Energetska priroda toplote Mejer i Džul (R. Mayer, , i J. Joul, ) W. Thomson S. Carnot J. W. Gibbs

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Energetska priroda toplote Mejer i Džul (R. Mayer, , i J. Joul, ) W. Thomson S. Carnot J. W. Gibbs"

Transcript

1 ERMODINAMIKA

2 ermodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje u njima. ermodinamika je naučna disiplina koja se bavi: proučavanjem pretvaranja energije iz jednog oblika u drugi proučavanjem energetskih efekata u fizičkim i hemijskim procesima i njihovom zavisnošću od uslova pod kojima se odvijaju mogućnošću, smerom i ograničenjima spontanih procesa pod datim uslovima ermodinamika proučava energetske promene i ravnotežu hemijskih reakcija, polazeći od makroskopskih veličina hemijskih sistema (pritisak, temperatura, zapremina, masa), pri čemu teži da odredi: šta pokreće hemijsku reakciju smer odvijanja hemijske reakcije uslove ravnoteže hemijske reakcije

3 Istorijski razvoj termodinamike ermin termodinamika omson (W. homson, ) Ispitivanje rada toplotnih mašina Karno (S. Carnot, ) Energetska priroda toplote Mejer i Džul (R. Mayer, , i J. Joul, ) Primena termodinamike na hemijske procese Gibs (J. W. Gibbs), 876 Primena termodinamike na fizičke procese krajem XIX veka W. homson S. Carnot J. W. Gibbs

4 OSNONI ERMODINAMIČKI POJMOI Osnovni termodinamički pojmovi: termodinamički sistem termodinamičke osobine termodinamičko stanje sistema termodinamički parametri stanja termodinamičke funkcije stanje sistema termodinamička ravnoteža i nulti zakon termodinamike termodinamički proces 4

5 ERMODINAMIČKI SISEM ermodinamički sistem je deo univerzuma uzet za posmatranje i od ostalog dela univerzuma razdvojen graničnom površinom. Sistem sa okolinom može kroz graničnu površinu da razmenjuje energiju (u vidu toplote i rada) i materiju. materija Zatvoren sistem razmenjuje samo energiju sa okolinom. materija sistem energija sistem energija okolina Izolovan materija sistem energija okolina Otvoren Izolovan sistem ne razmenjuje ni energiju ni materiju sa okolinom. okolina Zatvoren Otvoren sistem razmenjuje i energiju i materiju sa 5 okolinom.

6 Homogen je sistem koji je uniforman po svim svojim osobinama po bilo kom izabranom pravcu. Heterogen sistem je sistem unutar koga postoje tačke u kojima se neka osobina naglo menja. Jednofazni sistem (gas ili smeša gasova, potpuno mešljive tečnosti, npr. voda i alkohol, čvrste supstance) išefazni sistem (delimično mešljive ili potpuno nemešljive tečnosti, npr. voda i ulje ili voda i živa) Jednokomponentan sistem čini jedna hemijska vrsta (supstancija). išekomponentan sistem čini više hemijskih vrsta (supstancija). Neravnotežan termodinamički sistem je sistem čije su termodinamičke osobine promenljive u vremenu. Ravnotežni termodinamički sistem je sistem čije su termodinamičke osobine nepromenljive u vremenu.

7 ERMODINAMIČKE OSOBINE ermodinamički sistem se opisuje termodinamičkim osobinama ili promenljivim: Ekstenzivne osobine sistema zavise od količine materije i aditivne su (masa, zapremina, unutrašnja energija, entalpija...) m = m + m Intenzivne osobine sistema ne zavise od količine materije i nisu aditivne (temperatura, pritisak, gustina...) ρ ρ + ρ

8 PARAMERI SANJA SISEMA Stanje termodinamičkog sistema se opisuje paramatrima stanja: Količina supstancije, n Pritisak, P Zapremina, emperatura, Jednačine stanja f(p,, ) = 0

9 ERMODINAMIČKA RANOEŽA ermodinamička ravnoteža: ermička ravnoteža - temperatura je ista u svim delovima termodinamičkog sistema. Hemijska ravnoteža - hemijski sastav je isti u svim tačkama sistema i ne menja se. Mehanička ravnoteža nema makroskopskih kretanja u sistemu ili sistema u odnosu na okolinu. Nulti zakon termodinamike Ako se posmatraju tri sistema A, B i C, i ako su sistemi A i C kao i B i C u termičkoj ravnoteži, tada moraju biti i A i B u termičkoj ravnoteži.

10 ERMODINAMIČKI PROCES ermodinamički proces - promena stanja termodinamičkog sistema. Izobarni proces proces koji se odvija u uslovima konstantnog pritiska (P = const.) Izohorni proces proces koji se odvija u uslovima konstantne zapremine ( = const.) Izotermski proces proces koji se odvija u uslovima konstantne temperature ( = const.) Adijabatski proces proces koji se dešava bez razmene energije u vidu toplote između sistema i okoline. Reverzibilan (povratni) proces - beskonačno spor proces tako da sistem neprekidno prolazi kroz niz uzastopnih ravnotežnih stanja. o je proces koji se u svakom trenutku može dešavati u suprotnom smeru dejstvom infinitezimalne promene spoljašnjih uslova. Ireverzibilan (nepovratni) proces proces koji se izvodi brzo i sistem nema priliku da postigne ravnotežu.

11 Endoterman proces - proces u kome se apsorbuje toplota. Egzoterman proces - proces u kome se oslobađa toplota. Zidovi koji dozvoljavaju transfer energije u obliku toplote između sistema i okoline su dijatermički, a zidovi koji ne dozvoljavaju su adijabatski. a) Endoterman proces u adijabatskom sudu: opadanje temperature sistema. b) Egzoterman proces u adijabatskom sudu: porast temperature sistema. c) Endoterman proces u dijatermičkom sudu: opadanje temperature okoline. d) Egzoterman proces u dijatermičkom sudu: porast temperature okoline.

12 FUNKCIJE SANJA I FUNKCIJE PUA Funkcije stanja su osobine sistema koje zavise samo od njegovog trenutnog stanja (, p), a ne zavise od puta kojim je to stanje dostignuto. Funkcije puta su osobine sistema koje zavise od puta kojim je sistem došao u to stanje. stanje A Put stanje B Put

13 ERMODINAMIČKE FUNKCIJE SANJA Promena termodinamičke funkcije stanja određena je samo početnim i krajnim stanja sistema i nezavisna je od puta uspostavljanja tog stanja. X=X - X X i X termodinamička funkcija stanja u početnom i krajnjem stanju Promena termodinamičke funkcije stanja se može prikazati kao potpuni diferencijal. X dx dx X X X X 0 X dx X X Ukupna promena termodinamičke funkcije stanja pri reverzibilnom kružnom procesu jednaka je nuli. X

14 OSNONI ERMODINAMIČKI POJMOI - pregled Osnovni termodinamički pojmovi: termodinamički sistem termodinamičke osobine termodinamičko stanje sistema termodinamički parametri stanja termodinamičke funkcije stanje sistema termodinamička ravnoteža i nulti zakon termodinamike termodinamički proces 4

15 I ZAKON ERMODINAMIKE

16 RAD, ENERGIJA I OPLOA Energija: kinetička, potencijalna, termička, hemijska, površinska. Energija se definiše i kao sposobnost sistema da vrši rad. oplota q predstavlja oblik prenosa energije zbog postojanja temperaturske razlike između sistema i okoline. oplota - haotično kretanje čestica. Rad w predstavlja oblik prenosa energije zbog dejstva sile duž puta. Rad je skalarna veličina određena skalarnim proizvodom dva vektora, sile F i puta L. 6 Rad - uređeno kretanje čestica.

17 Predznak unutrašnje energije, toplote i rada pozitivan negativan kao rezultat promene povećava se unutrašnja energija sistema (sistem prima energiju, rad, toplotu) kao rezultat promene smanjuje se unutrašnja energija sistema (sistem odaje energiju, rad, toplotu) Jedinice za rad, energiju i toplotu SI sistem džul (Joul); J = kg m /s Stara jedinica kalorija, cal; cal = 4,84 J

18 B. homson H. Davy J. P. Joule J. R. Mayer H. Helmoltz

19 Mayer & Joule: Ekvivalentnost između utrošenog rada, bez obzira na njegovo poreklo i oslobođene toplote. Mayer Da bi se podigao teg od g na visinu od 365m potrebno je: w = mgh = 0 3 kg 9,8m/ s 365m = 3,58J Da bi se g vode podigla temperatura od 0 do o C potrebno je: q = C =,0087cal/gKgK =,0087 cal J ME = w/q = 3.58J/.0087cal = 3.55 J/cal Mehanički ekvivalent toplote predstavlja konačan i konstantan odnos između izvršenog mehaničkog rada i prouzvedene toplote koji iznosi 4,860 J/cal. oplotni ekvivalent mehaničkog rada je odnos između utrošene toplote i izvršenog rada i iznosi 0,389 cal/j.

20 PRI ZAKON ERMODINAMIKE Ukupna energija sistema i njegove okoline je konstantna; energija se ne može uništiti ili stvoriti; ona se može samo transformisati iz jednog oblika u drugi oblik. du i du sistem du okolina 0 U - unutrašnja energija Promena unutrašnje energije zatvorenog sistema jednaka je energiji koju sistem razmeni sa okolinom u vidu toplote i rada: za konačnu promenu stanja za beskonačno malu promenu stanja: U = q + w du = dq + dw Unutrašnja energija izolovanog sistema je konstantna: q = 0 i w = 0 U = q + w = 0, U = const. 0

21 UNURAŠNJA ENERGIJA U Spoljašnja energija sistema obuhvata potencijalnu energiju termodinamičkog sistema koja potiče od položaja sistema kao celine u odnosu na druge sisteme kinetičku energiju termodinamičkog sistema koja potiče od kretanja sistema kao celine Unutrašnja energija sistema U ukupna energija koju poseduje termodinamički sistem. Određena je strukturom molekula od kojih se sistem sastoji. U = U tr + U rot + U vib + U el + U int + U mir U tr - translaciona energija molekula U rot rotaciona energija molekula U vib vibraciona energija molekula U el - elektrostatička energija između naelektrisanih čestica u atomima U int - energija hemijskih veza među atomima koji čine molekul U mir - energija među nukleonima u atomskim jezgrima Apsolutnu vrednost unutrašnje energije nemoguće je odrediti. Moguće je odrediti samo njenu promenu ( U). Unutrašnja energija sistema je ekstenzivna veličina. Unutrašnja energija sistema je termodinamička funkcija stanja.

22 RAD I OPLOA SU FUNKCIJE PUA Prenos energije sa jednog sistema na drugi se manifestuje kao razmena toplote ili kao primanje/vršenje rada. q i w nisu osobine sistema, jer njihove promene zavise od puta! Integracija q i w daje konačne vrednosti, ali to nisu razlike vrednosti između dva stanja. q w q w cd pd oplota/rad zavise od načina promene temperature/zapremine.

23 RAD SABIJANJA I ŠIRENJA GASA PRI KONSANNOJ EMPERAURI Rad se definiše kao delovanje sile duž datog puta i predstavlja skalarnu veličinu određenu skalarnim proizvodom dva vektora, sile F i puta dz. dw F d z F dz cos F dz Negativni predznak ukazuje da se rad vrši nasuprot sile i da se energija sistema smanjuje. Pritisak gasa P je po definiciji sila koja deluje na jedinicu površine: P F / A F P A dw F dz P A dz A dz d promena zapremine sistema dw P d Širenje gasa: d > 0, dw < 0 i unutrašnja energija gasa se smanjuje za iznos jednak izvršenom radu dw. Sabijanje gasa: d < 0, dw > 0 i unutrašnje energije gasa se povećava za iznos jednak izvršenom radu dw. 3

24 Količina rada, koja je potrebna da se neki gas sabije, zavisi od toga da li se sabijanje izvodi naglo u jednom koraku (ili konačnom broju koraka) ili postepeno kroz beskonačni broj koraka. Izotermsko sabijanje gasa w P d P P-dijagram izotermskog sabijanja gasa (kriva) i rad sabijanja gasa (osenčena polja) u cilindru sa klipom bez trenja koji je ostvaren kroz naglo (neravnotežno) sabijanje, jedan korak (a) i kroz tri koraka (b), i kroz ravnotežno sabijanje kroz beskonačan broj koraka (c). Ireverzibilno ostvaren rad sistema (a) je maksimalan rad koji se može dobiti izotermskim 4 sabijanjem gasa.

25 Izotermsko širenje gasa w P d P P-dijagram izotermskog širenja gasa (kriva) i rada izazvanog širenjem gasa (osenčena polja) ostvarenog ireverzibilno (naglo), kroz jedan (a) i kroz tri koraka (b) i reverzibilno kroz beskonačan broj koraka n (c). Reverzibilno ostvaren rad sistema (c) je maksimalan rad koji se može dobiti izotermskim 5 širenjem gasa.

26 REERZIBILNO I IZOERMSKO ŠIRENJE IDEALNOG GASA () Proces reverzibilnog izotermskog širenja gasa Pritisak gasa pri svakom koraku konstantan i jednak spoljašnjem pritisku P = P ex. Jednačina idealnog gasnog stanja PnR dw -Fdz -PAdz Pd w rev dw rev ex pnr/ d nr d nr nrln w rev - rad ostvaren u reverzibilnom izotermalnom procesu Bojl-Mariotov zakon P P P rev ln P P P wnr w rev - maksimalan mogući rad koji se može dobiti na račun širenja idealnog gasa. () Proces ireverzibilnog izotermskog širenja gasa - Pritisak u sistemu nije u ravnoteži sa spoljnim pritiskom već se menja na složen način. P P6 ex irev ex ex w PdP () w irev < w rev w irev rad ostvaren u ireverzbilnom izotermalnom procesu

27 ENALPIJA H Izobarni procesi, tj. procesi koji se odigravaju pri konstantnom pritisku (P = const.), npr. procesi koji se ostvaruju u otvorenim sudovima na atmosferskom pritisku. Rad zapreminskog širenja gasa: w = P oplota razmenjena pri konstantnom pritisku: q P Promena unutrašnje energije sistema: U = q + w = q P P Entalpija H Entalpija ima dimenzije energije. Entalpija je termodinamička funkcija stanja. Entalpija je ekstenzivna veličina. P UUqP qupuphh P H = U + P, H = U + P q P = H Razmenjena toplota pri konstantnom pritisku jednaka promeni entalpije ako je jedini prisutni rad mehaničkog širenja ili sabijanja gasa!!! 7 Pri tome i razmenjena toplota q P i rad postaju termodinamičke funkcije stanja.

28 Izohorni procesi, tj. procesi koji se odigravaju pri konstantnoj zapremini ( = const.) Rad zapreminskog širenja gasa: w = P oplota razmenjena pri konstantnoj zapremini: q Promena unutrašnje energije sistema: U = q + w = q P = const. = 0 q = U Razmenjena toplota pri konstantnoj zapremini jednaka je promeni unutrašnje energije!!! Pri tome i razmenjena toplota q i rad postaju termodinamičke funkcije stanja. 8

29 Izračunati promenu unutrašnje energije pri isparavanju 00 g benzene na 0 C uzimajući da se para benzena ponaša po jednačini idealnog gasnog stanja i da je zapremina tečnosti zanemarljiva u odnosu na zapreminu pare. Molarna toplota isparavanja benzena je 30,9 kj/mol. m = 00 g M = 78. g/mol = 0 C = 93 K l << g ΔH m = J/mol H U p U H p m H m U nh U nh U g p nr m m U H m R M M 00 g U g / mol U U U U U H J mol nh nh p p 00 g g / mol m m p g nr J molk m m H m R M M 00 g g / mol 93 K 7933 J J mol 00 g 78.g / mol g p nr 8.34 l J molk g l 93 K g 7933 J

30 OPLONI KAPACIE C oplotni kapacitet sistema c - količina toplote koja je potrebna da se temperatura sistema podigne za jedan stepen. dq C d Jedinica za toplotni kapacitet: J/K oplotni kapacitet nije termodinamička funkcija stanja. oplotni kapacitet je ekstenzivna veličina. Specifični toplotni kapacitet, c - količina toplote koja je potrebna da se temperatura sistema koji sadrži g supstance podigne za jedan stepen. Jedinica za specifični toplotni kapacitet: J/(g K) Molarni toplotni kapacitet, C m - količina toplote koja je potrebna da se temperatura sistema koji sadrži mol supstance podigne za jedan stepen. Jedinica za molarni toplotni kapacitet: J/(mol K) c = C m /M, M molarna masa u kg/mol 30

31 oplotni kapacitet pri konstantnoj zapremini: dq U c d q toplota razmenjena pri konstantnoj zapremini U unutrašnja energija temperatura Zavisnost unutrašnje energije od temperature oplotni kapacitet pri konstantnom pritisku: Zavisnost unutrašnje energije od temperature I zapremine dq P H cp d P q P toplota razmenjena pri konstantnom pritisku H - entalpija

32 EZA IZMEĐU C P I C d p U d U dq pd du dq dw du dq dw dq du d U d U du d p dw p const. rad sirenja, mehanicki I zakon termodinamike p p p p p p U C C p U U q p p p p H q C U q C Za idealan gas: (U/) = 0 i p=nr (/) P = nr/p C P C = n R P c c ermodinamička definicija idealnog gasnog stanja

33 Molarni toplotni kapacitet vode iznosi 75,3 J mol - K -. Koliko energije je potrebno da bi se zagrejala voda u šolji zapremine 00 cm 3 od sobne temperature (0 o C) do 40 o C? C = 75,3 J mol - K - Q =? = 00 cm 3 = 0 o C = 40 o C Q c n c M 75,4Jmol K 3 gcm 00cm 8g / mol 3 0K Q 6,8kJ

34 OPLONI KAPACIEI GASOA oplotni kapacitet gasa zavisi od: prirode gasa temperature C P α, β, γ konstante koje se eksperimentalno određuju Značaj određivanja toplotnog kapaciteta gasa poznavanje toplotnog kapaciteta gasa omogućava izračunavanje promena termodinamičkih veličina gasova (promena unutrašnje energije, promena entalpije itd). Promena entalpije gasa: Promena molarnog toplotnog kapaciteta C P nekih gasova sa temperaturom. H H H 3 3 H H H ( ) ( ) ( ) 3 C p d

35 Koja količina toplote se oslobodi pri izobarskom hlađenju 00 kg vodene pare od 87 C do 7 C ako je JK mol C p m 00kg H 87 7? C(00 K) C(400 K) H H H H Q p C ( d d 8.8(400 00) p d (400 ) d d ) 6 ( ) 677.7Jmol n m M 00kg kgmol mol H 677 Jmol mol J

36 OPLONI KAPACIE ČRSIH SUPSANCIJA Pravilo Dulong Petija (Dulong - Petit): na sobnoj temperaturi molarni toplotni kapaciteti C elemenata težih od natrijuma imaju slične vrednosti, od oko 6,8 JK mol 6 calk mol (3R). Nedostaci Dulong Petijevog pravila: ne može da objasni zašto elementi sa početka periodnog sistema elemenata imaju manju vrednost toplotnih kapaciteta. oplotni kapacitet C nekih čvrstih supstancija. ne može da objasni zašto vrednost toplotnih kapaciteta za sve supstancije teže nuli kada temperatura teži apsolutnoj nuli.

37 Debaj (Debye) (statistička termodinamika): Za visoke temperature (nekoliko stotina K i više): C 3R 3 Za niske temperature ( < 30K): C a konstanta a: a 3 34R max D h k max max Molarni toplotni kapaciteti pri konstantnoj zapremini po Debaju (puna linija). Molarni toplotni kapaciteti pri konstantnoj zapremini različitih čvrstih supstancija (naznačane tačke). oplotni kapaciteti su dati u funkciji normirane temperature / D apsolutna temperatura, D = max Debajeva temperatura.

38 SEPENI SLOBODE, EKIPARICIJA ENERGIJE I OPLONI KAPACIE eza termodinamičkih veličina i strukture molekula eza termodinamičkih veličina i oblika kretanja molekula kao celine i kretanja unutar molekula Kretanje molekula: translacija (kretanje molekula kao celine) rotacija (kretanje oko ose koja prolazi kroz centar mase) vibracija (oscilacije atoma u molekulu koje ne dovode do kretanja centra mase, ili do rotacije oko centra mase) E = E t + E r + E v

39 SEPENI SLOBODE, EKIPARICIJA ENERGIJE I OPLONI KAPACIE Princip o ekviparticiji (jednakoj raspodeli) energije: svakom stepenu slobode molekula, bilo kog oblika kretanja (translacije, rotacije i vibracije), pripada ista energija koja odgovara jednom stepenu slobode translacije molekula. Stepeni slobode predstavljaju broj nezavisnih kvadratnih izraza po koordinati ili momentu količine kretanja (brzine) koji je potreban da bi se izrazila ukupna energija molekula. Za jedan molekul: k/ Za mol gasa: R/ (zagrevanjem mola gasa za K svaki stepen slobode dobija energiju od R/ 4,3 J ( cal) ).

40 Doprinos translacije ranslacija - kretanje molekula kao celine tj. kretanje njegovog centra teže. Ukupna kinetička energija molekula pri translacionom kretanju jednaka sumi kinetičkih energija komponenti kretanja u tri uzajamno normalna pravca: k k, x k, y k, z x y z mv Kinetička energija jednog mola idealnog gasa: U trans = 3R/ Energija translacionog kretanja ne zavisi od broja atoma u molekulu! 3 5 H Utrans P R R R U 3 C R, 47 J K mol C P mv mv H 5 R 0,786 J K mol P 3 mv k Slaganje između izračunatih i eksperimentalno dobijenih rezultata Zavisnost toplotnog kapaciteta od temperature

41 Doprinos rotacija Rotacije molekula oko tri uzajamno normalne ose pri čemu se energija raspoređuje na tri rotaciona stepena slobode i može se opisati preko tri nezavisna kvadratna izraza po ugaonoj brzini. r Iw I x w x I y w y I z w z I moment inercije w ugaona brzina Doprinos svakog rotacionog stepena slobode toplotnom kapacitetu C : R/ Linearni molekul: rotaciona stepena slobode molekula kao celine x R/ = R Nelinearni molekul: 3 rotaciona stepena slobode molekula kao celine 3 x R/ = 3R/

42 Doprinos oscilacija u molekulu Svaki oscilacioni stepen slobode kretanja uključuje kinetičku i potencijalnu energiju. Doprinos svake oscilacije toplotnom kapacitetu C : R/ + R/ = R Koliko vibracionih stepeni slobode ima molekul od N atoma? ukupno: 3N stepena slobode translacioni: 3 stepena slobode rotacioni: stepena slobode (linearni molekuli) 3 stepena slobode (nelinearni molekuli) vibracioni: 3N - (3 + ) = 3N - 5 (linearni molekuli) 3N - (3 + 3) = 3N - 6 (nelinearni molekuli) Ukupna energija molekula?

43 PROMENA SANJA PRI KONSANNOJ ZAPREMINI Promena unutrašnje energije zatvorenog sistema (n = const., dn = 0): U U du d d * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Promena unutrašnje energije sistema u uslovima konstantne zapremine ( = const., d = 0): Za C v = const. : du Član U U U C d U C ( ) U U d C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Promena unutrašnje energije sistema u uslovima promenljive zapremine ( const., d 0): jednak nuli za idealan gas različit od nule za realan gas d

44 PROMENA SANJA PRI KONSANNOM PRIISKU Promena entalpije zatvorenog sistema (n = const., dn = 0): H H dh d dp P P * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Promena entalpije zatvorenog sistema u uslovima konstantnog pritiska (p = const, dp = 0) dh H p d C p d H H H C d P Za C p = const. : H C ( ) P Ukupna promena entalpije zatvorenog sistema: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Na osnovu cikličnog pravila: dh H CP dp P P H J H P H P P J P H dh C d C dp

45 DŽUL-OMSONO EFEKA Džul-omsonov efekat - pojava hlađenja gasa u termički izolovanom cilindru kao posledica naglog širenja gasa po prolasku gasa kroz poroznu pregradu iz dela višeg u deo nižeg pritiska. ermički izolovan cilindar sa poroznom pregradom PP: levo početno stanje kada je zapremina u levoj komori ( ) znatna, * a zapremina u desnoj komori, iako konačna, zanemarljiva ( ); u sredini međustanje, stanje kad je gas u levoj komori 0 primio rad P ; desno krajnje stanje, kad je trasfundovani gas iz leve u desnu komoru se raširio na zapreminu * (zapremina u levoj komori je, iako konačna, zanemarljiva,, a zapremina u desnoj znatna). P > P i ΔP = konstanta. 0 >. Adijabatski, ireverzibilan proces. Rad sabijanja mol gasa u levoj pregradi na veoma malu zapreminu, (praktično nula): * ( ) (0 ) w P P P P Rad širenja gasa u delu cilindra nižeg pritiska i veoma male zapremine (praktično nula): * ( ) ( 0) w P P P P Efektivan rad w u Džul-omsonovom cilindru: w P P

46 Promena unutrašnje energije gasa pri Džul-omsonovom širenje gasa: U U U P P U P U P H H konstanta. Izoentalpijski proces Izoentalpijska kriva Džul-omsonov koeficijent J : J lim P0 P P P J - funkcija temperature i pritiska H P izoentalpijske krive u domenu inverzije Džul-omsonovog efekta. Linija koja povezuje maksimume izoentalpijskih krivih (linija inverzionih temperatura) razdvaja oblasti pozitivnih i negativnih vrednosti Džul- omsonovog koeficijenta μ J. J J p H p H Inverziona temperatura / a b R C p C p p a i Rb

47 ADIJABASKO ŠIRENJE GASA Adijabatski procesi procesi u kojima nema razmene toplote između sistema i okoline (dq = 0). I zakon termodinamike: du = dq + dw Za adijabatski proces: dq = 0 du = dw * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Za idealan gas: du f() i du = f() Za C f(): du C d, odnosno U C ( ) Za adijabatski proces: dw C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d, odosno w C ( ) aži i za reverzibilne i za ireverzibilne adijabatske procese

48 Za reverzibilan adijabatski proces: p = const. i du = dw R d d Cd Pd d C R d d C R C ln Rln Mehanički rad širenja dw = - pd Jednačina idealnog gasnog stanja p = nr ln ( ) ln ( ) C p C v = nr C p /C v = γ P P P P matematička formulacija adijabate Izoterma i adijabata idealnog gasa P P

49 Promena temperature i zapremine pri adijabatskom širenju idealnog gasa posmatrana kroz dva stupnja: promenu zapremine gasa na temperaturi i promenu temperature gasa sa na, pri konstantnoj (novoj) zapremini, nastala kao posledica širenja gasa u adijabatskim uslovima, a na račun promene unutrašnje energije gasa. ΔU = C Δ ΔU = P ex Δ C P ex

50 PRI ZAKON ERMODINAMIKE - pregled Rad, energija i toplota I zakon termodinamike - formulacija i matematički izraz Unutrašnja energija Rad izotermskog sabijanja i širenja gasa Rad reverzibilnog i izotermskog širenja idealnog gasa Entalpija oplotni kapacitet Džul-omsonov efekat Adijabatsko širenje gasa 50

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

TOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE TOPLOTA I RAD, PRI ZAKON TERMODINAMIKE Mehanički rad u termodinamici uvek predstavlja razmenu energije izmedju sistema i okoline. Mehanički rad se javlja kao rezultat delovanja sile duž puta: W Fdl W Fdl

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA.

TERMODINAMIKA. TERMODINAMIKA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 Termodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom

Διαβάστε περισσότερα

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

C P,m C V,m = R C P C V = nr

C P,m C V,m = R C P C V = nr I zakon termodinamike du dq+ dw+ dw e dh du+ pd du U U d+ d d+ u d,m,m R nr dh Izotermski procesi: p d + H H d wnr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.. w p Izotermski revetzibilni

Διαβάστε περισσότερα

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike

2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike . ERMODINAMIKA.. rvi zakon termodinamike ermodinamika je naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

C P,m C V,m = R C P C V = nr

C P,m C V,m = R C P C V = nr I zakon termodinamike du dq + dw + dw e dh du + pd du U U d + d d + u d,m,m R nr dh Izotermski procesi: p d + H H d w nr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. w pδ Izotermski revetzibilni

Διαβάστε περισσότερα

H T. C P,m C V,m = R C P C V = nr U T U V T H P. Izotermski procesi: I zakon termodinamike. Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S.

H T. C P,m C V,m = R C P C V = nr U T U V T H P. Izotermski procesi: I zakon termodinamike. Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. I zakon termodinamike du dq dw dh du pd C U dw e C,m C,m = R C C = nr C H du C d U d C d d u dh C p d H d Izotermski procesi: w nr ln R ln w p Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. Izotermski

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

C P,m C V,m = R C P C V = nr

C P,m C V,m = R C P C V = nr I zakon termodinamike du dq + dw + dw e dh du + pd du C U U C d + d C d + u d C,m C,m R C C nr dh Izotermski procesi: C p C d + H H d w nr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S.

Διαβάστε περισσότερα

TERMOENERGETIKA. Boričić Aleksandra

TERMOENERGETIKA. Boričić Aleksandra TERMOENERGETIKA Boričić Aleksandra Šta proučava termodinamika? Termodinamika je nauka koja proučava pojave vezane za međusobno pretvaranje jednog oblika energije u drugi. Termodinamika analizira i definiše

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K 1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamika se bavi materijom u svim agregatnim stanjima.

Termodinamika se bavi materijom u svim agregatnim stanjima. Termodinamika - Termo toplota - Dinamika promena, snaga Termodinamika je oblast fizike koja se bavi odnosima između toplote i drugih oblika energije. Konkretno objašnjava kako se toplotna energija pretvara

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje ENROPIJA Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon

Διαβάστε περισσότερα

Hemijska termodinamika

Hemijska termodinamika Poglavlje 2.1 Osnovni pojmovi Hemijska termodinamika Termodinamički sistem Termodinamičke osobine Stanje sistema Parametri stanja Termodinamička ravnoteža Termodinamički proces Energija Rad Toplota Prvi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. Sistem i okruženje

TERMODINAMIKA. Sistem i okruženje TERMODINAMIKA Sistem i okruženje SISTEM je deo sveta koji nas zanima; to je bilo koji objekat, bilo koja količina materije, bilo koji deo prostora, izabran za ispitivanje i izdvojen (misaono) od svega

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE SPONANI PROCESI II ZAKON ERMODINAMIKE I zakon termodinamike se bavi termodinamičkim procesom kao procesom koji je praćen ekvivalentnošću različitih oblika energije bez ikakvih ograničenja odnosno ne govori

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1

Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1 Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamika. Termodinamika

Termodinamika. Termodinamika ermodinamika Postoje brojne definicije termodinamike kao nauke o toploti. ako na primjer, prema Enriku Fermiju: Glavni sadržaj termodinamike je opisivanje transformacije toplote u mehnaički rad i obratno

Διαβάστε περισσότερα

Prvi zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike Prvi zakon termodinamike Uvod Prvi princip termodinamike je apsolutni prirodni zakon koji važi za sve pojave koje se odigravaju na svim prostornim nivoima (mikro, makro i mega svetu). Zasnovan je na brojnim

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Promene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži

Promene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži romene termodinamičkih funkcija na putu do ravnoteže i u ravnoteži Helmholcova slobodna energija-2.5.1.,2.5.2. Gibsova slobodna energija-2.5.3. Gibs-Helmholcova jednačina-2.5.4. Reverzibilni i ireverzibilni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2. OSNOVNI POJMOVI. 2.1 Fizika i termodinamika

2. OSNOVNI POJMOVI. 2.1 Fizika i termodinamika 2. OSNOVNI POJMOVI 2.1 Fizika i termodinamika Fizika nauka koja se bavi izučavanjem procesa kretanja materije u svim njenim pojavnim oblicima. Kako je osnovna kvantitativna mera kretanja materije energija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U BEOGRADU. Zbirka zadataka iz Statističke fizike

UNIVERZITET U BEOGRADU. Zbirka zadataka iz Statističke fizike . UNIVERZIE U BEOGRADU FIZIČKI FAKULE Zbirka zadataka iz Statističke fizike verzija 3.1415 pripremio: Vladimir Miljković U slučaju da na(i) dete - (na) greške, ili da imate opštiji komentar, pošaljite

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

II zakon termodinamike

II zakon termodinamike Poglavlje.3 II zakon termodinamike Pravac i smer spontanih promena Drugi zakon termodinamike-definicije Karnoova teorema i ciklus Termodinamička temperaturska Prvi zakon termodinamike: Energija univerzuma

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja

= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja TERMOEMIJA Termohemija proučava toplotne promene koje prate hemijske reakcije, fazne prelaze (topljenje, isparavanje, sublimacija, polimorfne promene), rastvaranje supstance, razblaživanje rastvora itd.

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

I zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike

I zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike I zakon termodinamike je doveo do uvoñenja unutrašnje nje energije, U koja nam omogućava da odredimo koje termodinamičke promene su moguće: samo one u kojima unutrašnja energija izolovanog sistema ostaje

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

I zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike

I zakon termodinamike unutrašnje energije, U I zakon termodinamike II zakon termodinamike I zakon termodinamike je doveo do uvođenja unutrašnje nje energije, U koja nam omogućava da odredimo koje termodinamičke promene su moguće: samo one u kojima unutrašnja energija izolovanog sistema ostaje

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA

PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA Prostiranje toplote Konvekcija Pri konvekciji toplota se prostire kretanjem samog fluida (tečnosti ili gasa): kroz fluid ili sa fluida na čvrstu površinu ili sa čvrste površine

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα