Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο.

Transcript

1 Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο. Καξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο ζην ρώξν. Σην ζύζηεκα θαξηεζηαλώλ (ή νξζνγώλησλ) ζπληεηαγκέλσλ θάζε ζεκείν P(,, z ) νξίδεηαη από κία ηξηάδα αξηζκώλ (ζπληεηαγκέλεο). z (,, z) O Τα ηξία επίπεδα,, z ρσξίδνπλ ην ρώξν ζε 8 νθηεκόξηα. Παξάδεηγκα: Σην ζρήκα βιέπνπκε ηα ζεκεία πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο εμηζώζεηο θαη z z z, (,, ) O (,,) (,,) z,

2 πλαξηήζεηο θαη πεξηζζόηεξσλ κεηαβιεηώλ Έζησ D ην ζύλνιν ησλ δηαηεηαγκέλσλ δεπγώλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ (., ) Μία πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε f δύν κεηαβιεηώλ νξηζκέλε ζην D είλαη έλαο θαλόλαο πνπ απνδίδεη ηνλ κνλαδηθό πξαγκαηηθό αξηζκό w f (, ) ζε θάζε δηαηεηαγκέλν δεύγνο ( ηνπ, ) D. Τν D είλαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f θαη ην ζύλνιν ησλ ηηκώλ w πνπ παίξλεη ε ζπλάξηεζε, ην πεδίν ηηκώλ ηεο. Οη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο, είλαη νη κεηαβιεηέο εηζόδνπ θαη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή w είλαη ε κεηαβιεηή εμόδνπ, Παξαηήξεζε: Αλάινγα νξίδεηαη θαη ε ζπλάξηεζε ηξηώλ κεηαβιεηώλ w f (,, z). Βαζηθέο έλλνηεο: εζσηεξηθό ζεκείν πλνξηαθό ζεκείν (, ) (, ) R R Σεκείν (, ) εζσηεξηθό ζεκείν ρσξίνπ (ζπλόινπ) R εάλ είλαη θέληξν θπθιηθνύ δίζθνπ πνπ αλήθεη πιήξσο ζην R. Σεκείν (, ) ζπλνξηαθό ζεκείν ρσξίνπ (ζπλόινπ) R εάλ θάζε θπθιηθόο δίζθνο κε θέληξν (, ) πεξηέρεη ηόζν εζσηεξηθά όζν θαη ζεκεία πνπ δελ αλήθνπλ ζην R. Έλα ζύλνιν είλαη αλνηθηό εάλ πεξηέρεη κόλν εζσηεξηθά ζεκεία, θιεηζηό εάλ πεξηέρεη θαη όια ηα ζπλνξηαθά ηνπ ζεκεία. Έλα ρσξίν ηνπ ρώξνπ είλαη θξαγκέλν εάλ κπνξεί λα πεξηθιεηζηεί από δίζθν δεδνκέλεο (πεπεξαζκέλεο αθηίλαο). Τν πεδίν νξηζκνύ κίαο ζπλάξηεζεο δύν κεηαβιεηώλ απνηειείηαη από όια ηα δεύγε (, ) γηα ην νπνία έρεη λόεκα ε έθθξαζε f. Δίλαη ινηπόλ ην πεδίν νξηζκνύ είλαη κία πεξηνρή ηνπ επηπέδνπ. Παξάδεηγκα Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο f (, ) είλαη ηα ζεκεία γηα ηα νπνία ηζρύεη νπόηε θαη νξίδεηαη ε ξίδα. Σην ζρήκα βιέπνπκε ην γξάθεκα ηεο παξαβνιήο θαη ην πώο ρσξίδεη ην επίπεδν ζε ηξεηο πεξηνρέο αλάινγα κε ην πξόζεκν ηεο πνζόηεηαο. Δίλαη θαλεξό όηη πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπγθεθξηκέλεο ζπλάξηεζεο είλαη ην θιεηζηό (κηαο θαη πεξηέρεη θαη ηελ θακπύιε ηεο παξαβνιήο) κε θξαγκέλν ρσξίν πνπ πεξηέρεηαη ζηελ παξαβνιή θαη.

3 Παξάδεηγκα πλάξηεζε Πεδίν νξηζκνύ Πεδίν ηηκώλ f (, ) [, ) f (, ) (,) (, ) f (, ) s( ) όιν ην επίπεδν [,] f (,, z) l( z) z (, ) Τν ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ηνπ ρώξνπ (,, f (, )) γηα ( πνπ, ) αλήθνπλ ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο f θαιείηαη γξαθηθή ηεο παξάζηαζε. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαιείηαη επίζεο επηθάλεηα z f (, ). Τν ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν κία ζπλάξηεζε f (, ) έρεη ζηαζεξή ηηκή f (, ) cθαιείηαη ηζνζηαζκηθή θακπύιε (level curve). 5 z f (, ) -5 f (, ) c - 6 f (, ) c

4 Η θακπύιε ηνπ ρώξνπ πνπ απνηειεί ηνκή ηνπ επηπέδνπ z cκε ηε z f (, ) θαιείηαη ηζνϋςήο θακπύιε (cotour le)..5 z f (, ), z c Παξαηήξεζε: Αλάινγα νξίδεηαη θαη ε ηζνζηαζκηθή επηθάλεηα γηα ηελ ζπλάξηεζε ηξηώλ κεηαβιεηώλ w f (,, z) θαη νη άιιεο έλλνηεο. Όξηα θαη ζπλέρεηα ζπλαξηήζεσλ κεηαβιεηώλ θαη πεξηζζόηεξσλ Η ζπλάξηεζε έρεη όξην ην L θαζώο ην (, ) ηείλεη ζην (, ) (πνπ αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο) όηαλ γηα δεδνκέλν ζα ππάξρεη αληίζηνηρν ηέηνην ώζηε γηα θάζε (, ) ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ γηα ηα νπνία ηζρύεη Σπκβνιίδνπκε θαη f (, ) L lm f (, ) L (, ) (, ) Ιζρύνπλ : lm (, ) (, ), lm (, ) (, ) Ιδηόηεηεο νξίσλ: lm f (, ), lm g(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) a) lm f (, ) g(, ) (, ) (, ) b) lm f (, ) g(, ) (, ) (, ) c) lm f (, ) g(, ), lm (, ) (, ) k k 4

5 (, ) (, ) d) lm kf (, ) k e ) lm, για (, ) (, ) g(, ) (, ) (, ) f (, ) m/ m/ m/ f ) lm f (, ), αρκεί Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Όπσο θαη ζηηο ζπλαξηήζεηο κίαο κεηαβιεηήο από γλσζηά όξηα θαη κε βάζε ηνπο παξαπάλσ θαλόλεο ππνινγίδνπκε ηα όξηα. Πξόβιεκα έρνπκε όηαλ θαηαιήγνπκε ζε κε απνδεθηέο κνξθέο. Παξαδείγκαηα: lm lm (, ) (3, 4) (, ) (3, 4) (, ) (,) 3 3 lm lm lm (, ) (,) (, ) (,) lm lm (, ) (,) (, ) (,) Κξηηήξην κε ύπαξμεο νξίνπ Δάλ κία ζπλάξηεζε f (, ) έρεη δηαθνξεηηθά όξηα θαηά κήθνο δύν δηαθνξεηηθώλ δηαδξνκώλ θαζώο ην (, ) ηείλεη ζην (, ) ηόηε δελ ππάξρεη ην όξην lm f (, ) (, ) (, ) Σηε κία δηάζηαζε κπνξνύζακε λα πιεζηάζνπκε ην κόλν από ηα αξηζηεξά ή ηα δεμηά γηα απηό παίξλακε ηα πιεπξηθά όξηα πνπ ήηαλ δύν. Σηηο δύν δηαζηάζεηο κπνξνύκε λα πιεζηάζνπκε ην (, ) από πάξα πνιιέο δηαθνξεηηθέο δηαδξνκέο. (, ) Παξάδεηγκα: Η ζπλάξηεζε f (, ) 4 δελ έρεη όξην θαζώο ην (, ) ηείλεη ζην (,) Καηά κήθνο ηεο θακπύιεο k, κε ηελ νπνία κπνξνύκε λα πιεζηάζνπκε ην (,) ε ζπλάξηεζε παίξλεη ζηαζεξή ηηκή πνπ εμαξηάηαη από ηε θακπύιε: 5

6 f (, ) k k k k 4 4 k k k Οπόηε k lm lm f (, ) 4 (, ) (,) (, ) (,) k k Τν όξην απηό εμαξηάηαη από ηε δηαδξνκή θαη γηα δηαθνξεηηθέο ηέηνηεο δηαδξνκέο (δειαδή δηαθνξεηηθά k ) δελ παξακέλεη ην ίδην, νπόηε ην δεηνύκελν όξην δελ ππάξρεη. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην (, ) όηαλ Τν (, ) αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο δειαδή νξίδεηαη ην f (, ) Τπάξρεη ην όξην lm f (, ) (, ) (, ) θαη ηζρύεη lm f (, ) f (, ) (, ) (, ) Παξάδεηγκα: (, ) (,) Η ζπλάξηεζε f (, ) δελ είλαη ζπλερήο ζην (,) (, ) (,) Η ζπλέρεηα ζε θάζε άιιν ζεκείν είλαη ηεηξηκκέλε. Σην (,) νξίδεηαη ε ζπλάξηεζε αιιά δελ νξίδεηαη ην όξην. Καηά κήθνο ηεο θακπύιεο k, κε ηελ νπνία κπνξνύκε λα πιεζηάζνπκε ην (,) ε ζπλάξηεζε παίξλεη ζηαζεξή ηηκή πνπ εμαξηάηαη από ηε θακπύιε: f (, ) k k k k k k k Οπόηε k lm lm f (, ) k (, ) (,) (, ) (,) k Τν όξην απηό εμαξηάηαη από ηε δηαδξνκή θαη γηα δηαθνξεηηθέο ηέηνηεο δηαδξνκέο (δειαδή δηαθνξεηηθά k ) δελ παξακέλεη ην ίζην, νπόηε ην δεηνύκελν όξην δελ ππάξρεη. Παξαηήξεζε: Αλάινγα νξίδνληαη όξηα θαη ζπλέρεηα ε ζπλάξηεζε ηξηώλ κεηαβιεηώλ w f (,, z). Μεξηθέο παξάγσγνη Η κεξηθή παξάγσγνο ηεο f (, ) σο πξνο ζην ζεκείν (, ) ηζνύηαη κε ην όξην f df f (, ) f (, ) f ( h, ) f (, ) f(, ) lm lm d ( ) h h (, ) Γεδνκέλνπ όηη ην όξην ππάξρεη. 6

