγρσλεχζεσλ θαη εμαγνξψλ, ε εκπνξηθή επσλπκία Dynal θαη ηα DynaBeads αλήθνπλ ζηελ εηαηξία Invitrogen, κέινο ηνπ νκίινπ Life Technologies. [1.1] ηε ζπλέρεηα αθνινχζεζαλ απφ ηα κέζα ηεο δεθαεηίαο ηνπ 1980 θαη άιιεο αλαθαιχςεηο θαη παηέληεο γχξσ απφ ηελ πξσηαξρηθή ηδέα κε άκεζν απνηέιεζκα ηε δεκηνπξγία αξθεηψλ εηαηξηψλ νη νπνίεο θαηαζθεπάδνπλ θαη εκπνξεχνληαη ηα δηθά ηνπ καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα : Τιηθά, κνξθή θαη ηδηόηεηεο ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα ππάξρεη κηα κεγάιε πνηθηιία παξαιιαγψλ γχξσ απφ ηελ ίδηα βαζηθή ηδέα. Γεληθά κπνξνχκε λα πνχκε πσο φια ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα απνηεινχληαη απφ έλαλ καγλεηηθφ ππξήλα πνπ πεξηβάιιεηαη απφ θάπνην πνιπκεξέο ή ελψζεηο ηνπ ππξηηίνπ, πιηθά ήδε γλσζηά θαη ρξήζηκα ζε δηάθνξεο ρεκηθέο αιιά θπξίσο βηνινγηθέο εθαξκνγέο. Οη δηαθνξέο κεηαμχ ησλ ζθαηξηδίσλ πνπ δηαηίζεληαη αθνξνχλ θπξίσο ηελ πιεζψξα ησλ δηακέηξσλ, ηελ αθξίβεηα επίηεπμεο απηήο ηεο δηακέηξνπ, ηελ ζθαηξηθφηεηα ηνπ ζρήκαηνο, αιιά θπξίσο ηα δξαζηηθά κέζα ηα νπνία έρνπλ εθαξκνζηεί ζηελ επηθάλεηα ηνπ εθάζηνηε ζθαηξηδίνπ θαη ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ ζηελ ζπγθεθξηκέλε εθαξκνγή. 9

11 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Ο ππξήλαο ησλ ζθαηξηδίσλ ζπλήζσο δελ είλαη ζπκπαγέο πιηθφ, αιιά κηα κήηξα πνιπκεξνχο κε καγλεηηθφ πιηθφ. Τπάξρεη επίζεο ε πεξίπησζε λα απνηειείηαη απφ έλαλ ππξήλα ζπκπαγνχο πνιπκεξνχο ην νπνίν ζηε ζπλέρεηα επηθαιχπηεηαη κε καγλεηηθφ πιηθφ θαη μαλά κε πνιπκεξέο, κε ηελ εμσηεξηθή ζηξψζε λα είλαη πάληα έλα ιεπηφ θέιπθνο πνιπκεξνχο. ε θάζε πεξίπησζε ζηνλ ππξήλα ππάξρεη κηα νκνηφκνξθε θαηαλνκή ππεξπαξακαγλεηηθνχ πιηθνχ, ζπλήζσο νμείδηα ηνπ ζηδήξνπ (καγλεηίηεο Fe 3 O 4 ή καγεκίηεο γ-fe 2 O 3 ). Ο ππεξπαξακαγλεηηζκφο είλαη ην βαζηθφηεξν ραξαθηεξηζηηθφ ησλ καγλεηηθψλ ζθαηξηδίσλ θαη ζπλνπηηθά ζεκαίλεη φηη έρνπλ καγλεηηθέο ηδηφηεηεο κφλν ππφ ηελ επίδξαζε καγλεηηθνχ πεδίνπ. Αληίζεηα ηα πιένλ ζπλήζε ζηδεξνχρα πιηθά παξνπζηάδνπλ κηα ηδηφηεηα πνπ ιέγεηαη θεξξνκαγλεηηζκφο θαη δηαηεξνχλ κηα παξακέλνπζα καγλήηηζε αθφκα θαη φηαλ ζηακαηήζεη λα δξα επάλσ ηνπο εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν. Πεξηζζφηεξεο εμεγήζεηο γηα ηα θαηλφκελα απηά ζα δψζνπκε ζηελ παξαθάησ παξάγξαθν 1.2 ελψ ζηνλ παξαθάησ πίλαθα κπνξνχκε λα δνχκε ηελ δηαθνξεηηθή ζπκπεξηθνξά ππεξπαξακαγλεηηθψλ θαη θεξξνκαγλεηηθψλ ζσκαηηδίσλ κέζα ζε νπηηθά δηαπεξαηφ κέζν (δελ απνηεινχλ καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα). Πίλαθαο 1.1: χγθξηζε ππεξπαξακαγλεηηζκνχ - θεξξνκαγλεηηζκνχ. [1.4] Τπφ ηελ επίδξαζε εμσηεξηθνχ Μεηά ηελ απνκάθξπλζε ηνπ εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Τπεξπαξακαγλεηηθά ζωκαηίδηα Οκνηφκνξθε θαηαλνκή απνπζία ηνπ Πφισζε ππφ ηελ επίδξαζε ηνπ πεδίνπ πεδίνπ Φεξξνκαγλεηηθά ζωκαηίδηα Παξακέλνπζα καγλήηηζε απνπζία ηνπ Πφισζε ππφ ηελ επίδξαζε ηνπ πεδίνπ πεδίνπ 10

12 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Δθηφο απφ ηνλ ππξήλα κεγάιν ελδηαθέξνλ παξνπζηάδνπλ επίζεο ηα πιηθά ηα νπνία απνηεινχλ ην θέιπθνο ησλ ζθαηξηδίσλ θαη πξνζηαηεχνπλ ην δείγκα απφ ην λα έξζεη ζε επαθή κε ηνλ νμεηδσηηθφ θαη πνιιέο θνξέο ηνμηθφ γηα απηά ζηδεξνχρν ππξήλα. Δπίζεο παίδνπλ θαη έλαλ δεχηεξν ξφιν. Σα πιηθά ηεο επηθάιπςεο επηιέγνληαη πξνζεθηηθά αθνχ ζηελ επηθάλεηά ηνπο ζα πξέπεη λα πξνζθνιιεζεί θάπνην ζπγθεθξηκέλν βηναληηδξψλ κφξην (ligand). Σν πιηθφ ηνπ θειχθνπο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ είλαη ζπλήζσο θάπνην πνιπκεξέο, κε θπξίαξρν ζηε ρξήζε ην πνιπζηπξέλην (PS-particles) αιιά θαη άιια πνιπκεξή φπσο πνιπαηζπιέλην (PE-particles), πνιπκεζαθξπιηθέο ελψζεηο (ζπλήζσο πνιπκεζπικεζαθξπιηθφ γπαιί PMMA-particles), πνιπζαθραξίηεο (BNF starchparticles), πνιπιαθηηθφ νμχ (PLA-particles) θαη άιια. Πνιιέο ρξήζεηο βξίζθνπλ επίζεο επηθαιχςεηο απφ ππξίηην ή ελψζεηο ηνπ ππξηηίνπ (SI-particles) αιιά θαη κηθξνζθαηξίδηα ρσξίο επηθάιπςε, κε εθηεζεηκέλν ησλ ππξήλα απφ νμείδηα ηνπ ζηδήξνπ, ζε εηδηθέο εθαξκνγέο. [1.5] Πνιιέο θνξέο ε επηινγή ηνπ πιηθνχ ηνπ θειχθνπο επάγεηαη απφ ηε δηαδηθαζία παξαγσγήο ησλ ζθαηξηδίσλ, ε νπνία ζπλήζσο πξνζηαηεχεηαη απφ πλεπκαηηθά δηθαηψκαηα απφ ηελ θάζε θαηαζθεπάζηξηα εηαηξία. ηνλ παξαθάησ πίλαθα βιέπνπκε ηα παξαπάλσ ηππηθά πνιπκεξή πιηθά ηνπ θειχθνπο κε ηελ ρεκηθή ηνπο δνκή. Πίλαθαο 1.2: Πνιπκεξή πιηθά θειχθνπο κηθξνζθαηξηδίσλ. [1.1] Τιηθό Υεκηθή δνκή Πνιπζηπξέλην (polystyrene PS) Πνιπαηζπιέλην (polyethylene PE) Πνιπκεζπικεζαθξπιηθφ γπαιί (acrylic glass ή Plexiglass ) Πνιπζαθραξίηεο (starch ή άκπιν) Πνιπιαθηηθφ νμχ (polylactic acid PLA) 11

13 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Έλα άιιν κέξνο πνπ είλαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθφ ζηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα είλαη ηα βηναληηδξόληα κόξηα (ligands) πνπ πξνζθνιιψληαη ζηελ επηθάλεηά ηνπο. Απηά ηα κφξηα θαζνξίδνπλ ηε ρξήζε ηελ νπνία κπνξνχλ λα έρνπλ ζηε ζπλέρεηα ηα κηθξνζθαηξίδηα θαη είλαη δσηηθήο ζεκαζίαο γηα ηελ βαζηθφηεξε εθαξκνγή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ, πνπ είλαη ν δηαρσξηζκφο βηνινγηθψλ νπζηψλ. Δηθφλα 1.2: χλδεζε κνξίσλ ζηελ επηθάλεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. [1.6] Όηαλ πξνζηεζνχλ ζε έλα δηάιπκα νπζηψλ, ηα κηθξνζθαηξίδηα ζα ζπλδεζνχλ επάλσ ζηηο επηζπκεηέο νπζίεο-ζηφρνπο (targets), νη νπνίεο κπνξεί λα είλαη νιφθιεξα θχηηαξα, πξσηεΐλεο, λνπθιετθά νμέα ή θαη άιια βηνινγηθά κφξηα. ηε ζπλέρεηα, αλ απνκαθξχλνπκε, ρξεζηκνπνηψληαο καγλεηηθέο δπλάκεηο, ην ζχκπιεγκα κηθξνζθαηξηδίσλ θαη νπζίαο-ζηφρνπ απφ ην αξρηθφ δηάιπκα, κπνξνχκε λα απνκνλψζνπκε ηε ζπγθεθξηκέλε νπζία πνπ επηζπκνχκε. Έηζη κπνξνχκε λα απνκνλψζνπκε ζπγθεθξηκέλεο νπζίεο θαη λα απμήζνπκε ηε ζπγθέληξσζή ηνπο ζε έλα δηάιπκα ρσξίο λα απαηηείηαη θπγνθέληξεζε ή θάπνηα άιιε επίπνλε δηαδηθαζία. Σα κηθξνζθαηξίδηα πνπ ππάξρνπλ ζην εκπφξην κπνξεί λα κελ θέξνπλ θακία επηθάιπςή ή λα θέξνπλ θάπνηα ζπγθεθξηκέλε επηθάιπςε πνπ ζπλδέεηαη πάληα κε κηα ζπγθεθξηκέλε νπζία-ζηφρν. Σα βηναληηδξφληα κφξηα ζηελ επηθάλεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κπνξεί λα είλαη αληηζψκαηα, πξσηεΐλεο ή αληηγφλα, θιψλνη DNA/RNA ή νπνηνδήπνηε άιιν κφξην κε πξνδηάζεζε ζχλδεζεο κε ηελ νπζία-ζηφρν. Σα βηναληηδξφληα κφξηα θαη ε δηάκεηξνο ησλ ζθαηξηδίσλ θαζνξίδνπλ γηα πνηα εθαξκνγή είλαη θαηάιιεια. Τπάξρνπλ δηάθνξεο δπλαηφηεηεο θαη εθαξκνγέο ζε φηη αθνξά ην είδνο θαη ηε κνξθή ηνπ βηναληηδξφλησο κνξίνπ. Παξαθάησ εμεηάδνπκε ηηο πην βαζηθέο θαη ζπλήζεηο πεξηπηψζεηο πνπ απαληψληαη. Αξρηθά έρνπκε ηελ πεξίπησζε φπνπ ην βηναληηδξψλ κφξην είλαη έλα κνλφθισλν αληίζσκα. ηελ πεξίπησζε απηή ην κηθξνζθαηξίδην κπνξεί λα εληνπίζεη θαη λα δηαρσξίζεη ζπγθεθξηκέλεο πξσηεΐλεο ζήκαλζεο ηεο επηθάλεηαο (cell surface markers) ησλ θπηηάξσλ θαη ρξεζηκνπνηνχληαη θπξίσο γηα ην δηαρσξηζκφ θπηηάξσλ. Αθφκα, ην βηναληηδξψλ κφξην κπνξεί λα είλαη έλα νιηγνκεξέο δεζνμπξηβνλνπθιενηίδην (oligo dt) νπφηε ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ απνκφλσζε θαη ηνλ δηαρσξηζκφ mrna. Δπίζεο κπνξεί λα είλαη πξσηεΐλε Α ή πξσηεΐλε G (αληηγφλα) θαη λα ρξεζηκνπνηείηαη γηα ην δηαρσξηζκφ ελφο ζπγθεθξηκέλνπ αληηζψκαηνο απφ έλα δηάιπκα. Μπνξεί λα βξεη εθαξκνγή είηε ζηνλ εληνπηζκφ ζπγθεθξηκέλσλ αληηζσκάησλ ( π.ρ. IgG1 θαη IgG2), είηε ζην δηαρσξηζκφ θαη ηνλ εμαγληζκφ ηνπο κε ζθνπφ ηε ρξήζε ηνπο ζηε 12

14 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος θαξκαθνβηνκεραλία. Οη δχν απηέο πξσηεΐλεο, ιφγσ ηεο ηζρπξήο ζχλδεζήο ηνπο κε ηα ελ ιφγσ αληηζψκαηα, ρξεζηκνπνηνχληαη ζε κηα δηαδηθαζία θαζίδεζεο ησλ αληηζσκάησλ, πνπ κπνξεί θαη λα κελ πεξηιακβάλεη κηθξνζθαηξίδηα, θαη νλνκάδεηαη immunoprecipitation (IP). Έλα άιιν βηναληηδξψλ κφξην πνπ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί είλαη ε πξσηεΐλε ζηξεπηαβηηίλε (streptavidin), ε νπνία ζρεκαηίδεη έλαλ απφ ηνπο ηζρπξφηεξνπο κε νκνηνπνιηθνχο δεζκνχο ζηε θχζε κε ηελ βηνηίλε (biotin), γλσζηή θαη σο βηηακίλε Β7. Ο ηζρπξφο απηφο δεζκφο είλαη ηδηαίηεξα ρξήζηκνο γηαηί είλαη αλζεθηηθφο ζε αιινηψζεηο, θαζαξηζκνχο, πξσηενιπηηθά έλδπκα, αθξαίεο ζεξκνθξαζίεο θαη αθξαίν ph. [1.1] Δπηπιένλ κπνξεί ην κηθξνζθαηξίδην λα κελ θέξεη θάπνην ζπγθεθξηκέλν βηναληηδξψλ κφξην, αιιά ε επηθάλεηά ηνπ λα είλαη «ελεξγνπνηεκέλε», έηζη ψζηε λα κπνξεί λα ζπλδεζεί, είηε κε θάπνην βηναληηδξψλ κφξην ηεο επηινγήο ηνπ εξεπλεηή, είηε απεπζείαο κε ηελ νπζία ζηφρν. Απφ ηελ άιιε πιεπξά κπνξεί λα βηναληηδξφλ κφξην λα είλαη έλα ηέηνην αληίζσκα (δεπηεξεχνλ αληίζσκα), πνπ λα κπνξεί λα ζπλδεζεί ζηε ζπλέρεηα κε έλα πξσηεχνλ αληίζσκα ηεο επηινγήο ηνπ εξεπλεηή θαη ην νπνίν πξσηεχνλ αληίζσκα ζα ζπλδεζεί κε ηελ νπζία-ζηφρν. Έηζη δίλεηαη ε δπλαηφηεηα ζηνλ εξεπλεηή λα παξαιιάζζεη ηνπο ζηφρνπο ηνπ θαη λα έρεη κεγαιχηεξε επειημία ζηε ρξήζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Παξαθάησ αθνινπζεί έλαο πίλαθαο κε ηηο παξαπάλσ θαηεγνξίεο βηναληηδξφλησλ κνξίσλ (ligands) θαη ηε ρξήζε ηνπο. Πίλαθαο 1.3: πλήζε βηναληηδξφληα κφξηα θαη εθαξκνγέο ηνπο. [1.6] Με πξσηεχνλ αληίζσκα, ζπλδέεηαη κε αληηγφλα ηεο επηθάλεηαο ησλ θπηηάξσλ. Με δεπηεξεχνλ αληίζσκα, ρξεζηκνπνηείηαη κε πξσηεχνλ αληίζσκα ηεο επηινγήο ηνπ εξεπλεηή. Με εηδηθή επηθάλεηα, ζπλδέεηαη είηε απεπζείαο κε ηελ νπζία-ζηφρν, είηε κε βηναληηδξψλ κφξην ηεο επηινγήο ηνπ εξεπλεηή. Με ζηξεπηαβηηίλε, ζηελ πεξίπησζε απηή ην βηναληηδξψλ κφξην ζπλδέεηαη κέζσ ηεο βηηακίλεο Β7. Με πξσηεΐλε Α ή πξσηεΐλε G, ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηνλ δηαρσξηζκφ αληηζσκάησλ ή ζηε δηαδηθαζία «αλνζν-θαζίδεζεο» (immunoprecipitation). Με oligo-dt, γηα ηνλ δηαρσξηζκφ mrna. Έρνληαο εμεηάζεη θαη ηα ηξία κέξε πνπ απνηεινχλ έλα καγλεηηθφ κηθξνζθαηξίδην (ππεξπαξακαγλεηηθφο ππξήλαο, θέιπθνο, βηναληηδξφληα κφξηα) πξνρσξάκε ζηε ζπλέρεηα ζηελ αλαθνξά ησλ βαζηθφηεξσλ εθαξκνγψλ ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ, θπξίσο ζηε βηνινγία θαη ηελ ηαηξηθή. 13

15 1.1.3: Δθαξκνγέο Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Όπσο αλαθέξακε θαη παξαπάλσ, ε βαζηθφηεξε εθαξκνγή ζηελ νπνία αμηνπνηνχληαη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα είλαη ν ρεηξηζκφο θαη δηαρσξηζκφο βηνινγηθψλ δεηγκάησλ. ηνλ ηνκέα απηφ εζηηάδνπκε θαη εκείο ηελ πξνζνρή καο, αθνχ ν αληηθεηκεληθφο ζθνπφο απηήο ηεο εξγαζίαο είλαη λα κνληεινπνηήζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαηά ηε δηάξθεηα κηαο δηαδηθαζίαο ρεηξηζκνχ ελφο βηνινγηθνχ δείγκαηνο. Γεληθά ππάξρεη κεγάιε ειεπζεξία θαη πιεζψξα δηαθνξεηηθψλ ηξφπσλ ρξήζεο αλάινγα κε ηνλ ηχπν ηνπ βηναληηδξφληνο κνξίνπ θαη ηε δηάκεηξν ηνπ κηθξνζθαηξηδίνπ. ε θάζε πεξίπησζε ν ρεηξηζκφο ηνπ δείγκαηνο κε ρξήζε καγλεηηθψλ δπλάκεσλ πξνζθέξεη κεγάιε επαηζζεζία ζηηο κεηξήζεηο θαη πςειή επαλαιεςεκφηεηα ηνπ πεηξάκαηνο. ε φηη αθνξά ην κέγεζνο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ, ηα κεγαιχηεξεο δηακέηξνπ πξνηηκψληαη ζε εθαξκνγέο φπνπ ην δηάιπκα έρεη κεγάιν ημψδεο (π.ρ. αίκα, κπειφο ησλ νζηψλ θ.ιπ.) θαη πξσηαξρηθά ρξεζηκνπνηνχληαη γηα ην δηαρσξηζκφ θαη ηελ ελεξγνπνίεζε θπηηάξσλ. Σα κηθξφηεξα κηθξνζθαηξίδηα ρξεζηκνπνηνχληαη πεξηζζφηεξν γηα ηνλ ρεηξηζκφ κηθξφηεξσλ κνξίσλ, ελψ δελ επεξεάδνπλ ηε ξνή ηνπ δηαιχκαηνο θαη ζπκπεξηθέξνληαη ζαλ ζηεξεή θάζε κφλν θαηά ην δηαρσξηζκφ θαη ηελ αλίρλεπζε. ηε ζπλέρεηα ζα εμεηάζνπκε θάπνηεο εθαξκνγέο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ κε βάζε φζα έρνπλ ήδε εηπσζεί γηα ηα βηναληηδξφληα κφξηα θαη ην κέγεζνο ησλ ζθαηξηδίσλ. Απνκφλσζε θπηηάξσλ: Σα κηθξνζθαηξίδηα κε αληίζσκα ρξεζηκνπνηνχληαη παξαδνζηαθά γηα ηελ απνκφλσζε ή ηε κείσζε ηνπ πιεζπζκνχ ησλ θπηηάξσλ ζε έλα αξρηθφ αλάκηθην δείγκα. Σα είδε ησλ θπηηάξσλ πνπ κπνξνχλ λα απνκνλσζνχλ είλαη κεηαμχ άιισλ θχηηαξα ηχπνπ Σ, Β, ΝΚ, κνλνθχηηαξα, δελδξηηηθά θχηηαξα, κηζρνεηδή θχηηαξα, θχηηαξα ζε ζηνηβάδεο θαη θαξθηληθά θχηηαξα. Σα αξρηθά δείγκαηα κπνξεί λα πεξηιακβάλνπλ αίκα, κπειφ ησλ νζηψλ, αίκα απφ ησλ πιαθνχληα ή επεμεξγαζκέλα δείγκαηα φπσο ιέκθνο, MNC (mononuclear cell), θαη δείγκαηα ηζηψλ. Δλεξγνπνίεζε ηνπ αλνζνπνηεηηθνχ ζπζηήκαηνο ησλ θπηηάξσλ: Σα κηθξνζθαηξίδηα κπνξνχλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ σο ηερλεηά θχηηαξα πνπ θέξνπλ αληηγφλα, κηκνχκελα ηνλ in vivo κεραληζκφ ζεκαηνδφηεζεο ησλ θπηηάξσλ κε ζθνπφ ηελ πιήξε ελεξγνπνίεζε Σ-θπηηάξσλ ζε θαιιηέξγεηα. Ζ πξνζνκνίσζε απηή είλαη δπλαηή ρξεζηκνπνηψληαο κηθξνζθαηξίδηα ζην κέγεζνο πεξίπνπ ησλ θπηηάξσλ (4-5κm). Απνκφλσζε κνξηαθνχ πιηθνχ απφ ζπγθεθξηκέλα θχηηαξα: ηε κνξηαθή αλάιπζε ρξεζηκνπνηνχληαη φιν θαη πεξηζζφηεξν ακηγείο πιεζπζκνί θπηηάξσλ, ελψ ηα δεδνκέλα απφ νκνηνγελή δείγκαηα θπηηάξσλ πεξηέρνπλ πεξηζζφηεξε πιεξνθνξία ζε ζρέζε κε κεγαιχηεξα δείγκαηα αλάκεηθησλ θπηηάξσλ. Ζ δεκηνπξγία ακηγψλ θπηηαξηθψλ πιεζπζκψλ είλαη κηα πξφθιεζε γηα πνιινχο θιάδνπο ηεο βηνινγίαο. Δπίζεο, εμαηηίαο ησλ πεξηνξηζκψλ ζηνπο κεραληζκνχο κεηαγξαθήο, κεηάθξαζεο αιιά θαη ζηα ζηάδηα κεηά ηε κεηάθξαζε, ηα επίπεδα ηνπ mrna θαη ησλ παξαγφκελσλ πξσηετλψλ δελ 14

16 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος κπνξνχλ λα ζπζρεηηζζνχλ πάληα. Απαηηείηαη ινηπφλ ηαπηφρξνλε αλάιπζε ηφζν ηνπ mrna φζν θαη ησλ πξσηετλψλ ζην ίδην δείγκα, πξάγκα πνπ είλαη δπλαηφ κε ηε ρξήζε καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Δπίζεο ην κνξηαθφ πιηθφ πνπ ζα δηαρσξηζηεί θαη ζα ζπλδεζεί ζην κηθξνζθαηξίδην κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ζηε ζπλέρεηα, αλ είλαη mrna γηα αλαζχλζεζε ηνπ DNA (upstream applications) ή, αλ είλαη DNA, γηα ηελ πεξεηαίξσ δηάζπαζή ηνπ (downstream applications). Δηθφλα 1.3: Δθαξκνγέο καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. [1.6] Απηνκαηνπνηεκέλε δηαρείξηζε: Σν βαζηθφηεξν πιενλέθηεκα ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη ε εθαξκνγή πνπ θεξδίδεη φιν θαη πεξηζζφηεξν έδαθνο είλαη ε απηνκαηνπνηεκέλε δηαρείξηζε βηνινγηθψλ δεηγκάησλ. Απηφ ζεκαίλεη φηη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα απνηεινχλ ην βαζηθφ ζπζηαηηθφ ζηνηρείν ζπζθεπψλ πνπ απηφκαηα πξαγκαηνπνηνχλ πξσηφθνιια αλίρλεπζεο νπζηψλ φπσο ην ELISA. θνπφο είλαη λα θαηαζθεπαζζνχλ ζπζθεπέο πνπ ζα πξνεηνηκάδνπλ ηα δείγκαηα, ζα εθηεινχλ ηα πξσηφθνιια θαη ζα αλαιχνπλ ηα απνηειέζκαηα ρσξίο λα παξεκβάιιεηαη ελδηάκεζα αλζξψπηλνο παξάγνληαο. Γηα ηελ επίηεπμε απηνχ ηνπ ζηφρνπ νπζηαζηηθφ ξφιν παίδεη ε δπλαηφηεηα δηαρείξηζεο ηνπ δείγκαηνο κε καγλεηηθέο δπλάκεηο. [1.6] Με ηελ παξνπζίαζε ησλ παξαπάλσ πιεξνθνξηψλ επειπηζηνχκε λα δφζεθε κηα γεληθή εηθφλα γηα ην ηη είλαη ηα καγλεηηθά ζθαηξίδηα, ηα νπνία ζηε ζπλέρεηα ζα κνληεινπνηήζνπκε, πψο ρξεζηκνπνηνχληαη θαη πνηεο είλαη νη βαζηθέο ηνπο ηδηφηεηεο. ην Κεθάιαην 3 ηεο κνληεινπνίεζεο ζα αλαθεξζνχκε πην ζπγθεθξηκέλα θαη κε ιεπηνκέξεηα ζηηο ηδηφηεηεο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζην εξγαζηήξην θαη πνπ ζα είλαη ην αληηθείκελν ηεο κνληεινπνίεζεο. 15

17 1.2: Μαγλεηηζκόο Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ην θεθάιαην απηφ εμεηάδεηαη ε ζεσξία ηνπ καγλεηηζκνχ, φρη ηφζν ζε καζεκαηηθφ επίπεδν αιιά θπξίσο ζε επίπεδν θαηαλφεζεο ησλ βαζηθψλ καγλεηηθψλ θαηλνκέλσλ. Δζηηάδνπκε θπξίσο ζηηο έλλνηεο εθείλεο πνπ απαηηνχληαη γηα ηελ θαηαλφεζε ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη ζηα κεγέζε εθείλα πνπ αθνξνχλ ηε κνληεινπνίεζε πνπ ζα αθνινπζήζεη : Μαγλεηηθέο ηδηόηεηεο νπζηώλ Αο ζεσξήζνπκε έλα πείξακα κε έλα πνιχ ηζρπξφ καγλεηηθφ πεδίν. Έζησ φηη θαηαζθεπάδνπκε έλα ζσιελνεηδέο κε εζσηεξηθή δηάκεηξν 10cm θαη κήθνο 40cm. Ζ εμσηεξηθή ηνπ δηάκεηξνο είλαη επίζεο 40cm θαη ην κεγαιχηεξν κέξνο ηνπ φγθνπ ηνπ θαιχπηεηαη κε ζπεηξψκαηα ραιθνχ. Απηφο ν ειεθηξνκαγλήηεο κπνξεί λα παξέρεη ζηαζεξφ καγλεηηθφ πεδίν 30000gauss ή 3Σ. Γηα ην ζθνπφ απηφ ζα πξέπεη λα ηξνθνδνηείηαη κε 400kW ειεθηξηθήο ηζρχνο θαη πεξίπνπ 100Lt λεξφ ην ιεπηφ γηα λα απάγεηαη ε ζεξκφηεηα. Σν καγλεηηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη είλαη 10 5 θνξέο κεγαιχηεξν απφ ην καγλεηηθφ πεδίν ηεο γεο θαη 5 ή 10 θνξέο κεγαιχηεξν απφ νπνηαδήπνηε καγλεηηθφ πεδίν κπνξεί λα ζπλαληήζεη θαλείο ζηηο θαζεκεξηλέο εθαξκνγέο. Σν καγλεηηθφ πεδίν αλακέλεηαη λα είλαη ζρεδφλ νκνηφκνξθν ζε κηα πεξηνρή ζην θέληξν ηνπ ζσιελνεηδνχο θαη λα κεηψλεηαη πεξίπνπ ζην κηζφ θαζψο θηλνχκαζηε θαηά ηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο πξνο νπνηαδήπνηε απφ ηα δχν άθξα. Παξαθάησ παξνπζηάδεηαη έλα γξάθεκα ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαηά ηνλ άμνλα ηνπ ζσιελνεηδνχο, αλ ζεσξήζνπκε φηη ην πεδίν ζην θέληξν είλαη 30kG. Παξαηεξνχκε φηη ε έληαζε ηνπ πεδίν ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο είλαη 18kG θαη αιιάδεη κε ξπζκφ 1.7kG/cm. Δηθφλα 1.4: Έληαζε καγλεηηθνχ πεδίνπ ζσιελνεηδνχο. [1.7] 16

18 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Αλ ηνπνζεηήζνπκε δηάθνξεο νπζίεο εληφο ηνπ πεδίνπ θαη κεηξήζνπκε ηηο δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη πάλσ ηνπο, παξαηεξνχκε ηα παξαθάησ. Γεληθά ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ πεδίν αζθείηαη θάπνηα δχλακε, πξάγκα πνπ ην δηαπηζηψλνπκε αλ θιείζνπκε ηελ παξνρή ηνπ ξεχκαηνο, νπφηε νπνηαδήπνηε δχλακε εμαθαλίδεηαη. χληνκα αλαθαιχπηνπκε επίζεο φηη ε δχλακε ζην δείγκα καο είλαη πάληα κεγαιχηεξε, φρη φηαλ απηφ ηνπνζεηείηαη ζην θέληξν ηνπ ζσιελνεηδνχο φπνπ ε έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ B z είλαη κέγηζηε, αιιά φηαλ ηνπνζεηείηαη θνληά ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο φπνπ ν ξπζκφο κεηαβνιή (gradient) ηεο έληαζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ db z /dz είλαη κέγηζηνο. Γηα ην ιφγσ απηφ ζα ζεσξήζνπκε φηη φιεο νη επφκελεο κεηξήζεηο πνπ αλαθέξνληαη, έρνπλ γίλεη θνληά ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο. Σνπνζεηψληαο ινηπφλ ηα δείγκαηα ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο θαη κεηξψληαο ηηο καγλεηηθέο δπλάκεηο πάλσ ηνπο, παξαηεξνχκε θαη αξρήλ φηη ε δχλακε πάλσ ζε κηα ζπγθεθξηκέλε νπζία είλαη αλάινγε ηεο κάδαο θαη αλεμάξηεηε ηνπ ζρήκαηνο, εθφζνλ ην δείγκα δελ έρεη ππεξβνιηθά κεγάιν κέγεζνο. Αξρηθά παξαζέηνπκε θάπνηα πνηνηηθά ζπκπεξάζκαηα. Γηα ηα πεξηζζφηεξα απφ ηα θαζεκεξηλά θαη ζπλεζηζκέλα πιηθά πνπ κεηξήζεθαλ, ε δχλακε πνπ αζθείηαη πάλσ ηνπο ιφγσ ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ είλαη εμαηξεηηθά κηθξή θαη δελ μεπεξλά ηα κεξηθά κn αλά γξακκάξην κάδαο ηεο νπζίαο. Γειαδή ε καγλεηηθή δχλακε δελ είλαη κεγαιχηεξε απφ έλα κηθξφ πνζνζηφ ηνπ βάξνπο ηεο εθάζηνηε νπζίαο. Δπίζεο παξαηεξνχκε φηη γηα κεξηθέο νπζίεο ε δχλακε ηείλεη λα ηα απνκαθξχλεη απφ ην ζσιελνεηδέο, ελψ ζε άιιεο νπζίεο ηείλεη πξνο ην θέληξν ηνπ ζσιελνεηδνχο. Μάιηζηα παξαηεξνχκε φηη ε δηεχζπλζε ηεο καγλεηηθήο δχλακεο δελ εμαξηάηαη απφ ηε θνξά ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, πξάγκα πνπ ην δηαπηζηψλνπκε εχθνια αλ αληηζηξέςνπκε ην ξεχκα ζηα ηπιίγκαηα κε ην ηεκάρην ζηελ ίδηα πάληα ζέζε. Αληίζεηα, δηαπηζηψλνπκε φηη κεξηθέο νπζίεο έιθνληαη πάληα πξνο ηε δηεχζπλζε φπνπ απμάλεηαη ην πεδίν, ελψ άιιεο πξνο ηε δηεχζπλζε πνπ κεηψλεηαη, αλεμάξηεηα απφ ηελ θαηεχζπλζε ηνπ ίδηνπ ηνπ πεδίνπ. Αλάκεζα ζηηο δηάθνξεο νπζίεο πνπ κεηξήζεθαλ παξαηεξήζεθαλ θάπνηεο ζηηο νπνίεο επελεξγνχζε ζεκαληηθή δχλακε ζε ζχγθξηζε κε ηηο ππφινηπεο, φπσο ην πγξφ νμπγφλν, ν ζίδεξνο θαη έλα νμείδην ηνπ ζηδήξνπ, ν καγλεηίηεο. Μάιηζηα παξαηεξνχκε φηη ε δχλακε πάλσ ζε έλα γξακκάξην ζηδήξνπ είλαη πάλσ απφ 10 5 θνξέο κεγαιχηεξε απφ ηε δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα γξακκάξην ραιθνχ, νπζίεο πνπ αλήθνπλ θαη νη δχν ζηα κέηαιια. Παξεκπηπηφλησο, ε παξαπάλσ παξαηήξεζε θαηαδεηθλχεη πφζν δχζθνιν είλαη λα γίλνπλ αμηφπηζηεο κεηξήζεηο καγλεηηθψλ ηδηνηήησλ ζε νπζίεο πνπ είλαη δχζθνιν λα βξεζνχλ ζε απνιχησο θαζαξή κνξθή. Γηα απηέο ηηο νπζίεο, φπσο ν ραιθφο, ε παξνπζία έζησ θαη ελφο απεηξνειάρηζηνπ πνζνζηνχ ζηδήξνπ ή νμεηδίσλ ηνπ ζηδήξνπ κέζα ζηε κάδα ηνπ πιηθνχ κπνξεί λα αιιάμεη εληειψο ηα απνηειέζκαηα ησλ κεηξήζεσλ. Γεληθά νη νπζίεο πνπ κεηξήζεθαλ θαιχπηνπλ έλα επξχ θάζκα θαη δίλνπλ κηα ηδέα γηα ηελ πνηθηιία ησλ εθθξάζεσλ ησλ καγλεηηθψλ δπλάκεσλ ζην πεξηβάιινλ. Παξαθάησ αθνινπζεί πίλαθαο κε ηηο κεηξήζεηο πνπ έγηλαλ ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο, κε έληαζε καγλεηηθνχ πεδίνπ B z = 18kG θαη db z /dz = 1.7kG/cm. Όηαλ ε δχλακε έρεη θαηεχζπλζε πξνο ην εζσηεξηθφ ηνπ ζσιελνεηδνχο (απμαλφκελν καγλεηηθφ πεδίν) ζεκεηψλεηαη κε ζεηηθφ πξφζεκν, ελψ φηαλ έρεη θαηεχζπλζε πξνο ην εμσηεξηθφ ηνπ ζσιελνεηδνχο (κεηνχκελν καγλεηηθφ πεδίν) ζεκεηψλεηαη κε αξλεηηθφ πξφζεκν. Όιεο νη κεηξήζεηο έγηλαλ ζε ζεξκνθξαζία 20 ν C, εθηφο απφ ηηο πεξηπηψζεηο πνπ ε ζεξκνθξαζία ζεκεηψλεηαη δίπια ζηε κέηξεζε. 17

19 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Πίλαθαο 1.4: Μαγλεηηθή δχλακε πνπ αζθείηαη ζε 1gm δηαθφξσλ νπζηψλ. [1.7] Οπζία Υεκηθόο ηύπνο Γύλακε ζε mn Γηακαγλεηηθέο νπζίεο Νεξφ H 2 O Υαιθφο Cu Υισξηνχρν Νάηξην NaCl Θείν S Γηακάληη C Γξαθίηεο C Τγξφ Άδσην N (78 K) Παξακαγλεηηθέο νπζίεο Νάηξην Na Αινπκίλην Al Υισξηνχρνο Υαιθφο CuCl Θεηηθφ Νηθέιην NiSO Τγξφ Ομπγφλν O 2 75 (90K) Φεξξνκαγλεηηθέο νπζίεο ίδεξνο Fe 4000 Μαγλεηίηεο Fe 3 O Απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα παξαηεξνχκε κεγάιεο δηαθνξνπνηήζεηο θαη δηαθπκάλζεηο ζε πιηθά πνπ αλήθνπλ ζηηο ίδηεο ρεκηθέο θαηεγνξίεο θαη απηφ καο δείρλεη φηη ππάξρνπλ δηάθνξα θαηλφκελα πνπ επεξεάδνπλ ηε ζπκπεξηθνξά ησλ πιηθψλ θαη δελ είλαη πάληα εληειψο πξνθαλή. αλ έλα πξψην βήκα γηα ηελ θαηαλφεζε ηεο θχζεο ησλ καγλεηηθψλ δπλάκεσλ πξνρσξήζακε ζε θαηεγνξηνπνίεζε ηνπο κε βάζε ηα απνηειέζκαηα ηνπ πεηξάκαηνο, ζε ηξείο κεγάιεο νηθνγέλεηεο. Πξψηνλ, νη νπζίεο πνπ απσζνχληαη ειαθξά απφ ηνλ καγλήηε, φπσο ην λεξφ, ν ραιθφο, ην ζείν θ.ιπ., θαινχληαη διαμαγνηηικές. ηελ θαηεγνξία απηή αλήθνπλ ε πιεηνςεθία ησλ αλφξγαλσλ νπζηψλ θαη πξαθηηθά φιεο νη νξγαληθέο νπζίεο. Απνδεηθλχεηαη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα φηη ν δηακαγλεηηζκφο είλαη ηδηφηεηα φισλ ησλ αηφκσλ θαη ησλ κνξίσλ. Όηαλ παξαηεξείηαη αληίζεηε ζπκπεξηθνξά ζε κηα νπζία, απηφ ζπκβαίλεη γηαηί ν δηακαγλεηηζκφο θαιχπηεηαη απφ θάπνην άιιν ηζρπξφηεξν θαηλφκελν, ην νπνίν νδεγεί ζηελ έιμε θάπνηαο νπζίαο απφ έλα καγλήηε. Απφ ηελ άιιε πιεπξά, νπζίεο πνπ έιθνληαη θαηά ηε θνξά πνπ απμάλεηαη ην καγλεηηθφ πεδίν νλνκάδνληαη παραμαγνηηικές. ε κεξηθέο πεξηπηψζεηο, ζε γλσζηά κέηαιια φπσο ην αινπκίλην θαη ην λάηξην θαη αξθεηά άιια, ν παξακαγλεηηζκφο δελ είλαη ηδηαίηεξα ηζρπξφηεξνο απφ ηνλ ζπλήζε δηακαγλεηηζκφ. ε άιια πιηθά πάιη, φπσο ην ζεηηθφ ληθέιην θαη ν ρισξηνχρνο ραιθφο, ην θαηλφκελν ηνπ παξακαγλεηηζκνχ είλαη αξθεηά ηζρπξφηεξν. ηηο νπζίεο πνπ παξνπζηάδνπλ παξακαγλεηηθέο ηδηφηεηεο επίζεο, παξαηεξνχκε φηη ην θαηλφκελν εληείλεηαη φζν κεηψλεηαη ε ζεξκνθξαζία, θηάλνληαο ζε αξθεηά ηζρπξέο δπλάκεηο θνληά ζην απφιπην κεδέλ. Απηφ ελ κέξεη εμεγεί θαη ηελ ηζρπξή έιμε πνπ παξαηεξείηαη ζην πγξφ νμπγφλν. Πάλησο ε ζπκπεξηθνξά απηή ησλ πιηθψλ δελ ζα είλαη εχθνιν λα εμεγεζεί αθνχ παξαηεξνχληαη αξθεηέο αληηζέζεηο. Γηα παξάδεηγκα ν ραιθφο είλαη δηακαγλεηηθφ πιηθφ, ελψ ν ρισξηνχρνο ραιθφο παξακαγλεηηθφ θαη ελψ ην λάηξην είλαη παξακαγλεηηθφ, ην ρισξηνχρν λάηξην είλαη δηακαγλεηηθφ. 18

20 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Μηα άιιε θαηεγνξία πιηθψλ πνπ παξνπζηάδεηαη ζην πίλαθα, είλαη απηή ησλ θερρομαγνηηικών πιηθψλ θαη πεξηιακβάλεη ην ζίδεξν θαη ην καγλεηίηε. Σα πιηθά απηά επίζεο έιθνληαη απφ ην απμάλσλ καγλεηηθφ πεδίν, φπσο ηα παξακαγλεηηθά, αιιά κε δπλάκεηο πνιχ κεγαιχηεξεο. Δπίζεο παξνπζηάδνπλ θαη κηα δεχηεξε δηαθνξνπνίεζε. Αλ κεηψζνπκε ζην κηζφ ην ξεχκα πνπ δηαξξέεη ην ζσιελνεηδέο θαη θαη επέθηαζε ηφζν ηελ έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, φζν θαη ηνλ ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο, παξαηεξνχκε φηη γηα φια ηα πιηθά εθηφο απφ ηα θεξξνκαγλεηηθά ε δχλακε πνπ αζθείηαη κεηψλεηαη πεξίπνπ ζην έλα ηέηαξην. Αληίζεηα γηα ηα θεξξνκαγλεηηθά πιηθά ε δχλακε κεηψλεηαη πεξίπνπ ζην κηζφ. Έηζη, ππφ ηηο πεξηγξαθφκελεο ζπλζήθεο ηνπιάρηζηνλ, κπνξνχκε λα πνχκε φηη ε καγλεηηθή δχλακε είλαη αλάινγε ηνπ ηεηξαγψλνπ ηνπ πεδίνπ γηα φια ηα πιηθά εθηφο απφ ηα θεξξνκαγλεηηθά, φπνπ ε δχλακε είλαη πεξίπνπ αλάινγε ηνπ πεδίνπ. πλνςίδνληαο, παξαηεξνχκε φηη νη καγλεηηθέο δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη ζην κεγαιχηεξν αξηζκφ ησλ πιηθψλ είλαη ηδηαίηεξα αζζελείο θαη αθφκα θαη αλ είρακε έλα πνιχ ηζρπξφ καγλεηηθφ πεδίν, απηφ δελ ζα είρε ζρεδφλ θαλέλα απνηέιεζκα ζε ρεκηθέο ή βηνρεκηθέο δηαδηθαζίεο. Αθφκα θαη αλ βάδακε ην ρέξη καο ζε έλα πεδίν ηεο ηάμεο ησλ 30kG δελ ζα αηζζαλφκαζηαλ ηίπνηα θαη ζα ήηαλ πνιχ δχζθνιν λα απνδείμνπκε φηη ην ζψκα καο είλαη δηακαγλεηηθφ ή παξακαγλεηηθφ αθνχ ε δχλακε πνπ ζα αζθνχληαλ ζην ρέξη καο δελ ζα μεπεξλνχζε ζε θακία πεξίπησζε ην βάξνο κεξηθψλ δεθάδσλ γξακκαξίσλ. Πξνθαλψο ν κφλνο θίλδπλνο πνπ ζρεηίδεηαη κε ηελ παξνπζία ηζρπξψλ, ζηαζεξψλ καγλεηηθψλ πεδίσλ είλαη ε πηζαλφηεηα θάπνην ζηδεξνχρν αληηθείκελν λα βξεζεί κέζα ζε απηά θαη λα επηηαρπλζεί, απνθηψληαο αληηθεηκεληθά κεγάιε νξκή. [1.7] 1.2.2: Πεδίν δαθηπιίνπ πνπ δηαξξέεηαη από ξεύκα Δθφζνλ κέρξη ηψξα δελ έρεη βξεζεί πνηέ θάπνην καγλεηηθφ κνλφπνιν, ε κφλε πεγή γηα ηε δεκηνπξγία καγλεηηθνχ πεδίνπ είλαη ην ειεθηξηθφ ξεχκα. Έηζη ηζρχεη φηη: ( ) ( ) Απηφ καο ζπκίδεη ηελ ππφζεζε ηνπ Ampere, φηη ν καγλεηηζκφο νθείιεηαη ζε πνιιαπινχο κηθξνζθνπηθνχο δαθηπιίνπο ειεθηξηθνχ ξεχκαηνο θαηαλεκεκέλνπο κέζα ζηελ χιε. Έηζη ινηπφλ μεθηλάκε εμεηάδνληαο ην καγλεηηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ έλαλ δαθηχιην πνπ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα ζε κεγάιε, ζε ζρέζε κε ην κέγεζνο ηνπ δαθηπιίνπ, απφζηαζε απφ απηφλ. Αθνινπζψληαο, ηε ζεσξία ηεο δεκηνπξγίαο καγλεηηθνχ πεδίνπ γχξσ απφ ξεπκαηνθφξνπο αγσγνχο, απινπνηψληαο θαη δηαηεξψληαο κφλν ηνπο φξνπο πξψηεο ηάμεο θαηαιήγνπκε ζε κηα έθθξαζε γηα ην δηαλπζκαηηθφ δπλακηθφ Α (vector potential). Καηαιήγνπκε φηη ην δηαλπζκαηηθφ δπλακηθφ πνπ δεκηνπξγείηαη απφ έλα δαθηχιην πνπ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα, νπνηνπδήπνηε ζρήκαηνο, ζε απφζηαζε r απφ απηφλ, ε νπνία είλαη πνιχ κεγαιχηεξε απφ ην κέγεζνο ηνπ δαθηπιίνπ, είλαη έλα δηάλπζκα θάζεην ζην επίπεδν πνπ πεξηέρεη ην δηάλπζκα ηεο απφζηαζεο r θαη ηνλ άμνλα ηνπ δαθηπιίνπ. Σν κέγεζνο ηνπ δηαλπζκαηηθνχ δπλακηθνχ ζην ζεκείν απηφ είλαη: ( ) 19

21 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Όπνπ Η είλαη ην ξεχκα πνπ δηαξξέεη ην δαθηχιην, α είλαη ε επηθάλεηα ηνπ δαθηπιίνπ, c είλαη ε ηαρχηεηα ηνπ θσηφο θαη ζ ε γσλία κεηαμχ ηνπ r θαη ηνπ θαλνληθνχ δηαλχζκαηνο πνπ είλαη θάζεην ζην επίπεδν πνπ πεξηέρεη ηνλ δαθηχιην (normal). Σν δηαλπζκαηηθφ δπλακηθφ είλαη ζπκκεηξηθφ γχξσ απφ ηνλ άμνλα ηνπ δαθηπιίνπ, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη φηη θαη ην πεδίν Β ζα είλαη επίζεο ζπκκεηξηθφ. Ζ εμήγεζε δίλεηαη απφ ην γεγνλφο φηη ζεσξήζακε φηη βξηζθφκαζηε ηφζν καθξηά απφ ην δαθηχιην πνπ νη ιεπηνκέξεηεο ηνπ ζρήκαηφο ηνπ δελ παίδνπλ θαλέλα ξφιν. Παξαηεξνχκε επίζεο φηη φινη νη δαθηχιηνη κε ην ίδην γηλφκελν (ξεχκαηα x επηθάλεηα) παξάγνπλ ην ίδην πεδίν ζε κεγάιε απφζηαζε. Έηζη νλνκάδνπκε ηνλ φξν Iα/c καγλεηηθή ξνπή ηνπ δηπφινπ (magnetic dipole moment) ελφο δαθηπιίνπ ξεχκαηνο θαη ην ζπκβνιίδνπκε κε m. Απνδεηθλχεηαη φηη ε καγλεηηθή ξνπή είλαη δηάλπζκα, κε δηεχζπλζε απηή ηνπ θαλνληθνχ δηαλχζκαηνο ηνπ δαθηπιίνπ ή απηή ηνπ δηαλχζκαηνο a, πνπ είλαη ην δηάλπζκα ηεο επηθάλεηαο πνπ πξνθχπηεη αλ ηελ ππνινγίζνπκε κε επηθακπχιην νινθιήξσκα θαηά ηε δηαδξνκή ηνπ ξεπκαηνθφξνπ δαθηπιίνπ. ( ) ε φηη αθνξά ηελ θαηεχζπλζε ηνπ ίδηνπ ηνπ m, έρνπκε ζπκθσλήζεη φηη ζα εμάγεηαη κε ην θαλφλα ηνπ δεμηνχ ρεξηνχ, αθνινπζψληαο ηελ ζεηηθή θνξά ηνπ ξεχκαηνο, φπσο θαίλεηαη θαη ζην παξαθάησ ζρήκα. Δηθφλα 1.5: Μαγλεηηθή ξνπή ηνπ δηπφινπ. [1.7] Μεηά ηνλ νξηζκφ ησλ παξαπάλσ κεγεζψλ, ην δηαλπζκαηηθφ δπλακηθφ ηνπ πεδίνπ ελφο καγλεηηθνχ δηπφινπ m κπνξεί λα γξαθεί ρξεζηκνπνηψληαο δηαλπζκαηηθνχο φξνπο ζηελ παξαθάησ κνξθή. ( ) Όπνπ ην ȓ είλαη ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ζηελ θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο πνπ μεθηλά απφ ην θέληξν ηνπ δαθηπιίνπ θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν ηνπ πεδίνπ πνπ βξηζθφκαζηε. εκεηψλνπκε εδψ φηη ε θαηεχζπλζε ηνπ Α πξέπεη πάληα λα είλαη ε ίδηα κε ηελ θαηεχζπλζε ηνπ ξεχκαηνο ζην ζεκείν ηνπ αγσγνχ πνπ βξίζθεηαη θνληχηεξα ζην ζεκείν πνπ ππνινγίδνπκε ην δηαλπζκαηηθφ δπλακηθφ. 20

22 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ηε ζπλέρεηα εμεηάδνπκε ηελ έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ Β ζε κεγάιε απφζηαζε απφ ηνλ ξεπκαηνθφξν δαθηχιην. Ζ έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ πξνθχπηεη απεπζείαο απφ ην δηαλπζκαηηθφ δπλακηθφ ηνπ πεδίνπ απφ ηε ζρέζε. ( ) Απφ ηελ παξαπάλσ ζρέζε εμάγνπκε ηε κνξθή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο. Ζ κνξθή απηή αλαθέξεηαη ζε ζεκαληηθή απφζηαζε απφ ηνλ ξεπκαηνθφξν αγσγφ. ( ) Παξαηεξνχκε ινηπφλ φηη ην καγλεηηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ έλαλ κηθξφ ξεπκαηνθφξν δαθηχιην ζε κεγάιε απφζηαζε απφ απηφλ, νκνηάδεη κε ην ειεθηξηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ δχν μερσξηζηά ειεθηξηθά θνξηία, ζε κηθξή απφζηαζε κεηαμχ ηνπο θαη ζε κεγάιε απφζηαζε απφ απηά. Παξαθάησ αθνινπζεί έλα ζρήκα πνπ δίλεη κηα βαζηθή ηξηζδηάζηαηε απεηθφληζε ηνπ πεδίνπ ζε κεγάιε απφζηαζε απφ έλα ξεπκαηνθφξν δαθηχιην. Δηθφλα 1.6: Μαγλεηηθφ πεδίν δηπφινπ ζε κεγάιε απφζηαζε. [1.7] Απφ ηελ άιιε πιεπξά ην καγλεηηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή θνληά ζηνλ ξεπκαηνθφξν δαθηχιην είλαη εληειψο δηαθνξεηηθφ απφ ην ειεθηξηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή θνληά ζε δχν αληίζεηα θνξηηζκέλα ειεθηξηθά θνξηία. Ζ βαζηθφηεξε δηαθνξνπνίεζε πξνθχπηεη θπζηθά απφ ην γεγνλφο φηη νη γξακκέο ηνπ ειεθηξηθνχ πεδίνπ μεθηλνχλ απφ ην έλα θνξηίν θαη θαηαιήγνπλ ζην άιιν, ελψ νη γξακκέο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ δελ ηειεηψλνπλ πνηέ, νχηε θαλ κέζα ζηελ πεγή ηνπ. [1.7] 21

23 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Δηθφλα 1.7: χγθξηζε ειεθηξηθνχ θαη καγλεηηθνχ πεδίνπ θνληά ζηηο πεγέο ηνπο. [1.7] 1.2.3: Γύλακε πάλω ζε δίπνιν από εμωηεξηθό πεδίν ηελ πεξίπησζε απηή ζεσξνχκε έλα κηθξφ θπθιηθφ αγσγφ πνπ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα θαη ηνπνζεηείηαη εληφο ελφο καγλεηηθνχ πεδίνπ θάπνηνπ άιινπ αγσγνχ, έζησ ελφο ζσιελνεηδνχο. Σν εμσηεξηθφ απηφ πεδίν έζησ φηη είλαη θαηά ηε δηεχζπλζε ηνπ άμνλα Ε πνπ είλαη ζηελ πεξίπησζε απηή θαη ν άμνλαο ηνπ ξεπκαηνθφξνπ δαθηπιίνπ πνπ εμεηάδνπκε. Δπίζεο ζεσξνχκε φηη ην πεδίν είλαη ζπκκεηξηθφ θαηά ηνλ άμνλα Ε θαη θαζψο πξνρσξάκε θαηά κήθνο ηνπ άμνλα απηνχ κεηψλεηαη ε έληαζε ηνπ. Με ηελ παξαπάλσ πεξηγξαθή ην εμσηεξηθφ πεδίν πξνζνκνηάδεη ην πεδίν ζηελ άθξε ελφο ζσιελνεηδνχο πνπ ζπλαληήζακε ζηελ αξρή ηεο παξαγξάθνπ. ην ζρήκα πνπ αθνινπζεί κπνξνχκε λα δνχκε ηνλ ξεπκαηνθφξν δαθηχιην ηνπνζεηεκέλν εληφο ηνπ ελ ιφγσ πεδίνπ. Γελ απεηθνλίδεηαη ην καγλεηηθφ πεδίν ηνπ ίδηνπ ηνπ ξεπκαηνθφξνπ αγσγνχ γηαηί ζηελ πεξίπησζε απηή ζέινπκε λα βξνχκε ηε δχλακε πνπ αζθείηαη πάλσ ζην δαθηχιην απφ ην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν. Δθ ησλ πξαγκάησλ ε δχλακε πάλσ ζην δαθηχιην απφ ην πεδίν ηνπ ίδηνπ ηνπ ξεπκαηνθφξνπ δαθηπιίνπ είλαη κεδέλ θαη γηα ηνλ ιφγσ απηφ δελ ρξεηάδεηαη λα ηε ζπλππνινγίζνπκε ζηελ παξαθάησ ζεψξεζή καο. 22

24 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Δηθφλα 1.8: Ρεπκαηνθφξνο δαθηχιηνο ζε εμσηεξηθφ πεδίν. [1.7] Παξαηεξνχκε φηη αλ ζε θάζε ζεκείν ηνπ δαθηπιίνπ αλαιχζνπκε ην δηάλπζκα ηνπ πεδίν ζε δχν ζπληζηψζεο B r θαη B z, ηφηε ππάξρεη κηα ζπληζηακέλε δχλακε θάζεηε ζην δαθηχιην θαη κε θνξά πξνο ηα θάησ. πλνπηηθά πεξηγξάθνπκε ηε δηαδηθαζία σο εμήο. Κάζε ζηνηρεηψδεο θνκκάηη ηνπ δαθηπιίνπ είλαη ξεπκαηνθφξνο αγσγφο κέζα ζε καγλεηηθφ πεδίν. H έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ είλαη ίδηα παληνχ πάλσ ζην δαθηχιην, επεηδή έρνπκε ζπκκεηξηθφ πεδίν θαηά ηνλ άμνλα Ε. Οη δπλάκεηο πνπ πξνθαινχληαη απφ ηε ζπληζηψζα B z έρνπλ θνξά θαηά ηελ αθηίλα ηνπ δαθηπιίνπ θαη επνκέλσο αιιειναλαηξνχληαη ζηα αληηδηακεηξηθά ζεκεία. Έηζη κέλεη κφλν ε δχλακε πνπ αζθείηαη ιφγσ ηεο ζπληζηψζαο B r κε θνξά πξνο ηα θάησ. Παξαηεξνχκε φηη ε ηηκή ηεο B r έρεη άκεζε ζρέζε κε ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, db z /dz, πξάγκα πνπ απνδεηθλχεηαη αλ εθαξκφζνπκε ηε βαζηθή ζρέζε divb=0 ζε έλα ζηνηρεηψδε θπιηλδξηθφ φγθν κε χςνο dz θαη αθηίλα r, κέζα ζην καγλεηηθφ πεδίν. Έηζη πξνθχπηεη φηη ε ζπλνιηθή δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα ξεπκαηνθφξν θπθιηθφ δαθηχιην ηνπνζεηεκέλν κέζα ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, φπσο πεξηγξάθεθε παξαπάλσ, έρεη θνξά πξνο ηα θάησ, δειαδή πξνο ηε δηεχζπλζε αχμεζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαη ηηκή: ( ) Δχθνια απνδεηθλχεηαη φηη αλ ην κέγεζνο ηνπ δαθηπιίνπ είλαη αξθεηά κηθξφ ζε ζρέζε κε ην εμσηεξηθφ πεδίν, ηφηε ην ζρήκα ηνπ δαθηπιίνπ δελ είλαη απαξαίηεην λα είλαη θπθιηθφ θαη δελ παίδεη θαλέλα ξφιν. Σν κφλν ην νπνίν έρεη ζεκαζία είλαη ε καγλεηηθή ξνπή ηνπ δηπφινπ, δειαδή ην γηλφκελν ηεο επηθάλεηαο ηνπ δαθηπιίνπ επί ηελ έληαζε ηνπ ξεχκαηνο. Δπίζεο παξαηεξνχκε φηη αλ αιιάμνπκε ηε θνξά ηνπ ξεχκαηνο ηνπ δαθηπιίνπ, δειαδή αλ αιιάμνπκε ηε θνξά ηεο καγλεηηθήο ξνπήο, ηφηε θαη επέθηαζε αιιάδεη θαη ε θνξά ηεο δχλακεο θαη ηφηε ην δίπνιν ηείλεη λα θηλεζεί πξνο ηελ θαηεχζπλζε πνπ κεηψλεηαη ην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν. Γειαδή ε θαηεχζπλζε ηεο δχλακεο εμαξηάηαη απφ ηελ θαηεχζπλζε ηεο καγλεηηθήο ξνπήο. 23

25 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Με βάζε φζα εηπψζεθαλ παξαπάλσ κπνξνχκε λα θαηαιήμνπκε ζε ηξία βαζηθά ζπκπεξάζκαηα κέρξη ηψξα. Όηαλ ε δηπνιηθή ξνπή είλαη παξάιιειε ζην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, δχλακε αζθείηαη ζηε δηεχζπλζεο ηεο αχμεζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ. Όηαλ ε δηπνιηθή ξνπή είλαη αληηπαξάιιειε ζην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, δχλακε αζθείηαη ζηε δηεχζπλζεο ηεο κείσζεο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ. Όηαλ δελ ππάξρεη κεηαβνιή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίν, δελ αζθείηαη θακία δχλακε. Φπζηθά ηα φζα πεξηγξάθεθαλ παξαπάλσ δελ αθνξνχλ ηε γεληθή πεξίπησζε, αθνχ ε καγλεηηθή ξνπή κπνξεί λα ζρεκαηίδεη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα ηελ νπνηαδήπνηε γσλία κε ην πεδίν θαη ην ίδην ην καγλεηηθφ πεδίν λα κελ είλαη ζπκκεηξηθφ πξνο νπνηαδήπνηε θαηεχζπλζε. Όκσο κε βάζε φζα ήδε εηπψζεθαλ κπνξνχκε λα απνδείμνπκε ηελ χπαξμε κηαο γεληθήο ζρέζεο πνπ ππνινγίδεη ηε δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα δίπνιν κέζα ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν έληαζεο Β. ( ) Πιένλ κεηά θαη ηα παξαπάλσ κπνξνχκε λα αληηιεθζνχκε θάπσο θαιχηεξα ηα απνηειέζκαηα ηνπ πεηξάκαηνο πνπ πεξηγξάθεθαλ ζηελ αξρή ηεο παξαγξάθνπ απηήο. Σα δείγκαηα ηα νπνία παξνπζηάζηεθαλ λα έιθνληαη πξνο ην θέληξν ηνπ ζσιελνεηδνχο είλαη ινγηθφ λα πεξηιακβάλνπλ καγλεηηθά δίπνια κε καγλεηηθή ξνπή παξάιιειε πξνο ην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν. Αληίζηνηρα, ηα δείγκαηα ηα νπνία παξνπζηάζηεθαλ λα απσζνχληαη απφ ην θέληξν ηνπ ζσιελνεηδνχο πεξηέρνπλ δίπνια κε ηε καγλεηηθή ξνπή ηνπο αληηπαξάιιειε ζην εμσηεξηθφ πεδίν. Δπίζεο αλ εθαξκφζνπκε ηε ζρέζε (1.8) ζην αξρηθφ πείξακα πξνθχπηεη φηη, αλ ε έληαζε ηεο καγλεηηθήο ξνπήο ηνπ δηπφινπ είλαη αλάινγε κε ηελ έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β, ηφηε ε δχλακε πνπ αζθείηαη ζην δίπνιν είλαη αλάινγε ηνπ φξνπ B db/dz θαη άξα αλάινγε ηνπ ηεηξαγψλνπ ηνπ ξεχκαηνο πνπ δηαξξέεη ην ζσιελνεηδέο. Έηζη έρνπκε ήδε κηα αξρηθή εμήγεζε γηα ηελ ζπκπεξηθνξά ησλ δηακαγλεηηθψλ θαη παξακαγλεηηθψλ νπζηψλ, αθφκα θαη αλ δελ γλσξίδνπκε αθφκα γηαηί ε καγλεηηθή ξνπή θάπνηνπ πιηθνχ απνθηά κηα ζπγθεθξηκέλε θαηεχζπλζε φηαλ βξεζεί κέζα ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν. Απφ ηελ άιιε πιεπξά δηαθαίλεηαη φηη δηαθνξνπνηνχληαη ζην γεγνλφο φηη ε καγλεηηθή ηνπο ξνπή είλαη κάιινλ αλεμάξηεηε ηνπ εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίνπ. Έηζη ζε απηά ηα πιηθά ε δχλακε πνπ αζθείηαη εμαξηάηαη κφλν απφ ηνλ φξν ηνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαη άξα είλαη απεπζείαο αλάινγε ηνπ ξεχκαηνο πνπ δηαξξέεη ην ζσιελνεηδέο. [1.7] 24

26 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος 1.2.4: Ηιεθηξηθό ξεύκα ζηα άηνκα-δηακαγλεηηζκόο Γλσξίδνπκε φηη ηα άηνκα απνηεινχληαη απφ έλα ζεηηθά θνξηηζκέλν ππξήλα πνπ πεξηβάιιεηαη απφ αξλεηηθά θνξηηζκέλα ειεθηξφληα. Γηα λα πεξηγξάςνπκε πιήξσο ηα άηνκα ζα έπξεπε λα θάλνπκε ρξήζε ηεο ζεσξίαο ηεο θβαληνκεραληθήο. Δπηπρψο ην θαηλφκελν ηνπ δηακαγλεηηζκνχ, κε ην νπνίν ζα αζρνιεζνχκε ζε απηή ηελ παξάγξαθν, πεξηγξάθεηαη πιήξσο θαη κε έλα απινπνηεκέλν κνληέιν ηνπ αηφκνπ. Γηα παξάδεηγκα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί έλα κνληέιν φπσο απηφ ηνπ Bohr, φπνπ ηα ειεθηξφληα θηλνχληαη ζε ηξνρηέο γχξσ απφ ηνλ ππξήλα. Ξεθηλνχκε κε έλα ειεθηξφλην πνπ θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρχηεηα ζε κηα θπθιηθή ηξνρηά. Θεσξνχκε φηη ην ειεθηξφλην είλαη έλα ζσκαηίδην κε ειεθηξηθφ θνξηίν e θαη θηλείηαη κε ηαρχηεηα v ζε κηα ζηαζεξή ηξνρηά, αθηίλαο r. ην θέληξν ηνπ αηφκνπ βξίζθεηαη ν ππξήλαο, ν νπνίνο είλαη ζεηηθά θνξηηζκέλνο. Έηζη ζπλνιηθά ην άηνκν πνπ εμεηάδνπκε είλαη ειεθηξηθά νπδέηεξν. Ο ππξήλαο ιφγσ ηεο ζε ζχγθξηζε κε ην ειεθηξφλην κεγάιεο κάδαο ηνπ θηλείηαη πνιχ αξγά θαη έηζη δελ ζα ιάβνπκε ππφςε θακία καγλεηηθή επίδξαζε απφ ηνλ ππξήλα. Σν ειεθηξηθφ ξεχκα νξίδεηαη σο ην θνξηίν πνπ πεξλά απφ έλα δεδνκέλν ζεκείν ζηε κνλάδα ηνπ ρξφλνπ. Γλσξίδνπκε φηη ην ειεθηξφλην πξαγκαηνπνηεί v/2πr πεξηζηξνθέο ην δεπηεξφιεπην θαη θέξεη θνξηίν e, επνκέλσο ην ειεθηξηθφ ξεχκα ζηελ ηξνρηά ειεθηξνλίνπ είλαη: ( ) Σν ειεθηξφλην πνπ πεξηζηξέθεηαη γχξσ απφ ηνλ ππξήλα πξνζνκνηάδεηαη ινηπφλ κε ξεπκαηνθφξν δαθηχιην, φπνπ ε ζεηηθή θνξά ηνπ ξεχκαηνο είλαη αληίζεηα ηεο θνξάο θίλεζεο ηνπ ειεθηξνλίνπ, φπσο θαίλεηαη θαη ζην παξαθάησ ζρήκα: Δηθφλα 1.9: Μαγλεηηθή ξνπή αηφκνπ. [1.7] Έηζη ζε κεγάιε απφζηαζε απφ ην άηνκα ην καγλεηηθφ πεδίν ηνπ αηφκνπ ζα είλαη φπσο πεξηγξάθεθε παξαπάλσ απηφ δηπφινπ κε καγλεηηθή ξνπή: ( ) Όπσο είδακε ινηπφλ φια ηα ειεθηξφληα πνπ πεξηζηξέθνληαη γχξσ απφ ηνπο ππξήλεο πξνθαινχλ έλα καγλεηηθφ πεδίν γχξσ ηνπο, φκσο εκείο δελ παξαηεξνχκε ηελ χπαξμε καγλεηηθνχ πεδίνπ ζηα πεξηζζφηεξα πιηθά. Απηφ είλαη ινγηθφ γηαηί ηα πεδία πνπ δεκηνπξγνχληαη ζε θάζε μερσξηζηά, αιιειναλαηξνχληαη αλ εμεηάζνπκε ηε κάδα κηαο νπζίαο ζπλνιηθά. 25

27 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ε κηα πνζφηεηα νπνηνπδήπνηε πιηθνχ είλαη ινγηθφ λα ππάξρεη πεξίπνπ ίζνο αξηζκφο ειεθηξνλίσλ πνπ θηλνχληαη ζε αληίζεηεο θαηεπζχλζεηο. Αλ απηφ δελ ζπλέβαηλε, ζα έπξεπε ηφηε λα ζεσξήζνπκε φηη θάηη ζηε δνκή ηεο χιεο θάλεη ηελ πεξηζηξνθή ησλ ειεθηξνλίσλ γχξσ απφ έλα ζπγθεθξηκέλν άμνλα θαη κε κηα ζπγθεθξηκέλε θνξά πεξηζηξνθήο επθνιφηεξε. ηελ πξαγκαηηθφηεηα ππάξρνπλ φκσο άπεηξνη άμνλεο πεξηζηξνθήο θαη δελ ππάξρεη θάπνην είδνο πεξηζηξνθήο πνπ λα είλαη «επθνιφηεξν» γηα ηα ειεθηξφληα. Έηζη ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ πνπ παξάγεηαη απφ ηα πεξηζζφηεξα ζψκαηα είλαη κεδέλ. Αο ζεσξήζνπκε φκσο φηη έρνπκε έλα πιηθφ πνπ νη ηξνρηέο ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη πεξίπνπ παξάιιειεο κεηαμχ ηνπο. ην πιηθφ απηφ, καθξηά απφ θάζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, πεξίπνπ νη κηζέο καγλεηηθέο ξνπέο έρνπλ ηε κία θνξά θαη νη άιιεο κηζέο ηελ αληίζεηε, έηζη ψζηε ην ζπλνιηθφ πεδίν ηνπ ζψκαηνο λα είλαη κεδέλ. Έζησ ινηπφλ ηψξα φηη εκθαλίδεηαη ζηαδηαθά έλα εμσηεξηθφ πεδίν, παξάιιειν κε ηηο καγλεηηθέο ξνπέο θαη θάζεην πξνο ην επίπεδν ησλ ηξνρηψλ. Απνδεηθλχεηαη κε ρξήζε ηεο ζεσξίαο ησλ καγλεηηθψλ δπλάκεσλ, φηη ζηα δίπνια πνπ έρνπλ θνξά δηπνιηθήο ξνπήο αληίζεηε κε ηε θνξά ηνπ πεδίνπ, ηα θνξηηζκέλα ζσκαηίδηα επηηαρχλνληαη θαη ε δηπνιηθή ξνπή απμάλεηαη. Απφ ηελ άιιε πιεπξά, ζηα δίπνια πνπ έρνπλ θνξά δηπνιηθήο ξνπήο παξάιιειε κε ηε θνξά ηνπ πεδίνπ, ηα θνξηηζκέλα ζσκαηίδηα επηβξαδχλνληαη θαη ε δηπνιηθή ξνπή κεηψλεηαη. Έηζη ζπλνιηθά ζην ζψκα επηθξαηνχλ ηα δίπνια κε θνξά αληίζεηε απφ ηε θνξά ηνπ εμσηεξηθνχ πεδίνπ θαη παξνπζηάδεηαη ην θαηλφκελν ηνπ δηακαγλεηηζκνχ. Αλ ζέινπκε λα δνχκε ην πξφβιεκα θαη πνζνηηθά, απνδεηθλχεηαη φηη ε κεηαβνιή ηεο καγλεηηθήο ξνπήο, κε ηελ εκθάληζε ελφο καγλεηηθνχ πεδίνπ Β 1, γηα ζσκαηίδην κάδαο Μ θαη θνξηίνπ q πνπ έρεη αθηίλα πεξηζηξνθήο r είλαη: ( ) Ζ παξαπάλσ ζρέζε ηζρχεη αλεμάξηεηα αλ ην θνξηίν είλαη ζεηηθφ ή αξλεηηθφ θαη αλεμάξηεηα ηεο θνξάο πεξηζηξνθήο ηνπ. Δηθφλα 1.10: Μεηαβνιή καγλεηηθήο ξνπήο παξνπζία εμσηεξηθνχ πεδίνπ. [1.7] Αληίζηνηρα αλ επηζηξέςνπκε ζηελ ππφζεζε ηνπ αηφκνπ πνπ εμεηάζακε αξρηθά θαη αληηθαηαζηήζνπκε ηε κάδα M=m e θαη ην θνξηίν q=-e, κπνξνχκε λα βξνχκε γηα ην άηνκν ηελ «καγλεηηθή πνισζεκφηεηά» (magnetic polarizability) ηνπ Γm/B 1. 26

28 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ( ) Σν παξαπάλσ κέγεζνο έρεη δηαζηάζεηο φγθνπ. Μάιηζηα ε πνζφηεηα e 2 /m e c 2 είλαη κηα ζηαζεξά κε δηαζηάζεηο κήθνπο θαη νλνκάδεηαη θιαζζηθή αθηίλα ειεθηξνλίνπ (classical electron radius) r 0, κε ηηκή cm. Γηα ηελ αθηίλα πεξηζηξνθήο ηνπ ειεθηξνλίνπ r κπνξνχκε πξνζεγγηζηηθά λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ αθηίλα ηνπ Bohr α 0 = cm. ηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε κηα πξνζεγγηζηηθή ηηκή πνπ καο δίλεη κηα ηάμε κεγέζνπο γηα ηε καγλεηηθή πνισζεκφηεηα Γm/B 1 = cm 3. Αο εμεηάζνπκε ηψξα αλ πξάγκαηη εμεγείηαη ην θαηλφκελν ηνπ δηακαγλεηηζκνχ απφ φζα είπακε παξαπάλσ θαη αλ είλαη πξάγκαηη κηα ηδηφηεηα φισλ ησλ πιηθψλ. Υνλδξηθά ν ζπλνιηθφο αξηζκφο ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη πεξίπνπ ν ίδηνο γηα έλα γξακκάξην νπνηνπδήπνηε πιηθνχ, ειεθηξφληα αλά γξακκάξην. Αθφκα, ζα πξέπεη λα βξνχκε ηε κέζε ηεηξαγσληθή αθηίλα <r 2 > γηα φια ηα ειεθηξφληα πνπ πεξηζηξέθνληαη γχξσ απφ ηνλ ππξήλα ζε φιεο ηηο ηξνρηέο, καθξηλέο θαη θνληηλέο. Παξαδφμσο απηή ε κέζε ηηκή είλαη δηαθέξεη ειάρηζηα απφ άηνκν ζε άηνκν ζε φιν ηνλ πεξηνδηθφ πίλαθα θαη πξνζεγγίδεηαη αξθεηά θαιά απφ ην ηεηξάγσλν ηεο αθηίλαο ηνπ Bohr πνπ ρξεζηκνπνηήζακε παξαπάλσ. Αλ ινηπφλ ζεσξήζνπκε πεδίν έληαζεο 18kG θαη 1 γξακκάξην θάπνηαο νπζίαο, φπσο θαη ζην πείξακα πνπ πεξηγξάςακε ζηελ πξψηε παξάγξαθν, πξνθχπηεη Γm= cm 3 G Αλ ζηε ζπλέρεηα ππνινγίζνπκε θαη ηε δχλακε πνπ αλακέλεηαη λα αζθεζεί ζηελ νπζία γηα ηνλ ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ πεδίνπ 1.7kG/cm πνπ είρακε ππνινγίζεη, πξνθχπηεη φηη ζην ζψκα ζα αζθείηαη δχλακε F=0.14mN. Πξάγκαηη ε δχλακε απηή βξίζθεηαη εληππσζηαθά θνληά θαη είλαη ηεο ίδηαο ηάμεο κεγέζνπο κε ηηο δπλάκεηο πνπ κεηξήζεθαλ ζην πείξακα γηα ηα δηακαγλεηηθά πιηθά. Σν κφλν πιηθφ πνπ μεθεχγεη αξθεηά απφ ηελ πξφβιεςε είλαη ν γξαθίηεο. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί ν γξαθίηεο έρεη αζπλήζηζηε δνκή πνπ επηηξέπεη ζηα ειεθηξφληα ηνπ λα πεξηζηξέθνληαη ζρεηηθά ειεχζεξα γχξσ απφ κηα νκάδα αηφκσλ θαη έηζη ε κέζε ηεηξαγσληθή αθηίλα ησλ ηξνρηψλ είλαη ζηελ πεξίπησζε απηή πνιχ κεγαιχηεξε ζε ζχγθξηζε κε ηα ππφινηπα ζηνηρεία. Δπνκέλσο ν δηακαγλεηηζκφο είλαη πξάγκαηη κηα γεληθή ηδηφηεηα ηεο χιεο πνπ αλακέλνπκε λα εκθαλίδεηαη ζε φια ηα ζψκαηα. ηηο πεξηπηψζεηο πνπ ηα ζψκαηα δελ εκθαλίδνπλ δηακαγλεηηθέο ηδηφηεηεο, ζεσξνχκε φηη θάπνην άιιν ηζρπξφηεξν θαηλφκελν θαιχπηεη ηελ επίδξαζε ηνπ δηακαγλεηηζκνχ. [1.7] 1.2.5: Μαγλεηηθή ξνπή ηδηνπεξηζηξνθήο-παξακαγλεηηζκόο Μηα άιιε γλσζηή ηδηφηεηα ησλ ειεθηξνλίσλ ηελ νπνία πξέπεη λα ιάβνπκε ππφςε είλαη ε ηδηνπεξηζηξνθή ηνπο (spin), ε νπνία επίζεο δεκηνπξγεί καγλεηηθή ξνπή. Όηαλ κεηξήζνπκε ηε γσληαθή ξνπή νπνπδήπνηε ειεθηξνλίνπ, παίξλνπκε πάληα ην ίδην απνηέιεζκα: h/4 π, φπνπ h= gm cm 2 /sec είλαη ε ζηαζεξά ηνπ Plank, αθνχ ε ηδηνπεξηζηξνθή ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη θβαληηθφ θαηλφκελν. Αλ θαληαζηνχκε ηψξα ην ειεθηξφλην ζαλ κηα ζθαίξα φπνπ ην αξλεηηθφ θνξηίν πεξηζηξέθεηαη ζηελ πεξίκεηξφ ηεο, αλακέλνπκε λα δεκηνπξγείηαη κηα καγλεηηθή ξνπή ε νπνία ζα είλαη κάιηζηα ζηαζεξή γηα φια ηα ειεθηξφληα θαη ίζε κε erg/g, φπνπ 1erg=10-7 J. Δθφζνλ ην ειεθηξφλην είλαη αξλεηηθά θνξηηζκέλν, ε θνξά ηεο καγλεηηθήο ξνπήο ζα είλαη αληίζεηε ηεο θνξάο ηδηνπεξηζηξνθήο. 27

29 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Δηθφλα 1.11: Μαγλεηηθή ξνπή ιφγσ ηδηνπεξηζηξνθήο. [1.7] Βέβαηα ζηελ πεξίπησζε ηεο ηδηνπεξηζηξνθήο ηνπ ειεθηξνλίνπ δελ ζα ηνικνχζακε λα θαηαζθεπάζνπκε θαλέλα απινπνηεκέλν κνληέιν, νχηε θαλ λα παξνκνηάζνπκε ην ειεθηξφλην κε έλα κηθξνζθνπηθφ δαθηχιην πνπ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα. Σα θαηλφκελα πνπ αθνξνχλ ηα ειεθηξφληα είλαη θαζαξά θβαληνκεραληθά θαη ην κφλν πνπ έρεη ζεκαζία είλαη φηη ζε θάζε πεξίπησζε δελ θαηαξξίπηνληαη νη παξαθάησ ζπλζήθεο: Απφ ηελ ηδηνπεξηζηξνθή ηνπ ειεθηξνλίνπ παξάγεηαη καγλεηηθφ πεδίν πνπ ζε απφζηαζε απφ ην ειεθηξφλην κνηάδεη κε απηφ ηνπ δηπφινπ. Μέζα ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν δέρεηαη δχλακε ίζε κε ηε δχλακε πνπ ζα δερφηαλ ξεπκαηνθφξνο δαθηχιηνο κε ηελ ίδηα καγλεηηθή ξνπή. Μέζα ζην ρψξν πνπ θαηαιακβάλεηαη απφ ην ειεθηξφλην αθφκα ηζρχεη φηη divb=0, αθξηβψο φπσο θαη ζηα ππφινηπα καγλεηηθά δίπνια. Αθνχ ινηπφλ ε ηηκή ηεο καγλεηηθήο ξνπήο ιφγσ ηδηνπεξηζηξνθήο ελφο ειεθηξνλίνπ είλαη πάληα ε ίδηα, ην κφλν πνπ κπνξεί λα αιιάμεη εμαηηίαο ελψ εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίνπ είλαη ε θαηεχζπλζε ηεο. Πξφθεηηαη γηα έλα ραξαθηεξηζηηθφ πνπ δελ ην εμεηάζακε σο ηψξα, αιιά ζε έλα καγλεηηθφ δίπνιν κέζα ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν αζθείηαη ξνπή πνπ ηείλεη λα θέξεη ηε καγλεηηθή ξνπή ηνπ δηπφινπ παξάιιεια κε ην δηάλπζκα ηνπ εμσηεξηθνχ πεδίνπ. Απηή ε ηδηφηεηα ησλ καγλεηηθψλ πεδίσλ είλαη ηδηαίηεξε ρξήζηκε ζηελ θαζεκεξηλφηεηα καο, αθνχ ζε απηή βαζίδεηαη ε αξρή ιεηηνπξγίαο ησλ ειεθηξηθψλ θηλεηήξσλ. Δηθφλα 1.12: Ρνπή πάλσ ζε ξεπκαηνθφξν αγσγφ απφ εμσηεξηθφ πεδίν. [1.7] 28

30 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Αλ ν άμνλαο ηδηνπεξηζηξνθήο ησλ ειεθηξνλίσλ ήηαλ ειεχζεξνο λα θηλεζεί πξνο νπνηαδήπνηε θαηεχζπλζε, ηφηε ππφ ηελ επίδξαζε εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίν, φιεο νη καγλεηηθέο ξνπέο ησλ δηπφισλ ιφγσ ηδηνπεξηζηξνθήο ζα γίλνληαλ παξάιιειεο ηνπ εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίνπ. Αλ φια ηα ειεθηξφληα κπνξνχζαλ λα ιάβνπλ ινηπφλ απηφλ ηνλ ίδην πξνζαλαηνιηζκφ, ηφηε φια ηα πιηθά ζα παξνπζίαδαλ πνιχ ηζρπξέο παξακαγλεηηθέο ηδηφηεηεο. Έζησ φηη πξάγκαηη επζπγξακκίδνληαη φια ηα ειεθηξφληα κέζα ζε έλα γξακκάξην πιηθνχ κε ηε καγλεηηθή ξνπή ηνπο παξάιιειε πξνο ην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν. Έρνπκε ήδε ππνινγίζεη φηη έλα γξακκάξην νπνηαζδήπνηε νπζίαο έρεη πεξίπνπ ειεθηξφληα. Γλσξίδνπκε επίζεο ηελ καγλεηηθή ξνπή ελφο ειεθηξνλίνπ ιφγσ ηδηνπεξηζηξνθήο, πνπ είλαη θβαληηζκέλν κέγεζνο. Αλ ππνινγίζνπκε ινηπφλ ηελ καγλεηηθή ξνπή κηαο νπζίαο κάδαο ελφο γξακκαξίνπ πξνθχπηεη 2700erg/G. Αλ ιάβνπκε ππφςε καο θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ζην άθξν ηνπ ζσιελνεηδνχο, πνπ ήηαλ 1700G, ηφηε ε δχλακε πνπ ζα έπξεπε λα αζθείηαη ζε θάζε νπζία είλαη 46Ν. Ζ δχλακε απηή πξνθαλψο είλαη ηξνκαθηηθά κεγαιχηεξε απφ νπνηαδήπνηε δχλακε παξαηεξήζεθε ζην πείξακα. Ο ιφγνο πνπ θαηαιήμακε ζε ηφζν δηαθνξεηηθφ απνηέιεζκα είλαη φηη θάλακε δχν βαζηθά ιάζε ζην ζπιινγηζκφ καο. Πξψηνλ, ηα ειεθηξφληα δελ είλαη ειεχζεξα λα αιιάμνπλ ηελ δηεχζπλζε ηνπο θαη δεχηεξνλ αθφκα θαη ηα ειεχζεξα ειεθηξφληα δελ κπνξνχλ λα επζπγξακκηζηνχλ πιήξσο κε ην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν ιφγσ ηεο επίδξαζεο ηεο ζεξκνθξαζίαο. ηα πεξηζζφηεξα άηνκα ή κφξηα ηα ειεθηξφληα ζρεηίδνληαη κεηαμχ ηνπο ζε δεχγε κε αληίζεηε ηδηνπεξηζηξνθή. Σα δεχγε απηά δελ επεξεάδνληαη απφ εμσηεξηθά καγλεηηθά πεδία θαη εθφζνλ έρνπλ ίζεο θαη αληίζεηεο καγλεηηθέο ξνπέο, ην ζπλνιηθφ καγλεηηθφ πεδίν ηνπο είλαη κεδέλ. Έηζη ην κεγαιχηεξν κέξνο ησλ κνξίσλ έρεη φια ηα ειεθηξφληά ηνπ δεζκεπκέλα ζε δεχγε θαη επνκέλσο παξνπζηάδεη κφλν δηακαγλεηηθέο ηδηφηεηεο. Έλαο κηθξφο αξηζκφο απφ ηελ άιιε πιεπξά πεξηέρεη κνλφ αξηζκφ ειεθηξνλίσλ, νπφηε ε πιήξσζε φισλ ησλ δεπγψλ είλαη εθ ησλ πξαγκάησλ αδχλαηε. Άιια πάιη, φπσο ην κφξην ηνπ νμπγφλνπ O 2, παξφηη πεξηέρνπλ δπγφ αξηζκφ ειεθηξνλίσλ ιφγσ ηηο δνκήο ηνπ δελ ζρεκαηίδνπλ φια ηα δεχγε θαη έρνπλ δχν κνλήξε ειεθηξφληα. ηα άηνκα πάιη νη εζσηεξηθέο ζηνηβάδεο ζπκπιεξψλνληαη πάληα απφ δεχγε ελψ αλ ππάξρνπλ κνλήξε ειεθηξφληα ζηελ εμσηεξηθή ζηνηβάδα, απηψλ ε καγλεηηθή ξνπή ζπλήζσο αλαηξείηαη απφ γεηηνληθά ζηνλ θξχζηαιιν κνλήξε ειεθηξφληα κε αληίζεηε ηδηνπεξηζηξνθή. Παξ φια ηα παξαπάλσ, ζπγθεθξηκέλα άηνκα πεξηέρνπλ κνλήξε ειεθηξφληα ηα νπνία παξακέλνπλ ζρεηηθά ειεχζεξα λα αιιάμνπλ ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ ηνπο, αθφκα θαη αλ ηα άηνκα βξίζθνληαη ζε ζπγθεθξηκέλε δηάηαμε. εκαληηθά ηέηνηα παξαδείγκαηα είλαη ηα ζηνηρεία πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ζην ρξψκην θαη ην ραιθφ ζηνλ πεξηνδηθφ πίλαθα θαη πεξηιακβάλνπλ πιηθά φπσο ν ζίδεξνο, ην θνβάιηην θαη ην ληθέιην. πλζέζεηο ή θξάκαηα απηψλ ησλ ζηνηρείσλ είλαη ζπλήζσο παξακαγλεηηθά ή θεξξνκαγλεηηθά πιηθά. ηα παξακαγλεηηθά πιηθά έρνπκε ζπλήζσο έλα κε δχν κνλήξε ειεθηξφληα αλά άηνκν. Έηζη κπνξνχκε λα θαληαζηνχκε φηη θάζε άηνκν έρεη κηα δηακαγλεηηθή ξνπή ειεχζεξε λα πεξηζηξαθεί θαη λα πάξεη νπνηαδήπνηε θαηεχζπλζε ζην ρψξν. Απηή ε καγλεηηθή ξνπή ζα κπνξνχζε ινηπφλ λα επζπγξακκηζηεί απφιπηα κε έλα εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, αλ δελ ππήξρε ε επίδξαζε ηεο ζεξκνθξαζίαο. Ζ ζεξκηθή ελέξγεηα ηείλεη πάληα λα ραιά ηελ ηάμε θαη λα δεκηνπξγεί κηα ηπραία θαηαλνκή ησλ πξνζαλαηνιηζκψλ ησλ αμφλσλ ηδηνπεξηζηξνθήο ησλ αηφκσλ. Ο 29

31 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος βαζκφο ηεο επζπγξάκκηζεο πνπ ηειηθά ζα επηηεπρζεί είλαη έλαο ζπκβηβαζκφο αλάκεζα ζηελ επίδξαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαη ηε ζεξκνθξαζία. Αλ ιάβνπκε ππφςε καο απηφ ην ζπκβηβαζκφ, πξνθχπηεη φηη ε επαγφκελε καγλεηηθή ξνπή ζηα παξακαγλεηηθά πιηθά είλαη αλάινγε ηνπ εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίνπ Β θαη αληηζηξφθσο αλάινγε ηεο ζεξκνθξαζίαο. Δπνκέλσο πξνθχπηεη θαη απνδεηθλχεηαη φηη νη παξακαγλεηηθέο ηδηφηεηεο ησλ νπζηψλ γίλνληαη ηφζν πην έληνλεο, φζν κεηψλεηαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ δείγκαηνο θαη πιεζηάδνπκε ζην απφιπην κεδέλ. [1.7] 1.2.6: Μαγλεηηθή πόιωζε ή Μαγλήηηζε (Μ) ε έλα πιηθφ ε καγλεηηθή πφισζε αλά κνλάδα φγθνπ νλνκάδεηαη καγλεηηθή πφισζε (magnetic polarization) ή καγλήηηζε (magnetization) ηνπ πιηθνχ. Γηα ην κέγεζνο απηφ ρξεζηκνπνηείηαη ην ζχκβνιν Μ. Μαγλήηηζε ππάξρεη κέζα ζε φια ηα πιηθά ζψκαηα αθνχ φπσο είδακε ζε φια ηα ζψκαηα παξνπζηάδεηαη ην θαηλφκελν ηνπ δηακαγλεηηζκνχ, ελψ ζε θάπνηα άιια θαιχπηεηαη απφ ην θαηλφκελν ηνπ παξακαγλεηηζκνχ. Γηα λα εμεγήζνπκε ηελ πνζφηεηα απηή πνπ νξίζακε, αο ππνζέζνπκε φηη έρνπκε κηα κάδα πιηθνχ θαη κέζα ζε απηή είλαη νκνηφκνξθα θαηαλεκεκέλα ζηνλ φγθν ηεο καγλεηηθά δίπνια κε ηελ ίδηα θαηεχζπλζε. Σν ζψκα απηφ ιέκε φηη είλαη νκνηφκνξθα καγλεηηζκέλν. Σν δηάλπζκα ηεο καγλήηηζεο Μ είλαη απιά ην γηλφκελν ηνπ αξηζκνχ ησλ δηπφισλ πνπ ππάξρνπλ ζηε κνλάδα ηνπ φγθνπ ηνπ πιηθνχ επί ηε καγλεηηθή ξνπή m ηνπ θάζε δηπφινπ. ηε θάζε απηή δελ καο ελδηαθέξεη πψο επζπγξακκίζηεθαλ ηα καγλεηηθά δίπνια, νχηε πψο δηαηεξνχλ ηελ επζπγξάκκηζε απηή. Γηα λα εμεγήζνπκε ηψξα απηή ηε ζπλνιηθή καγλεηηθή ξνπή Μ πνπ κε ηε ζεηξά ηεο πξνθαιεί έλα καγλεηηθφ πεδίν Β γχξσ απφ ην ζψκα θάλνπκε ηελ παξαθάησ πξνζέγγηζε. Θεσξνχκε φηη κηα ζηνηρεηψδεο κνλάδα ηνπ φγθνπ κε καγλεηηθή πφισζε m, παξάγεη ζε απφζηαζε απφ απηή ην ίδην καγλεηηθφ πεδίν κε έλα ξεπκαηνθφξν δαθηχιην πνπ δηαξξέεηαη απφ ξεχκα Η. ηελ πεξίπησζε απηή αλ ιάβνπκε ππφςε καο φηη καγλεηηθή πφισζε αλά κνλάδα φγθνπ ηνπ πιηθνχ είλαη Μ, έρνπκε: 30 ( ) Δπνκέλσο κπνξνχκε λα αληηθαηαζηήζνπκε θάζε ζηνηρεηψδε κάδα ηνπ πιηθνχ κε κηα ζηνηρεηψδε θνξδέια χςνπο dz πνπ δηαξξέεηε απφ ξεχκα Η. Σν καγλεηηθφ πεδίν πνπ ζα παξάγεηαη ζε αξθεηά κεγάιε απφζηαζε θαη απφ ηα δχν ζα είλαη αθξηβψο ην δχν κε βάζε ηε ζπζρέηηζε ηνπ καγλεηηθνχ δηπφινπ. Αλ ηψξα επεθηείλνπκε απηή ζεσξία ζε φιν ην ζψκα ηνπ πιηθνχ, ζεσξψληαο φηη θάζε ζηξψζε ηνπ χςνπο dz είλαη νκνηφκνξθα πνισκέλε, πξνθχπηεη φηη ην πεδίν πνπ παξάγεηαη απφ φιν ην ζψκα κπνξεί λα αληηθαηαζηαζεί απφ ην πεδίν πνπ παξάγεηαη απφ κηα θνξδέια ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ ζψκαηνο, ε νπνία ζα δηαξξέεηαη απφ ξεχκα J=c M. Απνδεηθλχεηαη επίζεο, αθνινπζψληαο ηνλ ίδην ζπιινγηζκφ φηη αλ ην ζψκα δελ είλαη νκνηφκνξθα καγλεηηζκέλν, ην ξεχκα ηεο θνξδέιαο δίλεηαη απφ ηε ζρέζε J=c curl M (ζην CGS ζχζηεκα, ζην SI έρνπκε J=curl M). Σν ξεχκα απηφ νλνκάδεηαη ρεύμα μαγνήηιζης (magnetization or bound current). [1.7]

32 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Δηθφλα 1.13: Ρεχκα καγλήηηζεο. [1.7] 1.2.7: Διεύζεξα ξεύκαηα θαη ην πεδίν Η Όπσο εμεηάζακε πξνεγνπκέλσο, θάζε ζψκα δεκηνπξγεί γχξσ ηνπ έλα καγλεηηθφ πεδίν ιφγσ ηεο καγλήηηζεο ηνπ. Όηαλ κάιηζηα ην ζψκα βξίζθεηαη ζε πεξηβάιινλ φπνπ δελ ππάξρνπλ άιια εμσηεξηθά καγλεηηθά πεδία, ηφηε ην κνλαδηθφ πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη είλαη απηφ ιφγν ηεο καγλήηηζεο θαη ηνπ ξεχκαηνο καγλήηηζεο. Απφ ηελ άιιε πιεπξά, φηαλ ππάξρεη άιιν εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν ή φηαλ ην ζψκα δηαξξέεηαη απφ ειεθηξηθφ ξεχκα, ηφηε ζηε δεκηνπξγία ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ πξέπεη λα ζπλππνινγίζνπκε φρη κφλν ην ξεχκα καγλήηηζεο αιιά θαη ζην άιιν ξεχκαηα πνπ επάγεηαη θαη νλνκάδεηαη ελεύθερο ρεύμα (free current). Ζ δηαθνξά ησλ δχν απηψλ ξεπκάησλ κέζα ζηελ χιε έγθεηηαη ζην γεγνλφο φηη ην ξεχκα καγλήηηζεο είλαη εγγελέο θαηλφκελν ηεο χιεο ζηελ καγλεηηθή ξνπή ηνπ αηφκνπ θαη ηελ ηδηνπεξηζηξνθή ησλ ειεθηξνλίσλ, ελψ ηα ειεχζεξα ξεχκαηα είλαη ζπλήζε ξεχκαηα επαγσγήο πνπ θηλνχληαη ζε καθξνζθνπηθά κνλνπάηηα, κπνξνχκε λα ηα πξνθαιέζνπκε θαη λα ηα ζηακαηήζνπκε θαηά βνχιεζε θαη κεηξψληαη κε έλα ακπεξφκεηξν. Αλ ζπκβνιίζνπκε κε J bound ην ξεχκα καγλήηηζεο θαη κε J free ην ειεχζεξν ξεχκα, ηφηε ην πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη απφ ην ειεχζεξν ξεχκα νξίδεηαη θαη αλαινγία κε ην πεδίν ηεο καγλήηηζεο, σο J free = curl H θαη Ζ νλνκάδεηαη ην πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη ζην ζψκα ιφγσ ειεχζεξσλ ξεπκάησλ. Αλ ιάβνπκε ππφςε καο ινηπφλ φια ηα παξαπάλσ πξνθχπηεη φηη ην ζπλνιηθφ πεδίν γχξσ απφ έλα ζψκα δίλεηαη απφ ηε ζρέζε: ( ) ( ) Όπνπ κ 0 είλαη ε καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ θελνχ. Με βάζε φζα εμεηάζακε ήδε ζπκπεξαίλνπκε ινηπφλ φηη ην καγλεηηθφ πνπ δεκηνπξγείηαη γχξσ απφ ειεθηξνκαγλήηεο έρεη ηφζν ηε ζπληζηψζα ηνπ Μ φζν θαη ηνπ Η. Σν πεδίν γχξσ απφ κφληκνπο καγλήηεο νθείιεηαη ζην Μ θαη φηαλ βξηζθφκαζηε ζην θελφ ην Β ηαπηίδεηαη κε ην Η αθνχ δελ ππάξρεη χιε. [1.7] 31

33 1.2.8: Φεξξνκαγλεηηζκόο Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ην θεξξνκαγλεηηζκφ παξαηεξνχκε πεξίπνπ ηηο ίδηεο ηδηφηεηεο κε ηνλ παξακαγλεηηζκφ, κφλν ζε πνιχ κεγαιχηεξε έληαζε. Έηζη θαίλεηαη φηη θαη εδψ ε ηδηφηεηα ηεο χιεο πνπ πξνθαιεί ηελ έιμε απφ ην καγλεηηθφ πεδίν, είλαη ε ηδηνπεξηζηξνθή ησλ ειεθηξνλίσλ. Σα θεξξνκαγλεηηθά πιηθά δηαθέξνπλ απφ ηα παξακαγλεηηθά ινηπφλ ζην φηη έρνπλ εμαξρήο ηελ ηάζε λα επζπγξακκίδνπλ ηα ειεθηξφληα ηνπ ζε κηα δηεχζπλζε ρακειφηεξεο ελέξγεηαο. Όηαλ δελ ππάξρεη θάπνην εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, ηα ειεθηξφληα κε πφισζε ίδηαο δηεχζπλζεο ζρεκαηίδνπλ νκάδεο θαη έηζη ζην ζχλνιν ηνπ πιηθνχ δελ παξαηεξείηαη καγλεηηθφ πεδίν. Απηφ είλαη ινγηθφ, αθνχ θάζε θνκκάηη ζίδεξν δελ είλαη θαη αλάγθε καγλήηεο. Απφ ηελ άιιε πιεπξά, φηαλ έλα θεξξνκαγλεηηθφ πιηθφ βξεζεί ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν, φιεο νη πεξηνρέο ηνπ απνθηνχλ ηελ ίδηα καγλήηηζε θαη ην πιηθφ έιθεηαη κε κεγάιε δχλακε απφ ην καγλεηηθφ πεδίν. Δπίζεο αθφκα θαη φηαλ παξέιζεη ε επίδξαζε ηνπ εμσηεξηθνχ καγλεηηθνχ πεδίνπ, ηα ειεθηξφληα ηνπ πιηθνχ παξακέλνπλ πνισκέλα θαη ην πιηθφ γίλεηαη κε ηε ζεηξά ηνπ καγλήηεο. Σα θεξξνκαγλεηηθά πιηθά είλαη γεληθά αληηθείκελν εθηελνχο έξεπλαο, αθνχ ζε απηά βαζίδνληαη νη εθαξκνγέο κφληκσλ καγλεηψλ αιιά θαη νη νπιηζκνί ειεθηξνκαγλεηψλ. Γηα ηα πιηθά απηά γλσξίδνπκε θάησ απφ πνηάο έληαζε καγλεηηθφ πεδίν καγλεηίδνληαη θαη ππφ πνηεο ζπλζήθεο απνκαγλεηίδνληαη. Δπίζεο γλσξίδνπκε φηη ζεκαληηθφ ξφιν ζηηο θεξξνκαγλεηηθέο ηδηφηεηεο ελφο πιηθνχ παίδεη ε ζεξκνθξαζία. Κάζε θαζαξφ θεξξνκαγλεηηθφ πιηθφ, γηα παξάδεηγκα ν ζίδεξνο, ράλεη εληειψο ηηο θεξξνκαγλεηηθέο ηνπ ηδηφηεηεο απφηνκα φηαλ βξεζεί ζε πάλσ απφ κηα ζεξκνθξαζία. Γηα παξάδεηγκα ν ζίδεξνο πάλσ απφ ηνπο 770 C ζπκπεξηθέξεηαη ζαλ παξακαγλεηηθφ πιηθφ, ελψ αλ ςπρζεί θαη πάιη θάησ απφ ηνπο 770 C γίλεηαη θαη πάιη θεξξνκαγλεηηθφ πιηθφ. Σν ζεξκνθξαζηαθφ απηφ φξην ηεο δξάζεο ηνπ θεξξνκαγλεηηζκνχ ιέγεηαη ζεκείν Curie θαη είλαη δηαθνξεηηθφ γηα θάζε θεξξνκαγλεηηθφ πιηθφ. ηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε ήδε αλαθέξεη ηελ επίδξαζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ζηε πφισζε ηεο καγλεηηθήο ξνπήο ησλ ειεθηξνλίσλ, επνκέλσο δελ ρξεηάδεηαη λα εζηηάζνπκε πεξαηηέξσ. Δπίζεο, ν θεξξνκαγλεηηζκφο δελ είλαη ζαλ θαηλφκελν δηαθνξεηηθφ απφ ηνλ παξακαγλεηηζκφ. Ζ βαζηθή δηαθνξνπνίεζε έγθεηηαη ζην φηη ιφγσ ηεο δνκήο ησλ ζπγθεθξηκέλσλ πιηθψλ είλαη επθνιφηεξε ε πφισζε ηεο ηδηνπεξηζηξνθήο ησλ ειεχζεξσλ ειεθηξνλίσλ. Έηζη, απφ απηή ηε «ηπραία ζπγθπξία» ζηε δνκή θάπνησλ πιηθψλ, έρνπκε ηε δεκηνπξγία φισλ ησλ κφληκσλ καγλεηψλ, αιιά θαη ηε δπλαηφηεηα λα παξαηεξήζνπκε αξθεηά ηζρπξέο καγλεηηθέο δπλάκεηο πνπ εηδάιισο ζα ήηαλ αδχλαην λα εκθαληζηνχλ. [1.7] Δηθφλα 1.14: Κακπχιε καγλήηηζεο θαζαξνχ ζηδήξνπ. [1.7] 32

34 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος 1.2.9: Μαγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα (magnetic susceptibility) Ζ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ή νγθνκεηξηθή καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ζπκβνιίδεηαη κε ην γξάκκα ρ ή κε ην ρ v θαη είλαη αδηάζηαην κέγεζνο. πλήζσο ρξεζηκνπνηείηαη θαηά ηε ζεσξεηηθή εμήγεζε καγλεηηθψλ θαηλνκέλσλ, αιιά ζπαλίσο ρξεζηκνπνηείηαη ζην ζρεδηαζκφ ή ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ. Ζ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα είλαη ηδηαίηεξα ρξήζηκν κέγεζνο φηαλ αλαθεξφκαζηε ζε κε θεξξνκαγλεηηθά πιηθά. ε απηά ηα πιηθά, πνπ κπνξεί λα είλαη είηε δηακαγλεηηθά, είηε παξακαγλεηηθά, ε καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα κ (magnetic permeability) είλαη πνιχ θνληά ζηελ καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ θελνχ κ 0 θαη έηζη ραξαθηεξίδνληαη πην επδηάθξηηα απφ ηελ καγλεηηθή ηνπο επηδεθηηθφηεηα. Μπνξνχκε λα νξίζνπκε ηε καγλεηηθά επηδεθηηθφηεηα ρξεζηκνπνηψληαο ηελ καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα κε ηε ζρέζε: ( ) Όπνπ κ είλαη ε καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ πιηθνχ θαη ν ιφγνο κ/κ 0 νλνκάδεηαη ζρεηηθή καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα θαη ζπκβνιίδεηαη κε κ r. Γηα ηα δηακαγλεηηθά θαη ηα παξακαγλεηηθά πιηθά ζπγθεθξηκέλα ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα νξίδεηαη επίζεο απφ ηε ζρέζε: ( ) ηνλ παξαθάησ πίλαθα κπνξνχκε λα δνχκε ηε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα δηάθνξσλ παξακαγλεηηθψλ θαη δηακαγλεηηθψλ πιηθψλ. Παξαηεξνχκε φηη ηα δηακαγλεηηθά πιηθά έρνπλ αξλεηηθή καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα, ελψ ηα παξακαγλεηηθά ζεηηθή. Πίλαθαο 1.5: Μαγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα δηαθφξσλ πιηθψλ. [1.8] Τιηθό ρ (10-5 ) Αινπκίλην 2.20 Ομπγόλν 0.19 Ακκωλία Υαιθόο Βηζκνύζην Τδξνγόλν Ππξίηην Νεξό Παξαηεξνχκε φηη ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα έρεη γεληθά πνιχ ρακειέο ηηκέο γηα ηα πεξηζζφηεξα δηακαγλεηηθά θαη παξακαγλεηηθά πιηθά. Ζ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ηνπ θελνχ, κε βάζε ηε ζρέζε (1.15) είλαη ίζε κε ην κεδέλ. 33

35 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Ζ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα, φπσο θαη θάπνηα άιια κεγέζε ηεο ζεσξίαο ηνπ καγλεηηζκνχ, πξνθαιεί θάπνηα ζχγρπζε ζε φηη αθνξά ηε ρξήζε ηεο γηα ηνπο παξαθάησ ιφγνπο: Σφζν ζηνλ ειεθηξηζκφ, φζν θαη ζην καγλεηηζκφ ε επηδεθηηθφηεηα έρεη ηελ ίδηα νλνκαζία (susceptibility) θαη ηνλ ίδην ζπκβνιηζκφ ρ. ηνλ ειεθηξηζκφ κεξηθέο θνξέο γηα ιφγνπο δηάθξηζεο ζπκβνιίδεηαη κε ρ e. Κάπνηα βηβιία φκσο γηα λα δηαθξίλνπλ ηελ ειεθηξηθή απφ ηε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ζπκβνιίδνπλ ηε δεχηεξε κε ρ m πξάγκα πνπ δεκηνπξγεί ζχγρπζε γηαηί κε ρ m ζπκβνιίδνληαη ζπρλά ε επηδεθηηθφηεηα κάδαο (mass susceptibility) θαη ε κνξηαθή επηδεθηηθφηεηα (molar susceptibility). Όπσο αλαθέξακε παξαπάλσ ππάξρνπλ δηάθνξνη ηχπνη επηδεθηηθφηεηαο (κάδαο, κνξηαθή, νγθνκεηξηθή). ε πνιιά ζπγγξάκκαηα δελ αλαθέξεηαη ζαθψο ν ηχπνο ηεο επηδεθηηθφηεηαο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη. Αθφκα ρεηξφηεξα, δελ ππάξρεη θάπνηνο θαζηεξσκέλνο ζπκβνιηζκφο κε απνηέιεζκα ηα ζχκβνια ρ θαη ρ m λα ρξεζηκνπνηνχληαη γηα λα νξίζνπλ δηαθνξεηηθά κεγέζε. Πνιιά βηβιία θαη δεκνζηεχζεηο παξνπζηάδνπλ ηελ επηδεθηηθφηεηα ζε κνλάδεο ηνπ ζπζηήκαηνο CGS (centimeter-gram-second), πνιιέο θνξέο ρσξίο κάιηζηα λα ην δειψλνπλ μεθάζαξα. Δπίζεο πνιιέο θνξέο δελ δειψλνληαη θαλ νη κνλάδεο ησλ πνζνηήησλ θαη πξέπεη θαλείο λα ηηο εμάγεη απφ ηα ζπκθξαδφκελα. Ζ κεηαηξνπή ησλ κνλάδσλ απφ ην CGS ζχζηεκα ζην SI δελ είλαη ηδηαίηεξα πξνθαλήο, φπσο ζα δνχκε ζηελ παξαθάησ. Αθφκα θαη αμηνζέβαζηεο δεκνζηεχζεηο θάλνπλ ην ιάζνο λα δίλνπλ ζην αδηάζηαην κέγεζνο ρ κνλάδεο αλά γξακκάξην ή αλά θηιφ. Ζ κέηξεζε ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο είλαη ηξνκαθηηθά δχζθνιν εγρείξεκα. Ζ ειάρηζηε επηκφιπλζε ηνπ δείγκαηνο κε ζίδεξν κπνξεί λα εθηηλάμεη ηελ ηηκή ηεο κεηξνχκελεο επηδεθηηθφηεηαο. Απνηειέζκαηα πνπ δεκνζηεχνληαη γηα ηε κέηξεζε ηεο επηδεθηηθφηεηαο ηεο ίδηαο νπζίαο δελ είλαη ζπάλην λα δηαθέξνπλ απφ 5% κέρξη θαη 50% ζε νξηζκέλεο πεξηπηψζεηο. ηνλ παξαθάησ πίλαθα βιέπνπκε γηα ηνπο δηάθνξνπο ηχπνπο επηδεθηηθφηεηαο ηνπο νξηζκνχο, ηα ζχκβνια θαη ηηο δηαζηάζεηο πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζην SI. εκεηψλνπκε φηη ξ είλαη ε ππθλφηεηα ηνπ πιηθνχ ζε kg/m 3 θαη W a είλαη ε κνξηαθή ηνπ κάδα ζε kg/mol. Πίλαθαο 1.6: Μαγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα. [1.8] Ολνκαζία επηδεθηηθφηεηα (bulk susceptibility) επηδεθηηθφηεηα κάδαο (mass susceptibility) κνξηαθή επηδεθηηθφηεηα (molar susceptibility ή molar mass susceptibility) Οξηζκόο ύκβνιν SI κνλάδεο Μ/Ζ ρ, ρ v ή θ αδηάζηαην ρ/ξ ρ ξ m 3 /kg ρ ξ Wa ρ Μ m 3 /mol 34

36 ην ζχζηεκα CGS ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα νξίδεηαη σο: Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ( ) ηνλ παξαθάησ πίλαθα θαίλνληαη νη κεηαηξνπέο πνπ πξέπεη λα θάλνπκε γηα λα αιιάμνπκε ηε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα απφ ην CGS ζχζηεκα ζην SI. Αλ έρνπκε ηηο ηηκέο ζην CGS, πνιιαπιαζηάδνπκε κε ηνπο αληίζηνηρνπο παξάγνληεο γηα λα κεηαβνχκε ζην SI. Αληίζηνηρα αλ έρνπκε ηηο ηηκέο ζην SI θαη ζέινπκε λα ηηο κεηαηξέςνπκε ζην CGS δηαηξνχκε κε ηνπο αληίζηνηρνπο παξάγνληεο. Πίλαθαο 1.7: Μεηαηξνπή κνλάδσλ απφ CGS ζε SI. [1.8] Σχπνο νγθνκεηξηθή κάδαο κνξηαθή CGS κνλάδεο 1 cm 3 /g cm 3 /mol Σχπνο SI κνλάδεο νγθνκεηξηθή 1 4 π 4 π 10-3 ξ 4 π 10-6 ξ/ W a κάδαο m 3 /kg 4 π/ξ 4 π π 10-6 / W a κνξηαθή m 3 /mol 4 π W a /ξ 4 π 10-3 W a 4 π 10-6 Έηζη παξαηεξνχκε φηη ε κεηαηξνπή απφ ην έλα ζχζηεκα ζην άιιν δελ είλαη άκεζα πξνθαλήο κε βάζε ηε δηαζηαηηθή αλάιπζε. Αληίζεηα πξέπεη λα ζπκπεξηιάβνπκε ζηε ζεψξεζε καο θαη ηελ πνζφηεηα 4π, φπσο πξνθχπηεη απφ ηνλ νξηζκφ ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ζην CGS ζχζηεκα. Παξαθάησ αλαθέξνπκε ζαλ παξάδεηγκα ηηο δηάθνξεο καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο ηνπ ραιθνχ ζηα δχν ζπζηήκαηα κνλάδσλ. Γλσξίδνπκε φηη ε ππθλφηεηα ηνπ ραιθνχ είλαη 8940kg/m 3 θαη ε κνξηαθή ηνπ κάδα kg/mol. Πίλαθα 1.8: Μαγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ηνπ ραιθνχ. [1.8] νγθνκεηξηθή κάδαο κνξηαθή CGS cm 3 /g cm 3 /mol SI m 3 /kg m 3 /mol ηελ παξνχζα παξάγξαθν δελ εζηηάζακε ηφζν ζηνλ νξηζκφ ηελ καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο θαη ζηελ εξκελείαο ηεο σο θπζηθφ κέγεζνο, αιιά ζε δηάθνξα πξαθηηθά δεηήκαηα γχξσ απφ ηελ ρξήζε ηεο ζηελ παξνχζα έθζεζε. Γηα ηε ζεσξεηηθή εξκελεία ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο δελ έρνπκε λα πνχκε λα πνχκε πνιιά, πέξα απφ ην είλαη ν ζπληειεζηήο αλαινγίαο πνπ ζπλδέεη ην πεδίν πνπ νθείιεηαη ζε επαγφκελα ειεπζέξα ξεχκαηα, κε ην πεδίν πνπ νθείιεηαη ζηελ πφισζε ηεο καγλεηηθήο ξνπήο ησλ ζσκαηηδίσλ ηνπ πιηθνχ, γηα ηα δηακαγλεηηθά θαη παξακαγλεηηθά πιηθά: Μ=ρ Η Γεδνκέλνπ φηη ην πεδίν πνπ νθείιεηαη ζηελ ελδνγελή καγλήηηζε ηνπ πιηθνχ είλαη πάληα κηθξφηεξν απηνχ πνπ δεκηνπξγείηαη απφ ειεχζεξα ξεχκαηα, ην ρ είλαη κηθξφηεξν ηεο κνλάδαο. Γηα ηα πεξηζζφηεξα παξακαγλεηηθά θαη δηακαγλεηηθά πιηθά κάιηζηα ην ρ είλαη πνιχ κηθξφηεξν ηεο κνλάδαο. Όηαλ ηα Μ θαη Η είλαη νκφξξνπα, ην ρ είλαη ζεηηθφ θαη φπσο είδακε ζε πξνεγνχκελε παξάγξαθν ην πιηθφ είλαη παξακαγλεηηθφ νπφηε έιθεηαη απφ αχμνλ καγλεηηθφ πεδίν. Όηαλ ηα Μ θαη Η είλαη αληίξξνπα, ην ρ είλαη αξλεηηθφ θαη ην πιηθφ είλαη δηακαγλεηηθφ νπφηε απσζείηαη απφ αχμνλ καγλεηηθφ πεδίν. [1.8] 35

37 1.2.10: Μεηαηξνπή κεγεζώλ Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Παξαπάλσ είδακε κε ιεπηνκέξεηα πσο γίλεηαη ε κεηαηξνπή ησλ κνλάδσλ ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο απφ ην CGS ζχζηεκα ζην SI. ην θεθάιαην απηφ ζα δνχκε κεξηθέο αθφκα κεηαηξνπέο καγλεηηθψλ κεγεζψλ απφ ην έλα ζχζηεκα ζην άιιν θαη ζα θάλνπκε κεξηθέο παξαηεξήζεηο πνπ αθνξνχλ ηνπο νξηζκνχο ησλ κεγεζψλ. Πίλαθαο 1.9: Μεηαηξνπή κεγεζψλ. [1.9] Magnetic flux density, magnetic induction Magnetic flux Magnetic potential difference, magnetomotive force Magnetic field strength, magnetizing force (Volume) magnetization (Volume) magnetization Magnetic polarization, intensity of magnetization (Mass) magnetization Magnetic moment Magnetic dipole moment (Volume) susceptibility (Mass) susceptibility (Molar) susceptibility ύκβνιν Gaussian ή CGS emu πληειεζηήο κεηαηξνπήο ( * ) ( / ) B gauss (G) 10-4 telsa (T), Wb/m 2 Φ Maxwell (Mx), G cm Wb, V s U, F gilbert (Gb 10/4 π A H oersted (Oe), Gb/cm SI 10 3 /4 π A/m M emu/cm A/m 4 π Μ G 10 3 /4 π A/m J, I emu/cm 3 4 π 10-4 T, Wb/m 2 ζ, M emu/gr 1 4 π 10-7 A m 2 /kg Wb m/kg m emu, erg/g 10-3 A m 2, J/T j emu, erg/g 4 π Wb m αδηάζηαην, 4 π αδηάζηαην ρ, θ emu/cm 3-7 (4 π) 2 10 H/m, Wb/(A m) ρ ξ, θ ξ cm 3 4 π 10-3 m 3 /kg /gr, emu/gr -10 (4 π) 2 10 H m 2 /kg ρ Μ, θ Μ cm 3 4 π 10-6 m 3 /mol /mol, emu/mol -13 (4 π) 2 10 H m 2 /mol Permeability κ αδηάζηαην 4 π 10-7 H/m, Wb/(A m) Relative κ permeability r δελ νξίδεηαη - αδηάζηαην (Volume) energy density, energy W erg/cm J/m 3 product Demagnetization factor D, N αδηάζηαην 1/4 π αδηάζηαην 36

38 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Παξαηεξήζεηο: Σν Gaussian θαη ην CGS emu είλαη ην ίδην γηα ηηο καγλεηηθέο ηδηφηεηεο. Οξίδνληαη απφ ηε ζρέζε Β=Ζ+4 π Μ. Ζ καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ θελνχ είλαη κ 0 =4 π 10-7 Ζ/m. Σφζν ηα gauss φζν θαη ηα oersted εθθξάδνληαη ζε κνλάδεο SI σο 1/(cm gr s) 1/2 Σα emu δελ κνλάδεο. Δίλαη νλνκαζία εθ ηνπ electromagnetic units. Ζ ζρεηηθή καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα κ r = κ/κ 0 = 1+ρ. Ηζρχεη φηη ην κ ηνπ Gaussian ηαπηίδεηαη κε ην κ r ηνπ SI. 37

39 1.3: Ρνή Μηθξνζθαηξηδίωλ Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Σν ξεπζηφ κέζν ζην νπνίν θηλνχληαη ζπλήζσο ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα, είηε είλαη ην αξρηθφ πγξφ θχιαμήο ηνπο, είηε ην δείγκα ην νπνίν ζέινπκε λα επεμεξγαζηνχκε, είλαη θαηά ην κεγαιχηεξν πνζνζηφ λεξφ. Γηα ην ιφγν απηφ θαηά ηε κνληεινπνίεζε ζα ζεσξήζνπκε φηη ηα κηθξνζθαηξίδηα θηλνχληαη κέζα ζε λεξφ, ρσξίο πεξεηαίξσ δηεπθξηλήζεηο. Γεδνκέλνπ φηη ην ξεπζηφ γηα ην νπνίν κηιάκε είλαη λεξφ θαη φηη ηα κηθξνζθαηξίδηα απνηεινχλ έλα απεηξνειάρηζην θιάζκα ηνπ φγθνπ ηνπ, κπνξνχκε κε αζθάιεηα λα πνχκε φηη ην ξεπζηφ είλαη Νεπηψλεην, αθνινπζεί ηνπο λφκνπο Navier-Stokes θαη είλαη πξαθηηθά αζπκπίεζην. Με ηα παξαπάλσ δεδνκέλα θαη ζεσξψληαο κηα ζηξσηή ξνή κε αξηζκφ Reynolds κηθξφηεξν ηεο κνλάδαο, ζα κπνξνχζακε λα ππνινγίζνπκε ηε δχλακε αληίζηαζεο (drag force) απφ ην ξεπζηφ απφ ην λφκν ηνπ Stokes: ( ) Όπνπ ε είλαη ην ημψδεο ηνπ ξεπζηνχ, R ε δηάκεηξνο ησλ ζθαηξηδίσλ θαη v ε ηαρχηεηά ηνπο. ηελ πεξίπησζε καο ζθνπεχνπκε λα θάλνπκε κηα κνληεινπνίεζε φπνπ ζα ππεηζέξρνληαη ζην πξφβιεκα πεξηζζφηεξεο παξάκεηξνη θαη ν αξηζκφο Reynolds ζα είλαη έσο θαη δχν ηάμεηο κεγέζνπο κεγαιχηεξνο ηεο κνλάδαο. Γηα ην ιφγν απηφ παξαθάησ ζα πξνρσξήζνπκε ζε κηα πην εθηελή αλάιπζε ησλ καζεκαηηθψλ θαη ππνινγηζηηθψλ ζρέζεσλ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηε κνληεινπνίεζε θίλεζεο ζσκαηηδίσλ κέζα ζε ξεπζηφ. Γεληθά ππάξρνπλ δχν βαζηθέο πξνζεγγίζεηο ζην πξφβιεκα ηεο κνληεινπνίεζεο ζσκαηηδίσλ ζε ξεπζηφ. Ζ πξψηε πξνζέγγηζε αθνξά ηελ επίιπζε ησλ εμηζψζεσλ Euler θαη αληηκεησπίδεη ηα ζσκαηίδηα σο κηα ζπλερή θάζε. ηελ πεξίπησζε απηή εζηηάδνπκε ζην λα εμεηάδνπκε κηα ζέζε ζην ξεπζηφ κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ. Ζ ζέζε ησλ ζσκαηηδίσλ βξίζθεηαη κε πνιπδηάζηαην ζπλερέο κνληέιν θαη ε ξνή ππνινγίδεηαη κε ηνπηθνχο κέζνπο φξνπο. Δηθφλα 1.15: Μνληέιν κε ρξήζε εμηζψζεσλ Euler. [1.10] 38

40 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Ζ δεχηεξε πξνζέγγηζε αθνξά ηελ επίιπζε ησλ εμηζψζεσλ Lagrange θαη αθνινπζεί ην ηξνρηαθφ (trajectory) ηνπ θάζε ζσκαηηδίνπ. ηελ πεξίπησζε απηή βιέπνπκε ην πξφβιεκα απφ ηελ πιεπξά ηνπ ίδηνπ ηνπ ζσκαηηδίνπ, αθνινπζψληαο ην ζην ρψξν ηελ θάζε ρξνληθή ζηηγκή. Ζ ζέζε ησλ ζσκαηηδίσλ ππνινγίδεηαη θάζε ρξνληθή ζηηγκή θαη ε ξνή πξνθχπηεη είηε γχξσ απφ ηα ζσκαηίδηα (fully coupled problem), είηε κε ηνπηθνχο κέζνπο φξνπο (one way coupled problem). [1.10] Δηθφλα 1.16: Μνληέιν κε ρξήζε εμηζψζεσλ Lagrange. [1.10] ηελ πεξίπησζή καο ελδηαθεξφκαζηε θπξίσο γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα θαη ηηο ηξνρηέο πνπ αθνινπζνχλ θαη επνκέλσο ζε απηφ ην ζεσξεηηθφ κέξνο ζα εζηηάζνπκε ζηε πξνζέγγηζε Lagrange : Ιρλειάηεζε ζωκαηηδίωλ (particle tracking) Καηά ηε κνληεινπνίεζε δελ ππνινγίδνπκε ηελ πνξεία φισλ ησλ ζσκαηηδίσλ κέζα ζην ξεπζηφ αιιά ελφο αληηπξνζσπεπηηθνχ δείγκαηνο. Σν θάζε ζσκαηίδην εθιχεηαη θαη ζηελ ζπλέρεηα ππνινγίδεηαη ε δηαδξνκή ηνπ κέζα ζηνλ θαηαθεξκαηηζκέλν ρψξν (domain) πνπ ην πεξηβάιιεη κέρξη λα θηάζεη ζε έλα φξην απηνχ ή λα πιεξσζνχλ θάπνηα άιια θξηηήξηα ηεο κνληεινπνίεζεο. Καηά ηελ πνξεία ηεο κνληεινπνίεζεο ππνινγίδνληαη φιεο νη δπλάκεηο πνπ πηζαλψο αζθνχληαη ζην ξεπζηφ. Ο ππνινγηζκφο ηεο κεηαηφπηζεο ησλ ζσκαηηδίσλ γίλεηαη κε νινθιήξσζε Euler (forward Euler integration) ηεο ηαρχηεηαο ηνπ ζσκαηηδίνπ ζε θάζε ρξνληθφ βήκα δt. Αλ (dx p /dt)=v p ηφηε ε κεηαηφπηζε ηνπ ζσκαηηδίνπ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε: ( ) Όπνπ νη δείθηεο o θαη n αλαθέξνληαη ζην παιηφ θαη ζην λέν αληίζηνηρα, ελλνψληαο ην πξνεγνχκελν θαη απηφ ην ρξνληθφ βήκα. Ο δείθηεο p αλαθέξεηαη ζην ζσκαηίδην (particle). ε απηή ηε ζεψξεζε, ε ηαρχηεηα πνπ έρνπκε ζηελ αξρή ελφο ρξνληθνχ βήκαηνο θπξηαξρεί ζε φιε ηε δηάξθεηά ηνπ, ελψ ε ηαρχηεηα ηνπ επφκελνπ ρξνληθνχ βήκαηνο ππνινγίδεηαη ζην ηέινο ηνπ πξνεγνχκελνπ απφ ηελ ζπλνιηθή εμίζσζε ησλ δπλάκεσλ ζην ζσκαηίδην. ( ) 39

41 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Όπνπ F all είλαη ε ζπλνιηθή δχλακε πνπ αζθείηαη πάλσ ζην ζσκαηίδην. Ζ παξαπάλσ εμίζσζε έρεη αλαιπηηθή ιχζε: ( ) ( ) ( ( )) ( ) Όπνπ ν δείθηεο f αλαθέξεηαη ζην ξεπζηφ θαη φιεο νη ηδηφηεηεο ηνπ ξεπζηνχ ιακβάλνληαη ζηελ αξρή ηνπ ρξνληθνχ βήκαηνο. ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ζπλνιηθήο δχλακεο ππεηζέξρνληαη πνιιέο κεηαβιεηέο ηνπ ξεπζηνχ, φπσο ε ππθλφηεηα, ην ημψδεο θαη ε ηαρχηεηα ηνπ ξεπζηνχ. Οη κεηαβιεηέο απηέο ππνινγίδνληαη γηα ην πεπεξαζκέλν ζηνηρείν ζην νπνίν ηαμηδεχεη εθείλε ηε ρξνληθή ζηηγκή ην ζσκαηίδην θαη ζηε ζπλέρεηα ρξεζηκνπνηψληαο ζπλαξηήζεηο κνξθήο (shape functions) γίλεηαη παξεκβνιή ζηε ζπγθεθξηκέλε ζέζε πνπ βξίζθεηαη ην ζσκαηίδην. Όπσο αθξηβψο ην ξεπζηφ επεξεάδεη ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ ζσκαηηδίνπ κέζσ δπλάκεσλ θαη άιισλ επηξξνψλ, π.ρ. κεηαθνξά ζεξκφηεηαο, αληίζηνηρα επεξεάδεη θαη ην ζσκαηίδην ηε ξνή ηνπ ξεπζηνχ. Απηή ε αιιειεπίδξαζε ραξαθηεξίδεηαη ζηε κνληεινπνίεζε σο ζχδεπμε (coupling) κεηαμχ ησλ θάζεσλ. Αλ ην ξεπζηφ κπνξεί λα επεξεάζεη ηελ πνξεία ησλ ζσκαηηδίσλ, αιιά ζεσξνχκε ακειεηέα ηελ επίδξαζε ησλ ζσκαηηδίσλ ζην ξεπζηφ, ηφηε έρνπκε ζχδεπμε κηαο θαηεχζπλζεο (one way coupling). Αλ ζεσξήζνπκε φηη θαη ηα ζσκαηίδηα επεξεάδνπλ ηε ξνή, ηφηε έρνπκε πιήξε ζχδεπμε (two way coupling). ηελ πεξίπησζε ηεο ζχδεπμεο κηαο θαηεχζπλζεο ην ζχζηεκα είλαη ζρεηηθά απιφ. Σν πεδίν ξνήο κπνξεί λα ππνινγηζηεί εληειψο αλεμάξηεηα, αγλνψληαο πιήξσο ηελ χπαξμε ησλ ζσκαηηδίσλ. Απηφο ν ηχπνο επίιπζεο ζεσξείηαη απνδεθηφο φηαλ έρνπκε πνιχ κηθξή πνζφηεηα νκνηφκνξθα θαηαλεκεκέλσλ ζσκαηηδίσλ ζην ξεπζηφ θαη ηα ζσκαηίδηα απνηεινχλ έλα πνιχ κηθξφ θιάζκα ηνπ φγθνπ ηνπ ξεπζηνχ. Σφηε πξάγκαηη ε επίδξαζε ησλ ζσκαηηδίσλ ζηε ξνή είλαη ακειεηέα. Ζ πιήξεο ζχδεπμε είλαη κηα πην πνιχπινθε θαηάζηαζε πνπ απαηηεί νη επηδξάζεηο ησλ ζσκαηηδίσλ λα εηζάγνληαη ζηελ εμίζσζε ηεο νξκήο ησλ ζσκαηηδίσλ. Οη επηδξάζεηο ιφγσ ησλ ζσκαηηδίσλ κπνξεί λα αλαθέξνληαη ζε φξνπο ηχξβεο ή ζηελ αληίζηαζε ηνπ ξεπζηνχ. Οη επηδξάζεηο απηέο ππνινγίδνληαη γηα θάζε ζσκαηίδην θαζψο απηφ θηλείηαη κέζα ζην ξεπζηφ. Αληίζηνηρα κε ηηο επηδξάζεηο απφ ην ξεπζηφ, θαη νη επηδξάζεηο απφ ηα ζσκαηίδηα εθαξκφδνληαη ζην ξεπζηφ ηνπ πεπεξαζκέλνπ φγθνπ ζην νπνίν βξίζθνληαη ηα ζσκαηίδηα ηελ εθάζηνηε ρξνληθή ζηηγκή. Πιήξεο ζχδεπμε απαηηείηαη ινηπφλ αλ ν φγθνο ηνπ εθάζηνηε ζσκαηηδίνπ είλαη ππνινγίζηκνο ζε ζρέζε κε ηνλ φγθν ηνπ ξεπζηνχ. ηελ πεξίπησζε απηή είλαη ζαθέο δελ κπνξεί λα αγλνεζεί ε χπαξμε ησλ ζσκαηηδίσλ ζην ππνινγηζκφ ηνπ πεδίνπ ξνήο, αθνχ ηνπιάρηζηνλ γχξσ απφ ηα ζσκαηίδηα ην πεδίν ζα παξακνξθψλεηαη. Δπίζεο, αλ ν αξηζκφο ησλ ζσκαηηδίσλ είλαη ηφζν κεγάινο ψζηε ν ζπλνιηθφο ηνπο φγθνπο λα είλαη ζπγθξίζηκνο κε ηνλ φγθν ηνπ ξεπζηνχ, ηφηε ε χπαξμε ησλ ζσκαηηδίσλ ζα επεξεάδεη ηνπιάρηζηνλ ην ημψδεο ηεο ξνήο. ηελ δηθή καο πεξίπησζε, ν φγθνο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ πνπ ρεηξηδφκαζηε είλαη πάληα πνιχ κηθξφηεξνο ηνπ φγθνπ ηνπ ξεπζηνχ ζην νπνίν βξίζθνληαη αθφκα θαη αλ έρνπκε εθαηνκκχξηα κηθξνζθαηξίδηα ζε κεξηθά κηθξφιηηξα δείγκαηνο. Έηζη ε έρνπκε μεθάζαξε εθαξκνγή ηεο ζχδεπμεο κηαο θαηεχζπλζεο. Παξαθάησ ζα πξνρσξήζνπκε ζηελ πεξηγξαθή ησλ παξακέηξσλ πνπ κπνξεί λα επεξεάδνπλ ηα ζσκαηίδηα θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηνπο κέζα ζην ξεπζηφ. 40

42 1.3.2: Μεηαθνξά νξκήο Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Θεσξνχκε έλα δηαθξηηφ ζσκαηίδην πνπ ηαμηδεχεη κέζα ζε ζπλερέο ξεπζηφ. Οη δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη ζην ζσκαηίδην θαη επεξεάδνπλ ηελ επηηάρπλζή ηνπ νθείινληαη ζηε δηαθνξά ηεο ηαρχηεηαο κεηαμχ ζσκαηηδίνπ θαη ξεπζηνχ, φπσο επίζεο θαη ζηε κεηαηφπηζε φγθνπ ηνπ ξεπζηνχ απφ ην ζσκαηίδην. Ζ εμίζσζε θίλεζεο γηα έλα ηέηνην ζσκαηίδην δίλεηαη απφ ηνπο Basset, Boussineq θαη Oseen γηα πεξηζηξεθφκελν ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. ( ) Όπνπ ζην δεμί κέινο έρνπκε ηηο εμήο δπλάκεηο: F D : Γχλακε αληίζηαζεο ζην ζσκαηίδην (drag force). F B : Γχλακε Buoyancy ιφγσ βαξχηεηαο (Buoyancy force). F R : Γπλάκεηο ιφγσ πεξηζηξνθήο ηνπ ηνκέα (θεληξνκφινο θαη Coriolis). F VM : Γχλακε εηθνληθήο ή πξφζζεηεο κάδαο (virtual force ή added mass force). Απηή αλαθέξεηαη ζηελ αλάγθε επηηάρπλζεο ηεο εηθνληθήο κάδαο ηνπ ξεπζηνχ πνπ θαηαιακβάλεηαη απφ ην ζσκαηίδην. Δίλαη ζεκαληηθή φηαλ ε κάδα ηνπ ξεπζηνχ πνπ εθηνπίδεηαη είλαη κεγαιχηεξε απφ ηε κάδα ηνπ ζσκαηηδίνπ, φπσο γηα παξάδεηγκα ζηηο θπζαιίδεο. F P : Γχλακε ιφγσ κεηαβνιήο ηνπ πεδίνπ πίεζεο (pressure gradient force). Απηή είλαη ε δχλακε πνπ αζθείηαη ζην ζσκαηίδην ιφγσ ηεο κεηαβνιήο ηεο πίεζεο ζην πεξηξξένλ ξεπζηφ, πνπ κε ηε ζεηξά ηεο πξνθαιείηαη απφ ηελ επηηάρπλζε ηνπ ξεπζηνχ. Δίλαη ζεκαληηθή κφλν φηαλ ε ππθλφηεηα ηνπ ξεπζηνχ είλαη ζπγθξίζηκε ή κεγαιχηεξε απφ ηελ ππθλφηεηα ησλ ζσκαηηδίσλ. F BA : Γχλακε Basset (Basset force) ή ηζηνξηθφο φξνο πνπ πεξηιακβάλεη ηηο αιιαγέο ζην πεδίν ξνήο απφ κηα κφληκε θαηάζηαζε. Σν αξηζηεξφ κέινο ηεο εμίζσζεο (1.22) κπνξεί λα κεηαβιεζεί απφ ηνλ φξν ηεο εηθνληθήο δχλακεο, ηνλ νπνίν ζα εμεηάζνπκε αλαιπηηθά παξαθάησ. Αλ ζπκβεί απηφ νδεγνχκαζηε ζηελ παξαθάησ εμίζσζε: ( ) ( ) Παξαηεξνχκε φηη έλα κέξνπο ηνπ φξνπ ηεο F MV παξακέλεη ζην δεμί κέινο θαη γηα ην ιφγν απηφ ζεκεηψλεηαη κε ηφλν. Ζ κάδα ηνπ ζσκαηηδίνπ θαη ηνπ ξεπζηνχ δχλνληαη αληίζηνηρα απφ ηνπο παξαθάησ ηχπνπο: ( ) 41

43 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Όπνπ d p είλαη ε δηάκεηξνο ηνπ ζσκαηηδίνπ θαη ξ p θαη ξ f νη ππθλφηεηα ζσκαηηδίνπ θαη ξεπζηνχ αληίζηνηρα. Ζ αλαινγία ηεο αξρηθήο κάδαο ηνπ ζσκαηηδίνπ πξνο ηελ δξαζηηθή κάδα ηνπ (ιφγσ ηνπ δηνξζσηηθνχ φξνπ ηεο εηθνληθήο κάδαο) είλαη: ( ) Αληηθαζηζηψληαο απφ ηελ (1.25) ζηελ (1.23) έρνπκε ηελ εμίζσζε: ( ) ( ) ηελ παξαπάλσ εμίζσζε θάζε φξνο ζην δεμί κέινο κπνξεί λα γξακκηθνπνηεζεί ζε ζρέζε κε ηελ ηαρχηεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ U p θαη λα γξαθεί ζηε κνξθή: ( ) Παξαθάησ ζα εμεηάζνπκε ηε ζπκβνιή θάζε φξνπ ζην δεμί κέινο ζηνλ φξν R θαη ζην ζπληειεζηή γξακκηθνπνίεζεο C lin. Γχλακε Αληίζηαζεο (Drag Force). Ζ πδξνδπλακηθή αληίζηαζε ζην ζσκαηίδην είλαη αλάινγε ηεο ζρεηηθήο ηαρχηεηαο (slip velocity) U s κεηαμχ ζσκαηηδίνπ θαη ξεπζηνχ: ( ) ( ) Όπνπ C D είλαη ν ζπληειεζηήο αληίζηαζεο ηεο ξνήο θαη Α f είλαη ε δξψζα επηθάλεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ. Ο C D ππνινγίδεηαη απφ πεηξακαηηθά απνηειέζκαηα ξνήο γχξσ απφ ζθαηξηθφ ζψκα ιακβάλνληαο ππφςε ην ημψδεο ηεο ξνήο. ηελ πεξίπησζε ηεο κνληεινπνίεζεο, φπνπ δελ έρνπκε πξαγκαηνπνηήζεη εκείο θάπνην πείξακα γηα ηελ εχξεζε ηνπ ζπληειεζηή αληίζηαζεο, ρξεζηκνπνηνχκε εκπεηξηθνχο ηχπνπ πνπ έρνπλ αλαπηπρζεί. Παξαθάησ παξνπζηάδνπκε ηηο βαζηθέο απηέο εκπεηξηθέο ζρέζεηο γηα θάζε ηχπν ξνήο ζσκαηηδίσλ ζε ξεπζηφ. Αξαηά θαηαλεκεκέλα ζηεξεά ζωκαηίδηα: ε ζηξσηή ξνή ν ζπληειεζηήο αληίζηαζεο γηα ξνή γχξσ απφ ζθαηξηθά ζσκαηίδηα κπνξεί λα ππνινγηζζεί αλαιπηηθά απφ ην λφκν ηνπ Stokes: ( ) 42

44 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Απφ ηελ άιιε πιεπξά, γηα πνιχ κεγάινπο αξηζκνχο Reynolds ν ζπληειεζηήο αληίζηαζεο γίλεηαη αλεμάξηεηνο ηνπ αξηζκνχ Reynolds θαη έρνπκε: ( ) Γηα ηελ κεηαβαηηθή πεξηνρή κε 0.1<Re<1000 ρξεζηκνπνηνχκε ηελ παξαθάησ εκπεηξηθή ζρέζε Schiller Naumann: ( ) ( ) Φπζηθά ν παξαπάλσ φξνο δελ ζα πξέπεη λα είλαη κηθξφηεξνο ηεο ηηκήο ηνπ C D ζηελ ηπξβψδε πεξηνρή θαη γηα ην ιφγσ απηφ αλ απφ ηε ζρέζε Schiller Naumann πξνθχςεη C D <0.44 ηφηε ιακβάλνπκε C D =0.44. Ππθλά θαηαλεκεκέλα ζηεξεά ζωκαηίδηα: ηελ πεξίπησζε απηή θπξηαξρνχλ δχν πεηξακαηηθέο ζρέζεηο αλάινγα κε ην πνζνζηφ ηνπ φγθνπ ηνπ ζπλνιηθνχ κίγκαηνο πνπ θαηαιακβάλεη ε ζηεξεή θάζε. Γηα ην ιφγν απηφ νξίδνπκε ηελ πνζφηεηα r f πνπ είλαη ε αλαινγία ηνπ φγθνπ ηνπ ξεπζηνχ πξνο ηνλ ζπλνιηθφ φγθν ηνπ κίγκαηνο. Αλ r f >0.8 ηφηε ρξεζηκνπνηνχκε ηε ζρέζε Wen Yu: ( ( ) ) ( ) Όπνπ ν λένο Re ππνινγίδεηαη σο Re =r f Re. Παξαηεξνχκε φηη ε ζρέζε απηή είλαη ίδηα κε ηε ζρέζε Schiller Naumann κφλν πνπ έρνπκε επηπιένλ ηνπο φξνπο πνπ ιακβάλνπλ ππφςε ην r f. Αλ r f <0.8 ηφηε ρξεζηκνπνηνχκε ηε ζρέζε Gidaspow: ( ) ( ) ( ) Οκνίσο ππάξρνπλ εκπεηξηθέο ζρέζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ην ζπληειεζηή αληίζηαζεο γηα ξνή ζηαγνληδίσλ δεχηεξνπ ξεπζηνχ ζηελ αξρηθή θάζε αιιά θαη γηα ηε ξνή θπζαιίδσλ κέζα ζε ξεπζηφ. Αληίζηνηρα γηα θάζε ηχπν ζσκαηηδίσλ νη εκπεηξηθέο απηέο ζρέζεηο δίλνληαη γηα αξαηή θαηαλνκή ησλ ζσκαηηδίσλ θαη γηα ππθλή θαηαλνκή ησλ ζσκαηηδίσλ. ε θάζε πεξίπησζε πάλησο ε κειέηε ηνπο μεθεχγεη απφ ηα φξηα ηεο παξνχζαο εξγαζίαο, αθνχ ζηελ πεξίπησζή καο έρνπκε ηε κνληεινπνίεζε κφλν ζηεξεψλ ζσκαηηδίσλ ζην ξεπζηφ. Έρνληαο ιχζεη ην ζέκα ηνπ ζπληειεζηή αληίζηαζεο επηζηξέθνπκε ζηνλ ππνινγηζκφ ηεο ζπκβνιήο ηεο δχλακεο αληίζηαζεο ζηε γξακκηθνπνηεκέλε ζρέζε (1.27) Θέηνπκε κηα λέα κεηαβιεηή D πνπ είλαη βαζκσηφ κέγεζνο σο εμήο: ( ) 43

45 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Καη δηαρσξίδνληαο ηε ζρέζε (1.28) ζηνπο θαηάιιεινπο φξνπο, βξίζθνπκε ηε ζπκβνιή ηεο δχλακεο αληίζηαζεο ζηελ (1.27). ( ) ( ) Γχλακε ιφγσ βαξχηεηαο (Buoyancy Force) Ζ δχλακε απηή, πνπ δελ ζα ήηαλ ιάζνο λα ηελ νλνκάζνπκε άλσζε ζηα ειιεληθά, είλαη ε δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα πιήξσο βπζηζκέλν ζε ξεπζηφ ζσκαηίδην. Ζ δχλακε πνπ αζθείηαη ζην ζσκαηίδην είλαη ίζε κε ην βάξνο ηνπ εθηνπηζκέλνπ ξεπζηνχ: ( ) ( ) ( ) ( ) Όπνπ g είλαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο. Αλ ππνινγίζνπκε ηελ ζπλεηζθνξά ηεο εμίζσζεο (1.26) ζηελ (1.27), πξνθχπηεη φηη ε δχλακε ιφγσ βαξχηεηαο ζπκβάιεη κφλν ζηνλ πξψην φξν: ( ) ( ) Γχλακε ιφγσ πεξηζηξνθήο (Rotation Force) Όηαλ ην ζχζηεκα αλαθνξάο πεξηζηξέθεηαη ηφηε πξέπεη λα εηζάγνπκε θαη ηνπο φξνπο ηεο πεξηζηξνθήο ζηε ζπλνιηθή δχλακε ηνπ αζθείηαη ζην ζσκαηίδην. Οη φξνη ηεο πεξηζηξνθήο είλαη ε θεληξνκφινο δχλακε πάλσ ζηα ζσκαηίδηα θαη ε δχλακε Coriolis: ( ) ( ) Δπεηδή ε πεξηζηξνθή επηδξά επίζεο πάλσ ζηελ εηθνληθή κάδα θαη ζην πεδίν ηεο πίεζεο, εηζάγνπκε ζε απηφ ην ζεκείν επηπιέσλ δχν φξνπο πεξηζηξνθήο. Ζ εηζαγσγή απηψλ ησλ φξσλ αθνξά ζηελ επίδξαζε ηνπ πεξηζηξεθφκελνπ ζπζηήκαηνο ζηε ζπλνιηθή δχλακε θαη γίλεηαη απεπζείαο ζηνλ ππνινγηζκφ ηεο ζπλεηζθνξάο ηνπ πεξηζηξεθφκελνπ ζπζηήκαηνο ζηελ εμίζσζε (1.27). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44

46 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Γηα κηα πην εχθνιε γξαθή ηεο ζρέζεο, πξνηείλνπκε ηηο παξαθάησ αληηθαηαζηάζεηο: Οπφηε ε ζπλεηζθνξά ησλ δπλάκεσλ πεξηζηξνθήο ζηελ εμίζσζε (1.27) κπνξεί λα γξαθεί σο: Όπνπ: ( ) ( ) C=1 αλ δελ ιακβάλνπκε ππφςε νχηε ηελ επίδξαζε ηεο εηθνληθήο κάδαο, νχηε ηελ επίδξαζε ηνπ πεδίνπ πίεζεο. C=R VM αλ κφλν ν φξνο ηεο εηθνληθήο κάδαο ιακβάλεηαη ππφςε. C=1-(ξ f /ξ p ) αλ κφλν ν φξνο ηνπ δπλακηθνχ ηεο πίεζεο ιακβάλεηαη ππφςε. C=R VM 1-(ξ f /ξ p ) αλ ηφζν ν φξνο ηεο εηθνληθήο κάδαο, φζν θαη ν φξνο ηνπ πεδίνπ πίεζεο, ιακβάλεηαη ππφςε. Γχλακε εηθνληθήο ή πξφζζεηεο κάδαο (Virtual or Added Mass Force) Απηή ε δχλακε αηηηνινγείηαη απφ ην γεγνλφο φηη ην ζσκαηίδην πξέπεη λα επηηαρχλεη κηα πνζφηεηα ξεπζηνχ γηα λα θηλεζεί, πξνθαιψληαο έηζη έλαλ επηπιένλ φξν αληίζηαζεο: ( ) ( ) Αλ ε εηθνληθή κάδα ιακβάλεηαη ππφςε ηφηε ν ζπληειεζηήο C VM είλαη ζπλήζσο κνλάδα. Αλ ε εηθνληθή κάδα δελ ιακβάλεηαη ππφςε ηφηε ν C VM γίλεηαη κεδέλ θαη ν ιφγνο R VM παίξλεη ηελ ηηκή κνλάδαο. ηελ παξαπάλσ εμίζσζε βιέπνπκε φηη πεξηιακβάλεηαη θαη ην δηαθνξηθφ ηεο ηαρχηεηαο ηνπ ζσκαηηδίνπ, επνκέλσο ν φξνο απηφο κπνξεί λα πεξάζεη ζην αξηζηεξφ κέινο ηεο εμίζσζεο (1.27). Έηζη έρνπκε ηελ λέα κνξθή ηεο δχλακεο εηθνληθήο κάδαο F VM. Θεσξψληαο κφλν ξνέο ζηε κφληκε θαηάζηαζε, έρνπκε ηε λέα κνξθή ηεο δχλακεο εηθνληθήο κάδαο: ( ) ( ) Αληηθαζηζηψληαο απφ ηελ (1.43) ηε ζπλεηζθνξά ηεο ζηελ (1.27), έρνπκε ζηελ πεξίπησζε απηή: 45

47 Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος ( ) ( ) ( ) Όπνπ: ( ) Ο φξνο ηεο R f είλαη απαξαίηεηνο αλ ηα ζσκαηίδηα βξίζθνληαη ζε πεξηζηξεθφκελν ζχζηεκα, φκσο φπσο είδακε παξαπάλσ ε επίδξαζε ηεο εηθνληθήο κάδαο ζηνλ πεξηζηξνθηθφ φξν έρεη ήδε ιεθζεί ππφςε ζηελ εμίζσζε (1.40). Έηζη, απφ ηελ δχλακε εηθνληθήο ε πξφζζεηεο κάδαο, ν κφλνο φξνο πνπ ζπλεηζθέξεη ζηελ εμίζσζε (1.27) είλαη ν παξαθάησ: ( ) ( ) ( ) Γχλακε ιφγσ κεηαβνιήο ηνπ πεδίνπ πίεζεο (Pressure Gradient Force) Ζ δχλακε ιφγσ ηνπ πεδίνπ πίεζεο πξνθχπηεη απφ ηε κεηαβνιή ηεο πίεζεο ηνπ ξεπζηνχ γχξσ απφ ην ζσκαηίδην θαζψο απηφ θηλείηαη. Οξίδεηαη απφ ηε ζρέζε: ( ) Απηή ε δχλακε είλαη ζεκαληηθή κφλν αλ ζην ξεπζηφ ππάξρνπλ απφηνκεο κεηαβνιέο πίεζεο θαη αλ ε ππθλφηεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ είλαη κηθξφηεξε ή ίζε κε ηελ ππθλφηεηα ηνπ ξεπζηνχ. Αγλνψληαο θαηλφκελα δηάρπζεο θαη πεγέο ζηελ εμίζσζε κφληκεο θαηάζηαζεο, ην gradient ηεο πίεζεο κπνξεί λα αληηθαηαζηαζεί απφ ην gradient ηεο ηαρχηεηαο ηνπ ξεπζηνχ. Αλ ζεσξήζνπκε ζηαζεξή ηελ ππθλφηεηα ηνπ ξεπζηνχ, ε δχλακε ιφγσ κεηαβνιήο ηνπ πεδίνπ ηεο πίεζεο κπνξεί λα γξαθεί σο: ( ) ( ) ( ) Απφ ηελ παξαπάλσ εμίζσζε, νδεγνχκαζηε ζην ζπκπέξαζκα φηη ε ζπκβνιή ηεο δχλακεο ιφγσ κεηαβνιήο ηνπ πεδίνπ πίεζεο ζην δεμί κέινο ηεο εμίζσζεο (1.27) δίλεηαη απφ ηε ζρέζε: ( ) ( ) Όπνπ ε R f έρεη παξνπζηαζζεί ήδε ζηε ζρέζε (1.45). Ο φξνο ηεο R f είλαη απαξαίηεηνο αλ ηα ζσκαηίδηα θηλνχληαη ζε πεξηζηξεθφκελν ζχζηεκα, αιιά, φπσο είδακε θαη ζηε δχλακε ιφγσ εηθνληθήο κάδαο, ν φξνο απηφο έρεη ήδε ζπκπεξηιεθζεί ζηε δχλακε ιφγσ πεξηζηξνθήο. Δπνκέλσο ε ζπλεηζθνξά ηνπ πεδίνπ πίεζεο ζηε ζρέζε (1.27) ζα είλαη ηειηθά: ( ) ( ) Έηζη νινθιεξψζακε ηελ επηζθφπεζε ησλ δπλάκεσλ πνπ δξνπλ ζην ζσκαηίδην. 46

48 ( ) 1.3.3: Σύξβε ζηελ ηρλειάηεζε ζωκαηηδίωλ Κεφάλαιο 1: Θεωρητικό Μέρος Ο ππνινγηζκφο ηεο ζηηγκηαίαο ηαρχηεηαο ηνπ ξεπζηνχ v f ζηελ εμίζσζε (1.22) εμαξηάηαη απφ ηηο ζπλζήθεο ξνήο θαη απφ ην είδνο ηρλειάηεζεο ζσκαηηδίσλ πνπ επηιέγνπκε, κέζε ή κε ηπξβψδε δηαζπνξά. ηελ ζηξσηή ξνή ή φηαλ επηιέμνπκε κέζε ηρλειάηεζε ησλ ζσκαηηδίσλ, ε v f είλαη ίζε κε ηε κέζε ηηκή ηεο ηνπηθήο ηαρχηεηαο ηεο ξνήο πνπ πεξηβάιιεη ην ζσκαηίδην. Ζ δηαδξνκή πνπ ζα αθνινπζήζεη ην θάζε ζσκαηίδην είλαη κία θαη θαζνξηζκέλε, δειαδή ππάξρεη κηα θαη κνλαδηθή δηαδξνκή γηα θάζε ζσκαηίδην πνπ εθιχεηαη. Αλ επηιέμνπκε ηπξβψδε ηρλειάηεζε ησλ ζσκαηηδίσλ, ε ζηηγκηαία ηαρχηεηα ηνπ ξεπζηνχ ρσξίδεηαη ζε δχν φξνπ, κηα κέζε ηαρχηεηα θαη ζε κηα θπκαηλφκελε ηαρχηεηα, θάζε ζηηγκή. Με απηή ηελ ππφζεζε νη δηαδξνκέο ησλ ζσκαηηδίσλ δελ είλαη θαζνξηζκέλεο θαη δχν ηαπηνηηθά ζσκαηίδηα πνπ εθιχνληαη απφ ην ίδην ζεκείν ζε δχν δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο, κπνξεί λα αθνινπζήζνπλ δηαθνξεηηθέο δηαδξνκέο. Απηφ νθείιεηαη ζηελ ηπραία θχζε ηεο ζηηγκηαίαο θπκαηλφκελεο ηαρχηεηαο ηνπ ξεπζηνχ. Έλα πνιχ ρξήζηκν κνληέιν γηα ηε κνληεινπνίεζε απηνχ ηνπ ζηνραζηηθνχ θαηλνκέλνπ δίλεηαη απφ ηνπο Gosman θαη Ησαλλίδε. Σν κνληέιν απηφ ππνζέηεη φηη έλα ζσκαηίδην βξίζθεηαη ζπλερψο κέζα ζε θάπνην ζηξφβηιν. Κάζε ζηξφβηινο έρεη κηα ραξαθηεξηζηηθή θπκαηλφκελε ηαρχηεηα v f, κηα δηάξθεηα δσήο, η e, θαη έλα κήθνο, l e. Όηαλ ην ζσκαηίδην εηζέξρεηαη ζε έλα ζηξφβηιν, ε θπκαηλφκελε ηαρχηεηα απφ απηφ ην ζηξφβηιν πξνζηίζεηαη ζηελ ηνπηθή κέζε ηαρχηεηα ηνπ ξεπζηνχ, γηα λα ιάβνπκε ηελ ηειηθή ζηηγκηαία ηαρχηεηα ηνπ ξεπζηνχ πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί ζε νιφθιεξν ην ρξνληθφ βήκα. Ζ ηαρχηεηα ιφγσ ηεο ηχξβεο ζεσξνχκε φηη επηθξαηεί, αξθεί ν ρξφλνο πνπ ην ζσκαηίδην αιιειεπηδξά κε ην ζηξφβηιν λα είλαη κηθξφηεξνο ηεο δηάξθεηαο δσήο ηνπ ζηξνβίινπ θαη ε κεηαηφπηζε ηνπ ζσκαηηδίνπ ίζε ή κηθξφηεξε απφ ην κήθνο ηνπο ζηξνβίινπ. Αλ κηα απφ ηηο παξαπάλσ πξνυπνζέζεηο δελ θαιχπηεηαη ηφηε ζεσξνχκε φηη ην ζσκαηίδην εηζέξρεηαη ζε λέν ζηξφβηιν, κε δηαθνξεηηθή θπκαηλφκελε ηαρχηεηα, δηάξθεηα δσήο θαη κήθνο. Ζ θπκαηλφκελε ηαρχηεηα ηνπ ζηξνβίινπ, ην κήθνο ηνπ θαη ε δηάξθεηα δσήο ππνινγίδνληαη κε βάζε ηηο ηνπηθέο ηδηφηεηεο ηεο ηπξβψδνπο ξνήο απφ ηηο παξαθάησ ζρέζεηο: ( ) ( ) Όπνπ k θαη ε είλαη ε ηνπηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ιφγσ ηχξβεο θαη ν ζθεδαζκφο αληίζηνηρα. Ο ζπληειεζηήο C κ είλαη ε ζηαζεξά ηεο ηπξβψδνπο ξνήο. Ζ κεηαβιεηή Γ πξνθχπηεη ηπραία απφ κηα θαλνληθή θαηαλνκή αξηζκψλ γχξσ απφ κηα κέζε ηηκή, νχησο ψζηε λα ελζσκαηψζεη ηελ ηπραηφηεηα ηνπ θαηλνκέλνπ. [1.11] 47

49 Πεπεξαζκέλα ηνηρεία

50 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία 49

51 2.0: Εηζαγωγή Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία ην θεθάιαην απηό ζα αζρνιεζνύκε κε ηνλ ηξόπν πνπ επηιύνληαη πξνβιήκαηα πνπ πεξηέρνπλ ζσκαηίδηα κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Κξίλεηαη ζθόπηκν λα κελ γίλεη πιήξεο αλαζθόπεζε ζηε κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ από ηελ απαξρή ηνπο, αιιά λα εζηηάζνπκε ζηηο κεηαβνιέο θαη ηηο ηδηαηηεξόηεηεο πνπ εηζάγνληαη ζην πξόβιεκα από ηελ παξνπζία ησλ ζσκαηηδίσλ. Η κέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ πεξηιακβάλεη ζσκαηίδηα νλνκάδεηαη Particle Finite Element Method ή γηα ζπληνκία PFEM. Η κέζνδνο απηή ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ επίιπζε δηαθόξσλ πξνβιεκάησλ, όπσο π.ρ. ε δηάβξσζε ζσκάησλ κέζα ζε ξεπζηό, ε δηάβξσζε εξγαιείσλ θνπήο θαηά ηελ θαηεξγαζία θαη ε ηήμε δηαθόξσλ πιηθώλ ζε ζηαγόλεο παξνπζία θσηηάο. Σν παξόλ θεθάιαην ρσξίδεηαη ζε ηξηο ζεκαηηθέο ελόηεηεο. Η πξώηε ελόηεηα νλνκάδεηαη «Βαζηθέο Αξρέο» θαη πεξηγξάθεη ηε βάζε ηεο δεκηνπξγίαο ησλ PFEM. Δθεί αλαθέξνπκε ζπλνπηηθά θαη πεξηγξαθηθά ην καζεκαηηθό κνληέιν πνπ ρξεζηκνπνηείηαη θαη ηα βήκαηα πνπ αθνινπζνύληαη ζε θάζε ρξνληθό βήκα γηα ηε κνληεινπνίεζε. Η δεύηεξε ελόηεηα νλνκάδεηαη «Αιιειεπηδξάζεηο Ρεπζηνύ-σκαηηδίσλ». ηελ ελόηεηα απηή πεξηγξάθνπκε ζπλνπηηθά πσο γίλεηαη ν ππνινγηζκόο ησλ κεγεζώλ ηεο ξνήο θαη ησλ ζσκαηηδίσλ κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Σέινο ε ηξίηε ελόηεηα νλνκάδεηαη «Μαγλεηηζκόο» θαη πεξηγξάθεη πσο ππεηζέξρνληαη νη καγλεηηθέο δπλάκεηο ζην κνληέιν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Δπίζεο ζην θεθάιαην απηό ζα δνύκε θαη ηε ζρέζε ππνινγηζκνύ ηεο καγλεηηθήο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζε θάζε κηθξνζθαηξίδην. 2.1: Βαζηθέο Αξρέο Θεσξνύκε έλα πεδίν πνπ πεξηέρεη ηόζν ζηεξεά όζν θαη ξεπζηά ππνπεδία. Σα θηλνύκελα κέξε ηνπ ξεπζηνύ αιιειεπηδξνύλ κε ηα όξηα ησλ ζηεξεώλ θαη πηζαλώλ ηα παξακνξθώλνπλ. Με ηε ζεηξά ηνπο ηα ζηεξεά επηδξνύλ πάλσ ζηελ θίλεζε ησλ ξεπζηώλ θαη έηζη ην πξόβιεκα είλαη πιήξσο ζπδεπγκέλν. ηελ PFEM κέζνδν ηόζν ηα ζηεξεά όζν θαη ηα ξεπζηά ππνπεδία κνληεινπνηνύληαη κε ηε κέζνδν Lagrange (updated Lagrangian formulation). Όιεο νη κεηαβιεηέο ζηα ζηεξεά θαη ξεπζηά πεδία ζεσξνύληαη όηη είλαη γλσζηά ζηελ παξνύζα θαηάζηαζε ζε ρξόλν t. Έλα λέν ζύλνιν κεηαβιεηώλ ππνινγίδεηαη θαη γηα ηα δύν πεδία γηα ηελ επόκελε θαηάζηαζε ζε ρξόλν t+γt. Δηθόλα 2.1: Μέζνδνο Lagrange (updated Lagrangian). [2.1] 50

52 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Η κέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ (FEM) ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο ζπλέρεηαο θαη ζηα δύν πεδία. Έηζη έλα πιέγκα πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ λα δηαθξηηνπνηεί απηά ηα πεδία πξέπεη λα δεκηνπξγεζεί, ώζηε λα ιπζνύλ νη βαζηθέο εμηζώζεηο θαη γηα ην ξεπζηό θαη γηα ην ζηεξεό κε ηε ζπλήζε κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. ηελ πεξίπησζε απηή νη θόκβνη ησλ ζηνηρείσλ πνπ δηαθξηηνπνηνύλ ηόζν ην ζηεξεό, όζν θαη ην ξεπζηό πεδίν ζπκπεξηθέξνληαη ζαλ ζσκαηίδηα πιηθνύ, ησλ νπνίσλ ε θίλεζε παξαθνινπζείηαη θαηά ηε δηάξθεηα ηεο επίιπζεο ηνπ δπλακηθνύ πξνβιήκαηνο. Απηό είλαη ηδηαίηεξα ρξήζηκν ζηε κνληεινπνίεζε ζηαγόλσλ πνπ θεύγνπλ από ην ζώκα ηνπ ξεπζηνύ όηαλ ζθάεη έλα θύκα, ή ζηε κνληεινπνίεζε ζσκαηηδίσλ ζηεξενύ ζε πξνβιήκαηα δηάβξσζεο. ε θάζε πεξίπησζε αθνινπζνύκε ηελ πνξεία ησλ κεκνλσκέλσλ ζσκαηηδίσλ, κε γλσζηή ππθλόηεηα, αξρηθή επηηάρπλζε θαη ηαρύηεηα θαη ππό ηελ επίδξαζε δπλάκεσλ βαξύηεηαο. Η πνηόηεηα ηεο αξηζκεηηθήο επίιπζεο εμαξηάηαη από ηελ δηαθξηηνπνίεζε πνπ επηιέρζεθε ζην απιό πξόβιεκα πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Γηα λα βειηησζεί ε πνηόηεηα ηεο επίιπζεο κπνξεί λα γίλνπλ ππθλώζεηο ηνπ πιέγκαηνο όπνπ απαηηείηαη θαη θξίλεηαη ρξήζηκν. Γηα λα γίλεη θαηαλνεηή ε πεξηγξαθή ζα πξέπεη εδώ λα νξίζνπκε νξηζκέλεο έλλνηεο. Η ζπιινγή ή λέθνο θόκβσλ (collection or cloud of nodes) C απνηειεί ην ζύλνιν ησλ θόκβσλ ηόζν ηνπ πεδίνπ ηνπ ξεπζηνύ, όζν θαη ηνπ πεδίνπ ηνπ ζηεξενύ, ζε κηα πεξηνρή. Ο όγθνο (volume) V απνηειεί ην «ρώξν» ηνλ νπνίν θαηαιακβάλεη θάζε ρξνληθή ζηηγκή θάπνην πεδίν. Σέινο ην πιέγκα (mesh) δηαθξηηνπνηεί όια ηα πεδία, ξεπζηό θαη ζηεξεό, αλεμάξηεηα. Παξαθάησ πεξηγξάθνληαη ηα βαζηθά βήκαηα γηα ηελ επίιπζε ελόο PFEM πξνβιήκαηνο. 1. Σν ελαξθηήξην ζεκείν ζε θάζε ρξνληθό βήκα είλαη ην λέθνο ησλ θόκβσλ ζην ξεπζηό θαη ζην ζηεξεό πεδίν. Σν λέθνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=t n νξίδεηαη σο n C. 2. Γίλεηαη αλαγλώξηζε ησλ νξίσλ ηόζν γηα ην ξεπζηό, όζν θαη γηα ην ζηεξεό πεδίν. Τπνινγίδεηαη ν όγθνο όπνπ ζα γίλεη ε αλάιπζε γηα ην ξεπζηό θαη ν όγθνο πνπ ζα γίλεη ε αλάιπζε γηα ην ζηεξεό, n V. Απηό ην βήκα είλαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθό αθνύ νξηζκέλα όξηα (όπσο κηα ειεύζεξε επηθάλεηα) κπνξεί λα αιιάδνπλ δξαζηηθά θαηά ηε δηάξθεηα ηεο επίιπζεο θαη λα έρνπκε αθόκα θαη δηαρσξηζκό θαη επαλέληαμε θόκβσλ. Η κέζνδνο Alpha Shape [2.2] ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηνλ θαζνξηζκό ηνπ νξίνπ. 3. Γηαθξηηνπνίεζε ησλ πεδίσλ πνπ δεκηνπξγήζεθαλ γηα ην ξεπζηό θαη ην ζηεξεό κε πιέγκα πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ n M. 4. Δπίιπζε ησλ ζπδεπγκέλσλ εμηζώζεσλ θίλεζεο Lagrange γηα ην ξεπζηό θαη ην ζηεξεό πεδίν. Τπνινγηζκόο ησλ κεηαβιεηώλ θαηάζηαζεο θαη ζηα δύν πεδία γηα ηελ επόκελε θαηάζηαζε t+γt. Γηα ην ξεπζηό ππνινγίδνληαη ζπλήζσο νη κεηαβιεηέο ηαρύηεηα, πίεζε, δηαηκεηηθή ηάζε ιόγσ ημώδνπο θαη ζεξκνθξαζία. Γηα ην ζηεξεό ππνινγίδνληαη νη κεηαβιεηέο κεηαηόπηζε, ηάζεηο, παξακνξθώζεηο θαη ζεξκνθξαζία. 5. Μεηαθίλεζε ησλ θόκβσλ ζε λέα ζέζε, όπνπ ζρεκαηίδεηαη ην λέθνο n+1 C. Ο όξνο n+1 αληηζηνηρεί ζην ρξνληθό βήκα t n +Γt. 51

53 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία 6. Δπηζηξνθή ζην βήκα 1 θαη επαλάιεςε ηεο επίιπζεο γηα ηελ εύξεζε ησλ κεηαβιεηώλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t n+1 +Γt. ηελ παξαθάησ εηθόλα βιέπνπκε αθξηβώο ηελ δηαδηθαζία πνπ πεξηγξάθεθε παξαπάλσ ζε ζρεκαηηθή παξνπζίαζε. Δηθόλα 2.2: Μέζνδνο PFEM. [2.1] Παξαπάλσ παξνπζηάζακε ζπλνπηηθά θαη ρσξίο καζεκαηηθέο επεθηάζεηο ηελ πνξεία πνπ αθνινπζείηαη γηα ηελ επίιπζε ελόο πξνβιήκαηνο πνπ πεξηέρεη ζσκαηίδηα. Κξίλνπκε πσο δελ είλαη ζθόπηκε ε απαξίζκεζε καζεκαηηθώλ ζρέζεσλ θαη αιγνξίζκσλ επίιπζεο, πιηθά κειέηεο ηα νπνία κπνξεί λα βξεζνύλ ζηελ αληίζηνηρε βηβιηνγξαθία. Από ηελ άιιε πιεπξά γηα λα γίλεη πην θαηαλνεηή ε ζεσξία θαη πην ζαθήο ε δπλαηόηεηα εθαξκνγήο ηεο, πξνρσξάκε παξαθάησ ζηελ παξάζεζε ελόο ζρεκαηηθνύ παξαδείγκαηνο. ην παξάδεηγκα απηό πνπ αθνινπζεί ζεσξνύκε όηη έρνπκε έλα πνιπκεξέο ζώκα ζηεξεσκέλν από ηελ επάλσ επηθάλεηα ηνπ, πάλσ ζε έλα ζηαζεξό όξην. Σν πνιπκεξέο ζεξκαίλεηαη από ην θάησ κέξνο από κηα πεγή ζεξκόηεηαο q θαη ζηε ζπλέρεηα ηήθεηαη θαη ζηάδεη πάλσ ζε έλα άιιν ζηαζεξό όξην ζην θάησ κέξνο. Παξαθάησ παξνπζηάδνληαη ηξηο δηαδνρηθέο θαηαζηάζεηο ηεο κνληεινπνίεζεο απηήο: 52

54 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Δηθόλα 2.3: Μνληεινπνίεζε ηήμεο πνιπκεξνύο. [2.2] Όπσο είδακε θαη ζηελ εηζαγσγή ε ζεσξία ησλ ζσκαηηδίσλ ζηα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ζε πνιιέο εθαξκνγέο. Σν πεδίν είλαη ηδηαίηεξα επξύ θαη κπνξεί λα αθνξά κεγάιεο θαηαζθεπέο θαη δηάβξσζε θαηαζθεπώλ από ζαιάζζηα θύκαηα ή κηθξνζθνπηθέο θαηαζθεπέο θαη ηελ θίλεζε κηθξνζθαηξηδίσλ ζε βηνινγηθά ξεπζηά. Δπίζεο ηα κνληέια απηά κπνξεί λα ελζσκαηώλνπλ, όπσο είδακε παξαπάλσ, θαη κεηαθνξά ζεξκόηεηαο ή θαηλόκελα θαύζεο. ηα παξαθάησ θεθάιαηα ζα αζρνιεζνύκε πεξηζζόηεξν κε κηα βαζηθή καζεκαηηθή ηεθκεξίσζε ησλ κνληέισλ. Αθνξά θπξίσο ηελ αιιειεπίδξαζε ζσκαηηδίνπ κε ξεπζηό θαη ηελ επίδξαζε ηεο ηύξβεο ζηα κνληέια απηά. Σέινο ζα παξνπζηάζνπκε ηηο ζρέζεηο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ δηέπνπλ ηελ αιιειεπίδξαζε ζσκαηηδίσλ κε εμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν. Γελ ζα αζρνιεζνύκε κε θαηλόκελα κεηαθνξάο ζεξκόηεηαο ή άιιεο πηζαλέο εθαξκνγέο πνπ απαληώληαη ζηε βηβιηνγξαθία. [2.1] 53

55 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία 2.2: Αιιειεπηδξάζεηο Ρεπζηνύ-Σωκαηηδίωλ Η αιιειεπίδξαζε κεηαμύ ξεπζηνύ θαη ζσκαηηδίσλ επηιύεηαη κε κηα ζπδεπγκέλε ηερληθή. Υξεζηκνπνηνύκε ηελ κέζνδν δηθηπσηνύ πιέγκαηνο Boltzmann (Lattice Boltzmann Method) γηα λα πξνζνκνηάζνπκε ην πεδίν ηνπ ξεπζηνύ θαη ηε κέζνδν δηαθξηηώλ ζηνηρείσλ (Discrete Element Method) γηα λα κνληεινπνηήζνπκε ηε δπλακηθή ησλ ζσκαηηδίσλ. Η πδξνδπλακηθέο αιιειεπηδξάζεηο κεηαμύ ξεπζηνύ θαη ζσκαηηδίσλ πξαγκαηνπνηνύληαη κέζσ ελόο βπζηζκέλνπ ζην ξεπζηό νξίνπ. Η επίιπζε πεξηγξάθεηαη ζπλνπηηθά ζηηο παξαθάησ παξαγξάθνπο : Μέζνδνο δηθηπωηνύ πιέγκαηνο Boltzmann ηε κέζνδν απηή ην ζπλνιηθό πεδίν ρσξίδεηαη ζε θόκβνπο ζπλήζνπο δηθηπσηνύ πιέγκαηνο. Σν ξεπζηό κνληεινπνηείηαη ζαλ κηα νκάδα από ζσκαηίδηα ξεπζηνύ ζηα νπνία επηηξέπεηαη λα θηλνύληαη αλάκεζα ζηνπο θόκβνπο ηνπ δηθηπώκαηνο ή λα παξακέλνπλ αθίλεηα. ε θάζε δηαθξηηό βήκα ηεο πξνζνκνίσζεο, ηα ζσκαηίδηα ηνπ ξεπζηνύ θηλνύληαη πξνο ηνλ θνληηλόηεξν θόκβν ηνπ δηθηπώκαηνο, πάλσ ζηελ θαηεύζπλζε θίλεζήο ηνπο. Όηαλ θηάλνπλ εθεί ζπγθξνύνληαη κε άιια ζσκαηίδηα ηνπ ξεπζηνύ πνπ θηάλνπλ ζηνλ ίδην θόκβν. Παξαθνινπζώληαο ηελ εμέιημε ηεο θαηαλνκήο ησλ ζσκαηηδίσλ ξεπζηνύ, καθξνζθνπηθέο κεηαβιεηέο, όπσο ε πίεζε θαη ε ηαρύηεηα ηνπ πεδίνπ ηνπ ξεπζηνύ, κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ εύθνια. Η εμίζσζε Boltzmann γηα κνλό ρξόλν ραιάξσζεο γηα ηε δηαδηθαζία ζύγθξνπζεο γξάθεηαη σο: ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) Όπνπ f i είλαη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο ππθλόηεηαο ησλ ζσκαηηδίσλ ξεπζηνύ, e i είλαη νη δηαθξηηέο ηαρύηεηεο ησλ ζσκαηηδίσλ πξνο ηελ i δηεύζπλζε, f i eq ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο ηζνξξνπίαο (equilibrium distribution function) θαη η είλαη ν ρξόλνο ραιάξσζεο πνπ ξπζκίδεη ην βαζκό πξνζέγγηζεο ηεο ηζνξξνπίαο. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο f i κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί έλα ζύλεζεο κνληέιν, ην D2Q9, ζην νπνίν ηα ζσκαηίδηα ηνπ ξεπζηνύ ζε θάζε θόκβν θηλνύληαη πξνο ηνπο 8 άκεζα γεηηνληθνύο ηνπο θόκβνπο ζην δηθηπσηό πιέγκα. Η θίλεζε απηή γίλεηαη κε δηαθξηηέο ηαρύηεηεο e i (i=1,,8). Η ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο ηζνξξνπίαο εμαξηάηαη κόλν από ηελ ππθλόηεηα ηνπ ξεπζηνύ, ξ, θαη ηελ ηαρύηεηα, v. ην κνληέιν D2Q9 ηα παξαπάλσ νξίδνληαη σο: ( ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) Όπνπ c=γx/γt είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ πιέγκαηνο κε Γx θαη Γt λα είλαη αληίζηνηρα ην δηάζηεκα ηνπ δηθηπώκαηνο θαη ην ρξνληθό βήκα. Οη όξνη w i είλαη ζπληειεζηέο βαξύηεηαο κε w 0 =4/9, w 1-4 =1/9 θαη w 5-8 =1/36. 54

56 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Οη καθξνζθνπηθέο κεηαβιεηέο ηνπ ξεπζηνύ, ππθλόηεηα ξ θαη ηαρύηεηα v κπνξνύλ λα εμαρζνύλ από ηηο ζπλαξηήζεηο θαηαλνκήο: ( ) Σν πεδίν ηεο πίεζεο ηνπ ξεπζηνύ ππνινγίδεηαη από ηελ αθόινπζε εμίζσζε θαηάζηαζεο: ( ) Όπνπ ν όξνο c s είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζην ξεπζηό θαη ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε: ( ) Σν θηλεκαηηθό ημώδεο ηνπ ξεπζηνύ λ, ππνινγίδεηαη εκκέζσο από ηηο παξακέηξνπο ηεο κνληεινπνίεζεο Γx, Γt θαη η. ( ) ( ) ( ) Η παξαπάλσ ζρέζε θαηαδεηθλύεη όηη ε επηινγή ησλ ηξηώλ απηώλ παξακέηξσλ πξέπεη λα είλαη ζπζρεηηζκέλε, έηζη ώζηε λα επηηεπρζεί ην ζσζηό θηλεκαηηθό ημώδεο. Γεληθά απνδεηθλύεηαη όηη ε εμίζσζε δηθηπσηνύ πιέγκαηνο Boltzmann (2.1) θαιύπηεη ηηο εμηζώζεηο Navier-Stokes κέρξη ηε δεύηεξε ηάμε ηόζν ζην ρώξν όζν θαη ζην ρξόλν. Σν γεγνλόο απηό ππνγξακκίδεη θαη ζεσξεηηθά ηελ επηηπρία ηεο κεζόδνπ ζηε κνληεινπνίεζε γεληθώλ πξνβιεκάησλ ξνήο. Παξ όια απηά επεηδή ε κέζνδνο βαζίδεηαη ζηελ γξακκηθνπνηεκέλε επέθηαζε ηεο θηλεκαηηθήο ζεσξίαο, ε εμίζσζε (2.1) είλαη θαηάιιειε κόλν γηα κηθξέο ηαρύηεηεο θαη κηθξνύο «ππνινγηζηηθνύο» αξηζκνύο Mach όπσο νξίδνληαη από ηε ζρέζε: ( ) Όπνπ v max είλαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα ζηε ξνή. Γεληθά, όζν κηθξόηεξνο είλαη ν αξηζκόο Mach ηόζν αθξηβέζηεξε είλαη ε επίιπζε. Γειαδή ε ηαρύηεηα ηνπ πιέγκαηνο c πξέπεη λα είλαη αξθεηά κεγαιύηεξε από ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ηεο ξνήο γηα λα εμαζθαιίζνπκε κηα επαξθή αθξίβεηα ζηελ επίιπζε. Δπνκέλσο πξνϋπόζεζε γηα αθξηβή επίιπζε απνηειεί ε ζρέζε: ( ) Αθνινύζσο ζα εμεηάζνπκε ηηο κεηαηξνπέο πνπ πξέπεη λα γίλνπλ ζηε ζεσξία πνπ ήδε παξνπζηάζακε, ώζηε λα ζπκπεξηιεθζνύλ θαη ε επηδξάζεηο ηπξβώδνπο ξνήο ζην κνληέιν. [2.1] 55

57 2.2.2: Ελζωκάηωζε ηύξβεο Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Δθόζνλ πνιιά κνληέια έρνπλ ηπξβώδε θύζε, έλα κνληέιν ηύξβεο πξέπεη λα ελζσκαησζεί ζηελ εμίζσζε Boltzmann δηθηπσηνύ πιέγκαηνο (2.1). Η ζεσξία πξνζνκνίσζεο κεγάισλ ζηξνβίισλ (Large Eddy Simulation), αλάκεζα ζε άιια κνληέια ηύξβεο, επηιύεη κεγάινπ κεγέζνπο ζηξνβίινπο άκεζα, αιιά γηα ηνπο κηθξόηεξνπο ζηξνβίινπο ρξεζηκνπνηεί έλα κηθξόηεξν ππνπιέγκα. Ο δηαρσξηζκόο απηώλ ησλ θιεκάθσλ επηηπγράλεηαη κέζσ ησλ εμηζώζεσλ Navier-Stokes, από ηηο νπνίεο ιακβάλεηαη απεπζείαο ε ιύζε ησλ επηιύζηκσλ κεγεζώλ. Σα ππόινηπα κεγέζε κπνξνύλ λα κνληεινπνηεζνύλ κε άιια κνληέια, γηα παξάδεηγκα ην κνληέιν Smagorinsky, ην νπνίν ζεσξεί όηη ν ηαλπζηήο ησλ ηάζεσλ Reynolds (Reynolds stress tensor) εμαξηάηαη κόλν από ηελ ηνπηθή παξακόξθσζε. Έλαο ηξόπνο λα ελζσκαησζεί ε ζεσξία πξνζνκνίσζεο κεγάισλ ζηξνβίισλ ζηελ εμίζσζε Boltzmann (2.1) είλαη κε ελζσκάησζε ηνπ ημώδνπο ηνπ ζηξνβίινπ, σο εμήο: ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) Όπνπ ηα πεξηζπώκελα ζύκβνια αθνξνύλ ηα επηιύζηκα κεγέζε. Η επίδξαζε ιόγσ ηεο θίλεζεο ησλ κε επηιύζηκσλ κεγεζώλ, κνληεινπνηείηαη κέζσ ελόο δξαζηηθνύ ρξόλνπ ραιάξσζεο ησλ ζπγθξνύζεσλ (effective collision relaxation time) η t. Έηζη γηα ηε ζρέζε (2.9) ν ζπλνιηθόο ρξόλνο ραιάξσζεο ππνινγίδεηαη σο εμήο: ( ) Όπνπ η θαη η t είλαη ν ρξόλνο ραιάξσζεο αληίζηνηρα γηα ην πξαγκαηηθό ημώδεο ηνπ ξεπζηνύ θαη γηα ην ημώδεο ιόγσ ηύξβεο λ * πνπ θαζνξίδεηαη από ην κνληέιν ππνπιέγκαηνο. Αληίζηνηρα ινηπόλ ε λ * δίλεηαη από ηε ζρέζε: ( ) ( ) ( ) Όπνπ: ( ) Αληίζηνηρα θαη ην κνληέιν Smagorinsky νξίδεη έλα θηλεκαηηθό ημώδεο λt θαη κε βάζε απηό ηελ επίδξαζε ησλ ζηξνβίισλ ζηε ζπλνιηθή ξνή ηνπ ξεπζηνύ. ηε βηβιηνγξαθία ππάξρνπλ γεληθά αξθεηά κνληέια πνπ πξνζπαζνύλ λα πξνζνκνηώζνπλ ηελ ηπξβώδε ξνή θαη λα ηελ εληάμνπλ ζηηο ήδε γλσζηέο καζεκαηηθέο εθθξάζεηο. Αθνύ έρνπκε ήδε δεη ηε γεληθή κνξθή ηνπ κνληέινπ από ην νπνίν εμάγνληαη ε ηαρύηεηα θαη ε ππόινηπεο κεηαβιεηέο ηνπ ξεπζηνύ ζε θάζε ρξνληθό βήκα, πξνρσξάκε λα εμεηάζνπκε ζε ιίγν κεγαιύηεξν βάζνο ηελ αιιειεπίδξαζε ξεπζηνύ ζσκαηηδίσλ. ηελ επόκελε παξάγξαθν ζα θάλνπκε κηα παξνπζίαζε ηεο κεζόδνπ ππνινγηζκνύ ησλ δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη από ην ξεπζηό ζηα ζσκαηίδηα θαη αληίζηξνθα ιόγσ πδξνδπλακηθώλ θαηλνκέλσλ. [2.1] 56

58 2.2.3: Υδξνδπλακηθέο επηδξάζεηο Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Η κνληεινπνίεζε ηεο αιιειεπίδξαζεο κεηαμύ ξεπζηνύ θαη ζσκαηηδίσλ απαηηεί κηα από θπζηθήο άπνςεο ζσζηή ηαρύηεηα πνπ ζα επηβάιιεηαη ζηε δηεπηθάλεηά ηνπο. Θεσξνύκε όηη δελ ππάξρεη ζρεηηθή ηαρύηεηα θαη ην ζσκαηίδην θηλείηαη αθξηβώο κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ξεπζηνύ πνπ ην πεξηβάιεη. Μία πξνζέγγηζε πάλσ ζηε κνληεινπνίεζε ησλ ζηεξεώλ ζσκαηηδίσλ ζεσξεί ην ξεπζηό θαιύπηεη όιν ηνλ όγθν ηνπ ζσκαηηδίνπ. Σν ζσκαηίδην δειαδή κνληεινπνηείηαη ζαλ έλα θέιπθνο γεκάην κε ξεπζηό. Απηό έρεη ζαλ ζπλέπεηα ηόζν νη θόκβνη ηνπ ζηεξενύ, όζν θαη νη θόκβνη ηνπ ξεπζηνύ θαη ζηηο δύν πιεπξέο ηεο δηαρσξηζηηθήο επηθάλεηαο λα αληηκεησπίδνληαη από ην κνληέιν κε αθξηβώο ηνλ ίδην ηξόπν. ηελ πεξίπησζε απηή έρεη παξαηεξεζεί όηη νη ππνινγηδόκελεο πδξνδπλακηθέο δπλάκεηο κπνξεί λα ππόθεηληαη ζε έληνλεο δηαθπκάλζεηο, όηαλ ην ζσκαηίδην θηλείηαη κέζα ζην πιέγκα κε κεγάιε ηαρύηεηα. Απηό νθείιεηαη ζηελ αλά ρξνληθό βήκα αλαπαξάζηαζε ηνπ νξίνπ ηνπ ζσκαηηδίνπ θαη ζηηο ζπλερώο κεηαβαιιόκελεο θαηαζηάζεηο ηνπ. Γηα λα παξαθάκςνπλ ην πξόβιεκα απηό νη Noble θαη Torczynski πξόηεηλαλ ηε κέζνδν ελόο βπζηζκέλνπ θηλνύκελνπ νξίνπ. ε απηή ηελ πξνζέγγηζε εηζάγεηαη έλαο όγθνο ειέγρνπ γύξσ από θάζε θόκβν ηνπ δηθηπώκαηνο. Ο όγθνο απηόο έρεη δηαζηάζεηο ηεηξαγώλνπ κε πιεπξά κήθνπο Γx, όπσο θαίλεηαη ζθηαζκέλνο ζηελ παξαθάησ εηθόλα 2.4α. Παξάιιεια θαζνξίδεηαη έλαο ηνπηθόο ιόγνο ξεπζηνύ πξνο ζηεξεό, γ, πνπ είλαη ην θιάζκα ηνπ όγθνπ ηνπ όγθνπ ειέγρνπ πνπ θαιύπηεηαη από ην ζσκαηίδην, όπσο θαίλεηαη ζηε εηθόλα 2.4β. Δηθόλα 2.4: Μέζνδνο Noble Tarczynski. [2.1] ηελ πεξίπησζε απηή ε εμίζσζε Boltzmann γηα ηνπο θόκβνπο ηνπ δηθηπώκαηνο πνπ θαιύπηνληαη κεξηθά ή πιήξσο από έλα ζσκαηίδην γξάθεηαη: ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) 57

59 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Όπνπ β είλαη ε ζηαζκηζκέλε εμίζσζε πνπ εμαξηάηαη από ηνλ ηνπηθό ιόγν ξεπζηνύ/ζηεξενύ γ. Ό όξνο f m i είλαη έλαο πξόζζεηνο όξνο. Σα δύν απηά ππνινγίδνληαη από ηηο ζρέζεηο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Όπνπ ην i ζεκαηνδνηεί ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε. Η ζπλνιηθή πδξνδπλακηθή δύλακε θαη ξνπή πνπ αζθνύληαη ζην ζσκαηίδην από ηε ζπλεηζθνξά n θόκβσλ θαιπκκέλσλ από ην ζσκαηίδην, ζπλνςίδνληαη σο: [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) Όπνπ x c είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ ηνπ ζσκαηηδίνπ. Με ηε κέζνδν απηή ηα απνηειέζκαηα ηεο αζθνύκελεο πδξνδπλακηθήο δύλακεο είλαη αξθνύλησο νκαιά αθόκα θαη γηα αξθεηά κεγάιεο ηαρύηεηεο ζσκαηηδίσλ. [2.1] 2.2.4: Σύδεπμε ξεπζηνύ-ζωκαηηδίνπ Η ζύδεπμε ξεπζηνύ-ζσκαηηδίνπ ζε θάζε ρξνληθό βήκα επηηπγράλεηαη επηιύνληαο ην ξεπζηνκεραληθό πξόβιεκα θαη ζηε ζπλέρεηα ηε λέα ζέζε ησλ ζσκαηηδίσλ κε νινθιήξσζε ηεο εμίζσζεο θίλεζεο: ( ) Όπνπ m θαη J είλαη ε κάδα θαη ε ξνπή αδξαλείαο αληίζηνηρα, ζ ε γσληαθή επηηάρπλζε, g ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο (αλ ιακβάλεηαη ππόςε ζην πξόβιεκα). Από ην δεμί κέινο F f θαη T f είλαη νη πδξνδπλακηθέο δπλάκεηο θαη ξνπέο, F c θαη T c νη δπλάκεηο θαη ξνπέο επαθήο. ηελ πεξίπησζε απηή c d είλαη ν ζπληειεζηήο απόζβεζεο. Ο όξνο c d v αλαπαξηζηά ηελ επίδξαζε ηνπ ημώδνπο θαη όινλ ησλ ππνινίπσλ όξσλ απόζβεζεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Η δπλακηθή εμίζσζε πνπ δηέπεη ην ζύζηεκα κπνξεί λα ιπζεί αξηζκεηηθά. Μεξηθά δεηήκαηα πνπ αθνξνύλ ηελ αξηζκεηηθή επίιπζε πεξηγξάθνληαη ζπλνπηηθά παξαθάησ: Τπνθπθιηθόο ρξόλνο νινθιήξσζεο (subcycling time integration). Τπάξρνπλ δύν ρξνληθά βήκαηα πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηε δηαδηθαζία ζύδεπμεο, ην Γt γηα ην ξεπζηό θαη ην Γt D γηα ηα ζσκαηίδηα. Δθόζνλ ην Γt D είλαη ζπλήζσο κηθξόηεξν ηνπ Γt, ζα πξέπεη λα κεησζεί ζηελ ηηκή Γt s έηζη ώζηε ν ιόγνο αλάκεζα ζην Γt θαη ην Γt s λα είλαη ν θνληηλόηεξνο δπλαηόο αθέξαηνο αξηζκόο. 58

60 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία ( ) Απηό βαζηθά απμάλεη ηνλ απνθαινύκελν ππνθπθιηθό ρξόλν νινθιήξσζεο γηα ην δηαθξηηό κέξνο ηεο κνληεινπνίεζεο. ε έλα ρξνληθό βήκα ηεο επίιπζεο ηνπ ξεπζηνκεραληθνύ πξνβιήκαηνο πξαγκαηνπνηνύληαη n s βήκαηα νινθιήξσζεο ησλ εμηζώζεσλ (2.17), όπνπ όκσο νη όξνη F s θαη T s δηαηεξνύληαη αλαιινίσηνη ζε όινπο ηνπο ππνθύθινπο. Η δπλακηθή εμίζσζε ζην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ δηθηπώκαηνο. Δθόζνλ ε εμίζσζε Boltzmann δίλεηαη ζην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ δηθηπώκαηνο, ζην ίδην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζα πξέπεη λα δίλνληαη θαη νη δπλακηθέο εμηζώζεηο (2.17). Απνδεηθλύεηαη όηη γηα ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ δηθηπώκαηνο νη δπλακηθέο εμηζώζεηο (2.17) παίξλνπλ ηε κνξθή. ( ) Όπνπ: Όπνπ ξ s ε ππθλόηεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ. Έρνληαο νινθιεξώζεη ηελ παξνπζίαζε ελόο κνληέινπ πξνζνκνίσζεο ηεο θίλεζεο ζσκαηηδίσλ κέζα ζε ξεπζηό πεξλάκε ζε κηα εηδηθόηεξε παξάγξαθν πνπ αθνξά ζπγθεθξηκέλα ηελ εξγαζία απηή. ηε ζπλέρεηα ινηπόλ αλαιύνπκε ηελ ελζσκάησζε ησλ καγλεηηθώλ δπλάκεσλ ζε έλα κνληέιν ππνινγηζκνύ ηεο θίλεζεο ζσκαηηδίσλ. Σα κνληέια πνπ πεξηιακβάλνπλ ηελ επίδξαζε καγλεηηθώλ δπλάκεσλ είλαη αξθεηά πνιύπινθα θαη απαηηνύλ κεγάιε αθξίβεηα θαη απνηειεζκαηηθόηεηα. Σν γεληθό κνληέιν πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε θαη πεξηγξάθεθε ήδε παξαπάλσ, απνδεηθλύεηαη όηη είλαη επαξθέο θαη κπνξνύκε λα εηζάγνπκε ζε απηό ηηο καγλεηηθέο δπλάκεηο, όπσο πεξηγξάθεηαη παξαθάησ. [2.1] 59

61 2.3: Μαγλεηηζκόο Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Η καγλεηηθή αιιειεπίδξαζε κε ην ξεπζηό κπνξεί λα αληηκεησπηζηεί ζαλ έλα καγλεηνζηαηηθό πξόβιεκα, πνπ πεξηγξάθεηαη από ηελ εμίζσζε Laplace κε ηηο θαηάιιειεο νξηαθέο ζπλζήθεο. Οη καγλεηηθέο δπλάκεηο θαζνξίδνληαη κε ζρεκαηηζκό ηνπ ηαλπζηή ησλ ηάζεσλ Maxwell από ην επαθόινπζν πεδίν. Η δηαδηθαζία επίιπζεο παξνπζηάδεηαη παξαθάησ. Αο πνύκε όηη H θαη Β είλαη ε έληαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ θαη ε ππθλόηεηα ηεο ξνήο αληίζηνηρα. Γηα έλα γξακκηθό ηζνηξνπηθό κέζν κε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα κ, ηα Η θαη Β ζπλδένληαη από ηε ζρέζε πνπ είδακε ζην θεθάιαην 1: ( ) Τπνζέηνπκε όηη εμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν Η 0 επηβάιιεηαη κε θαηεύζπλζε απηή ηνπ άμνλα z θαη κε κέγεζνο Η 0. Αλ κ p θαη κ f είλαη νη καγλεηηθέο δηαπεξαηόηεηεο ησλ ζσκαηηδίσλ θαη ηνπ ξεπζηνύ αληίζηνηρα, ηόηε ε ζρεηηθή επηδεθηηθόηεηα, ρ, θαη ε δξώζα επηδεθηηθόηεηα, ρ e, ησλ ζσκαηηδίσλ νξίδνληαη από ηηο ζρέζεηο: ( ) 2.3.1: Απιό κνληέιν καγλεηηθνύ δηπόινπ. Όηαλ επηβάιιεηαη εμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν θάζε ζσκαηίδην ηνπ ξεπζηνύ καγλεηίδεηαη (αληίζηνηρα θαη θάζε δηαθξηηό ζηεξεό ζσκαηίδην). Κάζε καγλεηηζκέλν ζσκαηίδην απνθηά κηα καγλεηηθή ξνπή δηπόινπ m ε νπνία, αλ αγλνήζνπκε ηελ ύπαξμε ησλ ππόινηπσλ ζσκαηηδίσλ είλαη: ( ) Όπνπ C p = V p ρ e κε V p ηνλ όγθν ηνπ ζσκαηηδίνπ. Αλ ζεσξήζνπκε έλα ζσκαηίδην κε ξνπή δηπόινπ m 1 =m, ηόηε ην καγλεηηθό πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη από απηό ην δίπνιν ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ ρώξνπ, κε δηάλπζκα ζέζεο r, είλαη: ( ) ( ) ( ) Όπνπ r είλαη ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο ζέζεο θαη ȓ είλαη ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ζέζεο. Η αληίζηνηρε ππθλόηεηα ηεο ξνήο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε: ( ) ( ) ( ) 60

62 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Δηθόλα 1.5: Μαγλεηηθέο δπλάκεηο κεηαμύ δηπόισλ. [2.1] Αλ έλα δεύηεξν ζσκαηίδην κε καγλεηηθή ξνπή θαη πάιη m 2 =m ηνπνζεηεζεί ζην καγλεηηθό πεδίν ηνπ m 1, όπσο θαίλεηαη ζηελ παξαπάλσ εηθόλα, ηόηε ε καγλεηηθή δύλακε πνπ ζα ηνπ αζθεζεί, F m από ην πξώην δίπνιν, νξίδεηαη σο: ( ) ( ( )) ( ) Όπνπ r είλαη ην δηάλπζκα ζέζεο ηνπ δεύηεξνπ δηπόινπ ζε ζύζηεκα κε θέληξν ην πξώην δίπνιν. Αλ εθθξάζνπκε ηελ παξαπάλσ δύλακε ζε ζθαηξηθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ έρνπκε: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αλάινγα κε ηε γσλία ζ ε F n κπνξεί λα είλαη ειθηηθή (όηαλ ζ<54.47 ) ή απσζηηθή (όηαλ ζ>54.47 ). Οη παξαπάλσ εμηζώζεηο ππνινγίδνπλ ηε καγλεηηθή αιιειεπίδξαζε κεηαμύ δύν νπνηνλδήπνηε καγλεηηζκέλσλ ζσκαηηδίσλ. Λόγσ ηεο απιόηεηάο ηνπο απηό ην κνληέιν ρξεζηκνπνηείηαη ζπρλά γηα λα πεξηγξάςεη ηε ξνή καγλεηηζκέλσλ ξεπζηώλ, εηδηθά όηαλ εκπιέθεηαη κεγάινο αξηζκόο ζσκαηηδίσλ. Απηή ε κέζνδνο ηνπ ζηαζεξνύ δηπόινπ είλαη γεληθά αθξηβήο αλ ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ ζσκαηηδίσλ είλαη κεγαιύηεξε από ηε δηάκεηξό ηνπο 2R. Απηό θάλεη απηνλόεην όηη θαηά ηε κνληεινπνίεζε ζα πξέπεη λα «απαγνξεύεηαη» ζηα ζσκαηίδηα λα πιεζηάζνπλ πεξηζζόηεξν κεηαμύ ηνπο, ζέηνληαο κηα θξίζηκε απόζηαζε: ( ) 61

63 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία Από ηελ άιιε πιεπξά, έλα κεγάιν ζθάικα εηζάγεηαη ζηνπο ππνινγηζκνύο όηαλ ε απόζηαζε κεηαμύ δύν ζσκαηηδίσλ γίλεη κηθξόηεξε ηεο θξίζηκεο. Απηό ην ζθάικα δεκηνπξγείηαη θπξίσο από ηελ ηζρπξή αιιειεπίδξαζε κεηαμύ ησλ δύν καγλεηηζκέλσλ ζσκαηηδίσλ θαη αγγίδεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ όηαλ ηα ζσκαηίδηα έξζνπλ ζε επαθή. Μάιηζηα ην ζθάικα απηό κεγαιώλεη όζν κεγαιώλεη ε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα ησλ ζσκαηηδίσλ. [2.1] 2.3.2: Μνληέιν αιιειεπίδξαζεο καγλεηηθνύ δηπόινπ Σν απιό κνληέιν καγλεηηθνύ δηπόινπ πνπ κειεηήζεθε δελ ιακβάλεη ππόςε ηελ επίδξαζε ηεο καγλεηηθήο ξνπήο ηνπ ελόο δηπόινπ ζηε καγλεηηθή ξνπή ηνπ άιινπ. ηελ πξαγκαηηθόηεηα ε παξνπζία άιισλ καγλεηηζκέλσλ ζσκαηηδίσλ, απμάλεη ηε καγλήηηζε ελόο ζσκαηηδίνπ θαη ζπλεπαθόινπζα απμάλεη ηε καγλεηηθή δύλακε θαη ηελ αιιειεπίδξαζε κεηαμύ ησλ ζσκαηηδίσλ. Αλ ιεθζεί ππόςε θαη ε αιιειεπίδξαζε ηεο καγλήηηζεο ησλ δηπόισλ, ε αθξίβεηα ηνπ κνληέινπ ζε ζρέζε κε απηό ηνπ απινύ δηπόινπ ζα βειηησζεί. Πην ζπγθεθξηκέλα θάζε ζσκαηίδην ζεσξείηαη θαη πάιη έλα ζεκεηαθό δίπνιν, αιιά ππόθεηηαη ζε κηα επηπιένλ δεπηεξεύνπζα καγλήηηζε από ηα καγλεηηθά πεδία ησλ ππόινηπσλ ζσκαηηδίσλ. εκεηώλνπκε όηη ε καγλήηηζε ιόγσ ηνπ εμσηεξηθνύ καγλεηηθνύ πεδίνπ νξίδεηαη σο πξσηεύνπζα καγλήηηζε θαη ε καγλήηηζε ιόγσ ησλ ππνινίπσλ ζσκαηηδίσλ σο δεπηεξεύνπζα καγλήηηζε. Η ζπλνιηθή καγλήηηζε ηνπ ζσκαηηδίνπ i, m i, κπνξεί λα ππνινγηζζεί σο: [ ( )] ( ) ( ) Όπνπ Ν είλαη ν αξηζκόο ησλ ζσκαηηδίσλ ζην ζύζηεκα θαη Η(x i ) είλαη ην ζπλνιηθό δεπηεξεύνλ καγλεηηθό πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη από όια ηα ππόινηπα ζσκαηίδηα ζην θέληξν ηνπ ζσκαηηδίνπ i. ( ) ( ) ( ) Όπνπ r ij = x i - x j ην δηάλπζκα ζέζεηο θάζε ζσκαηηδίνπ σο πξνο απηό πνπ εμεηάδνπκε. Η παξαπάλσ εμίζσζε δεκηνπξγεί έλα 3Νx3Ν γξακκηθό ζύζηεκα εμηζώζεσλ κε ηηο m i άγλσζηεο κεηαβιεηέο. Αθνύ ππνινγηζηνύλ νη καγλεηηθέο ξνπέο πξέπεη ζηε ζπλέρεηα λα ππνινγηζηνύλ νη καγλεηηθέο δπλάκεηο αλάκεζα ζηα δίπνια. Οη δπλάκεηο κπνξνύλ λα ππνινγηζζνύλ ρξεζηκνπνηώληαο ην πξνεγνύκελν απιό κνληέιν κε ηηο λέεο ππνινγηζκέλεο από ηε ζρέζε (2.29) καγλεηηθέο ξνπέο. Παξ όια απηά ην ππνινγηζηηθό θόζηνο γηα ηελ επίιπζε ηνπ γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηελ εμίζσζε (2.29) είλαη κεγάιν, εηδηθά γηα ζύζηεκα πνπ πεξηέρεη πνιιά ζσκαηίδηα. Παξαηεξνύκε αθόκα όηη ε επίιπζε απηνύ ηνπ ζπζηήκαηνο πξέπεη λα γίλεηαη ζε θάζε έλα ρξνληθό βήκα γηα θάζε έλα ζσκαηίδην. Γηα ηνπο παξαπάλσ ιόγνπο ζπρλά πξνηείλνληαη επαλαιεπηηθνί αιγόξηζκνη γηα ηελ επίιπζε ηέηνησλ ζπζηεκάησλ. [2.1] 62

64 Κεφάλαιο 2: Πεπεραςμένα Στοιχεία 63

65 Μνληεινπνίεζε

66 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 65

67 3.0: Διζαγυγή Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ην θεθάιαην απηό ζα αζρνιεζνύκε κε ηελ παξνπζίαζε ησλ εξγαζηώλ ηεο κνληεινπνίεζεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Ο αληηθεηκεληθόο ζθνπόο ηεο κνληεινπνίεζεο απηήο είλαη λα αλαπαξαζηήζεη ηε ζπκπεξηθνξά ησλ Μαγλεηηθώλ Μηθξνζθαηξηδίσλ θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ ρεηξηζκνύ ηνπ δείγκαηνο κε κηα ιεπηή ζύξηγγα (pipette). Θεσξνύκε όηη ηα ζθαηξίδηα βξίζθνληαη κέζα ζην δείγκα ζε ρακειή ζπγθέληξσζε ηεο ηάμεο ησλ 450 beads/κl, δειαδή έρνπκε έλα ζύλνιν από πεξίπνπ beads κέζα ζην δείγκα ησλ πεξίπνπ 90κl. Σν δείγκα βξίζθεηαη κέζα ζε πεγαδάθη (well). Έλαο κόληκνο καγλήηεο ηνπνζεηείηαη ζην ηνίρσκα ηεο ζύξηγγαο, ζε θάπνην ύςνο από ην πεγαδάθη θαη ζηε ζπλέρεηα αλαξξνθνύκε δείγκα καδί κε κηθξνζθαηξίδηα από ην πεγαδάθη. Καζώο θηλνύληαη κέζα ζηε ζύξηγγα, ηα κηθξνζθαηξίδηα έιθνληαη από ην καγλήηε θαη θνιιάλ ζην εζσηεξηθό ηνίρσκα ηεο ζύξηγγαο. Έηζη κπνξνύκε λα αιιάμνπκε πγξό ελώ ηα κηθξνζθαηξίδηα είλαη αζθαιηζκέλα από ην καγλήηε. ηε ζπλέρεηα αλ απνκαθξύλνπκε ην καγλήηε κπνξνύκε λα αθήζνπκε θαη πάιη ηα κηθξνζθαηξίδηα απνιύησο ειεύζεξα ζε θάπνην πεγαδάθη. θνπόο απηήο ηεο δηαδηθαζίαο είλαη λα κπνξνύλ λα πξαγκαηνπνηεζνύλ όιεο νη εξγαζίεο θαζαξηζκνύ θαη απνκάθξπλζεο ησλ πεξηηηώλ νπζηώλ από ην κίγκα κέζα ζην ζώκα ηεο ζύξηγγαο πνπ νύησο ή άιισο ζα ρξεζηκνπνηνύζακε. Έηζη έρνπκε ζύκπηπμε ησλ δηαδηθαζηώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύλ καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα θαη κείσζε ησλ ζπλνιηθώλ ηνπο ρξόλσλ. Δπίζεο κε ηνλ ηξόπν πνπ πεξηγξάθεηαη παξαπάλσ έρνπκε θαη κηθξόηεξε απώιεηα ζε κηθξνζθαηξίδηα θαη άξα κηθξόηεξν θίλδπλν λα εμαζζελίζεη ην ζήκα ησλ ηειηθώλ απνηειεζκάησλ. ην θεθάιαην απηό ζα παξνπζηάζνπκε θαη αξρήλ θάπνηα «Γεληθά ηνηρεία» πνπ ζα αθνξνύλ όια ηα κνληέια πνπ ζα αθνινπζήζνπλ. ηα γεληθά ζηνηρεία πεξηιακβάλνληαη ε γεσκεηξία ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ ζα κνληεινπνηήζνπκε, νη νξηαθέο ζπλζήθεο ηεο ξνήο θαη κηα παξνπζίαζε ησλ ζπγθεθξηκέλσλ καγλεηηθώλ κηθξνζθαηξηδίσλ πνπ κνληεινπνηήζεθαλ, θαζώο θαη ηνπ κόληκνπ καγλήηε κε ηνλ νπνίν γίλεηαη ν ρεηξηζκόο ηνπο. Γηα ηελ θαιύηεξε θαηαλόεζε ησλ παξαπάλσ ζα παξαηεζνύλ επίζεο εηθόλεο θαη δηαγξάκκαηα. Από ηε δεύηεξε παξάγξαθν ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ ζα πξνρσξάκε ζηελ παξνπζίαζε, αλά παξάγξαθν θαη ελόο επηκέξνπο κνληέινπ. Όπσο ζα δνύκε γηα λα είλαη εθηθηή ε κνληεινπνίεζε ηνπ πξνβιήκαηνο, ην δηαρσξίζακε ζε επηκέξνπο ηκήκαηα ηα νπνία επηιύζεθαλ μερσξηζηά. Σα ζπκπεξάζκαηα από θάζε κνληέιν παξαηίζεληαη κέζα ζηελ αληίζηνηρε παξάγξαθν, ελώ κηα ζπλνιηθή επηζθόπεζε ησλ απνηειεζκάησλ γίλεηαη ζηελ ηειεπηαία παξάγξαθν ηνπ θεθαιαίνπ. 3.1: Γενικά ζηοισεία ην ζεκείν απηό ζα πεξηγξάςνπκε ην ζύζηεκα ην νπνίν ζηε ζπλέρεηα ζα κνληεινπνηήζνπκε. Σα εκπνξηθά πξνγξάκκαηα ηα νπνία ζα εκπιαθνύλ ζηε δηαδηθαζία ηεο κνληεινπνίεζεο είλαη, γηα ην ζρεδηαζκό ηεο γεσκεηξίαο ην ζρεδηαζηηθό παθέην Solidworks 2010 θαη γηα ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο πξνζνκνίσζεο ην πξόγξακκα πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Ansys 13.0 Workbench από ην Central CloudFront ηνπ Δ.Μ.Π.. Από ηελ πιαηθόξκα ηνπ Workbench ζηελ πεξίπησζε απηή αμηνπνηήζακε ην παθέην CFX γηα ηε κνληεινπνίεζε ηνπ ξεπζηνκεραληθνύ πξνβιήκαηνο θαη ην παθέην Magnetostatic γηα ηελ επίιπζε ηνπ καγλεηνζηαηηθνύ πξνβιήκαηνο κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία. 66

68 3.1.1: Γευμεηπία Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Ζ γεσκεηξία ηνπ πξνβιήκαηνο απηνύ απνηειεί έλα ζύλνιν από ηέζζεξα επηκέξνπο ηκήκαηα: ην πεγαδάθη (well), ηε ζύξηγγα (pipette), ην καγλήηε θαη ην ξεπζηό κε ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα. Σν πεγαδάθη, ε ζύξηγγα θαη ν καγλήηεο απνηεινύλ εκπνξηθά πξντόληα ησλ νπνίσλ ε γεσκεηξία είλαη πξνθαζνξηζκέλε. ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδνπκε θάζε έλα από ηα επηκέξνπο ηκήκαηα μερσξηζηά, κε ηηο δηαζηάζεηο ηνπο ώζηε λα γίλνπλ πιήξσο θαηαλνεηά θαη ηέινο παξνπζηάδνπκε ην ιεηηνπξγηθό ζύλνιν πνπ κνληεινπνηήζεθε. Πεγαδάθη (well): Αξρηθά βιέπνπκε κηα θσηνγξαθία κηαο πιάθαο κε 96 παλνκνηόηππα πεγαδάθηα θαη ζηε ζπλέρεηα ηα ζρέδηα θαζελόο από απηά, όπσο αλαπαξαζηάζεθαλ ζην ζρεδηαζηηθό πξόγξακκα. Δηθόλα 3.1: Πιάθα 96 ζέζεσλ δεηγκάησλ. ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδνπκε ηα ζρέδηα γηα ην έλα πεγαδάθη. Πξώηα παξνπζηάδνπκε κηα ηξηζδηάζηαηε εηθόλα θαη ζηε ζπλέρεηα κηα πιάγηα όςε κε ηηο βαζηθέο δηαζηάζεηο ηνπ ζρεδίνπ. Όιεο νη δηαζηάζεηο ηνπ ζρεδίνπ είλαη ζε mm θαη ην πάρνο ηνηρώκαηνο εληαίν παληνύ 0.5mm. 67

69 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.1: Γεσκεηξία πεγαδηνύ. 68

70 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ύξηγγα (pipette): Σν κέινο πνπ νλνκάδεηαη ζύξηγγα είλαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα έλα πιαζηηθό αθξνθύζην πνπ εθαξκόδεηαη ζηελ άθξε ηεο ζπζθεπήο αλαξξόθεζεο ώζηε αθελόο λα πξνζθέξεη ηελ θαηάιιειε ιεπηή γεσκεηξία γηα λα εηζέξρεηαη ζην πεγαδάθη θαη αθεηέξνπ λα είλαη έλα αλαιώζηκν κέξνο ώζηε λα κελ ππάξρεη θίλδπλνο επηκόιπλζεο κεηαμύ ησλ δεηγκάησλ. Δηθόλα 3.2: ύξηγγα. ηελ παξαθάησ εηθόλα θαίλεηαη επίζεο ην ζρεηηθό κέγεζνο κεηαμύ κηαο πιάθαο 96 ζέζεσλ δεηγκάησλ θαη ηεο παξαπάλσ ζύξηγγαο. Δηθόλα 3.3: Πιάθα δεηγκάησλ θαη αθξνθύζην ζύξηγγαο. Παξαθάησ αθνινπζνύλ ηα δηαζηαζηνινγεκέλα ζρέδηα ηεο ζύξηγγαο. Όιεο νη δηαζηάζεηο είλαη ζε mm. 69

71 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.2: Γεσκεηξία ζύξηγγαο. 70

72 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Μαγλήηεο Ο καγλήηεο είλαη έλα απιό νξζνγώλην παξαιιειεπίπεδν θαη παξά ηελ αξθεηά κεγάιε ηνπ δύλακε, έρεη ζρεηηθά κηθξέο δηαζηάζεηο. Παξαθάησ θαίλεηαη ε ηξηζδηάζηαηε κνξθή ηνπ θαη ηα γεσκεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ κε ηηο δηαζηάζεηο. ρήκα 3.3: Γεσκεηξία καγλήηε. 71

73 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση πλαξκνινγεκέλν ζύλνιν: Γηα ην ζύλνιν ησλ ηεκαρίσλ όπσο κνληεινπνηήζεθαλ κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία έρνπκε θάλεη ηηο εμήο παξαδνρέο πνπ βαζίδνληαη ζε εκπεηξηθά δεδνκέλα. Πξώηνλ ζεσξνύκε όηη ην ύςνο ηνπ ξεπζηνύ κέζα ζην πεγαδάθη είλαη κέρξη ηα 11mm θαη ν όγθνο ηνπ ξεπζηνύ είλαη πεξίπνπ 90κl. Ο όγθνο ηνπ ξεπζηνύ κέζα ζηε ζύξηγγα είλαη αληίζηνηρα πεξίπνπ 119κl θαη επνκέλσο ν ζπλνιηθόο όγθνο ξεπζηνύ πνπ ζα κνληεινπνηήζνπκε είλαη 209κl. Δπίζεο ζεσξνύκε όηη ε άθξε ηεο ζύξηγγαο απέρεη από ην εζσηεξηθό θάησ κέξνο ηνπ πεγαδηνύ 1mm. Σέινο, ν καγλήηεο εθάπηεηαη ζην εμσηεξηθό κέξνο ηεο ζύξηγγαο, κε ην αλώηεξν κέξνο ηνπ λα απέρεη από ην εμσηεξηθό θάησ κέξνο ηνπ πεγαδηνύ 21mm. Σν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπνζεηείηαη ζην εμσηεξηθό θάησ κέξνο ηνπ πεγαδηνύ, ζηελ θνξπθή ηνπ εκηζθαηξίνπ πνπ δεκηνπξγείηαη. 72

74 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.4: Γεσκεηξία ζπλαξκνινγεκέλνπ ζπλόινπ. Λακβάλνληαο όια ηα παξαπάλσ ππόςε έρνπκε εηνηκάζεη ηε γεσκεηξία ηνπ κνληέινπ. Ζ ίδηα γεσκεηξία ζα ρξεζηκνπνηεζεί ζε όιεο ηηο επηκέξνπο πεξηπηώζεηο ρσξίο θάπνηα δηαθνξνπνίεζε. Με βάζε ηε γεσκεηξία πνπ παξνπζηάζηεθε ζεκεηώλνπκε ηα κεγέζε εθείλα πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ θαη παξαθάησ ζηελ παξνπζίαζε ηνπ αλαιπηηθνύ πεδίνπ ξνήο. Πξόθεηηαη γηα ηε δηάκεηξν θαη ηελ επηθάλεηα ζην αλώηεξν ηκήκα ηεο ζύξηγγαο θαη γηα ηε δηάκεηξν θαη ηελ επηθάλεηα ζην θαηώηαην ηκήκα ηεο ζύξηγγαο, όπσο θαίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Πίλαθαο 3.1: Γηάκεηξνη θαη δηαηνκέο επηθαλεηώλ ζύξηγγαο. Γιάμεηπορ (mm) Δπιθάνεια (mm 2 ) Ανώηαηο ζημείο Καηώηαηο ζημείο

75 3.1.2: Πεδίο ποήρ Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Οη νξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πεδίνπ ξνήο θαζνξίδνληαη από ηε ζπζθεπή πνπ ρεηξίδεηαη ηα κηθξνζθαηξίδηα θαη ζηελ πεξίπησζε απηή ιακβάλνληαη δεδνκέλεο. Έρνπκε ινηπόλ όηη θαηά ην ρεηξηζκό ηνπ δείγκαηνο αλαξξνθώληαη 20κl ξεπζηνύ ζε ρξνληθή δηάξθεηα 4s θαη ζηε ζπλέρεηα εθξένπλ 20κl ξεπζηνύ ζε άιια 4s. Γεδνκέλνπ όηη ην ξεπζηό πνπ κειεηάκε είλαη αζπκπίεζην, θαη θαηά ηελ πξώηε θαη θαηά ηε δεύηεξε θάζε έρνπκε ζηαζεξή παξνρή όγθνπ: Σν ξεπζηό πνπ κειεηάκε είλαη θαηά βάζε λεξό θαη πεξηέρεη καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα. Όπσο είδακε, γηα ηε κνληεινπνίεζε απηή ζεσξνύκε όηη έρνπκε beads ζην πεγαδάθη, δειαδή ζε 90κl. Αλ ην θάζε κηθξνζθαηξίδην έρεη δηάκεηξν 6.5κm, ηόηε ν όγθνο ηνπ κηθξνζθαηξηδίνπ είλαη V b =143.79κm 3. Ο ζπλνιηθόο όγθνο όισλ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζην πεγαδάθη είλαη V B = mm 3. Δπνκέλσο ν ιόγνο ηνπ όγθνπ όισλ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ πξνο ηνλ ζπλνιηθό όγθν ηνπ ξεπζηνύ ζην πεγαδάθη είλαη: Βιέπνπκε ινηπό όηη ν όγθνο ησλ ζθαηξηδίσλ αληηζηνηρεί πεξίπνπ ζην έλα δέθαην ηνπ ρηιηνζηνύ (10-4 ) ηνπ ξεπζηνύ κέζα ζην πεγαδάθη. Έηζη ζηε θάζε απηή ζα ζεσξήζνπκε ακειεηέα ηελ επίδξαζε ησλ ζθαηξηδίσλ θαη ζα ππνινγίζνπκε ηα κεγέζε ζαλ λα απνηεινύληαλ κόλν από ην ξεπζηό κέξνο. Σν ξεπζηό γεληθά πξνζνκνηάδεηαη κε λεξό ζηνπο 25 C. ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί ζεκεηώλνπκε ηηο βαζηθέο ξεπζηνκεραληθέο ηδηόηεηεο ηνπ λεξνύ ζηνπο 25 C. Πίλαθαο 3.2: Ηδηόηεηεο ηνπ λεξνύ ζηνπο 25 C. Νεπό ζηοςρ 25 C Πςκνόηηηα (π) 997 kg/m3 Γςναμικό ιξώδερ (μ) kg/m s Κινημαηικό ιξώδερ (ν) m 2 /s Με βάζε ηε ζηαζεξή παξνρή όγθνπ ηνπ ξεπζηνύ θαη ηηο γλσζηέο δηαηνκέο ηεο ζύξηγγαο ππνινγίδνπκε ηηο ηαρύηεηεο. Ζ ηαρύηεηα ζην επάλσ κέξνο ηεο ζύξηγγαο ππνινγίδεηαη θαη ιακβάλεηαη σο ε βαζηθή ζπλζήθε ηεο κνληεινπνίεζεο γηα ηελ ξνή. Ζ ηαρύηεηα ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο ππνινγίδεηαη σο κέηξν ζύγθξηζεο γηα ην απνηέιεζκα ηεο ηαρύηεηαο πνπ ζα καο δώζεη ε κνληεινπνίεζε ζηε δηαηνκή απηή. Ζ ηαρύηεηα ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο αλακέλεηαη λα είλαη ε κεγαιύηεξε ηαρύηεηα πνπ ζα παξνπζηαζηεί ζε όιν ηνλ όγθν ηνπ ξεπζηνύ θαη γηα ην ιόγν απηό ππνινγίδνπκε αληίζηνηρα θαη ηνλ αξηζκό Reynolds ζηε δηαηνκή απηή. Ο αξηζκόο Reynolds ζηελ επάλσ δηαηνκή ππνινγίδεηαη γηα ιόγνπο πιεξόηεηαο θαη σο κέηξν ζύγθξηζεο ηνπ πξώηνπ. 74

76 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.4: Γηαηνκέο ζύξηγγαο. Αθνινπζνύλ νη ππνινγηζκνί γηα ηηο δύν δηαηνκέο. Άλσ δηαηνκή: Ζ ηαρύηεηα ηεο ξνήο ζηελ άλσ δηαηνκή ζεσξείηαη νκνηόκνξθε κε θαηεύζπλζε πξνο ηα πάλσ αλ έρνπκε αλαξξόθεζε θαη πξνο ηα θάησ αλ έρνπκε εθξνή. Γηα ζηαζεξή όγθνπ Q, ε ηηκή ηεο ππνινγίδεηαη σο: Ο αξηζκόο Reynolds ηεο ξνήο ζηε δηαηνκή απηή ππνινγίδεηαη σο: Κάησ δηαηνκή: Ζ ηαρύηεηα ηεο ξνήο ζηελ θάησ δηαηνκή, αλ ζεσξήζνπκε θαη πάιη όηη είλαη νκνηόκνξθε κε θαηεύζπλζε πξνο ηα πάλσ θαηά ηελ αλαξξόθεζε θαη πξνο ηα θάησ θαηά ηελ εθξνή, ππνινγίδεηαη σο: Ο αξηζκόο Reynolds ηεο ξνήο ζηε δηαηνκή απηή ππνινγίδεηαη σο: Παξαηεξνύκε από ηηο ηηκέο ηνπ αξηζκνύ Reynolds όηη δελ έρνπκε ζε θακία πεξίπησζε ηπξβώδε ξνή, αιιά είκαζηε ζηε κεηαβαηηθή πεξηνρή. 75

77 3.1.3: Μαγνηηικά μικποζθαιπίδια Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Οη γεληθέο ηδηόηεηεο θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά ησλ Μαγλεηηθώλ Μηθξνζθαηξηδίσλ είλαη ήδε γλσζηά από ην Πξώην Κεθάιαην όπνπ εμεηάζακε ην ζεσξεηηθό κέξνο. ηελ παξάγξαθν απηή ζα εμεηάζνπκε κόλν ηα ζπγθεθξηκέλα ραξαθηεξηζηηθά ησλ Μηθξνζθαηξηδίσλ πνπ κνληεινπνηνύληαη. ηε ζπλέρεηα ζα εμεηάζνπκε ηηο ζπγθεθξηκέλεο ηδηόηεηεο θαη δηαζηάζεηο ησλ Μηθξνζθαηξηδίσλ ηα νπνία επηζπκνύκε λα κνληεινπνηήζνπκε. Σα κηθξνζθαηξίδηα πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηελ θαηαζθεπή είλαη ηεο εηαηξίαο Luminex θαη νλνκάδνληαη MagPlex. Δίλαη ππεξπαξακαγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα κε επηθάιπςε θαξβνμπιίσλ (COOH) γηα ηελ πξόζδεζε κε νκνηνπνιηθνύο δεζκνύο ησλ βηναληηδξόλησλ κνξίσλ (ligands). Ο ππξήλαο ηνπο είλαη από καγλεηίηε θαη ην θέιπθνο από πνιπκεξέο. ην θέιπθνο θέξνπλ επίζεο θσζθνξίδνπζα βαθή γηα ηελ επθνιόηεξε αλάιπζε ησλ απνηειεζκάησλ κε κεραλήκαηα ηεο ίδηαο εηαηξείαο. Σα κηθξνζθαηξίδηα παξέρνληαη ζε απνζηαγκέλν λεξό πνπ πεξηέρεη θάησ από 0.1%w/v ζπληεξεηηθέο νπζίεο. ηνλ παξαθάησ πίλαθα βιέπνπκε ζπγθεληξσηηθά ηηο ηδηόηεηεο ησλ ζθαηξηδίσλ απηώλ. Πίλαθαο 3.3: Ηδηόηεηεο Μαγλεηηθώλ Μηθξνζθαηξηδίσλ. [3.1] Ιδιόηηηα Σιμή ςγκένηπυζη (μικποζθαιπίδια / ml) Μέζο <0.1% ProClin ζε λεξό Μέζη πςκνόηηηα μέζος (gr/ml) 1.10±0.06 Μέζη διάμεηπορ (μm) 6.5±0.2 ςνηελεζηήρ απόκλιζηρ διαμέηπος 5% Γπαζηική οςζία Καξβνμύιην (COOH) Πεπιεκηικόηηηα ζε ζίδηπο 2-4% Άιιεο ηδηόηεηεο απηώλ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ είλαη όηη πξέπεη λα δηαηεξνύληαη καθξηά από έληνλν θσο, ώζηε λα πξνζηαηεπζεί ε επηθάιπςε ηεο ρξσζηηθήο νπζία. Δπίζεο είλαη πδξόθνβα ζε πδαηηθό δηάιπκα νπόηε κπνξεί λα παγηδεύνληαη ζηελ ειεύζεξε επηθάλεηα ηνπ κέζνπ θαη λα ρξεηάδνληαη ηαθηηθή αλάδεπζε. Γελ πξέπεη λα ρξεζηκνπνηνύληαη κε ηζρπξνύο νξγαληθνύο δηαιύηεο γηαηί ηόηε ράλνπλ ηηο ηδηόηεηεο ηνπο. Παξαηεξνύκε όηη ελώ δίλεηαη ε πνζνζηηαία πεξηεθηηθόηεηά ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζε ζίδεξν, δελ δίλεηαη ε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηά ηνπο. Πξάγκαηη όπσο είδακε ζην Κεθάιαην 1 ν ππνινγηζκόο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθόηεηαο είλαη έλα δύζθνιν εγρείξεκα θαη γηα ην ιόγν απηό δελ ππάξρνπλ πνιιά ζηνηρεία αθόκα θαη γηα ηα εκπνξηθά κηθξνζθαηξίδηα. Παξαθάησ παξνπζηάδνπκε ζε κνξθή πίλαθα ηε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα δηαθόξσλ ζσκαηηδίσλ, όπσο δίλεηαη από αλεμάξηεηεο κεηαμύ ηνπο πεγέο θαη γηα δηάθνξα ζσκαηίδηα, δηαθόξσλ δηακέηξσλ. θνπόο καο είλαη όρη λα θαηαιήμνπκε ζε κηα ηειηθή ηηκή ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθόηεηαο ησλ παξαπάλσ κηθξνζθαηξηδίσλ, αιιά λα εληνπίζνπκε ζε πνηα ηάμε κεγέζνπο θπκαίλνληαη νη ηηκέο. Σα δεδνκέλα δίλνληαη ζε δηάθνξα ζπζηήκαηα κέηξεζεο θαη ε κεηαηξνπή γίλεηαη κε βάζε όζα εηπώζεθαλ ζην θεθάιαην 1. Ζ ηηκή ηεο καγλεηηθήο δηαπεξαηόηεηαο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί ζηε κνληεινπνίεζε αηηηνινγείηαη ζην αληίζηνηρν θεθάιαην. 76

78 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πίλαθαο 3.4: Μαγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα Μαγλεηηθώλ Μηθξνζθαηξηδίσλ. Σύπορ Γιάμεηπορ (μm) σ (όπυρ δίνεηαι) σ ζηο SI μικποζθαιπιδίος cgs Dynabeads-450 [3.2] cgs Dynabeads-450 [3.3] cgs Dynabeads-450 [3.4] cgs Iron oxide [3.4] cgs cgs Chromium oxide (Cr 2 O 3 ) [3.4] Copper oxide (CuO) [3.4] m 3 /kg Dynabeads-450 [3.5] m 3 /kg Micromod [3.5] emu/g Micromod [3.6] Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζπκπεξαίλνπκε όηη ππάξρεη κηα αξθεηά κεγάιε δηαθύκαλζε ζηελ ηηκή ηεο επηδεθηηθόηεηαο, αθόκα θαη γηα ηνλ ίδην ηύπν κηθξνζθαηξηδίσλ, αλάινγα κε ηελ πξνέιεπζε ησλ κεηξήζεσλ. πγθεθξηκέλα βιέπνπκε όηη ε ηηκή ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθόηεηαο γηα ηα Dynabeads-450 θπκαίλεηαη από κέρξη δειαδή δηαθέξεη θαηά πνπ είλαη ην 45% ηεο κέζεο ηηκήο πνπ πξνθύπηεη από όιεο ηηο πεγέο θαη είλαη ρ= Ο πξνζδηνξηζκόο επνκέλσο κηαο ηειηθά απνδεθηήο ηηκήο είλαη ηδηαίηεξα δύζθνινο κε βάζε απηά ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα. Δπίζεο από ηνλ πίλαθα πνπ παξνπζηάδεηαη παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη ππάξρεη αξθεηά κεγάιε δηαθνξά αλάκεζα ζηηο ηηκέο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθόηεηαο γηα ηα ζηδεξνύρα κηθξνζθαηξίδηα θαη γηα ηα κε ζηδεξνύρα κηθξνζθαηξίδηα. Μάιηζηα ε δηαθνξνπνίεζε είλαη ηόζν έληνλε πνπ ε δηαθνξά αγγίδεη ηηο δύν κε ηξηο ηάμεηο κεγέζνπο. Βέβαηα ηα δεδνκέλα πνπ έρνπκε παξνπζηάζεη εδώ δελ καο επηηξέπνπλ λα βγάινπκε αζθαιή ζπκπεξάζκαηα. Από ηελ άιιε πιεπξά είλαη ζαθέο όηη γηα ηα πεξηζζόηεξα πιηθά, πιελ ησλ ελώζεσλ ηνπ ζηδήξνπ, ε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα θπκαίλεηαη από 10-4 έσο 10-10, ελώ ε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα ηνπ θελνύ είλαη κεδεληθή. [3.7] Αθόκα, παξαηεξνύκε όηη γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα ηεο Micromod έρνπκε δύν ηηκέο πνπ δηαθέξνπλ αξθεηά κεηαμύ ηνπο. Ζ πξώηε ηηκή πξνέξρεηαη από πεηξακαηηθά δεδνκέλα θαη είλαη αξθεηά κεγάιε. Ζ δεύηεξε ηηκή πξνέξρεηαη από ηα δεδνκέλα πνπ δίλεη ε εηαηξία ζηε ηζηνζειίδα ηεο θαη είλαη αξθεηά εληαία γηα ηηο πεξηζζόηεξεο δηακέηξνπο θαη ηύπνπο επίζηξσζεο ησλ ζθαηξηδίσλ. Δπνκέλσο δεκηνπξγείηαη εδώ έλα εξώηεκα πνπ αθνξά όρη κόλν ηελ αμηνπηζηία ησλ αλεμάξηεησλ πεηξακαηηθώλ δεδνκέλσλ, αιιά θαη ηελ αμηνπηζηία ησλ πιεξνθνξηώλ πνπ παξέρνληαη από ηελ επίζεκε πεγή. Σν γεληθό ζπκπέξαζκα πνπ κπνξνύκε λα εμάγνπκε είλαη όηη ε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα είλαη κέγεζνο κε κεγάιε δπζθνιία κέηξεζεο θαη κπνξεί λα δηαθέξεη από ηύπν κηθξνζθαηξηδίνπ ζε άιιν ηύπν, αθόκα θαη αλ παξάγεηαη από ηελ ίδηα εηαηξία. 77

79 3.1.4: Μόνιμορ μαγνήηηρ Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Ο καγλήηεο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη από ηε ζπζθεπή ρεηξηζκνύ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ είλαη ηύπνπ NdFeB (neodymium-iron-boron) θαη ζπγθεθξηκέλεο νλνκαζίαο Ν52. Ο καγλήηεο απηόο είλαη έλα νξζνγώλην παξαιιειεπίπεδν κε δηαζηάζεηο πνπ έρνπκε ήδε εμεηάζεη ζηελ παξάγξαθν ηεο γεσκεηξίαο ελώ ε πόισζε ηνπ θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ εηθόλα: Δηθόλα 3.5: Μόληκνο καγλήηεο. [3.8] Δθηόο από ηε γεσκεηξία πνπ ήδε εμεηάζηεθε, ηα ινηπά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ καγλήηε εκθαλίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Πίλαθαο 3.5: Ηδηόηεηεο κόληκνπ καγλήηε. [3.8] Τλικό/βαθμόρ Πςκνόηηηα ηηρ ποήρ ενηόρ μαγνήηη Μέγιζηο πεδίο H cb Μέγιζηο εγγενέρ πεδίο H cj Ν Σ 796 ka/m 876 ka/m Πποφόν ενέπγειαρ Β Η max kj/m 3 Μέγιζηη θεπμοκπαζία λειηοςπγίαρ Δπικάλςτη Ροή ζηην επιθάνεια Ίδιον βάπορ Βάπορ ηο οποίο μποπεί να ζηκώζει ο μαγνήηηρ Γύναμη ζςγκπάηηζηρ ζε αηζάλινο δίζκο 60 C Νηθέιην κε ηειείσκα επνμηθήο ξεηίλεο 0.39 Σ 0.31 gr 0.5 kg 4.91 Ν 78

80 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δπίζεο κπνξνύκε λα δνύκε ηελ θακπύιε απνκαγλήηηζεο όπσο δίλεηαη από ηελ θαηαζθεπάζηξηα εηαηξία. Οη κνλάδεο είλαη γηα ην κελ Β ηα kgs όπνπ 1 Gs=10-4 T (G θαη Gs είλαη ν ζπκβνιηζκόο γηα ηελ ίδηα κνλάδα, ην Gauss) θαη γηα ην Ζ ηα koe όπνπ 1 Oe=250/π A/m. ρήκα 3.5: Κακπύιε απνκαγλήηηζεο κόληκνπ καγλήηε. [3.8] 79

81 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 3.2: 1 ο Μονηέλο Μαγνηηοζηαηικό Ππόβλημα ην κνληέιν απηό επηιύνπκε κόλν ην καγλεηνζηαηηθό πξόβιεκα. Απηό ζεκαίλεη όηη εηζάγνπκε ηε γεσκεηξία από ην αξρείν ηνπ Solidworks θαη ζηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ην καγλεηηθό πεδίν πνπ δεκηνπξγείηαη από ην καγλήηε πνπ έρνπκε πεξηγξάςεη ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν κε ρξήζε ηνπ Ansys Magnetostatic. Σν πεξηβάιινλ ηνπ Workbench γηα ην Magnetostatic έρεη ηελ παξαθάησ κνξθή: 3.2.1: Γεδομένα Δηθόλα 3.6: Magnetostatic ζην Workbench. πγθξηκέλα γηα ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο απηνύ αξρηθά δεκηνπξγνύκε κηα επηπιένλ γεσκεηξία ε νπνία ζα πεξηβάιεη όιεο ηηο γεσκεηξίεο πνπ ζπκκεηέρνπλ ζην πξόβιεκα. Ζ δεκηνπξγία ηεο γεσκεηξίαο απηήο γίλεηαη σο enclosure από ην πεξηβάιινλ Geometry όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: Δηθόλα 3.7: Γεκηνπξγία πεξηβάιινπζαο γεσκεηξίαο. Γίλνπκε γεσκεηξηθέο ηδηόηεηεο ζην ζώκα απηό ώζηε λα πεξηβάιιεη όια ηα άιια ζώκαηα θαη ζην ηέινο δελ μερλάκε λα ζπλελώζνπκε όιεο ηηο γεσκεηξίεο ζε έλα ζώκα. Ζ εηδηθή απηή γεσκεηξία πνπ δεκηνπξγήζακε ζα ππάξρεη κόλν ζε απηό ην κνληέιν θαη δελ έρεη πξνθαιέζεη θακία αιιαγή ζην πεγαίν αξρείν ηεο γεσκεηξίαο. 80

82 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.8:Πεξηβάιινπζα γεσκεηξία. ηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε ηα πιηθά πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ ζηελ επίιπζε ηνπ κνληέινπ. Απηό γίλεηαη κέζν ηνπ πεξηβάιινληνο Engineering Data. ην πεξηβάιινλ απηό πνιιέο θνξέο ππάξρνπλ ήδε απνζεθεπκέλα θάπνηα πιηθά όπσο ν αέξαο. ε θάζε πεξίπησζε εκείο γηα ην δηθό καο κνληέιν ζέινπκε λα ππάξρνπλ ηέζζεξα πιηθά: ν αέξαο ηνπ πεξηβάιινληνο ρώξνπ, ην πιαζηηθό ζηε ζύξηγγα θαη ην πεγαδάθη, ην λεξό γηα ην δείγκα θαη ν κόληκνο καγλήηεο. Γηα ηνλ αέξα, ην πιαζηηθό θαη ην λεξό ζεσξνύκε όηη είλαη ηζνηξνπηθά πιηθά θαη δελ ρξεηάδεηαη λα πξνζδηνξίζνπκε ηίπνηε άιιν πέξα από ηε ζρεηηθή καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα ηνπο. Γηα ην ιόγν απηό, αθνύ δεκηνπξγήζνπκε έλα λέν πιηθό θαη ην νλνκάζνπκε θαηά πεξίπησζε, επηιέγνπκε από ηε ιίζηα ησλ ηύπσλ πιηθνύ ην Linear Soft Magnetic Material θαη ζπκπιεξώλνπκε ηελ ηηκή γηα ηε ζρεηηθή καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα. ηελ πεξίπησζε ηνπ αέξα θαη ηνπ πιαζηηθνύ εηζάγνπκε ηελ ηηκή 1, ελώ γηα ην λεξό εηζάγνπκε ηελ ηηκή επεηδή είλαη ειαθξώο παξακαγλεηηθό. Δηθόλα 3.9: Δηζαγσγή δεδνκέλσλ πιηθώλ. 81

83 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Από ηελ άιιε πιεπξά γηα ηνλ καγλήηε επηιέγνπκε από ηε ιίζηα ησλ πιηθώλ Nonlinear Hard Magnetic Material θαη εηζάγνπκε ηελ θακπύιε απνκαγλήηηζήο ηνπ. Σελ θακπύιε απηή ηελ έρνπκε ήδε εμεηάζεη ζηελ παξάγξαθν Γηα ηελ επίιπζε κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία θξίζεθε επαξθέο λα εηζάγνπκε επηά ζεκεία γηα λα πεξηγξάςνπκε ηελ θακπύιε, αθνύ θπζηθά θάλακε πξώηα ηε κεηαηξνπή από Gauss θαη Oersted ζε Tesla θαη A/m αληίζηνηρα. Δηθόλα 3.10: εκεία πνπ νξίδνπλ ηελ θακπύιε απνκαγλεηηζκνύ. ρήκα 3.6: Κακπύιε απνκαγλεηηζκνύ ηνπ κόληκνπ καγλήηε. Αθνύ ηειεηώζακε κε ηελ εηζαγσγή ησλ πιηθώλ ζην ζύζηεκα πεξλάκε ζην πεξηβάιινλ Model όπνπ νξίδνπκε ηηο παξακέηξνπο ηεο επίιπζεο. ην ζεκείν απηό πξέπεη λα ζπζρεηίζνπκε ηνλ θάζε όγθν ηεο γεσκεηξίαο κε ην αληίζηνηρν πιηθό πνπ θηηάμακε πξνεγνπκέλσο. Απηό γίλεηαη αλ επηιέμνπκε ην ζπγθεθξηκέλν πιηθό θαη από ηηο ιεπηνκέξεηεο ηνπ πιηθνύ εηζάγνπκε ζην material assignment ην αληίζηνηρν πιηθό πνπ θηηάμακε. 82

84 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.11: Παξάδεηγκα νξηζκνύ πιηθνύ. Γηα ηνλ καγλήηε ζπγθεθξηκέλα αθνύ νξίζνπκε ην πιηθό ζα πξέπεη λα νξίζνπκε θαη ηελ θαηεύζπλζε ηεο πόισζεο. Γηα ηνλ ζθνπό απηό νξίδνπκε έλα λέν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ πάλσ ζην καγλήηε. Δηθόλα 3.12: Δηζαγσγή λένπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ. Σν ζύζηεκα απηό ηνπνζεηείηαη ζε κηα αθκή ηνπ καγλήηε θαη αθνινπζεί ηελ θιίζε πνπ έρεη θαη απηόο βάζε ηεο γεσκεηξίαο, δειαδή δελ είλαη παξάιιειν ζην ρσξόδεην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Έλαο από ηνπο άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο απηνύ πξέπεη λα είλαη παξάιιεινο κε ηε δηεύζπλζε ηεο πόισζεο ηνπ καγλήηε. ηελ πεξίπησζε καο νξίζακε ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ όπσο απηό πνπ θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ εηθόλα θαη ζηε ζπλέρεηα από ηηο ιεπηνκέξεηεο ηνπ ζώκαηνο νξίζακε γηα ην καγλήηε ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ην λέν ζύζηεκα πνπ θηηάμακε θαη θαηεύζπλζε πόισζεο ζην +X ζηελ πεξίπησζή καο. Δηθόλα 3.13: ύζηεκα πόισζεο ηνπ καγλήηε. Σν ηειεπηαίν πνπ κέλεη λα νξίζνπκε γηα λα είλαη πιήξεο ην κνληέιν καο είλαη κηα επηθάλεηαο κεδεληθήο καγλεηηθήο ξνήο. ην ζεκείν απηό ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ επηπξόζζεηε γεσκεηξία πνπ θαηαζθεπάζακε αξρηθά θαη πνπ πεξηθιείεη όια ηα ππόινηπα ζώκαηα. Οξίδνπκε ινηπόλ ηελ εμσηεξηθή επηθάλεηα ηεο γεσκεηξίαο απηήο σο ην όξην ζην νπνίν ζα κεδελίδεηαη ε ξνή γηα λα είλαη επηιύζηκν ην πξόβιεκα. Σν ζεκείν απηό είλαη πνιύ ζεκαληηθό γηαηί αλ δελ νξηζηεί απηή ε επηθάλεηα είλαη αδύλαην γηα ην πξόγξακκα λα επηιύζεη ην πξόβιεκα. ην ζεκείν απηό έρνπκε νινθιεξώζεη ηελ πξνεηνηκαζία ηνπ κνληέινπ. ηε ζπλέρεηα πξνρσξάκε ζηελ δηαθξηηνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ηνλ νξηζκό ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. 83

85 3.2.2: Πλέγμα Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ην πεξηβάιινλ ηνπ Workbench νη πεξηζζόηεξεο δηαδηθαζίεο δεκηνπξγίαο ηνπ πιέγκαηνο γίλνληαη απηόκαηα. Απηό πνπ έρεη ζεκαζία είλαη ν νξηζκόο ζην Physics Preference λα είλαη ζην electromagnetics. Φπζηθά έρεη θαη ν ρξήζηεο ην δηθαίσκα λα παξέκβεη θαη όζν πην έκπεηξνο είλαη ν ρξήζηεο ηόζν πην πνιύ κπνξεί λα θάλεη θαη αιιαγέο ζε κνξθή θώδηθα. Γεληθά όιεο νη επηινγέο γίλνληαη από ην κελνύ ησλ ιεπηνκεξεηώλ ηνπ πιέγκαηνο θαη αθνξνύλ θπξίσο δεηήκαηα κεγέζνπο θαη ειέγρνπ ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Σα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη είλαη ηεηξαεδξηθά. Δηθόλα 3.14: Γεληθέο επηινγέο πιέγκαηνο. Δπίζεο ν ρξήζηεο κπνξεί λα επέκβεη ζε ζπγθεθξηκέλεο επηθάλεηεο θαη λα νξίζεη ηδηόηεηεο ηνπ πιέγκαηνο ζηηο ζέζεηο απηέο, αλ επηζπκεί λα έρεη δηαθνξεηηθέο ηδηόηεηεο ζε νξηζκέλα ζεκεία. Δηθόλα 3.15: Δηδηθέο επηινγέο πιέγκαηνο. 84

86 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ηελ πεξίπησζή καο αιιάμακε ηηο γεληθέο ηδηόηεηεο ώζηε λα έρνπκε ιεπηό πιέγκα κε πςειή νκαιόηεηα. Μεξηθά από ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ πιέγκαηνο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Πίλαθαο 3.6: Υαξαθηεξηζηηθά ηνπ πιέγκαηνο. Relevance Center Fine Element Size Default Smoothing High Transition Fast Span Angle Center Medium Minimum Edge Length mm Transition Ratio Maximum Layers 5 Growth Rate 1.2 Με ηα παξαπάλσ ραξαθηεξηζηηθά ιάβακε ην παξαθάησ πιέγκα. Παξαηεξνύκε όηη ην πιέγκα δελ είλαη ηόζν ιεπηό, όζν απηό πνπ παξάγεηαη γηα ηα ξεπζηνκεραληθά πξνβιήκαηα, αιιά είλαη απνιύησο θαηάιιειν γηα ηελ επίιπζε απηνύ ηνπ καγλεηνζηαηηθνύ πξνβιήκαηνο. Δηθόλα 3.16: Πιέγκα καγλεηνζηαηηθνύ πξνβιήκαηνο. 85

87 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ηελ παξαπάλσ εηθόλα έρνπκε αθαηξέζεη ηελ πεξηβάιινπζα γεσκεηξία ώζηε λα κπνξνύκε λα δνύκε ηελ εζσηεξηθή γεσκεηξία. Από ηα ζηαηηζηηθά ζηνηρεία γηα ην πιέγκα έρνπκε ηα παξαθάησ δεδνκέλα: Πίλαθαο 3.7: ηαηηζηηθά πιέγκαηνο. Απιθμόρ Κόμβυν Απιθμόρ ηοισείυν Πεπιβάλλοςζα ύπιγγα Πηγαδάκι Τγπό Μαγνήηηρ ςνολική γευμεηπία Παξαηεξνύκε όηη ηα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ηεο γεσκεηξίαο είλαη ιηγόηεξα από ην ζύλνιν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ησλ επηκέξνπο γεσκεηξηώλ. Απηό πξνθαλώο ζπκβαίλεη γηαηί ζηηο θνηλέο επηθάλεηεο ηα δηάθνξα κέξε ηεο γεσκεηξίαο κνηξάδνληαη ηα ίδηα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία : Δπίλςζη Γηα ηελ επίιπζε δελ έρνπκε λα αλαθέξνπκε θάηη ζεκαληηθό. Σν πξόβιεκα είλαη ζηαηηθό, νπόηε επηιύεηαη ζε 1 ρξνληθό βήκα. Γεδνκέλνπ όηη ην πξόβιεκά καο δελ έρεη θάπνηα ηδηαίηεξε απαίηεζε, αθήλνπκε ηηο ξπζκίζεηο ηνπ επηιπηή (solver) λα είλαη ππό ηνλ έιεγρν ηνπ πξνγξάκκαηνο. Δηθόλα 3.17: Ρπζκίζεηο επίιπζεο. 86

88 3.2.4: Αποηελέζμαηα Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Από ην πξόγξακκα κπνξεί θαλείο λα πάξεη δηάθνξα απνηειέζκαηα, όπσο ε ππθλόηεηα καγλεηηθήο ξνήο Β, ην καγλεηηθό πεδίν Ζ, νη καγλεηηθέο δπλάκεηο θαη ε ππθλόηεηα ηνπ ξεύκαηνο. Σα απνηειέζκαηα απηά αλαθέξνληαη ηόζν ζε ειεθηξνκαγλήηεο, όζν θαη ζε κόληκνπο καγλήηεο. ηελ πεξίπησζή καο, καο ελδηαθέξεη λα γλσξίδνπκε ηελ ππθλόηεηα ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ Β κέζα ζην ξεπζηό, αθνύ εθεί βξίζθνληαη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα. Γεληθά κπνξνύκε λα έρνπκε ηα απνηειέζκαηα ζε όια ηα ζώκαηα ηνπ ζπζηήκαηνο αθνύ όια ζπκκεηείραλ ζηελ επίιπζε. Γηα ην ζθνπό απηό εμάγνπκε ζε κνξθή γξαθήκαηνο θαη ζε κνξθή πίλαθα ηελ ζπλνιηθή ππθλόηεηα ηνπ πεδίνπ, ηελ ππθλόηεηα ηνπ πεδίνπ θαηά ηνλ άμνλα Υ, ηελ ππθλόηεηα ηνπ πεδίνπ θαηά ηνλ άμνλα Τ θαη ηελ ππθλόηεηα ηνπ πεδίνπ θαηά ηνλ άμνλα Ε. Παξαθάησ παξνπζηάδνπκε αξρηθά ηα γξαθήκαηα ησλ απνηειεζκάησλ. Δηθόλα 3.18: πλνιηθή ππθλόηεηα καγλεηηθήο ξνήο ζην ξεπζηό. Παξαηεξνύκε όηη ηα βέιε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ Β αθνινπζνύλ πξάγκαηη ηελ αλακελόκελε πνξεία ησλ καγλεηηθώλ γξακκώλ ηνπ κόληκνπ καγλήηε. Δπίζεο ην πεδίν έρεη ηε κέγηζηε έληαζε θνληά ζην καγλήηε, ελώ εμαζζελεί ηαρύηαηα όζν απνκαθξπλόκαζηε από απηόλ. 87

89 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.19: πληζηώζα θαηά Υ ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ. Όπσο είλαη θπζηθό θαη ε ζπληζηώζα θαηά ηνλ άμνλα Υ έρεη ηε κέγηζηε θαη απόιπην ηηκή ζηελ πεξηνρή ηνπ καγλήηε, ελώ εμαζζελεί θαη είλαη νκνηόκνξθε όζν απνκαθξπλόκαζηε. Δπίζεο, επεηδή όπσο βιέπνπκε ν άμνλαο Υ έρεη θαηεύζπλζε από ην επίπεδν ηεο ζειίδαο πξνο ηνλ αλαγλώζηε, βιέπνπκε ηε κέγηζηε ζεηηθή ηηκή ηεο ζπληζηώζαο κε θόθθηλν ρξώκα. Αλ πεξηζηξέςνπκε ηε γεσκεηξία θαηά 180⁰ ζα δνύκε ζηελ ίδηα ζέζε κε κπιε ηε κέγηζηε θαηά κέηξν αξλεηηθή ηηκή ηεο ζπληζηώζαο. Δηθόλα 3.20: πληζηώζα θαηά Τ ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ. 88

90 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Παξαηεξνύκε όηη ε ζπληζηώζα θαηά ηνλ άμνλα Τ παίξλεη ζρεδόλ κεδεληθή ηηκή ζηελ επζεία κε ην κέζνλ ηνπ καγλήηε. Απηό είλαη θπζηνινγηθό γηαηί εθεί νη καγλεηηθέο γξακκέο είλαη ζρεδόλ επζείεο. ηε ζπλέρεηα πάλσ από ην καγλήηε όπσο είλαη θπζηθό παίξλεη ζεηηθέο ηηκέο, ελώ θάησ από ην καγλήηε παίξλεη αξλεηηθέο ηηκέο. εκεηώλνπκε όηη αλ θαη όζν απνκαθξπλόκαζηε από ην καγλήηε ε ηηκή ηεο θαηά Τ ζπληζηώζαο ππεξηζρύεη έλαληη ησλ άιινλ δύν, ε ζπλνιηθή ηηκή ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ κεηώλεηαη. Έηζη ελώ καθξηά από ην καγλήηε ε Τ είλαη ε θπξίαξρε ζπληζηώζα, ε ηηκή ηεο κεηώλεηαη θαηά πνιύ. Δηθόλα 3.21: πληζηώζα θαηά Ε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ. Γηα ηε ζπληζηώζα θαηά ηνλ άμνλα Ε παξαηεξνύκε όηη παίξλεη θαηά βάζε αξλεηηθέο ηηκέο, ελώ έρεη κέγηζηε θαη απόιπην ηηκή κπξνζηά ζην καγλήηε. Απηό είλαη θπζηθό γηαηί ν άμνλαο Ε είλαη ζρεδόλ αληηπαξάιιεινο κε ηνλ άμνλα x ηνπ ηνπηθνύ ζπζηήκαηνο πνπ νξίδεη ηελ πόισζε ηνπ καγλήηε, όπσο παξνπζηάζηεθε παξαπάλσ. Μεηαμύ ηνπο παξεκβάιιεηαη κόλν κηα κηθξή γσλία θιίζεο γηα λα είλαη ν καγλήηεο εθαπηόκελνο ζηε ζύξηγγα. Ζ ζπληζηώζα απηή παίξλεη πνιύ κηθξέο ζεηηθέο ηηκέο όζν απνκαθξπλόκαζηε από ην καγλήηε γηαηί νη καγλεηηθέο γξακκέο γπξίδνπλ πξνο ηα πίζσ. Δθηόο από ηα δηαγξάκκαηα, πνπ καο βνεζάλ λα έρνπκε κηα γεληθή εηθόλα ηνπ θαηλνκέλνπ, ιάβακε επίζεο ηα απνηειέζκαηα ηεο ζπλνιηθήο ππθλόηεηαο ηεο καγλεηηθήο ξνήο, αιιά θαη ησλ ηξηώλ ζπληζησζώλ ζε κνξθή πίλαθα. Οη πίλαθεο απηνί αλέθεξαλ ην κέγεζνο ηεο καγλεηηθήο ξνήο ζε θάζε αξηζκεκέλν θόκβν. Γηα λα επεμεξγαζηνύκε ινηπόλ ηα απνηειέζκαηα πήξακε από ην πξόγξακκα θαη ην αξρείν κε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θόκβσλ. ηε ζπλέρεηα αληηζηνηρήζακε ζε θάζε ηηκή ηεο ξνήο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηηο ζπληεηαγκέλεο όπνπ εκθαλίδεηαη θαη ιάβακε ηα απνηειέζκαηα ζε κνξθή πηλάθσλ ζε θύιιν ηνπ excel. 89

91 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Απηό πνπ καο ελδηαθέξεη είλαη λα εηζάγνπκε ζηε ζπλέρεηα ζην κνληέιν ηεο ξνήο ηηο ηξηο ζπλαξηήζεηο ησλ ζπληζησζώλ ηεο καγλεηηθήο ξνήο ηνπ καγλήηε θαη λα ειέγμνπκε αλ ηα κηθξνζθαηξίδηα παγηδεύνληαη από ην καγλήηε. Γηα ην ζθνπό απηό αμηνπνηήζακε ηα απνηειέζκαηα ηεο ζπλνιηθήο καγλεηηθήο ξνήο γηα λα ρσξίζνπκε ηε γεσκεηξία ηνπ ξεπζηνύ ζε ηκήκαηα θαηά ησλ άμνλα Τ. Σα ηκήκαηα απηά είλαη πην αξαηά καθξηά από ην καγλήηε, όπνπ νη ηηκέο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ είλαη κηθξέο θαη ζρεηηθά ζηαζεξέο θαη πην ππθλά θνληά ζην καγλήηε όπνπ νη κεηαβνιέο είλαη κεγάιεο. Δπίζεο είδακε όηη νη ηηκέο ηεο ζπληζηώζαο θαηά Υ αιιάδνπλ πξόζεκν ζην επίπεδν ΤΕ. Γηα ην ιόγν απηό ρσξίζακε όια ηα θαηαθόξπθα ηκήκαηα ζε x<0 θαη x 0. Σν ίζνλ δελ έρεη θακία ζεκαζία από πηα πιεπξά βξίζθεηαη γηαηί νύησο ή άιισο ειάρηζηνη θόκβνη ζην ζύλνιν βξίζθνληαη αθξηβώο ζην επίπεδν ΤΕ. Με βάζε ηε ζπλνιηθή ηηκή ηεο ππθλόηεηαο καγλεηηθήο ξνήο ρσξίζακε ινηπόλ ηελ πεξηνρή ηνπ ξεπζηνύ ζε 34 δηακεξίζεηο θαηά ύςνο θαη ηελ θάζε κία από απηέο ζε ζεηηθά θαη αξλεηηθά x. Γηα θάζε έλα από ηα δηακεξίζκαηα πνπ δεκηνπξγήζεθαλ ζην ρώξν ηνπ ξεπζηνύ ιάβακε κηα θαηά κέζν όξν ηηκή γηα θάζε κηα από ηηο ζπληζηώζεο ηεο ππθλόηεηαο ηεο ξνήο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ. Σα απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη παξαθάησ ζε κνξθή πηλάθσλ. Δπηπιένλ, έπξεπε λα δώζνπκε ηνπο πίλαθεο ηηκώλ ζε κνξθή απιώλ ζπλαξηήζεσλ, ώζηε λα κπνξεί λα γίλεη ε εηζαγσγή ηνπο ζην ξεπζηνκεραληθό πξόβιεκα. Οη ζπλαξηήζεηο απηέο όθεηιαλ λα έρνπλ ηελ απινύζηεξε δπλαηή κνξθή θαη λα απνηεινύληαη κόλν από εληνιέο αλ (if). Γηα ηελ ζπληζηώζα θαηά ηνλ άμνλα X θαηαζθεπάζακε ηελ παξαθάησ ζπλάξηεζε κε ην όλνκα MagX: if(y<0.0005[m], 0[mT], if(y<0.0020[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0040[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0060[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0080[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0100[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0120[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0130[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0140[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0150[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0160[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0170[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0175[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0180[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0185[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0190[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0195[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0200[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0205[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0210[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0215[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0220[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0225[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0230[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0240[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0250[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0260[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0270[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0280[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0300[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0320[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0340[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0360[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0380[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0445[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), 0[T]))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ζ νπνία ελζσκαηώλεη ηηο ηηκέο ηνπ παξαθάησ πίλαθα: 90

92 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πίλαθαο 3.8: πληζηώζα Υ ηεο ππθλόηεηαο καγλεηηθήο ξνήο. # Y (m) B (mt) B (mt) x<0 x 0 1 [0.0005, ) [0.0020, ) [0.0040, ) [0.0060, ) [0.0080, ) [0.0100, ) [0.0120, ) [0.0130, ) [0.0140, ) [0.0150, ) [0.0160, ) [0.0170, ) [0.0175, ) [0.0180, ) [0.0185, ) [0.0190, ) [0.0195, ) [0.0200, ) [0.0205, ) [0.0210, ) [0.0215, ) [0.0220, ) [0.0225, ) [0.0230, ) [0.0240, ) [0.0250, ) [0.0260, ) [0.0270, ) [0.0280, ) [0.0300, ) [0.0320, ) [0.0340, ) [0.0360, ) [0.0380, ) ηε ζπλέρεηα γηα ηελ ζπληζηώζα θαηά ηνλ άμνλα Τ θαηαζθεπάζακε ηελ παξαθάησ ζπλάξηεζε κε ην όλνκα MagΤ: 91

93 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση if(y<0.0005[m], 0[mT], if(y<0.0020[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0040[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0060[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0080[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0100[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0120[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0130[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0140[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0150[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0160[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0170[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0175[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0180[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0185[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0190[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0195[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0200[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0205[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0210[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0215[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0220[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0225[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0230[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0240[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0250[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0260[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0270[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0280[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0300[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0320[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0340[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0360[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0380[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0445[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), 0[T]))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ζ νπνία ελζσκαηώλεη ηηο ηηκέο ηνπ παξαθάησ πίλαθα: Πίλαθαο 3.9: πληζηώζα Τ ηεο ππθλόηεηαο καγλεηηθήο ξνήο # Y (m) B (mt) B (mt) x<0 x 0 1 [0.0005, ) [0.0020, ) [0.0040, ) [0.0060, ) [0.0080, ) [0.0100, ) [0.0120, ) [0.0130, ) [0.0140, ) [0.0150, ) [0.0160, ) [0.0170, ) [0.0175, ) [0.0180, ) [0.0185, ) [0.0190, )

94 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 17 [0.0195, ) [0.0200, ) [0.0205, ) [0.0210, ) [0.0215, ) [0.0220, ) [0.0225, ) [0.0230, ) [0.0240, ) [0.0250, ) [0.0260, ) [0.0270, ) [0.0280, ) [0.0300, ) [0.0320, ) [0.0340, ) [0.0360, ) [0.0380, ) Σέινο γηα ηελ ζπληζηώζα θαηά ηνλ άμνλα Ε θαηαζθεπάζακε ηελ παξαθάησ ζπλάξηεζε κε ην όλνκα MagΕ: if(y<0.0005[m], 0[mT], if(y<0.0020[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0040[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0060[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0080[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0100[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0120[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0130[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0140[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0150[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0160[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0170[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0175[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0180[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0185[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0190[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0195[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0200[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0205[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0210[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0215[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0220[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0225[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0230[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0240[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0250[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0260[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0270[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0280[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0300[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0320[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0340[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0360[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0380[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), if(y<0.0445[m], if(x<0[m], [mT], [mT]), 0[T]))))))))))))))))))))))))))))))))))) 93

95 Ζ νπνία ελζσκαηώλεη ηηο ηηκέο ηνπ παξαθάησ πίλαθα: Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πίλαθαο 3.10: πληζηώζα Z ηεο ππθλόηεηαο καγλεηηθήο ξνήο # Y (m) B (mt) B (mt) x<0 x 0 1 [0.0005, ) [0.0020, ) [0.0040, ) [0.0060, ) [0.0080, ) [0.0100, ) [0.0120, ) [0.0130, ) [0.0140, ) [0.0150, ) [0.0160, ) [0.0170, ) [0.0175, ) [0.0180, ) [0.0185, ) [0.0190, ) [0.0195, ) [0.0200, ) [0.0205, ) [0.0210, ) [0.0215, ) [0.0220, ) [0.0225, ) [0.0230, ) [0.0240, ) [0.0250, ) [0.0260, ) [0.0270, ) [0.0280, ) [0.0300, ) [0.0320, ) [0.0340, ) [0.0360, ) [0.0380, ) ηε θάζε απηή έρνπκε όια ηα απνηειέζκαηα πνπ αλακέλακε λα ιάβνπκε από ην καγλεηνζηαηηθό πξόβιεκα έηνηκα λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηελ παξαπέξα επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο. 94

96 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 3.3: 2 ο Μονηέλο Ισνηλάηηζη Μικποζθαιπιδίυν ηε ζπλέρεηα πξνρσξάκε ζηε κνληεινπνίεζε ηεο θίλεζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κόλν ππό ηελ επίδξαζε ηεο ξνήο θαη πξαγκαηνπνηνύκε ηρλειάηεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζην κνληέιν απηό. Όπσο θαη ζην πξνεγνύκελν κνληέιν εηζάγνπκε αξρηθά ηε γεσκεηξία από ην αξρείν ηνπ Solidworks θαη ζηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηελ πνξεία θίλεζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κέζα ην πεδίν ξνήο πνπ δεκηνπξγείηαη από ηηο νξηαθέο ζπλζήθεο πνπ παξνπζηάζακε ζηα γεληθά ζηνηρεία ηνπ θεθαιαίνπ. Σν πξόβιεκα απηό ιύλεηαη ζηελ πιαηθόξκα ηνπ Ansys CFX. Σν πεξηβάιινλ ηνπ Workbench γηα ην CFX έρεη ηελ παξαθάησ κνξθή: 3.3.1: Πλέγμα Δηθόλα 3.22: CFX ζην Workbench. ηελ πεξίπησζε απηή πξνεγείηαη ε θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο ηεο εηζαγσγήο νπνηνλδήπνηε δεδνκέλσλ ηνπ πξνβιήκαηνο. Αξρηθά ινηπόλ αλνίγνπκε ην πεξηβάιινλ Mesh γηα λα πξαγκαηνπνηήζνπκε ηελ θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Δπεηδή ζην κνληέιν απηό δελ ζα καο ρξεηαζηεί ζε θάηη ε παξνπζία ηνπ καγλήηε, επηιέγνπκε ην γεσκεηξηθό ζηνηρείν πνπ ηνλ αληηπξνζσπεύεη θαη επηιέγνπκε ηελ παύζε ηνπ από απηό ην κνληέιν. Δηθόλα 3.23: Αθαίξεζε καγλήηε από ην κνληέιν. Παξαηεξνύκε όηη ην πξόγξακκα έρεη εληνπίζεη απηόκαηα ηηο επηθάλεηεο επαθήο (contacts) θαη επνκέλσο πξνρσξάκε ζηελ θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο. Σα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη είλαη ηεηξαεδξηθά θαη έρεη ηεζεί σο physics preference: CFD θαη σο solver preference: CFX. ηελ πεξίπησζή απηή επηιέμακε κέηξηαο πνηόηεηαο πιέγκα ην νπνίν ήηαλ θαη αξθεηά ηθαλνπνηεηηθό γηα ηελ πξνζεγγηζηηθή κνληεινπνίεζε πνπ πξαγκαηνπνηνύκε. ηελ πεξίπησζε απηή, όπσο είδακε θαη ζην πξώην κνληέιν, έρνπκε ηε δπλαηόηεηα λα επέκβνπκε ζε ζπγθεθξηκέλεο πεξηνρέο θαη λα ππθλώζνπκε ην πιέγκα, όκσο θάηη ηέηνην δελ θξίζεθε αλαγθαίν αθνύ ην πξόγξακκα εληόπηζε απηόκαηα ηηο πεξηνρέο κε απμεκέλεο απαηηήζεηο (ζηόκην ηεο ζύξηγγαο). 95

97 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Από ηηο γεληθέο ηδηόηεηεο θξνληίζακε λα εθαξκόζνπκε πιέγκα κέηξηαο δηαθξηηνπνίεζεο. Μεξηθά από ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ πιέγκαηνο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Πίλαθαο 3.11: Υαξαθηεξηζηηθά ηνπ πιέγκαηνο. Relevance Center Medium Element Size Default Smoothing Medium Transition Slow Span Angle Center Fine Minimum Edge Length mm Transition Ratio 0.77 Maximum Layers 5 Growth Rate 1.2 Με ηα παξαπάλσ ραξαθηεξηζηηθά ιάβακε ην παξαθάησ πιέγκα. Παξαηεξνύκε όηη ην πιέγκα είλαη αξθεηά ιεπηό θαη ηδηθά ζηηο κηθξέο επηθάλεηεο. Σν ίδην ζα παξαηεξνύζακε θαη γηα ην πιέγκα γύξσ από ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. Δηθόλα 3.24: Πιέγκα πξνβιήκαηνο ηρλειάηεζεο. 96

98 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Αθνινπζνύλ κεξηθά ζηαηηζηηθά ζηνηρεία ηνπ πιέγκαηνο πνπ αθνξνύλ ηνλ αξηζκό ησλ θόκβσλ θαη ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ αλά γεσκεηξία. Πίλαθαο 3.12: ηαηηζηηθά πιέγκαηνο. Απιθμόρ Κόμβυν Απιθμόρ ηοισείυν ύπιγγα Πηγαδάκι Τγπό ςνολική γευμεηπία : Γεδομένα Αθνύ νινθιεξώζακε ηελ θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο πξνρσξάκε ζην νξηζκό ησλ νξηαθώλ ζπλζεθώλ θαη ηελ θαηαζθεπή ηνπ κνληέινπ ζην πεξηβάιινλ ηνπ Setup ηνπ Workbench. Αξρηθά ζέηνπκε ην πξόβιεκα σο κεηαβαηηθό (transient) κε ζπλνιηθό ρξόλν κνληεινπνίεζεο ηα 9 δεπηεξόιεπηα, βήκα ηεο κνληεινπνίεζεο 0.01s θαη ρξόλν εθθίλεζεο ηα 0s. Δηθόλα 3.25: Ρπζκίζεηο κεηαβαηηθνύ πξνβιήκαηνο. Ο ιόγνο πνπ βάδνπκε 9s ζπλνιηθό ρξόλν είλαη γηαηί ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην πξώην 1s γηα ηελ έγρπζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζην ξεπζηό θαη γηα λα επέιζεη ην ζύζηεκα ζε εξεκία από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. ηε ζπλέρεηα ζα ζέζνπκε ηα επόκελα 4s γηα ηελ αλαξξόθεζε ξεπζηνύ θαη κηθξνζθαηξηδίσλ θαη ηα ηειεπηαία 4s γηα ηελ έγρπζε ξεπζηνύ θαη κηθξνζθαηξηδίσλ. ηε ζπλέρεηα εξεπλνύκε αλ ππάξρνπλ ηα πιηθά πνπ απαηηνύληαη γηα ηε κνληεινπνίεζε. Σν πξώην πιηθό πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε είλαη ην λεξό θαη ππάξρεη ήδε ζηηο βηβιηνζήθεο ηνπ πξνγξάκκαηνο. Σν λεξό ζα είλαη ε ζπλερήο θάζε κέζα ζηελ νπνία ζα θηλνύληαη ηα δηαθξηηά κηθξνζθαηξίδηα. Σν δεύηεξν πιηθό είλαη ην πνιπζηπξέλην θαη επίζεο ππάξρεη ζηηο βηβιηνζήθεο. Δθόζνλ από ηελ άπνςε ησλ πιηθώλ είκαζηε έηνηκνη πξνρσξάκε ζην επόκελν βήκα. 97

99 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ηε θάζε απηή ζα πξέπεη λα εηζάγνπκε θαη ηηο ζπλαξηήζεηο απηέο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ ζηε ζπλέρεηα ζηε κνληεινπνίεζε. Δηθόλα 3.26: Δηζαγσγή ζπλαξηήζεσλ. Οη ζπλαξηήζεηο πνπ θαηαζθεπάζακε ζηελ πεξίπησζε απηή είλαη: HydroP = 997[kg m^-3] * g * (0.011[m]-y) * inside()@liquid Απηή είλαη ε ζπλάξηεζε ηεο πδξνζηαηηθήο πίεζεο κέζα ζην ξεπζηό πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί σο αξρηθή ζπλζήθε πίεζεο. QPar = if(t<1[s], 7[gr s^-1], 0[gr s^-1]) Απηή ε ζπλάξηεζε είλαη ε ζπλάξηεζε παξνρήο κάδαο γηα ην πξώην 1s ηεο κνληεινπνίεζε. Τπνινγίδνπκε όηη 7gr είλαη ν ζπλνιηθόο όγθνο ησλ ζθαηξηδίσλ πνπ ζα κνληεινπνηήζνπκε. Injection = if(t<1[s], 20000[s^-1], 0[s^-1]) Με απηή ηε ζπλάξηεζε νξίδνπκε γηα πόζα ζσκαηίδηα ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ πιήξε δηαδξνκή ηνπο (particle tracking). Γελ είλαη απαξαίηεην ζε θακία πεξίπησζε λα κνληεινπνηήζνπκε όια ηα ζσκαηίδηα, εηδηθά ζηελ πεξίπησζή καο πνπ απιώο αλακέλνπκε λα αθνινπζνύλ ηελ πνξεία ηνπ ξεπζηνύ. Inlet = if(t<1[s], 0[mm s^-1], if(t<5[s], 0.551[mm s^-1], [mm s^-1])) Ζ ζπλάξηεζε απηή είλαη ε ζπλάξηεζε πνπ πξνζνκνηώλεη ηελ αλαξξόθεζε θαη ηελ έγρπζε ηνπ ξεπζηνύ. Παξαηεξνύκε όηη ην πξώην 1s δελ εθαξκόδεηαη ηαρύηεηα, όπσο είπακε παξαπάλσ θαη επίζεο παξαηεξνύκε όηη ε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα Τ είλαη πξνο ηα πάλσ. Έρνληαο νξίζεη ηα πιηθά θαη ηηο ζπλαξηήζεηο είκαζηε πιένλ έηνηκνη λα νξίζνπκε ην ίδην ην κνληέιν. Γηα ηνλ νξηζκό ηνπ κνληέινπ θαηαζθεπάδνπκε ηα δηάθνξα πεδία (domains) πνπ απνηεινύλ ηελ θαηαζθεπή καο. Σα πεδία απηά ζηελ πεξίπησζή καο είλαη ην πεγαδάθη θαη ε ζύξηγγα πνπ είλαη ζηεξεά ζώκαηα θαη ην πγξό πνπ είλαη πεδίν ξεπζηνύ. 98

100 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.27: Δηζαγσγή λένπ πεδίνπ. ηε ζπλέρεηα ζα αλαιύζνπκε ηηο ξπζκίζεηο πνπ έγηλαλ ζε θάζε πεδίν. ύξηγγα Σν πεδίν πνπ θαηαζθεπάδνπκε γηα ηε ζύξηγγα νλνκάδεηαη pipette. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πεδίνπ απηνύ αξρηθά επηιέγνπκε ηε γεσκεηξία πνπ ηνπ αληηζηνηρεί (Β97). ηε ζπλέρεηα ζέηνπκε όηη είλαη πεδίν ζηεξενύ ζώκαηνο θαη ζαλ πιηθό ην πνιπζηπξέλην. ηε κνξθνινγία ηνπ πεδίνπ ζέηνπκε «ζπλερέο ζηεξεό» θαη δελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. Δηθόλα 3.28: Βαζηθέο ξπζκίζεηο πεδίνπ. Γηα ηηο ππόινηπεο ξπζκίζεηο ηνπ πεδίνπ απιώο ζέηνπκε όηη δελ πξαγκαηνπνηείηαη κεηαθνξά ζεξκόηεηαο, νύηε ππάξρεη ζεξκόηεηα δηα αθηηλνβνιίαο. 99

101 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πεγαδάθη Σν πεδίν πνπ θαηαζθεπάδνπκε γηα ην πεγαδάθη νλνκάδεηαη well. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πεδίνπ απηνύ αξρηθά επηιέγνπκε ηε γεσκεηξία πνπ ηνπ αληηζηνηρεί (Β37). ηε ζπλέρεηα ζέηνπκε όηη είλαη πεδίν ζηεξενύ ζώκαηνο θαη ζαλ πιηθό ην πνιπζηπξέλην. ηε κνξθνινγία ηνπ πεδίνπ ζέηνπκε «ζπλερέο ζηεξεό» θαη δελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. Δηθόλα 3.29: Βαζηθέο ξπζκίζεηο πεδίνπ. Γηα ηηο ππόινηπεο ξπζκίζεηο ηνπ πεδίνπ απιώο ζέηνπκε όηη δελ πξαγκαηνπνηείηαη κεηαθνξά ζεξκόηεηαο, νύηε ππάξρεη ζεξκόηεηα δηα αθηηλνβνιίαο, αθξηβώο όπσο θαη γηα ηε ζύξηγγα. Ρεπζηό Σν πεδίν πνπ θαηαζθεπάδνπκε γηα ην ξεπζηό νλνκάδεηαη liquid. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πεδίνπ απηνύ αξρηθά επηιέγνπκε ηε γεσκεηξία πνπ ηνπ αληηζηνηρεί (Β161). ηε ζπλέρεηα ζέηνπκε όηη είλαη πεδίν ξεπζηνύ. Οξίδνπκε γηα ην πεδίν απηό δύν θάζεηο, ηα δηαθξηηά κηθξνζθαηξίδηα θαη ην ζπλερέο πγξό. Σα δηαθξηηά κηθξνζθαηξίδηα κνληεινπνηνύληαη ζε κηα θάζε πνπ ιέγεηαη Particles. Οξίδνπκε ζαλ πιηθό ηνπο ην πνιπζηπξέλην θαη ζαλ κνξθνινγία ηα θηλνύκελα ζηεξεά ζσκαηίδηα (particle transport solid). Οξίδνπκε όηη όια ηα ζσκαηίδηα έρνπλ ζπγθεθξηκέλε δηάκεηξν 6.5κm. Αθόκα νξίδνπκε ζαλ πίεζε αλαθνξάο γηα ην πεδίν απηό ηε κία αηκόζθαηξα θαη κε εθθίλεζε απηή ηελ πίεζε ζα ππνινγίδεηαη ε ζρεηηθή πίεζε ζην πεδίν. Δπίζεο νξίδνπκε Buoyant κνληέιν (βι ) κε θαηεύζπλζε ηεο επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο θαηά ηνλ άμνλα Τ θαη ππθλόηεηα αλαθνξάο, ηελ ππθλόηεηα ηνπ λεξνύ 997 kg/m 3. Γελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. 100

102 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.30: Βαζηθέο ξπζκίζεηο πεδίνπ. ηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε δεύηεξε θάζε κε ηελ νλνκαζία Water θαη νξίδνπκε ζαλ πιηθό ην λεξό. Γηα ηε θάζε απηή νξίδνπκε κνξθνινγία ζπλερέο ξεπζηό (continuous fluid) θαη θξαηάκε όιεο ηηο άιιεο ξπζκίζεηο, ζπκπεξηιακβαλνκέλνπ ηνπ Buoyant κνληέινπ, ίδηεο. Γελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. ηελ θαξηέια ηνπ κνληέινπ ξνήο (Fluid Models) νξίδνπκε όηη δελ έρνπκε θακία κεηαθνξά ζεξκόηεηαο, ε ηύξβε ππνινγίδεηαη από ην κνληέιν ηνπ k-έςηινλ θαη ε ζπλάξηεζή ηεο ζηα ηνηρώκαηα είλαη βαζκσηή. Γελ εηζάγνπκε κνληέια ηύξβεο ιόγσ άλσζεο, νύηε κνληέια θαύζεο, νύηε αθηηλνβνιία ζεξκόηεηαο, νύηε θαη ειεθηξνκαγλεηηθά κνληέια ζηε θάζε απηή. ηελ θαξηέια ησλ ζπγθεθξηκέλσλ κνληέισλ ηεο ξνήο (Fluid Specific Models) νξίδνπκε κόλν ην κνληέιν Buoyancy κε δηαθνξά ππθλόηεηαο. Γελ ζεσξνύκε νύηε κνληέια δηάβξσζεο ιόγσ ησλ ζσκαηηδίσλ, ελώ δελ ιακβάλνπκε ππόςε ηξαρύηεηα ζηα ηνηρώκαηα ηεο ζύξηγγαο. Σν επόκελν ζηνηρείν πνπ πξέπεη λα νξίζνπκε είλαη ην κνληέιν ζύδεπμεο (1.3.2) κεηαμύ ησλ ζσκαηηδίσλ θαη ηεο ξνήο. Οξίδνπκε ινηπόλ όηη ε ζύδεπμε είλαη κεξηθή (one-way coupling) πξάγκα πνπ ζεκαίλεη όηη ε πνξεία ηνπ ξεπζηνύ επεξεάδεη ηα κηθξνζθαηξίδηα, αιιά ηα ίδηα ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ επηδξνύλ επάλσ ζην ξεπζηό. Δπίζεο νξίδνπκε όηη ε δύλακε αληίζηαζεο από ην ξεπζηό πάλσ ζηα ζσκαηίδηα ζα ππνινγίδεηαη από ην κνληέιν Schiller Naumann (1.3.2) Σν κνληέιν απηό, όπσο έρνπκε δεη, είλαη θαηάιιειν γηα ηελ εύξεζε ηνπ ζπληειεζηή αληίζηαζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ όηαλ έρνπκε αξαηά θαηαλεκεκέλα ζηεξεά ζσκαηίδηα. Σέινο δελ ζέηνπκε θακία άιιε από ηηο δύλακεο επίδξαζεο ηνπ ξεπζηνύ, κηαο θαη ηα ζσκαηίδηα έρνπλ κεγαιύηεξε ππθλόηεηα από ην ξεπζηό θαη ε ηύξβε αλακέλεηαη λα θηλεζεί ζε ρακειά επίπεδα. Δπίζεο δελ ζεσξνύκε όηη πξαγκαηνπνηείηαη δηαρσξηζκόο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ (particle breakup). 101

103 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.31: Μνληέιν ζύδεπμεο θαη δπλάκεηο αληίζηαζεο. ηε ζπλέρεηα κνληεινπνηνύκε ηελ πεξηνρή από ηελ νπνία εηζάγνληαη ηα κηθξνζθαηξίδηα ζην ξεπζηό. Ζ επηινγή απηή είλαη ζρεηηθά απζαίξεηε αθνύ δελ ππάξρεη θάπνηα ζπγθεθξηκέλε πιεξνθνξία γηα ην πνπ αλακέλεηαη λα είλαη ηα κηθξνζθαηξίδηα πξαγκαηηθά. Από ηελ άιιε πιεπξά δελ έρεη θαη ηδηαίηεξα κεγάιε ζεκαζία γηα ηε κνληεινπνίεζε ην ζηνηρείν απηό, νπόηε εθαξκόδνπκε ηελ παξαθάησ ζεώξεζε. Δηθόλα 3.32: Πεξηνρή εηζαγσγήο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 102

104 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Θεσξνύκε όηη ηα κηθξνζθαηξίδηα εηζέξρνληαη ζην ρώξν ηνπ ξεπζηνύ από κηα ζθαηξηθή πεξηνρή πνπ ην θέληξν ηεο βξίζθεηαη ζηε κέζε ηεο απόζηαζεο κεηαμύ ηνπ ζηνκίνπ ηεο ζύξηγγαο θαη ηνπ πάηνπ ηνπ πεγαδηνύ. Ζ αθηίλα ηεο ζθαίξαο απηήο είλαη 0.5mm θαη ε ηαρύηεηα εηζόδνπ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζην ξεπζηό 0.5mm/s. Οξίδνπκε ηνλ αξηζκό ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ, ηελ πνξεία ησλ νπνίσλ ζα παξαθνινπζνύκε άκεζα από ηελ ζπλάξηεζε injection θαη ηελ παξνρή κάδαο ησλ ζσκαηηδίσλ πνπ εηζέξρνληαη ζην πεδίν από ηελ ζπλάξηεζε QPar. Σηο ζπλαξηήζεηο απηέο ηηο έρνπκε εμεηάζεη παξαπάλσ. Σέινο αξρηθνπνηνύκε ηηο κεηαβιεηέο ηνπ πεδίν απηνύ. Θέηνπκε παληνύ κεδεληθή ηαρύηεηα θαη ηελ ζρεηηθή πίεζε ίζε κε ηελ πδξνζηαηηθή πίεζε ηνπ ξεπζηνύ, από ηελ ζπλάξηεζε HydroP πνπ είδακε παξαπάλσ. Θεσξνύκε ηέινο όηη ζα έρνπκε κέζν επίπεδν ηύξβεο ζην πεδίν απηό. Δηθόλα 3.33: Αξρηθνπνίεζε κεηαβιεηώλ πεδίνπ. Έρνληαο νξίζεη όια ηα ζηνηρεία γηα ην πεδίν απηό, κέλεη λα νξίζνπκε ηηο νξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ πξώηε νξηαθή ζπλζήθε νλνκάδεηαη IN θαη νξίδεηαη ζην πεδίν liquid θαη ζηελ άλσ επηθάλεηά ηνπ. ηε ζπλζήθε απηή ζέηνπκε ηελ ηηκή ηεο ηαρύηεηαο θαηά Τ ζύκθσλα κε ηε ζπλάξηεζε inlet, κε ζθνπό λα πξαγκαηνπνηήζνπκε ηελ αλαξξόθεζε θαη ζηε ζπλέρεηα ηελ έγρπζε ηνπ ξεπζηνύ. Δηθόλα 3.34: Οξηαθή ζπλζήθε εηζόδνπ/εμόδνπ ηνπ ξεπζηνύ. 103

105 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Ζ δεύηεξε νξηαθή ζπλζήθε νλνκάδεηαη OPEN θαη κνληεινπνηεί ηελ ειεύζεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ. Γπζηπρώο ζηελ πεξίπησζε ηεο ηρλειάηεζεο ζσκαηηδίσλ κπνξνύκε λα εηζάγνπκε κόλν κηα ζπλερή θάζε ζην πεδίν όπνπ γίλεηαη ε κνληεινπνίεζε. Έηζη δελ κπνξνύκε λα κνληεινπνηήζνπκε ηελ παξνπζία ηνπ αέξα πάλσ από ηελ ειεύζεξε επηθάλεηα. Αληί απηνύ, ζέηνπκε ζην επηθαλεηαθό ζηξώκα ηνπ ξεπζηνύ ζην πεγαδάθη ηε ζπλζήθε αλνίγκαηνο κε ζρεηηθή πίεζε σο πξνο ηελ πίεζε αλαθνξάο 0Pa. Δηθόλα 3.35: Οξηαθή ζπλζήθε αλνίγκαηνο ζην ξεπζηό. Μεηά ηνλ νξηζκό θαη ησλ νξηαθώλ ζπλζεθώλ έρνπκε εηζάγεη ζην κνληέιν όια ηα ζηνηρεία πνπ απαηηνύληαη γηα ηελ επίιπζε ηεο πξνζνκνίσζεο ηεο ξνήο : Δπίλςζη Όπσο είδακε ζηελ παξάγξαθν ησλ δεδνκέλσλ έρνπκε ζπλνιηθό ρξόλν κνληεινπνίεζεο 9s θαη ρξνληθό βήκα ηεο κνληεινπνίεζεο 0.01s πνπ αλακέλεηαη λα καο δώζεη αξθεηά πηζηά θαη αθξηβή απνηειέζκαηα. Γεληθά δελ απαηηείηαη λα παξέκβνπκε ηδηαίηεξα ζηηο πξνθαζνξηζκέλεο ξπζκίζεηο ηνπ επηιπηή θαη κόλν απμάλνπκε ηηο κέγηζηεο επαλαιήςεηο ζε 20 από 10 γηα αζθάιεηα. Δηθόλα 3.36: Ρπζκίζεηο επηιπηή. 104

106 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ε όηη αθνξά ηελ απνζήθεπζε ησλ εμαγόκελσλ δεδνκέλσλ θαηαιαβαίλνπκε όηη λα πάξνπκε κόλν ην ηειεπηαίν ρξνληθό βήκα δελ ζα καο βνεζνύζε. Από ηελ άιιε πιεπξά ην λα πάξνπκε απνηειέζκαηα θαη από ηα 900 ρξνληθά βήκαηα απαηηεί κεγάιν απνζεθεπηηθό ρώξν. Έηζη επηιέγνπκε λα απνζεθεύνπκε ηα ελδηάκεζα απνηειέζκαηα αλά 0.1s, δειαδή αλά 10 ρξνληθά βήκαηα, ώζηε λα έρνπκε κηα θαιή ζπλέρεηα ησλ απνηειεζκάησλ. Παξαηεξνύκε εδώ όηη ν ρώξνο πνπ απαηηείηαη γηα ηελ απνζήθεπζε ησλ 90 ρξνληθώλ βεκάησλ πνπ απνθαζίζακε παξαπάλσ είλαη πεξίπνπ 38GB : Αποηελέζμαηα ηελ πεξίπησζε απηή ηα απνηειέζκαηα πνπ καο ελδηαθέξνπλ είλαη ην πεδίν ησλ ηαρπηήησλ ζε κηθξνζθαηξίδηα θαη ξεπζηό, ην πεδίν ηεο πίεζεο ζε κηθξνζθαηξίδηα θαη ξεπζηό θαη ε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζε δηάθνξεο αληηπξνζσπεπηηθέο ζηηγκέο ηεο κνληεινπνίεζεο. εκεηώλνπκε όηη ε πίεζε πνπ αλαθέξνπκε είλαη ζρεηηθή πίεζε. Αληηπξνζσπεπηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο ζην ζεκείν απηό ζα ζεσξήζνπκε ην ρξνληθό βήκα ζην 1.1s όπνπ κόιηο αξρίδεη από ηελ εξεκία ε αλαξξόθεζε, ην ρξνληθό βήκα ζηα 4.9s όπνπ κόιηο νινθιεξώλεηαη ε αλαξξόθεζε, ην ρξνληθό βήκα ζηα 5s όπνπ κόιηο αξρίδεη ε έγρπζε θαη ην ρξνληθό βήκα ζηα 9s όπνπ νινθιεξώλεηαη ε έγρπζε. ε απηέο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο ζα παξνπζηάζνπκε ηεο εηθόλεο πνπ εμάγνληαη από ηε κνληεινπνίεζε θαη ηα δηαγξάκκαηα πνπ καο ελδηαθέξνπλ. Ξεθηλάκε ινηπόλ ηελ επηζθόπεζε ησλ απνηειεζκάησλ από ην πξώην δεπηεξόιεπην. Γηα λα κπνξνύκε λα απνηππώζνπκε ην πεδίν ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο πίεζεο θαη δεδνκέλνπ όηη ην πξόβιεκα είλαη ζπκκεηξηθό, ζα παξνπζηάδνπκε ηα απνηειέζκαηα απηά ζην επίπεδν ΤΕ. Δπίζεο γηα ην πεδίν ηεο ηαρύηεηαο ζα εζηηάδνπκε ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο αθνύ νη ηαρύηεηεο ζηα όξηα ηνπ κνληέινπ είλαη πνιύ ρακειέο. Σν πεδίν ηεο ηαρύηεηαο ζα δίλεηαη ζαλ δηαλύζκαηα ελώ ην πεδίν ηεο πίεζεο από ζπλερέο γξάθεκα. Αλαθέξνπκε αθόκα όηη ην εύξνο πνπ βξίζθεηαη ζην πιάη ησλ εηθόλσλ αλαθέξεηαη ζηα κέγηζηα θαη ειάρηζηα νιόθιεξεο ηεο κνληεινπνίεζεο. Σα ηνπηθά απνηειέζκαηα γηα ηελ εθάζηνηε ρξνληθή ζηηγκή ζα εμάγνληαη από ηελ δηαβάζκηζε ησλ ρξσκάησλ. Δπίζεο πξέπεη λα ζεκεηώζνπκε όηη ηα δηαγξάκκαηα γίλνληαη όια κε βάζε ηα ζηνηρεία πάλσ ζηα κηθξνζθαηξίδηα. Έηζη δελ απνηεινύλ γξακκέο αιιά ζεκεία κε ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ε εθάζηνηε κεηαβιεηή γηα ην εθάζηνηε κηθξνζθαηξίδην. Σα απνηειέζκαηα ζε νπνηαδήπνηε κνξθή θαη αλ παξνπζηάδνληαη ζα ζρνιηάδνληαη θαηά πεξίπησζε πξηλ ή κεηά ηηο αληίζηνηρεο εηθόλεο θαη δηαγξάκκαηα. πγθεθξηκέλα γηα λα κπνξέζνπκε λα απνηππώζνπκε θαη ηελ νξηαθή ζπλζήθε ηεο πδξνζηαηηθήο πίεζεο πνπ έρνπκε ζέζεη, παξεκβάινπκε εδώ ην δηάγξακκα ηεο πίεζεο ζην ξεπζηό ηε ρξνληθή ζηηγκή 0s. Παξαηεξνύκε όηη ζην επίπεδν ηεο επηθάλεηαο ηνπ ξεπζηνύ έρνπκε κεδεληθέο ηηκέο, ελώ πάλσ από απηό έρνπκε ππνπίεζε θαη θάησ από απηό ππεξπίεζε. Ζ κέγηζηε πίεζε εκθαλίδεηαη ζηνλ πάην ηνπ πεγαδηνύ θαη είλαη πεξίπνπ 111Pa, ελώ ε κέγηζηε ππνπίεζε εκθαλίδεηαη ζην αλώηεξν ηκήκα ηεο ζύξηγγαο θαη είλαη πεξίπνπ 328Pa. Παξαηεξνύκε όηη νη ηηκέο απηέο είλαη όπσο αλακελόηαλ ελώ ζηε ζπλέρεηα ζα εμαθαληζηνύλ ηειείσο από ηα δηαγξάκκαηα, ππό ηελ επίδξαζε ηεο πίεζεο πνπ πξνθαιεί ην πεδίν ξνήο. 105

107 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.37: Πεδίν πδξνζηαηηθήο πίεζεο. 1.1s Πεδίν πίεζεο Αξρηθά παξνπζηάδνπκε ην πεδίν ηεο πίεζεο. Αλ θαη ηα ρξώκαηα δελ βνεζάλ ηδηαίηεξα θαίλεηαη πσο ππάξρεη κηθξή ππνπίεζε ζην ζώκα ηνπ ξεπζηνύ κέζα ζηε ζύξηγγα ελώ εθηόο ζύξηγγαο ε πίεζε είλαη ζρεδόλ παληνύ κεδεληθή. Δηθόλα 3.38: Πεδίν πίεζεο. 106

108 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Παξαηεξνύκε όηη ε πίεζε είλαη γεληθά ρακειή ζε όιν ην ξεπζηό, αλ θαη αξρίδεη λα παξνπζηάδεηαη ε ππνπίεζε πνπ ζα δεκηνπξγήζεη ηελ αλαξξόθεζε. ην δηάγξακκα ηηο πίεζεο αλάινγα κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζηνλ άμνλα Τ παξαηεξνύκε όηη γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα πνπ βξίζθνληαη θάησ από ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο, δειαδή θάησ από ηα m, ε πίεζε είλαη ζηαζεξή θαη ίζε κε ην κεδέλ. Από ηελ άιιε πιεπξά γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα πνπ βξίζθνληαη πάλσ από ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο, παξαηεξνύκε όηη ππόθεηληαη ζε κηα ππνπίεζε ηεο ηάμεο ησλ 12Pa. Γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα πνπ βξίζθνληαη πάλσ ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο παξαηεξνύκε όηη ππόθεηληαη ζε κηα δηαθύκαλζε πίεζεο από +3Pa κέρξη -13Pa. Απηή ε δηαθύκαλζε πηζαλώο νθείιεηαη ζην όηη εθεί ππάξρεη απόηνκε θαη ζρεδόλ απηόκαηε αιιαγή πίεζεο. ρήκα 3.7: Μεηαβνιή ηεο πίεζε κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Πεδίν ηαρύηεηαο Γηα ηελ ηαρύηεηα παξαηεξνύκε από ηελ εηθόλα θαη ην δηάγξακκα, όηη όπσο ήηαλ αλακελόκελν έρεη ηε κέγηζηε ηηκή ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. ηε ζέζε απηή εκθαλίδεηαη κέγηζηε ηαρύηεηα πεξίπνπ 80mm/s. Καζώο πξνρσξάκε πξνο ηα πάλσ ζηε ζύξηγγα ε ηαρύηεηα κεηώλεηαη πνιύ γξήγνξα, ελώ κέζα ζην πεγαδάθη αξθεηά κηθξνζθαηξίδηα έρνπλ αθόκα κεδεληθή ηαρύηεηα. 107

109 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.39: Πεδίν ηαρύηεηαο. ρήκα 3.8: Μεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 108

110 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Θέζε Δηθόλα 3.40: Θέζε κηθξνζθαηξηδίσλ. ρήκα 3.9: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ θαηά ύςνο. Από ηα παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όπσο αλακελόηαλ όηη πξηλ ηελ αλαξξόθεζε ηα κηθξνζθαηξίδηα είραλ ζπγθεληξσζεί ζηελ πεξηνρή εηζόδνπ ηνπο θαη κόιηο μεθηλά ε αλαξξόθεζε, έλα πνζνζηό ηνπο θηάλεη κέρξη θαη 4mm από ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. Παξαηεξνύκε εδώ επίζεο όηη από ηα ζθαηξίδηα πνπ ππάξρνπλ θαη ηα πνπ κνληεινπνηνύληαη πιήξσο, ζηελ εηθόλα 3.40 θαη ζηηο επόκελεο εηθόλεο, εκθαλίδνληαη αληηπξνζσπεπηηθά 50 κηθξνζθαηξίδηα θαηά κέγηζην. 109

111 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 4.9s ε απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή ε αλαξξόθεζε είλαη ζηελ πιήξε εμέιημή ηεο. Αλακέλνπκε ινηπόλ λα δνύκε παξαθάησ πηα ζα είλαη ε κέγηζηε ζέζε ζηελ νπνία ζα θηάζνπλ ηα κηθξνζθαηξίδηα θαη πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα πνπ ζα αλαπηπρζεί ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο θαηά ηελ αλαξξόθεζε. Πεδίν πίεζεο Σν πεδίν πίεζεο όπσο αλακελόηαλ δελ αιιάδεη ζρεδόλ θαζόινπ, όπσο δελ αιιάδεη θαη ην δηάγξακκα ηεο θαηαλνκήο ηεο πίεζεο ζηνλ άμνλα Τ. Παξ όηη είλαη ζρεδόλ ηαπηνηηθά κε ηα πξνεγνύκελα. παξαθάλσ βιέπνπκε ηηο εηθόλεο θαη ηα δηαγξάκκαηα πνπ δεκηνπξγνύληαη γηα απηό ην ρξνληθό βήκα. Δηθόλα 3.41: Πεδίν πίεζεο. 110

112 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.10: Μεηαβνιή ηεο πίεζε κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Πεδίν ηαρύηεηαο Δηθόλα 3.42: Πεδίν ηαρύηεηαο. 111

113 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.11: Μεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Παξαηεξνύκε όηη ηα δηαλύζκαηα ηεο ηαρύηεηαο δελ άιιαμαλ από ην πξνεγνύκελν ρξνληθό βήκα πνπ εμεηάζακε, αιιά ε ηαρύηεηα ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο έρεη απμεζεί θαη έρεη θηάζεη ηα 92mm/s. Ζ ηαρύηεηα απηή πνπ πξνθύπηεη από ηε κνληεινπνίεζε είλαη ινηπόλ κεγαιύηεξε από απηή πνπ ππνινγίζακε εκείο ζεσξεηηθά. Να ζεκεηώζνπκε όηη εκείο ζηνπο ζεσξεηηθνύο ππνινγηζκνύο καο ιάβακε ζηαζεξή παξνρή όγθνπ ζηε ζύξηγγα, ελώ ζην κνληέιν απηό ε ζπλζήθε πξνβιέπεη ζηαζεξή θαηά Τ ηαρύηεηα ξεπζηνύ ζηελ άλσ επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ. Δπηπιέσλ ε ηαρύηεηα πνπ εθαξκόδνπκε είλαη ε ζηξνγγπινπνηεκέλε ηαρύηεηα πνπ ππνινγίζακε ζεσξεηηθά. Θέζε ε απηό ην ρξνληθό βήκα ηα κηθξνζθαηξίδηα θηάλνπλ ζηελ αλώηεξε ζέζε ηνπο κέζα ζηε ζύξηγγα. Παξαηεξνύκε όηη ε ζέζε απηή βξίζθεηαη πεξίπνπ ζηα 28mm. Αλ αλαινγηζηνύκε όηη ην αλώηεξν ζεκείν ηνπ καγλήηε είλαη ζηα 21mm, ηόηε ρσξίο λα ππνινγίζνπκε ηελ καγλεηηθή δύλακε, ηα κηθξνζθαηξίδηα ηνλ μεπεξλάλε θαηά 7mm. Ζ απόζηαζε απηή είλαη κεγάιε γηα ηα κεγέζε ηνπ πξνβιήκαηνο πνπ εμεηάδνπκε, νπόηε ζεσξνύκε όηη βάζε ηεο ξνήο ηα κηθξνζθαηξίδηα δηαζρίζνπλ όιε ηελ πεξηνρή δξάζεο ηνπ καγλήηε θαη επνκέλσο ε ζπγθξάηεζή ηνπο είλαη απόιπηα εθηθηή. Δπίζεο παξαηεξνύκε όηη ελώ ζηελ αξρή ηεο αλαξξόθεζεο ηα κηθξνζθαηξίδηα ήηαλ αξαηά θαηαλεκεκέλα ζε κηα πεξηνρή θαη εηζέξρνληαλ ζηαδηαθά ζηε ζύξηγγα, ζε απηό ην ρξνληθό βήκα θαίλεηαη λα θηλνύληαη όια ζπγθεληξσκέλα. Απηό είλαη πηζαλό λα νθείιεηαη ζην όηη δελ δηαζθνξπίζηεθαλ από ηελ αξρή αξθεηά ζην πεγαδάθη. ηε ζπλέρεηα βιέπνπκε ην εηθνληθό απνηέιεζκα ηεο κνληεινπνίεζεο θαη ην δηάγξακκα ζέζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 112

114 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.43: Θέζε κηθξνζθαηξηδίσλ. ρήκα 3.12: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ θαηά ύςνο. 113

115 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 5s ε απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή κόιηο μεθηλά ε έγρπζε. Ζ πίεζε εθαξκόδεηαη κεγαιύηεξε από όηη απαηηείηαη ζηε κόληκε θαηάζηαζε νύησο ώζηε λα αλαζηξέςεη ηελ θαηάζηαζε θαη λα επηηαρύλεη όιν ηνλ όγθνπ ηνπ ξεπζηνύ. Απηή ηε θνξά ηα ρξώκαηα καο βνεζνύλ λα δνύκε θαζαξόηεξα ηε δηαβάζκηζή ηεο. Ζ ηαρύηεηα επίζεο αιιάδεη θαηεύζπλζε θαη ε ηηκή ηεο κεηώλεηαη, ελώ γηα ηελ ζέζε κπνξνύκε λα δνύκε όηη δελ αιιάδεη, αιιά παξνπζηάδεηαη κηα ιίγν κεγαιύηεξε δηάρπζε ζηνλ όγθν ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Πεδίν πίεζεο Γηα ην πεδίν ηεο πίεζεο έρνπκε ξαγδαία αιιαγή. Οη ηηκέο είλαη πιένλ παληνύ ζεηηθέο κε ηε κέγηζηε πίεζε λα εκθαλίδεηαη ζηελ άλσ δηαηνκή θαη λα κεηώλεηαη ζηαδηαθά πξνο ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. Δδώ πιένλ δελ εκθαλίδεηαη θάπνηα δηαθύκαλζε θαη ε πίεζε ζε νιόθιεξν ην πεγαδάθη είλαη ζρεδόλ εληαία θαη κεδεληθή. Παξαηεξνύκε επίζεο όηη ε ηηκή ηεο κέγηζηεο πίεζεο πνπ εκθαλίδεηαη είλαη πεξίπνπ 125Pa ηηκή πνπ είλαη αξθεηά κεγάιε ζε ζρέζε κε ηηο απόιπηεο ηηκέο ηεο ππνπίεζεο. Δηθόλα 3.44: Πεδίν πίεζεο. 114

116 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.13: Μεηαβνιή ηεο πίεζεο κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Πεδίν ηαρύηεηαο Δηθόλα 3.45: Πεδίν ηαρύηεηαο. 115

117 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.14: Μεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Γηα ηελ ηαρύηεηα παξαηεξνύκε όηη αιιάδεη ε θνξά θίλεζεο αιιά ιόγσ ηεο αδξάλεηαο ηνπ ξεπζηνύ θπκαίλεηαη αθόκα ζε πνιύ ρακειέο ηηκέο. Έρεη ηε κέγηζηε ηηκή ηεο θαη πάιη ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο θαη είλαη πεξίπνπ 60mm/s. Δπίζεο παξαηεξνύκε όηη εκθαλίδεηαη κηα κηθξή ηαρύηεηα θαη ζηα ζθαηξίδηα πνπ βξίζθνληαη ζην αλώηαην ζεκείν ηεο δηαδξνκήο. Θέζε Δηθόλα 3.46: Θέζε κηθξνζθαηξηδίσλ. 116

118 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.15: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ θαηά ύςνο. Γηα ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ δελ έρνπκε λα παξαηεξήζνπκε θάηη πέξα από ην γεγνλόο όηη είλαη πεξίπνπ ε ίδηα κε ην πξνεγνύκελν ρξνληθό βήκα πνπ εμεηάζακε. Απηό καο δίλεη κηα έλδεημε ηεο ζηηγκηαίαο ζηάζεο πνπ θάλνπλ ηα κηθξνζθαηξίδηα ζην αλώηαην ζεκείν ηεο δηαδξνκήο ηνπο πξηλ μαλαξρίζνπλ λα θαηεβαίλνπλ. 9s Απηό είλαη ην ηειεπηαίν ρξνληθό βήκα ηεο κνληεινπνίεζεο θαη ην βήκα ζην νπνίν έρεη αλαπηπρζεί πιένλ πιήξσο ην πεδίν ηαρύηεηαο ηεο έγρπζεο. Μεηά από απηό ην βήκα ππνζέηνπκε όηη είηε εξεκεί ην ξεπζηό, είηε μαλαξρίδεη έλαο θύθινο αλαξξόθεζεο θαη έγρπζεο, αλάινγα κε ηε δηαδηθαζία ηελ νπνία εθαξκόδνπκε ζην δείγκα. Γηα ηελ πίεζε παξαηεξνύκε όηη έρεη κηα ζρεδόλ εληαία ηηκή ζε όιν ην εύξνο ηνπ ξεπζηνύ, ε ηαρύηεηα παξαηεξνύκε όηη έρεη απμήζεη ηελ ηηκή ηεο θαη γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα παξαηεξνύκε όηη ζρεδόλ έρνπλ εμέιζεη εληειώο από ηε ζύξηγγα. Πεδίν πίεζεο Δθόζνλ έρεη ππεξληθεζεί πιένλ ε αδξάλεηα ηνπ ξεπζηνύ, ζε απηό ην ρξνληθό βήκα ε πίεζε εκθαλίδεηαη ζρεδόλ παληνύ εληαία. Ζ ηηκή ηεο πίεζεο κέζα ζηε ζύξηγγα είλαη ζεηηθή κε ηηκή κόιηο 11Pa, ελώ έμσ από ηε ζύξηγγα πέθηεη ηαρύηαηα ζηελ ηηκή πνπ έρνπκε νξίζεη γηα ηελ αλνηρηή επηθάλεηα θαη είλαη ηα 0Pa. 117

119 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.47: Πεδίν πίεζεο. ρήκα 3.16: Μεηαβνιή ηεο πίεζεο κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 118

120 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πεδίν ηαρύηεηαο Δηθόλα 3.48: Πεδίν ηαρύηεηαο. ρήκα 3.17: Μεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο κε ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 119

121 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ην ηειεπηαίν απηό ρξνληθό βήκα παξαηεξνύκε πιένλ όηη ην πεδίν ηεο ηαρύηεηαο έρεη αλαπηπρζεί πιήξσο. Παξαηεξνύκε επίζεο όηη θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα γηα ηελ έγρπζε εκθαλίδεηαη ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο θαη παίξλεη ηελ ηηκή 85mm/s. Δπνκέλσο ε κέγηζηε ηηκή ηεο ηαρύηεηαο ζηελ έγρπζε είλαη κηθξόηεξε από ηε κέγηζηε ηηκή ηεο ηαρύηεηαο ζηελ αλαξξόθεζε. Απηό δηθαηνινγείηαη απόιπηα από ην γεγνλόο όηη ε ξνή ζε ζπγθιίλνλ αθξνθύζην έρεη κεγαιύηεξε αληίζηαζε από ηε ξνή ζε απνθιίλνλ αθξνθύζην. Θέζε Γηα ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ παξαηεξνύκε όηη ζην ηέινο ηεο έγρπζεο ηα πεξηζζόηεξα έρνπλ βγεη από ηε ζύξηγγα θαη ζπζζσξεύνληαη θνληά ζηνλ πάην ηνπ πεγαδηνύ. Κάπνηα κηθξνζθαηξίδηα πνπ κέλνπλ αθόκα κέζα ζηε ζύξηγγα βξίζθνληαη ζε ύςνο πεξίπνπ 5mm, δειαδή 3.5mm από ην άλνηγκα ηεο ζύξηγγαο. Δηθόλα 3.49: Θέζε κηθξνζθαηξηδίσλ. 120

122 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.18: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ θαηά ύςνο. ην κνληέιν απηό εθαξκόζακε ηε κέζνδν ηεο ηρλειάηεζεο ησλ ζσκαηηδίσλ (particle tracking), όπνπ αθνινπζνύκε ηελ πνξεία ησλ ζσκαηηδίσλ ιύλνληαο ηηο εμηζώζεηο Lagrange. Σν βαζηθό πιενλέθηεκα ηεο κεζόδνπ απηήο είλαη όηη κπνξνύκε λα γλσξίδνπκε αλά πάζα ρξνληθή ζηηγκή ηε ζέζε θαζελόο από ηα κηθξνζθαηξίδηα μερσξηζηά. Από ηελ άιιε πιεπξά ην κεηνλέθηεκα ηεο είλαη όηη απαηηεί πνιύ κεγαιύηεξν απνζεθεπηηθό ρώξν, ππνινγηζηηθή ηζρύ θαη ρξόλν επίιπζεο. πγθεθξηκέλα γηα ην απιό κνληέιν πνπ παξνπζηάζακε παξαπάλσ, ρξεηάζηεθαλ 8 ώξεο θαη απνζεθεπηηθόο ρώξνο πεξίπνπ 40GB γηα λα ιπζεί ην κνληέιν ζε έλαλ ππνινγηζηή κε επεμεξγαζηή intel core i3 2.93GHz, κλήκε Ram 2GB θαη ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα 32bit. Έλα άιιν κεηνλέθηεκα είλαη όηη δελ επηηξέπεηαη λα εηζάγνπκε δεύηεξε ζπλερή θάζε ζην πεδίν ηνπ ξεπζηνύ θαη απηό έρεη ζαλ απνηέιεζκα λα κελ κπνξνύκε λα κνληεινπνηήζνπκε ηελ ειεύζεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ. Γηα ηελ ειεύζεξε επηθάλεηα γεληθά δελ κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη δηαηεξείηαη ακεηάβιεηε θαη κε κεδεληθή ηαρύηεηα ζηελ επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ αθνύ θαηά ηελ αλαξξόθεζε αθαηξνύληαη 40κl από ηα ζπλνιηθά 90κl πνπ απνηεινύλ ηνλ όγθν ηνπ δείγκαηνο. Γηα ην ιόγν απηό θαη γηα λα έρνπκε κηα πην πιήξε πξνζέγγηζε πάλσ ζηελ επίδξαζε ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο ζηελ θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαηαζηξώλνπκε θαη έλα δεύηεξν κνληέιν όπνπ ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ κνληεινπνηνύληαη πιένλ κε ρξήζε εμηζώζεσλ Lagrange, αιιά κε ρξήζε εμηζώζεσλ Euler θαη ιακβάλεηαη ππόςε θαη ε ειεύζεξε επηθάλεηα ζην πεγαδάθη. 121

123 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 3.4: 3 ο Μονηέλο Ρεςζηομησανικό Ππόβλημα ε απηό ην κνληέιν ζα πξνρσξήζνπκε ζηε κνληεινπνίεζε ηεο θίλεζεο ησλ ζσκαηηδίσλ, όρη ζαλ μερσξηζηά θαη απηόλνκα ζσκαηίδηα, αιιά ζαλ κηα δηαθξηηή θάζε κέζα ζην ζπλερέο ξεπζηό. Αθόκα ζα εηζάγνπκε επίζεο ζην κνληέιν θαη ηελ πξνζνκνίσζε ειεύζεξεο επηθάλεηαο, νπόηε ζα κπνξέζνπκε λα παξαηεξήζνπκε ηνπο θπκαηηζκνύο πνπ δεκηνπξγνύληαη ζηελ επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ. Όπσο θαη ζην πξνεγνύκελν κνληέιν εηζάγνπκε αξρηθά ηε γεσκεηξία από ην αξρείν ηνπ Solidworks θαη ζηε ζπλέρεηα ιύλνπκε ην πξόβιεκα απηό ζηελ πιαηθόξκα ηνπ Ansys CFX. Σν πεξηβάιινλ ηνπ Workbench γηα ην CFX έρεη ηελ παξαθάησ κνξθή: 3.4.1: Πλέγμα Δηθόλα 3.50: CFX ζην Workbench. ηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε ηηο ίδηεο ξπζκίζεηο γηα ην πιέγκα κε ην πξνεγνύκελν κνληέιν θαη γηα ην ιόγν απηό δελ ζα ην εμεηάζνπκε αλαιπηηθά αιιά ζα εζηηάζνπκε ζηηο δηαθνξέο πνπ ηπρόλ δεκηνπξγνύληαη. Αξρηθά ινηπόλ αλνίγνπκε ην πεξηβάιινλ Mesh γηα λα πξαγκαηνπνηήζνπκε ηελ θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Δπεηδή θαη ζην κνληέιν απηό δελ ζα καο ρξεηαζηεί ζε θάηη ε παξνπζία ηνπ καγλήηε, επηιέγνπκε ην γεσκεηξηθό ζηνηρείν πνπ ηνλ αληηπξνζσπεύεη θαη επηιέγνπκε ηελ παύζε ηνπ, όπσο θάλακε θαη ζην 2 ν κνληέιν. Παξαηεξνύκε όηη ην πξόγξακκα έρεη εληνπίζεη απηόκαηα ηηο επηθάλεηεο επαθήο (contacts) θαη επνκέλσο πξνρσξάκε ζηελ θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο. Σα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη είλαη ηεηξαεδξηθά θαη έρεη ηεζεί σο physics preference: CFD θαη σο solver preference: CFX. Όπσο θαη ζηελ πξνεγνύκελε πεξίπησζε επηιέμακε κέηξηαο πνηόηεηαο πιέγκα, ην νπνίν ήηαλ θαη αξθεηά ηθαλνπνηεηηθό γηα ηελ πξνζεγγηζηηθή κνληεινπνίεζε πνπ πξαγκαηνπνηνύκε. Παξ όηη νη ξπζκίζεηο είλαη νη ίδηεο κε ην πξνεγνύκελν κνληέιν παξαηεξνύκε όηη δελ ιακβάλνπκε 100% ηα ίδηα απνηειέζκαηα αιιά εκθαλίδεηαη δηαθνξνπνίεζε ζηνλ αξηζκό ησλ θόκβσλ θαη πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ δεκηνπξγνύληαη. Απηό πηζαλώο ζπκβαίλεη γηαηί θαηά ηε δηαθξηηνπνίεζε θάπνηα κε εκθαλήο παξάκεηξνο έρεη κεηαβιεζεί. ε θάζε πεξίπησζε ε δηαθνξνπνίεζε είλαη ηόζν κηθξή πνπ δελ κπνξεί λα εληνπηζηεί νπηηθά ζην πιέγκα. Δπίζεο ε δηαθνξνπνίεζε απηή ζα ζεσξεζεί ακειεηέα θαη ζηε ζπλέρεηα ζα αληηκεησπίδνπκε απηό θαη ην πξνεγνύκελν κνληέιν ζαλ ηζνδύλακεο αθξίβεηα θαηά ηελ αηηηνιόγεζε ησλ απνηειεζκάησλ. Με ηα ίδηα ραξαθηεξηζηηθά ινηπόλ πνπ αλαθέξνληαη θαη ζην 2 ν κνληέιν ιάβακε ην παξαθάησ πιέγκα. 122

124 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.51: Πιέγκα πξνβιήκαηνο. Αθνινπζνύλ κεξηθά ζηαηηζηηθά ζηνηρεία ηνπ πιέγκαηνο πνπ αθνξνύλ ηνλ αξηζκό ησλ θόκβσλ θαη ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ αλά γεσκεηξία. Πίλαθαο 3.13: ηαηηζηηθά πιέγκαηνο. Απιθμόρ Κόμβυν Απιθμόρ ηοισείυν ύπιγγα Πηγαδάκι Τγπό ςνολική γευμεηπία Μάιηζηα ζπγθξίλνληαο ηνλ πίλαθα 3.13 κε ην πίλαθα 3.12 κπνξνύκε λα παξαηεξήζνπκε πνπ αθξηβώο βξίζθεηαη ε δηαθνξά ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Παξαηεξνύκε ινηπόλ όηη ζην ζύλνιν ην κνληέιν 3 έρεη 1893 θόκβνπο ιηγόηεξνπο από ην κνληέιν 2, ελώ έρεη 3871 πεξηζζόηεξα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία. πγθεθξηκέλα γηα θάζε γεσκεηξία, ην κνληέιν 3 έρεη 788 ιηγόηεξνπο θόκβνπο θαη 1739 πεξηζζόηεξα ζηνηρεία ζηε ζύξηγγα. Δπίζεο έρεη 860 θόκβνπο ιηγόηεξνπο θαη 579 ζηνηρεί ιηγόηεξα ζην πεγαδάθη. Αθόκα έρεη 245 θόκβνπο ιηγόηεξνπο θαη 2711 ζηνηρεία πεξηζζόηεξα ζην πεγαδάθη. 123

125 3.4.2: Γεδομένα Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Αθνύ νινθιεξώζακε ηελ θαηαζθεπή ηνπ πιέγκαηνο πξνρσξάκε ζην νξηζκό ησλ νξηαθώλ ζπλζεθώλ θαη ηελ θαηαζθεπή ηνπ κνληέινπ ζην πεξηβάιινλ ηνπ Setup ηνπ Workbench. Αξρηθά ζέηνπκε ην πξόβιεκα σο κεηαβαηηθό (transient) κε ζπλνιηθό ρξόλν κνληεινπνίεζεο ηα 9 δεπηεξόιεπηα, βήκα ηεο κνληεινπνίεζεο 0.01s θαη ρξόλν εθθίλεζεο ηα 0s αθξηβώο όπσο ζην κνληέιν 2. Ο ιόγνο πνπ βάδνπκε 9s ζπλνιηθό ρξόλν είλαη γηαηί ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην πξώην 1s γηα λα επέιζεη ην ζύζηεκα ζε εξεκία από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. ηελ πεξίπησζε απηή ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ εηζέξρνληαη ζην ζύζηεκα αιιά ππάξρνπλ ζαλ κηα αθόκα θάζε. Παξ όια απηά ν ρξόλνο πνπ αθήλνπκε αξρηθά γηα λα επέιζεη ην ζύζηεκα ζε εξεκία είλαη ζεκαληηθόο γηα ηε ζσζηόηεξε πξνζέγγηζε ησλ απνηειεζκάησλ. ηε ζπλέρεηα ζα ζέζνπκε ηα επόκελα 4s γηα ηελ αλαξξόθεζε ξεπζηνύ θαη κηθξνζθαηξηδίσλ θαη ηα ηειεπηαία 4s γηα ηελ έγρπζε ξεπζηνύ θαη κηθξνζθαηξηδίσλ. ηε ζπλέρεηα εξεπλνύκε αλ ππάξρνπλ ηα πιηθά πνπ απαηηνύληαη γηα ηε κνληεινπνίεζε. Σν πξώην πιηθό πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε είλαη ην λεξό θαη ππάξρεη ήδε ζηηο βηβιηνζήθεο ηνπ πξνγξάκκαηνο. Σν δεύηεξν πιηθό πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε είλαη ν αέξαο ζηνπο 25⁰C πνπ επίζεο ππάξρεη ζηηο βηβιηνζήθεο. Αθόκα ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην πνιπζηπξέλην ζαλ πιηθό γηα ηε ζύξηγγα θαη ην πεγαδάθη, όπσο δίλεηαη ζηε βηβιηνζήθε ηνπ πξνγξάκκαηνο. Απηή ηε θνξά όκσο ζα πξέπεη λα θαηαζθεπάζνπκε εκείο ην πιηθό πνπ ζα κνληεινπνηεί ηα κηθξνζθαηξίδηα θαη γηα ην ιόγν απηό εηζάγνπκε έλα λέν πιηθό κε ηελ νλνκαζία particles. Δηθόλα 3.52: Δηζαγσγή πιηθνύ. ην πιηθό απηό δελ εηζάγνπκε ζεξκνδπλακηθή θαηάζηαζε ζηεξεό αθνύ θαη ζηε ζπλέρεηα ζα ην ζέζνπκε ζαλ πιηθό δηαζθνξπηζκέλσλ ζηεξεώλ ζσκαηηδίσλ (dispersed solid). ηηο ιεπηνκέξεηεο ηνπ πιηθνύ ζπκπιεξώλνπκε ηε κνξηαθή κάδα γηα ην ζηπξέλην πνπ είλαη gr/mol, ηελ ππθλόηεηα ησλ ζσκαηηδίσλ πνπ ηελ είδακε ζηελ παξάγξαθν θαη είλαη kg/m 3 θαη ην δπλακηθό ημώδεο, κε ηελ ηηκή πνπ δίλεηαη γεληθά γηα πιαζηηθά, 1000Pas. 124

126 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.53: Ηδηόηεηεο ηνπ πιηθνύ πνπ εηζάγνπκε. ηε θάζε απηή ζα πξέπεη λα εηζάγνπκε θαη ηηο ζπλαξηήζεηο απηέο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ ζηε ζπλέρεηα ζηε κνληεινπνίεζε. Οη ζπλαξηήζεηο πνπ θαηαζθεπάζακε ζηελ πεξίπησζε απηή είλαη: HydroP = 997[kg m^-3] * g * (0.011[m]-y) * inside()@liquid Απηή είλαη ε ζπλάξηεζε ηεο πδξνζηαηηθήο πίεζεο κέζα ζην ξεπζηό πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί σο αξρηθή ζπλζήθε πίεζεο. ParticleVF= if(y<0.011[m], * inside()@region:b161,0) Απηή ε ζπλάξηεζε θαζνξίδεη ην πνζνζηό ηνπ όγθνπ (volume fraction) ηνπ πεδίνπ πνπ ζα θαηαιακβάλνπλ ηα κηθξνζθαηξίδηα. Όπσο είδακε ζηελ παξάγξαθν ην πνζνζηό απηό είλαη πεξίπνπ ην 10-4 ηνπ ζπλνιηθνύ όγθνπ. ηελ πεξίπησζε απηή γηα λα πεξηνξίζνπκε ηελ ύπαξμε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζηελ πεξηνρή ηνπ πεγαδηνύ, ζέηνπκε όηη απηά ππάξρνπλ κόλν θάησ από ηελ αλώηεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ, πνπ είλαη ζηα 11mm. watervf = (1-ParticleVF) * inside()@region:b161 Αληίζηνηρα απηή ε ζπλάξηεζε θαζνξίδεη ην πνζνζηό ηνπ όγθνπ ηνπ πεδίνπ πνπ θαηαιακβάλεη αξρηθά ην λεξό. Πξνθαλώο ε θάζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη ηνπ λεξνύ είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο κόλν κέζα ζην ξεπζηό, ελώ νπνπδήπνηε αιινύ έρνπκε αέξα. Inlet = if(t<1[s], 0[mm s^-1], if(t<5[s], 0.551[mm s^-1], [mm s^-1])) Ζ ζπλάξηεζε απηή είλαη ε ζπλάξηεζε πνπ πξνζνκνηώλεη ηελ αλαξξόθεζε θαη ηελ έγρπζε ηνπ ξεπζηνύ. Παξαηεξνύκε όηη ην πξώην 1s δελ εθαξκόδεηαη ηαρύηεηα, όπσο είπακε παξαπάλσ θαη επίζεο παξαηεξνύκε όηη ε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα Τ είλαη πξνο ηα πάλσ. 125

127 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Παξαηεξνύκε ζην ζεκείν απηό όηη γηα λα δηαρσξίζνπκε κε θάπνην ηξόπν ην ξεπζηό ζηε ζύξηγγα από απηό ζην πεγαδάθη, απνθαζίδνπκε όηη ζα ζέζνπκε ηε θάζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζην ξεπζηό γηα y<11mm. Απηό ζεκαίλεη όηη ζεσξνύκε όηη αξρηθά βξίζθνληαη κηθξνζθαηξίδηα ζην πεγαδάθη θαη ζην ξεπζηό ζηε ζύξηγγα, κέρξη ην ύςνο ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο ηνπ ξεπζηνύ. Έρνληαο νξίζεη ηα πιηθά θαη ηηο ζπλαξηήζεηο είκαζηε πιένλ έηνηκνη λα νξίζνπκε ην ίδην ην κνληέιν. Γηα ηνλ νξηζκό ηνπ κνληέινπ θαηαζθεπάδνπκε ηα δηάθνξα πεδία (domains) πνπ απνηεινύλ ηελ θαηαζθεπή καο. Σα πεδία απηά ζηελ πεξίπησζή καο είλαη ην πεγαδάθη θαη ε ζύξηγγα πνπ είλαη ζηεξεά ζώκαηα θαη ην πγξό πνπ είλαη πεδίν ξεπζηνύ. ύξηγγα Σν πεδίν πνπ θαηαζθεπάδνπκε γηα ηε ζύξηγγα νλνκάδεηαη pipette. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πεδίνπ απηνύ αξρηθά επηιέγνπκε ηε γεσκεηξία πνπ ηνπ αληηζηνηρεί (Β97). ηε ζπλέρεηα ζέηνπκε όηη είλαη πεδίν ζηεξενύ ζώκαηνο θαη ζαλ πιηθό ην πνιπζηπξέλην. ηε κνξθνινγία ηνπ πεδίνπ ζέηνπκε «ζπλερέο ζηεξεό» θαη δελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. Γηα ηηο ππόινηπεο ξπζκίζεηο ηνπ πεδίνπ απιώο ζέηνπκε όηη δελ πξαγκαηνπνηείηαη κεηαθνξά ζεξκόηεηαο, νύηε ππάξρεη ζεξκόηεηα δηα αθηηλνβνιίαο. Πεγαδάθη Σν πεδίν πνπ θαηαζθεπάδνπκε γηα ην πεγαδάθη νλνκάδεηαη well. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πεδίνπ απηνύ αξρηθά επηιέγνπκε ηε γεσκεηξία πνπ ηνπ αληηζηνηρεί (Β37). ηε ζπλέρεηα ζέηνπκε όηη είλαη πεδίν ζηεξενύ ζώκαηνο θαη ζαλ πιηθό ην πνιπζηπξέλην. ηε κνξθνινγία ηνπ πεδίνπ ζέηνπκε «ζπλερέο ζηεξεό» θαη δελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. Γηα ηηο ππόινηπεο ξπζκίζεηο ηνπ πεδίνπ απιώο ζέηνπκε όηη δελ πξαγκαηνπνηείηαη κεηαθνξά ζεξκόηεηαο, νύηε ππάξρεη ζεξκόηεηα δηα αθηηλνβνιίαο, αθξηβώο όπσο θαη γηα ηε ζύξηγγα. Ρεπζηό Σν πεδίν πνπ θαηαζθεπάδνπκε γηα ην ξεπζηό νλνκάδεηαη liquid. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πεδίνπ απηνύ αξρηθά επηιέγνπκε ηε γεσκεηξία πνπ ηνπ αληηζηνηρεί (Β161). ηε ζπλέρεηα ζέηνπκε όηη είλαη πεδίν ξεπζηνύ. Οξίδνπκε γηα ην πεδίν απηό ηξηο θάζεηο, ηνλ αέξα, ην λεξό θαη ηε θάζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Σα κηθξνζθαηξίδηα κνληεινπνηνύληαη ζε κηα θάζε πνπ ιέγεηαη Particles. Οξίδνπκε ζαλ πιηθό ηνπο ην πιηθό πνπ θαηαζθεπάζακε θαη ιέγεηαη επίζεο Particles θαη ζαλ κνξθνινγία ην δηαζθνξπηζκέλν ζηεξεό (dispersed solid). Οξίδνπκε όηη ηα κηθξνζθαηξίδηα έρνπλ κέζε δηάκεηξν 6.5κm. Αθόκα νξίδνπκε ζαλ πίεζε αλαθνξάο γηα ην πεδίν απηό ηε κία αηκόζθαηξα θαη κε εθθίλεζε απηή ηελ πίεζε ζα ππνινγίδεηαη ε ζρεηηθή πίεζε ζην πεδίν. Δπίζεο νξίδνπκε Buoyant κνληέιν (βι ) κε θαηεύζπλζε ηεο επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο θαηά ηνλ άμνλα Τ θαη ππθλόηεηα αλαθνξάο, ηελ ππθλόηεηα ηνπ αέξα 1.185kg/m 3 αθνύ ζηελ πεξίπησζε απηή ν αέξαο είλαη ε πην αξαηή θάζε. Γελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. 126

128 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.54: Βαζηθέο ξπζκίζεηο πεδίνπ. ηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε δεύηεξε θάζε κε ηελ νλνκαζία Water θαη νξίδνπκε ζαλ πιηθό ην λεξό. Γηα ηε θάζε απηή νξίδνπκε κνξθνινγία ζπλερέο ξεπζηό (continuous fluid) θαη θξαηάκε όιεο ηηο άιιεο ξπζκίζεηο, ζπκπεξηιακβαλνκέλνπ ηνπ Buoyant κνληέινπ, ίδηεο. Γελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. Αθόκα νξίδνπκε κηα ηξίηε θάζε κε ηελ νλνκαζία Air θαη νξίδνπκε ζαλ πιηθό ηνλ αέξα. Γηα ηε θάζε απηή επίζεο νξίδνπκε κνξθνινγία ζπλερέο ξεπζηό (continuous fluid) θαη θξαηάκε όιεο ηηο άιιεο ξπζκίζεηο, ζπκπεξηιακβαλνκέλνπ ηνπ Buoyant κνληέινπ, ίδηεο. Γελ νξίδνπκε θακία θίλεζε ή παξακόξθσζε ηνπ πιέγκαηνο. ηελ θαξηέια ηνπ κνληέινπ ξνήο (Fluid Models) νξίδνπκε όηη ην κνληέιν είλαη νκνγελέο θαη ζην κνληέιν ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο εθαξκόδνπκε ηε ξύζκηζε Standard. Γελ έρνπκε θακία κεηαθνξά ζεξκόηεηαο, ε ηύξβε ππνινγίδεηαη από ην κνληέιν ηνπ k-έςηινλ θαη ε ζπλάξηεζή ηεο ζηα ηνηρώκαηα είλαη βαζκσηή. Γελ εηζάγνπκε κνληέια ηύξβεο ιόγσ άλσζεο, νύηε κνληέια θαύζεο, νύηε αθηηλνβνιία ζεξκόηεηαο, νύηε θαη ειεθηξνκαγλεηηθά κνληέια ζηε θάζε απηή. Δηθόλα 3.55: Μνληέιν ξεπζηνύ. 127

129 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ηελ θαξηέια ησλ ζπγθεθξηκέλσλ κνληέισλ ηεο ξνήο (Fluid Specific Models) νξίδνπκε κόλν ην κνληέιν Buoyancy κε δηαθνξά ππθλόηεηαο. Γελ ζεσξνύκε νύηε κνληέια δηάβξσζεο ιόγσ ησλ ζσκαηηδίσλ, ελώ δελ ιακβάλνπκε ππόςε ηξαρύηεηα ζηα ηνηρώκαηα ηεο ζύξηγγαο. Σν επόκελν ζηνηρείν πνπ πξέπεη λα νξίζνπκε είλαη ην κνληέιν ζύδεπμεο κεηαμύ ησλ δηαθόξσλ θάζεσλ ηεο ξνήο. Γηα ζρέζε κεηαμύ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη γηα ηε ζρέζε κεηαμύ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη λεξνύ θάλνπκε ηηο ίδηεο αθξηβώο ξπζκίζεηο. Γελ ζεσξνύκε θακία πίεζε επηθάλεηαο αθνύ ηα ζσκαηίδηα είλαη ζπλερώο βπζηζκέλα κέζα ζην ξεπζηό θαη ην κνληέιν απηό ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ειεύζεξσλ επηθαλεηώλ. Δπίζεο γηα ηε κεηαθνξά ζηε δηεπηθάλεηα (interface transfer) νξίδνπκε κνληέιν ζσκαηηδίσλ (particle model) θαη δελ ζεσξνύκε θακία κεηαθνξά κάδαο. Γηα ηε ζρέζε κεηαμύ αέξα θαη λεξνύ θάλνπκε εδώ όιεο ηηο ξπζκίζεηο πνπ απαηηνύληαη γηα ηε κνληεινπνίεζε ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο. Οξίδνπκε ην ζπληειεζηή ηάζεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο ζηα 0.072N/m, όπσο δίλεηαη γηα ηε δηεπηθάλεηα κεηαμύ λεξνύ θαη αέξα ζηνπο 25⁰C. [3.7] ηε ζπλέρεηα νξίδνπκε ζπλερή δύλακε επηθάλεηαο κε πξσηεύνλ ξεπζηό ην λεξό. Γελ νξίδνπκε θάπνηα άιιε παξάκεηξν επηπξόζζεηεο εμνκάιπλζεο θαη νξίδνπκε ζαλ κεηαθνξά ζηε δηεπηθάλεηα ην κνληέιν ειεύζεξεο επηθάλεηαο. Γελ ζεσξνύκε θακία κεηαθνξά κάδαο κεηαμύ ησλ δύν θάζεσλ. Δηθόλα 3.56: Μνληέιν ειεύζεξεο επηθάλεηαο. Αθνύ έρνπκε νινθιεξώζεη ηε δηαδηθαζία δεκηνπξγίαο ηνπ κνληέινπ ειεύζεξεο επηθάλεηαο πξνρσξάκε θαη αξρηθνπνηνύκε ηηο κεηαβιεηέο ηνπ πεδίν απηνύ. Θέηνπκε παληνύ κεδεληθή ηαρύηεηα θαη ηελ ζρεηηθή πίεζε ίζε κε ηελ πδξνζηαηηθή πίεζε ηνπ ξεπζηνύ, από ηελ ζπλάξηεζε HydroP πνπ είδακε παξαπάλσ. Θεσξνύκε όηη ζα έρνπκε κέζν επίπεδν ηύξβεο ζην πεδίν απηό. Δπίζεο ζηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε πνιιαπιέο θάζεηο ξεπζηώλ πξέπεη λα ζέζνπκε θαη ηηο ηηκέο ηνπ θιάζκαηνο ηνπ όγθνπ ηνπ πεδίνπ πνπ απνηειεί αξρηθά ε θάζε θάζε. Γηα ηνλ ζθνπό απηό ρξεζηκνπνηνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο ParticleVF θαη watervf πνπ νξίζακε παξαπάλσ. Σν ζπλνιηθό άζξνηζκα ησλ πνζνζηώλ όγθνπ ησλ δηαθόξσλ ξεπζηώλ πξέπεη λα είλαη πάληα κνλάδα. 128

130 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.57: Αξρηθνπνίεζε κεηαβιεηώλ πεδίνπ. Έρνληαο νξίζεη όια ηα ζηνηρεία γηα ην πεδίν απηό, κέλεη λα νξίζνπκε ηηο νξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ πξώηε νξηαθή ζπλζήθε νλνκάδεηαη in θαη νξίδεηαη ζην πεδίν liquid θαη ζηελ άλσ επηθάλεηά ηνπ. ηε ζπλζήθε απηή ζέηνπκε ηελ ηηκή ηεο ηαρύηεηαο θαηά Τ ζύκθσλα κε ηε ζπλάξηεζε inlet, κε ζθνπό λα πξαγκαηνπνηήζνπκε ηελ αλαξξόθεζε θαη ζηε ζπλέρεηα ηελ έγρπζε ηνπ ξεπζηνύ. Δπίζεο ζέηνπκε ζηηο ηηκέο ησλ θάζεσλ. ην όξην απηό πξνβιέπνπκε όηη δελ θηάλεη πνηέ θαη γηα θαλέλα ιόγν ν αέξαο, νπόηε ε θάζε απηή ζα έρεη κεδεληθό όγθν. Δπίζεο ζεσξνύκε θαη από όζα γλσξίδνπκε από ην κνληέιν ηεο ηρλειάηεζεο, όηη ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ θηάλνπλ ζηελ επηθάλεηα απηή, επνκέλσο θαη ν δηθόο ηνπο όγθνο ζα είλαη κεδεληθόο. Σν κόλν πνπ κέλεη είλαη ν όγθνο ηνπ λεξνύ πνπ ζα είλαη κνλάδα. Δηθόλα 3.58: Πνζνζηά όγθσλ ζηελ νξηαθή ζπλζήθε εηζόδνπ/εμόδνπ ηνπ ξεπζηνύ. 129

131 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Ζ δεύηεξε νξηαθή ζπλζήθε νλνκάδεηαη opening θαη κνληεινπνηεί ηελ ειεύζεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ. Οξίδεηαη ζηελ ειεύζεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ ζην πεδίν liquid. ηε ζέζε απηή νξίδνπκε άλνηγκα κε ζρεηηθή πίεζε 0Pa θαη ζηα πνζνζηά ησλ όγθσλ ζεσξνύκε κεδεληθό ηνλ όγθν ηνπ λεξνύ θαη ησλ όγθν ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη νξίδνπκε όηη ν αέξαο θαηαιακβάλεη όιε ηελ πεξηνρή ηνπ αλνίγκαηνο. Δηθόλα 3.59: Οξηαθή ζπλζήθε ειεύζεξεο επηθάλεηαο. Μεηά ηνλ νξηζκό θαη ησλ νξηαθώλ ζπλζεθώλ έρνπκε εηζάγεη ζην κνληέιν όια ηα ζηνηρεία πνπ απαηηνύληαη γηα ηελ επίιπζε ηεο πξνζνκνίσζεο ηεο ξνήο : Δπίλςζη Όπσο είδακε ζηελ παξάγξαθν ησλ δεδνκέλσλ έρνπκε ζπλνιηθό ρξόλν κνληεινπνίεζεο 9s θαη ρξνληθό βήκα ηεο κνληεινπνίεζεο 0.01s πνπ αλακέλεηαη λα καο δώζεη αξθεηά πηζηά θαη αθξηβή απνηειέζκαηα. Γεληθά δελ απαηηείηαη λα παξέκβνπκε ηδηαίηεξα ζηηο πξνθαζνξηζκέλεο ξπζκίζεηο ηνπ επηιπηή θαη κόλν απμάλνπκε ηηο κέγηζηεο επαλαιήςεηο ζε 20 από 10 γηα αζθάιεηα. Δηθόλα 3.60: Ρπζκίζεηο επηιπηή. 130

132 3.4.4: Αποηελέζμαηα Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ηελ πεξίπησζε απηή ηα απνηειέζκαηα πνπ καο ελδηαθέξνπλ είλαη ην πεδίν ησλ ηαρπηήησλ, ην πεδίν ηεο πίεζεο, ε κνξθή ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο ηνπ ξεπζηνύ θαη ε θαηαλνκή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζην πεδίν. εκεηώλνπκε όηη ε πίεζε πνπ αλαθέξνπκε είλαη ζρεηηθή πίεζε. Αληηπξνζσπεπηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο θαη πάιη ζα ζεσξήζνπκε ην ρξνληθό βήκα ζην 1.1s όπνπ κόιηο αξρίδεη από ηελ εξεκία ε αλαξξόθεζε, ην ρξνληθό βήκα ζηα 4.9s όπνπ κόιηο νινθιεξώλεηαη ε αλαξξόθεζε, ην ρξνληθό βήκα ζηα 5s όπνπ κόιηο αξρίδεη ε έγρπζε θαη ην ρξνληθό βήκα ζηα 9s όπνπ νινθιεξώλεηαη ε έγρπζε. ε απηέο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο ζα παξνπζηάζνπκε ηεο εηθόλεο πνπ εμάγνληαη από ηε κνληεινπνίεζε θαη ηα δηαγξάκκαηα πνπ καο ελδηαθέξνπλ. Όια ηα απνηειέζκαηα ηνπ πεδίνπ ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο πίεζεο, θαζώο θαη νη απεηθνλίζεηο ειεύζεξεο επηθάλεηαο θαη θαηαλνκήο κηθξνζθαηξηδίσλ, δεδνκέλνπ όηη ην πξόβιεκα είλαη ζπκκεηξηθό, ζα παξνπζηάδνληαη ζην επίπεδν ΤΕ. Δπίζεο γηα ην πεδίν ηεο ηαρύηεηαο ζα εζηηάδνπκε ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο αθνύ νη ηαρύηεηεο ζηα όξηα ηνπ κνληέινπ είλαη πνιύ ρακειέο, ελώ γηα ηελ απεηθόληζε ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο ηνπ ξεπζηνύ ζα εζηηάδνπκε ζηελ αληίζηνηρε πεξηνρή. Σν πεδίν ηεο ηαρύηεηαο ζα δίλεηαη ζαλ δηαλύζκαηα ελώ ην πεδίν ηεο πίεζεο από ζπλερέο γξάθεκα. Αλαθέξνπκε αθόκα όηη ην εύξνο πνπ βξίζθεηαη ζην πιάη ησλ εηθόλσλ αλαθέξεηαη ζηα κέγηζηα θαη ειάρηζηα νιόθιεξεο ηεο κνληεινπνίεζεο. Σα ηνπηθά απνηειέζκαηα γηα ηελ εθάζηνηε ρξνληθή ζηηγκή ζα εμάγνληαη από ηελ δηαβάζκηζε ησλ ρξσκάησλ. Σα απνηειέζκαηα ζε νπνηαδήπνηε κνξθή θαη αλ παξνπζηάδνληαη ζα ζρνιηάδνληαη θαηά πεξίπησζε πξηλ ή κεηά ηηο αληίζηνηρεο εηθόλεο θαη δηαγξάκκαηα. Παξαηεξνύκε εδώ όηη ην κνληέιν ηεο ηρλειάηεζεο είρε ιπζεί κε ζύδεπμε κηαο θαηεύζπλζεο, δειαδή ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ επηδξνύζαλ πάλσ ζηελ ξνή. ηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε ζεσξήζεη ηα ζσκαηίδηα ζαλ κηα δηαθξηηή θάζε κέζα ζην ζπλερέο ξεπζηό. Απηό ζεκαίλεη όηη θαη ηα κηθξνζθαηξίδηα επεξεάδνπλ έζησ θαη ζε κηθξό πνζνζηό ηηο ηδηόηεηεο ηεο ξνήο θαη άξα πξνθαινύλ κεηαβνιέο θαη ζηα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα πνπ πξνθύπηνπλ. 1.1s Πεδίν πίεζεο Αξρηθά παξνπζηάδνπκε ην πεδίν ηεο πίεζεο. ε απηό ην κνληέιν παξαηεξνύκε όηη παξνπζηάδνληαη αξθεηά κεγαιύηεξεο πηέζεηο ζε ζρέζε κε ην κνληέιν ηεο ηρλειάηεζεο ησλ ζθαηξηδίσλ. Ζ κέγηζηε ππνπίεζε είλαη -1763Pa θαη εκθαλίδεηαη ζηελ αλώηεξε επηθάλεηα ηεο ζύξηγγαο, ελώ ζηαδηαθά κεηώλεηαη θαη ηειηθά έρνπκε ζρεδόλ εληαία ζρεηηθή πίεζε κέζα ζην πεγαδάθη. 131

133 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.61: Καηαλνκή πίεζεο. Παξαηεξνύκε όηη εκθαλίδεηαη μεθάζαξα ε ππνπίεζε πνπ ζα πξνθαιέζεη ηελ αλαξξόθεζε ήδε από απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή. ηελ πεξίπησζε απηή δελ θαηαζθεπάδνπκε ηα δηαγξάκκαηα ηεο κεηαβνιήο ηεο πίεζεο ή ηεο ηαρύηεηαο κε ηελ απόζηαζε από ηνλ άμνλα Τ, αιιά θαηαζθεπάδνπκε ηζηόγξακκα πνπ δείρλεη πνηεο ηηκέο πίεζεο εκθαλίδνληαη ζε όιν ην ξεπζηό θαη ζε ηη πνζνζηό. Παξαηεξνύκε όηη νη ηηκέο ηεο ππνπίεο πνπ θαηαλέκνληαη κέζα ζηε ζύξηγγα θπκαίλνληαη από -1364Pa κέρξη -677Pa θνληά ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. ηε ζπλέρεηα έρνπκε κηα απόηνκε αιιαγή όπνπ ζε κηθξή πεξηνρή πξνθαλώο ζην ζηόκην ηεο κήηξαο πεξλάκε από ηα -677Pa ζηα 10Pa. Σέινο ην κεγαιύηεξν πνζνζηό ηνπ ξεπζηνύ κέζα ζην πεγαδάθη θαίλεηαη όηη βξίζθεηαη ππό ζεηηθή πίεζε κεηαμύ 10Pa θαη 100Pa. ρήκα 3.19: Ηζηόγξακκα πηέζεσλ ζην ξεπζηό. 132

134 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πεδίν ηαρύηεηαο Γηα ηελ ηαρύηεηα παξαηεξνύκε από ηελ εηθόλα θαη ην δηάγξακκα, όηη όπσο ήηαλ αλακελόκελν έρεη ηε κέγηζηε ηηκή ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. ηε ζέζε απηή εκθαλίδεηαη κέγηζηε ηαρύηεηα πεξίπνπ 85mm/s. Δηθόλα 3.62: Πεδίν ηαρύηεηαο. ρήκα 3.20: Ηζηόγξακκα ηαρύηεηαο ζην ξεπζηό. 133

135 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Καηαλνκή ζθαηξηδίσλ Δηθόλα 3.63: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ. Γηα ηελ θαηαλνκή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ παξαηεξνύκε όηη είλαη αθόκα ζρεηηθά νκνηόκνξθε κέζα ζην πεγαδάθη. Από ηελ άιιε πιεπξά, κέζα ζηε ζύξηγγα παξαηεξνύκε όηη ε ζηάζκε ηεο πεξηνρήο πνπ είρε ε αξρηθή θαηαλνκή έρεη αλέβεη ειαθξά θαη θνληά ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο κόιηο εκθαλίδνληαη θάπνηεο πεξηνρέο κε ππθλόηεξε θαηαλνκή. Γεληθά ζηελ πεξίπησζε απηή όπνπ ε κνληεινπνίεζε ησλ ζθαηξηδίσλ γίλεηαη κε κηα ζηεξεή θάζε αξαηά θαηαλεκεκέλε ζε ξεπζηό ζα είλαη γεληθά δύζθνιν λα νξίζνπκε ληεηεξκηληζηηθά ηε ζέζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ θάζε ζηηγκή. Αληί απηνύ κπνξνύκε λα δνύκε κηα γεληθόηεξε πξνζνκνίσζε νιόθιεξνπ ηνπ όγθνπ ηεο θάζεο ησλ ζσκαηηδίσλ. 134

136 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Διεύζεξε επηθάλεηα Δηθόλα 3.64: Διεύζεξε επηθάλεηα. Γηα ηελ ειεύζεξε επηθάλεηα ζην πεγαδάθη κόιηο πνπ παξαηεξνύκε κηα κηθξή δηαθύκαλζε ζηελ αξηζηεξή πιεπξά ηεο εηθόλαο. Απηό ζεκαίλεη όηη ε ζηάζκε ζην πεγαδάθη έρεη κεηαβιεζεί ειάρηζηα αθόκα. 4.9s ε απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή ε αλαξξόθεζε είλαη ζηελ πιήξε εμέιημή ηεο. Αλακέλνπκε ινηπόλ λα δνύκε παξαθάησ πηα ζα είλαη ε ζε απηή ηε θάζε ε θαηαλνκή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ, πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα πνπ ζα αλαπηπρζεί ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο θαηά ηελ αλαξξόθεζε θαη πνηα ζα είλαη ε κνξθή ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο ζηε ζέζε απηή όπνπ έρνπκε ηελ ειάρηζηε ζηάζκε ξεπζηνύ ζην πεγαδάθη. Πεδίν πίεζεο Σν πεδίν πίεζεο όπσο αλακελόηαλ δελ αιιάδεη ζρεδόλ θαζόινπ, όπσο δελ αιιάδεη θαη ην ηζηόγξακκα ηεο θαηαλνκήο ησλ πηέζεσλ ζην ξεπζηό. Παξ όηη είλαη ζρεδόλ ηαπηνηηθά κε ηα πξνεγνύκελα. παξαθάλσ βιέπνπκε ηηο εηθόλεο θαη ηα δηαγξάκκαηα πνπ δεκηνπξγνύληαη γηα απηό ην ρξνληθό βήκα. 135

137 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.65: Πεδίν πίεζεο. ρήκα 3.21: Ηζηόγξακκα πηέζεσλ ζην ξεπζηό. 136

138 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πεδίν ηαρύηεηαο Δηθόλα 3.66: Πεδίν ηαρύηεηαο. ρήκα 3.22: Ηζηόγξακκα ηαρύηεηαο ζην ξεπζηό. 137

139 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Παξαηεξνύκε όηη ηα δηαλύζκαηα ηεο ηαρύηεηαο δελ άιιαμαλ από ην πξνεγνύκελν ρξνληθό βήκα πνπ εμεηάζακε θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα ζην ζηόκην είλαη επίζεο πεξίπνπ ε ίδηα κε 85mm/s.Από ην ηζηόγξακκα αληίζεηα παξαηεξνύκε όηη ην πνζνζηό ηνπ όγθνπ ηνπ πγξνύ πνπ είρε ζρεδόλ κεδεληθή ηαρύηεηα κεηώζεθε από 62% ηε ρξνληθή ζηηγκή 1.1s ζε 56% απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή. Απηό ζεκαίλεη όηη αλ θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα δελ άιιαμε, κεγαιύηεξνο όγθνο ηνπ ξεπζηνύ επηηαρύλζεθε θαη πξνθαλώο αλαθεξόκαζηε ζηνλ όγθν ηνπ ξεπζηνύ ζην πεγαδάθη πνπ αλαξξνθήζεθε. Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ ε απηό ην ρξνληθό βήκα ηα κηθξνζθαηξίδηα θηάλνπλ ζηελ αλώηεξε ζέζε ηνπο κέζα ζηε ζύξηγγα. Ζ αλώηεξε ζέζε ζηελ νπνία παξνπζηάδεηαη κηα θάπνηα ππθλόηεηα ηεο θάζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κεγαιύηεξε ηνπ κεδελόο, είλαη πεξίπνπ ηα 25mm. Απηή ε παξαηήξεζε ζπκθσλεί θαη κε ηα απνηειέζκαηα ηεο ηρλειάηεζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Από ηελ άιιε πιεπξά ε κεγαιύηεξε ζπγθέληξσζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ εκθαλίδεηαη θαη πάιη ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. Απηό είλαη ινγηθό γηαηί θάζε πνζόηεηα πγξνύ πνπ εηζέξρεηαη ζην ζηόκην πεξηέρεη κηθξνζθαηξίδηα. Δηθόλα 3.67: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ. 138

140 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Διεύζεξε επηθάλεηα Δηθόλα 3.68: Διεύζεξε επηθάλεηα. ε απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή, πνπ είλαη θαη ε ηειεπηαία ηεο αλαξξόθεζεο, έρνπκε ηε κέγηζηε κείσζε ηεο ζηάζκεο ηνπ ξεπζηνύ. Παξαηεξνύκε όηη πξάγκαηη ε κείσζε ηεο ζηάζκεο είλαη εκθαλήο θαη εκθαλίδνληαη θαη κηθξέο αλαηαξάμεηο ζηελ επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ. Σα θαηλόκελα απηά βέβαηα δελ είλαη έληνλα θαη κπνξνύκε λα ππνζέζνπκε όηη δελ επεξεάδνπλ ζε θακία πεξίπησζε ηε ζπκπεξηθνξά ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κέζα ζην ξεπζηό. 5s ε απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή κόιηο μεθηλά ε έγρπζε. Ζ πίεζε εθαξκόδεηαη κεγαιύηεξε από όηη απαηηείηαη ζηε κόληκε θαηάζηαζε νύησο ώζηε λα αλαζηξέςεη ηελ θαηάζηαζε θαη λα επηηαρύλεη όιν ηνλ όγθνπ ηνπ ξεπζηνύ. Ζ κέγηζηε πίεζε πνπ εκθαλίδεηαη αγγίδεη ηα 1900Pa. Ζ ηαρύηεηα επίζεο αιιάδεη θαηεύζπλζε θαη ε ηηκή ηεο απμάλεηαη, ελώ γηα ηελ θαηαλνκή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κπνξνύκε λα δνύκε όηη δελ κεηαβάιιεηαη ζεκαληηθά. Πεδίν πίεζεο Γηα ην πεδίν ηεο πίεζεο έρνπκε ξαγδαία αιιαγή. Οη ηηκέο είλαη πιένλ παληνύ ζεηηθέο κε ηε κέγηζηε πίεζε λα εκθαλίδεηαη ζηελ άλσ δηαηνκή θαη λα κεηώλεηαη ζηαδηαθά πξνο ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. Ζ πίεζε ζην πεγαδάθη είλαη ζρεδόλ εληαία θαη ιίγν κεγαιύηεξε ηνπ κεδελόο. 139

141 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.69: Πεδίν πίεζεο. ρήκα 3.23: Ηζηόγξακκα πίεζεο ζην ξεπζηό. 140

142 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πεδίν ηαρύηεηαο Δηθόλα 3.70: Πεδίν ηαρύηεηαο. ρήκα 3.24: Ηζηόγξακκα ηαρύηεηαο ζην ξεπζηό. 141

143 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Γηα ηελ ηαρύηεηα παξαηεξνύκε όηη αιιάδεη ε θνξά θίλεζεο αιιά ιόγσ ηεο αδξάλεηαο ηνπ ξεπζηνύ απμάλεηαη θαη πάιη ην πνζνζηό ηνπ όγθνπ ηνπ ξεπζηνύ πνπ έρεη ζρεδόλ κεδεληθή ηαρύηεηα. Έρεη ηε κέγηζηε ηηκή ηεο θαη πάιη ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο θαη είλαη πεξίπνπ 90mm/s. Δπίζεο παξαηεξνύκε όηη ην ηζηόγξακκα εμνκαιύλεηαη ιίγν πεξηζζόηεξν ζηηο κεγαιύηεξεο ηαρύηεηεο. Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ Παξαηεξνύκε όηη ε θαηαλνκή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ δελ έρεη αιιάμεη ζρεδόλ θαζόινπ ζε ζρέζε κε ην ρξνληθό βήκα 4.9s. Απηό είλαη απνιύησο θπζηνινγηθό αθνύ ην ξεπζηό κέζα ζηε ζύξηγγα ρξεηάδεηαη θάπνην, έζησ θαη ζηνηρεηώδε, ρξόλν γηα λα αιιάμεη θνξά θίλεζεο. Δηθόλα 3.71: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ. 142

144 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Διεύζεξε επηθάλεηα Δηθόλα 3.72: Διεύζεξε επηθάλεηα. Ζ ειεύζεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνύ, όπσο ήηαλ αλακελόκελν δελ αιιάδεη ηελ πξνεγνύκελε ρξνληθή ζηηγκή. Οη θξνζζνί ηεο ππθλόηεηαο ηνπ λεξνύ ίζσο λα κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη κεηαβιήζεθαλ ειαθξά. 9s Απηό είλαη ην ηειεπηαίν ρξνληθό βήκα ηεο κνληεινπνίεζεο θαη ην βήκα ζην νπνίν έρεη αλαπηπρζεί πιένλ πιήξσο ην πεδίν ηαρύηεηαο ηεο έγρπζεο. Μεηά από απηό ην βήκα ππνζέηνπκε όηη είηε εξεκεί ην ξεπζηό, είηε μαλαξρίδεη έλαο θύθινο αλαξξόθεζεο θαη έγρπζεο, αλάινγα κε ηε δηαδηθαζία ηελ νπνία εθαξκόδνπκε ζην δείγκα. Γηα ηελ πίεζε παξαηεξνύκε όηη έρεη κηα ζρεδόλ εληαία ηηκή ζε όιν ην εύξνο ηνπ ξεπζηνύ, ε ηαρύηεηα παξαηεξνύκε όηη έρεη απμήζεη ηελ ηηκή ηεο θαη γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα παξαηεξνύκε όηη ζρεδόλ έρνπλ εμέιζεη εληειώο από ηε ζύξηγγα. Πεδίν πίεζεο Δθόζνλ έρεη ππεξληθεζεί πιένλ ε αδξάλεηα ηνπ ξεπζηνύ, ζε απηό ην ρξνληθό βήκα ε πίεζε εκθαλίδεηαη ζρεδόλ παληνύ εληαία. Ζ ηηκή ηεο πίεζεο κέζα ζηε ζύξηγγα θπκαίλεηαη από 760Pa έσο 260Pa πεξίπνπ, ελώ έμσ από ηε ζύξηγγα πέθηεη ζηα 160Pa κε -40Pa όπσο βιέπνπκε από ην ηζηόγξακκα. 143

145 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Δηθόλα 3.73: Πεδίν πίεζεο. ρήκα 3.25: Ηζηόγξακκα πίεζεο ζην ξεπζηό. 144

146 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Πεδίν ηαρύηεηαο Δηθόλα 3.74: Πεδίν ηαρύηεηαο. ρήκα 3.26: Ηζηόγξακκα ηαρύηεηαο ζην ξεπζηό. 145

147 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ην ηειεπηαίν απηό ρξνληθό βήκα παξαηεξνύκε πιένλ όηη ην πεδίν ηεο ηαρύηεηαο έρεη αλαπηπρζεί πιήξσο. Παξαηεξνύκε επίζεο όηη ζην ηζηόγξακκα εκθαλίδεηαη κηα κέγηζηε ηαρύηεηα 100mm/s. Απηή ε ηαρύηεηα είλαη αξθεηά κεγάιε γηα ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο θαη επηπιένλ δελ εκθαλίδεηαη ζην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο. ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο έρνπκε, όπσο θαίλεηαη θαη από ηελ εηθόλα 3.74 ηαρύηεηα ηεο ηάμεο ησλ 85mm/s. Τπνζέηνπκε ινηπόλ όηη εθόζνλ ε ηηκή απηή ηεο ηαρύηεηαο δελ εκθαλίδεηαη ζην πεδίν θαη ζε θακία άιιε ζέζε ηνπ ξεπζηνύ, όηη απνηειεί ηνπηθό θαηλόκελν. Δπίζεο παξαηεξνύκε όηη θαηά ηελ έγρπζε εκθαλίδνληαη ζηξόβηινη γύξσ από ην ζηόκην ηεο ζύξηγγαο ιόγσ ηεο ιεπηήο γεσκεηξίαο θαη ηεο πςειήο ηαρύηεηαο ηνπ ξεπζηνύ πνπ εμέξρεηαη. Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ Γηα ηελ θαηαλνκή ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ παξαηεξνύκε όηη ζην ηέινο ηεο έγρπζεο ηα πεξηζζόηεξα έρνπλ βγεη από ηε ζύξηγγα θαη ζρεκαηίδνπλ νκάδεο πςειήο ππθλόηεηαο κέζα ζην ρώξν ηνπ ξεπζηνύ ζην πεγαδάθη ζε δηάθνξεο πεξηνρέο. Δηθόλα 3.75: Καηαλνκή κηθξνζθαηξηδίσλ. 146

148 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Διεύζεξε επηθάλεηα Δηθόλα 3.76: Διεύζεξε επηθάλεηα. Παξαηεξνύκε όηη όπσο ήηαλ απόιπηα αλακελόκελν, ε ειεύζεξε επηθάλεηα έρεη επηζηξέςεη ζηελ αξρηθή ζηάζκε θαη κνξθή. ην κνληέιν απηό εθαξκόζακε ηε κέζνδν ηεο πξνζνκνίσζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κε κηα θάζε Euler. ην κνληέιν απηό δελ κπνξνύκε λα δνύκε ηελ πνξεία ηνπ θάζε ελόο από ηα κηθξνζθαηξίδηα θαηά ηε κνληεινπνίεζε. Από ηελ άιιε πιεπξά ζεκαληηθό πιενλέθηεκα είλαη όηη καο δύλεηαη ε δπλαηόηεηα λα κνληεινπνηήζνπκε ηα κηθξνζθαηξίδηα κε καδηθό θαη εληαίν ηξόπν ζαλ κηα αθόκα θάζε κέζα ζην ζηεξεό. Από ηελ άπνςε ηεο κνληεινπνίεζεο ην κνληέιν απηό δελ πιενλεθηεί πξνο ην κνληέιν ηεο ηρλειάηεζεο θαζώο ρξεηάζηεθε γηα λα ιπζεί πεξίπνπ 9 ώξεο. Πάλησο ζε απηήο ηεο θαηεγνξίαο ηα κνληέια, ν ρξόλνο επίιπζεο θαη ε νξζόηεηα ησλ απνηειεζκάησλ πνπ ζα βάινπκε εμαξηάηαη ζε κεγάιν πνζνζηό από ηηο νξηαθέο ζπλζήθεο πνπ ζέηνπκε θαη από ηηο ηδηόηεηεο ξεπζηνύ θαη κηθξνζθαηξηδίσλ. Από ηελ άπνςε ηνπ απνζεθεπηηθνύ ρώξνπ απηό ην κνληέιν είλαη «νηθνλνκηθόηεξν» αθνύ απαηηνύληαη πεξίπνπ 3GB γηα ηελ απνζήθεπζε ησλ απνηειεζκάησλ ηνπ. Παξαηεξνύκε εδώ όηη θαη ηα δύν κνληέια ιύζεθαλ ζηνλ ίδην ππνινγηζηή ππό ηηο ίδηεο ζπλζήθεο. ε θάζε πεξίπησζε, κόλν από ην δηαθνξεηηθό ηξόπν πνπ κνληεινπνηήζεθαλ ηα κηθξνζθαηξίδηα, παξαηεξνύκε όηη εηζάγνληαη κεγάιεο δηαθνξνπνηήζεηο θαη δελ κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε ηα απνηειέζκαηα ησλ δύν κνληέισλ ξεπζηνύ-ζθαηξηδίσλ άκεζα ζπγθξίζηκα. 147

149 3.5: Δθαπμογή μαγνηηικού πεδίος. Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Αθνύ έρνπκε επηιύζεη ην καγλεηνζηαηηθό πξόβιεκα, έρνπκε ήδε εμάγεη ηηο ηξηο ζπλαξηήζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηηο ηξηο ζπληζηώζεο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ: MagX, MagY θαη MagZ. Απηή είλαη όιε ε πιεξνθνξία πνπ ρξεηαδόκαζηε από ην καγλεηνζηαηηθό πξόβιεκα. Δπίζεο έρνπκε επηιύζεη ηα δύν πξνβιήκαηα ξεπζηώλ κε ηε κνληεινπνίεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη έρνπκε δεη πνηα είλαη ε επίδξαζε κόλν ηνπ πεδίνπ ξνήο πάλσ ζηα κηθξνζθαηξίδηα. Απηό πνπ επηζπκνύκε ηώξα λα επηηύρνπκε, ηδαληθά, είλαη ε εηζαγσγή ησλ ζπλαξηήζεσλ ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ζε θάζε έλα από ηα δύν κνληέια ξεπζηώλ. Με απηόλ ηνλ ηξόπν ζα δνύκε πσο επεξεάδεη ε παξνπζία ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηελ θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ : Μονηελοποίηζη Γεδνκέλνπ όηη ηα δύν κνληέια ηεο πξνζνκνίσζεο ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζε ξνή έρνπλ ήδε αλαθεξζεί κε ιεπηνκέξεηα θαη δεδνκέλνπ όηη ηα απνηειέζκαηα ηνπ καγλεηνζηαηηθνύ πξνβιήκαηνο έρνπλ ήδε παξνπζηαζζεί ζε κνξθή έηνηκε λα εηζαρζνύλ ζε άιιν κνληέιν, ζην ζεκείν απηό ζα πξνρσξήζνπκε ζηελ πεξηγξαθή κόλν ησλ δηαθνξεηηθώλ ξπζκίζεσλ πνπ θάλνπκε. Γειαδή ζην ζεκείν απηό ζα εμεηάζνπκε θαη γηα ηα δύν κνληέιν ηηο απαξαίηεηεο ξπζκίζεηο γηα ηελ εηζαγσγή ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ θαη ζηε ζπλέρεηα ζα εμεηάζνπκε ηα απνηειέζκαηα. Ξεθηλάκε ηελ πεξηγξαθή κε ηηο αιιαγέο πνπ πξέπεη λα γίλνπλ ζηηο ηδηόηεηεο όισλ ησλ πιηθώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύκε. Όιεο νη ελέξγεηεο πνπ πεξηγξάθνπκε γίλνληαη ζηα κνληέια ηνπ CFX πνπ αλαιύζακε παξαπάλσ, ζην πεξηβάιινλ ηνπ CFX θαη κε ην ίδην αθξηβώο πιέγκα. Τιηθά Γηα λα ππνινγηζηεί ε επίδξαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ πάλσ ζηα δηάθνξα κέξε ηνπ ζπζηήκαηνο ζα πξέπεη λα εηζάγνπκε καγλεηηθέο θαη πιηθέο ηδηόηεηεο ζηα πιηθά πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη. Οη ηδηόηεηεο πνπ πξέπεη λα πξνζζέζνπκε ζηηο ήδε ππάξρνπζεο πνπ έρνπλ παξνπζηαζηεί παξαπάλσ, είλαη ε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα θαη ε ειεθηξηθή αληίζηαζε. ηα δύν κνληέια πνπ εμεηάδνπκε ρξεζηκνπνηνύληαη δύν θαηεγνξίεο πιηθώλ. Πξώηνλ ηα πιηθά πνπ αλαηίζεληαη ζηα κηθξνζθαηξίδηα θαη δεύηεξνλ ηα ινηπά πιηθά. Γηα ην πιηθό πνπ αθνξά ινηπόλ ηα κηθξνζθαηξίδηα, είηε είλαη ην πνιπζηπξέλην, είηε ην πιηθό πνπ νξίζακε εκείο κε ηελ νλνκαζία particles, θάλνπκε ηηο εμήο ξπζκίζεηο: Δηθόλα 3.77: Ρπζκίζεηο ζην πιηθό ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 148

150 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ηελ θαξηέια ησλ ηδηνηήησλ ηνπ πιηθνύ ινηπόλ ζπκπιεξώλνπκε ηελ ειεθηξηθή αγσγηκόηεηα σο S/m αθνύ ηα πιαζηηθά είλαη κνλσηέο θαη έρνπλ ζρεδόλ κεδεληθή αγσγηκόηεηα. [3.7] Δπίζεο γλσξίδνπκε από ηε ζεσξία ηνπ καγλεηηζκνύ ζην πξώην θεθάιαην όηη ε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα θαη ε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα ζπλδένληαη από ηε ζρέζε: ηελ πεξίπησζή καο ζεσξνύκε κηα ελδεηθηηθή ηηκή γηα ηε καγλεηηθή επηδεθηηθόηεηα όπσο παξνπζηάδεηαη ζηελ παξάγξαθν 3.1.3, έζησ ρ=0.2 νπόηε ζηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε γηα ηα κηθξνζθαηξίδηα καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα κ=1.2 κ 0. Ζ ηηκή ηεο καγλεηηθήο δηαπεξαηόηεηαο ηνπ θελνύ κ 0 είλαη 4 π 10-7 N/A θαη ζην κνληέιν εηζάγνληαη κέζσ ηεο ελζσκαησκέλεο ζηαζεξάο mupermo. Γηα ηα ππόινηπα πιηθά, ζηα νπνία δελ ζέινπκε λα εκθαληζηνύλ καγλεηηθέο δπλάκεηο ηνπνζεηνύκε ηελ ειεθηξηθή αγσγηκόηεηα αλάινγα κε ην πιηθό θαη ηελ καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα ζε θάζε πεξίπησζε ίζε κε ηε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα ηνπ θελνύ. Γηα ην λεξό ζέηνπκε ηελ ειεθηξηθή αγσγηκόηεηα ίζε κε S/m θαη ηε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα σο mupermo θαη γηα ηνλ αέξα επίζεο ζέηνπκε ηελ ειεθηξηθή αγσγηκόηεηα ίζε κε S/m θαη ηε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα σο mupermo. [3.7] Μαγλεηηθό πεδίν ηα δύν κνληέια νη ηηκέο γηα ην καγλεηηθό πεδίν εηζάγνληαη κε ηνλ ίδην αθξηβώο ηξόπν. ηελ θαξηέια ησλ κνληέισλ ξνήο (Fluid Models), ελεξγνπνηνύκε ην ειεθηξνκαγλεηηθό κνληέιν θαη ελεξγνπνηνύκε ηελ επηινγή ηνπ καγλεηηθνύ δηαλπζκαηηθνύ δπλακηθνύ. ηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε ζηηο ηξηο ζπληζηώζεο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηηο αληίζηνηρεο ζπλαξηήζεηο πνπ έρνπκε πάξεη από ην καγλεηνζηαηηθό πξόβιεκα σο εμσηεξηθό πεδίν. Δηθόλα 3.78: Δμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν. Κάλνληαο ηηο παξαπάλσ επεκβάζεηο ζε θάζε έλα από ηα κνληέια ηεο ξνήο μερσξηζηά, έρνπκε δύν αθόκα κνληέια πνπ πξνζνκνηάδνπλ ηε ζπκπεξηθνξά ησλ καγλεηηθώλ κηθξνζθαηξηδίσλ ηόζν ππό ηελ επίδξαζε ηεο ξνήο όζν θαη ππό ηελ επίδξαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηνπ κόληκνπ καγλήηε. 149

151 3.5.2: Αποηελέζμαηα Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Παξαπάλσ πεξηγξάςακε κε πνηό ηξόπν εηζάγακε ηελ επίδξαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ζηε κνληεινπνίεζε. ε απηό ην ζεκείν κέλεη λα πεξηγξάςνπκε ηα απνηειέζκαηα. Από ηελ πξαθηηθή καο εκπεηξία γλσξίδνπκε όηη ν ζπγθεθξηκέλνο κόληκνο καγλήηεο είλαη αξθεηά ηζρπξόο θαη έρεη ηε δπλαηόηεηα λα ζπγθξαηήζεη ηα ζπγθξαηήζεη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα αθόκα θαη θάησ από ηελ επίδξαζε ηζρπξώλ ηαρπηήησλ ηνπ ξεπζηνύ. Σν απνηέιεζκα ινηπόλ πνπ πεξηκέλνπκε λα δνύκε θαη από ηα δύν κνληέια είλαη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα λα ζπγθεληξώλνληαη ζηελ πεξηνρή πνπ έρνπκε κέγηζηε έληαζε καγλεηηθνύ πεδίνπ θαη λα κελ απνκαθξύλνληαη νύηε θαηά ηε θάζε ηεο έγρπζεο. Μάιηζηα δεδνκέλσλ ησλ απνηειεζκάησλ ηνπ καγλεηνζηαηηθνύ πξνβιήκαηνο θαη ηεο δηαθξηηνπνίεζεο πνπ θάλακε ζηε ζπλέρεηα γηα ηελ θαηαζθεπή ησλ ζπλαξηήζεσλ ησλ ζπληζησζώλ ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ, ππνζέηνπκε όηη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα ζα πξέπεη λα ζπγθεληξσζνύλ ζηελ πεξηνρή αλάκεζα ζηα 19mm θαη ηα 21mm θαηά ηνλ άμνλα Τ. Γελ αλακέλνπκε όηη ηα καγλεηηθά ζθαηξίδηα ζα θνιιήζνπλ ζην ηνίρσκα ηεο ζύξηγγαο γηαηί δελ έρνπκε θάλεη κηα ηέηνηα πξνζέγγηζε ζην πξόβιεκα. Θα έπξεπε λα θηηάμνπκε δηαθνξεηηθά ηηο ζπλαξηήζεηο ησλ ζπληζησζώλ ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ, ή λα εηζάγνπκε ηηο ηηκέο ησλ καγλεηηθώλ πεδίσλ ζηηο ζέζεηο ησλ θόκβσλ γηα λα κπνξέζνπκε λα πάξνπκε έλα ηέηνην απνηέιεζκα. ε θάζε πεξίπησζε πάλησο αλακέλνπκε θαηά ηε δηάξθεηα ηεο κνληεινπνίεζεο λα δνύκε ηε ζπγθέληξσζε ηνπο ζε κηα ζπγθεθξηκέλε πεξηνρή ηνπ ξεπζηνύ ζην ύςνο πνπ ηνπνζεηείηαη ν καγλήηεο. Γπζηπρώο όκσο γηα ηε κνληεινπνίεζε ηνπ καγλεηηθνύ πξνβιήκαηνο δελ θαηαθέξακε λα πξνζεγγίζνπκε θαζόινπ ηα αλακελόκελα απνηειέζκαηα. Ζ κνληεινπνίεζε ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ πξνβιήκαηνο παξνπζίαζε θάπνηεο δπζθνιίεο ηηο νπνίεο ζα εμεηάζνπκε ζηε ζπλέρεηα, ελώ νινθιεξώλνληαο ζα πξνηείλνπκε θαη πεξηζζόηεξεο ηδέεο γηα λα μεπεξαζζνύλ νη δπζθνιίεο θαη λα πξνζεγγηζζεί ε ιύζε. Απνηειέζκαηα 2 νπ κνληέινπ κε καγλεηηθό πεδίν Σν δεύηεξν κνληέιν πεξηείρε ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα ζηελ απηόλνκε κνξθή ηνπο, όπνπ κνληεινπνηνύηαλ ε θίλεζε ηνπ θάζε ελόο μερσξηζηά, επηιύνληαο ηηο εμηζώζεηο Lagrange. ην πξόβιεκα απηό εηζάγακε ηα πιηθά θαη ην καγλεηηθό πεδίν όπσο πεξηγξάθεθε παξαπάλσ. Αμίδεη λα ζεκεηώζνπκε όηη ην καγλεηηθό πεδίν εθαξκόδεηαη απνθιεηζηηθά θαη κόλν ζην πεδίν ηνπ ξεπζηνύ, κε ηελ νλνκαζία liquid θαη πνπζελά αιινύ. Σν πξόβιεκα επηιύζεθε κε όιεο ηηο άιιεο παξακέηξνπο πνπ έρνπκε πεξηγξάςεη θαη ιάβακε ηα απνηειέζκαηα. ηα απνηειέζκαηα πνπ ιάβακε κπνξνύκε θαη αξρήλ λα δνύκε όηη ην καγλεηηθό πεδίν πξαγκαηηθά ππάξρεη θαη εκθαλίδεηαη ζηελ πνξεία ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ αθξηβώο ζηε κνξθή πνπ αλακέλακε. Ζ κέγηζηε ηηκή κάιηζηα δίλεηαη όπσο αλακελόηαλ πεξίπνπ ζηα 20mm θαηά ηνλ άμνλα Τ. πκπεξαίλνπκε ινηπόλ όηη θαηά ηελ επίιπζε ηνπ κνληέινπ έρεη ιεθζεί ππόςε ην εμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν ζην ξεπζηό. ην δηάγξακκα πνπ αθνινπζεί θαίλεηαη αθξηβώο απηό ην εμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν πνπ ζέζακε, όπσο θαηαγξάθεηαη θαηά ηελ πνξεία ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. 150

152 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση ρήκα 3.27: Δμσηεξηθό καγλεηηθό πεδίν. Όκσο παξόιν πνπ ην καγλεηηθό πεδίν θαίλεηαη λα έρεη εηζαρζεί ζσζηά θαη λα έρεη ιεθζεί ππόςε ζηελ επίιπζε, παξαηεξνύκε από ηα απνηειέζκαηα όηη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα δελ ζπζζσξεύνληαη ζηελ αλακελόκελε ζέζε. Γηα ηελ αθξίβεηα παξαηεξνύκε όηη δελ κεηαβάιιεηαη θαζόινπ ε ηαρύηεηά ηνπο ζε ζρέζε κε ην κεηξηθό κνληέιν πνπ δελ πεξηείρε ην καγλεηηθό πεδίν. Παξαηεξνύκε ινηπόλ όηη ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα εηζέξρνληαη θαλνληθά ζηε ζύξηγγα θαηά ηελ αλαξξόθεζε, θηάλνπλ ζηελ αλακελόκελε κέγηζηε ζέζε ησλ πεξίπνπ 28mm ζην ηέινο ηεο θάζεο ηεο αλαξξόθεζεο θαη ζηε ζπλέρεηα επαλέξρνληαη ζην πεγαδάθη θαηά ηελ έγρπζε. Δπνκέλσο ηα κηθξνζθαηξίδηα πεξλάλ δύν θνξέο από ηε ζέζε όπνπ κεγηζηνπνηείηε ην καγλεηηθό πεδίν, κηα θαηά ηελ αλαξξόθεζε θαη κηα θαηά ηελ έγρπζε, ρσξίο λα παξνπζηάζνπλ ζεκάδηα ζηάζεο ή επηβξάδπλζεο. Απνηειέζκαηα 3 νπ κνληέινπ κε καγλεηηθό πεδίν Σν ηξίην κνληέιν πεξηείρε ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα ζε κνξθή δηαθξηηήο θάζεο κέζα ζην λεξό ε νπνία επηιύεηαη κε ηε κέζνδν Euler. ην κνληέιν απηό κπνξνύκε λα δνύκε πεξηνρέο ζπγθέληξσζεο ηεο θάζεο ησλ ζσκαηηδίσλ αιιά δελ κπνξνύκε λα εληνπίζνπκε θάζε έλα ζσκαηίδην μερσξηζηά. Όπσο θαη πξνεγνπκέλσο έηζη θαη ζην πξόβιεκα απηό εηζάγακε ηα πιηθά θαη ην καγλεηηθό πεδίν όπσο πεξηγξάθεθε παξαπάλσ. Αμίδεη λα ζεκεηώζνπκε όηη ην καγλεηηθό πεδίν εθαξκόδεηαη απνθιεηζηηθά θαη κόλν ζην πεδίν ηνπ ξεπζηνύ, κε ηελ νλνκαζία liquid θαη πνπζελά αιινύ. Σν πξόβιεκα απηό δελ κπόξεζε λα επηιπζεί θαζόινπ, θαζώο εκθαλίδεηαη ζθάικα ζε κηα ππνζπλάξηεζε ηνπ πξνγξάκκαηνο από ηελ αξρή ηεο επίιπζεο αθόκα. Έηζη από ην κνληέιν απηό δελ κπνξνύκε λα έρνπκε απνηειέζκαηα, πέξα από ην ζπκπέξαζκα όηη ζηε κνξθή απηή ίζσο λα κελ είλαη επηιύζηκν. 151

153 3.6: ςμπεπάζμαηα Πποηάζειρ Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση Με ηελ παξνπζίαζε ησλ απνηειεζκάησλ από όιεο ηηο πξνζνκνηώζεηο κπνξνύκε πιένλ λα εμάγνπκε λα εμάγνπκε θάπνηα γεληθά θαη ζπλνπηηθά ζπκπεξάζκαηα θαη λα πξνρσξήζνπκε ζε ζπγθξίζεηο. θνπόο καο είλαη λα εληνπίζνπκε ηηο αδπλακίεο ησλ επί κέξνπο κνληεινπνηήζεσλ θαη λα πξνηείλνπκε ζηε ζπλέρεηα βειηηώζεηο. Γηα ην καγλεηνζηαηηθό κνληέιν παξαηεξνύκε όηη ε επίιπζε έγηλε ρσξίο ζεκαληηθά πξνβιήκαηα. Θα κπνξνύζακε ίζσο λα παξαηεξήζνπκε όηη ζε επίπεδν ηεο ηάμεο ησλ mt ε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο εκθαλίδεη επαηζζεζία, ηόζν ζηελ ππθλόηεηα ηνπ πιέγκαηνο, όζν θαη ζε ειαθξέο κεηαβνιέο ηεο πεξηβάιινπζαο γεσκεηξίαο. Γηα ην ιόγν απηό ε πεξηβάιινπζα επηθάληα είλαη ζεκαληηθό, είηε λα κνληεινπνηεί θάπνηα ππάξρνπζα ζην κνληέιν κόλσζε, είηε λα είλαη αξθεηά καθξηά από ηα ζύλνξα ηνπ κνληέινπ ώζηε λα ζεσξνύκε ηε κεδεληθή ξνή κεδεληθή ρσξίο ζθάικα. Σν κνληέιν ηεο ηρλειάηεζεο ησλ ζσκαηηδίσλ, πνπ ιύλεηαη κε ρξήζε εμηζώζεσλ Lagrange, έρεη ην βαζηθό πιενλέθηεκα ηεο ιεπηνκεξνύο κνληεινπνίεζεο ηεο θίλεζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Μπνξνύκε κάιηζηα λα επεθηείλνπκε ην κνληέιν πνπ έρνπκε ήδε θηηάμεη θαη λα ζπκπεξηιάβνπκε επίζεο κνληέια ζπγθξνύζεσλ κεηαμύ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Δπίζεο εθαξκόδνληαο πιήξε ζύδεπμε κπνξνύκε λα ειέγμνπκε αλ ηα κηθξνζθαηξίδηα έρνπλ πξαγκαηηθά ηόζν κηθξή επίδξαζε ζηε ζπλνιηθή ξνή όζε ππνζέηνπκε. Οη δύν βαζηθέο αδπλακίεο ηνπ κνληέινπ απηνύ είλαη πξώηνλ όηη ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ είλαη αξθεηά δηαζθνξπηζκέλα ζηελ αξρή ηεο κνληεινπνίεζεο θαη δεύηεξνλ όηη δελ ιακβάλεηαη ππόςε ε επίδξαζε ηεο ειεύζεξεο επηθάλεηαο. Βέβαηα από πξαθηηθήο άπνςεο ε αδπλακία δελ είλαη ζνβαξή, αθνύ ηα κηθξνζθαηξίδηα κπνξεί πξάγκαηη λα θαηαθάζνληαη θαη λα δεκηνπξγνύλ ζπζζσκαηώζεηο θαη ε ειεύζεξε επηθάλεηα βιέπνπκε ζην επόκελν κνληέιν όηη δελ επηδξά ηόζν έληνλα ζηε ζπλνιηθή ξνή. Σν κνληέιν πνπ ιύλεηαη κε ηε ρξήζε κηαο επηπιένλ θάζεο Euler δελ κπνξεί λα καο δώζεη μεθάζαξεο πιεξνθνξίεο γηα ηε ζέζε ησλ ζσκαηηδίσλ, καο δίλεη όκσο πην αιεζνθαλή απνηειέζκαηα γηα ηε ξνή. ηελ πεξίπησζε απηή κπνξνύκε επίζεο λα θάλνπκε βειηηώζεηο, αιιάδνληαο ξπζκίζεηο θαη ιύλνληαο γηα παξάδεηγκα έλα κε νκνγελέο κνληέιν. Δπίζεο ζπκπεξηιακβάλνληαο θαη ηνλ αέξα ζηε κνληεινπνίεζε θαη ζέηνληαο ζαλ ππθλόηεηα αλαθνξάο απηή ηνπ αέξα δελ μέξνπκε πσο επεξεάζηεθε ε θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Σν βαζηθόηεξν βέβαηα πνπ κέλεη αθόκα λα εξεπλεζεί ε επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ξνήο κε καγλεηηθέο δπλάκεηο. Γηα ην ζθνπό απηό κπνξνύκε λα θάλνπκε πνιιέο πξνηάζεηο. Πξώηνλ θαη θπξηνηέξνλ, κε ηηο ππάξρνπζεο ξπζκίζεηο, αλ μεπεξαζηεί ην πξόβιεκα ηεο εκθάληζεο ζθάικαηνο, κέλεη λα δνύκε ηη απνηειέζκαηα ζα δόζε ε εθαξκνγή ησλ καγλεηηθώλ δπλάκεσλ ζην κνληέιν 3. Δπίζεο δελ έρνπλ γίλεη μεθάζαξα ηα αίηηα πνπ δελ πξαγκαηνπνηήζεθε ε έιμε ζην κνληέιν2 θαη απηό είλαη θάηη πνπ ρξήδεη δηεξεύλεζεο. Αθόκα αιιάδνληαο εληειώο ηνλ ηξόπν ζθέςεο καο, κπνξνύκε λα εηζάγνπκε ηηο καγλεηηθέο δπλάκεηο απεπζείαο ζηελ επίιπζε, κε επέκβαζε ζηνλ εθηειέζηκν ππνινγηζηηθό θώδηθα ηνπ κνληέινπ. Δπίζεο αλ θάζε πξνζπάζεηα λα επηηεπρζεί ε κνληεινπνίεζε απηή ζην πεξηβάιινλ ηνπ Ansys απνηύρεη, ηόηε κπνξνύκε λα εμάγνπκε θαη ην πεδίν ηαρπηήησλ ζε κνξθή ηηκήο αλά θόκβν από ην ξεπζηνκεραληθό πξόβιεκα θαη ζηε ζπλέρεηα ιακβάλνληαο ππόςε θαη ηηο καγλεηηθέο δπλάκεηο λα ππνινγίζνπκε πεξηζζόηεξν ή ιηγόηεξν αθξηβή θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζε πξόγξακκα πνπ ζα θαηαζθεπάζνπκε εκείο, γηα παξάδεηγκα ζην πεξηβάιινλ ηεο Matlab. 152

154 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση 153

155 Πείξακα ππνινγηζκνχ καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο

156 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 155

157 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 4.0: Ειζαγωγή Σην θεθάιαην απηφ ζα αζρνιεζνχκε κε ηελ παξνπζίαζε ηεο πξνζπάζεηαο πνπ έγηλε ζην εξγαζηήξην Βηνταηξηθήο γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ. Σηελ πξψηε παξάγξαθν, πνπ νλνκάδεηαη «Θεσξεηηθή ηεθκεξίσζε» ζα πξνρσξήζνπκε ζηελ παξνπζίαζε ησλ κεγεζψλ πνπ ζεσξνχληαη δεδνκέλα, απηψλ πνπ κεηξήζεθαλ ζην εξγαζηήξην θαη απηψλ πνπ ηειηθά ππνινγίζηεθαλ. Δπίζεο ζα παξαζέζνπκε ηηο καζεκαηηθέο ζρέζεηο πνπ δηέπνπλ ηε ζχλδεζε απηψλ ησλ κεγεζψλ. Σηε δεχηεξε παξάγξαθν, πνπ νλνκάδεηαη «Πεηξακαηηθά απνηειέζκαηα», ζα παξνπζηάζνπκε ηα απνηειέζκαηα ησλ πεηξακάησλ, φπσο πξνέθπςαλ κεηά ηελ αξρηθή επεμεξγαζία. Τέινο, ζηελ παξάγξαθν «Σπκπεξάζκαηα» ζα ζπλνςίζνπκε φια ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνέθπςαλ θαη ζα ηα αληηπαξαβάινπκε κε ηηο αλακελφκελεο ηηκέο. 4.1: Θεωρηηική Τεκμηρίωζη Με βάζε ηα φζα εηπψζεθαλ ζην πξψην θαη δεχηεξν θεθάιαην θαη απφ ηηο ζρέζεηο (2.21) θαη (2.24) πξνθχπηεη κε αληηθαηάζηαζε φηη γηα ην ζχζηεκα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ κέζα ζε λεξφ ζε εμσηεξηθφ καγλεηηθφ πεδίν Β, αζθνχληαη καγλεηηθέο δπλάκεηο: { } { } { } Όπνπ Γρ είλαη ε δηαθνξά ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κεηαμχ ξεπζηνχ θαη ζθαηξηδίσλ, V είλαη ν φγθνο ησλ ζθαηξηδίσλ θαη κ 0 είλαη ε καγλεηηθή δηαπεξαηφηεηα ηνπ θελνχ. Σηελ δηθή καο πεξίπησζε ζα θάλνπκε κηα ηδηαίηεξα ρνλδξνεηδή πξνζέγγηζε θαη ζα ζεσξήζνπκε φηη επεηδή βξηζθφκαζηε πνιχ θνληά ζην καγλήηε θαη ηα κηθξνζθαηξίδηα έρνπλ πνιχ κηθξή δηάκεηξν, ιακβάλνπκε ππφςε κφλν ην πεδίν θαη ηελ κεηαβνιή ηνπ πεδίνπ ζηελ δηεχζπλζε πφισζεο ηνπ καγλήηε, έζησ ζηνλ άμνλα z. Σηελ πεξίπησζε απηή νη παξαπάλσ ζρέζεηο εθθπιίδνληαη ζηελ απινχζηαηε ζρέζε: { } 156

158 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Δθηφο απφ ηελ καγλεηηθή δχλακε ζηα ζσκαηίδηα αζθείηαη επίζεο ε δχλακε αληίζηαζεο απφ ην ξεπζηφ. Σηα πεηξάκαηα πνπ πξαγκαηνπνηήζεθαλ δελ ππήξρε ηαρχηεηα ζην ξεπζηφ θαη επνκέλσο ε ξνή ήηαλ εληειψο ζηξσηή θαη ν Reynolds είλαη ζίγνπξα κηθξφηεξνο ηεο κνλάδαο. Άξα ε δχλακε αληίζηαζεο ζηα ζσκαηίδηα δίλεηαη απφ ην λφκν ηνπ Stokes θαη είλαη: Όπνπ ε είλαη ην ημψδεο ηνπ ξεπζηνχ θαη R p θαη v ε αθηίλα θαη ε ηαρχηεηα ηνπ κηθξνζθαηξηδίνπ αληίζηνηρα. Σε φιεο ηηο παξαθάησ εμηζψζεηο πνπ ζα εμεηάζνπκε ν άμνλαο θίλεζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ήηαλ θάζεηνο ζηνλ άμνλα ηεο βαξχηεηαο, επνκέλσο βαξπηηθέο επηδξάζεηο δελ ιακβάλνληαη ππφςε θαη απφ ηηο (4.1) θαη (4.2) θαηαιήγνπκε ζε κηα ζρέζε ηζνξξνπίαο: Όκσο ε κάδα ησλ ζσκαηηδίσλ είλαη πάξα πνιχ κηθξή θαη επνκέλσο ζηε θάζε απηή κπνξνχκε λα ηε ζεσξήζνπκε ακειεηέα θαη ην αξηζηεξφ κέινο ηεο εμίζσζεο (4.3) κπνξεί λα ζεσξεζεί κεδέλ. Δθφζνλ ε κφλε αηηία θίλεζεο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ είλαη ε καγλεηηθή δχλακε, ε δχλακε αληίζηαζεο ηνπ ξεπζηνχ ζα είλαη πάληα αληίζεηε ηεο καγλεηηθήο δχλακεο θαη έηζη νδεγνχκαζηε ζηελ παξαθάησ εμίζσζε ηζνξξνπίαο: { } { } { } Αλ ιάβνπκε ππφςε φηη ε= Νs/mm 2 θαη D p = mm θαη ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ηνπ λεξνχ είλαη κεδεληθή ζε ζρέζε κε απηή ησλ ζσκαηηδίσλ, νπφηε Γρ=ρ p, ηφηε έρνπκε: { } { } 157

159 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Απφ ηε ζρέζε (4.5) παξαηεξνχκε ινηπφλ φηη γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζα πξέπεη λα γλσξίδνπκε ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ηε κεηαβνιή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαηά ηνλ άμνλα z θαη λα κπνξνχκε λα κεηξήζνπκε κε αθξίβεηα ηελ ηαρχηεηα ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Γλσξίδνληαο ηελ θαηαλνκή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ππνινγίδνπκε ηνλ φξν B(δΒ/δx) πνπ βξίζθεηαη ζηνλ παξνλνκαζηή ηεο ζρέζεο (4.5) θξνληίδνπκε λα έρνπκε ηηο θαηάιιειεο κνλάδεο θάλνληαο ηηο παξαθάησ κεηαηξνπέο: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Όπνπ ζηελ πεξίπησζή καο ε έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ δίλεηαη ζε Tesla θαη ε κεηαηφπηζε ησλ ζθαηξηδίσλ, πνπ είλαη θαη ην πεδίν κέηξεζεο ηνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο ηεο έληαζεο Β, κεηξάηαη ζε κm. Δπίζεο ε ηαρχηεηα δίλεηαη ζε κνλάδεο: [ ] [ ] Απφ ηηο ζρέζεηο (4.6) θαη (4.7) ζπκπεξαίλνπκε φηη αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα θάζε ζηνηρείν ηηο κνλάδεο πνπ πξναλαθέξακε, ηφηε ν ιφγνο v/(b(db/dx)) έρεη απεπζείαο κνλάδεο mm 4 A 2 /N 2 s. Δπνκέλσο δελ ρξεηάδεηαη θακία πεξεηαίξσ κεηαηξνπή γηα λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηα κεγέζε πνπ ζα ππνινγίζνπκε πεηξακαηηθά ζε ζπλδηαζκφ κε ηε ζρέζε (4.5) Δξγαζηήξην θαη πιηθφ Σην εξγαζηήξην ρξεζηκνπνηήζακε ηε δηάηαμε ηνπ κηθξνζθνπίνπ γηα λα παξαηεξήζνπκε ηελ θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Ο θαθφο πνπ ρξεζηκνπνηήζακε ζε φιεο ηηο πεξηπηψζεηο ζηε ζπλέρεηα είλαη 10x. Τα νπηηθά δεδνκέλα απνζεθεχζεθαλ ζε θνξεηφ ππνινγηζηή κέζν ηεο θάκεξαο ηνπ εξγαζηεξίνπ πνπ είλαη κηα AmScope MD600 ηεο εηαηξίαο ScopeTek. Τν πξφγξακκα πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηελ απνζήθεπζε θαη επεμεξγαζία ησλ δεδνκέλσλ ηεο θάκεξαο είλαη ην One Click Video Capture. Τα κηθξνζθαηξίδηα πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ είλαη ηα ίδηα κε απηά πνπ κνληεινπνηήζεθαλ θαη πεξηγξάθνληαη εθηελψο ζην θεθάιαην 3 ηεο κνληεινπνίεζεο. Γεληθά αλαθέξνπκε κφλν φηη αξαηψζακε θαηά πνιχ ηε ζπγθέληξσζή ηνπο απφ ην αξρηθφ δηάιπκα απνζήθεπζεο έηζη ψζηε λα είλαη δπλαηή ε εκθάληζε κεκνλσκέλσλ ζσκαηηδίσλ θαη λα κελ ζρεκαηίδνληαη ηφζν εχθνια ζπζζσκαηψκαηα. Οη δηαηάμεηο πάλσ ζηηο νπνίεο πξαγκαηνπνηήζεθαλ νη κεηξήζεηο ησλ ηαρπηήησλ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ππφ ηελ επίδξαζε ηνπ καγλήηε πεξηγξάθνληαη μερσξηζηά ζηε ζπλέρεηα. 158

160 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Πξαγκαηνπνηήζακε ηέζζεξα ειαθξψο δηαθνξεηηθά κεηαμχ ηνπο πεηξάκαηα. Τα ηξία πξψηα πεηξάκαηα έγηλαλ κε ηα καγλεηηθά ζθαηξίδηα κέζα ζε πδαηηθφ δηάιπκα, ζε κηθξνθαλάιη ην νπνίν παξέρεηαη απφ ηελ εηαηξία ibidi θαη κε ηνλ κφληκνο καγλήηε πνπ πεξηγξάθεηαη ζην θεθάιαην 3. Τν ηειεπηαίν πείξακα πξαγκαηνπνηήζεθε πάλσ ζε βαζκνλνκεκέλε πιάθα, πεξηνξίδνληαο ην ξεπζηφ κε πδξφθνβν κειάλη θαη ηνπο ίδηνπο αθξηβψο καγλήηεο. Μηθξνθαλάιη ibidi Η εηαηξία ibidi πξνζθέξεη δηάθνξεο επηινγέο ζε θαλάιηα χςνπο κηθξφηεξνπ ηνπ ελφο ρηιηνζηνχ γηα ην ρεηξηζκφ βηνινγηθψλ δεηγκάησλ. Γηα ηα πεηξάκαηα πνπ πεξηγξάθνληαη παξαθάησ αμηνπνηήζεθε κηα πιάθα κε έμη θαλάιηα, κε ηελ νλνκαζία κ-slide VI 0.4, φπσο απηή πνπ θαίλεηαη παξαθάησ: Δηθφλα 4.1: Πιάθα κε έμη κηθξνθαλάιηα. [3.9] Κάζε έλα απφ ηα θαλάιηα πνπ απεηθνλίδνληαη έρεη ειεχζεξν κήθνο 12mm, πιάηνο 4mm θαη χςνο 0.4mm. Η είζνδνο θαη ε έμνδνο ηνπ ξεπζηνχ γίλεηαη απφ ηηο θπιηλδξηθέο δηφδνπο, εζσηεξηθήο δηακέηξνπ 4mm θαη εμσηεξηθήο δηακέηξνπ 5.5mm. Έλα απφ απηά ηα 6 απηά θαλάιηα παξνπζηάδεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: Δηθφλα 4.2: Μηθξνθαλάιη πεηξάκαηνο. [3.9] Τν δείγκα ηνπνζεηήζεθε ζην εζσηεξηθφ ηνπ θαλαιηνχ απηνχ. Ο καγλήηεο ηνπνζεηήζεθε, είηε εληφο ησλ δηφδσλ ηξνθνδνζίαο, ψζηε λα είλαη ζε επαθή κε ην ξεπζηφ θαη λα είλαη ηζρπξφηεξε ε επίδξαζε ηνπ θαη ηα κηθξνζθαηξίδηα λα θηλνχληαη θαηά κήθνο ηνπ θαλαιηνχ, είηε ζην πιάγην κέξνο ηνπ θαλαιηνχ, έηζη ψζηε ηα κηθξνζθαηξίδηα λα θηλνχληαη εγθάξζηα ζην κήθνο ηνπ θαλαιηνχ. [4.1] Βαζκνλνκεκέλε πιάθα Η βαζκνλνκεκέλε πιάθα ρξεζηκνπνηήζεθε κφλν ζην ηειεπηαίν πείξακα. Αθνχ ζρεκαηίζακε έλα πεξίπνπ ηεηξαγσληθφ πεξίγξακκα κε ηελ πδξφθνβε κειάλε, ηνπνζεηήζακε ην δείγκα εληφο ηνπ ηεηξαγψλνπ θαη ην καγλήηε ζην άθξν απηνχ. Η εηθφλα πνπ παξνπζίαζε ε βαζκνλνκεκέλε πιάθα ζην κηθξνζθφπην, κε ην πεξίγξακκα θαη ην δείγκα θαίλεηαη παξαθάησ: 159

161 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Δηθφλα 4.3: Βαζκνλνκεκέλε πιάθα. Η απφζηαζε αλάκεζα ζε δχν απφ ηηο κεγάιεο γξακκέο ηεο πιάθαο δίλεηαη φηη είλαη 0.1κm. Η πιεξνθνξία απηή ρξεζηκνπνηήζεθε θαη γηα ηε βαζκνλφκεζε ησλ εηθφλσλ πνπ ιάβακε θαηά ηε δηάξθεηα ησλ κεηξήζεσλ. Τα απνηειέζκαηα ζε θάζε πεξίπησζε ήηαλ ζε κνξθή βίληεν. Απφ ηελ επεμεξγαζία ηνπ βίληεν πξνέθπςαλ ζηε ζπλέρεηα ηηκέο γηα ηελ ηαρχηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Παξαθάησ επεμεγνχκε αθξηβψο ηε δηαδηθαζία κε ηελ νπνία ιάβακε ηα απνηειέζκαηα γηα ηελ ηαρχηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Δπεμεξγαζία εηθφλαο. Η επεμεξγαζία ηνπ βίληεν έγηλε κε θνηλφ ειεχζεξν πξφγξακκα. Οπζηαζηηθά ιάβακε θαξέ ηνπ βίληεν ζε δηάθνξεο ρξνληθέο ζηηγκέο θαη κεηξψληαο ηελ κεηαηφπηζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ απφ ην έλα θαξέ ζην επφκελν, εμάγακε ηελ κεηαηφπηζε ηνπο ζην ζπγθεθξηκέλν ρξνληθφ δηάζηεκα. Με απηά ηα δεδνκέλα ιάβακε ηε ζηηγκηαία ηαρχηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ, σο ην ιφγν ηεο κεηαηφπηζεο πξνο ην αληίζηνηρν ρξνληθφ δηάζηεκα. Γηα λα πξαγκαηνπνηεζνχλ νη κεηξήζεηο ηεο απφζηαζεο πάλσ ζηηο εηθφλεο πνπ ιάβακε, πξέπεη πξψηα λα βαζκνλνκήζνπκε ηηο απνζηάζεηο. Φξεζηκνπνηψληαο ηελ πιάθα βαζκνλφκεζεο πνπ πεξηγξάθεηαη παξαπάλσ θαηαιήγνπκε φηη γηα εηθφλα 640x480 pixel, πνπ είλαη ην κέγεζνο εηθφλαο πνπ παίξλνπκε απεπζείαο απφ ηε θάκεξα, ην 1pixel αληηζηνηρεί ζε 1.85κm. Η βαζκνλφκεζε απηή είλαη ε ίδηα ηφζν ζην χςνο, φζν θαη ζην πιάηνο. Απφ ηεο εηθφλεο πνπ ιακβάλνπκε απφ ην πείξακα, θξνληίδνπκε λα έρνπκε ηνπιάρηζηνλ κηα εηθφλα, ε κηα ζεηξά απφ εηθφλεο, πνπ ζα ζπλδέεη ηελ άθξε ηνπ καγλήηε κε ηε ζέζε φπνπ πξαγκαηνπνηνχκε ηηο κεηξήζεηο. Σηελ πεξηνρή πνπ πξαγκαηνπνηνχκε ηηο κεηξήζεηο (είλαη ε πεξηνρή ζηελ νπνία έρεη εζηηάζεη ην κηθξνζθφπην) ζα πξέπεη λα ππάξρεη κηα ζέζε ινηπφλ κε γλσζηή απφζηαζε απφ ηελ άθξε ηνπ καγλήηε. Απηή ε απφζηαζε ππνινγίδεηαη κε βάζε ηε βαζκνλφκεζε πνπ έρνπκε θάλεη θαη ζεκεηψλεηαη κε κηα γξακκή ζηελ επεμεξγαζία ησλ εηθφλσλ. Σηε ζπλέρεηα ηε γξακκή ηεο γλσζηήο απφζηαζεο απφ ην καγλήηε ζαλ νδεγφ κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ απφζηαζε ηνπ ζσκαηηδίνπ απφ ην καγλήηε ζε θάζε θαξέ θαη άξα ηε κεηαηφπηζε ηνπ θάζε ζσκαηηδίνπ ζην ρξφλν. Παξαθάησ παξνπζηάδνπκε έλα παξάδεηγκα δχν δηαδνρηθψλ θαξέ κε ζεκεησκέλα ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα πνπ κεηξάκε απφ ην πξψην πείξακα: 160

162 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Δηθφλα 4.4: Γηαδνρηθά θαξέ απφ ην πξψην πείξακα. Παξαηεξνχκε φηη ηα ζπγθεθξηκέλα θαξέ πνπ θαίλνληαη παξαπάλσ έρνπλ ρξνληθή απφζηαζε 1s. Δπίζεο ηα ζσκαηίδηα θαίλεηαη λα θηλνχληαη απεηξνειάρηζηα πξάγκα πνπ είλαη θνηλφ ζε φια ηα πεηξάκαηα. Αθφκα πξέπεη λα παξαηεξήζνπκε φηη εθηφο απφ ηα κηθξνζθαηξίδηα, θαίλνληαη πνιιά αθφκα ζηίγκαηα πνπ θάλνπλ δχζθνιε ηε δηαδηθαζία ηηο κέηξεζεο. Τα ζηίγκαηα απηά είλαη είηε ζεκάδηα πάλσ ζηελ επηθάλεηα ηνπ θαλαιηνχ, είηε ζεκάδηα θαη αθαζαξζίεο πάλσ ζην θαθφ ηνπ κηθξνζθνπίνπ ή ην θαθφ ηεο θάκεξαο, είηε, ηέινο, ζσκαηίδηα ζθφλεο πνπ έρνπλ εηζρσξήζεη κέζα ζην ξεπζηφ παξεκπνδίδνληαο ηελ θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη αιινηψλνληαο ηηο κεηξήζεηο. 161

163 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Η δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηεο ηαρχηεηαο έρεη αξρηθά σο εμήο. Αξρηθά παίξλνπκε δηάθνξα θαξέ απφ ην βίληεν ηνπ πεηξάκαηνο θαη ζηε ζπλέρεηα ηα επεμεξγαδφκαζηε. Η επεμεξγαζία γίλεηαη φπσο αλαθέξζεθε θαη ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Πξψηα εληνπίδνπκε θαη ζεκεηψλνπκε ηε ζέζε γλσζηήο απφζηαζεο ζε φια ηα θαξέ. Σηε ζπλέρεηα εληνπίδνπκε θαη ηαπηνπνηνχκε ηα δηάθνξα κηθξνζθαηξίδηα απφ ην έλα θαξέ ζην άιιν. Τέινο κεηξάκε ηελ απφζηαζε πνπ έρνπλ δηαλχζεη απφ ην έλα θαξέ ζην επφκελν ζε pixel θαη ηε κεηαηξέπνπκε ζε κm, κε ηε βαζκνλφκεζε πνπ έρνπκε ππνινγίζεη. Απφ ην ιφγν ηεο κεηαηφπηζεο πξνο ην ρξφλν ππνινγίδνπκε ηελ ηαρχηεηα ηνπ κηθξνζθαηξηδίνπ αλάκεζα ζε δχν θαξέ. Με ηελ παξαπάλσ κέζνδν παίξλνπκε γηα θάζε κηθξνζθαηξίδην λ-1 κεηξήζεηο ηαρχηεηαο, αλ λ είλαη ν αξηζκφο ησλ θαξέ ζηα νπνία εκθαλίδεηαη ην αληίζηνηρν κηθξνζθαηξίδην. Τελ δηαδηθαζία απηή ηελ επαλαιακβάλνπκε γηα θάζε κηθξνζθαηξίδην. Μαγλεηηθφ πεδίν Δθηφο απφ ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ηαρχηεηαο, φπσο πξναλαθέξακε, ζα πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε θαη ηελ έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ ζηε ζέζε ζηελ νπνία γίλεηαη ε κέηξεζε. Γηα λα είλαη ην πείξακα αμηφπηζην ζα έπξεπε λα κπνξνχκε λα πξαγκαηνπνηήζνπκε κεηξήζεηο ησλ κεγεζψλ απηψλ θνληά ζηε ζέζε ησλ ζσκαηηδίσλ. Η κέηξεζε απηή είλαη πάξα πνιχ δχζθνιε αθνχ ην πεδίν είλαη ηδηαίηεξα αζζελέο θαη ε απφζηαζε ζηελ νπνία ζέινπκε λα κεηξήζνπκε ηε κεηαβνιή ηνπ είλαη ηεο ηάμεο ησλ κεξηθψλ κηθξψλ. Γηα ην ιφγν απηφ, αληί λα πξαγκαηνπνηήζνπκε κεηξήζεηο κνληεινπνηνχκε ην καγλεηηθφ πεδίν ηνπ κφληκνπ καγλήηε κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία θαη ιακβάλνπκε ηα απνηειέζκαηα ππνινγηζηηθά. Τν πξφγξακκα πνπ ρξεζηκνπνηνχκε ιέγεηαη FEMM 4.2 θαη είλαη έλα ειεχζεξν πξφγξακκα κνληεινπνίεζεο απιψλ δηζδηάζηαησλ καγλεηηθψλ πξνβιεκάησλ. Φξεζηκνπνηήζεθε ζηελ πεξίπησζε απηή αληί ηνπ Ansys ιφγσ ηεο απιφηεηαο ηνπ ίδηνπ ηνπ πξνβιήκαηνο αιιά θαη ιφγσ ηεο απιφηεηαο ρεηξηζκνχ ηνπ ίδηνπ ηνπ πξνγξάκκαηνο θαη ηεο ηαρχηεηαο επίιπζεο. Σε φια ηα κνληέια πνπ θαηαζθεπάζακε ε γεσκεηξία έγηλε ελψλνληαο θφκβνπο ζην επίπεδν. Σηε ζπλέρεηα νξίζηεθε έλα βάζνο γηα ην επίπεδν πξφβιεκα θαη νξίζηεθαλ νη κνλάδεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζε ρηιηνζηά. Έλα βαζηθφ ζηνηρείν ηεο κνληεινπνίεζεο καγλεηνζηαηηθψλ πξνβιεκάησλ είλαη φηη πξέπεη ε ζπλνιηθή γεσκεηξία ηεο δηάηαμεο λα πεξηθιείεηαη απφ έλα εμσηεξηθφ φξην ζην νπνίν ζέηνπκε κεδεληθή ηελ ηηκή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ. Αθνινχζσο νξίζακε ηα πιηθά πνπ ζπκκεηέρνπλ ζην ζχζηεκα. Γηα ηνλ πεξηβάιινληα ρψξν νξίζακε ζαλ πιηθφ ηνλ αέξα, γηα ηνλ ρψξν ηνπ δείγκαηνο νξίζακε ζαλ πιηθφ ην λεξφ θαη γηα ηνπο καγλήηεο νξίζακε πιηθφ Ν52 κε ηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ δφζεθαλ ζην θεθάιαην 3. Όια ηα πιηθά πξνυπήξραλ ζηε βηβιηνζήθε ηνπ πξνγξάκκαηνο θαη νξίζηεθαλ φπσο θαίλεηαη ζηελ εηθφλα πνπ αθνινπζεί. Σεκαληηθή παξαηήξεζε ζην ζεκείν απηφ είλαη λα νξίζνπκε ζσζηά ηελ πφισζε ηνπ καγλήηε απφ ηελ επεμεξγαζία ησλ ζηνηρείσλ ησλ πιηθψλ. Σηε ζπλέρεηα πξαγκαηνπνηήζεθε ην πιέγκα κε ηξηγσληθά πεπεξαζκέλα ζηνηρεία. Η ππθλφηεηα ηνπ πιέγκαηνο γεληθά θαζνξίδεηαη απφ ηελ πνιππινθφηεηα ηεο γεσκεηξίαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Σηελ πεξίπησζή καο ηα ζπζηήκαηα πνπ κνληεινπνηήζεθαλ θηλήζεθαλ ζηνπο 50 κε 100 θφκβνπο. 162

164 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Αθνινπζεί ε εηθφλα πνπ παξνπζηάδεη, ηε γεσκεηξία θαη ηνλ θαζνξηζκφ ησλ πιηθψλ γηα ην ηξίην πείξακα, φπνπ έρνπκε δχν καγλήηεο εθαηέξσζελ ζηα άθξα ηνπ κηθξνθαλαιηνχ. Δηθφλα 4.5: Πεξηβάιινλ ηνπ ππνινγηζηηθνχ πξνγξάκκαηνο FEMM 4.2. Δπίζεο παξαθάησ βιέπνπκε γηα ην ίδην ζχζηεκα ην πιέγκα 80 θφκβσλ πνπ δεκηνπξγείηαη κε ηξηγσληθά πεπεξαζκέλα ζηνηρεία. Τα απνηειέζκαηα ηεο επίιπζεο παξνπζηάδνληαη θαη ελζσκαηψλνληαη ζηα πεηξακαηηθά απνηειέζκαηα. Δηθφλα 4.6: Πιέγκα ηξηγσληθψλ ζηνηρείσλ ηνπ FEMM

165 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 4.2: Πειράμαηα και αποηελέζμαηα Σηελ παξάγξαθν απηή ζα παξνπζηάζνπκε γηα θάζε πείξακα ηφζν ηηο κεηξήζεηο ηεο ηαρχηεηαο πνπ έγηλαλ φζν θαη ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνέθπςαλ απφ ηελ επίιπζε ηνπ καγλεηνζηαηηθνχ πξνβιήκαηνο. Τα απνηειέζκαηα εηζάγνληαη ζε θχιιν exel θαη κεηά απφ επεμεξγαζία θαη ρξήζε ηεο ζρέζεο (4.5) θαηαιήγνπκε ζηνλ ππνινγηζκφ ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο γηα θάζε κηθξνζθαηξίδην πνπ κεηξάηαη : 1 ο Πείραμα Σην πξψην πείξακα ρξεζηκνπνηνχκε ην κηθξνθαλάιη ηεο εηαηξίαο ibidi πνπ πεξηγξάθεθε ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Ο καγλήηεο ηνπνζεηείηαη θαηαθφξπθα κέζα ζηε δίνδν ηνπ θαλαιηνχ θαη δεδνκέλνπ φηη ε κνληεινπνίεζε γίλεηαη ζην επίπεδν, θαηαζθεπάδνπκε ηελ παξαθάησ γεσκεηξία ζην FEMM: Σρήκα 4.1: Μνληεινπνίεζε πξψηνπ ζπζηήκαηνο. Απφ ηελ παξαπάλσ κνληεινπνίεζε θαη κε επίιπζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ παίξλνπκε ηα εμήο απνηειέζκαηα γηα ην πεδίν θνληά ζην καγλήηε: Σρήκα 4.2: Μαγλεηηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή κέηξεζεο. 164

166 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Θεσξνχκε φηη φια ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα ηνπ πεηξάκαηνο θηλνχληαη ζε κηα κέζε γξακκή, κέρξη θαη 3mm καθξηά απφ ην καγλήηε. Σηελ πεξηνρή απηή ιακβάλνπκε ηηο ηηκέο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ζαλ αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα αιιά θαη ζαλ δηάγξακκα ην νπνίν παξνπζηάδεηαη παξαθάησ: Σρήκα 4.3: Γηάγξακκα έληαζεο καγλεηηθνχ πεδίνπ ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο. Τα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη, ζπλνπηηθά θαη κφλν γηα ηελ πεξηνρή πνπ καο ελδηαθέξεη, ζην παξάξηεκα. Η ζέζε κε κεδεληθφ κήθνο αληηζηνηρεί ζηε ζέζε φπνπ βξίζθεηαη ν καγλήηεο. Αθνχ έρνπκε ππνινγίζεη ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ, πξνρσξάκε ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ηαρχηεηαο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Η δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηεο ηαρχηεηαο έρεη ήδε αλαιπζεί ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Υπνινγίδνπκε ηελ ηαρχηεηα απφ ηα θαξέ ηνπ βίληεν θαη γλσξίδνληαο ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ ζε θάζε ζέζε ππνινγίδνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα γηα θάζε θαξέ πνπ ελαιιάζζεηαη. Έηζη γηα θάζε καγλεηηθφ κηθξνζθαηξίδην ππνινγίζακε κηα θαηαλνκή ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε. Τα πεξηζζφηεξα ζθαηξίδηα δελ παξνπζίαζαλ θακία ζπγθεθξηκέλε θαηαλνκή, αιιά είηε θπκαίλνληαλ γχξσ απφ κηα ζηαζεξή ηηκή, είηε κεηαβάιινληαλ έληνλα ρσξίο λα αθνινπζνχλ θάπνην πξνθαλή λφκν. Γεληθά δελ ιάβακε απνηειέζκαηα ηα νπνία λα καο επηηξέπνπλ λα ππνζέζνπκε φηη ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ επεξεάδεηαη απφ ηελ απφζηαζε ηνπο απφ ην άθξν ηνπ καγλήηε. Τέηνηα απνηειέζκαηα, πνπ λα ζπζρεηίδνπλ ηε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα κε ηελ έληαζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, έρνπλ αλαθεξζεί ζηε βηβιηνγξαθία. Γπζηπρψο εκείο απφ ην πείξακά καο δελ κπνξέζακε λα επηβεβαηψζνπκε ή λα δηαςεχζνπκε θάηη ηέηνην. [4.2] Παξαθάησ βιέπνπκε έλα γξάθεκα ηεο κεηαβνιήο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε, ελφο απφ ηα κηθξνζθαηξίδηα ηνπ πξψηνπ πεηξάκαηνο. 165

167 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σρήκα 4.4: Μεηαβνιή ηνπ ρ κε ηελ απφζηαζε γηα έλα κηθξνζθαηξίδην. Σην πξψην πείξακα κεηξήζεθαλ 9 κηθξνζθαηξίδηα ζε ζπλνιηθά 16 θαξέ θαη νη κέζνη φξνη γηα θάζε έλα απφ απηά παξνπζηάδνληαη ζηνλ πίλαθα θαη ην γξάθεκα πνπ αθνινπζεί. Πίλαθαο 4.1: Μέζεο καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο κηθξνζθαηξηδίσλ. Αριθμός ζθαιριδίοσ Μέζη μαγνηηική επιδεκηικόηηηα τ Απφ ηα παξαπάλσ παξαηεξνχκε ακέζσο φηη νη ηηκέο πνπ πξνέθπςαλ είλαη πνιχ κηθξφηεξεο απφ ηηο αλακελφκελεο. Σε θάζε πεξίπησζε ηα απνηειέζκαηα ζα εμεηαζηνχλ ζπλνιηθά γηα φια ηα πεηξάκαηα ζην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ. Απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ππνινγίδνπκε φηη ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ γηα ην πξψην πείξακα είλαη: Σρήκα 4.5: Καηαλνκή καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ζηα κηθξνζθαηξίδηα. 166

168 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 4.2.2: 2 ο Πείραμα Σην δεχηεξν πείξακα ρξεζηκνπνηνχκε θαη πάιη ην κηθξνθαλάιη ηεο εηαηξίαο ibidi πνπ πεξηγξάθεθε ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Γχν καγλήηεο ηνπνζεηνχληαη θαηαθφξπθα κέζα ζηηο δηφδνπο ηνπ θαλαιηνχ θαη δεδνκέλνπ φηη ε κνληεινπνίεζε γίλεηαη ζην επίπεδν, θαηαζθεπάδνπκε ηελ παξαθάησ γεσκεηξία ζην FEMM: Σρήκα 4.6: Μνληεινπνίεζε δεχηεξνπ ζπζηήκαηνο. Απφ ηελ παξαπάλσ κνληεινπνίεζε θαη κε επίιπζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ παίξλνπκε ηα εμήο απνηειέζκαηα γηα ην πεδίν θνληά ζε έλαλ απφ ηνπο δχν καγλήηεο: Σρήκα 4.7: Μαγλεηηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή κέηξεζεο. Θεσξνχκε φηη φια ηα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα ηνπ πεηξάκαηνο θηλνχληαη ζε κηα κέζε γξακκή, κέρξη θαη 3mm καθξηά απφ ην καγλήηε. Σηελ πεξηνρή απηή ιακβάλνπκε ηηο ηηκέο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ζαλ αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα αιιά θαη ζαλ δηάγξακκα ην νπνίν παξνπζηάδεηαη παξαθάησ: 167

169 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σρήκα 4.8: Γηάγξακκα έληαζεο καγλεηηθνχ πεδίνπ ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο. Τα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη, ζπλνπηηθά θαη κφλν γηα ηελ πεξηνρή πνπ καο ελδηαθέξεη, ζην παξάξηεκα. Η ζέζε κε κεδεληθφ κήθνο αληηζηνηρεί ζηε ζέζε φπνπ βξίζθεηαη ν καγλήηεο. Αθνχ έρνπκε ππνινγίζεη ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ, πξνρσξάκε ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ηαρχηεηαο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Η δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηεο ηαρχηεηαο έρεη ήδε αλαιπζεί ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Υπνινγίδνπκε ηελ ηαρχηεηα απφ ηα θαξέ ηνπ βίληεν θαη γλσξίδνληαο ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ ζε θάζε ζέζε ππνινγίδνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα γηα θάζε θαξέ πνπ ελαιιάζζεηαη. Έηζη γηα θάζε καγλεηηθφ κηθξνζθαηξίδην ππνινγίζακε κηα θαηαλνκή ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε. Παξαθάησ βιέπνπκε έλα γξάθεκα ηεο κεηαβνιήο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε, ελφο απφ ηα κηθξνζθαηξίδηα ηνπ δεχηεξνπ πεηξάκαηνο. Σρήκα 4.9: Μεηαβνιή ηνπ ρ κε ηελ απφζηαζε γηα έλα κηθξνζθαηξίδην. 168

170 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σην δεχηεξν πείξακα κεηξήζεθαλ 7 κηθξνζθαηξίδηα ζε ζπλνιηθά 77 θαξέ θαη νη κέζνη φξνη γηα θάζε έλα απφ απηά παξνπζηάδνληαη ζηνλ πίλαθα θαη ην γξάθεκα πνπ αθνινπζεί. Πίλαθαο 4.2: Μέζεο καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο κηθξνζθαηξηδίσλ. Αριθμός ζθαιριδίοσ Μέζη μαγνηηική επιδεκηικόηηηα τ Απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ππνινγίδνπκε φηη ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ γηα ην δεχηεξν πείξακα είλαη: Σρήκα 4.10: Καηαλνκή καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ζηα κηθξνζθαηξίδηα. Παξαηεξνχκε φηη ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ ζθαηξηδίσλ θαη ζην δεχηεξν πείξακα είλαη εμαηξεηηθά κηθξφο. Οη ηηκέο ησλ δχν πεηξακάησλ είλαη εμαηξεηηθά παξφκνηεο παξ φιεο ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ επηκέξνπο ηηκψλ. Απηφ δίλεη κηα ζρεηηθή νκνηνγέλεηα ζηα απνηειέζκαηα. 169

171 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 4.2.3: 3 ο Πείραμα Σην ηξίην πείξακα ρξεζηκνπνηνχκε θαη πάιη ην κηθξνθαλάιη ηεο εηαηξίαο ibidi πνπ πεξηγξάθεθε ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Γχν καγλήηεο ηνπνζεηνχληαη αληηθξηζηά ζηα πιάγηα ηνπ θαλαιηνχ θαη δεδνκέλνπ φηη ε κνληεινπνίεζε γίλεηαη ζην επίπεδν, θαηαζθεπάδνπκε ηελ παξαθάησ γεσκεηξία ζην FEMM: Σρήκα 4.11: Μνληεινπνίεζε ηξίηνπ ζπζηήκαηνο. Απφ ηελ παξαπάλσ κνληεινπνίεζε θαη κε επίιπζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ παίξλνπκε ηα εμήο απνηειέζκαηα γηα ην πεδίν αλάκεζα ζηνπο δχν καγλήηεο: Σρήκα 4.12: Μαγλεηηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή κέηξεζεο. Σηελ πεξίπησζε απηή ην πεδίν είλαη γηα πξψηε θνξά ζρεδφλ επζχγξακκν αλάκεζα ζηνπο δχν καγλήηεο. Σηελ πεξηνρή απηή ιακβάλνπκε ηηο ηηκέο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ζαλ αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα αιιά θαη ζαλ δηάγξακκα ην νπνίν παξνπζηάδεηαη παξαθάησ: 170

172 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σρήκα 4.13: Γηάγξακκα έληαζεο καγλεηηθνχ πεδίνπ ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο. Τα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη, ζπλνπηηθά θαη κφλν γηα ηελ πεξηνρή πνπ καο ελδηαθέξεη, ζην παξάξηεκα. Η ζέζε κε κεδεληθφ κήθνο αληηζηνηρεί ζηε ζέζε φπνπ βξίζθεηαη ν έλαο απφ ηνπο δχν καγλήηεο. Αθνχ έρνπκε ππνινγίζεη ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ, πξνρσξάκε ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ηαρχηεηαο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Η δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηεο ηαρχηεηαο έρεη ήδε αλαιπζεί ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Υπνινγίδνπκε ηελ ηαρχηεηα απφ ηα θαξέ ηνπ βίληεν θαη γλσξίδνληαο ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ ζε θάζε ζέζε ππνινγίδνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα γηα θάζε θαξέ πνπ ελαιιάζζεηαη. Έηζη γηα θάζε καγλεηηθφ κηθξνζθαηξίδην ππνινγίζακε κηα θαηαλνκή ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε. Παξαθάησ βιέπνπκε έλα γξάθεκα ηεο κεηαβνιήο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε, ελφο απφ ηα κηθξνζθαηξίδηα ηνπ δεχηεξνπ πεηξάκαηνο. Σρήκα 4.14: Μεηαβνιή ηνπ ρ κε ηελ απφζηαζε γηα έλα κηθξνζθαηξίδην. 171

173 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σην ηξίην πείξακα κεηξήζεθαλ 13 κηθξνζθαηξίδηα ζε ζπλνιηθά 28 θαξέ θαη νη κέζνη φξνη γηα θάζε έλα απφ απηά παξνπζηάδνληαη ζηνλ πίλαθα θαη ην γξάθεκα πνπ αθνινπζεί. Πίλαθαο 4.3: Μέζεο καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο κηθξνζθαηξηδίσλ. Αριθμός ζθαιριδίοσ Μέζη μαγνηηική επιδεκηικόηηηα τ Απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ππνινγίδνπκε φηη ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ γηα ην ηξίην πείξακα είλαη: Σρήκα 4.15: Καηαλνκή καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ζηα κηθξνζθαηξίδηα. Παξαηεξνχκε φηη ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ ζθαηξηδίσλ ζην ηξίην πείξακα είλαη κεησκέλνο ζε ζρέζε κε ηα δχν πξνεγνχκελα. 172

174 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 4.2.4: 4 ο Πείραμα Σην ηέηαξην πείξακα ρξεζηκνπνηνχκε ηε βαζκνλνκεκέλε πιάθα πνπ πεξηγξάθεθε ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Έλαο καγλήηεο ηνπνζεηείηαη ζην άθξν ηνπ ηεηξαγψλνπ πνπ ζρεκαηίζακε κε ηελ πδξφθνβε κειάλε θαη δεδνκέλνπ φηη ε κνληεινπνίεζε γίλεηαη ζην επίπεδν, θαηαζθεπάδνπκε ηελ παξαθάησ γεσκεηξία ζην FEMM: Σρήκα 4.16: Μνληεινπνίεζε ηέηαξηνπ ζπζηήκαηνο. Απφ ηελ παξαπάλσ κνληεινπνίεζε θαη κε επίιπζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ παίξλνπκε ηα εμήο απνηειέζκαηα γηα ην πεδίν θνληά ζην καγλήηε: Σρήκα 4.17: Μαγλεηηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή κέηξεζεο. Θεσξνχκε φηη εζηηαδφκαζηε πεξηζζφηεξν ζηελ πεξηνρή ηεο κέζεο γξακκήο ηνπ καγλήηε θαη ζε ζέζεηο θνληά ζην άθξν ηνπ καγλήηε, ψζηε ην πεδίν λα είλαη ζρεδφλ επζχγξακκν. Σηελ πεξηνρή απηή ιακβάλνπκε ηηο ηηκέο ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ ζαλ αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα αιιά θαη ζαλ δηάγξακκα ην νπνίν παξνπζηάδεηαη παξαθάησ: 173

175 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σρήκα 4.18: Γηάγξακκα έληαζεο καγλεηηθνχ πεδίνπ ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο. Τα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη, ζπλνπηηθά θαη κφλν γηα ηελ πεξηνρή πνπ καο ελδηαθέξεη, ζην παξάξηεκα. Η ζέζε κε κεδεληθφ κήθνο αληηζηνηρεί ζηε ζέζε φπνπ βξίζθεηαη ν καγλήηεο. Αθνχ έρνπκε ππνινγίζεη ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ, πξνρσξάκε ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ηαρχηεηαο ησλ καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Η δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηεο ηαρχηεηαο έρεη ήδε αλαιπζεί ζην ζεσξεηηθφ κέξνο. Υπνινγίδνπκε ηελ ηαρχηεηα απφ ηα θαξέ ηνπ βίληεν θαη γλσξίδνληαο ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ ζε θάζε ζέζε ππνινγίδνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα γηα θάζε θαξέ πνπ ελαιιάζζεηαη. Έηζη γηα θάζε καγλεηηθφ κηθξνζθαηξίδην ππνινγίζακε κηα θαηαλνκή ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε. Παξαθάησ βιέπνπκε έλα γξάθεκα ηεο κεηαβνιήο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο κε ηελ απφζηαζε απφ ην καγλήηε, ελφο απφ ηα κηθξνζθαηξίδηα ηνπ δεχηεξνπ πεηξάκαηνο. Σρήκα 4.19: Μεηαβνιή ηνπ ρ κε ηελ απφζηαζε γηα έλα κηθξνζθαηξίδην. 174

176 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σην ηέηαξην πείξακα κεηξήζεθαλ 16 κηθξνζθαηξίδηα ζε ζπλνιηθά 48 θαξέ θαη νη κέζνη φξνη γηα θάζε έλα απφ απηά παξνπζηάδνληαη ζηνλ πίλαθα θαη ην γξάθεκα πνπ αθνινπζεί. Πίλαθαο 4.4: Μέζεο καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο κηθξνζθαηξηδίσλ. Αριθμός ζθαιριδίοσ Μέζη μαγνηηική επιδεκηικόηηηα τ Απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ππνινγίδνπκε φηη ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ γηα ην ηέηαξην πείξακα είλαη: Σρήκα 4.20: Καηαλνκή καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ζηα κηθξνζθαηξίδηα. 175

177 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ 4.3: Σσμπεράζμαηα Προηάζεις Σηα παξαπάλσ ηέζζεξα πεηξάκαηα εμεηάζηεθαλ ζπλνιηθά νη καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο 45 καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ θαη απφ απηέο πξνθχπηεη έλαο ζπλνιηθφο κέζνο φξνο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ρ= Η ηηκή απηή είλαη πνιχ κηθξή ζε ζρέζε κε φιεο ηηο ηηκέο ηεο βηβιηνγξαθίαο γηα ζηδεξνχρα καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα πνπ είδακε ζην θεθάιαην 3. Θπκίδνπκε φηη νη ηηκέο απηέο θπκαίλνληαλ απφ κέρξη θαη γηα νμείδηα ηνπ ζηδήξνπ θαη παξνπζηάδνληαη ζηνλ πίλαθα 3.4. Αλ εμεηάζνπκε ηνπο κέζνπο φξνπο ησλ πεηξακάησλ μερσξηζηά έρνπκε γηα ην πξψην θαη δεχηεξν πείξακα θαη Οη ηηκέο απηέο έρνπλ κελ κηθξή απφθιηζε κεηαμχ ηνπο αιιά έρνπλ κεγάιε απφθιηζε ζε ηάμε κεγέζνπο απφ ηηο αλακελφκελεο ηηκέο. Πξάγκαηη, ζηα πεηξάκαηα απηά παξαηεξνχκε απφ ηα ζρήκαηα 4.2 θαη 4.7 φηη ην καγλεηηθφ πεδίν, αθφκα θαη πνιχ θνληά ζην καγλήηε, δελ κπνξεί λα ζεσξεζεί επζχγξακκν θαηά ηε δηεχζπλζε θίλεζεο ησλ ζσκαηηδίσλ. Σηα επφκελα δχν πεηξάκαηα ν κέζνο φξνο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο πέθηεη αθφκα πεξηζζφηεξν ζε ζρέζε κε ηα πξνεγνχκελα. Οη ηηκέο πνπ παίξλεη είλαη θαη Η κείσζε είλαη ζεκαληηθή βξηζθφκαζηε πιένλ ηξείο ηάμεηο κεγέζνπο θάησ απφ ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο. Οη κέγηζηεο ηηκέο πνπ παξαηεξνχληαη ζε καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα απφ φιεο ηηο κεηξήζεηο είλαη ε ηηκή γηα ην φγδνν κηθξνζθαηξίδην ηνπ ηέηαξηνπ πεηξάκαηνο θαη ε ηηκή γηα ην έβδνκν κηθξνζθαηξίδην ηεο πξψηεο ζεηξάο. Αθφκα θαη απηέο νη ηηκέο φκσο δελ κπνξνχλ λα ζπγθξηζνχλ κε ηηο ηηκέο ηεο βηβιηνγξαθίαο. Απφ ηελ άιιε πιεπξά νη ειάρηζηεο ηηκέο είλαη ηφζν κηθξέο πνπ ζα κπνξνχζαλ λα αλαθέξνληαη κφλν ζε κε ζηδεξνχρα πιηθά. Παξαθάησ θαίλεηαη έλα δηάγξακκα κε ηηο ηηκέο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο πνπ ππνινγίζηεθαλ γηα φια ηα κηθξνζθαηξίδηα ζε φια ηα πεηξάκαηα. Σρήκα 4.21: Μαγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο φισλ ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ πνπ κεηξήζεθαλ. 176

178 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Σπκπεξάζκαηα Απνιχησο βέβαηα ζπκπεξάζκαηα δελ κπνξνχλ λα εμαρζνχλ απφ απηά ηα πεηξάκαηα γηαηί εθ ησλ πξαγκάησλ δελ γλσξίδνπκε ηελ πξαγκαηηθή καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ησλ ζθαηξηδίσλ πνπ κεηξήζακε. Γηα λα ειέγμνπκε ηελ αμηνπηζηία ησλ πεηξακάησλ ζα έπξεπε λα ηα επαλαιάβνπκε θαη κε καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα γλσζηήο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο. Απφ ηελ άιιε πιεπξά δεδνκέλνπ φηη γλσξίδνπκε ηελ πεξηεθηηθφηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζε ζίδεξν, πνπ είλαη 2-4% κπνξνχκε εκπεηξηθά λα ππνζέζνπκε φηη νη ηηκέο πνπ πξνέθπςαλ απφ ηηο κεηξήζεηο είλαη ηδηαίηεξα ρακειέο. Η αδπλακία ηνπ πεηξάκαηνο λα πξνζεγγίζεη ηηο αλακελφκελεο ηηκέο νθείιεηαη ζε δηάθνξνπο ιφγνπο. Απφ ηελ αξρή ηεο ζεσξεηηθήο ηεθκεξίσζεο ιάβακε δηάθνξεο παξαδνρέο κε βαζηθφηεξε απηή φηη ην πεδίν είλαη επζχγξακκν ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο. Απηφ φπσο είδακε απφ ηηο κνληεινπνηήζεηο αθφκα είλαη κηα ηδηαίηεξα ρνλδξνεηδήο πξνζέγγηζε. Δπίζεο ην καγλεηηθφ πεδίν δελ κεηξάηαη κε θάπνην φξγαλν ζην πείξακα, αιιά πξνζδηνξίδεηαη ππνινγηζηηθά. Ο ππνινγηζηηθφο πξνζδηνξηζκφο φκσο, φζν θαη αλ πξνζεγγίδεη ηελ πξαγκαηηθφηεηα, έρεη ρξεζηκνπνηήζεη έλαλ ηδαληθφ καγλήηε κε θάπνηεο βηβιηνγξαθηθέο ηδηφηεηεο θαη φρη ηνλ πξαγκαηηθφ πνπ ρξεζηκνπνηήζακε εκείο. Δπίζεο γηα ιφγνπο απιφηεηαο ζηα κνληέια δελ εκθαλίδεηαη θαζφινπ ε επίδξαζε απφ εμσηεξηθά κέξε, φπσο ην πιαζηηθφ πνπ παξεκβάιιεηαη αλάκεζα ζην καγλήηε θαη ην ξεπζηφ ζην πείξακα 3. Δπίζεο ζην πείξακα 3 εκθαλίδνληαη πξνβιήκαηα φπσο ην φηη ν καγλήηεο δελ είλαη ζην ίδην επίπεδν κε ηα κηθξνζθαηξίδηα, αιιά ιίγν ςειφηεξα, αθνχ βξίζθεηαη εμσηεξηθά πάλσ απφ ην κηθξνθαλάιη ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Απηφ κπνξεί λα αλαγθάδεη ηα κηθξνζθαηξίδηα λα θηλεζνχλ εθαπηνκεληθά ζην άλσ ηνίρσκα ηνπ θαλαιηνχ δεκηνπξγψληαο δπλάκεηο ηξηβήο πνπ δελ έρνπκε ιάβεη ππφςε. Ιδηαίηεξα ζηα δχν πξψηα πεηξάκαηα, ν καγλήηεο είλαη ζε ζέζε θαηαθφξπθε ζε ζρέζε κε ην επίπεδν θίλεζεο ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ. Όπσο πξνείπακε απηφ δεκηνπξγεί έλα πεδίν κε απνθιίλνπζεο καγλεηηθέο γξακκέο πξνο ηα πάλσ θαη κάιηζηα κε ηδηαίηεξα κεγάιε θιίζε ζηελ πεξηνρή ησλ κεηξήζεσο. Έηζη ζηα δχν απηά ε πξνζέγγηζε γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο καγλεηηθήο επίδξαζεο πξνθαιεί ζθάικα ζηα απνηειέζκαηα. Αθφκα ζην ηέηαξην πείξακα φπνπ είρακε ηελ βαζκνλνκεκέλε πιάθα, ην δείγκα ηνπνζεηείηαη ζηελ ειεχζεξε επηθάλεηα ηεο πιάθαο θαη ζρεκαηίδεη ζηαγφλα ιφγσ ησλ επηθαλεηαθψλ ηάζεσλ ζπλνρήο. Αλ ε ζηαγφλα έρεη κεγάιν πάρνο ηφηε ην θψο δηαζιάηαη ζηελ επηθάλεηα ηεο θαη δελ κπνξεί λα εηζρσξήζεη κε απνηέιεζκα λα κελ κπνξνχκε λα πάξνπκε κεηξήζεηο κε ην κηθξνζθφπην. Αθαηξψληαο πιηθφ κπνξνχκε ηειηθά λα δεκηνπξγήζνπκε έλα ιεπηφ ζηξψκα δείγκαηνο ζην νπνίν κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε ηα κηθξνζθαηξίδηα. Τν ζηξψκα απηφ δελ γλσξίδνπκε ηη πάρνο έρεη θαη αλ επηδξά ζηα κηθξνζθαηξίδηα δεκηνπξγψληαο επηπιένλ θαηλφκελα ηξηβήο. Δπηπιένλ είδακε φηη ηα κηθξνζθαηξίδηα είλαη πδξφθνβα θαη έρνπλ ηελ ηάζε λα παγηδεχνληαη ζηελ ειεχζεξε επηθάλεηα ηνπ ξεπζηνχ. Αλ ζπλέβε απηφ θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ πεηξάκαηνο ηφηε ηα απνηειέζκαηα έρνπλ επεξεαζηεί ζεκαληηθά. Τέινο, δεδνκέλνπ ηνπ ιεπηνχ πάρνπο ηνπ ζηξψκαηνο θαη ηνπ γεγνλφηνο φηη θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ πεηξάκαηνο ην δείγκα βξηζθφηαλ θάησ απφ ηε ζεξκή ιάκπα ηνπ κηθξνζθνπίνπ, κπνξεί λα εκθαλίδνληαη θαη θαηλφκελα εμάηκηζεο ηα νπνία δελ ιακβάλνπκε ππφςε. 177

179 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Πέξα απφ ηα δεηήκαηα ηνπ ζρεδηαζκνχ ησλ πεηξακάησλ ππάξρεη κηα άιιε παξάκεηξνο πνπ εηζάγεη ζνβαξά ζθάικαηα ζηα απνηειέζκαηα. Απηή ε παξάκεηξνο είλαη ε θαηαγξαθή θαη επεμεξγαζία ηεο θίλεζεο ησλ ζθαηξηδίσλ. Η αδπλακία καο λα θαηαγξάςνπκε ηηο ηαρχηεηεο ησλ πξαγκαηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ κε ηνλ εμνπιηζκφ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη ακέζσο εκθαλήο αλ ιάβνπκε ππφςε καο ηα παξαθάησ: Έζησ φηη ε ηηκή ηνπ πεδίνπ ζε κηα ζέζε ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο είλαη 0.3T. Η ηηκή απηή είλαη ζπλήζεο θαη κέζα ζηα πιαίζηα ηνπ πεηξάκαηνο, φπσο ην παξνπζηάζακε παξαπάλσ θαη φπσο θαίλεηαη ζην παξάξηεκα. Έζησ επίζεο φηη ν φξνο Β(dB/dx) ζηε ζέζε απηή είλαη πεξίπνπ Ν 2 Α 2 /mm 3. Γηα λα πξνθχςεη ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα ηεο ηάμεο ηεο βηβιηνγξαθηθήο ηηκήο ηνπ 0.2 απφ ηε ζρέζε (4.5) ζα έπξεπε λα θαηαγξάςνπκε ηαρχηεηεο καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ ηεο ηάμεο ησλ 20000κm/s, δειαδή 20mm/s. Απηφ ζεκαίλεη φηη γηα λα θαηαγξάςνπκε ηελ πξαγκαηηθή ηαρχηεηα ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ έρνπκε θάζε ζηηγκή κφλνλ θάπνηα θιάζκαηα ηνπ δεπηεξνιέπηνπ απφ ηελ αξρή ηνπ πεηξάκαηνο. Σε φια ηα πεηξάκαηα πνπ πξαγκαηνπνηήζακε ν καγλήηεο ηνπνζεηείηαη κε ην ρέξη ζηελ θαηάιιειε ζέζε θαη ζηε ζπλέρεηα απαηηείηαη θάπνηνο ρξφλνο κέρξη λα ηνπνζεηεζεί ζηε ζσζηή ζέζε θάησ απφ ην θαθφ ηνπ κηθξνζθνπίνπ. Απφ φζα εηπψζεθαλ παξαπάλσ θαηαιαβαίλνπκε φηη φζν θαη αλ κεηψζνπκε απηφ ηνλ αξρηθφ ρξφλν ζε θάζε πεξίπησζε ηα κηθξνζθαηξίδηα ζα έρνπλ θηάζεη ζην άθξν ηνπ καγλήηε πξηλ θαλ αξρίζνπκε λα θαηαγξάθνπκε ηελ θίλεζή ηνπο. Δπίζεο αθφκα θαη αλ κπνξνχζακε λα θαηαγξάςνπκε ηελ θίλεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ απφ ηελ αξρή, ζα κπνξνχζακε λα θαηαγξάςνπκε κφλν ηαρχηεηεο κέρξη 1216κm/s, δειαδή 1.2mm/s ζην νξηδφληην κέξνο ηεο εηθφλαο ηεο θάκεξαο θαη κέρξη 912κm/s, δειαδή 0.9mm/s ζην θαηαθφξπθν κέξνο ηεο εηθφλαο. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί φπσο είπακε ην κέγεζνο ηεο εηθφλαο πνπ παξάγεηαη απφ ηελ θάκεξα είλαη 640x480 pixel θαη ε βαζκνλφκεζε έδεημε φηη 1pixel αληηζηνηρεί ζε 1.9κm, ελψ απφ ην πξφγξακκα επεμεξγαζίαο ηνπ βίληεν κπνξνχζακε λα ιάβνπκε κφλν 1 θαξέ αλά δεπηεξφιεπην. Σπκπεξαίλνπκε ινηπφλ φηη απηά πνπ εκθαλίδνληαη ζην βίληεν θαη κεηξνχληαη σο καγλεηηθά κηθξνζθαηξίδηα κάιινλ είλαη κηθξνζθαηξίδηα πνπ έρνπλ ελσζεί κε αθαζαξζίεο ηνπ δείγκαηνο, ζπζζσκαηψκαηα κηθξνζθαηξηδίσλ ή κηθξνζθαηξίδηα πνπ βξίζθνληαη ζηα φξηα ηεο θαηαλνκήο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο πνπ ηα ραξαθηεξίδεη. Δπνκέλσο, απφ φζα παξνπζηάζηεθαλ παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε φηη πξάγκαηη έλα κεγάιν ζθάικα είλαη δπλαηφ λα έρεη εηζαρζεί ζηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα. Τν ζθάικα απηφ δελ είλαη άκεζα ππνινγίζηκν, θαζψο δελ γλσξίδνπκε ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ησλ απνηειεζκάησλ. Άιισζηε έρνπκε ήδε αλαθέξεη ζε άιιν θεθάιαην φηη ε αθξηβήο κέηξεζε ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο ελφο ζψκαηνο είλαη δχζθνιν εγρείξεκα. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί νη δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη ζηα ζψκαηα είλαη γεληθά αζζελείο νπφηε επεξεάδνληαη αξθεηά απφ άιιεο δπλάκεηο πνπ δξνπλ ζην πεξηβάιινλ θαη ζε άιιε πεξίπησζε ζα ηηο ζεσξήζακε ακειεηέεο. Δπίζεο ε κέηξεζε ελφο αζζελνχο καγλεηηθνχ πεδίνπ θαη ε κέηξεζε ηεο κεηαβνιήο ηνπ ζε απφζηαζε κφιηο κεξηθά κηθξά είλαη ζρεδφλ αδχλαην λα πξαγκαηνπνηεζνχλ κε ζπκβαηηθά κέζα. Παξαθάησ ζα πξνρσξήζνπκε ζε πξφηαζε δηαθφξσλ κέηξσλ γηα ηε βειηίσζε ησλ απνηειεζκάησλ ελφο πεηξάκαηνο κέηξεζεο ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο. 178

180 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Πξνηάζεηο Οη πξνηάζεηο πνπ κπνξνχκε λα θάλνπκε γηα λα βειηησζεί ε πεηξακαηηθή δηαδηθαζία ζρεηίδνληαη άκεζα κε ηηο παξαηεξήζεηο πνπ θάλακε παξαπάλσ γηα ηνπο ηνκείο φπνπ κπνξεί λα εηζήιζαλ παξάγνληεο ζθαικάησλ. Έηζη πξνρσξάκε ζηε ζπλέρεηα ζε κηα απαξίζκεζε ησλ παξαγφλησλ πνπ επηδέρνληαη βειηηψζεηο, αιιά θαη ζε κηα παξνπζίαζε ελφο λένπ πεηξάκαηνο πνπ πηζαλψο κπνξεί λα δψζεη θαιχηεξα απνηειέζκαηα. Καη αξρήλ απαηηείηαη λα γλσξίδνπκε κε κεγαιχηεξε αθξίβεηα ην καγλεηηθφ πεδίν θαη ηνλ ξπζκφ κεηαβνιήο απηνχ ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο. Δπεηδή είλαη γεληθά απνδεθηφ φηη ε κέηξεζε ηνπ πξαγκαηηθνχ πεδίνπ είλαη ηδηαίηεξα δχζθνιε, πξνηείλνπκε ζε δεχηεξε θάζε ηα κνληέια πνπ πξαγκαηνπνηεζνχλ γηα ηελ επίιπζε ηνπ καγλεηνζηαηηθνχ πξνβιήκαηνο κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία λα είλαη πην αθξηβή θαη λα ζπκπεξηιακβάλνπλ ζηνηρεία ηνπ πεξηβάιινληνο, φπσο ηα πιηθά ζψκαηα κέζα ζηα νπνία ξένπλ ηα κηθξνζθαηξίδηα. Γηα λα απμεζεί επίζεο ε αθξίβεηα κε ηελ νπνία ιακβάλνπκε ππφςε ην καγλεηηθφ πεδίν, πξνηείλνπκε, αλ δελ κπνξνχκε λα εμαζθαιίζνπκε επζχγξακκν καγλεηηθφ πεδίν ζηελ πεξηνρή ηεο κέηξεζεο, λα εηζάγνπκε ζηνλ ππνινγηζκφ φινπο ηνπο φξνπο ηεο δχλακεο θαη θαη επέθηαζε φινπο ηεο ηαρχηεηαο. Σηελ πεξίπησζε απηή απμάλεηαη ε πνιππινθφηεηα ηνπ πξνβιήκαηνο, ην νπνίν γίλεηαη πιένλ ηξηζδηάζηαην θαη φρη γξακκηθφ, φπσο ην ζεσξνχζακε κέρξη ηψξα. Έλα άιιν ζεκαληηθφ ζηνηρείν είλαη ε ελζσκάησζε ηνπ καγλήηε ζην πεδίν ησλ κεηξήζεσλ. Αλ δειαδή θάλνπκε ηηο κεηξήζεηο ζε κηθξνθαλάιη, φπσο απηφ πνπ παξνπζηάζηεθε, ζα πξέπεη λα εμαζθαιίζνπκε εμαξρήο φηη ν καγλήηεο ζα είλαη ζηέξεα ζπλδεδεκέλνο ζηε ζρεδηαζκέλε ηνπ ζέζε ζην θαλάιη. Αλ απηφ δελ είλαη δπλαηφ, ζα πξέπεη λα εμαζθαιίδεηαη ηνπιάρηζηνλ φηη ε ηνπνζέηεζε ηνπ ζα γίλεηαη κε αθξίβεηα θαη ρσξίο λα πξνθαιεί αλαηαξάμεηο ζην ππφινηπν ζχζηεκα. Απηφ είλαη πνιχ ζεκαληηθφ γηαηί φπσο είδακε, αλάινγα κε ηε δηάηαμε πνπ ζρεδηάζακε, ηα πξψηα δεπηεξφιεπηα ηεο κέηξεζεο κπνξεί λα είλαη ηα πιένλ θξίζηκα. Απφ ηελ εκπεηξία πνπ απνθνκίζακε απφ ην πείξακα πνπ πξαγκαηνπνηήζεθε, πξνηείλνπκε επίζεο νη κεηξήζεηο καγλεηηθψλ κηθξνζθαηξηδίσλ λα γίλνληαη πάληα ζε θιεηζηά κηθξνθαλάιηα. Απφ φηη θάλεθε παξαπάλσ ε ζπκπεξηθνξά ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ είλαη ζρεηηθά επαίζζεηε ζηνπο εμσηεξηθνχο παξάγνληεο θαη γηα ην ιφγσ απηφ θαιφ είλαη λα απνκνλψλνπκε ηελ πεξηνρή ηνπ πεηξάκαηνο απφ ην πεξηβάιινλ. Γεδνκέλνπ φηη ην κεγαιχηεξν πξφβιεκα ησλ κεηξήζεσλ εληνπίδεηαη θπξίσο ζηελ νπηηθή παξαθνινχζεζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ, είλαη ζεκαληηθφ λα ππάξρεη ε δπλαηφηεηα θαηαγξαθήο ησλ θηλήζεψλ ηνπο. Δπνκέλσο ζα πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θάκεξα πςειήο ηαρχηεηαο θαη πξφγξακκα επεμεξγαζίαο πνιπκέζσλ πνιιαπιψλ δπλαηνηήησλ. Μάιηζηα αλ πξφθεηηαη λα πξαγκαηνπνηεζνχλ κεηξήζεηο κεγάινπ εχξνπο ζα πξέπεη λα ρξεζηκνπνηεζεί αιγφξηζκφο παξαθνινχζεζεο γηα ηα ζσκαηίδηα, αθνχ ν εληνπηζκφο θαη ε θαηαγξαθή ηνπο απφ άλζξσπν ζα είλαη πνιχ δχζθνινο. Μηα ζθέςε πνπ κπνξεί λα επηθέξεη κεγάιε βειηίσζε ζηε κέηξεζε ηεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο, είλαη λα εηζάγνπκε ηα κηθξνζθαηξίδηα κέζα ζε ξνή, θάζεηε πξνο ηε δηεχζπλζε ηεο καγλεηηθήο δχλακεο. Με ηνλ ηξφπν απηφ ζεσξνχκε φηη ζηε δηεχζπλζε ηεο ξνήο ε ηαρχηεηα ησλ ζθαηξηδίσλ είλαη ε ζηαζεξή ηαρχηεηα ηνπ ξεπζηνχ θαη ζηνλ άμνλα άζθεζεο ησλ καγλεηηθψλ δπλάκεσλ ε ηαρχηεηα κπνξεί λα πξνζνκνησζεί αθξηβψο φπσο θαη ζην δηθφ καο πείξακα. 179

181 Κεφάλαιο 4: Πείραμα υπολογιςμού μαγνητικήσ επιδεκτικότητασ Τν γεγνλφο φηη ηα ζθαηξίδηα έρνπλ ήδε κηα ηαρχηεηα ζε δηαθνξεηηθή δηεχζπλζε απφ απηή ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ καο βνεζά λα επηβεβαηψζνπκε φηη ηα κηθξνζθαηξίδηα δελ έρνπλ «θνιιήζεη» θάπνπ ιφγσ ηξηβψλ ή άιισλ θαηλνκέλσλ πνπ αγλννχκε. Σην πείξακα απηφ κεηξάκε ηελ θάζεηε απφθιηζε ησλ ζθαηξηδίσλ απφ ηελ επζχγξακκε ξνή πνπ ζα είραλ αλ δελ καγλεηίδνληαλ θαη κε βάζε απηή εμάγνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηά ηνπο. Όζν πην κεγάιε είλαη ε καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα, ηφζν πεξηζζφηεξν ζα απνθιίλνπλ ηα κηθξνζθαηξίδηα απφ ηελ επζχγξακκε πνξεία. Σρήκα 4.22: Ταρχηεηα κηθξνζθαηξηδίνπ ζε ξνή ππφ ηελ επίδξαζε καγλεηηθνχ πεδίνπ. [4.3] Δπηπιένλ κε ηε κέζνδν απηή κπνξνχκε αληί λα κεηξάκε κε νπηηθά κέζα ηελ ηαρχηεηα ζηε δηεχζπλζε ηνπ καγλεηηθνχ πεδίνπ, λα θαηαζθεπάζνπκε εμφδνπο ζε δηάθνξεο απνζηάζεηο θαη λα κεηξάκε ηε ζπγθέληξσζε ησλ κηθξνζθαηξηδίσλ ζε θάζε κηα απφ απηέο. Φπζηθά ηα απνηειέζκαηα πνπ ζα παίξλνπκε ζα είλαη ζε δηαθξηηή κνξθή αιιά ζα έρνπκε αξθεηά κεγάιε αθξίβεηα. Δηθφλα 4.7: Πεηξακαηηθή ζπζθεπή κέηξεζεο καγλεηηθήο επηδεθηηθφηεηαο. [4.3] Σηελ παξαπάλσ πεξίπησζε αλ l είλαη ην κήθνο αλάκεζα ζηε είζνδν θαη ηελ έμνδν ηνπ ξεπζηνχ ηφηε ν ρξφλνο πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα δηαλχζεη ηελ απφζηαζε απηή είλαη t=u hyd l. Αλ ηψξα ε έμνδνο ζηελ νπνία έρνπκε ηε κεγαιχηεξε ζπγθέληξσζε κηθξνζθαηξηδίσλ απέρεη Γy θαηά ηελ θαηαθφξπθε δηεχζπλζε απφ ηελ είζνδν, ηφηε πξνθχπηεη φηη u mag =Γy/t θαη αληηθαζηζηψληαο ζηε ζρέζε (4.8) ή αλ ζεσξήζνπκε επζχγξακκν καγλεηηθφ πεδίν, απεπζείαο ζηε ζρέζε (4.5) ππνινγίδνπκε ηελ καγλεηηθή επηδεθηηθφηεηα γηα ην δείγκα απηφ. Φηηάρλνληαο πνιιέο εμφδνπο κπνξνχκε λα κεηξήζνπκε ηαπηφρξνλα ηηο καγλεηηθέο επηδεθηηθφηεηεο δηαθφξσλ κηγκάησλ, ελψ κπνξνχκε λα θάλνπκε θαη δηαρσξηζκφ ησλ δεηγκάησλ κε γλσζηέο δηαθνξεηηθέο καγλεηηθέο δηαπεξαηφηεηεο. 180