CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

Transcript

1 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul II: Serii de umere reale Defiiţii; proprietăţi; operaţii cu serii Defiiţia Se umeşte serie de umere reale o sumă ifiită de umere Se va ota prescurtat şi cu a + a + a a + a + a + +. a, a sau cu a. Numerele a, a, a 3,..., a,,... se umesc termeii seriei iar şirul format cu sumele se umeşte şirul sumelor parţiale. S = a, S = a + a, S 3 = a + a + a 3, S = a + a + a a = a k, Exemplul Să cosiderăm u segmet de lugime. Puctul de la mijloc va împărţi segmetul î două părţi de lugime. Apoi, petru segmetul di dreapta, puctul de la mijloc va împărţi segmetul î două părţi de lugime /. Cotiuâd procedeul obţiem că segmetul iiţial este compus ditr-o ifiitate de segmete de lugime, /, /4, /8, /6,...vezi deseul). Deci lugimea segmetului este suma lugimilor sub-segmetelor obţiute, adică k= = ) =. =0 Defiiţia 3 Spuem că a este serie covergetă dacă şirul sumelor parţiale S ) este u şir coverget. Dacă S este ita şirului S ) atuci S se va umi suma seriei şi vom scrie că a = S. Dacă S ) are ită ifiită, atuci seria dată se umeşte divergetă. Exemplul 4 Seria Îtr-adevăr, Lucia Maticiuc este divergetă deoarece şirul sumelor parţiale asociat u este coverget. S = =.

2 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Exemplul 5 Seria Îtr-adevăr, este divergetă deoarece şirul sumelor parţiale asociat u este coverget. S = = + ) Exemplul 6 Să avem î vedere Exemplul. Avem seria a = iar =0 =0 ). S =, S = + = 3, S 3 = = 7 4,... S = Di egalitatea evidetă obţiem că a + b + = a b) a + a b + a b + + a b + ab + b ) + q + q + + q = q+, q R, q. q Deci, utilizâd că ) 0, deducem că S = = + ) 0 = adică ) a = = =0 =0 Exemplul 7 Seria =0 ) are şirul sumelor parţiale dat de { 0, par, S = ) k =, impar, k=0 adică şirul S ) este diverget u are ită), deci seria =0 ) este divergetă. Exemplul 8 Cele două exemple de mai sus sut cazuri particulare ale seriei geometrice q, =0 ude q este u umăr fixat. Dacă q = atuci =0 are şirul sumelor parţiale S = =, deci =0 este divergetă. Dacă q atuci =0 q are ta şirului sumelor parţiale dată de 0 S = + q + q + + q ) q + = = q + q, dacă q <, = +, dacă q >, q q u, dacă q <, adică seria geometrică { covergetă cu suma q q, dacă q < = divergetă, dacă q. Lucia Maticiuc =0

3 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Exemplul 9 Fie seria Evidet = ). k ) k = k, k N. k Deci S = a + a a + a = ) + 3) + 3 ) = sumă telescopică) = Deci seria este covergetă şi Exemplul 0 Studiaţi atura seriei. ) = = l + ) şirul sumelor parţiale va fi tot o sumă telescopică cu ita + ). Remarca Dacă S este ± atuci vom putea scrie că a = respectiv a = ). ) + Proposiţia Dacă la o serie adăugăm sau îlăturăm u umăr fiit de termei atuci seria obţiută u îşi schimbă atura. Exemplul 3 Are loc iar, î particular, { covergetă, dacă q < q = divergetă, dacă q, ) ) = = =. =0 Proposiţia 4 Codiţie ecesară de covergeţă a seriilor) Dacă seria a este covergeă atuci şirul a ) al termeilor săi este coverget la 0. Demostraţie. Îtr-adevăr, di defiiţie S S = a, iar dacă seria este covergetă atuci S S. Deci există ita şirului a ) şi Lucia Maticiuc a = S S ) = S S = 0. Corolarul 5 Dacă şirul a ) u este coverget la 0 atuci seria a este divergetă. Exemplul 6 Seria este divergetă deoarece şirul termeilor ) u tide la 0 a = ). ) = 3

4 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Exemplul 7 Seria este divergetă deoarece şirul termeilor ) u tide la 0 a = ). Exemplul 8 Seria ) este divergetă deoarece şirul termeilor u tide la 0 : a = ) e. Remarca 9 Dacă şirul a ) este coverget la 0 atuci u putem spue imic despre covergeţa seriei a. Exemplul 0 Vezi Exemplul 0. Seria l ) + diverge dar l + ) 0. Exemplul Seria este divergetă vezi Exemplul 49) dar termeul geeral al seriei a = 0, pe câd seria este covergetă vezi Exemplul 49) iar termeul geeral al seriei a = 0. Teorema Dacă seriile a şi b sut covergete şi au sumele S respectiv T, atuci: a) Seria a + b ) este covergetă şi are suma S + T. b) Seria αa este covergetă şi are suma αs, ude α R. Demostraţie. Vom ota şirul sumelor parţiale petru cele două serii cu S ) respectiv cu T ). Atuci seria sumă a + b ) are şirul sumelor parţiale dat de R ) ude R := S + T. Di covergeţa seriilor date obţi că R S + T, adică a + b ) este covergetă cu suma S + T. Similar, seria αa are şirul sumelor parţiale dat de R ) ude R := αs. Di covergeţa seriei a obţi că R αs, adică αa este covergetă cu suma αs. Serii cu termei oarecare Teorema 3 Criteriul lui Dirichlet) Dacă a este o serie care are şirul sumelor parţiale mărgiit şi dacă b ) este u şir descrescător şi coverget la 0 atuci seria a b este covergetă. Fără demostraţie) Exemplul 4 Folosid criteriul lui Dirichlet să se determie atura seriei Îtr-adevăr, avem si x = si x = a b si x, x kπ, k Z. ude a = si x, b =. Evidet b = > + = b + adica b ) şir descrescător şi b = 0. Pe de altă parte avem că a are şirul sumelor parţiale asociat ei dat de Lucia Maticiuc S = si x + si x + si 3x + + si x 4

5 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Aceasta suma o vom calcula astfel: Deci Avem S si x = si x si x + si x si x + + si x si x = = [ cos x x ) cos x + x ) + cos x x ) cos x + x ) cos x x ) cos x + x )] = = [ cos x cos 3x + cos 3x cos 5x + + ] ) x + ) x + cos cos = [ cos x ] + ) x cos cos x + ) x cos S = si x S = cos x +)x cos si x cos x + cos +)x si x +, x kπ, k Z cos x + cos +)x si x si x = si x, N deci S ) mărgiit deoarece margiea si x u depide de N). Obţiem di criteriului lui Dirichlet că si x este covergetă. Exemplul 5 Folosid criteriul lui Dirichlet să se determie atura seriei cos. Teorema 6 Criteriul lui Abel) Dacă a este o serie covergetă şi dacă b ) este u şir mooto şi mărgiit atuci seria a b este covergetă. Demostraţie. Di teorema lui Weierstrass avem că şirul b ) este coverget, adică b = b. Să presupuem că b ) este şir crescător similar se va trata cazul descrescător). Atuci a b = a b b) + a b = a b b ) + b a. ) Dar seria a este covergetă, di ipoteză, iar seria a b b ) este covergetă aplicâd criteriul lui Dirichlet. Îtr-adevăr, seria a are şirul sumelor parţiale mărgiit deoarece este serie covergetă) şi b b ) este u şir descrescător şi coverget la 0. Deci seriile a b b ) şi a sut covergete şi deci, utilizâd Teorema şi relaţia ), deducem că seria a b este covergetă. Exemplul 7 Folosid criteriul lui Abel să se studieze covergeţa seriei Îtr-adevăr, avem Lucia Maticiuc ude a = cos, b = l +. cos l + = a b cos l +. 5

6 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Avem că cos este covergetă coform criteriului lui Dirichlet. Pe de altă parte, deoarece fucţia l x este crescătoare, b = l + = l + ) > l + ) = l = b + deci b ) este şir descrescător şi b = l + 0) = l = 0 deci, di covergeţă, avem că şirul este cos şi mărgiit. Sutem atuci î codiţiile Criteriului lui Abel deci l + este covergetă. Teorema 8 Criteriul lui Leibiz) Fie seria ) a astfel îcât a ) este u şir descrescător la 0 deci u şir de termei pozitivi). Atuci seria alterată ) a este covergetă. Demostraţie. Seria ) are şirul sumelor parţiale mărgiit. Îtr-adevăr, { S = ) k 0, par, =, impar. k= Deoarece a ) este u şir descrescător la 0 avem că putem aplica criteriul lui Dirichlet şi obţiem cocluzia: seria ) a este covergetă. ) Exemplul 9 Folosid criteriul lui Leibiz să se studieze covergeţa seriei : = Avem ) = ) = ) a = = = ude a = ). Este evidet că şirul descreşte şi = 0 deci seria alterată ) este = covergetă. Exemplul 30 Folosid criteriul lui Leibiz să se studieze covergeţa seriei Avem l descreşte şi = 0 deci seria alterată ) l este cover- ude a = l. ) l Se ştie că şirul getă. = 3 Serii absolut covergete ) l = ) l = ) a = = = = ) l : Defiiţia 3 Spuem că seria a este absolut covergetă dacă seria modulelor a este covergetă. Exemplul 3 Seria Lucia Maticiuc ) =0 este absolut covergetă, avâd î vedere că seria modulelor ) = = ) =0 =0 este covergetă este seria geometrică scrisă petru q = /). =0 6

7 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Exemplul 33 Seria ) este absolut covergetă, avâd î vedere că seria modulelor ) = =0 este covergetă este seria armoică geeralizată scrisă petru p = ). Exemplul 34 Seria iar seria si este covergetă. este absolut covergetă. Îtr-adevăr, si, Teorema 35 Orice serie absolut covergetă este covergetă fără demostraţie). Defiiţia 36 O serie care este covergetă dar u este absolut covergetă se umeşte serie semicovergetă. ) Exemplul 37 Seria este covergetă coform criteriului lui Leibiz) dar u este absolut covergetă. Îtr-adevăr, seria modulelor ) = =0 este divergetă este seria armoică geeralizată scrisă petru p = ). Exemplul 38 Seria =0 3) u este ici covergetă este seria geometrică scrisă petru q = 3) şi ici absolut covergetă seria modulelor =0 3) = =0 3 este divergetă; este seria geometrică scrisă petru q = 3). Remarca 39 Coform defiiţiei absolutei covergeţe a uei serii observăm că trebuie să studiem covergeţa uei serii cu termei pozitivi seria modulelor). Î acest caz vom folosi criterii speciale prezetate î secţiuea următoare. 4 Serii cu termei pozitivi Teorema 40 Fie seria a astfel îcât a 0, N. Atuci seria ori coverge ori are suma ifiit. Demostraţie. Fie S ) şirul sumelor parţiale asociate seriei. Deoarece seria este cu termei pozitivi, atuci şirul S ) este pozitiv şi mooto crescător Lucia Maticiuc S + = S + a + S, N. Deci S care este fiită dacă şirul S ) este mărgiit superior, şi respectiv + dacă şirul S ) este emărgiit superior. 7

8 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Teorema 4 primul citeriu de comparaţie) Fie seriile a şi b astfel îcât a, b 0, N. Presupuem că N N astfel îcât a b, N. Atuci a) dacă seria b este covergetă atuci şi seria a este covergetă. b) dacă seria a este divergetă atuci şi seria b este divergetă. Demostraţie. Avâd î vedere că primii N termei ai uei serii u cotează adică u schimbă atura uei serii) vom studia seriile a şi b. Fie S ) şi T ) şirurile sumelor parţiale =N =N asociate celor două serii. Să observ că, deoarece seriile sut cu termei pozitivi, atuci şirurile S ) şi T ) sut pozitive şi crescătoare. Deci S şi T care sut fiite dacă şirurile S ) şi T ) sut mărgiite superior, şi respectiv + dacă şirurile S ) şi T ) sut emărgiite superior. a) Dacă =N b este covergetă avem că T ) este şir coverget T şi ea este fiită); deci şirul este mărgiit superior. Dar S T deci şi S ) este mărgiit superior, pri urmare S fiită, adică şirul este coverget. b) Dacă =N a este divergetă avem că S ) este şir emărgiit superior S şi ea este ifiită). Dar S T deci şi T ) este emărgiit superior, pri urmare T = +, adică şirul este diverget şi deci b este divergetă. =N Exemplul 4 Seria armoică geeralizată Dar seria = covergetă. b = ) = Exemplul 43 Are loc şi iegalitatea Deci seriile +) şi +) = evidet, petru seria Exemplul 44 Seria armoică geeralizată arăta că deci avem scrisă cu p = ) este covergetă. Îtr-adevăr a = = ) = b,. este covergetă coform Exemplului 9, deci şi seria + ),. ) sut majorate terme cu terme) de seria + ). = este tot ) se poate calcula uşor şirul sumelor parţiale), Lucia Maticiuc scrisă cu p = ) este divergetă. Îtr-adevăr, se poate l + x) x, x > a = l + ),. 8

9 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Dar seria a = l ) + este divergetă coform Exemplului 0, deci şi seria divergetă. este tot Teorema 45 al doilea citeriu de comparaţie) Fie seriile a şi b astfel îcât a, b > 0, N. Presupuem că Atuci a) dacă λ 0, ) atuci a b = λ [0, + ]. a b seriile au aceeaşi atură). b) dacă λ = 0 atuci b ) dacă b C) a C) b ) dacă a D) b D). c) dacă λ = + atuci c ) dacă a C) b C) c ) dacă b D) a D). Demostraţie. a) presupuem că λ 0, ). Meţioăm că deoarece λ > 0, deducem că ε > 0, suficiet de mic, λ ε rămâe strict pozitiv λ ε > 0); de asemeea, λ fiit λ < + ) implică faptul că λ + ε rămâe şi el fiit λ + ε < + ). Di ipoteză avem că există u rag astfel îcât a b este î veciătatea lui λ, mai precis ε > 0, N N astfel îcât λ ε a b λ + ε; deci λ ε) b a λ + ε) b, N. Acum aplicăm primul criteriu de comparaţie şi obţi că seriile date au aceeaşi atură. b) presupuem că λ = 0. Di ipoteză avem că există u rag astfel îcât a este î veciătatea lui λ, mai precis ε > 0, N N astfel îcât ε a ε; deci b 0 a εb, N. Acum aplicăm primul criteriu de comparaţie şi obţi cocluzia de la b). c) se obţie imediat di puctul b) deoarece Exemplul 46 Seria a = deci a =0 b = a b = = b a = λ = este divergetă. Îtr-adevăr, luăm b = şi calculăm + 3 = + 5 = = 0, + ) Lucia Maticiuc care este seria armoică cu p = deci divergetă. Exemplul 47 Seria a = si este covergetă. Îtr-adevăr, luăm b = şi calculăm =0 =0 b a b = si = 0, + ) 9

10 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc deci a b = si x x =, x 0). care este seria armoică cu p = deci covergetă am folosit ita Teorema 48 Criteriul de codesare) Fie a o serie cu termei pozitivi. Presupuem că şirul a ) este descrescător. Atuci fără demostraţie). a a Exemplul 49 Seria armoică geeralizată este, pri defiiţie, p { covergetă, dacă p >, p = divergetă, dacă p. şi are loc: Îtr-adevăr, fie a =. Cosiderăm cazurile: p. Cazul p > 0 şi atuci p ) este crescător deci şirul a ) descreşte deci putem aplica Criteriul Codesării. Astfel studiem seria a = ) p = = ) ) p p Acum dacă p > p > 0 p > 0 = 0 < < deci seria geometrică de mai sus p este cu raţia q = p 0, ) adică a este covergetă deci seria a este covergetă. Dacă p < p < 0 p < 0 = > deci seria geometrică de mai sus este cu p raţia q = p, ) adică a este divergetă deci seria a este divergetă.. Cazul p < 0. Atuci a = p = p p = deoarece p > 0 deci a este divergetă efiid satisfăcută codiţia ecesară de covergeţă). 3. Cazul p = 0. Atuci u = p = 0 deci u este divergetă efiid satisfăcută codiţia ecesară de covergeţă). Teorema 50 Criteriul rădăciii al lui Cauchy) Fie a o serie cu termei pozitivi. Presupuem că există a = k. Lucia Maticiuc Atuci a) dacă k < atuci seria a este covergetă; b) dacă k > atuci seria a este divergetă; c) dacă k = atuci u putem preciza imic. 0

11 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Demostraţie. a) Să presupuem că k <, deci ε > 0 suficiet de mic, k + ε <. Di ipoteză avem că există u rag astfel îcât a este î veciătatea lui k, mai precis ε > 0, N N astfel îcât k ε a k + ε < ; deci şi, pri urmare, k ε a k + ε, N, 0 a k + ε), N. Deoarece seria geometrică k + ε) este covergetă este seria geometrică cu q = k + ε < ), obţiem coform primului criteriu de comparaţie, că a este tot covergetă. b) Să presupuem că k >, deci ε > 0 suficiet de mic, k ε >. Di ipoteză avem că există u rag astfel îcât a este î veciătatea lui k, mai precis ε > 0, N N astfel îcât < k ε a k + ε; deci şi k ε a k + ε, N, 0 k ε) a, N. Deoarece seria geometrică k ε) este divergetă este seria geometrică cu q = k ε > ), obţiem coform primului criteriu de comparaţie, că a este tot divergetă. Exemplul 5 Seria a = 3 este covergetă. Îtr-adevăr, calculăm deci =0 =0 a = a este covergetă am folosit ita 3 = = ). 3 = 3 < Teorema 5 Criteriul raportului al lui D Alembert) Fie a o serie cu termei pozitivi. Presupuem că există a + a = k. Atuci a) dacă k < atuci seria a este covergetă; b) dacă k > atuci seria a este divergetă; c) dacă k = atuci u putem preciza imic. Demostraţie. a) Să presupuem că k <, deci ε > 0 suficiet de mic, k + ε <. Di ipoteză avem că există u rag astfel îcât a+ a este î veciătatea lui k, mai precis ε > 0, N N astfel îcât k ε a+ k + ε < ; deci şi, pri urmare, Lucia Maticiuc a k ε a + a k + ε, N, a N+ k + ε) a N, a N+ k + ε) a N, a N+3 k + ε) 3 a N...

12 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc deci Deoarece seria geometrică =N 0 a k + ε) N a N, N. k + ε) N a N = a N =N k + ε) N este covergetă este seria geometrică cu q = k + ε < ), obţiem coform primului criteriu de comparaţie, că a este tot covergetă. b) Să presupuem că k >, deci ε > 0 suficiet de mic, k ε >. Di ipoteză avem că există u rag astfel îcât a+ a este î veciătatea lui k, mai precis ε > 0, N N astfel îcât < k ε a+ k + ε; deci a şi, pri urmare, deci k ε a + k + ε, N, a a N+ k ε) a N, a N+ k ε) a N, a N+3 k ε) 3 a N... 0 k ε) N a N a, N. Deoarece seria geometrică k ε) N a N = a N k ε) N este divergetă este seria ge- ometrică cu q = k ε > ), obţiem coform primului criteriu de comparaţie, că a este tot divergetă. Exemplul 53 Seria a = 3 este covergetă. Îtr-adevăr, calculăm deci =0 a este covergetă. =0 a + a = 3 = + 3 = 3 < Remarca 54 Să remarcăm că cele două criterii rădăciii şi raportului) u precizează imic î cazul k =. De exemplu, seria este divergetă vezi Exemplul 49) pe câd seria este covergetă a vezi Exemplul 49) dar ambele satisfac codiţiile + b a = = + b şi a = = b, ude a = / şi b = /. Teorema 55 Criteriul lui Raabe-Duhamel) Fie a o serie cu termei pozitivi. Presupuem că există a Atuci a) dacă k < atuci seria a este divergetă; ) = k a + Lucia Maticiuc b) dacă k > atuci seria a este covergetă; c) dacă k = atuci u putem preciza imic fără demostraţie).

13 Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Remarca 56 Criteriul lui Raabe-Duhamel se aplica atuci câd î criteriul raportului obţiem ita. Deci criteriul lui Raabe-Duhamel este mai puteric decât criteriul raportului. Exemplul 57 Folosid criteriul lui Raabe-Duhamel să se determie atura seriei ) 4.! ) Avem a = 4 > 0, N. Calculăm mai îtâi ita raportului! a + a = ) 4 + ) 3) 4! )! ) = deci criteriul raportului u e poate preciza imic. Aplic î cotiuare criteriul lui Raabe-Duhamel adică vom calcula ita ) ) u u + = vezi calculul de mai sus) = 4+) 4+ = = 3 4+ = 3 4 <. Deci seria a este divergetă ) = Lucia Maticiuc 3