ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

Transcript

1 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό διάστημα διάρκειας t αν έχει ήδη λειτουργήσει για, δηλαδή t z( ) d Pr t R t Rt Pr t e Pr R Για τη μέση διάρκεια λειτουργίας μετά από λειτουργία διάρκειας έχουμε R t MF R t dt dt R t dt R R Μοντέλα σταθερού ρυθμού βλαβών Έστω σύστημα που δέχεται περιοδική φόρτιση κάθε t Κάθε φορά που δέχεται φόρτιση το σύστημα παθαίνει βλάβη με πιθανότητα Για ο ρυθμός βλαβών του συστήματος μπορεί προσεγγιστικά να θεωρηθεί σταθερός και ίσος με t Έστω σύστημα που δέχεται φόρτιση σύμφωνα με διαδικασία Posso ρυθμού Αν είναι η πιθανότητα βλάβης κάθε φορά που δέχεται φόρτιση, ο ρυθμός βλαβών του συστήματος είναι σταθερός και ίσος με 3 Κατανομή Webull Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί κατανομή Webull είναι της μορφής t t () t e, t, όπου η παράμετρος σχήματος και η παράμετρος κλίμακας Ο ρυθμός βλαβών ενός συστήματος του οποίου η διάρκεια λειτουργίας ακολουθεί κατανομή Webull ισούται με

2 t zt (), t Για ο ρυθμός βλαβών είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου (DFR), για αύξουσα συνάρτηση (IFR), ενώ για είναι σταθερός Έστω σύστημα με ανεξάρτητες μονάδες σε σειρά με κοινή παράμετρο σχήματος και παραμέτρους κλίμακας,,, Η διάρκεια λειτουργίας του συστήματος ακολουθεί κατανομή Webull με παράμετρο σχήματος και παράμετρο κλίμακας 4 Λογαριθμοκανονική κατανομή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή είναι της μορφής t l s ted () t e, t, st όπου s η παράμετρος σχήματος και ed t ed η διάμεσος της κατανομής, ήτοι Pr t Το όνομα της κατανομής οφείλεται στο ότι η τυχαία μεταβλητή l ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή l t ed και τυπική απόκλιση s Η αξιοπιστία ενός συστήματος με λογαριθμοκανονική διάρκεια λειτουργίας υπολογίζεται ως εξής l t l ted Rt ( ) Pr tpr l l tpr Z s, όπου Z η τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή Επίσης για τη μέση διάρκεια λειτουργίας έχουμε s ede MF t 5 Φράγματα αξιοπιστίας Ο ακριβής προσδιορισμός της αξιοπιστίας με τη μέθοδο των ελαχίστων διαδρομών ή των ελαχίστων τομών είναι δύσκολος για πολύπλοκα συστήματα λόγω του μεγάλου αριθμού των υπολογισμών που πρέπει να γίνουν Το πρόβλημα απλοποιείται με την παραδοχή ότι όλες οι διαδρομές ή όλες οι τομές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ακόμα και όταν περιέχουν κοινές μονάδες Στην περίπτωση αυτή η εφαρμογή της μεθόδου

3 των ελαχίστων διαδρομών δίνει ένα άνω φράγμα για την αξιοπιστία ενώ η μέθοδος των ελαχίστων τομών δίνει κάτω φράγμα 6 Αξιοπιστία υπό προληπτική συντήρηση Θεωρούμε σύστημα που συντηρείται προληπτικά κάθε χρονικές μονάδες Υποθέτουμε ότι η συντήρηση αυτή επαναφέρει το σύστημα στην αρχική του κατάσταση (σαν καινούριο) Επίσης υποθέτουμε ότι η διάρκειά της είναι αμελητέα Έστω R() t η συνάρτηση αξιοπιστίας χωρίς προληπτική συντήρηση και R () t η αξιοπιστία με προληπτική συντήρηση Τότε ισχύει R () t R() t R(, t ( ) Για τη μέση διάρκεια λειτουργίας έχουμε R t dt MF R t dt R 7 Συστήματα Markov ειδικής μορφής Έστω σύστημα Markov με καταστάσεις,,,,, όπου μόνο μεταβάσεις μεταξύ γειτονικών καταστάσεων έχουν μη μηδενική πιθανότητα Αυτές οι μη μηδενικές πιθανότητες, από την κατάσταση στην και αντιστρόφως, ορίζονται ως ακολούθως P,,,,,, P,,,,, Οι πιθανότητες των καταστάσεων,,,, όταν το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία ( t ) δίνονται από τους τύπους,,, 3

4 k, k k Εφαρμογή Σύστημα με μηχανές και k τεχνίτες επιφορτισμένους με την επισκευή τους, δηλαδή το πολύ k μηχανές μπορούν να επισκευάζονται ταυτόχρονα Αν οι χρόνοι λειτουργίας και επισκευής κάθε μηχανής ακολουθούν εκθετική κατανομή με μέση τιμή, αντιστοίχως, το σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα μοντέλο Markov με κατάσταση τον αριθμό τον μηχανών που λειτουργούν Οι πιθανότητες μετάβασης είναι της μορφής P, P,, P,,,, k,,,, k,, (επισκευή) και P, (βλάβη) Έχουμε P, ( ), k,, Επιλύοντας το μοντέλο υπολογίζουμε τις πιθανότητες να λειτουργούν μηχανές Με χρήση των πιθανοτήτων αυτών μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε τον μέσο αριθμό μηχανών που λειτουργούν E(M) και τον μέσο αριθμό τεχνιτών που δουλεύουν E(W) k k ( ) k Τέλος, αν c w είναι το κόστος ανά τεχνίτη και c το κόστος μη λειτουργίας για κάθε μηχανή, μπορούμε να υπολογίσουμε το μέσο συνολικό κόστος E(C) kc c ( E(M)) w, όπου έχουμε υποθέσει ότι οι τεχνίτες πληρώνονται ανεξαρτήτως του αν δουλεύουν ή όχι 8 Συστήματα με νεκρούς χρόνους Έστω συστήματα που επιθεωρούνται ανά χρονικά διαστήματα διάρκειας και επισκευάζονται αν έχουν βλάβη Χαρακτηριστικό των συστημάτων αυτών είναι ότι οι 4

5 βλάβες δεν γίνονται αντιληπτές τη στιγμή που συμβαίνουν Το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το σύστημα έχει βλάβη (από την εμφάνιση της βλάβης έως την επιθεώρηση) ονομάζεται νεκρός χρόνος, D (dead te) Είναι λογικό οι επιθεωρήσεις να γίνονται πολύ πριν από τον αναμενόμενο χρόνο εμφάνισης της βλάβης, ιδιαίτερα αν οι συνέπειές της είναι καταστροφικές (πχ συστήματα αντιμετώπισης εκτάκτων αναγκών) Επομένως, αν είναι ο ρυθμός βλαβών του συστήματος, υποθέτουμε ότι Έστω ο χρόνος βλάβης, άρα για τον νεκρό χρόνο έχουμε του D αν και D αν, για δε την μέση τιμή t E( D ) ( e dt ( e ) Αναπτύσσοντας τον εκθετικό όρο σε σειρά aylor παίρνουμε ( ) E( D) ( ),! όπου έχουμε θεωρήσει αμελητέους τους όρους τρίτης τάξης και άνω λόγω της υπόθεσης Διαιρώντας με παίρνουμε τον ποσοστιαίο νεκρό χρόνο FD Η διαθεσιμότητα του συστήματος, που ορίζεται ως το ποσοστό του χρόνου που το σύστημα είναι λειτουργικό, ισούται με FD 9 Προληπτική συντήρηση/αντικατάσταση Έστω ότι εφαρμόζεται μία πολιτική προληπτικής συντήρησης ή αντικατάστασης μετά παρέλευση χρόνου από την τελευταία συντήρηση ή αντικατάσταση, αν φυσικά δεν έχει προηγηθεί βλάβη (σε αντίθεση με τα συστήματα νεκρών χρόνων οι βλάβες γίνονται αντιληπτές την ώρα που συμβαίνουν) Υποθέτουμε ότι μετά από κάθε προληπτική παρέμβαση ή αποκατάσταση βλάβης το σύστημα επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση (σαν καινούριο) Το πρόβλημα είναι να βρεθεί η τιμή του χρόνου που βελτιστοποιεί κάποιο μέτρο απόδοσης του συστήματος Έστω (, F( η πυκνότητα πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση του χρόνου ζωής του συστήματος, και R ( η αξιοπιστία Ο μέσος χρόνος λειτουργίας του συστήματος (ο χρόνος έως την εμφάνιση βλάβης ή την προληπτική παρέμβαση) υπολογίζεται ως εξής 5

6 t ( dt ( dt tr( dt R( tr( R( dt R( ) R( dt ) Έστω D η μέση διάρκεια της προληπτικής παρέμβασης και D η μέση διάρκεια της επισκευής μετά από βλάβη Τότε ο μέσος χρόνος μη λειτουργίας του συστήματος είναι D R ) D [ R( )] ( Μεγιστοποίηση διαθεσιμότητας Εξετάζουμε την παράγωγο της διαθεσιμότητας ως προς το χρόνο Έχουμε A A ( ) ( ) ( ), όπου R ( ), ( )( D D ) Αν A D D, έχουμε, επομένως, όπως είναι λογικό, δεν συμφέρει να γίνεται προληπτική συντήρηση ή αντικατάσταση όταν η διάρκεια της προληπτικής παρέμβασης είναι μεγαλύτερη από την διάρκεια της αποκατάστασης της βλάβης Στην αντίθετη περίπτωση ο χρόνος υπολογίζεται από τη λύση της εξίσωσης Αν ο ρυθμός βλαβών z ( είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου ή σταθερός έχουμε R ) ( )( D D ) R( )[ z( )( D D ( )] R( ) ( D D ) z( ) R( dt R( ) ( D D ) z( R( dt 6

7 R( ) ( D D ) ( dt R( )[ ( D D ) F( )] R( ) D όπου στα προηγούμενα χρησιμοποιήθηκε η σχέση ( z( R(, Ελαχιστοποίηση κόστους Έστω C το κόστος προληπτικής παρέμβασης και C το κόστος επισκευής μετά από βλάβη Το μέσο κόστος C δίνεται από το μέσο κόστος ενός κύκλου λειτουργίας-μη λειτουργίας προς τη μέση διάρκεια του κύκλου, δηλαδή C R( ) C [ R( )] C Η τιμή του που ελαχιστοποιεί το κόστος είναι αυτή που μηδενίζει την παράγωγο C, αν φυσικά μία τέτοια τιμή υπάρχει Περίπτωση Το κόστος είναι ανάλογο του χρόνου μη λειτουργίας, δηλαδή C kd και kd C k( A) C για κάποια σταθερά k Εύκολα αποδεικνύεται ότι, άρα η τιμή του που μεγιστοποιεί τη διαθεσιμότητα ελαχιστοποιεί το κόστος Περίπτωση Ο χρόνος μη λειτουργίας είναι αμελητέος, δηλαδή ) Όταν C C ή ο ρυθμός βλαβών είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου (DFR), δεν συμφέρει να γίνεται προληπτική συντήρηση ή αντικατάσταση ) Ο ρυθμός βλαβών είναι αύξουσα συνάρτηση του χρόνου (IFR) α) Αν zt (), υπάρχει τιμή του προληπτική συντήρηση συμφέρει β) Αν zt () προληπτική συντήρηση που μηδενίζει την παράγωγο C, άρα η και C C MF C, δεν συμφέρει να γίνεται Πολιτικές αντικατάστασης εξοπλισμού Θα υπολογίσουμε τον βέλτιστο χρόνο αντικατάστασης εξοπλισμού με βάση την τιμή αγοράς, το κόστος συντήρησης και την τιμή μεταπώλησης Έστω C : τιμή αγοράς, k ( ): κόστος συντήρησης για την περίοδο k, St: () τιμή μεταπώλησης μετά από χρήση t περιόδων 7

8 Το μέσο κόστος για χρήση περιόδων είναι K ( ) C ( k ) S ( ) k Ο βέλτιστος χρόνος αντικατάστασης είναι αυτός που ελαχιστοποιεί το K ( ) Μεταβλητή αξία χρήματος Έστω τώρα ότι στους υπολογισμούς λαμβάνεται υπ όψιν επιτόκιο για κάθε χρονική περίοδο Αυτό σημαίνει ότι ένα ποσόν x στην αρχή της περιόδου t έχει παρούσα αξία PV( x) x ( ) t Έστω u ( ) Υποθέτοντας ότι το κόστος συντήρησης καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου, η παρούσα αξία του κόστους χρήσης για περιόδους είναι ίση με PV( ) ( ) C k u k S ( ) u k Έστω x( ) το μέσο κόστος για χρήση περιόδων Έχουμε k u u PV( ) x ( ) u x ( ) x ( ) PV( ) k u u Ο βέλτιστος χρόνος αντικατάστασης είναι αυτός που ελαχιστοποιεί το x( ) Ανάλυση δεδομένων Ο μηχανισμός βλαβών (κατανομή χρόνου λειτουργίας, συνάρτηση αξιοπιστίας, ρυθμός βλαβών) προσδιορίζεται βάσει δεδομένων που συλλέγονται είτε κατά τη διάρκεια λειτουργίας των υπό μελέτη μονάδων είτε κατά τη διάρκεια προγραμματισμένων δοκιμών των μονάδων αυτών Τύποι δεδομένων Πλήρη δεδομένα: Περιέχουν αποκλειστικά χρόνους βλαβών Λογοκριμένα δεδομένα: Περιέχουν και χρόνους λειτουργίας μονάδων που δεν έπαθαν βλάβη Τα δεδομένα αυτά ανήκουν σε δύο κατηγορίες Μοναδικώς λογοκριμένα: Τέτοια δεδομένα προκύπτουν όταν οι δοκιμές έχουν ένα προκαθορισμένο χρόνο λήξης προκαθορισμένο αριθμό βλαβών r (τύπου ΙΙ) * t (τύπου Ι) ή όταν λήγουν μετά ένα Πολλαπλώς λογοκριμένα: Τέτοια δεδομένα προκύπτουν όταν κάποιες μονάδες αποσύρονται πριν από τη λήξη των δοκιμών χωρίς να έχουν πάθει βλάβη 8

9 Ομαδοποιημένα δεδομένα: Οι διάφοροι χρόνοι (βλαβών και αποσύρσεων) ομαδοποιούνται σε διάφορα χρονικά διαστήματα Για κάθε διάστημα καταγράφεται τα πλήθος των δεδομένων που περιέχει και όχι οι ακριβείς τιμές τους Εμπειρικές μέθοδοι Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της συνάρτησης αξιοπιστίας, της κατανομής του χρόνου λειτουργίας, του ρυθμού βλαβών και του χρόνου MF Μη ομαδοποιημένα πλήρη δεδομένα Έστω t t t οι χρόνοι βλάβης που έχουν καταγραφεί Μία εκτίμηση της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής (πιθανότητα βλάβης πριν από ορισμένη χρονική στιγμή) είναι η Ft ˆ ( ) ( ),,,, Επομένως η συνάρτηση αξιοπιστίας εκτιμάται από την ˆ ˆ Rt ( ) Ft ( ) Για t t t με γραμμική παρεμβολή μεταξύ των παραπάνω τιμών παίρνουμε ˆ ˆ t t R() t R( t ) Rˆ( t ) Rˆ( t ) t t Επειδή () t R() t και zt () () t Rt (), η πυκνότητα πιθανότητας του χρόνου λειτουργίας και ο ρυθμός βλαβών εκτιμώνται από τα ˆ( ) ˆ( ) ˆ ˆ Rt Rt () t t t t t zˆ t t t Rˆ( t ) (),, () Τέλος, ο μέσος χρόνος έως τη βλάβη εκτιμάται από τον μέσο όρο των καταγεγραμμένων χρόνων βλαβών, δηλαδή ^ tt t MF Oμαδοποιημένα πλήρη δεδομένα Έστω ότι τα δεδομένα, τον αριθμό, έχουν ομαδοποιηθεί σε k διαστήματα ( t, t],,,, k, με t Αν είναι ο αριθμός των μονάδων που δεν έχουν πάθει βλάβη έως τη χρονική στιγμή t, η αξιοπιστία εκτιμάται από την R ˆ( t ),,,, k Για τις χρονικές στιγμές που δεν συμπίπτουν με τα άκρα των διαστημάτων η συνάρτηση αξιοπιστίας υπολογίζεται με γραμμική παρεμβολή (όπως στην περίπτωση των μη ομαδοποιημένων δεδομένων) Παρόμοια υπολογίζονται οι εκτιμήτριες των () t και zt () Για την εκτίμηση του 9

10 χρόνου MF θεωρούμε ότι τα δεδομένα που περιέχονται σε ένα διάστημα συμπίπτουν με το μέσον του διαστήματος Έτσι έχουμε ^ k MF t, όπου και t ( t t ) είναι το μέσον του διαστήματος ( t, t] Μη ομαδοποιημένα λογοκριμένα δεδομένα Για μοναδικώς λογοκριμένα δεδομένα η εκτίμηση των R() t, () t και zt () γίνεται όπως και στην περίπτωση των πλήρων δεδομένων Ο χρόνος MΤF όμως δεν μπορεί να εκτιμηθεί διότι δεν είναι γνωστός ο χρόνος λειτουργίας των μονάδων που δεν έπαθαν βλάβη μέχρι τη λήξη των δοκιμών Για πολλαπλώς λογοκριμένα δεδομένα έχουν προταθεί διάφορες εκτιμήτριες για τη συνάρτηση αξιοπιστίας Μία από αυτές είναι η εκτιμήτρια ορίου γινομένου (roduct lt estator) Έστω t t t οι καταγεγραμμένοι χρόνοι που περιέχουν και τους χρόνους απόσυρσης Σε πρώτη φάση η αξιοπιστία εκτιμάται από την αναδρομική σχέση ˆ Rt ( ) ˆ Rt ( ),,,,, t, όπου αν ο t είναι χρόνος βλάβης και αν ο t είναι χρόνος απόσυρσης Η πλήρης συνάρτηση αξιοπιστίας προκύπτει με γραμμική παρεμβολή μεταξύ των τιμών Rˆ( t ) που αντιστοιχούν σε χρόνους βλάβης Η εκτίμηση των () t και zt () γίνεται όπως και στην περίπτωση των πλήρων δεδομένων Ομαδοποιημένα λογοκριμένα δεδομένα Έστω ότι τα δεδομένα, τον αριθμό, έχουν ομαδοποιηθεί σε k διαστήματα ( t, t],,,, k, με t Η συνάρτηση αξιοπιστίας εκτιμάται πρώτα για τα άκρα των διαστημάτων και μετά γίνεται γραμμική παρεμβολή μεταξύ αυτών των τιμών Η εκτίμηση γίνεται με βάση τον αναδρομικό τύπο όπου ˆ F R( t ) ˆ R( t ),,,, k, H F : αριθμός βλαβών στο διάστημα t (, t ] C : αριθμός αποσύρσεων στο διάστημα t (, t ] H : αριθμός μονάδων που έχουν απομείνει τη χρονική στιγμή t

11 C H H Η εκτίμηση των () t και zt () γίνεται όπως και στην περίπτωση των πλήρων δεδομένων Στατιστικές μέθοδοι Με τις μεθόδους αυτές επιδιώκεται ο προσδιορισμός κάποιας συγκεκριμένης κατανομής (πχ εκθετική, Webull, κανονική) που προσαρμόζεται ικανοποιητικά στα δεδομένα Υπάρχουν διάφοροι στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων (πχ έλεγχος, Kologorov-Srov) οι οποίοι για δεδομένη κατανομή ελέγχουν αν υπάρχει καλή προσαρμογή στα δεδομένα Απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρμογή των ελέγχων αυτών είναι να έχουν εκτιμηθεί οι παράμετροι που χαρακτηρίζουν την εν λόγω κατανομή Για παράδειγμα, για την εκθετική κατανομή πρέπει να έχει εκτιμηθεί η μέση τιμή της, ενώ για την Webull οι παράμετροι σχήματος και κλίμακας Έστω ότι η συγκεκριμένη κατανομή χαρακτηρίζεται από το διάνυσμα παραμέτρων [,,, k ] και (; t ), R(; t ) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η αξιοπιστία αντίστοιχα (πχ για την εκθετική (; t ) e t και R(; t ) e t ) Έστω t, t,, t οι καταγεγραμμένοι χρόνοι που περιλαμβάνουν χρόνους βλάβης και χρόνους απόσυρσης Η συνάρτηση πιθανοφάνειας (lkelhood ucto) L( ) δίνει την πιθανότητα των δεδομένων αυτών συναρτήσει των τιμών των παραμέτρων,,, k Συγκεκριμένα, L( ) ( t; ) R( t; ), όπου το σύνολο F αντιστοιχεί στους χρόνους βλάβης και το σύνολο C στους χρόνους απόσυρσης Οι εκτιμήτριες των παραμέτρων,,, k είναι οι τιμές που μεγιστοποιούν την L( ) Η μεγιστοποίηση αυτή δίνει τα εξής αποτελέσματα για τις παρακάτω κατανομές Εκθετική Έστω ότι υπάρχουν r βλάβες στο σύνολο των δεδομένων Ο ρυθμός βλαβών εκτιμάται από το ˆ r t Webull Για r βλάβες στο σύνολο των δεδομένων η παράμετρος σχήματος εκτιμάται από τη λύση της εξίσωσης F C

12 ˆ t l ˆ t t l t r ˆ F Το δεξιό μέλος της εξίσωσης είναι αύξουσα συνάρτηση του ˆ, άρα η εξίσωση μπορεί να λυθεί εύκολα με δοκιμές Αφού υπολογιστεί η εκτιμήτρια παράμετρος κλίμακας εκτιμάται από την ˆ ˆ t ˆ, η ˆ r Κανονική Η συνάρτηση πιθανοφάνειας μπορεί να υπολογιστεί μόνο αν δεν υπάρχουν αποσύρσεις (πλήρη δεδομένα) Σε αυτήν την περίπτωση οι εκτιμήτριες της μέσης τιμής και της διασποράς είναι οι ˆ t t ˆ, ˆ Λογαριθμοκανονική Για πλήρη δεδομένα οι εκτιμήτριες της διαμέσου t ed και της παραμέτρου σχήματος s είναι οι ˆted l t ˆ e, όπου ˆ, και sˆ l t ˆ