MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,"

Transcript

1 MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.0.08.

2 ii Posljednji ispravak: ponedjeljak, 5. listopad 08.

3 Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju na prvoj godini studija matematike na PMF-Matematičkom odsjeku Sveučilišta u Zagrebu. Gradivo tih kolegija izlaže se sa satnicom od tri sata predavanja i tri ili četiri sata vježbi tjedno u prvom i drugom semestru studija. Program kolegija obuhvaća osnovna znanja o funkcijama realne varijable, od definicija osnovnih elementarnih funkcija, preko pojma limesa niza i funkcije, neprekidnosti funkcije, do diferencijalnog i integralnog računa. Izlaganje gradiva podijeljeno je na šest poglavlja, od kojih se prva tri poglavlja izlažu u prvom semestru, a posljednja tri u drugom semestru studija. Uključena su i dva dodatka koja omogućuju snalaženje u jeziku matematičke logike i jeziku skupova koji se koriste u izlaganju. U prvom poglavlju obraduju se osnovni pojmovi o skupovima i funkcijama, na način da se pažnja posvećuje konkretnim skupovima prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva. Prvo se intuitivno i heuristički opisuju svojstva tih skupova, da bi u nastavku dali aksiomatiku skupa realnih brojeva. Pojam funkcije se uvodi kroz ponavljanje poznatih pojmova iz srednje škole, a zatim se kroz uvodenje operacije kompozicije i pojma inverzne funkcije, formalno definiraju arcus i area funkcije. Kod definiranja pojmova infimuma i supremuma skupa, upoznajemo studente s strogim matematičkim načinom formuliranja tih pojmova pomoću logičkih veznika i kvantifikatora. Takoder se upoznaju s načinom kako razlikovati veličinu beskonačnih skupova kroz pojam prebrojivog i neprebrojivog skupa. Drugo poglavlje je posvećeno nizovima realnih brojeva i njihovoj konvergenciji. Naročito se inzistira na pojmu konvergencije niza, jer to je prvi ozbiljni susret s pojmom koji zahtijeva shvaćanje beskonačnog matematičkog procesa. Posebno se inzistira na razumijevanju Cauchyjeve definicije limesa niza. Na kraju se uvodi skup kompleksnih brojeva i konvergencija nizova u njemu, te odnos s konvergencijom komponentnih realnih nizova. U trećem poglavlju obraduje se limes funkcije i neprekidnost funkcije, s tim da se ti pojmovi uvode pomoću nizova, ali se dokazuju i koriste Cauchyjeve varijante tih pojmova. Pokazuje se veza neprekidnosti i monotonosti iii

4 iv funkcije, te se dokazuje neprekidnost svih elementarnih funkcija. Drugi semestar počinje s četvrtim poglavljem o diferencijalnom računu i teorijski i praktički relevantnim pojmovima u vezi s derivacijom. Posebno, dokazuju se teoremi srednje vrijednosti i primjenjuju na probleme istraživanja toka funkcije. Takoder pokazujemo neke primjene u numeričkoj matematici. Pojam integrabilnosti u Riemannovom smislu uvodi se u petom poglavlju. Tu dokazujemo integrabilnost elementarnih funkcija pomoću njihove neprekidnosti ili monotonosti po dijelovima. Takoder se definira primitivna funkcija i daju se osnovne tehnike integralnog računa. Obraduju se primjene na nalaženje površina likova i volumena tijela, kao i zakrivljenost ravninskih krivulja. Posljednje šesto poglavlje je posvećeno redovima brojeva i redovima funkcija. Proučava se apsolutna konvergencija redova i dokazuju se dovoljni uvjeti za konvergenciju redova. Od redova funkcija poseban naglasak je na redovima potencija. Specijalno se promatraju Taylorovi redovi osnovnih funkcija. Takoder se ukratko obraduju i osnovne činjenice o Fourierovim redovima periodičkih funkcija. Dodaci A i B su uvršteni zato da studentima budu na raspolaganju osnovna znanja iz matematičke logike i elementarne teorije skupova potrebna za svladavanje ovog kolegija. OBAVEZNA LITERATURA:. S. Kurepa, Matematička analiza : Diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, S. Kurepa, Matematička analiza : Funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 984. DOPUNSKA LITERATURA:. M. H. Protter, C. B. Morrey, A First Course in Real Analysis, Springer Verlag, 99. Boris Guljaš

5 Sadržaj Uvod iii Skupovi i funkcije. Skupovi Skupovi N,Z,Q Prikaz skupova Q i R na pravcu Decimalni brojevi, aproksimacija Kartezijeva ravnina, koordinatni sustav Funkcije Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa Linearne funkcije Apsolutna vrijednost i udaljenost Kvadratna funkcija Razlomljene linearne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Kompozicija funkcija, inverzna funkcija Korijeni Eksponencijalna funkcija na Q, logaritamska funkcija, opća potencija Hiperbolne i area funkcije Trigonometrijske i arkus funkcije Aksiomi polja R, supremum i infimum, potpunost Aksiomi polja R Supremum i infimum skupa, potpunost Eksponencijalna funkcija na R (I.) Ekvipotentni skupovi, prebrojivost Nizovi 4. Niz i podniz Limes niza u R v

6 vi SADRŽAJ.3 Operacije s konvergentnim nizovima Primjeri konvergentnih nizova Eksponencijalna funkcija na R (II.) Limes superior i limes inferior Cauchyjev niz Polje C, nizovi u C Polje kompleksnih brojeva C Eksponencijalna funkcija na C Nizovi u C, limes niza u C Limes i neprekidnost funkcije 6 3. Limes funkcije Limes u R Jednostrani limes u R Neprekidnost funkcije u točki Neprekidnost i operacije s funkcijama Neprekidnost eksponencijalne funkcije na R Neprekidnost trigonometrijskih funkcija Neprekidnost funkcije na segmentu Neprekidnost i monotonost Neprekidnost korijena, logaritamske, area i arcus funkcija Jednostrana neprekidnost funkcije Otvoreni skupovi u R Derivacija Motivacija Diferencijabilnost i operacije Derivacije elementarnih funkcija Potencije i korijeni Trigonometrijske i arcus funkcije Eksponencijalna funkcija Hiperbolne i area funkcije Teoremi srednje vrijednosti Monotonost i derivacija funkcije Taylorov teorem Odredivanje ekstrema pomoću derivacija višeg reda Konveksne funkcije, infleksija Okomite i kose asimptote na graf funkcije Svojstva konveksnih funkcija Cauchyjev teorem srednje vrijednosti i L Hospitalovo pravilo

7 SADRŽAJ vii 4.7 Neke primjene derivacije Lagrangeov interpolacijski polinom Newtonova metoda Riemannov integral 3 5. Problem površine i rada sile Integral Osnovna svojstva Integrabilnost monotonih i neprekidnih funkcija Primitivna funkcija Metode integriranja Direktna integracija Integracija racionalnih funkcija Integralni oblik ostatka u Taylorovom teoremu srednje vrijednosti Primjene u geometriji Volumen rotacionog tijela Duljina ravninske krivulje Površina rotacione plohe Zakrivljenost ravninske krivulje Nepravi integral Kriterij konvergencije nepravog integrala Redovi Definicija reda Definicija konvergencije reda Usporedivanje redova, apsolutna konvergencija Uvjeti za konvergenciju reda Produkt redova Redovi potencija Taylorovi redovi Fourierovi redovi Uniformna konvergencija A Algebra izjava 87 A. Izjave i veznici A. Izjavne funkcije i kvantifikatori B Elementarna teorija skupova 9 B. Skupovi i operacije sa skupovima B. Inkluzija i prazan skup

8 viii SADRŽAJ B.3 Zakoni unije, presjeka i oduzimanja B.4 Univerzalni skup i komplement B.5 Kartezijev produkt B.6 Beskonačne unije i presjeci B.7 Relacije i funkcije B.8 Cantor-Bernsteinov teorem B.9 Konstrukcija potpunog uredenog polja R Indeks 06

9 Skupovi i funkcije. Skupovi Pojmovi skup i element ili član skupa predstavljaju osnovne ili primitivne pojmove koji se ne definiraju. Intuitivno, pojam skupa predstavlja cjelinu koju čine elementi ili članovi tog skupa. Za pisanje činjenice da je a element skupa A koristimo oznaku a A, a da a nije element skupa A koristimo oznaku a A. Na primjer, postoji skup čiji članovi su svi primitivni brojevi manji od 0. To je skup od četiri elementa:, 3, 5 i 7. Taj skup možemo označiti nabrajajući članove unutar vitičastih zagrada: {, 3, 5, 7}. Nazovimo ga s A. Neka je B skup svih rješenja polinomijalne jednadžbe x 4 7x 3 +0x 47x+0 = 0. Možemo provjeriti da skup B ima točno ista četiri člana, 3, 5 i 7. Iz tog razloga skupovi A i B su identični, tj. A = B. Skup koji nema niti jednog člana zovemo prazan skup i označavamo s. Kažemo da je skup A podskup skupa B i pišemo A B, ako je svaki element t A ujedno i element skupa B, tj. t, (t A) (t B). Posljednja izjava je napisana pomoću logičkih znakova i glasi: za svaki t, t element od A povlači (slijedi) t element od B. Znak (za svaki) je logički kvantifikator (univerzalni kvantifikator), i on opisuje opseg izjave koja iza njega slijedi. Znak je logički veznik koji zovemo implikacija. On povezuje dvije izjave i čitamo ga slijedi, povlači, ako - onda. Drug logički kvantifikator je, kvantifikator egzistencije ili postojanja. Npr. izjava a(a A), postoji element a koji je u skupu A, kazuje da skup A ima barem jedan član, tj. A. Pored navedenih kvantifikatora koristimo još slijedeće veznike ili logičke operacije:,& (konjunkcija) koji odgovara jezičnom vezniku i, (disjunkcija)je veznik ili, a (ekvivalencija) čitamo ako i samo ako, onda i samo onda i slično. Navedeni veznici odgovaraju pojedinim operacijama sa skupovima. Operacija presjek skupova A i B u oznaci A B odgovara vezniku i, a njen rezultat je skup koji sadrži one i samo one članove koji su članovi skupa A i skupa B, tj. t (t A B) ((t A) (t B)). Operacija unija skupova

10 . SKUPOVI I FUNKCIJE A i B u oznaci A B odgovara vezniku ili, a njen rezultat je skup koji sadrži one i samo one članove koji su članovi skupa A ili skupa B, tj. t (t A B) ((t A) (t B)). Ako veznik povezuje dvije izjave, onda su one jednako vrijedne, obje su istinite ili su obje lažne. Osnovna znanja o logičkim izjavama i skupovima potrebna u daljnjim razmatranjima obradena su u Dodatku A (str. 87.) i B (str. 9.). Sada ćemo se posvetiti konkretnim skupovima s kojima ćemo se baviti u ovom kursu... Skupovi N, Z, Q U našim razmatranjima posebno važnu ulogu igraju skupovi koji nemaju samo konačno mnogo članova. Takav je skup prirodnih brojeva kojeg označavamo s N, a njegovi članovi su prirodni brojevi,,3,..., tj. N = {,,3,...}. Na skupu N možemo usporedivati brojeve, tj. za svaka dva različita prirodna broja znamo koji je manji a koji je veći, tj. koji je prije kojega u prirodnom poretku. Zapravo, za svaki prirodni broj znamo koji broj dolazi nakon njega, tj. tko mu je sljedbenik. Ako krenemo od prvog prirodnog broja, kojeg označavamo s, i od svakog broja predemo na njegovog sljedbenika, proći ćemo svim prirodnim brojevima. Sada smo upravo opisali svojstva koja čine Peanove aksiome skupa N:. Svaki prirodni broj ima sljedbenika, tj. n N,!s(n) N i ako je s(n) = s(m) onda je n = m.. Postoji prvi element u skupu N i označavamo ga s, tj. N. To je jedini element koji nije sljedbenik nekog prirodnog broja. 3. Vrijedi aksiom matematičke indukcije: Neka je S N takav da vrijedi: ) S, ) n N, (n S) (s(n) S). Tada je S = N. Svaki skup za kojeg vrijede Peanovi aksiomi poistovjećujemo sa skupom prirodnih brojeva. Naravno, postoje različite realizacije skupa N. Naprimjer, jednumožemo sagraditiodpraznogskupa: N = {,{ },{{ }},{{{ }}},...}, gdje je sljedbenik definiran sa s(a) = {a}, a N. Giuseppe Peano (Cuneo [Piemonte], 7. kolovoz 858. Turin, 0. travanj 93.) talijanski matematičar

11 .. SKUPOVI 3 Pomoću funkcije sljedbenik možemo na N definirati binarnu operaciju zbrajanja tako da stavimo n,m N, n+m = s(s(s(...s(n)...))) = s [m] (n). }{{} m Zadatak.. Provjerite da je operacija zbrajanja asocijativna i komutativna: ( n,m,k N), n+(m+k) = (n+m)+k, (.) ( n,m N), n+m = m+n. (.) Rješenje: Neka su n,m N po volji. Vrijedi n + (m + ) = s [m+] (n) = s(s [m] (n)) = s(n + m) = (n + m) +. Pretpostavimo da za k N vrijedi n+(m+k) = (n+m)+k. Tada je n+(m+(k+)) = n+((m+k)+) = (n+(m+k))+ = ((n+m)+k)+ = (n+m)+(k +), pa iz aksioma matematičke indukcije slijedi (.). Indukcijom lako slijedi n N, s(n) = s [n] (). Neka je n N po volji. Vrijedi n+ = s(n) = s [n] () = +n. Pretpostavimo da je za neko m N, n+m = m+n. Tada je n+(m+) = s [m+] (n) = s(s [m] (n)) = s(n+m) = s(m + n) = (m+n) + = m + (n + ) = m + ( + n) = (m+) + n, pa imamo (.). Osim operacije zbrajanja, na N možemo definirati relaciju strogog uredaja < tako da kažemo n N, n < s(n), tj. imamo < < 3 < < n < n+ <. Takoder, odmah imamo i uredaj ako stavimo (n m) def ((n < m) (n = m)). Taj uredaj je linearan ili jednostavan, tj. za svaka dva različita prirodna broja jedan je manji od drugoga, tj. oni su usporedivi. Kažemo da je uredaj na skupu N dobar uredaj jer ima svojstvo da svaki neprazan podskup skupa N ima prvi (najmanji) element. Dakle, na N imamo zadanu algebarsku strukturu i uredaj. Pitanje je sada koliko nam je ta struktura korisna i dostatna. Već u prvim godinama školovanja iz matematike uči se kako razne probleme matematički formulirati i potom rješavati. Već najjednostavniji problemi vode na rješavanje jednadžbe oblika a+x = b, gdje su a,b N. Možemo li tu jednadžbu riješiti u skupu N za svaki izbor brojeva a,b N? Naravno, odgovor je negativan već za izbor a = b =. Naime, u skupu N ne postoji broj x sa svojstvom da je x+ =. To slijedi iz. Peanovog aksioma. Kada bi takav broj postojao,

12 4. SKUPOVI I FUNKCIJE onda je iz definicije zbrajanja jasno da bi vrijedilo n N, x+n = n. Što možemo sada učiniti? Uobičajen postupak kod rješavanja sličnih algebarskih problema je da proširimo (ako je moguće) skup tako da u tom većem skupu naša jednadžba ima rješenje. Dodajmo, dakle, skupu N element koji označavamo s 0 i stavimo ga ispred jedinice jer vrijedi 0+ =, tj. = s(0). To je tzv. neutralni element za zbrajanje ili nula, jer pri zbrajanju s 0 svi elementi ostaju nepromijenjeni. Odmah je jasno da niti u skupu {0} N nismo u mogućnosti riješiti našu jednadžbu za bilo koji izbor brojeva a,b {0} N. Naime, za bilo koji n N jednadžba n+x = 0 nema rješenje u {0} N.Takav x zovemo suprotnim element od n i označavamo s n. Dobro, dodajmo sada skupu suprotne elemente za sve n N i poredajmo ih u obratnom poretku od njihovih originala, tj. (n,m N) ((n < m) ( m < n)). Tako smo došli do skupa Z = {..., n,...,,,0,,,...,n,...} = N {0} N kojeg nazivamo skupom cijelih brojeva. Na čitav skup Z možemo takoder proširiti i operaciju zbrajanja. Za m, n N stavimo n + m = (n+m). Za m N,n N promatramo dva slučaja. Ako je (n m) k {0} N, n = m+k, pa stavljamo m+n = n+( m) = k, a u slučaju (m n) k {0} N, m = n+k, pastavljamo m+n = n+( m) = k. Skup Z s operacijom + je algebarska struktura sa svojstvima:. a,b,c Z, a+(b+c) = (a+b)+c (asocijativnost).. 0 Z, a Z, 0+a = a+0 = a (neutralni element). 3. a Z, a Z, a+ a = a+a = 0 (suprotni elementi). 4. a,b Z, a+b = b+a (komutativnost). Strukturu (Z,+) koja zadovoljava svojstva.,. i 3. zovemo grupa, ako još vrijedi i svojstvo 4., zovemo je komutativna (Abelova ) grupa. To je osnovna algebarska struktura u kojoj je uvijek rješiva jednadžba a+x = b. Na skupu N možemo definirati i drugu binarnu operaciju koju nazivamo množenje ako za n,m N stavimo n m = } n+n+ +n {{}. m Zadatak.. Provjerite da je operacija množenja asocijativna, komutativna i da je neutralni element za množenje. Takoder vrijedi distributivnost množenja prema zbrajanju. ( n,m,k N) n (m k) = (n m) k, (.3) Niels Henrik Abel (Nedstrand, 5. kolovoz Froland, 6. travanj 89.) norveški matematičar

13 .. SKUPOVI 5 ( n,m N) n m = m n. (.4) ( n N) n = n = n. (.5) ( n,m,k N) n (m+k) = n m+n k. (.6) Rješenje: Očito, n N vrijedi n = n. Takoder, n = } ++ + {{} = n = s [n ] () = n, tj. vrijedi (.5). Dakle, N je (+)+ +)+ }{{} n neutralni element za operaciju množenja. Ujedno je to baza indukcije za dokaz komutativnosti. Neka je n N po volji. Pretpostavimo da je za neko m N, n m = m n. Tadaje(n+) m = (n+)+ +(n+) }{{} m n m+m = m n+m = (m+ +m) } {{ } n = (n+ +n) }{{} m +m = (m+ +m) }{{} n+ +(+ +) = }{{} m = m (n+), tj. vrijedi (.4). Neka su n,m N po volji. Prethodno je pokazano da vrijedi n (m+) = n m+n = n m+n. Pretpostavimo da za k N vrijedi n (m+k) = n m+n k. Tada je n (m+(k+)) = n ((m+k)+) = n (m+k)+n = (n m+n k) + n = n m+(n k+n ) = n m+n (k + ), dakle, imamo (.6). Za dokaz asocijativnosti množenja uzmimo n,m N po volji, pa imamo n (m ) = n m = (n m). Neka tvrdnja vrijedi za k N. Tada je n (m (k+)) = n (m k+m ) = n (m k)+n m = (n m) k+n m = (n m) (k +). Tu operaciju možemo lako proširiti i na skup Z stavljajući za n, m N, ( n) ( m) = n m, a za m N,n N, n ( m) = (n m). Lako se pokaže da je na skupu Z ta operacija asocijativna, komutativna i distributivna prema zbrajanju. U skupu Z postoji neutralni element za množenje, tj. n Z, n = n = n. Promatrajmo sada rješivost jednadžbe a x = b za a,b Z. Već za a = n i b = ta jednadžba nema rješenje u Z. Broj x za koji vrijedi nx = nazivamo recipročni element od n ili inverz od n za operaciju množenje i označavamo s n =. Ako sada n proširimo skup Z sa svim mogućim rješenjima jednadžbe nx = m, gdje je n N i m Z dobivamo skup Q = { m ; n N, m Z} n koji zovemo skupom racionalnih brojeva. Napominjemo da je prikaz racionalnog broja u obliku m jedinstven ako su brojevi m i n relativno prosti, n tj. nemaju zajedničkog djelitelja različitog od ili.

14 6. SKUPOVI I FUNKCIJE Operaciju množenje na skupu Q definiramo tako da za m n, m n Q, stavimo m n m n = mm nn Q. Skup racionalnih brojeva bez nule, s operacijom množenja (Q, ) je takoder komutativna grupa. Nula nema recipročnog elementa, tj. s nulom nije moguće dijeliti. Operaciju zbrajanje je moguće proširiti sa skupa Z na skup Q na slijedeći način: m n, m Q, stavimo m n n + m = mn +m n Q. n nn Medutim, operacije zbrajanja i množenja su povezane svojstvom distributivnosti množenja prema zbrajanju, tj. n,m,k Q, n(m+k) = nm+nk. Struktura (Q, +, ) s gore navedenim svojstvima naziva se polje. Uredaj sa skupa Z možemo jednostavno proširiti na skup Q tako da m, m Q, stavimo m m mn m n. Ta relacija ima slijedeća n n n n svojstva:. a Q, (a a), (refleksivnost).. a,b Q, (a b) (b a) (a = b), (antisimetričnost). 3. a,b,c Q, (a b) (b c) (a c), (tranzitivnost). 4. a,b Q, (a b) (b a), (linearnost ili totalnost). Ako uredaj zadovoljava samo svojstva.,. i 3. zovemo ga parcijalni uredaj. Taj uredaj je u suglasju s operacijama zbrajanja i množenja. Vrijedi. a,b Q, (a b) ( c Q (a+c b+c)).. a,b Q, (a b) ( c 0 (ac bc)).. a,b Q, ((a 0) (b 0)) (ab 0). Primjer.. Relacija inkluzije je parcijalni uredaj na partitivnom skupu P(U) nekog skupa U. Vrijedi. A U, (A A),. A,B U, (A B) (B A) (A = B), 3. A,B,C U, (A B) (B C) (A C). Taj uredaj nije linearan, npr. disjunktni skupovi nisu usporedivi.

15 .. SKUPOVI 7.. Prikaz skupova Q i R na pravcu Skup cijelih brojeva prikazujemo na pravcu tako da izaberemo čvrstu točku za ishodište i njoj pridružimo cijeli broj 0. Zatim izaberemo jediničnu dužinu i nanosimo ju uzastopno na desnu stranu za pozitivne i na lijevu stranu za negativne cijele brojeve, kao što je prikazano na slijedećoj slici Da bismo prikazali racionalni broj m n, 0 < m < n, na pravcu poslužimo se Talesovim teoremom o sličnim trokutima. Kao što se vidi na slici desno, prvo na pomoćnom pravcu nanesemo n jednakih dužina, a zatim odredimo traženi broj. Na taj način je jasno da je ravnalom i šestarom moguće na pravcu konstruirati svaki racionalan broj. 0 n m n m n Skup racionalnih brojeva Q je gust u sebi, tj. q,q Q, q < q, q Q, q < q < q. Naravno, to je ispunjeno već za q = q +q. Prirodno pitanje je da li su na taj način dobivene sve točke na pravcu, tj. da li svaka točka na pravcu predstavlja neki racionalan broj. Konstruirajmo točku koja je od 0 udaljena za duljinu dijagonale kvadrata sa stranicama duljine. Iz Pitagorinog poučka slijedi da ta točka odgovara broju čiji kvadrat je jednak, tj. broju. Dokažimo da Q. Metoda kojom dokazujemo tu tvrdnju vrlo je česta u dokazivanju različitih matematičkih tvrdnji. Jedini način da logički točnim 0 zaključivanjem dobijemo neistinitu tvrdnju je da je polazna pretpostavka neistinita. Dakle, pretpostavimo da vrijedi Q. Tada postoje relativno prosti brojevi m,n N (nemaju zajedničkih faktora različitih od ) takvi da je m n =, odnosno m n =, a odatle dobijemo m = n. Pošto je desna

16 8. SKUPOVI I FUNKCIJE strana posljednje jednakosti prirodan broj djeljiv s, tada je i m djeljiv s. Tada je i m djeljiv s, tj. m = m 0 za neki m 0 N. Naime, kada bi bilo m = m 0 + slijedilo bi m = 4m 0 +4m 0 +. Sada imamo 4m 0 = n, odnosno m 0 = n. Odatle pak zaključujemo da je i n = n 0 za neki n 0 N. Dakle, m = m 0 i n = n 0, tj. dobili smo neistinu, odnosno kontradikciju s pretpostavkom da su m i n relativno prosti. Sada je jasno da sve točke na pravcu ne predstavljaju racionalne brojeve, već ima (puno više) točaka koje ne predstavljaju racionalne nego tzv. iracionalne brojeve. Sve te točke zajedno predstavljaju skup realnih brojeva koji označavamo s R...3 Decimalni brojevi, aproksimacija Broj oblika ±(a 0 + a 0 + a a n 0n), (.7) gdjejen,a 0 Nia,a,...,a n {0,,,...,9},zovemodecimalnimbrojem. Svaki decimalni broj je iz Q, jer se može napisati kao kvocijent cijeloga broja i 0 n. Obratno, svaki racionalni broj oblika m k 5n, gdje je m Z, k,n N, je decimalan broj. Zato što smo navikli računati u decimalnom sustavu (valjda zbog deset prsti na rukama) decimalni brojevi su nam neophodni u svakodnevnom životu. No tih brojeva ima manje od realnih brojeva, pa ima smisla pitanje da li je moguće svaki realan broj po volji točno aproksimirati pomoću decimalnih brojeva. Drugim riječima, da li je moguće naći decimalan broj koji se od zadanog realnog broja razlikuje za manje od unaprijed zadane tražene točnosti ε > 0. Mi u ovom trenutku možemo dati samo geometrijsku ideju dokaza te činjenice. Neka je d > 0 realan broj koji se nalazi negdje desno od 0 na brojevnom pravcu. Sada uzmimo jediničnu dužinu i nanosimo je uzastopno na desno. Nakon konačno koraka broj d će biti pokriven tom dužinom. Ta geometrijska tvrdnja naziva se Arhimedov aksiom. Na taj način smo našli prirodan broj a 0 + za koji je a 0 d < a 0 +. Podijelimo sada taj segment na deset jednakih dijelova i točka koja reprezentira broj d će pasti u jedan od njih, tj. postoji a {0,,,...,9} tako da je a 0 + a 0 d < a 0 + a Sada taj segment duljine podijelimo na deset jednakih dijelova i dobijemo 0 broj a {0,,,...,9} tako da je a 0 + a 0 + a 0 d < a 0+ a 0 + a Prethodni postupak ponavljamo n puta, gdje je < ε. Tako smo došli do 0 n Arhimed (87. pne.. pne.) grčki matematičar, fizičar i astronom

17 .. FUNKCIJE 9 brojeva a,a,...,a n {0,,,...,9} za koje je a 0 + a 0 + a a n 0 n d < a 0 + a 0 + a a n 0 n + 0 n, tj. našli smo decimalan broj koji zadovoljava traženu točnost aproksimacije...4 Kartezijeva ravnina, koordinatni sustav Uredeni par dva objekta a i b je ureden skup koji označavamo s (a,b) i kod kojeg je osim samih elemenata važno i na kojem se mjestu oni nalaze. Dva uredena para (a,b) i (c,d) su jednaka, tj. (a,b) = (c,d), ako i samo ako je a = c i b = d. Kartezijev ili Dekartov produkt dva skupa A i B je skup kojeg označavamo s A B, a sastoji se od svih uredenih parova (a,b), gdje je a A i b B, tj. A B = {(a,b); a A,b B}. U točki... smo pokazali kako se točke skupova Q i R reprezentiraju na brojevnom pravcu. Sada ćemo sličnu stvar uraditi u ravnini. U ravnini nacrtamo dva okomita brojevna pravca i njihovom sjecištu pridružimo broj 0 na jednom i na drugom pravcu. Ta dva pravca zovemo koordinatne y osi. Sada svakoj točki ravnine možemo pridružiti par realnih brojeva koji se dobiju tako da se nacrtaju pravci koji su paralelni sa koordinatnim osima. Svaki od njih na pravcu na koji je y 0 T x 0,y 0 okomit jednoznačno u svom sjecištu odreduje realan broj koji to sjecište predstavlja na koordinatnoj osi. Tako smo svakoj točki ravnine T pridružili uredeni par realnih brojeva (x 0,y 0 ) kojima je ta točka jednoznačno odredena. Ravninu s okomitim 0 x 0 x koordinatnim osima zovemo Kartezijeva koordinatna ravnina i možemo je poistovjetiti sa skupom R R = R = {(x,y); x,y R}.. Funkcije Jedan od najvažnijih pojmova u matematici je pojam funkcije. Sada ćemo navesti ne baš previše formalnu definiciju tog pojma. René Descartes (Le Haje [danas Descartes], 3. ožujak 596. Stocholm [Švedska],. veljače 650.) francuski filozof i matematičar

18 0. SKUPOVI I FUNKCIJE Definicija.. Neka su A i B bilo koja dva neprazna skupa. Funkcija sa skupa A u skup B je pridruživanje elemenata skupa A elementima skupa B, tako da je svakom elementu iz A pridružen točno jedan element iz B. Tada pišemo f : A B, s tim da skup D(f) = A zovemo područje definicije ili domena funkcije f, skup K(f) = B nazivamopodručje vrijednosti ilikodomena funkcije f. A f Slika funkcije f je skup R(f) = {f(x); x A} B. Skup Γ(f) = {(x,f(x)); x D(f)} A B je graf funkcije f. B Dvije funkcije f : A B i g : C D su jednake točno onda kada vrijedi A = D(f) = D(g) = C, B = K(f) = K(g) = D i x A, f(x) = g(x). Funkcija g je restrikcija ili suženje funkcije f ako vrijedi D(g) D(f) i x D(g), g(x) = f(x). Tada pišemo g = f D(g). Takoder se kaže i da je f proširenje od g. U slučaju kada je D(f) R i K(f) R, onda je graf Γ(f) R, tj. možemo ga nacrtati u Kartezijevoj ravnini. Domena se nalazi na osi apscisa (x-osi), a kodomena je na osi ordinata (y-osi). Svojstvo po kojem možemo razlikovati bilo koji podskup Kartezijeve ravnine od grafa funkcije je da u slučaju grafa funkcije, svaki pravac koji je paralelan s osi ordinata siječe graf funkcije u najviše jednoj točki. Natajnačinza c D(f)postojitočno jedna točka na grafu oblika (c,f(c)), a onda je jedinstvena i točka f(c) koja je pridružena točki c. Točku f(c) zovemo slikom točke c, a c zovemo originalom od f(c). y c,f c f c f 0 c x

19 .. FUNKCIJE y Na slici desno je primjer krivulje u Kartezijevoj ravnini koja nije graf funkcije. Pravac paralelan s osi y koji prolazi kroz c siječe krivulju u tri točke. Tako nije moguće na jedinstven način preko grafa pridružiti točki funkcijsku vrijednost f(c). 0 c x.. Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa Mnoga korisna svojstva realnih funkcija mogu se lako uočiti na grafu funkcije. Definicija.. Za funkciju f : I R kažemo da je:. rastuća na skupu I R, ako y y ( x,x I) (x < x ) (f(x ) f(x )), (.8). strogo rastuća na skupu I R, ako 0 x 0 x ( x,x I) (x < x ) (f(x ) < f(x )), (.9) 3. padajuća na skupu I R, ako ( x,x I) (x < x ) (f(x ) f(x )), (.0) raste y strogo raste y 4. strogo padajuća na skupu I R, ako 0 x 0 x ( x,x I) (x < x ) (f(x ) > f(x )). (.) Za takve funkcije kažemo da su monotone, odnosno, strogo monotone. pada strogo pada

20 . SKUPOVI I FUNKCIJE Definicija.3. Za funkciju f : a,a R kažemo da je:. parna na intervalu a,a R, ako ( x a,a ), f( x) = f(x)), (.). neparnanaintervalu a,a R, ako y 0 parna x y 0 neparna x ( x a,a ), f( x) = f(x)). (.3).. Linearne funkcije Ograničimo se sada na funkcije koje se obraduju u srednjoj školi. To su prije svega funkcije koje su zadane jednostavnim formulama. Funkciju zadanu formulom y = f(x) = kx + l, y x R, zovemo linearnom funkcijom (to nije u skladu s definicijom linearnosti u linearnoj algebri). To je funkcija f : R R čiji graf je pravac. n Broj k = tg α u formuli je koeficijent smjera, a Α broj l je točka na osi y u kojoj pravac siječe os. 0 Prisjetimo se nekoliko činjenica koje se uče o pravcima u srednjoj školi. m x i. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (x 0,y 0 ) R i koji ima zadan koeficijent smjera k je y = k(x x 0 )+y 0 ii. Jednadžba pravca koji prolazi točkama (x 0,y 0 ),(x,y ) R, x 0 x, je y = y y 0 x x 0 (x x 0 )+y 0. iii. Segmentni oblik jednadžbe pravca je x m + y n kojima pravac siječe osi x i y. =, gdje su m,n točke u

21 .. FUNKCIJE 3..3 Apsolutna vrijednost i udaljenost Kada govorimo o aproksimaciji onda je važno znati kako se mjeri udaljenost medu objektima. U slučaju kada se radi o realnim brojevima tu važnu ulogu igra funkcija koju zovemo apsolutna vrijednost realnog broja definirana sa: x ;x > 0 x = 0 ;x = 0, (x R). (.4) x ;x < 0 Iz definicije funkcije za svaki a R slijedi nejednakost a a a. y 0 x Često je potrebno provjeriti nejednakost x ε, gdje je ε 0 realan broj. Ta nejednakost je ekvivalentna s dvije nejednakosti ε x ε. Za apsolutnu vrijednost imamo slijedeće rezultate. Teorem... Apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva je manja ili jednaka od zbroja apsolutnih vrijednosti pribrojnika, tj. a,b R, a+b a + b. (.5). Apsolutna vrijednost produkta realnih brojeva je jednaka produktu apsolutnih vrijednosti faktora, tj. Dokaz:. Iz nejednakosti zbrajanjem dobijemo a,b R, a b = a b. (.6) a a a b b b ( a + b ) a+b a + b što daje (.5).. Gledamočetirislučaja: i)a 0,b 0, ii)a 0,b 0, iii)a 0,b 0, iv) a 0,b 0. U slučaju i) je a = a, b = b pa je a b = ab = ab. U slučaju ii) je ab 0 pa je ab = (ab) = a( b) = a b, itd. Nejednakost (.5) možemo poopćiti na sumu od konačno realnih brojeva a,...,a n R: n n a k a k. k= k=

22 4. SKUPOVI I FUNKCIJE Zadatak.3. Dokazati prethodnu nejednakost matematičkom indukcijom. Korolar.. Za bilo koje a,b R vrijedi nejednakost Dokaz: Vrijedi a b a b. (.7) a = (a b)+b a b + b a b a b. Zamjenom a sa b dobijemo Dakle, b = (b a)+a b a + a = a b + a b a a b. odakle slijedi nejednakost (.7). a b a b a b, Ako a R aproksimiramo s a R onda je apsolutna greška jednaka a a a relativna greška je a a. a U numeričkoj matematici se u praksi umjesto točnih brojeva upotrebljavaju aproksimacije brojeva iz dosta ograničenog skupa brojeva koje je moguće reprezentirati na računalu. Tako se zapravo računa s pogrešnim brojevima i ta se greška stalno uvećava kod računskih operacija. Zato je od interesa znati kako se pogreška ponaša kod osnovnih operacija s brojevima, kako bi bili u stanju procjenjivati i kontrolirati pogrešku u procesu računanja. Teorem.. Neka su a,b R aproksimacije brojeva a,b R s točnosti ε,ε > 0, tj. a a ε i b b ε, onda je Dokaz: Vrijedi a+b (a +b ) ε +ε, (.8) ab a b ε a +ε b +ε ε. (.9) a+b (a +b ) = (a a )+(b b ) a a + b b ε +ε. Nadalje, ab a b = a (b b )+(a a )b +(a a )(b b ) a b b + a a b + a a b b ε a +ε b +ε ε.

23 .. FUNKCIJE 5 Iz teorema. možemo zaključiti da se pogreška zbrajanja ponaša očekivano, tj. da ona nije veća od zbroja pogrešaka pribrojnika. Nasuprot tome, pogreška produkta nije manja od produkta pogrešaka faktora, već tu bitan utjecaj ima veličine faktora pomnožene s greškom kod svakog faktora. Dakle, da bismo smanjili pogrešku računanja, potrebno je u računanju izbjegavati množenje sa suviše velikim brojevima o čemu se stvarno u praksi vodi briga...4 Kvadratna funkcija Funkciju zadanu formulom f(x) = ax, x R, zovemo kvadratna funkcija. To je funkcija f : R R čiji graf je parabola. Ako je koeficijent a > 0 onda funkcija ima minimum jednak 0 u točki x 0 = 0, a u slučaju a < 0 je maksimum 0 za x 0 = 0. Točku T = (0,0) na grafu zovemo tjeme parabole. 0 a a 0 a a 0 Opća kvadratna funkcija je zadana formulom f(x) = ax + bx + c. Ona se može napisati u obliku f(x) = a ( ) x+ b a + c b. Oda- 4a tle je vidljivo da je tjeme te parabole u točki T = ( b a, D 4a ), gdje je broj D = b 4ac diskriminanta kvadratne funkcije. Ako je D < 0 onda kvadratna funkcija ne siječe os apscisa, tj. funkcija nema realne nultočke. Ako je D 0 onda funkcija ima nultočke x, = b± D. a y T 0 x

24 6. SKUPOVI I FUNKCIJE..5 Razlomljene linearne funkcije Razlomljena linearna funkcija je zadana formulom f(x) = ax+b, gdje su a,b,c,d R. cx+d Prirodno područje definicije te funkcije je skup D(f) = R\{ d }, a slika je R(f) = R\ c { a}, tj. f : c R\{ d} c R\{a }. Funkciju je c moguće prikazati u obliku f(x) = a bc ad c + c, x+ d c odaklejevidljivodajegraffunkcijef moguće dobiti translacijom grafa istostrane hiperbole h(x) = α bc ad, gdje je α =. Potrebno je c x ishodište (0, 0) Kartezijevog sustava translatirati u točku ( d, a). c c y 0 x..6 Polinomi Polinom stupnja n N je funkcija zadana formulom P n (x) = a 0 + a x + a x + +a n x n, gdje su a 0,a,a,...,a n R i a n 0. Prirodno područje definicije polinoma kao realne funkcije je skup R, tj. P n : R R. Ako je stupanj polinoma P n veći ili jednak od stupnja polinoma Q m, onda je P n (x) = P n m (x)q m (x)+r p (x), gdjejestupanjpolinomar p strogomanjiod stupnja divizora Q m, a stupanj od P n m je razlika stupnjeva P n i Q m. Odatle slijedi da za realnu nultočku α polinoma P n vrijedi P n (x) = (x α)p n (x). Naime, po prethodnom vrijedi P n (x) = P n (x)(x α)+r, gdje je ostatak r polinom stupnja 0, tj. konstanta. Iz 0 = P n (α) = r slijedi tvrdnja. Naravno, polinom s realnim koeficijentima možemo shvatiti i kao polinom P n : C C. U tom slučaju vrijedi P n (x) = P n (x), x C. Ako je z C nultočka od P n, onda je i z nultočka, tj. 0 = P n (z) = P n (z). Dakle, ako su z,z nultočke od P n, onda je on djeljiv s linearnim polinomima x z i x z s koeficijentima u C, odnosno s kvadratnim polinomom x (z+z)x+zz = x Re(z)x + z s realnim koeficijentima. Svaki polinom nad C može rastaviti na produkt linearnih polinoma ( osnovni teorem algebre ). To ima za posljedicu da se polinom s realnim koeficijentima može faktorizirati u obliku: P n (x) = a n (x x ) k (x x p ) kp (x +b x+c ) l (x +b m x+c m ) lm, (.0) gdje je n = k + +k p +(l + +l m ).

25 .. FUNKCIJE 7..7 Racionalne funkcije Racionalna funkcija zadana je formulom f(x) = P(x), gdje su P,Q polinomi nad R. Prirodno područje definicije racionalne funkcije skup R bez Q(x) nultočaka nazivnika Q. Pošto je broj takvih nultočaka manji ili jednak stupnju polinoma Q, to je domena D(f) = R\{x,,x n }, gdje je Q(x k ) = 0, (k =,...,n). Racionalna funkcija je prava racionalna funkcija ako je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku. Svaku racionalnu funkciju je moguće prikazati kao sumu polinoma i prave racionalne funkcije, tj. P(x) Q(x) = P (x)+ R(x), gdje je stupanj polinoma R strogo manji Q(x) od stupnja polinoma Q...8 Kompozicija funkcija, inverzna funkcija Prirodna operacija s funkcijama, koja ne ovisi o tome kakve su strukture zadane na skupovima, je dana u slijedećoj definiciji. Definicija.4. Neka su funkcije f : A B i g : C D. Ako je R(f) D(g), onda je formulom h(x) = g[f(x)], x A, definirana funkcija h : A D. Tu funkciju nazivamo kompozicijom funkcija f i g, te koristimo oznaku h = g f. Kompozicija funkcija je asocijativna operacija. Teorem.3. Neka su f,g,h tri funkcije. Ako su definirane kompozicije g f, h g, h (g f) (h g) f, onda vrijedi h (g f) = (h g) f. Dokaz: Da bismo dokazali jednakost funkcija, prvo dokažimo da su im domenejednake. Naime, D((h g) f) = D(f)iD(h (g f)) = D(g f) = D(f). Nadalje je K((h g) f) = K(h g) = K(h) i K(h (g f)) = K(h). Sada, za pravila vrijedi x D(f), [h (g f)](x) = h[(g f)(x)] = h{g[f(x)]} = (h g)[f(x)] = [(h g) f](x). Primjer.. Kompozicija nije općenito komutativna operacija. To se lako vidi na primjeru funkcija f,g : R R, gdje je x R, f(x) = x + i g(x) = x +. Očito postoje funkcije g f,f g : R R, ali (g f)(0) = g[f(0)] = g() = 3 (f g)(0) = f[g(0)] = f() = 5, tj. g f f g. Kao kod svake binarne operacije ima smisla pitanje o postojanju neutralnih elemenata za tu operaciju. Lako se provjeri da funkcija i A : A A definirana s x A, i A (x) = x i funkcija i B : B B definirana s y B,

26 8. SKUPOVI I FUNKCIJE i B (y) = y, imaju svojstvo f : A B, i B f = f i f i A = f. Dakle, i A je desni, a i B je lijevi neutralni element za operaciju i oni su općenito različiti. Kada imamo lijevi i desni neutralni element za operaciju, po analogiji s operacijama zbrajanja i množenje, ima smisla pitanje o postojanju inverznog elementa za neku funkciju f : A B. Definicija.5. Neka je zadana funkcija f : A B. Kažemo da je funkcija g : B Ainverzna funkcija odfunkcije f ako vrijedi g f = i A i f g = i B, odnosno, x A, g[f(x)] = x i y B, f[g(y)] = y. Tada koristimo oznaku g = f. Graf Γ f funkcije f simetričan je grafu Γ f funkcije f s obzirom na pravac y = x koji raspolavlja. i 4. kvadrant Kartezijevog koordinatnog sustava. Naime, vrijedi Γ f = {(y,f (y));y D(f )} = = {(f(x),x);x D(f)} = Γ f, gdje je Γ f simetrična slika grafa Γ f s obzirom na pravac y = x. y x,f x f 0 f x,x f x Jedinstvenu oznaku za inverznu funkciju f funkcije f možemo koristiti zato što je inverzna funkcija, ako postoji, jedinstvena. Naime kada bi postojale funkcije g i g koje ispunjavaju zahtjeve iz definicije.5, imali bismo y B, g (y) = g {f[g (y)]} = (g f)[g (y)] = g (y), tj. g = g. Prije nego odgovorimo na pitanje za koje funkcije postoji inverzna funkcija, definirajmo slijedeće pojmove. Definicija.6. Kažemo da je funkcija f : A B injekcija ako vrijedi ili ekvivalentno x,x A,((x x ) (f(x ) f(x ))), (.) x,x A,((f(x ) = f(x )) (x = x )). (.) Dakle, kod funkcije koja je injektivna, različiti elementi domene se preslikaju u različite slike. Kod funkcije koju nazivamo konstantnom funkcijom situacija je potpuno različita. Tamo se svi elementi domene preslikaju u jedan element kodomene. Primijetimo da suprotne implikacije od (.) i (.) zadovoljava svaka funkcija.

27 .. FUNKCIJE 9 Svojstvo injektivnosti kod funkcija iz R u R najlakše možemo ustanoviti ako imamo nacrtan graf funkcije. Tada svaki pravac koji je paralelan s osi x smije sjeći graf funkcije u najviše jednoj točki. Na taj način za svaku točku iz slike funkcije postoji točno jedna odgovarajuća točka na grafu, a s tim i točno jedan original u domeni funkcije. Svojstvo strogog rasta ili strogog pada funkcije je važno zbog slijedećih posljedica. Propozicija.. Neka je funkcija f : I R, strogo monotona na skupu I R. Tada je ona injekcija. Dokaz: Neka je funkcija strogo rastuće na I. Uzmimo bilo koje x,x I, x x. Tada je x < x ili je x < x. U prvom slučaju slijedi f(x ) < f(x ), a u drugom f(x ) < f(x ), pa je f(x ) f(x ). Definicija.7. Kažemo da je funkcija f : A B surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije, tj. R(f) = B, odnosno ako vrijedi y B, x A, (y = f(x)). Ako znamo koji skup je slika funkcije, onda možemo jednostavno uzeti taj skup za kodomenu i postigli smo da je dana funkcija surjekcija. U pravilu nije lako pogoditi skup koji je slika funkcije, a tada je još teže dokazati tu činjenicu. Definicija.8. Kažemo da je funkcija f : A B bijekcija ili - ako je ona injekcija i surjekcija, tj. ( y B) (!x A) (y = f(x)). (.3) Dakle, za svaki element kodomene postoji i jedinstven je njegov original. Sada smo u stanju odgovoriti na pitanje o postojanju inverzne funkcije. Teorem.4. Za funkciju f : A B postoji inverzna funkcija f : B A ako i samo ako je f bijekcija. Dokaz: Neka postoji f : B A. Tada za svaki y B postoji x = f (y) sa svojstvom f(x) = f[f (y)] = y, tj. f je surjekcija. Sada, (f(x ) = f(x )) (f [f(x )] = f [f(x )]) (x = x ), tj. f je injekcija. Dakle, f je bijekcija. Neka je sada f bijekcija. Uvjet (.3) kazuje da je svakom y B na jedinstven (funkcijski) način pridružen x A, y = f(x). Tada je dobro definirana funkcija g : B A, g : y x. Pokažimo da ta funkcija zadovoljava uvjete iz definicije.5. Naime, x A, g[f(x)] = g(y) = x i y B, f[g(y)] = f(x) = y. Dakle, g = f.

28 0. SKUPOVI I FUNKCIJE Propozicija.. Neka je funkcija f : I R(f), R(f) R strogo rastuća (padajuća) na skupu I R. Tada ona ima inverznu funkciju f : R(f) I koja je strogo rastuća (padajuća)na R(f). Dokaz: Funkcija f : I R(f), je strogo rastuća surjekcija na skupu I R, pa je po propoziciji.. f bijekcija, te postoji f : R(f) I. Pokažimo da za bilo koje y,y R(f), (y < y ) (f (y ) < f (y )). U suprotnom bi vrijedilo da postoje y,y R(f), y < y i f (y ) < f (y ). No tada bismo zbog strogog rasta funkcije f imali f[f (y )] < f[f (y )], tj. y < y, što je suprotno pretpostavci. Primjer.3. Linearna funkcija zadana formulom f(x) = kx + l, k 0, je bijekcija f : R R. Naime, za bilo koji y R postoji jedinstven x = y l R, njegov original. Iz ovoga je odmah vidljivo da k vrijedi f (x) = k x l k. Grafovi of f i f su simetrični na pravac y = x. y 0 f f x Skup realnih polinoma stupnja jednakog je nekomutativna grupa s operacijom kompozicije, a njegov podskup polinoma sa svojstvom da je f(0) = 0 je komutativna podgrupa. Primjer.4. Razlomljenalinearnafunkcijazadanaformulomf(x) = ax+b cx+d, gdje su a,b,c,d R i ad bc 0 ima inverznu funkciju zadanu formulom f (x) = dx b, koja je isto razlomljena linearna funkcija. cx+a..9 Korijeni Neparne potencije su funkcije zadane formulom f(x) = x n+, x R, n N. To su bijekcije s R na R i imaju inverze f (x) = n+ x, x R, neparne korijene. To su neparne i strogo rastuće funkcije na R. Za razliku od neparnih potencija, parne potencijezadaneformulomf(x) = x n, x R, n N, su parne funkcije f : R [0,+, pa tako nisu injekcije te nemaju inverze. y 0 f f x

29 .. FUNKCIJE Medutim, njihove restrikcije f + = f [0,+ su strogo rastuće bijekcije f + : [0,+ [0,+. One imaju inverzne funkcije f+ : [0,+ [0,+, a zapis je f+ (x) = n x, x [0,+. Moguće je uzeti i druge restrikcije f = f,0] koje su strogo padajuće funkcije f :,0] [0,+ i koje imaju inverzne funkcije f : [0,+,0], a zapis je f (x) = n x, x [0,+. y 0 f f x..0 Eksponencijalna funkcija na Q, logaritamska funkcija, opća potencija Neka je a R, a > 0 i a. Definiramo: a = a a n+ = a n a, n N. Na ovaj način smo definirali funkciju f : N R +, f(n) = a n, n N. Ako definiramo f(0) = a 0 =, onda smo proširili funkciju do f : N {0} R +. Funkcija se lako proširuje dalje do f : Z R +, stavljanjem f( n) = a n, n N. Zbog n,m N, a n a m = a n+m funkcija f : Z R + zadovoljava: (i) f(0) =, f() = a, (ii) f(n+m) = f(n)f(m), n,m Z. Proširimo funkciju f naskup racionalnihbrojeva Q. Neka jeq = m Q, gdje n su m Z,n N, pa definiramo vrijednost funkcije s f(q) = f( m) = n a n m. Tako smo dobili funkciju f : Q R + koja i dalje zadovoljava funkcijsku jednadžbu f(q+q ) = f(q)f(q ), q,q Q. Naime, f(q +q ) = f( m n + m n ) = +m n f(mn ) = nn a mn +m n = nn = nn a mn nn a m n = n a m n a m = f( m n )f(m n ) = f(q)f(q ).

30 . SKUPOVI I FUNKCIJE Pokažimo da je za a > funkcija f : y Q 0,+ strogo rastuća na Q. Uzmimo q = m n,q = m Q, q < q, tj. n 0 a mn < m n. Tada je a mn < a m n, pa zbog strogog rasta funkcije x nn x na R + imamo nn a mn < nn a m n, odnosno n a m < n a m, tj. f(q) < f(q ). 0 a x Teorem.5. Postoji točnojedna strogo monotona bijekcijaf : R 0,+ tako da vrijedi f(0) =, f() = a > 0 i f(x+y) = f(x)f(y), x,y R. Bijekciju iz teorema.5. zovemo eksponencijalna funkcija s bazom a i označavamo s f(x) = exp a (x) = a x, x R. Sada funkcionalna jednadžba ima oblik a x+y = a x a y, x,y R. Eksponencijalna funkcija ima inverznu funkciju y f : 0,+ R koja je strogo rastuća za 0 a a > i strogo padajuća za 0 < a <. Tu funkciju zovemo logaritamska funkcija s bazom a i a označavamo s f (x) = log a x, x 0,+. Vrijedi log a = 0 i log a a = za sve 0 < a. Funkcionalna jednadžba za logaritamsku funkciju ima oblik 0 x log a (xy) = log a x+log a y, x,y 0,+. To slijedi iz injektivnosti eksponencijalne funkcije i a log a (xy) = xy = a log a x a log a y = a log a x+log a y. Zadatak.4. Za a,b > 0 dokazati da vrijedi log a x = log bx, x 0,+. log b a Rješenje: Formula slijedi iz injektivnosti eksponencijalne funkcije i b log b x = x = a log a x = b log b alog a x = b log a xlog b a. Specijalno, za a = e označavamo log e = ln i zovemo prirodni logaritam, a za a = 0 pišemo log 0 = log i zovemo Briggsov ili dekadski logaritam. Sada je moguće definirati opću potenciju f : 0,+ R kao funkciju zadanu formulom f(x) = x α def = e αlnx. Henry Briggs (Worley Wood, veljača 56. Oxford, 6. siječanj 630.) engleski matematičar

31 .. FUNKCIJE 3.. Hiperbolne i area funkcije Pomoću eksponencijalne funkcije definiramo hiperbolne funkcije slijedećim formulama: shx = ex e x, x R (sinus hiperbolni), (.4) chx = ex +e x, x R (kosinus hiperbolni), (.5) thx = shx chx = ex, x R e x + (tangens hiperbolni), (.6) cthx = chx shx = ex +, x R\{0} (kotangens hiperbolni).(.7) e x y y ch cth ex sh 0 x th 0 x Funkcije sh,th,cth su neparne, a ch je parna funkcija. Osnovna formula koja vrijedi za hiperbolne funkcije je ch x sh x = i slijedi direktno iz definicija za ch (.4) i za sh (.5). Takoder vrijede adicione formule Za primjer pokažimo (.8): sh(x+y) = shx chy +chx shy, (.8) ch(x+y) = chx chy +shx shy. (.9) shx chy +chx shy = 4 [(ex e x )(e y +e y )+(e x +e x )(e y e y )] = = 4 (ex+y +e x y e x+y e x y +e x+y +e x+y e x y e x y ) =

32 4. SKUPOVI I FUNKCIJE = (ex+y e (x+y) ) = sh(x+y). Iz ovih osnovnih formula lako se dobivaju mnoge druge formule za sumu ili produkt hiperbolnih sinusa i kosinusa, kao i za hiperbolni tangens i kotangens. Funkcijesh, chithstrogorastuna[0,+,acthstrogopadana 0,+. Naime, e x i e x strogo rastu, pa sh kao suma strogo rastućih je strogo rastuće funkcija na R. Iz ch x = +sh x slijedi da je R(ch) [,+. Odatle za x,y > 0 imamo ch(x+y) = chx chy +shx shy > chx chy > chx, pa ch strogo raste na [0,+. Zbog parnosti ch strogo pada na,0]. Za x,y > 0 je th(x+y) thx = sh(x+y)chx ch(x+y)shx ch(x+y)chx = sh(y) ch(x+y)chx > 0, tj. thx < th(x+y), odnosno th strogo raste na R +, a zbog neparnosti strogo rasteinar. Nadalje, zbog cthx = slijedi dacthstrogopada na 0,+. thx Zbog neparnosti je cth strogo padajuća i na,0. Odatle i iz propozicije.. slijedi da su navedene funkcije injekcije. Uz pretpostavku da je R(exp) = 0,+ (dokazati ćemo u korolaru 3.8.), možemo dokazati da su funkcije sh : R R, th : R,, cth : R\{0} R\[,] i ch [0,+ = Ch : [0,+ [,+ bijekcije. Neka je y R(sh), tj. x R, y = shx = ex e x. Tada je e x e x y = 0, odnosno, uz zamjenu u = e x dobijemo jednadžbu u yu = 0. Moguće rješenja te jednadžbe su u = y ± y +. Zbog u = e x > 0 jedino rješenje je u = e x = y + y +. Odatle je x = ln(y + y +), gdje je funkcija y ln(y + y +) definirana na R. Sada uzmimo bilo koji y R i neka je x = ln(y + y +). Jasno je da odatle slijedi y = sh x, tj. R(sh) = R. Dakle, inverzna funkcija sh : R R je definirana formulom sh x = ln(x+ x +), x R. Neka je y R(th),, tj. x R, y = thx = ex. Odatle je e x + ( y)e x = +y, odnosno x = ( ) +y ln. Kao u prethodnom slučaju y zaključujemo R(th) =, i da je inverzna funkcija th :, R definirana formulom th x = ( ) +x ln, x,. x Zbog cthx =, x R\{0}, je R(cth) = thx { ;t, } = R\[,]. t Takoder slijedi da je cth : R\[,] R\{0} zadana formulom cth x =

33 .. FUNKCIJE 5 ln ( ) x+, x R\[,]. x Neka je y R(Ch) [,+, tj. x [0,+, y = Chx = ex +e x. Tada dobijemo jednadžbu e x ye x + = 0, odnosno e x = y ± y. No, x 0 e x pa je jedino rješenje e x = y + y, tj. x = ln(y + y ). Odatle dobivamo R(Ch) = [,+ i funkcija Ch : [,+ R\{0} je definirana formulom Ch x = ln(x+ x ), x [,+... Trigonometrijske i arkus funkcije Neka je u Kartezijevom koordinatnom sustavu zadana kružnica polumjera (trigonometrijska kružnica) i na njoj središnji kut α s vrhom u ishodištu, a prvi krak mu je pozitivni dio osi x. Kutu α pridružujemo realan broj koji odgovara duljini luka na kružnici koji odsjecaju krakovi kuta α. Ako je drugi krak odmaknut od prvoga u pozitivnom smjeru (suprotnom od smjera kazaljke na satu), onda je kut pozitivan, a u suprotnom je negativan. Tu mjeru kuta nazivamo radijan. Dakle, puni kut je π radijana, a pravi kut je π radijana. Sa slike je jasno da je pridruživanje koje realnim brojevima koji odgovaraju radijanima pripadnih središnjih kutova pridružuje točke jedinične kružnice K, α 0 : [0,π K, bijekcija. Tu funkciju je moguće proširiti do funkcije α : R K, α(x) = α 0 (r x ), gdje je x = kπ+r x, k Z, 0 r x < π. Sada ćemo geometrijski definirati trigonometrijske funkcije sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg ) i kotangens (ctg ) tako da pridružimo koordinate A = (cosα,sinα), B = (,tg α) i C = (ctg α,). Iz sličnosti pripadnih pravokutnih trokuta vrijedi tg α = sinα cosα i ctg α = cosα sinα. Definicija.9. Za funkciju f : D(f) R kažemo da je periodička perioda τ > 0 ako vrijedi ) x D(f) x+τ D(f), ) f(x+τ) = f(x), x D(f). Ako postoji najmanji period τ 0 > 0 onda njega zovemo temeljni period funkcije f. y 0 Α A D B x C

34 6. SKUPOVI I FUNKCIJE Primijetimo, ako je τ > 0 period funkcije f, onda je nτ takoder period od f, n N. S druge strane postoje periodičke funkcije koje nemaju temeljnog perioda kao npr. f : R R definirana s f(x) = za x Q i f(x) = 0 za x Q. Svaki τ Q + je njen period, pa taj skup nema minimum veći od 0. y Π 0 Π Π x sin cos Funkcije sin : R [,] i cos : R [,] su periodičke s temeljnim periodom π, tj. vrijedi sin(x+π) = sinx i cos(x+π) = cosx, x R. Iz slike je jasno da vrijedi sinx = cos(x π ), x R, odnosno, cosx = sin(x+ π ), x R. Nadalje, sin je neparna, a cos parna funkcija. Sa trigonometrijske kružnice je vidljivo da vrijedi cos x+sin x =, x R, (.30) što je osnovna trigonometrijska jednakost. Sada ćemo geometrijski dokazati osnovni adicioni teorem za funkciju kosinus: cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny, x,y R. (.3) Na slici desno istaknute su točke y D A = (cosβ, sinβ), B = (,0), Β Α C C = (cosα,sinα), 0 Β B x D = (cos(α+β),sin(α+β)). Iz sličnosti trokuta OAC i OBD slijedi jednakost duljina d(a,c) = d(b,d). tj. A (cosβ cosα) +( sinβ sinα) = ( cos(α+β)) +(0 sin(α+β)) cos β cosβcosα+cos α+sin β +sinβsinα+sin α =

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb, 9.9.06. ii Posljednji ispravak: srijeda, 3. svibanj 07. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα