Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Transcript

1 Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές πρστάσεις. Θ δούµε µερικές πολύ σικές κι χρσιµες τυτότητες. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () = = () ( ) = = ( ) = ()( ) = ( )( ), όπου Ν () = = () ( ) = = ( ) = ( ) () = ()( ) = ( ) ( ) = ( )( ) (γ) = γ γ γ γ = (γ) (γγ) γ ( γ γ) = [( ) ( γ) (γ ) ] (x)(x) = x ()x (x)(x)(xγ) = x (γ)x (γγ)x γ

2 Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες Γι όρους : (x )(x )(x ) (x ) = x ( )x ( )x ( 4 4 )x ( )x (x )(x )(x ) (x ) = x Σ x Σ x Σ x Σ όπου Σ = Σ = Σ = 4 4 Σ = Σ = κι (x )(x )(x γ) = x (γ)x (γγ)x γ (x )(x )(x ) (x ) = x Σ x Σ x ( ) Σ x( ) Σ = ( )( ), όπου Ν = ()( ), όπου Ν κι =κ, δηλ. περιττός ΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ (γδ) = γ δ γ δ γ δ γδ ( ) = ( ) = Σ i Σ i j όπου i =,,,,, j =,,, κι i j Το τετράγωο πολυωύµου µε όρους είι ίσο µε το άθροισµ τω τετργώγω τω όρω του συ το διπλάσιο του θροίσµτος τω γιοµέω τω όρω του λµοµέω ά δύο µ όλους τους δυτούς συδυσµούς.

3 Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες Ο ΚΥΒΟΣ ΤΡΙΩΝΥΝΟΥ (γ) = γ γ γ γ γ 6γ (γ) = γ ()(γ)(γ) Ο κύος τριωύµου είι ίσος µε το άθροισµ τω κύω τω όρω του συ το τριπλάσιο του γιοµέου του θροίσµτος τω όρω του λµο- µέω ά δύο µ όλους τους δυτούς συδυσµούς. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ DE MOIVRE 4 4 γ 4 γ γ = (γ)( γ)( γ)( γ) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ GAUCHY () = () () = 5()( ) () = 7()( ) ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΟΥ SCHWARZ ( )( ) ( ) ΜΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ γ γ = ( γ)( γ γ γ) γ γ = ( γ)[( ) ( γ) (γ ) ]

4 Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ LAGRANGE Γι τέσσερις όρους : ( )( ) ( ) = ( ) = Γι έξι όρους : ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = Γι όρους : ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ,, γ : γ=0 ==γ γ = γ,, γ : γ=0 = 0 =0 γ=0 ( γ γ) = γ γ,, γ : γ=0 =γ γ= γ= 4 4 γ 4 = ( γ γ ) 4

5 Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ NEWTON Γι κάθε ζευγάρι πργµτικώ ριθµώ κι κι Ν, ισχύει ο τύπος του διωύµου του Newton : () = k k 0 k Ο πρπάω τύπος γράφετι κι ως εξς : () = ( ). Ή κι πιο σύτοµ ως εξς : () = k= 0 ( )( ).. k k k Η πράστση είι ο συδυσµός τω πργµάτω ά k κι k! είι ίση µε :, όπου! =.. = k k!( k)! Μερικές χρσιµες πρτηρσεις γι το σχηµτισµό του πτύγµτος () :. Είι έ πλρες οµογεές πολυώυµο θµού, που είι διτετγ - µέο κτά τις κτιούσες δυάµεις του κι τις ιούσες δυάµεις του.. Οι δυάµεις του ξεκιού πό το κι ελττώοτι κτά έ µέχρι γίου 0, εώ οι δυάµεις του ξεκιού πό το 0 κι υξάου κτά έ µέχρι γίου.. Σε κάθε όρο το άθροισµ τω εκθετώ του κι του είι στθερό κι ίσο µε. 4. Το πλθος τω όρω του πτύγµτος είι ίσο µε. 5. Οι όροι του πτύγµτος που ισπέχου πό τ άκρ έχου ίσους συτελεστές. 6. Α ο είι άρτιος ριθµός, τότε το πλθος τω όρω του πτύγµτος είι περιττός ριθµός κι υπάρχει ές µόο µεσίος όρος που έ- χει το µεγλύτερο συτελεστ κι οι εκθέτες τω κι είι ίσοι. 7. Α ο είι περιττός ριθµός, τότε το πλθος τω όρω του πτύγ- µτος είι άρτιος ριθµός κι υπάρχου δύο µεσίοι όροι που έχου το ίδιο συτελεστ, που είι κι ο µεγλύτερος του πτύγµτος. k= 5

6 Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες 8. Στο άπτυγµ () όλοι οι όροι έχου θετικό πρόσηµο, εώ στο - άπτυγµ ( ) το πρόσηµο τω όρω είι ελλάξ θετικό κι ρητικό. 9. Κάθε συτελεστς προκύπτει λάουµε το γιόµεο του συτελεστ επί το εκθέτη του προηγούµεου όρου κι διιρέσουµε µε το ριθµό που δηλώει τη τάξη του προηγούµεου όρου. Χρκτηριστικά πρδείγµτ : () = ( ) = () = ( ) = () 4 = ( ) 4 = () 5 = ( ) 5 = () 6 = ( ) 6 = Οι διωυµικοί συτελεστές έχου µερικές εδιφέρουσες ιδιότητες : 0 = k= 0 k = Από το πρπάω τύπο µπορούµε συµπεράουµε ότι έ σύολο που περιέχει στοιχεί, έχει υποσύολ. = = = 6