Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων"

Transcript

1 Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005

2 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο δοκιµών στις οποίες σκόπιµες αλλαγές γίνονται στις ανεξάρτητες µεταβλητές µιας διαδικασίας. Οι αλλαγές αυτές µπορούν να βοηθήσουν στην παρατήρηση και αξιολόγηση των αλλαγών στην απαντητική µεταβλητή. Παρακάτω δίνονται οι ορισµοί ορισµένων βασικών εννοιών που θα χρησιµοποιήσουµε στον πειραµατικό σχεδιασµό Εξαρτηµένη µεταβλητή: Είναι µια στατιστική µεταβλητή που εκφράζει το αποτέλεσµα του πειράµατος για κάποια πειραµατική µονάδα. Παράγοντας: Είναι µια µεταβλητή την οποία εκ προθέσεως ελέγχουµε ώστε να παρατηρήσουµε την επίδραση της στην απαντητική µεταβλητή. Επίπεδα: Είναι οι τιµές οι οποίες προκαθορίζονται για κάποιον παράγοντα Ελεγχόµενοι Παράγοντες Cotrollble Fctors X X K Xp Iput Process Output K Z Z Μη Ελεγχόµενοι Παράγοντες Ucotrollble (ose) Fctors Z q

3 Βασικές Αρχές Πειραµατικού Σχεδιασµού ) Επανάληψη (Replcto) : ηλαδή η χρήση δειγµάτων για την αντιµετώπιση της µεταβλητότητας. ) Λήψη Πλήρως Τυχαιοποιηµένων εδοµένων (Rdomzto): Για την αποφυγή συστηµατικοποίησης του προβλήµατος. 3) Χρήση µπλοκάδων (Blockg): ηµιουργία οµάδων µε οµοειδή δεδοµένα. Ανάλυση ιακύµανσης κατά Ένα Παράγοντα Στην ουσία, εµείς θέλουµε να ελέγξουµε την παρακάτω µηδενική υπόθεση ως προς την εναλλακτική. H H 0 : µ µ : µ µ j... µ () Αν χρησιµοποιήσουµε έλεγχο υποθέσεων ανά δύο, δηλαδή µ µ j τότε ξέρουµε ότι κάθε έλεγχος υπόθεσης έχει επίπεδο σηµαντικότητας α. Άρα επειδή αυτοί οι έλεγχοι θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα τότε το επίπεδο σηµαντικότητας αυξάνεται. ( Είναι δηλαδή (-α)(-α) (-α)). Για αυτό το λόγο χρησιµοποιείται η ανάλυση διακύµανσης. Έχουµε τον παρακάτω πίνακα: Tretmet (Level) Observtos Totls Averge K K M M M K M M M K όπου Συνοψίζοντας: j j, j j, N Ν: Συνολικός αριθµός παρατηρήσεων : Αριθµός παρατηρήσεων σε κάθε επίπεδο << και <j< 3

4 Ένα µοντέλο το οποίο θα περιγράφει καλύτερα τα δεδοµένα µας είναι: j µ + τ + ε j όπου: τ το πόσο επιδρά το επίπεδο στο µοντέλο, τ µ σταθερό, 0 ε j τα σφάλµατα τα οποία είναι ανεξάρτητα και ακολουθούν Ν (0, σ ) Έτσι προχωράµε στον έλέγχο υπόθεσης: H H 0 : τ τ... τ α : τ 0 για τουλάχιστον ένα SS T ( j ) [ ( ) + (j )] ( ) + ( j ) j j j SS SS + SS T tretmet E Επίσης ισχύουν οι τύποι, οι οποίοι χρησιµοποιούνται συνήθως στις ασκήσεις διότι είναι πιο ακριβής: Οι βαθµοί ελευθερίας είναι: SS T j και SS Tr j ιασπορά ανάµεσα (betwee) στα επίπεδα: N Οι συνολικοί βαθµοί ελευθερίας είναι: Ισχύει επίσης ότι: ιασπορά µέσα (wth) στα επίπεδα: ( ) N N 4

5 SSE N ( ) S + ( ) S + L + ( ) ( ) + ( ) + L + ( ) S, όπου S j ( j ) Ορίζουµε: MS Tr SSTr MS E SSE N Αποδεικνύεται ότι: E ( MS ) Tr τ σ E( ) σ + MS E Επίσης ισχύει ότι: SS σ Tr ~ X α, και SS σ E ~ X α,n οπότε F MS Tr 0 ~ Fα,,N MSE Αν το F 0 είναι µεγάλος αριθµός, τότε τα µεταξύ τους τ διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά Αν το F 0 είναι µικρός αριθµός, τότε τα µεταξύ τους τ δε διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά Παρατήρηση: Για να ακολουθεί ο λόγος δύο ανεξάρτητες Cochr Θεώρηµα Cochr s MS MS Tr E F κατανοµή, θα πρέπει τα SS Tr σ και SS E σ να είναι X κατανοµές. Το τελευταίο ισχύει λόγω του Θεωρήµατος του 5

6 Έστω ~ N( 0,) r Z και ισχύει: Z Q + Q + K + Qs, όπου τα Q έχουν βαθµούς ελευθερίας,,, K, s ν Τα Q είναι ανεξάρτητες και µόνο εάν X κατανοµές µε ν, K ν βαθµούς ελευθερίας, εάν ν,, r ν ν + ν + K + νs, όπου ν οι συνολικοί βαθµοί ελευθερίας, δηλαδή s Z ~ X ν Εκτίµηση των Παραµέτρων του Μοντέλου Η εκτίµηση των παραµέτρων γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων j µ + τ + ε j,, K, µ ˆ τˆ, Έλεγχος Καταλληλότητας του Μοντέλου Σύµφωνα µε όσα έχουµε πει µέχρι τώρα, ξέρουµε ότι οι παρατηρήσεις µας περιγράφονται επαρκώς από το µοντέλο: j µ + τ + ε j µε τις προϋποθέσεις ότι τα ε j είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους και κατανέµονται κανονικά µε µέσο 0 και διακύµανση άγνωστη αλλά σταθερή σ. Η παραβίαση αυτών των προϋποθέσεων, καθώς και η καταλληλότητα του µοντέλου, µπορούν εύκολα να ανιχνευθούν από την µελέτη των καταλοίπων. e j j ˆ j ˆ ˆ όπου ŷ j µ + τ + ( ) ) Για τον έλεγχο της κανονικότητας των καταλοίπων j e µπορουν να γίνουν διάφοροι έλεγχοι ( π.χ. P P plot ή ιστόγραµµα). Εάν υπάρχουν ακραίες τιµές (outlers) οι οποίες επηρεάζουν την κανονικότητα των καταλοίπων, τότε κάνουµε έλεγχο για να διαπιστώσουµε εάν όντως είναι πραγµατικές ή προήλθαν από κάποιο άλλο σφάλµα ( π.χ. λάθος στην µέτρηση). Αν είναι απόρροια κάποιου σφάλµατος 6

7 τότε τις αφαιρούµαι, αν είναι πραγµατικές τιµές τότε κάνουµε δύο αναλύσεις των δεδοµένων µας, µία λαµβάνοντας υπόψη µας τις τιµές αυτές και µία αφαιρώντας αυτές τις τιµές. ) Για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας των e j χρησιµοποιούµε το Plot of Resduls Tme Sequece. Αν µελετώντας το διάγραµµα αυτό παρατηρήσουµε µια σχέση ανάµεσα στα κατάλοιπα, τότε υπάρχει πρόβληµα συσχέτισης. Για να µην υπάρχει πρόβληµα θα πρέπει τα κατάλοιπα να εµφανίζονται πάνω στο διάγραµµα τυχαιοποιηµένα. 3) Για τον έλεγχο της σταθερότητας της διακύµανσης σ των e j χρησιµοποιούµε το Plot of Resduls Versus Ftted Vlues. Στο διάγραµµα αυτό σε κάθε ftted vlue τοποθετούµε τις διακυµάνσεις των καταλοίπων του αντίστοιχου επιπέδου. Αν οι διακυµάνσεις αυτές από επίπεδο παραµένουν σταθερές τότε δεν έχουµε πρόβληµα, αν µεταβάλλονται τότε προσπαθούµε να λύσουµε αυτό το πρόβληµα µετασχηµατίζοντας τα δεδοµένα µας. Για να ελέγξουµε την ισότητα υπάρχουν διάφορα test. Ένα από αυτά είναι το Brlett s Test. H 0 : σ σ L σ H : σ σ, j j Απορρίπτουµε την H 0 εάν ισχύει: όπου q X 0,306 c X 0 > X α, ( N α) log0 Sp ( ) log 0 S q α διακύµανση κάθε επιπέδου Η διαφορά της S p από τη c + ( ) και 3 ( ) ( N ) S p ( ) N S Αν η τυπική απόκλιση σ είναι ανάλογη του µέσου µ ( σ µ παρακάτω µετασχηµατισµό: λ * ), τότε κάνουµε τον 7

8 Αποδεικνύεται ότι θα ισχύει: σ µ λ+ και εφόσον θέλουµε η διακύµανση να βγει σταθερή, θα πρέπει να είναι ανάλογη του. Άρα θα πρέπει ο εκθέτης του µ να είναι 0 Παρατήρηση: λ + 0 λ Στα µετασχηµατισµένα δεδοµένα θα έχω ένα βαθµό ελευθερίας λιγότερο µέσα (wth) στα επίπεδα, δηλαδή N και συνολικά θα έχουµε N βαθµούς ελευθερίας. Αυτό συµβαίνει διότι θα πρέπει να υπολογίσω και τη µεταβλητή που λ+ υπάρχει στον µετασχηµατισµό ( σ µ ). Παραθέτουµε ακόµη και ένα πίνακα µε τις διάφορες τιµές του και του λ και τους αντίστοιχους µετασχηµατισµούς που προκύπτουν: Σχέση µεταξύ σ και µ λ - Μετασχηµατισµός σ σταθερό 0 Κανένας σ µ / / / Τετραγωνική ρίζα (Posso) σ µ 0 Λογαριθµική σ µ 3/ 3/ -/ Αντίστροφη τετραγωνική ρίζα σ µ - Αντίστροφη Εµπειρική επιλογή του. Σε πολλές περιπτώσεις πειραµατικού σχεδιασµού µπορούµε να εκτιµήσουµε το α εµπειρικά από τα δεδοµένα. Όπως αναφέραµε, ισχύει σ µ θµ, όπου θ είναι ένας σταθερός αριθµός που εκφράζει την αναλογία. Εποµένως λογαριθµίζοντας έχουµε: log σ log θ + logµ Έτσι, αντικαθιστώντας τα άγνωστα σ και µ µε τις εκτιµήσεις τους σχεδιάζουµε την ευθεία που παρουσιάζει η παραπάνω εξίσωση και µε βάση την κλίση της υπολογίζουµε εµπειρικά το. Συγκρίσεις των µέσων µεταξύ των επιπέδων 8

9 Αυτή η παράγραφος έχει νόηµα να εξεταστεί και να σχολιαστεί από τη στιγµή που η αρχική υπόθεση H 0 : τ 0 απορρίπτεται. Έτσι, κάποιοι µέσοι διαφέρουν µεταξύ τους. Ποιοι όµως; Και µε τι ποσοστό στατιστικής σηµαντικότητας; Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήµατα δίνεται µε την χρησιµοποίηση διάφορων τεστ µε τα οποία συγκρίνουµε κάποιους µέσους µεταξύ τους ή ακόµη και γραµµικούς συνδυασµούς των µέσων µεταξύ τους. Παρακάτω περιγράφονται κάποια σηµαντικά τεστ καθώς επίσης δίνονται και κάποια παραδείγµατα για την κάθε περίπτωση. Το τεστ των «ιαφορών» (Cotrsts) Έστω ότι έχουµε την περιεκτικότητα βαµβακιού και εξετάζουµε την ανθεκτικότητα του στα πέντε διαφορετικά επίπεδα των 5%, 0%, 5%, 30% και 35% περιεκτικότητα σε βαµβάκι σε lb/. Όπως παρατηρούµε, η αρχική υπόθεση H 0 : τ 0 απορρίφθηκε εποµένως ξέρουµε πως κάποιοι µέσοι από τους µ, µ, µ 3, µ 4, µ 5 διαφέρουν. Ποιοι όµως; Αν υποψιαζόµαστε εµείς πως διαφέρουν οι µέσοι του 4 ου και 5 ου επιπέδου δηλαδή των 30% και 35% περιεκτικότητας αντιστοίχως τότε απλώς θα θέλαµε να ελέγξουµε την αρχική υπόθεση H 0 : µ 4 µ 5 ως προς την εναλλακτική H : µ 4 µ 5. Αυτή η υπόθεση βέβαια θα µπορούσε να ελεγχθεί µελετώντας ένα κατάλληλο γραµµικό συνδυασµό των µέσων των επιπέδων 4 και 5 όπως για παράδειγµα 4 5 Αντιστοίχως ίσως να θέλαµε να ελέγξουµε την υπόθεση 0 : : 0 H µ + µ 3 µ 4 + µ H µ + µ µ + µ η οποία υπονοεί το γραµµικό συνδυασµό Γενικά, το τεστ αυτό µπορεί να εφαρµοστεί για ένα οποιοδήποτε γραµµικό συνδυασµό επιπέδων της µορφής δηλαδή C c µε τον περιορισµό ότι c 0. Οι παραπάνω γραµµικοί συνδυασµοί ονοµάζονται διαφορές (cotrsts). Μια διαφορά όπως η παραπάνω εκτιµάται αν στη θέση των µέσων αντικαταστήσουµε τις αντίστοιχες εκτιµήσεις των µέσων από τα δεδοµένα. Σε κάθε τέτοια διαφορά αντιστοιχεί και ένα άθροισµα τετραγώνων. Το άθροισµα των τετραγώνων για τη διαφορά C είναι µ 0 9

10 SS C c. c όπου. είναι ο µέσος όρος των παρατηρήσεων του επιπέδου του παράγοντα. Αν εναλλακτικά θελήσουµε να δουλέψουµε µε τα αθροίσµατα των παρατηρήσεων του επιπέδου του παράγοντα τότε το άθροισµα τετραγώνων παίρνει τη µορφή SS C c. c Το άθροισµα τετραγώνων που προκύπτει µε αυτόν τον τρόπο έχει ένα βαθµό ελευθερίας. Η τιµή SS C αφού διαιρεθεί µε το άθροισµα τετραγώνων των σφαλµάτων SS E συγκρίνεται µε τη κρίσιµη τιµή (p-vlue ) της κατανοµής F µε και N βαθµούς ελευθερίας. Ορθογώνιες διαφορές Μια ειδική περίπτωση του τεστ των διαφορών είναι το τεστ των ορθογώνιων διαφορών. Σαν ορθογώνιες διαφορές ορίζουµε τις διαφορές D d µ όπου ισχύει c d 0 C c ή αν έχουµε ασύµµετρο σχέδιο (δηλαδή όχι µε τις ίδιες παρατηρήσεις σε όλα τα επίπεδα) θα ισχύει c d 0 Λέµε εποµένως τότε πως οι διαφορές C και D είναι ορθογώνιες µεταξύ τους. Το τεστ των ορθογωνίων διαφορών έχει µια προϋπόθεση για να µπορεί να εφαρµοστεί. Αν έχουµε α επίπεδα θα πρέπει να έχουµε α- διαφορές προς εξέταση. Αν αυτές οι διαφορές είναι ορθογώνιες τότε µπορεί να δειχτεί ότι το άθροισµα των αθροισµάτων τετραγώνων που αντιστοιχεί σε κάθε διαφορά είναι ίσο µε το άθροισµα τετραγώνων που οφείλεται στον παράγοντα. Αν δηλαδή έχουµε όπως στο παράδειγµα µας πέντε επίπεδα το τεστ αυτό θα εφαρµοστεί σε 5-4 γραµµικούς συνδυασµούς. Αυτόµατα δηµιουργείται και το ερώτηµα όµως, «ποιοι θα είναι αυτοί οι α- γραµµικοί συνδυασµοί και µε ποια κριτήρια θα τους επιλέξω;». Με άλλα λόγια, για µ, Υπενθυµίζεται πως αν p-vlue < α τότε απορρίπτεται η 0 H (α: επίπεδο στατιστικής σηµαντικότητας) 0

11 ποιο λόγο να επιλέξω µια (α-)-άδα από γραµµικούς συνδυασµούς τους οποίους θα εξετάσω και να µην επιλέξω µια άλλη η οποία προφανώς να περιέχει απλούστερους γραµµικούς συνδυασµούς. Η απάντηση σ αυτό το ερώτηµα δυστυχώς δεν είναι πάντοτε εύκολη. Εξαρτάται από τα επίπεδα που έχουµε αλλά και από τις εκάστοτε συνθήκες κάτω από τις οποίες λάβαµε τις παρατηρήσεις για τα εν λόγω επίπεδα. Επίσης εξαρτάται από τις υποψίες και την πείρα του εκάστοτε ειδικού που εκτελεί το τεστ για το ποιοι µέσοι µπορεί να διαφέρουν. Παραθέτουµε το παρακάτω παράδειγµα για την καλύτερη κατανόηση του σκοπού του τεστ των ορθογώνιων διαφορών: Παράδειγµα Θεωρήστε το προηγούµενο παράδειγµα µε την περιεκτικότητα του νήµατος σε βαµβάκι. Υπάρχουν µέσοι για τα πέντε επίπεδα και τέσσερις βαθµοί ελευθερίας µεταξύ αυτών των επιπέδων. Ένα αυθαίρετο σετ από τέσσερις διαφορές (C ) είναι το παρακάτω Υποθέσεις ιαφορές Η 0 : µ 4 µ 5 C Η 0 : µ + µ 3 µ 4 + µ 5 C Η 0 : µ µ 3 C 3-3. Η 0 : 4µ µ + µ 3 + µ 4 + µ 5 C Παρατηρούµε ότι οι διαφορές είναι ορθογώνιες διότι όπως είπαµε αν πολλαπλασιάσουµε τους αντιστοίχους συντελεστές καθενός και τους προσθέσουµε έχουµε άθροισµα µηδέν. Χρησιµοποιώντας τώρα τις τιµές των όπως αυτές έχουν βρεθεί, έχουµε τις τιµές των C. Έτσι, ιαφορές C - (08) + (54) - 54 C + (49) + (88) - (08) - (54) - 5 C 3 + (49) - (88) - 39 C 4 - (49) + 4(77) - (88) - (08) - (54) 9 Επίσης υπολογίζουµε το άθροισµα των διαφορών, ( 54) ( 5) SSC 9.60, SSC 3.5, 5() 5(4) ( 39) C 3 ( 9) C 4 SS 5.0, SS 0.8 5() 5(0) Όπως φαίνεται και στον τελευταίο πίνακα µε βάση τις κριτικές τιµές (p-vlue) της F κατανοµής κρίνουµε αν δεχόµαστε ή απορρίπτουµε τις αρχικές υποθέσεις H 0 που προτείνουν οι διαφορές C.

12 Πηγή Περιεκτικότητα σε βαµβάκι στις ορθογώνιες διαφορές Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης Άθροισµα Τετραγώνων Βαθµοί Ελευθερίας Μέσο άθροισµα τετραγώνων F 0 P-Vlue <0.00 C : µ 4 µ 5 (9.60) <0.00 C : µ + µ 3 µ 4 + µ 5 (3.5) C 3 : µ µ 3 (5.0) <0.00 C 4 : 4µ µ + µ 3 + µ 4 + µ 5 (0.8) Σφάλµα Σύνολο Παρατηρήστε ότι το άθροισµα των επιµέρους αθροισµάτων τετραγώνων που αντιστοιχεί σε κάθε διαφορά είναι το άθροισµα τετραγώνων του παράγοντα περιεκτικότητα σε βαµβάκι. Οι διαφορές C και C 3 αποδεικνύεται ότι είναι στατιστικά µη σηµαντικές δηλαδή οι µέσοι µ 4 και µ 5 και αντιστοίχως οι µέσοι µ και µ 3 διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά. Ορθογώνια πολυώνυµα Οταν τα επίπεδα του παράγοντα είναι τακτικές τιµές, τότε µια ιδιαίτερη µορφή ορθογωνίων διαφορών είναι αυτή των ορθογωνίων πολυωνύµων. Με αυτές τις διαφορές µπορούµε να ελέγξουµε αν οι µέσοι όροι σε κάθε επίπεδο του παράγοντα µπορούν αν δοµηθούν χρησιµοποιώντας ένα πολυώνυµο - βαθµού, όπου είναι ο αριθµός επιπέδων του παράγοντα. Απαραίτητη προυπόθεση είναι τα επίπεδα του παράγοντα να είναι ισαπέχοντα. Τους συντελεστές των διαφορών των ορθογωνίων πολυωνύµων µπορούµε να τους βρούµε από κατάλληλους πίνακες. Εστω, ότι διαθέτουµε έναν παράγοντα µε τρία επίπεδα των οποίων οι τιµές είναι τακτικές τιµές. Τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε έως και ένα δευτέρου βαθµού πολυώνυµο για να δοµήσουµε τους τρείς µέσους της εξαρτηµένης µεταβλητής στα τρία επίπεδα του παράγοντα. Οι συντελεστές αυτοί είναι Συντελεστές διαφορών ου βαθµού πολυωνύµου Επίπεδα του παράγοντα Συντελεστές διαφορών ου βαθµού πολυωνύµου Τότε, αν υποθέσουµε ότι οι τρεις µέσοι των επιπέδων του παράγοντα γράφονται µ + bx µ + b( x + d) µ 3 + b( x + d) όπου, b είναι οι συντελεστές ενός πολυωνύµου ου βαθµού και d είναι η απόσταση µεταξύ των επιπέδων του παράγοντα, θα δούµε ότι C L bd και C Q 0. Με παρόµοιο τρόπο αν µ + bx + cx µ + b( x + d) + c( x + d )

13 µ 3 + b( x + d) + c( x + d) τότε C L bd+4cd +4cxd και C Q -cd. Οι παραπάνω ισότητες δείχνουν ότι αν οι µέσοι δοµούνται από ένα πολυώνυµο ου βαθµού τότε ο έλεγχος για τη στατιστική σηµαντικότητα του C Q συµπίπτει µε τον έλεγχο στατιστικής σηµαντικότητας του δευτεροβάθµιου όρου. Αν η διαφορά αυτή είναι στατιστικώς ασήµαντη τότε η στατιστική σηµαντικότητα του C L συµπίπτει µε τη στατιστική σηµαντικότητα του πρωτοβάθµιου όρου. Αν στην πραγµατικότητα οι µέσοι δοµούνται από ένα πρωτοβάθµιο πολυώνυµο, τότε το C Q θα έχει τιµή 0 και η στατιστική σηµαντικότητα του C L θα συµπίπτει µε τη στατιστική σηµαντικότητα του πρωτοβάθµιου όρου. Παράδειγµα Σε ένα πείραµα για τον έλεγχο της αντοχής ενός υλικού µετρήθηκε η αντοχή του ανάλογα µε τη θερµοκρασία στην οποία το υλικό έχει υποστεί επεξεργασία. Ο παρακάτω συγκεντρωτικός πίνακας δίνει τα βασικά αποτελέσµατα x. s Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς υποδεικνύει διαφορές µεταξύ των θερµοκρασιών. SS df MS F Θερµοκρασίες Σφάλµα Ολικό Θα θέλαµε να δοµήσουµε λίγο περισσότερο αυτή τη διαφορά µεταξύ των µέσων τιµών στην κάθε θερµοκρασία και ένας καλός τρόπος είναι να χρησιµοποιήσουµε µια πολυωνυµική σχέση πάνω στη θερµοκρασία. Ο πίνακας των συντελεστών των ορθογωνίων πολυωνύµων µέχρι 4 ου βαθµού (θυµηθείτε ότι υπάρχουν 5 θερµοκρασίες) είναι x ου βαθµού ου βαθµού 3 ου βαθµού 4 ου βαθµού Το cotrst που αντιστοιχεί στον πρώτο βαθµό πολυωνύµου είναι ( ) SS L 4780 ( ) + ( ) Με όµοιο τρόπο λαµβάνουµε τον παρακάτω πίνακα ανάλυσης διασποράς 3

14 SS df MS F Θερµοκρασίες ου βαθµού ου βαθµού ου βαθµού ου βαθµού Σφάλµα Ολικό Από την παραπάνω ανάλυση γίνεται φανερό ότι οι µέση αντοχή του υλικού δε διαφέρει απλά στα διάφορα επίπεδα της θερµοκρασίας αλλά καθώς αυξάνεται η θερµοκρασία η αντοχή αυτή αλλάζει µε γραµµικό τρόπο. Μέθοδος Scheffe για σύγκριση όλων των διαφορών Στην περίπτωση που δεν ξέρουµε εκ των προτέρων ποιες διαφορές θέλουµε να συγκρίνουµε, ή ενδιαφερόµαστε για περισσότερες από α- διαφορές χρησιµοποιούµε το τεστ του Scheffe. Σε αυτό το τεστ το λάθος τύπου Ι είναι το πολύ α για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς διαφορών. ιαδικασία Έστω Γu c uµ + c uµ + L + cuµ u,,,m ένα σετ από m διαφορές που µας ενδιαφέρουν. Η απαντητική µας διαφορά δίνεται από την σχέση Cu cu + cu + L + cu u,,,m και το τυπικό της σφάλµα από την σχέση S c MSE ( cu / ) Εµείς, θα συγκρίνουµε την C u µε την τιµή Sα, u S ( ) Fα,,N u cu και Αν C u > S, u τότε υπόθεση ότι η διαφορά είναι ίση µε το 0 απορρίπτεται. Αν C u S, u τότε δεν υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά (στο α επίπεδο σηµαντικότητας) ώστε να απορρίψουµε την παραπάνω υπόθεση. Παράδειγµα Στο παράδειγµα της περιεκτικότητας του νήµατος σε βαµβάκι έστω ότι οι διαφορές που µας ενδιαφέρουν είναι οι Γ µ +µ 3 -µ 4 -µ 5 και Γ µ -µ 4. Οι αριθµητικές τιµές των διαφορών αυτών είναι C και C 4 S , και τα τυπικά τους λάθη MS E ( c / ) 8.06( ) / c 4

15 c E και S MS ( c / ) 8.06( + ) / Τέλος, υπολογίζουµε και τις τιµές S0.0, S ( ) F0.0,,N.54 4( 4.43) και c ( ) F.80 4(4.43) S0.0, Sc 0.0,,N µε τις οποίες θα συγκρίνουµε τα C και C αντίστοιχα. Συµπεράσµατα: Επειδή C < S 0.0, συµπεραίνουµε ότι οι µέσοι των επιπέδων και 3, σαν γκρουπ, δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά από τους µέσους των επιπέδων και 4, σαν γκρουπ. Αντίθετα, επειδή C > S 0.0, συµπεραίνουµε ότι οι µέσοι των επιπέδων και 4 διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά. Η διαδικασία του Scheffe µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τον σχηµατισµό διαστηµάτων εµπιστοσύνης για όλες τις δυνατές διαφορές σύµφωνα µε τον τύπο C u S,u Γu Cu + S,u Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι τα παραπάνω διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι ταυτόχρονα διαστήµατα εµπιστοσύνης µε την έννοια ότι η πιθανότητα ότι όλα αυτά αληθεύουν ταυτόχρονα είναι τουλάχιστον -α. Τέλος το τεστ του Scheffe µπορεί να χρησιµοποιηθεί, όπως είναι φανερό, και για ελέγχους διαφορών της µορφής Γ µ µ j για όλα τα j. Παρά του ότι πρόκειται για µία εύκολη διαδικασία δεν χρησιµοποιείται συχνά διότι δεν είναι η περισσότερο ευαίσθητη διαδικασία για τέτοιου είδους συγκρίσεις. Σύγκριση ζευγαριών µέσων των διαφόρων επιπέδων Με τα παρακάτω τεστ ενδιαφερόµαστε για τον έλεγχο όλων των µηδενικών υποθέσεων της µορφής H 0 : µ µ j για όλα τα j.. Μέθοδος LSD (Lest Sgfct Dfferece) j Στην µέθοδο αυτή χρησιµοποιείται το t στατιστικό t 0 και MS E + j απορρίπτουµε τις µηδενικές υποθέσεις των ζευγαριών των µέσων για τα οποία ισχύει j j > LSD όπου. α η ποσότητα LSD προφανώς γράφεται LSD t α /,N MSE +. Στην περίπτωση που j MSE LSD t α /,N. 5

16 Παράδειγµα Στο παράδειγµά µας,για α0.05, βρίσκουµε MSE ( 8.06) LSD t 0.05, και οι διαφορές στους µέσους είναι * * * * * * * *. Οι τιµές µε αστεράκι σηµαίνουν ότι οι αντίστοιχοι µέσοι διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά. Αυτό µπορεί να δειχθεί και µε το παρακάτω σχήµα όπου υπογραµµίζονται τα ζευγάρια των µέσων που δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά Παρατηρήσεις Όσο ο αριθµός των επιπέδων α αυξάνεται, το λάθος τύπου Ι του πειράµατος (δηλαδή ο λόγος του αριθµού των πειραµάτων στα οποία ένα τουλάχιστον λάθος τύπου Ι συµβαίνει προς τον συνολικό αριθµό των πειραµάτων) επίσης αυξάνεται. Ενώ το στατιστικό F της ANOVA µπορεί να συµπεράνει ότι κάποιοι µέσοι διαφέρουν, η µέθοδος LSD µπορεί να αποτύχει να ανιχνεύσει την παραπάνω διαφορά επειδή συγκρίνει µόνο ζευγάρια µέσων και όχι γραµµικούς συνδυασµούς µε περισσότερους από δύο µέσους.. Duc s Multple Rge Test Σε αυτό το τεστ οι µέσοι των α επιπέδων διατάσσονται κατά αύξουσα σειρά και υπολογίζεται οι τυπική τους απόκλιση από τον τύπο S MS E, όπου το, στην 6

17 περίπτωση άνισων δειγµάτων µεγέθους µέσο h /, αντικαθίσταται από τον αρµονικό τους. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι ποσότητες p rα ( p,f ) ( ) R S για p,3,,α, όπου α το επίπεδο σηµαντικότητας και f ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας του SS. E ιαδικασία Ελέγχουµε τις παρατηρούµενες διαφορές j, ξεκινώντας από την διαφορά mx m, την οποία συγκρίνουµε µε το µεγαλύτερο R p. Στη συνέχεια συγκρίνουµε την mx m j, όπου m j το δεύτερο µικρότερο, µε το R α- κ.ο.κ. Αν κάποια από τις διαφορές j είναι µεγαλύτερη του αντίστοιχου R p, συµπεραίνουµε ότι το ζευγάρι αυτό των µέσων διαφέρει στατιστικά σηµαντικά. Παράδειγµα j Στο παράδειγµα της περιεκτικότητας του νήµατος σε βαµβάκι έχουµε : MSE 8.06 N 5 5 S 8.06 / και 0.8 Για fn-α0 και α0.05 υπολογίζεται από πίνακες ότι r 0.05 (,0).95, r 0.05 (3,0)3.0, r 0.05 (4,0)3.8, r 0.05 (5,0)3.5 Εποµένως, και (,0) S (.95)(.7) ( 3,0) S (3.0)(.7) ( 4,0) S (3.8)(.7) ( 5,0) S (3.5)(.7) 4. 3 R r0.05 R 3 r0.05 R 4 r0.05 R 5 r0.05 Οι διάφορες συγκρίσεις θα έχουν ως εξής : 4 vs.. : >4.3 (R 5 ) 4 vs.. 5 : >4.04 (R 4 ) 4 vs.. : >3.94 (R 3 ) 4 vs.. 3 : >3.75 (R ) 7

18 3 vs.. : >4.04 (R 4 ) 3 vs.. 5 : >3.95 (R 3 ) 3 vs.. : <3.75 (R ) vs.. : >3.94 (R 3 ) vs.. 5 : >3.75 (R ) 5 vs. : <3.75 (R ) Εποµένως, εκτός από τα ζευγάρια 3- και 5-,όλα τα άλλα ζευγάρια των µέσων διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά. Σηµείωση Επειδή η διαδικασία του Duc είναι πολύ αποτελεσµατική στο να ανιχνεύει διαφορές µεταξύ των µέσων όταν πραγµατικά υπάρχουν, το τεστ του Duc είναι από τα πιο δηµοφιλή τεστ. 3. Τεστ Newm-Keuls H διαδικασία είναι ακριβώς η ίδια µε του Duc µόνο που εδώ η σταθερά R αντικαθίσταται µε την σταθερά Κ, µε τύπο K q α ( p,f ) S p,3,...,.τέλος, επειδή για p> είναι πάντοτε q ( p,f ) r ( p,f ) p > συµπεραίνουµε ότι το τεστ των Newm-Keuls είναι περισσότερο συντηρητικό από του Duc. 4. Τεστ Tuke H διαδικασία και αυτού του τεστ µοιάζει µε τις δύο προηγούµενες, µόνο που εδώ όλες οι διαφορές συγκρίνονται µε την τιµή T q (,f ) S.Στην περίπτωση που κάποια διαφορά (κατά απόλυτη τιµή) υπερβαίνει την τιµή Τ α, λέµε ότι το παραπάνω ζευγάρι των µέσων διαφέρει στατιστικά σηµαντικά. Τέλος, το τεστ του Tuke είναι περισσότερο συντηρητικό (και εποµένως έχει µικρότερη ισχύ) τόσο από το τεστ του Duc όσο και από το τεστ των Newm-Keuls. Επιλογή Μεγέθους είγµατος. Μέσω χαρακτηριστικής συνάρτησης Φ Ένα εξίσου σηµαντικό στοιχείο είναι το µέγεθος του δείγµατος που θα επιλέξουµε. ηλαδή το µέγεθος του δείγµατος που αφορά την επανάληψη του πειράµατος. Όπως είναι φυσικό αν κάποιος ενδιαφέρεται να µετρήσει µικρές µεταβολές θα πρέπει να επιλέξει και µεγάλο αριθµό δείγµατος (επαναλήψεων). 8

19 Για να βρούµε όµως τον κατάλληλο αριθµό δείγµατος µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε χαρακτηριστικές καµπύλες µε την βοήθεια του β σφάλµα τύπου ΙΙ. Υπολογίζουµε τώρα το σφάλµα τύπου ΙΙ: β P{ Re ject H H είναι λάθος} P{ F F H είναι λάθος} 0 0 ο > α,, Ν 0 Για να υπολογίσουµε το β θα πρέπει να ξέρουµε ποια κατανοµή ακολουθεί το F. 0 Αποδεικνύεται ότι αν η αρχική υπόθεση H0 είναι λάθος τότε το F0 ακολουθεί µια µη κεντρική Fα,,N µε µια παράµετρο δ. Έτσι µέσω του σφάλµατος τύπου ΙΙ τότε βρίσκουµε µια παράµετρο Φ και µέσω αυτής προσδιορίζουµε το µέγεθος του δείγµατος. Φ τ ασ Βέβαια όπως βλέπουµε στο τύπο δεν γνωρίζουµε το σ. Για αυτό το λόγο θέτουµε το σ βασιζόµενοι σε στοιχεία που έχουµε. Ακόµη το τ µ µ µε µ µ όπου τις τιµές των µέσων µ τις παίρνουµε συνήθως από εµπειρικές τιµές.. Μέσω του διαστήµατος εµπιστοσύνης Σύµφωνα µε αυτήν την µέθοδο ο ερευνητής θέλει να εκφράσει τα τελικά του αποτελέσµατα του µέσω διαστηµάτων εµπιστοσύνης και να πει πόσο «ανοικτά» θέλει να είναι αυτά τα διαστήµατα εµπιστοσύνης. Έτσι χρησιµοποιώντας τον παρακάτω τύπο: ± t α /, Ν MS Ε και να υπενθυµίσουµε ότι το MSE είναι µια εκτίµηση του σ. Έτσι ανάλογα το διάστηµα εµπιστοσύνης που θέλουµε να έχουµε π.χ. στο παράδειγµα µε το ποσοστό βαµβακιού, αν υποθέσουµε ότι θέλουµε ένα 95% δ.ε. για την διαφορά των µέσων των επιπέδων και θέσουµε εµείς το σ τότε εύκολα υπολογίζουµε το µέγεθος του δείγµατος. 9

20 Μη παραµετρικές µέθοδοι στην ANOVA Ενα σηµαντικό ερώτηµα που προκύπτει είναι τι µπορούµε να κάνουµε στην περίπτωση που δεν µπορούµε να υποθέσουµε κανονικότητα. Μια λύση προς αυτή την κατεύθυνση είναι η χρήση µη παραµετρικών ελέγχων. Ενας πολύ γνωστός έλεγχος είναι των Kruskl-Wlls. Καταρχάς τις παρατηρήσεις που έχουµε, rk. Έτσι η στατιστική συνάρτηση είναι R +. N(N ) H S 4 j τις βάζουµε σε αύξουσα σειρά δηλαδή όπου είναι ο αριθµός των παρατηρήσεων στο επίπεδο και Ν ο συνολικός αριθµός των παρατηρήσεων. Επίσης: Να σηµειώσουµε ότι το S N(N + ) R j N j 4 δεν υπάρχουν όµοιες (ίδιες) τιµές τότε το συνάρτηση είναι S είναι η διακύµανση των rks. Αν τώρα ανάµεσα στα j N(N ) S + και η στατιστική Έτσι αν α, H N(N + ) R 3(N + ) o H > X απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση H : σ 0 0

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β

Παράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β Παραγοντικά Πειράµατα Fctoril Design Τα παραγοντικά πειράµατα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Τα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν έναντι των άλλων µεθόδών που

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαιοποιηµένοι Πλήρως Σχεδιασµοί κατά Μπλοκ (Randomized Complete Block Design)

Τυχαιοποιηµένοι Πλήρως Σχεδιασµοί κατά Μπλοκ (Randomized Complete Block Design) Τυχαιοποιηµένοι Πλήρως Σχεδιασµοί κατά Μπλοκ (Randomized Comlete Block Design) Σε κάθε πείραµα, η µεταβλητότητα που προκύπτει από έναν ενοχλητικό παράγοντα (nuisance factor), µπορεί να έχει αντίκτυπο στα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA 7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA Παράδειγμα Μετρήσεις της συγκέντρωσης του strodum (mg/ml) σε πέντε υδάτινες περιοχές (Α,Β,C,D,Ε). Α Β C D Ε 8, 39,6 46,3 4,0 56,3 33, 40,8 4, 44, 54, 36,4 37,9 43,5 46,4 59,4

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ii. Ο µέσος είκτης Άγχους ανά ελεγκτή εναέριου κυκλοφορίας E r είναι 16, 14, 12, 14, 15 και 13 αντίστοιχα,

ii. Ο µέσος είκτης Άγχους ανά ελεγκτή εναέριου κυκλοφορίας E r είναι 16, 14, 12, 14, 15 και 13 αντίστοιχα, ΑΣΚΗΣΗ Πρόσφατη έρευνα µε θέµα τη µέτρηση της έντασης και του άγχους των ελεγκτών εναερίου κυκλοφορίας κατέληξε σε προτάσεις για τον σχεδηκαν τρεις εναλλακτικοί τύποι θέσεων εργασίας Θ i i,, και η Υπηρεσία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών.

Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών. Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών. Η μέση τιμή ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Στατιστική Λυµένες Ασκήσεις, Πολιτικοί Μηχανικοί Ιανουάριος 6 Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μέρος Α Θεωρία Πιθανοτήτων Άσκηση [Θέµα στις εξετάσεις Φεβρουαρίου ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα