4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK"

Transcript

1 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale arteko ebaketa eta batuketa

2 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK Matematika, beraie artea batu egi daitezkee edo zebaki errealeki biderka daitezke objektu matematiko askore adibide aurki ditzakegu. Nabaria da zebaki errealek guzti hau betetze dutela. Baia adibide gehiago ere badaude; besteak beste, matrizeak,futzioak, zebaki kopleuak, plaoko eta espazioko bektoreak. Gai hoeta ideia hau jeeralizatuko dugu Aljebra Liealare egitura garratzitsuea sartuz: espazio bektoriala. Multzo desberdieta atzeko egiturak agertze direea, hauek aiomatizatzea eta sortze de izate berriari ize bat ematea komei da.abataila hadiea hoako hau da: egitura hau aztertze badugu, bere barea sartze dire egitura guztiak aztertuta geratze dira. Laburtuz, espazio bektorial bat edozei elemeture multzo bat da, o batuketa eta zebaki bate bidezko biderketa deitze dire eragiketak egi daitezkee. Espazio bektorialare kotzeptua defiitzerakoa ez dugu zehazte elemetue izaera ezta beraie arteko eragiketak ola egite dire ere, baia espazio bektorialare aiomatzat kotsideratuko ditugu propietate batzuk betetzea eijituko dugu. Goaze, bada, espazio bektorial delako egitura eta berari dagozkio propietateak ikustera.. DEFINIZIOA bat eta K.V Iza bedi K gorputz trukakor bat. Adibidez, K = R edo K = C. Iza bedi V multzo bat o V φ de. V multzoa VV + V bare-eragiketa V kapo-eragiketa bat defiitze dira. Ordua, V K gaiea espazio bektoriala edo K gorputzare gaieko espazio bektoriala dela esago dugu, odoko balditzak betetze direea: I) (V,+) Talde abeldarra da.. Elkarkorra: ( + y) + z = + (y + z), y, z. Trukakorra: + y = y +, y V 3. Elemetu eutroa: V! 0 V / + 0 = 0 + = V

3 4. Aurkako elemetua: V V / + ( ) = ( ) + = 0 II) Kapo-biderketarekiko odoko propietateak betetze dira:. α.( + y) = α. + α.y α K,, y V. ( α + β). = α. + β. α, β K, V 3. α.( β.) = ( α. β). α, β K, V 4. K. = V o K K-re uitate elemetua de (t.=.t =t t K ). V espazio bektorialeko elemetuei bektoreak esate zaie, eta K gorputzeko elemetuei eskalarrak. Baldi K = R, V espazio bektorial erreala dela esago dugu eta K = C deea, V espazio bektorial kopleua dela esago dugu. Adibideak:. Plaoko bektore geometrikoe multzoa eta espazioko bektore geometrikoe multzoa batuketa eta zebaki erreal bate bidezko biderketareki espazio bektorial errealak dira.. m errekada eta zutabe dituzte matrize guztie M m (K) multzoa, elemetuak K gorputzeko elemetuak izaik, K gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 3. R multzoa R gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 4. C multzoa R gorputzare gaieko eta C gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 5. Iza bedi R [], baio tikiagoko edo maila berdieko ezezagueko poliomioe multzoa, koefizieteak R- daudelarik. Ordua, R [] R gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 6. R = { (,,..., ) / i R, i = } multzoa odoko eragiketeki R gorputzare gaieko espazio bektoriala da: (,,..., ) + (y, y,..., y ) = ( +y, +y,..., +y ) α.(,,..., ) = ( α, α,..., α ) Jeeralea, K K gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 7. [a,b] tartea defiitutako futzio erreal jarraitue C[a,b] multzoa, odoko eragiketeki, R gorputzare gaieko espazio bektoriala da: (f+g)() = f() + g() eta ( α.f)() = α.f() 3

4 Baia badaude espazio bektorialare aioma guztiak betetze ez dituzte egiturak. Ikus dezagu zebait adibide:. N zebaki arrute multzoa, zebaki erreal bate eta zebaki arrut bate arteko biderkadura ez da beti zebaki arruta.. R ez da C gorputzare gaieko espazio bektoriala. 3. Determiate ulua dute ordeako matrize karratue D multzoa ez da espazio bektoriala, D- matrizee batura bare-eragiketa ez delako.adibidea: A = eta B = D, baia A + B = 0 beraz A + B D 4. A. = b, ( b R, b 0), sistema ez homogeeo bate S(A, b) soluzioe multzoa ez da espazio bektoriala, sistemare edozei bi soluziore batura sistemare batura ez delako. Bestalde, sistema homogeeoa baldi bada, A. = 0, soluzioe multzoa espazio bektoriala da.. PROPIETATEAK ) V, 0. = 0 ) α. = 0 α = 0 edo = 0 3) α K, α.0 = 0 4) α K, V, α.( ) = ( α.) 5) α K, V, ( α). = ( α.) 6) α K,, y V, α.( y) = α. α, y 7) α, β K, V, ( α β). = α. β. 8) α. = β. eta 0 α = β 9) α. = α.y eta α 0 = y 3. AZPIESPAZIO BEKTORIALAK Defiizioa. Iza bitez V K gaiea espazio bektoriala eta hoe F azpimultzoa. Baldi eta V- defiitutako eragiketeki F espazio bektoriala badugu, F V-re azpiespazio bektoriala dela esago dugu. 4

5 V-re azpimultzo bat azpiespazioa dela frogatzeko, espazio bektorialare propietate guztiak betetze dituela frogatzea ez da beharrezkoa izago odorego karakterizazioteorema erabiltze badugu: Teorema. V-re F azpimultzoa V-re azpiespazio bektoriala dugu, baldi eta soilik baldi odoko propietateak betetze badira: a), y F + y F b) α K, F α. F Hau da,f azpiespazio bektoriala batuketarekiko eta biderketarekiko zati egokorra da. Oharra. 0 bektore ulua azpiespazio bektorial guztieta dago, α =0 deea b) aplikatuz Adibideak: α. = 0 F betetze baita.. { 0} eta V multzoak V-re azpiespazio bektorialak dira eta azpiespazio ez-propio edo abari deritze.aurrekore bat ez de beste azpiespazio bektoriali azpiespazio bektorial propio deritzo.. Jatorritik pasatze dire zuze guztie multzoa R 3 espazio bektorialare azpiespazio bektoriala da. Gauza bera geratze da jatorritik pasatze dire plaoko zuze guztie multzoareki. 3. Iza bedi F = { (,0,z) /, z R} R 3, ordua F R 3 -re azpiespazio bektoriala da. 4. A. = 0, R, sistema homogeeoare S(A) soluzioe multzoa R -re azpiespazio bektoriala da. 5. R [] poliomioe multzoa, koefiziete errealak dituzte poliomio guztie espazio bektorialare azpiespazio bektoriala da. 4. KONBINAZIO LINEALAK Defiizioa. Iza bedi V K gaiea espazio bektoriala. Baldi erara idazterik badago: Ordua = α + α α, o α α α V bektorea odoko K dire, V bektorea,,..., V bektoree kobiazio lieala dela esate da. Baldi A = { } bada, C(A) = < > ikurrare bidez A-re bektoree kobiazio lieala dire bektoree multzoa adierazte dugu.(itidura lieala) Proposizioa. Iza bitez V. Ordua, F = < > V-re azpiespazio bektoriala dela betetze da eta A = { } bektore-familiak 5

6 sorturiko azpiespazio bektoriala dela esate da. A = { sortzaile bat dela esate da. } F-re sistema 5. DEPENDENTZIA ETA INDEPENDENTZIA LINEALA Iza bitez V espazio bektoriala eta Defiizioa.,,...,,,..., V. V bektoreak liealki depedeteak edo liealki medekoak direla esate da baldi eta odokoa betetze dute α i K eskalarrak eistitze badira, guztiak batera zero ez izaik: α + α α 0 Kasu hoeta, { = } familia edo sistema lotua dela esate da. Defiizioa.,,..., V bektoreak liealki depedeteak ez direea liealki idepedeteak direla esate da. Beraz,,,..., V bektoreak emaik, baldi eta betetze bada, ordua { α + α α = 0 α = α =... = α = 0 bektoreak liealki idepedeteak dira eta } familia edo sistema askea dela esate da. Proposizioa.,,..., V bektoreak liealki depedeteak dira, baldi eta soilik baldi bektoreetatik bat gutieez gaierakoe kobiazio lieala bada. Proposizioa. Baldi A = { edozei azpisistema askea da. Proposizioa. Baldi A = { due V-re edozei G sistema (A G) lotua da. } V-re sistema askea bada, ordua A-re } V-re sistema lotua bada, ordua A barea Proposizioa. 0 bektore ulua due edozei bektore-sistema lotua da. Adibideak. a betetze da a K eskalarretarako = si, cos C[0,π ] futzioak liealki depedeteak dira. { -, ++, + } R [] bektore-sistema askea da. { (), (0,), () } R bektore-sistema ez da askea. Aurreko guztia kotua hartuz, matrize bate heia, liealki idepedeteak dire matrizeare errekada-kopuru edo zutabe-kopuru maimoa bezala defii dezakegu. 6

7 Beraz, bektore-sistema bat askea de ikusteko ahikoa izago da bektoreek osatze dute matrizeare heia aztertzea. 6. OINARRIA ETA DIMENTSIOA Iza bitez V K gaiea espazio bektoriala eta A V. Ordua, V = <A> baldi bada, A-ri V-re sistema sortzaile esate zaio. V espazio bektoriala sorkutza fiitukoa edo dimetsio fiitukoa dela esago dugu, baldi eta soilik baldi sistema sortzaile fiiture bat badu. Beraz, V dimetsio fiituko espazio bektoriala da, odokoa betetze due V-re A = { } azpimultzo fiiture bat eistitze bada: V α, α α K / = α + α α Badaude dimetsio fiitukoak ez dire espazio bektorialak, besteak beste C[a,b] eta poliomio guztie espazio bektoriala, baia hemedik aurrera dimetsio fiituko espazio bektorialak soilik kotsideratuko ditugu. Defiizioa. Baldi eta { e, e e sortzailea eta askea bada, V-re oiarria dela esago dugu. Adibideak. } bektore-sistema V espazio bektorialare sistema { = (0), e (0,) } bektore-sistema R -re oiarri bat da. e = Jeeralea, { e = (0,...,0),e = (0,0,...,0),...,e (0,...,0,) } R -re oiarri bat = da eta R -re oiarri kaoikoa esago diogu. {, } R [] espazio bektorialare oiarri bat da ,,, bektorialare oiarri bat da. 0 ordeako matrize karratue M (K) espazio Proposizioa. V-re edozei bektore, oiarri bate bektoree kobiazio lieal modua idatzia iza daiteke eta kobiazio lieal hori bakarra da. Iza bedi B = { e, e e } V-re oiarri bat, ordua V retzat α, α α K bakarrak / = αe + αe α e de. 7

8 Aurreko adierazpeea agertze dire eskalarrei, B oiarriarekiko bektoreare koordeatuak esate zaie: = ( α, α,..., α. ) B Proposizioa. {0} ez de dimetsio fiituko edozei espazio bektorialek gutieez oiarri bat du. Oiarriare teorema. V-re oiarri guztiek bektore-kopuru berbera dute. V espazio bektorialare edozei oiarrire bektore-kopuruari, V-re dimetsioa esate zaio eta dim(v) ikurrare bidez adieraziko dugu. { 0} espazio bektorialare dimetsioa 0 dela oartze da. Adibideak. dim(r ) =,dim(r ) =, dim(r []) = 3, dim(r []) = + dim(m (R)) = 4 Proposizioa. Baldi dim(v) = bada, ordua m elemetu ditue V-re edozei bektore-sistema, m> izaik, lotua da. Proposizioa. Iza bitez dimetsiotako V espazio bektoriala (dim(v)=) eta bektorez osatutako V-re A bektore-familia. Ordua: A V-re oiarria A askea edo A V-re sistema sortzailea Defiizioa. Iza bitez V espazio bektoriala eta H = { } V. H-re heia, liealki idepedeteak dire familiare bektore-kopuru hadieari esate zaio. Beraz, r(h) = dim<h>. Heme matrize bate heia defii dezakegu: Matrize bate heia, liealki idepedeteak dire matrizeare errekada-kopuru edo zutabe-kopuru maimoa da. Froga daiteke matrizea liealki idepedete dire errekada-kopuru maimoa eta zutabe-kopuru maimoa kopuru berbera direla. Iza bitez V espazio bektoriala eta F V. Ordua, dim(f) = dim(v) o F defiitze dute ekuazio liealki idepedetee kopurua de. 7. OINARRI-ALDAKETA Atal hoeta, bi oiarri desberdiekiko bektore bate koordeatue arteko erlazioa aztertuko dugu. Iza bedi V dimetsioko espazio bektorial bat, dim(v) =. Iza bitez B = { e e e } eta B = { u u u } V-re bi oiarri. Badakigu V-re edozei bektore B oiarriare bektoree kobiazio lieal modua eta 8

9 B oiarriare bektoree kobiazio lieal bezala adieraz daitekela. Iza bedi V, ordua: α, α α K / = αe + α e αe β, β β K / = βu +βu βu Bestalde, B-re elemetuak V-reak dira eta B oiarriare bektoree kobiazio lieal bezala adieraz ditzakegu. e + = a u + a u +... a u e + = au + a u +... a u... e + = a u + a u +... a u Orai, α i eta βi koordeatue arteko erlazioa lortuko dugu: = αe + α e αe = α ( a u + a u a ) u α ( a u + a u a ) + u... α ( a u + a u a u ) = βu +βu βu Eta hemedik, odoko erlazioa lortze dugu: β β =.. β a a... a a a a a α a α..... a α ( ) = A. B' ( ) B A matrizea, B eta B oiarrie arteko oiarri-aldaketare matrizea da eta bere zutabeak B oiarriare elemetue B oiarriarekiko koordeatuak dira. A = (( e ), ( e ),...,( ) ) B' B' e B' A matrizea ibertigarria da eta A - matrizeak B eta B oiarrie arteko oiarri-aldaketa adierazte du. 9

10 8. AZPIESPAZIO BEKTORIALEN ARTEKO EBAKETA ETA BATUKETA bektorialak. Iza bitez K-re gaieko V espazio bektoriala eta V-re F eta G azpiespazio Defiizioa. F-re eta G-re ebakidura hoela defiitze dugu: F G = { / F eta G} Defiizioa. F-re eta G-re batura hoela defiitze dugu: F + G = { = u + v / u F eta v G} F + G batura batura zuzea dela esago dugu, eta F G ikurrare bidez adieraziko dugu, odoko balditza betetze deea: F + G!u F eta!v G / = u + v edo, aurrekoare baliokide dea: F G = {0}. Proposizioa. Aurrea defiituriko F+G eta F G multzoak, V-re azpiespazio bektorialak dira. Gaiera, F+G = <F G>betetze da. Oharra. Jeeralea, azpiespazioe bildura, F G = { / F edo G}, ez da azpiespazio bektoriala. Proposizioa. dim(f+g) = dim(f) + dim(g) dim(f G) 0

Definizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa

Definizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa Defiizioa 1Gaia: Estatistika Deskribatzailea Cristia Alcalde - Aratxa Zatarai Doostiako Uibertsitate Eskola Politekikoa - UPV/EHU Populazioa Elemetu multzo bate ezaugarrire bat ezagutu ahi duguea elemetu

Διαβάστε περισσότερα

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1 BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai bakunaren azterketa deskribatzailea (I)

Aldagai bakunaren azterketa deskribatzailea (I) Aldagai bakuare azterketa deskribatzailea (I) 2007ko otsaila Cotets 1 Datu multzoe ezaugarriak 4 2 Zetralizazio eurriak 4 2.1 Batezbesteko aritmetiko siplea................... 5 2.2 Mediaa................................

Διαβάστε περισσότερα

1. K a p itu lu a. Zenb a ki ko np lex u a k

1. K a p itu lu a. Zenb a ki ko np lex u a k 1. K a p itu lu a Zeb a ki ko p lex u a k 1 1. K A P IT U L U A Z E N B A K I K O N P L E X U A K 1.1 Z e b a ki ko p le x u a re ko tzep tu a. Iku s d itza g u a d ibid e ba tzu k o a g ertze d e ze ba

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika

Διαβάστε περισσότερα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I Gia eta Giarte Zietiak Matematika I. eta. ebaluaioak Zue erreala Segida errealak Ekuaio espoetialak Logaritmoak Ekuaio lieale sistemak ESTATISTIKA Aldagai diskretuak eta jarraiak Parametro estatistikoak

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

LAN PROPOSAMENA. ASKATASUNA BHI. Unitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 Burlata 1. JARDUERA. IRAKASLEA: Arantza Martinez Iturri

LAN PROPOSAMENA. ASKATASUNA BHI. Unitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 Burlata 1. JARDUERA. IRAKASLEA: Arantza Martinez Iturri ASKATASUNA BHI. Uitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 1. JARDUERA LAN PROPOSAMENA LAN PROPOSAMENA Diseiatu eta eraiki ERAKUSLEIHO ZINETIKOA jedeare arreta erakartzeko edo produktu bat iragartzeko. Erakusleihoare

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA 8. UNITATEA orrialdea orrialdea

ESTATISTIKA 8. UNITATEA orrialdea orrialdea 8. UNITATEA ESTATISTIKA 198. orrialdea Irakasleare ohar koaderoa agertze dire idatzi eta ohar guztiak berak egi due taula edo grafiko horreki koparatze baditugu, argi esa behar dugu iformazio mordoa galdu

Διαβάστε περισσότερα

Teknika Interbaloa λ E (Kcal) Eragina ME (MS) < 10nm > 800 Ionizazioa. UM (UV) Ikuskorra. 1 Ikasgaia. METODO ESPEKTROSKOPIKOAK

Teknika Interbaloa λ E (Kcal) Eragina ME (MS) < 10nm > 800 Ionizazioa. UM (UV) Ikuskorra. 1 Ikasgaia. METODO ESPEKTROSKOPIKOAK 1 Ikasgaia. TD SPKTRSKPIKAK 1.1. ATRIA-NRGIA INTRAKZIA SARRRA spektro elektromagetikoa Tratsizio elektroikoak molekula orgaikota SPKTRU ULTRARA (U..) TA IKUSKRRA Talde kromoforoak Sistema kojokatuak SPKTRSKPIA

Διαβάστε περισσότερα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II Giza eta Gizarte Zietziak Matematika II 3. ebaluazioa Probabilitatea Baaketa Normala eta Biomiala Lagi estatistikoak Iferetzia estatistikoa Hipotesiak Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) 1 PROBABILITATEA Igazio

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

Unibertsitatera sartzeko Hautaprobak

Unibertsitatera sartzeko Hautaprobak Uibertsitatera sartzeko Hautaprobak. Froga ezazu, idukzioz, zebaki atural guztietarako odoko berditza ( + )( + ) beteko dela: + + 3 + 4 +... + = 6. Aurki ezazu 57 +5 adierazpeare azke zifra 3. Motorista

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA. KALKULU MATRIZIALA

2. GAIA. KALKULU MATRIZIALA . GI. KLKULU MTRIZIL. Mtrizek. Defiiziok. Mtrizee rteko ergiketk. Mtrizee tuket. Esklr te et mtrize te rteko iderket. Mtrizee iderket. Mtrize iruli,simetriko et tisimetriko 4. Mtrize krrtu te determite

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa 1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA Higidura erlatiboa

2. GAIA Higidura erlatiboa 2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko

Διαβάστε περισσότερα

Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak.

Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak. 2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak. Joseba Imanol Madariaga Longarai 2000-2006 Apunte hauek kopiatu, banatu eta aldatu ditzakezu ohar

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L. Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Solido zurruna

5. GAIA Solido zurruna 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia 1. MAKROEKONOMIA: KONTZEPTUAK ETA TRESNAK. 1.1. Sarrera Lehenengo atal honetan, geroago erabili behar ditugun oinarrizko kontzeptu batzuk gainbegiratuko ditugu, gauzak nola eta zergatik egiten ditugun

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak 1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura

Διαβάστε περισσότερα

I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua

I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua 1 Eranskina: Konbinatoria 2 Probabilitate kontzeptua 2.1 Laplaceren erregela 2.2 Maiztasun-ikuspuntua 2.3 Ikuspuntu subjektiboa 3 Gertakizunen aljebra 3.1 Aurkako

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Oinarrizko estatistika

6. GAIA: Oinarrizko estatistika 6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Txapa konformazioa

6. GAIA: Txapa konformazioa II MODULUA: METALEN KONFORMAZIO PLASTIKOA 6. GAIA: Txapa konformazioa TEKNOLOGIA MEKANIKOA INGENIARITZA MEKANIKO SAILA Universidad del País s Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea 6. Gaia: Txapa konformazioa

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

Aldehido eta Zetonak(II). Enolatoak eta Karbonilodun α,β-asegabeak

Aldehido eta Zetonak(II). Enolatoak eta Karbonilodun α,β-asegabeak Aldehido eta Zetonak(II). Enolatoak eta Karbonilodun α,β-asegabeak Konposatu Karbonilikoen α Hidrogenoen Azidotasuna: Enolatoak Karboniloarekiko α hidrogenoak ohi baino azidoagoak dira Sortzen den anioia

Διαβάστε περισσότερα

10. GAIA Ingurune jarraituak

10. GAIA Ingurune jarraituak 10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola

ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola ELSTIKOTSUNREN TEORI ET MTERILEN ERRESISTENTZI Ruben nsola Loyola Udako Euskal Unibertsitatea Bilbo, 005 HEZKUNTZ, UNIBERTSITTE ET IKERKET SIL DERTMENTO DE EDUCCIÓN UNIVERSIDDES E INVESTIGCIÓN «Liburu

Διαβάστε περισσότερα

Materialen elastikotasun eta erresistentzia

Materialen elastikotasun eta erresistentzia Materialen elastikotasun eta erresistentzia Juan Luis Osa Amilibia EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

5 Hizkuntza aljebraikoa

5 Hizkuntza aljebraikoa Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

LOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA

LOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA Lotura kobalenteetan ez-metalen atomoen arteko elektroiak konpartitu egiten dira. Atomo bat beste batengana hurbiltzen denean erakarpen-indar berriak sortzen dira elektroiak eta bere inguruko beste atomo

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak

Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak Jakintza-arloa: Fisika Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak Egilea: JON URRESTILLA URIZABAL Urtea: 2003 Zuzendaria: Unibertsitatea: ANA ACHUCARRO JIMÉNEZ UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-139-6 Hitzaurrea

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06 0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik

Διαβάστε περισσότερα

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E Batxilergorako materialak Logika sinbolikoa Peru Urrutia Bilbao ISBN: 9788445729267 9 788445 729267 Salneurria: 4 E Euskara Zerbitzua Ikasmaterialak Gabirel Jauregi Bilduma Batxilergorako materialak Logika

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea DINAMIKA c Ugutz Gartaonanda Antsoateg Ingenartza Mekankoa Sala Gastezko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herrko Unbertstatea 2000/2001 kasturtea Índce 1. SARRERA 3 2. INDARRAK 3 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN.

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

Material plastikoak eta ingurugiroa: polimero biodegradakorrak*

Material plastikoak eta ingurugiroa: polimero biodegradakorrak* Material plastikoak eta ingurugiroa: polimero biodegradakorrak* Jose Ramón Sarasua Euskal Herriko Unibertsitatea Meatz eta Metalurgi Ingeniaritza eta Materialen Zientziaren Saila Bilboko Ingeniaritza Goi

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta

Διαβάστε περισσότερα

2011 Kimikako Euskal Olinpiada

2011 Kimikako Euskal Olinpiada 2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo

Διαβάστε περισσότερα

Konposatu Organikoak

Konposatu Organikoak 6. Ikasgaia. HIDRKARBURE MEKLATURA ETA FRMULAZIA ERRADIKALAK ETA FUTZI-TALDEAK Konposatu organikoen sailkapena Kate karbonoduna eta funtzio-taldeak Segida homologoak I.U.P.A.C. MEKLATURA-SISTEMA Izen arruntak,

Διαβάστε περισσότερα

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA 1. HELBURUAK Kurtso honetarako prestatu den materialarekin, irakurlearentzat ohikoak diren matematikako sinboloak, notazioak, lengoaia matematikoa eta aritmetikako

Διαβάστε περισσότερα

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK 2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK Gaur egun, dispositibo elektroniko gehienak erdieroale izeneko materialez fabrikatzen dira eta horien ezaugarri elektrikoak dispositiboen funtzionamenduaren oinarriak dira.

Διαβάστε περισσότερα

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα