Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.."

Transcript

1 Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 : ψ =..=.. = o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. = o Για χ = 4 3 : ψ =..=.. = β) ψ = -2χ o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 : ψ =..=.. = o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. = o Για χ = 4 3 : ψ =..=.. = 2. Δίνεται η συνάρτηση ψ = 2(χ 1) + 3χ α) Να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης για χ = 0 και για χ = 1. β) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι 8. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι Δίνεται η ισότητα ψ 2 = χ 2-4 α) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 2 και για χ = -2 β) Να υπολογίσετε τις τιμές του ψ για χ = 0. γ) Αυτή η ισότητα εκφράζει, ως προς ψ, μια συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Να γράψετε τις συναρτήσεις τις οποίες περιγράφουν οι παρακάτω προτάσεις: 1. Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου σε συνάρτηση με την πλευρά του χ. 2. Ο όγκος V ενός κύβου σε συνάρτηση με την ακμή του χ. 3. Η περίμετρος Π ενός ορθογωνίου με μήκος 3 μονάδες και πλάτος χ σε συνάρτηση με το πλάτος του. 4. Την ταχύτητα ψ ενός αυτοκινήτου το οποίο σε χρόνο χ έκανε διάστημα 10 km σε συνάρτηση με το χρόνο. 5. Το κόστος ψ σε ευρώ χ μονάδων ενός προϊόντος αν η μια μονάδα έχει κόστος 5 ευρώ σε συνάρτηση με τις μονάδες. 1

2 Το υπόλοιπο ψ του όγκου του πετρελαίου, που μένει σε μια δεξαμενή, αν αρχικά υπήρχαν 1000 λίτρα, τα οποία καταναλώνονται με ρυθμό 20 λίτρα την ημέρα, σε συνάρτηση με τις ημέρες χ. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β για την οποία γνωρίζουμε ότι για χ = 0, ψ = 4 και για χ = 1, ψ = -2. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. Η συνάρτηση ψ = χ 2 με χ>0, μπορεί να εκφράζει το εμβαδό ψ ενός τετραγώνου αν χ η πλευρά του. Η σχέση ψ 2 = χ, με χ>0, δεν είναι συνάρτηση γιατί σε μια τιμή του χ μπορούμε να βρούμε δύο τιμές για το ψ. Στη συνάρτηση ψ = x, το χ μπορεί να πάρει τιμή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Στη συνάρτηση ψ = x 2, το χ και το ψ δεν μπορούν να πάρουν την τιμή 0. Στη συνάρτηση ψ = χ 2 χ το ψ γίνεται ίσο με το 0 για δύο τιμές του χ. 7. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες τιμών. x α) Για την συνάρτηση: ψ = 3 +1 χ ψ 28 β) Για την συνάρτηση: ψ = χ 2-4 χ ψ γ) Για την συνάρτηση: ψ = -6χ+12 χ 0 1 ψ γ) Για την συνάρτηση: ψ = x χ ψ 2 2

3 Γραφική παράσταση της συνάρτησης. A B Γ χ 1 Δ O 1 χ Ε Ζ Στο παραπάνω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων βλέπετε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Α. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α)σε ποιο σημείο η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα ψ ψ; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. β)σε ποιο σημείο με αρνητική τετμημένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης. χ ψ 3

4 2. Ε B Ζ Α χ 1 Η O 1 Δ χ Ι Λ Μ Στο παραπάνω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων βλέπετε την γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων.συμβολίζουμε με ψ = φ(χ) την συνάρτηση που παριστάνεται με την μπλε γραμμή και με ψ = κ(χ) την συνάρτηση που παριστάνεται με την κόκκινη γραμμή. Α. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α)σε ποια σημεία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνουν τον άξονα ψ ψ; Να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων. β) Για ποια χ τα σημεία (χ, ψ) της ψ = κ(χ) βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ ; γ)σε ποιο σημείο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. δ) Ποια είναι η μικρότερη και ποια η μεγαλύτερη τιμή των συναρτήσεων και για ποια χ οι συναρτήσεις παίρνουν τις τιμές αυτές; Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων ( μόνο τα λευκά κελιά). χ ψ = φ(χ) ψ = κ(χ) 4

5 3. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = 2χ, ψ = 2χ +6 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των δύο συναρτήσεων. χ ,5 0,5 1,5 ψ = 2χ ψ = 2χ +6 β) Να συγκρίνεται τις τιμές των δύο συναρτήσεων. γ) Να κατασκευάσετε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και να τοποθετήσετε τα σημεία των (χ, ψ) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα. Κατόπιν να ενώσετε τα σημεία που αντιστοιχούν στην κάθε συνάρτηση. Τι παρατηρείτε; 4. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών 10 10, ψ =. x x χ ψ = 10 x 10 ψ = x β) Να κατασκευάσετε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και να τοποθετήσετε τα σημεία των (χ, ψ) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα. γ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται τα σημεία της πρώτης συνάρτησης; δ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται τα σημεία της δεύτερης συνάρτησης; ε) Μπορούν να ενωθούν τα σημεία της κάθε συνάρτησης με μια ευθεία; 5. Δίνεται η συνάρτηση ψ = 2χ + β. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο του ψ ψ (0, 4). α) Να υπολογίσετε την τιμή του β. β) Να βρείτε το σημείο του χ χ απ όπου διέρχεται η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. 5

6 5.3 Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση ψ = αχ. 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = 3χ είναι. που διέρχεται από.. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών. Αν τριπλασιάσουμε την τιμή του χ τότε η τιμή του ψ θα. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών με σταθερό λόγο, (ψ προς χ), 5. Η συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ είναι η Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. Η συνάρτηση ψ = -5χ εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, όταν αυτά παριστάνουν τις αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών με σταθερό λόγο 5. Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν αυξάνοντας τις τιμές του ενός αυξάνονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου. Η συνάρτηση ψ = χ 2 μπορεί να εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, σε ποσά ανάλογα. Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό γινόμενο Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό λόγο. Όταν το μέγεθος ψ είναι ανάλογο του μεγέθους χ τότε η ισότητα που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η ψ = αχ όπου α σταθερός αριθμός. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών για δύο ανάλογα ποσά ψ, χ. Τιμές του χ Τιμές του ψ Α.: 5 Β.: 8 Γ.: 10 Δ.: 16 Ε.:20 α.: 30 β.:15 γ.:48 δ.:24 ε.:60 α) Να κάνετε την σωστή αντιστοίχηση των τιμών, συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. χ Α Β Γ Δ Ε ψ β) Να βρείτε τον σταθερό λόγο των αντίστοιχων τιμών των ψ, χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 668. δ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για ψ =

7 4. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 80 Km/h. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Σε χρόνο 2 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km. Σε χρόνο 1,5 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 3 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 4 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 0,5 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο t h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km β) Το διάστημα s που κάνει το αυτοκίνητο σε χρόνο t και ο χρόνος t, είναι ποσά ανάλογα; Ποιος είναι ο σταθερός τους λόγος; γ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης του s ως προς τον χρόνο t. Η γραμμή που θα προκύψει πρέπει να είναι μια ημιευθεία η οποία έχει αρχή την αρχή των αξόνων. δ) Ποια είναι η κλίση της ημιευθείας του γ) ερωτήματος ως προς τον χ χ; Πότε αυτή η κλίση θα ήταν μεγαλύτερη και πότε μικρότερη; 5. Δίνεται ένα τετράγωνο πλευράς χ. Έστω Ε το εμβαδόν και Π η περίμετρος του τετραγώνου. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Πλευρά χ Εμβαδόν Ε Περίμετρος Π β) Είναι σωστό ή λάθος ότι η πλευρά χ και το εμβαδόν Ε είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; γ) Είναι σωστό ή λάθος ότι η πλευρά χ και η περίμετρος Π είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; δ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία (χ, Ε) και (χ, Π) του πίνακα τιμών του α) ερωτήματος. Τα σημεία (χ, Ε) ή τα (χ, Π) βρίσκονται στην ίδια ευθεία; Ποια είναι η συνάρτηση αυτής της ευθείας; 6. Δίνεται ένα ορθογώνιο με σταθερό πλάτος 6 cm και μεταβλητό μήκος χ Έστω Ε το εμβαδόν του και Π η περίμετρος του. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Μήκος χ 1,5 2,5 3 3,5 4 Εμβαδόν Ε Περίμετρος Π β) Είναι σωστό ή λάθος ότι το μήκος χ και το εμβαδόν Ε είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; γ) Είναι σωστό ή λάθος ότι το μήκος χ και η περίμετρος Π είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; δ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία (χ, Ε) και (χ, Π) του πίνακα τιμών του α) ερωτήματος. Τα σημεία (χ, Ε) ή τα (χ, Π) βρίσκονται στην ίδια ευθεία; 7

8 Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά χ. Έστω υ το ύψος του τριγώνου. α) Με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος να εκφράσετε το ύψος του τριγώνου σε συνάρτηση με την πλευρά του χ. β) Το υ και το χ είναι ποσά ανάλογα; Ποιος είναι ο σταθερός λόγος των τιμών τους; γ) Ποιες είναι οι αντίστοιχες τιμές για το υ αν το χ πάρει τις τιμές 3, 2 3, 2, 4. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντα από το σημείο: Α.: (1, 1 ) Β.: (0, 0) Γ.: (α, 1) Δ.: (0, α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1, 2) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=2 Γ.: α = -1 Δ.: α=0,5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2,1) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=2 Γ.: α = -1 Δ.: α=0,5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1, 2) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=-2 Γ.: α = 0 Δ.: α=2 Αν α = 3 τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο: Α.: (1, 3 ) Β.: (0, 3) Γ.: (α, 3) Δ.: (3, α) Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ.η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(1, 1). α) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της. β) Να υπολογίσετε την τιμή του α. γ) Να πάρετε το σημείο Β(1, 0) και να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας ΑΟΒ. Τι αποτελεί αυτή η ευθεία για το 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο των αξόνων; 1 1 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες ψ = χ, ψ = χ, ψ = χ, ψ = 2χ 3 2 ψ = 3χ. Τι συμβαίνει με την κλίση της ευθείας ψ=αχ καθώς το α αυξάνεται; Α. μειώνεται Β. παραμένει σταθερή. Γ. αυξάνεται. Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 8

9 5.4 Ποσά ανάλογα - Εφαρμογές. 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε τον σταθερό της απόστασης δύο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την. αυτών των σημείων. Όταν η κλίμακα είναι του 1 τότε έχουμε μεγέθυνση ενώ όταν είναι του 1 έχουμε σμίκρυνση. χ ψ ω Αν = = = λ τότε χ =., ψ =., ω = α β γ χ ψ ω = = = α β γ Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: x 5 α) 3 = x 1 5 x 5 9, β) =, γ) =, δ) =, ε) = 2 x x 5 2 2x + 1 5x 2 ζ) =, η) x 5 = ψ = , στ) 1 2 = 3x Να υπολογίσετε τις πλευρές χ, ψ, ω ενός τριγώνου με περίμετρο 24 cm αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογες των αριθμών 5, 4, 3 αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Να κατασκευάσετε μια γωνία ΧΟΨ = ω τέτοια ώστε εφω = 2. Στη μία πλευρά της γωνίας ΟΧ να πάρετε διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΟΑ=1 cm, ΟΒ = 2 cm, ΟΓ = 3cm και ΟΔ = 4 cm. Από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να φέρεται καθέτους προς την ΟΧ οι οποίες τέμνουν την ΟΨ στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα. Να δικαιολογήσετε ότι τα τμήματα ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ, ΔΝ είναι ανάλογα προς τα τμήματα ΟΑ, ΑΒ, ΟΓ, ΟΔ και να υπολογίσετε τα μήκη τους. Ένα αυτοκίνητο κινείται με 100 Km/h. Η περίμετρος της ρόδας του είναι 200 cm. α) Πόσα Km κάνει το αυτοκίνητο σε μία στροφή της ρόδας του; β) Πόσες στροφές κάνει η ρόδα του αυτοκινήτου σε 1 min; 9

10 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Στα ανάλογα ποσά οι τιμές του ενός με τις αντίστοιχες του άλλου έχουν σταθερό.. Τα ζευγάρια των αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών αν παρασταθούν με σημεία ενός επιπέδου τότε θα σχηματιστεί.. Αν (α,β) ένα ζευγάρι τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε και τα ζευγάρια (2α,..), (3α,..), (4α,..) αποτελούν ζευγάρια τιμών των ίδιων ποσών. Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε το.. Σ ένα σχέδιο ή σε ένα χάρτη που σχεδιάζουμε με κλίμακα κ ο λόγος της απόστασης δυο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι πάντα ίσος με. x ψ ω Αν χ+ψ+ω=6 και α+β+γ=3 τότε = = =..... a β γ 2. Αν το ζευγάρι (10,20) παριστάνει ένα ζευγάρι αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε: α) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω ζευγάρια ώστε να αποτελούν ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (5,..), (,40), (,30), (40,..) β) Να τοποθετήσετε τα παραπάνω ζευγάρια με σημεία κατάλληλου ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων και να τα ενώσετε. γ) Εξετάστε αν τα παρακάτω ζευγάρια είναι ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (1, 2), (8, 4), (α, 2α), (0.5α, α) 3. Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση S σε χρόνο t με ταχύτητα 80km/h. α) Εξετάστε αν τα ποσά απόσταση S χρόνος t είναι ανάλογα. β) Από τα δεδομένα του προβλήματος ποιο ζευγάρι τιμών για τα ποσά S και t σας δίνεται; γ) Με ποιον αριθμό θα είναι ίσος ο λόγος t S ; 3 3 δ) Να βρείτε το S αν γνωρίζετε ότι t=2h, t= h, t= h. 2 4 ε) Να βρείτε το t αν γνωρίζετε ότι S=200km, S=300km, S=100km. 4. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α, περίμετρο Π και εμβαδό Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής. ΠΛΕΥΡΑ α ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Π ΕΜΒΑΔΟ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. Τα ποσά α και Π είναι ανάλογα Τα ποσά α και Ε είναι ανάλογα γ) Με τι ισούται ο λόγος α Π ; Είναι σταθερός; 10

11 Με τι ισούται ο λόγος α Ε ; Είναι σταθερός; 5. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει σταθερή βάση τετράγωνο πλευράς 3cm, ύψος h, όγκο V και παράπλευρη επιφάνεια Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής: ΥΨΟΣ h ΟΓΚΟΣ V ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. Τα ποσά h και V είναι ανάλογα. Τα ποσά h και Ε είναι ανάλογα. γ) Με τι ισούται ο λόγος h V ; Είναι σταθερός; Με τι ισούται ο λόγος h Ε ; Είναι σταθερός; 6. Ένα πλοίο ξεκινάει από ένα νησί Α με προορισμό ένα νησί Β και με ταχύτητα 25 ναυτικά μίλια την ώρα. Ο καπετάνιος του πλοίου μετρώντας την απόσταση των νησιών σε έναν ναυτικό χάρτη 1 κλίμακας διαπιστώνει ότι η απόσταση τους είναι 4,63cm. Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο το πλοίο θα φτάσει στο νησί Β; (Σημ.: 1 ναυτικό μίλι = 1,852km.) 7. Ένα σχέδιο σμικρύνεται 3 φορές ώστε κάθε φορά να γίνεται το μισό της προηγούμενης. Έστω x η απόσταση δύο σημείων στο αρχικό σχέδιο, και α, β, γ οι αποστάσεις των δύο αυτών σημείων μετά τις τρεις διαδοχικές σμικρύνσεις. a β γ α) Υπολογίστε τους λόγους:,, x α β β) Το γινόμενο των λόγων Α: 1 2 Β: Ποια είναι αυτά; 1 8 γ) Ποια είναι η κλίμακα του τελικού σχεδίου; a x, β γ, είναι ίσο με δυο από τα παρακάτω κλάσματα: α β Γ: γ χ 11 Δ: 1 4 Ε: 8 1

12 δ) Πόσο είναι η μείωση της απόστασης των δύο σημείων και πόσο % μειώθηκε η απόσταση σε σχέση με την αρχική; 8. α) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 20% και γίνεται ίσο με ψ. Να εξετάσετε αν τα ποσά x και ψ είναι ανάλογα και να υπολογίσετε το λόγο των αντίστοιχων τιμών τους. β) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 40% και γίνεται ίσο με α. Κατόπιν το α αυξάνεται κατά 50% και γίνεται ίσο με β. a β Να υπολογίσετε τους λόγους και x α Να υπολογίσετε το λόγο χ β Πόσο % αυξήθηκε το μέγεθος x; 9. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας στα κελιά της δεύτερης στήλης του Σ αν έχουμε σμίκρυνση και Μ αν έχουμε μεγέθυνση και στα κελιά της τρίτης στήλης πόσες φορές έχει σμικρυνθεί ή έχει μεγεθυνθεί το σχέδιο. ΚΛΙΜΑΚΑ ΣΧΕΔΙΟΥ :1 5:10 3:9 ΣΜΙΚΡΥΝΣΗ Ή ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΠΟΣΟ ΣΜΙΚΡΥΝ. Ή ΜΕΓΕΘΥΝ 10. Τα παρακάτω σχέδια έχουν σχεδιαστεί με κλίμακα Να υπολογίσετε τις πραγματικές τους επιφάνειες, μετρώντας με Τετράγωνο Ορθ. Ισοσκελές τρίγωνο το υποδεκάμετρο τις διαστάσεις τους. Ορθογώνιο χ ψ ω α) Να συμπληρώσετε την αναλογία: = = = α β γ... β) Το άθροισμα τριών αριθμών χ, ψ, ω είναι 60. Οι αριθμοί χ, ψ, ω είναι ανάλογοι των αριθμών 1, 2, 3. Να υπολογίσετε τους τρεις αριθμούς χ, ψ, ω. 12. Να υπολογίσετε τις πλευρές και το εμβαδόν ενός ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του είναι ίση με 30cm και οι πλευρές του είναι ανάλογες των αριθμών 2 και 3. x ψ 13. Αν για τους αριθμούς χ, ψ ισχύουν: 3x+2ψ=42 και = = λ τότε: 5 3 α) Υπολογίστε τον αριθμό λ. β) Υπολογίστε τους αριθμούς χ, ψ. 12

13 14. Αν οι αριθμοί α, β είναι ανάλογοι των αριθμών 3, 5 τότε: α) Γράψτε την ισότητα των λόγων που προκύπτει β) Αν ο κάθε λόγος του α ερωτήματος είναι λ να εκφράσετε σε σχέση με το λ τους αριθμούς α και β. 2a + 3β 6α 2β γ) Υπολογίστε τους λόγους:, 5α + 6β 3α + β 15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίμετρο 28cm. Έστω αcm είναι το μήκος καθεμιάς από τις ίσες πλευρές του και βcm το μήκος της βάσης. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς 5 και 4 αντίστοιχα. 16. α) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:5. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων; β) Ένας χάρτης έχει κλίμακα 1: Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 5 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων σε Km; γ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:50. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι χ cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 600 cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η αυτών των σημείων στο σχέδιο; δ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:χ. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 5 m, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η κλίμακα του σχεδίου; 13

14 Η γραμμική συνάρτηση ψ = αχ +β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι τιμές της γραμμικής συνάρτησης ψ = αχ +β προκύπτουν από τις τιμές της συνάρτησης ψ = αχ προσθέτοντας τον αριθμό. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι μια ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία που παριστάνει γραφικά η συνάρτηση.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι μια ευθεία η οποία τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (.,.). Δίνονται οι συναρτήσεις: ψ = χ, ψ = χ+2, ψ = χ-2. α) Να συμπληρώστε τους παρακάτω πίνακες τιμών: Τιμές του χ Τιμές της ψ = χ Τιμές της ψ = χ+2 Τιμές της ψ = χ-2 β) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων στο οποίο να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα και να σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες που παριστάνουν γραφικά οι παραπάνω συναρτήσεις. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σημεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέμνουν τον ψ ψ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με ένα μόνο σημείο της δεύτερης στήλης, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ 9 4. ψ = 5χ +1 ΣΗΜΕΙΟ Α. (0, -5) Β. (0, -9) Γ.(0, 3) Δ. (0, 1) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ 4. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σημεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέμνουν τον χ χ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με ένα μόνο σημείο της δεύτερης στήλης, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. ψ = 3χ-6 2. ψ = -3χ+9 3. ψ = 4χ 4 4. ψ = 5χ +5 ΣΗΜΕΙΟ Α. (3, 0) Β. (2, 0) Γ.(1, 0) Δ. (-1, 0) 14

15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 διαφορετικές συναρτήσεις. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με κάθε συνάρτηση της δεύτερης στήλης, ώστε οι ευθείες που παριστάνουν να είναι παράλληλες, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 η 1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ 9 4. ψ = 5χ +1 Α. ψ = 4χ + 1 Β. ψ = 5χ + 3 Γ. ψ = -9χ-5 Δ. ψ = 3χ -9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 η Δίνεται η συνάρτηση ψ = -2χ + 6. α) Έστω Α και Β τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων. β) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = 2χ και τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (0, 4) α) Να υπολογίσετε την τιμή του α και την τιμή του β. β) Να βρείτε το σημείο στο οποίο η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα χ χ. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = 3χ+1 και ψ = -2χ + 6. α) Σε ποιο από τα παρακάτω σημεία τέμνονται οι ευθείες που παριστάνουν γραφικά αυτές οι συναρτήσεις; Α. (0, 1) Β. (0, 3) Γ. (1, 2) Δ. (1, 4) (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες τοποθετώντας στους άξονες το σημείο τομής τους και τα σημεία στα οποία αυτές τέμνουν τον ψ ψ. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = χ 4 και ψ = -χ + 2 οι οποίες τέμνονται στο σημείο (α, β). α) Να γράψετε τις δύο ισότητες που επαληθεύουν τα α και β. β) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Ποιο είναι το σημείο τομής τους; 10. Κάποιος με το αυτοκίνητό του κάνει καθημερινά μια διαδρομή πηγαίνοντας από μια πόλη Α σε μια πόλη Β και αντιστρόφως, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους 30 Km. Την Δευτέρα ξεκίνησε από την πόλη Α στις 12:00 και έφτασε στην πόλη Β στις 12:30. Την Τρίτη ξεκίνησε από την πόλη Β στις 12:00 και έφτασε στην πόλη Α στις 12:30. 15

16 11. α) Υποθέτοντας ότι η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι σταθερή πόσο πρέπει να είναι αυτή την Δευτέρα και πόσο την Τρίτη; (Σε Km/min) β) Να βρείτε την συνάρτηση ψ = αt που μας δείχνει την απόσταση ψ του αυτοκινήτου από την πόλη Α σε t min την Δευτέρα. γ) Να βρείτε την συνάρτηση ψ = αt + β που μας δείχνει την απόσταση ψ του αυτοκινήτου από την πόλη Α σε t min την Τρίτη. δ) Ποιες είναι οι τιμές που πρέπει να πάρει ο χρόνος t και στις δύο συναρτήσεις; ε) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων. ζ) Να ερμηνεύσετε την σημασία του σημείου τομής των δύο γραμμών που σχεδιάσατε στο ε) ερώτημα. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία που παριστάνει γραφικά αυτή η συνάρτηση τέμνει τον χ χ στο σημείο (1, 0) και τον ψ ψ στο σημείο (0, 1). α) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ = αχ + β. γ) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας αυτής με την ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = -2χ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα - Η συνάρτηση ψ = χ α Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ 3 είναι μια καμπύλη που ονομάζεται.. και πλησιάζει πολύ κοντά.. χωρίς όμως να τους τέμνει. Αποτελείται από 2 κλάδους ένας στο. τεταρτημόριο και ένας στο.τεταρτημόριο. 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = είναι μια καμπύλη που ονομάζεται χ.. και πλησιάζει πολύ κοντά.. χωρίς όμως να τους τέμνει. Αποτελείται από 2 κλάδους ένας στο. τεταρτημόριο και ένας στο.τεταρτημόριο. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Αν διπλασιάσουμε την τιμή του χ τότε η τιμή του ψ θα. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών με σταθερό γινόμενο 5. Η συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ είναι η. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. 3 Η συνάρτηση ψ = εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, όταν χ αυτά παριστάνουν τις αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών με σταθερό γινόμενο 3. Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν αυξάνοντας τις τιμές του ενός μειώνονται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου. Η συνάρτηση ψ = 2 x μπορεί να εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα. 16

17 Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό γινόμενο Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό λόγο. Όταν το μέγεθος ψ είναι αντιστρόφως ανάλογο του μεγέθους χ τότε η ισότητα που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η ψ = αχ όπου α σταθερός αριθμός. Στη συνάρτηση ψ = χ α με α>0 οι αντίστοιχες τιμές των χ, ψ είναι ομόσημοι αριθμοί. Στη συνάρτηση ψ = χ α με α<0 οι αντίστοιχες τιμές των χ, ψ είναι ομόσημοι αριθμοί. 3. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών για δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά ψ, χ. Τιμές του χ Τιμές του ψ Α.: 2 Β.: 8 Γ.: 12 Δ.: 10 Ε.:24 α.: 1 β.:2 γ.:2,4 δ.:3 ε.:12 α) Να κάνετε την σωστή αντιστοίχηση των τιμών, συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. χ Α Β Γ Δ Ε ψ β) Να βρείτε τον σταθερό γινόμενο των αντίστοιχων τιμών των ψ, χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 100. δ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για ψ = Ένα αυτοκίνητο διανύει ένα διάστημα 200 Km. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 2 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 4 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 2,5 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 8 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 1 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h β) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου υ και ο χρόνος t στον οποίο το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα; Ποιο είναι το σταθερό γινόμενο των τιμών τους; γ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου ως προς τον χρόνο t. Η γραμμή που θα προκύψει πρέπει να είναι μια καμπύλη η οποία θα πλησιάζει τους ημιάξονες Οχ και Οψ. 17

18 5. 6. Δίνεται ένα ορθογώνιο με διαστάσεις χ, ψ και σταθερό εμβαδό 20 cm 2. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ ψ β) Να γράψετε την συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ. γ) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε στο β) ερώτημα. Δίνονται οι συναρτήσεις : ψ = και ψ = x x 16 α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών για την συνάρτηση ψ = : x χ ψ β) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και 16 να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =. x γ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών για την συνάρτηση ψ = : x χ ψ β) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και 16 να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =. x Ένα μέγεθος ψ μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα προς ένα μέγεθος χ. Παρατηρήσαμε πως όταν η τιμή του χ είναι 2,5 μονάδες η τιμή του ψ γίνεται 4 μονάδες. α) Πόσο θα είναι η τιμή του ψ αν η τιμή του χ γίνει 10 μονάδες. β) Να γράψετε την συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ. γ) Να υπολογίσετε την ποσοστιαία αύξηση του ψ όταν το χ μειωθεί κατά 20%. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = αχ και ψ = χ α με α πραγματικό αριθμό διαφορετικό του 0. α) Σε ποια τεταρτημόρια των αξόνων θα είναι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων αν το α είναι θετικός αριθμός και σε ποια αν το α είναι αρνητικός. Κάντε ένα πρόχειρο σχέδιο σε κάθε περίπτωση. β) Έστω (κ, λ) σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων. Να υπολογίσετε τις τιμές των κ, λ. Σε ποια σημεία τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις; Μια υπερβολή διέρχεται από το σημείο (-1, 4). α) Να βρείτε την συνάρτηση που παριστάνει γραφικά αυτή η υπερβολή. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτή η υπερβολή τέμνει την ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (1, -1) γ) Να βρείτε και να συγκρίνετε τις αποστάσεις των σημείων που βρήκατε στο β)ερώτημα από την αρχή των αξόνων. 18

19 19

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε:

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε: 9 ο Γυμνάσιο Αθηνών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο 6: ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Φύλλο εργασίας Νο1 1 Ονοματεπώνυμο μαθητή : Ημερομηνία :.../.../20... Μαθηματικές έννοιες: Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων,

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15.06.2012 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 50 3 5 0 0 ή 3 5 0 0 ή 3 5 0 ή 8 50 8 5 αδύνατη 3 60 3 6 6 3 3 4 510, α = 4, β = -5 και γ = 1 Δ = 4 5 4 4 15169 5 9 4 53 8 1 ή 4 410

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη θέση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq 3.3 Η συνάρτηση y=αχ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty 3.3 Η συνάρτηση y=αχ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0 1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο. ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες Ασκήσεις. Λύση

Λυμένες Ασκήσεις. Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx + β Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες με εξισώσεις y = 1 x, y = 1 x +, y = 1 x Η εξίσωση y = 1 x για x = δίνει y = 1 Επομένως

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα