ELEMENTARIOJI TEORIJA
|
|
- Μάξιμος Λαγός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais. Prancûzø matematikai B. Paskalis (Blaise Pascal, ) ir P. Ferma (Pierre de Fermat, ), nagrinëdami azartinius loðimus ir kartu klodami takà tikimybiø teorijai, mokëjo suskaièiuoti kai kuriuos junginius ir skaidinius. Vokietis G. Leibnicas (Gottfried Wilhelm von Leibniz, ) laiðke á Ðveicarijà J. Bernuliui (Jacob Bernoulli, ) pasiûlë iðtirti natûraliojo skaièiaus iðraiðkø natûraliøjø dëmenø suma skaièiø. G. Leibnicas 1666 m. publikavo Dissertatio de arte combinatoria. Ðià datà pelnytai galëtume vadinti kombinatorikos gimimo metais. Ið kombinatorikos iðsirutuliavusios grafø teorijos pradþia siejama su 1736 m., kai ðveicarø matematikas L. Oileris (Leonhard Euler, ) iðnagrinëjo ir apibendrino senojo Karaliauèiaus septyniø tiltø problemà ir nustatë marðrutø, einanèiø per visas grafo briaunas, egzistavimo sàlygas. Devynioliktojo amþiaus antroje pusëje iðkilo þemëlapiø spalvinimo problema. Dramatiðkai rutuliota beveik visà ðimtmetá, ji buvo iðspræsta 1976 m. ir tik panaudojus kompiuterá. Dvideðimto amþiaus pirmojoje pusëje gauti kombinatorikos ir grafø teorijos rezultatai suformavo pagrindines tolesniø tyrimø kryptis. Jie tapo svarbûs chemijoje, fizikoje, matematikos kryptyse. Tada pasirodë pirmosios ðios mokslo ðakos knygos. Bet apie viskà ið pradþiø...
2
3 1. Pagrindiniai principai 1.1. Aibė, atvaizdis, saryšis Viena iš svarbiausių matematikos sąvokų yra aibė. Ją įsivaizduojame kaip tam tikrų elementų, paimtų pagal kokį nors požymį, visumą. Šnekamojoje kalboje panašia prasme vartojamos sąvokos rinkinys, šeima, klasė ir kita. Išskirtinis aibės bruožas yra tas, kad jos elementai yra skirtingi. Kai kokiame nors rinkinyje yra pasikartojančių elementų, jį galima vadinti multiaibe. Aibes žymėsime didžiosiomis raidėmis, jos elementus mažosiomis. Žymuo a A skaitomas a priklauso A. Labai patogu turėti ir tuščiąją aibę, kurioje nėra jokio elemento. Aibė B yra A poaibis, jei kiekvienas b B priklauso ir aibei A. Tokį faktą žymėsime B A. Visada A. Pačias aibes galima apibrėžti išrašant jų elementus, o kai tai nepavyksta, galima naudoti figūrinius skliaustus ir nurodyti juose taisyklę, pagal kurią elementai priskiriami šiai aibei. Visi žinome natūraliųjų, sveikųjų ir realiųjų skaičių aibes, tradiciškai žymimas atitinkamomis raidėmis N, Z ir R, arba pastarųjų poaibius Z + ir R +, kuriuose yra tik neneigiami skaičiai. Vadinasi, o aibė Z + = {x Z: x 0}, R + = {x R: x 0}, N x : = {m N: m x} yra sudaryta iš natūraliųjų skaičių, neviršijančių x R. Jei x < 1, turime N x =. Natūralusis skaičius, ne mažesnis už 2, vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik iš 1 ir savęs. Pirminių skaičių aibę galėtume užrašyti taip: {n N: n pirminis skaičius}. Skaitytojui, nepamiršusiam Pitagoro teoremos, pateiksime kitą pavyzdį. Plokštumos taškų, nutolusių per vienetą nuo koordinačių pradžios, aibę, vadinamą vienetiniu apskritimu, užrašytume {(x, y): x 2 + y 2 = 1, x, y R}; (1.1) čia pora (x, y) žymi taško koordinates. Įveskime veiksmus su aibėmis ir jų žymenis. Aibių A ir B sąjunga vadinama aibė A B := {x: x A arba x B}. Čia ir vėliau dvitaškis prie lygybės nurodo, kad apibrėžiami nauji objektai, šiuo atveju nauja aibė. Aibių A ir B sankirta vadinama aibė A B := {x: x A ir x B}. Jei A B =, tai A ir B neturi bendrų elementų. Trumpai sakysime, kad jos nesikerta. 13
4 ELEMENTARIOJI TEORIJA Jei C = A B ir A B =, tai sąjungą vadinsime tiesiogine. Išraišką tiesiogine sąjunga A = A 1 A 2 A k, A i, 1 i < j k, vadiname aibės A skaidiniu. Pridedant žodį tiesioginė, galima ir nebepriminti, kad A i A j =, 1 i < j k. Aibė A \ B := {x: x A, x B} vadinama A ir B skirtumu, o A B := (A B) \ (A B) simetriniu skirtumu. Visos naujai įvestos aibės 1.1 paveiksle yra užbrūkšniuotos. A A A A B B B B A B A B A \ B A B 1.1 pav. Matematikoje, ypač kombinatorikoje, dažnai turint vienus objektus apibrėžiami sudėtingesni. Iš dviejų aibių A ir B elementų galima sudarinėti sutvarkytąsias poras (a, b), čia a A ir b B. Visų tokių porų aibė vadinama Dekarto 1 sandauga, žymima A B. Taip iš realiųjų skaičių tiesės (ją žymėsime R) gaunamas Dekarto kvadratas R R := R 2 plokštuma. Apibrėždami Dekarto sandaugą galėjome įsivaizduoti, kad poros (a, b) elementai nepriklausomai vienas nuo kito perbėga (kinta) savąsias aibes. Realiai gyvenime dviejų objektų sąryšis nieko nestebina. Sakydami atitiko kirvis kotą, turime omenyje kirvių ir kotų aibes, bet tik du elementus susiejame. Posakyje studentai ir jų draugės iš jaunuolių ir merginų porų aibės išskiriame studentiškąsias. Formaliai dviejų aibių A ir B Dekarto sandaugos poaibis S vadinamas tų aibių binariuoju sąryšiu. Elementų susiejimą galima žymėti (a, b) S ar net a S b. Plačiau panagrinėkime Dekarto sandaugą X 2 := X X. Jos poaibis S susieja tos pačios aibės X elementus, todėl yra natūralu sakyti, kad sąryšis S yra apibrėžtas aibėje, nors formaliai S X 2. Iš pirmo žvilgsnio tai truputį stebina: aibės viduje nustatytas sąryšis yra X 2 poaibis! Reikia apsiprasti ir tiek. Vienetinio apskritimo (1.1) apibrėžimas yra vaizdus sąryšio nusakymo realioje tiesėje pavyzdys. Paminėkime keletą svarbesnių sąryšių savybių. 1 René Descartes ( ) prancūzų matematikas ir filosofas. 14
5 1 skyrius. Pagrindiniai principai Sakysime, kad: 1) S yra refleksyvusis, jei (x, x) S visiems x X; 2) S yra simetrinis, jei visiems x, y X iš (x, y) S išplaukia (y, x) S; 3) S yra tranzityvusis, jei visiems x, y, z X iš (x, y) S ir (y, z) S išplaukia (x, z) S. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibėje R lygybe apibrėžtas sąryšis turi visas išvardytas savybes, tačiau panaudoję ženklą gauname refleksyvų ir tranzityvų, bet nesimetrinį sąryšį. Refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus sąryšis vadinamas ekvivalentumo sąryšiu. Tada žymenį (x, y) S patogu pakeisti ir tokiu: x y. Skaitysime x yra ekvivalentus y. Aibę elementų, ekvivalenčių x, t. y. x := {y X: y x}, vadiname ekvivalentumo klase, kurioje yra x. Ateityje ne kartą remsimės tokiu teiginiu. 1.1 teorema. Tegul S yra ekvivalentumo sąryšis aibėje X. Tada egzistuoja aibės X skaidinys X = α X α ; čia α perbėga tam tikrą indeksų aibę, o X α yra skirtingos ekvivalentumo klasės. Įrodymas. Pastebėkime, kad ekvivalentumo klasės arba sutampa, arba nesikerta. Iš tiesų, jei x X α X β, tai pagal tranzityvumo savybę bet kuris elementas iš vienos ar kitos aibės būtų ekvivalentus x. Todėl X α x, ir atvirkščiai, x X α. Taigi x = X α. Panašiai x = X β. Vadinasi, X α = X β. Elementai, nepatekę į klasę x, priklauso kitoms klasėms. Paėmę jų sąjungą, gauname norimą skaidinį. Teorema įrodyta. Kita svarbi matematikos sąvoka yra atvaizdis. Tarkime, kad X ir Y yra netuščios aibės. Taisyklė, pagal kurią kiekvienam X elementui priskiriamas vienintelis aibės Y elementas, vadinama aibės X atvaizdžiu aibėje Y. Jei atvaizdį pažymėtume raide f, tai toliau galėtume užrašyti vaizdžiau vienu iš būdų f: X Y, y = f(x), x y, nurodydami, kad čia x kinta aibėje X, o y Y. Juose atsispindi ir atvaizdžio apibrėžimo sritis X, ir atvaizdžio reikšmių sritis Y, ir jo kryptis. Baigtinių aibių atveju patogu naudoti lenteles. Pavyzdžiui, f := ( ), g := ( ) Dar išraiškingesni yra tokie brėžiniai, kaip parodyta 1.2 ir 1.3 paveiksluose. Tai vadinamieji funkciniai digrafai. 15
6 ELEMENTARIOJI TEORIJA pav pav. Atvaizdis f yra pavaizduotas 1.2 paveiksle. Atvaizdžio g funkcinis digrafas pavaizduotas 1.3 paveiksle. Aibė f(x) = {y Y : y = f(x), x X} Y vadinama X vaizdu. Jį sudaro visi elementai y, kuriuos galime gauti iš lygybės y = f(x), kai x perbėga visą aibę X. Jei y = f(x), tai y yra x vaizdas, o x yra y pirmavaizdis. Vienas elementas y gali turėti ir daugiau pirmavaizdžių. Visą jų aibę pažymėkime f 1 (y). Tada f 1 (y) = {x X: f(x) = y} X. Skirtingų y aibės f 1 (y) nesikerta. Pastebėkime dar vieną svarbią savybę. 1.2 teorema. Jei f: X Y yra atvaizdis, tai egzistuoja skaidinys X = y f 1 (y); čia y perbėga tam tikrus aibės Y elementus. Įrodymas. Sakykime, kad x 1 x 2, jei f(x 1 ) = f(x 2 ) = y. Tai yra ekvivalentumo sąryšis. Toliau pakanka pritaikyti 1.1 teoremą. Teorema įrodyta. Pastebėkime, kad 1.2 teoremoje pateikta lygybė išlieka teisinga ir tada, kai y perbėga visus aibės Y elementus. Šiuo atveju sąjungoje gali būti tuščių aibių. Išskirkime keletą atvaizdžių tipų. Jeigu f skirtingus elementus atvaizduoja į skirtingus, tai jis vadinamas injekciniu atvaizdžiu, arba trumpai injekcija. Tada kiekvienas 16
7 1 skyrius. Pagrindiniai principai y Y turi ne daugiau kaip vieną pirmavaizdį. Jeigu visi y Y turi bent vieną pirmavaizdį, tai f vadinamas siurjekciniu aibės X atvaizdžiu į aibę Y, arba siurjekcija. Pasinaudoję mūsų žymenimis, tada turėtume f(x) = Y. Dažniausiai pasitaikys atvaizdžiai, kurie kartu yra ir injekciniai, ir siurjekciniai. Juos vadinsime bijekciniais atvaizdžiais, arba bijekcijomis. Įsidėmėkime, kad bijekcinis atvaizdis kiekvienam x iš aibės X priskiria vieną ir tik vieną elementą iš Y, be to, kiekvienas y Y turi vienintelį pirmavaizdį. Vadinasi, galime apibrėžti atvaizdį kita kryptimi: y x; čia y Y, o x X. Jį žymėsime f 1 ir vadinsime atvirkštiniu atvaizdžiu. Taigi f 1 : Y X ir f 1 (y) = x tada ir tik tada, jei f(x) = y su visais x X ir y Y. Jeigu mums nesvarbi atvaizdžio kryptis, tai bijekcinį atvaizdį galime vaizduoti tokiu būdu: x y, x X, y Y. Tada galima išvengti tarptautinių žodžių ir sakyti, kad tarp aibių X ir Y yra apibrėžta abipusiškai vienareikšmė atitiktis, arba aibėje X yra apibrėžtas abipusiškai vienareikšmis atvaizdis į aibę Y. Dažnai vietoje atvaizdžio vartojamas žodis funkcija. Mes tai darysime, kai X ir Y bus skaičių aibės Matematinė indukcija Žmonės abipusiškai vienareikšmius atvaizdžius naudoja nuo tada, kai išmoko skaičiuoti. Moksliškai kalbant, tada jie išmoko nustatyti aibės galią, t. y. jos elementų skaičių. Aibės A galią patogu žymėti A. Bet, šiukštu, nepainiokite su skaičiaus absoliučiuoju didumu, arba moduliu! Kitoje mokslinėje literatūroje rasite ir žymenis card A arba #A. Aišku, kad nulinę galią turi tik tuščioji aibė ir = 0. Dažnai n-osios galios aibę vadiname trumpai n aibe. Skaičiuodami aibės elementus bandome priskirti jiems numerius: 1 vienam elementui, 2 kitam ir taip paeiliui kitus natūraliuosius skaičius. Didžiausias numeris, jei jis egzistuoja (yra baigtinis), yra aibės galia. Pati aibė tada vadinama baigtine. Skaičiavimo procese apibrėžiame injekcinę funkciją num: A N, kurios reikšmių sritis yra aibė num(a) = {1, 2,..., A }. Aišku, kad A = num(a), o atvaizdis num: A num(a) yra bijekcinis. Jei A yra begalinė, bet vis tiek pavyksta apibrėžti abipusiškai vienareikšmę atitiktį A N, tai ją vadiname skaičiąja aibe. Įžvelkime dar, kad skaičiuojant elementus aibėje įvedamas jų eiliškumas. Atvaizdis num surikiuoja aibės A elementus tam tikra tvarka. Suskaičiuoti išmokome, bet apie patį instrumentą, natūraliuosius skaičus, nieko taip ir nepasakėme. Kombinatorikoje dažnai aibių elementai užkoduojami, t. y. jiems abipusiškai vienareikšmiškai priskiriami kokie nors kiti simboliai. Tada kodai atlieka 17
8 ELEMENTARIOJI TEORIJA skaičiuotojo vaidmenį. Kodėl ne, jei taip patogiau, bet prieš tai reikia gerai žinoti šių kodų savybes. Skaičiavimo proceso, kai aibės galia n yra didelė, pabaigti nepavyks. Tada pasitelksime intuiciją ir bandysime atspėti: su visais natūraliaisiais skaičiais n teisinga formulė.... Čia slypi nemaža galimybė suklysti. Klaidos nepadarysime, jei sugebėsime tą formulę įrodyti. Dažnai gelbsti formalus patikrinimas, besiremiantis matematinės indukcijos principu. Jis kyla iš paties natūraliųjų skaičių aibės aksiominio apibrėžimo. L. Kronekeriui 2 priskiriamas toks pasakymas: Dievas sukūrė natūraliuosius skaičius, visa kita yra žmogaus darbas. Bet ir juos apibrėždamas žmogus įvedė savo tvarką. Natūraliųjų skaičių aksiomatika priklauso matematinei logikai, bet vis tiek ją verta čia prisiminti. Pateiksime bene populiariausią Dž. Peano m. įvestą aksiomų sistemą. Beje, literatūroje aksiomos formuluojamos gana įvairiai, nors ekvivalenčiai. Pavyzdžiui, ir pats Dž. Peano antrame sistemos variante nulį priskyrė natūraliųjų skaičių aibei, nors anksčiau pradėdavo nuo vieneto. Tegul, kaip įprasta matematinėje logikoje, simbolių,, ir atitinkamos reikšmės yra išplaukia, kiekvienam, ir, arba. 1.1 apibrėžimas. Natūraliaisiais skaičiais vadiname aibės N elementus, jeigu 1 N ir joje apibrėžta tokia funkcija a a, a, a N, kad: 1) {a N} {a 1}; 2) {a N} {b N} {a = b } {a = b}; 3) {M N} {1 M} {{a M} {a M}} M = N. Galime įsivaizduoti, kad apibrėžime minima funkcija pasako, jog a eina po a. Pirmoji sąlyga reikalauja, kad 1 neitų po jokio kito elemento, o antroji nurodo, kad elementas gali eiti tik po vieno elemento. Mums svarbiausias yra paskutinis reikalavimas. Perfrazuokime jį dar kartą. Indukcijos aksioma. Jei natūraliųjų skaičių aibės poaibyje M yra vienetas ir kartu su kiekvienu n N poaibyje M yra ir po jo einantis n, tai M = N. Indukcijos aksiomą pirmąkart 1888 m. suformulavo J. Dedekindas 4, nors panašiu tvirtinimu naudojosi ir B. Paskalis. Aibės N elementus 1, 1, (1 ),... naujai pažymėkime 1, 2, 3,.... Sąryšį, nurodantį, kas po ko eina, galime žymėti 1 < 2 < 3 <. Žvilgtelėkime, kaip aibėje N galėtume įvesti sudėties operaciją. Turėdami a, a N, apibrėžkime a + 1 := a. 2 Leopold Kronecker ( ) vokiečių matematikas. 3 Giuseppe Peano ( ) italų matematikas. 4 Julius Wilhelm Richard Dedekind ( ) vokiečių matematikas. 18
9 1 skyrius. Pagrindiniai principai Toliau tarę, kad a + n su n N yra jau apibrėžtas skaičius, įveskime a + n + 1 := a + n := (a + n). Aibė M, sudaryta iš skaičių n, kuriuos jau mokame pridėti prie a, tenkina abu indukcijos aksiomos reikalavimus. Vadinasi, M sutampa su visa natūraliųjų skaičių aibe. Kitaip tariant, suma a + n yra apibrėžta visiems n N. Tęsiant gaunama algebrinė struktūra N, t. y. aibė su joje apibrėžtomis algebrinėmis sudėties ir daugybos operacijomis. Aksiomos, žinoma, užsimiršta ir natūraliuosius skaičius naudojame kaip Dievo duotus. Indukcijos principas dažniausiai bus taikomas tokia forma: Tegu P (n) yra koks nors teiginys apie natūralųjį skaičių n. Tarkime, P (1) yra teisingas ir kiekvienam n iš prielaidos, jog P (n) teisingas, sugebame išvesti, kad P (n + 1) taip pat yra teisingas. Darome išvadą, kad teiginys P (n) yra teisingas visiems n N. Kitas galimas variantas: Tarkime, P (n 0 ) yra teisinga su n 0 N ir kiekvienam n n 0 iš prielaidos, kad P (n) teisingas, sugebame išvesti, jog P (n + 1) taip pat yra teisingas. Darome išvadą, kad teiginys P (n) yra teisingas visiems n n 0. Klaidos nebus, nes skaičius n n 0 galime pernumeruoti pradėdami nuo vieneto ir pritaikyti ankstesnį principą. Indukcijos aksiomoje teiginys P (n) išvedamas iš P (n 1). Tai nėra būtina, galima jį išvesti iš didesnio skaičiaus prielaidų P (1), P (2),..., P (n 1). Suformuluosime dar vieną indukcijos aksiomos variantą. Indukcijos aksioma*. Tegul 1 M N ir bet kokiam n N iš prielaidos { m < n, m M} išplaukia {n M}. Tada M = N. Atrodytų, kad čia naudojama sąlyga yra platesnė, nes vietoje pirmojo varianto sąlygos n 1 M dabar turime daugiau informacijos, net apie visus m < n. Iš tiesų antroji aksiomos formuluotė nėra bendresnė. Pakanka apibrėžti teiginį P (n 1) = { m < n, m M}. Dabar turime tik prielaidą P (n 1) ir tik iš jos išvedame P (n). Matematinė indukcija yra rekursyviųjų apibrėžimų pagrindas. Visi yra girdėję apie aritmetinę progresiją {a n }, n 1, apibrėžiamą pirmuoju nariu a 1 R, skirtumu d R ir formule a n+1 = a n + d, kai n 1. Iš tiesų čia jau pasinaudota indukcija, nes apibrėžiant a n+1 tariama, kad prieš tai buvęs sekos narys a n yra apibrėžtas. Panašiai įvesdami sumas s n := a 1 + a a n naudojame daugtaškį. etapų: Jis sutrumpina indukcinį apibrėžimą, kuris susidėtų iš dviejų s 1 := a 1, s n := s n 1 + a n. 19
10 ELEMENTARIOJI TEORIJA Naudojantis indukcijos principu apibrėžiama n aibių Dekarto sandauga A 1 A 2 A n := (A 1 A 2 A n 1 ) A n, kai n N yra bet koks. Toliau panašius apibrėžimus įvesime be atskiro komentaro. Kaip matematinę indukciją taikome spręsdami uždavinius? Iš pradžių išveskime aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę a n = a 1 +(n 1)d. Kai n = 1, tai akivaizdu. Tarę, kad a n 1 = a 1 + (n 2)d yra teisinga, tikriname a n = a n 1 + d = (a 1 + (n 2)d) + d = a 1 + (n 1)d. Remdamiesi indukcijos aksioma, darome išvadą: formulė yra teisinga su visais n N. Imkime kitą pavyzdį. Įrodinėjant teiginį, kad n 2 5n 4 kiekvienam natūraliajam skaičiui n 4, vargu ar tikslinga taikyti indukciją. Tačiau tikrinant, ar n 3 6n 2 + 9n 4 kiekvienam n 4, taikyti indukcijos principą, manyčiau, yra tikslinga. Iš tiesų, kai n = 4, nelygybė virsta lygybe. Tarę, kad nelygybė jau įrodyta dėl n, skaičiuojame (n + 1) 3 6(n + 1) 2 + 9(n + 1) = n(n 2 6n + 9) + 3n(n 3) + 1 4, nes kvadratinis trinaris yra teigiamas, jei n 4. Tuo baigiame įrodymą. Išnagrinėkime porą sudėtingesnių pavyzdžių. 1.1 pavyzdys. Įrodysime, kad n plokštumos tiesių, tarp kurių nėra dviejų lygiagrečių ir bet kurios trys iš jų nesikerta viename taške, dalija plokštumą į sričių. p n = 1 + n(n + 1) 2 Sprendimas. Brėždami tieses, randame p 0 = 1, p 1 = 2, p 2 = 4, p 3 = 7 ir t. t. Greitai įsitikiname, kad ši seka nėra nei aritmetinė, nei geometrinė progresija. Jei pavyktų susieti du gretimus sekos narius, tai galėtume taikyti indukcijos principą. Pabandykime. Tarkime, kad jau išvedėme (n 1)-ą tiesę ir nustatėme plokštumos sričių skaičių p n 1. Vedame n-ąją tiesę. Keliaukime ja nuo taško, esančio dar iki pirmojo susikirtimo su viena iš išvestųjų tiesių. Pastebėkime, kad vieną sritį naujoji tiesė padalijo į dvi. Keliaudami toliau matome, kad už kiekvieno susikirtimo su tiesėmis esančios sritys taip pat dalijamos į dvi. Kadangi n-oji tiesė dalija n sričių, gauname norimą sąryšį p n = p n 1 + n. Kadangi p 0 = 1, vadovaudamiesi indukcijos principu matome, kad seka {p(n)}, n 0, yra apibrėžta. Dar kartą pritaikę indukcijos prielaidą, t. y. (1.2) formulę dėl n 1, ir ką tik įrodytą sąryšį, gauname n(n 1) n(n + 1) p n = n = Vadinasi, p n formulė yra teisinga su visais n 0. (1.2) 20
11 1 skyrius. Pagrindiniai principai 1.2 pavyzdys. Triušių pora per antrą mėnesį atsivedė naują porelę jauniklių ir vėliau kas mėnesį dar po porelę. Kitos porelės elgėsi taip pat. Pažymėkime F n triušių porų skaičių n-ojo mėnesio pabaigoje. Įrodykime, kad F n = ( 5 + 1) n+1 (1 5) n+1 2 n+1, n 0. (1.3) 5 Sprendimas. Tegul n 2. Per n-ąjį mėnesį prie (n 1)-ojo mėnesio pabaigoje buvusių triušių porų prisidėjo (n 2)-ojo mėnesio triušių jaunikliai, todėl F n = F n 1 + F n 2, n 2. Be to, F 0 = F 1 = 1. Tarę, kad (1.3) formulė yra teisinga dėl F n 2 ir F n 1, apskaičiuojame F n. Trumpumo dėlei įvedę vadinamąjį auksinį skaičių gauname α 1 = ( 5 1)/2 ir F n = αn ( α) n α :=, 2 + αn 1 ( α) (n 1) 5 = 1 ] [α n (1 + α 1 ) ( α) n (1 α) 5 = αn+1 ( α) (n+1) 5. Vadinasi, (1.3) lygybė yra teisinga visiems n 0. Seka {F n }, n 0, yra vadinama Fibonačio 5 vardu. Grįžkime prie teorinių samprotavimų. Pastebėkime, kad apibrėžiant N kartu įvedamas ir tvarkos sąryšis šioje aibėje. Sakome, kad a < b (skaitome a mažiau už b ), jei egzistuoja toks d N, kad a + d = b. Be Peano, galimos ir kitos aksiomų sistemos, apibrėžiančios N. Kai kuriose iš jų randame tokį teiginį. Archimedo aksioma. Bet kuriai natūraliųjų skaičių porai a, b galima rasti tokį natūralųjį skaičių n, kad an > b. Šis teiginys išplaukia iš Peano aksiomų, todėl jį reiktų vadinti teorema, tačiau taip ir liko istoriškai susiklostęs pavadinimas. Panašiai prigijo ir kiti beveik akivaizdūs teiginiai. Mes jų neišvedinėsime. Kiekvienas netuščias natūraliųjų skaičių aibės poai- Mažiausiojo elemento principas. bis turi mažiausią elementą. 5 Leonardo Pisano Fibonacci ( ) italų matematikas. 21
12 ELEMENTARIOJI TEORIJA Didžiausiojo elemento principas. Kiekvienas netuščias baigtinis natūraliųjų skaičių aibės poaibis turi didžiausią elementą. Analogiškus teiginius galima suformuluoti ir sveikųjų skaičių aibėje Z. Jais remdamiesi, galime apibrėžti realiojo skaičiaus x sveikąją dalį [x] := max{k Z: k x} ir lubas : x := min{k Z: k x} Dirichlė dėžučiu principas Paradoksas, bet tiriant sudėtingas situacijas, kai kada pakanka paprastų ir beveik akivaizdžių teiginių. Vieną iš tokių yra suformulavęs L. Dirichlė 6. Dirichlė principas. Jei n rutulių yra sudėti į m < n dėžučių, tai bent vienoje dėžutėje yra 2 ar daugiau rutulių. Ne visada šio principo pritaikymas yra toks akivaizdus. Išnagrinėkime elementariosios skaičių teorijos teiginį. Teiginį a dalija b trumpumo dėlei žymėkime a b. 1.3 pavyzdys. Bet kokiame m + 1 elementų poaibyje, išrinktame iš {1, 2,..., 2m}, yra bent du vienas kitą dalijantys skaičiai. Įrodymas. Tegul A yra išrinktasis poaibis ir A = m + 1. Kiekvieną a A galime išreikšti a = 2 k d, čia k 0 ir d yra nelyginis. Todėl d {1, 3,..., 2m 1}. Yra tik m galimybių šiai nelyginei skaičiaus a daliai. Vadinasi, pagal Dirichlė principą bent du aibės A skaičiai turės tą pačią nelyginę dalį. Tegu b = 2 l d A, l 0, yra antrasis skaičius. Jei k l, tai a b, o jei k l, tai b a. Įrodyta. Matome, kad dėžutės turi alegorinę prasmę. Nelyginės dalies priskyrimas yra įsivaizduojamas dėjimu į dėžutę. Savarankiškai įsitikinkite, kad pavyzdyje minimas poaibis turi bent du tarpusavyje pirminius skaičius. Kokios dėžutės bus tada? Dar labiau netikėtas yra toks pavyzdys. 1.4 pavyzdys. Tegu a 1,..., a m yra seka galbūt pasikartojančių natūraliųjų skaičių. Joje egzistuoja toks gretimų narių posekis a k,..., a l, 1 k < l m, kad suma a k + +a l yra skaičiaus m kartotinis. Įrodymas. Imkime aibes N := {0, a 1, a 1 + a 2,..., a a m }, R = {0, 1,..., m 1} ir apibrėžkime funkciją f: N R, skaičiui a N priskirdami jo dalybos iš m liekaną. Kadangi N = m + 1 > m = R, tai pagal Dirichlė principą aibėje N egzistuoja dvi sumos a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ) vokiečių matematikas. 22
13 1 skyrius. Pagrindiniai principai a k 1 ir a a l su ta pačia dalybos iš m liekana. Jei čia 1 k < l m, tai šių sumų skirtumas a k + + a l dalysis iš m. Kaip matėme, yra labai patogu naudoti atvaizdžius. Performuluodami Dirichlė principą jiems, patį teiginį šiek tiek sustiprinsime. 1.3 teorema. Tegu M, N yra aibės, M = m < n = N, o f: N M atvaizdis. Tada egzistuoja toks b M, kad f 1 (b) n/m ; čia x anksčiau apibrėžtos skaičiaus x R lubos. Įrodymas. Pastebėkime, kad iš ankstesnio dėžučių principo išplauktų tik nelygybė f 1 (b) 2. Jei f 1 (b) < n/m kiekvienam b N, tai pasinaudoję 1.2 teorema gautume prieštarą: n = f 1 (b) < n 1 = n m m m = n. b b Taigi bent vienam b turi būti f 1 (b) n m. Kadangi f 1 (b) yra natūralusis skaičius, tai teoremos teiginys išplaukia iš skaičiaus lubų apibrėžimo. Kaip ši teorema taikoma, galima iliustruoti tokiu pavyzdžiu. Pradedančiajam programuotojui dažnai pasiūloma iš baigtinės skirtingų realiųjų skaičių sekos išrinkti monotoninį posekį. Kaip galėtume įvertinti tokio posekio ilgį? 1.4 teorema. Tegu m, n N ir a 1, a 2,..., a mn+1 yra bet kokia skirtingų realiųjų skaičių seka iš mn + 1 narių. Joje egzistuoja monotoniškai didėjantis m + 1 narių posekis arba monotoniškai mažėjantis n + 1 narių posekis. Galimi ir abu variantai. Įrodymas. Dabar Dirichlė principo taikymo galimybė vargu ar įžiūrima. Reikia įrodyti posekio arba a i1 < a i2 < < a im+1, 1 i 1 < i 2 < < i m+1 mn + 1, a j1 > a j2 > > a jn+1, 1 j 1 < j 2 < < j n+1 mn + 1, egzistavimą. Imkime bet kurį sekos narį a i, 1 i mn + 1. Tegu t i ilgiausio didėjančio posekio, prasidedančio a i, ilgis. Jei kuris nors t i m + 1, teoremos teiginys yra teisingas. Tegu dabar t i m visiems 1 i mn + 1. Atvaizdžiui f: a i t i, vaizduojančiam aibę A := {a 1, a 2,..., a mn+1 } aibėje M := {1, 2,..., m}, galime pritaikyti šio skyrelio 1.3 teoremą. Vadinasi, egzistuoja toks s M, kad f(a i ) = s dėl mn + 1 = n + 1 m 23
14 ELEMENTARIOJI TEORIJA skaičių a i A. Nekeisdami jų išsidėstymo tvarkos sekoje, sužymėkime a j1, a j2,..., a jn+1, 1 j 1 < j 2 < < j n+1 mn + 1. Imkime du gretimus šio posekio narius a jk ir a jk+1. Jei a jk < a jk+1, tai pradėję a jk -uoju ir prijungdami didėjantį posekį, prasidedantį a jk+1 ir turintį s narių, gautume didėjantį posekį, prasidedantį a jk, jau iš s + 1 nario. Bet tai prieštara. Vadinasi, a jk > a jk+1 su bet kokais 1 k n + 1. Taigi išrinkome mažėjantį n + 1 elementų posekį. Teorema įrodyta Dauginimo ir dukart skaičiuok taisyklės Kaip suskaičiuoti žinomos baigtinės aibės elementus? Pirma ateinanti į galvą mintis: skaldyk ir valdyk. Tai išreiškiama tokiu akivaizdžiu teiginiu, jau pritaikytu 1.3 teoremos įrodyme. 1.5 teorema. Jei A < ir yra jos skaidinys, tai Įrodymas akivaizdus. A = A = k i=1 A i k A i. i=1 Nesunku suvokti ir vadinamąją dauginimo taisyklę. 1.6 teorema. Jei A 1, A 2,..., A k yra baigtinės aibės, čia k bet koks natūralusis skaičius, tai A 1 A 2 A k = A 1 A 2 A k. Įrodymas. Atvejis k = 1 yra akivaizdus. Jei k = 2, pakanka visas sutvarkytąsias poras (a, b) A 1 A 2 surašyti į lentelę matricą. Ji turės A 1 eilučių ir A 2 stulpelių ir todėl A 1 A 2 elementų. Jei lygybė įrodyta dėl mažesnio nei k 2 skaičiaus aibių, pažymėję iš indukcijos prielaidos gauname B = A 1 A 2 A k 1, A 1 A 2 A k = B A k = B A k = A 1 A 2 A k 1 A k. Teorema įrodyta. Daug kalbėjome apie atvaizdžius. Suskaičiuokime juos. 24
15 1 skyrius. Pagrindiniai principai 1.7 teorema. Jei X = {x 1,..., x n } ir Y = {y 1,..., y m }, tai atvaizdžių aibės galia F(n, m) = m n. F(n, m) := {f: X Y } Įrodymas. Kiekvieną funkciją f F := F(n, m) galime apibrėžti vektoriumi f (f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n )) Y Y Y = Y n. Ši atitiktis F Y n yra abipusiškai vienareikšmė, tad remiantis 1.6 teorema Teorema įrodyta. F = Y n = m n. Įrodyme panaudotas funkcijos kodavimas vektoriumi. Tai labai vaisinga idėja. Išnagrinėkime dar vieną atvejį. 1.8 teorema. Jei A yra n aibė, tai visų jos poaibių, įskaitant ir tuščiąjį, aibės galia lygi 2 n. Įrodymas. Tegu A = {a 1, a 2,..., a n } B = {a i1, a i2,..., a ik }, 1 i 1 < i 2 < < i k n. Poaibiui B sudarykime kodą n-ojo ilgio vektorių (0,..., 1, 0,..., 1,..., 0), kuriame vienetai įrašyti i 1 -oje, i 2 -oje,..., i k -oje pozicijose, o kitos vietos yra užpildytos nuliais. Kadangi kodas priskirtas abipusiškai vienareikšmiškai, tai poaibių aibės galia lygi kodų aibės galiai. Ją iš tiesų jau radome 1.7 teoremoje, kai m = 2. Taigi gauname F = 2 n. Teorema įrodyta. Sunkiau ieškoti sąryšio S A B galios. Formaliai ją galima išreikšti dvilype suma, sudedant tiek vienetų, kiek elementų yra poaibyje S, t. y. S = 1; (a,b) S čia sumuojama pagal tokius a A ir b B, kuriems (a, b) S. Tarkime, kad fiksavę pirmąjį poros narį a A, mokame rasti porų iš S skaičių r a su tokiu a. Tada b B (a,b) S r a = 1. Vadinasi, S = a A r a = a A 1. b B (a,b) S 25
16 ELEMENTARIOJI TEORIJA Tokiu būdu dvilypę sumą išreiškėme kartotine. Panašiai, jei q b := a A (a,b) S yra skaičius porų, turinčių fiksuotą antrąjį narį b ir priklausančių S, tai S = q b = 1. b B b B 1 a A (a,b) S Sulyginę abi S išraiškas, gauname labai svarbų dukart skaičiuok principą: 1 = 1. a A b B b B (a,b) S a A (a,b) S Iš tiesų tai tik sumavimo tvarkos pakeitimas kartotinėje sumoje, bet jis labai svarbus kombinatorikoje. Tad perskaičiuodami pinigus, antrą kartą skaičiuokite juos pagal kitokią sistemą. Tada neapsiriksite! 1.5 pavyzdys. Kiek yra taškų, turinčių natūraliąsias koordinates ir esančių uždarame daugiakampyje D, apribotame tiesių x = 0, y = 0, y = 3, y = x + 6? Sprendimas. Reikia apskaičiuoti sumą Nusibraižome paveikslą. y s := (x,y) D x,y N x 1.4 pav. Iš jo aiškiai matyti, kad tokie taškai yra horizontaliose atkarpose. Pirmoji iš jų yra, kai y = 1. Joje yra 5 taškai. Panašiai 4 taškai yra antroje ir 3 trečioje. Iš viso yra 12 taškų. Nenurodydami, kad x, y N, formaliai tą patį galėjome gauti tokiu būdu: s = 1 = (6 y) = = 18 6 = y 3 1 x 6 y 1 y 3 Apskaičiuodami y-ų sumą, pasinaudojome aritmetinės progresijos sumos formule. 26
17 1 skyrius. Pagrindiniai principai Sukeiskite sumavimo tvarką šiuose skaičiavimuose ir patikrinkite rezultatą. Įsitikinkite, kad taip skaičiuodami, pirmiau surandate skaičių taškų, esančių vertikaliose atkarpose. Išmokime sukeisti sumavimo tvarką ir bendresnėse formulėse. 1.6 pavyzdys. Tegul a ij, i, j N, yra bet kokie skaičiai. Tada j>i 1 a ij = i=1 j=i+1 a ij = j 1 a ij. j=1 i=1 Sprendimas. Pakanka suvokti, kad dvilypėje sumoje indeksai (i, j) perbėga plokštumos taškus su natūraliosiomis koordinatėmis, esančius pirmajame ketvirtyje virš pusiaukampinės ir nepriklausančius jai (žr. 1.5 pav.). y n n 1.5 pav. x 1.7 pavyzdys. Tegu N = {1, 2,..., n}, N 2 = N N, o S = {(d, m): d m, d, m N} yra dalumo sąryšis. Perskaičiuokime dukart šios aibės elementus. Sprendimas. Dabar 1 =: d(m) d n d m yra skaičiaus m skirtingų natūraliųjų daliklių kiekis. O [ n ] 1 = d m n d m skaičiaus d kartotinių, neviršijančių n, kiekis. Vadinasi, [ n ]. d m n d(m) = d n Toliau remdamiesi šia įdomia formule ištirtume reikšmių d(m), 1 m n, aritmetinio vidurkio elgseną, kai n. 27
18 ELEMENTARIOJI TEORIJA Šis ir jau minėti principai yra taikomi ne tik skaičių teorijoje. Ir mes praplėsime savo objektų lauką grafais. Užduotys 1.1. Tegul A, A i X ir A := X \ A, 1 i n ir n N. Įrodykite, kad: A i ; A i. i n A i = i n i n A i = i n 1.2. Šešiaženklis troleibuso bilietas vadinamas laiminguoju, jeigu pirmųjų trijų skaitmenų suma lygi antrojo trejeto skaitmenų sumai. Pavyzdžiui, bilietas, kurio numeris yra , laimingas, o ne. Apibrėžkite abipusiškai vienareikšmę atitiktį tarp laimingųjų bilietų aibės ir aibės bilietų, kurių visų skaitmenų suma lygi Aibėje N aksiominiu būdu įveskite daugybą. Tada įrodykite sudėties ir daugybos asociatyvumo, komutatyvumo ir jų distributyvumo savybes Visiems n N įrodykite formules: a) n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 ; b) n 3 = ( n(n+1) 2 ) 2 ; c) (α β)(α n 1 β 0 + α n 2 β α 0 β n 1 ) = α n β n, α, β R Įrodykite šias Fibonačio skaičių savybes: a) F 0 + F F n = F n+2 1; b) F 2 n F n 1 F n+1 = ( 1) n Teatro eilėje yra n sėdimų vietų. Kiek joje yra vietų poaibių, kuriuose bet kurios dvi vietos nėra šalia? Atraskite sąryšį su Fibonačio skaičiais Apie apskritą stalą yra n numeruotų sėdimų vietų. Kiek yra vietų poaibių, kuriuose bet kurios dvi vietos nėra šalia? Atraskite sąryšį su Fibonačio skaičiais Įvedę papildomą sąlygą 1 i < j n, dvilypę sumą i,j N i+j n a ij užrašykite kartotine ir sukeiskite sumavimo tvarką. 28
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραTEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότερα5 klasė. - užduotys apie varniuką.
5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότερα5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos
5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραt. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.
LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότερα2007 m. rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai. matematika. paprastajai trupmenai išreikšti egiptietiškomis. 6. I.
2007 m rudens semestro matematikos istorijos kurso egzamino klausimai 1 tema Skaičiai ir skaičiavimai 1 Iš kokiu šaltiniu mes žinome apie egiptiečiu matematika 2 Kaip trupmenas rašė senovės egiptiečiai
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραJONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA
JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραRinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija
Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότεραStanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA
Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA Vilnius, 2004 1 ISBN - Recenzavo: dr. R.Alonderis, doc. hab.dr. R.Pliuškevičius, dr. J.Sakalauskaitė 2 TURINYS I ι vadas...5 1. Aibės ir grafai...7 1.1 Skaičiosios
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραĮVADAS Į FINANSŲ SISTEMĄ
III. AKCIJOS, OBLIGACIJOS IR JŲ VERTINIMAS 5 ATEITIES VERTĖ, DABARTINĖ VERTĖ IR PALŪKANŲ NORMOS Turinys 5.1 Įvadas 5.2 Mokėjimų dabar ir ateityje vertė 5.2.1 Ateities vertė ir sudėtinė palūkanų norma 5.2.2
Διαβάστε περισσότεραMAŽYLIS (III ir IV klasės)
2001m. konkurso užduočių sąlygos MŽYLIS (III ir IV klasės) KLUSIMI PO 3 TŠKUS M1. Keturiuose paveikslėliuose pavaizduoti skaičiai nuo 1 iki 4 kartu su savo veidrodiniais atvaizdais. Koks bus penktas paveikslėlis?
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams
Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras Giedrė Beconytė DUOMENŲ BAZIŲ PROJEKTAVIMAS Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilnius 2012 Aprobuota VU Gamtos mokslų
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραKENGŪRA SENJORAS
KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS VU MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS VU MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS INSTITUTAS LIETUVOS MATEMATIKŲ DRAUGIJA KENGŪRA 2016. SENJORAS TARPTAUTINIO MATEMATIKOS
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραPraeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010
Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότερα1. Pirštu atspaudu atpažinimas
1. Pirštu atspaudu atpažinimas 1. I vadas 2. Piršto atspaudu taikymai 3. Pirminis apdorojimas 4. Požymiu išskyrimas 5. Požymiu šablonu palyginimas 6. Praktinis darbas Page 1 of 21 7. Literatūra I vadas
Διαβάστε περισσότεραKengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras
Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραPaskait u konspektas. Jam padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 2006 metais
Paskait u konspektas AKTUARINĖ MATEMATIKA Surašė Jonas Šiaulys Ja padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 26 etais Naudota literatūra Bowers N.L., Gerber H.U., Hickan J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J.,
Διαβάστε περισσότεραKENGŪRA Klausimai po 3 taškus. 2. Dominyko lentynoje yra du meškiukai, mašinėlė ir du kamuoliai. Kuris paveikslėlis
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Kengūros konkurso organizavimo komitetas Matematikos ir informatikos institutas Leidykla TEV KENGŪRA 2010 Konkurso trukmė 50 minučiu Konkurso metu negalima
Διαβάστε περισσότερα2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS
6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS
PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS
Διαβάστε περισσότερα2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ
N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.
Διαβάστε περισσότεραKLASIKIN E MECHANIKA
KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06
Διαβάστε περισσότερα