7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)
|
|
- Ποδαργη Δεσποτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PL STZĂ PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative dintre acestea, cu referire la elementele din care este alcătuită această formă. eolvare : a) pura formei geometrice din figura 7.1 se traseaă prin determinarea proiecţiilor fiecărui segment de dreaptă care o alcătuieşte, respectiv a tuturor punctelor care definesc aceste segmente. În acest scop, corpul dat trebuie imaginat în spaţiu, în sistemul celor trei plane de proiecţie, ca în figura 7.2, a. in toate punctele formei geometrice se imagineaă proiectante duse pe planele de proiecţie, obţinându-se cele trei proiecţii. acă ne imaginăm în continuare că planele oriontal şi lateral P L G ig.7.1 ormă geometrică P m'=n' g'=l' c'=a' f' d'=b' k'=r'=p' i' e' a" b" p"r" k"=i" m"=l" n" c"=g"=f" d"=e" L G a=b c=d n m p r=l k g f=e i a) b) ig.7.2 eolvarea problemei 1 se rotesc, în sensurile arătate pe figură, până la suprapunerea peste planul vertical, se obţine epura din figura 7.2, b, care este epura formei geometrice date. b) orelând forma geometrică dată cu epura ei se identifică următoarele segmente de dreaptă situate în poiţii particulare faţă de planele de proiecţie (în paranteă se specifică proiecţia din epură în care segmentele se proiecteă în adevărată mărime) : - drepte paralele cu planele de proiecţie : P (p n P), (m r );
2 116 GT SPTVĂ (i f ), G (k g G); - drepte perpendiculare pe planele de proiecţie : L (r l r l L), (a b a b ), (c d c d ); (ac a c ), (bd b d ); (cf c f ), (de d e ). c) naliând corpul dat, se eemplifică poiţiile relative dintre drepte, pentru câteva segmente : - drepte paralele : (ab cd, a b c d ), P (np mr, n p m r ), L (ml cf, m l c f ), G, (kg if, k g i f ); - drepte concurente : = (ac cf = c, a c c f = c ), L LG = L (ml lg = l, m l l g = l ), P G = (pk kg = k, p k k g = k ); - drepte disjuncte : G = ø (ac kg = ø, a c k g = ø), L P = ø (ml pr = ø, m l p r = ø), = ø (bd if = ø, b d i f = ø), d) La repreentarea în epură a punctelor date pe forma geometrică unele proiecţii s-au suprapus, adică unele puncte au proiecţii identice. Totuşi se poate spune care punct este viibil, în funcţie de distanţa dintre acestea şi planul de proiecţie respectiv. emplu : - proiecţii identice pe planul oriontal : c d, viibil ( > ), r l, viibil ( > L ), f e, viibil ( > ), - proiecţii identice pe planul vertical : c a, viibil ( > ), m n, viibil ( > ), g l, viibil G ( G > L ), - proiecţii identice pe planul lateral : c e, viibil ( > ), k i, viibil ( > ), m l, viibil ( > L ). e) eţele care mărginesc corpul studiat fac parte din plane care au diferite poiţii faţă de planele de proiecţie (proiectante sau paralele). ele care sunt paralele cu acestea se proiecteaă pe ele în adevărată mărime. emplu : - plane proiectante faţă de planele de proiecţie : [G] (f, g, k, i - coliniare), [P] (m, n, p, r - coliniare) - plane paralele faţă de planele de proiecţie : [L] (m l r L), [LG] (l g k r LG), [P] (pri P). f) eţele plane se intersecteaă după segmente de dreaptă. acă planele sunt particulare şi dreptele obţinute din intersecţia lor sunt particulare, după cum se arată în eemplele de mai jos : [](plan de profil) [](plan de front) = (dreaptă verticală); [](plan de front) [G](plan cu ) = G(dreaptă fronto-oriontală); [P](plan de capăt) [P](plan de nivel) = P(dreaptă de capăt); [P](plan de capăt) [L](plan de front) = (dreaptă frontală); [GL](plan de profil) [G](plan cu ) = G(dreaptă de profil). 2. ie dreapta oarecare : (20,12,20), (10,30,5). a) Să se determine urmele planului [P], pentru care dreapta este linie de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie; b) Să se trasee urmele unui plan [Q], paralel cu linia de pământ şi care se intersecteaă cu planul [P] după dreapta ;
3 PL STZĂ 117 c) Să se construiască proiecţiile unui triunghi, al cărui plan să fie perpendicular pe planul [P], cunoscând latura sa, : (35,25,35), (60,32,25); d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului. eolvare : se determină urmele oriontală H(h,h ) şi verticală V(v,v ) pentru dreapta (d,d ). Prin proiecţia v se traseaă urma P perpendiculară pe proiecţia d. ceasta intersecteaă aa în P. Urma P este dată de P şi proiecţia h (fig.7.3) Planul [Q] are urmele paralele cu aa şi concurente în v, respectiv h, cu urmele planului [P]. stfel, planul [Q] şi planul [P] au comună dreapta. Pentru triunghiul eistă o infinitate de soluţii. Se alege una dintre ele : din punctul se traseaă o dreaptă Δ(δ,δ ) perpendiculară pe planul [P]. acă pe această dreapta se consideră orice punct (c,c ), planul triunghiului [] este perpendicular pe planul [P]. devărata mărime a triunghiului se poate determina aplicând oricare din metodele geometriei descriptive. ici s-a ales rabaterea pe un plan de nivel. Prin vârful se imagineaă un plan de nivel, care intersecteaă triunghiul după oriontala (b1,b 1 ), care este şi aă de rabatere. Vârful este propriul lui rabătut, deci se rabate vârful, utiliând triunghiul de rabatere c c 2, cu cateta cc 2 = c c 1, iar pentru proiecţia rabătută a vârfului se utilieaă coliniaritatea punctelor c, 1 şi a. Proiecţia a 0 b 0 c 0 repreintă adevărata mărime a triunghiului. 7.2 Probleme propuse P 1. Pentru formele geometrice din figura 7.4, să se reolve următoarele cerinţe : a) să se repreinte epura formelor geometrice, indicând pe aceasta proiecţiile punctelor marcate; b) să se identifice câte un segment de dreaptă pentru poiţiile particulare faţă de planele de proiecţie şi să se numească acestea. În care proiecţie din epură segmentele se regăsesc în adevărată mărime? c) să se preciee câte două drepte care să fie: - paralele - concurente - disjuncte d) în caul punctelor aparent suprapuse (care au una din proiecţii identice), să se preciee care dintre ele este viibil şi de ce? e) menţionaţi suprafeţele poligonale care ocupă în spaţiu poiţii particulare faţă de planele de proiecţie şi numiţi-le. are dintre proiecţiile lor din epură reflectă adevărata mărime? f) numiţi trei perechi de plane concurente şi arătaţi ce fel de dreaptă este dreapta lor de intersecţie. P' b' P b=b 0 c' c c 1 ' a 0 ' 1' a' c 2 1=1 0 a c 0 v' v m' m d Q d' ig.7.3 eolvarea problemei 2 n n' h' h Q'
4 118 GT SPTVĂ G J G S T J P a) b) c) S T J U P T S G J Q J G G J d) e) f) ig.7.4 iguri geometrice pentru problema 1 2. Se dau punctele (45,10,20), (70,0,40) şi (100,40,0). a) Să se construiască urmele planului [P], definit de punctele, şi ; b) Prin punctul (20,40,40) să se ducă o paralelă (d,d ) la planul [P] ; c) Prin punctul (80,10,20) să se ducă un plan [Q], paralel cu planul [P] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin rabatere pe planul oriontal de proiecţie. 3. Se consideră planul [P] definit prin : P = 30, P = -20, P = şi punctele (50,,30) şi (70,,20) din acest plan. a) Să se determine proiecţiile pătratului, situat în planul [P] ; b) Prin punctul (90,10,30) să se ducă un plan oarecare [Q], perpendicular pe planul [P] dat ; c) Să se determine dreapta (, ) de intersecţie dintre planul [P] şi planul [] : = 100, = 55, = 70 şi unghiul, pe care această dreaptă îl face cu planul oriontal de proiecţie. 4. Se dă triunghiul : (50,20,50), (90,70,10) şi (10,30,30). a) in punctul (55,10,15) să se ducă o dreaptă (, ), perpendiculară pe planul triunghiului [] ; b) Să se determine punctul (i,i ) de intersecţie dintre dreapta (, ) şi planul triunghiului, să se studiee viibilitatea dreptei şi să se determine adevărata mărime a segmentului, prin metoda rotaţiei ;
5 PL STZĂ 119 c) Să se determine adevărata mărime a triunghiului prin metoda schimbării planelor de proiecţie. 5. ie două plăci plane triunghiulare opace, [] : (100,10,20), (60,85,60), (30,30,30) şi [] : (70,10,10), (120,60,50), (15,70,60). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Prin punctul (40,15,10) să se ducă dreapta (, ), paralelă cu planele celor două triunghiuri şi dreapta (d,d ) concurentă cu triunghiurile; c) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 6. ie dreptele (d,d ) : (50,13,37), (70,-12,52) şi (, ) : (20,5,70), (40,20,35). a) Să se determine urmele planului [P] definit de cele două drepte b) Prin punctul (80,10,35) să se ducă un plan [Q] paralel cu planul [P] ; c) Prin punctul (30,30,15) să se ducă un plan [], perpendicular pe dreapta (d,d ) ; d) Să se determine distanţa l dintre planele [P] şi [Q], prin metoda schimbării planelor de proiecţie; 7. ie plăcile plane opace [] : (120,75,10), (10,75,10), (10,15,65), (120,15,65) şi [] : (20,5,10), (100,20,5), (60,75,60). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Să se determine adevărata mărime a triunghiului prin metoda schimbării planelor de proiecţie; c) Prin punctul (110,15,60), eterior celor două plăci, să se ducă un plan oarecare [P], concurent cu plăcile şi care să taie aa în punctul (150,0,0). Să se preciee coordonatele punctului de intersecţie dintre cele trei plane. 8. Se consideră dreptele 1 (d 1,d 1 ) : (50,15,40), (10,70,5) şi 2 (d 2,d 2 ) : (23,10,60), (70,60,-10). a) Să se determine urmele planului [P] definit de cele două drepte ; b) Prin punctul (80,30,15) să se ducă un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care întâlneşte aa în punctul (35,0,0) ; c) Prin punctul (110,15,30) să se ducă o dreaptă (, ) paralelă cu planul [P] ; d) Să se determine unghiul dintre dreptele 1 şi 2, prin rabatere pe planul oriontal de proiecţie. 9. ie date planele [P] : P = 140, P = 40, P = 50 şi [Q] : Q = 70, Q = 80, Q = 65. a) Să se determine unghiul dintre cele două plane ; b) Prin punctul (90,30,10) să se ducă o dreapta (d,d ) paralelă cu cele două plane ; c) Să se determine punctul de intersecţie (i,i ) dintre planele [P], [Q] şi planul de front [] care trece prin punctul. 10. Se dă planul [P] : P = 100, P = 50, P = 70 şi dreapta (d,d ) : (70,50,60), (20,20,10). a) Să se determine punctul de intersecţie (i,i ) dintre dreapta şi planul [P] ;
6 120 GT SPTVĂ b) Să se construiască linia de cea mai mare pantă a planului [P] faţă de planul oriontal de proiecţie, care trece prin punctul (50,10, c ) ; c =? c) Prin punctul să se construiască un plan [Q] paralel cu planul [P] ; d) Să se determine unghiul dintre dreapta şi planul [P]. 11. Se dau plăcile plane opace [] : (100,10,70), (60,70,90), (20,30,20) şi [] : (120,50,40), (70,10,20), (30,60,80). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Să se determine unghiul pe care dreapta de intersecţie dintre plăci îl face cu planul vertical de proiecţie, utiliând metoda rotaţiei ; c) Să se ridice în punctul o perpendiculară (, ) pe planul triunghiului [] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului prin metoda schimbării planelor de proiecţie. 12. Se consideră planul [P] : P = 10, P =, P = -15 şi punctele (50,30, ), (20,20, ) din acest plan. a) Să se determine proiecţiile triunghiului echilateral, cuprins în acest plan ; b) Prin punctul să se ducă un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care are urmele în prelungire ; c) Să se determine dreapta de intersecţie (d,d ) dintre planele [P] şi [Q] şi unghiul pe care aceasta îl face cu planul vertical de proiecţie. 13. ie placa plană triunghiulară opacă : (15,10,70), (50,60,10), (100,70,20). a) in punctul (75,10,5) să se ducă o dreaptă (d,d ) perpendiculară pe planul triunghiului, să se determine punctul (i,i ) în care aceasta înţeapă triunghiul şi să se studiee viibilitatea perpendicularei ; b) Să se determine urmele planului [P], definit de punctele, şi ; c) Prin punctul să se ducă o paralelă (, ) la planul [P] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului. 14. Se consideră planul [P] : P = 100, P = 50, P = 70 şi un punct (60,40,50), eterior planului. a) Să se determine distanţa de la punctul la planul [P] ; b) Prin punctul să se ducă un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care trece prin origine; c) Să se construiască o dreaptă (d,d ) paralelă cu planul [P], care să treacă prin punctul. 15. ie date planele paralele [P] : P = 110, P = 60, P = 80 şi [Q]: Q = 60. a) Să se determine distanţa l dintre cele două plane şi unghiul pe care îl fac cu planul oriontal de proiecţie ; b) Prin punctul (80,30,50), eterior planelor să se construiască un plan [], perpendicular pe plane şi care întâlneşte aa în acelaşi punct ca şi planul [Q] ; c) Prin punctul (30,,25) din planul [P], să se ducă linia de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie, a planului [P]; =? 16. Se consideră dreptele (d,d ) : (50,5,15), (35,30,5) şi (, ) : (70,50,60), (20,-20,10).
7 PL STZĂ 121 a) Să se determine urmele planului [P] care are dreapta ca linie de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie ; b) Să se determine unghiul pe care dreapta (, ) îl face cu planul [P]; c) Prin punctul să se ducă o dreaptă 1 (d 1,d 1 ), perpendiculară pe dreapta (, ). 17. ie punctul (60,20,40) şi un plan de nivel [] şi un plan de front [] care conţin acest punct. a) Să se determine coordonatele punctului de intersecţie (i,i ), dintre cele două plane şi un plan de capăt [Q], ce trece prin punctul (20,30,60) şi face 60 0 cu planul oriontal de proiecţie; b) Să se determine urmele planului [P] definit de punctele, şi (80,30,20); c) Prin punctul să se trasee o linie de cea mai mare pantă faţă de planul vertical de proiecţie a planului [P] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda schimbării planelor de proiecţie. 18. ie planul proiectant vertical [P] : P = 80, P = 70, P = şi punctul (20,20,40), eterior planului. a) Să se construiască planul proiectant vertical [Q], care trece prin punctul şi face 90 0 cu planul [P]. e fel de dreaptă este dreapta de intersecţie dintre cele două plane? b) Să se găsească proiecţiile triunghiului cu latura, (60,,60), (10,, ), situată în planul [P] şi înălţimea corespunătoare vârfului în planul [Q] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 19. ie planul de capăt [P] : P = 80, P =, P = 70 şi punctul (20,40,20), eterior planului. a) Să se construiască planul de capăt [Q], care trece prin punctul şi face 90 0 cu planul [P]. e fel de dreaptă este dreapta de intersecţie dintre cele două plane? b) Să se găsească proiecţiile triunghiului cu latura, (60,60, ), (10,, ), situată în planul [P] şi înălţimea corespunătoare vârfului în planul [Q] ; d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 20. Se dau punctul (30,10,30) şi dreapta (d,d ) : (60,40,10), (80,15,40). a) Să se determine urmele unui plan [P], care trece prin punctul, ete paralel cu dreapta şi taie aa într-un punct de abscisă 120; b) Să se determine distanţa l dintre dreapta şi planul [P]; c) Să se construiască planul [Q] definit de dreapta şi punctul şi să se găsească dreapta după care acest plan intersecteaă planul [P]. 21. ie punctul (50,10,20) şi dreptele (d,d ) : (95,20,5), (70,10,25) şi (, ) : (35,5,30), (15,30,10), necoplanare. a) Să se construiască urmele planului [P], care trece prin punctul şi este paralel cu cele două drepte ; b) Să se determine unghiul dintre două drepte paralele cu dreptele şi, concurente în punctul ; c) Să se determine dreptele după care se intersecteaă planul [P] cu un plan de front [], respectiv un plan de nivel [], care trec prin punctul. 22. ie dreapta (d,d ) : (80,40,50), (20,15,10) şi punctul (45,10,40). a) Să se determine urmele planului [P], definit de dreapta şi de punctul ;
8 122 GT SPTVĂ b) Prin punctul (60,25,20) să se trasee un plan [Q] paralel cu planul [P]; c) Să se determine proiecţiile perpendicularei duse din punctul pe dreapta, ; d) Să se găsească distanţa l dintre planele [P] şi [Q]. 23. ie planul [P] definit prin două oriontale paralele 1 (d 1,d 1 ) : (70,5,20), (30,35,20), 2 (d 2,d 2 ) : (40,10,30) şi o dreaptă oarecare (, ) : (60,40,50), (10,10,5). a) Să se determine proiecţiile punctului de intersecţie (i,i ), dintre dreapta şi planul [P], fără a construi urmele planului; b) Să se construiască urmele planului [P] definit de cele două oriontale; c) are este distanţa l dintre cele două oriontale ; d) Să se determine unghiul pe care dreapta îl face cu planul [P]. 24. ie planele [P] : P = 140, P P = 60 0, P = 80 şi [Q] : Q = 30, Q = -80, Q = -30, a căror urme nu se întâlnesc în cadrul epurei. a) Să se determine dreapta de intersecţie (d,d ) dintre cele două plane; b) Prin punctul (20,10,20)să se ducă un plan [] paralel cu planul [Q]; c) Să se determine unghiul dintre planul [P] şi planul [Q]. 25. ie plăcile plane triunghiulare opace, [] : (160,40,50), (20,10,30), (80,70,90) şi [] : (130,90,20), (40,70,30), (110,10,80). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Prin punctul (60,30,50) să se trasee o perpendiculară (d,d ) pe planul triunghiului []; c) Prin punctul să se ducă o dreaptă (, ), concurentă cu planul triunghiului [] şi să se determine punctul de concurenţă. d) Să se determine adevărata mărime a triunghiului, prin metoda rotaţiei. 26. Se consideră dreapta (d,d ) : (100,40,30), (70,60,70) şi planul [P] : P = 60, P = 40, P = 50. a) Să se determine proiecţiile unui triunghi [], al cărui plan să fie perpendicular pe planul [P] şi adevărata mărime a lui; b) Să se determine urmele planului [Q] care conţine triunghiul ; c) e valoare are unghiul pe care planul [P] îl face cu planul oriontal de proiecţie ; d) Prin punctul să se trasee o dreaptă (, ), paralelă cu planul [P]. 27. ie plăcile plane triunghiulare opace, [] : (110,20,60), (25,10,75), (70,70,10) şi [G] : (90,10,20), (15,40,20), G(40,65,80). a) Să se determine dreapta de intersecţie dintre cele două plăci şi să se studiee viibilitatea plăcilor ; b) Să se determine adevărata mărime a triunghiului G ; c) Prin punctul (30,25,30) să se trasee o dreaptă (d,d ), paralelă cu planele celor două triunghiuri ; d) Prin punctul să se ducă o perpendiculară (, ) pe dreapta.
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE
4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότερα6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3
6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραb = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAsemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραGA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;
c) 9 6 0 d) 6 0 0 Culegere de robleme e) 9 6 0 f) 0 9 6 9 GA XI. Pentru hierbola ( H ): să se calculee aria triunghiului format de asimtotele hierbolei (H) şi dreata ( d ): 9. a) b) 6 c) d) e) f) GA XI.
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE
8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE 8.1.GENERALITĂŢI Două corpuri geometrice se intersectează după una sau două linii poligonale sau curbe închise.acestea sunt în general spaţiale şi sunt formate din
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότερα2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραTestul nr. 1. Testul nr. 2
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραNote de curs "Geometrie descriptivă şi desen tehnic"
UNIVERSITATEA DE STAT BOGDAN PETRICEICU HASDEU DIN CAHUL FACULTATEA DE ECONOMIE, INGINERIE ȘI ȘTIINȚE APLICATE CATEDRA DE INGINERIE ȘI ȘTIINȚE ALICATE Note de curs "Geometrie descriptivă şi desen tehnic"
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραBREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a
GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSECȚIUNI PLANE ȘI DESFĂȘURATE
63 SECȚIUNI PLNE ȘI ESFĂȘURTE Se determină intersecţia dintre două suprafeţe în următoarele cazuri: dacă este necesară desfăşurarea lor. Este cazul ambalajelor sau pieselor realizate din tablă plană cum
Διαβάστε περισσότερα14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
Διαβάστε περισσότεραReflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
Διαβάστε περισσότεραBAC 2007 Pro Didactica
BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 1 5 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ 5--007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 1 1. Subiectul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότερα