Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Transcript

1 Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

2 Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento reikšmę, tardami, kad 0, tai turėsimevienokintamojofunkciją (, 0 ). Šios vieno kintamojo funkcijos išvestinė taške 0 vadinama funkcijos (, ) dalineišvestine kintamojo atžvilgiu taške 0 ir žymima vienu iš simbolių:,, (, ),. Remdamiesivienokintamojofunkcijosišvestinės apibrėžimu, rašome: ( ) lim lim, ( ; )

3 Dalinės išvestinės Skirtumą (, ) ( ; ) vadinamedaliniu funkcijos pokyčiu atžvilgiu. Analogiškai: ( ) # lim lim funkcijos pokytis atžvilgiu. ; ( ; ), čia dalinis Pokytis, kuris atsiranda pakitus abiems argumentams ir, vadinamas pilnuoju pokyčiu ir žymimas. Taigi ; ;. Bendruatveju

4 Dalinių išvestinių geometrinė prasmė A P 0 B Apskaičiuodami, tariame, kad.geometriškaitai reiškia, kad paviršius zf(x, y)yra kertamas plokštuma. Ši plokštuma iš paviršiaus (, ) iškerta kreivę AB, esančią plokštumoje, lygiagrečioje plokštumai xoz. Remiantis vieno kintamojo funkcijos išvestinės geometrine prasme, turime, kad: ( ) %&', čia ' kampas, kurį kreivės AB liestinė T, nubrėžta per tašką ) (,, (, )), sudaro su tiese lygiagrečia * ašiai.

5 Funkcijos (, ) dalinės išvestinės geometriškai reiškia: krypties koeficientą liestinių, išvestų kreivėms, gautoms duotosios funkcijos atvaizduojamą paviršių kertant plokštumomis, lygiagrečiomis plokštumomis * ir *. Norint rasti kelių kintamųjų funkcijos dalines išvestines, kurio nors kintamojo atžvilgiu, reikia visus kintamuosius, išskyrus pasisrinktąjį, laikyti pastoviais dydžiais, o pačią funkciją diferencijuoti pasirinktojo kintamojo atžvilgiu.

6 Pilnasisfunkcijosdiferencialas Sudėtinės funkcijos ir jų diferencijavimas. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas Aukštesnių eilių dalinės išvestinės ir diferencialai

7 Pilnasis funkcijos pokytis Teorema. Jei taške, ir jo aplinkoje egzistuoja funkcijos (, ) dalinės išvestinės (, ) ir (, ) ir jos yra tolydžios, tai funkcijos (, ) pilnąjį pokytį Δ galime išreikšti formule Δ Δ, Δ,, Δ, Δy 'Δ.Δy kurioje ' 0 ir. 0, kai Δ 0, Δ 0. Arba trumpiau galime užrašyti Δ Δ Δy 'Δ.Δy 7

8 Pilnasis funkcijos diferencialas Apibrėžimas.Reiškinys Δ Δyvadinamas pilnuoju funkcijos diferencialu ir žymimas d Kadangi argumetų pokyčiai Δ ir Δsutampa su jų diferencialais 0 ir 0, tai pilnąjį diferencialą galime išreikšti 0 Reiškiniai 0 0 ir 0 diferencialais. Taigi ir Δz 0. d 0y 0vadinami daliniais 8

9 Trijų kintamųjų funkcijos 3 3(,, ) pilnasis diferencialas d 0y 0 Apytiklsiuose skaičiavimuose Δ, Δ,, Δ, Δy Pvz. Pilnasis funkcijos diferencialas 1,01 6,6, ; 1; Δ 0,01; 3; Δ 0,03, 1, , : 3, ;< 1 6 ;< , Skaičiuojant su skaičiuotuvu 1,01 6,6 1,0306 9

10 Sudėtinės funkcijos ir jų diferencijavimas Tegul srityje apibrėžta sudėtinė funkcija (3, H), čia 3 3(, )ir H H(, ). Taip pat pareikalaukime, kad kintant argumentų ir reikšmėms, taškas (3, H) priklausytų sričiai. Be to, tarkime, kad: funkcija turi tolydžias išvestines savo argumentų atžvilgiu: 4 ir I Funkcijos 3 ir H turi tolydžias išvestines savo argumentų ir atžvilgiu 4 ir 4 ; I ir I 10

11 Sudėtinės funkcijos ir jų diferencijavimas Suteikime argumentui pokytį Δ, o laikykime fiksuotu: Δ 3 3 Δ, 3, Δ H H Δ, H(, ) Jei kinta funkcijos argumentai 3 ir H, pakis ir pati funkcija (atsiras pilnasis funkcjos polytis): Δ 3 Δ 3, H Δ H (3, H) kurį galime perrašyti Δ 4 Δ 3 I Δ H 'Δ 3.Δ H padaliję iš Δ 0: J J 4 J 4 J I J I KJ 4 J J LJ I J kai Δ 0, tai Δ 3 0ir Δ H 0, nes funkcijos 3 ir H tolydžios. Tuomet ' 0ir

12 Apskaičiuojame ribą: iš čia gauname lim J Analogiškai gautume: Pvz. Sudėtinės funkcijos ir jų diferencijavimas Raskime J lim J 4 lim J I J 4 J J I J J 4 4 I 4 4 I I. ir kai arcsin 4 I, 3 : :, H I 12

13 Jei (3, H, O), o 3, H ir O priklauso nuo kintamųjų ir tai: 4 4 I 4 4 I I P I P P. Jei (, 3, H), o 3 3, H H(), tai turime tik kintamojo funkciją. Jos (pilnoji) išvestinė: Pvz. Raskite Q QR Sudėtinės funkcijos ir jų diferencijavimas Q Q Q Q4 Q 4 Q I P QI Q4 Q 4 Q I 4I jei, 3 cos (%), H ln %: R QI Q. 13

14 Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją S(, ), kuri plokštumoje * reiškia tam tikrą kreivę. Norėdami išreikšti kintamojo atžvilgiu turime išspręsti lygtį S, 0 kintamojo atžvilgiu. Sakome, kad lygtis S, 0nusako neišreikštinę funkciją. Kadangi ()lygties S, 0sprendinys, tai S, 0. Diferencijuokime abi šios lygybės puses: arba Pvz. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas S S Q Q 0 Q V U Q U V # Raskime Q Q, kai WX 0 14

15 Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas Tegul trijų kintamųjų funkcija S(,, )turi tolydžias išvestines S, S ir S tam tikroje taško (,, )aplinkoje, be to S (,, ) 0. Tuomet funkcijos dalinės išvestinės bus V U U Y V ir U V # UV Y Pvz. Raskime ir, kai ln WX Z[\ () : 15

16 Funkcijos (, )dalinės išvestinės ir yra naujos kintamųjų ir funkcijos, kurios gali turėti dalines to paties arba kito kintamojo atžvilgiu išvestines. Jos bus antrosios pradinės funkcijos dalinės išvestinės. Antros eilės dalinės išvetinės: ] ] Aukštesnių eilių dalinės išvestinės, ], ] ], ] arba atitinkamai,,, Analogiškai apibrėžiamos trečios ir aukštesnių eilių išvestinės. Išvestinės kelių kintamųjų atžvilgiu vadinamos mišriosiomis. 16

17 Teorema.Jei taško (, )aplinkoje egzistuoja funkcijos (, )dalinės išvestinės,, ir, o jos mišriosios išvestinės ir dar ir tolydžios taške, tai tame taške Iš čia išplaukia, jei mišriosios išvestinės tolydžios tai jos ir lygios. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės ^ _ ^`_ir ^ ^` yra 17

18 Tegul funkcija (, )turi tolydžias aukštesniųjų eilių dalines išvestines. Tuomet funkcijos pirmasis diferencialas yra nauja kintamųjų ir funkcija. Vadinasi, galima nagrinėti funkcijos diferencialo 0pilnąjį diferencialą 0 0, kurį vadiname antrosios eilės diferencialu. Žymimas 0 : d dz. 0 : 0 0 (Q) Aukštesnių eilių diferencialai 0 Q ] 0 ] 0 0 ] 0 ] ] ] 0 0 Pažymėję : ir : : ] ] 0: 2 ] 00 ] ] 0: 18