2.4.3 Stabilita spojitých lineárnych sústav

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.4.3 Stabilita spojitých lineárnych sústav"

Transcript

1 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP.4.3 Sbili pojiých lieárch úv Sbili je zákldo o j keď epočjúco podmiek právej čioi fkcie reglčých obvodov. glčý obvod je v rovovážom ve v rovováhe, keď emeí reglová veliči čom. Pod pojmom bili rozmieme vloť reglovej úv lebo reglčého obvod vráiť do rovovážeho v, keď kočí pôobeie porch, korá vviedl obvod z pôvodého rovovážeho v. glčý pochod v lieárch reglčých obvodoch košými prmermi je popíý lieáro difereciálo rovico -ého rád príkld v ledjúcom vre :..., 9 kde je reglová veliči lebo jej odchýlk od židej hodo, je bdic fkci závií od drh vokjšej porch mie jej vp do reglčého obvod, pričom koeficie ejo difereciálej rovice,,..., mi bť reále číl. Po Lplceovej rformácii ejo difereciálej rovice po ozčeí preo reglovej úv F, je Lplceov obrz reglovej veliči dý výrzom : Y F U L kde L je operáor rčeý počiočými podmiekmi. Po päej Lplceovej rformácii predošlej rovice doeme jej origiál v čovej obli :, [ F U L ], L h p 9 kde p je vúeá zložk reglovej veliči, je o prikláre riešeie ehomogéej difereciálej rovice, závilé od jej prvej r. Výrz h predvje všeobecé riešeie homogéej lieárej difereciálej rovice bez prvej r chrkerizje chovie reglovej veliči v prechodovom ve. glčý obvod je bilý, keď rúcim čom všeobecé riešeie h blíži k le,.j. keď v obvode áli vúeý v p, ed keď plí : lim h p. 93 eď rúcim čom j h eobmedzee rie : lim h zývme ký obvod ebilým. eď rúcim čom hodo h i eobmedzee erie, i ekovergje k le, je obvod hrici medzi bili., Sbili reglčých obvodov podľ koreňov chrkeriickej rovice Riešeie homogéej lieárej difereciálej rovice môžeme píť v vre : h kde,,..., ú koree chrkeriickej rovice C, C,..., C ú iegrčé koš. i C i e i 95 Už vedeá podmiek bili bde pleá, k všek čle predošlej m bdú čom blížiť k le. o e le v prípde, keď všek koree chrkeriickej rovice bdú záporé. No eóri omického ridei 45/

2 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP le epočjúco podmieko oho je, b všek koeficie,,..., boli kldé. Pre do hodo dv je o j počjúc podmiek. Ak chrkeriická rovic má j komplexe zdržeé koree, riešeie je v vre : h i k Ci e Ck e co k Φ k i k kde prvá m je účom všekých expoeciálch - periodických dejov drhá m je účom všekých lmeých hrmoických dejov k reále či komplexe zdržeých koreňov ú záporé. ed obvod je bilý ved le ved, k ú všek reále koree chrkeriickej rovice záporé lebo komplexe zdržeé o záporo reálo čťo. Výk hoci le jediého kldého reáleho koreň lebo hoci jediej dvojice komplexe zdržeých koreňov kldo reálo čťo iglizje, že obvod je ebilý. Pri výke dvojice zdržeých rýdzo imgiárch koreňov je obvod medzi bili, pokiľ ié koree epôobjú jeho ebili. 96 e bilá oblť x ebilá oblť > < x e i > 3 medz bili < Obr. 7 : p koreňov prechodových dejov Príkld 7 : Predpokldjme, že reglčý obvod je popíý ledjúco výledo preoovo difereciálo rovico : 3 97 Úloho je poúdiť bili oho reglčého obvod podľ koreňov chrkeriickej rovice. Riešeie : Chrkeriická rovic má vr : 3 98 jej koree ú - -. eďže všek koree chrkeriickej rovice ú reále záporé, dý reglčý obvod je bilý. U zložiých émov je ziťovie koreňov doť obižé, preo v reglčej echike požívjú eprime meód podzovi bili, koré vchádzjú bď z chrkeriickej rovice zv. lické kriériá bili lebo z frekvečej chrkeriik. eóri omického ridei 46/

3 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP.4.3. Hrwizovo kriérim bili Vchádz z koeficieov chrkeriickej rovice zvreého reglčého obvod : Obvod je bilý, keď :. Všek koeficie chrkeriickej rovice ú kldé i jede z koeficieov ž echýb. o je á hoci ie vžd počjúc podmiek.. Hrwizov kráeý deermi H všek jeho hlvé bdeermi H i ú väčšie ko l. O doočoi všerovi kráeého bdeermi prevedčíme rozvojom hlvého deermi, preože > oé koeficie ú lové. 3. Ak iekorý deermi H i, obvod je medzi bili. Hrwizov kráeý deermi H zovíme z koeficieov ž chrkeriickej rovice zvreého reglčého obvod ledove :. o hlvej digoál kráeého Hrwizovho deermi H píšeme koeficie chrkeriickej rovice od - ž.. Sĺpce d digoálo pod ňo doplíme koeficiemi k, b pol koeficiemi v hlvej digoále vvárli zhor dol popoť koeficieov rjúcimi idexmi. N mie, pre koré ž eexijú koeficie, píšeme l. H, H L 3 L, H 3 L H Hrwizov deermi môžeme vvoriť j k, že bde oočeý okolo hlvej digoál. Výpoče Hrwizových deermiov všších pňov môže bť bez dopoi vhodých počíčových progrmov doť zdĺhvý. V prxi požív j podobé Roh - Schrovo kriérim. Príkld 8 : Pomoco Hrwizovho kriéri bili všerie bili reglčého obvod popíého homogéo lieáro difereciálo rovico ledjúceho vr : Riešeie : ejo homogéej lieárej difereciálej rovici prilúch ledjúc chrkeriická rovic : Ako je vidieť, všek koeficie 3 ž ú kldé, ed je pleá á podmiek pre bili obvod. Pre prekúmie počjúcej podmiek zovíme Hrwizov deermi H 3 jeho hlvé bdeermi H H : 3 eóri omického ridei 47/

4 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP H 4 >, H 4 >, H 3 6 > Preože j všek Hrwizove bdeermi ú kldé, eo obvod je bilý Frekvečé kriériá bili Chovie celého reglčého obvod Obr. 8 je dé vloťmi všekých blokov, koré obhje reglová úv, regláor,... j vloťmi igálov, koré vpjú do obvod z vok porch, ridic veliči. Z W - E F R U F S Y Obr. 8 : Späoväzobý reglčý obvod dvom vpmi jedým výpom Z U F S F R Y E Y i - W Obr. 9 : Späoväzobý reglčý obvod preršeo päo väzbo Pre preo ridicej veliči W kého reglčého obvod jedokovým zikom v päej väzbe Obr. 8 plí : F W Y FR FS. 34 W F F Podobe preo porch Z, vžovej vpe rideej úv podobe j pre porch výpe, plí : F Z R S Y FS. 35 Z F F Ako je možé vidieť z poledých dvoch rovíc, chrkeriická rovic reglčého obvod pre preo ridei j pre preo porch je v oboch prípdoch rovká. ed v ďlšom počí vžovť le jed. R S eóri omického ridei 48/

5 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Nqiovo kriérim bili - formlovl Nqi v rok 93 pre zoilňovče o päo väzbo. Zoberá všerovím bili päoväzobých obvodov záklde vloí frekvečej chrkeriik rozpojeého päoväzobého obvod, korú je možé zíkť lick lebo experimeále. Ak päoväzobý obvod rozpojíme Obr. 9 vp regláor pripojíme hrmoický igál.i, výpý igál bde iež hrmoický rovko frekvecio le fázove poý poom regláore j úve. Pri rčiej frekvecii bde po o 8, ked dochádz k zmee záporej päej väzb kldú. Po o ďlších 8 robí zmiešvč, ed výledý po je o 36 rep.. Ak hrmoický igál odpojíme obvod opäť zvrieme, bde ďlej kmiť. Pre rčeie bili zvreého reglčého obvod je dôležié ziiť, kú bolú hodo má preo ovoreého obvod F R i k F S i k. Ak pri jedokovej vpej mpliúde bde mť frekvečá chrkeriik pri prechode cez záporú reál poloo ked je fázový po o 8 mpliúd meši ko jed väčši ko jed, lebo rovú jedej, bde zvreý reglčý obvod bilý ebilý, hrici bili. oree chrkeriickej rovice zvreého reglčého obvod pre preo porch lebo ridei : FR FS F F mi bť záporé lebo mť záporé reále či komplexe zdržeých koreňov, ed mi ležť vľvo od imgiárej oi. Ak rformjeme rovi koreňov "" Obr. 7 opäť do komplexej rovi "F " podľ fkcie obrzového preo rozpojeého obvod F, všek koree chrkeriickej rovice z rovi "" v rovie "F " zobrzi do bod, i, ed do zv. kriického bod F imgiár o zobrzí z rovi "" do rovi "F " ko moži bodov krivk F if R if S i pre od - do, pre poúdeie bili čí vžovť frekvecie od do. ed imgiár o zobrzí ko frekvečá chrkeriik rozpojeého reglčého obvod Obr.. Uzvreý reglčý obvod je bilý ved, k kriický bod, i leží vľvo od frekvečej chrkeriik rozpojeého obvod, k po ej popjeme v mere rúcej frekvecie, keď kriický bod leží mimo ploch ohričeej frekvečo chrkeriiko F i kldo reálo oo. eď rozpojeý obvod je ický, frekvečá chrkeriik ezčí kldej reálej oi, doplíme ohričjúc krivk oblúkom zčíjúcim kldej reálej oi pokrčjúcim v záporom zmle ž po zčiok frekvečej chrkeriik. Fi k F - bilý obvod k k k obvod hr. b. ebilý obvod Obr. : Podzovie bili podľ Nqiovej frekvečej chrkeriik Podobe je možé formlovť kriérim bili päoväzobého reglčého obvod j podľ logrimickej frekvečej chrkeriik, viď pr. [46], [47], [5], [56], [4], [43], [9] pod. eóri omického ridei 49/

6 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Alýz bili pojiých émov v vovom prieore Meód vového prieor viď kpiol. vchádz z geomerickej kvliívej eórie difereciálch rovíc je zložeá eoreických prácch frcúzkeho memik H. Poicré. áo meód je požieľá pre lieáre úv opíé úvo koických difereciálch rovíc. Je rovko dobre požieľá j pre elieáre úv po jej vhodej modifikácii je požieľá j pre úv obhjúce pické elieri. Ako ž bolo vedeé, dôležiým pekom émov je ich bili. Sém je bilý, k jeho odozv pre ohričeé zčiočé podmiek, lebo pre ohričeé vpé veliči, erie bez ohričei. ocep bili má veľký prkický výzm. Nebilý ém je ekcepoveľý. Sbili je možé podzovť j bez lického riešei rovíc dmik, čo má veľký výzm pre prípd elieárch émov. Mjme ém : dx f x,,, x x. 36 d Sém, korý je opíý oo rovico, zýv bdeý ém, preože prvej re rovice objvje vekor vpých veličí. Pre kúmie problémov bili je dôležiý voľý ém. Voľý ém je dý rovico : dx f x,, x x. 37 d V ejo rovici eobjvje, čo zodpovedá v reálom procee košým hodoám vpých veličí. Ak č objvje v rovicich dmik explicie ko rgme f, poom jedá o eoóm ém. Nopk, k č eobjvje v rovici dmik, poom hovoríme o oómom éme. V úvhách o bilie ém popíého rovico 37 bdeme zoberť bilio pohb x, korý zodpovedá košým hodoám vpých veličí. Z účelom kúmi ejo bili pozorjme ľbovoľé riešeie pohb bdeého ém x, koré je v če v blízkoi x. Problém bili úvií oázko, či rúcim čom > x oáv v blízkoi x. Ak bdeme defiovť : ~ x x x, 38 poom plí : ~ dx dx ~ f x x,,, d d dx~ ~ f x x,, f x,, d dx~ ~ f x~,,. 39 d Riešeie x zodpovedá v ejo rovici pre všek vzťh x ~. iež plí x ~ &, preo v v vovom prieore, pre korý plí x ~, zývme rovovážm vom ém 39. Preože áo rovic dá vžd košrovť, bili rovovážeho v môže bť ierpreová ko bili rovovážeho v v zčik vového prieor. vrdei o bilie, koré v ďlšom vedieme, pli pre eoóme ém. Vzhľdom k om, že v proceových plikáciách ú eoóme ém zriedkvoťo vzhľdom vššie vedeé úvh o rovovážom ve v ďlšom výklde obmedzíme ém : dx f x, x x. 3 d Rovováž v x e oho ém vhovje rovici : preože v omo ve plí dx/d. f, 3 eóri omického ridei 5/

7 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Bdeme predpokldť, že riešeie rovice 3 exije je jedié. Sbili môžeme iiíve defiovť ledove : Ak x e je rovováž v ém 3, poom môžeme povedť, že x e je bilý rovováž v, k riešeie rovice 3 x x[ x, ], koré zčí v ejkom ve x blízkom rovovážeho v x e zoe blízko rovovážeho v x e, lebo k em približje. Rovováž v x e je ebilý, k riešeie x x[ x, ] zčíjúce v ejkom ve x vzďľje od rovovážeho v x e. V ďlšom vedieme defiície bili v Ljpovovom zmle, mpoickej bili mpoickej bili vo veľkom. efiíci bili v Ljpovovom zmle : Sém 3 je bilý v rovovážom ve x e rovováž v x e ém 3 je bilý v Ljpovovom zmle, k pre kždé reále čílo ε > exije ié reále čílo δε > ké, že pre všek x, pre koré plí x δ, je podmiek x[ x, ] ε pleá pre všek. efiíci mpoickej vúorej bili : Sém 3 je mpoick bilý v rovovážom ve x e, k je bilý v Ljpovom zmle k pre všek x x[ x, ], koré zčíjú dooče blízko od rovovážeho v x e, plí lim x. efiíci mpoickej bili vo veľkom : Sém 3 je mpoick bilý vo veľkom v rovovážom ve x e, k je mpoick bilý pre všek zčiočé v x. Vo vššie vedeých defiíciách me požili ozčeie x. Jedá o ozčeie Eklidovej orm x vekor x, korá rčje vzdileoť bod rčeého vekorom vových veličí od rovovážeho v x e pomoco dĺžk vového vekor x x x /. Pozámk : Norm vekor je ejká fkci, korá prirďje kždém vekor x R reále čílo x, koré pĺň ledové podmiek:. x,. x ved le ved x, 3. kx k x pre ľbovoľé reále čílo k, 4. x x pre ľbovoľé x, z dého prieor. Príkld orm vekor : x x x /, x Σ i x i, x mx x i. N príklde dĺžk vového vekor x,.j. príklde orm x x x /, i môžeme ľhko overiť, že ú pre úo orm pleé všek vloi -4. Ljpovov eóri bili predpokldá exieci Ljpovovej fkcie Vx. O fkcii Vx, korá je pojiá má pojié prciále derivácie hovoríme, že je klde defiiá v ejkom okolí zčik vového prieor k : V, 3 V x >, 33 pre všek x v okolí. Ak podmiek 33 hrdíme podmieko : V x, 34 pre všek x, poom Vx je klde emidefiiá. Ak zmeíme v predchádzjúcich erovoich zk väčší z zk meší, poom hovoríme, že fkci Vx je zápore defiiá zápore emidefiiá. Ak kúmme ém dx/d fx rovovážm vom v zčik vového prieor,.j. plí f, poom záklde rôzch defiícií bili môžeme vieť ve o bilie. Ve o bilie v Ljpovovom zmle: Ak klde defiiá fkci Vx môže bť rčeá k, že dv d V f x x poom je ém bilý v zčik v Ljpovovom zmle. Fkci Vx, korá pĺň podmiek predošlej ve o bilie v Ljpovovom zmle, zýv Ljpovov fkci., 35 eóri omického ridei 5/

8 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Ve o mpoickej bilie : Ak klde defiiá fkci Vx môže bť ájdeá k, že : dv d V f x <, x, x poom je ém mpoick bilý v zčik. Ve o mpoickej bilie vo veľkom : Ak ú pleé podmiek ve o mpoickej bilie pre všek x k plí Vx pre x, poom ém je mpoick bilý v zčik. Všeobecý predpi pre košrkci Ljpovových fkcií eexije. Ljpovov fkci pre dý ém eexije jediá. Ljpovov fkci čo volí v vre : 36 V x k r rk ú reále koš, pričom rk kr, poom predchádzjúc rovic môžeme píť : V x x x, rk x k x r kde je merická mic. Vx je klde defiiá, k bdeermi : 3,, 3, 39 ú väčšie ko l. Ve o mpoickej bilie lieárch émov: Lieár ém : dx Ax, 3 d je mpoick bilý vo veľkom v zčik ved le ved, k plí jed z ledových vloí :. Ljpovov rovic : A A µ, 3 ľbovoľo mericko klde defii mico µ má jedié merické klde defiié riešeie.. všek vlé hodo mice ém A,.j. všek koree chrkeriického polóm de I - A mjú rike záporé reále či.j. leži v ovoreej ľvej polrovie komplexej rovi. ôkz: Ukážeme ploť či ve, korá hovorí o doočej podmieke bili. Mjme Ljpovov fkci v vre : V x x x, 3 k je klde defiiá, poom : V x >, x, 33 V, 34 dv/d bde : dv x d x x x x o ejo rovice dodíme dx/d z rovice 3 poom : dv x x A x x d A x, 36 dv x x A d A x eóri omického ridei 5/

9 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Požiím rovice 3 doeme : dv x x µ x. 38 d Preože µ je klde defiiá mic : dv x <, 39 d pre všek x, preo je ém mpoick bilý v zčik. Ljpovov fkci môžeme píť: preo : V x x, 33 V x pre x, 33 pričom zodpovedjúc orm je dá výrzom x x /. á jedodcho dokázť, že exije. Všek podmiek ve o mpoickej bilie vo veľkom v zčik ú pleé. Čť ve evhoť je oveľ ťžšie dokázť. Z výpočového hľdik mic µ volí : µ I Poúdeie bili úv drhého rád v vovom prieore Meód vového prieor je možé požiť všeobece pre úv -koických difereciálch rovíc, z korých kždá vždje jed úrdic vového prieor. Vzhľdom o, že áo meód opier o geomerický ázor, je jej požiie pre úv prvého rád jedodché. Hlvo oblťo jej požii ú rovice pre úv drhého rád, vedúce všerovie vo fázovej rovie. Je požieľá j pre úv reieho rád, le ž vždjú prieorové geomerické košrkcie. Jej prkické požiie pre rovice vššieho ko reieho rád ž ráž zčé ťžkoi. Predpokldjme dý fzikál ém, korý je popíý všeobeco lieáro lebo elieáro difereciálo rovico v vre : Y, ', '',..., F, ', ' ',..., m, 333 kde je veliči, korej priebeh máme rčiť, je dá fkci predvjúc igál, korým je obvod bdeý, Y, F ú fkcie vo všeobecoi j elieáre. Z eórie difereciálch rovíc je záme, že difereciál rovic -ého rád môžeme hrdiť úvo -difereciálch rovíc prvého rád : d d d d d d f f f,,,,...,,...,,..., kde,, 3,..., -. Po vedeej biúcii bdú hodo,,..., hľdé čové fkcie, pričom môže zmeť reglovú veliči,..., pomocé premeé. ieo premeé môž mť rôz fzikál výzm. V predošlom vedeú úv difereciálch rovíc môžeme iež geomerick zázoriť, k bdeme premeé,,..., povžovť z úrdice ejkého bod M v -rozmerom prieore. ždém bod oho prieor zodpovedá rčiý v lebo fáz úv. Preo ký prieor zýv iele vový prieor le j fázový prieor. Poledé ozčeie požív hlve v elieárch émoch.,,,,,, 334 eóri omického ridei 53/

10 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Npríkld pre obvod popíé difereciálo rovico drhého rád doeme dvojrozmerý fázový prieor fázovú rovi. Jej úrdé oi ú,,. eď meí č, opije bod M krivk, korú zývme fázová rjekóri. Fázová rjekóri je ed geomerickým zázoreím dmického chovi obvod. Smer rýchloť pohb bod M zpjúceho bod rčje fázová rýchloť. Je o vekor, korého zložk v úrdých oich ú : d d d, d d,, 335 d V prípde fázovej rovi bde ed fázová rýchloť dá zložkmi : ed d d d ', '', 336 d v i ' j '', 337 Súhr rjekórií prechádzjúcich cez všek bod -rozmerého prieor vvár fázový porré riešei. ým fázová rjekóri podáv úplý obrz o jedom kokréom riešeí úv rovíc, fázový porré riešei podáv úplý obrz vloí všeobecého riešei dej úv koických rovíc. V oómej koickej úve difereciálch rovíc : d i fi,,...,, 338 d môže pri všeroví fázovej rjekórie v priemei h, j : d d j h f j,,...,, 339 f,,..., h ť prípd, že v iekorom bode fázového prieor obe fkcie f j f h limie blíži k le. Hodo merice fázovej rjekórie áv erčio prílšý bod zýv iglár bod riešei difereciálej rovice. V iglárom bode eplí vrdeie, že ím mí prechádzť jediá rjekóri. Pre koickú úv difereciálch rovíc v bičom vre pre všeobece elieár úv drhého rád : d d d d, f,, 34 rči igláre bod z podmieok : f,,. 34 Sigláre bod mi ed ležť oi, ich poče môže bť koečý le j ekoečý. Pre bližšie vveleie vžjme reglčý obvod drhého rád, korého chovie môže zázoriť vo fázovej rovie. Pre lieár oóm obvod vžjme difereciál rovic lzovú v podkpiole.4..6 v ledjúcom vre : ' ' c '. 34 eóri omického ridei 54/

11 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP oree jej chrkeriickej rovice ú : [ c ± i c ]. c ± i c. 343, rčjú chrker priebeh, korý môže bť prelmeý, kriick lmeý, kmivý lmeý lebo elmeý. Vo fázovej rovie odpovedjú kýmo priebehom chrkeriické vr rjekórií. Môžeme ich odvodiť podľ koickej úv difereciálch rovíc : d d d d, c, 344 lebo podľ rovice : d d c. 345 Pre riešeie vo fázovej rovie pozáme iekoľko pických vrov fázových rjekórií. Alzové prípd ú grfick zobrzeé Obr., Obr. porové riešeím v čovej obli. Plí pre ich :. Nelmeé kmi, pre c, ú zázoreé fázovými rjekórimi v vre zvreých elipických kriviek dý fázový porré ozčje ko red.. lmeé kmi pre <c<, >, c <. oree chrkeriickej rovice ú komplexe zdržeé o záporými reálmi čťmi. Fázové rjekórie ú špirál, koré mpoick blíži k počik úrdicového ém dý fázový porré ozčje ko bilé ohiko. 3. Nrjúce elmeé kmi pre -<c<, >, c <. oree chrkeriickej rovice ú komplexe zdržeé kldými reálmi čťmi. Fázové rjekórie ú opäť špirál, koré vzdiľjú od počik úrdicového ém dý fázový porré ozčje ko ebilé ohiko. 4. Aperiodický lmeý priebeh pre c>, >, c >. oree chrkeriickej rovice ú reále záporé jedodché lebo dvojáobé. Fázové rjekórie blíži k počik úrdicového ém dý fázový porré ozčje ko bilý zol. 5. Aperiodický elmeý priebeh pre c<-, >, c >. oree chrkeriickej rovice ú reále kldé jedodché lebo dvojáobé. Fázové rjekórie vzdiľjú od počik úrdicového ém dý fázový porré ozčje ko ebilý zol. 6. Aperiodický priebeh pri reálch koreňoch rôzmi zmiekmi. Fázový porré ozčje ko edlo. 7. Ak koree chrkeriickej rovice ú reále, pričom jede je lový, poom fázový porré ozčje ko epodá iglri bilá, k drhý reál koreň je záporý, lebo epodá iglri ebilá, k drhý reál koreň je kldý. Pre porovie priebeh riešei vo fázovej rovie riešeím v čovej obli je é dodť, že Obr. Obr. ú zobrzeé priebeh riešei v čovej obli le pre jed počiočé podmiek, kým riešeie vo fázovej rovie je zobrzeé pre vic rôzch počiočých podmieok. Poom príkld riešeie v čovej obli pre ebilú epodú iglri Obr. môže mť pri iých počiočých podmiekch j kvliíve iý priebeh. Vzhľdom fk, že lické riešeie je riviále, môže i čieľ oo vrdeie ľhko overiť. eóri omického ridei 55/

12 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Siglár bod oree chrkeriickej rovice Čový priebeh Fázová rjekóri x x Sred x x Sbilé ohiko x x x x Nebilé ohiko x x x x Sbilý zol x x x x x x x x Nebilý zol x x x x x x x x Obr. : Fázové rjekórie úv drhého rád - eóri omického ridei 56/

13 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Siglár bod oree chrkeriickej rovice Čový priebeh Fázová rjekóri x x x Sedlo x x x x x Sbilý zol x, x x x x Nebilý zol x, x x x x Nepodá iglri bilá x x x x x x Nepodá iglri ebilá x x x x x x Obr. : Fázové rjekórie úv drhého rád - b eóri omického ridei 57/

14 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP.4.4 Séz regláorov Globále požidvk kvli ridiceho obvod, ko je príkld šereie eergio, rýchloť priebeh celého proce, kvliíve prmere výpej veliči, ekologické hľdiká pod., erieši úrovi ávrh regláor le mi zohľdiť príkld v ávrh rjekórií ridei pod. Pre ávrh regláor je podé chovie obvod v prechodovom deji. Občje oceňjeme prechodový dej podľ priebeh výpej veliči pri jedokovom kok vpej veliči, preože je o jede z jeprizivejších prípdov, korý mí reglčý obvod zvládť. Podmiek bili je priom podmieko o, ie všk počjúco podmieko pre práv čioť reglčého obvod. Pod ézo reglčého obvod rozmieme :. ávrh šrkúr regláor. ávrh prmerov regláor. Séz reglčého obvod je možé robiť iekoľkými meódmi. Podľ oho, z kých pricípov úviloí vchádz meodik výpoč, hovoríme o ledjúcich meódch : frekvečé meód, meód zložeé koreňoch chrkeriickej rovice, meód zložeé koeficieoch chrkeriickej rovice, šiické empirické meód výpoč, meód vžívjúce podporé progrmové proriedk. Meód éz ú záme j pod iekorými ázvmi, pr. : meód domiých koreňov, meód opimáleho modl, meód šdrých vrov, meód merického opim, Nliov meód, meód koreňových rjekórií, meód zložeá iegrálch reglčých plochách pod riériá kvli reglčého pochod vli prechodového dej môžeme chrkerizovť rôze, jčejšie j chrkerizjeme podľ priebeh prechodovej chrkeriik, korú hodoíme podľ ýcho kpí kriérií : mpoické kriériá, globále kriériá, lokále kriériá. Ampoické kriériá kvli - podzjú reglčý pochod pri veľmi veľkých hodoách č. Zákldým mpoickým kriériom je bili ém. rhým dôležiým mpoickým kriériom je ický preo ém lebo áleá hodo rčí záklde ve o koečej hodoe : lim lim lim F Y lim, F pre U Globále kriériá kvli - košjú exieci lebo eexieci iej chrkeriickej čr dmického proce. Ide pr. o mooóoť, kmivoť, periodičoť, ď. Prí k im j kriérim reglčá ploch - lieár pre dmické deje periodické, lebo bolú kvdrická pre deje periodické pre pre memickým vjdreím 347 grfickým Obr P P zl wl [ ] [ ] d, Pw d, Pwk [ ] d, P z d, P zk d d 347 eóri omického ridei 58/

15 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP - Obr. 3 : glčé ploch N Obr. 3 môžeme chápť priebeh v prvom ĺpci ko periodické odozv v drhom ĺpci ko periodické odozv reglovej úv, pričom horé priebeh ú odozv porchovú veliči z dolé priebeh ú odozv ridic veliči w. Ideál odozv reglčého obvod vzhľdom porchovú veliči z b ml bť lová ideál odozv reglčého obvod vzhľdom ridic veliči w b ml rovť ridicej veličie, ed prechodová chrkeriik b ml bť ko úv lého rád Obr. 78. o všk vzhľdom reále čové koš reglovej úv ie je možé k ideálm odozvám miimálmi reglčými plochmi le žíme priblížiť. δ mx δ mx mx reg Obr. 4 : Lokále kriériá kvli Ďlším pom ú lokále kriériá kvli. Určjú z prechodovej chrkeriik. Prí k im jmä : - prereglovie je o mximál hodo prekmi d áleú hodo : mx δ mx. [%], 348 eóri omického ridei 59/

