Kontinuum problem. Aleksandar Perović. Beograd 2004.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kontinuum problem. Aleksandar Perović. Beograd 2004."

Transcript

1 Kontinuum problem Aleksandar Perović Beograd 2004.

2 2

3 Sadržaj Uvod 5 1 ZFC ZF Ordinali Kardinali Aksioma izbora Stacionarni skupovi Kontinuum funkcija Silverova teorema Aksioma regularnosti Nezavisnost GCH u odnosu na ZFC Apsolutnost Gedelove operacije Konstruktibilni univerzum Kompletne Bulove algebre Bulovsko vrednosni modeli Bulovski univerzum M B Forsing Koenova teorema Istonova teorema

4 4 SADRZ AJ

5 Uvod Do druge polovine XIX veka se smatralo da je beskonačnost jedinstvena, i jedina razlika je pravljena izmed u tzv. potencijalne i aktuelne beskonačnosti. Ključan prodor je napravio Georg Kantor 70 tih godina XIX veka, prvo dokazom da realnih brojeva ima više nego prirodnih, a zatim i dokazom čuvene nejednakosti X < P (X), gde je X ma koji skup. Kantorovu kontinuum hipotezu možemo formulisati na sledeći način: Neka je X beskonačan podskup skupa realnih brojeva R. Tada je ili X = ℵ 0, ili X = 2 ℵ0. Sam Kantor je pokazao da ovu osobinu imaju zatvoreni podskupovi skupa realnih brojeva R. Kasnije je pokazano da isto važi i za Borelove podskupove skupa R. Smatrajući da su neprekidne slike Borelovih skupova (tzv analitički skupovi) očigledno Borelovi, Anri Poenkare dokazuje Kantorovu kontinuum hipotezu. Med utim, Mihail Suslin nalazi primer analitičkog skupa koji nije Borelov, a zatim dokazuje da i za analitičke skupove važi kontinuum hipoteza. Suslinovi radovi predstavljaju početak deskriptivne teorije skupova. Punu važnost kontinuum problem dobija posle čuvenog Hilbertovog predavanja održanog na svetskom kongresu matematičara u Parizu godine, gde kao prvi problem koji matematičari XIX veka ostavljaju matematičarima XX veka Hilbert navodi dokaz Kantorove kontinuum hipoteze. Od tada je Kantorova kontinuum hipoteza poznatija kao prvi Hilbertov problem. Hilbert nije precizirao formalizam u kome bi se izveo odgovarajući dokaz, ali je tokom prve četvrtine XX veka preovladalo uverenje da bi se taj dokaz morao izvesti u predikatskom računu prvog reda iz ZFC aksioma teorije skupova. U 5

6 6. UVOD ZFC formalizmu se kontinuum hipoteza iskazuje na sledeći način: CH : 2 ℵ 0 = ℵ 1. Kurt Gedel godine metodom unutrašnjih modela pokazuje da konsistentnost NBG sistema aksioma teorije skupova povlači konsistentnost tog istog sistema proširenog aksiomom izbora i generalisanom kontinuum hipotezom (GCH : α(2 ℵ α = ℵ α+1 )). Obzirom da NBG i ZF imaju iste posledice, kada su u pitanju tvrd enja koja se odnose na skupove, iz ovog Gedelovog rezultata neposrdno sledi : Con(ZF) Con(ZFC + GCH). Pol Koen metodom forsinga pokazuje nezavisnost aksiome izbora u odnosu na ZF i nezavisnost CH u odnosu na ZFC. Godinu dana kasnije Iston pokazuje da su jedina ZFC ograničenja kontinuum funkcije (ℵ α 2 ℵα ) na regularnim kardinalima ona koja proizilaze iz elementarne kardinalne aritmetike i Kenigove leme: α β 2 ℵ α 2 ℵ β cf2 ℵ α > ℵ α. Zanimljiv kontrast ovim rezultatima predstavlja Silverova teorema: Neka je κ singularan kardinal neprebrojive kofinalnosti. Ako GCH važi na κ, tj. ako za svako λ < κ važi 2 λ = λ +, onda je 2 κ = κ +. Uopšte, ponašanje kontinuum funkcije na singularnim kardinalima zavisi od tzv. jakih aksioma beskonačnosti i forsing aksioma, koje za posledicu imaju i negaciju kontinuum hipoteze. Kao primer navedimo sledeću teoremu Foremana, Magidora i Šelaha: Ako važi Martinov maksimum, onda je 2 ℵ0 = ℵ 2. Obzirom da je CH nezavisna u odnosu na ZFC, prirodno se nameće pitanje prihvatljivosti CH odnosno CH. S jedne strane, važenje CH za mnoge vazne klase skupova (zatvoreni, Borelovi analitički, razni skupovi automorfizama itd.) ide u prilog prihvatanju kontinuum hipoteze. S druge strane, mnoga tvrd enja koja se dokazuju pomoću CH se mogu izvesti korišćenjem Martinove aksiome koja je slabija od CH, a i Koenovi i Istonovi rezultati su jak argument u prilog negaciji kontinuum hipoteze. Kao dodatni argument za negaciju CH, pogledajmo sledeće tvrd enje: (Ax) : ( f : R [R] ω )( x, y R)(x / f(y) y / f(x)).

7 7 Intuitivno opravdanje (Ax) bi bila činjenica da slučajno izabrani, med usobno nezavisni realni brojevi x i y sa verovatnoćom 1 zadovoljavaju (Ax), jer su f(x) i f(y) najviše prebrojivi skupovi. Kontrapozicijom se trivijalno pokazuje da je (Ax) ekvivalentno sa CH. Zaista, ako bi bilo R = {x α α ω 1 }, onda bismo sa f(x α ) = {x β β α}, α ω 1, bila dobro definisana funkcija f : R [R] ω tako da je za svako x, y R x f(y) ili y f(x). Obratno, pretpostavimo da postoji funkcija f : R [R] ω tako da je za svako x, y R x f(y) ili y f(x) i uočimo med usobno različite x α R, α ω 1. Sada mora biti R = α ω 1 f(x α ), jer bi u suprotnom za x R α ω 1 f(x α ) važilo f(x) ℵ 1, što je u kontradikciji sa činjenicom da f(x) [R] ω. U ovom radu će biti reči isključivo o ZFC aspektima kontinuum problema. Obzirom da sam se rukovodio principom zaokruženosti teksta (tzv. self contained), bilo kakvo proširenje problematike bi bar udvostručilo trenutni obim ovog rada. Trudio sam se, u meri u kojoj je to moguće, da relevantne stvari isteram do kraja, tj. sa svim detaljima. U nekim slučajevima sam iz tehničkih razloga odstupio od uobičajenih formulacija tvrd enja (ovo se naročito odnosi na Silverovu i Koenovu teoremu), kako bih dokazao opšti slučaj bez preteranog opterećivanja notacije. Na kraju bih se zahvalio profesorima Aleksandru Jovanoviću, Žarku Mijajloviću i Milošu Kuriliću na pomoći, savetima i sugestijama tokom izrade ovog rada.

8 8. UVOD

9 1 ZFC ZFC je teorija prvog reda na jeziku L ZF = { }, pri čemu je u ovom kontekstu binarni relacijski simbol. Obzirom da je u najvećem broju slučajeva jasno o kakvoj upotrebi se radi, istim simbolom ćemo označavati i relacuju biti element. Samu teoriju čine aksiome ekstenzionalnosti, praznog skupa, para, unije, partitivnog skupa, beskonačnosti, izbora i regularnosti, kao i sheme separacije i zamene, svaka sa prebrojivo mnogo instanci. Kao meta teoriju koristimo naivnu teoriju skupova i teoriju modela. Posebno, meta implikaciju i ekvivalenciju ćemo redom označavati sa i, dok ćemo ostale meta logičke veznike pisati rečima. Simbol def koristimo kao zamena za, odnosno za definicionu jednakost formula. Objekte koje formalizujemo sistemom ZFC zovemo skupovima. Skupove ćemo uglavnom označavati malim i velikim slovima latinice kao i malim grčkim slovima. Izuzetak predstavljaju slova V i L, koja su redom rezervisani simboli za klasu svih skupova i konstruktibilni univerzum. Neka je ϕ(x, y), y = y 1,..., y n, proizvoljna formula jezika L ZF i neka su a 1,..., a n proizvoljni skupovi (parametri). Term {x ϕ(x, a)} ćemo zvati klasom odred enom formulom ϕ i parametrima a. Klase ćemo uglavnom označavati sa A, B, M, N, uz korišćenje prirodnih brojeva ili nekih drugih skupova kao indeksa. Posebno, sa A = A(a) ćemo isticati činjenicu da u definicionoj formuli klase A učestvuju parametri a. Istaknimo činjenicu da je pojam klase čisto tehnički, tj. jedina funkcija mu je pojednostavljenje notacije. Neka je A(a) = {x ϕ(x, a)} i neka je B(b) = {x ψ(x, b)}. Uvedimo sledeće oznake: x A(a) def ϕ(x, a) A(a) = B(b) def x(x A(a) x B(b)) 9

10 10 1. ZFC A(a) B(b) def x(x A x B) A(a) B(b) def A(a) B(b) A(a) B(b) = def {x x x} V = def {x x = x} ( x A(a))θ(x,...) def x(x A(a) θ(x,...)) ( x A(a))θ(x,...) def x(x A(a) θ(x,...)) A(a) = def {x ( y A(a))x y} A(a) = def {x ( y A(a))x y} P (A(a)) = def {x y(y x y A(a))} {c 1,..., c n } = def {x x = c 1 x = c n }, pri čemu su c 1,..., c n proizvoljni skupovi (parametri); A(a) B(b) = def {x x A(a) x B(b)} A(a) B(b) = def {x x A(a) x B(b)} A(a) B(b) = def {x x A(a) x / B(b)} Neka je Φ(x, y) formula jezika L ZF. Tada Φ : A(a) B(b) def ( x A(a))( 1 y B(b))Φ(x, y). Umesto Φ(x, y) ćemo pisati y = Φ(x). Posebno, za u A(a) i v B(b) neka je Φ[u] = def {x ( z u)x = Φ(z)} i Φ 1 (v) = def {x x A(a) v = Φ(x)}. 1.1 ZF Teorija ZF se razlikuje od teorije ZFC po tome što ne sadrži aksiome regularnosti i izbora. Inače, ZF predstavlja formalizaciju tzv. naivne teorije skupova. Aksioma ekstenzionalnosti: x y(x = y z(z x z y)). Dakle, skupovi su jednaki akko imaju iste elemente. Posebno, svaki skup A je i klasa, jer je jednoznačno odred en formulom x A, tj. A = {x x A}.

11 1.1. ZF 11 Teorema Neka je ϕ(x, y) proizvoljna formula jezika L ZF. Tada y ( z x(x z ϕ(x, y)) 1 z x(x z ϕ(x, y)) ). Neka su z 1 i z 2 skupovi takvi da x(x z 1 ϕ(x, y)) i x(x z 2 ϕ(x, y)). Samim tim, x(x z 1 x z 2 ), odakle po aksiomi ekstenzionalnosti sledi da je z 1 = z 2. Aksioma praznog skupa : x y(y / x). Neka je a skup čija se egzistencija postulira aksiomom praznog skupa. Obzirom da x(x = x) (tj. x(x = x) je valjana formula) kao i da x(x / a), biće tj. a =. x(x a x x), Shema separacije : Neka je ϕ(x, z, y) proizvoljna formula jezika L ZF neka se promenljiva u ne nalazi u ϕ. Tada je i instanca sheme separacije. Posebno, z y u(u = {x x z ϕ(x, z, y)}) {x z ϕ(x, z, y)} = def {x x z ϕ(x, z, y)}. Za klasu A ćemo reći da je prava klasa ako nije skup, tj. ako važi x(x A). Teorema (Raselov paradoks) Neka je A = {x x / x}. Tada je A prava klasa. Posebno, V je prava klasa. Pretpostavimo suprotno, neka je A skup. Tada A A A / A. Kontradikcija. Odavde sledi i drugi deo tvrd enja, jer ako bi V bio skup, onda bi po shemi separacije i A V = A bio skup.

12 12 1. ZFC Aksioma para: Posebno : x y u(u = {x, y}). {x} = def {x, x} x, y = def {{x}, {x, y}} A B = def {x ( y A)( z B)x = y, z } A 1 A n+1 = def (A 1 A n ) A n+1 x 1,..., x n+1 = def x 1,..., x n, x n+1. Na uobičajeni način se pokazuje da važi x 1,..., x n = y 1,..., y n x 1 = y 1 x n = y n. Aksioma unije : x y(y = x). Posebno : x y = {x, y} {x 1,..., x n } = {x 1 } {x n } x + 1 = def x {x}. Numerale uvodimo na sledeći način : 0 = n + 1 = {0,..., n}. Teorema Za svaka dva prirodna broja m i n važi m < n m n, gde se misli na dokazivost iz do sada uvedenih aksioma. Ako je m < n, onda je po definiciji m n. Obratna implikacija sledi iz sledeća dva pomoćna tvrd enja: (1) Za svaki prirodan broj n važi n / n ; (2) Za svaka dva prirodna broja m i n važi ( m = n) m = n.

13 1.1. ZF 13 (1): Obzirom da x(x / ), važi 0 / 0. Pretpostavimo da 0 / 0 i,..., i n / n. Tada je n + 1 = {x n + 1 x / x}, pa n + 1 / n + 1. (2): Neka su prirodni brojevi m i n takvi da je m = n. Ako bi bilo m < n, onda bi m n, a kako m / n, po aksiomi ekstenzionalnosti mora biti m n. Kontradikcija. Sasvim slično ne može biti ni n < m, pa mora biti m = n. Neka su m i n prirodni brojevi takvi da je m n. Tada postoji prirodan broj k < n tako da važi m = k. No tada je po (2) m = k, pa je samim tim i m < n. Nadalje ćemo istim simbolima označavati i numerale i prirodne brojeve. Dakle, 0 =, 1 = {0}, 2 = {0, 1} itd. Klasu induktivnih skupova, u oznaci Ind, formalno uvodimo na sledeći način: Ind = {x 0 x ( y x)(y + 1 x)}. Ako x Ind, onda x sadrži sve numerale, pa je beskonačan. Aksioma partitivnog skupa : x y(y = P (x)). Neka je A klasa i neka a A. Tada je A = {x a ( y A)x y}, pa je A skup. Naravno, 0 = V. Primetimo da važi x y(x y V ), jer je za svaka dva skupa x i y x y = (x y) P (P (x y)). Aksioma beskonačnosti : x(x Ind). Samim tim, postoji najmanji (u smislu inkluzije) induktivan skup ω = def Ind.

14 14 1. ZFC Shema zamene : Neka Φ : V V }{{} n V, tj. neka x 1... x n 1 yφ(x 1,..., x n, y) i neka se promenljiva z ne javlja u Φ. Tada je rečenica instanca sheme zamene. Posebno, x 1... x n z(z = Φ[x 1 x n ]) {Φ(x 1,..., x n ) x 1 X 1 x n X n } = def Φ[X 1 X n ]. Unutar ZF moguće je formalizovati gotovo sve matematičke koncepte, pri čemu se odgovarajuća formalizacija bitno ne razlikuje od uobičajene. Ovde ćemo navesti samo nekoliko primera neophodnih za dalji rad. dom(x) = def {x X ( y X) x, y X} rng(x) = def {x X ( y X) y, x X} fun(f) def f dom(f) rng(f) x y z( x, y f x, z f y = z) Umesto x, y f pišemo uobičajeno y = f(x). f : x y def fun(f) dom(f) = x y rng(f) f : x V def fun(f) dom(f) = x Sada se na uobičajen način uvode pojmovi injekcije (1 1), surjekcije ( na ), bijekcije (1 1 i na ), kao i kompozicije funkcija i restrikcije funkcije na skup. Posebno, identičku funkciju skupa x označavamo sa id x, a restrikciju funkcije f na skup x sa f x. X Y = def {f P (X Y ) f : X Y } Neka f : I X i neka za svako i I važi X i = f(i). Tada i I X i = def f[i] X i = def {g : I X i ( i I)g(i) X i }. i I i I Posebno, projekciju π j : i I X j definišemo na sledeći način: π j (f) = f(j). x je beskonačan def ( f : ω x)( f je 1 1 ).

15 1.2. ORDINALI Ordinali Za skup X kažemo da je tranzitivan ako je X X. Primetimo da je ovo ekvivalentno uslovu da za svako x X važi x X. Posebno, ako je skup X tranzitivan, onda je i P (X) takod e tranzitivan skup. Zaista, neka x P (X) i neka y x. Kako je x X, imamo da y X, odakle zbog tranzitivnosti X sledi da je y X, pa samim tim i y P (X). Dakle, x P (X), tj. P (X) je tranzitivan. Za klasu A ćemo reći da je tranzitivna ako važi ( x A)x A. Klasu svih ordinala definišemo na sledeći način: x Ord def x x ( u, v x)(u v v / u) ( u, v, w x)(u v v w u w) ( y x)(y 0 ( z y)(z y = 0)). Dakle, skup X je ordinal ako je tranzitivan i dobro (strogo) ured en relacijom. Ordinale ćemo beležiti malim grčkim slovima α, β, γ,... uz korišćenje indeksa. Koristeći definiciju ordinala lako se proverava da važi: 0 Ord α(α 0 0 α) α(α + 1 Ord) α β(α β β / α) α(α / α) α β γ(α β β γ α γ) α(α Ord) x(x Ord x Ord) ω Ord. Lema α β( f : α β) ( ( x, y α)(x y f(x) f(y)) (( x α)f(x) = x) ). Neka su α, β ordinali i neka je f : α β tako da ( x, y α)(x y f(x) f(y)).

16 16 1. ZFC Po shemi separacije postoji skup X = {x α f(x) x}. Pretpostavimo da je X 0. Tada X u α ima minimum γ. Sada je za svako x γ x = f(x), odakle sledi x γ f(x) f(γ) x f(γ), odakle sledi da je γ = f(γ). Kontradikcija. Teorema Ord je tranzitivna klasa dobro ured ena relacijom. Posebno, Ord je prava klasa (tzv. Burali Forte paradoks). Što se tiče prvog dela tvrd enja, dovoljno je pokazati sledeća dva pomoćna tvrd enja : (1) Svaka neprazna podklasa klase Ord ima minimalni element ; (2) Ord je linearno ured ena klasa sa. (1): Neka je A podklasa klase Ord i neka α A. Ako je α A = 0, onda je α minimalni element klase A. U suprotnom, skup α A ima minimum β u α, pa je samim tim β minimalni element klase A. (2): Neka je α 0 proizvoljan ordinal i neka je A = {β β / α α / β α β}. Dovoljno je pokazati da je A = 0. Pretpostavimo suprotno. Tada A ima minimalni element β, i β 0. Samim tim, ( x β)(x α α x x = α), a kako za svako x β važi x = α α x α β, mora biti β α. Kako je α β, skup α β u α ima minimum γ. Samim tim, γ β. Neka je ξ β proizvoljno. Kako je α dobro ured en sa i kako ξ, γ α, mora biti ξ γ γ ξ γ = ξ. Med utim, iz γ = ξ γ ξ sledi da γ β (α β) = 0, pa mora biti ξ γ. Dakle, β = γ, odakle sledi da β α. Kontradikcija. Obzirom da je Ord tranzitivna klasa dobro ured ena sa, Ord ne može biti skup, jer bi u suprotnom važilo Ord Ord, što je u kontradikciji sa činjenicom da za svaki ordinal α važi α / α.

17 1.2. ORDINALI 17 Posledica (transfinitna indukcija) Neka je A podklasa klase Ord tako da važi α(α A α A). Tada je A = Ord. U suprotnom, klasa Ord A bi imala minimum α. Med utim, tada bi bilo α A odakle bi sledilo α A. Kontradikcija. Teorema (transfinitna rekurzija) Neka Φ : V V. Tada postoji jedinstveno Ψ : Ord V tako da α(ψ(α) = Φ(Ψ α )). Definišimo predikat Ψ(x, y) na sledeći način: Ψ(x, y) def x Ord ( 1 f : x V ) ( y = Φ(f) ( z x)(f(z) = Φ(f z )) ). Neka je A = {α 1 yψ(α, y)}. Transfinitnom indukcijom pokazujemo da je A = Ord. Neka je α A. Tada za svako β α postoji jedinstvena funkcija f β sa domenom β tako da je Φ(f β ) jedini svedok za yψ(β, y). Primetimo da je Samim tim, sa f β = { γ, Φ(f γ ) γ β}, β α. f α = def { β, Φ(f β ) β α} je dobro definisana funkcija f α : α V tako da je Φ(f α ) jedini svedok za yψ(α, y). Dakle, α A, pa po teoremi transfinitne indukcije sledi da je A = V. Pretpostavimo da Ψ 1, Ψ 2 : Ord V zadovoljavaju uslove tvrd enja. Tada za svaki ordinal α važi pa je Ψ 1 = Ψ 2. Ψ 1 (α) = Φ(Ψ 1 α ) = Φ(f α ) = Φ(Ψ 2 α ) = Ψ 2 (α), Uvedimo sledeće oznake: X, < WO def X < je dobro ured enje X, < LO def X < je linearno ured enje

18 18 1. ZFC α < β def α β α β def α < β α = β. Za ordinal α kažemo da je granični ako je α = α. U suprotnom je α = α + 1, pa u tom slučaju ordinal α zovemo i sledbenikom. Teorema Neka X, < WO. Tada postoji jedinstveni ordinal α i jedinstvena bijekcija f : X α tako da ( x, y X)(x < y f(x) f(y)). Neka je X, < proizvoljno dobro ured enje, pri čemu je X 0. Transfinitnom rekurzijom po Ord definišimo Φ : Ord X + 1 (napomenimo da sa X + 1 označavamo skup X {X}) na sledeći način: Φ(0) = min X { Φ(α + 1) = { Φ(α) = X, X {Φ(β) β α} = 0 min(x {Φ(β) β α}), X {Φ(β) β α} = 0 X, X {Φ(β) β < α} = 0 min(x {Φ(β) β < α}), X {Φ(β) β < α} = 0 pri čemu je α = α > 0. Φ ne može biti 1 1, jer bi u suprotnom po shemi zamene Ord bio skup, što je u suprotnosti sa činjenicom da je Ord prava klasa. Samim tim, klasa A = {β Φ(β) = X} je neprazna, pa ima minimum α. Sada je f = (Φ α ) 1 bijekcija koja zadovoljava uslove tvrd enja. Jedinstvenost je direktna posledica leme Ordinalnu aritmetiku rekurzivno uvodimo na sledeći način: α + 0 = α α + (β + 1) = (α + β) + 1 α + β = γ β α + γ, ako je β granični ordinal; α 0 = 0 α (β + 1) = def α β + α α β = γ β α γ, ako je β granični ordinal; α 0 = 1

19 1.2. ORDINALI 19 α β+1 = α β α = def (α β ) α α β = γ β αγ, β = β. Transfinitnom indukcijom se lako proverava da važi: 1. α + (β + γ) = (α + β) + γ 2. α (β γ) = (α β) γ α = α α 1 = 1 α = α 4. α (β + γ) = α β + α γ 5. α < β ( γ > 0)β = α + γ 6. α + β = α + γ β = γ 7. β < γ α(α + β < α + γ) 8. γ α+β = γ α γ β 9. (γ α ) β = γ α β 10. ( γ > 1)( α β(α < β γ α < γ β ). Istaknimo da sabiranje i množenje ordinala nisu komutativne operacije. Primera radi, 1 + ω = ω < ω + 1 i 2 ω = ω < ω 2 = ω + ω. Takod e nije distributivno u odnosu na +. Naime, (1 + 1) ω = 2 ω = ω < 1 ω + 1 ω = ω + ω. Takod e istaknimo činjenicu da je za svaki skup A Ord A njegov supremum u Ord. Neka su α ξ, ξ γ proizvoljni ordinali. Ordinal ξ γ α ξ definišemo rekurzijom po γ na sledeći način: ξ 0 α ξ = 0 ξ β+1 α ξ = ξ β α ξ + α β ξ β α ξ = η β ξ η α ξ, β = β. Kanonsku bijekciju Γ : Ord Ord Ord definišemo na sledeći način: { Γ(α, β) = ξ α (ξ + ξ + 1) + α, α < β (ξ + ξ + 1) + α + β, α β. ξ β Transfinitnom indukcijom se lako proverava da je Γ zaista bijekcija. Samo dobro ured enje na Ord Ord indukovano sa Γ shematski možemo prikazati na sledeći

20 20 1. ZFC način: Dakle, ω, ω.. ω, 1 ω, 0. 1, 1 2, ω 1, 0 1, ω 0, 0 0, , ω... α, β < γ, δ def Γ(α, β) < Γ(γ, δ). Kumulativnu hijerarhiju uvodimo transfinitnom rekurzijom na sledeći način: V 0 = 0 V α+1 = P (V α ) V α = β α V β, ako je α granični ordinal. Transfinitnom indukcijom se lako proverava da je svaki od skupova V α tranzitivan. Klasu WF dobro zasnovanih skupova formalno uvodimo na sledeći način: x WF def α(x V α ). Za x WF neka je rank(x) = min{α x V α+1 }. Lako se proverava da važi ( x, y WF)(x y rank(x) < rank(y)). Teorema ( X WF)(X 0 ( x X)(x X = 0)). Neka je X 0 i X WF. Tada je skup {rank(y) y X} neprazan skup ordinala, pa ima minimum, tj. postoji x X tako da za svako y X važi rank(x) rank(y). Odavde sledi da je x X = 0, jer za svako z x važi rank(z) < rank(x).

21 1.3. KARDINALI Kardinali Uvedimo sledeće oznake: x = y def ( f : x y)( f je bijekcija ) x y def ( f : x y)( f je 1 1 ) Primetimo da iz definicije neposredno sledi da je relacija x = y relacija ekvivalencije na V, a da je relacija x y refleksivna i tranzitivna na V. Za ured enje X, < kažemo da je mreža ako svaki neprazan konačan podskup skupa X ima supremum i infimum. Za mrežu kažemo da je kompletna ako svaki neprazan podskup ima supremum i infimum. Supremum skupa S se označava sa S, a infimum sa S. Teorema (Lema Tarskog) Neka je X, < kompletna mreža, X 0 i neka je f : X X neopadajuća funkcija, tj. ( x, y X)(x < y f(x) f(y)). Tada f ima fiksnu tačku, tj. ( x X)(f(x) = x). Neka je A = {x X x f(x)}. Kako X A, postoji A. Dokazujemo da je f( A) = A. Primetimo da je za ovo dovoljno pokazati da je A f( A). Obzirom da je f neopadajuća funkcija, skup A je zatvoren za f (tj. za svako x A f(x) A) i f( A) je majoranta skupa A, odakle sledi da je f( A) A. Teorema (Kantor, Šreder, Bernštajn) x y( x y y x x = y ). Neka su f : x y i g : y x 1 1 funkcije. Prvo pokažimo da funkcija F : P (x) P (x) definisana sa F (z) = x g[y f[z]], z P (x) ima fiksnu tačku. Obzirom na lemu Tarskog, za ovo je dovoljno pokazati da je F neopadajuće preslikavanje kompletne mreže P (x),.

22 22 1. ZFC Neka su z, w P (x) proizvoljni. Tada važi: z w f[z] f[w] y f[w] y f[z] g[y f[w]] g[y f[z]] x g[y f[z]] x g[y f[w]] F (z) F (w). Dakle, F ima fiksnu tačku a. Neka je b = g[y f[a]]. Kako je a = F (a) = x g[y f[a]], b = x a. Sada je sa h = g 1 b f a dobro definisana bijekcija izmed u x i y. Teorema (Kantor) x( x < P (x) ). Neka je X proizvoljan skup. S jedne strane, funkcija f : X P (X) definisana sa f(x) = {x} je 1 1, pa je X P (X). Ostaje da pokažemo da je X = P (X). U suprotnom, postojala bi bijekcija g : X P (X). Tada po shemi separacije postoji skup A = {x X x / g(x)}. Obzirom da je g na, postoji a X tako da je A = g(a). kontradikciju a A a / A. Sada dobijamo Klasu kardinala, tj. kardinalnih brojeva formalno uvodimo na sledeći način: x Card def x Ord ( y x)( y < x ). Lako se proverava da ω Card kao i da ω Card. Kardinale ćemo beležiti malim grčkim slovima κ, λ, µ uz korišćenje indeksa. Dalje, umesto κ x i x κ ćemo pisati κ x i x κ, pri čemu je ma koji od simbola <,, >,, =. Lema ( α ω)( α = α + 1 ). Neka je α ω. Jedna od bijekcija izmed u α + 1 i α je definisana sa 0, ξ = α f(ξ) = ξ, ξ ω ξ + 1, ξ < ω.

23 1.3. KARDINALI 23 Teorema x κ( f : κ x)( fnije 1 1 ). Posebno, najmanji takav kardinal zovemo i Hartogsovim brojem skupa x i označavamo ga sa h(x). Neka je X proizvoljan beskonačan skup. Opisaćemo konstrukciju h(x). Uočimo skup X W O = {x P (X X) dom(x), x WO}. Za svako x X W O postoji jedinstveni ordinal α tako da je dom(x), x = α,. Neka je h(x) = α x. x X W O Obzirom da je X beskonačan, h(x) ω. Pokažimo da je h(x) kardinal. Pretpostavimo suprotno. Tada postoji x X W O tako da je α x = h(x). Neka je f : dom(x), x = α x, i neka je g : α x h(x) bijekcija. Sada je sa urv def g(f(u)) g(f(v)), u, v dom(x) definisano dobro ured enje R na dom(x), pa R X W O i α R = h(x). Med utim, kako je h(x) ω, važi h(x) = h(x) + 1, pa uz argumentaciju sasvim sličnu prethodnoj, postoji S X W O tako da je α S = h(x) + 1. Kontradikcija sa činjenicom da je h(x) = sup{α x x X W O }. Upravo opisana argumentacija se koristi u dokazu činjenice da je h(x) najmanji kardinal koji zadovoljava uslove tvrd enja. Posebno, za svaki ordinal α neka je α + = def h(α). Posledica prethodne teoreme je činjenica da je klasa Card kofinalna, tj. neograničena u Ord, pa je samim tim prava klasa. Uopšte, kofinalnost graničnog ordinala definišemo na sledeći način: cfα = def min{β ( f : β α)( x α)( y β)(x < f(y))}. Iz same definicije neposredno sledi da je cfα kardinal kao i da je cfcfα = cfα. Takod e, cfα α. Za kardinal κ kažemo da je regularan ako je cfκ = κ. U suprotnom za kardinal κ kažemo da je singularan. Primetimo da je za svaki granični ordinal α cfα regularan kardinal. Za kardinal κ kažemo da je sledbenik ako postoji kardinal λ tako da je κ = λ +. U suprotnom za κ kažemo da je granični kardinal. Alefe rekurzivno definišemo na sledeći način:

24 24 1. ZFC ℵ 0 = ω 0 = ω ℵ α+1 = ω α+1 = ℵ + α ℵ α = ω α = β α ℵ β, α = α. Dvostruke oznake za iste skupove (ℵ α i ω α ) smo uveli zbog razlike u ordinalnoj i kardinalnoj aritmetici. Kad budemo koristili oznaku ℵ α podrazumevaćemo kardinalnu aritmetiku, a kad budemo koristili oznaku ω α podrazumevaćemo ordinalnu aritmetiku. Transfinitnom indukcijom se lako pokazuje da za svaki ordinal α važi α ℵ α. Med utim, niz alefa ima proizvoljno velike fiksne tačke proizvoljno velike kofinalnosti (podsetimo, kofinalnost može da bude isključivo regularan kardinal veći do jednak ω ). Primera radi, neka je α proizvoljan ordinal i neka je λ regularan kardinal, λ ω. Transfinitnom rekurzijom po λ definišimo kardinal κ > α kofinalnosti λ na sledeći način: κ 0 = α + κ α+1 = ℵ κα κ α = ( β α κ β) +, α = α κ = α λ κ α. Sada je κ = α λ κ α = α λ ℵ κα = ℵ κ. Teorema ( κ ω) α(κ = ℵ α ). Neka je κ proizvoljan beskonačan kardinal. Kako je κ ℵ κ < ℵ κ+1, postoji najmanji ordinal α tako da je κ < ℵ α. Ako bi α bio granični ordinal, onda bi za svako β α važilo ℵ β < κ, odakle bi zbog tranzitivnosti κ i ℵ α sledilo da je κ = ℵ α. Kontradikcija. Dakle, α = β + 1 i κ ℵ β. Kako je ℵ α = ℵ + β, mora biti κ = ℵ β. Teorema α( ℵ α ℵ α = ℵ α ).

25 1.4. AKSIOMA IZBORA 25 Neka je Γ : Ord Ord Ord kanonska bijekcija. Uočimo klasu A = {α Γ[ω α ω α ] = ω α }. Dovoljno je pokazati da je A = Ord. Neka je α A. Na osnovu konstrukcije Γ neposredno sledi da je ω α Γ[ω α ω α ]. Pretpostavimo da postoje ξ, η ω α tako da je ω α = Γ(ξ, η). Neka je γ maksimum od ξ i η. Tada je γ < ℵ α, pa postoji β α tako da je γ = ℵ β. No tada je γ γ = ℵ β, pa zbog ω α Γ[γ γ], mora biti ℵ β ℵ α. Kontradikcija. Dakle, α A, pa je A = Ord. 1.4 Aksioma izbora Aksioma izbora je, uz aksiomu ekstenzionalnosti, jedina aksioma teorije skupova koja se eksplicitno navodi u ostalim matematičkim disciplinama. Brojni su njeni ekvivalenti i posledice koje se koriste u raznim granama matematike. Mi ćemo istaći samo nekoliko ekvivalenata. Aksioma izbora : X( f : P (X) {0} X)( x P (X) {0})(f(x) x). Princip dobrog ured enja : x κ( x = κ). Drugim rečima, svaki skup se može dobro urediti. Zornova lema : Ako u parcijalnom ured enju svaki lanac ima majorantu, onda to ured enje ima maksimalni element. Hausdorfov stav maksimalnosti: Svako parcijalno ured enje ima maksimalni lanac. Princip dobrog ured enja trivijalno povlači aksiomu izbora. Da bi ilustrovali metodu dokazivanja pomenutih tvrd enja iz aksiome izbora, pokazaćemo princip dobrog ured enja. Neka je X proizvoljan beskonačan skup i neka je f : P (X) {0} X funkcija izbora. Transfinitnom indukcijom po h(x) formirajmo niz x α, α h(x) na sledeći način: { X, X {x x α = β β α} = 0 f(x {x β β α}), X {x β β α} = 0.

26 26 1. ZFC Kako nijedno preslikavanje iz h(x) u X nije 1 1, postoji najmanji ordinal γ tako da je x γ = X. Samim tim, i γ Card i X = γ. Uvedimo sledeće oznake: [X] κ = def {x X x = κ} [X] <κ = def {x X x < κ} κ + λ = def (κ {0}) (λ {1}) κ λ = def κ λ κ λ = def λ κ i I κ i = def i I (κ i {i}) X = {x α α γ} i I κ i = def {f : I i I κ i ( i I)f(i) κ i }. Na osnovu teoreme i Kantor Šreder Bernštajnove teoreme neposredno sledi da je za svaka dva ordinala α i β ℵ α ℵ β = ℵ α + ℵ β = max{ℵ α, ℵ β }. Lako se proveravaju sledeća tvrd enja kardinalne aritmetike: 1. Neka je f : I I bijekcija. Tada : (a) i I κ i = i I κ f(i) (b) i I κ i = i I κ f(i) ; 2. Neka je A j, j J particija skupa I. Tada je i I κ i = j J i A j κ i ; 3. i I κλ i = κ i I λ i 4. Neka je κ i > 1, i I. Tada je i I κ i i I κ i ; 5. Za svaki beskonačan kardinal κ je 2 κ = κ κ ; 6. Neka je κ λ i neka je κ ω. Tada je κ λ = [κ] λ ; 7. Neka je κ i > 0, i I i neka je κ = sup κ i = κ i. Tada : i I i I (a) i I κ i = I κ

27 1.4. AKSIOMA IZBORA 27 (b) i I κ i = κ I. Za kardinal κ kažemo da je jako granični (strong limit) ako za svako λ < κ važi 2 λ < κ. Primeri jako graničnih kardinala su ℶ α, za granični ordinal α. Pritom se beti rekurzivno definišu na sledeći način: ℶ 0 = ℵ 0 ℶ α+1 = 2 ℶ α ℶ α = β α ℶ β, α = α. Primetimo da je ℶ α = V ω+α. Posebno, kardinal zovemo i kontinuumom. Kontinuum hipoteza (CH): c = def ℶ 1 = P (ω) ℶ 1 = ℵ 1. Generalisana kontinuum hipoteza (GCH) : α(ℶ α = ℵ α ). Za sada samo istaknimo činjenicu da je GCH nezavisna u odnosu na ZFC. Za kardinal κ kažemo da je nedostižan (inaccessible) ako je neprebrojiv (κ > ℵ 0 ), regularan i jako granični. Sa IC (Inaccessible Cardinal) označimo sledeću rečenicu: ( κ > ℵ 0 )(κ = cfκ ( λ < κ)(2 λ < κ)). Ako je κ nedostižan kardinal, onda se lako proverava da je V κ, = ZFC. Samim tim, ZFC + IC Con(ZFC), pa ako je teorija ZFC neprotivrečna, po Gedelovim teoremama nepotpunosti sledi da ZFC IC. Za kardinal κ kažemo da je slabo nedostižan (weakly inaccessible) ako je neprebrojiv, regularan i granični. Sa WIC označimo rečenicu ( κ > ℵ 0 )(κ = cfκ).

28 28 1. ZFC Ako je κ slabo nedostižan kardinal, onda je L κ, = ZFC (ovo je posledica činjenice da su u konstruktibilnom univerzumu L pojmovi slabo nedostižnog i nedostižnog kardinala ekvivalentni). Samim tim, ZFC + WIC Con(ZFC), odakle, uz neprotivrečnost ZFC, po Gedelovim teoremama nepotpunosti sledi da ZFC WIC. Teorema (Kenigova lema) Neka je κ i < λ i, i I. Tada je κ i < λ i. i I i I Neka je λ = i I λ i i neka je P = {f : I λ ( i I)f(i) λ i }. Dalje, uočimo proizvoljno F : i I (κ i {i}) P. Dovoljno je pokazati da F nije na. Za svako i I neka je F i = π j F. Kako je za svako i I κ i < λ i, za svako i I postoji a i λ i F i [κ i {i}]. Lako se proverava da funkcija a i i I ne pripada rng(f ). Navedimo neke posledice Kenigove leme: 1. x( x < P (x) ) Kako je 1 < 2, po Kenigovoj lemi sledi da je x = 1 < 2 = 2 x = P (x). i x i x 2. α(cf 2 ℵα > ℵ α ) Neka je κ i, i ℵ α niz kardinala manjih od 2 ℵα. Tada je κ i < 2 ℵ α = (2 ℵ α ) ℵ α = 2 ℵ α, i I i I odakle sledi da je cf 2 ℵα > ℵ α. 3. α β(cf ℵ ℵ β α > ℵ β ) 4. α(ℵ cfℵ α α > ℵ α ). Lema Neka je κ > λ ℵ 0 i neka je [κ] λ skup svih podskupova kardinala κ kardinalnosti manje do jednake λ. Tada važi κ = λ + ( f : κ [κ] λ )( α, β κ)(α f(β) β f(α)).

29 1.5. STACIONARNI SKUPOVI 29 Napomena: Ovo tvrd enje je inspirisano sledećim ekvivalentom negacije kontinuum hipoteze: ( f : R [R] ω )( x, y R)(x / f(y) y / f(x)). : Neka je κ = λ +. Tada funkcija α α + 1, α κ zadovoljava uslove tvrd enja. : Neka postoji funkcija f : κ [κ] λ tako da za svako α, β κ važi α f(β) β f(α). Obzirom da je κ > λ, mora biti λ + κ. Sada je κ = f(α), α λ + jer bi u suprotnom za proizvoljno β κ α λ f(α) važilo λ + f(β), što je + u kontradikciji sa činjenicom da je f(β) λ. Samim tim, κ = f(α) λ + λ = λ +, α λ + a kako je κ λ +, mora biti κ = λ Stacionarni skupovi Neka je κ regularan i neprebrojiv kardinal. Za C κ kažemo da je zatvoren i neograničen (kratko : C je CUB) ako je zatvoren u intervalnoj topologiji na κ indukovanoj relacijom (bazu topologije čine otvoreni intervali)i ako je neograničen u smislu, tj. za svako α κ postoji β C tako da α β. U vezi sa topologijom na κ, koristeći uopšteni limes imamo sledeću karakterizaciju zatvorenih skupova u κ : C κ je zatvoren ( α κ)( f : α κ)(f[α] C f[α] C). Lema Neka je κ regularan neprebrojiv kardinal. CUB ova takod e CUB. Tada je presek < κ Obzirom da je presek proizvoljne familije zatvorenih skupova zatvoren skup, ostaje da se pokaže neograničenost. Dalje, glavni slučaj predsatvlja dokaz neograničenosti preseka dva CUB a. Naime, koristeći regularnost κ, lako se pravi odgovarajuća modifikacija dokaza na opšti slučaj.

30 30 1. ZFC Neka su C i D CUB ovi u κ i neka je α κ proizvoljno. Obzirom da su C i D kofinalni, postoje nizovi β n, n ω iz C i γ n, n ω iz D tako da je α < β 0 < γ 0 < β 1 < γ 1 < β 2 < γ 2 <. Samim tim, α < n ω β n = n ω γ n = β, a kako su C i D zatvoreni, β C D. Neka su X α, α κ podskupovi kardinala κ (nadalje ćemo podrazumevati da je κ neprebrojiv i regularan kardinal). Dijagonalni presek skupova X α, α κ definišemo na sledeći način: α κ X α = def {ξ κ ξ α ξ X α }. Primetimo da je α κ X α = α κ ξ α X ξ. Lema Familija CUB ova u κ je zatvorena za dijagonalne preseke. Neka su C α, α κ CUB ovi u κ. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je za α < β C α C β. Dalje, neka je C = α κ C α. Pokažimo da je C CUB. (1): C je zatvoren : Neka je ξ α, α λ < κ niz u C i neka je ξ = α λ ξ α. Uočimo proizvoljno γ ξ. Kako je C α, α κ opadajuća familija, za svako γ < α < λ važi ξ α β ξ γ C β C γ, pa, kako je C γ zatvoren, ξ C γ. Obzirom da ovo važi za svako γ < λ, mora biti ξ α λ C α, tj. ξ C. Dakle, C je zatvoren. (2): C je neograničen : Neka je α κ proizvoljno i neka je f : P (κ) {0} κ funkcija izbora. Formirajmo rekurzivno niz β n, n ω na sledeći način: β 0 = f(c 0 (α + 1)) β n+1 = f(c βn+1 (β n + 1)). Neka je β = n ω β n. Sasvim slično kao pod (1) se pokazuje da β C βn = C α, n ω α β tj. β C i β > α.

31 1.5. STACIONARNI SKUPOVI 31 Neka je C = {α κ α = α}. Obzirom da je C = α κ [α + 2, κ), C je CUB. Za skup S κ kažemo da je stacionaran ako seče sve CUB-ove u κ. U protivnom za skup S kažemo da je tanak. Primera radi, svaki CUB je stacionaran. Takod e, presek stacionarnog skupa i CUB a je stacionaran skup. Kao primer skupa koji je stacionaran a nije CUB navedimo skup svih ordinala u κ kofinalnosti ω, pri čemu je κ > ℵ 1. Primetimo da za svaki stacionaran S κ važi S = κ. Za funkciju f : S κ kažemo da je regresivna na stacionarnom S κ ako ( α S {0})f(α) < α. Teorema (Fodor) Neka je funkcija f : κ κ regresivna na stacionarnom skupu S κ. Tada postoji stacionaran skup S 1 S na kome je funkcija f konstantna. Pretpostavimo suprotno. Tada je za svako γ κ skup A γ = {α S f(α) = γ} tanak. Izaberimo CUB C γ tako da A γ C γ = 0. Po prethodnoj lemi je C = γ κ C γ takod e CUB. Neka je S 1 = S C. Primetimo da je S 1 stacionaran skup jer je presek stacionarnog skupa i CUB a. Neka je α > 0 iz S 1 proizvoljno. Tada α γ α C γ (jer je S 1 C), odakle neposredno sledi da je za svako γ α f(γ) γ, pa mora biti f(γ) γ. Med utim, ovo je u kontradikciji sa činjenicom da je S 1 S i da je funkcija f regresivna na S. Posledica Postoji κ disjunktnih stacionarnih skupova u κ. Napomena : Ako je A i, i I familija nepraznih disjunktnih skupova u κ, onda u κ imamo bar I različitih elemenata (iz svakog od skupova A i izaberemo po jedan), odakle sledi da je I κ. Neka je W skup svih ordinala iz κ kofinalnosti ω. Naravno, W je stacionaran skup. Za svako α W izaberimo rastući niz ξ nα, n ω iz κ tako da je α = n ω ξ nα. Pokažimo sledeće pomoćno tvrd enje: (1) Postoji m ω tako da je za svako β κ skup W β = {α W ξ mα β}

32 32 1. ZFC stacionaran. Pretpostavimo suprotno. Tada za svako n ω postoji β n κ tako da je skup {α W ξ nα β n } tanak. Neka je β = n ω β n. Tada je za svako n ω skup A n = {α W ξ nα β} tanak. Med utim, A n W [β, κ), odakle bi sledilo da je A n stacionaran. Kontradikcija. Neka je m ω svedok za (1). Definišimo funkciju f : W κ na sledeći način: f(α) = ξ mα. Sada je f regresivna funkcija na svakom od skupova W β, pa po Fodorovoj teoremi za svako β κ postoji stacionaran S β W β na kome je f konstantna. Neka je {γ β } = f[s β ]. Primetimo da je β β β. Niz γ β, β κ je kofinalan u regularnom kardinalu κ, pa med u skupovima S β mora biti κ disjunktnih. Za neglavni filter F nad κ kažemo da je normalan ako je zatvoren za dijagonalne preseke. Za neglavni filter F nad κ kažemo da je κ kompletan ako je zatvoren za preseke < κ mnogo svojih elemenata. Teorema Neka je F normalan filter nad κ koji sadrži sve intervale oblika [α, κ), α κ. Tada važi: F je κ kompletan ; F sadrži sve CUB ove. Neka je λ < κ i neka je X α, α λ familija skupova u F. Definišimo skupove A α, α κ na sledeći način: { Xα [λ, κ), α < λ A α = [λ, κ), λ α < κ. Sada je α λ X α α κ A α, pa α λ X α F. Neka je C 0 skup svih graničnih ordinala u κ. Kako je C 0 = α κ [α + 2, κ), C 0 je CUB i C 0 F. Dalje, neka je C proizvoljan CUB u κ i neka je ξ α, α κ rastuća numeracija skupa C. Samim tim, za svako α κ je α ξ α. Sada skup pripada filteru F. D = C 0 α κ [ξ α + 1, κ)

33 1.5. STACIONARNI SKUPOVI 33 Neka je β D proizvoljno. S jedne strane, zbog D C 0 je β = β. S druge strane, kako β α κ [ξ α + 1, κ), po definiciji dijagonalnog preseka i činjenici da je β granični ordinal sledi da β α β[ξ α + 1, κ) = [ξ β, κ), pa mora biti β = ξ β. Dakle, D C, pa C F. Za nedostižan kardinal κ kažemo da je Maloov ako je skup regularnih kardinala u κ stacionaran u κ. Teorema Neka je κ Maloov kardinal. Tada je κ κ ti nedostižan kardinal. Neka je C = {λ < κ λ je jako granični }. Pokažimo da je C CUB. Obzirom da je unija jako graničnih kardinala jako granični kardinal, C je zatvoren. Neka je α κ proizvoljno. Konstruišimo rekurzivno kardinal λ > α na sledeći način: λ 0 = α + λ n+1 = 2 λn λ = n ω λ n. Iz konstrukcije neposredno sledi da je λ jako granični i da je λ > α, a kako je κ nedostižan, mora biti λ < κ. Samim tim, C je neograničen. Obzirom da je κ Maloov, skup S svih regularnih kardinala u κ je stacionaran u κ, pa je i skup S 1 svih nedostižnih kardinala u κ takod e stacionaran, jer je S 1 = S C. Samim tim, S 1 = κ, odakle neposredno sledi da je κ κ ti nedostižan kardinal. Na kraju ovog odeljka pokažimo da najmanja fiksna tačka niza nedostižnih kardinala nije Maloov kardinal. Neka je κ najmanja fiksna tačka niza nedostižnih kardinala, S skup svih regularnih kardinala u κ i neka je C skup svih jako graničnih kardinala u κ. Ako bi S bio stacionaran, onda bi i S 1 = S C bio stacionaran. Neka je λ α, α κ rastuća numeracija skupa S 1. Tada je sa f(λ α ) = α

34 34 1. ZFC definisana regresivna funkcija na stacionarnom skupu S 1, pa po Fodorovoj teoremi postoji stacionaran S 2 na kome je f konstantna. Med utim, f je 1 1, pa mora biti S 2 = 1. Kontradikcija. Dakle, S nije stacionaran u κ, pa κ nije Maloov. 1.6 Kontinuum funkcija Pod kontinuum funkcijom podrazumevamo funkciju ℵ α 2 ℵα. Za kontinuum funkciju imamo sledeća ograničenja: κ < λ 2 κ 2 λ cf 2 ℵ α > ℵ α. Za beskonačan kardinal λ i proizvoljan kardinal κ neka je κ <λ = def κ µ. µ<λ Lema Neka je κ ℵ 0. Tada je 2 κ = (2 <κ ) cfκ. Kako je 2 κ 2 <κ, to je 2 κ = (2 κ ) cfκ (2 <κ ) cfκ. Ostaje da pokažemo obratnu nejednakost. Neka je κ = i cfκ κ i, κ i < κ. Tada je 2 κ = 2 i cfκ κi = 2 κi 2 <κ = (2 <κ ) cfκ. i cfκ i cfκ Teorema (Bukovski, Hehler) Neka je κ > cfκ i neka je kontinuum funkcija skoro konstantna na κ, tj. neka postoji cfκ λ 0 < κ tako da je za svako λ 0 λ < κ važi 2 λ = 2 λ0. Tada je 2 κ = 2 <κ. S jedne strane, 2 <κ = λ 0 λ<κ 2 λ = λ 0 λ<κ 2 λ0 = κ 2 λ0. S druge strane, neka je κ α, α cfκ rastući niz kardinala manjih od κ tako da je κ = α cfκ κ α. Tada je κ = κ α 2 κα = 2 λ0 = cfκ 2 λ0 = 2 λ0. α cfκ α cfκ α cfκ

35 1.6. KONTINUUM FUNKCIJA 35 Dakle, 2 <κ = 2 λ 0. Sada je 2 κ = (2 <κ ) cfκ = 2 λ0 cfκ = 2 λ0 = 2 <κ. Primetimo da je zbog monotonosti kontinuum funkcije uslov skoro konstantnosti ekvivalentan konstantnosti kontinuum funkcije na proizvoljnom kofinalnom skupu u κ. Takod e, skoro konstantnost kontinuum funkcije na κ je ekvivalentna sa egzistencijom stacionarnog S cfκ i rastućeg kofinalnog preslikavanja f : cfκ κ tako da je kontinuum funkcija konstantna na f[s]. Posledica Neka je ordinal β takav da važi Tada β ω. α(2 ℵ α = ℵ α+β ). Pretpostavimo da je β ω. Obzirom da je β + β > β, postoji α = min{γ γ + β > β}. Naravno, mora biti α = α i ω α β i za svako ξ α važi ξ + β = β. Takod e, cfℵ α+α = cfα. Sada je za svako ξ α 2 ℵ α+ξ = ℵ α+ξ+β = ℵ α+β = 2 ℵ α, odakle sledi da je kontinuum funkcija skoro konstantna na ℵ α+α. Sada na osnovu Bukovski Hehler teoreme sledi da je Med utim, kako je α + β > β to je Kontradikcija. Dakle, mora biti β ω. 2 ℵ α+α = 2 <ℵ α+α = 2 ℵ α. 2 ℵ α+α = ℵ α+α+β > ℵ α+β = 2 ℵ α. Lema Neka je ℵ β < cfℵ α. Tada je ℵ ℵ β α = γ α ℵ ℵ β γ. Kako je ℵ β < cfℵ α, to je svaka funkcija f : ℵ β ℵ α ograničena, tj. postoji γ α tako da je f[ℵ β ] ℵ γ. Samim tim, ℵ ℵ β α γ α ℵℵ β γ. Kako obratna nejednakost trivijalno važi, imamo tvrd enje.

36 36 1. ZFC Posledica (Hausdorfova formula) α β(ℵ ℵ β α+1 = ℵℵ β α ℵ α+1 ). Treba pokazati da je ℵ ℵ β α+1 ℵℵ β α ℵ α+1. Ako je ℵ α < ℵ β, onda je ℵ ℵ β α+1 = ℵℵ β α ℵ α+1 = 2 ℵ β. Ako je ℵ α+1 > ℵ β, onda je po prethodnoj lemi ℵ ℵ β α+1 = γ α+1 ℵ ℵ β γ ℵ ℵ β α ℵ α+1. Lema Neka je κ granični kardinal i neka je λ cfκ. Tada je κ λ = (sup µ λ ) cfκ. µ<κ Neka je κ i, i cfκ rastući niz kardinala manjih od κ tako da je κ = i cfκ κ i. Tada je κ κ λ i κ λ i sup i cfκ i cfκ µ<κ i cfκ µ λ = (sup µ λ ) cfκ. µ<κ S druge strane, (sup µ λ ) cfκ (κ λ ) cfκ = κ λ. µ<κ Teorema Neka je β proizvoljan ordinal. Tada za svaki ordinal α važi: (1) α β ℵ ℵ β α = 2 ℵ β (2) α > β ( ( γ α)ℵ ℵ β γ ℵ α ( γ α)ℵ ℵ β α = ℵ ℵ ) β γ (3) α > β ( γ α)ℵ ℵ β γ < ℵ α. Tada : (3.1) ℵ α = cfℵ α cfℵ α > ℵ β ℵ ℵ β α (3.2) cfℵ α ℵ β < ℵ α ℵ ℵ β α = ℵ α = ℵ cfℵα α.

37 1.6. KONTINUUM FUNKCIJA 37 Primetimo da je (1) ranije dokazano, tako da ostaje da pokažemo (2) i (3). (2): Neka je α > β i neka je γ α tako da je ℵ ℵ β γ ℵ α. Tada je ℵ ℵβ α (ℵ ℵ β γ ) ℵ β = ℵ ℵ β γ. (3): Neka je α > β i neka je za svako γ α ℵ ℵ β γ je po Hausdorfovoj formuli < ℵ α. Ako je α = γ + 1, onda ℵ ℵ β α = ℵ ℵ β γ ℵ α ℵ α ℵ α = ℵ α. Stoga je od interesa slučaj kada je α = α. (3.1): Neka je cfℵ α > ℵ β. Tada je ℵ ℵ β α = γ α ℵ ℵ β γ γ α ℵ α = ℵ α. (3.2): Neka je cfℵ α ℵ β < ℵ α. Tada je ℵ ℵ β α = (sup ℵ ℵ β γ ) cfℵα = ℵ cfℵα α. γ α Posledica Neka važi GCH. Tada je ℵ ℵ β α = ℵ α, ℵ β < cfℵ α ℵ α+1, cfℵ α ℵ β < ℵ α ℵ β+1, ℵ β ℵ α. Obzirom na prethodnu teoremu i GCH, treba samo pokazati da za za svaki ordinal α važi ℵ cfℵ α α = 2 ℵ α = ℵ α+1. Primetimo da prethodne jednakosti važe kad god je ℵ α regularan. Stoga ostaje da proverimo slučaj kada je ℵ α > cfℵ α. Obzirom na GCH, tada za svako β α važi 2 ℵ β = ℵ β+1 < ℵ α, pa je samim tim ℵ α = 2 <ℵα. Sada je 2 ℵα = (2 <ℵα ) cfℵα = ℵ cfℵα α. Ako je κ jako granični, onda je 2 <κ = κ, pa je samim tim i 2 κ = (2 <κ ) cfκ = κ cfκ. Ako je κ nedostižan kardinal, onda je na osnovu teoreme za svako λ < κ κ λ = κ, odakle sledi da je κ <κ = κ = 2 <κ. Najzad, ako je κ slabo nedostižan kardinal i nije nedostizan, onda postoji λ < κ tako da je 2 λ κ. Samim tim, κ <κ (2 λ ) <κ = 2 <κ, odakle, obzirom da obratna nejednakost trivijalno važi, sledi da je κ <κ = 2 <κ.

38 38 1. ZFC 1.7 Silverova teorema Neka je κ neprebrojiv regularan kardinal. Za funkcije f, g : κ V kažemo da su skoro disjunktne ako je {α κ f(α) = g(α)} < κ. Posebno, ako su funkcije f i g skoro disjunktne na κ, onda za svaki stacionaran S κ važi {α S f(α) = g(α)} < S = κ. Lema Neka je κ = cfκ > ω, γ ordinal takav da je ℵ γ+κ > κ i neka je za svako α κ ℵ κ γ+α < ℵ γ+κ. Dalje, neka je X α κ A α familija skoro disjunktnih funkcija na κ tako da je skup {α κ A α ℵ γ+α } stacionaran u κ. Tada je X ℵ γ+κ. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je skup S 0 = {α κ A α ℵ γ+α } stacionaran u κ. Dalje, kako je skup C svih graničnih ordinala u κ CUB, to je skup S = S 0 C stacionaran u κ. Prvo pokažimo da za svako f X postoji stacionaran S f S tako da je funkcija f ograničena na S f. Neka je f X proizvoljno. Tada za svako α S važi f(α) ℵ γ+α, pa kako je α granični ordinal, postoji β α tako da je f(α) ℵ γ+β. Neka je f(α) = min{β α f(α) ℵ γ+β }, α S. Funkcija f je regresivna na S, pa po Fodorovoj teoremi postoji stacionaran S f S na kome je funkcija f konstantna. Samim tim je funkcija f ograničena na S f, jer je za svako α S f f(α) < f(α) i f je konstantna na S f. Primetimo da je X = { S f, f Sf f X}, jer je X familija skoro disjunktnih funkcija i skupovi S f su stacionarni. Obzirom da je za svako f X S f S i funkcija f Sf je ograničena, to je X Y, pri čemu je Y = {h fun(h) dom(h) S rng(h) ℵ γ+κ rng(h) < ℵ γ+κ }. Kako je P (S) = 2 κ ℵ κ γ < ℵ γ+κ ℵ γ+κ i kako je to je X ℵ γ+κ. Y = 2 κ ℵ κ γ+α ℵ γ+κ ℵ γ+κ = ℵ γ+κ, α κ α κ

39 1.7. SILVEROVA TEOREMA 39 Lema Neka je κ = cfκ > ω, γ ordinal takav da je ℵ γ+κ > κ i neka je za svako α κ ℵ κ γ+α < ℵ γ+κ. Dalje, neka je X α κ A α familija skoro disjunktnih funkcija na κ tako da je skup {α κ A α ℵ γ+α+1 } stacionaran u κ. Tada je X ℵ γ+κ+1. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je skup S 0 = {α κ A α ℵ γ+α } stacionaran u κ. Za proizvoljno f X i stacionaran S S 0 neka je X fs = {g X ( α S)g(α) f(α)}. Obzirom da je S stacionaran i da je X familija skoro disjunktnih funkcija, i X fs je familija skoro disjunktnih funkcija. Dalje, neka je { A B α = α, α κ S f(α) + 1, α S. Kako za svako α S f(α) + 1 ℵ γ+α+1, to za svako α S važi B α ℵ γ+α. Samim tim, X fs α κ B α i S = {α κ B α ℵ γ+α }, odakle po prethodnoj lemi sledi da je X fs ℵ γ+κ. Za proizvoljno f X neka je X f = {X fs S S 0 je stacionaran }. Sada je X f 2 S0 ℵ γ+κ ℵ κ γ ℵ γ+κ = ℵ γ+κ. Da bi dokazali tvrd enje, dovoljno je pokazati da postoje β ℵ γ+κ+1 funkcije f α, α β iz X tako da je i Samim tim, biće X ℵ γ+κ+1. X = {X fα α β}. Konstrukciju vršimo transfinitnom rekurzijom dok ne iscrpimo sve funkcije iz X na sledeći način : f 0 je proizvoljna funkcija iz X; Pretpostavimo da smo konstruisali niz f α, α ξ. Ako je X = {X fα α ξ},

40 40 1. ZFC onda stajemo sa konstrukcijom i β = ξ. U suprotnom, postoji f X {Xfα α ξ}, pa samim tim je za svako α ξ skup A α = {η S 0 f(η) f α (η)} tanak, odakle sledi da je S α = S 0 A α stacionaran. Samim tim, {Xfα α ξ} X f, a kako su f α med usobno različite funkcije i kako je X f ℵ γ+κ, mora biti ξ ℵ γ+κ+1. Neka je f ξ = f. Iz konstrukcije neposredno sledi da, ukoliko postoji f α, mora biti α ℵ γ+κ+1, odakle sledi da je β ℵ γ+κ+1. Teorema (Silver) Neka je κ = cfκ > ω i neka je γ ordinal takav da je ℵ γ+κ > κ. Ako je skup S = {α κ 2 ℵγ+α = ℵ γ+α+1 } stacionaran u κ, onda je 2 ℵ γ+κ = ℵ γ+κ+1. Za svako x P (ℵ γ+κ ) neka je f x = x ℵ γ+α α κ. Sada je X = {f x x P (ℵ γ+κ )} familija skoro disjunktnih funkcija. Pri tom je X α κ P (ℵ γ+α) i za svako α S važi odakle po prethodnoj lemi sledi da je P (ℵ γ+α ) = ℵ γ+α+1, X = 2 ℵ γ+κ ℵ γ+κ+1. Obzirom da obratna nejednakost trivijalno važi, imamo tvrd enje. Teorema (Silver) Neka je κ = cfκ > ω i nekaje γ ordinal takav da je ℵ γ+κ > κ. Dalje, pretpostavimo da je za svako α κ ℵ κ γ+α < ℵ γ+κ. Ako je skup S 0 = {α κ ℵ cfℵ γ+α γ+α = ℵ γ+α+1 } stacionaran u κ, onda je ℵ cfℵγ+κ γ+κ = ℵ κ γ+κ = ℵ γ+κ+1.

41 1.7. SILVEROVA TEOREMA 41 Prvo pokažimo da je skup C = {α κ α = α ( β α)(ℵ κ γ+β < ℵ γ+α )} CUB u κ. Zatvorenost je (poprilično) očigledna, te ćemo stoga pokazati samo neograničenost. Neka je α κ proizvoljno. Koristeći uslov da je za svako ξ κ ℵ κ γ+ξ < ℵ γ+κ možemo formirati niz β n, n ω tako da je β 0 = α i da za svako n ω važi ℵ κ γ+β n < ℵ γ+βn+1. Sada za β = n ω β n važi da je α < β i β C. Obzirom da je C CUB i da je S 0 stacionaran, skup S = S 0 C će biti stacionaran u κ. Primetimo da je za svako α S cfℵ γ+α = cfα, kao i da je ℵ κ γ+α = (sup ℵ κ γ+β) cfα = ℵ cfα γ+α. β α Za proizvoljno h : κ ℵ γ+κ definišimo funkcije h α : κ ℵ γ+κ, na sledeći način: { h(ξ), ξ ℵγ+α h α (ξ) = 0, ξ ℵ γ+α. α κ Dalje, neka je f h = h α α κ i neka je X = {f h h : κ ℵ γ+κ }. Primetimo da je X familija skoro disjunktnih funkcija i da je X α κ κ ℵ γ+α. Kako za stacionarno mnogo α κ važi κ ℵ γ+α = ℵ κ γ+α ℵ γ+α+1, mora biti X = ℵ κ γ+κ ℵ γ+κ+1. Obzirom da obratna nejendakost trivijalno važi, imamo tvrd enje. Neznatnom modifikacijom upravo navedenih dokaza dobijamo opšti oblik Silverove teoreme: Neka je κ singularan kardinal neprebrojive kofinalnosti i neka je κ α, α cfκ normalan kofinalan niz u κ (uopšte, rastući niz ordinala ξ α, α λ je normalan ako je za svaki granični α λ ξ α = β α ξ β). Tada važi : Ako je skup {α cfκ 2 κ α = κ + α } stacionaran, onda je 2 κ = κ + ; Ako je skup {α cfκ κ cfκα α = κ + α } stacionaran, onda je κ cfκ = κ +. Formulišimo SCH (Singular Cardinal Hypothesis) na sledeći način: γ(2 ℵ0 < ℵ γ+ω ℵ ℵ 0 γ+ω = ℵ γ+ω+1 ).

42 42 1. ZFC Teorema Neka važi SCH. Dalje, neka je κ = cfκ ω i neka je γ ordinal takav da je ℵ γ+κ > κ. Ako GCH važi na ℵ γ+κ, tj. ako za svako α κ važi 2 ℵγ+α = ℵ γ+α+1, onda je 2 ℵγ+κ = ℵ γ+κ+1. Za κ > ω tvrd enje važi na osnovu Silverove teoreme, te je stoga zanimljiv jedino slučaj kada je κ = ω. Dakle, neka je γ proizvoljan ordinal i neka GCH važi na ℵ γ+ω. Tada je 2 ℵ 0 2 ℵ γ = ℵ γ+1 < ℵ γ+ω, pa po SCH sledi da je ℵ ℵ 0 γ+ω = ℵ γ+ω+1. Sada je 2 ℵ γ+ω = (2 <ℵ γ+ω ) ℵ 0 = ( n ω 2 ℵ γ+n ) ℵ 0 = ( n ω ℵ γ+n+1 ) ℵ 0 = ℵ ℵ 0 γ+ω = ℵ γ+ω+1. Teorema Neka važi SCH. Tada važi κ(2 cfκ < κ κ cfκ = κ + ). Dokaz izvodimo transfinitnom indukcijom po cfκ. Neka je λ = cfκ < κ. Tada postoji najmanji ordinal γ tako da je κ = ℵ γ+λ. Obzirom na SCH, od interesa je slučaj kada je λ > ω. Pretpostavimo da je 2 λ < ℵ γ+λ. Tada postoji α 0 λ tako da je 2 λ < ℵ γ+α0. Pretpostavimo da tvrd enje važi za sva singularne kardinale kofinalnosti manje od λ. Neka je S = {α λ α = α α α 0 }. S je CUB u λ, pa je samim tim i stacionaran u λ. Sada je za svako α S cfℵ γ+α = cfα < λ i 2 cfα 2 κ < ℵ γ+α0 ℵ γ+α, pa po induktivnoj hipotezi za svako α S važi ℵ cfℵγ+α γ+α = ℵ γ+α+1. Sada je na osnovu teoreme κ cfκ = κ +. SCH ima zanimljiv uticaj na kontinuum funkciju. Naime, za proizvoljan beskonačan kardinal κ važi da je 2 κ = (2 <κ ) cfκ. Neka je κ singularan kardinal. Ako je kontinuum funkcija skoro konstantna na κ, onda je po Bukovski Hehler teoremi 2 κ = 2 <κ.

43 1.8. AKSIOMA REGULARNOSTI 43 U suprotnom, za λ = 2 <κ važi cfλ = cfκ i 2 cfλ < λ pa po SCH mora biti 2 κ = λ cfλ = λ + = (2 <κ ) +. SCH je direktno povezana sa jakim aksiomama beskonačnosti (konkretno, egzistencija 0 povlači ne važenje SCH). Napomenimo još i to da u Istonovom modelu važi SCH. 1.8 Aksioma regularnosti Aksioma regularnosti : x(x 0 ( y x)(y x = 0)). Dakle, svaki neprazan skup ima minimalni element. Posebno, ( f : ω V )( n ω)(f(n + 1) / f(n)). Zaista, u suprotnom bi postojalo f : ω V tako da za svako n ω f(n+1) f(n), odakle sledi da skup rng(f) nema minimum. Odavde neposredno sledi da svaka neprazna klasa ima minimalni element. Dalje, na osnovu aksiome regularnosti sledi da x(x / x). Naime, za proizvoljan skup x skup {x} po aksiomi regularnosti ima minimalni element, odakle neposredno sledi da x / x. Teorema ( indukcija) Neka je klasa A takva da važi Tada je A = V. x(x A x A). Sasvim slično kao i kod dokaza teoreme transfinitne indukcije, ova teorema je direktna posledica činjenice da svaka neprazna klasa ima minimalni element. Posledica x α(x V α ).

44 44 1. ZFC Neka je A = {x α(x V α )}. Dalje, neka je X A. Tada za svako x X postoji ordinal α x tako da x V αx. Neka je α = x X α x. Samim tim, X V α, pa X V α+1. Odavde po teoremi indukcije sledi da je A = V. Posledica Svaki skup je sadržan u nekom tranzitivnom skupu, tj. važi x( y x)( y y). Neka je A = {x ( y x) y y} i neka je X A. Samim tim, za svako x X postoji tranzitivan y x x. Lako se proverava da je Y = X x X y x tranzitivni nadskup skupa X. A = V Dakle X A, pa po teoremi indukcije je Obzirom da je tranzitivnost svojstvo koje se čuva pri preseku, na osnovu prethodnog je za svaki skup x sa TC(x) = def {y y x y y} dobro definisan najmanji (u smislu inkluzije) tranzitivni nadskup skupa x. Sam skup TC(x) zovemo još i tranzitivnim zatvorenjem skupa x. Laganu vežbu predstavlja dokaz činjenice da se TC(x) rekurzivno može konstruisati na sledeći način: TC 0 (x) = x TC n+1 (x) = TC n (x) TC(x) = n ω TC n(x). Dakle, TC(x) = x x x... Teorema ( rekurzija) Neka je Φ : V V proizvoljno. Tada postoji jedinstveno Ψ : V V tako da x(ψ(x) = Φ(Ψ x )).

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzija vektorskog prostora

Dimenzija vektorskog prostora UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku 10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1 Svojstvo kompaktnosti

1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990. PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo

1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Kardinalni brojevi i Lebegova mera

Kardinalni brojevi i Lebegova mera Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 41-50 Kardinalni brojevi i Lebegova mera Dragan S Dor dević U ovom radu prikazujemo

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

PRIRODNI I CELI BROJEVI

PRIRODNI I CELI BROJEVI 1 PRIRODNI I CELI BROJEVI Prvo matematičko znanje koje stičemo je znanje o prirodnim brojevima. U toku školovanja, u osnovnoj i srednjoj školi, stečeno znanje ne podvrgavamo kritici. Radimo sa nekim konkretnim

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.

Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.

Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. 1. Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački

Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački Master rad Mentor: Prof.dr Dejan Ilić Student: Sanja Randelović

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Bulovsko vrednosni modeli

Bulovsko vrednosni modeli Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Miloš Kuljić Bulovsko vrednosni modeli mentor Milan Grulović Novi Sad, 2014. Sadržaj Uvod 2 1 Pregled logike

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Granične vrednosti funkcija

3.1. Granične vrednosti funkcija 98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα