LINEARNI PROSTORI

Transcript

1 7 4 Pokažite da je matrica cos α e iβ sin α e iβ sin α cos α unitarna za sve α, β R Ispitajte ima li linearni sistem samo trivijalno rješenje x x x 3 = 3 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Koja je vrsta kritične točke u P točka)? =(, ) (čvor, sedlo, središte ili spiralna 4 Kad se koristi metoda neodredenih koeficijenata za rješavanje nehomogenog problema y = A(t)y + g(t)? Kako se dobiva opće rješenje takvog problema? 5 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu ) matrice 4 3, uz početni vektor x 3 = Nadite uvjetovanost matrice ε ako je norma koja se koristi spektralna ( norma), a ε R, <ε Da li je ta matrica dobro ili loše uvjetovana?

2 6 6 Nadite sve matrice B s realnim elementima koje komutiraju s matricom A, dakle sve B za koje je AB = BA, akoje 3 4 Može li se matrica dijagonalizirati? 3 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica 5 5, g = t + t 4 Što su kritične točke za problem y = A(t)y? 5 Pretpostavimo da trebate naći drugu po veličini svojstvenu vrijednost matrice reda 4 Možete li to napraviti metodom potencija s odgovarajućim pomakom (shiftom)? A metodom inverznih iteracija? Objasnite 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje , b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Jacobijevom metodom Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je početni vektor x =

3 6 7 Što je algebarska, a što geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti? Čini li skup vektora S = {x x = x x x 3,x =,x = x 3,x,x 3 R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Metodom varijacije konstanti nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdje je A matrica 3 e t, g = 3 e t 4 Diferencijalnu jednadžbu y +3ty + ty +y + t = napišite u obliku sistema diferencijalnih jednadžbi prvog reda 5 Korištenjem Gaussovih eliminacija s parcijalnim pivotiranjem (linearni sistem s više desnih strana), nadite inverz matrice 6 Ispitajte da li je matrica pozitivno definitna 3

4 5 9 Ako je x zadani vektor s n redaka, a A zadana matrica, kojeg tipa mora biti matrica A, a kojeg tipa rezultat y, akoje y = x Ax? Čini li skup vektora S = {x x = x x x 3,x =x,x = x 3,x,x,x 3 R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 3 t +, g = 3 t 4 Kad kritičnu točku P zovemo stabilnom kritičnom točkom za sistem diferencijalnih jednadžbi? 5 Nadite uvjetovanost matrice 3 ako je norma koja se koristi euklidska norma Da li je ta matrica dobro ili loše uvjetovana? 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje , b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Gauss Seidelovom metodom

5 9 Ako je x zadani vektor s n redaka, a A zadana matrica, kojeg tipa mora biti matrica A, a kojeg tipa rezultat y, akoje y = x Ax? Čini li skup vektora S = {x x = x x x 3,x =x,x = x 3,x,x,x 3 R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 3 t +, g = 3 t 4 Kad kritičnu točku P zovemo stabilnom kritičnom točkom za sistem diferencijalnih jednadžbi? 5 Nadite uvjetovanost matrice 3 ako je norma koja se koristi euklidska norma Da li je ta matrica dobro ili loše uvjetovana? 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje , b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Gauss Seidelovom metodom

6 3 Matrica A zove se involutorna, ako je kvadratna i vrijedi A = I Ispitajteda li je matrica involutorna Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, ako je λ λ Opišite metodu dijagonalizacije za nalaženje općeg rješenja problema y = Ay + g 4 Ako je zadana diferencijalna jednadžba višeg reda (uz odgovarajuće početne uvjete), može li se ona riješiti nekom od metoda za nalaženje općeg rješenja diferencijalnih jednadžbi i kako? 5 Nadite uvjetovanost matrice 3 3 ako je norma koja se koristi spektralna norma 6 Nadite koeficijente a i b,akotočke (x i,y i ), i =,,naproksimiramo pravcem y(x) =ax + b po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata, uz uvjet da na osi y odsjeca odsječak z (Uputa: Prvo iskoristite uvjet!)

7 Ispitajte jesu li vektori linearno zavisni x = 3, y =, z = 3, Čini li skup vektora S = {x x = x x x, x,x R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Nadite opće rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi y = Ay = y a zatim i ono partikularno koje zadovoljava y(x) = Koja je vrsta kritične točke točka? 4 Ako kod rješavanja nehomogenog sistema diferencijalnih jednadžbi y = Ay + g reda, g ima član oblika e λt,takavdajeλ jednostruka svojstvena vrijednost matrice A, kako treba pretpostaviti oblik partikularnog rješenja y (p) 5 Nadite faktorizaciju Choleskog matrice 6 Opišite metodu inverznih iteracija za nalaženje neke svojstvene vrijednosti i jednog svojstvenog vektora matrice A Može li se ta svojstvena vrijednost i svojstveni vektor naći i metodom potencija?

8 Može li se matrica dijagonalizirati? Čini li skup vektora S = {x x = x x x, x x = R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica 4 4, g = t 4 Ako kod rješavanja nehomogenog sistema diferencijalnih jednadžbi y = Ay + g reda 3, g ima član oblika e λt,takavdajeλ dvostruka svojstvena vrijednost matrice A, kako treba pretpostaviti oblik partikularnog rješenja y (p) 5 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje, b =, x =, Nadite dvije iteracije Jacobijevom metodom, uzimajući početni vektor x Ocijenite grešku približnog rješenja x 6 Metodom inverznih iteracija obično se nalazi samo nekoliko (malo) svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti matrice Navedite barem jednu metodu kojom se uobičajeno nalaze sve svojstvene vrijednosti i svi svojstveni vektori simetrične matrice A

9 3 3 Može li se matrica dijagonalizirati? Dokažite! Ispitajte bez rješavanja linearnog sistema, ima li homogeni linearni sistem Ax = b, gdjeje 3 samo trivijalno rješenje Objasnite! 3 Diferencijalnu jednadžbu y +3(t )y + y +(t +)y + t = napišite u obliku sistema diferencijalnih jednadžbi prvog reda Napišite to u vektorskoj formi, tj nadj ite matricu A(t) ivektorg(t), tako da je z = A(t)z + g(t), (z, vektor) 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Koja je vrsta kritične točke u P točka)? =(, ) (čvor, sedlo, središte ili spiralna 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parametre a i b za funkciju oblika y(x) =ln(ax + b) koja aproksimira skup podataka (x i,y i ), i =,,n Uputa: linearizirajte funkciju 6 Zadana je matrica Nadite LR faktorizaciju matrice A korištenjem parcijalnog pivotiranja, tj nadite matricu permutacije P, te matrice L i R tako da je P LR

10 5 5 Nadite sve matrice koje komutiraju s matricom d D =, d d d n d n Nadite jednu bazu vektorskog prostora vektora koji imaju 3 realne komponente, ako za takve vektore znamo da im je druga komponenta dvostuko veća od prve, a treća je Koja je dimenzija tog vektorskog prostora? 3 Opišite metodu neodredenih koeficijenata za rješavanje sistema diferencijalnih jednadžbi y = Ay + g 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica t, g = 3 t 5 Zadana je matrica Nadite uvjetovanost matrice A korištenjem norme 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 8, b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Jacobijevom metodom Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je početni vektor x =

11 6 Nadite kompleksni broj a, tako da je matrica a normalna Kolika je dimenzija vektorskog prostora koji čine svi realni vektori x x 3 x, x 3? x x 4 3 Kad kritičnu točku P zovemo nestabilnom kritičnom točkom za sistem diferencijalnih jednadžbi? 4 Nadite opće rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi y = Ay = y a zatim i ono partikularno koje zadovoljava y(x) = 5 Zadana je matrica Nadite uvjetovanost matrice A korištenjem norme 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 5, b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Gauss Seidelovom metodom Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je početni vektor x = 3

12 9 Može li se matrica dijagonalizirati? 3 Ispitajte bez rješavanja linearnog sistema, ima li linearni sistem Ax =, gdje je samo trivijalno rješenje Objasnite! 3 Diferencijalnu jednadžbu y +(t )y +ty +(t )y t = napišite u obliku sistema diferencijalnih jednadžbi prvog reda Napišite to u vektorskoj formi, tj nadj ite matricu A(t) ivektorg(t), tako da je z = A(t)z + g(t), (z, vektor) 4 Metodom varijacije konstanti nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdje je A matrica 3 e 4t, g = 3 4e 4t 5 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu ) matrice 4 4, uz početni vektor x = Gaussovom metodom s parcijalnim pivotiranjem nadite rješenje linearnog sistema x x 3 = 4x + x 3 + x 4 = x 4x 3 + x 4 =

13 7 Matrica A zove se idempotentna, ako je kvadratna i vrijedi A = A Ispitajte da li je matrica idempotentna Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, ako je λ Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica 8 4 Opišite kako se metodom dijagonalizacije nalazi opće rješenje problema y = Ay + g 5 Ispitajte jesu li matrice A i B slične, B = 6 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu ) matrice 5 5, uz početni vektor x =

14 Izračunajte determinantu Izračunajte inverznu matricu zadanoj Nadite rješenje problema x + x 8x = e t, uz početne uvjete x() =, x () = 4 svodenjem na sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda Uputa: diferencijalna jednadžba se svodi na sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda tako da se prva derivacija uzme za novu varijablu, recimo x = y ito je druga jednadžba sistema Više se derivacije napišu korištenjem derivacije nove varijable 4 Opišite kako se metodom varijacije konstanti nalazi opće rješenje problema y = Ay + g 5 Ispitajte jesu li matrice A i B slične, B = 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 4 8, b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Jacobijevom metodom Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je početni vektor x = 4 3

15 (3 sati) 7 Matrica A zove se idempotentna, ako je kvadratna i vrijedi A = A Ispitajte da li je matrica idempotentna Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, ako je λ Nadite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice A 8 4 Ispitajte bez rješavanja linearnog sistema, ima li homogeni linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 samo trivijalno rješenje Objasnite! 5 Ispitajte jesu li matrice A i B slične, B = 6 Nadite Frobeniusovu (euklidsku) normu matrice 5 5

16 3 Izračunajte determinantu svodenjem na trokutastu formu 4 4 Ispitajte može li se skup vektora x = 3 4, x =, x 3 = dopuniti do baze vektorskog prostora svih vektora s 4 realne komponente Ako ne može, zašto ne može, a ako može, s koliko još treba nadopuniti ovaj skup da se dobije baza 3 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 3 t +, g = 3 t 4 Opišite kako biste našli rješenje sistem diferencijalnih jednadžbi viših redova, ako su poznati svi potrebni početni uvjeti Opis potkrijepite primjerom 5 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu ) matrice 4 4, uz početni vektor x = koliko je aproksimacija svojstvene vrijednosti daleko od prave?

17 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 4 4, b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Gauss Seidelovom metodom Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je početni vektor x = 4

18 4 5 Svodenjem na trokutastu formu, nadite Ispitajte bez rješavanja linearnog sistema, ima li homogeni linearni sistem Ax =,gdjeje 4 samo trivijalno rješenje Objasnite! 3 Diferencijalnu jednadžbu y + ty (t +)y t = napišite u obliku sistema diferencijalnih jednadžbi prvog reda Napišite to u vektorskoj formi, tj nadj ite matricu A(t) ivektorg(t), tako da je z = A(t)z + g(t), (z, vektor) 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parametre a i b za funkciju oblika y(x) =e ax+b koja aproksimira skup podataka (x i,y i ), i =,,n Uputa: linearizirajte funkciju 6 Nadite spektralnu normu matrice 4

19 4 7 Nadite normu, i za vektor x, akoje x T =, 3,, 4 Uz koje je uvjete na λ skup vektora x =, x = λ, x 3 = baza vektorskog prostora svih vektora koji imaju tri realne komponente? 3 Metodom varijacije konstanti nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdje je A matrica 3 e t, g = 3 e t 4 Nadite inverz matrice 5 Lovačko društvo Lovac Luka primijetilo je da se u njihovom lovištu broj zečeva eksponencijalno povećava po krivulji ϕ(x) =ae bx, gdje x označava broj godina protekao od prvog promatranja Ako je opaženi broj zečeva x k 5 7 f k po metodi najmanjih kvadrata (korištenjem linearizacije) nadite parametre a i b Akojepočetna godina promatranja 99 koliko zečeva, prema dobivenoj aproksimaciji, mogu očekivati u svom lovištu 3 godine? 6 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje , b = 6 Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Jacobiijevom metodom 4 4

20 3 9 Izračunajte determinantu svodenjem na trokutastu formu Ispitajte može li se skup vektora x = 3 4, x =, x 3 = 4 dopuniti do baze vektorskog prostora svih vektora s 4 realne komponente Ako ne može, zašto ne može, a ako može, s koliko još treba nadopuniti ovaj skup da se dobije baza 3 Metodom varijacije parametara nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdje je A matrica 4, g = e t e t 4 Kako treba protpostaviti rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi ako matrica nema bazu svojstvenih vektora Objasnite to na primjeru matrice 5 Napravite jedan korak metode potencija iteracija za nalaženje svojstvenog vektora za apsolutno najveću svojstvenu vrijednost matrice 3 3, uz početni vektor x = koliko je aproksimacija svojstvene vrijednosti daleko od prave? 5 3 3

21 6 Nadite LR faktorizaciju matice A, gdje je 4 4 8

22 6 Ispitajte može li se skup polinoma p (x) = 3x 3 x + x, p (x) = x 3 + x x +, p 3 (x) = 4x 3 5x +3x 3 dopuniti do baze vektorskog prostora svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog 3? Ako ne može, zašto ne može, a ako može, s koliko polinoma treba nadopuniti ovaj skup da se dobije baza Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, ako je λ Nadiite opće rješenje diferencijalne jednadžbe x 6x +9x = t Uputa: svedite na sustav diferencijalnih jednadžbi 4 Opišite vrste kritičnih točka sustava diferencijalnih jednadžbi y = Ay 5 Nadite -normu matrice Ispitajte jesu li matrice A i B slične 4 4, B = 5 3

23 4 3 Ispitajte bez rješavanja linearnog sistema, ima li homogeni linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 samo trivijalno rješenje Objasnite! Nadite normu, i za matricu A, akoje 4 3 Nadite opće sustava diferencijalnih jednadžbi y = y +cost sin t y = y +cost +sint 4 Zadana je diferencijalna jednadžba y = Ay, A reda Ako su svojstvene vrijednosti matrice Aλ = 4, λ =, koja je vrsta kritične točke u (, )? 5 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje 4 4 6, b = Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno može riješiti Jacobijevom metodom Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je početni vektor x = Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parabolu koja aproksimira podatke (x i,y i ), i =,,n uz uvjet da prolazi točkom T =(, )

24 3 Nadjite A 4 ako je Nadite normu za matricu A, akoje Nadite opće sustava diferencijalnih jednadžbi y = y cos t +sint y = y +cost sin t 4 Zadana je diferencijalna jednadžba y = Ay, A reda Ako su svojstvene vrijednosti matrice A, λ =4+i, λ =4 i, što možete reći o vrsti kritične točke u (, )? 5 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu ) matrice 4, uz početni vektor x = Koja je prednost metode inverznih iteracija za nalaženje jedne svojstvene vrijednosti matrice A nad metodom potencija?

25 5 3 Nadite opće rješenje sustava Ax = b ovisnog o parametru λ, akoje λ λ b = λ Za zadanu matricu 3 +i i nadite dijagonalnu matricu Λ i matricu X, takodajeλ=x AX 3 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 3 t +, g = 3 t 4 Diferencijalnu jednadžbu y +(t )y + ty t = napišite u obliku sistema diferencijalnih jednadžbi prvog reda Napišite to u vektorskoj formi, tj nadj ite matricu A(t) ivektorg(t), tako da je z = A(t)z + g(t), (z, vektor) 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite koeficijente a, b i c ako točke (x i,y i ), i =,,n aproksimiramo parabolom y(x) =ax + bx + c, uz uvjet da joj je tjeme u točki (z, ), a na osi y odsijeca odsječak z, z 6 Zadana je simetrična matrica Kojom biste metodom najbrže našli svojstvene vrijednosti te matrice koje se nalaze u intervalu,?

26 5 4 3 Ispitajte može li se skup polinoma p (x) = 3x 3 x + x, p (x) = x 3 + x x +, p 3 (x) = x 3 x +3x dopuniti do baze vektorskog prostora svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog 3? Ako ne može, zašto ne može, a ako može, s koliko polinoma treba nadopuniti ovaj skup da se dobije baza Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, akoje λ λ λ 3 Nadite inverz matrice 4 Metodom varijacije konstanti nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdje je A matrica 3 e t, g = 3 e t 5 Metodom najmanjih kvadrata (uz korištenje linearizacije) nadite parametre a i b funkcije ϕ(x) =log (ax + b) koja aproksimira sljedeći skup podataka x k 6 56 f k Koje se sve svojstvene vrijednosti mogu izračunati korištenjem metode potencija i shiftovima, tj primjenom metode potencija na matricu A σi

27 3 5 3 Izračunajte determinantu 4 svodenjem na trokutastu formu Naditeuvjetenarealneparametrea, b i c tako da je matrica normalna a b c 3 Može li se matrica invertirati? Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Koja je vrsta kritične točke u P točka)? =(, ) (čvor, sedlo, središte ili spiralna 5 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora/svojstvene vrijednosti svojstvenu vrijednost matrice najbližu 5 3 3, uz početni vektor x = Koliko je aproksimacija svojstvene vrijednosti daleko od prave? 6 Nadite LR faktorizaciju (bez pivotiranja) matice A, gdjeje 4 4

28 4 6 3 Ispitajte jesu li vektori linearno zavisni x = Čini li skup vektora, y = S = {x x = x x x, z =,, x,x R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Nadite opće rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi 4 y = Ay = y 4 a zatim i ono partikularno koje zadovoljava y(x) = Koja je vrsta kritične točke točka? 4 Ako kod rješavanja nehomogenog sistema diferencijalnih jednadžbi y = Ay + g reda, g ima član oblika e λt,takavdajeλ jednostruka svojstvena vrijednost matrice A, kako treba pretpostaviti oblik partikularnog rješenja y (p) 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite funkciju oblika ϕ(x) =ax ln x + bx + c ln x koja aproksimira podatke (x i,y i ), x i točakama T =(, ) i T =(e, e) >, i =,,n uz uvjet da prolazi 6 Opišite metodu potencija za nalaženje neke jednog svojstvenog vektora matrice A Prema kojem svojstvenom vektoru će metoda konvergirati? Što se može postići korištenjem pomaka (shift-a)?

29 8 7 3 Izračunajte determinantu svodenjem na trokutastu formu 4 4 Ispitajte može li se skup vektora x = 3, x = 4, x 3 = dopuniti do baze vektorskog prostora svih vektora s 5 realnih komponenate Ako ne može, zašto ne može, a ako može, s koliko još treba nadopuniti ovaj skup da se dobije baza 3 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica 4 t, g = 4 t 4 4 Opišite vrste kritičnih točka sustava diferencijalnih jednadžbi y = Ay 5 Zadan je linearni sustav Ax = b, gdjeje 7 4 9, b = Preuredite taj linearni sustav tako da se sigurno može riješiti Jacobijevom metodom 6 Neprekidnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac ϕ(x) =ax + b koji aproksimira funkciju f(x) =lnx na intervalu, 3 (Uputa: neprekidna metoda znači da se minimizira integral, a ne suma! Integral s logaritamskom kao podintegralnom funkcijom integrira se parcijalnom integracijom) 5 4 3

30 6 9 3 Nadite parametre a i b tako da je matrica ortogonalna Čini li skup vektora S = {x x = / a b / x + x x, x,x R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Nadite opće rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi 6 9 y = Ay = y 6 i odredite vrstu kritične točke u 4 Nadite opće rješenje nehomogenog sustava diferencijalnih jednadžbi y = y 5sint y = 4y +7cost 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata odredite parametar a za funkciju oblika ϕ(x) = (x + a) + koja aproksimira sljedeći skup podataka Uputa: koristite linearizaciju x k 3 f k Opišite metodu inverznih iteracija za nalaženje jednog svojstvenog vektora matrice A Prema kojem svojstvenom vektoru će metoda konvergirati? Što se može postići korištenjem pomaka (shift-a)?

31 4 Može li se matrica dijagonalizirati? +i i i i i +i Čini li skup vektora S = {x x = x x x, x x = R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica e t, g = 3 e t 4 Uz koje uvjete postoji jedinstveno rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi y i = f i (t, y,,y n ), i =,,n? 5 Zadan je linearni sistem Ax = b, gdjeje 5 5 5, b =, x =, Nadite dvije iteracije Jacobijevom metodom, uzimajući početni vektor x Ocijenite grešku približnog rješenja x Hoće li Jacobijeva metoda konvergirati, a ako hoće, zašto? 6 Pri primjeni trodijagonalne QR metode za nalaženje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora simetrične matrice u praksi se uvijek upotrebljava pomak (shift) Možete li reći zašto? Napišite kako se provodi QR metoda s pomakom (dva osnovna koraka)

32 4 4 Matricu napišite kao zbroj jedne simetrične i jedne antisimetrične matrice Determinanta kvadratne matrice A jednaka je Tvrdnja: matrica A je ortogonalna Dokažite tvrdnju, ili primjerom pokažite da tvrdnja nije istinita 3 Čine li vektorski prostor (uz zbrajanje polinoma i množenje polinoma skalarom kao operacije) svi polinomi stupnja manjeg ili jednakog 4 koji imaju netrivijalne koeficijente samo uz parne potencije, tj svi polinomi oblika p(x) =a 4 x 4 + a x + a? Ako čine vektorski prostor, koja mu je dimenzija? 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica 3 e t, g = 4 e t 5 Nadite uvjetovanost matrice ako je norma koja se koristi u definiciji uvjetovanosti -norma 6 Zbog čega se u praksi češće primjenjuju inverzne iteracije nego metoda potencija?

33 4 4 Bez rješavanja linearnog sustava, ispitajte ima li homeogeni sustav Ax = netrivijalna rješenja, ako je 4 3 Matrice A i B imaju iste svojstvene vrijednosti Tvrdnja: One su slične Dokažite prethodnu tvrdnju, ili je opovrgnite primjerom 3 Čine li vektorski prostor (uz zbrajanje matrica i množenje matrica skalarom kao operacije) sve dijagonalne matrice reda 4 Ako čine vektorski prostor, nadite mu dimenziju i jednu bazu 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica 4 e t, g = 3 e t 5 Metodom najmanjih kvadrata nadite parametre a, b i c za funkciju oblika ϕ(x) =a + b sin x + c cos x koja prolazi točkom (, ), a aproksimira skup podataka (x k,f k ), k =,,n 6 Ako startamo s proizvoljnim vektorom x,hoće li niz iteracija (x (m) )zarješavanje linearnog sustava Ax = b dobivenih Gauss Seidelovom metodom, konvergirati prema rješenju sustava, ako je Objasnite ?

34 4 4 4 Ispitajte je li matrica e iβ cos α sin α sin α e iβ cos α unitarna za sve α, β R Neka je D dijagonalna matrica reda n Nadite kakvi moraju biti elementi te dijagonalne matrice, pa da ta dijagonalna matrica komutira sa svim punim matricama (s proizvoljnim elementima) reda n, tj da vrijedi AD = DA 3 Čini li skup vektora S = {x x = x x x 3,x =,x = x 3,x,x 3 R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Koja je vrsta kritične točke u P točka)? =(, ) (čvor, sedlo, središte ili spiralna 5 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora koji pripada svojstvenoj vrijednosti najbližoj broju za matricu 3 3 Koliki morate staviti pomak (shift)? 4, uz početni vektor x = Nadite uvjetovanost matrice redom u normama, i

35 4 5 4 Može li se matrica dijagonalizirati? Objasnite Izračunajte determinantu svodenjem na trokutastu formu 3 Čini li skup vektora S = {x x = x x x 3 4,x = x,x =x 3,x,x,x 3 R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 4 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica 4 4, g = t 5 Zadan je linearni sustav Ax = b, gdjeje, b =, x =, Nadite jednu iteraciju Jacobijevom metodom, uzimajući početni vektor x Ocijenite grešku približnog rješenja x 6 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji aproksimira podatke (x i,y i ), i =,,n uz uvjet da prolazi točkom T =(, )

36 7 6 4 Napišite matricu A kao zbroj jedne simetrične i jedne antisimetrične matrice, ako je Izračunajte A 8 ako je 3 Čini li skup polinoma oblika p(x) =a 3 x 3 + a x + a, a k R vektorski prostor (uz zbrajanje polinoma i množenje polinoma skalarom kao operacije)? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Nadite opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi y 6 = Ay = y 4 i odredite vrstu kritične točke u 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata odredite parametar a za funkciju oblika ϕ(x) = (x +) + a koja aproksimira podatke (x k,f k ), k =,,n Uputa: koristite linearizaciju 6 Simetričnoj matrici želite (numerički) naći sve svojstvene vrijednosti Opišite neku metodu kojom biste to napravili

37 9 4 Nadite rang matrice A ovisno o parametru λ: 4 λ 3 Može li se matrica 4 dijagonalizirati? Ako može, objasnite zašto 3 Čini li skup polinoma oblika p(x) =a 3 x 3 + a x +, a k R vektorski prostor (uz zbrajanje polinoma i množenje polinoma skalarom kao operacije)? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Nadite opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi y 5 = Ay = y 5 i odredite vrstu kritične točke u 5 Neprekidnom metodom najmanjih kvadrata tražimo pravacoblika ϕ(x) = x+a koji na intervalu, najbolje aproksimira funkciju f(x) =x 6 Ako matrica nije strogo dijagonalno dominantna, može li Jacobijeva metoda za iterativno rješavanje linearnih sustava (unatoč tome) konvergirati? Postoji li neki drugi kriterij vezan uz matricu iteracije R koji kaže kad će metoda konvergirati?

38 4 Uz koje uvjete dijagonalna (kvadratna) matrica D reda n komutira sa svim kvadratnim matricama A reda n Pokažite da su sve matrice (s realnim elementima) oblika H = I vv T, gdje je I jedinična matrica reda n, av vektor s n (realnih) komponenata, takav da je v = v T v =, ortogonalne Uputa: iskoristite da je vv T vv T = v(v T v)v T 3 Čini li skup polinoma oblika p(x) =a x + x + a, a k R vektorski prostor (uz zbrajanje polinoma i množenje polinoma skalarom kao operacije)? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Metodom dijagonalizacije nadite rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi y = Ay + g(t), gdje je e t, g(t) = e t 5 Neprekidnom metodom najmanjih kvadrata tražimo pravac oblika ϕ(x) = ax + koji na intervalu, najbolje aproksimira funkciju f(x) =x 6 Zadan je linearni sustav Ax = b, gdjeje , b = Preuredite taj linearni sustav tako da se sigurno može riješiti Gauss Seidelovom metodom 3 4

39 9 4 Nadite normu, i za matricu A, akoje Neka je U kvadratna matrica reda n napisana u blok-formi s blokovima U U U =, U U pri čemu je blok U kvadratni, reda m, m<n Koje relacije moraju zadovoljavati blokovi da bi U bila ortogonalna matrica? 3 Zadan je skup 5-torki S = {(x,x,x 3,x 4,x 5 ) x + x + x 3 =,x 4 = x 5 } Čine li sve takve 5-orke vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica 5 5, g = t t 5 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite funkciju oblika ϕ(x) =ax + x + c koja prolazi točkom (, ), a aproksimira skup podataka (x k,f k ), k =,,n 6 Za matricu A napravimo LR faktorizaciju s parcijalnim pivotiranjem, tj nademo matricu permutacije P,teL i R takve da vrijedi P LR Mogu li tako dobivene matrice L i R biti jednake L =, R = Objasnite ako da zašto da, ako ne zašto ne 3?

40 4 5 Nadite A n, za proizvoljni n N, akoje Ispitajte bez rješavanja sustava, ima li linearni sustav Ax =, gdjeje 3, samo trivijalno rješenje 3 Zadan je skup 5-torki S = {(x,x,x 3,x 4,x 5 ) x + x =,x 4 =,x 3 = x 5 } Čine li sve takve 5-orke vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Koja je vrsta kritične točke u P točka)? =(, ) (čvor, sedlo, središte ili spiralna 5 Funkciju { x za x, f(x) = x = x za x na intervalu, aproksimiramo po neprekidnoj metodi najmanjih kvadrata parabolom ϕ(x) =ax + c Nadite koeficijente a i c (Uputa: neprekidna metoda znači da se minimizira integral, a ne suma! Nadalje, oprez pri integraciji x!) 6 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu 5) matrice 4 3, uz početni vektor x 3 = 5 3 5

41 5 Nadite sve matrice s kojima komutira matrica Ispitajte jesu li matrice A i B slične,b = 3 Ovisno o parametru λ, odredite rang matrice λ +3 λ λ 4 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica, g = t 5 Sustav jednadžbi Ax = b rješavamo nekom iterativnom metodom Ako je iterativna metoda 5 7 x (m+) = Rx (m) + c, R = 4, hoće li ta metoda konvergirati za bilo koji početni vektor x ()?Objasnite 6 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parabolu koja prolazi točkom (, ) i u točki A ima derivaciju jednaku, a aproksimira skup podataka (x k,f k ), k =,,n

42 5 5 Nadite normu, i za matricu A, akoje 3 Nadite sve tzv desne inverze matrice A, tjakojea R m n nadite matrice X R n m takve da je AX = I m,akoje Oprez: rješenje ne mora biti jedinstveno! 3 Zadan je skup 5-torki S = {(x,x,x 3,x 4,x 5 ) x x + x 4 =,x 4 = x 3 + x 5 } Čine li sve takve 5-orke vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 4 t, g = 4 5 Nadite LR faktorizaciju matrice A s parcijalnim pivotiranjem, preciznije, nadite matrice P, L i R takve da je P LR, akoje Kako se efikasno provodi QR metoda za dijagonalizaciju nesimetričnih matrica? Precizno opišite formu na koju se matrica svodi i kako se provodi sama QR metoda na takvoj matrici

43 4 5 Matrica A zove se idempotentna, ako je kvadratna i vrijedi A = A Ispitajte da li je matrica idempotentna Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, akoje λ Ispitajte bez rješavanja linearnog sustava, ima li homogeni linearni sustav Ax =,gdjeje 4 samo trivijalno rješenje Objasnite! 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica 8 Koja je vrsta kritične točke u (, )? 5 Ispitajte jesu li matrice A i B slične, B = 6 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu ) matrice 3 3, uz početni vektor x 3 = 5 4 5

44 6 5 5 Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, akoje λ Nadite trag matrice (zbroj dijagonalanih elemenata), ako je matrica cos ϕ sin ϕ 3 cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ 3 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica t, g = t + 4 Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji prolazi točkom (, ) i aproksimira sljedeći skup podataka (, 5), (, ), (, 4), (, ) 5 Napravite jedan korak metode potencija za nalaženje svojstvenog vektora matrice 3 5 4, uz početni vektor x = Izračunajte prema kojoj svojstvenoj vrijednosti će konvergirati aproksimacije svojstvene vrijednosti dobivene metodom potencija 6 Koji se problem javlja i kako ga možemo riješiti ako je funkcija ϕ(x) (kojom aproksimiramo) u metodi najmanjih kvadrata nelinearna?

45 3 6 5 Ovisno o parametru λ odredite determinantu matrice λ (λ +) Čini li skup vektora S = {x x = x x x + x, x,x R} vektorski prostor? Ako da, nadite mu dimenziju i neku bazu 3 Metodom neodredenih koeficijenata nadite opće rješenje problema y = Ay+g, gdje je A matrica 4 4, g = t 4 Kad kritičnu točku P zovemo stabilnom i privlačnom (atraktivnom) kritičnom točkom za sustav diferencijalnih jednadžbi? 5 Zadana je matrica 5 5 Nadite uvjetovanost matrice A korištenjem norme 6 Gaussovim eliminacijama s parcijalnim pivotiranjem nadite rješenje linearnog sustava Ax = b, akoje , b =

46 7 7 5 Ako za kvadratnu matricu vrijedi da je A = A, izračunajte koje sve vrijednosti može poprimiti det A Čini li skup polinoma stupnja manjeg ili jednakog 3, kojima je koeficijent uz prvu potenciju jednak, vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 3 Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, ako je λ λ Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 4, g = 4 5 Ispitajte jesu li matrice A i B slične 3, B = Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac ϕ(x) =ax + b koji aproksimira funkciju f(x) = x utočkama s x koordinatama,, 3 i 4

47 3 9 5 Nadite sva linearnog sustava Ax = b, akoje 3 5 7, b = 4 Čini li skup 5-torki S = {(x,x,x 3,x 4,x 5 ) x + x = x 3,x 4 x 5 =,x =x } vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 3 Ovisno o parametru λ odredite determinantu matrice A λ λ λ λ 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica 5 t +, g = 5 t 5 Zadana je matrica 4 Nadite LR faktorizaciju matrice A (s pivotiranjem!), tj nadite rastav P LR, gdjejep permutacija 6 Nadite koeficijente a, b i c ako točke (x k,y k ), k =,,n aproksimiramo parabolom ϕ(x) =ax + bx + c po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata, uz uvjet da parabola prolazi točkama (, ) i (x s, ), pri čemu je x s,(x s ) aritmetička sredina x-koordinata točaka (x k,y k ), k =,,n

48 6 U ovisnosti o λ nadite rang matrice A, akoje λ λ λ + λ λ Nadite sve tzv lijeve inverze matrice A, tjakojea R m n nadite matrice X R n m takve da je X I n,akoje 3 Zadan je skup 5-torki S = {(x,x,x 3,x 4,x 5 ) x x + x 4 =,x 4 = x 3 + x 5 } Čine li sve takve 5-orke vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje A matrica 3, g = 3 t 5 Zadana je matrica Nadite LR faktorizaciju matrice A korištenjem parcijalnog pivotiranja, tj nadite matricu permutacije P, te matrice L i R tako da je P LR 6 Metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji prolazi kroz ishodušte koordinatnog sustava i aproksimira podatke: x k 3 4 y k

49 7 6 Neka je zadana kvadratna matrica A reda n Elementi matrice B imaju sljedeća svojstva: elementi i-tog retka matrice B jednaki su i puta odgovarajući element i-tog retka matrice A, tjakojea i i-ti redak od A, onda je b i = i a i Odredite det B u terminima det A Matrica A je nilpotentna ako je A n =zanekin N Njen indeks nilpotentnosti je n Ispitajte je li matrica 3 nilpotentna, a ako je, koji joj je indeks nilpotentnosti 3 Zadan je skup četvorki S = {(x,x,x 3,x 4 ) x +x + x 4 =,x 4 = x 3 } Čine li sve takve četvorke vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjeje 4 Koja vrsta kritične točke je u (, )? 5 Poznata je LR faktorizacija (s pivotiranjem) matrice P LR, gdjesu P =, L =, R = 4 4 Korištenjem te faktorizacije nadite rješenje sustava Ax = b, akoje b = 6 Nadite linearni sustav koji treba riješiti (ne morate ga riješiti) da biste linearnom metodom najmanjih kvadrata našli funkciju oblika ϕ(x) =(ax + bx + c) 3 koja aproksimira skup podataka (x k,f k ), k =,,n Uputa: linearizirajte funkciju

50 3 3 6 Ispitajte može li se skup polinoma p (x) = 4x 3 +x + x, p (x) = x 3 + x x +, p 3 (x) = x 3 +3x 3 dopuniti do baze vektorskog prostora svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog 3? Ako ne može, zašto ne može, a ako može, s koliko polinoma treba nadopuniti ovaj skup da se dobije baza Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, akoje λ λ λ 3 Nadite inverz matrice 4 Metodom varijacije konstanti nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdje je A matrica e t, g = e t 5 Metodom najmanjih kvadrata (uz korištenje linearizacije) nadite parametre a i b funkcije ϕ(x) =log (ax + b) koja aproksimira sljedeći skup podataka x k f k Koja je prednost korištenja metode inverznih iteracija sa shiftovima obzirom na metodu potencija sa shiftovima?

51 9 5 6 Sve linearne kombinacije polinoma p (x) = x 3 + x, p (x) = x 3 + x +, (linearne kombinacije polinoma: p(x) =α p (x)+α p (x), α i R) čine jedan vektorski prostor Koja je dimenzija tog vektorskog prostora Nadite mu jednu bazu Ovisno o parametru λ odredite determinantu matrice A, ako je λ λ λ λ 3 Nadite sve svojstvene vrijednosti matrice 4 Metodom dijagonalizacije nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjeje e t, g = e t 5 Nadite koeficijente a, b i c ako točke (x k,y k ), k =,,n aproksimiramo parabolom ϕ(x) =ax + bx + c po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata, uz uvjet da parabola prolazi točkama (, ) i (, ) 6 Opišite metodu inverznih iteracija za nalaženje jednog svojstvenog vektora matrice A Prema kojem svojstvenom vektoru će metoda konvergirati? Što se može postići korištenjem pomaka (shift-a)?

52 6 7 5 Nadite sva linearnog sustava Ax = b, akoje , b = 4 Čini li skup 5-torki S = {(x,x,x 3,x 4,x 5 ) x x =x 3,x x 4 =} vektorski prostor? Ako da, nadite mu jednu bazu i dimenziju 3 Ovisno o parametru λ odredite singularnost matrice A λ λ λ λ 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica t, g = t 5 Zadana je matrica Nadite uvjetovanost matrice A u normi 6 Nadite koeficijente a, b i c ako točke (x k,y k ), x k,y k >, k =,,naproksimiramo funkcijom ϕ(x) =(a ln x + b) po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata, uz uvjet da funkcija prolazi točkom (, ) Uputa: linearizirajte problem

53 9 6 AkozakvadratnematriceA i B vrijedi da je A B = B A,izračunajte koje sve vrijednosti mogu poprimiti det A i detb Oprez: dijeljenje s nulom je nezdravo! Svi vektori oblika x = x x 3x leže u vektorskom prostoru dimenzije 4 (tj R 4, vektorskom prostoru svih vektorasa4komponente) Nadite potprostor (od R 4 ) najmanje dimenzije u kojem sigurno leže svi takvi x Za taj potprostor nadite jednu bazu i dimenziju 3 Ovisno o parametru λ odredite rang matrice A, akoje λ λ λ 4 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica, g = 5 Nadite -normu matrice Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac ϕ(x) =ax + b koji aproksimira funkciju f(x) = x u točkama s x koordinatama 4,, i

54 9 6 Ako je A kvadratna matrica koja zadovoljava jednadžbu A 3 + A =,morali A uvijek biti singularna matrica? Pokažite Svi vektori oblika x = x 3 x 4 leže u vektorskom prostoru dimenzije 4 (tj R 4, vektorskom prostoru svih vektorasa4komponente) Nadite potprostor (od R 4 ) najmanje dimenzije u kojem sigurno leže svi takvi x Za taj potprostor nadite jednu bazu i dimenziju 3 Korištenjem svodenja na trokutastu formu izravcunajte determinantu matrice 4 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay + g, gdjejea matrica t, g = 5 Diferencijalnu jedandžbu y +y + xy = spočetnim uvjetima y() =, y () =, y () = 3 napišite u obliku sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda 6 Napravite jedan korak metode inverznih iteracija za nalaženje svojstvenog vektora (za svojstvenu vrijednost najbližu 5) matrice, uz početni vektor x =

55 6 Bez rješavanja linearnog sustava Ax =, ispitajte ima li on samo trivijalno rješenje Svi vektori oblika x = leže u vektorskom prostoru dimenzije 4 (tj R 4, vektorskom prostoru svih vektorasa4komponente) Nadite potprostor (od R 4 ) najmanje dimenzije u kojem sigurno leže svi takvi x Za taj potprostor nadite jednu bazu i dimenziju x x x, 3 Može li se matrica dijagonalizirati? 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Koja je vrsta kritične točke u P točka)? =(, ) (čvor, sedlo, središte ili spiralna 5 Pretpostavimo da trebate naći treću po veličini svojstvenu vrijednost matrice reda 5 Možete li to napraviti metodom potencija s odgovarajućim pomakom (shiftom)? A metodom inverznih iteracija? Objasnite 6 Nadite uvjetovanost matrice ε ε ako je norma koja se koristi spektralna ( norma), a ε R, <ε Da li je ta matrica dobro ili loše uvjetovana?

56 5 5 7 Izračunajte A 6 ako je Matrica A ima 5 redaka i stupaca i rang jednak Može li za takvu matricu linearni sustav Ax = b imati jedinstveno rješenje? Objasnite Uputa: koristite Kronecker Cappelijev teorem o broju rješenja linearnog sustava 3 Svi vektori oblika x = x x 3x leže u vektorskom prostoru dimenzije 4 (tj R 4, vektorskom prostoru svih vektorasa4komponente) Nadite potprostor (od R 4 ) najmanje dimenzije u kojem sigurno leže svi takvi x Za taj potprostor nadite jednu bazu i dimenziju 4 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea matrica Zadani su podaci (x k,f k ), k =,,n Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parabolu ϕ(x) =ax + bx + c koja aproksimira te podatke, a prolazi točkama (, ) i (, ) 6 Opišite metodu inverznih iteracija (s pomakom) za nalaženje svojstvenog vektora i pripadne svojstvene vrijednosti matrice A Prema kojoj će svojstvenoj vrijednosti metoda konvergirati?

57 9 7 Izračunajte determinantu svodenjem na trokutastu formu 4 6 Izračunajte inverznu matricu zadanoj Nadite rješenje problema x + x 8x = e t, uz početne uvjete x() = 4, x () = svodenjem na sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda Uputa: diferencijalna jednadžba se svodi na sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda tako da se prva derivacija uzme za novu varijablu, recimo x = y ito je druga jednadžba sistema Više se derivacije napišu korištenjem derivacije nove varijable 4 Opišite kako se metodom varijacije konstanti nalazi opće rješenje problema y = Ay + g 5 Ispitajte jesu li matrice A i B slične 3 3, B = Nadite linearni sustav koji treba riješiti (ne morate ga riješiti) da biste linearnom metodom najmanjih kvadrata našli funkciju oblika ϕ(x) =(ax 5 + b) 7 koja aproksimira skup podataka (x k,f k ), k =,,n Uputa: linearizirajte funkciju