ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Transcript

1 ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

2 ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι αριθμοί 0,, 2, 3, 4, 5, 6,, που δηλώνουν πλήθος ή σιρά ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Κάθ φυσικός αριθμός έχι έναν πόμνο και ένα προηγούμνο φυσικό αριθμό, κτός από το 0 που έχι μόνο πόμνο, το. ι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σ δύο κατηγορίς: τους άρτιους ή ζυγούς και τους πριττούς ή μονούς. Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μ το 2 και πριττοί κίνοι που δν διαιρούνται μ το Ποια ίναι τα σύμβολα της διάταξης και πως διατάσσονται οι φυσικοί αριθμοί; πάντηση Τα σύμβολα της διάταξης ίναι : το = που σημαίνι ίσος μ, το < που σημαίνι μικρότρος από και το > που σημαίνι μγαλύτρος από. Μπορούμ πάντα να συγκρίνουμ δύο φυσικούς αριθμούς μταξύ τους. Επομένως έχουμ τη δυνατότητα να διατάξουμ τους φυσικούς αριθμούς από το μικρότρο προς το μγαλύτρο, δηλαδή μ αύξουσα σιρά μγέθους. ια παράδιγμα: 0<<2<3<... <0<<2< 3. Πώς παριστάνονται οι φυσικοί αριθμοί σ μία υθία; πάντηση Η δυνατότητα αυτή, της διάταξης των φυσικών αριθμών, πιτρέπι να τους τοποθτήσουμ πάνω σ μια υθία γραμμή μ τον παρακάτω τρόπο: ιαλέγουμ αυθαίρτα ένα σημίο της υθίας, που το λέμ αρχή, για να παραστήσουμ τον αριθμό 0. Μτά, δξιά από το σημίο διαλέγουμ ένα άλλο σημίο, που παριστάνι τον αριθμό. Τότ, μ μονάδα μέτρησης το, βρίσκουμ τα σημία που παριστάνουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, Τι ονομάζουμ στρογγυλοποίηση και πως γίνται αυτή ; πάντηση Πολλές φορές αντικαθιστούμ ένα φυσικό αριθμό μ μια προσέγγιση του, δηλαδή κάποιο άλλο λίγο μικρότρο ή λίγο μγαλύτρό του. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμ στρογγυλοποίηση. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

3 ια να στρογγυλοποιήσουμ ένα φυσικό αριθμό: - Προσδιορίζουμ τη τάξη στην οποία θα γίνι η στρογγυλοποίηση. - Εξτάζουμ το ψηφίο της αμέσως μικρότρης τάξης. - ν αυτό ίναι μικρότρο του 5 (δηλαδή 0,, 2, 3 ή 4), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται. - ν ίναι μγαλύτρο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνται κατά. 5. Τι ονομάζουμ πρόσθση και ποις οι ιδιότητς αυτής; πάντηση Πρόσθση ίναι η πράξη μ την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους προσθτέους, βρίσκουμ ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που ίναι το άθροισμά τους και γράφουμ: α + β = γ Ιδιότητς της πρόσθσης: Το 0 όταν προστθί σ ένα φυσικό αριθμό δν τον μταβάλλι. (υδέτρο στοιχίο) α + 0 = 0 + α = α Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά των δύο προσθτέων νός αθροίσματος (ντιμταθτική ιδιότητα). α + β = β + α Μπορούμ να αντικαθιστούμ προσθτέους μ το άθροισμά τους ή να αναλύουμ ένα προσθτέο σ άθροισμα (Προσταιριστική ιδιότητα). α + (β + γ) = (α + β) + γ 6. Τι ονομάζουμ αφαίρση και πότ γίνται αυτή ; πάντηση φαίρση ίναι η πράξη μ την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (μιωτέος) και (αφαιρτέος) βρίσκουμ έναν αριθμό (διαφορά), ο οποίος όταν προστθί στο δίνι το Μ. Μ = + και γράφουμ = Μ - Στους φυσικούς αριθμούς ο αφαιρτέος πρέπι να ίναι πάντα μικρότρος ή ίσος του μιωτέου Μ. Σ αντίθτη πρίπτωση η πράξη της αφαίρσης δν ίναι δυνατόν να κτλστί. 7. Τι ονομάζουμ πολλαπλασιασμός και ποις οι ιδιότητς αυτού; πάντηση Πολλαπλασιασμός ίναι η πράξη μ την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους παράγοντς, βρίσκουμ ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που ίναι το γινόμνο τους: α β = γ Ιδιότητς του πολλαπλασιασμού: Το όταν πολλαπλασιαστί μ ένα φυσικό αριθμό δν τον μταβάλλι. (υδέτρο στοιχίο) α = α = α Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά των παραγόντων νός γινομένου (ντιμταθτική ιδιότητα) α β = β α Μπορούμ να αντικαθιστούμ παράγοντς μ το γινόμνό τους ή να αναλύουμ ένα παράγοντα σ γινόμνο (Προσταιριστική ιδιότητα) α (β γ) = (α β) γ Επιμριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθση: α (β + γ) = α β + α γ Επιμριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρση: α (β - γ) = α β - α γ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

4 8. Τι ονομάζουμ νιοστή δύναμη αριθμού, τι βάση,τι κθέτη,τι ττράγωνο, τι κύβο,τι πρώτη δύναμη και μ τι ίναι ίσς οι δυνάμις του ; πάντηση Το γινόμνο α α α α, που έχι ν παράγοντς ίσους μ το α, λέγται δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζται μ α ν. αριθμός α λέγται βάση της δύναμης και ο ν λέγται κθέτης. Η δύναμη του αριθμού στη δυτέρα, δηλαδή το α 2, λέγται και ττράγωνο του α. Η δύναμη του αριθμού στην τρίτη, δηλαδή το α 3, λέγται και κύβος του α. Το α, δηλαδή η πρώτη δύναμη νός αριθμού α ίναι ο ίδιος ο αριθμός α. α ν = α α α α ν παράγοντς α 2 α 3 α = α ν = ι δυνάμις του δηλαδή το ν, ίναι όλς ίσς μ. 9. Τι ονομάζουμ αριθμητική παράσταση και ποια ίναι η προτραιότητα πράξων σ μια τέτοια παράσταση; πάντηση ριθμητική παράσταση λέγται κάθ σιρά αριθμών που συνδέονται μταξύ τους μ τα σύμβολα των πράξων. Η σιρά μ την οποία πρέπι να κάνουμ τις πράξις σ μία αριθμητική παράσταση (προτραιότητα των πράξων) ίναι η ακόλουθη:. Υπολογισμός δυνάμων. 2. Εκτέλση πολλαπλασιασμών και διαιρέσων 3. Εκτέλση προσθέσων και αφαιρέσων. ν υπάρχουν παρνθέσις, κτλούμ πρώτα τις πράξις μέσα στις παρνθέσις μ την παραπάνω σιρά. 0. Τι ονομάζουμ Ευκλίδια διαίρση και τέλια διαίρση; πάντηση Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί και δ, τότ υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστ να ισχύι: = δ π + υ. αριθμός λέγται διαιρτέος, ο δ λέγται διαιρέτης, ο αριθμός π ονομάζται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρσης. Το υπόλοιπο ίναι αριθμός πάντα μικρότρος του διαιρέτη: υ < δ. Η διαίρση της παραπάνω μορφής λέγται Ευκλίδια ιαίρση. ν το υπόλοιπο υ ίναι 0, τότ λέμ ότι έχουμ μία Τέλια διαίρση: = δ π. Στους φυσικούς αριθμούς η τέλια διαίρση ίναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού, όπως ίναι και η αφαίρση πράξη αντίστροφη της πρόσθσης. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 4

5 . Ποις ίναι οι άμσς συνέπις της διαίρσης; πάντηση διαιρέτης δ μιας διαίρσηςδν μπορί να ίναι 0. δ 0 Όταν = δ, τότ το πηλίκο π = α : α = Όταν ο διαιρέτης δ =, τότ το πηλίκο π = α : = α Όταν ο διαιρτέος = 0, τότ το πηλίκο π = 0 0 : α = 0 2. Τι ονομάζουμ πολλαπλάσια νός φυσικού αριθμού α, ποις οι ιδιότητς των πολλαπλάσιών και τι ονομάζουμ Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο; πάντηση Πολλαπλάσια νός φυσικού αριθμού α ίναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του μ όλους τους φυσικούς αριθμούς. 0, α, 2α, 3α, 4α, Κάθ φυσικός αριθμός διαιρί τα πολλαπλάσιά του. Κάθ φυσικός που διαιρίται από έναν άλλο ίναι πολλαπλάσιό του. ν ένας φυσικός διαιρί έναν άλλον θα διαιρί και τα πολλαπλάσιά του. Το μικρότρο μη μηδνικό από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή πρισσότρων αριθμών που δν ίναι μηδέν το ονομάζουμ Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών 3. Τι ονομάζουμ διαιρέτς νός φυσικού αριθμού α, ποιοι ίναι οι διαιρέτς του α, τι ονομάζουμ πρώτους και τι σύνθτους αριθμούς; πάντηση ιαιρέτς νός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν. Κάθ αριθμός α έχι διαιρέτς τους αριθμούς και α. Ένας αριθμός που έχι διαιρέτς μόνο τον αυτό του και το λέγται πρώτος αριθμός, διαφορτικά λέγται σύνθτος. 4. Τι ονομάζουμ Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μταξύ τους; πάντηση ύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορί να έχουν κοινούς διαιρέτς. μγαλύτρος από αυτούς ονομάζται Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (ΜΚ) των α και β και συμβολίζται ΜΚ (α, β). ύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μταξύ τους αν ίναι ΜΚ (α, β) =. 5. Ποια ίναι τα κριτήρια ιαιρτότητας πάντηση Κριτήρια ιαιρτότητας μ 2, 3, 4, 5, 9, 0 ή 25 λέγονται οι κανόνς μ τους οποίους μπορούμ να συμπραίνουμ, χωρίς να κάνουμ τη διαίρση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ τους αριθμούς αυτούς. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ 0, αν λήγι σ ένα μηδνικό. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 2, αν το τλυταίο ψηφίο ίναι 0, 2, 4,6, 8. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 5, αν λήγι σ 0 ή 5. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρίται μ το 3 ή το 9 αντίστοιχα. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 4 ή το 25, αν τα δύο τλυταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρίται μ το 4 ή το 25 αντίστοιχα ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 5

6 ΚΕΦΛΙ 2ο ΚΛΣΜΤ. Τι καλίται νιοστό, τι κλάσμα (κάπα νιοστά); Πότ ένα κλάσμα ίναι μγαλύτρο του ; Μπορί ένας φυσικός να γραφί ως κλάσμα; πάντηση Όταν ένα μέγθος ή ένα σύνολο ομοιδών αντικιμένων χωρισθί σ ν ίσα μέρη, το κάθ ένα από αυτά ονομάζται νιοστό και συμβολίζται μ το. αριθμητής παρονομαστής κλασματική γραμμή 2. 3 όροι του κλάσματος Κάθ τμήμα του μγέθους ή του συνόλου αντικιμένων, που αποτλίται από κ τέτοια ίσα μέρη, συμβολίζται μ το κλάσμα και διαβάζται «κάπα νιοστά». μ 0 Η έννοια του κλάσματος πκτίνται και στην πρίπτωση που ο αριθμητής ίναι μγαλύτρος από τον παρονομαστή. Τότ το κλάσμα ίναι μγαλύτρο από το. Κάθ φυσικός αριθμός μπορί να έχι τη μορφή κλάσματος μ παρονομαστή το. 2. Τι καλούμαι ισοδύναμα κλάσματα, τι κφράζουν, τι ισχύι γι αυτά και πως μπορούμ να τα κατασκυάσουμ; πάντηση ύο κλάσματα και λέγονται ισοδύναμα όταν κφράζουν το ίδιο τμήμα νός μγέθους ή ίσων μγθών. Επιδή ακριβώς κφράζουν το ίδιο τμήμα νός μγέθους ίναι και ίσα και γράφουμ: ν δύο κλάσματα και ίναι ισοδύναμα τότ τα χιαστί γινόμνα α δ και β γ ίναι ίσα. ηλαδή: αν τότ α δ = β γ ια να κατασκυάσουμ ισοδύναμα κλάσματα ή για να διαπιστώσουμ ότι δύο κλάσματα ίναι ισοδύναμα, μπορούμ να φαρμόζουμ τους παρακάτω κανόνς: Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι νός κλάσματος μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. Όταν οι όροι νός κλάσματος διαιρθούν μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 6

7 3. Τι καλούμαι απλοποίηση και πότ ένα κλάσμα λέγται ανάγωγο; πάντηση Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι νός κλάσματος μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. Όταν οι όροι νός κλάσματος διαιρθούν μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. Η διαδικασία αυτή λέγται απλοποίηση του κλάσματος και έχι ως αποτέλσμα ένα κλάσμα ισοδύναμο μ το αρχικό μ μικρότρους όρους. Το κλάσμα κίνο που δν μπορί να απλοποιηθί (δν υπάρχι κοινός διαιρέτης αριθμητή και παρονομαστή) λέγται ανάγωγο. 4. Ποια κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα και ποια τρώνυμα; πάντηση Όταν δύο ή πρισσότρα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα και όταν έχουν διαφορτικούς παρονομαστές ονομάζονται τρώνυμα. 5. Πως συγκρίνουμ κλάσματα; πάντηση νικά, για τη σύγκριση κλασμάτων ισχύουν τα ξής: πό δύο ομώνυμα κλάσματα, κίνο που έχι τον μγαλύτρο αριθμητή ίναι μγαλύτρο. 9 5 π.χ. 3 3 ια να συγκρίνουμ τρώνυμα κλάσματα τα μτατρέπουμ σ ομώνυμα και συγκρίνουμ τους αριθμητές τους. πό δύο κλάσματα μ τον ίδιο αριθμητή μγαλύτρο ίναι κίνο μ τον μικρότρο 0 0 παρονομαστή. π.χ Πως προσθέτουμ και πως αφαιρούμ κλάσματα; πάντηση νικά, για την πρόσθση και την αφαίρση κλασμάτων ισχύουν τα ξής: Προσθέτουμ δύο ή πρισσότρα ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους Προσθέτουμ τρώνυμα κλάσματα αφού πρώτα τα μτατρέψουμ σ ομώνυμα. φαιρούμ δύο ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους φαιρούμ δύο τρώνυμα κλάσματα αφού τα μτατρέψουμ πρώτα σ ομώνυμα. 7. Τι καλίται μικτός αριθμός; πάντηση Μρικές φορές αντί να γράφουμ, γράφουμ πιο απλά. συμβολισμός αυτός, που παριστάνι το άθροισμα νός ακέραιου μ ένα κλάσμα μικρότρο της μονάδας, ονομάζται μικτός αριθμός. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 7

8 8. Πως πολλαπλασιάζουμ κλάσματα και ποια κλάσματα ονομάζονται αντίστροφα; πάντηση Το γινόμνο δύο κλασμάτων ίναι το κλάσμα που έχι αριθμητή το γινόμνο των αριθμητών a και παρονομαστή το γινόμνο των παρονομαστών. Το γινόμνο νός φυσικού αριθμού πί ένα κλάσμα ίναι το κλάσμα μ αριθμητή το γινόμνο του αριθμητή πί τον φυσικό αριθμό και μ τον ίδιο παρονομαστή. a a a Τα κλάσματα που έχουν γινόμνο λέγονται αντίστροφα. Επιδή τα κλάσματα και ίναι αντίστροφα. 9. Ποις ιδιότητς ισχύουν στα κλάσματα; πάντηση Ισχύουν όλς οι ιδιότητς των πράξων των φυσικών αριθμών στα κλάσματα. Το δ μταβάλλι το γινόμνο a ντιμταθτική a Προσταιριστική ( ) ( ) a Επιμριστική ( ) ) a ( ) ) 0. Πως διαιρούμ φυσικούς αριθμούς, πως διαιρούμ κλάσματα, τι ονομάζουμ σύνθτο κλάσμα και πως αυτό μτατρέπται σ απλό; πάντηση ια να διαιρέσουμ δύο φυσικούς αριθμούς αρκί να πολλαπλασιάσουμ το διαιρτέο μ τον αντίστροφο του διαιρέτη. a : a ια να διαιρέσουμ δύο κλάσματα αρκί να πολλαπλασιάσουμ το διαιρτέο μ τον αντίστροφο a του διαιρέτη. : Ένα κλάσμα, του οποίου ένας τουλάχιστον όρος του ίναι κλάσμα, ονομάζται σύνθτο κλάσμα. Μτατροπή σύνθτου σ απλό: a b c d ad bc ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

9 ΚΕΦΛΙ 3ο ΕΚΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. ια ποιο λόγο χρησιμοποιούμ τους δκαδικούς αριθμούς και τι ονομάζουμ δκαδικό κλάσμα; πάντηση Σ πολλές πριπτώσις μτρήσων οι φυσικοί αριθμοί δν παρκούν να κφράσουν τα αποτλέσματα αυτών των μτρήσων μ ακρίβια. ια αυτό το λόγο χρησιμοποιούμ τους δκαδικούς αριθμούς. καδικό κλάσμα λέγται το κλάσμα που έχι παρονομαστή μια δύναμη του 0. Τα κλάσματα που έχουν παρονομαστές τους φυσικούς αριθμούς 0,00,000 και 0000, που ίναι δυνάμις του 0: 0, 0 2, 0 3 και Πως γράφται ένας δκαδικός αριθμός, σ τι μέρη διακρίνται πως χωρίζονται αυτά και πως συγκρίνουμ δκαδικούς; πάντηση Στο δκαδικό μέρος οι τάξις ίναι τα δέκατα, τα κατοστά, τα χιλιοστά, τα δκάκις χιλιοστά, τα κατοντάκις χιλιοστά, τα κατομμυριοστά κ.λπ. Στο ακέραιο μέρος οι τάξις ίναι σ μονάδς, δκάδς κ.λπ. έκα μονάδς μίας τάξης ίναι μια μονάδα μγαλύτρης τάξης Σ κάθ δκαδικό αριθμό διακρίνουμ το ακέραιο μέρος και το δκαδικό μέρος του. υτά διαχωρίζονται από την υποδιαστολή. ν δύο δκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μγαλύτρος ίναι αυτός που έχι το μγαλύτρο ψηφίο στην αρχική τάξη. 8,97453 < 9,432 ν δύο δκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μγαλύτρος ίναι κίνος που έχι το αμέσως πόμνο ψηφίο μγαλύτρο. 05,3842 > 05, Πως στρογγυλοποιούμαι έναν δκαδικό αριθμό; πάντηση ια να στρογγυλοποιήσουμ ένα δκαδικό αριθμό: Προσδιορίζουμ τη δκαδική τάξη στην οποία θα γίνι η στρογγυλοποίηση. Εξτάζουμ το ψηφίο της αμέσως μικρότρης τάξης. ν αυτό ίναι μικρότρο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται. ν ίναι μγαλύτρο ή ίσο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνται κατά. π.χ α) 957, ,384 β)957, ,38 γ)957, ,4 δ)957, ) 957, στ)957, Πως προσθέτουμ και πως αφαιρούμ δκαδικούς αριθμούς; πάντηση Η Πρόσθση και η φαίρση δκαδικών αριθμών γίνται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Προσθέτουμ ή αφαιρούμ τα ψηφία της ίδιας τάξης, τοποθτώντας τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο έτσι, ώστ οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 9

10 π.χ. 86, ,76 + 4,085 29,667 46, Πως πολλαπλασιάζουμ δκαδικούς αριθμούς; πάντηση Πολλαπλασιασμός δκαδικών αριθμών γίνται, όπως και των φυσικών αριθμών. Τοποθτούμ στο αποτέλσμα της πράξης την υποδιαστολή τόσς θέσις από τα δξιά προς τα αριστρά, όσα ίναι συνολικά τα ψηφία στα δκαδικά μέρη και των δύο παραγόντων. 5,82 2 δκαδικά ψηφία x 2,3 δκαδικό ψηφίο ,386 3 δκαδικά ψηφία 6. Πως πολλαπλασιάζουμ δκαδικούς αριθμούς; πάντηση Η ιαίρση δκαδικού αριθμού μ δκαδικό αριθμό γίνται, όπως και η υκλίδια διαίρση. Πολλαπλασιάζουμ το διαιρέτη και το διαιρτέο μ την κατάλληλη δύναμη του 0 έτσι, ώστ ο διαιρέτης να γίνι φυσικός αριθμός. Όταν ξαντληθί το ακέραιο μέρος του διαιρτέου, κατβάζουμ το μηδέν, ως πρώτο δκαδικό ψηφίο από τον διαιρτέο και τοποθτούμ στο πηλίκο υποδιαστολή. Η διαίρση 534,28: 3,78 γίνται : 378 (πολλαπλασιάσαμ διαιρτέο και διαιρέτη μ το 000 για να απαλίψουμ τα δκαδικά ψηφία από το διαιρέτη) Όταν πολλαπλασιάζουμ μ 0,, 0,0, 0,00 ή όταν διαιρούμ ένα δκαδικό αριθμό μ 0, 00, 000, μταφέρουμ την υποδιαστολή προς τα αριστρά μια, δυο, τρις, αντίστοιχα θέσις , = 258 : 0 = 25,8 8,45 0,0 = 8,45 : 00 = 0,0845 2,45 0,00 = 2,45 : 000 =,0245 Όταν πολλαπλασιάζουμ ένα δκαδικό αριθμό μ 0, 00, 000 μταφέρουμ την υποδιαστολή του αριθμού προς τα δξιά μία, δύο, τρις, θέσις αντίστοιχα. 28,34 0 = 283,4 38, = 3809,45, = 324,5 0, = 9 7. Τι γνωρίζτ για τις δυνάμις δκαδικών αριθμών; πάντηση ι υνάμις των δκαδικών αριθμών έχουν τις ιδιότητς των δυνάμων των φυσικών αριθμών. Το πλήθος των δκαδικών ψηφίων, που έχι το αποτέλσμα, προκύπτι από το πλήθος των δκαδικών ψηφίων της βάσης πί τον κθέτη της δύναμης. (2,5) 2 =2,5 2 =6,25 x 2 = 2 (,25) 2 =,25 2 =, x 2 = 4 8. Τι ονομάζουμ τυποποιημένη μορφή αριθμού; πάντηση Ένας μγάλος αριθμός μπορί να γραφί στη μορφή α 0 ν, δηλαδή ως γινόμνο νός αριθμού α πί μια δύναμη του 0. Τη μορφή αυτή την ονομάζουμ τυποποιημένη. αριθμός α ίναι ένας δκαδικός αριθμός μ ακέραιο ψηφίο μγαλύτρο ή ίσο του και μικρότρο του 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 0

11 9. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης μήκους,ποις οι υποδιαιρέσις του, ποια τα πολλαπλάσιά του και ποια άλλη μονάδα γνωρίζτ; πάντηση Η βασική μονάδα μήκους ίναι το μέτρο (συμβολίζται μ m) Υποδιαιρέσις του μέτρου: δκατόμτρο ή παλάμη (dm) dm =/0 m = 0,m κατοστόμτρο ή πόντος (cm) cm = /00 m = 0,0m χιλιοστόμτρο ή χιλιοστό (mm) mm = /000 m = 0,00 m Πολλαπλάσια του μέτρου χιλιόμτρο (Km) Km = 000 m Στη ναυσιπλοία, ως μονάδα μέτρησης μήκους, χρησιμοποιούμ το ναυτικό μίλι. ναυτικό μίλι =.852 m m. 0 0 dm. : 0 0 cm. : 0 0 mm. 20. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης μβαδού,ποις οι υποδιαιρέσις του, ποια τα πολλαπλάσιά του και ποις άλλς μονάδς γνωρίζτ; πάντηση Η βασική μονάδα μέτρησης μβαδού ίναι τo ττραγωνικό μέτρο (συμβολίζται μ m 2 ) που ίναι η πιφάνια νός ττραγώνου μ πλυρά ένα μέτρο. Υποδιαιρέσις του ττραγωνικού μέτρου: ττραγωνικό δκατόμτρο (dm 2 ) dm 2 = /00 m 2 = 0,0 m 2 ττραγωνικό κατοστόμτρο (cm 2 ) cm 2 = /0000 m 2 = 0,000 m 2 ττραγωνικό χιλιοστόμτρο (mm 2 ) mm 2 = / m 2 = 0,00000 m 2 Στην Ελλάδα ως μονάδα πιφανίας χρησιμοποιούμ το στρέμμα. στρέμμα= 000 m 2 Km 2 = m 2 = 0 6 m 2 2. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης όγκου,ποις οι υποδιαιρέσις του, και ποις άλλς μονάδς γνωρίζτ; πάντηση Η βασική μονάδα μέτρησης όγκου ίναι τo κυβικό μέτρο (συμβολίζται μ m 3 ) που ίναι ο όγκος νός κύβου ακμής νός μέτρου. Υποδιαιρέσις του κυβικού μέτρου: κυβικό δκατόμτρο (dm 3 ) dm 3 = /000 m 3 = 0,00 m 3 κυβικό κατοστόμτρο (cm 3 ) cm 3 = / m 3 = 0,00000 m 3 κυβικό χιλιοστόμτρο (mm 3 ) mm 3 = m 3 = 0, m 3 ια τη μέτρηση του όγκου χρησιμοποιούμ και το dm 3 που ονομάζται και λίτρο (lt). lt = dm 3 = 0,00 m 3 To cm 3 λέγται χιλιοστόλιτρο (ml) ml = 0,00 lt = cm 3 = 0,00000 m 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

12 22. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης χρόνου ποια η μονάδα μέτρησης μάζας και τι άλλο γνωρίζτ γι αυτά; πάντηση Η μονάδα μέτρησης του χρόνου ίναι το δυτρόλπτο (συμβολίζται μ s) Πολλαπλάσια: - λπτό (min)= 60 s - ώρα (h) = 60 min= s - ημέρα = 24 h =.440 min= s Η βασική μονάδα μέτρησης μάζας ίναι το χιλιόγραμμο ή κιλό (συμβολίζται μ Κg) Υποδιαιρέσις του κιλού: - γραμμάριο (g) g = 0,00 Kg - χιλιοστόγραμμο (mg) mg = 0,00 g= 0,00000 Kg Πολλαπλάσιο του κιλού: τόνος (t) t = 000 Kg ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

13 ΚΕΦΛΙ 4ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ. Τι ονομάζται ξίσωση και τι λύση ή ρίζα της ξίσωσης; πάντηση Μπορούμ να διατυπώσουμ μια πρόταση μ τη βοήθια αριθμών και γραμμάτων, νώ για να λύσουμ ένα πρόβλημα μπορούμ να δημιουργήσουμ μια ισότητα μ γράμματα και αριθμούς. Τέτοις ισότητς τις λέμ ξισώσις. Εξίσωση μ έναν άγνωστο ίναι μία ισότητα, που πριέχι αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος). ι ισότητς: x + 5 = 2, y 2 = 3, 0 z = ω : 5 = 4, 7 φ =2, 24 : ψ = 6 ίναι ξισώσις ή ρίζα της ξίσωσης ίναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσι τον άγνωστο, παληθύι την ισότητα. ή ρίζα της ξίσωσης x 7 = 5 ίναι ο αριθμός 2 διότι 2 7 = 5 Τη λύση τη γράφουμ: x = 2 2. Τι ονομάζται ξίσωση και τι λύση ή ρίζα της ξίσωσης; πάντηση Η διαδικασία, μέσω της οποίας, βρίσκουμ τη λύση της ξίσωσης, λέγται πίλυση της ξίσωσης. Τον άγνωστο μιας ξίσωσης τον συμβολίζουμ μ ένα γράμμα π.χ. χ, y, z, ω, φ, ψ κ.λπ. Μια ξίσωση λέγται ταυτότητα ή αόριστη, όταν όλοι οι αριθμοί ίναι λύσις της. ι ξισώσις x = x ή 0 2 = 0 ίναι αόριστς ή ταυτότητς. Μια ξίσωση λέγται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δν την παληθύι ι ξισώσις x + 2 = x + 6 ή 0 ω = 5 ίναι αδύνατς. 3. Ποις ίναι οι βασικές ξισώσις και πως λύνονται αυτές; πάντηση άσι των ορισμών των πράξων οι λύσις των παρακάτω ξισώσων ίναι: α + x = β x = β α, x α = β x = β + α, α x = β x = α β, α x = β x = β : α, x : α = β x = β α και α : x = β x = α : β. 4. Τι καλούμαι πρόβλημα, τι λύση και τι πίλυση ; πάντηση Πρόβλημα ονομάζουμ την κατάσταση, που δημιουργίται, όταν αντιμτωπίζουμ μπόδια και δυσκολίς στην προσπάθιά μας να φτάσουμ σ ένα συγκκριμένο στόχο. νός προβλήματος ίναι η πίτυξη του στόχου. Επίλυση νός προβλήματος ονομάζται η διαδικασία, μ την οποία πιτυγχάνται η λύση του. 5. Πως λύνουμ προβλήματα μ την βοήθια ξισώσων ; πάντηση ια τη λύση των προβλημάτων, μ τη βοήθια των ξισώσων, ακολουθούμ τα ξής βήματα: Προσδιορίζουμ το άγνωστο στοιχίο του προβλήματος και το κφράζουμ μ ένα γράμμα (x ή ν ή ζ ή ω κ.τ.λ.), που ίναι ο άγνωστος του προβλήματος. Εκφράζουμ στοιχία του προβλήματος μ τη βοήθια του αγνώστου. Πριγράφουμ μ μία ξίσωση το πρόβλημα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

14 Επιλύουμ την ξίσωση του προβλήματος. Επαληθύουμ τη λύση που βρήκαμ. Όμως, πρέπι να λάβουμ υπόψη ότι: υπάρχουν και προβλήματα που δν λύνονται μ ξισώσις και υπάρχουν και άλυτα προβλήματα ή προβλήματα των οποίων δν μπορούμ να βρούμ τη λύση. ΚΕΦΛΙ 5ο ΠΣΣΤ. Τι ονομάζται ποσοστό πί τοις κατό,τι ποσοστό πί τοις χιλίοις τι άλλο γνωρίζτ για τα ποσοστά; πάντηση Το σύμβολο α% ονομάζται ποσοστό πί τοις κατό ή απλούστρα ποσοστό και ίναι ίσο μ το α/00. Χρησιμοποιούμ ακόμη το ποσοστό α που διαβάζται ποσοστό πί τοις χιλίοις και ίναι ίσο μ το α/000. Το ποσοστό α% του β ίναι (α/00) β Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 4

15 ΚΕΦΛΙ 6ο ΠΣ ΝΛ ΚΙ ΝΤΙΣΤΡΦΩΣ ΝΛ. Πως προσδιορίζται η θέση νός σημίου στο πίπδο,τι καλούμαι σύστημα ημιαξόνων τι ημιάξονα ττμημένων,τι ημιάξονα των τταγμένων, τι αρχή των ημιαξόνων τι ττμημένη,τι τταγμένη τι συντταγμένς, τι διατταγμένο ζύγος και τι ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων ; πάντηση Προκιμένου να προσδιορίσουμ τη θέση νός σημίου στο πίπδο: Σχδιάζουμ δύο κάθτς μταξύ τους ημιυθίς x και y. Πάνω σ κάθ μια απ αυτές ορίζουμ την ίδια μονάδα μέτρησης. υτές οι ημιυθίς αποτλούν ένα σύστημα ημιαξόνων. ημιάξονας x λέγται ημιάξονας των ττμημένων ή ημιάξονας των x. ημιάξονας y λέγται ημιάξονας των τταγμένων ή ημιάξονας των y. Το σημίο ονομάζται αρχή των ημιαξόνων To 3 ίναι η ττμημένη του σημίου To ίναι η τταγμένη του σημίου y Μ(2,4) (3,) 2 3 x Η ττμημένη και η τταγμένη του σημίου ονομάζονται συντταγμένς του και συνήθως όταν θέλουμ να αναφρθούμ στο σημίο, γράφουμ (3,). Το ζύγος (3,) του οποίου ο πρώτος αριθμός 3 ίναι η ττμημένη του σημίου και ο δύτρος αριθμός ίναι η τταγμένη του σημίου, λέγται διατταγμένο ζύγος, πιδή έχι σημασία η διάταξη, δηλαδή η σιρά, μ την οποία γράφονται οι αριθμοί που το αποτλούν. Μ το σύστημα αυτό αντιστοιχούμ σ κάθ σημίο ένα ζύγος αριθμών (3,), δηλαδή ένα διατταγμένο ζύγος, οι αριθμοί του οποίου ονομάζονται συντταγμένς του σημίου. ντίστροφα, κάθ διατταγμένο ζύγος θτικών αριθμών π.χ. το (2,4) αντιστοιχί σ ένα σημίο Μ του πιπέδου. Το σύστημα ημιαξόνων που χρησιμοποιήσαμ λέγται ορθοκανονικό, γιατί οι ημιάξονς τέμνονται κάθτα (ορθο-) και έχουμ ορίσι πάνω τους την ίδια μονάδα μέτρησης (-κανονικό). ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 5

16 2. Τι καλούμ λόγο, τι αναλογία,ποια σχήματα καλούνται όμοια,τι κλίμακα, τι ισχύι για τα όμοια παραλληλόγραμμα και ποια η ισοδύναμη σχέση μ την σχέση αναλογίας ; πάντηση Λόγος δύο ομοιδών μγθών, που κφράζονται μ την ίδια μονάδα μέτρησης, ίναι το πηλίκο των μέτρων τους. Η ισότητα λόγων ονομάζται αναλογία. ύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα αποτλί σμίκρυνση ή μγέθυνση του άλλου. λόγος της απόστασης δύο σημίων μιας ικόνας νός αντικιμένου προς την πραγματική απόσταση των δύο αντίστοιχων σημίων του αντικιμένου, ονομάζται κλίμακα. ν οι λόγοι των αντιστοίχων πλυρών δύο παραλληλογράμμων ίναι ίσοι, τότ αυτοί θα ίναι ίσοι και μ το λόγο των πριμέτρων τους. Κάθ σχέση αναλογίας α. γ. ίναι ισοδύναμη μ τη σχέση α δ = β γ β = δ 3. Πότ δύο ποσά λέγονται ανάλογα, τι καλίται συντλστής αναλογίας και πως παριστάνονται τα ανάλογα ποσά σ σύστημα ημιαξόνων ; πάντηση ύο ποσά λέγονται ανάλογα, άν μταβάλλονται μ τέτοιο τρόπο, που όταν οι τιμές του νός πολλαπλασιάζονται μ έναν αριθμό, τότ και οι αντίστοιχς τιμές του άλλου να πολλαπλασιάζονται μ τον ίδιο αριθμό. ύο ποσά x και y ίναι ανάλογα, όταν οι αντίστοιχς τιμές τους δίνουν πάντα ίδιο πηλίκο: ψ/χ = α. Το πηλίκο α λέγται συντλστής αναλογίας. Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται μ τη σχέση: y = α x όπου α ο συντλστής αναλογίας. Όταν το ποσό y ίναι ποσοστό του ποσού x, τα δύο ποσά συνδέονται μ τη σχέση y = (α/00) x και ίναι ανάλογα, μ συντλστή αναλογίας το α/00 ή α%. Η σχέση y = α x κφράζι μια αλληλπίδραση των ποσών x και y. Συγκκριμένα, ο διπλασιασμός, τριπλασιασμός κ.ο.κ. του νός ποσού πιφέρι διπλασιασμό, τριπλασιασμό κ.ο.κ. του άλλου ποσού. Τα σημία που αντιστοιχούν στα ζύγη τιμών (x, y) δύο ανάλογων ποσών βρίσκονται πάνω σ μία ημιυθία μ αρχή την αρχή (0,0) των ημιαξόνων ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 6

17 4. Πως διαπιστώνουμ, άν δυο ποσά ίναι ανάλογα; πάντηση ια να διαπιστώσουμ, άν δυο ποσά ίναι ανάλογα, χρησιμοποιούμ τα παρακάτω: 3 /2 x 2,5 3,5. Τον ορισμό των ανάλογων ποσών Εξτάζουμ αν τα ποσά που μταβάλλονται ίναι τέτοια ώστ: όταν οι τιμές του νός ποσού πολλαπλασιάζονται, μ έναν αριθμό, τότ και οι αντίστοιχς τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται μ τον ίδιο αριθμό. ια παράδιγμα: ν 5 = 5 3 πρέπι 2 = 7 3 και αν 2,5 = 5 /2 πρέπι 3,5 = 7 /2 2. Τη σχέση y = α x Εξτάζουμ αν τα ποσά συνδέονται μ μια σχέση αναλογίας. ια παράδιγμα: Κόστος ανθοδέσμης = = 0,5 αριθμός τριαντάφυλλων 3. Τη σχέση ψ/χ = α Εξτάζουμ αν όλς οι αντίστοιχς τιμές των δύο ποσών έχουν σταθρό λόγο. y /2 x ψ ψ/χ = /3= 2 5,5 /5.5 = 2 5. Πότ δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι και τι ίναι υπρβολή; πάντηση ύο μγέθη ίναι αντιστρόφως ανάλογα, στην πρίπτωση, που η μταβολή τους ίναι τέτοια, ώστ: όταν το ένα μέγθος πολλαπλασιάζται πί έναν αριθμό, το άλλο διαιρίται μ τον ίδιο αριθμό. Όταν δύο ποσά χ και γ ίναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόμνο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένι σταθρό: y x = α, α 0 3 /2 x y ,5 2 : 3 : /2 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 7

18 x y y x = = = 30 Στην πρίπτωση που α =, τα x και y ίναι αντίστροφοι αριθμοί. Τα σημία που παριστούν τα ζύγη (x, y) βρίσκονται σ μία καμπύλη γραμμή. Η καμπύλη αυτή ονομάζται υπρβολή. Η υπρβολή δν τέμνι ποτέ τους ημιάξονς x και y, διότι οι συντταγμένς των σημίων της δν παίρνουν ποτέ την τιμή 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

19 ΚΕΦΛΙ 7ο ΘΕΤΙΚΙ ΡΝΗΤΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Τι ίναι τα πρόσημα και γιατί τα χρησιμοποιούμ ; Ποιοι αριθμοί καλούνται θτικοί ; Ποιοι αρνητικοί και τι ίναι το μηδέν ; Τα σύμβολα «+» και «-» λέγονται πρόσημα. ράφονται πριν από τους αριθμούς και τους χαρακτηρίζουν, αντίστοιχα, ως θτικούς ή αρνητικούς. ι αριθμοί που συναντήσαμ μέχρι τώρα ήταν μόνο θτικοί και πομένως δν υπήρχ ανάγκη να χρησιμοποιούμ πρόσημο. Η ισαγωγή των αρνητικών αριθμών δημιουργί την ανάγκη της τοποθέτησης πρόσημου μπροστά από όλους τους αριθμούς. Έτσι γίνται φανρό ποιοι αριθμοί ίναι οι θτικοί και ποιοι οι αρνητικοί Το μηδέν δν ίναι ούτ θτικός ούτ αρνητικός αριθμός 2. Ποιοι αριθμοί καλούνται ομόσημοι και ποιο τρόσημοι ; Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ακέραιοι και ποιοι ρητοί; μόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετρόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορτικό πρόσημο κέραιοι αριθμοί ίναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί μ τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Ρητοί αριθμοί ίναι όλοι οι γνωστοί μας έως τώρα αριθμοί: φυσικοί, κλάσματα και δκαδικοί μαζί μ τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. 3. Πως παριστάνονται οι ρητοί αριθμοί σ άξονα; ν θωρήσουμ αριστρά της αρχής του ημιάξονα x των αριθμών, τον αντικίμνο αυτού ημιάξονα x', θα έχουμ τη δυνατότητα, μ αυτόν τον τρόπο, να παραστήσουμ όλους τους ρητούς αριθμούς. άξονας x'x πριλαμβάνι όλους τους ρητούς αριθμούς (αρνητικούς, θτικούς και το μηδέν). ι αριθμοί που συναντήσαμ μέχρι τώρα ήταν μόνο θτικοί και πομένως δν υπήρχ ανάγκη να χρησιμοποιούμ πρόσημο. Η ισαγωγή των αρνητικών αριθμών δημιουργί την ανάγκη της τοποθέτησης πρόσημου μπροστά από όλους τους αριθμούς. Έτσι γίνται φανρό ποιοι αριθμοί ίναι οι θτικοί και ποιοι οι αρνητικοί. Το σημίο έχι ττμημένη 4 και το σημίο έχι ττμημένη Τι καλίται απόλυτη τιμή νός ρητού αριθμού ; Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθτοι ; Ποις ίναι οι άμσς συνέπις των δύο αυτών ορισμών ; Η απόλυτην τιμή νός ρητού αριθμού α κφράζι την απόσταση του σημίου μττμημένη α από την αρχή του άξονα και συμβολίζται μ α. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 9

20 ντίθτοι ονομάζονται δύο αριθμοί που ίναι τρόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. αντίθτος του x ίναι ο -x. (προσοχή αντίθτος του 0 ίναι ο 0) H απόλυτη τιμή νός θτικού αριθμού ίναι ο ίδιος ο αριθμός. H απόλυτη τιμή νός αρνητικού αριθμού ίναι ο αντίθτός του. H απόλυτη τιμή του μηδνός ίναι το μηδέν. ύο σημία που βρίσκονται σ ίση απόσταση, δξιά και αριστρά από την αρχή των αξόνων, έχουν ττμημένς, αντίθτους αριθμούς. 5. Πως συγκρίνουμ ρητούς αριθμούς ; μγαλύτρος από δύο ρητούς αριθμούς ίναι κίνος που βρίσκται δξιότρα από τον άλλο πάνω στον άξονα. Κάθ θτικός ρητός ίναι μγαλύτρος από κάθ αρνητικό ρητό αριθμό. μγαλύτρος από δύο θτικούς ρητούς ίναι κίνος που έχι την μγαλύτρη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκται δξιότρα από τον άλλο πάνω στον άξονα. μγαλύτρος από δύο αρνητικούς ρητούς ίναι κίνος που έχι την μικρότρη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκται δξιότρα από τον άλλο πάνω στον άξονα. 6. Πως προσθέτουμ ρητούς αριθμούς ; ια να προσθέσουμ δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμ το πρόσημό τους. ια να προσθέσουμ δύο τρόσημους ρητούς αριθμούς, αφαιρούμ από τη μγαλύτρη τη μικρότρη απόλυτη τιμή και στη διαφορά βάζουμ το πρόσημο του ρητού μ τη μγαλύτρη απόλυτη τιμή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 20

21 7. Ποις ίναι οι ιδιότητς της πρόσθσης ; Ιδιότητς της πρόσθσης Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά των δύο προσθτέων νός αθροίσματος. ντιμταθτική ιδιότητα α+β=β+α Μπορούμ να αντικαθιστούμ προσθτέους μ το άθροισμά τους ή να αναλύουμ ένα προσθτέο σ άθροισμα. Προσταιριστική ιδιότητα α+(β+γ) = (α+β)+γ Το 0 όταν προστθί σ ένα ρητό δν τον μταβάλλι. υδέτρο στοιχίο α+0 = 0+α = α Το άθροισμα δύο αντιθέτων αριθμών ίναι μηδέν. α+(-α) = (-α)+α = 0 8. Πως ορίζται η αφαίρση ; ια να αφαιρέσουμ από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμ στον α τον αντίθτο του β. α-β = α+(-β) Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρση μτατρέπται σ πρόσθση και πομένως ίναι πάντα δυνατή (δηλαδή, δν απαιτίται να ίναι ο μιωτέος πάντα μγαλύτρος από τον αφαιρτέο, όπως ίσχυ μέχρι τώρα). 9. Πως γίνται η απαλοιφή παρνθέσων ; Σ αρκτές πριπτώσις αριθμητικών παραστάσων μφανίζονται πρισσότροι του νός αριθμοί μ τα πρόσημά τους μέσα σ παρνθέσις, μπροστά από τις οποίς μπορί να υπάρχουν τα πρόσημα + ή -. ια να απαλίψουμ τις παρνθέσις ργαζόμαστ ως ξής: Όταν μια παρένθση έχι μπροστά της το + (ή δν έχι πρόσημο), μπορούμ να την απαλίψουμ μαζί μ το + (αν έχι) και να γράψουμ τους όρους που πριέχι μ τα πρόσημά τους. (+5) + (-7) = +5-7 = -2 (9,-6,2+3,4) + (-7,5+0-8,3) = = 9,-6,2 + 3,4-7, ,3 Όταν μια παρένθση έχι μπροστά της το -, μπορούμ να την απαλίψουμ μαζί μ το - και να γράψουμ τους όρους που πριέχι μ αντίθτα πρόσημα (-5) - (-7) = = +2 -(9,-6,2+3,4) - (-7,5+0-8,3) = = -9,+6,2-3,4+7,5-0+8,3 0. Τι ισχύι για το γινόμνο δύο ρητών και πως πολλαπλασιάζουμ ρητούς ; Το γινόμνο δύο αρνητικών ακραίων ίναι θτικός ακέραιος Το γινόμνο δύο αρνητικών ρητών ίναι θτικός ρητός. ια να πολλαπλασιάσουμ δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο γινόμνο βάζουμ το πρόσημο «+». ηλαδή: (+) (+)=(+) και (-) (-)=(+) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

22 ια να πολλαπλασιάσουμ δύο τρόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο γινόμνο βάζουμ το πρόσημο «-». ηλαδή: (+) (-)=(-) και (-) (+)=(-). Ποις ίναι οι ιδιότητς του πολλαπλασιασμού και ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι ; Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά δύο παραγόντων νός γινομένου ντιμταθτική ιδιότητα. α β = β α Μπορούμ να αντικαθιστούμ παράγοντς μ το γινόμνό τους ή να αναλύουμ ένα παράγοντα σ γινόμνο Προσταιριστική ιδιότητα. α (β γ) = (α β) γ Όταν ένας ρητός πολλαπλασιάζται μ τον αριθμό δν μταβάλλται. α = α = α Επιμριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθση και την αφαίρση: α (β + γ) = α β + α γ και α (β - γ) = α β - α γ ι ρητοί αριθμοί α και β λέγονται αντίστροφοι, όταν ίναι διάφοροι του μηδνός και το γινόμνό τους ίναι ίσο μ τη μονάδα: α β = καθένας από τους α και β ίναι αντίστροφος του άλλου. (προσοχή ο 0 δν έχι αντίστροφο) Όταν ένας ρητός πολλαπλασιάζται μ το 0 μηδνίζται. 0 α = α 0 = 0 2. Πώς ργαζόμαστ όταν έχουμ να υπολογίσουμ ένα γινόμνο μ πρισσότρους από δύο παράγοντς; νωρίζουμ ότι το γινόμνο θτικών ρητών ίναι πάντα θτικό. ν υπάρχι ένας παράγοντας που ίναι αρνητικός μτατρέπι το γινόμνο σ αρνητικό. Στην πρίπτωση που υπάρχι και δύτρος αρνητικός παράγοντας ξαναμτατρέπι το γινόμνο σ θτικό κ.ο.κ. Άρα: ια να υπολογίσουμ ένα γινόμνο πολλών παραγόντων (που κανένας δν ίναι μηδέν), πολλαπλασιάζουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο γινόμνο βάζουμ: Το πρόσημο +, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων ίναι άρτιο (ζυγό). Το πρόσημο -, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων ίναι πριττό (μονό). ν τουλάχιστον ένας παράγοντας ίναι μηδέν, τότ και το γινόμνο ίναι ίσο μ μηδέν Το σημίο του πολλαπλασιασμού «.» μταξύ των γραμμάτων και των παρνθέσων παραλίπται. 3. Πως διαρούμ δύο ρητούς ; ια να διαιρέσουμ δύο ρητούς αριθμούς, διαιρούμ τις απόλυτς τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμ: το πρόσημο +, αν ίναι ομόσημοι. ηλαδή: (+):(+)=(+) και (-):(-)=(+) το πρόσημο -, αν ίναι τρόσημοι. ηλαδή: (+):(-)=(-) και (-):(+)=(-) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 22

23 Το πηλίκο της διαίρσης α:β ή της ξίσωσης β x = α λέγται λόγος του α προς το β και ορίζται ως η μοναδική λύση Η διαίρση μπορί να γραφτί, πομένως για να διαιρέσουμ δύο ρητούς αριθμούς, αρκί να πολλαπλασιάσουμ το διαιρτέο μ τον αντίστροφο του διαιρέτη. ιαίρση μ διαιρέτη το μηδέν δν ορίζται. 4. Ποιοι αριθμοί καλούνται πριοδικοί και τι καλίται πρίοδος ; Η διαίρση : 7 δν ίναι τέλια. ίνι πηλίκο και υπόλοιπο. ν συνχίσουμ τη διαίρση θα βρούμ το δκαδικό αριθμό42.857, μ άπιρα δκαδικά ψηφία, τέτοια ώστ, να παναλαμβάνονται συνχώς τα ίδια έξι ψηφία Τους αριθμούς που βρήκαμ παραπάνω τους ονομάζουμ πριοδικούς δκαδικούς αριθμούς. Το πλήθος των παναλαμβανομένων δκαδικών ψηφίων κάθ πριοδικού αριθμού ονομάζται πρίοδος. νικότρα, λοιπόν, μπορούμ να πούμ ότι: Κάθ ρητός αριθμός μπορί να έχι τη μορφή δκαδικού ή πριοδικού δκαδικού αριθμού και συμβολίζται όπως φαίνται στα παραδίγματα. 5. Πως ορίζται η δύναμη νός ρητού αριθμού και ια ν =, γράφουμ α = α Η δύναμη αν διαβάζται και νιοστή δύναμη του α. Η δύναμη α 2 λέγται και ττράγωνο του α ή α στο ττράγωνο. Η δύναμη α 3 λέγται κύβος του α ή α στον κύβο. 6. Πως βρίσκουμ το πρόσημο της δύναμης στις διάφορς πριπτώσις ; ύναμη μ βάση θτικό αριθμό ίναι θτικός αριθμός. ν α > 0, τότ α ν > 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 23

24 ύναμη μ βάση αρνητικό αριθμό και κθέτη άρτιο ίναι θτικός αριθμός. ν α < 0 και ν άρτιος, τότ α ν > 0 ύναμη μ βάση αρνητικό αριθμό και κθέτη πριττό ίναι αρνητικός αριθμός. ν α < 0και ν πριττός, τότ α ν < 0 7. Ποις οι ιδιότητς δυνάμων ρητών μ κθέτη φυσικό ; ια να πολλαπλασιάσουμ δυνάμις μ την ίδια βάση, αφήνουμ την ίδια βάση και βάζουμ κθέτη το άθροισμα των κθτών. α μ α ν = α μ+ν ια να διαιρέσουμ δυνάμις μ την ίδια βάση, αφήνουμ την ίδια βάση και βάζουμ κθέτη τη διαφορά του κθέτη του διαιρέτη από τον κθέτη του διαιρτέου. α μ : α ν = α μ-ν ια να υψώσουμ ένα γινόμνο σ κθέτη, υψώνουμ κάθ παράγοντα του γινομένου στον κθέτη αυτό. (α β) ν = α ν β ν ια να υψώσουμ ένα πηλίκο σ έναν κθέτη, υψώνουμ καθένα από τους όρους του πηλίκου στον κθέτη αυτό. ν= ια να υψώσουμ μία δύναμη σ έναν κθέτη, υψώνουμ τη βάση της δύναμης στο γινόμνο των κθτών. (α μ ) ν = α μ ν Η δύναμη κάθ αριθμού, διάφορου του μηδνός μ κθέτη το μηδέν ίναι ίση μ μονάδα α 0 = 8. Πως ορίζται η δύναμη ρητού αριθμού μ κθέτη αρνητικό και ποια ίναι η άμση συνέπια του ορισμού αυτού ; Η δύναμη κάθ αριθμού, διάφορου του μηδνός, μ κθέτη αρνητικό ίναι ίση μ κλάσμα που έχι αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού μ αντίθτο κθέτη. Επιδή τα και ίναι αντίστροφοι αριθμοί, όπως και τα α και στην προηγούμνη σχέση, ξάγουμ το συμπέρασμα ότι ισχύι: ι ιδιότητς των δυνάμων μ κθέτη φυσικό, που μάθαμ στην προηγούμνη παράγραφο, ισχύουν και για τις δυνάμις μ κθέτη ακέραιο. 9. Ποια η τυποποιημένη μορφή μγάλων και μικρών αριθμών ; Όπως οι πολύ μγάλοι, έτσι και οι πολύ μικροί αριθμοί μπορούν να γραφούν σ τυποποιημένη μορφή και συγκκριμένα στη μορφή: α 0 -ν, όπου α ίναι ένας δκαδικός αριθμός μ ακέραιο μέρος μγαλύτρο ή ίσο του και μικρότρο του 0 και ν φυσικό αριθμό. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 24

25 ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθμός στις (α) κατοντάδς, (β) χιλιάδς (γ) κατομμύρια. (α) Τάξη στρογγυλοποίησης: κατοντάδς. Προηγούμνη τάξη: 4 < 5. Όλα τα προς τα δξιά ψηφία μηδνίζονται (β) Τάξη στρογγυλοποίησης: χιλιάδς Προηγούμνη τάξη: 8 > 5. Όλα τα προς τα δξιά ψηφία μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνται: 3 + = (γ) Τάξη στρογγυλοποίησης: κατομμύρια Προηγούμνη τάξη: 5 = 5. Όλα τα προς τα δξιά ψηφία μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνται 9 + = Να υπολογιστούν τα γινόμνα: (α) 35 0, (β) 42 00, (γ) 5.000, (δ) (α) 35 0 = 350 (β) = (γ) = (δ) = πό τα παραπάνω διαπιστώνουμ ότι για να πολλαπλασιάσουμ ένα αριθμό πί 0, 00,.000, γράφουμ στο τέλος του αριθμού τόσα μηδνικά όσα έχι κάθ φορά ο παράγοντας 0, 00, Να κτλστούν οι ακόλουθς πράξις: (α) , (β) , (γ) , (δ) (α) = 89 (7 + 3) = 89 0 = 890 (β) = ( ) 49 = = (γ) = 76 (3 3) = 76 0 = 760 (δ) = 284 (00 ) = = = Να υπολογιστούν το ττράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 0. Τι παρατηρίτ; 0 2 = 0 0= = 0 0 0=00 0 = = = =0.000 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 25

26 0 5 = = = = = = Παρατηρούμ ότι κάθ μία από τις δυνάμις του0, που υπολογίστηκαν, έχι τόσα μηδνικά όσος ίναι και ο κθέτης της δύναμης. ια παράδιγμα: 0 6 = (έξι μηδνικά). 5. Να κτλστούν οι πράξις: (α) (2 5) (3 + 2) 2 (β) (2 + 3) (α) (2 5) (3 + 2) 2 = = = = 0.00 (β) (2 + 3) = = = Να γραφί το ανάπτυγμα του αριθμού μ χρήση των δυνάμων του 0. Είναι: = 7 χιλ. + 6 κατ. + 0 δκ. + 4 μον. = = Η μορφή αυτή του αριθμού ίναι το ανάπτυγμα του αριθμού σ δυνάμις του Ποις από τις παρακάτω ισότητς κφράζουν Ευκλίδια διαίρση ; (α) 20 = (β).345 = (γ) 374 = (α) Έχουμ ν = 8, που ίναι μικρότρος από το 28 και μγαλύτρος το 4. Άρα, ίναι υπόλοιπο της Ευκλίδιας διαίρσης μ διαιρέτη μόνο το 28 και όχι το 4. (β) Έχουμ ν = 06, που ίναι μγαλύτρος από το 59 και από το 2. Άρα δν ίναι υπόλοιπο μιας Ευκλίδιας διαίρσης μ διαιρέτη το 59 ή το 2. (γ) Έχουμ ν = 6, που ίναι μικρότρος από το 8 και από το 48. Άρα ίναι υπόλοιπο της Ευκλίδιας διαί-ρσης μ διαιρέτη ίτ το 46 ίτ το ύο πλοία πισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά 3 ημέρς, το δύτρο ανά 4 ημέρς. ν ξκίνησαν από το νησάκι ταυτόχρονα, σ πόσς ημέρς θα ξαναβρθούν στο λιμάνι του νησιού; ρίσκουμ τα πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. Πολλαπλάσια του Πολλαπλάσια του ι αριθμοί 2, 24, 36, ίναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. Επιδή, το μικρότρο από τα κοινά πολλαπλάσια ίναι το 2, γράφουμ: ΕΚΠ (3, 4) = 2. ηλαδή, ακριβώς μτά από 2 ημέρς θα ξαναβρθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα παναλαμβάνται κάθ 2 ημέρς. 9. Να αναλυθούν οι αριθμοί 2520, 2940, 3780 σ γινόμνο πρώτων παραγόντων. Μ τη βοήθια αυτής της ανάλυσης να βρθί ο ΜΚ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 26

27 ναλύουμ τους αριθμούς σ γινόμνα πρώτων παραγόντων και παίρνουμ μόνο τους κοινούς παράγοντς μ το μικρότρο κθέτη για το ΜΚ και τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντς μ το μγαλύτρο κθέτη για το ΕΚΠ διαιρώ μ το » 630 2» 35 3 διαιρώ μ το = » 35 5 διαιρώ μ το διαιρώ μ το διαιρώ μ το » διαιρώ μ το = διαιρώ μ το διαιρώ μ το 7 7 7» διαιρώ μ το » διαιρώ μ το = » 05 3» 35 5 διαιρώ μ το διαιρώ μ το 7 ΜΚ (2520, 2940, 3780) = = 420 ΕΚΠ (2520, 2940, 3780) = = Να βρθί αν διαιρούνται οι αριθμοί 250, 772, 225, 3600 μ 2, 3, 4, 5, 9, 0, 25, ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 27

28 . ΚΕΦΛΙ 2ο ΚΛΣΜΤ ΣΚΗΣΕΙΣ. Μια σοκολάτα ζυγίζι 20 gr και έχι 6 ίσα κομμάτια (α) Ποιο μέρος της σοκολάτας ίναι το κάθ κομμάτι; (β) Πόσα κομμάτια πρέπι να κόψουμ για να πάρουμ 40 gr; (α) Το κάθ κομμάτι ίναι το της σοκολάτας. 6 (β) Το βάρος κάθ κομματιού θα ίναι το του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή: gr. Άρα τα 40 gr ίναι τα της σοκολάτας ηλαδή, πρέπι να κόψουμ 2 κομμάτια για να πάρουμ 40 gr. 2. Το καμπαναριό μιας κκλησίας έχι ύψος 20 m, νώ η κκλησία έχι ύψος τα του ύψους του καμπαναριού.ποιο ίναι το ύψος της κκλησίας; Το 5 5 του ύψους του καμπαναριού ίναι 20 m, Επομένως το αυτού θα ίναι 5 3 Τότ τα m = m = 4 m. 5 5 θα ίναι 3 4 m = 2 m. Άρα το ύψος της κκλησίας θα ίναι 2 m. 20 m Μια δξαμνή πτρλαίου σ μια πολυκατοικία, χωράι 2000 lt. διαχιριστής σ μια 3 μέτρηση βρήκ ότι ήταν γμάτη κατά τα.πόσα λίτρα πτρλαίου ίχ η δξαμνή; 4 Η δξαμνή ολόκληρη ίναι τα Το της δξαμνής θα χωράι και χωράι 2000 lt lt = 4 4 lt = 500 lt. Συμπραίνουμ λοιπόν ότι τα θα πριέχουν lt = 500 lt. ια να βρούμ την τιμή του μέρους ξκινάμ από την τιμή του όλου που ίναι η τιμή της μονάδας. 4. Τα 5 3 του κιλού τυρί κοστίζουν 27. Πόσο κοστίζουν τα 9 8 του κιλού. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 28

29 Τα 5 3 κοστίζουν 27. Άρα το 5 θα κοστίζι 27 : 3 = 9. 5 Τα κοστίζουν 5 9 = ια να βρούμ την τιμή του όλου ξκινάμ από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμ την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα). 9 Τα κοστίζουν Άρα το κοστίζι = Έτσι τα 9 8 κοστίζουν 8 5 = : ιότι ίναι: = 5 5 = 9 9 = 5. Να ξτάστ αν τα κλάσματα: (α) και, (β) και ίναι ισοδύναμα (α) Υπολογίζουμ τα χιαστί γινόμνα, δηλαδή: 3 4 = 42 και 5 0 = 50 Τα γινόμνα δν ίναι ίσα, άρα και τα κλάσματα δν ίναι ισοδύναμα. (β) Υπολογίζουμ τα χιαστί γινόμνα : 3 48 = 44 και 8 8 = 44 Τα γινόμνα ίναι ίσα, άρα και τα κλάσματα ίναι ισοδύναμα, δηλαδή: και Να απλοποιηθί το κλάσμα. 66 ΜΚ των όρων του κλάσματος 30 και 66 ίναι: ΜΚ (30, 66) = : 6 ιαιρούμ τους όρους του κλάσματος μ το 6 και έχουμ: : 6 7. Να μτατραπούν σ ομώνυμα τα κλάσματα 3, και, 20 Πριν από κάθ μτατροπή τρώνυμων κλασμάτων σ ομώνυμα λέγχουμ αν τα κλάσματα απλοποιούνται. ΜΚ (5, 20) = 5 ιαιρούμ τους όρους του κλάσματος 5, : : μ το 5 και έχουμ: ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 29

30 ρίσκουμ το ΕΚΠ των παρονομαστών των ανάγωγων τρωνύμων κλασμάτων. ΕΚΠ (5, 3, 4) = 60 ιαιρούμ το ΕΚΠ μ καθένα από τους παρονομαστές 60 : 5 = 2 60 : 3 = : 4 = 5 Πολλαπλασιάζουμ τους δύο όρους κάθ κλάσματος πί τον αντίστοιχο αριθμό που βρήκαμ Επομένως τα κλάσματα μτατράπηκαν στα ισοδύναμα ομώνυμα:, και , Να συγκριθούν τα κλάσματα 0. πό το σχήμα παρατηρούμ ότι σ όσα πρισσότρα μέρη χωρίζται ένα συγκκριμένο μέγθος, τόσο μικρότρα ίναι τα μέρη αυτά. 7 7 ηλαδή: και και Να συγκριθούν τα κλάσματα και. 9 Μτατρέπουμ τα κλάσματα σ ομώνυμα, ΕΚΠ (8, 9) = 72, πομένως 72 : 8 = 9 και 72 : 9 = 8 οπότ = 72 και 9 = 72. Άρα Να τοποθτηθούν στην υθία των αριθμών τα κλάσματα: (α) (β) 8. 5 (α) ια το κλάσμα 2 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ και 2 3 γνωρίζουμ ότι: 0 ηλαδή βρίσκται μταξύ των 3 3 φυσικών αριθμών 0 και. Επιδή ο παρονομαστής ίναι ο αριθμός 3, η απόσταση των φυσικών 0 και πρέπι να χωριστί σ 3 ίσα μέρη. Το σημίο απέχι 3 2 από το απόσταση ίση μ τα 2 3 του. Έτσι, το τοποθτίται στο σημίο του 2. 3

31 (β) ια το κλάσμα γνωρίζουμ ότι: Καθένα, από τα τμήματα και του σχήματος ίναι ίσο μ τη μονάδα. Τα χωρίζουμ σ 5 ίσα τμήματα, ώστ το καθένα να ίναι ίσο μ το 5 της μονάδας. Το υθύγραμμο τμήμα αποτλίται από 8 ίσα τμήματα ίσα μ το 5 της μονάδας το καθένα. Το μήκος ίναι 5 8 του. Άρα το κλάσμα του τοποθτίται στο σημίο = = Τα κλάσματα Να βρθί ένα κλάσμα μγαλύτρο από το 5 2 και μικρότρο από τα και 5 3 ίναι ομώνυμα και ανάμσα στους αριθμητές τους 2 και 3 δν υπάρχι άλλος φυσικός αριθμός. Μπορούμ, όμως, να βρούμ ισοδύναμα κλάσματα μ αυτά π.χ. τα 0 4 και 0 6, για τα οποία μταξύ των αριθμητών τους 4 και 6 υπάρχι ο αριθμός 5. Επομένως, αφού το κλάσμα ίναι μταξύ των Να υπολογισθί το άθροισμα Μτατρέπουμ το φυσικό αριθμό σ κλάσμα μ παρονομαστή 4. και 6 0, θα ίναι και Είναι: a 2. Να αποδιχθί ότι: α) a (α) a (β) a και (β) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

32 Να υπολογισθί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων και 2 20 Τα κλάσματα ίναι τρώνυμα και πρέπι πρώτα να μτατραπούν σ ισοδύναμα ομώνυμα. Έχουμ: ΕΚΠ (2, 20) = 60 οπότ: 60 : 2 = 5 και 60 : 20 = Να βρθί η διαφορά: και το αποτέλσμα να γίνι μικτός ια να τρέψουμ το αποτέλσμα σ μικτό αριθμό κτλούμ την υκλίδια διαίρση: = και έχουμ: Να βρθί το άθροισμα Την πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρψ το γκαζόν στο /2 μιας στρογγυλής πλατίας. Την δύτρη ήμρα, ξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφρ να κουρέψι μόνο το /3 του αρχικού γκαζόν. Ποιο μέρος από το γκαζόν της πλατίας κουρύτηκ μέχρι και το τέλος της δύτρης μέρας; ια να βρούμ το μέρος της πλατίας που κουρύτηκ, στο τέλος της δύτρης ημέρας, δν έχουμ παρά να προσθέσουμ τα δύο κλάσματα, δηλαδή το ½ και το /3 λλά, για να κτλέσουμ αυτή την πρόσθση πρέπι να μτατρέψουμ τα δύο κλάσματα σ ομώνυμα. Άρα, θα έχουμ: ια να βρούμ ποιο κλάσμα της πλατίας έχι απομίνι για κούρμα, πρέπι να αφαιρέσουμ 6 5 από το όλο μέρος, δηλαδή: Να βρθί το γινόμνο: η ημέρα = 56 7 η ημέρα = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 32

33 9. Σ ένα σχολίο μ 252 μαθητές, τα 5/9 ίναι αγόρια. Να βρις πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχι το σχολίο φού τα αγόρια ίναι τα 5/9 των μαθητών, θα ίναι: Επομένως, τα κορίτσια θα ίναι: = 2. \ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 33

34 ΚΕΦΛΙ 3ο ΕΚΙΚΙ ΡΙΘΜΙ ΣΚΗΣΕΙΣ. Να γραφούν τα κλάσματα που ακολουθούν, ως δκαδικοί αριθμοί μ την κτέλση των αντίστοιχων διαιρέσων: (α) 20/4, (β) 50/8, (γ) 520/67 (α) 20/4=20:4=5 (β) 50/8=50:8=6,25 (γ) 520/67=520:67=7,769 Στην πρίπτωση αυτή το πηλίκο δν ίναι ακριβές και συνήθως γράφται μ προσέγγιση δέκατου 7,8 ή κατοστού 7,77 ή χιλιοστού 7,76 κλπ. 2. Να γραφούν, ως κλάσματα, οι δκαδικοί αριθμοί: (α) 2,35 και (β) 0,348. (α) 2,35 = 235 : 00 = 235/00 (β) 0,348 = 348 : 000 = 348/ Να γραφούν, ως δκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα: (α) 34/00 και (β) 769/000 (α) 34/00 = 34 : 00 = 3,4 (β) 769 / 000 = 769 : 000 = 0, , ,769 7, Να μτατραπί το κλάσμα 0/8 σ δκαδικό κλάσμα. ρχικά, μτατρέπουμ το κλάσμα 0/8 σ δκαδικό αριθμό, κτλώντας τη διαίρση και έχουμ: 0/8 = 0 : 8 =,25. δκαδικός,25 μτατρέπται σ δκαδικό κλάσμα,25 = 25 : 00 = 25/00. Άρα 0/8 = 25/ Να τοποθτηθούν στην υθία των αριθμών οι δκαδικοί αριθμοί: (α) 0,8 και (β),35. (α) Ισχύι, ότι: 0 < 0,8 <. ηλαδή, το τμήμα της υθίας μταξύ των φυσικών αριθμών 0 και πρέπι να χωριστί σ 0 ίσα μέρη (δέκατα). 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 34

35 (β) Επίσης, ισχύι: <,35 < 2. ηλαδή, το τμήμα της υθίας μταξύ των φυσικών αριθμών και 2 πρέπι να χωριστί σ 00 ίσα μέρη (κατοστά).,35,,2,3,4,5,6 3. Να γραφούν σ τυποποιημένη μορφή οι : (α) και (β) = 5, = Η πιφάνια νός κύβου έχι μβαδόν 96 cm 2. Να βρθί ο όγκος του. Επιδή ο κύβος έχι 6 έδρς, η κάθ έδρα του θα έχι μβαδόν 96 cm 2 : 6 = 6 cm 2. λλά ίναι 6 cm 2 = 4 cm 4 cm = (4 cm) 2, άρα, η ακμή του κύβου ίναι 4 cm. Επομένως, ο όγκος του κύβου ίναι: (4 cm) 3 = 4 cm 4 cm 4 cm = 64 cm 3 5. Μια αμαξοστοιχία διανύι την απόσταση θήνας - Πύργου σ 4 ώρς και 57 λπτά. ν η αμαξοστοιχία ξκινά από την θήνα στις 9:0 π.μ., ποια ώρα θα φτάσι στον Πύργο; Η αμαξοστοιχία θα φτάσι στις 9h 0min + 4h 57min = 3h 67min = 4h 7min, δηλαδή, θα φτάσι στον Πύργο στις 2:07 μ.μ., μτά το μσημέρι. 6. Να βρθί η πρίμτρος του σχήματος: (α) σ μέτρα, (β) σ κατοστά και (γ) σ χιλιόμτρα. 23,5 m 22,7 m 38,53 m (α) Η πρίμτρος σ μέτρα ίναι ίση μ το άθροισμα των μηκών των πλυρών του, δηλαδή: 26,6 m + 23,5 m + 22,7 m + 38,53 m =,8 m. (β) Είναι,8 m =,8 m 0,00 = 0,8 Km. (γ) Επίσης ίναι,8 m 00 = 80 cm. 27,6 m.μια δξαμνή νρού τρύπησ και χύνονται 2 σταγόνς κάθ δυτρόλπτο. ν οι 25 σταγόνς έχουν μάζα,5 g, να βρθί η μάζα του νρού που χάνται κάθ ώρα. Κάθ δυτρόλπτο χύνονται 2 σταγόνς νρού, άρα σ h = 3600s θα χυθούν: = 7200 σταγόνς νρού. υτές θα έχουν μάζα: (7200 : 25),5 g = 288,5 g = 432 g = 0,432 Kg ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 35

36 ΚΕΦΛΙ 4ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ ΣΚΗΣΕΙΣ.Να λυθούν οι ξισώσις: x + 5 = 2, y 2 = 3, 0 z =, 7 φ = 4, ω : 5 = 4, 24 : ψ = 6 x + 5 = 2 x = 2 5 ή x = 7, y 2 = 3 y = 3 + 2, ή y = 5, 0 z = z = 0, ή z = 9, 7 φ = 4 φ = 4 : 7, ή φ = 2, ω : 5 = 4 ω = 4 5 ή ω = 20, 24 ψ = 6 ψ = 24 : 6 ή ψ = 4 2.Μια δξαμνή χωρητικότητας 6 m 3 που έχι μήκος,5 m και πλάτος 2 m, έχι ύψος (α),5 m ή (β) 3 m ή (γ) 2 m; ν συμβολίσουμ μ x το ύψος της δξαμνής, τότ ο όγκος της θα ισούται μ: V =,5 2 x. Όμως γνωρίζουμ ότι ο όγκος της δξαμνής ίναι 6 m 3, άρα 3 x = 6. (ν γράφουμ τις μονάδς στις ξισώσις, αλλά πρέπι να γνωρίζουμ ποις μονάδς χρησιμοποιούμ). Επομένως, x = 6 : 3, δηλαδή x = 2m. Συνπώς το σωστό ύψος της δξαμνής ίναι τα 2 m. 3. Να πριγράψις κάποιο πρόβλημα, που να λύνται μ τη βοήθια της ξίσωσης: 2 x = 000 ια παράδιγμα τα δύο παρακάτω προβλήματα πριγράφονται από την ξίσωση αυτή. Μ τι ισούται η μία πλυρά του ορθογωνίου, που έχι πρίμτρο 000 m και του οποίου η άλλη πλυρά ίναι 400 m; Πόσο ζυγίζι καθένα από τα δύο κιβώτια, μ τα οποία ίναι φορτωμένο ένα αυτοκίνητο, που έχι βάρος 800 Kg, όταν η πλάστιγγα που ανέβηκ δίχνι 000 Kg; 4.Η Χριστίνα ξόδψ τα μισά της χρήματα για να αγοράσι 2 ττράδια και μαρκαδόρους. ν ίναι γνωστό, ότι κάθ ττράδιο στοιχίζι και όλοι οι μαρκαδόροι 3, ποιο ίναι το ποσό των χρημάτων που ίχ η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές; Το ζητούμνο του προβλήματος ίναι το ποσό των χρημάτων που ίχ η Χριστίνα, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος. Το πρόβλημα μπορί να πριγραφί απλούστρα μ την ξίσωση: «τα χρήματα που ξοδύτηκαν» = «τα χρήματα που κόστιζαν οι αγορές» ή «τα μισά χρήματα της Χριστίνας»= «το κόστος των ττραδίων» + «το κόστος μαρκαδόρων» ή x : 2 = ή x : 2 = ή x : 2 = 5 ή x = 5 2 ή x = 0 Επαλήθυση: Τα μισά των 0 ίναι 5 και τα έξοδα ίναι = 5. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 36