7 Γεσκεηξηθά ε ηηκήο ηεο κεξηθήο παξαγώγνπ σο πξνο ζην ζεκείν (, ) είλαη ε θιίζε ηεο θακπύιεο z f (, ) ζην ζεκείν P(,, f (, )). Η εθαπηόκελε ηεο θακπύιεο ζην ζεκείν P είλαη ε επζεία ηνπ επηπέδνπ πνπ δηέξρεηαη από ην P κε ηέηνηα θιίζε (ε θιίζε επζείαο είλαη ίζε κε ηελ εθαπηνκέλε ηεο γσλίαο πνπ έρεη ε επζεία κε ην επίπεδν ). Η κεξηθή παξάγσγνο σο πξνο ζην ζεκείν (, ) είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο f σο πξνο ην όηαλ θξαηάκε ζηαζεξό ην ίζν κε. Πξόθεηηαη δειαδή γηα ην ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο f ζηελ θαηεύζπλζε ζην (, ). z f (, ) z f (, ) P(,, f (, )) (, ) Η κεξηθή παξάγσγνο ηεο f (, ) σο πξνο ζην ζεκείν (, ) ηζνύηαη κε ην όξην f df f (, ) f (, ) f (, h) f (, ) f (, ) lm lm d ( ) h h (, ) Γεδνκέλνπ όηη ην όξην ππάξρεη. Γεσκεηξηθά ε ηηκήο ηεο κεξηθήο παξαγώγνπ σο πξνο ζην ζεκείν (, ) είλαη ε θιίζε ηεο θακπύιεο z f (, ) ζην ζεκείν P(,, f (, )). Η εθαπηόκελε ηεο θακπύιεο ζην ζεκείν P είλαη ε επζεία ηνπ επηπέδνπ πνπ δηέξρεηαη από ην P κε ηέηνηα θιίζε. Η κεξηθή παξάγσγνο σο πξνο ζην ζεκείν (, ) είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο f σο πξνο ην όηαλ θξαηάκε ζηαζεξό ην ίζν κε. Πξόθεηηαη δειαδή γηα ην ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο f ζηελ θαηεύζπλζε j ζην (, ). 7

8 z f (, ) P(,, f (, )) z f (, ) (, ) Οη δύν απηέο εθαπηόκελεο νξίδνπλ έλα επίπεδν πνπ εθάπηεηαη ζηελ επηθάλεηα ζην ζεκείν P. (, ) f Τπνινγηζκνί: Γηα λα βξνύκε ηελ, θξαηάκε ζηαζεξό ην θαη f παξαγσγίδνπκε σο πξνο. Γηα λα βξνύκε ηελ, θξαηάκε ζηαζεξό ην θαη παξαγσγίδνπκε σο πξνο. Παξαηήξεζε: Αλάινγα νξίδνληαη νη κεξηθέο παξάγσγνη γηα ηηο ζπλαξηήζεηο ηξηώλ ή θαη πεξηζζόηέξσλ κεηαβιεηώλ. 8

9 Παξαδείγκαηα: f f 3 3 f 3 3 f f f f (4, 5) (4, 5) (, ) 3 f (, ) cos cos cos cos cos cos cos cos ( s ) s cos cos cos () cos cos cos cos cos Μεξηθή παξάγσγνο πεπιεγκέλεο ζπλάξηεζεο: Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Έζησ z f (, ). Όηαλ δελ είλαη δπλαηό λα ιύζνπκε ηελ έθθξαζε πνπ πεξηέρεη ηε ζπλάξηεζε σο πξνο z ώζηε λα βξνύκε ηελ έθθξαζε z f (, ) ιέκε όηη ε ζπλάξηεζε δίλεηαη ζε πεπιεγκέλε κνξθή. z l z z l z ( z l z) z z z z z z z z Μεξηθή παξάγσγνο ζπλάξηεζεο ηξηώλ κεηαβιεηώλ: f (,, z) s( 3 z) f s( 3 z) cos( 3 z) ( 3 z) 3cos( 3 z) z z z Μεξηθή παξάγσγνο δεύηεξεο θαη κεγαιύηεξεο ηάμεο: f (, ) cos e 9

10 f ( cos e ) cos e f ( cos e ) s e f f f s e f f f e f f f s e f f f cos πκπεξάζκαηα: Αλ κία ζπλάξηεζε f (, ) θαη νη κεξηθέο ηεο παξάγσγνη f, f, f, f νξίδνληαη ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα πνπ πεξηέρεη ην (, ) θαη είλαη ζπλερείο ζην (, ) ηόηε f (, ) f (, ) Αλ νη κεξηθέο παξάγσγνη f, f κίαο ζπλάξηεζεο f (, ) είλαη ζπλερείο ζε όιν ην ρσξίν R, ηόηε ε ζπλάξηεζε είλαη δηαθνξίζηκε ζε θάζε ζεκείν ηνπ ρσξίνπ R Αλ κία ζπλάξηεζε f (, ) είλαη δηαθνξίζηκε ζην (, ) ηόηε είλαη θαη ζπλερήο ζην (, ). Ο θαλόλαο ηεο αιπζηδσηήο παξαγώγηζεο Αλ ε w f (, ) είλαη δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε θαη θαη δηαθνξίζηκεο ζπλαξηήζεηο ηνπ t ηόηε ε w είλαη δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε ηνπ t θαη ηζρύεη. df f d f d dt dt dt Αλ ε w f (,, z) είλαη δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε θαη, θαη z δηαθνξίζηκεο ζπλαξηήζεηο ηνπ t ηόηε ε w είλαη δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε ηνπ t θαη ηζρύεη. df f d f d f dz dt dt dt z dt

11 Μλεκνληθό Γηάγξακκα w f (,, z) f f f z z d dt d dt df f d f d f dz dt dt dt z dt t dz dt Παξάδεηγκα Δθαξκόζηε ηνλ θαλόλα αιπζηδσηήο παξαγώγηζεο γηα λα βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο w f (, ) Ωο πξνο t θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο cos t, s t. Πνηα ε ηηκή ηεο παξαγώγνπ γηα t /. df f d f d dt dt dt d d cos t (s t) dt dt cos t, st ( s ) cos s cos cos( ) t t t t t df dt t / cos Παξάδεηγκα Βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο w f (,, z) z Ωο πξνο t θαηά κήθνο ηεο θακπύιεο cos t, s t, z t. Πνηα ε ηηκή ηεο παξαγώγνπ γηα t. df f d f d f dz dt dt dt z dt z d z d z d cos t (s t) ( t) dt dt dt cos t, st ( s ) cos s cos cos( ) t t t t t

12 df dt t cos Αλ νη ζπλαξηήζεηο w f (,, z), g( r, s), h( r, s) θαη z k( r, s) είλαη δηαθνξίζηκεο ζπλαξηήζεηο ηόηε ε w έρεη κεξηθέο παξαγώγνπο σο πξνο r θαη s θαη ηζρύεη. f f f f z r r r z r f f f f z s s s z s Αληίζηνηρα γηα ζπλάξηεζε δύν κεηαβιεηώλ ιείπεη ν ηξίηνο όξνο ηνπ αζξνίζκαηνο. Μλεκνληθό Γηάγξακκα w f (,, z) w f (,, z) f f f z z z r r r r f f f f z r r r z r f f f z z z s s s s f w w w z s s s z s Παξάδεηγκα f Δθθξάζηε ηα r, f ζπλαξηήζεη ησλ r θαη s αλ s r w f (,, z) z,, r l s, z r s f f f f z r r r z r r z r s s f f f f z s s s z s r r z s s s s

13 Αλ ε F(, ) είλαη δηαθνξίζηκε (πεπιεγκέλε) ζπλάξηεζε θαη ε εμίζσζε F(, ) νξίδεη ην σο δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε ηνπ. Τόηε γηα θάζε ζεκείν όπνπ F ζα ηζρύεη. d F d F Παξαηήξεζε: Αλάινγα νξίδνληαη ηύπνη γηα ηηο ζπλαξηήζεηο πεξηζζόηέξσλ κεηαβιεηώλ. Παξάδεηγκα Βξείηε ην d d αλ s d F cos( ) cos( ) d F cos( cos( ) Παξάγσγνη θαηά θαηεύζπλζε, δηαλύζκαηα θιίζεσο. Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε f (, ) νξίδεηαη ζην ρσξίν R ηνπ επηπέδνπ θαη όηη, u u u jέλα κνλαδηαίν δηάλπζκα. P έλα ζεκείν ηνπ ρσξίνπ θαη όηη Η παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο (, ) f νξίδεηαη ζην ζεκείν P, ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ κνλαδηαίνπ δηαλύζκαηνο u uu jείλαη ε πνζόηεηα df f ( su, su) f (, ) Df u lm P ds s s up, Δάλ ππάξρεη ην όξην ηόηε νξίδεη ην ζηηγκηαίν ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν P ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο u. (, ) u u u j 3

14 Σην ζρήκα βιέπνπκε ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν, P θαη είλαη παξάιιειε ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ κνλαδηαίνπ δηαλύζκαηνο u uu j. Η ηνκή ηνπ επηπέδνπ πνπ πεξλά από ην ζεκείν θαη είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα είλαη κία θακπύιε πάλσ ζηελ επηθάλεηα. Η θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ζε απηήλ ηελ θακπύιε ζην ζεκείν ηζνύηαη κε ηελ παξάγσγν ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο. Τν δηάλπζκα θιίζεσο (ή θιίζε ή βαζκίδα) ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) ζην ζεκείν, P είλαη ην δηάλπζκα f f f j Ολνκάδεηαη θαη σο grad ή αλάδειηα ηεο ζπλάξηεζεο. Σε θάζε ζεκείν (, ) ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο f (, ), ε θιίζε ηεο f είλαη έλα δηάλπζκα πνπ είλαη θάζεην ζηελ ηζνζηαζκηθή θακπύιε πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν απηό. (ελλνείηαη όηη είλαη θάζεην ζηελ εθαπηνκέλε ηεο ηζνζηαζκηθήο θακπύιεο ζην ζεκείν) 7 6 (, ) f f (, ) c Αλάινγα ην δηάλπζκα θιίζεσο (ή θιίζε ή βαζκίδα) ηεο ζπλάξηεζεο (,, ) P,, z είλαη ην δηάλπζκα f z ζην ζεκείν f f f f j k z 4

