Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις"

Transcript

1 Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων τριγώνων είτε αυτά είναι κύρια στοιχεία (πλευρές, γωνίες), είτε είναι δευτερεύοντα ( ύψη, διχοτόμοι, διάμεσοι). Προβολή σημείου σε ευθεία Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α που δεν ανήκει σε αυτήν. Ορθή προβολή ή απλά προβολή του σημείου Α στην ε λέγεται το ίχνος Α, της καθέτου που άγεται από το Α προς την ε. Αν κάποιο σημείο, όπως το Β, ανήκει στην ευθεία ε, η προβολή του Β είναι το ίδιο το Β. Προβολή ευθύγραμμου τμήματος σε ευθεία Προβολή ενός τμήματος ΓΔ πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα Γ Δ που έχει άκρα τις προβολές Γ και Δ των άκρων Γ και Δ του τμήματος ΓΔ. Αν ο φορέας ενός τμήματος ΚΛ είναι κάθετος στην ε τότε οι προβολές των Κ και Λ συμπίπτουν. Έτσι η προβολή του ΚΛ είναι ένα σημείο, δηλαδή έχει μέτρο 0. ΔΙΑΤΥΠΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της προβολής της στην υποτείνουσα επί την υποτείνουσα Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α ˆ = 90 φέρουμε το ύψος ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΒΓ είναι όμοια, επειδή Α ˆ = ˆ = 90 και Αˆ = Γˆ 1 ως γωνίες με πλευρές κάθετες. Από την ομοιότητα προκύπτει ότι : ΑΒ ΒΓ =, δηλαδή ΑΒ = Β ΒΓ. Β ΑΒ (Πυθαγόρειο Θεώρημα) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνoυσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α ˆ = 90 φέρουμε το ύψος ΑΔ και σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ισχύουν οι σχέσεις : ΑΒ = Β ΒΓ και ΑΓ = Γ ΒΓ. Mε πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε ΑΒ + ΑΓ = Β ΒΓ + Γ ΒΓ = = ( Β + Γ) ΒΓ = ΒΓ.

3 (Αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος) Αν σ ένα τρίγωνο το τετράγωνο μιας πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά αυτή. Θεωρούμε ορθή γωνία χ Ο Λ ψ και επί των πλευρών Οχ, Οψ παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα ΟΔ=ΑΒ, ΟΕ=ΑΓ. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΔΕ θα έχουμε: ΔΕ =ΟΔ +ΟΕ =ΑΒ +ΑΓ =ΒΓ. Άρα ΔΕ=ΒΓ, δηλαδή τα τρίγωνα ΑΒΓ,ΟΔΕ έχουν τρεις πλευρές ίσες μια προς μια, άρα είναι ίσα. Οπότε: Λ Λ Ο Α = Ο = 90. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α ˆ = 90 φέρουμε το ύψος ΑΔ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι όμοια γιατί Β ˆ = Αˆ 1 ως συμπληρωματικές της γωνίας Γˆ. Α Γ Άρα = ή Α = Β Γ. Β Α Πίνακας μετρικών σχέσεων για ορθογώνια τρίγωνα ΑΒ = ΒΔ ΒΓ ή γ = ΒΔ α ΑΓ = ΓΔ ΒΓ ή β = ΓΔ α ΒΓ = ΑΓ + ΑΒ ή α = β + γ ΑΔ = ΒΔ ΔΓ ή υ α = ΒΔ ΔΓ ΑΓ ΑΒ = ΒΓ ΑΔ ή β γ = α υ α ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Το τετράγωνο πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία (αμβλεία) γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωμένο (αυξημένο) κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. 3

4 ˆ Γ < 90, τότεγ = β + α α Γ ˆ Γ > 90, τότε γ = β + α + α Γ Έστω ˆ Γ < 90. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ ισχύει ΑΒ = Α + Β (1) Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ ισχύει Α = ΑΓ Γ () Όμως ΒΔ=ΒΓ-ΔΓ, άρα Β = ΒΓ + Γ ΒΓ Γ (3) Λόγω των σχέσεων (), (3) η (1) γίνεται : ΑΒ = ΑΓ Γ + ΒΓ + Γ ΒΓ Γ = ΑΓ + ΒΓ ΒΓ Γ Παρόμοια αν Γ Λ > 90. Κριτήρια για το είδος γωνίας τριγώνου: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές α, β, γ συνδέονται με μια από τις παρακάτω σχέσεις, τότε μπορούμε να εξασφαλίσουμε το είδος της αντίστοιχης γωνίας. α α α = β γ + < β + γ > β + γ Α ˆ = 90 Α ˆ < 90 Α ˆ > 90 o o o ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση α = β + γ βγ συνα. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1ο θεώρημα διαμέσων. Το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο τετράγωνο της μεταξύ τους διαμέσου αυξημένο κατά το μισό τετράγωνο της τρίτης α πλευράς. Δηλαδή β γ µ α. Η γωνία ΑΜˆ Β είναι οξεία άρα ΑΒ = ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ (1) Η γωνία ΑΜˆ Γ είναι αμβλεία άρα ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ () Προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη και επειδή ΜΒ=ΜΓ

5 ΒΓ ΒΓ ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΜΒ = ΑΜ + ( ) = ΑΜ + Από το Πρώτο Θεώρημα Διαμέσων αν λύσουμε ως προς τη διάμεσο µ α προκύπτει ένας πολύ χρήσιμος τύπος ο οποίος μας υπολογίζει την διάμεσο του τριγώνου από τις πλευρές του. β + γ α Ο τύπος είναι: µ α = Παρόμοιοι τύποι προκύπτουν και για τις διαμέσους µ β και µ γ : α + γ β µ β =, α + β γ µ γ = ο Θεώρημα διαμέσων. Η απόλυτη διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της διαμέσου πάνω σε αυτή. Δηλαδή β γ = α Μ Η γωνία ΑΜˆ Β είναι οξεία άρα ΑΒ = ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ (1) Η γωνία ΑΜˆ Γ είναι αμβλεία άρα ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ () ΒΓ Αφαιρούμε τις δύο σχέσεις (1) και () κατά μέλη και επειδή ΜΒ = = ΜΓ ΑΓ ΑΒ = ΜΒ Μ = ΒΓ Μ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο, R) και ένα εξωτερικό ή εσωτερικό σημείο του Ρ. Από το Ρ φέρουμε δύο τυχαίες ευθείες που τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α, Β και Γ, Δ αντίστοιχα. Αν δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει ΡΑ ΡΒ = ΡΓ ΡΔ. Τα τρίγωνα ΡΑΓ και ΡΒΔ είναι όμοια, αφού: ΡÂΓ = ΡΔ Β και ΡΓ Α = ΡB Δ. (Στο σχ.17α έχουμε ότι ΡÂΓ = ΡΔ Β γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και η ΡÂΓ είναι εξωτερική του γωνία. Στο σχ.17β έχουμε ότι ΡÂΓ = ΡΔ Β ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). ΡΑ Ρ Επομένως, ισχύει ότι = ή ΡΑ ΡΒ = ΡΓ ΡΔ. ΡΓ ΡΒ Αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, τότε ισχύει ότι ΡΕ = ΡΑ ΡΒ. 5

6 Φέρουμε την ευθεία ΡΟ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ. Θέτουμε ΟΡ = δ, οπότε από προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι: ΡΑ ΡΒ = ΡΓ ΡΔ = (δ R)(δ + R)= δ R. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΡΟΕ προκύπτει ότι PE = PO OE = δ R. Άρα ΡΕ = ΡΑ ΡΒ. ΟΡΙΣΜΟΣ Η διαφορά δ R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R) και συμβολίζεται με: Δ Ρ (Ο, R) = δ R = ΟΡ R. Από τον ορισμό της δύναμης σημείου ως προς κύκλο καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά εκφράζει τη σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R), καθώς εξαρτάται μόνο από το δ, δηλαδή την απόσταση του Ρ από το κέντρο του κύκλου. Επομένως, έχουμε ότι: o Το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) Δ Ρ (Ο, R) > 0 o Το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O, R) Δ Ρ (Ο, R) < 0 o Το Ρ είναι σημείο του κύκλου (O, R) Δ Ρ (Ο, R) = 0 Λυμένες ασκήσεις Θέμα 1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ο ) με ύψος ΑΔ και ΑΓ = 8, ΔΓ = 3. Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων: α) ΒΓ β) ΑΒ γ) ΑΔ 5 Λύση α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: ΑΓ = ΒΓ ΓΔ 8 = ΒΓ 3 ΒΓ = 10 5 β) Με εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Άρα ΑΒ = 6 ΑΒ = ΒΓ ΑΓ = 10 8 = 36 γ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΔ = ΔΒ ΔΓ και 6

7 Άρα ΔΒ = ΒΓ ΔΓ = = 18 5 ΑΔ = = ΑΔ = = 5 Θέμα Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι α = 8, β = 6 και γ = 5. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ. Λύση α) Για να βρούμε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του, θυμόμαστε ότι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, βρίσκεται και η μεγαλύτερη του γωνία. Οπότε υπολογίζουμε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς και το συγκρίνουμε με το άρθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών: α = 6, β + γ = 61 Επομένως α > β + γ Α > 90 ο και άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο. β) Α ν ΑΔ η προβολή της ΑΒ πάνω στην ΑΓ, τότε από τη γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος για αμβλεία γωνία έχουμε: α = β + γ + β ΑΔ 6 = ΑΔ ΑΔ = 1 Αν ΒΕ η προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ, τότε από τη γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος για οξεία γωνία έχουμε: 7

8 β = α + γ α ΒΕ 36 = ΒΕ ΒΕ = Θέμα 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 5, γ = 3 και διάμεσο µ β = 19 α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ. β) Να υπολογιστεί η γωνία Β γ) Να βρείτε την προβολή της διαμέσου µ α πάνω στην πλευρά α. Λύση α) Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ. Αρα ΑΓ = 7 α + γ = µ β + β β) Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων: = + β β 19 = 3 β = 9 β = 7 β = α + γ αβ συνβ 7 = συνβ 9 = 3 30 συνβ συνβ = 1 Αρα Β = 10 ο γ) Αν ΜΔ η προβολή της διαμέσου µ α πάνω στην πλευρά α, από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων έχουμε: β γ = α ΜΔ 7 3 = 5 ΜΔ 0 = 10 ΜΔ ΜΔ = Θέμα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γ =, α = 3 εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) και έστω ΒΔ ύψος του και ΒΜ η διάμεσος του. Έστω επίσης Ε το σημείο τομής της διαμέσου ΒΜ με τον κύκλο. Αν ΜΔ = 7, να βρεθούν: 8 α) η πλευρά ΑΓ β) το μήκος ΜΕ γ) η δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) Λύση α) Εφαρμόζουμε το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ: γ α = ΑΓ ΜΔ ΑΓ = γ α ΜΔ ΑΓ = 3 7 ΑΓ = 8 8

9 β) Οι ΒΕ και ΑΓ είναι τέμνουσες του κύκλου και τέμνονται στο Μ. Αρα: ΑΜ ΜΓ ΒΜ ΜΕ = ΑΜ ΜΓ ΜΕ = ΒΜ = ΒΜ (1) Η ΒΜ όμως είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και μπορεί να υπολογιστεί με εφαρμογή του πρώτου θεωρήματος των διαμέσων: µ β = α + γ β = + 3 = 3 µ β = 3 Οπότε η (1) δίνει: ΜΕ = 8 3 = γ) Η δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) είναι ίση με: ΜΜ ΔΔ (ΟΟ,ρρ) = ΑΜ ΜΓ = ββ = 16 = Θέμα 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και διάμεσο ΑΜ = µ α ισχύει µ α = γ και β = γ. Να αποδείξετε 3 ότι: α) α = β β) Η πλευρά ΑΓ εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ στο σημείο Α. γ) Αν ΔΜ η προβολή της ΑΜ στη ΒΓ = α, τότε ΔΜ = α 9 Λύση α) Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ: µ α = β + γ α γ = β + γ α γ = β + γ α γ = β + γ α α = β α = β β) Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΓ = ΜΓ ΓΒ. Όμως η ΜΓ είναι ίση με το μισό της ΒΓ γιατί η ΑΜ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Οπότε έχουμε: 9

10 ΜΓ ΓΒ = α α = α = β = β = ΑΓ Αρα η ΑΓ εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ στο σημείο Α γ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β > γ γιατί γ = β. Συνεπώς μπορούμε να υπολογίσουμε την ΔΜ από το 3 δεύτερο θεώρημα των διαμέσων: Άρα β γ = α ΔΜ β β 3 α ΔΜ = 9α = α ΔΜ 8β 9 = α 9α = α 9 = α ΔΜ ΔΜ = β 9α Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λανθασμένες. 1. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο τότε ισχύει α > β + γ. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ο ) με ΑΔ το ύψος ισχύει ΑΒ ΒΔ =. Τότε ΑΓ ΔΓ 3. Αν ΑΒ η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ και ΑΒ > ΑΓ + ΒΓ, τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο.. Για τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ ισχύει ΑΒ = ΒΓ ΒΔ 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρονα α < β + γ, β < α + γ, β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Ισχύει ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΔΜ 7. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι. Σημείο Ρ κινείται στον εξωτερικό κύκλο. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είναι σταθερή. 8. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β = α γ, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και Α = 90 ο 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Ισχύει πάντα ΑΒ ΑΓ = ΒΓ ΔΜ 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς ΒΓ στην ΑΓ. Ισχύει α = β + γ + β ΑΔ 11. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β = α + γ αγ συνα 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 13. Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Κ. Αν ΑΚ =, ΒΚ = 9, ΚΔ = 6, ΚΓ = 3, τότε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ 10

11 είναι ομοκυκλικά. 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β γ = α, τότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. 15. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 90 ο. Ισχύει β + γ = µ α 16. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ, ισχύει α = β + γ β ΑΔ, όπου ΑΔ η προβολή της γ πάνω στη β. Αν ισχύει οτι β < ΑΔ, τότε Α < 90 ο Ασκήσεις Θέμα 1 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6, ΑΓ = 8. Φέρουμε το ύψος του ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ και ισχύει ότι ΔΜ =. α) Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 7 β) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ. Θέμα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο δείξτε ότι ισχύει µ α + µ β + µ γ = 3 α Θέμα 3 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και το ύψος του ΑΔ. Ενας κύκλος διέρχεται απο τα σημεία Δ, Γ και τέμνει την ΒΑ στο Ε και την προέκταση της στο Ζ έτσι ώστε ΒΕ = 6, ΒΖ = 8 και ΒΔ =. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΓ και ΑΒ. Θέμα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α και το ύψος του ΑΔ. Αν ΑΓ = 6 και ΑΒ = 8, υπολογίστε το ΑΔ. Θέμα 5 Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και δύο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. Εστω Μ είναι σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε ΜΑ = 15, ΜΒ = 0 και ΜΓ =. Υπολογίστε το ΜΔ. Θέμα 6 Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΔ = α και ΑΒ = α. Από τις κορυφές Δ και Β φέρουμε τις κάθετες στην ΑΓ που την τέμνουν στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι ΑΕ = ΕΖ = ΖΓ. 11

12 Θέμα 7 Να βρεθεί και να υπολογιστεί η μεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου ΑΒΓ με β = α και γ = α 7. Θέμα 8 Σε οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε το ύψος ΓΔ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΒ ΒΔ Θέμα 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α = 5, β = 7 και γ = 3. α) Να αποδείξετε ότι Β = 10 ο β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στην ευθεία ΑΒ Θέμα 10 Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = ΑΓ = 11 και ΒΓ = 10. Αν Δ εσωτερικό σημείο της βάσης ΒΓ με ΒΔ = 3, να αποδειχθεί ότι ΑΔ = 10 Θέμα 11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α γ =, γ β = 7 7. α) Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΑΜ β) Να βρείτε το είδος της γωνίας Β γ) Αν φέρουμε κάθετη ΑΕ στην πλευρά ΒΓ, δείξτε ότι ΒΕ δ) Δείξτε ότι Β = 10 ο ΑΒ = 1 Θέμα 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο έχουμε α = 7, β = 6 και η διάμεσος του µ γ = 89 α) Να αποδείξετε ότι γ = 9. β) Να υπολογίσετε την προβολή ΜΔ της διαμέσου ΓΜ πάνω στην πλευρά γ Θέμα 13 Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει µ β = β + α, να δειχτεί ότι αυτό είναι ισοσκελές. Το ίδιο αν ισχύει µ β + µ γ = β + 5γ. 1

13 Διαγώνισμα 1 στη Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο : Μετρικές σχέσεις Θέμα 1 ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος µ β. Δείξτε ότι: Θέμα ο ΒΓ + ΒΑ = µ β + ΑΓ (Μονάδες 0) Αφού εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 5, β = και γ = 3 να βρείτε: α) Το είδος της γωνίας Α (Μονάδες 7) β) Το μήκος της διαμέσου ΑΜ (Μονάδες 7) γ) Το μήκος της προβολής ΔΜ της διαμέσου ΑΜ πάνω στη ΒΓ (Μονάδες 7) δ) Το μήκος του ύψους ΑΔ. (Μονάδες 7) Θέμα 3 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΒΓ = α 3, ΑΓ = α και ΑΒ = α, όπου α > 0. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε ποια είναι η ορθή γωνία. (Μονάδες 13) β) µ γ = 3α, όπου µ γ η διάμεσος του ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ. (Μονάδες 13) Θέμα ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Β = 90 ο ) με ύψος ΒΔ και ΑΒ =, ΑΔ = 16. Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων: α) ΑΓ (Μονάδες 8) β) ΒΓ (Μονάδες 8) γ) ΒΔ (Μονάδες 10) 5 Διαγώνισμα στη Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο : Μετρικές σχέσεις Θέμα 1 ο Εστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ > ΒΑ, η διάμεσος µ β και η προβολή ΔΜ της µ β πάνω στην ΑΓ. Δείξτε ότι: ΒΓ ΒΑ = ΑΓ ΔΜ (Μονάδες 0) 13

14 Θέμα ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 6, ΒΓ = 9 και Β = 60 ο. α) Να αποδείξετε ότι ΑΓ = 3 7 (Μονάδες 9) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 10) γ) Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ. (Μονάδες 9) Θέμα 3 ο Εστω τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 10 ο ώστε να ισχύει β α = α γ =. α) Να βρείτε τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 15) β) Δείξτε ότι η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίση με 91. (Μονάδες 11) Θέμα ο Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), το εξωτερικό του σημείο Ρ, την τέμνουσα του ΡΑΒ και το εφαπτόμενο του τμήμα ΡΓ. α) Αν R = 3, ΟΡ = 0, ΡΑ = 16 υπολογίστε το ΑΒ (Μονάδες 8) β) Αν ΡΑ =, ΑΒ = 5 υπολογίστε το ΡΓ (Μονάδες 8) γ) Αν ΟΡ = 5, ΡΑ = 36, ΡΒ = 50 υπολογίστε την ακτίνα R (Μονάδες 10) 1

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΡΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Q k = ec5 ΚΟΛ. e-c.o 0 apex

Q k = ec5 ΚΟΛ. e-c.o 0 apex ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Γ = Δ = 60, ΑΔ=12 και ΓΔ=20. Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. didefth.gr

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. didefth.gr . ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο οδηγός αυτός απευθύνεται στους εκπαιδευτικούς

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Να αποδείξετε ότι = και = 2 (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. (Μονάδες 10)

α) Να αποδείξετε ότι = και = 2 (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. (Μονάδες 10) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=9 και ΑΓ=15. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. ΑΔ 2 ΑΕ α) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα