ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Καθηγητής: Σ. Πνευματικός. Μάθημα 3 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟ 0- ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΙΚΗ Ι Καθηγητής: Πνευματικός Μάθημα ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΛΑΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΝ ΚΛΑΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ την Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως συνεχής απεικόνιση που σε κάθε σημείο προσαρτά ένα διάνυσμα με φυσική υπόσταση δύναμης: όπου F : F(x) = F (x),f (x),f (x) ( ), F i :, i =,, Τα πεδία δυνάμεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα με την ύπαρξη ή όχι συνάρτησης δυ- ναμικού, δηλαδή συνάρτησης: τέτοιας ώστε: που σημαίνει ότι: U : F(x) = U(x), x, F i (x) = U x i (x), x, i =,, Η συνάρτηση δυναμικού ορίζεται με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς αποδίδοντας σε κάθε ση- μείο του χώρου μια τιμή δυναμικού και συνακόλουθα τον διαμερίζει σε ισοδυναμικές επιφάνειες: c (U) = { x / U(x) = c}, c Η κίνηση ενός σωματιδίου υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων διέπεται από τους νόμους του Νεύτωνα και όταν το πεδίο δυνάμεων ορίζεται από μια συνάρτηση δυναμικού τότε η εξίσωση της κίνησης διατυπώνεται ως εξής: m d x + U(x) = 0 ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

2 F(x) = 0, 0, ( ) F(x) = ( x, x, x ) F(x) = x, x, 0 ( ) U (x) = x U (x) = x + x + x ( ) U (x) = x ( + x ) Παραδείγματα πεδίων δυνάμεων κα αντίστοιχων ισοδυναμικών επιφανειών Κάθε πεδίο δυνάμεων είναι κάθετο στις αντίστοιχες ισοδυναμικές επιφάνειες Το κριτήριο του στροβιλισμού και η κατασκευή των συναρτήσεων δυναμικού Αν ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται και δέχεται συνεχείς μερικές παραγώγους σε όλο τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, η ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού ισοδυναμεί με τον μηδενισμό του στροβιλισμού: curl F(x) = F(x) = 0, x curl F(x) = F (x) x F (x) x, F (x) x F (x) x, F (x) x F (x) x Η απόδειξη αυτού του κριτηρίου στροβιλισμού είναι απλή όταν το πεδίο δυνάμεων ορίζεται και δια- θέτει συνεχείς παραγώγους σε όλο τον ευκλείδειο χώρο Αν ο στροβιλισμός του πεδίου δυνάμεων είναι παντού μηδενικός, θέτοντας u i = t x i, t [0,], και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα: d F i (x) = ( t F i (u,u,u )) = F 0 i (u,u,u ) + 0 προκύπτει η συνάρτηση δυναμικού: k=,, 0 ( F u i (u,u,u ))u k k U :, U(x) = F i (tx,tx,tx ) i=,, 0, i =,,, Ένα πεδίο δυνάμεων μπορεί να εκφραστεί ως διαφορική μορφή ορισμένη στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο: F ( x) = F( x) dx i i Ο στροβιλισμός του πεδίου δυνάμεων ορίζεται τότε από το εξωτερικό διαφορικό αυτής της διαφορικής μορφής: df = F F x x dx dx + F F x x dx dx + F F x x dx dx i=,, ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

3 Αντίστροφα, αν το πεδίο δυνάμεων ορίζεται από συνάρτηση δυναμικού, με την προϋπόθεση ύπαρ- ξης και συνέχειας των μερικών παραγώγων, ισχύει: άρα U x x = U x x, U x x = U x x, U x x = U x x F(x) = U(x) = 0, x F(x) = ( x, x, 0) F(x) = (x, x, 0) Πεδία δυνάμεων μηδενικού στροβιλισμού F(x) = ( x,x,0) F(x) = (x, x,0) Πεδία δυνάμεων μη μηδενικού στροβιλισμού Η κατασκευή της συνάρτησης δυναμικού βασίζεται σε ένα κλασικό θεώρημα σύμφωνα με το οποίο ο μηδενισμός του στροβιλισμού, άρα η ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού, ισοδυναμεί με το ότι το παραγόμενο έργο από το πεδίο δυνάμεων σε κάθε δρόμο στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από τα άκρα του δρόμου Ο όρος δρόμος αρχής a και πέρα- τος b δηλώνει μια συνεχή απεικόνιση ορισμένη σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα που η ει- κόνα της δίνει μια προσανατολισμένη καμπύλη στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο: γ :[t,t ], γ ( t ) = a, γ ( t) = b ε κάθε σημείο αυτής της διαδρομής προσαρτάται το αντίστοιχο διάνυσμα του πεδίου δυνάμεων: F(γ(t)) = ( F (γ(t)),f (γ(t)),f (γ(t))) Το πεδίο δυνάμεων προσαρτά την αντίστοιχη δύναμη στα σημεία της καμπύλης Οι δρόμοι υποτίθενται τουλάχιστο κατά τμήματα C - διαφορίσιμοι ώστε να μπορούν να οριστούν σε αυτούς επικαμπύλια ολοκληρώματα Αυτό σημαίνει ότι, με εξαίρεση ίσως ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων της καμπύλης, κάθε άλλο σημείο της δέχεται εφαπτομένη μεταβαλλόμενη κατά τρόπο συνεχή Ενδεχόμενη αλλαγή της παραμετροποίησης του δρόμου δεν επηρε- άζει την τιμή των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

4 Όταν ένα σωματίδιο διανύει αυτή την διαδρομή, με ενδεχόμενη επίδραση άλλων γνωστών ή άγνω- στων δυνάμεων, τότε ορίζεται το παραγόμενο έργο από το πεδίο δυνάμεων: W γ ( F) t t < F(γ(t)), γ(t) > Αν το παραγόμενο έργο είναι θετικό ή αρνητικό τότε αντίστοιχα το πεδίο δυνάμεων συνεισφέρει ή ανθίσταται στην κίνηση του σωματιδίου που διανύει αυτή τη διαδρομή και στην περίπτωση μηδενι- κού έργου το πεδίο δυνάμεων ούτε συνεισφέρει ούτε ανθίσταται στην κίνηση Αν μεταβούμε από το αρχικό σημείο της διαδρομής σε ένα οποιοδήποτε σημείο της ακολουθώντας τρεις διαδοχικούς ευ- θύγραμμους δρόμους αντίστοιχα παράλληλους προς τους ευκλείδειους άξονες, τότε θέτουμε: x x x a a a U( x) = F ( u, x, x ) du F ( a, u, x ) du F ( a, a, u ) du Η συνάρτηση αυτή, με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, ορίζει τη συνάρτηση δυναμικού: U :, F(x) = U(x), x Μετάβαση από ένα αρχικό σημείο a= x( t o) στο σημείο xt () διαμέσου τριών διαδοχικών ευθύγραμμων δρόμων παράλληλων αντίστοιχα στους άξονες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς Προσοχή στα πεδία δυνάμεων που δεν ορίζονται σε όλο τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο γιατί τότε ο μηδενισμός του στροβιλισμού τους δεν διασφαλίζει παρά μόνο τοπικά την ύπαρξη συνάρτη- σης δυναμικού με μέγιστο χωρίο ορισμού της ένα απλά συνεκτικό χωρίο του τρισδιάστατου ευκλεί- δειου χώρου Προς στιγμή θα δούμε τη διαδικασία της τοπικής κατασκευής της συνάρτησης δυναμι- κού και αργότερα θα δοθεί η πλήρης απάντηση από το περίφημο Λήμμα του Poincaré ΘΕΩΡΗΜΑ Τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού Όταν ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται και δέχεται συνεχείς μερικές παραγώγους σε ένα χωρίο του τρισ- διάστατου ευκλείδειου χώρου τότε ο μηδενισμός του στροβιλισμού διασφαλίζει την τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού στην περιοχή κάθε σημείου του χωρίου ορισμού του Ο όρος τοπική ύπαρξη σημαίνει ότι κάθε σημείο του χωρίου ορισμού του πεδίου δυνάμεων διαθέτει ανοιχτή περιοχή στην οποία υφίσταται συνάρτηση δυναμικού Το θεώρημα αυτό δεν παρέχει καμία πληροφορία για το εύρος της περιοχής στην οποία ορίζεται η συνάρτηση δυναμικού όμως υποδεικνύει τη διαδικασία τοπικής κατασκευής της συνάρτησης δυναμικού ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 4

5 Απόδειξη Θεωρούμε ένα πεδίο δυνάμεων F(x) = ( F (x),f (x),f (x)), ορισμένο σε ένα χωρίο του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και, υποθέτοντας το στροβιλισμό του μηδενικό σε κάθε σημείο αυτού του χωρίου, αναζητούμε τη συνάρτηση που πληροί τις συνθήκες: U x i (x) = F i (x), i =,, Η εξίσωση i= δηλώνει ότι, στην περιοχή ενός σημείου a=(a,a,a ) του χωρίου ορισμού του πεδίου δυνάμεων, η συνάρτηση δυναμικού οφείλει να έχει τη μορφή: x U(x,x ) = F (u,x )du + C(x ) a Η συνέχεια των μερικών παραγώγων επιτρέπει την παραγώγιση μέσα στο ολοκλήρωμα, άρα: U (x)= x x a F (u x,x )du + C (x x ), U (x) = x x a F (u x,x )du + C (x x ), και ο μηδενισμός του στροβιλισμού οδηγεί στις εκφράσεις: U (x) = x U (x) = x x a x a F (u u,x )du + C (x x ) = F (x,x ) + F (a,x ) + C (x x ), F (u u,x )du + C (x x ) = F (x,x ) + F (a,x ) + C (x x ) Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις i =, προκύπτει: Η η από αυτές τις εξισώσεις υποδεικνύει ότι: C x i (x ) = F i (a,x ), i =, x C(x ) = F (a,u )du + c(x ), a C x F (x x ) = (a x,u )du a + c (x ), και ο μηδενισμός του στροβιλισμού οδηγεί στην έκφραση: C x F (x x ) = (a u,u )du a + c (x ) = F (a,x ) + F (a,a ) + c (x ) Η η από αυτές τις εξισώσεις, λαμβάνοντας υπόψη το προηγούμενο αποτέλεσμα, δείχνει ότι: c (x ) = F (a,a ), c(x ) = F (a,a,u )du + c, c Άρα, με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς που καθορίζεται από την στο σημείο 0, προκύπτει η τοπι- κή έκφραση της συνάρτησης δυναμικού: x U(x) = F (u,x )du F (a,u )du F (a,a,u )du a x a x a x a ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το πεδίο δυνάμεων x F(x) = + x (x + x ), x x (x + x ), x + x ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο εκτός των σημείων του επιπέδου x+ x = 0 Το χωρίο ορισμού του διαμερίζεται σε δυο απλά συνεκτικές συνιστώσες και, σε κάθε μια από αυτές, ο στροβι- λισμός του είναι μηδενικός Ας αναζητήσουμε την ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού, δηλαδή συνάρτη- σης τέτοιας ώστε: U x + x ( x ) =, x (x + x ) U x x ( x ) = x ( x + x ), U ( x) = x x + x Από την η εξίσωση προκύπτει: x U( x) = + A( x, x) x+ x και σε συνδυασμό με την η και η εξίσωση έχουμε τις σχέσεις: A x = x ( x+x), A x = x ( x+x) Από την η σχέση προκύπτει: x A( x,x) = + B( x) x+ x και σε συνδυασμό με τη η σχέση προκύπτει η σταθερότητα του B( x ) = C Προσδιορίζεται έτσι, με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, η έκφραση της ζητούμενης συνάρτησης σε κάθε μια από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του χωρίου ορισμού του πεδίου δυνάμεων: x+x U( x) = x + x Η συνάρτηση αυτή αποδίδει μονοσήμαντα σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού του πεδίου δυνά- μεων την τιμή του δυναμικού και έτσι, σε κάθε μια από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του, ορί- ζονται τα ισοδυναμικά επίπεδα: c x + (c )x + x = 0, c, x + x > 0 ή x + x < 0 ημειώνουμε ότι, κατά μήκος κάθε κλειστού δρόμου μέσα σε οποιαδήποτε από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του χωρίου ορισμού αυτού του πεδίου δυνάμεων, το παραγόμενο έργο είναι μηδενικό, άρα, σε κάθε δρόμο μέσα σε οποιαδήποτε από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες, το παραγόμενο έρ- γο από το πεδίο δυνάμεων εξαρτάται μόνο από τα άκρα του δρόμου ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 6

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το πεδίο δυνάμεων x F(x) = x + x, x x + x, 0 ορίζεται στο μη απλά συνεκτικό χωρίο που προκύπτει όταν εξαιρεθεί ο άξονας x από τον τρισδι- άστατο ευκλείδειο χώρο και με απευθείας υπολογισμό διαπιστώνουμε ότι εκεί όπου ορίζεται ο στροβιλισμός του είναι μηδενικός ε ένα απλά συνεκτικό χωρίο που δεν τέμνει τον άξονα x δια- σφαλίζεται η συνέχεια των μερικών παραγώγων και το θεώρημα δηλώνει την τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού που πληροί τις συνθήκες: U x ( x ) = x x + x, U x ( x ) = x x + x, U ( x) = 0, x από τις οποίες, με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, προκύπτει: U( x) = Arctg( x / x ) Εντούτοις, από τη συνάρτηση αυτή δεν προκύπτει συνάρτηση δυναμικού στο χωρίο ορισμού του πεδίου δυνάμεων αφού δεν προσαρτάται μονοσήμαντα σε κάθε σημείο του μια τιμή δυναμικής ενέργειας Άλλωστε, το παραγόμενο έργο κατά μήκος ενός δρόμου δεν εξαρτάται μόνο από τα άκρα του αλλά από τον ίδιο το δρόμο και, ειδικότερα, κατά μήκος ενός κλειστού δρόμου δεν είναι πάντα μηδέν Για παράδειγμα, κατά μήκος του κλειστού δρόμου: το παραγόμενο έργο είναι: γ () t = (cos,sin,), t t 0 t π, W γ ( F) π sin t = cos t + sin t π cos t + 0 cos t + sin t π = = π 0 0 Αστρόβιλο πεδίο δυνάμεων που προέρχεται μόνο τοπικά από συνάρτηση δυναμικού Η μη μονοσήμαντη προσάρτηση τιμής δυναμικής ενέργειας σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού του πεδίου δυνάμεων οφείλεται στη μη απλή συνεκτικότητά του ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 7

8 Τρεις Θεμελιώδεις Αρχές της Κλασικής Μηχανικής ΘΕΩΡΗΜΑ Αρχή μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας Όταν ένα σωματίδιο κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων τότε το παραγόμενο έργο από το πεδίο δυνάμεων κατά μήκος της διανυθείσης τροχιάς μεταξύ δυο χρονικών στιγμών ισούται με την αντίστοιχη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας: W( F) = K( x(t )) K( x(t )) Απόδειξη Το παραγόμενο έργο κατά μήκος της τροχιάς υπολογίζεται ως εξής: W( F) t = < F(x(t)), t x(t) > = < m x(t), x(t) > t t t ( ) = m = m d x(t) = m t x(t ) x(t ) t t ( ) = K x(t ) ( ) d < x(t), x(t) > ( ) K( x(t )) ΠΟΡΙΜΑ 4 Όταν ένα σύστημα υλικών σημείων κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων τότε η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας μεταξύ δυο χρονικών στιγμών ισούται με το άθροισμα των παραγόμενων έργων από το πεδίο δυνάμεων κατά μήκος των τροχιών των υλικών σημείων = ΘΕΩΡΗΜΑ Αρχή μεταβολής της Δυναμικής Ενέργειας τα πεδία δυνάμεων που διαθέτουν συνάρτηση δυναμικού, το παραγόμενο έργο κατά μήκος οποιου- δήποτε δρόμου ισούται με τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας μεταξύ των άκρων του: W( F) = U(a) U(b) Απόδειξη ε οποιουδήποτε δρόμο αρχής a =γ( t ) και πέρατος b=γ( t ) προκύπτει: t W γ ( F) = < U(γ(t)), γ(t) > = d U = U(a) U(b) t b a ΠΟΡΙΜΑ 5 Όταν ένα πεδίο δυνάμεων διαθέτει συνάρτηση δυναμικού τότε το έργο που παράγει κα- τά μήκος κάθε δρόμου του οποίου τα άκρα ανήκουν στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια είναι μηδενικό και, ειδικότερα, μηδενικό είναι το έργο κατά μήκος κάθε κλειστού δρόμου ΘΕΩΡΗΜΑ Αρχή διατήρησης της Ενέργειας Όταν ένα σωματίδιο κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων που διαθέτει συνάρτηση δυναμικού τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του διατηρεί σταθερή τιμή 4 Το πόρισμα αυτό φαίνεται εξαιρετικά απλό αλλά δεν είναι τόσο εύχρηστο Ακόμη και αν το σύστημα είναι απομονωμένο οι εσωτερικές δυνάμεις έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου με συνέπεια τη μη διατήρηση της συνολικής κινητικής ενέργειας 5 Το πόρισμα αυτό προσφέρεται ως κριτήριο μη ύπαρξης συνάρτησης δυναμικού αφού όταν το παραγόμενο έργο από ένα πεδίο δυνάμεων κατά μήκος ενός κλειστού δρόμου δεν είναι μηδενικό τότε δεν υφίσταται συνάρτηση δυναμικού ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 8

9 Απόδειξη Ένας απλός υπολογισμός της χρονικής παραγώγου της συνάρτησης ενέργειας στα σημεία της τροχιάς του σωματιδίου είναι αρκετός για την απόδειξη του θεωρήματος: de(x(t), x(t)) = = d U(x(t)) dk( x(t)) + = d ( U(x(t)) + K( x(t)) ) = i= U dx i x i + i= K x i d x i = = < U (x), x(t) > + < m x(t), x(t) >= < m x(t), x(t) > + < m x(t), x(t) >= 0 ΠΟΡΙΜΑ Όταν ένα σωματίδιο κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων που διαθέτει συνάρτηση δυναμικού τότε η τροχιά του στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων εξελίσσεται στην ίδια ισοενεργειακή υπερεπιφάνεια: Eo (E) = {(x, x) / E(x, x) = E o } τα πεδία δυνάμεων που διαθέτουν συνάρτηση δυναμικού ορισμένη στον τρισδιάστατο ευκλεί- δειο χώρο η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως εξής: m d x + U(x) = 0 το χώρο των θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας που η τιμή της προκύπτει από το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας: E :, E(x, x) = U(x) + K( x) Ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων διαμερίζεται έτσι σε ισοενεργεακές υπερεπιφάνειες: Eo (E) = {(x, x) / E(x, x) = E o }, E o το χώρο των θέσεων και ταχυτήτων η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: m dx i (t) = E(x, x), m dx (t) i E(x, x) =, i =,, x i x i Εφόσον η συνάρτηση ενέργειας πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικό- τητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων τότε από κάθε σημείο του χώρου των θέσεων και τα- χυτήτων διέρχεται μια μοναδική τροχιά η οποία ορίζεται από την αντίστοιχη λύση αυτού του συστή- ματος Από την προβολή αυτών των τροχιών στον τρισδιάστατο χώρο των θέσεων προκύπτουν οι φυ- σικές παρατηρήσιμες τροχιές και από την προβολή τους στον τρισδιάστατο χώρο των ταχυτήτων υποδεικνύονται οι αντίστοιχες ταχύτητες με τις οποίες διανύονται οι φυσικές τροχιές ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 9

10 ΙΙ ΤΑ ΜΟΝΟΔΙΑΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Όταν η κίνηση μιας σημειακής μάζας διέπεται από τη μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα: m d x = F(x), x, τότε η δύναμη που προκαλεί αυτή την κίνηση διαθέτει πάντα συνάρτηση δυναμικού: x U :, U( x) = F( u) du, o και η εξίσωση του Νεύτωνα διατυπώνεται ως εξής: m d x + du (x) = 0, x, dx υνεπώς, στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: x E :, E(x, x) = U(x) + m x και, σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας, σε κάθε τροχιά διατηρεί σταθερή τιμή: U(x(t)) + m x(t) = E o Η ενεργειακή αυτή τιμή καθορίζεται από την αρχική θέση και την αρχική ταχύτητα: E o = U(x o ) + mv o Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι οι τροχιές δεδομένης ενεργειακής τιμής εξελίσσο- νται σε μια περιοχή επιτρεπτής κίνησης που ορίζεται από την ανισωτική σχέση: U(x) E o Άρα, κάθε τροχιά δεδομένης αρχικής θέσης και ταχύτητας προσδιορίζεται με μια ολοκλήρωση: x x o dx E o U(x) = ( t t o ) / m Γράφημα συνάρτησης δυναμικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης με δεδομένη ενεργειακή τιμή ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 0

11 Τα ισοενεργειακά σύνολα ορίζονται από την ενεργειακή σχέση: U(x) + m x = E o, E o Πρόκειται για καμπύλες που, σύμφωνα με το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων, είναι λείες στην περιοχή κάθε σημείου στο οποίο δεν μηδενίζεται η δύναμη Ίσως κάποιες από αυτές να εμφανίζουν αυτοτομές, όμως το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων δηλώνει ότι από κάθε σημείο του επιπέδου θέσεων και ταχυτήτων διέρχεται μόνο μια τροχιά Άρα, κάθε ισοενεργειακή καμπύλη αποτελείται από μια ή ενδεχομένως περισσότερες τροχιές ίδιας ενερ- γειακής τιμής Οι σημειακές τροχιές καλούνται καταστάσεις ισορροπίας: ( x(t) x o, x(t) 0) τις καταστάσεις ισορροπίας μηδενίζεται η δύναμη, άρα στις αντίστοιχες θέσεις η συνάρτηση δυ- ναμικού εμφανίζει ακρότατες τιμές ή ενδεχομένως πρόκειται για σημείο καμπής την περίπτωση τοπικού ελάχιστου της συνάρτησης δυναμικού η αντίστοιχη κατάσταση ισορροπίας είναι ευσταθής και αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές αρχικές συνθήκες ορίζουν τροχιές που δεν διαφεύγουν από την περιοχή της την περίπτωση τοπικού μέγιστου της συνάρτησης δυναμικού η αντίστοιχη κατάσταση ισορροπίας είναι ασταθής και αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές στο αρχικές συνθήκες ορίζουν τροχιές που απομακρύνονται από την περιοχή της την περίπτωση σημείου καμπής εμφανίζεται μια ιδιά- ζουσα κατάσταση ισορροπίας και αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές αρχικές συνθήκες ορίζουν τροχιές που από τη μια πλευρά της κατάστασης ισορροπίας παραμένουν στην περιοχή της και από την άλλη πλευρά διαφεύγουν έξω από αυτήν Η αναγνώριση της φύσης των καταστάσεων ισορροπίας οδηγεί σε άμεση αντίληψη της τοπικής συμπεριφοράς των τροχιών στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων Η τοπική συμπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων γίνεται άμεσα αντιληπτή από το γράφημα της συνάρτησης δυναμικού ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

12 Το Λήμμα του Morse προσφέρει τη δυνατότητα τοπικής αμφιδιαφορικής αναγωγής των συναρτή- σεων δυναμικού σε τετραγωνικά πρότυπα στην περιοχή των κρίσιμων μη εκφυλισμένων σημείων και στη μονοδιάστατη περίπτωση εμφανίζονται δυο εκδοχές: U(x) = k x ή U(x) = k x Γραφήματα των τοπικών τετραγωνικών προτύπων των συναρτήσεων δυναμικού ενός βαθμού ελευθερίας και συμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή των καταστάσεων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων Οι συναρτήσεις ενέργειας που ορίζονται από τα δυο αυτά τοπικά πρότυπα δυναμικού εκφράζονται στην περιοχή των αντίστοιχων καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων ως εξής: E(x, x) = k x + m x ή E(x, x) = k x + m x Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι οι τροχιές στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων εξελίσσονται μέσα στις ισοενεργειακές καμπύλες: Eo (E) = {(x, x) / E(x, x) = E o }, E o Γραφήματα των τοπικών τετραγωνικών προτύπων των συναρτήσεων ενέργειας ενός βαθμού ελευθερίας στην περιοχή των καταστάσεων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

13 Το απλό επίπεδο εκκρεμές κινείται στο χώρο υπό την επίδραση του βάρους του και η κίνησή του καθορίζεται από την αρχική του θέση και την αρχική του ταχύτητα όπως υπαγορεύει η αρχή του ντετερμινισμού του Νεύτωνα Οι θέσεις που έχει τη δυνατότητα να καταλάβει η προσδεδεμένη μάζα m στο άκρο του εκκρεμούς αντιστοιχούν στα σημεία ενός κύκλου με κέντρο το σημείο πρόσδεσης και ακτίνα ίση προς το μήκος του νήματός του Ο κύκλος αυτός αποτελεί το θεσεογραφικό χώρο του απλού επίπεδου εκκρεμούς και έχει ως γεωμετρικό πρότυπο το μοναδιαίο κύκλο S ε κάθε σημείο του κύκλου προσαρτάται η εφαπτόμενη ευθεία που φέρει τα διανύσματα των υποψήφιων ταχυτήτων κατά τη διέλευση του εκκρεμούς από αυτό το σημείο Όλες οι ενδεχόμενες θέσεις και ταχύτητες του απλού επίπεδου εκκρεμούς συγκροτούνται στο καρτεσιανό γινόμενο του μοναδιαίου 6 κύκλου και της πραγματικής ευθείας που έχει ως πρότυπο την κυλινδρική επιφάνεια S Η κίνηση του απλού επίπεδου εκκρεμούς υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα η οποία εκφράζεται γεωμετρικά με ένα διανυσματικό πεδίο ορισμένο στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων Έτσι, σε κάθε σημείο της κυλινδρικής αυτής επιφάνειας αποδίδεται ένα διάνυσμα το οποίο ανήκει στο αντίστοιχο εφαπτόμενο επίπεδο και υπαγορεύει τη δυναμική του απλού επίπεδου εκκρεμούς Η εκδίπλωση της κυλινδρικής αυτής επιφάνειας στο ευκλείδειο επίπεδο αφήνει επάνω του την περιοδική αποτύπωση των χαρακτηριστικών της δυναμικής του απλού επίπεδου εκκρεμούς Το απλό επίπεδο εκκρεμές και ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων του Αποτύπωση του διανυσματικού πεδίου του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο ευκλείδειο επίπεδο 6 Ακριβολογώντας, ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς είναι το εφαπτόμενο ινώδες του μο- ναδιαίου κύκλου το οποίο ορίζεται ως διακριτή ένωση των εφαπτόμενων ευθειών στα σημεία του μοναδιαίου κύκλου: ΤS = Τ x S = x S ({x} Τ S ) S x S x ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΙΚΗ Ι, ΜΑΘΗΜΑ ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

14 Κινήσεις του απλού επίπεδου εκκρεμούς χωρίς απώλεια ενέργειας Αν το απλό επίπεδο εκκρεμές εκτελεί την κίνησή του σε ένα μέσο χωρίς τριβές τότε, αφαιρώντας τη συνιστώσα του βάρους του που αντισταθμίζει την τάση του νήματος, προσδιορίζεται η κινητήρια δύναμη που ορίζει την εξίσωση του Νεύτωνα: d x = ω sin x, ω = g / Εδώ η δυναμική καθορίζεται από τη συνάρτηση ενέργειας που σε κάθε σημείο του χώρου των θέσε- ων και ταχυτήτων προσμετρά το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας και, με προσέγ- γιση του διαστατικού παράγοντα m, εκφράζεται ως εξής: E(x, y) = ω ( cos x) + y / Η συνάρτηση ενέργειας δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και η περιοδικότητά της στο θεσεογρα- φικό χώρο δίνει τη δυνατότητα ορισμού της στην επιφάνεια του κυλίνδρου: E : S, E(x, y) = ω ( cos x) + y / Η εξίσωση του Νεύτωνα διατυπώνεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ως εξής: dx E(x, y) =, y dy E(x, y) =, x και στη συγκεκριμένη περίπτωση προκύπτει: dx = y, dy = ω sin x Το διανυσματικό πεδίο που εκφράζει αυτό το σύστημα των εξισώσεων εκφράζεται ως εξής: X E (x, y) = και στη συγκεκριμένη περίπτωση προκύπτει: E(x, y) y E(x, y) x x X = y x ω sin x y Το διανυσματικό αυτό πεδίο ορίζεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου και σε κάθε σημείο της αποδί- δει ένα διάνυσμα που ανήκει στο αντίστοιχο εφαπτόμενο επίπεδο: 7 X E (x, y) T ( x,y) (S ) y Η μη απώλεια ενέργειας διαπιστώνεται από το μηδενισμό της απόκλισης: divx (x,y) = 0 7 Ακριβολογώντας, λέμε ότι το διανυσματικό αυτό πεδίο εκφράζεται ως απεικόνιση στο εφαπτόμενο ινώδες του κυλίνδρου: X : S T(S ) ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 4

15 ε κάθε σημείο του επιπέδου των θέσεων και ταχυτήτων το διανυσματικό αυτό πεδίο είναι ορθογώ- νιο προς το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης της συνάρτησης ενέργειας: E(x, y) E(x, y) = x E(x, y) + x y y που στη συγκεκριμένη περίπτωση εκφράζεται ως εξής: E(x, y) = ω sin x x + y y Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κάθε τροχιά ενεργειακής τιμής E o περιέχεται στην ισοενεργειακή καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων από την εξίσωση: y + ω ( cos x) = E o / m Οι ισοενεργειακές καμπύλες είναι λείες εκτός από τα κρίσιμα σημεία τους, δηλαδή στα σημεία όπου μηδενίζεται το διαφορικό της συνάρτησης ενέργειας: de(x, y) = ω sin xdx + ydy Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης ενέργειας ορίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας του εκκρεμούς στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων και αντιστοιχούν στα σημεία του θεσεογραφικού χώρου στα οποία λαμβάνει ακρότατες τιμές η συνάρτηση δυναμικού: U(x) = ω ( cos x) Από το γράφημα της συνάρτησης δυναμικού γίνεται αντιληπτή η ποιοτική συμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων: Γράφημα της συνάρτησης δυναμικού και τροχιές στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων Θέσεις τοπικής ελαχιστοποίησης του δυναμικού: x o = kπ, k Καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας: ( x o = kπ, y o = 0), k Οι θέσεις ελαχιστοποίησης της συνάρτησης δυναμικού ορίζουν τις καταστάσεις ευσταθούς ισορρο- πίας του απλού επίπεδου εκκρεμούς και αυτό σημαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτονικές της ορίζουν τροχιές που εξελίσσονται στην περιοχή της τις καταστάσεις αυτές η ενεργει- ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 5

16 ακή τιμή είναι E o = 0 και στην περιοχή τους οι ισοενεργειακές καμπύλες είναι ομοθετικές ελλείψεις έως την ενεργειακή τιμή E o = mg ε κάθε μια από αυτές τις ελλείψεις εξελίσσεται μια μοναδική τροχιά που η προβολή της στο μονοδιάστατο χώρο των θέσεων υποδεικνύει την περιοδική ταλαντω- τική φυσική κίνηση του εκκρεμούς με ταχύτητα που υποδεικνύεται από την προβολή στο μονοδιά- στατο χώρο ταχυτήτων Θέσεις τοπικής μεγιστοποίησης του δυναμικού: x o = (k +)π, k Καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας: ( x o = (k +)π, y o = 0), k Οι θέσεις μεγιστοποίησης της συνάρτησης δυναμικού ορίζουν τις καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας του απλού επίπεδου εκκρεμούς και αυτό σημαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτο- νικές της ορίζουν τροχιές που απομακρύνονται από την περιοχή της τις καταστάσεις αυτές η ενερ- γειακή τιμή είναι E o = mg και η τιμή αυτή ορίζει μια κλειστή ισοενεργειακή καμπύλη που περιέχει τέσσερις τροχιές, από τις οποίες οι δυο διαχωριστικές τροχιές καταλήγουν σε άπειρο χρόνο στις αντί- στοιχες καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας Πέρα από αυτή την ενεργειακή τιμή το εκκρεμές εκτελεί περιστροφική κίνηση και οι ισοενεργειακές καμπύλες, αλλάζοντας τοπολογική φύση, δεν είναι πλέον κλειστές ε κάθε μια από αυτές εξελίσσεται μια μοναδική τροχιά που η προβολή της στο μονοδιά- στατο χώρο των θέσεων υποδεικνύει την περιοδική κυκλική φυσική κίνηση του εκκρεμούς με ταχύ- τητα που υποδεικνύεται από την προβολή στο μονοδιάστατο χώρο των ταχυτήτων Οι τροχιές του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο μαθηματικό πρότυπο του χώρου των θέσεων και ταχυτήτων και η αποτύπωσή τους κατά την εκδίπλωσή του στο ευκλείδειο επίπεδο Γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου των θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς που προκύπτει από τον μετασχηματισμό του μέσα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο έτσι ώστε κάθε ενεργειακή τιμή να ορίζει στην η διάσταση ένα οριζόντιο επίπεδο το οποίο τέμνοντας τη μετασχηματισμένη επιφάνεια του κυλίνδρου να αναδεικνύει τις αντίστοιχες τροχιές: ( ) S, (x, y) sin x, y, E(x, y) ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 6

17 Κινήσεις του απλού επίπεδου εκκρεμούς με απώλεια ενέργειας Αν το απλό επίπεδο εκκρεμές εκτελεί την κίνησή του σε ένα μέσο με τριβές τότε, λαμβάνοντας υπό- ψη την ανθιστάμενη δύναμη τριβής που στην πράξη είναι ανάλογη της ταχύτητάς του με συντελεστή τριβής ρ> 0, προσδιορίζεται η κινητήρια δύναμη που ορίζει την εξίσωση του Νεύτωνα: d x = ω sin x ρ dx Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δεν ισχύει, αφού άλλωστε δεν υφίσταται συνάρτηση δυναμικού που αθροιζόμενη με την κινητική ενέργεια να ορίζει συνάρτηση ενέργειας Εδώ η δυναμική υπαγο- ρεύεται από μια διαφορική μορφή που ορίζεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ως εξής: α(x, y) = (ω sin x + ρy)dx + ydy Η διαφορική αυτή μορφή δεν είναι ακριβής, δηλαδή δεν αποτελεί διαφορικό κάποιας συνάρτησης, όπως συμβαίνει στην περίπτωση ρ=0 όπου ταυτίζεται με το διαφορικό της συνάρτησης ενέργειας Η εξίσωση του Νεύτωνα διατυπώνεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ως σύστημα εξισώσεων: dx = y, dy = ω sin x ρy και εκφράζεται γεωμετρικά με το πεδίο διανυσμάτων: X = y x (ω sin x + ρy) y Το διανυσματικό αυτό πεδίο βρίσκεται σε δυϊσμό με την προαναφερόμενη διαφορική μορφή, τον καλούμενο συμπλεκτικό δυϊσμό Όσο πιο μεγάλος είναι ο συντελεστής τριβής τόσο μεγαλύτερη είναι η απώλεια ενέργειας σε κάθε τροχιά αναφορικά προς τη συνάρτηση ενέργειας που υφίσταται όταν ρ=0 και αυτό διαπιστώνεται με τον υπολογισμό της απόκλισης: divx (x,y) = ρ Τα σημεία μηδενισμού αυτού του διανυσματικού πεδίου συμπίπτουν με τα σημεία μηδενισμού της διαφορικής μορφής και ορίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επί- πεδο των θέσεων και ταχυτήτων: (x o, y o ) = (kπ,0), k Διακρίνουμε δυο είδη ισορροπίας: (x o = kπ, y o = 0) και ( x o = (k +)π, y o = 0), k Τοπικά πρότυπα της δυναμικής του απλού επίπεδου εκκρεμούς στις καταστάσεις ισορροπίας Όταν το απλό επίπεδο εκκρεμές δεν έχει απώλεια ενέργειας τότε το Λήμμα του Morse διασφαλίζει ότι η συνάρτηση ενέργειας αποκτά τετραγωνική έκφραση, με κατάλληλη τοπική αμφιδιαφορική αλ- λαγή συντεταγμένων στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυ- τήτων Πράγματι, οι καταστάσεις ισορροπίας αντιστοιχούν σε κρίσιμα μη εκφυλισμένα σημεία της ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 7

18 συνάρτησης ενέργειας και για την κατασκευή αυτών των τοπικών συντεταγμένων προφανώς αρκεί να εξετάσουμε τη συνάρτηση δυναμικού στην περιοχή των σημείων του χώρου των θέσεων στα οποία λαμβάνει τις ακρότατες τιμές της 8 την περιοχή των σημείων ελαχιστοποίησης του δυναμικού, πχ x o = 0, ισχύει: + U(x) = ω ( cos x) = x ω ( ) n (n)! και καθορίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αλλαγή: u = x ω + ( ) n x n n= (n )! / n= x n, v = y την περιοχή των σημείων μεγιστοποίησης του δυναμικού, πχ x o = π, η υπολογιστική διαδικασία απλουστεύεται με τη μεταφορά x = x π και καθορίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αλλαγή: u = x ω + ( ) n (n )! n= x n /, v = y Με αυτές τις αμφιδιαφορικές αλλαγές συντεταγμένων στην περιοχή των σημείων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας, η συνάρτηση ενέργειας αποκτά τις τοπικές τετραγωνικές εκφράσεις: E(u,v) = ω u + v και E(u,v) = ω u + v και προκύπτουν τα αντίστοιχα γραμμικά πεδία διανυσμάτων που υπαγορεύουν την τοπική δυναμική στην περιοχή αυτών των καταστάσεων: δηλαδή: X E (u,v) = E(u,v) v X E (u,v) = v u ω u v και u E(u,v) u v X E (u,v) = v u + ω u v Εξάλλου, από τη γραμμικοποίηση στις καταστάσεις ισορροπίας του διανυσματικού πεδίου που υπα- γορεύει τη δυναμική του εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων: X E (x, y) = y x ω sin x y προκύπτουν τα αντίστοιχα γραμμικά διανυσματικά πεδία: Κατάσταση ισορροπίας (0,0): X E (x, y) = y x ω x y : dx = y, dy = ω x, Κατάσταση ισορροπίας (π,0): X E (x, y) = y x + ω x y : dx = y, dy = ω x 8 Βλ Λήμμα Morse (απόδειξη μονοδιάστατης περίπτωσης), Μάθημα ο : Διαφορικός Λογισμός στους Ευκλείδειους Χώρους ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 8

19 Οι τροχιές της δυναμικής του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων και οι τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής στις καταστάσεις ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας Όταν το απλό επίπεδο εκκρεμές έχει απώλεια ενέργειας τότε η δυναμική του στο επίπεδο των θέ- σεων και ταχυτήτων υπαγορεύεται από το διανυσματικό πεδίο: X = y x ω sin x y και από τη γραμμικοποίηση στις καταστάσεις ισορροπίας προκύπτουν αντίστοιχα τα γραμμικά πεδία: Κατάσταση ισορροπίας (0,0): X = y x (ω x + ρy) y : dx = y, dy = ω x ρy, Κατάσταση ισορροπίας (π,0): X = y x + (ω x ρy) y : dx = y, dy = ω x ρy Τοπική άποψη των τροχιών στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων της γραμμικοποιημένης δυναμικής του απλού επίπεδου εκκρεμούς στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας (kπ,0), k (Η τιμή του συντελεστή τριβής δεν επηρεάζει τη φύση των ιδιοτιμών της γραμμικοποιημένης δυναμικής στα σημεία (kπ,0), k, ενώ την επηρεάζει στα σημεία ((k +)π,0), k ) 9 9 Βλ υνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και Δυναμικά υστήματα, Μάθημα: Το πρόβλημα της γραμμικοποίησης ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 9

20 Όμως, ποια είναι η σχέση των τροχιών του μη γραμμικού συστήματος με τις τροχιές της γραμμικο- ποίησης του στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας; Εδώ πλέον δεν διαθέτουμε τη συνάρτηση ενέργειας όπως στην περίπτωση ρ=0 και έτσι δεν υπάρχει δυνατότητα χρήσης του Λήμματος Morse Εντούτοις, το περίφημο θεώρημα που έδωσε ο D Grobman (959) και απέδειξε ο P Hartman (95), επιτρέπει να αναγνώσουμε την τοπολογική φύση των τροχιών της μη γραμμικής δυναμικής στην γραμμικοποίησή της στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας Έτσι, συνθέτοντας τις τοπικές πλη- ροφορίες σχηματίζουμε ποιοτικά το ολικό πορτρέτο των τροχιών της μη γραμμικής δυναμικής στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ανάλογα με την τιμή του συντελεστή τριβής Τροχιές στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς που εκτελεί τις κινήσεις του με απώλεια ενέργειας ανάλογα με την τιμή του συντελεστή τριβής ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 0

21 ΙΙΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΤΕΡΕΩΝ ΩΜΑΤΩΝ Τα στερεά σώματα χαρακτηρίζονται από το ότι τα συστατικά τους στοιχεία διατηρούν σταθερές τις μεταξύ τους αποστάσεις κατά τις κινήσεις τους στο χώρο Τα στερεά σώματα, είτε αποτελούνται από διακριτές σημειακές μάζες, είτε καταλαμβάνουν κάποιο συνεχές χωρίο στον ευκλείδειο χώρο την περίπτωση συνεχούς κατανομής μάζας, θεωρώντας την ενυπάρχουσα μάζα στον στοιχειώδη όγκο του στερεού σώματος, ορίζεται η πυκνότητα μάζας: Έτσι προκύπτει η διαφορική σχέση: Δm ρ = Lim Δv 0 Δv dm = ρ dv από την οποία υπολογίζεται η συνολική μάζα του στερεού σώματος: m = dm = ρ(x, y,z)dv = ρ(x, y,z)dx dy dz Το αδρανειακό κέντρο ή κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος συνεχούς εντοπίζεται ως εξής: x o = m y o = m z o = m x dm = m y dm = m z dm = m x ρ(x, y,z)dx dy dz y ρ(x, y,z)dx dy dz, z ρ(x, y,z)dx dy dz τα ομογενή στερεά σώματα με σταθερής πυκνότητας μάζας προκύπτει:, x o = v x dx dy dz, y o = y dx dy dz v, z o = v, v= dx dy dz z dx dy dz Κίνηση στερεού σώματος στο χώρο ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

22 Κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός στερεού σώματος στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, κάθε χρο- νική στιγμή, η θέση του προσδιορίζεται από τη θέση του αδρανειακού του κέντρου στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς και από ένα στοιχείο της ομάδας χωρικών στροφών SO() υνεπώς, η χρονική εξέλιξή του αναπαρίσταται με μια συνεχή διαδοχή σημείων στο θεσεογραφικό χώρο ο οποίος ορίζε- ται από το τοπολογικό γινόμενο SO() 0 Ο όρος αδρανειακό σύστημα αναφοράς R του στερεού σώματος δηλώνει ένα σύστημα αναφοράς, επικεντρωμένο στο αδρανειακό του κέντρο, το οποίο διατηρεί τους άξονές του σε παραλληλία προς τους αντίστοιχους άξονες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς Ο όρος ενσωματωμένο σύστημα αναφοράς R του στερεού σώματος δηλώνει ένα σύστημα ανα- φοράς, επικεντρωμένο στο αδρανειακό του κέντρο, του οποίου οι άξονες είναι ενσωματωμένοι στο στερεό σώμα και την αρχική στιγμή της κίνησης ταυτίζονται με τους αντίστοιχους άξονες του αδρα- νειακού συστήματος αναφοράς R Κάθε χρονική στιγμή, η στροφική τοποθέτηση του στερεού σώματος ορίζεται από την τοποθέτηση του ενσωματωμένου συστήματος αναφοράς ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς R υμβολίζουμε τις συντεταγμένες των δυο αυτών R συστημάτων αναφοράς ως εξής: R [x, y,z] και R [ x, y, z ] τιγμιότυπα της εξέλιξης ενός στερεού σώματος στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ε κάθε στιγμιότυπο διακρίνεται το αδρανειακό και το ενσωματωμένο σύστημα αναφοράς 0 Θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο θεσεογραφικός χώρος των στερεών σωμάτων είναι το τοπολογικό γινόμενο O() όπου υπεισέρχεται όλη η ορθογώνια ομάδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου Η επιλογή του χωρικού προσανατολισμού θα καθόριζε τότε την τοπολογική συνεκτική συνιστώσα στην οποία θα καταγραφόταν η στροφική κίνηση των στερεών σωμά- των Εντούτοις, ας σημειωθεί ότι μόνο η τοπολογική συνιστώσα που εκφράζει τις χωρικές στροφές είναι υποομάδα της ορ- θογώνιας ομάδας αφού αυτή περιέχει το ουδέτερο στοιχείο της ορθογώνιας ομάδας, δηλαδή τον ταυτοτικό μετασχηματισμό του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

23 Η ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΩΝ ΤΕΡΕΩΝ ΩΜΑΤΩΝ Η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού σώματος ορίζεται ως εκείνη του ενσωματωμένου συστήματος αναφοράς R σε σχέση προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς R : ω(t) ( ω (t),ω (t),ω (t)) όπου οι συνιστώσες της είναι ορισμένες σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα: ω i : I, i =,, Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς βλέπει την ορθοκανονική βάση e (t), e (t), e (t) του ενσωματωμένου στο στερεό σώμα συστήματος αναφοράς να περιστρέφεται με την πάροδο του χρόνου στο χώρο και παραγωγίζοντας από το δικό του σύστημα αναφοράς, με τον δικό του τελεστή παραγώγισης, θεωρεί τις ακόλουθες αποσυνθέσεις: d R e (t) d R e (t) d R e (t) και προκύπτουν οι εκφράσεις: d R e (t) d R e (t) d R e (t) = a (t) = b (t) = c (t) = 0 e (t) + a (t) e (t) + a (t) e (t), e (t) + b (t) e (t) + b (t) e (t), e (t) + c (t) e (t) + c (t) e (t), e (t) + ω (t) e (t) ω (t) e (t), = ω (t) = ω (t) e (t) + 0 e (t) + ω (t) e (t), e (t) ω (t) e (t) + 0 e (t) Ένας απλός συνδυαστικός υπολογισμός οδηγεί στον προσδιορισμό των συντελεστών της αποσύνθεσης: i = j < e i (t), e i (t) > = d < e i (t), e i (t) > = 0 < e i (t), d e R i (t) > + < d R e i (t), e i (t) > = 0 < e i (t), d e R i (t) > = 0, i j < e i (t), e j (t) > = 0 d < e i (t), e j (t) > = 0 < e i (t), d e R j (t) > + < d R e i (t), e j (t) > = 0 < e i (t), d e R j (t) > = < e j (t), d e R i (t) > Μετά τους υπολογισµούς και τον προσδιορισµό των συσχετισµών των συντελεστών θέτουµε: ω (): t = b() t = c() t, ω (): t = c () t = a () t, ω (): t = a() t = b() t ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ

24 Το συμπέρασμα αυτής της υπολογιστικής διαδικασίας συνοψίζεται ως εξής: d R e i (t) = ω(t) e i (t), i =,, Από τη σχέση αυτή ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς R ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς R : και εισάγοντας τον τελεστή γωνιακής ταχύτητας: ω(t) = ( ω (t),ω (t),ω (t)) καταλήγουμε στη σχέση: 0 ω (t) ω (t) L ω (t) = ω (t) 0 ω (t) ω (t) ω (t) 0 L ω (t) ξ = ω(t) ξ, ξ Ο ΤΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΤΕΡΕΩΝ ΩΜΑΤΩΝ Ο Leonhard Euler (707-78) και ο Michel Chasles (79-880) έδωσαν το περίφημο θεώρημά τους δηλώνοντας ότι η κίνηση ενός στερεού σώματος αποσυντίθεται κάθε χρονική στιγμή σε στιγμιαία χωρική μεταφορά και στιγμιαία χωρική στροφή και αν κατά την κίνηση κάποιο από τα σημεία του παραμένει ακίνητο τότε πρόκειται απλά για περιστροφή γύρω από άξονα διερχόμενο από αυτό το σημείο που καλείται στιγμιαίος άξονας περιστροφής το αδρανειακό σύστημα αναφοράς του στε- ρεού σώματος, το αδρανειακό κέντρο προφανώς παραμένει ακίνητο και κάθε χρονική στιγμή ο στιγ- μιαίος άξονας περιστροφής ορίζεται από τον ιδιοάξονα του στοιχείου της ομάδας χωρικών στροφών που αποδίδει στο στερεό σώμα ο τελεστής περιστροφής του το αδρανειακό σύστημα αναφοράς του στερεού σώματος καταγράφεται μόνο η στροφική κίνησή του και κάθε χρονική στιγμή η θέση και η ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου του προσδιορίζονται ως εξής: R i (t) = S(t) R i (0), R i (t) = S(t) R i (0), t I Το στερεό σώμα ακολουθεί την κίνηση του αδρανειακού του κέντρου και κάθε σημείο του περιστρέφεται όπως καθορίζει ο τελεστής περιστροφής ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 4

25 Ο τελεστής περιστροφής ενός στερεού σώματος ορίζεται ως απεικόνιση του χρονικού διαστήματος της εξέλιξής του στην ομάδα στροφών του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: S : I SO(), S(0) = I Η θέση του στερεού σώματος στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, κάθε χρονική στιγμή της εξέλιξής του, ορίζεται με ένα σημείο του θεσεογραφικού χώρου: όπου ( R(t), S(t)) SO( ) R(t) συμβολίζει το διάνυσμα θέσης του αδρανειακού του κέντρου και S(t) το στοιχείο της ομάδας χωρικών στροφών που αποδίδει ο τελεστής περιστροφής τη δεδομένη αυτή στιγμή ΘΕΩΡΗΜΑ CHASLES- EULER Η κίνηση ενός στερεού σώματος στο χώρο ορίζεται από την κίνηση του αδρανειακού του κέντρου και από μια διαφορίσιμη απεικόνιση του χρονικού διαστήματος εξέλιξης στην ομάδα στροφών: S : I SO(), S(0) = I που καθορίζει κάθε χρονική στιγμή τη θέση οποιουδήποτε σημείου του: και την ταχύτητά του: R i (t) = S(t) R i (0) + R(t), t I, R i (t) = S(t) R i (0) + R(t), t I τον τελεστή της γωνιακής ταχύτητας κάθε στερεού σώματος προσαρτάται μονοσήμαντα ο τελεστής περιστροφής του που προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης: S(t) = S(t) L ω (t), S(0) = I υμβολίζουμε R i (t) και R i (t) αντίστοιχα το διάνυσμα θέσης ενός οποιουδήποτε σημείου του στερεού σώματος στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς και στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς που είναι επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο του στερεού σώματος και R(t) συμβολίζει το διάνυσμα θέσης του αδρανειακού κέντρου του στερεού σώματος: R i (t) = R(t) + R i (t) Για την απόδειξη αυτού του θεωρήματος βλ Κλασική Μηχανική, Πνευματικού, Αθήνα 006 Ο ανάστροφος πίνακας του τελεστή της γωνιακής ταχύτητας είναι ο θεμελιώδης πίνακας της γραμμικής εξίσωσης: X(t) = L ω (t) X(t), X(t) = Τ S(t) d ( S(t) T S(t) ) = S(t) T S(t) + S(t) T S(t) = ( S(t)L ω (t)) T S(t) + S(t) ( T L ω (t) T S(t) ) = S(t)L ω (t) T S(t) S(t)L ω (t) T S(t) = 0 και από τον τύπο του Liouville προκύπτει: S(0) = I S(t) T S(t) = I S(t) O() t dets(t) = det T S(t) = e Tr( L ω (s))ds 0 = e 0 = S(t) SO() ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 5

26 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Περιστροφή του στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται στο χώρο γύρω από ένα σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ο τελεστής της γωνιακής του ταχύτητας εκφράζεται στην ευκλείδεια βάση ως εξής: ω = ( ω,ω,ω ) L ω = 0 ω ω ω 0 ω ω ω 0 Ο τελεστής περιστροφής προσδιορίζεται τότε ως εξής: S(t) = S(t)L ω T S(t) = L ω T S(t) S(t) = e L ω t, S(0) = I υνεπώς, στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του στερεού σώματος η θέση και η ταχύτητα κάθε ση- μείου του υπολογίζονται ως εξής: R i (t) = e L ω t R i (0), R i (t) = e L ω t L ω R i (0) = e L ω t ω R i (0) και στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς προκύπτει: ( ), R i (t) = e L ω t R i (0) + R(t), R i (t) = e L ω t ω R i (0) ( ) + R(t) Εδώ είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αλλάζοντας τη βάση του ευκλείδειου χώρου έτσι ώστε ο τρί- τος άξονας να ταυτιστεί με τον άξονα που ορίζεται από το σταθερό διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας, ο πίνακας του τελεστή της γωνιακής ταχύτητας εκφράζεται ως εξής: L ω = 0 ω 0 ω Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του τελεστή της γωνιακής ταχύτητας: det(l ω λ I ) = λ(λ + ω ) δέχεται μια μηδενική και δυο φανταστικές ιδιοτιμές ±i ω και σχηματίζεται η βάση Jordan: ζ = ω (ω, ω,0), στην οποία προκύπτει η προαναφερόμενη έκφραση: ζ = (ω ω,ω ω, ω ω ), L ω = P L ω P, P = ζ, ζ, ζ ζ = ω, Όταν το στερεό σώμα περιστρέφεται στο χώρο γύρω από ένα σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση τότε τα στοιχεία του τελεστή της γωνιακής του ταχύτητας εξαρτώνται γραμμικά από το χρόνο και χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία αντιμετωπίζεται η επίλυση της εξίσωσης: S(t) = S(t)L ω (t), S(0) = I ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 6

27 Για παράδειγμα: ω = 0,0,t ( ) L ω (t) = 0 t 0 t S(t) = cost sint 0 sint cost υνεπώς, στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς η θέση και η ταχύτητα κάθε σημείου του στερεού σώ- ματος προσδιορίζονται ως εξής: R i (t) = S(t) R i (0) + R(t), R i (t) = S(t) R i (0) + R(t) Το στερεό σώμα ακολουθώντας την κίνηση του αδρανειακού του κέντρου εκτελεί περιστροφική κίνηση Ο ΤΕΛΕΤΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΤΩΝ ΤΕΡΕΩΝ ΩΜΑΤΩΝ Ο τελεστής αδράνειας κάθε στερεού σώματος περιέχει τα χαρακτηριστικά της γεωμετρίας της μάζας του που υπαγορεύουν την αδρανειακή του συμπεριφορά στο χώρο και τα χαρακτηριστικά αυτά εκ- φράζονται με τις αδρανειακές ροπές του και τα αδρανειακά τους γινόμενα Η έννοια της αδρανειακής ροπής πρωτοεμφανίστηκε σε κείμενα του Christian Huygens (69-695) 4 Η αδρανειακή ροπή μιας σημειακής μάζας ως προς έναν άξονα ορίστηκε ως το γινόμενο της μάζας με το τετράγωνο της απόστασής της από τον άξονα και η αδρανειακή ροπή ενός συστήματος σημειακών μαζών ορίστηκε ως το άθροισμα των αδρανειακών ροπών των συστατικών του στοιχείων: N Ι ξ = m i r i i= Η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώματος ως προς ένα δεδομένο άξονα ορίζεται από την άθροιση των αδρανειακών ροπών των συστατικών του στοιχείων ως εξής: N I ξ = lim m i r i = r dm N + i= Έτσι, οι αδρανειακές ροπές ενός στερεού σώματος ως προς τους άξονες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς υπολογίζονται αντίστοιχα ως εξής: I xx = ( y + z )dm, I yy = (z + x )dm, I zz = (x + y )dm 4 Η ποσότητα mr που εκφράζει την αδρανειακή ροπή εμφανίστηκε στα κείμενά του το 67 όταν μελετούσε το πρόβλημα του εντοπισμού του κέντρου ταλάντωσης ενός σύνθετου εκκρεμούς Το φυσικό της νόημα φαίνεται να προϋπήρχε σε κείμενα του René Descartes ( ) και αργότερα συγκεκριμενοποιήθηκε σε κείμενα του Leonhard Euler (707-78) Από τότε άρχισε να χρησιμοποιείται συστηματικά και η ονομασία αδρανειακή ροπή δόθηκε το 80 ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 7

28 Η αδρανειακή ροπή του στερεού σώματος ως προς έναν οποιονδήποτε άξονα, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με αυτούς αντίστοιχες γωνίες ϕ x,ϕ y,ϕ z, υπολογίζεται ως εξής: I ξ = I xx cos ϕ x + I yy cos ϕ y + I zz cos ϕ z + ( I xy cosϕ x cosϕ y + I yz cosϕ y cosϕ z + I zx cosϕ z cosϕ x ) όπου υπεισέρχονται τα αδρανειακά γινόμενα τα οποία ορίζονται ως εξής: I xy = I yx =, I yz = I zy = yz dm, I zx = I xz = zx dm x y dm ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ HUYGENS - STEINER Η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώματος μάζας m ως προς έναν άξονα ξ ο διερχόμενο από το αδρα- νειακό του κέντρο και η αδρανειακή του ροπή ως προς οποιονδήποτε παράλληλο άξονα ξ που βρί- σκεται σε απόσταση από τον άξονα ξ ο σχετίζονται ως εξής: I ξ = I ξo + m Απόδειξη Η υπολογιστική διαδικασία απλουστεύεται θεωρώντας ένα σύστημα αναφοράς του οποίου ο τρίτος άξονας συμπίπτει με τον άξονα ως προς τον οποίο λογίζεται η αδρανειακή ροπή του στερεού σώματος Επίσης, θεωρώντας το ομοπαραλληλικό σύστημα αναφοράς που είναι επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο του στε- ρεού σώματος προκύπτουν οι σχέσεις των συντεταγμένων: υνεπώς: x = x + a, y = y + b, z = z + c I ξ = (x + y )dm = ( x + y )dm + a x dm + b y dm + (a + b ) dm = I ξo + m Από τον κλασικό ορισμό της αδρανειακής ροπής ενός στερεού σώματος ως προς έναν άξονα θα οδηγηθούμε τώρα στον ορισμό του τελεστή αδράνειας ως γραμμικού τελεστή στον ευκλείδειο χώρο Η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώματος ως προς έναν άξονα, με τη θεώρηση του μοναδιαίου διανύσματος αυτού του άξονα και του διανύσματος θέσης των σημειακών συστατικών στοιχείων του στερεού σώματος, υπολογίζεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής: I ξ = Ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι: 5 Ι ξ = < ξ, ξ OM ( ) dm OM ( ξ OM )dm > την ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, αλλά και στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του στερεού σώματος, θεωρώντας την αποσύνθεση: OM = xe + ye + ze ξ = ξ e + ξ e + ξ e 5 Πράγματι: ( ξ OM ) dm = < ( ξ OM ),( ξ OM ) >dm = ξ,om, ξ OM ( )dm = OM, ξ OM, ξ ( )dm = < OM ( ξ OM ), ξ >dm = < ξ, OM ( ξ OM )dm > ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 8

29 προκύπτει: OM ( ξ OM )dm = I xx ξ I xy ξ I xz ξ, I xy ξ + I yy ξ I yz ξ, I xz ξ I yz ξ + I zz ξ ( ) τα στερεά σώματα διακριτών σημειακών μαζών η σχέση αυτή εκφράζεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς που είναι επικεντρωμένο στο αδρανειακό του κέντρο ως εξής: N ( ) m Ri i (0) ξ R (0) = I i xx ξ I xy ξ I xz ξ, I xy ξ + I yy ξ I yz ξ, I xz ξ I yz ξ + I zz ξ i= ( ) Ο τελεστής αδράνειας ενός στερεού σώματος ορίζεται ως εξής: I :, I( ξ) = OM ( ξ OM )dm Η γραμμική αυτή απεικόνιση δεν εξαρτάται από το χρόνο και στην ορθοκανονική βάση του αδρανει- ακού συστήματος αναφοράς του στερεού σώματος εκφράζεται με τον πίνακα: I xx I yx I zx I = ( e I, e, e ) xy I yy I zx I xz I yz I zz τον πίνακα αυτό υπεισέρχονται οι αδρανειακές ροπές του στερεού σώματος ως προς τους άξονες του αδρανειακού συστήματος αναφοράς και τα γινόμενά τους: I xx = ( y + z )dm, I yy = (z + x )dm, I zz = (x + y )dm I xy = I yx = x y dm,, I yz = I zy = yz dm, I zx = I xz = zx dm Ο τελεστής αδράνειας διαθέτει τρεις πραγματικές ιδιοτιμές: 0 I I I Οι ιδιοτιμές αυτές καλούνται κύριες αδρανειακές ροπές του στερεού σώματος και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ορίζουν τους λεγόμενους κύριους αδρανειακούς άξονες του στερεού σώματος: I( ξ ) = I ξ, I( ξ ) = I ξ, I( ξ ) = I ξ Οι άξονες αυτοί συγκροτούν ένα τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς ενσωματωμένο στο στερεό σώ- μα και επικεντρωμένο στο αδρανειακό του κέντρο την ορθοκανονική βάση αυτού του συστήματος αναφοράς ο πίνακας του τελεστή αδράνειας αποκτά διαγώνια έκφραση: 6 I 0 0 I ( ξ, ξ, ξ = 0 I ) I 6 Οι συμμετρικοί τελεστές έχουν πάντα πραγματικές ιδιοτιμές και η πολλαπλότητά τους ορίζει τη διάσταση του αντίστοιχου ιδιόχωρου Από το εξωτερικό γινόμενο δυο γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων προκύπτει ιδιοδιάνυσμα και έτσι, ανε- ξαρτήτως της πολλαπλότητας κάθε ιδιοτιμής, διασφαλίζεται η ύπαρξη ορθοκανονικής βάσης ιδιοδιανυσμάτων στην οποία διαγωνιοποιείται ο συμμετρικός πίνακας Η ορθοκανονική αυτή βάση ορίζει το σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων του στερεού σώματος και είναι μονοσήμαντα ορισμένο όταν οι ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους διαφορετικές ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 9

30 H συνάρτηση αδρανειακής ροπής ενός στερεού σώματος ορίζεται ως εξής: I : {0}, I( ξ) = < I( ξ), ξ > < ξ, ξ > τα συγγραμμικά διανύσματα του ευκλείδειου χώρου προφανώς αποδίδεται ίδια αριθμητική τιμή: I(λξ) = I( ξ), λ Έτσι, σε κάθε διανυσματική ευθεία του ευκλείδειου χώρου αποδίδεται μια αριθμητική τιμή που εκ- φράζει την αδρανειακή ροπή του στερεού σώματος ως προς αυτή την ευθεία υγκεκριμένα, θεωρώ- ντας ένα μοναδιαίο διάνυσμα που ορίζει τη δεδομένη διανυσματική ευθεία προκύπτει η αδρανειακή ροπή του στερεού σώματος ως προς αυτή την ευθεία: I( ξ) = < I( ξ), ξ >, ξ = τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή αδράνειας αποδίδονται οι κύριες αδρανειακές ροπές: I( ξ ) = Ι, I( ξ ) = Ι, I( ξ ) = Ι Οι ακραίες κύριες αδρανειακές ροπές κάθε στερεού σώματος: Ι Ι Ι συμπίπτουν με τα ακρότατα της συνάρτησης αδρανειακής ροπής: Ι I( ξ) Ι, ξ, ξ 0 Οι κύριες αδρανειακές ροπές κάθε στερεού σώματος πληρούν τις ακόλουθες ανισωτικές σχέσεις και η ισότητα ισχύει μόνο όταν η κατανομή της μάζας του στερεού σώματος είναι επίπεδη: Ι Ι + Ι, Ι Ι + Ι, Ι Ι + Ι ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ 0