γ γ(t) x 2 + y2 tan t. , et e t a 2 t +e t

Transcript

1 Εισαγωγή στη Διαφορική Γεωμετρία Καμπυλών και Επιφανειών Σημειώσεις παραδόσεων εαρινού εξαμήνου Αντώνιος Μελάς Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 013

2

3 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες Καμπύλες στο επίπεδο Καμπύλες στο χώρο Επιφάνειες 31.1 Εισαγωγικά Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή Δεύτερη Θεμελιώδης Μορφή Θεώρημα Gauss 61 4 Επανάληψη 63

4

5 Κεφάλαιο 1 Καμπύλες 1.1 Καμπύλες στο επίπεδο Ορισμός Διαφορίσιμη καμπύλη θα λέγεται κάθε C απεικόνιση γ : I R n (n = ή n = 3) όπου I R. Άρα η καμπύλη ισοδυναμεί με μία κίνηση. Η γ λέγεται παραμετρική καμπύλη. I t γ γ(t) Σχήμα 1.1: Παραμετρική καμπύλη Σημείωση : C στο I = [a, b] σημαίνει ότι υπάρχει η f (x), η f (x), η f (3) (x),... και είναι συνεχείς. Παραδείγματα (i) Η ευθεία : ax + by = c, με a + b > 0. Εχουμε ότι γ(t) = (x 0, y 0 ) + t( b, a) = (x 0 tb, y 0 + ta) όπου ax 0 + by 0 = c και t R. (ii) Ο κύκλος : x + y = 1 με κέντρο το (0, 0) και ακτίνα 1. Εχουμε ότι γ(t) = (cos t, sin t) όπου t [0, π). Ανάλογα ο κύκλος (x x 0 ) + (y y 0 ) = r με κέντρο το (x 0, y 0 ) και ακτίνα r έχει παραμέτρηση γ(t) = (x 0 + r cos t, y 0 + r sin t). Άλλη παραμέτρηση του κύκλου είναι η γ(t) = (cos e t, sin e t ) καθώς η e t : [0, θ] [ 1, e θ) είναι 1-1 και επί. (iii) Η έλλειψη : x b a tan t. a + y b = 1. Εχουμε ότι γ(t) = (a cos t, b sin t) όπου t [0, π). Επίσης tan φ = ( ) e (iv) Εστω η αναπαραμέτρηση γ(t) = t +e t, et e t με t R και μας ζητείται να βρούμε την καμπύλη. Θα κάνουμε απαλοιφή του t. Ισχύει ότι x = et +e t και y = et e t και προσθέτοντας και αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε αντίστοιχα x+y = e t και x y = e t. Τώρα πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες καταλήγουμε στην x + y = 1. Άρα η ζητούμενη καμπύλη είναι η υπερβολή. Σημείωση : πρέπει να έχω συνεχή κίνηση, άρα δε μπορώ να πάρω και τους δύο κλάδους της υπερβολής. Αφού t R τότε et +e t > 0 και διαλέγω τον δεξί κλάδο.

6 Καμπυλες (v) Εστω κύκλος ακτίνας 1 που κυλάει σε ευθεία και μας ζητείται να βρούμε την καμπύλη που διαγράφει σταθερό σημείο της περιφέρειας. Εχουμε OP = μήκος AP = t. Άρα Ετσι και η καμπύλη είναι η κυκλοειδής. OK = (t, 1), OA = γ(t), K A = ( sin t, cos t) OA = OK + K A = (t sint, 1 cos t) (a, b) γ(t) (x 0, y 0 ) 1 t φ ( b, a) (i) Η ευθεία (ii) Ο κύκλος (iii) Η έλλειψη (iv) Η υπερβολή 3π t t (v) Η κυκλοειδής Σχήμα 1. Ορισμός Εστω γ : I R n μια παραμετρική καμπύλη. Αν η χορδη για h 0 έχει οριακή θέση θα λέγεται εφαπτομένη της γ στο t 0 (και όχι στο γ(t 0 ), γιατί μπορεί να περνάει πολλές φορές από το ίδιο σημείο). Ισχύει δηλαδή ότι γ(t 0 + h) γ(t 0 ) h h 0 γ (t 0 ) Άν λοιπόν γ (t 0 ) 0, η ευθεία που είναι παράλληλη στο γ (t 0 ) και διέρχεται από το γ(t 0 ) θα λέγεται εφαπτομένη της γ στο t 0. y = γ(x) γ(t 0) γ(t 0 + h) h 0 (i) Η εφαπτομένη της γ στο t 0 (ii) Μια καμπύλη που περνά πολλές φορές από ένα σημείο Σχήμα 1.3

7 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 3 x = y /3 I x Σχήμα 1.4: Η καμπύλη ( t, t 3) Παράδειγμα Εστω γ(t) = ( t, t 3). Η γ είναι C. Εχουμε ότι x = t, y = t 3, άρα x = y /3 Ορισμός Η γ : I R n θα λέγεται ομαλή αν γ (t 0 ) 0 t I. Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γ(t) = ( t 3 t, t + t ) στο t 0 = 1. Η παράγωγος της καμπύλης είναι γ (t 0 ) = ( 3t 1, t + 1 ). Επίσης γ (1) = (, 3) και γ(1) = (0, ). Άρα η εφαπτομένη είναι ( 3)(x 0) + (y ) = 0 3x + y = 4 ή σε παραμετρική μορφή ɛ(s) = (0, ) + s(, 3) = (s, + 3s). Παρατηρήσεις Υπενθυμίζουμε διάφορους κανόνες παραγώγισης. Εστω a, b, c : I R n συναρτήσεις του t και f : I R. Ισχύει ότι : (i) (fa + b) (t) = f (t)a(t) + f(t)a (t) + b (t) (ii) (a b) (t) = a (t)b(t) + a(t)b (t) (iii) για n = 3 : (a b) (t) = a (t) b(t) + a(t) b (t) (iv) για n = 3 : [(a b) c] (t) = a (t) b(t) c(t) + a(t) b (t) c(t) + a(t) b(t) c (t) (v) αν A, B : I R n n τότε (A B) (t) = A (t)b(t) + A(t)B (t) Ορισμός Εστω γ : I R n με a, b I και a < b. Τότε το μήκος τόξου της γ για a t b ορίζεται ως l b a(γ) = b a γ (t) dt γ a I b γ(a) γ(b) Σχήμα 1.5: Μήκος τόξου

8 4 Καμπυλες Παραδείγματα (i) Εστω γ(t) = (r cos t, r sin t), t [0, π]. Εχω ότι γ (t) = ( r sin t, r cos t) = r και το μήκος είναι l π 0 (γ) = π 0 rdt (ii) Εστω γ(t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, π]. Εχω ότι και Επίσης l = γ (t) = (1 cos t, sin t) γ (t) = (1 cos t) + sin t = 1 cos t + cos t + sin t = (1 cos t) π 0 π (1 cos t)dt = sin t π dt = (iii) Εστω γ(t) = (a cos t, b sin t), t [0, π] και a > b. Εχω 0 γ (t) = a sin t + b cos t = b + (a b ) sin t 0 sin t [ dt = 4 cos t ] π = 8 0 και το οποίο δε λύνεται! (iv) Εστω γ(t) = (t, t 3 ). Τότε το οποίο πάλι δε λύνεται! l = π 0 l b a(γ) = b + (a b ) sin tdt b a 1 + 9t4 dt Παρατήρηση Ολοκληρώματα που δεν υπολογίζονται 1 e x sin x dx, e x dx, 1 + x 3 x dx, x dx, cos x dx J β = γ φ φ I R n γ φ(s) I φ s J γ β γ(φ(s)) = β(s) (i) Σύνθεση γ φ (ii) Αναπαραμέτρηση της γ Σχήμα 1.6

9 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 5 Ορισμός Εστω γ : I R n, b : J R n ομαλές καμπύλες (n = ή n = 3). Τότε η β θα λέγεται αναπαραμέτρηση της γ αν υπάρχει καμπύλη φ : J I, C, 1-1, επί και η φ 1 : I J είναι C, τέτοια ώστε να ισχύει β(s) = γ(φ(s)) s J, δηλαδή β = γ φ. Αν η φ είναι αύξουσα, η β θα λέγεται ομόρροπη αναπαραμέτρηση της γ και αν η φ είναι φθίνουσα θα λέγεται αντίρροπη. Παράδειγμα Εστω β(s) = (cos s, sin s), s [0, π). Τότε η β είναι αναπαραμέτρηση της γ(t) = (cos t, sin t), t [0, π) με φ(s) = s, ενώ η β(s) = (s 3, s 6 ), s [ 1, 1] δεν είναι αναπαραμέτρηση της γ(t) = (t, t ), t [ 1, 1] γιατί φ(s) = s 3 και φ (0) = 0, δηλαδή η β στιγμιαία σταματάει στο (0, 0), γιατί μηδενίζεται η παράγωγος, παρόλο που οι β και γ κάνουν την ίδια κίνηση. Σχήμα 1.7: Η β(s) = (s 3, s 6 ) x Ιδιότητες (1) Η σχέση β, αναπαραμέτρηση της γ, είναι σχέση ισοδυναμίας (i) β αναπαραμέτρηση της β : φ(s) = s (ii) Αν β αναπαραμέτρηση της γ, τότε γ αναπαραμέτρηση της β : β(s) = γ(φ(s)) γ(t) = β(φ 1 (t)) (iii) Αν η β αναπαραμέτρηση της γ και α αναπαραμέτρηση της β, τότε α αναπαραμέτρηση της γ : β(s) = γ(φ(s)), α(t) = β(y(t)) α(t) = γ((φ y)(t)). Η φ y είναι 1-1 και επί, C, με (φ y) 1 = y 1 φ 1, γιατί (φ y) (s) = (φ y)(s) y (s). Η απόδειξη ότι η σύνθεση των C συναρτήσεων είναι C γίνεται με επαγωγή. Επίσης (φ y) (s) = (φ y)(s) (y (s)) + (φ y)(s) y (s) () Αν η β αναπαραμέτρηση της γ τότε (i) σε αντίστοιχα σημεία οι εφαπτομένες ταυτίζονται : β(s 0 ) = γ(φ(s 0 )), δηλαδή η εφαπτομένη της β στο s 0 ταυτίζεται με την εφαπτομένη της γ στο φ(s 0 ) (ii) αντίστοιχα τόξα έχουν το ίδιο μήκος : αν λ < µ και J R έχω µ µ l µ λ (β) = µ β (s) ds = γ (φ(s)) φ (s) ds = γ (φ(s)) φ (s)ds = λ λ φ(µ) φ(λ) γ l (t) dt = φ(µ) φ(λ) (γ) λ

10 6 Καμπυλες Πρόταση Εστω γ : I R n ομαλή καμπύλη. Τότε υπάρχει (ομόρροπη) αναπαραμέτρηση β : J R n της γ, η οποία είναι μοναδιαίας ταχύτητας, δηλαδή β (s) = 1. Σημείωση : Πώς βρίσκω τη β Εχουμε β(s) = γ(φ(s)) και β (s) = 1, άρα γ (φ(s)) φ (s) = 1 και λύνουμε τη διαφορική εξίσωση. Απόδειξη της Πρότασης : Εστω h(t) = t t 0 γ (u) du, t 0 I, t 0 σταθερό. Εχουμε ότι h (t) = γ (t) > 0 t I. Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα και C, το h(i) = J είναι διάστημα και η h 1 : J I είναι C. Άρα για φ h 1 : J I, η β(s) = γ(φ(s)) με s J είναι αναπαραμέτρηση της γ. Τώρα έχουμε ότι β (s) = γ (φ(s)) (h 1 ) (s) = γ 1 (φ(s)) h (φ(s)) = γ (φ(s)) γ (φ(s)) Άρα β (s) = 1. Παραδείγματα Να βρεθεί αναπαραμέτρηση μοναδιαίας ταχύτητας των παρακάτω καμπυλών (i) Εστω γ(t) = (5 cos t, 5 sin t), t [0, π), δηλαδή I = [0, π) και γ : I R. Εχουμε h(t) = t 0 γ (u) du = t 0 5 cos u + 5 sin udu = t 0 5du = [5u] t 0 = 5t Βρίσκω τώρα το πεδίο ορισμού της h, δηλαδή J = h(i) = [0, 10π), και ψάχνω να βρώ την αντίστροφη συνάρτηση της h(t) ως εξής h(t) = s 5t = s t = s 5 φ(s) = s 5 Άρα η αναπαραμέτρηση μοναδιαίας ταχύτητας είναι η β : [0, 10π) R με β(s) = γ(φ(s)) = (5 cos s 5, 5 sin s 5 ) (ii) Εστω γ(t) = (e t cos t, e t sin t), t R. Σημείωση : Γενικά αν P = (r cos θ, r sin θ) τότε r θ P Σχήμα 1.8: Τα σημεία P = (r cos θ, r sin θ) Η καμπύλη γ είναι η λογαριθμική σπείρα που έχει πολική εξίσωση r = e θ. Εχουμε γ (t) = (e t cos t e t sin t, e t sin t + e t cos t) και γ (t) = (e t cos t e t sin t) + (e t sin t + e t cos t) =

11 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 7 e t t γ(0) = (1, 0) Σχήμα 1.9: Η λογαριθμική σπείρα Άρα e t cos t + e t sin t e t cos t sin t + e t sin t + e t cos t + e t cos t sin t = h(t) = t 0 γ (u) du = t 0 e t 1 + e t 1 = e t t e u du = e u du = [e u ] t 0 = (e t 1) Το πεδίο ορισμού της h(t) είναι J = h(r) = (, + ) και βρίσκω την αντίστροφη της h(t) h(t) = s ( (e t s + ) ( s + ) 1) = s t = ln φ(s) = ln 0 Άρα η αναπαραμέτρηση μοναδιαίας ταχύτητας είναι η β : (, + ) R με ( s + ( β(s) = γ(φ(s)) = cos ln s + ), s + ( sin ln s + )) (iii) Εστω γ(t) = ( ) t, t, t R. Εχω h(t) = t 0 γ (u) du = το οποίο υπολογίζεται αλλά δεν αντιστρέφεται. ( ) (iv) Εστω γ(t) = t, t3 3, t R. Εχω h(t) = t 0 γ (u) du = το οποίο ούτε υπολογίζεται ούτε αντιστρέφεται. t 0 t u du 1 + u4 du Πρόταση Εστω α : I R n (n = ή n = 3) με α(t) =σταθερό. Τότε τα α(t) και α (t) είναι κάθετα t I.

12 8 Καμπυλες Απόδειξη : d dt (α(t)) = 0 d dt α(t)α(t) = 0 α (t)α(t) = 0 α (t)α(t) = 0 δηλαδή είναι κάθετα, αφού το εσωτερικό τους γινόμενο είναι 0. Ορισμός Εστω γ : I R καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε το T (s) = γ (s) ονομάζεται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της γ στο s. Ορίζεται λοιπόν η T : I R n με T = 1. Από την Πρόταση όμως έχω ότι T (s) = γ (s) T (s) s I Το γ (s) = T (s) ονομάζεται καμπυλότητα της γ στο s και συμβολίζεται με κ(s). T = γ T = γ T = γ T = γ (i) Εφαπτόμενο διάνυσμα μικρή k(s) μεγάλη k(s) (ii) Καμπυλότητα Σχήμα 1.10 Ορισμός Εστω γ : I R καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας και T (s) = γ (s) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα. Τότε το n(s) = e 3 T (s) που είναι τέτοιο ώστε τα T (s) και n(s) να αποτελούν θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση του R, ονομάζεται μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της γ στο s. Αν T (s) = (a, b) τότε n(s) = ( b, a) και a b b a = 1. Επίσης T (s)//n(s) άρα T (s) = κ ε (s)n(s) και ο αριθμός κ ε (s) ονομάζεται επίπεδη καμπυλότητα της γ. Σημείωση : κ = κ ε κ ε = ±κ Παρατήρηση Εχουμε ότι η κ ε (s) είναι

13 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 9 (i) 0 αν κινούμενοι στην καμπύλη κατά τη φορά του T τα κοίλα στρέφονται στα αριστερά μας (ii) 0 αν κινούμενοι στην καμπύλη κατά τη φορά του T τα κοίλα στρέφονται στα δεξιά μας (iii) = 0 στα σημεία καμπής k ɛ < 0 n T k ɛ = 0 T T n k ɛ > 0 T Σχήμα 1.11: Καμπυλότητα και κοίλα καμπύλης Υπολογισμός καμπυλότητας Ισχύει ότι Επίσης από τις και T (s) = κ ε (s)n(s) κ ε (s) = T (s)n(s) γ (s) = T (s) γ (s) = κ ε (s)n(s) προκύπτει ότι γ (s) γ (s) = κ ε (s)t (s) n(s) = κ ε (s) e 3 Άρα κ ε (s) = γ (s) γ (s) e 3 δηλαδή αν γ(s) = (x(s), y(s)) τότε κ ε (s) = x (s) x (s) y (s) y (s) Ο τύπος αυτός ισχύει μόνο αν η γ είναι καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Παραδείγματα (i) Εστω γ(s) = (x 0 + as, y 0 + bs) ευθεία με a + b = 1. Τότε γ (s) = 0, άρα κ ε (s) = 0. Αντίστροφα, αν κ ε = 0 τότε γ = κ ε n 0. Άρα γ(s) = (x 0 + as, y 0 + bs) με a + b = 1 και s I. Ετσι η γ είναι ευθεία ή τμήμα ευθείας.

14 10 Καμπυλες (ii) Εστω γ(s) = ( r cos ( ) ( s r, r sin s )) r κύκλος που διαγράφεται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε κ ε (s) = sin ( ) s r 1 r cos ( ) s r cos ( ) s ( r ) sin s = 1 ( s ) r sin r Αντίστροφα, έστω κ ε (s) = α =σταθερό, α 0. Τότε ξέρω ότι και έχω επίσης τις σχέσεις 1 r r γ (s) = κ ε (s)n(s) (1) γ (s) = (x (s), y (s)) () γ (s) = T (s) = (x (s), y (s)) (3) n(s) = ( y (s), x (s)) (4) Άρα από τις (1), () και (4) προκύπτουν οι σχέσεις και οι οποίες μέσω της (3) γίνονται και Άρα δηλαδή κύκλος ακτίνας 1 α. Διάφοροι υπολογισμοί γ(s) = (x(s), y(s)) = x (s) = α( y (s)) = αy (s) y (s) = α(x (s)) = αx (s) x (s) = cos (αs + φ) y (s) = sin (αs + φ) + 1 ( s ) r cos = 1 r r ( 1 α sin(αs + φ), 1 ) cos(αs + φ) a Εστω γ : I R ομαλή καμπύλη (όχι αναγκαστικά μοναδιαίας ταχύτητας). Ξέρουμε ότι υπάρχει αναπαραμέτρηση β(s) = γ(φ(s)) με β (s) = 1 και φ 1 (s) = γ (φ(s)). Άρα στο t = φ(s) έχουμε T γ (t) = T β (s) = β (s) = γ (φ(s)) φ (s) = γ (t) γ (t) Επίσης, και Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι n γ (t) = e 3 T γ (t) κ ε,γ (t) = κ ε,β (s) = β (s) β (s) e 3 β (s) = γ (φ(s)) φ (s) β (s) = γ (φ(s)) φ (s) + γ (φ(s)) φ (s) β (s) β (s) = φ (s) 3 γ (φ(s)) γ (φ(s)) = γ (t) γ (t) γ (t) 3

15 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 11 Άρα Παραδείγματα κ ε,γ (t) = γ (t) γ (t) γ (t) 3 = x (s) y (s) x (s) y (s) (x (t) + y (t) ) 3 (i) Εστω γ(t) = (t, t ). Τότε γ (t) = (1, t) και γ (t) = (0, ), άρα 1 t 0 κ ε (t) = = (1 + 4t ) 3 (1 + 4t ) 3/ Άρα όσο μεγαλώνει το t, η παραβολή τείνει να γίνει ευθεία, ενώ η μεγαλύτερη καμπυλότητα είναι για t = 0, η κ ε (0) = (ii) Εστω γ(t) = (a cos t, b sin t) με a, b > 0. Τότε γ (t) = ( a sin t, b cos t) και γ (t) = ( a cos t, b sin t), άρα a sin t b cos t a cos t b sin t = ab sin t + ab cos t = ab και Ετσι γ (t) = a sin t + b cos t = b + (a b ) sin t κ ε (t) = ab [ b + (a b ) sin t ] 3/ Εχουμε μέγιστη καμπυλότητα όταν sin t = 0 t = 0, π, π,... Άρα κ max = κ ε (0) = ab (b ) = a 3/ b Εχουμε ελάχιστη καμπυλότητα όταν sin t = ±1 t = π, 3π, 5π,... Άρα ( π ) ab ab κ min = κ ε = = [b + (a b 3/ )] (a ) = b 3/ a k min b k max a k max a k min b Σχήμα 1.1: Μέγιστη και ελάχιστη καμπυλότητα έλλειψης (iii) Εστω γ(t) = (t, f(t)), f : I R. Τότε γ (t) = (1, f (t)) και γ (t) = (0, f (t)), άρα f (t) κ ε (t) = (1 + f (t) ) 3/

16 1 Καμπυλες t φ Σχήμα 1.13: Η γωνία φ στο σημείο t Σημείωση : Η f είναι μέτρο για τη συνάρτηση (πού στρέφει τα κοίλα) αλλά η καμπυλότητα κ ε είναι μέτρο για την καμπύλη. Εχουμε tan φ = f (t) και Ετσι f (t) = d dt tan φ = 1 dφ cos t dt dφ dt = cos t f 1 (t) = 1 + tan φ f (t) = f (t) 1 + f (t) dφ dφ ds = dt f (t) = ds (1 + f (t) ) 3/ dt Πρόταση Εστω γ : I R καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε η κ ε (s) είναι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της καμπύλης με κάποιο σταθερό άξονα ως προς το μήκος τόξου. s T (s) φ(s) Σχήμα 1.14: Καμπυλότητα και γωνία εφαπτομένης Πλάνο της απόδειξης : Εστω φ η γωνία της εφαπτομένης και του άξονα των x, τότε ισχύει γ(s) = (x(s), y(s)) φ (s) = κ ε (s) φ(s) = κ ε (s)ds + c

17 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 13 Εχουμε T (s) = (x (s), y (s)) αλλά T (s) = (cos φ(s), sin φ(s)). Θέλουμε να δείξουμε ότι T (s) = T (s). Πώς δείχνουμε ότι μια συνάρτηση g=σταθ; (i) g 0 (δύσκολο πολλές φορές) (ii) g = F (g, x) σύμφωνα με την οποία ισχύει η μοναδικότητα, το 0 είναι λύση, τότε και g(t 0 ) = 0 Ετσι και T (s) = κ ε (s)n(s) = κ ε (s)( y (s), x (s)) T (s) = ( φ (s) sin φ(s), φ (s) cos φ(s)) = κ ε (s)( sin φ(s), cos φ(s)) Αν δείξω ότι T (s 0 ) = T (s 0 ) τότε ξέρω ότι υπάρχει μοναδική λύση. Απόδειξη : Εστω s 0 I και T (s 0 ) = (cos φ 0, sin φ 0 ). Επιλέγουμε μια αρχική τιμή της κ ε (s), φ(s) = κε (s)ds + c τέτοια ώστε φ(s 0 ) = φ 0 και για γ(s) = (x(s), y(s)) έχουμε ότι ισχύει το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων { f(s) = cos φ(s) g(s) = sin φ(s) } { x (s) = κ ε (s)y (s) y (s) = κ ε (s)x (s) } { f (s) = κ ε (s)g(s) g (s) = κ ε (s)f(s) } με f(s 0 ) = x (s 0 ) και g(s 0 ) = y (s 0 ). Άρα από το θεώρημα της μοναδικότητας προκύπτει ότι x = f και y = g στο I και T (s) = (x (s), y (s)) = (cos φ(s), sin φ(s)). Ετσι η γωνία από τον άξονα των x στην εφαπτομένη της γ είναι η φ(s) και φ (s) = κ ε (s) στο I. Πρόταση Εστω κ : I R και C συνάρτηση. Τότε υπάρχει ομαλή καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας γ : I R με επίπεδη καμπυλότητα κ, δηλαδή κ = κ ε στο I. Απόδειξη : Εστω φ(s) = κ(s)ds + c και θέτω ( γ(s) = cos φ(s)ds + a, ) sin φ(s)ds + b Εχουμε τότε γ (s) = (cos φ(s), sin φ(s)) και άρα γ (s) = 1, δηλαδή γ(s) ομαλή καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Επίσης γ(s) = ( φ (s) sin φ(s), φ (s) cos φ(s)) άρα κ ε (s) = φ (s) sin φ(s) + φ (s) cos φ(s) = φ (s) 1 = κ(s) Παράδειγμα Να βρεθεί καμπύλη με κ ε (s) = 1 s. Εχουμε φ(s) = 1 s ds = s Άρα ( γ(s) = cos sds, sin ) sds Θέτοντας s = u s = u και ds = udu τότε cos sds = u cos udu = u cos udu = u(sin u) du =

18 14 Καμπυλες [ = u sin u ] sin udu = [u sin u + cos u] Αντίστοιχα, Άρα sin sds = [ u cos u + u sin udu = u( cos u) du = ] cos udu = [ u cos u + sin u] γ(s) = ( s sin s + cos s, s cos s + sin s ) Σημείωση : Εστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με καμπυλότητα κ ε. Τότε έχουμε ότι ( ( ) ( ) ) γ(s) = cos κ ε (s)ds + c ds + a, sin κ ε (s)ds + c ds + b όπου οι σταθερές a και b δίνουν μετατόπιση και η c είναι στροφή. (cos (θ + c), sin (θ + c)) (cos θ, sin θ) c θ θ + c Σχήμα 1.15: Στροφή Θεώρημα (Θεμελιώδες θεώρημα για τις καμπύλες στο επίπεδο). Αν κ : I R και C συνάρτηση, τότε υπάρχει καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας γ : I R με επίπεδη καμπυλότητα κ. Αν β καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με επίπεδη καμπυλότητα κ, τότε υπάρχει στροφή A και α R με β(s) = Aγ(s) + α s I. (στροφή και μετατόπιση) Ορισμός Η εξίσωση κ ε = κ(s) (επίπεδη καμπυλότητα σε συνάρτηση του μήκους τόξου) ονομάζεται φυσική εξίσωση της καμπύλης. Παραδείγματα αντιωρολογιακή. (i) Η κ ε (s) = 1 με s [0, π) παριστάνει ημικύκλια ακτίνας 1 με φορά Σχήμα 1.16: Ημικύκλια ακτίνας 1 (ii) Η κ ε (s) = 0 με s (0, ) παριστάνει ημιευθείες, ενώ αν s [0, 1] παριστάνει ευθύγραμμα τμήματα μήκους 1.

19 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 15 Παρατήρηση Η γεωμετρία της καμπύλης γ περιγράφεται από τις Θεμελιώδεις Εξισώσεις της καμπύλης T (s) = κ ε (s)n(s) και n (s) = κ ε (s)t (s) Παραδείγματα (i) Εστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με καμπυλότητα κ γ (s) = e s. Να βρεθεί η καμπυλότητα της β(s) = γ(s) + e s n(s), όπου n(s) το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της γ. Η ταχύτητα της β είναι β (s) = γ (s) + ( e s) n(s) + e s n (s) = T (s) e s n(s) + e s ( e s T (s)) = e s n(s) Επίσης, β (s) = ( e s n(s)) = e s 1 = e s Τώρα, η επιτάχυνση της β είναι β (s) = ( e s) n(s) e s n (s) = e s n(s) e s ( e s T (s)) = e s n(s) + T (s) Άρα έχουμε ότι β (s) β (s) = e s n(s) ( e s n(s) + T (s) ) = e s n(s) T (s) = e s ( e 3 ) = e s e 3 Άρα κ β (s) = e s (e s ) 3 = es (ii) Να βρεθούν όλες οι ομαλές καμπύλες με την ακόλουθη ιδιότητα: όλες οι εφαπτομένες της καμπύλης να διέρχονται από σταθερό σημείο. Υποθέτω ότι η γ : I R έχει μοναδιαία ταχύτητα (αλλιώς κάνω αναπαραμέτρηση). Εστω p το σταθερό σημείο. Τότε s I, τα γ(s) p και T (s) είναι συγγραμμικά. Ετσι, αφού T (s) μοναδιαίο, δηλαδή T (s) 0, υπάρχει λ(s) R με γ(s) p = λ(s)t (s) (1) Πρέπει να δείξουμε ότι λ(s) παραγωγίσιμη. Πράγματι, Παραγωγίζω την (1) και προκύπτει λ(s) = λ(s)t (s)t (s) = (γ(s) p) T (s) γ (s) = λ (s)t (s) + λ(s)t (s) T (s) = λ (s)t (s) + λ(s)κ ε (s)n(s) () Για κάθε σταθερό s, τα T (s) και n(s) είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα από τη () προκύπτει { λ (s) = 1 στo I λ(s)κ ε (s) = 0 στo I } { λ(s) = s + c στo I (s + c) κ ε (s) = 0 στo I } κ ε (s) = 0 s I\ { c} και λόγω συνέχειας τελικά κ ε (s) = 0 στο I. Άρα η γ είναι ευθεία ή τμήμα ευθείας. Αντιστρόφως, αν γ ευθεία ή τμήμα ευθείας, τότε όλες οι εφαπτομένες διέρχονται από σταθερό σημείο.

20 16 Καμπυλες Τοπική συμπεριφορά Εστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με κ ε (0) = κ και T (0) = e 1, n(0) = e, γ(0) = 0. Τότε για s μικρά έχω γ(s) = γ(0) + γ (0)s + γ (0) s + R(s) με R(s) c s 3. Επιπλέον, γ(0) = 0, γ (0) = ( T (0) = ) e 1 = (1, 0), γ (0) = T (0) = κ ε (0)n(0) = κe = (0, κ). Πετύχαμε δηλαδή περίπου τη γ(s) = s, ks, κ 0 σε μια περιοχή γύρω από το 0, αλλού δε ( ) μας ενδιαφέρει. Δηλαδή, οι γ(s) και έχουν ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση στο 0. s, ks γ n(0) T (0) Αν κ = 0 δε μπορώ να βγάλω συμπέρασμα. Σχήμα 1.17: Τοπική συμπεριφορά γ(t) = ( t, t 3) Το 0 είναι σημείο καμπής γ(t) = ( t, t 4) Το 0 δεν είναι σημείο καμπής γ(t) = ( t, e 1 /t sin ( )) 1 t Σχήμα 1.18: Καμπυλότητα και τοπική συμπεριφορά Εγγύτατος κύκλος Εστω s 1, s s 0, δηλαδή η χορδή των s 1, s τείνει στην εφαπτομένη της γ στο s 0. Εχουμε προσέγγιση της γ από κύκλο. Εστω γ : I R καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας και s 0 I. Παίρνουμε s 1 < s < s 3 στο I και τον κύκλο που ορίζουν τα γ(s 1 ), γ(s ), γ(s 3 ). Εστω C(s 1, s, s 3 ) και μελετάμε την οριακή θέση του κύκλου καθώς τα s 1, s, s 3 τείνουν στο s 0. Εστω κ = κ(s 0 ) 0. Ξέρουμε ότι γ(s 0 + s) = ( ) s, s κ + γ(s0 ) με s κοντά στο 0. Τότε για s 1 < s < s 3 κοντά στο s 0, ο κύκλος C(s 1, s, s 3 ) ορίζεται. Εστω c το κέντρο του. Αν μέσω ακολουθίας ισχύει ότι C(s 1, s, s 3 ) c καθώς s 1, s, s 3 s 0, τότε το c είναι μοναδικό. Σταθεροποιούμε τα s 1, s, s 3 και ορίζουμε την f(s) = γ(s) C(s 1, s, s 3 ). Τότε f(s 1 ) = f(s ) = f(s 3 ) =(ακτίνα κύκλου).άρα

21 1.1 Καμπυλες στο επιπεδο 17 γ(s 1 ) C(s 0, s 1, c ) γ(s ) γ(s 0 ) Σχήμα 1.19: Προσεγγίζοντας την γ από κύκλο υπάρχουν s, s (s 1, s 3 ) ώστε f (s ) = f (s ) = 0. 1 f (s) = T (s) (γ(s) C(s 1, s, s 3 )) 1 f (s) = 1 + κ(s) [n(s) C(s 1, s, s 3 )] Εχουμε ότι s, s s 0 και άρα T (s 0 ) (γ(s 0 ) c) = 0 n(s 0 ) (γ(s 0 ) c) = 1 κ(s δηλαδή c = 0) γ(s 0 ) + 1 κ(s n(s 0) 0). Ετσι οι κύκλοι έχουν οριακή θέση. Ο κύκλος κέντρου γ(s 0 ) + 1 κ(s n(s 0) 0) και 1 ακτίνας R(s 0 ) = κ(s 0) ονομάζεται εγγύτατος κύκλος της γ στο s 0. Το R(s 0 ) ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας και β(s) = γ(s) + 1 κ(s) n(s) ονομάζεται εστιακή καμπύλη της γ. Σημείωση : Στον κύκλο η εστιακή καμπύλη είναι το κέντρο του. Παράδειγμα Η εστιακή καμπύλη της έλλειψης είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Σχήμα 1.0: Εστιακή καμπύλη έλλειψης

22 18 Καμπυλες 1. Καμπύλες στο χώρο Εστω γ : I R 3 με γ (t) 0 t I. Η ευθεία που περνάει από το γ(t 0 ) και είναι παράλληλη στο γ (t 0 ) λέγεται εφαπτομένη της γ στο t 0. Επίσης, la(γ) b = b a γ (t) dt το μήκος της. Κάθε τέτοια γ δέχεται αναπαραμέτρηση μοναδιαίας ταχύτητας. z πb y x Σχήμα 1.1: Ελικα Παράδειγμα Εστω γ(t) = (a cos t, a sin t, bt) έλικα με a, b > 0. Τότε γ (t) = ( a sin t, a cos t, b) και γ (t) = a + b. Επίσης µ l µ λ = a + b dt = (µ λ) a + b και για την αναπαραμέτρηση μήκους τόξου έχουμε λ Άρα h(t) = t ( ) s β(s) = γ = a + b 0 γ (u) du = t a + b t = ( a cos s a + b, a sin s a + b s a + b, ) b a + b s Ορισμός 1... Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε το T (s) = γ (s) ονομάζεται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της γ στο s και ισχύει ότι T (s) T (s) = 0. Επίσης κ(s) = T (s) = γ (s) ονομάζεται καμπυλότητα της γ στο s. Θα υποθέτουμε ότι κ(s) > 0 s I. Ορίζουμε n(s) = 1 κ(s) T (s) = 1 κ(s) γ (s)

23 1. Καμπυλες στο χωρο 19 το πρώτο κάθετο διάνυσμα της γ στο s. Το b(s) = T (s) n(s) ονομάζεται δεύτερο κάθετο ή δικάθετο διάνυσμα της γ στο s. Το T (s), n(s), b(s) ονομάζεται τρίεδρο Frenet της γ στο s. Θέλουμε να βρούμε T, n, b. Εχουμε b = (T n) = T n + T n = κn n + T n = T n Άρα b T αλλά και b b ( b = 1). Άρα s I έχουμε b (s)//n(s). Γράφουμε b (s) = τ(s)n(s) όπου τ(s) η στρέψη της γ στο s (είναι η τάση της καμπύλης να φεύγει από το επίπεδό της και μετράει το ρυθμό μεταβολής του b). Επίσης n = (b T ) = b T + b T = τn T + b κn = κt + τb Άρα υπό μορφή πινάκων ισχύει ότι T (s) d n(s) = dt b(s) Ο πίνακας A(s) = T (s) n(s) b(s) στροφής. Ισχύει επίσης ότι 0 κ(s) 0 κ(s) 0 τ(s) 0 τ(s) 0 T (s) n(s) b(s) είναι ορθομοναδιαίος, ορθογώνιος, με ορίζουσα 1 και ονομάζεται πίνακας A(s)A(s) T = I A (s)a(s) T + A(s)A (s) T = 0 ( A (s)a(s) 1) + ( A (s)a(s) 1) T = 0 Υπολογισμός στρέψης Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε από τις σχέσεις και προκύπτει ότι Άρα κ(s) = γ (s) γ (s). Επίσης γ (s) = T (s) γ (s) = T (s) = κ(s)n(s) γ (s) γ (s) = T (s) κ(s)n(s) = κ(s)b(s) γ = κ n + κn = κ n + κ ( κt + τb) = κ T + κ n + κτb Άρα και έτσι γ γ γ = κ τ b = κ τ τ = γ (s) γ (s) γ (s) κ (s) = γ (s) γ (s) γ (s) γ (s) γ (s)

24 0 Καμπυλες Ορισμός Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας, T, n, b το τρίεδρο Frenet της γ και s 0 I. Εχουμε ότι το επίπεδο που διέρχεται από το γ(s 0 ) και (i) είναι παράλληλο στα T (s 0 ) και n(s 0 ) ονομάζεται εγγύτατο επίπεδο της γ στο s 0 με καρτεσιανή εξίσωση b(s 0 ) ((x, y, z) γ(s 0 )) = 0 (ii) είναι παράλληλο στα n(s 0 ) και b(s 0 ) ονομάζεται κάθετο επίπεδο της γ στο s 0 με καρτεσιανή εξίσωση T (s 0 ) ((x, y, z) γ(s 0 )) = 0 (iii) είναι παράλληλο στα T (s 0 ) και b(s 0 ) ονομάζεται ευθειοποιόν επίπεδο της γ στο s 0 με καρτεσιανή εξίσωση n(s 0 ) ((x, y, z) γ(s 0 )) = 0 T (s 0 ) b(s 0 ) z n(s 0 ) γ(s 0 ) y x Σχήμα 1.: Τρίεδρο Frenet Προβολές στα επίπεδα Υποθέτω ότι s 0 = 0, γ(s 0 ) = 0, T (s 0 ) = e 1, n(s 0 ) = e, b(s 0 ) = e 3, κ(s 0 ) = κ, τ(s 0 ) = τ. Ετσι 1 n(s 0 ) b(s 0 ) 1 T (s 0 ) γ(s 0 ) 1 Σχήμα 1.3: T (s 0 ) = e 1, n(s 0 ) = e, b(s 0 ) = e 3 έχουμε γ(0) = 0

25 1. Καμπυλες στο χωρο 1 γ (0) = T (0) = e 1 = (1, 0, 0) γ (0) = T (0) = κ(0)n(0) = κe = (0, κ, 0) γ (0) = κ (0)T (0) + κ (0)n(0) + κ(0)τ(0)b(0) = ( κ, κ (0), κτ ) Από Taylor και για s μικρό έχω ότι γ(s) = γ(0) + γ (0)s + γ (0) s + γ (0) s3 6 = 0 + (s, 0, 0) + (0, κs (s κ s 3 6, κs ), 0 + κ (0)s 3 6 ( κ s 3 + 6, κτs3 6, κ (0)s 3 6 ) =, κτs3 6 (s, κs, κτs3 6 ) = (i) Προβολή στο εγγύτατο : Η P xy : ( s, κ s) είναι παραβολή, έχω ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση, άρα και καμπυλότητα. (ii) Προβολή στο ευθειοποιόν : Είναι η P xz : ( s, κτ 6 s3). Οταν ισχύει τ > 0, η καμπύλη ανέρχεται ως προς το προσανατολισμένο εγγύτατο επίπεδο, ενώ όταν τ < 0 κατέρχεται. (iii) Προβολή στο κάθετο : Είναι η P yz : ( κ ταχύτητα μη ομαλή. s, κτ 6 s3). Διώξαμε τα x, δηλαδή το T και κάναμε την ) Προβολή στο εγγύτατο y Προβολή στο κάθετο z b(s 0) n(s 0) y n(s 0) T (s 0) x (i) (ii) Προβολή στο ευθειοποιόν z z b(s 0) b(s 0) T (s 0) x T (s 0) x τ > 0 τ < 0 (iii) Σχήμα 1.4: Προβολές στα επίπεδα

26 Καμπυλες Ιδιότητα Εστω κ (s 0 ) > 0. Το εγγύτατο επίπεδο είναι η οριακή θέση του επιπέδου που ορίζουν τα γ(s 1 ), γ(s ), γ(s 3 ) καθώς s 1 < s < s 3, με s 1, s, s 3 s 0. Απόδειξη : Για s 1, s, s 3 κοντά στο s 0, οι προβολές των γ(s 1 ), γ(s ), γ(s 3 ) στο εγγύτατο στο σημείο s 0 είναι μη συνευθειακά σημεία, άρα ορίζουν επίπεδο α(s 1, s, s 3 )x = c με α(s 1, s, s 3 ) = 1. Αν έχω ακολουθία που s 1, s, s 3 s 0 και α(s 1, s, s 3 ) d τότε d = ±b(s 0 ), όπου τα s 1, s, s 3 είναι σταθερά. Εχουμε f(s) = α(s 1, s, s 3 )γ(s) { α(s1, s, s 3 ) γ (s ) = 0 α(s 1, s, s 3 ) γ (s = 0) f(s 1 ) = f(s ) = f(s 3 ) s, s (s 1, s 3 ) : } lim d T (s 0 ) = d κ(s 0 ) n(s 0 ) = 0 κ(s0)>0 = d = ±b(s 0 ) Υπολογισμοί καμπυλότητας και στρέψης στο χώρο καμπύλης τυχαίας ταχύτητας Εστω γ : I R 3 ομαλή καμπύλη (όχι αναγκαστικά μοναδιαίας ταχύτητας) και έστω β : J R 3 ομόρροπη αναπαραμέτρηση μοναδιαίας ταχύτητας β(s) = γ(φ(s)) με φ 1 (s) = γ (φ(s)). Στο t = φ(s) έχω κ γ (t) = κ β (s) και { } β (s) = γ (φ(s))φ (s) β (s) = γ (φ(s))φ (s) + γ (φ(s))φ (s) β (s) β (s) = γ (φ(s)) γ (φ(s))φ (s) 3 = Επίσης { Από (1) και () έχω ότι β (s) = T β (s) = T γ (t) β (s) = κ β (s)n β (s) = κ γ (t)n γ (t) β (s) β (s) = κ γ (t)b γ (t) () 1 γ (t) 3 γ (t) γ (t) (1) } κ γ (t) = γ (t) γ (t) γ (t) 3, b γ (t) = γ (t) γ (t) γ (t) γ (t) και η καρτεσιανή εξίσωση του εγγύτατου επιπέδου είναι b γ (t) [(x, y, z) γ(t)] = 0 Αυτός είναι ο γενικός τύπος αλλά τελικά χρησιμοποιώ τον τύπο γ (t) γ (t) [(x, y, z) γ(t)] = 0 Επίσης T γ (t) = γ γ (t). Άρα η καρτεσιανή εξίσωση του κάθετου είναι η γ (t) [(x, y, z) γ(t)] = 0 Επίσης έχω n γ (t) = b γ (t) T γ (t) = (γ (t) γ (t)) γ (t) (γ (t) γ (t)) γ (t), άρα η καρτεσιανή εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου είναι η (γ (t) γ (t)) γ (t) [(x, y, z) γ(t)] = 0 Για τη στρέψη έχω τ β (s) = β (s) β (s) β (s) β (s) β (s)

27 1. Καμπυλες στο χωρο 3 Ετσι, αφού β (s) β (s) β (s) = γ (t) γ (t) γ (t)φ (s) 6 και β (s) β (s) = γ (t) γ (t) φ (t) 6, ισχύει τελικά ότι τ β (s) = γ (t) γ (t) γ (t) γ (t) γ (t) = τ γ (t) Παράδειγμα Να βρεθεί η καμπυλότητα και η στρέψη της έλικας γ(t) = (α cos t, α sin t, bt). Εχουμε γ (t) = ( α sin t, α cos t, b) γ (t) = ( α cos t, α sin t, 0) γ (t) = (α sin t, α cos t, 0) Τότε γ (t) γ (t) = e 1 e e 3 α sin t α cos t b α cos t α sin t 0 α cos t b e 1 α sin t 0 e α sin t b α cos t 0 + e α sin t 3 α α cos t = cos t α sin t = e 1 (αb sin t) e (αb cos t) + e 3 (α sin t + α cos t) = (αb sin t, αb cos t, α ) Επίσης γ (t) γ (t) γ (t) = α b sin t + α b cos t + 0 α = α b γ (t) = α + b γ (t) γ (t) = α b sin t + α b cos t + α 4 = α α + b Άρα κ = γ (t) γ (t) γ (t) 3 = α α + b ( α + b ) 3 = α α + b τ = γ (t) γ (t) γ (t) α b γ (t) γ (t) = ( α α + b ) = b α + b Πρόταση Εστω γ : I R 3 ομαλή καμπύλη. Η γ βρίσκεται πάνω σε επίπεδο αν και μόνο αν τ 0 Απόδειξη : ( ) α 0 και c με α γ(s) = c c I. Άρα { α γ (s) = 0 α T (s) = 0 α γ (s) = 0 α κ(s) n(s) = 0 } κ(s)>0 = { α T (s) = 0 α n(s) = 0 } α//b(s) Άρα b(s) σταθερό λόγω συνέχειας, και έτσι b (s) = 0 τ(s)n(s) = 0 τ 0 ( ) Εστω κ > 0 και τ 0. Αφού τ 0, τότε το b (s) = τ(s)n(s) 0, άρα b(s) = α σταθερό d s I. Ετσι ds (α γ(s)) = αγ (s) = b(s)t (s) = 0. Άρα α γ(s) =σταθερό s I και η γ βρίσκεται στο επίπεδο π με εξίσωση αx = c Παράδειγμα Εστω γ(t) = (3 cos t e t + 1, cos t + 1, cos t 3e t + ) = (1, 1, ) + (3,, 1) cos t + (, 0, 3)e t. Η καμπύλη ανήκει στο επίπεδο που περνάει από το (1, 1, ) και είναι παράλληλο στα (3,, 1) και (, 0, 3). Άρα τ 0.

28 4 Καμπυλες Ισομετρίες του R 3 Ισομετρία είναι μια συνάρτηση F : R 3 R 3 για την οποία ισχύει F (x) F (y) = x y. Επίσης F (x) F (y) = x y. Πράγματι, F (x) F (y) = x y F (0)=0 = F (x) F (x)f (y) + F (y) = x xy + y F (x)f (y) = xy Άρα τα F (e 1 ), F (e ), F (e 3 ) είναι ορθοκανονικά και έχουμε F (x) = (F (x)f (e 1 )) F (e 1 ) + (F (x)f (e )) F (e ) + (F (x)f (e 3 )) F (e 3 ) = (xe 1 )F (e 1 ) + (xe )F (e ) + (xe 3 )F (e 3 ) Η F είναι γραμική, δηλαδή F (x) = Ax με Ax = x, όπου A είναι 3 3 ορθογώνιος πίνακας. Αν F (0) 0 θεωρούμε την ισομετρία F F (0). v x Ax z Ax = x y x Σχήμα 1.5: Στροφή μέσω του A Πρόταση Κάθε ισομετρία F : R 3 R 3 είναι της μορφής F (x) = Ax + c, όπου c R 3 και A 3 3 ορθογώνιος πίνακας ( A 1 = A t). Ο ορθογώνιος πίνακας έχει deta = ±1. Αν deta = 1 τότε ο A ονομάζεται πίνακας στροφής και αν deta = 1 τότε ο A ονομάζεται πίνακας ανάκλασης. Εστω A 3 3 πίνακας στροφής, άρα έχει τουλάχιστον μία πραγματική ιδιοτιμή λ, δηλαδή Av = λv με λ R, άρα λv = Av = v λ = 1 λ = ±1. Εστω λοιπόν λ 1, λ, λ 3 οι ιδιοτιμές του A. Ξέρω ότι λ 1 λ λ 3 = 1 = deta. Αν λ 1 = 1 λ λ 3 = 1, δηλαδή λ = 1, λ 3 = 1, αλλιώς λ 1 = 1. Άρα v μοναδιαίο με Av = v. Αν w v τότε Aw Av = w v = 0, δηλαδή αν w v τότε Aw v. Πρόταση Εστω A πίνακας στροφής. Τότε v, w, u R 3 ισχύει (i) Av Aw = A(v w) (ii) Av Aw Au = v w u Πρόταση Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με καμπυλότητα κ, στρέψη τ και τρίεδρο Frenet T, n, b και γ(s) = Aγ(s) + c, όπου A πίνακας στροφής. Τότε κ(s) = κ(s), τ(s) = τ(s) και T = AT, n = An, b = Ab.

29 1. Καμπυλες στο χωρο 5 Απόδειξη : Εστω ότι η γ έχει καμπυλότητα κ, στρέψη τ και τρίεδρο Frenet T, n, b. Τότε γ (s) = Aγ (s) = AT (s) άρα γ (s) = AT (s) = T (s) = 1. Άρα η γ είναι καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας και T = AT (s) Τώρα { T (s) = AT (s) = κ(s)an(s) T (s) = κ(s) n(s), κ, κ > 0, An = 1 = n } Επίσης και κ(s) = κ(s) n(s) = An(s) b(s) = T (s) n(s) = AT (s) An(s) = AT (s) n(s) = Ab(s) b (s) = Ab (s) = τ(s)an(s) = τ(s) n(s) τ = τ Αντιστρόφως, έστω γ, γ : I R 3 καμπύλες μοναδιαίας ταχύτητας με κ = κ και τ = τ στο I. Εστω s 0 I, τότε με στροφή και μετατόπιση μπορούμε να υποθέσουμε ότι γ(s 0 ) = γ(s 0 ), T (s 0 ) = T (s 0 ), n(s 0 ) = n(s 0 ), b(s 0 ) = b(s 0 ). Τότε τα T, n, b και T, n, b ικανοποιούν το ξ 1 ξ ξ 3 = 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 με τις ίδιες αρχικές συνθήκες, άρα T T, n n, b b στο I, δηλαδή γ (s) = γ (s) s γ(s) γ(s) = γ(s 0 ) γ(s 0 ) = 0 s I. Θεώρημα Δύο καμπύλες γ, γ : I R 3 έχουν την ίδια καμπυλότητα και στρέψη αν και μόνο αν υπάρχει στροφή A και c R 3 τέτοια ώστε γ(s) = Aγ(s) + c s I. Παρατήρηση Εστω f(s) = T (s) T (s) + n(s) n(s) + b(s) b(s) τότε f(s) 3 και f(s) = 3 T (s) = T (s), n(s) n(s), b(s) b(s). Πράγματι, έστω f(s 0 ) = 3. Τότε Άρα f(s) 3. ξ 1 ξ ξ 3 f = T T + T T + n n + n n + b b + b b = κn T + κt n + ( κτ + τb) n + n ( κ T + τ b ) τn b τb n = 0 Θεώρημα (Θεμελιώδες Θεώρημα). Αν κ, τ : I R, C συναρτήσεις με κ(s) > 0 s I τότε υπάρχει καμπύλη γ : I R 3 μοναδιαίας ταχύτητας με καμπυλότητα κ και στρέψη τ. Ορισμός Οι εξισώσεις κ = κ(s) και τ = τ(s) ονομάζονται φυσικές εξισώσεις της καμπύλης. Παραδείγματα (i) Αν κ = 1 και τ = 0 περιγράφονται τόξα κύκλων στο χώρο. (ii) Αν κ = 1 και τ = 1 περιγράφονται τμήματα έλικας στο χώρο γιατί άρα α = b = 1. κ = τ = α α + b = 1 α = α + b b α + b = 1 b = α + b

30 6 Καμπυλες Παρατήρηση Οι κ, τ, T = κn, n = κt + τb, b = τn περιγράφουν πλήρως τη γεωμετρία της καμπύλης. Παραδείγματα (i) Να βρεθούν όλες οι καμπύλες που οι εφαπτομένες τους διέρχονται από σταθερό σημείο. Εστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Αν s 0 I και κ(s 0 ) > 0, τότε για κάποιο διάστημα J I με s 0 J, η κ θα ήταν θετική (λόγω συνέχειας). Τότε ορίζεται το τρίεδρο Frenet και άρα T = κn, n = κt + τb, b = τn. Εστω p το σταθερό σημείο από το οποίο διέρχονται όλες οι εφαπτομένες. Τότε γ(s) p = λ(s) T (s) s I όπου λ : J R διαφορίσιμη (γιατί λ(s) = (γ(s) p) T (s)). Παραγωγίζουμε και έχουμε ότι T (s) = λ (s)t (s) + λ(s)κ(s)n(s) { } λ Άρα (s) = 1 στο J κ(s) = 0 s J. Άτοπο. Άρα κ 0 στο I, δηλαδή γ λ(s)κ(s) = 0 = 0. Άρα η γ είναι ευθεία ή τμήμα ευθείας. (ii) Να βρεθούν όλες οι καμπύλες που οι δεύτερες κάθετοι διέρχονται από σταθερό σημείο. P z n(s) b(s) γ(s) T (s) y x Σχήμα 1.6: Δεύτερες κάθετοι από σταθερό σημείο Υποθέτω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με κ > 0 και Εχουμε ότι η λ είναι διαφορίσιμη, άρα δηλαδή γ(s) p = λ(s)b(s) s I γ (s) = λ (s)b(s) + λ(s)b (s) T (s) = λ (s)b(s) τ(s)λ(s)n(s) Άτοπο γιατί τα T, n, b είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Άρα δεν υπάρχει τέτοια καμπύλη. (iii) Να βρεθούν όλες οι καμπύλες των οποίων τα εγγύτατα επίπεδα διέρχονται από σταθερό σημείο. ( ) Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας και p ένα σταθερό σημείο.

31 1. Καμπυλες στο χωρο 7 n(s) b(s) P T (s) Σχήμα 1.7: Εγγύτατα επίπεδα από σταθερό σημείο (α τρόπος) Εχουμε Παραγωγίζοντας έχουμε (γ(s) p) b(s) = 0 ( ) γ (s)b(s) + (γ(s) p) b (s) = 0 (1) τ(s) (γ(s) p) n(s) = 0 Αν τ(s 0 ) 0 σε κάποιο διάστημα J τότε τ 0, άρα Παραγωγίζω πάλι και έχω Άρα (γ(s) p) n(s) = 0 () γ (s)n(s) + (γ(s) p) n (s) = 0 (γ(s) p) n (s) = 0 (γ(s) p) ( κ(s)t (s) + τ(s)b(s)) = 0 ( ) κ(s) (γ(s) p) T (s) = 0 (γ(s) p) T (s) = 0 (3) Από (1),() και (3) έχω ότι (γ(s) p) = 0 s J. Άτοπο γιατί η γ έχει ταχύτητα. Άρα τ 0 στο I. Άρα η καμπύλη είναι επίπεδη. (β τρόπος) Εστω γ(s) p = λ(s)t (s) + µ(s)n(s) Εχουμε ότι λ, µ διαφορίσιμες γιατί λ = (γ p)t και µ = (γ p)n. Παραγωγίζω και έχω T = λ T + λκn + µ n + µ( κt + τb) T = (λ κµ)t + (µ + λκ)n + τµb

32 8 Καμπυλες Άρα πρέπει λ κµ = 1 µ + λκ = 0 τµ = 0 στο J. Αν τ 0 σε κάποιο J, τότε µ(s) 0 στο J άρα 0 = µ(s) + λ(s)κ(s) = λ(s)κ(s) κ>0 λ(s) 0 στο J άρα 1 = λ µκ = 0. Άτοπο, άρα τ 0 στο I. ( ) Προφανές. Ορισμός Μια καμπύλη λέγεται γενικευμένη έλικα αν όλες οι εφαπτομένες της σχηματίζουν σταθερή γωνία με σταθερό διάνυσμα. Πρόταση Μια καμπύλη με κ > 0 είναι γενικευμένη έλικα αν και μόνο αν τ(s) κ(s) = σταϑ T (s) θ b(s) n(s) α(s) Σχήμα 1.8: Σταθερή γωνία με το διάνυσμα α Απόδειξη : ( ) Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας, α σταθερό μοναδιαίο διάνυσμα και γ (s) α = cos ϑ =σταθ. Παραγωγίζοντας έχουμε κ(s)n(s)α = 0 n(s) α = 0 s I (1) Άρα το α ανήκει στο επίπεδο των T, b, δηλαδή α b(s) = sin ϑ =σταθ. Παραγωγίζουμε την (1) και έχουμε n (s) α = 0 ( κ(s)t (s) + τ(s)b(s)) α = 0 κ(s) cos ϑ + τ(s) sin ϑ = 0 Αν ϑ = π ή ϑ = 3π, τότε τ 0. Άτοπο γιατί αποκλείσαμε τις ευθείες και τις επίπεδες καμπύλες. Ομοίως, ϑ 0 και ϑ π γιατί θα είχαμε κ 0. Άρα τελικά τ(s) κ(s) = cot ϑ =σταθ. ( ) Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με τ(s) κ(s) = c =σταθ. Επιλέγω ϑ με cot ϑ = c και θεωρώ α(s) = T (s) cos ϑ + b(s) sin ϑ. Ετσι, α (s) = T (s) cos ϑ + b (s) sin ϑ = (κ(s) cos ϑ) n(s) (τ(s) sin ϑ) n(s) = Άρα α(s) = α =σταθ. Επίσης (κ(s) cos ϑ τ(s) sin ϑ) n(s) = (κ(s) cos ϑ cot ϑκ(s) sin ϑ) n(s) = 0 α = sin ϑ + cos ϑ = 1

33 1. Καμπυλες στο χωρο 9 και Άρα η γ είναι γενικευμένη έλικα. αt (s) = (T (s) cos ϑ + b(s) sin ϑ) T (s) = cos ϑ = σταϑ Παραδείγματα (i) Εστω γ : I R 3 ομαλή καμπύλη και γ (t) συγγραμμικό με το γ(t). Να δείξετε ότι η γ είναι επίπεδη. Εχουμε γ (t) = λ(t)γ(t). Θέλουμε να δείξουμε ότι γ (t) γ (t) γ (t) = 0. Επίσης η λ είναι διαφορίσιμη γιατί λ = γ γ και γ (t) = λ (t)γ(t) + λ(t)γ (t) Τα γ, γ, γ είναι γραμμικοί συνδυασμοί των γ, γ άρα συνεπίπεδα, οπότε γ γ γ = 0 (ii) Εστω γ : I R 3 καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με κ(s) > 0 και στρέψη τ(s) 1 και έστω β(s) = γ(s) + b(s). Να βρεθούν η καμπυλότητα και η στρέψη της β. Πότε η β είναι επίπεδη Εχουμε β (s) = γ (s) + b (s) = T (s) τ(s)n(s) = T (s) + n(s) β = T + n = κn + ( κt + τb) = κt + κn 1b Άρα β β = T n b κ κ 1 β = = = T 1 0 κ 1 n 1 0 κ 1 + b 1 1 κ κ T n( 1) + b(κ + κ) = T + n + κb κ β = β β ( 1) + 1 β 3 = + 4κ 4κ + ( ) 3 = 8 = β = (κ T + κt ) + κ n + κn b = κ T κ(κn) + κ n + κ( κt + τb) ( τn) = κ T κ n + κ n κ T + κτb + τn = ( κ κ )T + ( κ + κ + τ)n + κτb = ( κ κ )T + ( κ + κ 1)n κb β β β = ( T + n + κb) [( κ κ ) T + ( κ + κ 1 ) n κb ] = ( 1) ( κ κ ) + 1 ( κ + κ 1 ) + κ( κ) = κ + κ κ + κ 1 κ = κ κ 1 Άρα τ β = β β β κ β = κ κ 1 4κ + 8 Επίσης η β είναι επίπεδη αν και μόνο αν τ = 0, δηλαδή = 8(κ κ 1) 4κ + κ κ 1 = 0 κ = κ + 1 κ = κ + 1 κ dκ κ + 1 = 1 ds ( ) κ + 1 = 1 dκ κ + 1 = ds ( arctan κ ) = s + c κ γ (s) = 1 ( ) s + c tan > 0 Ποιο είναι το μέγιστο μήκος της γ; Εκεί που η εφαπτομένη είναι θετική, δηλαδή σε διάστημα μήκους π. Άρα 0 < s < π π. Άρα το μέγιστο μήκος είναι.

34 30 Καμπυλες (iii) Η γ : I R 3 με κ, κ, τ 0 βρίσκεται πάνω σε σφαίρα αν και μόνο αν R(s) + R (s) τ(s) = σταϑ όπου R η ακτίνα καμπυλότητας. ( ) Ξέρω ότι υπάρχει p R 3 (κέντρο της σφαίρας) και c =σταθ (ακτίνα) ώστε γ(s) p = c (γ(s) p) γ (s) = 0 (γ(s) p) T (s) = 0 ( ) γ (s)t (s) + (γ(s) p) T (s) = 0 T (s) T (s) + (γ(s) p) T (s) = (γ(s) p) κ(s)n(s) = 0 (γ(s) p) n(s) = 1 = R(s) ( ) κ(s) Παραγωγίζω πάλι και προκύπτει γ (s)n(s) + (γ(s) p) n (s) = R (s) T (s)n(s) + (γ(s) p) ( κ(s)t (s) + τ(s)b(s)) = R (s) (γ(s) p) (τ(s)b(s)) = R (s) (γ(s) p) b(s) = R (s) τ(s) Από τις σχέσεις (*) προκύπτει ότι Άρα γ(s) p = 0 T (s) + ( R(s)) n(s) + γ(s) p = R(s)n(s) R (s) τ(s) b(s) c = γ(s) p = R(s) + R (s) ( ) R (s) b(s) τ(s) τ(s) Ετσι η γ είναι πάνω σε σφαίρα αν R(s) + R (s) τ(s) =σταθ (με τ 0). ( ) R ( ) R ( ) + = σταϑ RR + R R = 0 R + 1 ( ) R = 0 τ τ τ τ τ Εχουμε ότι Rκ = 1 και έστω p(s) = γ(s) + R(s)n(s) + R (s) τ(s) b(s) Παραγωγίζοντας προκύπτει ότι ( ) R p = γ + R n + Rn ( ) + b + R R τ τ b = T + R n + R( κt + τb) + b + R τ τ ( τn) = ( ) ( R T + R ( ) ) R n κrt + τrb + b R n = τr + b = 0 τ τ Αφού p (s) = 0 p(s) = p 0 =σταθ και γ(s) p = γ(s) p(s) = R(s) + και άρα η γ βρίσκεται πάνω σε σφαίρα. ( R ) (s) = σταϑ τ(s) ( )

35 Κεφάλαιο Επιφάνειες.1 Εισαγωγικά Η συνάρτηση y = f(x) γενικεύεται στην z = f(x, y) αλλά η δυσκολία ξεκινάει από το πεδίο ορισμού που είναι ανοιχτό σύνολο. Ενα U R είναι ανοιχτό όταν p U υπάρχει ε > 0 ώστε B(p, ε) U. Μια f : U R είναι συνεχής όταν p n U με p n p να ισχύει f(p n ) f(p). { x y Παράδειγμα.1.1. Εστω f(x) = x +y (x, y) 0. Η f δεν είναι συνεχής. Πράγματι, έστω α (x, y) = 0 ακολουθία p n = ( 1 n, ) λ n 0. Ομως f(pn ) = 1 λ 1+λ 1 λ 1+λ. Άρα το όριο αυτό δεν υπάρχει. Ορισμός.1.. Το σύνολο {(x, y, f(x, y)) : (x, y) U} ονομάζεται γράφημα της f και είναι επιφάνεια. Σχήμα.1: Επιφάνεια γράφημα και επιφάνεια που δεν είναι γράφημα Ορισμός.1.3. Τι κάνουμε για να μελετήσουμε τη μεταβολή της f; Εστω p 0 = (x 0, y 0 ) U. Για α, β R με α + β > 0 έχω h(t) = f(x 0 + αt, y 0 + βt) h(0) = f(p 0 )

36 3 Επιφανειες Η γραμμική συνάρτηση ονομάζεται διαφορικό της f στο p 0. h (t) = f x (x 0 + αt, y 0 + βt) α + f y (x 0 + αt, y 0 + βt) β h (0) = f x (p 0 )α + f y (p 0 )β (Df) p0 ((α, β)) = f x (p 0 )α + f y (p 0 )β = f(p 0 )(α, β) Παραδείγματα.1.4. (i) Αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο p 0 τότε (Df) p0 = 0, δηλαδή f(p 0 ) = 0. (ii) Εστω f(x 0 + x, y 0 + y) = f(x 0, y 0 ) + f x (p 0 ) x + f y (p 0 ) y με x, y μικρά. Τότε Άρα η τετραγωνική μορφή h (0) = f xx (p 0 )α + f xy (p 0 )αβ + f yy (p 0 )β Hess(f) p ((α, β)) = f xx (p 0 )α + f xy (p 0 )αβ + f yy (p 0 )β ονομάζεται εσιανή της f στο p 0. Υποθέτω ότι f(p 0 ) = 0 και προκύπτει ο πίνακας Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις ( fxx (p 0 ) f xy (p 0 ) f xy (p 0 ) f yy (p 0 ) (1) Hess(f) p0 θετικά ορισμένος όταν f xx (p 0 ) > 0 και f xx (p 0 )f yy (p 0 ) f xy (p 0 ) > 0. Τότε έχω τοπικό ελάχιστο. () Hess(f) p0 αρνητικά ορισμένος όταν f xx (p 0 ) < 0 και f xx (p 0 )f yy (p 0 ) f xy (p 0 ) > 0. Τότε έχω τοπικό μέγιστο. (3) Αν για τις ιδιοτιμές ισχύει λ < 0 < µ τότε f xx ( (p 0 )f yy (p 0 ) f xy (p 0 ) < 0 και έχω σαγματικό fxx f σημείο. Άρα f = (f x, f y ) και Hess(f) = xy f xy ) f yy Σχήμα.: Ακρότατα και σαγματικά σημεία επιφανειών

37 .1 Εισαγωγικα 33 Στο επίπεδο Στο χώρο Σχήμα.3: Εφαπτόμενη και εφαπτόμενο επίπεδο Εφαπτόμενες Γεωμετρικά δε μπορούμε να βρούμε εφαπτόμενο επίπεδο γιατί τα τρία σημεία του εγγύτατου δεν προσεγγίζουν τελικά το εφαπτόμενο. Ορισμός.1.5. Εχω r(u, v) = f(p 0 ) + f x (p 0 )u + f y (p 0 )v και τότε για p 0 = (x 0, y 0 ) ισχύει (x 0 + u, y 0 + v, f(x 0 + u, y 0 + v)) = (x 0 + u, y 0 + v, f(p 0 ) + f x (p 0 )u + f y (p 0 )v) = (x 0, y 0, f(p 0 )) + (1, 0, f x (p 0 )) u + (0, 1, f y (p 0 )) v Αυτό είναι το επίπεδο που διέρχεται από το (x 0, y 0, f(p 0 )) και είναι παράλληλο στα (1, 0, f x (p 0 )) και (0, 1, f y (p 0 )). Ονομάζεται εφαπτόμενο επίπεδο της z = f(x, y) στο p 0. Παράδειγμα.1.6. Εστω z = x + y. Να βρεθεί το εφαπτόμενο επίπεδο στο p 0 = (1, 1). Εχω f(x, y) = x + y. Τότε f x = x, f y = 4y, f xx =, f yy = 4, f xy = 0 Άρα το εφαπτόμενο επίπεδο είναι το E(u, v) = (1, 1, 3) + (1, 0, )u + (0, 1, 4)v και η καρτεσιανή εξίσωση είναι η e 1 e e = e e e = e 1 ( ) e 4 + e 3 1 = (, 4, 1) άρα (x 1) 4(y 1) + (z 3) = 0 x + 4y z 3 = 0 x 4y + x = 3 Ορισμός.1.7. Παραμετρική επιφάνεια λέγεται κάθε C απεικόνιση X : U R R 3, όπου U ανοιχτό και X u X v 0 στο U. Παραδείγματα.1.8. (i) Η X (u, v) = (u, u, u) είναι ευθεία, όχι επιφάνεια.

38 34 Επιφανειες x + y Σχήμα.4: Η z = x + y (ii) Η X (u, v) = (uv, uv, uv) είναι ευθεία, όχι επιφάνεια. (iii) Η X (u 0 + h, v 0 + t) = X (u 0, v 0 ) + X u (u 0, v 0 )h + X v (u 0, v 0 )t είναι επίπεδο αν τα X u (u 0, v 0 ) και X v (u 0, v 0 ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. (iv) Η X (u, v) = (u, v, f(u, v)), όπου f : U R C συνάρτηση, είναι το γράφημα της f και τα X u = (1, 0, f u ) και X v = (0, 1, f v ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. (v) Η X (u, v) = p + αu + bv με α b 0 είναι επίπεδο με X u = α και X v = b. (vi) Η X (u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) είναι η μοναδιαία σφαίρα αφού x + y + z = cos u cos v + cos u sin v + sin u = 1 Αν έχω σταθερό v έχουμε τα ημικύκλια (μεσημβρινοί), ενώ αν έχω σταθερό u έχουμε παράλλη- z X(u, v) π u v u y x λους κύκλους (στον ισημερινό). Σχήμα.5: Η μοναδιαία σφαίρα

39 . Πρωτη Θεμελιωδης Μορφη 35. Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή Παραμετρική επιφάνεια Εστω X : U R 3, όπου U R ανοιχτό και X u (q) X v (q) 0 q U. Τότε το εφαπτόμενο επίπεδο T q X είναι ο υπόχωρος του R 3 που δημιουργείται από τα X u (q), X v (q) και T q X = L (X u (q), X v (q)) με dimt q X =. Οι καμπύλες { v X (u0, v) u X (u, v 0 ) } ονομάζονται u και v παραμετρικές καμπύλες της X αντίστοιχα και έχουν ταχύτητες X v και X u. Το N(q) = X u X v X u X v (q) θα λέγεται μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της X στο q. v v σταθερό u σταθερό v u q(u 0, v 0 ) X u-παραμετρικές X v (q) X(q) Xv (q) v θ Xu(q) u X u (q) v-παραμετρικές X(u(t), v(t)) u Σχήμα.6: Παραμετρικές καμπύλες Παρατήρηση..1. Μήπως υπάρχουν καλές παραμετρήσεις για επιφάνειες; Υπάρχουν u και v παραμετρικές καμπύλες μοναδιαίας ταχύτητας και κάθετες; Η απάντηση είναι όχι. Παρατήρηση... Κάθετες είναι οι καμπύλες των οποίων οι εφαπτομένες είναι κάθετες. Πρόταση..3. Δεν υπάρχει X : U R 3 με X = X u = X v = 1 και X u X v = 0 στο U. E = X u X u Ορισμός..4. Οι συναρτήσεις F = X u X v : U R ονομάζονται συνιστώσες της πρώτης G = X v X v θεμελιώδους μορφής της X. Παράδειγμα..5. Εστω X (u, v) = (u, v, 0) και Y(u, v) = (cos u, sin u, v). Εχουμε X u = (1, 0, 0), X v = (0, 1, 0), Y u = ( sin u, cos u, 0), Y v = (0, 0, 1) E X = X u X u = = 1, F X = X u X v = 0, G X = X v X v = = 1 E Y = Y u Y u = sin u + cos u = 1, F Y = Y u Y v = 0, G Y = Y v Y v = = 1 Παρατηρούμε ότι τα E, F, G είναι ίδια αλλά X = Y. Άρα τα επίπεδα αυτά περιέχουν λιγότερες πληροφορίες από τις X, Y.

40 36 Επιφανειες Y (u, v) = (cos u, sin u, v) Σχήμα.7: Ο κύλινδρος Παρατήρηση..6. Υπάρχει επιφάνεια X με E = 1, F = 3, G = 1;. Οχι, γιατί πρέπει E > 0 και EG F > 0. Ορισμός..7. Καμπύλη της X θα λέγεται κάθε απεικόνιση α(t) = X (u(t), v(t)), όπου οι u(t) και v(t) είναι C. Καμπύλη στο επίπεδο U (u(t), v(t)) Προβολή μέσω της X Καμπύλη στην επιφάνεια X(U) X(u(t), v(t)) Σχήμα.8: Καμπύλες μιας επιφάνειας Παράδειγμα..8. Εστω Y(u, v) = (cos u, sin u, v) επιφάνεια. Τότε η α(t) = Y(t, t) = (cos t, sin t, t) είναι καμπύλη της Y ενώ η β(t) = ( cos t, sin t, t) δεν είναι. Μήκος Το μήκος της καμπύλης α(t) = X (u(t), v(t)) είναι l d c (α) = d c α (t) dt

41 . Πρωτη Θεμελιωδης Μορφη 37 Y (t, t) β a t Σχήμα.9: Οι καμπύλες της α και β Ομως α (t) = X u (u(t), v(t))u (t) + X v (u(t), v(t))v (t) και α (t) = X u u (t) + X v v (t) + X u X v u (t)v (t) = Eu (t) + Gv (t) + F u (t)v (t) = M Άρα lc d (α) = d ( c ) Mdt. Συμβολικά, Iq = Edu + F dudv + Gdv που προκύπτει από την τετραγωνική E F μορφή στο (du, dv). Άρα το μήκος της καμπύλης είναι ίσο με Idt F G Παράδειγμα..9. (i) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων στο σημείο τομής. Εχω E = 1 + V, F = uv, G = 1 + u και ψάχνω τη γωνία τομής των α(t) = X (t, t) και β(s) = X (s, s + 4). Λύνουμε το σύστημα t = s t = s + 4 } Άρα q = (t 0, t 0 ) ή (s 0, s 0 + 4) = (4, 8). Επίσης t = s 4s = s + 4 E(q) = = 65 F (q) = 4 8 = 3 G(q) = = 17 } w 1 = X u (q) 1 + X v (q) t 0 = 4 s 0 = w = X u (q) + X v (q) s 0 = X u (q) + X v (q) 4 Άρα για το w 1 w έχουμε , δηλαδή α = = 5

42 38 Επιφανειες Για το w 1 w 1 έχουμε , δηλαδή Για το w w έχουμε Άρα β = = , δηλαδή γ = = 1044 cos ϑ = α βγ = 1 ϑ = 0 (ii) Να βρείτε καμπύλη στη σφαίρα που να τέμνει κάθε μεσημβρινό υπό σταθερή γωνία 45. Εστω α(t) = X (u(t), v(t)) μια τέτοια καμπύλη και έστω t 0 μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Ο X z a ω a(t 0 ) x β y Σχήμα.10: Καμπύλη στη σφαίρα που τέμνει τους μεσημβρινούς με σταθερή γωνία μεσημβρινός που περνάει από το α(t 0 ) = X (u(t 0 ), v(t 0 )) = q είναι η β(s) = X (u(t 0 ), s). Οι α(t) και β(s) τέμνονται για t = t 0, s = v(t 0 ). Θυμόμαστε ότι στη σφαίρα έχουμε E = cos v, F = 0, G = 1 και ισχύει w 1 = α (t 0 ) = X u (q)u (t 0 ) + X v (q)v (t 0 ) Θέλουμε w = β (v(t 0 )) = X v (q) 1 w = G(q) = 1 w 1 w = F (q)u (t 0 ) + G(q)v (t 0 ) = v (t 0 ) = v (t 0 ) w 1 = E(q)u (t 0 ) + F (q)u (t 0 )v (t 0 ) + G(q)v (t 0 ) = u (t 0 ) cos v(t 0 ) + v (t 0 ) w 1 w w 1 w = cos 45 = v (t 0 ) 1 u (t 0 ) cos v(t 0 ) + v (t 0 ) =

43 . Πρωτη Θεμελιωδης Μορφη 39 v (t 0 ) v (t 0 ) + cos v(t 0 )u (t 0 ) = 1 v (t 0 ) = cos v(t 0 )u (t 0 ) du dv = ± 1 cos v Παίρνουμε τη θετική για να βρούμε μία και τελικά Εμβαδόν α(v) = X (ln tan v + sec v + c, v) X A X u A X v Σχήμα.11: Εμβαδόν στην επιφάνεια Ορισμός..10. Εστω X : U R 3 παραμετρική επιφάνεια και K U συμπαγές. Τότε το εμβαδόν του X (K) είναι E(X (K)) = X u X v dudv Χρησιμοποιούμε τον τύπο α β = α β (α β) και ισχύει Άρα τελικά Παραδείγματα..11. E = π/ π/ π/ π π/ 0 K X u X v = X u X v (X u X v ) = EG F E(X (K)) = K EG F dudv (i) Στη σφαίρα έχω 0 < u < π και π < v < π. Άρα EG F dudv = π/ π/ π 0 cos v dudv = π/ π π/ 0 cos vdudv = ( cos v(π 0)dv = π [sin v] π/ π/ = π sin π ( sin π )) = π(1 + 1) = 4π (ii) Στο δίγωνο έχουμε π < v < π και u 0 u u 0 + α, όπου α ακτίνια. Άρα π/ u0+α π/ E = cos vdudv = cos v(u 0 + α u 0 )dv = π/ u 0 π/ ( α [sin v] π/ π/ = α sin π ( sin π )) = α(1 + 1) = α

44 40 Επιφανειες (iii) Το εμβαδόν του σφαιρικού τριγώνου είναι E + E 1 = α E + E = β E + E 3 = γ 3E + E 1 + E + E 3 = (α + β + γ) και επειδή το εμβαδόν της σφαίρας είναι E + E 1 + E + E 3 = 4π προκύπτει ότι E = α + β + γ π (iv) Το εμβαδόν του τριορθογωνίου τριγώνου είναι E = 3 π π = π Το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από 180, τόσο μεγαλύτερο όσο το εμβαδόν του. z a E E 3 x u 0 u 0 + a y E E 1 (i) Εμβαδόν σφαιρικού διγώνου (ii) Εμβαδόν σφαιρικού τριγώνου π (iii) Εμβαδόν σφαιρικού τριορθογωνίου Σχήμα.1

45 . Πρωτη Θεμελιωδης Μορφη 41 Γραφήματα Εστω f : U R, C συνάρτηση και το γράφημα X (u, v) = (u, v, f(u, v)). Εχουμε X u = (1, 0, f u ), X v = (0, 1, f v ) E = X u X u = 1 + f u, F = X u X v = f u f v, G = X v X v = 1 + f v EG F = ( 1 + f u) ( 1 + f v ) f u f v = 1 + f v + f u + f uf v f uf v = 1 + f u + f v Εμβαδόν επιφάνειας: E(X (K)) = 1 + f u + fv dudv K z = f(x, y) f(k) K Σχήμα.13: Εμβαδόν επιφάνειας Καμπύλες παντού κάθετες στις u X (u, v 0 ): Εστω α(t) = X (u(t), v(t)) μια τέτοια καμπύλη. Στο t 0 θεωρούμε την β(s) = X (s, v(t 0 )) που τέμνει την α στο s = u(t 0 ) όταν t = t 0. Τότε ισχύει ότι οι εφαπτομένες είναι κάθετες, δηλαδή α (t 0 ) β (u(t 0 )) = 0 [X u (u(t 0 ), v(t 0 ))u (t 0 ) + X v (u(t 0 ), v(t 0 ))v (t 0 )] X u (u(t 0 ), v(t 0 )) = 0 E(u(t 0 ), v(t 0 ))u (t 0 ) + F (u(t 0 ), v(t 0 ))v (t 0 ) = 0 E(u(t), v(t))u (t) + F (u(t), v(t))v (t) = 0 Ξεχνάμε τις παραμετρήσεις και θεωρούμε την εξίσωση E(u, v)du + F (u, v)dv = 0 με γενική λύση την ξ(u, v) =σταθ. Οι καμπύλες είναι εικόνες των ξ(u, v) =σταθ μέσω της X. Για παράδειγμα αν βρούμε ξ(u, v) = u +v = c τότε έχω κύκλους στο επίπεδο (ανάλογα το c) και θέλουμε την εικόνα τους στην επιφάνεια. Καμπύλες παντού κάθετες στις v X (u 0, v): Παρόμοια προκύπτει η εξίσωση F (u, v)du + G(u, v)dv = 0.

46 4 Επιφανειες v X u Σχήμα.14: Εικόνες κύκλων στην επιφάνεια ξ(u, v) = u + v = c Παράδειγμα..1. Εστω z = x +y ( ). Θέλουμε να βρούμε τις καμπύλες που είναι κάθετες στις u. Εχουμε X (u, v) = u, v, u +v. Τότε Φτιάχνω την εξίσωση X u = (1, 0, u), X v = (0, 1, v), E = 1 + u, F = uv, G = 1 + v Edu + F dv = 0 (1 + u )du + uvdv = 0 ( ) 1 u + u du + vdv = 0 ln u + u + v = c Για c = 1 έχω v = u ln(u ) και τότε ( α(t) = X t, ) ( t ln(t ) = t, ) t ln(t ), 1 ln t Για διαφορετικό c βρίσκω άλλη καμπύλη. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν, έστω u + v α και K = { (u, v) : u + v α }. Τότε E(X (K)) = 1 + f u + fv dudv = 1 + u + v dudv Επίσης, αφού K = {(r, ϑ) : r α, 0 ϑ π}, έχουμε π α 0 0 K 1 + r rdrdϑ = π [ 3 K ( 1 + r ) ] α 3/ 1 = π 0 3 ( (1 + α ) 3/ 1 ) Επιπλέον, αν μας ζητηθεί να βρούμε τη γωνία των α(t) = X (t, 1) και β(s) = X (1, s), τότε λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ότι το σημείο τομής τους είναι το t = 1, s = 1. Άρα Άρα ϕ = π 3 = 60. cos ϑ = α (1)β (1) α (1) β (1) = F (1, 1) E(1, 1)G(1, 1) = 1 = 1

47 . Πρωτη Θεμελιωδης Μορφη 43 z z = x +y x Η κάθετη στις u καμπύλη y Σχήμα.15: Καμπύλες κάθετες στις u. Επιφάνειες εκ περιστροφής Εστω c καμπύλη στο xz επίπεδο. Εχουμε ότι v (ϕ(v), 0, y(v)) με v (α, b) και ϕ > 0. Περιστρέφουμε την c γύρω από τον άξονα z και προκύπτει η όπου v (α, b) και u (0, π). Τότε X (u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, y(v)) X u = ( ϕ(v) sin u, ϕ(v) cos u, 0), X v = (ϕ (v) cos u, ϕ (v) sin u, y (v)) E = Xu = ϕ(v) sin u, ϕ(v) cos u = ϕ(v) 1 = ϕ(v) F = X u X v = ϕ(v) sin uϕ (v) cos u + ϕ(v) cos uϕ (v) sin u = 0 G = Xv = ϕ (v) cos u + ϕ (v) sin u + y (v) = ϕ (v) + y (v) Εμβαδόν επιφάνειας: z Κύκλος ακτίνας φ(v) μήκος φ(v) (φ(v), 0, y(v)) y μεσημβρινός c x Σχήμα.16: Επιφάνεια εκ περιστροφής