15 Η παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο (, ) f ζην, P ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ κνλαδηαίνπ δηαλύζκαηνο u uu jηζνύηαη κε ην εζσηεξηθό γηλόκελν: Du f f P P Αλάινγα ηζρύεη ην ηύπνο γηα ηηο ζπλαξηήζεηο ηξηώλ κεηαβιεηώλ ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ κνλαδηαίνπ δηαλύζκαηνο u u uj u3k Παξάδεηγκα: Βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο f (, ) e cos( ) ζην ζεκείν (,) ζηελ θαηεύζπλζε v 34j. Θα πξέπεη λα βξνύκε ηελ θαηεύζπλζε (θνξά, κνλαδηαίν δηάλπζκα) ηνπ v, απηό γίλεηαη δηαηξώληαο κε ην κέηξν ηνπ. v 3 4j 3 4 u j v Οη κεξηθέο παξάγσγνη ζην (,) f f(,) ( e s( )) e (,) f (,) (,) f e e u (,) ( s( )) (,) Η θιίζε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν (,) είλαη f f f j j (,) (,) (,) Η παξάγσγνο f ηεο ζην ζεκείν (,) ζηελ θαηεύζπλζε v 34jείλαη Du f f (,) (,) df u ( j) ( j ) ds u,(,) Αιγεβξηθέο ηδηόηεηεο θιίζεσλ af a f ( f g) f g ( f g) f g ( fg) gf f g f g f f g g g Παξάδεηγκα: f (, ), f j g(, ) 3, g 3j Πηζηνπνίεζε αιγεβξηθώλ ηδηνηήησλ: ( f ) ( ) j f ( f g) ( ) j f g 5

16 ( fg) (3 3 ) 3 (3 6 ) j 3 3j 3 j (3 6 ) j 3 ( j) (3 3 ) j 3 ( j) 3( ) j gf f g Ιδηόηεηεο ηεο παξαγώγνπ θαηά θαηεύζπλζε Η παξάγσγνο θαηά θαηεύζπλζε κπνξεί λα γξαθεί θαη σο D f f u f u cos f cos u από ηνλ ηύπν ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ, όπνπ είλαη ε γσλία κεηαμύ ησλ δηαλπζκάησλ f θαη u. Σε θάζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ε f παξνπζηάδεη ηε κεγαιύηεξε αύμεζε ζηελ δηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο θιίζεο f, δειαδή όηαλ, νπόηε D f f cos f u Σε θάζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ε f παξνπζηάδεη ηε κεγαιύηεξε κείσζε ζηελ δηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο - f, δειαδή όηαλ, νπόηε D f f cos f u Σε θάζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ε f παξνπζηάδεη κεδεληθή κεηαβνιή ζηε θαηεύζπλζε θάζε δηαλύζκαηνο θάζεηνπ ζηελ θιίζε f, δειαδή όηαλ, νπόηε Du f f cos Παξάδεηγκα Βξείηε ηηο θαηεπζύλζεηο ζηηο νπνίεο ε f (, ). Παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε αύμεζε ζην ζεκείν (,). Παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε κείσζε ζην ζεκείν (,) 3. Παξνπζηάδεη κεδεληθή κεηαβνιή ζην ζεκείν (,) Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε αύμεζε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο ζεκείν (,) ε θιίζε είλαη f f f j j j (,) (,) (,) (,) Η θαηεύζπλζε (θνξά) ηεο θιίζεο είλαη j j u j j Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε κείσζε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο θνξά ηεο κείσζεο είλαη u j. f. Σην f θαη ε ΟΙ θαηεπζύλζεηο πνπ έρνπκε κεδεληθή κεηαβνιή ζην (,) είλαη απηέο πνπ είλαη νξζνγώληεο ζην u δειαδή ηζρύεη, j j νπόηε είλαη νη θαηεπζύλζεηο η j θαη η j 6

17 Παξάδεηγκα Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. 3 Βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο f (,, z) z ζην ζεκείν (,,) ζηελ θαηεύζπλζε v 3j 6k. Σε πνηεο θαηεπζύλζεηο ζα κεηαβάιιεηαη ε ζπλάξηεζε πεξηζζόηεξν ζην ζεκείν απηό θαη πνηνη είλαη νη ξπζκνί κεηαβνιήο ζηηο θαηεπζύλζεηο απηέο; Θα πξέπεη λα βξνύκε ηελ θαηεύζπλζε (θνξά, κνλαδηαίν δηάλπζκα) ηνπ v, απηό γίλεηαη δηαηξώληαο κε ην κέηξν ηνπ. v 3j6k 3 6 u j k v Οη κεξηθέο παξάγσγνη ζην (,,) f f (,, ) (3 ) 3 (,,) f f z (,,) (,,) (,,) f (,, ) ( ) (,,) (,,) f (,, ) ( ) z Η θιίζε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν (,,) είλαη f f f f j k jk (,,) z (,,) (,,) (,,) Η παξάγσγνο f ηεο ζην ζεκείν (,,) ζηελ θαηεύζπλζε v 3j 6k είλαη Du f f u ( jk) ( j k ) (,,) (,,) Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη κέγηζηε αύμεζε ζηελ θαηεύζπλζε f jk θαη κέγηζηε κείσζε ζηελ θαηεύζπλζε f. Οη ξπζκνί κεηαβνιήο ηεο ζηηο θαηεπζύλζεηο απηέο είλαη f jk 9 3 θαη f 3. Αλ από ην ζεκείν P κεηαηνπηζηνύκε θαηά κία κηθξή πνζόηεηα ds ζηελ θαηεύζπλζε u ηόηε ε κεηαβνιή ηεο f κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη εθηίκεζε από ηνλ ηύπν Παξάδεηγκα u P P df D f ds f u ds Δθηηκήζηε θαηά πόζν ζα κεηαβιεζεί ε ηηκή ηεο f (, ) e αλ ην ζεκείν P(, ) κεηαθηλεζεί θαηά. κνλάδεο από ην ζεκείν P (,) πξνο ηελ θαηεύζπλζε ηνπ ζεκείνπ P (4,). Θα πξέπεη λα βξνύκε ηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ζην νπνίν ζα κεηαθηλεζνύκε πνπ είλαη ην (4 ) ( ) PP j j, απηό γίλεηαη δηαηξώληαο κε ην κέηξν ηνπ. 7

18 PP u j PP Οη κεξηθέο παξάγσγνη ζην (,) f f(,) ( e ) (,) f (,) (,) f (,) ( e ) (,) j Η θιίζε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν (,) είλαη f f f j j (,) (,) (,) Η παξάγσγνο f ηεο ζην ζεκείν (,) ζηελ θαηεύζπλζε ηεο κεηαβνιήο είλαη 4 Du f f u ( j) ( j ) (,) (,) Η εθηίκεζε ηεο δεηνύκελεο κεηαβνιήο είλαη 4 df f u P ds..8 5 Παξάδεηγκα Δθηηκήζηε θαηά πόζν ζα κεηαβιεζεί ε ηηκή ηεο f (,, z) s z αλ ην ζεκείν P(,, z) κεηαθηλεζεί θαηά. κνλάδεο από ην ζεκείν P (,,) πξνο ηελ θαηεύζπλζε ηνπ ζεκείνπ P (,, ). Θα πξέπεη λα βξνύκε ηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ζην νπνίν ζα κεηαθηλεζνύκε πνπ είλαη ην PP ( ) ( ) j ( ) k j k, απηό γίλεηαη δηαηξώληαο κε ην κέηξν ηνπ. PP u j k PP Οη κεξηθέο παξάγσγνη ζην (,,) f f(,, ) ( cos ) (,,) f f z (,,) (,,) (,,) f (,,) (s z) f (,, ) ( ) (,,) (,,) jk Η θιίζε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν (,,) είλαη f f f f j k k (,,) z (,,) (,,) (,,) Η παξάγσγνο f ηεο ζην ζεκείν (,,) ζηελ θαηεύζπλζε ηεο κεηαβνιήο είλαη 4 Du f f u ( k) ( j k ) (,,) (,,) Η εθηίκεζε ηεο δεηνύκελεο κεηαβνιήο είλαη 8

19 df f u ds P Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Γξακκηθνπνίεζε θαη δηαθνξηθά Με ηελ γξακκηθνπνίεζε κίαο ζπλάξηεζεο ζε θάπνην ζεκείν βξίζθνπκε κία γξακκηθή ζπλάξηεζε ε νπνία κε θάπνην κηθξό ζθάικα ζπκπεξηθέξεηαη θνληά ζην ζεκείν όπσο ε ζπλάξηεζε, ηελ πξνζεγγίδεη δειαδή. Η γξακκηθνπνίεζε κίαο ζπλάξηεζεο f (, ) ζε ζεκείν (, ) όπνπ ε ζπλάξηεζε είλαη δηαθνξίζηκε ηζνύηαη κε ηε ζπλάξηεζε L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ). Η πξνζέγγηζε f (, ) L(, ) ιέγεηαη θαλνληθή γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο f (, ) ζην ζεκείν (, ). Αλ ε ζπλάξηεζε f (, ) έρεη ζπλερείο πξώηεο θαη δεύηεξεο παξάγσγνπο ζε έλα νξζνγώλην ρσξίν πνπ έρεη θέληξν ην (, ) θαη αλ M είλαη έλα άλσ θξάγκα ησλ ηηκώλ ησλ f, f, f πνπ νξίδνληαη ζην ρσξίν ηόηε ην ζθάικα πνπ πξνθύπηεη εάλ αληηθαηαζηήζνπκε ηελ ζπλάξηεζε κε ηελ θαλνληθή γξακκηθή πξνζέγγηζή ηεο ηθαλνπνηεί ηελ αληζόηεηα E(, ) M Έζησ όηη κεηαηνπηδόκαζηε από ην ζεκείν (, ) ζην γεηηνληθό ζεκείν (, ) ( d, d), ηόηε από ηνλ ηύπν ηεο γξακκηθνπνίεζεο έρνπκε: L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ) L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ) L(, ) f (, ) f (, )( d ) f (, )( d ) L(, ) f (, ) f (, ) d f (, ) d Σε κία ηέηνηα πεξίπησζε: Η κεηαβνιή ζηε γξακκηθνπνίεζε ηεο ζπλάξηεζεο θαιείηαη νιηθό δηαθνξηθό ηεο f θαη ζπκβνιίδεηαη κε df, δειαδή: df f (, ) d f (, ) d Τν νιηθό δηαθνξηθό ζε έλα ζεκείν απνηειεί (γξακκηθή) πξνζέγγηζε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο f f (, ) f (, ) θαη ηε ρξεζηκνπνηνύκε γηα λα εθηηκήζνπκε ηε κεηαβνιή απηή. Γειαδή ηζρύεη df f. Απόιπηε κεηαβνιή ρεηηθή κεηαβνιή Αθξηβήο ηηκή f f f (, ) Πξνζέγγηζε df df f (, ) 9

20 Πνζνζηηαία κεηαβνιή f f (, ) df f (, ) Παξάδεηγκα: Να βξεζεί ε γξακκηθνπνίεζε ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) 3 ζην ζεκείν (3,). Βξείηε έλα πάλσ θξάγκα ηνπ ζθάικαηνο πνπ πξνθύπηεη εάλ θάλνπκε ηελ πξνζέγγηζε ηεο ζπλάξηεζεο από ηελ γξακκηθνπνίεζε ζην νξζνγώλην ρσξίν R : 3.,. εθθξάζηε ην άλσ θξάγκα σο πνζνζηό ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο ζην θέληξν ηνπ ρσξίνπ (3,). f (3, ) f (, ) νπόηε f(3,) 4 f (, ) νπόηε f (3,) Οπόηε δεηνύκελε γξακκηθνπνίεζε είλαη L(, ) f (, ) f (, )( ) f (, )( ) 8 4( 3) ( )( ) L(, ) 4 Γηα ηελ εθηίκεζε ηνπ θξάγκαηνο έρνπκε όηη f (, ), f (, ), f (, ), νπόηε σο M παίξλνπκε ηελ κεγαιύηεξε θαηά απόιπηε ηηκή πνπ είλαη ην. Οπόηε ζην ρσξίν ην ζθάικα ζα ηθαλνπνηεί E(, ) M 3 3 (..).4 Ωο πνζνζηό ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο ζην (3,) ην ζθάικα είλαη κηθξόηεξν από.4.5% 8. Γειαδή εθόζνλ ην ζεκείν (, ) παξακείλεη ζην ρσξίν ε πξνζέγγηζε f (, ) L(, ) δελ ζα δηαθέξεη πεξηζζόηεξν από.4 δειαδή από.5% ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο ζην θέληξν ηνπ ρσξίνπ. Παξάδεηγκα: Έζησ όηη κία θνλζέξβα έρεη θαηαζθεπαζηεί ώζηε λα έρεη ύςνο.5cm θαη αθηίλαο.5cm. Από θαηαζθεπαζηηθό ιάζνο ε αθηίλα αιιά θαη ην ύςνο είλαη δηαθνξεηηθά θαηά dr.8 θαη dh.. Δθηηκήζηε ηελ απόιπηε, ζρεηηθή θαη πνζνζηηαία κεηαβνιή πνπ πξνθύπηεη ζηνλ όγθν ηεο θνλζέξβαο. Ο όγθνο ηεο θνλζέξβαο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ αθηίλα r θαη ην ύςνο h είλαη V( r, h) r h Η κεηαβνιή ηνπ όγθνπ πνπ πξνθαιείηαη από κηθξέο κεηαβνιέο dr θαη dh δίλεηαη από ην νιηθό δηαθνξηθό dv Vrdr Vhdh rhdr r dh γηα ηελ πεξίπησζή καο

21 dv.5.5(.8).5 (.) cm Η ζρεηηθή κεηαβνιή είλαη ίζε κε V dv (.5,.5) (.5).5 Καη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή dv % V (.5,.5) (.5).5 3 Παξάδεηγκα: Έζησ όηη κία εηαηξεία θαηαζθεπάδεη απνζεθεπηηθέο δεμακελέο κε ζρήκα νξζώλ θπθιηθώλ θπιίλδξσλ ύςνπο 5m θαη αθηίλαο 5m. Πόζε επαηζζεζία παξνπζηάδνπλ νη όγθνη ησλ δεμακελώλ ζε κηθξέο κεηαβνιέο ηνπ ύςνπο θαη ηεο αθηίλαο; Ο όγθνο κηαο δεμακελήο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ αθηίλα r θαη ην ύςνο h είλαη V( r, h) r h Η κεηαβνιή ηνπ όγθνπ πνπ πξνθαιείηαη από κηθξέο κεηαβνιέο dr θαη dh δίλεηαη από ην νιηθό δηαθνξηθό dv Vrdr Vhdh rhdr r dh γηα ηελ πεξίπησζή καο dv 5dr 5dh νπόηε ε κεηαβνιή ηνπ r θαηά κία κνλάδα κεηαβάιεη ηνλ όγθν θαηά 5π κνλάδεο ελώ ε κεηαβνιή ηνπ h θαηά κία κνλάδα κεηαβάιεη ηνλ όγθν θαηά 5π κνλάδεο. Οπόηε ν όγθνο είλαη πην επαίζζεηνο ζηηο κεηαβνιέο ηεο αθηίλαο από όηη ηηο κεηαβνιέο ζην ύςνο. Δάλ αιιάμνπκε ηηο δηαζηάζεηο θαη έρνπκε θπιίλδξνπο ύςνπο 5m θαη αθηίλαο 5m ηόηε dv 5dr 65dh ηόηε απηό αληηζηξέθεηαη. Παξαηήξεζε Αλάινγνη ηύπνη ηζρύνπλ θαη ζηηο ζπλαξηήζεηο κε πεξηζζόηεξεο από δύν κεηαβιεηέο L(,, z) f (,, z ) f (,, z )( ) f (,, z )( ) f (,, z )( z z ) z df f (,, z ) d f (,, z ) d f (,, z ) dz z Παξάδεηγκα: Να βξεζεί ε γξακκηθνπνίεζε ηεο ζπλάξηεζεο f (,, z) 3s( z) ζην ζεκείν (,,). f (,,) 4 3s f (,, ) z νπόηε f(,,) 3 f (,, ) z νπόηε f (,,) f (,, z) 3cos z νπόηε f (,,) 3 z Οπόηε δεηνύκελε γξακκηθνπνίεζε είλαη

22 L(,, z) f (,, z ) f (,, z )( ) f (,, z )( ) f (,, z )( z z ) z 3( ) ( )( ) 3( z ) L(,, z) 3 3z Παξάδεηγκα: Όηαλ ζε έλα νξηδόληην νξζνγώλην δνθάξη, ην νπνίν ζηεξίδεηαη ζηα δύν άθξα ηνπ, θαηαλείκνπκε νκνηόκνξθα έλα θνξηίν ζηαζεξνύ βάξνπο αλά κνλάδα κήθνπο ην κέγεζνο S ηεο θάκςεο ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν 4 p S C wh 3 w h S όπνπ p ην θνξηίν κεηξεκέλν ζε Ν αλά κνλάδα κήθνπο ην κήθνο ηνπ δνθαξηνύ ζε κέηξα w ην πιάηνο ηνπ δνθαξηνύ ζε κέηξα h ην ύςνο ηνπ δνθαξηνύ ζε κέηξα C ζηαζεξά πνπ εμαξηάηαη από ηηο κνλάδεο κέηξεζεο θαη ην πιηθό ηνπ δνθαξηνύ. 4 p Οπόηε ην S( p,, w, h) C είλαη κία ζπλάξηεζε 4 κεηαβιεηώλ. Τν νιηθό wh 3 ηεο δηαθνξηθό, ζην ζεκείν ( p,, w, h ) (δειαδή γηα κία ηεηξάδα ησλ κεηαβιεηώλ ηεο) ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν: S S S S ds dp d dw dh p w h ( p,, w, h ) ( p,, w, h ) ( p,, w, h ) ( p,, w, h ) S ( p,, w, h ) dp S ( p,, w, h ) d S ( p,, w, h ) dw S ( p,, w, h ) dh p w h Τν ds κεηξά ηε κεηαβνιή ηεο θάκςεο ηνπ δνθαξηνύ όηαλ κεηαβάινπκε ηηο κεηαβιεηέο ( p,, w, h ). Όκσο

23 4 3 S 4 p S, S C 4, wh 3 Sp C wh 3 p 4 p S, Sw C w h 3 w p 3S 4 Sh C wh 4 h 4 p ζέηνληαο S S( p,, w, h ) C έρνπκε wh 3 ds S ( p,, w, h ) dp S ( p,, w, h ) d S ( p,, w, h ) dw S ( p,, w, h ) dh p w h S( p,, w, h ) 4 S( p,, w, h ) S( p,, w, h ) 3 S( p,, w, h ) p w h dp d dw dh dp 4d dw 3dh ds S p w h Γηα έλα δνθάξη κήθνπο 4 m, πιάηνπο. m, ύςνπο. m ζην νπνίν αζθείηαη δύλακε Ν/m, δειαδή ( p,, w, h ) (,,.,.) ν ηύπνο απηόο γίλεηαη: dp ds S d dw 5dh Παξαηεξνύκε όηη, εθόζνλ νη ζπληειεζηέο ησλ dw, dh είλαη αξλεηηθνί όηαλ απμεζνύλ ην πιάηνο ή ην ύςνο ε θάκςε ζα ειαηησζεί θαη ην δνθάξη ζα γίλεη πην άθακπην, κηαο θαη ην ds (ε κεηαβνιή ηεο θάκςεο) κηθξαίλεη. Τν ds είλαη δε πην επαίζζεην ζηελ κεηαβνιή ηνπ dh κηαο θαη έρεη κεγαιύηεξν θαη απόιπηε ηηκή ζπληειεζηή. Τέινο, παξαηεξνύκε όηη κία κηθξή κεηαβνιή ζην θνξηίν dp δελ επεξεάδεη ηδηαίηεξα ην ds κηαο θαη ν ζπληειεζηήο ηνπο είλαη κηθξόο (/). Δάλ γείξνπκε ην δνθάξη ζην πιάη έρνπκε όηη ην πιάηνο είλαη. m θαη ην ύςνο. m. Σε κία ηέηνηα πεξίπησζε ( p,, w, h ) (,,.,.) θαη ν ηύπνο γίλεηαη dp ds S d 5dw 3dh Οπόηε παξαηεξνύκε όηη ην ds παξνπζηάζεη κεγαιύηεξε επαηζζεζία ζηηο κεηαβνιέο ηνπ dh. Παξάδεηγκα: Θεσξνύκε ην αθόινπζν θύθισκα ζην νπνίν δύν αληηζηάζεηο είλαη ζπλδεδεκέλεο παξάιιεια. R R 3

24 Η ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηελ νιηθή αληίζηαζε R ηνπ θπθιώκαηνο δίλεηαη από ηνλ ηύπν: R R R R R R( R, R) R R R R R R R νπόηε κπνξεί λα ζεσξεζεί σο ζπλάξηεζε δύν κεηαβιεηώλ ( R, R ). Η δηαθύκαλζε ηεο ηηκήο θαζεκίαο από ηηο δύν αληηζηάζεηο κεηαβάιεη ηε ηηκή ηεο νιηθήο αληίζηαζεο R ηνπ θπθιώκαηνο θαηά dr ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν ηνπ νιηθνύ δηαθνξηθνύ: R R dr dr dr R R Παξαηεξνύκε όηη RR R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R Αλάινγα έρνπκε όηη Οπόηε ηειηθά R R R R. R R dr dr dr R R Έζησ όηη R = Ohm θαη R =4 Ohm, εθόζνλ παξαπάλσ ηύπνο γίλεηαη: 4 R 8 4 Ohm, ν 8 8 dr dr dr.8 dr. dr.64dr.4dr 4 Δίλαη θαλεξό όηη ε κεηαβνιή ηεο R επεξεάδεη πεξηζζόηεξν ην dr εθόζνλ έρεη κεγαιύηεξν ζπληειεζηή ζηνλ ηύπν ηνπ νιηθνύ δηαθνξηθνύ. Παξάδεηγκα: Θεσξνύκε μαλά ην παξαπάλσ θύθισκα θαη κεηαβάιινπκε ηελ R από ζε. Ohm θαη ηελ R από 5 ζε 4.9 Ohm. Γειαδή, dr =. θαη dr =-., 5 5 R θαη ε κεηαβνιή ζηελ νιηθή αληίζηαζε είλαη R R dr dr dr. (.). Ohms R R 9 95 Η πνζνζηηαία κεηαβνιή είλαη..%. 9 4

25 Παξάδεηγκα: Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Δίλαη γλσζηό όηη ζε έλα θύθισκα ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο ζπλδέεηαη κε ηελ αληίζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο θαη ηελ ειεθηξηθή ηάζε ζύκθσλα κε ηνλ λόκν: V I R Με ηε ρξήζε ηνπ δηαθνξηθνύ κπνξνύκε λα δηεξεπλήζνπκε ηελ επαηζζεζία ηεο κεηαβνιήο ηνπ ξεύκαηνο ζηηο κεηαβνιέο ηεο ηάζεο θαη ηεο αληίζηαζεο. I V I Παξαηεξνύκε όηη θαη R R V R Οπόηε V di dv dr R R Σε έλα θύθισκα όπνπ R= Ohm θαη V=4 Volt ν ηύπνο απηόο γίλεηαη: 4 di dv dr.dv.4dr Δίλαη θαλεξό όηη γηα απηέο ηηο ηηκέο ε κεηαβνιή ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο είλαη πην επαίζζεηε ζηηο κεηαβνιέο ηεο ηάζεο (κηαο θαη έρεη κεγαιύηεξν ζπληειεζηή). Δάλ κεηαβάινπκε ηελ ηάζε από 4 Volt ζε 3 (dv=-) θαη ηελ αληίζηαζε από Ohm ζε 8 (dr=-) ηόηε di.dv.4dr. ( ) θαη ζπκπεξαίλνπκε όηη ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο απμάλεη θαηά.38 Ampere. Σύπνο Talor γηα ζπλαξηήζεηο κε δύν κεηαβιεηέο. Με ηελ γξακκηθνπνίεζε κίαο ζπλάξηεζεο ζε θάπνην ζεκείν βξήθακε κία γξακκηθή ζπλάξηεζε ε νπνία πξνζεγγίδεη θνληά ζην ζεκείν ηε ζπλάξηεζε. Με ηνλ ηύπν ηνπ Talor βξίζθνπκε πνιπσλπκηθέο πξνζεγγίζεηο ζε ζπλαξηήζεηο ζε θάπνηα πεξηνρή ελόο ζεκείνπ Έζησ όηη ε f (, ) θαη νη κεξηθέο ηεο παξάγσγνη κέρξη + ηάμεο είλαη ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ελόο αλνηθηνύ νξζνγώληνπ ρσξίνπ R κε θέληξν ην ζεκείν ( ab., ) Σηελ πεξίπησζε απηή, ζε θάζε ζεκείν ηνπ ρσξίνπ ζα ηζρύεη: f a h b k f a b hf kf h f hkf k f! (, ) (, ) ( ) ( ) ( ab, ) ( ab, ) h f h kf hk f k f h k f 3!! ( 3 3 )... ( ) ( ab, ) ( h k ) f ( )! ( ach, bck ) ( ab, ) Οη πξώηεο παξάγσγνη ππνινγίδνληαη ζην ζεκείν ( abθαη, ) ν ηειεπηαίνο όξνο ππνινγίδεηαη ζε θάπνην ζεκείν ( a ch, b ck) ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο πνπ ελώλεη ηα ( ab, ) θαη ( a h, b k). Η πξνζέγγηζε γίλεηαη εάλ απνθόςνπκε θάπνηνπο όξνπο: 5

26 f a h b k f a b hf kf h f hkf k f! (, ) (, ) ( ) ( ) ( ab, ) ( ab, ) h f h kf hk f k f h k f 3!! ( 3 3 )... ( ) ( ab, ) ( ab, ) Δάλ ( ab, ) (,) νη ηύπνη γίλνληαη f (, ) f ( a, b) ( a) f ( a, b) ( b) f ( a, b) ( ) (, ) ( )( ) (, ) ( ) a f a b a b f a b b f ( a, b ))! f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f (, ) 3 f (, ) 3 f (, ) f (, )... 3! + ( ) f! (,) ( ) ( )! f ( c, c) Καη f f f f f! f f (, ) (,) ( (,) (,)) (,) (,) (,) f f f f f 3!! (,) 3 (,) 3 (,) (,)... ( ) Σηνπο παξαπάλσ ηύπνπο αληηθαηαζηήζακε h, k θαη γεληθά ρξεζηκνπνηήζακε ηνλ ζπκβνιηζκό. f ( h k ) f h k ( ab, ) ( ab, ) f f f f h h k h k k ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b)!,!,!,!, 3! 6,! k ( k)! k! Παξάδεηγκα: Βξείηε κία δεπηεξνβάζκηα πξνζέγγηζε ηεο f (, ) s s θνληά ζηελ αξρή. Πόζν αθξηβήο είλαη ε πξνζέγγηζε εάλ.θαη. Από ηνπο παξαπάλσ ηύπνπο γηα = έρνπκε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f ( c, ) 3 f ( c, ) 3 f ( c, ) f ( c, ) 3! Οπόηε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! (,) 6

27 3! είλαη ην ζθάικα. Δρνπκε f (,) s s, f (,) s s, Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Καη E(, ) 3 f (, ) 3 (, ) 3 (, ) 3 c f c f c f ( c, ) (,) (,) f (,) cos s, f (,) cos cos, (,) (,) f (,) s cos, f (,) s s, (,) (,) Οπόηε s s ( ()) s s Δπεηδή νη ηξίηεο παξάγσγνη είλαη γηλόκελα εκηηόλσλ θαη ζπλεκηηόλσλ νπόηε θαη θαηά απόιπηε ηηκή δελ μεπεξλνύλ ην θαη επεηδή.θαη. γηα ην ζθάικα κπνξνύκε λα γξάςνπκε 3 3 E(, ) ((.) 3(.) (.) 3(.)(.) (.) ) E(, ) (.).34 6 Αθξόηαηα θαη ζαγκαηηθά ζεκεία. Σνπηθά κέγηζηα Σνπηθό ειάρηζην 3 Έζησ f (, ) νξηζκέλε ζε πεξηνρή R πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν ( ab., ) Τόηε ην ( abαπνηειεί, ) ζεκείν ηνπηθνύ κεγίζηνπ ηεο f (, ) κε ηηκή f ( a, b) εάλ f ( a, b) f (, ) γηα όια ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο 7

28 ζπλάξηεζεο πνπ αλήθνπλ ζε έλα αλνηθηό θπθιηθό δίζθν κε θέληξν ην ( ab., ) Τόηε ην ( abαπνηειεί, ) ζεκείν ηνπηθνύ ειαρίζηνπ ηεο f (, ) κε ηηκή f ( a, b) εάλ f (, ) f ( a, b) γηα όια ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο πνπ αλήθνπλ ζε έλα αλνηθηό θπθιηθό δίζθν κε θέληξν ην ( ab., ) Τα ηνπηθά αθξόηαηα (κέγηζηα ή ειάρηζηα) ηεο f (, ) κπνξνύλ κόλν λα πξνθύςνπλ ζε Ι. πλνξηαθά ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ΙΙ. Κξίζηκα ζεκεία (εζσηεξηθά ζεκεία όπνπ f f ή ζεκεία όπνπ είηε ε f είηε ε f δελ ππάξρεη. Μία δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε f (, ) έρεη έλα ζαγκαηηθό ζεκείν ζε έλα θξίζηκν ζεκείν ( ab,, ) αλ ζε θάζε αλνηθηό θπθιηθό δίζθν κε θέληξν ην ( ab, ) ππάξρνπλ ζεκεία (, ) ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο όπνπ f (, ) f ( a, b) θαη ζεκεία (, ) ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο όπνπ f (, ) f ( a, b). αγκαηηθά ζεκεία Αλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο θαη δεπηέξαο ηάμεο ηεο f (, ) είλαη παληνύ ζπλερήο ζε έλα θπθιηθό δίζθν κε θέληξν ην ζεκείν ( abθαη, ) f ( a, b) f ( a, b) ηόηε ίζσο κπνξνύκε λα απνθαλζνύκε γηα ην αλ ε ηηκή f ( a, b) αληηζηνηρεί ζε αθξόηαην, βάζεη ηνπ θξηηεξίνπ ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ: f f f θαη f ζην ( abηόηε, ) έρνπκε ηνπηθό κέγηζην f f f θαη f ζην ( abηόηε, ) έρνπκε ηνπηθό ειάρηζην f f f ζην ( abηόηε, ) έρνπκε ζαγκαηηθό ζεκείν f f f ζην ( abηόηε, ) δελ κπνξνύκε λα απνθαλζνύκε Ο ηύπνο ηεο νξίδνπζαο: f f f θαιείηαη δηαθξίλνπζα ή Δζζηαλή ηεο f, θαη είλαη ε ηηκή f f f f f f f 8

29 Παξάδεηγκα: Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) 4 Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Η ζπλάξηεζε νξίδεηαη παληνύ θαη είλαη δηαθνξίζηκε ζε θάζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ην νπνίν δελ έρεη ζπλνξηαθά ζεκεία νπόηε πηζαλά αθξόηαηα είλαη ηα ζεκεία όπνπ f f ζπγρξόλσο. f θαη f από όπνπ έρνπκε Τν ζεκείν (-,-) είλαη ην κνλαδηθό πηζαλό αθξόηαην. f, f, f Η ηηκή ηεο Δζηαλήο ζην ζεκείν εκπίπηνπκε ζηελ πεξίπησζε όπνπ f f f ( )( ) 3 νπόηε f f f θαη f ζην ( abηόηε, ) έρνπκε ηνπηθό κέγηζην ζην (-,) κε ηηκή f (, ) 8 Παξάδεηγκα: Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) Η ζπλάξηεζε νξίδεηαη παληνύ θαη είλαη δηαθνξίζηκε ζε θάζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ην νπνίν δελ έρεη ζπλνξηαθά ζεκεία νπόηε πηζαλά αθξόηαηα είλαη ηα ζεκεία όπνπ f f ζπγρξόλσο. f θαη f από όπνπ έρνπκε Τν ζεκείν (,) είλαη ην κνλαδηθό πηζαλό αθξόηαην. f, f, f Η ηηκή ηεο Δζηαλήο ζην ζεκείν ζηελ πεξίπησζε όπνπ αμόλσλ. f f f ()() νπόηε εκπίπηνπκε έρνπκε έλα ζαγκαηηθό ζεκείν ζηελ αξρή ησλ Γηα λα βξνύκε ην νιηθό κέγηζην (ή νιηθό ειάρηζην) κίαο ζπλάξηεζεο ζε έλα θιεηζηό θαη θξαγκέλν ρσξίν θαηαγξάθνπκε ηα εζσηεξηθά ζεκεία ζηα νπνία ελδέρεηαη λα ππάξρεη ειάρηζην, δειαδή ηα θξίζηκα ζεκεία, θαη ηα ζπλνξηαθά ζεκεία ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε έρεη ηνπηθά κέγηζηα ή ειάρηζηα. Από ηα ζεκεία πνπ θαηαγξάςακε επηιέγνπκε ηα ζεκεία ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε έρεη ηελ κεγαιύηεξε (ή ηελ κηθξόηεξε αληίζηνηρα) ηηκή. Παξάδεηγκα: Να βξεζνύλ ηα νιηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) ζην ηξηγσληθό ρσξίν ηνπ πξώηνπ ηεηαξηεκόξηνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο επζείεο,, 9. 9

30 B(,9) 9 O(,) A(9,) Δζσηεξηθά ζεκεία Η ζπλάξηεζε είλαη δηαθνξίζηκε ζε θάζε ζεκείν ηνπ εζσηεξηθνύ ηνπ ηξηγσληθνύ ρσξίνπ νπόηε πηζαλά αθξόηαηα είλαη ηα ζεκεία όπνπ f f ζπγρξόλσο. f (, ) (,) όπνπ f (,) 4 f Γηα λα ραξαθηεξίζνπκε ην ζεκείν βξίζθνπκε f, f, f νπόηε ε ηηκή ηεο Δζηαλήο ζην ζεκείν εκπίπηνπκε ζηελ πεξίπησζε όπνπ ηνπηθό κέγηζην ζην (,) κε ηηκή f (,) 4. f f f ( )( ) 4 θαη f f f θαη f νπόηε έρνπκε πλνξηαθά ζεκεία. Σην ΟΑ όπνπ ε ζπλάξηεζε έρεη ηύπν f (,). Οπόηε είλαη ζαλ λα κειεηάκε ηα αθξόηαηα κίαο ζπλάξηεζεο κίαο κεηαβιεηήο g( ) νξηζκέλε ζην 9.Σηα ζπλνξηαθά ζεκεία έρσ g() θαη g(9) θαη ζηα εζσηεξηθά έρσ θξίζηκα ζεκεία εθεί όπνπ g '( ), g ''( ) όπνπ g() 3. Οπόηε από ηα παξαπάλσ έρσ ηνπηθά αθξόηαηα ζηα ζεκεία f (,), f (9,) 6, f (,) 3.. Σην ΟΒ όπνπ ε ζπλάξηεζε έρεη ηύπν f (, ). Από ηε ζπκκεηξία ηνπ ηύπνπ απηνύ ζε ζρέζε κε απηόλ ηεο πεξίπησζεο (είηε θάλνληαο αλάινγε δηαδηθαζία) βιέπσ όηη έρσ ηνπηθά αθξόηαηα ζηα ζεκεία f (,), f (,9) 6, f (,) 3 3. Μέλεη κόλν λα εμεηάζνπκε ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ. Γηα 9 ε ζπλάξηεζε έρεη ηύπν f (,9 ) (9 ) (9 ) 68 9 Θέηνληαο f '(,9 ) 8 4 νπόηε αθνύ f ''(,9 ) 4 ην ζεκείν απηό είλαη ηνπηθό κέγηζην Γηα ηελ ηηκή απηή έρνπκε 9 θαη f (, ) 3

31 Από ηα παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη ε ειάρηζηε ηηκή είλαη -6 ζηα ζεκεία (9,) θαη (,9) θαη ε κέγηζηε 4 ζην ζεκείν (,). Δθαξκνγή: Μέζνδνο Διαρίζησλ Σεηξάγσλσλ Έζησ όηη έρνπκε έλα πίλαθα ηηκώλ κία ζπλάξηεζεο κίαο κεηαβιεηήο. Γηα παξάδεηγκα έρνπκε ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα.5 /.3 3 / θαη ζέινπκε λα βξνύκε έλαλ πξνζεγγηζηηθό ηύπν πνπ λα καο δίλεη ηελ ηηκή κηαο ζπλάξηεζεο ζε ελδηάκεζα ζεκεία. Η κέζνδνη πνπ γλσξίζακε (γξακκηθνπνίεζε, Talor) όηαλ εθαξκόδνληαη καο δίλνπλ ηύπνπο πνπ ηζρύνπλ ζηελ πεξηνρή θάπνηνπ ζεκείνπ θαη όρη ζε όια ηα ελδηάκεζα ζεκεία. Μπνξνύκε λα βξνύκε δηάθνξεο θακπύιεο νη νπνίεο λα πεξλάλε από ηα ζεκεία απηά. Σην γξάθεκα πνπ αθνινπζεί ζρεδηάζακε ηα ζεκεία θαη ην πνιπώλπκν p() πνπ πεξλά από απηά ηα ζεκεία Παξαηεξώληαο όκσο ην ζρήκα, δηαπηζηώλνπκε όηη κηα επζεία γξακκή π.ρ. ε 5. "ηαηξηάδεη" θαιύηεξα ζηα δεδνκέλα ηνπ πίλαθα από ην ζπγθεθξηκέλν πνιπώλπκν έζησ θαη αλ δελ πεξλάεη από ηα ζεκεία. Μηα θαιή αληηκεηώπηζε απηνύ ηνπ είδνπο πξνβιεκάησλ ζα ήηαλ λα βξνύκε ηε "βέλτιστη" επζεία ε νπνία ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί ζαλ κηα πξνζεγγηζηηθή ζπλάξηεζε ζε νπνηνδήπνηε ελδηάκεζν ζεκείν, αθόκα θαη όηαλ απηή δελ ζπκθσλεί αθξηβώο κε ηα δεδνκέλα. Η κέζνδνο ησλ Ελαχίστων Τετραγώνων (least squares) ππνινγίδεη ηε βέιηηζηε πξνζεγγηζηηθή επζεία όηαλ ην ζθάικα πξνζέγγηζεο είλαη ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δηαθνξώλ κεηαμύ ησλ ηηκώλ ηεο επζείαο απηήο θαη ησλ αληίζηνηρσλ πεηξακαηηθώλ δεδνκέλσλ (data). 3

32 a b ( a b) a b Τν γεληθό πξόβιεκα πξνζαξκνγήο ηεο βέιηηζηεο επζείαο a b ζε έλα ζύλνιν δεδνκέλσλ, =,,.., κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ, ζπλεπάγεηαη ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηεο παξάζηαζεο E( a, b) ( a b) ε νπνία κπνξεί λα ζεσξεζεί σο κία ζπλάξηεζε δύν κεηαβιεηώλ, ησλ a,b. Όπσο είδακε, ην πξόβιεκα εύξεζεο ηνπ ειαρίζηνπ ηεο παξαπάλσ ζπλάξηεζεο καο νδεγεί ζηηο αθόινπζεο αλαγθαίεο ζπλζήθεο ή ηζνδύλακα E( a, b) a a E( a, b) b b ( a ( a b) b) ( a b)( ) ( a b ) a b ( a b)( ) ( a b) a b a b Τν πξόβιεκα κάο είλαη λα ιύζνπκε ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο ν νπνίεο νλνκάδνληαη θαλνληθέο εμηζώζεηο a b a b Δάλ ιύζνπκε ην ζύζηεκα ησλ θαλνληθώλ εμηζώζεσλ, απηό σο πξνο a θαη b έρνπκε ε ιύζε 3

33 b a ( ) ( ) Σπλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ. Γηα ηα δεδνκέλα ηνπ παξαπάλσ πίλαθα ην πξόβιεκά καο είλαη ηζνδύλακν κε ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηεο πνζόηεηαο 4 E( a, b) ( a b) Σύκθσλα κε ηα παξαπάλσ =4,,.5, 4.3,.9975 νπόηε νδεγνύκαζηε ζην ζύζηεκα ησλ θαλνληθώλ εμηζώζεσλ.5 a + b =.9975 a + 4 b = 4.3 Η ιύζε ηνπ γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη: a =.4975, b =.75. Οπόηε ε βέιηηζηε επζεία ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ γηα ηα δεδνκέλα ηνπ πίλαθα είλαη ε () = Παξάδεηγκα: Έζησ όηη δίλνληαη ηα δεδνκέλα ηνπ αθόινπζνπ πίλαθα, θαη καο ελδηαθέξεη ε βέιηηζηε επζεία πνπ δηέξρεηαη αλάκεζά ηνπο. Σύκθσλα κε ηα παξαπάλσ =7, , 4, 39.9, 99.4 νπόηε νδεγνύκαζηε ζην ζύζηεκα ησλ θαλνληθώλ εμηζώζεσλ 4 a + 8 b = a + 7 b =39.9 Πνιιαπιαζηάδνληαο ηελ δεύηεξε εμίζσζε κε 5 θαη αθαηξώληαο, ηελ πξώηε εμίζσζε από ηε δεύηεξε έρνπκε 7b=.. Δπίζεο πνιιαπιαζηάδνληαο ηελ 33

34 δεύηεξε εμίζσζε κε 4 θαη αθαηξώληαο, από ηελ πξώηε εμίζσζε ηε δεύηεξε έρνπκε 8a=39.8. Οπόηε, ε ιύζε ηνπ γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη: a = 398/8, b =/7. Οπόηε ε βέιηηζηε επζεία ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ γηα ηα δεδνκέλα ηνπ πίλαθα είλαη ε θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ιύζεο () = 398/8 +/ Αθξόηαηα κε ζπλζήθεο (Πνιιαπιαζηαζηέο Lagrage). Έζησ όηη δεηάκε λα ππνινγίζνπκε ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) δεδνκέλνπ όηη ηζρύεη ε ζπλζήθε (, ). Οξίδνπκε ηόηε, κία λέα ζπλάξηεζε F(, ) f (, ) (, ) όπνπ ην νλνκάδεηαη πνιιαπιαζηαζηήο Lagrage. Τα θξίζηκα ζεκεία (πηζαλά αθξόηαηα) ηα βξίζθνπκε ιύλνληαο ην αθόινπζν ζύζηεκα: F(, ) f (, ) (, ) F(, ) f (, ) (, ) F(, ) (, ) Παξάδεηγκα: Η ζεξκνθξαζία ζε θάζε ζεκείν κίαο κεηαιιηθήο πιάθαο δίλεηαη από ηε ζπλάξηεζε T(, ) 4 4, όπνπ (, ) νη ζπληεηαγκέλεο ζεκείνπ ηεο πιάθαο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Έλα κεξκήγθη θηλείηαη πάλσ ζηελ πιάθα πάλσ ζηελ πεξηθέξεηα θύθινπ κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη αθηίλα 5. Πνηα είλαη ε ειάρηζηε θαη πνηα ε κέγηζηε ζεξκνθξαζία πνπ ζα «ζπλαληήζεη» ζηελ πνξεία ηνπ ην κεξκήγθη. : Έρνπκε ζηελ νπζία έλα πξόβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο ηεο ζπλάξηεζεο T(, ) 4 4 όηαλ ηζρύεη ε ζπλζήθε 5 5. Θεσξώ ηε ζπλάξηεζε F(, ) Έρσ νπόηε λα ιύζσ ην ζύζηεκα:. 34

35 F(, ) 8 4 F(, ) 4 F(, ) Από όπνπ έρσ ( ) ( ) Από όπνπ έρνπκε ή, ε νπνία δελ ηθαλνπνηεί ηελ ηξίηε εμίζσζε ή 4 ( ) ή 5 Γηα έρσ θαη από ηελ νπόηε θαη 5. Γηα 5 έρσ θαη από ηελ νπόηε θαη 5. Οπόηε θξίζηκα ζεκεία είλαη ηα ζεκεία: 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 από όπνπ έρνπκε T T T T 5, 5, 5, 5, 5, 5 5, 5, 5 5 Οπόηε ε ειάρηζηε ζεξκνθξαζία είλαη βαζκνί θαη ε κέγηζηε 5. Λπκέλεο αζθήζεηο: f f f. Η ηξηζδηάζηαηε εμίζσζε Laplace ηθαλνπνηείηαη από z ρξνλναλεμάξηεηεο ζεξκνθξαζηαθέο θαηαλνκέο, βαξπηηθά θαη ειεθηξνζηαηηθά δπλακηθά. Γείμηε όηη ε ζπλάξηεζε f (,, z) z ηελ ηθαλνπνηεί. Δύθνια βιέπνπκε όηη Οπόηε f f f 4 z f f f f f f,,,, 4 z, 4 z z f f. Η δηζδηάζηαηε εμίζσζε Laplace ηθαλνπνηείηαη από ρξνλναλεμάξηεηεο ζεξκνθξαζηαθέο θαηαλνκέο πάλσ ζε κία ιεπηή πιάθα. Γείμηε όηη ε ζπλάξηεζε f (, ) e cos ηελ ηθαλνπνηεί. 35

36 Δύθνια βιέπνπκε όηη f f f f e s, 4e cos, e cos, 4e cos Οπόηε 36 f f 4e cos 4e cos w w 3. Η κνλνδηάζηαηε θπκαηηθή εμίζσζε c πεξηγξάθεη θπκαηηθέο t κνξθέο (π.ρ. παιιόκελεο ρνξδέο, θπκαηηθά θαηλόκελα ζε πγξό κέζν, πεξηνδηθήο κνξθήο ζήκαηα). Τν w είλαη ην ύςνο ηνπ θύκαηνο, ε ρσξηθή κεηαβιεηή, t ε ρξνληθή κεηαβιεηή θαη c ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Απνδείμηε όηη ε w(, t) s( ct) cos( ct) ηελ ηθαλνπνηεί. w Δύθνια βιέπνπκε όηη cos( ct) s( ct) θαη w s( ct) 4cos( ct). w Δπίζεο c cos( ct ) c s( ct ) θαη t w c s( ct) 4c cos( ct). t Οπόηε w w c c s( ct) 4c cos( ct) c ( s( ct) 4cos( ct)) t w w 4. Η κνλνδηάζηαηε θπκαηηθή εμίζσζε c πεξηγξάθεη θπκαηηθέο t κνξθέο (π.ρ. παιιόκελεο ρνξδέο, θπκαηηθά θαηλόκελα ζε πγξό κέζν, πεξηνδηθήο κνξθήο ζήκαηα). Τν w είλαη ην ύςνο ηνπ θύκαηνο, ε ρσξηθή κεηαβιεηή, t ε ρξνληθή κεηαβιεηή θαη c ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. ct Απνδείμηε όηη ε w(, t) 5cos(3 3 ct) e ηελ ηθαλνπνηεί. w Δύθνια βιέπνπκε όηη ct 5s(3 3 ct) e θαη w ct 45cos(3 3 ct) e. w ct w Δπίζεο 5c s(3 3 ct) ct ce θαη 45c cos(3 3 ct) c e. t t w w ct ct Οπόηε c 45c cos(3 3 ct) c e c ( 45cos(3 3 ct) e ) t 5. Αλ g( s, t) f ( s t, t s ) θαη ε f παξαγσγίζηκε δείμηε όηη ε g ηθαλνπνηεί g g ηελ t s. s t

37 Αλ ζέζνπκε s t t s, ηόηε ε ζπλάξηεζε είλαη ζύλζεηε ζπλάξηεζε. Από ηνλ θαλόλα ηεο αιπζίδαο έρνπκε g f f f f s ( s) s s s g f f f f t ( t) t t t Αληηθαζηζηώληαο έρνπκε g s t g f f s t t s (, ) (, ) (, ) (, ) g g f f f f t s st st st st. s t 6. Η ζεξκνθξαζία ζε θάζε ζεκείν κίαο κεηαιιηθήο πιάθαο δίλεηαη από ηε ζπλάξηεζε T(, ), όπνπ (, ) νη ζπληεηαγκέλεο ζεκείνπ ηεο πιάθαο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Όηαλ βξηζθόκαζηε ζην ζεκείν P(,) πξνο πνηα θαηεύζπλζε απμάλεηαη ηαρύηεξα ε ζεξκνθξαζία, πξνο πνηα θαηεύζπλζε ειαηηώλεηαη ηαρύηεξα ε ζεξκνθξαζία θαη πξνο πνηα θαηεύζπλζε παξακέλεη ακεηάβιεηε; Γλσξίδνπκε όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε αύμεζε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο T. Σην ζεκείν (-,) ε θιίζε είλαη T T T j ( ) ( ) j j (,) (,) (,) (,) j j Η θαηεύζπλζε (θνξά) ηεο θιίζεο είλαη u j j Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε κείσζε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο T θαη ε θνξά ηεο κείσζεο είλαη u j. Οη θαηεπζύλζεηο πνπ έρνπκε κεδεληθή κεηαβνιή ζην (-,) είλαη απηέο πνπ είλαη νξζνγώληεο ζην u δειαδή ηζρύεη, είλαη νη θαηεπζύλζεηο η j θαη η j. 7. Η ζεξκνθξαζία ζε θάζε ζεκείν κίαο κεηαιιηθήο πιάθαο δίλεηαη από ηε ζπλάξηεζε T(, ) e s, όπνπ (, ) νη ζπληεηαγκέλεο ζεκείνπ ηεο πιάθαο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Όηαλ βξηζθόκαζηε ζην ζεκείν P(, ) πξνο πνηα θαηεύζπλζε απμάλεηαη ηαρύηεξα ε ζεξκνθξαζία, πξνο πνηα θαηεύζπλζε ειαηηώλεηαη ηαρύηεξα ε ζεξκνθξαζία θαη πξνο πνηα θαηεύζπλζε παξακέλεη ακεηάβιεηε; 37

38 Γλσξίδνπκε όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε αύμεζε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο T. Σην ζεκείν (,) ε θιίζε είλαη T T T j (,) ( e s ) ( e s e cos ) j j (,) (,) (,) j j Η θαηεύζπλζε (θνξά) ηεο θιίζεο είλαη u j j 4 Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηε κέγηζηε κείσζε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο T θαη ε θνξά ηεο κείσζεο είλαη u j. ΟΙ θαηεπζύλζεηο πνπ έρνπκε κεδεληθή κεηαβνιή ζην (,) είλαη απηέο πνπ j j νπόηε είλαη είλαη νξζνγώληεο ζην u δειαδή ηζρύεη, νη θαηεπζύλζεηο η j θαη η j. 8. Η ζεξκνθξαζία ζε θάζε ζεκείν κίαο κεηαιιηθήο πιάθαο δίλεηαη από ηε T(, ) e e, όπνπ (, ) νη ζπληεηαγκέλεο ζεκείνπ ηεο ζπλάξηεζε πιάθαο σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Με ηε ρξήζε ηεο ηηκήο ηνπ δηαθνξηθνύ ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν P(,l ) γηα d.θαη d. πξνζεγγίζηε ηελ ηηκή ηε ζεξκνθξαζίαο ζην ζεκείν P(.,l.). Ιζρύεη, 5 T e e T e e, νπόηε T e θαη l T (, l ) e 3 l e Άξα ην δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο dt T (,l ) (,l ) (,l) d T d l (, l ) e.5 l Αλ κεηαηνπηζηνύκε από ην ζεκείν (, ) ζην γεηηνληθό ζεκείν ( d, d), ε πξνθύπηνπζα κεηαβνιή dt T(, ) d T(, ) d ζηε γξακκηθνπνίεζε ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο T. Οπόηε T(.,l.) T(,l ) dt, δειαδή T e (,l) l (., l.) e l 9. Ο όγθνο ηεο θπιηλδξηθήο θνλζέξβαο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ αθηίλα r θαη ην ύςνο h είλαη V( r, h) r h. Έζησ όηη κία θνλζέξβα έρεη θαηαζθεπαζηεί ώζηε λα έρεη ύςνο cm θαη αθηίλα 5 cm. Από θαηαζθεπαζηηθό ιάζνο ηεο κεραλήο παξαγσγήο ηεο θνλζέξβαο ε αθηίλα αιιά θαη ην ύςνο είλαη δηαθνξεηηθά θαηά dr.θαη dh.. Με ηε ρξήζε ηνπ δηαθνξηθνύ ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ όγθνπ, εθηηκήζηε ηελ πξνθύπηνπζα κεηαβνιή ηνπ όγθνπ ηεο θνλζέξβαο.. 38

39 Η κεηαβνιή ηνπ όγθνπ πνπ πξνθαιείηαη από κηθξέο κεηαβνιέο dr θαη dh δίλεηαη από ην νιηθό δηαθνξηθό dv Vrdr Vhdh rhdr r dh γηα ηελ πεξίπησζή καο 3 dv 5(.) 5 (.) cm. Χξεζηκνπνηήζηε ην νιηθό δηαθνξηθό γηα λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή 3 7. Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε 3 3 f (, ) Από απηήλ εύθνια 3 βξίζθνπκε ην f (5,) Απηό πνπ ρξεηαδόκαζηε είλαη κία εθηίκεζε ηεο αύμεζεο ηεο f ζην (, ) Από ην 5 ζην 7 δειαδή d θαη από ην ζην δειαδή d Οπόηε df fd f d d d d d 3 3 Αληηθαζηζηνύκε θαη έρνπκε ην δεηνύκελν df Βξείηε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ (,,-) από ην επίπεδν z 4. Η ζπλάξηεζε απόζηαζεο ελόο ζεκείνπ από ην (,,-) είλαη d z ( ) ( ). Όκσο 4 d z νπόηε ε ζπλάξηεζε γίλεηαη ( ) (6 ). Γηα ιόγνπο επθνιίαο επηιέγνπκε λα ειαρηζηνπνηήζνπκε ηελ f (, ) ( ) (6 ). Πηζαλά αθξόηαηα είλαη ηα ζεκεία όπνπ f f ζπγρξόλσο. f ( ) ( )(6 ) (, ) (, ) f 4(6 ) δηόηη από ηελ πξώηε 4 44 θαη αληηθαζηζηώληαο ζηε δεύηεξε έρνπκε 5 6 θαη από ηελ πξώηε πάιη. 3 6 Γηα λα ραξαθηεξίζνπκε ην ζεκείν βξίζθνπκε f 4, f, f 4 νπόηε ε ηηκή ηεο Δζηαλήο ζην ζεκείν εκπίπηνπκε ζηελ πεξίπησζε όπνπ f θαη 5 ηνπηθό ειάρηζην ζην (, ) (, ). 6 3 Η ηηκή ηεο απόζηαζεο είλαη f f f (4)() 4 4 θαη f f f πνπ έρνπκε d

40 . Να βξεζνύλ ηα νιηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο 5 f (, ) ζην ηξηγσληθό ρσξίν ηνπ πξώηνπ ηεηαξηεκόξηνπ πνπ πεξηθιείεηαη ζην ηξίγσλν κε θνξπθέο Ο(,), Α(-,), Β(,). B(,) O(,) A(,) Τν ρσξίν θαλεξά θαζνξίδεηαη από ηηο επζείεο, θαη ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηα A(, ) A(,), B(, ) B(,). Γηα απηήλ ηζρύεη 4 Δζσηεξηθά ζεκεία Η ζπλάξηεζε είλαη δηαθνξίζηκε ζε θάζε ζεκείν ηνπ εζσηεξηθνύ ηνπ ηξηγσληθνύ ρσξίνπ νπόηε πηζαλά αθξόηαηα είλαη ηα ζεκεία όπνπ f f ζπγρξόλσο. f (, ) (, ) όπνπ f Γηα λα ραξαθηεξίζνπκε ην ζεκείν βξίζθνπκε f, f 5, f νπόηε ε ηηκή ηεο Δζηαλήο ζην ζεκείν εκπίπηνπκε ζηελ πεξίπησζε όπνπ ηνπηθό ειάρηζην ζην (, ) (, ) κε ηηκή 3 3 f (, ) f f f ()(5) 6 θαη f f f θαη f, νπόηε έρνπκε f (, ) πλνξηαθά ζεκεία. Σην ΟΑ όπνπ ε ζπλάξηεζε έρεη ηύπν f (,) ζην. Οπόηε είλαη ζαλ λα κειεηάκε ηα αθξόηαηα κίαο ζπλάξηεζεο κίαο κεηαβιεηήο g( ) νξηζκέλε ζην.σηα ζπλνξηαθά ζεκεία έρσ g( ) θαη g() θαη ζηα εζσηεξηθά έρσ θξίζηκα ζεκεία εθεί όπνπ g '( ), g ''( ) όπνπ g(). Οπόηε από ηα παξαπάλσ έρσ ηνπηθά αθξόηαηα ζηα ζεκεία f(,), f(,). 5. Σην ΟΒ όπνπ ε ζπλάξηεζε έρεη ηύπν f (, ) ζην. Οπόηε είλαη ζαλ λα κειεηάκε ηα αθξόηαηα κίαο ζπλάξηεζεο

41 5 κίαο κεηαβιεηήο g( ) νξηζκέλε ζην. Σηα ζπλνξηαθά 3 ζεκεία έρσ g() θαη g() θαη ζηα εζσηεξηθά έρσ θξίζηκα ζεκεία εθεί όπνπ g '( ) 5, g ''( ) 5 όπνπ g( ). 5 5 Οπόηε από ηα παξαπάλσ έρσ ηνπηθά αθξόηαηα ζηα ζεκεία 3 f(,), f(, ) Μέλεη κόλν λα εμεηάζνπκε ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ. Γηα ε ζπλάξηεζε έρεη ηύπν 5 3 f (, ) 6 h( ) 6 Θέηνληαο h'( ) 6 νπόηε αθνύ h''(,) ηνπηθό ειάρηζην Γηα ηελ ηηκή απηή έρνπκε θαη f (, ). Από ηα παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη ε ειάρηζηε ηηκή είλαη -/ ζη ζεκεία (,/5) θαη ε κέγηζηε ζην ζεκείν (,). 3. Χξεζηκνπνηείζηε ην αλάπηπγκα Talor γηα λα βξείηε κία ηεηξαγσληθή (δειαδή δεπηέξνπ βαζκνύ) πξνζέγγηζε ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) e ζηελ πεξηνρή ηνπ ζεκείνπ (,). Από ηνλ ηύπν ηνπ Talor γηα = θαη (, ) έρνπκε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f ( c, ) 3 f ( c, ) 3 f ( c, ) f ( c, ) 3! Οπόηε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! E(, ) 3 f (, ) 3 (, ) 3 (, ) 3 c f c f c f ( c, ) 3! είλαη ην ζθάικα. Έρνπκε ινηπόλ f (,) e, f (,), Καη (,) (,) f (,) e, f (,) e, (,) (,) f (,) e, f (,) e, (,) (,) Οπόηε ζηελ πεξηνρή ηνπ (,). e ( ) ( ()) 4

42 4. Χξεζηκνπνηείζηε ην αλάπηπγκα Talor γηα λα βξείηε κία ηεηξαγσληθή (δειαδή δεπηέξνπ βαζκνύ) πξνζέγγηζε ηεο ζπλάξηεζεο f (, ) e cos ζηελ πεξηνρή ηνπ ζεκείνπ (,) γηα λα πξνζεγγίζεηε ηε ζπλάξηεζε ζην ζεκείν (.,.). Από ηνλ ηύπν ηνπ Talor γηα = θαη (, ) έρνπκε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! f ( c, ) 3 f ( c, ) 3 f ( c, ) f ( c, ) 3! Οπόηε f (, ) f (,) ( f (,) f (,)) f (,) f (,) f (,)! E(, ) 3 f (, ) 3 (, ) 3 (, ) 3 c f c f c f ( c, ) 3! είλαη ην ζθάικα. Έρνπκε ινηπόλ f (,) e cos, f (,) e cos, Καη (,) (,) f (,) e cos, f (,) e s, (,) (,) f (,) e s, f (,) e cos, (,) (,) Οπόηε e cos ( ) ( ( )) ( ) ζηελ πεξηνρή ηνπ (,) θαη ηειηθά f (.,.). (.. ).. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Τν παξόλ πιηθό δελ απνηειεί απηόλνκν δηδαθηηθό πιηθό, βαζίδεηαη ζην ζύγγξακκα πνπ δηαλέκεηαη θαη ζηελ πξνηεηλόκελε βηβιηνγξαθία ηνπ καζήκαηνο. Τν πεξηερόκελν ηνπ αξρείνπ απιά απνηειεί πεξίγξακκα ησλ παξαδόζεσλ ηνπ καζήκαηνο. Απνηεινύλ ηηο δηαθάλεηεο ηεο δηδαζθαιίαο καζήκαηνο από ην δηδάζθνληα γηα δηθή ηνπ ρξήζε θαη παξαθαιώ λα κε ρξεζηκνπνηεζεί θαη λα κελ αλαπαξαρζεί θαη δηαλεκεζεί γηα άιιν ζθνπό. Ιδηαίηεξα παξαδείγκαηα θαη ζρήκαηα έρνπλ αληιεζεί από ηα ζπγγξάκκαηα :. Thomas Calculus th edto, Wer, Hass, Jordao, Pearso AW. Thomas Απεηξνζηηθόο Λνγηζκόο, Fe, Hass, Jordao, Παλεπηζηεκηαθέο εθδόζεηο Κξήηεο 3. Αλώηεξα Μαζεκαηηθά ΙΙ γηα Μεραληθνύο Α. Αζαλαζηάδε Δθδόζεηο Τδηόια. Καη ππόθεηληαη ζην Coprght ησλ εθδόζεσλ απηώλ. 4