Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.."

Transcript

1 Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 : ψ =..=.. = o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. = o Για χ = 4 3 : ψ =..=.. = β) ψ = -2χ o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 : ψ =..=.. = o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. = o Για χ = 4 3 : ψ =..=.. = 2. Δίνεται η συνάρτηση ψ = 2(χ 1) + 3χ α) Να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης για χ = 0 και για χ = 1. β) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι 8. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι Δίνεται η ισότητα ψ 2 = χ 2-4 α) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 2 και για χ = -2 β) Να υπολογίσετε τις τιμές του ψ για χ = 0. γ) Αυτή η ισότητα εκφράζει, ως προς ψ, μια συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Να γράψετε τις συναρτήσεις τις οποίες περιγράφουν οι παρακάτω προτάσεις: 1. Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου σε συνάρτηση με την πλευρά του χ. 2. Ο όγκος V ενός κύβου σε συνάρτηση με την ακμή του χ. 3. Η περίμετρος Π ενός ορθογωνίου με μήκος 3 μονάδες και πλάτος χ σε συνάρτηση με το πλάτος του. 4. Την ταχύτητα ψ ενός αυτοκινήτου το οποίο σε χρόνο χ έκανε διάστημα 10 km σε συνάρτηση με το χρόνο. 5. Το κόστος ψ σε ευρώ χ μονάδων ενός προϊόντος αν η μια μονάδα έχει κόστος 5 ευρώ σε συνάρτηση με τις μονάδες. 1

2 Το υπόλοιπο ψ του όγκου του πετρελαίου, που μένει σε μια δεξαμενή, αν αρχικά υπήρχαν 1000 λίτρα, τα οποία καταναλώνονται με ρυθμό 20 λίτρα την ημέρα, σε συνάρτηση με τις ημέρες χ. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β για την οποία γνωρίζουμε ότι για χ = 0, ψ = 4 και για χ = 1, ψ = -2. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. Η συνάρτηση ψ = χ 2 με χ>0, μπορεί να εκφράζει το εμβαδό ψ ενός τετραγώνου αν χ η πλευρά του. Η σχέση ψ 2 = χ, με χ>0, δεν είναι συνάρτηση γιατί σε μια τιμή του χ μπορούμε να βρούμε δύο τιμές για το ψ. Στη συνάρτηση ψ = x, το χ μπορεί να πάρει τιμή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Στη συνάρτηση ψ = x 2, το χ και το ψ δεν μπορούν να πάρουν την τιμή 0. Στη συνάρτηση ψ = χ 2 χ το ψ γίνεται ίσο με το 0 για δύο τιμές του χ. 7. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες τιμών. x α) Για την συνάρτηση: ψ = 3 +1 χ ψ 28 β) Για την συνάρτηση: ψ = χ 2-4 χ ψ γ) Για την συνάρτηση: ψ = -6χ+12 χ 0 1 ψ γ) Για την συνάρτηση: ψ = x χ ψ 2 2

3 Γραφική παράσταση της συνάρτησης. A B Γ χ 1 Δ O 1 χ Ε Ζ Στο παραπάνω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων βλέπετε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Α. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α)σε ποιο σημείο η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα ψ ψ; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. β)σε ποιο σημείο με αρνητική τετμημένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης. χ ψ 3

4 2. Ε B Ζ Α χ 1 Η O 1 Δ χ Ι Λ Μ Στο παραπάνω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων βλέπετε την γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων.συμβολίζουμε με ψ = φ(χ) την συνάρτηση που παριστάνεται με την μπλε γραμμή και με ψ = κ(χ) την συνάρτηση που παριστάνεται με την κόκκινη γραμμή. Α. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α)σε ποια σημεία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνουν τον άξονα ψ ψ; Να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων. β) Για ποια χ τα σημεία (χ, ψ) της ψ = κ(χ) βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ ; γ)σε ποιο σημείο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. δ) Ποια είναι η μικρότερη και ποια η μεγαλύτερη τιμή των συναρτήσεων και για ποια χ οι συναρτήσεις παίρνουν τις τιμές αυτές; Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων ( μόνο τα λευκά κελιά). χ ψ = φ(χ) ψ = κ(χ) 4

5 3. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = 2χ, ψ = 2χ +6 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των δύο συναρτήσεων. χ ,5 0,5 1,5 ψ = 2χ ψ = 2χ +6 β) Να συγκρίνεται τις τιμές των δύο συναρτήσεων. γ) Να κατασκευάσετε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και να τοποθετήσετε τα σημεία των (χ, ψ) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα. Κατόπιν να ενώσετε τα σημεία που αντιστοιχούν στην κάθε συνάρτηση. Τι παρατηρείτε; 4. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών 10 10, ψ =. x x χ ψ = 10 x 10 ψ = x β) Να κατασκευάσετε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και να τοποθετήσετε τα σημεία των (χ, ψ) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα. γ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται τα σημεία της πρώτης συνάρτησης; δ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται τα σημεία της δεύτερης συνάρτησης; ε) Μπορούν να ενωθούν τα σημεία της κάθε συνάρτησης με μια ευθεία; 5. Δίνεται η συνάρτηση ψ = 2χ + β. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο του ψ ψ (0, 4). α) Να υπολογίσετε την τιμή του β. β) Να βρείτε το σημείο του χ χ απ όπου διέρχεται η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. 5

6 5.3 Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση ψ = αχ. 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = 3χ είναι. που διέρχεται από.. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών. Αν τριπλασιάσουμε την τιμή του χ τότε η τιμή του ψ θα. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών με σταθερό λόγο, (ψ προς χ), 5. Η συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ είναι η Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. Η συνάρτηση ψ = -5χ εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, όταν αυτά παριστάνουν τις αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών με σταθερό λόγο 5. Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν αυξάνοντας τις τιμές του ενός αυξάνονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου. Η συνάρτηση ψ = χ 2 μπορεί να εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, σε ποσά ανάλογα. Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό γινόμενο Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό λόγο. Όταν το μέγεθος ψ είναι ανάλογο του μεγέθους χ τότε η ισότητα που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η ψ = αχ όπου α σταθερός αριθμός. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών για δύο ανάλογα ποσά ψ, χ. Τιμές του χ Τιμές του ψ Α.: 5 Β.: 8 Γ.: 10 Δ.: 16 Ε.:20 α.: 30 β.:15 γ.:48 δ.:24 ε.:60 α) Να κάνετε την σωστή αντιστοίχηση των τιμών, συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. χ Α Β Γ Δ Ε ψ β) Να βρείτε τον σταθερό λόγο των αντίστοιχων τιμών των ψ, χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 668. δ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για ψ =

7 4. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 80 Km/h. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Σε χρόνο 2 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km. Σε χρόνο 1,5 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 3 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 4 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 0,5 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο t h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km β) Το διάστημα s που κάνει το αυτοκίνητο σε χρόνο t και ο χρόνος t, είναι ποσά ανάλογα; Ποιος είναι ο σταθερός τους λόγος; γ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης του s ως προς τον χρόνο t. Η γραμμή που θα προκύψει πρέπει να είναι μια ημιευθεία η οποία έχει αρχή την αρχή των αξόνων. δ) Ποια είναι η κλίση της ημιευθείας του γ) ερωτήματος ως προς τον χ χ; Πότε αυτή η κλίση θα ήταν μεγαλύτερη και πότε μικρότερη; 5. Δίνεται ένα τετράγωνο πλευράς χ. Έστω Ε το εμβαδόν και Π η περίμετρος του τετραγώνου. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Πλευρά χ Εμβαδόν Ε Περίμετρος Π β) Είναι σωστό ή λάθος ότι η πλευρά χ και το εμβαδόν Ε είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; γ) Είναι σωστό ή λάθος ότι η πλευρά χ και η περίμετρος Π είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; δ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία (χ, Ε) και (χ, Π) του πίνακα τιμών του α) ερωτήματος. Τα σημεία (χ, Ε) ή τα (χ, Π) βρίσκονται στην ίδια ευθεία; Ποια είναι η συνάρτηση αυτής της ευθείας; 6. Δίνεται ένα ορθογώνιο με σταθερό πλάτος 6 cm και μεταβλητό μήκος χ Έστω Ε το εμβαδόν του και Π η περίμετρος του. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Μήκος χ 1,5 2,5 3 3,5 4 Εμβαδόν Ε Περίμετρος Π β) Είναι σωστό ή λάθος ότι το μήκος χ και το εμβαδόν Ε είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; γ) Είναι σωστό ή λάθος ότι το μήκος χ και η περίμετρος Π είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; δ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία (χ, Ε) και (χ, Π) του πίνακα τιμών του α) ερωτήματος. Τα σημεία (χ, Ε) ή τα (χ, Π) βρίσκονται στην ίδια ευθεία; 7

8 Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά χ. Έστω υ το ύψος του τριγώνου. α) Με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος να εκφράσετε το ύψος του τριγώνου σε συνάρτηση με την πλευρά του χ. β) Το υ και το χ είναι ποσά ανάλογα; Ποιος είναι ο σταθερός λόγος των τιμών τους; γ) Ποιες είναι οι αντίστοιχες τιμές για το υ αν το χ πάρει τις τιμές 3, 2 3, 2, 4. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντα από το σημείο: Α.: (1, 1 ) Β.: (0, 0) Γ.: (α, 1) Δ.: (0, α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1, 2) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=2 Γ.: α = -1 Δ.: α=0,5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2,1) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=2 Γ.: α = -1 Δ.: α=0,5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1, 2) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=-2 Γ.: α = 0 Δ.: α=2 Αν α = 3 τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο: Α.: (1, 3 ) Β.: (0, 3) Γ.: (α, 3) Δ.: (3, α) Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ.η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(1, 1). α) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της. β) Να υπολογίσετε την τιμή του α. γ) Να πάρετε το σημείο Β(1, 0) και να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας ΑΟΒ. Τι αποτελεί αυτή η ευθεία για το 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο των αξόνων; 1 1 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες ψ = χ, ψ = χ, ψ = χ, ψ = 2χ 3 2 ψ = 3χ. Τι συμβαίνει με την κλίση της ευθείας ψ=αχ καθώς το α αυξάνεται; Α. μειώνεται Β. παραμένει σταθερή. Γ. αυξάνεται. Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 8

9 5.4 Ποσά ανάλογα - Εφαρμογές. 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε τον σταθερό της απόστασης δύο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την. αυτών των σημείων. Όταν η κλίμακα είναι του 1 τότε έχουμε μεγέθυνση ενώ όταν είναι του 1 έχουμε σμίκρυνση. χ ψ ω Αν = = = λ τότε χ =., ψ =., ω = α β γ χ ψ ω = = = α β γ Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: x 5 α) 3 = x 1 5 x 5 9, β) =, γ) =, δ) =, ε) = 2 x x 5 2 2x + 1 5x 2 ζ) =, η) x 5 = ψ = , στ) 1 2 = 3x Να υπολογίσετε τις πλευρές χ, ψ, ω ενός τριγώνου με περίμετρο 24 cm αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογες των αριθμών 5, 4, 3 αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Να κατασκευάσετε μια γωνία ΧΟΨ = ω τέτοια ώστε εφω = 2. Στη μία πλευρά της γωνίας ΟΧ να πάρετε διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΟΑ=1 cm, ΟΒ = 2 cm, ΟΓ = 3cm και ΟΔ = 4 cm. Από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να φέρεται καθέτους προς την ΟΧ οι οποίες τέμνουν την ΟΨ στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα. Να δικαιολογήσετε ότι τα τμήματα ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ, ΔΝ είναι ανάλογα προς τα τμήματα ΟΑ, ΑΒ, ΟΓ, ΟΔ και να υπολογίσετε τα μήκη τους. Ένα αυτοκίνητο κινείται με 100 Km/h. Η περίμετρος της ρόδας του είναι 200 cm. α) Πόσα Km κάνει το αυτοκίνητο σε μία στροφή της ρόδας του; β) Πόσες στροφές κάνει η ρόδα του αυτοκινήτου σε 1 min; 9

10 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Στα ανάλογα ποσά οι τιμές του ενός με τις αντίστοιχες του άλλου έχουν σταθερό.. Τα ζευγάρια των αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών αν παρασταθούν με σημεία ενός επιπέδου τότε θα σχηματιστεί.. Αν (α,β) ένα ζευγάρι τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε και τα ζευγάρια (2α,..), (3α,..), (4α,..) αποτελούν ζευγάρια τιμών των ίδιων ποσών. Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε το.. Σ ένα σχέδιο ή σε ένα χάρτη που σχεδιάζουμε με κλίμακα κ ο λόγος της απόστασης δυο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι πάντα ίσος με. x ψ ω Αν χ+ψ+ω=6 και α+β+γ=3 τότε = = =..... a β γ 2. Αν το ζευγάρι (10,20) παριστάνει ένα ζευγάρι αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε: α) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω ζευγάρια ώστε να αποτελούν ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (5,..), (,40), (,30), (40,..) β) Να τοποθετήσετε τα παραπάνω ζευγάρια με σημεία κατάλληλου ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων και να τα ενώσετε. γ) Εξετάστε αν τα παρακάτω ζευγάρια είναι ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (1, 2), (8, 4), (α, 2α), (0.5α, α) 3. Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση S σε χρόνο t με ταχύτητα 80km/h. α) Εξετάστε αν τα ποσά απόσταση S χρόνος t είναι ανάλογα. β) Από τα δεδομένα του προβλήματος ποιο ζευγάρι τιμών για τα ποσά S και t σας δίνεται; γ) Με ποιον αριθμό θα είναι ίσος ο λόγος t S ; 3 3 δ) Να βρείτε το S αν γνωρίζετε ότι t=2h, t= h, t= h. 2 4 ε) Να βρείτε το t αν γνωρίζετε ότι S=200km, S=300km, S=100km. 4. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α, περίμετρο Π και εμβαδό Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής. ΠΛΕΥΡΑ α ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Π ΕΜΒΑΔΟ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. Τα ποσά α και Π είναι ανάλογα Τα ποσά α και Ε είναι ανάλογα γ) Με τι ισούται ο λόγος α Π ; Είναι σταθερός; 10

11 Με τι ισούται ο λόγος α Ε ; Είναι σταθερός; 5. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει σταθερή βάση τετράγωνο πλευράς 3cm, ύψος h, όγκο V και παράπλευρη επιφάνεια Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής: ΥΨΟΣ h ΟΓΚΟΣ V ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. Τα ποσά h και V είναι ανάλογα. Τα ποσά h και Ε είναι ανάλογα. γ) Με τι ισούται ο λόγος h V ; Είναι σταθερός; Με τι ισούται ο λόγος h Ε ; Είναι σταθερός; 6. Ένα πλοίο ξεκινάει από ένα νησί Α με προορισμό ένα νησί Β και με ταχύτητα 25 ναυτικά μίλια την ώρα. Ο καπετάνιος του πλοίου μετρώντας την απόσταση των νησιών σε έναν ναυτικό χάρτη 1 κλίμακας διαπιστώνει ότι η απόσταση τους είναι 4,63cm. Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο το πλοίο θα φτάσει στο νησί Β; (Σημ.: 1 ναυτικό μίλι = 1,852km.) 7. Ένα σχέδιο σμικρύνεται 3 φορές ώστε κάθε φορά να γίνεται το μισό της προηγούμενης. Έστω x η απόσταση δύο σημείων στο αρχικό σχέδιο, και α, β, γ οι αποστάσεις των δύο αυτών σημείων μετά τις τρεις διαδοχικές σμικρύνσεις. a β γ α) Υπολογίστε τους λόγους:,, x α β β) Το γινόμενο των λόγων Α: 1 2 Β: Ποια είναι αυτά; 1 8 γ) Ποια είναι η κλίμακα του τελικού σχεδίου; a x, β γ, είναι ίσο με δυο από τα παρακάτω κλάσματα: α β Γ: γ χ 11 Δ: 1 4 Ε: 8 1

12 δ) Πόσο είναι η μείωση της απόστασης των δύο σημείων και πόσο % μειώθηκε η απόσταση σε σχέση με την αρχική; 8. α) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 20% και γίνεται ίσο με ψ. Να εξετάσετε αν τα ποσά x και ψ είναι ανάλογα και να υπολογίσετε το λόγο των αντίστοιχων τιμών τους. β) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 40% και γίνεται ίσο με α. Κατόπιν το α αυξάνεται κατά 50% και γίνεται ίσο με β. a β Να υπολογίσετε τους λόγους και x α Να υπολογίσετε το λόγο χ β Πόσο % αυξήθηκε το μέγεθος x; 9. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας στα κελιά της δεύτερης στήλης του Σ αν έχουμε σμίκρυνση και Μ αν έχουμε μεγέθυνση και στα κελιά της τρίτης στήλης πόσες φορές έχει σμικρυνθεί ή έχει μεγεθυνθεί το σχέδιο. ΚΛΙΜΑΚΑ ΣΧΕΔΙΟΥ :1 5:10 3:9 ΣΜΙΚΡΥΝΣΗ Ή ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΠΟΣΟ ΣΜΙΚΡΥΝ. Ή ΜΕΓΕΘΥΝ 10. Τα παρακάτω σχέδια έχουν σχεδιαστεί με κλίμακα Να υπολογίσετε τις πραγματικές τους επιφάνειες, μετρώντας με Τετράγωνο Ορθ. Ισοσκελές τρίγωνο το υποδεκάμετρο τις διαστάσεις τους. Ορθογώνιο χ ψ ω α) Να συμπληρώσετε την αναλογία: = = = α β γ... β) Το άθροισμα τριών αριθμών χ, ψ, ω είναι 60. Οι αριθμοί χ, ψ, ω είναι ανάλογοι των αριθμών 1, 2, 3. Να υπολογίσετε τους τρεις αριθμούς χ, ψ, ω. 12. Να υπολογίσετε τις πλευρές και το εμβαδόν ενός ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του είναι ίση με 30cm και οι πλευρές του είναι ανάλογες των αριθμών 2 και 3. x ψ 13. Αν για τους αριθμούς χ, ψ ισχύουν: 3x+2ψ=42 και = = λ τότε: 5 3 α) Υπολογίστε τον αριθμό λ. β) Υπολογίστε τους αριθμούς χ, ψ. 12

13 14. Αν οι αριθμοί α, β είναι ανάλογοι των αριθμών 3, 5 τότε: α) Γράψτε την ισότητα των λόγων που προκύπτει β) Αν ο κάθε λόγος του α ερωτήματος είναι λ να εκφράσετε σε σχέση με το λ τους αριθμούς α και β. 2a + 3β 6α 2β γ) Υπολογίστε τους λόγους:, 5α + 6β 3α + β 15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίμετρο 28cm. Έστω αcm είναι το μήκος καθεμιάς από τις ίσες πλευρές του και βcm το μήκος της βάσης. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς 5 και 4 αντίστοιχα. 16. α) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:5. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων; β) Ένας χάρτης έχει κλίμακα 1: Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 5 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων σε Km; γ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:50. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι χ cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 600 cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η αυτών των σημείων στο σχέδιο; δ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:χ. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 5 m, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η κλίμακα του σχεδίου; 13

14 Η γραμμική συνάρτηση ψ = αχ +β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι τιμές της γραμμικής συνάρτησης ψ = αχ +β προκύπτουν από τις τιμές της συνάρτησης ψ = αχ προσθέτοντας τον αριθμό. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι μια ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία που παριστάνει γραφικά η συνάρτηση.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι μια ευθεία η οποία τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (.,.). Δίνονται οι συναρτήσεις: ψ = χ, ψ = χ+2, ψ = χ-2. α) Να συμπληρώστε τους παρακάτω πίνακες τιμών: Τιμές του χ Τιμές της ψ = χ Τιμές της ψ = χ+2 Τιμές της ψ = χ-2 β) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων στο οποίο να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα και να σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες που παριστάνουν γραφικά οι παραπάνω συναρτήσεις. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σημεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέμνουν τον ψ ψ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με ένα μόνο σημείο της δεύτερης στήλης, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ 9 4. ψ = 5χ +1 ΣΗΜΕΙΟ Α. (0, -5) Β. (0, -9) Γ.(0, 3) Δ. (0, 1) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ 4. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σημεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέμνουν τον χ χ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με ένα μόνο σημείο της δεύτερης στήλης, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. ψ = 3χ-6 2. ψ = -3χ+9 3. ψ = 4χ 4 4. ψ = 5χ +5 ΣΗΜΕΙΟ Α. (3, 0) Β. (2, 0) Γ.(1, 0) Δ. (-1, 0) 14

15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 διαφορετικές συναρτήσεις. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με κάθε συνάρτηση της δεύτερης στήλης, ώστε οι ευθείες που παριστάνουν να είναι παράλληλες, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 η 1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ 9 4. ψ = 5χ +1 Α. ψ = 4χ + 1 Β. ψ = 5χ + 3 Γ. ψ = -9χ-5 Δ. ψ = 3χ -9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 η Δίνεται η συνάρτηση ψ = -2χ + 6. α) Έστω Α και Β τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων. β) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = 2χ και τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (0, 4) α) Να υπολογίσετε την τιμή του α και την τιμή του β. β) Να βρείτε το σημείο στο οποίο η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα χ χ. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = 3χ+1 και ψ = -2χ + 6. α) Σε ποιο από τα παρακάτω σημεία τέμνονται οι ευθείες που παριστάνουν γραφικά αυτές οι συναρτήσεις; Α. (0, 1) Β. (0, 3) Γ. (1, 2) Δ. (1, 4) (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες τοποθετώντας στους άξονες το σημείο τομής τους και τα σημεία στα οποία αυτές τέμνουν τον ψ ψ. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = χ 4 και ψ = -χ + 2 οι οποίες τέμνονται στο σημείο (α, β). α) Να γράψετε τις δύο ισότητες που επαληθεύουν τα α και β. β) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Ποιο είναι το σημείο τομής τους; 10. Κάποιος με το αυτοκίνητό του κάνει καθημερινά μια διαδρομή πηγαίνοντας από μια πόλη Α σε μια πόλη Β και αντιστρόφως, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους 30 Km. Την Δευτέρα ξεκίνησε από την πόλη Α στις 12:00 και έφτασε στην πόλη Β στις 12:30. Την Τρίτη ξεκίνησε από την πόλη Β στις 12:00 και έφτασε στην πόλη Α στις 12:30. 15

16 11. α) Υποθέτοντας ότι η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι σταθερή πόσο πρέπει να είναι αυτή την Δευτέρα και πόσο την Τρίτη; (Σε Km/min) β) Να βρείτε την συνάρτηση ψ = αt που μας δείχνει την απόσταση ψ του αυτοκινήτου από την πόλη Α σε t min την Δευτέρα. γ) Να βρείτε την συνάρτηση ψ = αt + β που μας δείχνει την απόσταση ψ του αυτοκινήτου από την πόλη Α σε t min την Τρίτη. δ) Ποιες είναι οι τιμές που πρέπει να πάρει ο χρόνος t και στις δύο συναρτήσεις; ε) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων. ζ) Να ερμηνεύσετε την σημασία του σημείου τομής των δύο γραμμών που σχεδιάσατε στο ε) ερώτημα. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία που παριστάνει γραφικά αυτή η συνάρτηση τέμνει τον χ χ στο σημείο (1, 0) και τον ψ ψ στο σημείο (0, 1). α) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ = αχ + β. γ) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας αυτής με την ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = -2χ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα - Η συνάρτηση ψ = χ α Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ 3 είναι μια καμπύλη που ονομάζεται.. και πλησιάζει πολύ κοντά.. χωρίς όμως να τους τέμνει. Αποτελείται από 2 κλάδους ένας στο. τεταρτημόριο και ένας στο.τεταρτημόριο. 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = είναι μια καμπύλη που ονομάζεται χ.. και πλησιάζει πολύ κοντά.. χωρίς όμως να τους τέμνει. Αποτελείται από 2 κλάδους ένας στο. τεταρτημόριο και ένας στο.τεταρτημόριο. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Αν διπλασιάσουμε την τιμή του χ τότε η τιμή του ψ θα. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών με σταθερό γινόμενο 5. Η συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ είναι η. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. 3 Η συνάρτηση ψ = εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, όταν χ αυτά παριστάνουν τις αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών με σταθερό γινόμενο 3. Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν αυξάνοντας τις τιμές του ενός μειώνονται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου. Η συνάρτηση ψ = 2 x μπορεί να εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα. 16

17 Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό γινόμενο Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό λόγο. Όταν το μέγεθος ψ είναι αντιστρόφως ανάλογο του μεγέθους χ τότε η ισότητα που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η ψ = αχ όπου α σταθερός αριθμός. Στη συνάρτηση ψ = χ α με α>0 οι αντίστοιχες τιμές των χ, ψ είναι ομόσημοι αριθμοί. Στη συνάρτηση ψ = χ α με α<0 οι αντίστοιχες τιμές των χ, ψ είναι ομόσημοι αριθμοί. 3. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών για δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά ψ, χ. Τιμές του χ Τιμές του ψ Α.: 2 Β.: 8 Γ.: 12 Δ.: 10 Ε.:24 α.: 1 β.:2 γ.:2,4 δ.:3 ε.:12 α) Να κάνετε την σωστή αντιστοίχηση των τιμών, συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. χ Α Β Γ Δ Ε ψ β) Να βρείτε τον σταθερό γινόμενο των αντίστοιχων τιμών των ψ, χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 100. δ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για ψ = Ένα αυτοκίνητο διανύει ένα διάστημα 200 Km. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 2 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 4 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 2,5 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 8 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 1 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h β) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου υ και ο χρόνος t στον οποίο το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα; Ποιο είναι το σταθερό γινόμενο των τιμών τους; γ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου ως προς τον χρόνο t. Η γραμμή που θα προκύψει πρέπει να είναι μια καμπύλη η οποία θα πλησιάζει τους ημιάξονες Οχ και Οψ. 17

18 5. 6. Δίνεται ένα ορθογώνιο με διαστάσεις χ, ψ και σταθερό εμβαδό 20 cm 2. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ ψ β) Να γράψετε την συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ. γ) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε στο β) ερώτημα. Δίνονται οι συναρτήσεις : ψ = και ψ = x x 16 α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών για την συνάρτηση ψ = : x χ ψ β) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και 16 να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =. x γ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών για την συνάρτηση ψ = : x χ ψ β) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και 16 να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =. x Ένα μέγεθος ψ μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα προς ένα μέγεθος χ. Παρατηρήσαμε πως όταν η τιμή του χ είναι 2,5 μονάδες η τιμή του ψ γίνεται 4 μονάδες. α) Πόσο θα είναι η τιμή του ψ αν η τιμή του χ γίνει 10 μονάδες. β) Να γράψετε την συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ. γ) Να υπολογίσετε την ποσοστιαία αύξηση του ψ όταν το χ μειωθεί κατά 20%. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = αχ και ψ = χ α με α πραγματικό αριθμό διαφορετικό του 0. α) Σε ποια τεταρτημόρια των αξόνων θα είναι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων αν το α είναι θετικός αριθμός και σε ποια αν το α είναι αρνητικός. Κάντε ένα πρόχειρο σχέδιο σε κάθε περίπτωση. β) Έστω (κ, λ) σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων. Να υπολογίσετε τις τιμές των κ, λ. Σε ποια σημεία τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις; Μια υπερβολή διέρχεται από το σημείο (-1, 4). α) Να βρείτε την συνάρτηση που παριστάνει γραφικά αυτή η υπερβολή. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτή η υπερβολή τέμνει την ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (1, -1) γ) Να βρείτε και να συγκρίνετε τις αποστάσεις των σημείων που βρήκατε στο β)ερώτημα από την αρχή των αξόνων. 18

19 19

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq 3.3 Η συνάρτηση y=αχ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty 3.3 Η συνάρτηση y=αχ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πέντε καλύτεροι φίλοι σας είναι το Τι, Γιατί, Πού, Πότε και Πώς. Όταν χρειάζεστε συμβουλές, ρωτείστε Τι; ρωτείστε Γιατί; ρωτείστε Πού; Πότε και

Οι πέντε καλύτεροι φίλοι σας είναι το Τι, Γιατί, Πού, Πότε και Πώς. Όταν χρειάζεστε συμβουλές, ρωτείστε Τι; ρωτείστε Γιατί; ρωτείστε Πού; Πότε και ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ Οι πέντε καλύτεροι φίλοι σας είναι το Τι, Γιατί, Πού, Πότε και Πώς. Όταν χρειάζεστε συμβουλές, ρωτείστε Τι; ρωτείστε Γιατί; ρωτείστε Πού; Πότε και Πώς και μην ρωτάτε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες Ασκήσεις. Λύση

Λυμένες Ασκήσεις. Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx + β Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες με εξισώσεις y = 1 x, y = 1 x +, y = 1 x Η εξίσωση y = 1 x για x = δίνει y = 1 Επομένως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΚHΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΦΥΛΧΤΟΣ Π. ΣΜΪΛΗ. ΜYΡΙΙΝΝΗΣ. 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ (χ 1) 3 = (1+5χ) β) x (3 3 x) 1 3(1 x) γ ) χ 3(χ ) +7 =( 3)( 5) 3χ δ) 5χ 19 3-(4χ-5) =χ (6χ 5) ε) 4 x 5 x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

1. Να εξετάσετε αν οποιοδήποτε τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να διατυπώσετε τα επιχειρήματά σας.

1. Να εξετάσετε αν οποιοδήποτε τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να διατυπώσετε τα επιχειρήματά σας. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Να εξετάσετε αν οποιοδήποτε τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να διατυπώσετε τα επιχειρήματά σας. 2. Να δείξετε με παραδείγματα σχημάτων ορθογωνίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις.: Δυνάμεις φυσικών αριθμών.4: Ευκλείδεια διαίρεση - διαιρετότητα.: Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

3 Ô. º π ΜΕΡΟΣ Α. Συναρτήσεις. Πλατεία Oμονοίας. Μνημείο Ηρώων. Εμπορικό Κέντρο. Εκκλησία. Δημαρχείο. Μεσαιωνικό Κάστρο. Σχολείο.

3 Ô. º π ΜΕΡΟΣ Α. Συναρτήσεις. Πλατεία Oμονοίας. Μνημείο Ηρώων. Εμπορικό Κέντρο. Εκκλησία. Δημαρχείο. Μεσαιωνικό Κάστρο. Σχολείο. ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Συναρτήσεις Λεωφόρος Ευημερίας Μνημείο Ηρώων Εμπορικό Κέντρο Εκκλησία Δημαρχείο Πλατεία Oμονοίας Λεωφόρος Ευτυχίας Μεσαιωνικό Κάστρο Σχολείο Μουσείο Ερείπια Αρχ. Ναού ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 463. 6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα