ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Transcript

1 ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

2 ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι αριθμοί 0,, 2, 3, 4, 5, 6,, που δηλώνουν πλήθος ή σιρά ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Κάθ φυσικός αριθμός έχι έναν πόμνο και ένα προηγούμνο φυσικό αριθμό, κτός από το 0 που έχι μόνο πόμνο, το. ι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σ δύο κατηγορίς: τους άρτιους ή ζυγούς και τους πριττούς ή μονούς. Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μ το 2 και πριττοί κίνοι που δν διαιρούνται μ το Ποια ίναι τα σύμβολα της διάταξης και πως διατάσσονται οι φυσικοί αριθμοί; πάντηση Τα σύμβολα της διάταξης ίναι : το = που σημαίνι ίσος μ, το < που σημαίνι μικρότρος από και το > που σημαίνι μγαλύτρος από. Μπορούμ πάντα να συγκρίνουμ δύο φυσικούς αριθμούς μταξύ τους. Επομένως έχουμ τη δυνατότητα να διατάξουμ τους φυσικούς αριθμούς από το μικρότρο προς το μγαλύτρο, δηλαδή μ αύξουσα σιρά μγέθους. ια παράδιγμα: 0<<2<3<... <0<<2< 3. Πώς παριστάνονται οι φυσικοί αριθμοί σ μία υθία; πάντηση Η δυνατότητα αυτή, της διάταξης των φυσικών αριθμών, πιτρέπι να τους τοποθτήσουμ πάνω σ μια υθία γραμμή μ τον παρακάτω τρόπο: ιαλέγουμ αυθαίρτα ένα σημίο της υθίας, που το λέμ αρχή, για να παραστήσουμ τον αριθμό 0. Μτά, δξιά από το σημίο διαλέγουμ ένα άλλο σημίο, που παριστάνι τον αριθμό. Τότ, μ μονάδα μέτρησης το, βρίσκουμ τα σημία που παριστάνουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, Τι ονομάζουμ στρογγυλοποίηση και πως γίνται αυτή ; πάντηση Πολλές φορές αντικαθιστούμ ένα φυσικό αριθμό μ μια προσέγγιση του, δηλαδή κάποιο άλλο λίγο μικρότρο ή λίγο μγαλύτρό του. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμ στρογγυλοποίηση. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

3 ια να στρογγυλοποιήσουμ ένα φυσικό αριθμό: - Προσδιορίζουμ τη τάξη στην οποία θα γίνι η στρογγυλοποίηση. - Εξτάζουμ το ψηφίο της αμέσως μικρότρης τάξης. - ν αυτό ίναι μικρότρο του 5 (δηλαδή 0,, 2, 3 ή 4), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται. - ν ίναι μγαλύτρο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνται κατά. 5. Τι ονομάζουμ πρόσθση και ποις οι ιδιότητς αυτής; πάντηση Πρόσθση ίναι η πράξη μ την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους προσθτέους, βρίσκουμ ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που ίναι το άθροισμά τους και γράφουμ: α + β = γ Ιδιότητς της πρόσθσης: Το 0 όταν προστθί σ ένα φυσικό αριθμό δν τον μταβάλλι. (υδέτρο στοιχίο) α + 0 = 0 + α = α Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά των δύο προσθτέων νός αθροίσματος (ντιμταθτική ιδιότητα). α + β = β + α Μπορούμ να αντικαθιστούμ προσθτέους μ το άθροισμά τους ή να αναλύουμ ένα προσθτέο σ άθροισμα (Προσταιριστική ιδιότητα). α + (β + γ) = (α + β) + γ 6. Τι ονομάζουμ αφαίρση και πότ γίνται αυτή ; πάντηση φαίρση ίναι η πράξη μ την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (μιωτέος) και (αφαιρτέος) βρίσκουμ έναν αριθμό (διαφορά), ο οποίος όταν προστθί στο δίνι το Μ. Μ = + και γράφουμ = Μ - Στους φυσικούς αριθμούς ο αφαιρτέος πρέπι να ίναι πάντα μικρότρος ή ίσος του μιωτέου Μ. Σ αντίθτη πρίπτωση η πράξη της αφαίρσης δν ίναι δυνατόν να κτλστί. 7. Τι ονομάζουμ πολλαπλασιασμός και ποις οι ιδιότητς αυτού; πάντηση Πολλαπλασιασμός ίναι η πράξη μ την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, τους παράγοντς, βρίσκουμ ένα τρίτο φυσικό αριθμό γ, που ίναι το γινόμνο τους: α β = γ Ιδιότητς του πολλαπλασιασμού: Το όταν πολλαπλασιαστί μ ένα φυσικό αριθμό δν τον μταβάλλι. (υδέτρο στοιχίο) α = α = α Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά των παραγόντων νός γινομένου (ντιμταθτική ιδιότητα) α β = β α Μπορούμ να αντικαθιστούμ παράγοντς μ το γινόμνό τους ή να αναλύουμ ένα παράγοντα σ γινόμνο (Προσταιριστική ιδιότητα) α (β γ) = (α β) γ Επιμριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθση: α (β + γ) = α β + α γ Επιμριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρση: α (β - γ) = α β - α γ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

4 8. Τι ονομάζουμ νιοστή δύναμη αριθμού, τι βάση,τι κθέτη,τι ττράγωνο, τι κύβο,τι πρώτη δύναμη και μ τι ίναι ίσς οι δυνάμις του ; πάντηση Το γινόμνο α α α α, που έχι ν παράγοντς ίσους μ το α, λέγται δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζται μ α ν. αριθμός α λέγται βάση της δύναμης και ο ν λέγται κθέτης. Η δύναμη του αριθμού στη δυτέρα, δηλαδή το α 2, λέγται και ττράγωνο του α. Η δύναμη του αριθμού στην τρίτη, δηλαδή το α 3, λέγται και κύβος του α. Το α, δηλαδή η πρώτη δύναμη νός αριθμού α ίναι ο ίδιος ο αριθμός α. α ν = α α α α ν παράγοντς α 2 α 3 α = α ν = ι δυνάμις του δηλαδή το ν, ίναι όλς ίσς μ. 9. Τι ονομάζουμ αριθμητική παράσταση και ποια ίναι η προτραιότητα πράξων σ μια τέτοια παράσταση; πάντηση ριθμητική παράσταση λέγται κάθ σιρά αριθμών που συνδέονται μταξύ τους μ τα σύμβολα των πράξων. Η σιρά μ την οποία πρέπι να κάνουμ τις πράξις σ μία αριθμητική παράσταση (προτραιότητα των πράξων) ίναι η ακόλουθη:. Υπολογισμός δυνάμων. 2. Εκτέλση πολλαπλασιασμών και διαιρέσων 3. Εκτέλση προσθέσων και αφαιρέσων. ν υπάρχουν παρνθέσις, κτλούμ πρώτα τις πράξις μέσα στις παρνθέσις μ την παραπάνω σιρά. 0. Τι ονομάζουμ Ευκλίδια διαίρση και τέλια διαίρση; πάντηση Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί και δ, τότ υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστ να ισχύι: = δ π + υ. αριθμός λέγται διαιρτέος, ο δ λέγται διαιρέτης, ο αριθμός π ονομάζται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρσης. Το υπόλοιπο ίναι αριθμός πάντα μικρότρος του διαιρέτη: υ < δ. Η διαίρση της παραπάνω μορφής λέγται Ευκλίδια ιαίρση. ν το υπόλοιπο υ ίναι 0, τότ λέμ ότι έχουμ μία Τέλια διαίρση: = δ π. Στους φυσικούς αριθμούς η τέλια διαίρση ίναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού, όπως ίναι και η αφαίρση πράξη αντίστροφη της πρόσθσης. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 4

5 . Ποις ίναι οι άμσς συνέπις της διαίρσης; πάντηση διαιρέτης δ μιας διαίρσηςδν μπορί να ίναι 0. δ 0 Όταν = δ, τότ το πηλίκο π = α : α = Όταν ο διαιρέτης δ =, τότ το πηλίκο π = α : = α Όταν ο διαιρτέος = 0, τότ το πηλίκο π = 0 0 : α = 0 2. Τι ονομάζουμ πολλαπλάσια νός φυσικού αριθμού α, ποις οι ιδιότητς των πολλαπλάσιών και τι ονομάζουμ Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο; πάντηση Πολλαπλάσια νός φυσικού αριθμού α ίναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του μ όλους τους φυσικούς αριθμούς. 0, α, 2α, 3α, 4α, Κάθ φυσικός αριθμός διαιρί τα πολλαπλάσιά του. Κάθ φυσικός που διαιρίται από έναν άλλο ίναι πολλαπλάσιό του. ν ένας φυσικός διαιρί έναν άλλον θα διαιρί και τα πολλαπλάσιά του. Το μικρότρο μη μηδνικό από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή πρισσότρων αριθμών που δν ίναι μηδέν το ονομάζουμ Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών 3. Τι ονομάζουμ διαιρέτς νός φυσικού αριθμού α, ποιοι ίναι οι διαιρέτς του α, τι ονομάζουμ πρώτους και τι σύνθτους αριθμούς; πάντηση ιαιρέτς νός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν. Κάθ αριθμός α έχι διαιρέτς τους αριθμούς και α. Ένας αριθμός που έχι διαιρέτς μόνο τον αυτό του και το λέγται πρώτος αριθμός, διαφορτικά λέγται σύνθτος. 4. Τι ονομάζουμ Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μταξύ τους; πάντηση ύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορί να έχουν κοινούς διαιρέτς. μγαλύτρος από αυτούς ονομάζται Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (ΜΚ) των α και β και συμβολίζται ΜΚ (α, β). ύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μταξύ τους αν ίναι ΜΚ (α, β) =. 5. Ποια ίναι τα κριτήρια ιαιρτότητας πάντηση Κριτήρια ιαιρτότητας μ 2, 3, 4, 5, 9, 0 ή 25 λέγονται οι κανόνς μ τους οποίους μπορούμ να συμπραίνουμ, χωρίς να κάνουμ τη διαίρση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ τους αριθμούς αυτούς. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ 0, αν λήγι σ ένα μηδνικό. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 2, αν το τλυταίο ψηφίο ίναι 0, 2, 4,6, 8. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 5, αν λήγι σ 0 ή 5. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρίται μ το 3 ή το 9 αντίστοιχα. Ένας φυσικός αριθμός διαιρίται μ το 4 ή το 25, αν τα δύο τλυταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρίται μ το 4 ή το 25 αντίστοιχα ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 5

6 ΚΕΦΛΙ 2ο ΚΛΣΜΤ. Τι καλίται νιοστό, τι κλάσμα (κάπα νιοστά); Πότ ένα κλάσμα ίναι μγαλύτρο του ; Μπορί ένας φυσικός να γραφί ως κλάσμα; πάντηση Όταν ένα μέγθος ή ένα σύνολο ομοιδών αντικιμένων χωρισθί σ ν ίσα μέρη, το κάθ ένα από αυτά ονομάζται νιοστό και συμβολίζται μ το. αριθμητής παρονομαστής κλασματική γραμμή 2. 3 όροι του κλάσματος Κάθ τμήμα του μγέθους ή του συνόλου αντικιμένων, που αποτλίται από κ τέτοια ίσα μέρη, συμβολίζται μ το κλάσμα και διαβάζται «κάπα νιοστά». μ 0 Η έννοια του κλάσματος πκτίνται και στην πρίπτωση που ο αριθμητής ίναι μγαλύτρος από τον παρονομαστή. Τότ το κλάσμα ίναι μγαλύτρο από το. Κάθ φυσικός αριθμός μπορί να έχι τη μορφή κλάσματος μ παρονομαστή το. 2. Τι καλούμαι ισοδύναμα κλάσματα, τι κφράζουν, τι ισχύι γι αυτά και πως μπορούμ να τα κατασκυάσουμ; πάντηση ύο κλάσματα και λέγονται ισοδύναμα όταν κφράζουν το ίδιο τμήμα νός μγέθους ή ίσων μγθών. Επιδή ακριβώς κφράζουν το ίδιο τμήμα νός μγέθους ίναι και ίσα και γράφουμ: ν δύο κλάσματα και ίναι ισοδύναμα τότ τα χιαστί γινόμνα α δ και β γ ίναι ίσα. ηλαδή: αν τότ α δ = β γ ια να κατασκυάσουμ ισοδύναμα κλάσματα ή για να διαπιστώσουμ ότι δύο κλάσματα ίναι ισοδύναμα, μπορούμ να φαρμόζουμ τους παρακάτω κανόνς: Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι νός κλάσματος μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. Όταν οι όροι νός κλάσματος διαιρθούν μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 6

7 3. Τι καλούμαι απλοποίηση και πότ ένα κλάσμα λέγται ανάγωγο; πάντηση Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι νός κλάσματος μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. Όταν οι όροι νός κλάσματος διαιρθούν μ τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτι κλάσμα ισοδύναμο. Η διαδικασία αυτή λέγται απλοποίηση του κλάσματος και έχι ως αποτέλσμα ένα κλάσμα ισοδύναμο μ το αρχικό μ μικρότρους όρους. Το κλάσμα κίνο που δν μπορί να απλοποιηθί (δν υπάρχι κοινός διαιρέτης αριθμητή και παρονομαστή) λέγται ανάγωγο. 4. Ποια κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα και ποια τρώνυμα; πάντηση Όταν δύο ή πρισσότρα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα και όταν έχουν διαφορτικούς παρονομαστές ονομάζονται τρώνυμα. 5. Πως συγκρίνουμ κλάσματα; πάντηση νικά, για τη σύγκριση κλασμάτων ισχύουν τα ξής: πό δύο ομώνυμα κλάσματα, κίνο που έχι τον μγαλύτρο αριθμητή ίναι μγαλύτρο. 9 5 π.χ. 3 3 ια να συγκρίνουμ τρώνυμα κλάσματα τα μτατρέπουμ σ ομώνυμα και συγκρίνουμ τους αριθμητές τους. πό δύο κλάσματα μ τον ίδιο αριθμητή μγαλύτρο ίναι κίνο μ τον μικρότρο 0 0 παρονομαστή. π.χ Πως προσθέτουμ και πως αφαιρούμ κλάσματα; πάντηση νικά, για την πρόσθση και την αφαίρση κλασμάτων ισχύουν τα ξής: Προσθέτουμ δύο ή πρισσότρα ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους Προσθέτουμ τρώνυμα κλάσματα αφού πρώτα τα μτατρέψουμ σ ομώνυμα. φαιρούμ δύο ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους φαιρούμ δύο τρώνυμα κλάσματα αφού τα μτατρέψουμ πρώτα σ ομώνυμα. 7. Τι καλίται μικτός αριθμός; πάντηση Μρικές φορές αντί να γράφουμ, γράφουμ πιο απλά. συμβολισμός αυτός, που παριστάνι το άθροισμα νός ακέραιου μ ένα κλάσμα μικρότρο της μονάδας, ονομάζται μικτός αριθμός. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 7

8 8. Πως πολλαπλασιάζουμ κλάσματα και ποια κλάσματα ονομάζονται αντίστροφα; πάντηση Το γινόμνο δύο κλασμάτων ίναι το κλάσμα που έχι αριθμητή το γινόμνο των αριθμητών a και παρονομαστή το γινόμνο των παρονομαστών. Το γινόμνο νός φυσικού αριθμού πί ένα κλάσμα ίναι το κλάσμα μ αριθμητή το γινόμνο του αριθμητή πί τον φυσικό αριθμό και μ τον ίδιο παρονομαστή. a a a Τα κλάσματα που έχουν γινόμνο λέγονται αντίστροφα. Επιδή τα κλάσματα και ίναι αντίστροφα. 9. Ποις ιδιότητς ισχύουν στα κλάσματα; πάντηση Ισχύουν όλς οι ιδιότητς των πράξων των φυσικών αριθμών στα κλάσματα. Το δ μταβάλλι το γινόμνο a ντιμταθτική a Προσταιριστική ( ) ( ) a Επιμριστική ( ) ) a ( ) ) 0. Πως διαιρούμ φυσικούς αριθμούς, πως διαιρούμ κλάσματα, τι ονομάζουμ σύνθτο κλάσμα και πως αυτό μτατρέπται σ απλό; πάντηση ια να διαιρέσουμ δύο φυσικούς αριθμούς αρκί να πολλαπλασιάσουμ το διαιρτέο μ τον αντίστροφο του διαιρέτη. a : a ια να διαιρέσουμ δύο κλάσματα αρκί να πολλαπλασιάσουμ το διαιρτέο μ τον αντίστροφο a του διαιρέτη. : Ένα κλάσμα, του οποίου ένας τουλάχιστον όρος του ίναι κλάσμα, ονομάζται σύνθτο κλάσμα. Μτατροπή σύνθτου σ απλό: a b c d ad bc ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

9 ΚΕΦΛΙ 3ο ΕΚΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. ια ποιο λόγο χρησιμοποιούμ τους δκαδικούς αριθμούς και τι ονομάζουμ δκαδικό κλάσμα; πάντηση Σ πολλές πριπτώσις μτρήσων οι φυσικοί αριθμοί δν παρκούν να κφράσουν τα αποτλέσματα αυτών των μτρήσων μ ακρίβια. ια αυτό το λόγο χρησιμοποιούμ τους δκαδικούς αριθμούς. καδικό κλάσμα λέγται το κλάσμα που έχι παρονομαστή μια δύναμη του 0. Τα κλάσματα που έχουν παρονομαστές τους φυσικούς αριθμούς 0,00,000 και 0000, που ίναι δυνάμις του 0: 0, 0 2, 0 3 και Πως γράφται ένας δκαδικός αριθμός, σ τι μέρη διακρίνται πως χωρίζονται αυτά και πως συγκρίνουμ δκαδικούς; πάντηση Στο δκαδικό μέρος οι τάξις ίναι τα δέκατα, τα κατοστά, τα χιλιοστά, τα δκάκις χιλιοστά, τα κατοντάκις χιλιοστά, τα κατομμυριοστά κ.λπ. Στο ακέραιο μέρος οι τάξις ίναι σ μονάδς, δκάδς κ.λπ. έκα μονάδς μίας τάξης ίναι μια μονάδα μγαλύτρης τάξης Σ κάθ δκαδικό αριθμό διακρίνουμ το ακέραιο μέρος και το δκαδικό μέρος του. υτά διαχωρίζονται από την υποδιαστολή. ν δύο δκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μγαλύτρος ίναι αυτός που έχι το μγαλύτρο ψηφίο στην αρχική τάξη. 8,97453 < 9,432 ν δύο δκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μγαλύτρος ίναι κίνος που έχι το αμέσως πόμνο ψηφίο μγαλύτρο. 05,3842 > 05, Πως στρογγυλοποιούμαι έναν δκαδικό αριθμό; πάντηση ια να στρογγυλοποιήσουμ ένα δκαδικό αριθμό: Προσδιορίζουμ τη δκαδική τάξη στην οποία θα γίνι η στρογγυλοποίηση. Εξτάζουμ το ψηφίο της αμέσως μικρότρης τάξης. ν αυτό ίναι μικρότρο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται. ν ίναι μγαλύτρο ή ίσο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότρων τάξων μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνται κατά. π.χ α) 957, ,384 β)957, ,38 γ)957, ,4 δ)957, ) 957, στ)957, Πως προσθέτουμ και πως αφαιρούμ δκαδικούς αριθμούς; πάντηση Η Πρόσθση και η φαίρση δκαδικών αριθμών γίνται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Προσθέτουμ ή αφαιρούμ τα ψηφία της ίδιας τάξης, τοποθτώντας τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο έτσι, ώστ οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 9

10 π.χ. 86, ,76 + 4,085 29,667 46, Πως πολλαπλασιάζουμ δκαδικούς αριθμούς; πάντηση Πολλαπλασιασμός δκαδικών αριθμών γίνται, όπως και των φυσικών αριθμών. Τοποθτούμ στο αποτέλσμα της πράξης την υποδιαστολή τόσς θέσις από τα δξιά προς τα αριστρά, όσα ίναι συνολικά τα ψηφία στα δκαδικά μέρη και των δύο παραγόντων. 5,82 2 δκαδικά ψηφία x 2,3 δκαδικό ψηφίο ,386 3 δκαδικά ψηφία 6. Πως πολλαπλασιάζουμ δκαδικούς αριθμούς; πάντηση Η ιαίρση δκαδικού αριθμού μ δκαδικό αριθμό γίνται, όπως και η υκλίδια διαίρση. Πολλαπλασιάζουμ το διαιρέτη και το διαιρτέο μ την κατάλληλη δύναμη του 0 έτσι, ώστ ο διαιρέτης να γίνι φυσικός αριθμός. Όταν ξαντληθί το ακέραιο μέρος του διαιρτέου, κατβάζουμ το μηδέν, ως πρώτο δκαδικό ψηφίο από τον διαιρτέο και τοποθτούμ στο πηλίκο υποδιαστολή. Η διαίρση 534,28: 3,78 γίνται : 378 (πολλαπλασιάσαμ διαιρτέο και διαιρέτη μ το 000 για να απαλίψουμ τα δκαδικά ψηφία από το διαιρέτη) Όταν πολλαπλασιάζουμ μ 0,, 0,0, 0,00 ή όταν διαιρούμ ένα δκαδικό αριθμό μ 0, 00, 000, μταφέρουμ την υποδιαστολή προς τα αριστρά μια, δυο, τρις, αντίστοιχα θέσις , = 258 : 0 = 25,8 8,45 0,0 = 8,45 : 00 = 0,0845 2,45 0,00 = 2,45 : 000 =,0245 Όταν πολλαπλασιάζουμ ένα δκαδικό αριθμό μ 0, 00, 000 μταφέρουμ την υποδιαστολή του αριθμού προς τα δξιά μία, δύο, τρις, θέσις αντίστοιχα. 28,34 0 = 283,4 38, = 3809,45, = 324,5 0, = 9 7. Τι γνωρίζτ για τις δυνάμις δκαδικών αριθμών; πάντηση ι υνάμις των δκαδικών αριθμών έχουν τις ιδιότητς των δυνάμων των φυσικών αριθμών. Το πλήθος των δκαδικών ψηφίων, που έχι το αποτέλσμα, προκύπτι από το πλήθος των δκαδικών ψηφίων της βάσης πί τον κθέτη της δύναμης. (2,5) 2 =2,5 2 =6,25 x 2 = 2 (,25) 2 =,25 2 =, x 2 = 4 8. Τι ονομάζουμ τυποποιημένη μορφή αριθμού; πάντηση Ένας μγάλος αριθμός μπορί να γραφί στη μορφή α 0 ν, δηλαδή ως γινόμνο νός αριθμού α πί μια δύναμη του 0. Τη μορφή αυτή την ονομάζουμ τυποποιημένη. αριθμός α ίναι ένας δκαδικός αριθμός μ ακέραιο ψηφίο μγαλύτρο ή ίσο του και μικρότρο του 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 0

11 9. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης μήκους,ποις οι υποδιαιρέσις του, ποια τα πολλαπλάσιά του και ποια άλλη μονάδα γνωρίζτ; πάντηση Η βασική μονάδα μήκους ίναι το μέτρο (συμβολίζται μ m) Υποδιαιρέσις του μέτρου: δκατόμτρο ή παλάμη (dm) dm =/0 m = 0,m κατοστόμτρο ή πόντος (cm) cm = /00 m = 0,0m χιλιοστόμτρο ή χιλιοστό (mm) mm = /000 m = 0,00 m Πολλαπλάσια του μέτρου χιλιόμτρο (Km) Km = 000 m Στη ναυσιπλοία, ως μονάδα μέτρησης μήκους, χρησιμοποιούμ το ναυτικό μίλι. ναυτικό μίλι =.852 m m. 0 0 dm. : 0 0 cm. : 0 0 mm. 20. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης μβαδού,ποις οι υποδιαιρέσις του, ποια τα πολλαπλάσιά του και ποις άλλς μονάδς γνωρίζτ; πάντηση Η βασική μονάδα μέτρησης μβαδού ίναι τo ττραγωνικό μέτρο (συμβολίζται μ m 2 ) που ίναι η πιφάνια νός ττραγώνου μ πλυρά ένα μέτρο. Υποδιαιρέσις του ττραγωνικού μέτρου: ττραγωνικό δκατόμτρο (dm 2 ) dm 2 = /00 m 2 = 0,0 m 2 ττραγωνικό κατοστόμτρο (cm 2 ) cm 2 = /0000 m 2 = 0,000 m 2 ττραγωνικό χιλιοστόμτρο (mm 2 ) mm 2 = / m 2 = 0,00000 m 2 Στην Ελλάδα ως μονάδα πιφανίας χρησιμοποιούμ το στρέμμα. στρέμμα= 000 m 2 Km 2 = m 2 = 0 6 m 2 2. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης όγκου,ποις οι υποδιαιρέσις του, και ποις άλλς μονάδς γνωρίζτ; πάντηση Η βασική μονάδα μέτρησης όγκου ίναι τo κυβικό μέτρο (συμβολίζται μ m 3 ) που ίναι ο όγκος νός κύβου ακμής νός μέτρου. Υποδιαιρέσις του κυβικού μέτρου: κυβικό δκατόμτρο (dm 3 ) dm 3 = /000 m 3 = 0,00 m 3 κυβικό κατοστόμτρο (cm 3 ) cm 3 = / m 3 = 0,00000 m 3 κυβικό χιλιοστόμτρο (mm 3 ) mm 3 = m 3 = 0, m 3 ια τη μέτρηση του όγκου χρησιμοποιούμ και το dm 3 που ονομάζται και λίτρο (lt). lt = dm 3 = 0,00 m 3 To cm 3 λέγται χιλιοστόλιτρο (ml) ml = 0,00 lt = cm 3 = 0,00000 m 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

12 22. Ποια ίναι η μονάδα μέτρησης χρόνου ποια η μονάδα μέτρησης μάζας και τι άλλο γνωρίζτ γι αυτά; πάντηση Η μονάδα μέτρησης του χρόνου ίναι το δυτρόλπτο (συμβολίζται μ s) Πολλαπλάσια: - λπτό (min)= 60 s - ώρα (h) = 60 min= s - ημέρα = 24 h =.440 min= s Η βασική μονάδα μέτρησης μάζας ίναι το χιλιόγραμμο ή κιλό (συμβολίζται μ Κg) Υποδιαιρέσις του κιλού: - γραμμάριο (g) g = 0,00 Kg - χιλιοστόγραμμο (mg) mg = 0,00 g= 0,00000 Kg Πολλαπλάσιο του κιλού: τόνος (t) t = 000 Kg ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

13 ΚΕΦΛΙ 4ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ. Τι ονομάζται ξίσωση και τι λύση ή ρίζα της ξίσωσης; πάντηση Μπορούμ να διατυπώσουμ μια πρόταση μ τη βοήθια αριθμών και γραμμάτων, νώ για να λύσουμ ένα πρόβλημα μπορούμ να δημιουργήσουμ μια ισότητα μ γράμματα και αριθμούς. Τέτοις ισότητς τις λέμ ξισώσις. Εξίσωση μ έναν άγνωστο ίναι μία ισότητα, που πριέχι αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος). ι ισότητς: x + 5 = 2, y 2 = 3, 0 z = ω : 5 = 4, 7 φ =2, 24 : ψ = 6 ίναι ξισώσις ή ρίζα της ξίσωσης ίναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσι τον άγνωστο, παληθύι την ισότητα. ή ρίζα της ξίσωσης x 7 = 5 ίναι ο αριθμός 2 διότι 2 7 = 5 Τη λύση τη γράφουμ: x = 2 2. Τι ονομάζται ξίσωση και τι λύση ή ρίζα της ξίσωσης; πάντηση Η διαδικασία, μέσω της οποίας, βρίσκουμ τη λύση της ξίσωσης, λέγται πίλυση της ξίσωσης. Τον άγνωστο μιας ξίσωσης τον συμβολίζουμ μ ένα γράμμα π.χ. χ, y, z, ω, φ, ψ κ.λπ. Μια ξίσωση λέγται ταυτότητα ή αόριστη, όταν όλοι οι αριθμοί ίναι λύσις της. ι ξισώσις x = x ή 0 2 = 0 ίναι αόριστς ή ταυτότητς. Μια ξίσωση λέγται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δν την παληθύι ι ξισώσις x + 2 = x + 6 ή 0 ω = 5 ίναι αδύνατς. 3. Ποις ίναι οι βασικές ξισώσις και πως λύνονται αυτές; πάντηση άσι των ορισμών των πράξων οι λύσις των παρακάτω ξισώσων ίναι: α + x = β x = β α, x α = β x = β + α, α x = β x = α β, α x = β x = β : α, x : α = β x = β α και α : x = β x = α : β. 4. Τι καλούμαι πρόβλημα, τι λύση και τι πίλυση ; πάντηση Πρόβλημα ονομάζουμ την κατάσταση, που δημιουργίται, όταν αντιμτωπίζουμ μπόδια και δυσκολίς στην προσπάθιά μας να φτάσουμ σ ένα συγκκριμένο στόχο. νός προβλήματος ίναι η πίτυξη του στόχου. Επίλυση νός προβλήματος ονομάζται η διαδικασία, μ την οποία πιτυγχάνται η λύση του. 5. Πως λύνουμ προβλήματα μ την βοήθια ξισώσων ; πάντηση ια τη λύση των προβλημάτων, μ τη βοήθια των ξισώσων, ακολουθούμ τα ξής βήματα: Προσδιορίζουμ το άγνωστο στοιχίο του προβλήματος και το κφράζουμ μ ένα γράμμα (x ή ν ή ζ ή ω κ.τ.λ.), που ίναι ο άγνωστος του προβλήματος. Εκφράζουμ στοιχία του προβλήματος μ τη βοήθια του αγνώστου. Πριγράφουμ μ μία ξίσωση το πρόβλημα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

14 Επιλύουμ την ξίσωση του προβλήματος. Επαληθύουμ τη λύση που βρήκαμ. Όμως, πρέπι να λάβουμ υπόψη ότι: υπάρχουν και προβλήματα που δν λύνονται μ ξισώσις και υπάρχουν και άλυτα προβλήματα ή προβλήματα των οποίων δν μπορούμ να βρούμ τη λύση. ΚΕΦΛΙ 5ο ΠΣΣΤ. Τι ονομάζται ποσοστό πί τοις κατό,τι ποσοστό πί τοις χιλίοις τι άλλο γνωρίζτ για τα ποσοστά; πάντηση Το σύμβολο α% ονομάζται ποσοστό πί τοις κατό ή απλούστρα ποσοστό και ίναι ίσο μ το α/00. Χρησιμοποιούμ ακόμη το ποσοστό α που διαβάζται ποσοστό πί τοις χιλίοις και ίναι ίσο μ το α/000. Το ποσοστό α% του β ίναι (α/00) β Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 4

15 ΚΕΦΛΙ 6ο ΠΣ ΝΛ ΚΙ ΝΤΙΣΤΡΦΩΣ ΝΛ. Πως προσδιορίζται η θέση νός σημίου στο πίπδο,τι καλούμαι σύστημα ημιαξόνων τι ημιάξονα ττμημένων,τι ημιάξονα των τταγμένων, τι αρχή των ημιαξόνων τι ττμημένη,τι τταγμένη τι συντταγμένς, τι διατταγμένο ζύγος και τι ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων ; πάντηση Προκιμένου να προσδιορίσουμ τη θέση νός σημίου στο πίπδο: Σχδιάζουμ δύο κάθτς μταξύ τους ημιυθίς x και y. Πάνω σ κάθ μια απ αυτές ορίζουμ την ίδια μονάδα μέτρησης. υτές οι ημιυθίς αποτλούν ένα σύστημα ημιαξόνων. ημιάξονας x λέγται ημιάξονας των ττμημένων ή ημιάξονας των x. ημιάξονας y λέγται ημιάξονας των τταγμένων ή ημιάξονας των y. Το σημίο ονομάζται αρχή των ημιαξόνων To 3 ίναι η ττμημένη του σημίου To ίναι η τταγμένη του σημίου y Μ(2,4) (3,) 2 3 x Η ττμημένη και η τταγμένη του σημίου ονομάζονται συντταγμένς του και συνήθως όταν θέλουμ να αναφρθούμ στο σημίο, γράφουμ (3,). Το ζύγος (3,) του οποίου ο πρώτος αριθμός 3 ίναι η ττμημένη του σημίου και ο δύτρος αριθμός ίναι η τταγμένη του σημίου, λέγται διατταγμένο ζύγος, πιδή έχι σημασία η διάταξη, δηλαδή η σιρά, μ την οποία γράφονται οι αριθμοί που το αποτλούν. Μ το σύστημα αυτό αντιστοιχούμ σ κάθ σημίο ένα ζύγος αριθμών (3,), δηλαδή ένα διατταγμένο ζύγος, οι αριθμοί του οποίου ονομάζονται συντταγμένς του σημίου. ντίστροφα, κάθ διατταγμένο ζύγος θτικών αριθμών π.χ. το (2,4) αντιστοιχί σ ένα σημίο Μ του πιπέδου. Το σύστημα ημιαξόνων που χρησιμοποιήσαμ λέγται ορθοκανονικό, γιατί οι ημιάξονς τέμνονται κάθτα (ορθο-) και έχουμ ορίσι πάνω τους την ίδια μονάδα μέτρησης (-κανονικό). ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 5

16 2. Τι καλούμ λόγο, τι αναλογία,ποια σχήματα καλούνται όμοια,τι κλίμακα, τι ισχύι για τα όμοια παραλληλόγραμμα και ποια η ισοδύναμη σχέση μ την σχέση αναλογίας ; πάντηση Λόγος δύο ομοιδών μγθών, που κφράζονται μ την ίδια μονάδα μέτρησης, ίναι το πηλίκο των μέτρων τους. Η ισότητα λόγων ονομάζται αναλογία. ύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα αποτλί σμίκρυνση ή μγέθυνση του άλλου. λόγος της απόστασης δύο σημίων μιας ικόνας νός αντικιμένου προς την πραγματική απόσταση των δύο αντίστοιχων σημίων του αντικιμένου, ονομάζται κλίμακα. ν οι λόγοι των αντιστοίχων πλυρών δύο παραλληλογράμμων ίναι ίσοι, τότ αυτοί θα ίναι ίσοι και μ το λόγο των πριμέτρων τους. Κάθ σχέση αναλογίας α. γ. ίναι ισοδύναμη μ τη σχέση α δ = β γ β = δ 3. Πότ δύο ποσά λέγονται ανάλογα, τι καλίται συντλστής αναλογίας και πως παριστάνονται τα ανάλογα ποσά σ σύστημα ημιαξόνων ; πάντηση ύο ποσά λέγονται ανάλογα, άν μταβάλλονται μ τέτοιο τρόπο, που όταν οι τιμές του νός πολλαπλασιάζονται μ έναν αριθμό, τότ και οι αντίστοιχς τιμές του άλλου να πολλαπλασιάζονται μ τον ίδιο αριθμό. ύο ποσά x και y ίναι ανάλογα, όταν οι αντίστοιχς τιμές τους δίνουν πάντα ίδιο πηλίκο: ψ/χ = α. Το πηλίκο α λέγται συντλστής αναλογίας. Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται μ τη σχέση: y = α x όπου α ο συντλστής αναλογίας. Όταν το ποσό y ίναι ποσοστό του ποσού x, τα δύο ποσά συνδέονται μ τη σχέση y = (α/00) x και ίναι ανάλογα, μ συντλστή αναλογίας το α/00 ή α%. Η σχέση y = α x κφράζι μια αλληλπίδραση των ποσών x και y. Συγκκριμένα, ο διπλασιασμός, τριπλασιασμός κ.ο.κ. του νός ποσού πιφέρι διπλασιασμό, τριπλασιασμό κ.ο.κ. του άλλου ποσού. Τα σημία που αντιστοιχούν στα ζύγη τιμών (x, y) δύο ανάλογων ποσών βρίσκονται πάνω σ μία ημιυθία μ αρχή την αρχή (0,0) των ημιαξόνων ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 6

17 4. Πως διαπιστώνουμ, άν δυο ποσά ίναι ανάλογα; πάντηση ια να διαπιστώσουμ, άν δυο ποσά ίναι ανάλογα, χρησιμοποιούμ τα παρακάτω: 3 /2 x 2,5 3,5. Τον ορισμό των ανάλογων ποσών Εξτάζουμ αν τα ποσά που μταβάλλονται ίναι τέτοια ώστ: όταν οι τιμές του νός ποσού πολλαπλασιάζονται, μ έναν αριθμό, τότ και οι αντίστοιχς τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται μ τον ίδιο αριθμό. ια παράδιγμα: ν 5 = 5 3 πρέπι 2 = 7 3 και αν 2,5 = 5 /2 πρέπι 3,5 = 7 /2 2. Τη σχέση y = α x Εξτάζουμ αν τα ποσά συνδέονται μ μια σχέση αναλογίας. ια παράδιγμα: Κόστος ανθοδέσμης = = 0,5 αριθμός τριαντάφυλλων 3. Τη σχέση ψ/χ = α Εξτάζουμ αν όλς οι αντίστοιχς τιμές των δύο ποσών έχουν σταθρό λόγο. y /2 x ψ ψ/χ = /3= 2 5,5 /5.5 = 2 5. Πότ δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι και τι ίναι υπρβολή; πάντηση ύο μγέθη ίναι αντιστρόφως ανάλογα, στην πρίπτωση, που η μταβολή τους ίναι τέτοια, ώστ: όταν το ένα μέγθος πολλαπλασιάζται πί έναν αριθμό, το άλλο διαιρίται μ τον ίδιο αριθμό. Όταν δύο ποσά χ και γ ίναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόμνο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένι σταθρό: y x = α, α 0 3 /2 x y ,5 2 : 3 : /2 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 7

18 x y y x = = = 30 Στην πρίπτωση που α =, τα x και y ίναι αντίστροφοι αριθμοί. Τα σημία που παριστούν τα ζύγη (x, y) βρίσκονται σ μία καμπύλη γραμμή. Η καμπύλη αυτή ονομάζται υπρβολή. Η υπρβολή δν τέμνι ποτέ τους ημιάξονς x και y, διότι οι συντταγμένς των σημίων της δν παίρνουν ποτέ την τιμή 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

19 ΚΕΦΛΙ 7ο ΘΕΤΙΚΙ ΡΝΗΤΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Τι ίναι τα πρόσημα και γιατί τα χρησιμοποιούμ ; Ποιοι αριθμοί καλούνται θτικοί ; Ποιοι αρνητικοί και τι ίναι το μηδέν ; Τα σύμβολα «+» και «-» λέγονται πρόσημα. ράφονται πριν από τους αριθμούς και τους χαρακτηρίζουν, αντίστοιχα, ως θτικούς ή αρνητικούς. ι αριθμοί που συναντήσαμ μέχρι τώρα ήταν μόνο θτικοί και πομένως δν υπήρχ ανάγκη να χρησιμοποιούμ πρόσημο. Η ισαγωγή των αρνητικών αριθμών δημιουργί την ανάγκη της τοποθέτησης πρόσημου μπροστά από όλους τους αριθμούς. Έτσι γίνται φανρό ποιοι αριθμοί ίναι οι θτικοί και ποιοι οι αρνητικοί Το μηδέν δν ίναι ούτ θτικός ούτ αρνητικός αριθμός 2. Ποιοι αριθμοί καλούνται ομόσημοι και ποιο τρόσημοι ; Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ακέραιοι και ποιοι ρητοί; μόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετρόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορτικό πρόσημο κέραιοι αριθμοί ίναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί μ τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Ρητοί αριθμοί ίναι όλοι οι γνωστοί μας έως τώρα αριθμοί: φυσικοί, κλάσματα και δκαδικοί μαζί μ τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. 3. Πως παριστάνονται οι ρητοί αριθμοί σ άξονα; ν θωρήσουμ αριστρά της αρχής του ημιάξονα x των αριθμών, τον αντικίμνο αυτού ημιάξονα x', θα έχουμ τη δυνατότητα, μ αυτόν τον τρόπο, να παραστήσουμ όλους τους ρητούς αριθμούς. άξονας x'x πριλαμβάνι όλους τους ρητούς αριθμούς (αρνητικούς, θτικούς και το μηδέν). ι αριθμοί που συναντήσαμ μέχρι τώρα ήταν μόνο θτικοί και πομένως δν υπήρχ ανάγκη να χρησιμοποιούμ πρόσημο. Η ισαγωγή των αρνητικών αριθμών δημιουργί την ανάγκη της τοποθέτησης πρόσημου μπροστά από όλους τους αριθμούς. Έτσι γίνται φανρό ποιοι αριθμοί ίναι οι θτικοί και ποιοι οι αρνητικοί. Το σημίο έχι ττμημένη 4 και το σημίο έχι ττμημένη Τι καλίται απόλυτη τιμή νός ρητού αριθμού ; Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθτοι ; Ποις ίναι οι άμσς συνέπις των δύο αυτών ορισμών ; Η απόλυτην τιμή νός ρητού αριθμού α κφράζι την απόσταση του σημίου μττμημένη α από την αρχή του άξονα και συμβολίζται μ α. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 9

20 ντίθτοι ονομάζονται δύο αριθμοί που ίναι τρόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. αντίθτος του x ίναι ο -x. (προσοχή αντίθτος του 0 ίναι ο 0) H απόλυτη τιμή νός θτικού αριθμού ίναι ο ίδιος ο αριθμός. H απόλυτη τιμή νός αρνητικού αριθμού ίναι ο αντίθτός του. H απόλυτη τιμή του μηδνός ίναι το μηδέν. ύο σημία που βρίσκονται σ ίση απόσταση, δξιά και αριστρά από την αρχή των αξόνων, έχουν ττμημένς, αντίθτους αριθμούς. 5. Πως συγκρίνουμ ρητούς αριθμούς ; μγαλύτρος από δύο ρητούς αριθμούς ίναι κίνος που βρίσκται δξιότρα από τον άλλο πάνω στον άξονα. Κάθ θτικός ρητός ίναι μγαλύτρος από κάθ αρνητικό ρητό αριθμό. μγαλύτρος από δύο θτικούς ρητούς ίναι κίνος που έχι την μγαλύτρη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκται δξιότρα από τον άλλο πάνω στον άξονα. μγαλύτρος από δύο αρνητικούς ρητούς ίναι κίνος που έχι την μικρότρη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκται δξιότρα από τον άλλο πάνω στον άξονα. 6. Πως προσθέτουμ ρητούς αριθμούς ; ια να προσθέσουμ δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμ το πρόσημό τους. ια να προσθέσουμ δύο τρόσημους ρητούς αριθμούς, αφαιρούμ από τη μγαλύτρη τη μικρότρη απόλυτη τιμή και στη διαφορά βάζουμ το πρόσημο του ρητού μ τη μγαλύτρη απόλυτη τιμή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 20

21 7. Ποις ίναι οι ιδιότητς της πρόσθσης ; Ιδιότητς της πρόσθσης Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά των δύο προσθτέων νός αθροίσματος. ντιμταθτική ιδιότητα α+β=β+α Μπορούμ να αντικαθιστούμ προσθτέους μ το άθροισμά τους ή να αναλύουμ ένα προσθτέο σ άθροισμα. Προσταιριστική ιδιότητα α+(β+γ) = (α+β)+γ Το 0 όταν προστθί σ ένα ρητό δν τον μταβάλλι. υδέτρο στοιχίο α+0 = 0+α = α Το άθροισμα δύο αντιθέτων αριθμών ίναι μηδέν. α+(-α) = (-α)+α = 0 8. Πως ορίζται η αφαίρση ; ια να αφαιρέσουμ από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμ στον α τον αντίθτο του β. α-β = α+(-β) Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρση μτατρέπται σ πρόσθση και πομένως ίναι πάντα δυνατή (δηλαδή, δν απαιτίται να ίναι ο μιωτέος πάντα μγαλύτρος από τον αφαιρτέο, όπως ίσχυ μέχρι τώρα). 9. Πως γίνται η απαλοιφή παρνθέσων ; Σ αρκτές πριπτώσις αριθμητικών παραστάσων μφανίζονται πρισσότροι του νός αριθμοί μ τα πρόσημά τους μέσα σ παρνθέσις, μπροστά από τις οποίς μπορί να υπάρχουν τα πρόσημα + ή -. ια να απαλίψουμ τις παρνθέσις ργαζόμαστ ως ξής: Όταν μια παρένθση έχι μπροστά της το + (ή δν έχι πρόσημο), μπορούμ να την απαλίψουμ μαζί μ το + (αν έχι) και να γράψουμ τους όρους που πριέχι μ τα πρόσημά τους. (+5) + (-7) = +5-7 = -2 (9,-6,2+3,4) + (-7,5+0-8,3) = = 9,-6,2 + 3,4-7, ,3 Όταν μια παρένθση έχι μπροστά της το -, μπορούμ να την απαλίψουμ μαζί μ το - και να γράψουμ τους όρους που πριέχι μ αντίθτα πρόσημα (-5) - (-7) = = +2 -(9,-6,2+3,4) - (-7,5+0-8,3) = = -9,+6,2-3,4+7,5-0+8,3 0. Τι ισχύι για το γινόμνο δύο ρητών και πως πολλαπλασιάζουμ ρητούς ; Το γινόμνο δύο αρνητικών ακραίων ίναι θτικός ακέραιος Το γινόμνο δύο αρνητικών ρητών ίναι θτικός ρητός. ια να πολλαπλασιάσουμ δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο γινόμνο βάζουμ το πρόσημο «+». ηλαδή: (+) (+)=(+) και (-) (-)=(+) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

22 ια να πολλαπλασιάσουμ δύο τρόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο γινόμνο βάζουμ το πρόσημο «-». ηλαδή: (+) (-)=(-) και (-) (+)=(-). Ποις ίναι οι ιδιότητς του πολλαπλασιασμού και ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι ; Μπορούμ να αλλάζουμ τη σιρά δύο παραγόντων νός γινομένου ντιμταθτική ιδιότητα. α β = β α Μπορούμ να αντικαθιστούμ παράγοντς μ το γινόμνό τους ή να αναλύουμ ένα παράγοντα σ γινόμνο Προσταιριστική ιδιότητα. α (β γ) = (α β) γ Όταν ένας ρητός πολλαπλασιάζται μ τον αριθμό δν μταβάλλται. α = α = α Επιμριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθση και την αφαίρση: α (β + γ) = α β + α γ και α (β - γ) = α β - α γ ι ρητοί αριθμοί α και β λέγονται αντίστροφοι, όταν ίναι διάφοροι του μηδνός και το γινόμνό τους ίναι ίσο μ τη μονάδα: α β = καθένας από τους α και β ίναι αντίστροφος του άλλου. (προσοχή ο 0 δν έχι αντίστροφο) Όταν ένας ρητός πολλαπλασιάζται μ το 0 μηδνίζται. 0 α = α 0 = 0 2. Πώς ργαζόμαστ όταν έχουμ να υπολογίσουμ ένα γινόμνο μ πρισσότρους από δύο παράγοντς; νωρίζουμ ότι το γινόμνο θτικών ρητών ίναι πάντα θτικό. ν υπάρχι ένας παράγοντας που ίναι αρνητικός μτατρέπι το γινόμνο σ αρνητικό. Στην πρίπτωση που υπάρχι και δύτρος αρνητικός παράγοντας ξαναμτατρέπι το γινόμνο σ θτικό κ.ο.κ. Άρα: ια να υπολογίσουμ ένα γινόμνο πολλών παραγόντων (που κανένας δν ίναι μηδέν), πολλαπλασιάζουμ τις απόλυτς τιμές τους και στο γινόμνο βάζουμ: Το πρόσημο +, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων ίναι άρτιο (ζυγό). Το πρόσημο -, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων ίναι πριττό (μονό). ν τουλάχιστον ένας παράγοντας ίναι μηδέν, τότ και το γινόμνο ίναι ίσο μ μηδέν Το σημίο του πολλαπλασιασμού «.» μταξύ των γραμμάτων και των παρνθέσων παραλίπται. 3. Πως διαρούμ δύο ρητούς ; ια να διαιρέσουμ δύο ρητούς αριθμούς, διαιρούμ τις απόλυτς τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμ: το πρόσημο +, αν ίναι ομόσημοι. ηλαδή: (+):(+)=(+) και (-):(-)=(+) το πρόσημο -, αν ίναι τρόσημοι. ηλαδή: (+):(-)=(-) και (-):(+)=(-) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 22

23 Το πηλίκο της διαίρσης α:β ή της ξίσωσης β x = α λέγται λόγος του α προς το β και ορίζται ως η μοναδική λύση Η διαίρση μπορί να γραφτί, πομένως για να διαιρέσουμ δύο ρητούς αριθμούς, αρκί να πολλαπλασιάσουμ το διαιρτέο μ τον αντίστροφο του διαιρέτη. ιαίρση μ διαιρέτη το μηδέν δν ορίζται. 4. Ποιοι αριθμοί καλούνται πριοδικοί και τι καλίται πρίοδος ; Η διαίρση : 7 δν ίναι τέλια. ίνι πηλίκο και υπόλοιπο. ν συνχίσουμ τη διαίρση θα βρούμ το δκαδικό αριθμό42.857, μ άπιρα δκαδικά ψηφία, τέτοια ώστ, να παναλαμβάνονται συνχώς τα ίδια έξι ψηφία Τους αριθμούς που βρήκαμ παραπάνω τους ονομάζουμ πριοδικούς δκαδικούς αριθμούς. Το πλήθος των παναλαμβανομένων δκαδικών ψηφίων κάθ πριοδικού αριθμού ονομάζται πρίοδος. νικότρα, λοιπόν, μπορούμ να πούμ ότι: Κάθ ρητός αριθμός μπορί να έχι τη μορφή δκαδικού ή πριοδικού δκαδικού αριθμού και συμβολίζται όπως φαίνται στα παραδίγματα. 5. Πως ορίζται η δύναμη νός ρητού αριθμού και ια ν =, γράφουμ α = α Η δύναμη αν διαβάζται και νιοστή δύναμη του α. Η δύναμη α 2 λέγται και ττράγωνο του α ή α στο ττράγωνο. Η δύναμη α 3 λέγται κύβος του α ή α στον κύβο. 6. Πως βρίσκουμ το πρόσημο της δύναμης στις διάφορς πριπτώσις ; ύναμη μ βάση θτικό αριθμό ίναι θτικός αριθμός. ν α > 0, τότ α ν > 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 23

24 ύναμη μ βάση αρνητικό αριθμό και κθέτη άρτιο ίναι θτικός αριθμός. ν α < 0 και ν άρτιος, τότ α ν > 0 ύναμη μ βάση αρνητικό αριθμό και κθέτη πριττό ίναι αρνητικός αριθμός. ν α < 0και ν πριττός, τότ α ν < 0 7. Ποις οι ιδιότητς δυνάμων ρητών μ κθέτη φυσικό ; ια να πολλαπλασιάσουμ δυνάμις μ την ίδια βάση, αφήνουμ την ίδια βάση και βάζουμ κθέτη το άθροισμα των κθτών. α μ α ν = α μ+ν ια να διαιρέσουμ δυνάμις μ την ίδια βάση, αφήνουμ την ίδια βάση και βάζουμ κθέτη τη διαφορά του κθέτη του διαιρέτη από τον κθέτη του διαιρτέου. α μ : α ν = α μ-ν ια να υψώσουμ ένα γινόμνο σ κθέτη, υψώνουμ κάθ παράγοντα του γινομένου στον κθέτη αυτό. (α β) ν = α ν β ν ια να υψώσουμ ένα πηλίκο σ έναν κθέτη, υψώνουμ καθένα από τους όρους του πηλίκου στον κθέτη αυτό. ν= ια να υψώσουμ μία δύναμη σ έναν κθέτη, υψώνουμ τη βάση της δύναμης στο γινόμνο των κθτών. (α μ ) ν = α μ ν Η δύναμη κάθ αριθμού, διάφορου του μηδνός μ κθέτη το μηδέν ίναι ίση μ μονάδα α 0 = 8. Πως ορίζται η δύναμη ρητού αριθμού μ κθέτη αρνητικό και ποια ίναι η άμση συνέπια του ορισμού αυτού ; Η δύναμη κάθ αριθμού, διάφορου του μηδνός, μ κθέτη αρνητικό ίναι ίση μ κλάσμα που έχι αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού μ αντίθτο κθέτη. Επιδή τα και ίναι αντίστροφοι αριθμοί, όπως και τα α και στην προηγούμνη σχέση, ξάγουμ το συμπέρασμα ότι ισχύι: ι ιδιότητς των δυνάμων μ κθέτη φυσικό, που μάθαμ στην προηγούμνη παράγραφο, ισχύουν και για τις δυνάμις μ κθέτη ακέραιο. 9. Ποια η τυποποιημένη μορφή μγάλων και μικρών αριθμών ; Όπως οι πολύ μγάλοι, έτσι και οι πολύ μικροί αριθμοί μπορούν να γραφούν σ τυποποιημένη μορφή και συγκκριμένα στη μορφή: α 0 -ν, όπου α ίναι ένας δκαδικός αριθμός μ ακέραιο μέρος μγαλύτρο ή ίσο του και μικρότρο του 0 και ν φυσικό αριθμό. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 24

25 ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθμός στις (α) κατοντάδς, (β) χιλιάδς (γ) κατομμύρια. (α) Τάξη στρογγυλοποίησης: κατοντάδς. Προηγούμνη τάξη: 4 < 5. Όλα τα προς τα δξιά ψηφία μηδνίζονται (β) Τάξη στρογγυλοποίησης: χιλιάδς Προηγούμνη τάξη: 8 > 5. Όλα τα προς τα δξιά ψηφία μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνται: 3 + = (γ) Τάξη στρογγυλοποίησης: κατομμύρια Προηγούμνη τάξη: 5 = 5. Όλα τα προς τα δξιά ψηφία μηδνίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνται 9 + = Να υπολογιστούν τα γινόμνα: (α) 35 0, (β) 42 00, (γ) 5.000, (δ) (α) 35 0 = 350 (β) = (γ) = (δ) = πό τα παραπάνω διαπιστώνουμ ότι για να πολλαπλασιάσουμ ένα αριθμό πί 0, 00,.000, γράφουμ στο τέλος του αριθμού τόσα μηδνικά όσα έχι κάθ φορά ο παράγοντας 0, 00, Να κτλστούν οι ακόλουθς πράξις: (α) , (β) , (γ) , (δ) (α) = 89 (7 + 3) = 89 0 = 890 (β) = ( ) 49 = = (γ) = 76 (3 3) = 76 0 = 760 (δ) = 284 (00 ) = = = Να υπολογιστούν το ττράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 0. Τι παρατηρίτ; 0 2 = 0 0= = 0 0 0=00 0 = = = =0.000 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 25

26 0 5 = = = = = = Παρατηρούμ ότι κάθ μία από τις δυνάμις του0, που υπολογίστηκαν, έχι τόσα μηδνικά όσος ίναι και ο κθέτης της δύναμης. ια παράδιγμα: 0 6 = (έξι μηδνικά). 5. Να κτλστούν οι πράξις: (α) (2 5) (3 + 2) 2 (β) (2 + 3) (α) (2 5) (3 + 2) 2 = = = = 0.00 (β) (2 + 3) = = = Να γραφί το ανάπτυγμα του αριθμού μ χρήση των δυνάμων του 0. Είναι: = 7 χιλ. + 6 κατ. + 0 δκ. + 4 μον. = = Η μορφή αυτή του αριθμού ίναι το ανάπτυγμα του αριθμού σ δυνάμις του Ποις από τις παρακάτω ισότητς κφράζουν Ευκλίδια διαίρση ; (α) 20 = (β).345 = (γ) 374 = (α) Έχουμ ν = 8, που ίναι μικρότρος από το 28 και μγαλύτρος το 4. Άρα, ίναι υπόλοιπο της Ευκλίδιας διαίρσης μ διαιρέτη μόνο το 28 και όχι το 4. (β) Έχουμ ν = 06, που ίναι μγαλύτρος από το 59 και από το 2. Άρα δν ίναι υπόλοιπο μιας Ευκλίδιας διαίρσης μ διαιρέτη το 59 ή το 2. (γ) Έχουμ ν = 6, που ίναι μικρότρος από το 8 και από το 48. Άρα ίναι υπόλοιπο της Ευκλίδιας διαί-ρσης μ διαιρέτη ίτ το 46 ίτ το ύο πλοία πισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά 3 ημέρς, το δύτρο ανά 4 ημέρς. ν ξκίνησαν από το νησάκι ταυτόχρονα, σ πόσς ημέρς θα ξαναβρθούν στο λιμάνι του νησιού; ρίσκουμ τα πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. Πολλαπλάσια του Πολλαπλάσια του ι αριθμοί 2, 24, 36, ίναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. Επιδή, το μικρότρο από τα κοινά πολλαπλάσια ίναι το 2, γράφουμ: ΕΚΠ (3, 4) = 2. ηλαδή, ακριβώς μτά από 2 ημέρς θα ξαναβρθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα παναλαμβάνται κάθ 2 ημέρς. 9. Να αναλυθούν οι αριθμοί 2520, 2940, 3780 σ γινόμνο πρώτων παραγόντων. Μ τη βοήθια αυτής της ανάλυσης να βρθί ο ΜΚ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 26

27 ναλύουμ τους αριθμούς σ γινόμνα πρώτων παραγόντων και παίρνουμ μόνο τους κοινούς παράγοντς μ το μικρότρο κθέτη για το ΜΚ και τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντς μ το μγαλύτρο κθέτη για το ΕΚΠ διαιρώ μ το » 630 2» 35 3 διαιρώ μ το = » 35 5 διαιρώ μ το διαιρώ μ το διαιρώ μ το » διαιρώ μ το = διαιρώ μ το διαιρώ μ το 7 7 7» διαιρώ μ το » διαιρώ μ το = » 05 3» 35 5 διαιρώ μ το διαιρώ μ το 7 ΜΚ (2520, 2940, 3780) = = 420 ΕΚΠ (2520, 2940, 3780) = = Να βρθί αν διαιρούνται οι αριθμοί 250, 772, 225, 3600 μ 2, 3, 4, 5, 9, 0, 25, ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 27

28 . ΚΕΦΛΙ 2ο ΚΛΣΜΤ ΣΚΗΣΕΙΣ. Μια σοκολάτα ζυγίζι 20 gr και έχι 6 ίσα κομμάτια (α) Ποιο μέρος της σοκολάτας ίναι το κάθ κομμάτι; (β) Πόσα κομμάτια πρέπι να κόψουμ για να πάρουμ 40 gr; (α) Το κάθ κομμάτι ίναι το της σοκολάτας. 6 (β) Το βάρος κάθ κομματιού θα ίναι το του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή: gr. Άρα τα 40 gr ίναι τα της σοκολάτας ηλαδή, πρέπι να κόψουμ 2 κομμάτια για να πάρουμ 40 gr. 2. Το καμπαναριό μιας κκλησίας έχι ύψος 20 m, νώ η κκλησία έχι ύψος τα του ύψους του καμπαναριού.ποιο ίναι το ύψος της κκλησίας; Το 5 5 του ύψους του καμπαναριού ίναι 20 m, Επομένως το αυτού θα ίναι 5 3 Τότ τα m = m = 4 m. 5 5 θα ίναι 3 4 m = 2 m. Άρα το ύψος της κκλησίας θα ίναι 2 m. 20 m Μια δξαμνή πτρλαίου σ μια πολυκατοικία, χωράι 2000 lt. διαχιριστής σ μια 3 μέτρηση βρήκ ότι ήταν γμάτη κατά τα.πόσα λίτρα πτρλαίου ίχ η δξαμνή; 4 Η δξαμνή ολόκληρη ίναι τα Το της δξαμνής θα χωράι και χωράι 2000 lt lt = 4 4 lt = 500 lt. Συμπραίνουμ λοιπόν ότι τα θα πριέχουν lt = 500 lt. ια να βρούμ την τιμή του μέρους ξκινάμ από την τιμή του όλου που ίναι η τιμή της μονάδας. 4. Τα 5 3 του κιλού τυρί κοστίζουν 27. Πόσο κοστίζουν τα 9 8 του κιλού. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 28

29 Τα 5 3 κοστίζουν 27. Άρα το 5 θα κοστίζι 27 : 3 = 9. 5 Τα κοστίζουν 5 9 = ια να βρούμ την τιμή του όλου ξκινάμ από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμ την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα). 9 Τα κοστίζουν Άρα το κοστίζι = Έτσι τα 9 8 κοστίζουν 8 5 = : ιότι ίναι: = 5 5 = 9 9 = 5. Να ξτάστ αν τα κλάσματα: (α) και, (β) και ίναι ισοδύναμα (α) Υπολογίζουμ τα χιαστί γινόμνα, δηλαδή: 3 4 = 42 και 5 0 = 50 Τα γινόμνα δν ίναι ίσα, άρα και τα κλάσματα δν ίναι ισοδύναμα. (β) Υπολογίζουμ τα χιαστί γινόμνα : 3 48 = 44 και 8 8 = 44 Τα γινόμνα ίναι ίσα, άρα και τα κλάσματα ίναι ισοδύναμα, δηλαδή: και Να απλοποιηθί το κλάσμα. 66 ΜΚ των όρων του κλάσματος 30 και 66 ίναι: ΜΚ (30, 66) = : 6 ιαιρούμ τους όρους του κλάσματος μ το 6 και έχουμ: : 6 7. Να μτατραπούν σ ομώνυμα τα κλάσματα 3, και, 20 Πριν από κάθ μτατροπή τρώνυμων κλασμάτων σ ομώνυμα λέγχουμ αν τα κλάσματα απλοποιούνται. ΜΚ (5, 20) = 5 ιαιρούμ τους όρους του κλάσματος 5, : : μ το 5 και έχουμ: ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 29

30 ρίσκουμ το ΕΚΠ των παρονομαστών των ανάγωγων τρωνύμων κλασμάτων. ΕΚΠ (5, 3, 4) = 60 ιαιρούμ το ΕΚΠ μ καθένα από τους παρονομαστές 60 : 5 = 2 60 : 3 = : 4 = 5 Πολλαπλασιάζουμ τους δύο όρους κάθ κλάσματος πί τον αντίστοιχο αριθμό που βρήκαμ Επομένως τα κλάσματα μτατράπηκαν στα ισοδύναμα ομώνυμα:, και , Να συγκριθούν τα κλάσματα 0. πό το σχήμα παρατηρούμ ότι σ όσα πρισσότρα μέρη χωρίζται ένα συγκκριμένο μέγθος, τόσο μικρότρα ίναι τα μέρη αυτά. 7 7 ηλαδή: και και Να συγκριθούν τα κλάσματα και. 9 Μτατρέπουμ τα κλάσματα σ ομώνυμα, ΕΚΠ (8, 9) = 72, πομένως 72 : 8 = 9 και 72 : 9 = 8 οπότ = 72 και 9 = 72. Άρα Να τοποθτηθούν στην υθία των αριθμών τα κλάσματα: (α) (β) 8. 5 (α) ια το κλάσμα 2 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ και 2 3 γνωρίζουμ ότι: 0 ηλαδή βρίσκται μταξύ των 3 3 φυσικών αριθμών 0 και. Επιδή ο παρονομαστής ίναι ο αριθμός 3, η απόσταση των φυσικών 0 και πρέπι να χωριστί σ 3 ίσα μέρη. Το σημίο απέχι 3 2 από το απόσταση ίση μ τα 2 3 του. Έτσι, το τοποθτίται στο σημίο του 2. 3

31 (β) ια το κλάσμα γνωρίζουμ ότι: Καθένα, από τα τμήματα και του σχήματος ίναι ίσο μ τη μονάδα. Τα χωρίζουμ σ 5 ίσα τμήματα, ώστ το καθένα να ίναι ίσο μ το 5 της μονάδας. Το υθύγραμμο τμήμα αποτλίται από 8 ίσα τμήματα ίσα μ το 5 της μονάδας το καθένα. Το μήκος ίναι 5 8 του. Άρα το κλάσμα του τοποθτίται στο σημίο = = Τα κλάσματα Να βρθί ένα κλάσμα μγαλύτρο από το 5 2 και μικρότρο από τα και 5 3 ίναι ομώνυμα και ανάμσα στους αριθμητές τους 2 και 3 δν υπάρχι άλλος φυσικός αριθμός. Μπορούμ, όμως, να βρούμ ισοδύναμα κλάσματα μ αυτά π.χ. τα 0 4 και 0 6, για τα οποία μταξύ των αριθμητών τους 4 και 6 υπάρχι ο αριθμός 5. Επομένως, αφού το κλάσμα ίναι μταξύ των Να υπολογισθί το άθροισμα Μτατρέπουμ το φυσικό αριθμό σ κλάσμα μ παρονομαστή 4. και 6 0, θα ίναι και Είναι: a 2. Να αποδιχθί ότι: α) a (α) a (β) a και (β) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

32 Να υπολογισθί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων και 2 20 Τα κλάσματα ίναι τρώνυμα και πρέπι πρώτα να μτατραπούν σ ισοδύναμα ομώνυμα. Έχουμ: ΕΚΠ (2, 20) = 60 οπότ: 60 : 2 = 5 και 60 : 20 = Να βρθί η διαφορά: και το αποτέλσμα να γίνι μικτός ια να τρέψουμ το αποτέλσμα σ μικτό αριθμό κτλούμ την υκλίδια διαίρση: = και έχουμ: Να βρθί το άθροισμα Την πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρψ το γκαζόν στο /2 μιας στρογγυλής πλατίας. Την δύτρη ήμρα, ξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφρ να κουρέψι μόνο το /3 του αρχικού γκαζόν. Ποιο μέρος από το γκαζόν της πλατίας κουρύτηκ μέχρι και το τέλος της δύτρης μέρας; ια να βρούμ το μέρος της πλατίας που κουρύτηκ, στο τέλος της δύτρης ημέρας, δν έχουμ παρά να προσθέσουμ τα δύο κλάσματα, δηλαδή το ½ και το /3 λλά, για να κτλέσουμ αυτή την πρόσθση πρέπι να μτατρέψουμ τα δύο κλάσματα σ ομώνυμα. Άρα, θα έχουμ: ια να βρούμ ποιο κλάσμα της πλατίας έχι απομίνι για κούρμα, πρέπι να αφαιρέσουμ 6 5 από το όλο μέρος, δηλαδή: Να βρθί το γινόμνο: η ημέρα = 56 7 η ημέρα = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 32

33 9. Σ ένα σχολίο μ 252 μαθητές, τα 5/9 ίναι αγόρια. Να βρις πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχι το σχολίο φού τα αγόρια ίναι τα 5/9 των μαθητών, θα ίναι: Επομένως, τα κορίτσια θα ίναι: = 2. \ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 33

34 ΚΕΦΛΙ 3ο ΕΚΙΚΙ ΡΙΘΜΙ ΣΚΗΣΕΙΣ. Να γραφούν τα κλάσματα που ακολουθούν, ως δκαδικοί αριθμοί μ την κτέλση των αντίστοιχων διαιρέσων: (α) 20/4, (β) 50/8, (γ) 520/67 (α) 20/4=20:4=5 (β) 50/8=50:8=6,25 (γ) 520/67=520:67=7,769 Στην πρίπτωση αυτή το πηλίκο δν ίναι ακριβές και συνήθως γράφται μ προσέγγιση δέκατου 7,8 ή κατοστού 7,77 ή χιλιοστού 7,76 κλπ. 2. Να γραφούν, ως κλάσματα, οι δκαδικοί αριθμοί: (α) 2,35 και (β) 0,348. (α) 2,35 = 235 : 00 = 235/00 (β) 0,348 = 348 : 000 = 348/ Να γραφούν, ως δκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα: (α) 34/00 και (β) 769/000 (α) 34/00 = 34 : 00 = 3,4 (β) 769 / 000 = 769 : 000 = 0, , ,769 7, Να μτατραπί το κλάσμα 0/8 σ δκαδικό κλάσμα. ρχικά, μτατρέπουμ το κλάσμα 0/8 σ δκαδικό αριθμό, κτλώντας τη διαίρση και έχουμ: 0/8 = 0 : 8 =,25. δκαδικός,25 μτατρέπται σ δκαδικό κλάσμα,25 = 25 : 00 = 25/00. Άρα 0/8 = 25/ Να τοποθτηθούν στην υθία των αριθμών οι δκαδικοί αριθμοί: (α) 0,8 και (β),35. (α) Ισχύι, ότι: 0 < 0,8 <. ηλαδή, το τμήμα της υθίας μταξύ των φυσικών αριθμών 0 και πρέπι να χωριστί σ 0 ίσα μέρη (δέκατα). 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 34

35 (β) Επίσης, ισχύι: <,35 < 2. ηλαδή, το τμήμα της υθίας μταξύ των φυσικών αριθμών και 2 πρέπι να χωριστί σ 00 ίσα μέρη (κατοστά).,35,,2,3,4,5,6 3. Να γραφούν σ τυποποιημένη μορφή οι : (α) και (β) = 5, = Η πιφάνια νός κύβου έχι μβαδόν 96 cm 2. Να βρθί ο όγκος του. Επιδή ο κύβος έχι 6 έδρς, η κάθ έδρα του θα έχι μβαδόν 96 cm 2 : 6 = 6 cm 2. λλά ίναι 6 cm 2 = 4 cm 4 cm = (4 cm) 2, άρα, η ακμή του κύβου ίναι 4 cm. Επομένως, ο όγκος του κύβου ίναι: (4 cm) 3 = 4 cm 4 cm 4 cm = 64 cm 3 5. Μια αμαξοστοιχία διανύι την απόσταση θήνας - Πύργου σ 4 ώρς και 57 λπτά. ν η αμαξοστοιχία ξκινά από την θήνα στις 9:0 π.μ., ποια ώρα θα φτάσι στον Πύργο; Η αμαξοστοιχία θα φτάσι στις 9h 0min + 4h 57min = 3h 67min = 4h 7min, δηλαδή, θα φτάσι στον Πύργο στις 2:07 μ.μ., μτά το μσημέρι. 6. Να βρθί η πρίμτρος του σχήματος: (α) σ μέτρα, (β) σ κατοστά και (γ) σ χιλιόμτρα. 23,5 m 22,7 m 38,53 m (α) Η πρίμτρος σ μέτρα ίναι ίση μ το άθροισμα των μηκών των πλυρών του, δηλαδή: 26,6 m + 23,5 m + 22,7 m + 38,53 m =,8 m. (β) Είναι,8 m =,8 m 0,00 = 0,8 Km. (γ) Επίσης ίναι,8 m 00 = 80 cm. 27,6 m.μια δξαμνή νρού τρύπησ και χύνονται 2 σταγόνς κάθ δυτρόλπτο. ν οι 25 σταγόνς έχουν μάζα,5 g, να βρθί η μάζα του νρού που χάνται κάθ ώρα. Κάθ δυτρόλπτο χύνονται 2 σταγόνς νρού, άρα σ h = 3600s θα χυθούν: = 7200 σταγόνς νρού. υτές θα έχουν μάζα: (7200 : 25),5 g = 288,5 g = 432 g = 0,432 Kg ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 35

36 ΚΕΦΛΙ 4ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ ΣΚΗΣΕΙΣ.Να λυθούν οι ξισώσις: x + 5 = 2, y 2 = 3, 0 z =, 7 φ = 4, ω : 5 = 4, 24 : ψ = 6 x + 5 = 2 x = 2 5 ή x = 7, y 2 = 3 y = 3 + 2, ή y = 5, 0 z = z = 0, ή z = 9, 7 φ = 4 φ = 4 : 7, ή φ = 2, ω : 5 = 4 ω = 4 5 ή ω = 20, 24 ψ = 6 ψ = 24 : 6 ή ψ = 4 2.Μια δξαμνή χωρητικότητας 6 m 3 που έχι μήκος,5 m και πλάτος 2 m, έχι ύψος (α),5 m ή (β) 3 m ή (γ) 2 m; ν συμβολίσουμ μ x το ύψος της δξαμνής, τότ ο όγκος της θα ισούται μ: V =,5 2 x. Όμως γνωρίζουμ ότι ο όγκος της δξαμνής ίναι 6 m 3, άρα 3 x = 6. (ν γράφουμ τις μονάδς στις ξισώσις, αλλά πρέπι να γνωρίζουμ ποις μονάδς χρησιμοποιούμ). Επομένως, x = 6 : 3, δηλαδή x = 2m. Συνπώς το σωστό ύψος της δξαμνής ίναι τα 2 m. 3. Να πριγράψις κάποιο πρόβλημα, που να λύνται μ τη βοήθια της ξίσωσης: 2 x = 000 ια παράδιγμα τα δύο παρακάτω προβλήματα πριγράφονται από την ξίσωση αυτή. Μ τι ισούται η μία πλυρά του ορθογωνίου, που έχι πρίμτρο 000 m και του οποίου η άλλη πλυρά ίναι 400 m; Πόσο ζυγίζι καθένα από τα δύο κιβώτια, μ τα οποία ίναι φορτωμένο ένα αυτοκίνητο, που έχι βάρος 800 Kg, όταν η πλάστιγγα που ανέβηκ δίχνι 000 Kg; 4.Η Χριστίνα ξόδψ τα μισά της χρήματα για να αγοράσι 2 ττράδια και μαρκαδόρους. ν ίναι γνωστό, ότι κάθ ττράδιο στοιχίζι και όλοι οι μαρκαδόροι 3, ποιο ίναι το ποσό των χρημάτων που ίχ η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές; Το ζητούμνο του προβλήματος ίναι το ποσό των χρημάτων που ίχ η Χριστίνα, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος. Το πρόβλημα μπορί να πριγραφί απλούστρα μ την ξίσωση: «τα χρήματα που ξοδύτηκαν» = «τα χρήματα που κόστιζαν οι αγορές» ή «τα μισά χρήματα της Χριστίνας»= «το κόστος των ττραδίων» + «το κόστος μαρκαδόρων» ή x : 2 = ή x : 2 = ή x : 2 = 5 ή x = 5 2 ή x = 0 Επαλήθυση: Τα μισά των 0 ίναι 5 και τα έξοδα ίναι = 5. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 36

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ 1 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 36, 3 ος στοίχος από κάτω): 1. Στην πρόσθεση που ακολουθεί να βρεθούν τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ και Ε. ΑΒΓ +ΔΑΓ Α736 2. Στην πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθµοί. Οι εκαδικοί Αριθµοί

Οι Φυσικοί Αριθµοί. Οι εκαδικοί Αριθµοί Κεφάλαιο 1 ο Οι Φυσικοί Αριθµοί Γνωρίζουµε ότι οι αριθµοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουµε χρησιµοποιούµε τα αριθµητικά σύµβολα. Οι αριθµοί µετρούν συγκεκριµένα πράγµατα και φανερώνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ï. Ôá êëüóìáôá. -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí

ÊåöÜëáéï 3 ï. Ôá êëüóìáôá. -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí ÊåöÜëáéï ï Ôá êëüóìáôá âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôïõ êëüóìáôïò -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí âéâëéïììüèçìá 2: -Ðñüóèåóç êëáóìüôùí -Áöáßñåóç êëáóìüôùí

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ -- ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί Α. 1. 1 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί και ποια είναι η χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÂéâëéïìÜèçìá Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò Τι ονοµάζεται µεταβλητή; Γράψτε µε τη βοήθεια µιας µεταβλητής τις εκφράσεις: α. το πενταπλάσιο ενός αριθµού β. το διπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí ÊåöÜëáéï 8 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 24: -Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß -ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò -ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ -Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý -áíôßèåôïé áñéèìïß -Óýãêñéóç

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( ) Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν Να λύσετε τις παρακάτω πράξεις σύµφωνα µε τo παράδειγµα : 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 8 5 2 ' 5 ' 6 2 0 6 2 0 2 1 3 1 2 5 1 3, 7 5 1 8 6 0 = 4 6 5 0 4 3 4 0 = 3 1 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα