1. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο 0,1 και f x 0 για κάθε με 0 < α < β < 1. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ Ξ

Transcript

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ασκήσει Α. Θεώρημα Bolzno. Έστω μία συνάρτηση f συνεχή στο, και f για κάθε με < α < β <. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ Ξ τέτοιο, ώστε Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Θεωρούμε τη συνάρτηση ξ - f t Χ dt = ξ f t Χdt () Ξ Ή Ξ[ α,β] ( α,β) (, ) τέτοιο, ώστε ( ) - f t Χdt - f t Χ dt = Η συνάρτηση f είναι συνεχή στο [,] συνεχή στο [, ] Μ(,). Είναι h = - f t Χdt - f t Χdt h = - f t Χ dt = f t Χdt, οπότε η h είναι παραγωγίσιμη, άρα και Από Θ.Βolzno υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε h =. Άρα, η εξίσωση () έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο h = - f t Χdt ζ φ Άρα, ισχύει h Χ h( ) = ( - ) η f ( t) Χ dt <, αφού θ χ >, < Ϋ - < ψ και f Ή άρα και f t Χdt Ή Ξ (, ) Ξ (,). Έστω μία συνάρτηση f συνεχή στο, για την οποία ισχύει έχει μία ακριβώ ρίζα στο., που είναι το ζητούμενο. f < για κάθε,. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση - = f t Χdt () Θα δείξουμε ότι η εξίσωση Θεωρούμε τη συνάρτηση h = - - f ( t) Χdt, Ξ[, ] [, ] [,] - - f t Χ dt = έχει μία ακριβώ ρίζα στο Η f είναι συνεχή στο, οπότε η h είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχή σ αυτό. (, ). 4

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Η h είναι συνεχή στο Είναι [, ]. h = f t Χdt ln= - < και h = f t Χ dt ln = f t Χ dt + - > Διότι για ³ έχουμε Από Θ.Βolzno η εξίσωση h έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. (i) - - Για κάθε Ξ (,) έχουμε, hά = f + - = f + ³ ln + > Επομένω, η h είναι γνησίω αύξουσα στο,, συνεπώ, η ρίζα είναι μοναδική. f ³ ln Ϋ f - ln ³ ( ) ή f - ln Χ d ³ Ϋ f Χ d - ln Χ d ³ Ϋ f Χ d - Χ ln - ³ Ϋ f Χ d ³ Επομένω Άρα, ισχύει h Χ h( ) < h = f t dt + - ³ + - = - > 7. Αν για κάθε ισχύει να αποδειχθεί ότι f ( ) =. = Β. Θεώρημα Frmt > f t Χ dt Χ ln + και f Χ d = + Για κάθε ισχύει > οπότε η σχέση () γράφεται f t Χ dt Χ ln + Ϋ f t Χ dt - Χ ln - Θέτουμε h = f t Χdt -Χln -, >, οπότε h () για κάθε > Η h είναι παραγωγίσιμη στο Είναι (,+ ) Δηλ. η παραγωγίσιμη συνάρτηση h έχει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο. (αφού η f είναι συνεχή). h = f t Χ dt - Χ ln - = = h h για κάθε >. Από Θ. Frmt ισχύει hά ( ) = Είναι hά = f - ln - οπότε hά ( ) = f ( ) - ln - = Ϋ f ( ) =, που είναι το ζητούμενο. 46

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Γ. Θεώρημα Roll. Έστω μία συνάρτηση f συνεχή στο και g = συν f t Χdt, Ξ. Να αποδειχθεί ότι ι π ω i. Για τη g εφαρμόζεται το Θ. Roll στο διάστημα,. κλ ϊϋ ζ π φ ii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον Ξη, τέτοιο, ώστε f ( t) Χ dt = f ( ) Χ σφ η θ χψ i. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (αφού η f είναι συνεχή στο ), άρα και συνεχή σ' αυτό. ι pω Η g είναι συνεχή στο, κλ ϊϋ ζ pφ παραγωγίσιμη στο η, και ηθ χψ g = p p p g ζ φ = ζ sun φ f ( t) Χ dt =, δηλ. η θ ψχ ηθ χψ g ζpφ = gη ηθ χψ ι pω επομένω, για τη g εφαρμόζεται το Θ. Roll στο, κλ ϊϋ ι pω ii. Αφού για τη g εφαρμόζεται το Θ.R. στο,, υπάρχει ένα τουλάχιστον κ ϊ ζ pφ λ ϋ Ξ η, τέτοιο, ώστε ηθ ψχ gά ( ) = Είναι gά = (-hm ) f ( t) Χ dt + sun Χf ζ pφ οπότε gά = Ϋ-hm f( t) Χ dt + sun Χ f = (αφού Ξ η,, hm Ή) ηθ χψ Ϋ f t Χ dt = f Χsj, που είναι το ζητούμενο. 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Είναι g + 6 h = f ( t) Χ dt + f ( t) Χdt g = - f ( t) Χ dt + f ( t) dt 5 6 g Χ g οπότε hά = -5Χ f ( 5) + Χ f ( + 6) Είναι hά = Ϋ -5Χ f + 4 Χ f + = Ϋ f = και hά ( ) = Ϋ -5Χ f ( 5) + 6Χf ( 5) - = Ϋ f ( 5) = Η f είναι συνεχή στο[,5] παραγωγίσιμη στο (,5) και f = f ( 5) Από Θ. Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον Ξ (,5) τέτοιο, ώστε που είναι το ζητούμενο. f Ά =, 4. Έστω μία συνάρτηση f συνεχή στο α,β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει β ξ Ξ ( α,β) τέτοιο, ώστε f( ) Χ d = f ( ξ ) Χ ( β - α ) α [, ], οπότε η συνάρτηση = Χ Ξ[ ] είναι παραγωγίσιμη στο [, ] Η συνάρτηση f είναι συνεχή στο F f t dt,, συνεχή σ' αυτό Δ. Θεώρημα Μέση Τιμή, άρα και [ ] Για την F εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο,, οπότε υπάρχει Ξ, τέτοιο, ώστε F( ) - F f t Χdt FΆ = Ϋ f = Ϋ f Χ d = f Χ( -), Αν f = ln t Χ dt, να αποδειχθεί ότι < f ( ) - f ( ) < ( + ln ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι f ( ) -f ( ) < f ( ) - f ( ) < ( + ln ) Ϋ < < + ln Ϋ f ( ) -f ( ) f ( ) -f ( ) ln < < ln + ln Ϋ ln < < ln( ) ()

6 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 45. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α,α +, α Ξ για την οποία + + ισχύει f Χ d = f Χd (). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει + ένα τουλάχιστον Ξ α, α + τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη τη Cfστο,f, να είναι παράλληλη στον άξονα Ά. ( Η f είναι συνεχή στο [, + ], άρα και στα [, + ],[ +, + ], οπότε η συνάρτηση F = f t Χdt, Ξ, + είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα Η f είναι παραγωγίσιμη, επομένω, σε κάθε σημείο τη C ( Ά Ξ ( + ) ευθεία. Αφού η εφαπτομένη τη f στο σημείο,f θα είναι παράλληλη στον άξονα, αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει α,α τέτοιο, ώστε fά =. Η σχέση () γράφεται f Χ d + f Χ d = f Χ d + f Χd Ϋ , + και +, +, άρα, θα είναι και συνεχή σ' αυτά. Για την F εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στα f Χ d = f Χd Ϋ f Χ d + f Χ d = f Χ d + f Χd Ϋ f Χd - f Χ d = f Χd - f Χd () [ ] [, + ],[ +, + ] Ξ ( + ) Ξ ( + + ) τέτοια, ώστε F( + ) - F +, και, συνεχή στο, Μ, + παραγωγίσιμη στο, και, οπότε υπάρχουν FΆ = Ϋ f = f Χd - f Χd () και + - F( + ) - F( + ) + + FΆ = Ϋ f = f Χd - f Χd (4) Από τι σχέσει (), (4) η σχέση () γράφεται Η f είναι ( ) f = f Από Θ. Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον Ξ (,) τέτοιο, ώστε f Ά ( ) =. Άρα, η εφαπτομένη τη C στο (,f ( ) είναι παράλληλη στον άξονα Ά. f C f, ορίζεται εφαπτομένη f = f, με < 45