Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Transcript

1 È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν οι(3),(13),(21) Προτση 1. Ενς μιγδικός είνι πργμτικός ν κι μόνο ν είνι ίσος με τον συζυγή του. Αποδειξη:Αν z = + βi,, β Rτότε z z = 2βiκιεπομένως z R β = z z = z = z Προτση 2. Αν μί συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε έν νοικτό διάστημ (σ 1, σ 2 )έχειτηνιδιότητ lim f () =, lim f () = + τότετοσύνολο 1 2 τιμώντηςείνιτο R. Αποδειξη: Αρκεί ν δείξουμε ότι κάθε πργμτικός ριθμός y είνι τιμή της f.αφού lim f () = ηfθπίρνεικιτιμέςμικρότερεςτου yδηλδήθ 1 υπάρχει 1 (σ 1, σ 2 )ώστε f ( 1 ) < y. Αφού lim f () = + ηfθπίρνει 2 κιτιμέςμεγλύτερεςτου yδηλδήθυπάρχει 2 (σ 1, σ 2 )ώστε y < f ( 2 ). Προφνώς 1 2 κιπότοθεώρημενδιμέσωντιμώνθυπάρχει στο διάστημμεάκρτ 1, 2 τέτοιοώστε f () = y.επομένωςοyείνιτιμήτης f. Προτση3. Γικάθε > είνι κιτο«=»ισχύειμόνογι = 1. ln 1 Αποδειξη: Εφρμογή του σχολικού βιβλίου. 1

2 ¾ Προτση 4. Γι κάθε είνι e + 1 κιτο«=»ισχύειμόνογι =. Αποδειξη: Γι όλους τους θετικούς ριθμούς ισχύει ln 1 κιτο«=»ισχύειμόνογι = 1. Επομένως κιγιτονθετικό e ισχύει lne e 1κιτοτο«=»ισχύειμόνογι e = 1δηλδή =. Επομένως e 1κιτο«=»ισχύειμόνογι =. Άρ e + 1κιτο«=»ισχύει μόνογι =. Προτση 5. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι ορισμένες στο διάστημ κι ισχύει g () < mγιόλτ κι lim f () = τότε lim f () g () =. Αποδειξη: Είνι: Άργιόλτ ισχύει κι επομένως f ()g () = f () g () f () m f () g () f () m f () m f ()g () f () m Αλλά φού lim f () = είνικι lim f () = επομένως lim m f () = lim ( m f () ) = (1) Από την(1) κι το κριτήριο της πρεμβολής συνάγουμε ότι lim f ()g () = Προτση6. Ησυνάρτηση έχειγι πράγωγο = ενώστο δεν πργωγίζετι. Αποδειξη: Το ότι δεν πργωγίζετι στο είνι γνωστό. Επίσης γι > είνι ( ) = () = 1 = =. Ακόμηγι < είνι ( ) = ( ) = 1 = =. Άργι είνι ( ) = κι προφνώς ισχύει = διότι 2 = 2. Προτση7. Αν f : [, β] Rσυνεχήςκι f () f (β) τότεηfέχειμί τουλάχιστον ρίζ στο [, β]. Αποδειξη: Αφού ισχύει f ()f (β) ή θ είνι f ()f (β) < είτε f () f (β) =.

3 Αν f () f (β) < τότεπότοθεώρημτου Bolzanoηfέχειμίτουλάχιστονρίζστο (, β)κιεπομένωςστο [, β]. Αν f ()f (β) = τότεήf () = είτε f (β) =. Άρηf έχειμί τουλάχιστονρίζστο {, β}κιεπομένωςστο [, β]σεκάθεπερίπτωσηη fέχειμίτουλάχιστονρίζστο [, β]. Προτση8.Ανηfείνιγνησίωςύξουστότετκοινάσημείτωνγρφικών πρστάσεωντης f κιτηςντίστροφήςτης f 1,εφ όσονυπάρχουν,νήκουν στηνευθεί y =. Αποδειξη: Εστω M (, β)ένσημείοπουνήκεικιστην C f κι C f 1. Θ ισχύει f () = βκι f (β) =. Θδείξουμεότιτο Mνήκεικιστην y = δηλδήότι = β. Ανείνι βτότεήθείνι < βείτε β <. Στηνπρώτηπερίπτωση θέχουμε f () < f (β)δηλδή β < (άτοπο).στηδεύτερηπερίπτωσηέχουμε ότι f (β) < f ()δηλδή < β(άτοπο). Άρποκλείετινείνι βκι πομένειότι = β. Προτση9. Εστω f : [, ] Rσυνεχής. 1.Ανηfείνιάρτιτότε f ()d = 2 f () d 2.Ανηfείνιπεριττήτότε f () d = Αποδειξη: Είνι f ()d = f ()d + f () d = u= f ( u)du + f () d = f ( )d + f () d Οτνηfείνιάρτιτότετότε f ( ) = f ()κι f ( )d + f ()d = f () d + f ()d = 2 f () d. Οτνηfείνιπεριττήτότε f ( ) = f ()κι f ( )d + f () d = f () d + f () d = Προτση1. Ησυνάρτηση ln είνιμίπράγουστης ln. Αποδειξη: Προφνώςισχύει (ln ) = (ln) () = () ln + (ln) () = ln = ln Προτση11. (εϕ) = 1 + εϕ 2 Αποδειξη: Είνι (εϕ) = 1 συν 2 κιπόγνωστήσχέσητηςτριγωνομετρίς 1 είνι συν 2 = 1 + εϕ2. Προτση12. Με z Cισχύει z 2 = z 2 νκιμόνον z R. Αποδειξη: Εστω z = + βi. Είνι z 2 = z β 2 = ( + βi) β 2 = 2 β 2 + 2βi ( 2 + β 2 = 2 β 2 κι 2β = ) (2β 2 = κι β = ) β = z R Προτση13. Εστωότιισχύει f () g ()κοντάστο σ.ισχύουντεπόμεν:

4 κτ νλογί με τις ιδιότητες των πεπερσμένων ορίων½ lim f () = + lim g () = + lim g () = lim f () = Αιτιολογηση: Πρόκειτι γι άμεση συνέπει του ορισμού του ορίου. Ισχύει Προτση 14. Ανγιτιςσυνρτήσεις f, gπουείνιορισμένεςκισυνεχείς στοδιάστημ [, β]ισχύει f () g ()γιόλτ κι f gτότε β f () d > β g () d. Αποδειξη: Γιτηνσυνάρτηση h = f gισχύει h () γιόλτ κι h.επομένως β h () d > πότηνοποίέχουμε β (f () g ())d > άρκι β f () d β g ()d > πότηνοποίπροκύπτειότι β f ()d > g () d. β Προτση 15. Αν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ τότε μετξύ δύο οποιωνδήποτε διφορετικών ριζών της f βρίσκετι μί τουλάχιστον ρίζτηςπργώγουτης f. Αποδειξη: Εστω ρ 1 < ρ 2 δύορίζεςτης fστο. Η fείνιπργωγίσιμη στοδιάστημ [ρ 1, ρ 2 ]κιισχύει f (ρ 1 ) = f (ρ 2 ) =.Ικνοποιούντιεπομένωςοι προϋποθέσειςτουθεωρήμτοςτου Rolleάρθυπάρχει ξμε ρ 1 < ξ < ρ 2 τέτοιο ώστε f (ξ) =. Προτση 16. Ανηf είνιγνησίωςύξουσκι f ( 1 ) < f ( 2 )τότεείνι 1 < 2. Αποδειξη: Γιτους 1, 2 υπάρχουντενδεχόμεν: 1 = 2, 1 > 2 κι 1 < 2. Τοπρώτομςοδηγείστοάτοποσυμπέρσμ f ( 1 ) = f ( 2 ). Το δεύτερο,σεσυνδυσμόμετοότιηfείνιγνησίωςύξουσμςοδηγείστοεπίσης άτοποσυμπέρσμ f ( 1 ) > f ( 2 ). Άρνγκστικάθισχύει 1 < 2. Προτση 17. Μί γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μί ρίζ. Αποδειξη: Εστω f μί γνησίως μονότονη συνάρτηση. Τότε η f είνι γνησίως ύξουσήγνησίωςφθίνουσκισεκάθεπερίπτωσηείνι1-1.αν ρ 1, ρ 2 είνιρίζες της fτότε f (ρ 1 ) = f (ρ 2 ) = κιπότηνσχέση f (ρ 1 ) = f (ρ 2 )συνάγουμεότι ρ 1 = ρ 2.Επομένωςηfέχειτοπολύμίρίζ. Προτση 18. Ανηf είνιγνησίωςύξουστότεκιηf 1 είνιγνησίως ύξουσ. ½ к ÕÓÐ ÐÓ ÖÕ Ø Ð ½ Αποδειξη: Εστω y 1, y 2 D f 1 τέτοιώστε y 1 < y 2. Θδείξουμεότι f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ). Θυπάρχουν 1, 2 D f έτοιώστε f ( 1 ) = y 1 κι f ( 2 ) = y 2 θείνιδε f 1 (y 1 ) = 1 κι f 1 (y 2 ) = 2. Ξέρουμεότι f ( 1 ) < f ( 2 )κιθέλουμε 1 < 2. Ηπόδειξησυμπληρώνετιεπιχειρημτολογώντς όπως κριβώς στην πρότση(16.).

5 Προτση19. Αν z = ρ τότε z = ρ2 z. Αποδειξη: Αφού z είνικι z. Εχουμετώρ: z = ρ z 2 = ρ 2 z z = ρ 2 z = ρ2 z. Προτση2. Αν z Cμε z / Rτότε z 3 = 1 z 2 + z + 1 = z = 1 2 ± i 3 2 Αποδειξη: z 3 = 1 z 3 1 = z = (z 1) ( z 2 + z + 1 ) = z / R z 2 + z + 1 = (EΠIΛYOYME) z = 1 2 ± i 3 2 Προτση21.Οιπργωγίσιμεςσυνρτήσεις f : R Rμετηνιδιότητ f = f είνικριβώςεκείνεςτηςμορφής f () = ce όπου c Rστθερά. Αποδειξη: Εφρμογή του σχολικού βιβλίου. Προτση22. Αν lim f () = τότε lim f () =. Αποδειξη:Απότηννισότητ A A A έχουμεότιγικάθε ισχύει f () f () f () Είνι lim f () = lim ( f () ) = κιπότοκριτήριοτηςπρεμβολήςέχουμε ότι lim f () =. Προτση 23. Ανγιμίπργωγίσιμησυνάρτηση f ισχύει f () γι κάθεεσωτερικόσημείο του τότεηfείνιύξουσστο Αποδειξη: Είνι όμοι με την νάλογη πόδειξη του σχολικού βιβλίου γι την περίπτωση όπου η πράγωγος είνι θετική. Το μόνο που λλάζει είνι η τελευτί γρμμή: «Επειδή f (ξ) κι 2 1 >,έχουμε f ( 2 ) f ( 1 ) οπότε f ( 1 ) f ( 2 )» Προτση 24. Μί γνησίως μονότονη συνάρτηση f ορισμένη σε έν νοικτό διάστημ δεν έχει κρόττ. Αποδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ (η περίπτωση όπου η f είνι γνησίως φθίνουσ ντιμετωπίζετι νλόγως). Αν πάρουμε έν οποιοδήποτεσημείο. Γικάθε δ > τοσύνολο ( δ, + δ) περιέχειέντουλάχιστον 1 < κιέντουλάχιστον 2 >. Λόγωτης μονοτονίςθείνι f ( 1 ) < f ( ) < f ( 2 ). Άρδενυπάρχει δ > ώστε γιόλτ ( δ, + δ)νισχύει f () f ( )είτεγιόλτ ( δ, + δ)νισχύει f () f ( ). Άρκνέν δεμπορείν είνι θέση τοπικού κροτάτου.