16 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP kde mx je prvá mpliúd doihá v če mx pre periodické deje, - rýchloť reglácie je o č prvého mxim prechodovej chrkeriik preregllovi mx, ed mx mx, - dob reglácie reg - je dob, po korej klee rozdiel medzi hodoo prechodovej chrkeriik áleo hodoo pod dohodú hodo δ, občje 5%, %, % áleej veliči reg > m, ed plí reg δ, - dob prieťh, dob ábeh dob prechod p, koré je možé rčiť z prieečíkov dočice v iflexom bode, ko je o vedeé pr. v či.3... N záklde dob reglácie reg židej hodo w reglovej veliči môžeme vpočíť ploch pod ideálo prechodovo chrkeriiko w reg poom vjdriť reglčú ploch relíve, pr. : Pwl P wl %., [%], 349 w reg Uvedeé kriériá kvli reglčých pochodov ám lúži pri opimlizácii ávrh regláorov. mické pochod v zvreom reglčom obvode ú ovplvňové preoovými vloťmi úv F S j regláor F R. Preoové vloi úv meiť edjú, le djú meiť preoové vloi regláor, ým j celého reglčého obvod. Šrkúr prmere regláor vrheme k, b reglčé pochod reglovej úv kýmo regláorom zbezpečili zvoleé hodo prílšého kriéri miimál reglčá ploch, jkrši dob reglácie, rvlá reglčá odchýlk, mier bili,.... Nieked vedeé kriériá delíme le dve kpi, koré hovori o preoi reglácie o rýchloi reglácie. Výber kokréch kriérií je čo ovplveý j drhom reglovej úv. Je príkld záme, že dob reglácie doihe krši, k pripíme kmivý prechodový dej. o iekorých úv, ko je príkld rideie eplo ohrievcej pece, ie je vôbec závd. U iých úv, ko pr. rideie po obrábcieho ároj v úrh, vzhľdom ú účť prereglovi kého dej úple eprípé Zákldé p vloi úredých reglčých čleov Ako ž bolo vedeé, regláor je zrideie, pomoco korého kočňjeme močiú regláci reglových úv. Spol vori zvreý reglčý obvod Obr., Obr. 7, Obr. 48, Obr. 57, Obr. 8, v korom výpá veliči z reglovej úv je vpo veličio do regláor výpá veliči z regláor je vpo veličio do reglovej úv. V širšom zmle pod ázov regláor zhrňjeme všek prvk vorice reglčý obvod okrem reglovej úv Obr.. Ide hlve o ímče, prevodík, porovávcie čle, úredé reglčé čle, rozvod, poho, kčé orgá pod. Njväčší vplv priebeh reglčého pochod mjú preoové vloi reglových úv úredých reglčých čleov. Pri ávrh reglácie je ed porebé pozť preoové vloi reglovej úv podľ ich voliť p veie regláor. Užiočé pri om môž bť j iekoré prióre pozk pre jedolivé p reglových úv : Sické reglové úv lého rád emjú žide pozdeie. Vkjú zriedkvo. Príkldom môže bť odporová záťž bilizáor.j. regláor päi päi. zväčšei odoloi proi rozkmii ýcho úv melo zvádz zorvčoť vo forme elekrolického kodezáor. b Zorvčé úv prvého rád regljú veľmi dobre košú hodo reglovej veliči, ie ú áchlé kmiie ú málo cilivé kráko rvjúce porch. Mjú jväčši chopoť oreglácie zo všekých pov úv. ieo jedokpcié úv ú pické pre regláci eplo meších pecí, pre regláci oáčok moorov lebo lk plov. c Súv všších rádov lmíme, b me polčili ich kmiie. Veľké fázové po, pôobeé úvmi všších rádov, veľmi ťžjú regláci, lebo edovoľjú zvedeie ilej záporej päej väzb, lebo á pri celkovom fázovom poe 8 meí kldú päú väzb. Ak ú pleé podmiek vzik ocilácií, reglčý obvod rozkmiá. eóri omického ridei 6/

17 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Príkldom pojei kpcí rôzeho chrker je ťžké koleo, korého oáčk ú reglové ervomoorom cez dlhý, relíve lbý poddjý hrideľ. U veľkých pecí moho výmrovko z plňje epelý odpor výmrovk rozložeý v celom objeme epelo kpcio výmrovk podobe ko elekrické zorvčé čle RC zpojeé vo veľkom poče z ebo. ká pec má chrker kmivého čle vššieho rád. Čím je rád úv všší, ým je obižejši jej regláci. Ak rčíme z prechodovej chrkeriik úv hodo dob prieťh dob ábeh viď podkpiol.3..,.4., poom ich pomer iformíve chrkerizje obižoť reglácie kýcho úv : /, - dobre regloveľé, /,7 - eše regloveľé, /,33 - ťžko regloveľé. V prxi preo zmešjeme dob prieťh, pr. cirklácio vzdch lebo mieším ohrievej eki, prípde zväčšeím dob ábeh pr. zväčšovím objem iezíve miešej eki. Eše horšie regljú úv doprvým oekoreím d,. Pre zorvčé čle prvého rád čovo košo môžeme pomer d / dodiť do vššie vedeých vzťhov mieo /, b me i robili približú predv o obižoi reglácie. ovoľje o podoboť prechodových chrkeriík oboch úv. V prxi žíme zmešiť doprvé oekoreie miimm pokiľ je o možé, zväčšiť zorvčoť úv k, b jej čová koš bol oveľ väčši ko doprvé oekoreie. d Rýdz derivčá úv v omizčej echike evkje. Výp eoreickej derivčej úv vrci ám lovú hodo, regláor môže eo ávr le rýchliť. Ako príkld z ízkofrekvečej echik b me mohli požiť reprodkorovú úv pripojeú k výp komplemeáreho dvojčiého rziorového zoilňovč cez väzbový kodezáor, pričom záporá päá väzb je odvodeá od päi moých reprodkoroch, ed ž z kodezáorom. glčá chopoť záporej päej väzb v omo prípd eplí pre jedomerý igál ed pre bilizáci prcového bod pre riedvý igál ízkeho kmioč. e Aické reglové úv ú ké úv, korých pri košej zmee kčej veliči ich vpe reglová veliči ich výpe rvlo kleá lebo úp. V ich difereciálch rovicich chýbjú čle lo derivácio. Podľ poč lových koeficieov jižšími idexmi hovoríme j o pi izm úv. gljú pomere obiže, šťie vkjú zriedkvo. Príkldom ickej úv prvého rád môže bť clidrická ádrž, podobá ko Obr. 9, le le jedým košým príokom ko vpo veličio výško hldi ko výpo veličio príkld odokom v de ádob lebo bez odok. Pri košom príok je v iervle po pleie ádrže výšk hldi lieáro fkcio č. Ak príok rová odok, hldi áli košej hodoe, iáč úp lebo kleá ž po pleie lebo vprázdeie ádrže. Aické úv ed emjú chopoť áliť rčiej hodoe. Chýb im zv. oreglčá chopoť. Obižoť ich reglácie eše zväčšje, k v úv úče plňje j dob prieťh lebo doprvé oekoreie. V ďlšej či zmerime úredé reglčé čle čo ozčové j ko regláor v žšom zmle, o jmä z hľdik ich dmického prcovi reglčých odchýlok. Úloho úredých reglčých čleov je vhodým pôobom prcovť do ich vpjúc reglčú odchýlk k, b výpá veliči pôobil čo jprizivejší záh vpe do úv z hľdik priebeh reglovej veliči. gláor môžeme deliť do kpí podľ rôzch hľdík : Podľ drh eergie koro prcjú : mechické, pemické, hdrlické elekrické regláor. Elekrické regláor požívjú pájie elekrickú eergi. glčé ém, koré vžívli rôze elekrické roje dmá, moor, očivé mgeické zoilňovč pod. ú ž de prekoé. e ú veľmi rozšíreé elekroické regláor, koré vžívjú jmoderejšie polovodičové účik rzior, rior, rik, iegrové obvod pod.. Ib kčé čle ú elekromechické elekromge, elekromgeické veil, ervomoor. Njväčšo výhodo elekroických regláorov je voká kvli reglácie voká preoť rýchloť, mlé rozmer mlá hmooť, voká eergeická účioť, čiá bezhlčá prevádzk miimálo údržbo, dopoť účiok relíve ízk ce. Ich evýhodo je väčši zložioť, korá komplikje eóri omického ridei 6/

18 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP oprv. So zvedeím iegrových obvodov ďlších moderých účiok vzrál j poľhlivoť kýcho émov, kže k porchám dochádz zriedk. Ďlšo evýhodo je ich iá cilivoť porch v elekrickej iei lebo elekromgeické poli. Nieked ieo regláor j mé prodkjú ršivé igál. Náprvo je dôkldé odršeie všekých ršeí. b Podľ pôob páji : Prime regláor, koré odoberjú eergi voj čioť primo z reglovej úv. Príkldom je Wov regláor oáčok lebo plvákový regláor výšk hldi pod. Zvláš kpi primch regláorov vori j ém prepdom, ko je o príkld regláci výšk hldi prepdom Obr. 5. Rovký pricíp vžív j vrého lkového Ppiovho Obr. 5 : Prim regláor výšk hldi prepdom R i i i Z R Z SAB Obr. 6 : gláor päi bilizáor o bilizčo diódo hrc, korého je pri prebk epl drživý ál lk ihlovým veilom, korý je zvárý závžím lebo pržio. gláci prepdom vžív j pri prlelých bilizáoroch päi, z korých jzámejší je bilizáor o bilizčo diódo Obr. 6. Npájcie päie mí bť ké veľké odpor rezior R ký mlý, b pri jväčšom odbere prúd i epôobil úbok päi reziore pokle výpého päi pod poždovú hodo SAB, korá je rčeá Zeerovým päím diód. Prebok vpého prúd i veľkoi i Z prechádz diódo, korá je preo jvic zťžová rovým výkoom pri odpojeej záťži R Z. Spoločým zkom evýhodo ýcho regláorov je r či eergie, čo pôobje ich ízk eergeickú účioť. kýo pôob požív výhodo ieie horých medzých hodô rôzch veličí. Neprime regláor odoberjú eergi voj čioť zo zvlášeho pájcieho zdroj. Vzčjú väčšo zložioťo om zodpovedjúco vššo kvlio reglácie. c Podľ priebeh preášého igál : Spojié regláor prcjú o pojiými igálmi. Hlvými vebými prvkmi ú operčé zoilňovče. vli reglácie je voká, ich ávrh je pomere jedodchý. Pre veľké výko je všk evýhodá ich meši eergeická účioť. eóri omického ridei 6/

19 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Nepojié regláor prcjú epojiými igálmi. Ďlej je ich možé rozdeliť epojié v če, ed implzé, epojié v mpliúde dvoj lebo vicpolohové. Vďk píciem režim kívch prvkov, krákmi čmi píi, dohjú veľmi vokú účioť. Môž bť veľmi jedodché pre ižši kvli reglácie, lebo zložiejšie, k poždjeme kvli ko pri pojiých regláoroch zv. kvzipojié regláor. Nepojié regláor ú veľmi perpekíve pre ich vokú účioť poľhlivoť. Ich evýhodo je vzik ršei ko dôledok širokého frekvečého pekr pôobeého vššími hrmoickými igálmi, koré vzikjú pri píí eergie. Aj je porebé dôkldé odršeie prílšých elekrických obvodov, b ršeie eprevšovlo prípú úroveň. Čílicové regláor ú relizové občje pomoco čílicového počíč. d Podľ lieri : Lieáre, príp. kvzilieáre regláor požívé prevže pri pojiej reglácii. Lieri v dom prcovom bode je doihá zvedeím ilej záporej päej väzb operčých zoilňovčov. Nelieáre regláor ú pické pre epojiú regláci. pickými prvkmi ú pície rzior, rôze klopé obvod, čílicové iegrové obvod, rior rik, prípde relé kče. e Podľ preoových dmických vloí,.j. podľ pôob prcovi reglčej odchýlk e, ich delíme : proporcioál regláor P, iegrčý regláor I, derivčý regláor, proporcioále iegrčý regláor PI, proporcioále derivčý regláor P proporcioále iegrče derivčý regláor PI. V ďlšej či i povieme vic o ich obrzových preooch, o ich dmických vloich iež j o pricípe ich elekroickej relizácie. Prehľd o ýcho chrkeriikách ideálch j eideálch regláorov, o ko zákldých pov k j ich kombiácií, je vedeý ko pri ich podrobejšom popie, k j poom máre Obr. 3, O br. 3, O br. 3, O br. 33, O br. 34. Proporcioál regláor P ib zoilňje reglčú odchýlk e, pričom zoileie je v širokom frekvečom rozh košé. Až pri vokých frekveciách, koré ie ú pre dú reglovú úv podé, jeho preo vplvom zorvčoi kleá. Ide ed o proporcioál čle košým reálm preoom omoho väčším ko jed. eo regláor dá ľhko vvoriť jedomerým iverjúcim zoilňovčom, korý je mbolick zázoreý Obr. 7. Obr. 7 : Ideál iverjúci jedomerý zoilňovč U ideáleho zoilňovč predpokldá ekoečý vpý odpor, lový výpý odpor ekoečé zoileie A bez päej väzb. Poom môžeme pre ký zoilňovč píť : U. 35 AU Preo proporcioáleho regláor v zpojeí podľ Obr. impedcií, v primej v päej väzbe : 8 je dý pomerom odporov, všeobece F P R R. 35 / eóri omického ridei 63/

20 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Ideál zoilňovč môžeme dobre hrdiť kočým operčým zoilňovčom požiým iverjúcim vpom. Pre vveleie vloí bdeme prcovť o zjedodšeým ideálm zoilňovčom podľ Obr. 7. Jeho zoileie je možé viť veľmi jedodcho pomoco záporej päej väzb. Schém proporcioáleho regláor je Obr. 8. Zmieko mí vjdrje, že požiý zoilňovč obrci fáz, ed iverje : R U. 35 U U R R R Obr. 8 : Zákldé zpojeie proporcioáleho regláor Ak zdroj vpého igál emá lový vúorý odpor R G, poom míme hodo oho odpor pripočíť k odpor R, poom pre proporcioál koš plí : R R R G. 353 ed preo proporcioáleho regláor je dý pomerom odporov v päej väzbe odporov vpe. Skočé proporcioále regláor Obr. 3 emjú preo ideále košý, ed ezávilý frekvecii. Zákldým zkom ýcho regláorov všk je, že ich prechodová chrkeriik v relíve krákom če áli hodoe. oš proporcioáleho regláor zoileie čo vjdrje j pomoco zv. pám proporcioli : pp, [%]. 354 Pámo proporcioli ed vjdrje, o koľko mí zmeiť vpá veliči e do regláor, b jeho výpá veliči zmeil v plom rozh o %. Iegrčý regláor I ko jediý možňje úplé odráeie reglčej odchýlk e ed zv. rvlej reglčej chb, lebo á je regláorom iegrová. jej úplém vlovi všk dochádz ž z rčiý č, ed moý regláor I je pomlý. Hodí m, kde porch ie ú príliš čé lebo reglová úv má veľkú zorvčoť, veľkú odoloť proi krákodobým porchám. C R Obr. 9 : Zákldé zpojeie iegrčého regláor eóri omického ridei 64/

21 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Aj iegrčý regláor je možé ľhko relizovť pomoco jedomerého iverjúceho zoilňovč. N Obr. 9 je zákldé zpojeie kého regláor. Podobe ko pre proporcioál regláor, j pre iegrčý regláor môžeme vjdriť jeho obrzový preo ko pomer päoväzobej impedcie vpej impedcie vpého odpor : F I. 355 RC Čioť kého iegrčého regláor je v prxi veľmi pokojivá. Przié zorvčoi Obr. 3 oiž plňjú ž pri všších frekveciách, ked je ž le preo I regláor j k veľmi mlý. Veľká mpliúd preo poždje pri jedomerom igále iež j pri riedvých igáloch veľmi ízkmi frekvecimi. Ampliúdová logrimická frekvečá chrkeriik má v obli ízkch frekvecií klo db/dek preí úroveň db pri frekvecii /RC. Fázová logrimická frekvečá chrkeriik je v omo prcovom rozh dá primko úrovi -9. Prechodová chrkeriik je lieáre rjúc primk, vchádzjúc z počik, pričom jej rmoť je eprimoúmerá čovej koše RC päoväzobého delič iegrčá čová koš I RC. Ideál derivčý regláor ie je možé relizovť. Spôobjú o przié zorvčoi, koré polčjú preo pri vokých frekveciách, ed v obli, kde má bť preo regláor jväčší. N Obr. je zákldé zpojeie derivčého regláor. Ideál preo rčje opäť pomer odpor v päej väzbe impedcie vpe : kde RC je derivčá čová koš. F RC. 356 C R Obr. : Zákldé zpojeie derivčého regláor d / Obr. : Prechodová chrkeriik kočého derivčého regláor eóri omického ridei 65/

22 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Ak chceme vjdriť preo kočého derivčého čle, míme výrz 356 áobiť preoom prziého zorvčého čle čovo košo, ed : RC F RC. 357 Ampliúdová logrimická frekvečá chrkeriik preí úroveň db pri frekvecii /RC rie o kloom db/dek ž po frekveci /, kde regláor preáv derivovť v dôledk prziej zorvčoi čovo košo. Fázová logrimická frekvečá chrkeriik je v omo prcovom rozh dá primko úrovi 9. Prechodová chrkeriik v dôledk zorvčoi vrcholí hodoe RC/ kleá o rmoťo rčeo veľkoťo čovej koš Obr.. erivčý regláor má pri košom vpe.j. pri lovej frekvecii, jedomerý igál lový preo. Vplýv o ko z priebeh mpliúdovej chrkeriik, k j z priebeh prechodovej chrkeriik. Smoý derivčý regláor ezoilňje reglčú odchýlk, preo mí bť vžd kombiový proporcioálm lebo iegrčým regláorom. V ejo kombiácii derivčý regláor zrýchľje regláci zvšje bili, čo má veľký výzm pre odráeie krákodobých čých porúch. Nevýhodo derivčého regláor le je, že pri kokovej zmee ridicej veliči, ed j reglčej odchýlk, geerje veľkú hodo kčej veliči, korú dá eergeická úv emí bť chopá dodť. ým doeme hric obmedzeí z lieárej úv e elieár, pre korú ž pli ié meód. o môžeme odráiť, k do érie regláorom melo zrdíme doplňjúc zorvčoť prvého lebo j vššieho rád vhodými čovými košmi jedokovým ickým preoom. ým zmieri počiočá veľkoť kčej veliči zbráime j vedeým možým áledkom. V ďlšej či zmerime kombiácie zákldých pov regláorov, koré možňjú doihť všši kvli ko moé jedodché regláor. ieo kombiové regláor je v pode možé relizovť romi pôobmi ich zpojei : prlelé zpojeie východzích pov jedodchých regláorov Obr., korým dohjú jlepšie výledk le z ce vššieho poč zoilňovčov; P e I / I. Obr. : Prlelé zpojeie zákldých pov regláorov b požiie korekčých čleov vžív prvidl le jede zoilňovč, kvli je všk ižši; c päoväzobé zpojeie vžív prvidl iež le jede zoilňovč, kvli je všk vhovjúc. Nevýhodo le je, že vovie rôzch košá regláor požívjú ie ié prvk, čo ieked pôobje vzájomé ovplvňovie košá môže o j zemožiť požiie dého regláor. eóri omického ridei 66/

23 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Elekroická verzi proporcioále iegrčého regláor PI vzike prlelým pojeím regláor P regláor I Obr., kde je Lplceov obrzový preo regláor P v je rýchloá koš regláor I. Nieked zvádz zv. iegrčá čová koš I RC/ v. N záklde lgebr preoov poom pre výledý obrzový preo PI regláor plí : F PI v. 358 I A [db] ϕ ϕ [ ] 4 -db/dek -45 log - / I / I -9 Obr. 3 : Frekvečé chrkeriik PI regláor / I Obr. 4 : Prechodová chrkeriik PI regláor Výledé logrimické frekvečé chrkeriik PI regláor ú Obr. 3 prehľde j rôzmi prziými zorvčoťmi Obr. 3. Pokrčjúc mpliúdová chrkeriik preí úroveň db pri frekvecii, keď mpliúd preo je rová jedej, ed pri v. Zlom chrkeriik je dý prieečíkom iegrčej vev o kloom db/dek proporcioálej vev úrovi log. om dochádz pri frekvecii : v. 359 I eóri omického ridei 67/

24 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Prechodová chrkeriik O br. 4, Obr. 3 vzike účom prechodových chrkeriík oboch dielčích regláorov. Pricipiále elekroické zpojeie PI regláor je Obr. 5. Súče igálov relizje v iverjúcom máore, korý kldá z roch rovkých odporov R z iverjúceho zoilňovč. Výpý igál je poom dý rovico :, 36 kde ú výpé igál dvoch dielčích regláorov. Smáor mí bť iverjúci preo, lebo dielčie regláor ú iež vvoreé z iverjúcich zoilňovčov iež obrcjú fáz o 8. Ak poždjeme, b iverjúci máor zoilňovl príkld deťkrá, zväčšíme odpor jeho päoväzobého odpor iež deťkrá, kže jeho veľkoť bde R. Pri vokých frekveciách má kodezáor zedbeľú impedci, preo eplňje. R R R S R S C R R S e Obr. 5 : Zpojeie PI regláor V iekorých prípdoch počí zjedodšeý PI regláor, korého je iegrčá zložk hrdeá zorvčoťo veľko čovo košo. Požije pív korekčý čle Obr. 6 v pojeí eiverjúcim zoilňovčom. R C R Obr. 6 : orekčý čle pre zjedodšeý PI regláor Preo proporcioálej či čle je poom dý preoom odporového delič :. 36 R R R eóri omického ridei 68/

25 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Hodo odporov zvolíme k, b preo bol v iervle / ž /5. Pri ízkch frekveciách plňje j kodezáor, korý vvár obom odpormi zorvčý čle čovo košo : R R C. 36 Logrimické frekvečé chrkeriik korekčého čle ú O br. 7. Čirkove je kreleá mpliúdová chrkeriik kého regláor po dopleí korekčého čle Obr. 6 zoilňovčom o zoileím A. N Obr. 8 je zobrzeá prechodová chrkeriik. Ak porováme ieo chrkeriik chrkeriikmi dokolého PI regláor, poom vidíme, že mpliúd preo edohje pri zjedodšeom regláore pre frekveci ekoečú veľkoť, kže eo regláor eodrňje úple rvlú reglčú chb e, le j le oproi moém P regláor roch vicej poláč. A [db] ϕ [ ] log A / -db/dek ϕ 9 - A log -9 Obr. 7 : Logrimické frekvečé chrkeriik korekčého čle PI regláor f Obr. 8 : Prechodová chrkeriik korekčého čle PI Proporcioále iegrčý regláor PI je možé vvoriť j päoväzobým zpojeím. N Obr. 9 je zoilňovč o záporo päo väzbo. V päej veve je zpojeý čle, korý má pre ízke frekvecie chrker derivčého čle pre voké frekvecie má proporcioál chrker. Preože je eo čle eóri omického ridei 69/

26 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP v päej väzbe zoilňovč, bde mť celý obvod opčý ed proporcioále iegrčý chrker. Preo oho regláor je dý vzťhom : kde pre v plí : F v, 363 PI R, v. 364 R R C Ab me vlúčili vzájomú ierkci, vjeme proporcioál koš zmeo odpor R koš v zmeo kpci kodezáor C. R C R Obr. 9 : Späoväzobý PI regláor Podobé zpojei ich chrkeriik je možé vvárť j pre P PI regláor. Obrzové preo dmické chrkeriik ideálch j reálch P PI regláorov ú vedeé Obr. 33 Obr. 34. V ledjúcom i eše objíme rozdiel medzi ideálm reálm regláorom. Čioť lieárch regláorov úredých reglčých čleov môžeme memick popíť ledjúco rovico : ' ' ' e e' e d. 365 kde e je vpá veliči do regláor, ed reglčá odchýlk je výp z regláor, ed zv. kčá veliči. Prvá r ejo rovice vjdrje fkčé čle regláorov čovými košmi,,..., ď. Ľvá r vjdrje oekorjúce čle úredých čleov regláorov zv. przié zorvčoi. Pre ideál regláor b ľvej re bol le výpá veliči bez derivácií, ed j bez oekorei. ždý regláor je všk vvoreý z rčiých kokréch reálch prvkov, koré ovplvňjú cez eho prechádzjúce igál k, že pôobjú ich rčié oekoreie. ým výp regláor doáv igál, korý zodpovedá poždovej fkcii dmického prcovi vpého igál, le je kreleý voči priebeh ideálom regláore, čo vihje ľvá čť vedeej rovice. N Obr. 3, Obr. 3, Obr. 3, O br. 33 O br. 34 ú vedeé chrkeriik ideálch regláorov chrkeriik reálch regláorov oekoreím prvého ž reieho rád. I eóri omického ridei 7/

27 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Preo CHARAERISIA PROPORCIONÁLNEHO REGULÁORA Prechodová Frekvečá Logrimická frekvečá chrkeriik chrkeriik chrkeriik F e log A log ϕ F e log A -9 ϕ log F e log A -8 ϕ log F e 3 log A -8 ϕ log Obr. 3 : Chrkeriik ideáleho reáleho P regláor eóri omického ridei 7/

28 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Preo CHARAERISIA INEGRAČNÉHO REGULÁORA Prechodová Frekvečá Logrimická frekvečá chrkeriik chrkeriik chrkeriik I F I I e d log A 9 -ϕ log I F I I I e d log A log -ϕ I F I e d log A log I F I e d 3 log A ϕ log Obr. 3 : Chrkeriik ideáleho reáleho I regláor eóri omického ridei 7/

29 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP CHARAERISIA PROPORCIONÁL. INEGRAČNÉHO REGULÁORA Preo Prechodová chrkeriik Frekvečá chrkeriik Logrimická frekvečá chrkeriik I F I e I e d log A -9 ϕ log I F e I e d log A -9-8 ϕ log I F e I e d log A ϕ log I F e e d I 3 log A ϕ log Obr. 3 : Chrkeriik ideáleho reáleho PI regláor eóri omického ridei 73/

30 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP CHARAERISIA PROPORCIONÁL. ERIVAČNÉHO REGULÁORA Preo Prechodová chrkeriik Frekvečá chrkeriik Logrimická frekvečá chrkeriik F e e log A 9 ϕ log F / e e / log A -9-8 ϕ log F / / e e / log A ϕ log F / e 3 e / log A ϕ log Obr. 33 : Chrkeriik ideáleho reáleho P regláor eóri omického ridei 74/

31 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP CHARAERISIA PROPORC. INEGRAČ. ERIVAČ. REGULÁORA Preo Prechodová chrkeriik Frekvečá chrkeriik Logrimická frekvečá chrkeriik I F I e e I e d log A 9-9 ϕ log I F / e e I e d / log A ϕ log I F / / e e / e d I log A ϕ log I F / e e 3 / I e d log A ϕ log Obr. 34 : Chrkeriik ideáleho reáleho PI regláor eóri omického ridei 75/

32 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Vplv regláor vloi reglčého obvod Ako ž bolo vedeé, cieľom požii regláor je pripôobiť preoové vloi reglčého obvod voreého úvo regláorom požidvkám, koré vplývjú z prevádzkových podmieok. Zvedeím regláor zmei preoové vloi reglčého obvod šo úloho je poúdiť ieo zme podľ árokov kldeých priebeh reglčého pochod. Čo pr. z hľdik prevádzkových podmieok reávme požidvko čo jmeších zmie reglovej veliči od židej hodo, bez ohľd dĺžk rvi reglčého pochod. Ioked i z môžeme dovoliť väčšie odchýlk reglovej veliči od židej hodo pri dodrží čo jkršej dob reglčého pochod. Vo väčšie prípdov je všk porebé rčiť ké prmere regláor, b reglčý pochod bol opimál,.j. b pri mlých odchýlkch reglovej veliči od židej hodo bol reglčý pochod čo jkrší. o je úloh opimlizácie reglčého pochod, pričom míme vopred pozť kriériá, podľ korých rozhodjeme, ké vloi reglčého pochod podmieňjú jeho opimáloť. O ejo problemike me zmieili ž j v či riériá kvli reglčého pochod. Všimime i erz, ko bdú meiť preoové vloi reglčého obvod, keď reglovú úv bdeme ovplvňovť v päoväzobom zpojeí proredícvom iekorého p regláor, vedeého ž v predošlých čich. Ako je ž záme z či ýkjúcej lgebr preoov, obrzový preo reglovej úv v iprlelom zpojeí regláor Obr. 57 je vzhľdom porchovú veliči pri úhlom miee vp kčej veliči porch dý vzťhom : F Z Y FS. 366 Z F F S R N výledý preo vplýv ed preo reglovej úv, j preo regláor. Vplv proporcioáleho regláor vloi reglčého obvod Nech je v záporej päej väzbe k reglovej úve pripojeý obrzový preo ideáleho proporcioáleho regláor : preo reglovej úv ech je : F RP 367 F S... o. 368 Poom po pripojeí regláor bde preo zvreého reglčého obvod dý podľ rovice 366 ledjúcim vzťhom : F Z... o o... Jeho limi pre č, ed pre bde : o lim F lim F o. 37 eóri omického ridei 76/

33 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Preože obrzový preo má pre koečú elovú hodo, bde mť j origiál pre iež koečú elovú hodo, hoci preo porch b ml v ideálom prípde rovť le. Proporcioál regláor ed ikd eodrái rvlú reglčú odchýlk, korá bde íce ým meši, čím bde väčšie zoileie regláor, le oo ze emôžeme ľbovole zväčšovť vzhľdom držie bili reglčého obvod. Všimime i ďlej, ko ovplví P regláor prechodové deje pri iprlelom pripojeí reglovú úv prvého, drhého reieho rád. Nech reglová úv je popíá difereciálo rovico prvého rád v vre : '. 3 7 Jej obrzový preo je :. o S F 3 7 Riešeím vedeej difereciálej rovice pre košé doeme : e kde je čová koš úv. Ak k ejo úve pripojíme P regláor o zoileím obrzovým preoom 367, doeme pre zvreý reglčý obvod ledjúci preo : F F F Z Y F o o o RP S S Z Podobe pre preo ridei plí : F F F F W Y F o o o RP S RP S W Zo vzťhov plí : lim lim Z Y F o z z 3 76 lim lim W Y F o w w 3 77 pre obrz výpej veliči pre ob prípd plí : W Y Z Y o w o z ed výpá veliči z pri vpe porch ikd ebde úple lová podobe výpá veliči w ikd ebde pree rovť poždovej hodoe. eóri omického ridei 77/

34 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Zo vzťh 375 plí : Y W Y o, 379 ed difereciál rovic reglčého obvod je : w ' o, 38 pre w doeme jeho ledjúc prechodovú chrkeriik : e. 38 Vzťh ú zázoreé O br. 35. Z obrázk je zrejmé, že po pripojeí proporcioáleho regláor áli prechodová chrkeriik hodoe /. vr prechodovej chrkeriik bde zov expoeciál čovo košo * /. w w 7 * Obr. 35 : Vplv proporcioáleho regláor výp reglovej úv Po dodeí z i do vzťhov doeme Nqiove komplexé frekvečé chrkeriik reglovej úv reglčého obvod Obr. 36. eóri omického ridei 78/

35 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP / / Obr. 36 : Frekvečé chrkeriik úv reglčého obvod P regláorom b Pre úv drhého rád popíú difereciálo rovico v vre : ' ' o, 38 ' rep. obrzovým preoom : lebo F S 383 o F S 384 doeme po pripojeí P-regláor preoom : preo zvreého reglčého obvod v vre : F RP 385 Y FS F Z 386 Z F F S RP Chrker ohoo preo závií od koreňov chrkeriickej rovice : koré ú :, 387, ± Zo oho vzťh je zrejmé, že proporcioál regláor úv drhého rád prejví k, že meí moý chrker preo. Pokiľ je úv bilá, zoileie je mlé koree, ú reále rôze, emeí chrker periodického priebeh prechodového jv. Pri rúcom zoileí všk áv eóri omického ridei 79/

36 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP v, ked pri lovom dikrimie doeme dvojáobé koree, čo je v hrici periodici. Pri ďlšom zvýšeí dobúd prechodový dej kmivý chrker pri košom lmeí rovom lmei medzi periodici, koré ž rúcim emeí. Z oho vplýv, že bilá úv drhého rád emôže prejť vplvom proporcioáleho regláor do ebilej obli. Prechodové chrkeriik frekvečé chrkeriik ovoreého reglčého obvod pre pomíé možoi ú zázoreé Obr. 37. < per per > per Obr. 37 : Prechodové frekvečé chrkeriik úv. rád P regláorom c Súv reieho rád popíá difereciálo rovico v vre : '' ' ' ' o, ' obrzovým preoom : F S o Po pripojeí proporcioáleho regláor preoom : doeme pre preo porch vpe do úv vzťh : F RP 39 Y FS FZ 39 3 Z F F S RP 3 Aj v omo prípde závií priebeh reglovej veliči od zoilei proporcioáleho regláor, ko v predchádzjúcom prípde, le rozdiel od úv drhého rád bde meiť v záviloi od iele frekveci kmiov, le j čiieľ lmei. Môžeme o om prevedčiť pr. k, že bdeme všerovť, ké veľké má bť zoileie, b obvod bol hrici bili. eo v e ved, keď chrkeriická rovic zo vzťh 39 v vre : bde mť okrem jedého reáleho koreň -α eše dvojic rýdzo imgiárch koreňov, ±i. Predošlú chrkeriickú rovic môžeme poom prepíť v vre úči koreňových čiieľov : 3 eóri omického ridei 8/

37 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP lebo v vre : α. i. i α α 395 Preože rovice predvjú dve rôze form ej iej rovice, mi bť ed vzájom rové mi rovť j ich koeficie pri rovkých mociách. ed plí :,, α z čoho pre kriické zoileie plí :. kri. 397 α 396 Ak robíme zo vzťh 39 frekvečý preo zázoríme ho v Govej rovie komplexých číel, poom zíká frekvečá chrkeriik, rozdiel od predošlej úv drhého rád, bde prechádzť ž romi kvdrmi Govej rovi. Ak b me robili frekvečú chrkeriik ovoreého reglčého obvod, bde podobe ko obrázk Obr. 37 rúcim poúvť zčiok frekvečej chrkeriik k zčik úrdicového ém po kldej reálej oi pre. ým všk zväčšje j úek záporej či reálej oi ž pri kri môže eo úek doihť kriickú hodo -,i, čo vedčí podľ Nqiivho kriéri bili, že zvreý reglčý obvod ýmo zoileím je hrici bili. 3 Vplv iegrčého regláor vloi reglčého obvod eď pripojíme k reglovej úve preoom 368 v päoväzobom zpojeí ideál iegrčý regláor preoom : FRI 398 bde preo porch pôobicej vpe do úv : I... I Fz 399. I rvlá reglčá odchýlk pri pôobeí porch vpe reglovej úv, vplývjúc z limi predošlého vzťh, je : I lim z lim F z, 4 čo povrdzje, že iegrčý regláor možňje docieliť lovú reglčú odchýlk. V ďlšom opäť lzjme, ko bde iegrčý regláor ovplvňovť prechodové deje. Nech reglová úv je popíá difereciálo rovico prvého rád v vre : jej obrzový preo je : ' 4 F S. 4 eóri omického ridei 8/

38 echická iverzi v ošicich, Fkl BERG, IRP Poom bde preo porch pôobicej vpe do úv : I Fz 43. I I Chrker prechodového dej bde zov záviieť od koreňov chrkeriickej rovice : I koré ú : I, 44 I ± I I I, ± I I Preože vo výrze pod odmocio vkje j iegrčá čová koš regláor, je zrejmé, že iegrčý regláor zpojeý v päej väzbe k úve prvého rád meí moý chrker prechodového dej podľ oho, ké hodo dobúd iegrčá čová koš. Pri dooče iezívom účik iegrčého regláor,.j. pri mlej hodoe I, môže preo kého reglčého obvod dobdúť kmivý chrker, preože pri hodoe I < 4 doeme komplexe zdržeé koree chrkeriickej rovice v vre : 4 kde. 46, ± i Prkick vkjúce reglové úv mjú pomere veľkú čovú koš, preo pri požií iegrčého regláor v päej väzbe čo reávme kmivým prechodovým priebehom. Čiieľ lmei / ie je ovplvňový preoom päej väzb je závilý dvojáobk čovej koš reglovej úv, kže mpliúd kmiov pri úvách veľko zorvčoťo zmešje le veľmi poml. Ako vplýv zo vzťh 43, iegrčý regláor zväčšje rád popijúcej difereciálej rovice peň chrkeriickej rovice preo, čím vle zhoršje dmické vloi reglčého obvod. Má všk ideále ické vloi, preože v prípde porch epripúšť v áleom ve žid rvlú reglčú odchýlk reglovej veliči. Prechodová frekvečá chrkeriik úv prvého rád iegrčým regláorom je zázoreá Obr. 38. i úv I-regláorom úv bez I-regláor gl. obvod úv I-regláorom Obr. 38 : Prechodové frekvečé chrkeriik úv. rád I regláorom eóri omického ridei 8/

TEÓRIA AUTOMATICKÉHO RIADENIA

TEÓRIA AUTOMATICKÉHO RIADENIA ECHNICÁ UNIVERZIA V OŠICIACH l bícv eológie ridei geoechológií edr iformizácie ridei proceov Ľbomír Dorčá Já erpá riš Dorčáová EÓRIA AUOMAICÉHO RIADENIA Spojié lieáre ém 6 eóri omicého ridei : Spojié lieáre

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 2 _ ÚLOHA 10

ZADANIE 2 _ ÚLOHA 10 ZADANIE _ ÚLOHA 0 _ Rčý phyb ele ZADANIE _ ÚLOHA 0 ÚLOHA 0.: Zvčík piemee 3m áčl vmee áčkmi = 90 /mi. Odľhčeím j jeh áčky vmee zýchľvli k že z dbu 0 dihli 0 /mi. N ých vých áčkch j uáli. Uče: zčičú kečú

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

6. Mocniny a odmocniny

6. Mocniny a odmocniny 6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci

Διαβάστε περισσότερα

1 Kinematika hmotného bodu

1 Kinematika hmotného bodu Kinemik hmnéh bdu - kinemik berá určením plôh bd ich mien če (kinemik phb ele piuje, neberá príčinmi phbu) - pri ereickm šúdiu mechnickéh phbu (prce, pri krm mení plh jednéh ele hľdm n iné ele) ád pjem

Διαβάστε περισσότερα

5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5. Oák Dfinj pojm fnkcia prmnných. Dfinj pojm hladinoá krika. Dfinj pojm parciáa driácia. Dfinj pojm úpý difrnciál. Dfinj pojm loká maimm fnkci prmnných.

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

Limity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max

Limity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách

PDF created with pdffactory Pro trial version  ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk

Διαβάστε περισσότερα

9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,

9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a, Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F

Διαβάστε περισσότερα

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

ο ο 3 α. 3* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο 18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

3 Geometrické transformácie v priestore

3 Geometrické transformácie v priestore 3 Geomerické rnsformácie v priesore Jedným pilierov počíčovej grfik je počíčová geomeri (compuionl geomer). Počíčová geomeri s oberá riešením geomerických úloh n počíči. Jej ákld vorí nlická geomeri korá

Διαβάστε περισσότερα

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο. 728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.

Διαβάστε περισσότερα

Príklady a úlohy z krivkových integrálov

Príklady a úlohy z krivkových integrálov Príkldy úlohy z krivkových integrálov Riešené príkldy Príkld Vypočítjme krivkový integrál prvého druhu ds, pričom y = {(, y) R : ; y = e + e }. Riešenie. rivk s dá prmetrizovť npr. nsledujúcim spôsobom

Διαβάστε περισσότερα

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο ο φ. II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai

Διαβάστε περισσότερα

10 Určitý integrál, jeho výpočet a aplikácie

10 Určitý integrál, jeho výpočet a aplikácie Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Určtý tegrál, jeho výpočet plkáce. Motvác k určtému tegrálu Úvodom s udeme zoerť jedou úlohou z geometre, rešee ktorej vede k zvedeu pojmu určtý tegrál.

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

4. Riešenie prechodných javov pomocou integrálnych transformácií

4. Riešenie prechodných javov pomocou integrálnych transformácií 4. šn rchodných jvov ooco ngrálnch rnsorácí N ršn drncálnch rovníc s konšnný kocn (súsv D (.3)) s v rčých rídoch djú ožť ngráln rnsorác. o rnsorác rrďjú čsovj nkc (zv. orgnál) nkc nj rnnj F zv. obrz. Prds,

Διαβάστε περισσότερα

DC BOOKS. a-pl½-z-v iao-w Da-c-n

DC BOOKS. a-pl½-z-v iao-w Da-c-n a-pl½-z-v iao-w Da-c-n 1945 P-q-s-s-e 24þ\-v I-mkÀ-t-I-m-U-v aq-s-w-_-b-e-nâ P-\-n -p. {-K-Ù-I-À- -mh-v-, h-n-hà- I³-, d-n-«. A-²-y-m-]-I³. C-c-p-]- -n-\-m-e-p hàj-s- A-²-y-m-]-IP-o-h-n-X- -n-\-pt-i-j-w

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3/5/016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Παραδείγματα Κεραιών Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δίπολο Hetz L d

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE. Matematici vo vetách a definíciách

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE. Matematici vo vetách a definíciách UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE Mrek Vrg Luci Záhumeská Mtemtici vo vetách defiíciách NITRA 008 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KATEDRA MATEMATIKY Mrek Vrg Luci

Διαβάστε περισσότερα

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint) Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M

Διαβάστε περισσότερα

Regresná analýza x, x,..., x

Regresná analýza x, x,..., x Regresá aalýza Základé pojmy Regresá aalýza skúma fukčý vzťah (priebeh závislosti), podľa ktorého sa meí závisle premeá Y pri zmeách ezávislých veličí x, x,..., x k. x = ( x, x,..., x ) i i i i T Y = (Y,

Διαβάστε περισσότερα

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Signály operácie (OPAKOVANIE) Základné operácie: +, -, *, /,,, urychlenie, spomalenie, posun signalov, otočenie signálov... Pokročilé operácie

Signály operácie (OPAKOVANIE) Základné operácie: +, -, *, /,,, urychlenie, spomalenie, posun signalov, otočenie signálov... Pokročilé operácie Sigály operácie (OPKOVNIE) Základé operácie: +, -, *, /,,, urychleie, spomaleie, posu sigalov, oočeie sigálov... Pokročilé operácie Operácia Vysledok SN sigály DN sigály Skaláry Čislo súči ,, Korelácia,

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a Trần Thanh Phong 0908 456 ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP 9 ----0O0----- Bài :Thưc hiên phép tính (,5 đ) a) 75 08 b) 8 4 5 6 ĐỀ SỐ 5 c) 5 Bài : (,5 đ) a a a A = a a a : (a > 0 và a ) a a a a a) Rút gọn A b)

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Z L L L N b d g 5 *  # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1  5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3  # Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02) khz 150

ITU-R P (2012/02) khz 150 (0/0) khz 0 P ii (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC) ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en http://www.itu.int/publ/r-rec/en BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V ITU-R 0 ITU 0 (ITU) khz 0 (0-009-00-003-00-994-990)

Διαβάστε περισσότερα

Microscopie photothermique et endommagement laser

Microscopie photothermique et endommagement laser Microscopie photothermique et endommagement laser Annelise During To cite this version: Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Meren virsi Eino Leino

Meren virsi Eino Leino œ_ œ _ q = 72 Meren virsi Eino Leino Toivo Kuua o. 11/2 (1909) c c F c Kun ne F iu L? c œ J J J J œ_ œ_ nœ_ Min ne rien nät, vie ri vä vir ta? Kun ne c c F c Kun ne F iu L? c œ J J J J œ_ œ_ nœ_ Min ne

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. grafický návrh

Výpočet. grafický návrh Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison

Διαβάστε περισσότερα

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D

Διαβάστε περισσότερα

Jeux d inondation dans les graphes

Jeux d inondation dans les graphes Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

DC BOOKS. H-ml-c-n-s-b- -p-d-n- -v A-d-n-b-p-w-a-p-¼-v

DC BOOKS. H-ml-c-n-s-b- -p-d-n- -v A-d-n-b-p-w-a-p-¼-v BÀ. tdmj³ Xn-cp-h-\- -]p-cw kz-tz-in. 2004 ap-xâ [-\-Im-cy ]-{X-{]-hÀ- -\cw-k v. XpS- w Zo-]n-I- Zn-\- -{X- nâ. C-t mä am-xr-`q-an Zn-\- -{X- n-sâ {]-Xnhmc _n-kn\-kv t]pm-b "[-\-Im-cy-' n-sâbpw ssz-\w-zn-\

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

Pri stredovom premietaní je dôležitý stred premietania S : bod, z ktorého premietame do priemetne ε a stred S neleží v priemetni ε

Pri stredovom premietaní je dôležitý stred premietania S : bod, z ktorého premietame do priemetne ε a stred S neleží v priemetni ε PEMIETANIE Proce vialiácie útvarov U trojromerného prietor v dvojromernej rovine ( výkre, monitor počítača, tlačiareň ) a íka potpnoťo operácií. K obraovani útvarov vyžívame premietanie tredové rovnobežné

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2009/10)

ITU-R P (2009/10) ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R

Διαβάστε περισσότερα

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S <u. >nom. 7acc. acc >nom < <

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S <u. >nom. 7acc. acc >nom < < K+P K+P PK+ K+P - _+ l Š N K - - a\ Q4 Q + hz - I 4 - _+.P k - G H... /.4 h i j j - 4 _Q &\\ \\ ` J K aa\ `- c -+ _Q K J K -. P.. F H H - H - _+ 4 K4 \\ F &&. P H.4 Q+ 4 G H J + I K/4 &&& && F : ( -+..

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Všeobecná teória stability

Všeobecná teória stability Všeobecná teór stblty Defníc stblty podľ Ljpunov V teór nelneárnych sústv s dnes tkmer vždy použív defníc stblty podľ Ljpunov. Estuje zásdný rozdel medz stbltou lneárnej sústvy medz stbltou podľ Ljpunov,

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

Vidyalankar. Vidyalankar S.E. Sem. III [BIOM] Applied Mathematics - III Prelim Question Paper Solution. 1 e = 1 1. f(t) =

Vidyalankar. Vidyalankar S.E. Sem. III [BIOM] Applied Mathematics - III Prelim Question Paper Solution. 1 e = 1 1. f(t) = . (a). (b). (c) f() L L e i e Vidyalakar S.E. Sem. III [BIOM] Applied Mahemaic - III Prelim Queio Paper Soluio L el e () i ( ) H( ) u e co y + 3 3y u e co y + 6 uy e i y 6y uyy e co y 6 u + u yy e co y

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα:

Ιστοσελίδα: ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: www.telecom.tuc.gr/courses/tel412 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø Συνελικτικοι Κωδικες (n, k) L blocks ½ ¾ k ½ ¾ k ½ ¾ k [ ] g1 G T kl

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,

Διαβάστε περισσότερα

3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,

3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371, E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Moto armonico: T : periodo, ω = pulsazione A: ampiezza, φ : fase

Moto armonico: T : periodo, ω = pulsazione A: ampiezza, φ : fase Moo armonico: equazione del moo: d x ( ) = x ( ) soluzione: x ( ) = A s in ( + φ ) =π/ Τ T : periodo, = pulsazione A: ampiezza, φ : fase sposameno: x ( ) = X s in ( ) velocià: dx() v () = = X cos( ) accelerazione:

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

ME2.KCP AR KTU PI. Įstrižakrumplės cilindrinės perdavos projektavimas. Pradiniai duomenys: T6 = 83,0, Nm ir T7 = 290, Nm; n6 = 234, min

ME2.KCP AR KTU PI. Įstrižakrumplės cilindrinės perdavos projektavimas. Pradiniai duomenys: T6 = 83,0, Nm ir T7 = 290, Nm; n6 = 234, min Įrižkruplė ciliriė pervo projekvi Priii uoey: T 83,, ir T 9, ; 34, i ir 5,, i ; u 3,; pervo ekplovio lik h 1 h; ro reži: uku; pkrovo poūi: vrčioio šio povi pkrov, vroojo įregiio ūgiė pkrov. ruplirčių ežigo:

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ υπ Άρ. 62 τής 19ης ΜΑΙΥ 1961 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ III ΚΙΝΤΙΚΙ ΝΜΙ ΤΥΡΚΙΚΗΣ ΚΙΝΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΎΣΕΩς Ό κττέρ νόμς της Τυρκικής Κιντικής Συνελεύσεις όστις υπεγράφη

Διαβάστε περισσότερα

JMAK の式の一般化と粒子サイズ分布の計算 by T.Koyama

JMAK の式の一般化と粒子サイズ分布の計算 by T.Koyama MAK by T.Koyama MAK MAK f () = exp{ fex () = exp (') v(, ') ' () (') ' v (, ') ' f (), (), v (, ') f () () f () () v (, ') f () () v (, ') f () () () = + {exp( A) () f () = exp( K ) () K,,, A *** ***************************************************************************

Διαβάστε περισσότερα