Materialen elastikotasun eta erresistentzia

Transcript

1 Materialen elastikotasun eta erresistentzia Juan Luis Osa Amilibia EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du

2 AURKIBIDEA 0. GAIA SARRERA 0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK 0. SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA 0.3 KANPO- ETA BARNE-INDARRAK 0.4 TENTSIOAK 0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK 1. GAIA BARNE-INDARREN BANAKETA: TENTSIOAK 1.1 SARRERA 1. TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOAK 1.3 TENTSIO-DEFORMAZIO DIAGRAMAK 1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA 1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-N LEGEA 1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA 1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK. GAIA AXIALKI KARGATUAK DAUDEN BARRA PRISMATIKOAK.1 SARRERA. INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENAK.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK. ZURRUNTASUNEN METODOA.6 TENPERATURAREN ETA AURREDEFORMAZIOEN ONDORIOAK.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN 3. GAIA BIHURDURA 3.1 SARRERA 3. BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN 3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA 3.4 EBAKIDURA HUTSA 3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA 3.6 POTENTZIA-TRANSMISIOA ARDATZETAN 3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN 3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN 4. GAIA INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA- MOMENTUA HABETAN 4.1 HABE-MOTAK 4. INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA 4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEAREN ETA MAKURDURA- MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA 4.4 INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUEN DIAGRAMAK i

3 5. GAIA TENTSIOAK HABEETAN 5.1 SARRERA 5. DEFORMAZIO NORMALAK HABEETAN 5.3 TENTSIO NORMALAK HABEETAN 5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK 5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK EBAKIDURA LAUKIZUZENETAN 5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABEETAN I 5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK EBAKIDURA ZIRKULARRETAN 5.8 HABE ARMATUAK 5.9 HABE KONPOSATUAK 5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK (KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETAN) 5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA 6. GAIA TENTSIO ETA DEFORMAZIOEN AZTERKETA 6.1 SARRERA 6. TENTSIO LAUA 6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK 6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN 6.5 HOOKE-REN LEGEA TENTSIO LAUAN 6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA 6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN 6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN 6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA 6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN 6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ ZIRKULARRETAN 7. GAIA MAKURDURAK HABETAN ERAGINDAKO DEFORMAZIOAK 7.1 SARRERA 7. DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA 7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO BIKOITZA 7.4 MOHR-EN TEOREMAK 7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA 7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA 7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (HABE EZ-PRISMATIKOAK) 8. GAIA HABE HIPERESTATIKOAK 8.1 SARRERA 8. DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO ANALISIA 8.3 MOH-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO ANALISIA 8.4 HABE JARRAITUAK 9. GAIA GILBORDURA 9.1 SARRERA 9. KARGA KRITIKOA 9.3 EULER-EN FORMULAK 9.4 ZUTABEAREN BERMA_BALDINTZAK 9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA 9.6 OMEGA ω KOEFIZIENTEEN METODOA ii

4 0. GAIA SARRERA 0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK 0. SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA 0.3 KANPO- ETA BARNE-INDARRAK 0.4 TENTSIOAK 0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK 0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK Solido guztiek, neurri ezberdinean, erresistentzia eta zurruntasun propietateak dituzte. Beraz, kargak jasan ditzakete hautsi gabe eta deformazio handirik izan gabe muga batzuen barruan. Materialen erresistentzia zientzia bat da, egitura-elementuen erresistentzia eta zurruntasuna aztertzen dituena. Materialen erresistentziak garatu dituen metodoen bidez, elementuen dimentsioak segurtasunez zehazten dira, bai makinen osagaientzat, bai egitura estatikoentzat. Materialen erresistentziaren oinarriak mekanika orokorraren teoremetatik eratorriak dira, batez ere estatikatik. Materialen erresistentziaren eta mekanikaren arteko ezberdintasuna zera da: lehenengoarentzat solidoak deformagarriak direla, eta mekanikarentzat zurrunak. Materialen erresistentzia mekanikaren adartzat har daiteke, solido deformagarrien mekanika deitua. Solido deformagarrien mekanikaren barruan elastikotasunaren teoria dago, materialen erresistentziak baino ikuspuntu zehatzagoak erabiltzen dituena. Baina horren emaitza zehatzak lortzeko lantresna matematiko konplexuetara jo behar da, eta zenbait kasutan ezin da emaitzarik lortu. Beraz, elastikotasunaren teoria era murriztuan aplikatzen da, nahiz errealitatea era zehatzago eta osoago 11/10/30 r3. MEE 0-1

5 batean deskriba dezakeen arren. Beraz, MEEren (Materialen Elastikotasun eta Erresistentzia) helburua da kalkulu-metodo sinplifikatuak eraikitzea, ikuspuntu teknikotik elementu seguruak izan daitezen eta era onargarrian diseina daitezen. Horretarako, hurbilpenezko prozedurak erabiltzen dira. Metodoen emaitzak zenbakizkoa eta zehatza izan behar du, hipotesi sinplifikatuak erabiliz, eta horien emaitzak errealitatean eta elastikotasunaren teoriaren emaitza zehatzarekin konparatuz balioztatuko dira. Beraz, materialen erresistentziaren aplikazio-eremuak, bere ezaugarri praktikoengatik, elastikotasun-teoriarenak baino zabalagoak dira. Gainera MEEk elementuen barne-egoera aztertzeaz gainera, lan-gaitasuna eta aztertutako egituraren erabilpena ere balioztatzen ditu. Elastikotasunaren teoriak ez du puntu hori aztertzen. 0. SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA Kalkulu-eskema bat aukeratuz hasten da objektuaren erresistentziaren edo sistema errealaren azterketa. Egituraren kalkulua hasi aurretik, egituraren ezaugarri nagusiak identifikatu behar dira, eta sobera daudenak baztertu. Hau da, egituraren eskema eraiki behar da, egituraren portaeran eragin gutxi duten faktoreak kontuan hartu gabe. Arazoaren sinplifikazio hori guztiz beharrekoa gertatzen da kasu guztietan, zeren egituraren ezaugarri guztiak kontuan hartzen dituen problemaren emaitza lortzea ezinezko baita (elementu finituen metodoa bera ere emaitzaren hurbilpen bat da). Horrela, igogailu baten kablearen erresistentziaren kalkulua egitean: garrantzitsuak diren faktoreak: kabinaren pisua kablearen pisua (oso luzea bada) kabinaren azelerazioa sobera daudenak: igogailuaren erresistentzia aerodinamikoa presio barometrikoaren aldaketa altueraren arabera tenperaturaren aldaketa altueraren arabera zenbatezinak diren beste hainbat faktore 11/10/30 r3. MEE 0 -

6 Objektu errealari garrantzia ez duten faktoreak kenduz, kalkulu-eskema lortzen da. Gorputz edo sistema berak kalkulu-eskema bat baino gehiago izan ditzake, kalkuluak behar duen zehaztasunaren eta aztertu nahi den faktorearen arabera. Horrela, aurreko adibidean kablearen erresistentzia soilik aztertu nahi bada, kabina eta karga solido deformaezintzat har daitezke, eta kablearen muturrean aplikatutako indar baten bidez ordezkatu. Aldiz, kabinaren erresistentzia aztertzean ezingo litzateke solido zurruntzat hartu. Haren ezaugarriak aztertu eta haren kalkulu eskema bereizia egin beharko da. Kalkulu-eskemaren aukeraketa materialen ezaugarriak definituz hasten da. Normalki, materialak homogeneoak, jarraituak eta isotropoak direla jotzen da. Materiala homogeneoa da, baldin eta edozein puntutan propietate berak baditu. Materiala jarraitua da, baldin eta materiak elementuari ezarritako bolumen osoa okupatzen badu. Materiala isotropoa da, baldin eta edozein norabidetan propietate berak baditu. Kalkulu-eskema eraikitzean solidoaren geometrian sinplifikazioak ezartzen dira. Materialen erresistentzian oinarrizko sinplifikazioa da, solidoa barra edo oskol batekin ordezkatzea. Barra deritzo, dimentsio bat beste biak baino handiagoak dituen gorputzari. Geometrian, irudi lau bat kurba batean zehar mugituz lortzen da barra. Kurba horri barraren ardatza deritzo. Irudi lauari, bere GZ (grabitate-zentroa) ardatzean duela, zeharkako sekzio deritzo Barrak sekzio konstantea edo aldakorra izan dezake. Ardatzaren arabera, barra zuzena, kurbatua edo alabeatua izan daiteke. Egitura asko barraz osatuak daudela jo daiteke. 11/10/30 r3. MEE 0-3

7 Materialen erresistentzian erabiltzen den bigarren eskema mota oskolak dira. Dimentsio bat beste biak baino txikiagoa dituzten elementuak dira oskolak. Adibidez, mota horretakoak dira edukiontzien paretak, industria-pabiloien teilatuak, eta abar. 0.3 KANPO- ETA- BARNE-INDARRAK Objektu errealak eskemekin ordezkatzean, aplikatutako indar-sistemak ere sinplifikatzen dira. Horrela, indar kontzentratuaren eta banatuaren kontzeptuak sortzen dira. Indarrak aldi berean barne- eta kanpo-indarrak izan daitezke. Indarrek bi gorputzen arteko akzioa neurtzen dute. Egitura ingurunetik isolatua dagoela kontsideratuz gero, inguruneko elementuek egituran eragiten duten indarrak kanpo-indarrak izango dira. Bi kanpo-indar mota daude: bolumenekoak (pisua, indar magnetikoak,...) azalerakoak (uraren bultzada,...) Euskarrietan gertatzen diren erreakzioak ere kanpo-indarrak dira. Adibidez, garabi batean: Irudiko sistemaren baldintzen arabera, sistema isostatikoa (R 1, R ), edo hiperestatikoa (R 1 ', R ',..., R N ') izan daiteke. 11/10/30 r3. MEE 0-4

8 Aztertzen ari garen gorputzaren zatien arteko interakzioei barne-indarrak deitzen zaie. Barne-indarrak, sistema osatzen duten elementuen arteko indarrez gainera, gorputza osatzen duten partikulen arteko indarrek ere osatzen dituzte, eta sistema kanpo-indar sistema baten pean dago. ( P N ) ezk +( P Δ )=0 ( P Δ )+ ( P N ) esk =0 ( P N ) ezk + ( P N ) esk =0 Pieza bitan banatuz gero sekzioetan barne-indarrek duten banaketak, haiek sortutako deformazioak kontuan hartuz, bi sekzioak hurbilduz bat egiteko gai izan behar du. Baldintza horri deformazioen jarraipen-baldintza deitzen zaio materialen erresistentzian, eta baita elastikotasunaren teorian ere. Oreka- eta jarraitasun-baldintzak betetzen dituen barne-indar sistema bat existitzen dela eta bakarra dela frogatu daiteke. 11/10/30 r3. MEE 0-5

9 Oreka-baldintzek R indar eta M G momentu erresultanteak lortzen bakarrik laguntzen du (betiere kanpo-indarrak ezagunak badira), baina ez du barneindarren banaketaren informaziorik ematen. Estatikaren oinarriak aplikatuz barneindarren sistema sekzioaren GZra eramanez, R eta M G lortuko ditugu. Horiek hiru ardatzetan proiektatuz, sei osagai lortuko ditugu: hiru indar eta hiru momentu. Osagai horiei sekzioaren barne-indarreko faktore edo orekatzaile deitzen zaie. R O X ardatza N indar normala O Y ardatza V Y indar ebakitzailea O Z ardatza V Z indar ebakitzailea M G O X ardatza M X bihurdura-momentua (torsor) O Y ardatza M Y makurdura-momentua (flector) O Z ardatza M Z makurdura-momentua Kanpo-indarrak ezagutuz sei osagai orekatzaileak ezagutu daitezke barraren zati batean sei oreka-ekuazioak aplikatuz. Era berean, barrako karga motak sailkatzen dira: A sekzioan N 0 eta beste osagaiak = 0 badira TRAKZIOA edo KONPRESIOA 11/10/30 r3. MEE 0-6

10 0.4 TENTSIOAK Sekzioan barne-indarren banaketa definitzeko, aurretik intentsitatearen kontzeptua azaldu behar da. Neurri horri tentsio deituko diogu. A sekzioa aztertuko dugu. B puntuaren inguruan A eremu infinitesimala aztertuko dugu, haren barnean Δ F barne-indarra dagoela. Zatiki honek definitzen du A eremu infinitesimalean batez besteko tentsioa: p m = Δ F Δ A A eremu infinitesimala nahi adina txikiagotu dezakegu, materiala jarraitua 11/10/30 r3. MEE 0-7

11 baita. Beraz, limitea A zerorantz doanean: ΔF p= lim Δ A 0 Δ A p osagai bektorialari A sekzioko B puntuko tentsio oso deritzo. Tentsioa indarra zati azalera unitatean definitzen da. sistema internazionala Pa (pascal) kg m s 1 m (MPa = 10 6 Pa = sistema teknikoa kg cm edo kg mm ( 10MPa) N mm ) p σ n-ren norabidea TENTSIO NORMALA τ' t'-ren norabidea τ'' t''-ren norabidea TENTSIO TANGENTZIALA TENTSIO TANGENTZIALA Noranzkoaren eta ardatzen notazioaren arabera, σ eta τ aurrerago azalduko diren azpi-indizez adierazten dira. Tentsioak B puntuan baina sekzio ezberdin batean aztertuz, tentsio egoera ere ezberdina izango da. Sekzio bakoitzeko puntu batean agertzen diren tentsio multzoak puntuaren tentsio-egoera osatzen du. Tentsio-egoera bektorialki adierazten da, eta materialen erresistentziaren oinarrietako bat da. x, y, z, xy, yz, zx Tentsio normala σ gisa adieraziko da, dagokion ardatza azpiindize gisa duelarik (x, y edo z) Tentsio ebakitzailea τ izendatuko da, bi azpiindize dituelarik: lehenengoa planoarekiko elkarzut da, eta ardatzarena izango da; bestea dagokion 11/10/30 r3. MEE 0-8

12 ardatzaren norabidearena Tentsio-tentsorearen osagaiak (era matrizialean adierazita: σ ii =σ x, σ ij =τ xy ) σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx τ xy =τ yx τ yz =τ zy τ xz =τ zx 0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK Material guztiak, kanpo-indarren eraginpean deformatzen dira. Horrek eragina du solidoaren barne-indarren banaketan, hala ere normalki deformazioak oso txikiak direnez oharkabean pasatzen dira. Solidoaren puntuak desplazatu egiten dira kanpoindarren eraginez. 11/10/30 r3. MEE 0-9

13 Puntu baten desplazamendu-bektorea zera da: jatorritzat deformatu gabeko puntua duen (A puntua) eta muturrean (gezia) puntuaren posizioa solidoa behin deformaturik (A' puntua) duen bektorea da. Desplazamendu-bektoreak ardatzetan dituen proiekzioak, desplazamenduardatzen noranzkoetan dira. u, v eta w gisa izendatzen dira (x, y eta z ardatzetan hurrenez hurren). Desplazamendu linealez gainera, desplazamendu angeluar kontzeptua ere kontuan hartu beharrekoa da. Solidoaren bi puntuk sortzen duten segmentuak deformatu aurretik eta ondoren, biraketa ere jasaten du espazioan. Biraketa hori definitzeko ardatzekiko deskonposatzen da: x, y eta z γ=γ x i +γy j+γz k Solido-sistema batek bere desplazamendua espazioan saihesteko behar adina lotura badu, sistema zinematikoki aldaezina dela esaten da. Bestela, puntuen deformazio-desplazamendua lortzeko solido zurrunaren desplazamendua kendu beharko zaio desplazamendu absolutuari. Materialen erresistentzian aztertuko ditugun kasu gehienetan, edozein puntutako u, v eta w desplazamenduak solidoaren dimentsio geometrikoak baino txikiagoak izango dira. Hori kontutan hartuta, barneindarrak aztertzean, sinplifikazioak aplikatzen dira funtsezko oinarrietan. Sinplifikazio bat hasierako dimentsioen printzipioa da, non, estatikako oreka ekuazioak planteatzean, solidoa deformaezintzat jotzen baita. Hau da, haren dimentsio geometrikoak berdinak dira kanpoko indarrak aplikatu aurretik eta ondoren. Printzipio hori ezin da aplikatu deformazio handien kasuan. Eta deformazio txikien kasu gutxi batzuetan ere salbuespenak daude, non printzipio hau ezin baita 11/10/30 r3. MEE 0-10

14 aplikatu. Adibidez: Aldaketaren intentsitatea neurtzeko: Δ δ δ = ϵ m Δ δ lim s 0 δ = ϵ AB ε m batez besteko luzapen unitarioa (adimentsionala) ε AB A puntuko deformazio lineala (unitarioa) AB norabidean A puntu honetan baina beste norabide batean deformazioa aztertuz, oro har, emaitza ezberdina lortuko da. Ardatz kartesiarretan: OX ε x OY ε y OZ ε z lim (ĈOD Ĉ ' O' D ' )=γ COI OC 0 deformazio angeluarra edo distortsio angelua Deformazioak planoetan: xy γ xy xz γ xz yz γ yz Puntu batekiko norabide eta plano guztietako deformazio lineal eta angeluarren multzoak puntuaren deformazio-egoera osatzen du. Deformazioegoera sei osagaiek definitzen dute ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ yz γ xy = γ yx, γ yz = γ zy, γ xz = γ zx 11/10/30 r3. MEE 0-11

15 1. GAIA BARNE-INDARREN BANAKETA: TENTSIOAK 1.1 SARRERA 1. TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOAK 1.3 TENTSIO-DEFORMAZIO DIAGRAMAK 1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA 1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-REN LEGEA 1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA 1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK 1.1 SARRERA Materialen elastikotasuna eta erresistentziak, MEEk, solidoen portaera aztertzen du karga motak kontuan izanda. KAUSA KARGAK EFEKTUAK TENTSIOAK eta DEFORMAZIOAK Analisiaren helburua da kargek sortutako tentsio eta deformazioak ezagutzea. Balio horiek kargen balio guztietarako kalkulatzen dira, haustura-karga lortzeraino. Portaera mekanikoaren jakintza beharrezkoa da edozein egitura hala nola eraikin, zubi eta makinak diseinatzerakoan. Materialen propietate fisikoak esperimentalki lortzen dira, eta, ikasturtean zehar garatuko ditugun kontzeptu teknikoak aplikatuz, egitura mekanikoen portaera aurreikusi ahal izango dugu. ANALISI TEORIKOAK PORTAERA AURREIKUSTEN DUTEN FORMULA ETA EKUAZIOAK + EMAITZA ESPERIMENTALAK MATERIALEN PROPIETATEEN EZAGUTZA 11/10/30 r3. MEE 1-1

16 Kasu praktiko asko ezin dira prozedura teorikoekin ebatzi, eta kasu horietan beharrezkoa da neurketa esperimentalak egitea errealitatean izango diren lanbaldintza berdinetan. Adibideak. Kable, barra eta habeen erresistentzia zehazteko egindako proba esperimentalak: Leonardo da Vinci XV. mendea ( ) Galileo Galilei XVI. mendea ( ) Ez zuten teoriarik formulatu proba horien emaitzak azaltzeko Zutabeen teoria matematikoa eta gilbordurako karga kritikoa Leonard Eulerek garatu zituen XVIII. mendean ( ) Haren ekarpenak urteetan erabili gabe egon ziren, eta gaur egun zutabeak aztertzeko oinarrietako bat da. 1. TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOA da. Barra prismatikoa luzeran ebakidura konstantea duen egitura-elementu bat Luzapen uniformea jasaten du: trakzioa. Barne-tentsioen analisia: σ A =P σ= P A trakzio-tentsioa 11/10/30 r3. MEE 1 -

17 σ n-m sekzioarekiko norabide elkarzutean agertzen denez, tentsio normal deitzen zaio. Indarren noranzkoa aldatuz gero, konpresio-tentsioa Tentsio normalentzako zeinu-irizpidea TRAKZIOA: σ (+) KONPRESIOA: σ ( ) TENTSIOAREN UNITATEAK Sistema Internazionala (SI) σ= P A (Newton) m =Pa (Pascal) (oso unitate txikia) Normalki megapascal unitatea erabiltzen da 1 MPa = 10 6 Pa = 1 Sistema Teknikoa (ST) Sistema Ingelesa kg cm 10 N cm =10MPa libra inch psi (pound square inch) 10 3 psi = 1 ksi N mm Adibidea. A4b altzairuaren haustura-tentsioa: σ R =4 kg mm =40MPa σ= P A bete dadin, tentsioak barraren zeharkako sekzioan uniformeki banatua egon behar du. Baldintza hori bakarrik betetzen da, P indar axiala sekzioaren grabitate-zentroan (GZ) aplikatuta dagoenean. P indarra sekzioaren GZn aplikatua ez badago, makurdura agertzen da, eta, hala, tentsio-banaketa aldatzen da. 11/10/30 r3. MEE 1-3

18 FROGAPENA Jo dezagun indar axial bat ardatzarekiko e distantzia batera dagoen puntu batean aplikatuta dagoela, eta ardatzarekiko perpendikularra den sekzio batean tentsioa uniformeki banatua dagoela. Aurreko gaian aipatu den bezala, barra ebakiz gero, sekzioan kanpo-indarrek eragindako tentsio-egoera existitzen da eta bakarra da. Indar horren posizioa bilatuko dugu arbitrarioki hautatutako jatorri eta koordenatu-ardatzekiko. Tentsioa uniformeki banatua dagoenez, P-ren balioa: P= A σ da=σ A da=σ A Indar horrek x eta y ardatzetan sortutako momentua: M x =P y=σ A y M y = P x= σ A x Momentu berdina da azalera infinitesimaleko indarra azalera osoan integratuz: M x = A σ d A y=p ȳ=σ A ȳ M y = A σ da x= P x= σ A x Bi momentuak berdinduz eta x eta y balioak askatuz, sekzioaren GZren definizioa lortzen da, lehen aipatutakoa berretsiz: σ A da y=σ A y y= da A y= da A σ A da x= σ A x x= da A x= da A Karga muturrean uniformeki banatua badago, tentsio-banaketa berdina da sekzio guztietan. Karga puntu batean edo eremu txiki batean aplikatua dagoenean, puntuaren 11/10/30 r3. MEE 1-4

19 inguruan tentsio-kontzentrazioa dago. d distantziara dagoen sekzio batetik aurrera tentsioa uniformeki banatua dago. LUZAPENAK Barra prismatikoa (A azalera konstantea) Material homogeneoa (propietate berdinak puntu guztietan) Kargak GZn aplikatuak LUZERA LUZAPENA L δ 1 ε ϵ= δ L ε luzapen unitarioa da Adibidea. Barra batek L = 10 m-ko luzera dauka, eta δ = 6 mm-ko luzapena jasan badu: ϵ= δ mm =6 L 10 m = m =0, m Luzapen unitarioa adimentsionala da Tentsio-egoera horri, tentsio eta deformazio uniaxial unitario deitzen zaio. σ= P A ϵ= δ L 11/10/30 r3. MEE 1-5

20 1.3 TENTSIO DEFORMAZIO DIAGRAMAK Adibidea. TRAKZIO-PROBA Har dezagun probeta zilindriko normalizatu bat, muturretan diametro handiagoa duena. (Ø0,5 in, L = ) Karga = P Luzapena = δ σ= P A ϵ= δ L KONPRESIO-PROBA Kubo (x in) edo zilindro zirkularra (Ø1 in, L 1 1 ) Hormigoia ASTM probeta (Ø6, L 1 ) A4b egitura-altzairuaren tentsio-deformazio diagrama A Proportzionaltasun-muga B Isurpenaren hasiera D Haustura-tentsioa D-E zonan estrikzioa σ= P A itxurazkoa A =, σ, P erreala A, σ, P 11/10/30 r3. MEE 1-6

21 Material harikorrek, hautsi aurretik deformazio handia jasan dezakete: altzairua, Al, Cu, Mg, Pb, Mo, Ni, letoia, brontzea, nylona, teflona,... Luzapena ehunekotan (%) adierazten da. Luzapena= L f L 0 L 0 x 100 Altzairuarentzat % 5-30 Altzairuaren tentsio-deformazio diagramak karbono-edukiaren arabera Kurben azpiko azalera xurgatutako energia edo lana da Altzairu ez den beste metal baten eta aleazioen tentsio-deformazio diagrama Isurpenaren hasiera ez dago garbi definitua. Itxurazko isurpen-muga metal edo aleazio bakoitzarentzat deformazioa ehunekotan (%) adierazten da. Adibidez, aluminioaren itxurazko isurpen-tentsioa σ Al %0, da. Sekzioaren azaleraren txikiagotzea edo estrikzioa ehunekotan: estrikzioa= A 0 A f A 0 x 100 Hautsi aurretik deformazio txikia jasaten duten materialak hauskorrak dira. 11/10/30 r3. MEE 1-7

22 1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA PORTAERA ELASTIKOA PORTAERA PARTZIALKI ELASTIKOA Elastikotasuna da, karga kentzean hasierako dimentsioak berreskuratzeko materialek duten propietatea. E puntua: materialaren muga elastikoa Plastikotasuna zera da: materialaren muga elastikoa behin gainditu denean, materialak deformazio inelastikoak jasateko duen propietatea. Material harikor batek eremu plastikoaren barnean deformazio handiak jasaten dituenean, fluxu plastikoan dagoela esaten da. Materiala eremu elastikoan mantentzen bada, hainbat aldiz kargatua izan daiteke bere portaeran eta dimentsioetan aldaketa iraunkorrik jasan gabe (nekea kontuan hartu gabe). Muga elastikoa iraganez gero, bigarren karga-zikloa C puntuan hasiko da, eta C-B-F tentsio-deformazio diagrama berriari jarraituko dio. Orain isurpen-muga B puntuan izango da, aurrekoa baino handiagoa, eta harikortasuna galtzen da (deformatzeko gaitasuna). 11/10/30 r3. MEE 1-8

23 1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-REN LEGEA Materialak portaera elastikoa du OA eremuan Tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazioa lineala da σ 1 ϵ = σ 1 ϵ = σ 3 ϵ =tanβ=e =ktea 3 E proportzionaltasun konstante bat da eta materialaren elastikotasunmodulu edo Young-en modulu deitzen zaio. E σ ε diagramako eremu elastiko-linealaren (OA) malda da (tan β). σ kg /cm E-ren unitatea E= ϵ(adimentsionala) ( E kg cm ), tentsioaren berdina da. Altzairuentzat E =, kg/cm σ=e ϵ adierazpena Hookeren lege deritzo. Trakzio eta konpresio sinpleko egoeretan bakarrik aplika daiteke. Egoera konplexuagoentzat Hookeren lege orokortua erabiltzen da (aurrerago ikusiko dugu). POISSON-EN ERLAZIOA Trakzioan dagoen barra baten luzapen axialaren eta alboko kontrakzioaren arteko erlazioa adierazten du: alboko deformazioa unitarioa Poissonen erlazioa = deformazio axiala unitarioa ϵ y = ν ϵ x Adierazpen hori material homogeneo (propietate berdinak puntu guztietan) eta isotropoentzat (propietate berdinak norabide guztietan) da baliagarria. Metal askorentzat (altzairuak ν = 0.3) 11/10/30 r3. MEE 1-9

24 BOLUMEN-ALDAKETA Trakzioan dagoen barra baten bolumena handitu egiten da. Trakzioan lan egiten duen barra homogeneo eta isotropo bat aztertuz: a 1 a 1 + a 1 ε = a 1 (1 + ε) b 1 b 1 b 1 νε = b 1 (1 νε) c 1 c 1 c 1 νε = c 1 (1 νε) V f = a 1 b 1 c 1 (1 + ε)(1 νε)(1 νε) ε eta ε 3 terminoak mespretxatuz: V f = a 1 b 1 c 1 (1 + ε νε) Bolumen-aldaketa: V = V f V o = a 1 b 1 c 1 (1 + ε νε) a 1 b 1 c 1 = a 1 b 1 c 1 ε (1 νε) Beraz, bolumen-aldaketa unitarioa: e= Δ V = a b c 1 1 1ϵ(1 ν) = σ V O a 1 b 1 c 1 E (1 ν) e deformazio bolumetrikoa izanik. ν max = 0,5 bada, e = 0 da. ν > 0,5 bada, e negatiboa da (fisikoki ezinezkoa). 1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA Tentsio ebakitzailea sekzioan tangentzialki agertzen da. 11/10/30 r3. MEE 1-10

25 τ m = V A =P / A Ebakidura sinple edo zuzenaren adibidea Torloju, berno, errematxe, falka (cuña), soldadura eta lotura itsatsien kalkuluan agertzen da. TENTSIO EBAKITZAILEEN EFEKTUA Trakzioan lan egiten duen barra bateko puntu batean paralelepipedo forma daukan elementu infinitesimal bat aztertuko dugu. Haren bere aldeak x, y eta z dira. 1. Kontrako aurpegi paraleloetako tentsio ebakitzaileek modulu berdina eta kontrako noranzkoa dituzte. F H =0 τ Δ x Δ z=τ Δ x Δz τ=τ eta τ 1 =τ 1. Aurpegi perpendikularretako tentsio ebakitzaileek modulu berdina dute, eta haien noranzkoa ertzerantz gerturatu edo aldentzen da. M=0 τ Δ x Δ z Δ y=τ 1 Δ x Δ z Δ y τ=τ 1 DEFORMAZIOAK Tentsio ebakitzaileak soilik jasaten dituen elementuak ebakitzaile hutsean lan egiten du. Materiala deformatu egiten da, eta deformazio angeluar bat sortzen da. 11/10/30 r3. MEE 1-11

26 Deformazio mota hau aztertuz, ondorengoa ondoriozta dezakegu: Tentsio ebakitzaileek ez dute elementua luzatzen edo mozten x, y eta z norabideetan: hau da, ertzen luzera ez da aldatzen. Elementua: paralelepipedo laukizuzena paralelepipedo zeiharra Aurpegia: laukizuzena erronboidea Aurpegien arteko angeluak b eta d puntuetan: lehen ondoren (aldaketa: γ ) Aurpegien arteko angeluak a eta c puntuetan, lehen ondoren (aldaketa: γ ) γ angeluak, elementuak jasaten duen distortsio maila edo forma aldaketa adierazten du. Deformazio angeluar (unitarioa) deitzen zaio, eta radianetan ematen da. ZEINUAK NOLA ZEHAZTEN DIRA ESPERIMENTALKI MATERIAL BATEN EBAKIDURAREKIKO PROPIETATEAK? Bihurdura-proben bidez, sekzio zirkularreko hodietan ebakidura hutseko egoera bat sortzen da. Trakzio-proben antzeko diagramak lortzen dira (balio ezberdinekin noski). Eremu elastiko-plastikoak eta karga-deskarga prozesuak antzekoak dira. Altzairuetan, eremu elastiko-linealean, tentsio ebakitzailearen eta deformazio angeluarraren arteko erlazioa ere proportzionala da (G). 11/10/30 r3. MEE 1-1

27 tanφ= τ γ =G τ=g γ G, elastikotasun-modulua da. Egituretan erabiltzen diren altzairuek duten τ F -a, 0,5-0,6 aldiz σ F da. Ebakidura-tentsio diagramaren OA zatia trakzioan lortutakoaren antzekoa da. HIRU KONSTANTE ELASTIKOEN ARTEKO ERLAZIOA: E, G eta ν G= E (1+ν) E, G eta ν ez dira materialarekiko independenteak diren propietateak. ν-ren balioak 0 eta 0,5 artean egon behar duenez: beraz, ν = 0 denean, G= E (1+0) =E E ν = 0.5 denean, G= (1+1/ ) = E 3 / =E 3 E 3 <G< E 1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK Ondorengo esaldiak ingeniaritzako kontzeptu garrantzitsu bat azaltzen du: «Elementuak kargak jasateko edo transmititzeko ahalmenaren arabera diseinatzen dira». Elementuak: eraikinen egiturak, makineria, hegazkinak, ibilgailuak, itsasontziak,... hau da, egiturak. 11/10/30 r3. MEE 1-13

28 Egitura bat kargak jasan edo transmiti ditzakeen edozein elementu da. Benetan jasan dezakeen karga zerbitzuan jasango dituenak baino handiagoa izango da. Egitura batek kargak jasateko duen ahalmenari erresistentzia deritzo. Egituraren erresistentzia erreala > zerbitzuko erresistentzia Erresistentzia errealaren eta zerbitzukoaren arteko erlazioari, n, segurtasun-koefizientea deritzo. Horrela: erresistentzia erreala n= erresistentzia zerbitzuan 1 egoeraren arabera 1,5 < n < 10 Materialaren hutsegiteak egitura baten haustura edo eraistea (colapso) dakar, edo deformazioek egiturak bere funtzioa ongi betetzeko duen muga onargarria gainditzen dute. Deformazio-hutsegite bat haustura-karga baino balio txikiagotan gerta daiteke. n-ren AUKERAKETA. KONTUAN HARTU BEHARREKO IRIZPIDEAK: 1. Egiturak gainkarga izateko probabilitatea: eraikuntzak (lurrikara), makinak, ibilgailuak, barkuak, hegazkinak.... Karga motak (estatikoak, dinamikoak, ziklikoak) 3. Nekeagatik huts egiteko probabilitatea 4. Hutsegiteak fabrikazioan eta muntatzean (perdoiak, prozedurak...) 5. Kalitate-ikuskaritza fabrikazioan 6. Materialen propietateetan aldakuntzak 7. Ingurumenaren eragina 8. Diseinu-metodoen zehaztasuna (besteen iritziak) 9. Bat-bateko hutsegitea edo mailakatua 10. Hutsegitearen ondorioak: istripu txikia edo hondamendia - n txikiegia bada hutsegite-arriskua - egitura onartezina - n handiegia bada egitura garestia - ezegokia bere funtziorako - aukeraketa konplexua ingeniariaren irizpide, esperientzia eta arauak 11/10/30 r3. MEE 1-14

29 Hainbat segurtasun-koefiziente ingeniari espezialistek zehaztu dituzte, eta kode tekniko eta espezifikazioek jasotzen dituzte, diseinatzaileek erabil ditzaten. onarg σ MAX lan-tentsio maximoa σ onarg MAX = σ L n σ L tentsioaren muga-balio bat n > 1 - segurtasun-koefizientea Faseak diseinuan n aurretik zehazten da onarg bilatzen ari garen dimentsioa σ LANEAN σ MAX egiaztapena Ze σ L hartuko dugu? non σ onarg MAX = σ L n σ MAX kalkulatu eta n-ren balioa aztertzen da: n= Nola aukeratuko dugu segurtasun-koefizientea? > Material harikorrak σ L σ MAXonarg [σ ]= σ L n = σ F n F n F, isurpen-muga kontuan hartuz zehaztutako segurtasun-koefizientea > Material hauskorrak [σ ]= σ L n = σ R n R n R, haustura-karga kontuan hartuz zehaztutako segurtasun-koefizientea 11/10/30 r3. MEE 1-15

30 n koefizientea zehazteko, aurretik antzeko egituretatik jaso den esperientzia eta uneko teknologiaren egoeraren arabera zehazten da. Teknikaren adar bakoitzak bere ohiturak, eskakizunak eta metodo espezifikoak garatu ditu, bakoitzaren berezitasunak kontuan hartuz, bakoitzaren segurtasun-koefizientea zehazteko. 11/10/30 r3. MEE 1-16

31 . GAIA AXIALKI KARGATUAK DAUDEN BARRA PRISMATIKOAK.1 SARRERA. INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENA.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK: ZURRUNTASUNEN METODOA.6 TENPERATURAREN ETA AURREDEFORMAZIOEN ONDORIOAK.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN.8 TENTSIOEN KONTZENTRAZIOA.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN.1 SARRERA Barra prismatikoak luzeran ardatz zuzena duten egitura-elementuak dira, eta indar axialak soilik jasaten dituzte. Beraz, trakzioan edo konpresioan egiten dute lan. Mota honetako elementuen adibideak: eraikuntzen zutabeak egitura artikulatuen barrak motorren bielak zubien tiranteak/kableak Erabil daitezkeen sekzioak: barne-beteak (macizas),, horma mehe barne-hutsak (huecas) O,, irekiak,, Diseinuan eta diseinuaren berrikuspenean, tentsioak eta deformazioak aztertzen dira diseinua balioztatzeko. 11/10/30 r3. MEE - 1

32 ANALISI, DISEINU ETA OPTIMIZAZIOA - Egitura baten analisian, > dimentsioak eta materiala ezagunak dira > tentsioak eta deformazioak ezagutu nahi dira Egituraren portaera aztertzeko karga ezagunak aplikatzen dira. - Egitura baten diseinua egitura baten konfigurazio geometrikoa zehaztean datza, ezarri zaion funtzioa betetzeko gai izan dadin. - Optimizazioa da eskakizunak betetzeko gai den egiturarik onena diseinatzea. Adibidez, pisu minimoa duen egitura edo, baliokidea dena, kostu minimoa duena.. INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENA P indarra GZn aplikatua badago, muturretatik distantzia batera dauden sekzioen barne-indarrak uniformeki banatuak egongo dira. σ= P A - Material homogeneoa - A, zeharkako sekzioaren azalera Deformazio unitarioa: ϵ= δ L = σ E δ=σ L E = P L Δ E non δ luzapena baita Materiala linealki elastikoa bada (Hookeren legea betetzen du) δ= P L AE δ zuzenki proportzionala da P-rekiko eta L-rekiko δ alderantziz proportzionala da A-rekiko eta E-rekiko AE barraren zurruntasun axiala da. 11/10/30 r3. MEE -

33 BARRA-MALGUKI ANALOGIA - Malgukiaren konstante elastikoa edo zurruntasuna, K, zera da: luzapena unitatea izateko beharrezkoa den indarra. K = P δ =tanβ P δ K 1 K = P 1 δ =P δ - Malgukiaren malgutasuna, f, konstante elastikoaren alderantzizkoa da, hau da, karga unitate batek sortzen duen deformazioa. P δ 1 f f = δ 1 P = δ P = 1 K Axialki kargatua dagoen barra baten K zurruntasuna, malguki baten konstantearekin alderatuz, luzapen-unitatea deformatzeko beharrezkoa den indarra da. K = P δ baina δ= P L AE K =P δ = AE L Malgutasuna (f) karga unitarioak sortutako luzapena da. f = δ P = L AE 11/10/30 r3. MEE - 3

34 Malgutasuna zurruntasunaren alderantzizkoa da. Biek dute garrantzia egituren analisian. KONTUZ! L handi batek K txikitu eta f handitzen du Jo dezagun orain barra hainbat indarrekin kargatu dela edo/eta sekzio/material ezberdinak ditugula. Adibidez: Luzapen osoa lortzeko: n δ= i=1 P i L i A i E i 11/10/30 r3. MEE - 4

35 INDAR AXIALAREN EDO/ETA SEKZIOAREN AZALERA BARRAREN ARDATZEAN MODU JARRAITUAN ALDATZEN DENEAN Barraren elementu diferentzial baten portaera aztertu eta luzapena definitzen duen adierazpena garatuko dugu, eta ondoren integratuko dugu, barra osoaren luzapena lortzeko. Bere pisua jasaten duen barra prismatiko baten luzapena DATUAK: a, L, γ EZEZAGUNA: δ Kalkulatu bere pisuarekin kargatua dagoen barra konikoaren luzapena. DATUAK: γ, E, L Konpresioan tentsio konstantea mantentzen duen barra DATUAK: P, r 0, γ 11/10/30 r3. MEE - 5

36 .3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK Axialki kargatutako bi barrako egituraren desplazamenduak geometrikoki lortzeko metodo bat deskribatuko dugu atal honetan. Bi barra hauek muturretan giltzatuta daude. Desplazamendu-diagrama edo Williot-en diagrama izenekoak erabiliko dira. Irudiak bi barrek osatutako egitura erakusten dute: AB eta BC barrak. P kargaren ondorioz, B puntuaren desplazamendua ezagutu nahi da. DATUAK: L,, A AB, E AB, A BC, E BC, P.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA Egituren sailkapena: - estatikoki zehaztuak (isostatikoak) estatikako ekuazioak ezezagunak askatu - estatikoki zehaztugabeak (hiperestatikoak) estatikako ekuazioak + baldintza osagarriak ezezagunak askatu EGITURA HIPERESTATIKOEN ANALISIA - Bi metodo orokor daude: - malgutasunen metodoa (método de flexibilidades) - zurruntasunen metodoa (método de rigideces) - Bi metodoak osagarriak dira, eta bakoitzak bere abantailak ditu. - Egitura mota askotarako baliagarriak dira, betiere materialaren eremu elastikolinealean lan egiten bada. 11/10/30 r3. MEE - 6

37 .4.1 MALGUTASUNEN METODOA (indarren metodo ere deitua) Adibidea: Estatikako ekuazioa R A + R B = P + Deformazioan oinarritutako ekuazio osagarria δ A = 0 - Erreakzio ezezagunetako bat soberako erreakziotzat hartuko dugu; adibidez: R A A =0= A/P A/RA A =0= A /P A /R A - Bateragarritasun-ekuazioa 0= Pb AE +R L A AE R B =P R A =P Pb L R A= Pb L δ A/P = Pb AE δ A/RA = R A b AE (L b) =P = Pa L L Malgutasunen metodoa aplikatzeko pausoak: 1. Soberako erreakzioa aukeratzen da erreakzio ezezagunen artean. Egitura askatzen da landapena ezabatuz 3. Egitura askea, egonkorra eta estatikoki definitua dagoena, bananduta aztertzen da, alde batetik P kargarekin eta beste alde batetik R A soberako erreakzioarekin. 4. Bi magnitude horiek sortutako desplazamenduak kalkulatzen dira bakoitza 11/10/30 r3. MEE - 7

38 bere aldetik, eta ondoren emaitzak desplazamenduen bateragarritasunekuazioa aplikatuz erlazionatzen dira (δ A = 0). 5. Ekuazio osagarria eta estatikako ekuazioa erlazionatuz, erreakzio ezezagunak lortzen dira. Analisi-metodo horri malgutasunen metodo deitzen zaio, malgutasunak agertzen baitira bateragarritasun-ekuazioan. Kasu honetan, bateragarritasunekuazioak ( AE) b ( AE) eta L malgutasunak erabiltzen ditu. Metodo hau soberako indar bakarra duten egitura hiperestatikoetan aplika daiteke Materialaren portaera elastiko-lineala denean soilik da erabilgarria.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK: ZURRUNTASUNEN METODOA (desplazamenduen metodoa) Desplazamenduak ezezaguntzat hartzeak bereizten du zurruntasunen metodoa malgutasunen metodotik. Horregatik, desplazamenduen metodo ere deitzen zaio. Desplazamendu ezezagunak zurruntasun-koefizienteak barneratuak dituzten oreka-ekuazioak askatuz lortzen dira. Zurruntasunen metodoa guztiz orokorra da eta hainbat erredundante estatiko dituzten egituretan erabil daiteke. Haren erabilera eremu elastikolinealean lan egiten duten egituretara mugatua dago. Adibidea: 11/10/30 r3. MEE - 8

39 Estatikako oreka planteatuz: R A + R B = P (1) eta deformazioak: δ C = R A a EA EA a δ C=R A () δ C = R B b EA EA b δ C=R B (3) () eta (3) (1)-n ordezkatuz, oreka-ekuazioa: EA δ C (b+a)=pab δ C = Pab EAL (4) ()-n R A = EA a Pab EAL R A= Pb L (4) (3)-n R B = EA b Pab EAL R B= Pa L EA a δ C+ EA b δ C=P (4) Zurruntasunen metodoa aplikatzeko pausoak: 1. Desplazamendu egoki bat ezezagun gisa aukeratu. Desplazamendua egokia da, egituraren banako indarrak desplazamendu horren bidez adierazi badaitezke.. Indarrak oreka-ekuazio baten bidez erlazionatzen dira. 3. Oreka-ekuazioan desplazamenduaren funtzioan dauden indarrak barneratuz, desplazamendu ezezaguna lortuko da. 4. Azkenik, indarrak lortzen dira desplazamendua dagokion ekuazioan ordezkatuz. ONDORIOAK Adibidean erabili dugun egitura hiperestatiko sinplean, bi metodoen arteko aukeraketa arbitrarioa da, bien arteko ezberdintasunak txikiak baitira. Egitura konplexuetan, zurruntasunen metodoa da erabili daitekeen bakarra, eta sinpleagoetan, malgutasunen metodoak abantaila gehiago izan ditzake. 11/10/30 r3. MEE - 9

40 .6 TENPERATURAREN ETA AURRE DEFORMAZIOEN ERAGINA Tenperatura-aldaketak dimentsioetan aldaketak dakartza material guztietan. Material homogeneo eta isotropo batean, tenperatura-gehikuntza uniforme eta oso batek norabide guztietan dimentsio handitzea dakar. A puntua erreferentziatzat hartuz, Materialak ε t deformazio termiko uniformea jasaten du, eta neurri adimentsionala da. ε t = α T - α, dilatazio-koefizientea (1/K, 1/ºC) - T, tenperatura-aldaketa (+) dilatazioa ( ) kontrakzioa Material arruntek T ε t (+) Deformazio termikoak itzulgarriak dira. Kontuz urarekin: - T > 4ºC denean dilatatu egiten da - T < 4ºC denean ere dilatatu egiten da - T = 4ºC denean dentsitatea maximoa da BLOKEAREN ALDAKETA DIMENTSIONALA Dimentsio originalak deformazio termikoaz biderkatuz lortzen da (ε t ). Adibidea: L L + δ t δ t = ε t L = α T L Egitura isostatikoetan elementuak aske handitu edo txikitu daitezke: ez da barne-tentsiorik sortzen. Egitura hiperestatikoak, berriz, ezin dira aske mugitu, eta barne-tentsioak sortzen dira. Egitura isostatikoaren adibidea: tenperatura-gehikuntzak deformazioak eragiten ditu, baina elementuak aske luza daitezke: 11/10/30 r3. MEE - 10

41 C korapiloa mugituko da ez da tentsiorik sortzen barren artean ez da erreakzio gehigarririk sortzen euskarrietan Egitura hiperestatikoen adibidea (malgutasunen metodoa erabiliz): - zenbat eta T handiagoa, orduan eta tentsio handiagoak, deformazioak mugatuta baitaude δ A =0=δ T δ R 0=α(ΔT )L RL AE ALDEZ AURREKO DEFORMAZIOAK Jo dezagun egitura batean, barra batek nahi gabe L luzera teorikoa ez den beste luzera batekin muntatzen dela. egitura isostatiko batean haren hasierako konfiguraziotik pixka bat aldenduko da, eta ez dira tentsio gehigarriak sortzen egitura hiperestatiko batean, berriz, barne-deformazioak eta tentsioak sortuko dira Batzuetan nahita sortzen dira aurretiko deformazioak, egiturak kargapean tentsio-baldintza hobetan lan egin dezan. Adibidez, hormigoi armatuzko habeak, gas-turbinen euste-eraztunak... 11/10/30 r3. MEE - 11

42 .7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN Demagun trakzioan lan egiten duen eta ondorengo baldintzak betetzen dituen barra bat dugula: barra prismatikoa material homogeneoa P karga sekzioaren GZn aplikatua dago Barra p-q plano inklinatuan moztuz gero, oreka mantentzeko indarren erresultantea N eta V osagaietan deskonposatzen da, planoarekiko elkarzut eta paralelo hurrenez hurren. Norabide elkarzutean N osagaia: N=P cosθ Tentsio normala: σ θ = N = P cosθ =σ A θ A x cos θ cosθ Norabide paraleloan V osagaia (noranzko negatiborantz doa): V = P sinθ Tentsio ebakitzailea: τ θ = V P sinθ = = σ A θ A x sinθcos θ cosθ 11/10/30 r3. MEE - 1

43 Tentsio normalak angeluaren arabera aldatuz doaz. Angeluari balio ezberdinak emanez: σ θ =σ x cos θ =0º = x =±45º = x 1 =±90º =0 = x Tentsio ebakitzaileak ere aldatu egiten dira ebakiduraren angeluaren arabera. Angeluaren balio guztietarako: = x sin cos = x sin =0º =0 = 45º = x =±90º =0 eta = 45º = x Tentsio-egoera berdina da, baina tentsio normal eta ebakitzaileen balioak aldatuz doaz aztertzen ari garen planoaren inklinazioaren arabera. Tentsioen balioak angeluaren funtzioan grafikoki adierazten baditugu: σ θ 0 τ θ Angelua 0º denean tentsio normalak bere balio maximoa lortzen du, eta ez dira agertzen tentsio ebakitzaileak. Tentsio normala eskuinaldera eta ezkerraldera gutxituz doa, ±90º-ra zero balioa izateraino (trakzioan dagoenez, emaitza zentzuzkoa da). Tentsio ebakitzailea angelu horretan ere (±90º) zero da, 0º angeluan bezala, eta horien balio maximoa ±45º-an agertzen da (τ MAX = σ x /). Tentsio ebakitzailea erabakigarria izan daiteke, materiala ebakidurarekiko ahulagoa bada trakzioarekiko baino. 11/10/30 r3. MEE - 13

44 Trakzio edo konpresio sinplean lan egiten duen barrak, tentsio-egoera lau uniaxiala duela esango dugu. Egoera horretan orientazio garrantzitsuenak: - =0º = x = MAX - =45º = x = MAX (45º-ra irristadura-bandak agertzen dira, Luders-en bandak) ADIERAZPEN GRAFIKOA Puntu bateko tentsioak karratu baten bidez adierazten dira, eta karratua biratuz tentsio-egoera aldatzen da. Tentsioak marrazten dira, EZ INDARRAK. MAX = x MAX = x τ > 0 karratua: erlojuaren orratzen aurkako noranzkoan biratzen dira τ < 0 karratua: erlojuaren orratzen aldeko noranzkoan biratzen dira ZEINU-IRIZPIDEA Norabide positiboak (horregatik tentsio ebakitzaileak zeinu negatiboa du) 11/10/30 r3. MEE - 14

45 .8 TENTSIOEN KONTZENTRAZIOA Axialki kargatuak dauden barren azterketa egitean σ = P/A formula aplikatu dugu, tentsioa sekzioan uniformeki banatua dagoela jota. Baina errealitatean barrek zuloak, erretenak, hariak (roscas), mataderak (chavetero), koskak, sekzio edo geometria-aldaketak izan ditzakete. Ezjarraitutasun horiek tentsio-kontzentrazioak sortzen dituzte eremu oso txikietan. Kargak aplikatzen diren puntuetan ere tentsio-kontzentrazioak sortzen dira. Arraroa da karga banatu bat uniformeki banatua egotea luzera edo gainazal batean. Normalki eremu txiki batean banatzen da, eta tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Tentsio-kontzentrazio horiek metodo esperimentalaren edo zenbakianalisiaren (elementu finituak, diferentzia finituak...) bidez zehaztu daitezke. Ingeniaritzako hainbat eskuliburu teknikok tentsio-kontzentrazioen gehikuntzafaktoreak biltzen dituzte taulatan kasu bakoitzerako. SAN VENANT-EN PRINTZIPIOA Puntu batean aplikatutako karga batek mutur batean sortutako tentsiokontzentrazioaren eragina b distantzia batera desagertuko da, b sekzioaren luzera handiena izanik. Ondorio hori esperimentalki eta behaketaz lortu zen, lege fisiko edo teorikoetan oinarritu gabe. Tentsio-kontzentrazioen kokapena ezaguna denez, formula estandarrak erabiltzen jarrai dezakegu eremu horietatik urrun dauden sekzioetan. Elementu osoen desplazamenduak, deformazioak eta energia aztertzea baliagarria da, nahiz eta tentsio-kontzentrazioak kontuan ez izan, horiek eragin txikia baitute multzoaren portaeran. TENTSIO-KONTZENTRAZIOKO FAKTOREAK Kasu partikular bat aztertuz, zulodun barra baten, zuloaren parean sortzen den tentsio maximoaren eta batez besteko tentsioaren arteko erlazioak definitzen 11/10/30 r3. MEE - 15

46 du tentsio-kontzentrazioaren faktorea. K = σ MAX σ m K-ren balioa tauletatik edo elementu finituen bidez aztertuz lortzen da. DISEINUA TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK KONTUAN HARTUZ Egiturak duen lan egiteko moduaren eta erabilitako materialaren araberako garrantzia izango dute tentsio-kontzentrazioek diseinuan. Argi dago nekearen kasuan, karga aldakorrekin lan egiten duen egitura batean, pitzadura tentsio maximoa duen puntuan sortuko dela. Baina, hala ere, K faktoreak diseinu-tentsioa gehiegi handitzen duela ikusi da, eta praktikan K hori txikitu egiten da, haren efektua gutxitzeko. Inpaktuko kargen kasuan K osoa aplikatu behar da, informazio esperimental gehigarria ez bada ezagutzen behintzat. Tenperatura baxuetan metalak hauskor bihurtzen dira: beraz, K osoa erabili beharko da. Material motak ere garrantzia dauka diseinuan. Material harikorretan, tentsioak isurpen-muga gaindituz gero, eremu txiki bat plastifikatzen da, eta, karga ez bada handitzen, ez dago hausteko arriskurik. Material hauskorretan berriz, behin tentsio jakin bat gaindituz gero, bat-batean hausten da. Beraz, K serio hartu beharko da. Tentsio-kontzentrazioa gutxitzeko diseinua hobetzeko soluzioak badaude: 11/10/30 r3. MEE - 16

47 ez-jarraitutasunak biribildu, zuloak ekidin edo handitu....9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN Uniformeki banatua dagoen indar erradiala eraztun mehe zirkular baten perimetroan aplikatua badago, eraztunean luzapen uniforme bat gertatzen da. Eraztunean gertatzen den luzapen-indarra definitzeko, plano diametral batean moztuko da, solido askearen ekuazioak aplikatuz: F V = 0 π dp=q r d φ P= q r dl sinφ d φ=q dl r [ cosφ] 0 π= q r dl 0 P = q r dl σ= P A = P r d l =q = qr t d l t d l t q: karga uniformea zirkunferentzia-luzera unitateko q sinϕ, osagai bertikala r: zirkunferentziaren erradioa ds = rdϕ, arkuaren luzera diferentziala dl: luzera diferentziala Fz INDAR ZENTRIFUGOAK SORTUTAKO TENTSIOA d s d l t γ f =m a= (ω r ) g q= f da = f ds dl = t γ g ω r P=q r dl= t γ g r ω r dl t γ σ= P A = g r ω r dl = γ t dl g ω r non m: masa luzera unitateko q: F z luzera unitateko γ: pisu espezifikoa g: grabitatea 11/10/30 r3. MEE - 17

48 3. GAIA BIHURDURA 3.1 SARRERA 3. BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN 3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA 3.4 EBAKIDURA HUTSA 3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA 3.6 POTENTZIA-TRASMISIOA ARDATZETAN 3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN 3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN 3.1 SARRERA Gai honetan bihurdurak barra zirkularretan sortzen dituen tentsio eta deformazioak aztertuko dira. Adibideak: makinen transmisio-ardatzak, egitura aeroespazialetan erabiltzen diren hodiak BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN Kausa M t, τ Efektua γ MAX Helburua, kausaren eta efektuaren arteko erlazioa aurkitzea da. 11/10/30 r3. MEE 3-1

49 Momentua ardatzaren norabidean aplikatua duen barra zirkularrak bihurdura hutsean lan egiten du. Simetria kontuan hartuta, ondokoa frogatu daiteke: barra zirkularraren zeharkako sekzioak luzetarako ardatzaren inguruan biratzen dira gorputz zurrunak balira bezala erradioak zuzen mantentzen dira, eta zeharkako sekzioak ere lau eta zirkular irauten du L barraren luzera eta R erradioa ez dira aldatzen; bihurdura-angelua, bai Bihurdurak barraren biraketa sortzen du luzetarako ardatzean, barraren bi muturren artean. hartzeraino. Eskuineko muturra Φ angelu txiki bat biratzen da ezkerreko muturrarekiko. p-q zuzenak edo zuntzak γ MAX angelu txikia bira egiten du p-q' posizioa 11/10/30 r3. MEE 3 -

50 Horren arabera: Biraketa horretan, elementuaren aldeek ez dute luzera-aldaketarik jasaten, baina ertzetako angeluak ez dira 90 o -koak. Elementua bihurdura hutsean dagoenez: γ MAX = bb ' ab orduan, θ= d Φ dx γ MAX =r θ baina MAX = r d dx bb' = r dφ ab = dx bihurdura angeluaren aldaketa-ratioa bezala definituz, Bihurdura hutsa bada, θ= d Φ dx =ktea izango da barra osoan, zeharkako sekzioa pare (bihurduramomentu) berdina jasaten baitu. Orduan, θ= Φ MAX L γ MAX =r θ=r Φ MAX L bihurdura hutsa kasuan 11/10/30 r3. MEE 3-3

51 Aurreko bi adierazpenak irizpide geometrikoak kontuan hartuz garatu direnez, edozein materialezko barra zilindrikoentzat erabilgarriak dira, bai eremu elastiko bai ineslastikoan, eremu lineal edo ez-linealean. Tentsio ebakitzaileak irudiko noranzkoak ditu. Material elastiko-lineala bada, tentsio ebakitzaileak eta deformazio angeluarrak erlazionatuak daude (Hookeren legearen antzera). τ MAX =G γ MAX =G r θ non G: elastikotasun-modulua ebakitzailean τ MAX : azalerako puntu bateko tentsio ebakitzailea θ: azalerak jasaten duen bihurdura-angelua luzera unitateko TENTSIO ETA DEFORMAZIOAK BARRAREN BARNEAN Orain, b1 b ' 1 =ρ Φ MAX γ=ρ ΦMAX L b 1 b ' 1 =γ L = τ=g γ τ=g ρ θ G = kte, θ = kte τ = f(ρ) non ρ = 0 τ = 0 non ρ = r τ = τ MAX 11/10/30 r3. MEE 3-4

52 Ekuazio horiek deformazio ardatzean tartean gainazalean angeluarra (γ = θ ρ) eta tentsio ρ = 0 ρ ρ = 0 ebakitzailea (τ = G θ ρ), ρ γ 0 = 0 γ = θ ρ γ = θ r erradioarekiko linealki aldatzen direla adierazten dute. τ 0 = 0 τ = G θ ρ τ = G θ r Zeharkako plano horretan dauden tentsio ebakitzaileak, luzetarako planoetan ere agertzen dira. Material bat ebakiduran hauskorragoa bada luzetarako planoetan zeharkakoetan baino (adibidez egurra), lehen pitzadurak gainazalean agertuko dira. Gainazaleko bihurdura hutseko egoera, elementua 45º biratuz gero, trakzio- eta konpresio-egoera bati dagokio. Bihurduran lan egiten duen barra baten materiala, trakzioan ebakiduran baino ahulagoa bada, haustura trakzioagatik gertatuko da ardatzarekiko 45 o -ra dagoen helize batean. APLIKATUTAKO MOMENTUAREN ETA BIHURDURA-ANGELUAREN ARTEKO ERLAZIOA Zeharkako sekzioetan agertzen diren tentsio ebakitzaileen erresultanteak aplikatutako M momentuaren balioaren berdina izan behar du (estatikan). R I P = 0 ρ erradio batera τ tentsio ebakitzailea: M= A τ = G γ = G ρ θ df = τ da = G ρ θ da dm = ρ df = G ρ θ da G ρ θ da=g θ ρ da=g θ I P A R πρ d ρ ρ =π ρ 3 d ρ= π R 4 = π R4 0 4 = π D4 3 0,1D4 11/10/30 r3. MEE 3-5

53 θ= M GI P bihurdura-angelua luzera unitateko Φ MAX = ML GI P bihurdura hutsean: θ= Φ MAX L Φ MAX =θ L non GI P barraren bihurdura-zurruntasuna eta GI P L bihurdura-zurruntasun unitarioa boitira. Angelu unitate bat biratzeko beharrezkoa den bihurdura-momentua adierazten du. Ondorengo formulan, MAX =1 eginez lortzen da. M= GI P L Φ MAX M = 1 bada, Φ MAX = 1 L GI P ; eta L terminoari bihurduramalgutasuna deituko diogu. GI P Momentu unitario batek sortutako biraketa-angelua da. MAX = ML GI P ekuazioa materialen G ebakidurako elastikotasun-modulua lortzeko erabiltzen da. Probeta zirkular bati egindako bihurdura-probaren bidez, bihurduramomentu jakin batentzat MAX biraketa-angelua neurtzen da. Ondoren, aurreko ekuazioa aplikatuz G-ren balioa zehaztu daiteke. 11/10/30 r3. MEE 3-6

54 TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOA MAX τ MAX =G r θ eta θ= M τ GI MAX =G r M = M r = M P GI P I P I P / r = M z t r = d eta I P= πd 4 3 denez, z t = I P r = πd ,d3 z t bihurdurako modulu erresistentea izanik. Unitateak: M (cm kg, m N, mm N) z t (cm 3, m 3, mm 3 ) beraz, τ (kg/cm, Pa, MPa) BARRA ZIRKULAR HUTSAK (HODIAK) Barra barne-beteak baino eraginkorragoak dira bihurduran lan egiteko Tentsio ebakitzaile maximoak gainazalean gertatzen dira: MAX = onargarria Barra barne-bete batean, barneko material gehienak onarg tentsio ebakitzaile onargarriaren oso azpitik lan egiten du. Pisu- eta material-aurrezpenak garrantzia badu, barra hutsak edo hodiak erabiltzen dira. Barra huts baten bihurduraren azterketa barra barne-bete baten azterketaren antzera egiten da. Kasu horretan: θ= M I GI P = π P (r 4 r 4 1 )= π 3 (d 4 d 4 1 ) Hodia oso fina bada (t lodiera izanik): I P π r 3 t= π d3 t 4 r eta d batez besteko erradio eta diametroak izanik hurrenez hurren Φ MAX = ML GI P eta τ MAX = M r I P 3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA Barrak ez du zertan prismatikoa izan (sekzio ez-konstantea). Aplikatutako pareak luzeran aldakorrak izan daitezke. Barra bihurdura-formulak era berezian erabiliz aztertzen da, adibideak erakusten duen bezala. 11/10/30 r3. MEE 3-7

55 ADIBIDEA BIHURDURA EZ-UNIFORMEAN LAN EGITEN DUEN BARRA BAT Barraren mutur batek bestearekiko bira egiten duen bihurdura-angelu osoa lortzeko, zati bakoitzak jasan dituen biraketak batzen dira: n M Φ= i L i i =1 G i I Pi Ekuazio horretan, i azpiindizea barraren zati bakoitza banatzen duen zenbaki-indizea da, eta n zati kopurua. Diametroa bat-batean aldatzen den inguruneetan tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Hala ere, tentsio-kontzentrazio horien eragina txikia da, eta Φ kalkulatzeko formulak zehaztasun egokia eskaintzen digu. Parea edo zeharkako sekzioa aldakorrak badira barraren ardatzean zehar, orduan batukaria duen formula integral bihurtzen da. dx luzera duen biraketa-angelua: d Φ= M x d x G I Px non I Px muturretik x distantzia batera dagoen zeharkako sekzioaren momentu polarra baita. Barraren bi muturren arteko bihurdura-angelu osoa, orduan: L Φ= 0 d Φ= L 0 M x d x G I Px 11/10/30 r3. MEE 3-8

56 3.4 EBAKIDURA HUTSA abcd elementua bihurdura hutseko egoeran dago, elementuak jasaten dituen tentsio bakarrak alboko lau aurpegietako ebakidurazkoak baitira. A 1 A =tanθ 1 A 0 tanθ =A A 0 1 =A 0 tanθ Norabide normalean, indarren proiekzioen oreka: A 0 σ θ cos θ τ A 0 sinθ τ A 0 tanθcos θ=0 σ θ τ sinθcos θ τ sinθ cosθ cos θ=0 = sin cos = sin =0 Ardatz tangentzialean proiektatuz gero: A 0 cos A 0cos A 0 tan sin =0 cos sin =0 = cos sin = cos =0 θ -90º -45º 0º +45º +90º σ θ 0 -τ 0 -τ 0 τ θ -τ 0 τ 0 -τ 11/10/30 r3. MEE 3-9

57 Tentsiopean dagoen elementu bat 45º ez den angelu bat biratzen badugu, tentsio normalak eta ebakitzaileak, biak, aldi berean agertuko dira alboko aurpegietan. σ θ tentsio normalaren balio maximoa 45º biratzean lortzen da, haren balioa τ tentsio ebakitzaile maximoaren berdina izanik. = 45ºrentzat = betetzen da (konpresioan lan egiten du). Horrela, 45 o biratua dagoen elementu batek balio berdina duten trakzio- eta konpresiotentsioen pean lan egingo du, eta tentsio ebakitzaileak desagertuko dira. Azter ditzagun orain bihurdura hutsean dagoen elementu batek jasaten dituen deformazio unitarioak. a) elementua deformatzen da b) elementua luzatu eta laburtu egiten da Materiala elastiko-lineala bada, a) elementuaren deformazio angeluarra: θ=0º γ= τ G θ = 45 o -ra dagoen b) elementuarentzat, σ θ = τ trakzio tentsioak τ/e luzapen positiboa sortzen du, eta norabide perpendikularrean ν τ E laburtzen da. Antzeko analisia eginez, σ θ = τ konpresio-tentsioak -τ/e luzapen negatiboa sortzen du, eta norabide perpendikularrean ν τ E luzapen positiboa duelarik. 11/10/30 r3. MEE 3-10

58 Beraz 45 o -ko norabidean luzapen erresultantea ondokoa izango da: ϵ 45º = τ E + ν τ E = τ E (1+ν) ϵ 45º = τ E + ν τ E = τ E (1+ν) Ebakidura hutsean dagoen elementu baten lodiera ez da aldatzen, σ θ = τ tentsioak ν τ E ϵ= ν τ E + ν τ E =0 laburtu eta σ θ = τ tentsioak berriz + ν τ E luzatzen baitu. Horrela, 3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA x norabidean σ x trakzioan eta y norabidean σ y konpresioan lan egiten duen elementuaren deformazioa aztertuko dugu, σ x = -σ y = τ izanik. Elementua x ardatzean luzatu eta y ardatzean laburtuko da, hau da, laukizuzen bihurtuko da. abcd elementua aurrekoarekiko 45 o -ra biratuta dago. Elementuaren aurpegietan tentsio normalik agertzen ez denez, ab, ad, bc eta bc luzerak mantendu egingo dira deformatzean, baina diagonal bertikala laburtu eta horizontala luzatuko da. 11/10/30 r3. MEE 3-11

59 Elementu deformatugabearen eta deformatuaren azterketa geometrikoa eginez: elementu deformatugabearen diagonalaren luzera: bd = h eta elementu deformatuarena, berriz, trakzioaren eraginez jasandakoa izango da: luzera originala gehi beraren luzapena izango da (ε luzapen unitarioaren bidez kalkulatua): b ' d ' = h(1+ϵ) kosinuaren legea hirukiari aplikatuz: b ' d ' =h +h h cos ( π +γ ) (1+ϵ) =1 cos ( π +γ ) ondorengo erlazio geometrikoa ezagutuz: cos =cos cos sin sin = sin eta aurreko formula garatuz eta ordezkatuz: 1 MAX MAX =1 azkenik, bigarren mailako terminoak mespretxatuz, deformazio linealaren eta angeluarraren arteko erlazioa lortzen dugu: MAX = ϵ= σ max E = τ E, γ= τ G eta ϵ MAX = τ E (1+ν) (ikusi 3.4 puntua) ekuazioak erlazionatuz, G-ren, E-ren eta n-ren arteko erlazioa lortzen da: G= E (1+ν) 11/10/30 r3. MEE 3-1

60 BARRA KONPOSATUAK Sekzio zirkular eta zentrukideko diren barrek osatzen dituzte: pieza bakar baten portaera izateko beraien artean sendo itsatsiak daude. DATUAK A: d A I PA G A B: d B I PB G B beharko du. M = M B + M A (1) Sendo itsatsita daudenez, Φ bihurdura-angeluak bi zatientzat berdina izan Φ= M A L G A T PA = M B L G B T PB () τ A = M A (d A /) I PA τ B = M B (d B / ) I PB 3.6 POTENTZIA TRANSMISIOA ARDATZETAN Sekzio zirkularreko ardatz baten funtzio nagusia potentzia-transmisioa da, adibidez: ibilgailu baten transmisio-ardatza itsasontzi baten helizearen ardatz propultsatzailea zentral hidrauliko, termiko edo nuklear baten sorgailuaren ardatza Potentzia ardatzaren biraketa-mugimenduari esker transmititzen da, eta transmititutako potentzia-kantitatea bihurdura-momentuaren eta ardatzaren 11/10/30 r3. MEE 3-13

61 abiadura angeluarraren funtzioan dago. Helburua diseinatzean, P potentzia jakin bat (kw, CV) N biraketa-abiadura jakin batean (rpm) transmititzeko, ardatzaren diametroa definitzen da, materialaren onarg MAX gainditu gabe. Ondorengo ardatzak: - ω abiadura angeluarra du (rad/s) - T bihurdura-momentua transmititzen du Ardatzak dφ angelua biratzeko egindako lana: dw = T dφ Potentzia dt denbora tartean egindako lana denez: P= dw dt = (T d Φ) =T ω dt Bihurdura-momentua beraz: T = P ω TRANSMISIO-ARDATZEN DISEINUA Potentzia = Parea x Abiadura angeluarra P = T ω baina ω rad/s-tan dago ω= π f f biraketa-maiztasuna izanik (bira segundoko) P= π f T T = P πf Sistema Internazionaleko (SI) unitateak erabiliz: f Hz Potentzia N m s T N m 1rpm= 1 60 bira segundoko= 1 60 Hz 1HP Horse Power ZP =550 pd ft =6600 pd inch s s W watt 11/10/30 r3. MEE 3-14

62 3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN Orain arte landapeneko M t bihurdura-momentua estatikako M t =0 ekuazioaren bidez lortzen genuen. Ardatzak landapen gehiago baditu, eta beraz, estatikako ekuazioak baino ezezagun gehiago, egoera hiperestatiko baten aurrean gaude. Kasu horietan beharrezkoa da ekuazio osagarriak aurkitzea, deformazioan oinarrituz. Malgutasunen edo zurruntasunen metodoak erabil daitezke, baina normalki malgutasunen metodoa aplikatuko dugu. ADIBIDEA 3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN T (d / ) Bihurdura-ekuazioa, τ MAX = = T I, garatu genuenean, sekzio P 0,d 3 konstanteko ardatz batentzat ondorioztatu genuen. Praktikan bihurduramomentuak akoplamendu edo txabeten bitartez aplikatzen dira ardatzetan. 11/10/30 r3. MEE 3-15

63 Bi kasuetan, tentsioen banaketa ezberdina da momentua aplikatua dagoen inguruneetan, eta tentsio-kontzentrazioak sortzen dira erretenaren inguruan. Tokiko tentsio horien azterketa metodo esperimentalen bidez egiten da, batzuetan elastikotasunaren teoria matematikoa aplikatuz, edo gaur egun elementu finituen metodoa (FEM) konputagailuz eratutako eredu bati aplikatuz zehazten da. T d / MAX = I P bihurdura-ekuazioa sekzio zirkular aldakorra duten ardatzetan ere aplika daiteke. Baina diametroaren bat-bateko aldaketa badago, ez-jarraitutasunaren ingurunean tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Tentsio hauek gutxitu daitezke eta, hala, trantsizioa 'leundu' daiteke. Horrela, tentsio ebakitzailearen balioa: T MAX =K 0,d 3 Hau da, ardatz txikienean izango dira tentsio-balio handienak. Bestalde, K tentsio-kontzentrazioko koefizientea D/d eta r/d erlazioen funtzioan dago. 11/10/30 r3. MEE 3-16

64 4. GAIA INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA HABEETAN 4.1 HABE MOTAK 4. INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA 4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEAREN ETA MAKURDURA- MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA 4.4 INDAR EBAKITZAILE ETA MAKURDURA-MOMENTUEN DIAGRAMAK 4.1 HABE MOTAK Habearen definizioa: zeharkako kargak jasateko diseinatua dagoen egitura-elementua. HABE ESTATIKOKI ZEHAZTUAK Bi muturretan bermatua Hegal-habe landatua Bermatua eta hegalean Habeak egitura lauak dira, karga eta deflexio guztiak irudiko planoan kokatzen direlako. Plano horri makurdura-plano deitzen zaio. 11/10/30 r3. MEE 4-1

65 Habeek simetrikoak izan behar dute makurdura-planoarekiko. Habeen zeharkako sekzioek simetria-plano bat izan behar dute ardatz batekiko. KASUAK: - Habe ISOSTATIKOAK: erreakzioak estatikako ekuazioak erabiliz lortzen dira. - Habe HIPERESTATIKOAK: erreakzioak lortzeko estatikako ekuazioak eta ekuazio osagarriak erabiltzen dira. 4. INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA V = V A M = V A x V: indar ebakitzailea M: makurdura-momentua orekatzaileak sekzioan ZEINUEN IRIZPIDEA ONDORIOAK 11/10/30 r3. MEE 4 -

66 4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA- MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA ΣF V = 0 V (V+dV) q dx = 0 -dv q dx = 0 dv dx =q dv dx = q Karga banatuak positiboak (+) dira beherantz jarduten dutenean Karga banatua V-ren deribatua da x-rekiko, zeinua aldatuta. M A =0 M +V x+q dx dx (M+dM)=0. mailako diferentziala mespretxatuz: V dx = dm V = dm dx V indar ebakitzailea M makurdura-momentuaren deribatua da x-rekiko F V = 0 V P (V+V 1 ) = 0 V 1 = -P P karga kontzentratua aplikatzen den puntuan, (P baliodun) jauzi bortitz bat gertatzen da indar ebakitzaileen diagraman M A =0 M +V dx P dx (M+M 1)=0 M 1 =V dx P dx Momentu-aldaketaren adierazpenean, lehen mailako infinitesimalak agertzen dira: hau da, momentuen diagraman ez da jauzirik jasotzen (maldaaldaketa, bai) Bi aldeetan momentuak x-rekiko deribatuz, momentuen diagraman gertatzen den malda-aldaketari antzeman diezaiokegu: 11/10/30 r3. MEE 4-3

67 ezkerraldean, dm dx =V ; eta eskuinaldean, berriz, dm =V P dx F V = 0 V (V + V 1 ) = 0 V 1 = 0 Momentu bat aplikatua dagoenean, indar ebakitzailea ez da aldatzen. M A = 0 M + m + V dx (M + M 1 ) = 0 infinitesimoa mespretxatuz: M 1 = -m (momentuetan gertatzen den aldaketa) Momentu kontzentratu bat dagoen den puntuan, jauzi bortitz bat jasotzen da momentuen diagraman. 4.4 INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUEN DIAGRAMAK Adibidea: 11/10/30 r3. MEE 4-4

68 11/10/30 r3. MEE 4-5

69 5. GAIA TENTSIOAK HABETAN 5.1 SARRERA 5. DEFORMAZIO NORMALAK HABETAN 5.3 TENTSIO NORMALAK HABETAN 5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK 5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK SEKZIO LAUKIZUZENETAN 5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABETAN 5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK SEKZIO ZIRKULARRETAN 5.8 HABE ARMATUAK 5.9 HABE KONPOSATUAK 5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK. KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETAN 5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA 5.1 SARRERA Habeak, luzetarako ardatzarekiko elkarzut dauden kargak jasaten dituzten egitura-elementuak dira. Habeen luzetarako ardatza zuzena da. KAUSA Zeharkako karga EFEKTUA Deformazioa Karga aplikatu aurretik luzetarako ardatza zuzena da Ondoren luzetarako ardatza makurtzen da 11/10/30 r3. MEE 5-1

70 Ardatzak hartzen duen kurbadurari, habearen makurdura-kurba edo kurba elastiko deitzen zaio. ZEINUEN IRIZPIDEA. y norabideko deflexioari gezi (y) deituko diogu. HABEAREN KURBA ELASTIKOA m1 eta m kurba elastikoaren gainean dauden bi puntu dira eta jatorritik x eta x + dx distantzietara daude, hurrenez hurren: ds: m1-en eta m-ren arteko arkua O': puntua, kurbadura-zentroa ρ,: kurbadura-erradioa κ,: kurbadura = 1 geometrikoki, d =ds 1 d = ds deflexioak txikiak badira 1 dθ κ= ρ = dx ds = dx hau da, κ kurbadura x posizioaren funtzioan Kurbaduraren ekuazioa erabiliko da deformazioak zehazteko eta kurba elastikoaren ekuazioa ondorioztatzeko. ZEINUEN IRIZPIDEA 11/10/30 r3. MEE 5 -

71 MAKURDURA HUTSAREN ETA MAKURDURA EZ-UNIFORMEAREN ARTEKO DIFERENTZIA (Adibidea) Aurreko gaian ikusi genuen V= dm betetzen dela. Irudiko dx habea aztertuz, bi egoera aurkitzen ditugu: a eremuak makurdura bakuna: M kte V 0 b eremua makurdura hutsa: M = kte V=0 5. DEFORMAZIO NORMALAK HABEETAN Makurdura hutsean lan egiten duen AB habea aztertuko dugu, hain zuzen, a-ren eta b-ren arteko habe zatia: 11/10/30 r3. MEE 5-3

72 M0 momentuen ekintzak habea xy planoan deformarazten du, eta ardatzak kurba zirkularra deskribatzen du. Kurba elastikoa zirkunferentzia bat da. Habearen zeharkako sekzioak, adibidez m-n edo p-q, lau (deformatu gabe) eta ardatzarekiko elkarzut mantentzen dira. Alde ganbileko (convexo) luzetarako zuntzak luzatu egiten dira, eta alde ahurrekoak (concavo), berriz, laburtu Goialdeko zuntzek trakzioan lan egiten dute; behealdekoek, berriz, konpresioan Goiko eta beheko zatien artean badago azalera bat, non haren luzetarako zuntzak ez baitira ez luzatzen ezta laburtzen ere. Azalera horrek azalera neutroa (AN) izena du, eta, M0 konstantea denean, azalera neutroa zilindro zirkular bat da Azalera neutroaren eta makurdura-planoaren arteko ebakidurari lerro neutro (LN) deitzen zaio Bi planoen arteko dx distantzia ez da aldatzen azalera neutroan (ρd θ=dx ) Bestalde, gainerako zuntzak luzatzen edo laburtzen dira ( εx) ANtik y distantziara kokatua dagoen e-f zuntza azter dezagun. Zuntzaren L1 luzera: L1 =(ρ y )d θ=ρd θ y d θ dx y baina ρd θ=dx eta d θ= ρ denez, L1 =dx ρ dx Hasierako luzera L0 = dx bada, L luzapena: y y Δ L=L1 L0 =dx ρ dx dx= ρ 11/10/30 r3. MEE 5-4

73 Eta luzapen unitarioa: y Δ L ρ dx y ϵx = = = ρ L0 dx 1 ϵ x = κ y, orduan Azken ekuazio hori, jatorria zeron duen - κ maldako zuzen baten ekuazioari baina baita ere = dagokio. Luzapena κ kurbadurarekiko proportzionala da, eta y-rekin linealki aldatzen da. Zuntz bat ANren azpitik badago, y distantzia (+) da eta εx ( ). Zuntz bat ANren gainetik badago, y distantzia ( ) da eta εx (+). y x= = y ekuazioa habe deformatu baten geometria aztertuz ondorioztatu da: materialaren propietateak ez dira formulazioan erabili. Beraz, ondorio horiek edozein materialezko habeentzat baliagarriak dira (elastiko edo inelastiko, lineal edo ez-lineal) ZEHARKAKO DEFORMAZIOAK y ϵ x = ρ = κ y ekuazioak adierazten dituen εx luzerako deformazioez gainera, εz zeharkako deformazioak eratortzen dira, Poissonen erlazioaren efektuen ondorioz. 11/10/30 r3. MEE 5-5

74 ANren gainetik dagoen εx (+) deformazio positiboak εz ( ) negatiboekin erlazionatuak daude, eta alderantziz. Zeharkako sekzioan trakzioan dagoen goiko zatiak kontrakzioa jasaten du z ardatzean, ϵ z= νϵ x =ν κ y, ν Poissonen modulua izanik. εz deformazioek zeharkako sekzioaren zabalera handitzen dute ANren azpialdean, eta goialdean kontrakoa gertatzen da, eta, ondorioz, sekzioa estutzen da. Lerro horien O kurbadura-zentroa, habearen goialdean dago, eta ρ1 kurbadura-erradioa ρ luzerako erradioa baino handiagoa da, εx εz baino handiagoa den proportzio berean: εz = ν εx 5.3 TENTSIO NORMALAK HABEETAN εx deformazio normaletatik abiatuz, zeharkako sekzioarekiko elkarzut agertzen diren σx tentsioak lor daitezke. Habearen luzetarako zuntz bakoitzak trakzioan edo konpresioan lan egiten du. Tentsio-deformazioko diagramek εx-ren eta σx-ren arteko erlazioa erakusten digute. Materiala elastikoa bada, σx-εx diagraman Hookeren legea aplika dezakegu. Horrela: σ σ x =E ϵ x = E κ y tan β=e = ϵ x x Beraz, σx = Kte y, tentsioa linealki aldatzen da ANtik neurtutako y distantziarekiko. 11/10/30 r3. MEE 5-6

75 Azter ditzagun orain zeharkako sekzioan σx tentsioen indar eta momentuen erresultanteak. Bi ekuazio ditugu: (1) () (1) F x =N=0 M =M 0 F x =N=0 bada df = σ x da= E κ y da=0 κ kurbadura eta E elastikotasun-modulua konstanteak direnez, y da=0 izan behar du. Integral horrek momentu estatikoa definitzen du, eta, zerorekin berdinduz, GZren posizioa lortzen da. Beraz, z ardatza edo lerro neutroa (LN) GZtik igarotzen da. () M =M 0 df = σx da indarrak LNrekiko momentu bat sortzen du. dm =+σ x da y M =+ σ x y da= κ E y da A Momentu horrek M + Mo = 0 betetzen du; beraz M = M0 Bestalde badakigu: beraz: eta horrela kurbadura: I LN = y da A M = κ E I L N 1 M κ= ρ = E ILN Habe baten luzetarako ardatzaren kurbadura M makurdura-momentuarekiko zuzenki proportzionala da, eta EILN balioarekiko alderantziz proportzionala da (habearen makurdurarekiko zurruntasun deitzen zaio EILN konstante horri). Alde batetik, erraz kontura gaitezke zeinu-irizpideak errespetatuz, momentu positibo batek kurbadura negatiboa sortzen duela eta alderantziz: 11/10/30 r3. MEE 5-7

76 σ x =E ϵ x = E κ y Bestalde, σ x = E eta orain M M y= y E I ln I ln 1 M κ= ρ = EI L N NAVIER-en EKUAZIOA Ekuazio horrek erakusten du σx tentsio normala M-rekiko eta y-rekiko zuzenki proportzionala eta ILN-rekiko alderantziz proportzionala dela. Tentsio maximoa LNtik urrun dauden puntuetan gertatzen da. Diseinua errazteko, Z modulu erresistentea definitzen da, M c 1 M I Z 1= σ1 = = Z1 eta Z modulu erresistenteak, c1 eta c c1 I ln Z1 M c M I Z = σ = = profilean urrunen dauden puntuak dire. c I ln Z KASU PARTIKULARRAK Sekzio laukizuzena I ln= bh 3 I ln= 1 I ln bh = h/ 6 M σ= bh Z ln= 6 Sekzio zirkularra πd Z ln= σ= 4 64 I ln π d 3 3 = 0,1 d d / 3 M 3 0,1 d 11/10/30 r3. MEE 5-8

77 5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK DISEINU-PROZESUA FAKTOREAK - eraikuntza mota - materialak - kargak - ingurune-baldintzak PROFILAREN AUKERAKETA eta DIMENTSIOAK ERREALA onarg bete behar da ANALISIA DISEINU OSOAN soilik makurdura aztertzen da - tentsio ebakitzaileak ERREALA onarg - tentsio normalak ERREALA onarg - gilbordura - tentsio-kontzentrazioen azterketa PROFILAREN AUKERAKETA. Modulu erresistentea zehaztu behar da: Zf = non, M MAX σ onarg MAX σ onarg MAX : f (materialaren propietateak, 'n' segurtasun koefizientea) Aukeratutako habearen sekzioak Zf M MAX onarg baldintza bete beharko du. σ MAX Helburua: habearen pisua minimoa izatea, materiala aurreztuz. Hau da, beharrezko modulu erresistentea lortzea zeharkako A sekzio-azalera minimoarekin. SEKZIO-PROFILEN ARTEKO KONPARAZIOA - Sekzio zirkularra I ln= π r 4 4 = πd 4 64 πd 4 3 I π d π d d A d Z f = ln = = = =0,15 A d d / A= - Sekzio karratua Azalera berdina izateko: d d a= a= 4 b h3 a4 Iln= = /10/30 r3. MEE 5-9

78 Profil karratuaren modulu erresistentea orduan: Z f = a a = a A= π d A=0,148 A d Profil karratua zirkularra baino efizienteagoa da makurduran. - Sekzio laukizuzena h A= h= h= πd h = πd 4 h= π d 3 I ln= 4 h / h h = h 1 h 1 Zf = = h h= A h=0,09 Ad 4 h 6 6 Sekzio laukizuzena karratua eta zirkularra baino efizienteagoa da. - T-bikoitza I Z f = ln ymax gero eta, Zf y MAX Z f 0,35 Ad T-bikoitz sekzioa orain arteko efizienteena da. Diseinu egokiena: materiala LNtik ahalik eta urrunen duen sekzioa izango da. I= ( )( ) A h = A h 4 Zf = I Ah / 4 = =0,5 Ah h/ h/ Baina tentsio ebakitzaile maximoak sekzioaren erdigunean daudenez, makurduran lan egiteko profil ideala hegal zabaleko T-bikoitza da. Z f 0,35 Ah Hegal zabaleko T-bikoitza eraginkorragoa da azalera eta altuera berdineko 11/10/30 r3. MEE 5-10

79 sekzio laukizuzen bat baino. Profil honen material gehiena LNtik urrun dago. T-bikoitzaren arima oso mehea bada, gilbordura ager daiteke edo tentsio ebakitzaileak balio onargarriak gaindi ditzake. 5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK HABE LAUKIZUZENETAN Habe bat makurdura bakunean (makurdura ez-uniformea) lan egiten duenean, aldi berean M-k eta V-k parte hartzen dute zeharkako sekzioan. Makurdurak σ x = My tentsio I ln normalak sortzen ditu. Atal honetan, V ebakitzaileak sortutako τ tentsio ebakitzaileak aztertuko ditugu. HASIERAKO HIPOTESIAK 1. τ tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdinetan eragiten dute.. Tentsio ebakitzaileen banaketa uniformea da sekzioaren zabaleran. 11/10/30 r3. MEE 5-11

80 Gainera, badakigu elementu baten aurpegian agertzen den tentsio ebakitzailea norabide elkarzutean beste tentsio ebakitzaile batera lotua dagoela. Horrela, tentsio ebakitzaileak aldi berean habearen geruza horizontaletan eta zeharkako sekzio bertikaletan agertzen dira. τh-ren ( ) eta τv-ren ( ) arteko berdintasunak habearen goialdeko eta behealdeko azaleretako tentsio ebakitzaileei buruzko ondorio garrantzitsu bat ematen digu: bertatik elementu bat isolatuz gero, τh = 0 da, eta, beraz τv = 0 (y = ±h/). Ondorengo esperimentuaren bidez, τh tentsio horizontalen existentzia frogatu daiteke: - Bi habeak itsatsi gabe: goiko habearen luzetarako zuntzak behekoarekiko labaintzen dira. - Bi habeak itsatsita: tentsio ebakitzaileek LNn zehar labaintzea galarazten dute. h altura duen habea h altuerako bi habe baino zurrunagoa eta erresistenteagoa da. Azter dezagun pp'n'n azalera (ikus baita ere 11. orrialdeko irudiak), da azalera duen elementua aztertuz, han eragina duen indar normala: σ x da= My da I 11/10/30 r3. MEE 5-1

81 Ezkerraldean aztertzen ari garen eremuan eragina duen F1 indarra orduan: y1 F 1= σ x da= A h/ My da I y1 Eskuineko aurpegian: (M +dm ) y da I h/ F 1= pp'-ren goialdeko b dx azaleran agertzen den indar horizontala: F 3 =τ b dx F 1, F eta F 3 indarrek oreka estatikoan egon behar dute: F3 = F F1 τ b dx = (M +dm )y My da da I I A τ b dx = dm y da I A A τ= dm 1 V y da= Q dx b I A Ib Beraz, τ tentsio ebakitzailea ondoko aldagaien menpe dago: V: ktea puntu guztietan b: sekzioaren zabalera I: LNrekiko inertzia-momentua Q: pp'n'n azaleraren momentu estatikoa (aldakorra) Q= y da=a y Agz A Berehalakoa da V indar ebakitzailea tentsio ebakitzaileen erresultantea dela ondorioztatzea. Beraz, tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdina izango dute. 11/10/30 r3. MEE 5-13

82 SEKZIO LAUKIZUZENETAKO APLIKAZIOA Tentsio ebakitzaile maximoa: τmax = VQ I ln b Momentu estatikoa: Q= y da=a y Agz = A ( h y )(y + h/ y ) b h ( y )( h+y )= b ( h y ) = b = = Tentsio ebakitzailea, orduan: y1 = 0 denean, orduan, Q MAX = bh 1 ( 1 4 ) ( VQ V b h V h = y 1 = y 1 Iln 4 I ln b I ln b 4 3 eta I ln= bh dela jakinik, τ= 1 ) 8 1 VQ MAX bh 1 3V 3V τ MAX = =V = = 3 I ln b 8 b bh bh A V indar ebakitzailea τ tentsio ebakitzaileen erresultantea da. Ondorioz, tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdinak dituzte. 5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABEETAN τ= V Q formula orokorra da, eta edozein profiletan aplika daiteke. I b Adibidea: h = 300mm h1 = 60mm t = 10mm 11/10/30 r3. MEE 5-14

83 5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK HABE ZIRKULARRETAN Tentsio ebakitzaileek (τ) ez dute indar ebakitzailearekiko V paraleloan lan egiten. Sekzioen kanpoaldean dauden puntuen tentsio ebakitzaileak zirkunferentziarekiko tangenteak dira, eta indar ebakitzailearen noranzko berdina dute. HIPOTESIA: pq lerroko puntuen tentsio ebakitzailearen osagai bertikala konstantea da. Hipotesi hori sekzio karratua aztertzean aplikatu genuenaren berdina denez, kasu hartarako lortu zen formula aplika daiteke. r 3 Q= r y y dy = (r y 1)3 / y1 b, zabalera, b= r y 1 11/10/30 r3. MEE 5-15

84 I, inertzia-momentua: I= V (r y 1)3 / 3 VQ τy= = I b π r 4 4 τ= τy cos θ = r y r 1 = 4 4 = 1/ 1 (r y ) τy πr 3πr r τ y r y 1 4V ( r y 1 ) τy = 4 4V(r y 1 ) 3πr4 Tentsio maximoa LN-n agertzen da, τ = τy izanik τ MAX = 4Vr 4V 3= 3A 3πr 5.8 HABE ARMATUAK DEFINIZIOA: Habe armatua bi piezaz edo gehiagoz osatua dagoen habe bat da. Habe horiek profilak konbinatuz lortzen dira, helburu jakin bat lortzeko (adibidez, pisua gutxitzeko), edo profil arruntak/estandarrak/komertzialak baino ILN eta ZLN handiagoak lortzeko. Adibideak, IPN sekzio soldatua Kaxoi-habea (egurra edo altzairua) Habe ijetzia, itsatsita DISEINUA. Habe armatua beraren elementuak era egokian itsatsita daudela joz diseinatzen da, eta, hala, habea elementu bakarraren portaera du. Pausoak: 1. Habe bat dela, barne-betea dela jotzen da σx, τ. Elementuen arteko lotura aztertzen da (soldadura, torloju, iltze, kola...), habeak pieza bakar baten portaera izan dezan. 11/10/30 r3. MEE 5-16

85 Lotura-elementuek jasandako kargak habearen elementuen artean transmititutako ebakidura-tentsio horizontalak dira. EBAKIDURA-TENTSIO HORIZONTALAK KALKULATZEKO FORMULA 5.5 atalean eginiko azterketan ondokoak agertu dira: F 1 indarra (p'u') eskuinaldean: F indarra (pp') aurpegi horizontalean: F 3 (pu) ezkerraldean: indarra Egindako azterketan, F3 (= F - F1) indarra b dx azaleran uniformeki banatua dago. Horrela: τ= F3 b dx Hala ere, kasu orokor batean suposizio hori ez da betetzen. Beraz, τ tentsio ebakitzaileak hala kalkulatu beharrean (F3 azalera unitateko, τ = F3/b dx), elementuaren pp' aurpegian agertzen den df indar horizontal osoa kalkulatuko dugu. Indar hori definitzeko, df = f dx adierazpena erabiliko dugu, f izanik df habearen luzera unitateko urradura-indarra, eta f = dx izanik df habearen dx luzeran eragiten duen indarra. Gainera, f = τ b Orduan, F 3 =f dx =F F 1= f= dm 1 y da dx I dm y da I V Q f= I Praktikan marratutako zeharkako sekzioak hainbat forma izan ditzake. Kasu horietan, f luzera unitateko urraduraindarra sekzio marratua gainerako sekziotik banantzen duen lerroaren luzera unitateko indarra da. 11/10/30 r3. MEE 5-17

86 Hori argitzeko ondoko adibideak aztertuko ditugu: Altzairuzko habe armatuaren kasuan, soldadurek hegalaren eta arimaren artean tentsio ebakitzaile horizontalak transmititu behar dituzte. Indar hori (luzera unitateko) kontaktu-azaleran zehar luzetarako urradura-indarra da, f= V Q I non Q marratutako azaleraren LNrekiko momentu estatikoa baita f kalkulatzean, soldadura-kordoiaren eztarri-lodiera egokia aukeratu beharko da, f luzera unitateko indarra jasan dezan. Beste kasu honetan, f, cc' eta dd' lerroetan eragiten du. Q marratutako azalerarentzat kalkulatzen da. f-ri eskuinaldeko eta ezkerraldeko iltzeek eusten diote. 5.9 HABE KONPOSATUAK Material batez baino gehiagoz osatuak dauden habeei habe konposatu deitzen zaie. Adibidez, habe bi-metalikoak: termopareak (cromel, constantan) sandwich-habeak hormigoi armatuzko habeak Habe konposatuak habe arruntentzat ondorioztatu dugun makurduraren teoria aplikatuz aztertzen dira. Kasu horretan, makurdura hutsean onartzen diren Navieren hipotesiak aplikatzen dira, materialarekiko independentea izanik: makurtu ondoren ere sekzioak lauak eta paraleloak mantentzen dira. Hipotesi horien ondorioz, εx luzerako luzapenak linealki aldatzen dira habearen goialdetik behealderaino. Kasu horretan, LN ez dago zeharkako sekzioaren GZn. 11/10/30 r3. MEE 5-18

87 Zeharkako sekzioan azaltzen diren tentsio normalak ε deformazioekiko proportzionalak dira. Jo dezagun materialek portaera elastiko-lineala dutela (Hookeren legea betetzen dute). Orduan: σ=eε σx1 = +E1 ε1 = - E1 κ y E > E1 bada, σx = +E ε = - E κ y LNren POSIZIOA orain ez dago sekzioaren GZn. Makurdura hutsean indar axialen erresultantea zero izango da. N=Σ F N =0 eginez, σ x1 da+ σ x da=0 A1 A E 1 κ y da+ E κ y da=0 A1 A E 1 y da+e y da=0 A1 A E 1 Q 1+E Q =0 (1) (1) LNren posizioa zehazteko formula orokorra bi materialez osatutako habeentzat M ln=m (makurdura hutsa) M = σx da y = σ x1 y da+ σ A y da= E 1 κ y da E κ y da MAKURDURA-MOMENTUA sekzioan A1 A A1 A = y da E κ y da= κ(e 1 I 1+E I ) = E 1 κ A A 1 I1 eta I A1 eta A azaleren LNrekiko inertzia-momentuak izanik. 11/10/30 r3. MEE 5-19

88 1 κ= ρ = M E 1 I 1+E I E1I1 + EI zatitzaileak habe konposatuaren makurdurarekiko zurruntasuna adierazten du. Tentsioak, beraz: σ x1 = M y E 1 E 1 I 1+E I ( ) M y E 1 I 1+E I M y E eta σ x = E 1 I 1+E I σ x1 = E 1 κ y = E 1 Adibidea: DATUAK: M, E1, E, b, h1, h MAX MAX EZEZAGUNAK: x1, x SEKZIO BALIOKIDEAREN METODOA Metodo honen funtsa da material batez baino gehiagoz osatua dagoen zeharkako sekzioa material bakarrezko sekzio baliokide batean bihurtzea. Sekzio baliokide horrek aurrekoaren portaera berdina izango du. BALDINTZAK: sekzio baliokideak LN eta makurdurarekiko erresistentzia berdinak izango ditu. Lehenik n definituko dugu, modulu elastikoen arteko erlazioa: n= E E1 1. baldintza: LN berdina E =n E 1 (erlazio modularra) E 1 y da+e y da=0 A1 A E 1 A1 y da+n E 1 A y da=0 y da+n y da=0 A1 A Sekzio baliokideak material bakarraz osatzen da, eta haren LNk jatorrizko sekzioaren LNn posizio berdina dauka.. baldintza: erresistentzia-ahalmen berdina makurduran Habean agertzen diren tentsioak: σ x = E 1 κ y 11/10/30 r3. MEE 5-0

89 M = σx y da= σ x y da+ σ x y da= κe 1 y da κ E y da = A1 A A1 A = κ[e 1 I 1+E I ]= κ [E 1 I 1 +E 1 n I ] Habe baliokideko tentsioak orain arte erabili dugun makurdura-formularen bidez kalkula daitezke: σ x= M y I ln orduan I ln=i 1+n I =I 1+ non σ x= M y E 1 E 1 I 1+E I E E I +E I I= 1 1 E1 E1 '1' materialean tentsioak berdinak dira, bai jatorrizko habean, baita transformatuan ere '' materialeko tentsioak σ JATORRIZKOA =σ BALIOKIDEA n 5.9. TENTSIO EBAKITZAILEA LUZETARAKO PLANO ARBITRARIO BATEAN f luzera unitateko indarra izanik, plano gorrian agertzen den indar ebakitzailea: M y da P y da I H A P x y da P Q V Q A f= = = = = A = = x x x I x I I I A P x P P Q V Q H= σ x da= da= x da= = I I A I I A A σ x da 11/10/30 r3. MEE 5-1

90 5.9.3 SANDWICH-HABEAK Aurpegi deritzen bi plaka meheen artean beste material batez egindako nukleo lodi bat duten habeak dira. Nukleoa arinagoa eta erresistentzia gutxiagoko materiala izan ohi da, eta betegarri- eta/edo isolatzaile-lana betetzen du. Aurpegiek, berriz, erresistentzia altua dute (E >> E1). Osatzen den sekzioa arina da, eta makurdura-momentuak jasateko gaitasun handia dauka. Arintasuna eta zurruntasuna aldi berean eskatzen duten aplikazioetan erabiltzen dira. Adibidez, hegazkin eta autobusen zoruak, industriaeraikinen itxiturak, eta abar. Elementu horiek lehen deskribatu diren metodoak erabiliz azter daitezke. Kalkulua sinplifikatzeko, aurpegiek makurdura-momentuak eta nukleoak, berriz, indar ebakitzaileak jasaten dituztela joko dugu. Tentsio normalak: σ x= non M d / I AURPEGIAK d: habearen altuera IAURPEGIAK: aurpegien inertzia-momentua LNrekiko I AURPEGIAK = Tentsio ebakitzaileak: τ= V bh bd b h KARGA AXIALDUN HABEAK. KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETAN Orain arteko kargak habearen ardatzarekiko elkarzutak izan dira, eta GZn aplikatuak zeuden. Atal honetan, indar inklinatuak eta GZn aplikatuak ez daudenak aztertuko ditugu. Adibidez: 11/10/30 r3. MEE 5 -

91 INDAR INKLINATUAK P karga, V (Q) indar ebakitzailean eta N (S) indar normalean deskonposa daiteke. Bi egoera ager daitezke: 1. habea motza eta zurruna da. habea lerdena eta malgua da 1. Geziak oso txikiak dira luzerarekin alderatuz. Gezien agerpenak aldaketa oso txikia sortzen du S kargaren akzio-lerroan.. Makurdura-deflexioen balioak makurdura-momentuetan eragina izateko beste badira. S-ren akzio-lerroa gorantz (irudiko adibidean) desplazatzen da, eta, horrenbestez, makurdura-momentu gehigarri bat sortzen da, bere balioa S f izanik. 11/10/30 r3. MEE 5-3

92 KARGA AXIAL ESZENTRIKOA Kasu honek interes praktiko handia dauka. P konpresio-kargak zeharkako sekzioarekiko perpendikularki eragiten du GZtik igarotzen den inertzia-ardatzarekiko e distantzia batetara. P karga eszentrikoa ordezka daiteke GZn aplikatutako P konpresioindarraren eta P e makurduramomentuaren bidez. Zeharkako sekzioko edozein puntutako tentsio normala: σ= P P e y A Iz LNren ekuazioa (posizioa) σ = 0 eginez lortzen da. Horrela: 0= P P e y A Iz y = Iz A e Ekuazio horrek zeharkako sekzioan z ardatzarekiko paraleloa den zuzen bat definitzen du. Minus (-) zeinuak, P indarra z ardatzarekiko ezkerretara dagoenean, z-ren eskuinetara kokatzen dela adierazten du. e bada, I eta orduan LN A e GZrantz hurbiltzen da. e bada, I eta orduan LN GZtik A e urruntzen da, eta LN zeharkako sekziotik kanpo gera daiteke. Kasu horretan, puntu guztiak konpresioan egongo lirateke. 11/10/30 r3. MEE 5-4

93 Adibidez, sekzioa karratua bada: = N M P P e y σ= ± A Iz LNren ekuazioa tentsioaren ekuazioa zero eginez lortzen da: I P P e y ± =0 y = z A Iz Ae e bada, y = Iz Ae LN GZrantz hurbiltzen da e bada, y = Iz Ae LN GZrantz hurbiltzen da P indar eszentrikoa zeharkako sekzioaren ardatz nagusietako batean aplikatua ez badago, orduan makurdura bi ardatz nagusietan agertuko da aldi berean. σ N= M y z N e z z N =, σ My= Iy Iy A eta σ Mz= M z y N e y y = Iz Iz P P e z z P e y y σ= A IY Iz LNren posizioa definitzeko σ = 0 eginez: 1+ A e z A e y z+ y =0 IY Iz 11/10/30 r3. MEE 5-5

94 Ekuazio hau lineala da y eta z ardatzetan, LN zuzen bat izanik aurreko kasuan bezala. LNk zeharkako sekzioa moztu dezake edo ez, sekzioaren formaren eta P kargaren aplikazio-puntuaren arabera. y eta z ardatzetako n-n' lerroaren moztepuntuak, z eta y zero eginez lor daitezke, hurrenez hurren. z=0 y = Iz ey A eta y=0 z = Iy ez A P indarraren aplikazio-puntuaren posizioaren eta LNren arteko erlazioa garrantzitsua dela esan dezakegu: P karga m-m' lerroan zehar mugitzen bada, LN R puntuarekiko biratzen da. P P1 LN1 P LN IZ Ae1 I z =s = Z Ae y =s 1= R LN1 eta LN zuzenen arteko intersekzioan dago. SEKZIO BATEN NUKLEOA Aplikatutako P kargaren e eszentrikotasuna txikia denean, LN zeharkako sekziotik kanpo geratzen da eta sekzio normalek zeinu bera dute sekzio osoan. Baldintza hori oso garrantzitsua da trakzioarekiko hauskorrak diren materialentzat, adibidez hormigoia eta zeramika. Beharrezkoa da ziurtatzea kargak ez duela trakziorik sortuko sekzioaren inongo puntutan. Baldintza hori karga GZ barnean duen eremu batean aplikatuz gero betetzen da. Eremu horretan aplikatutako konpresio-karga batek konpresio-tentsioak sorraraziko ditu sekzio osoan. Eremu horri sekzioaren nukleo edo bihotz deitzen zaio. 11/10/30 r3. MEE 5-6

95 Sekzio laukizuzen baten nukleoa P GZtik e1 distantziara aplikatua badago (P1), LN n1n1' lerroa izan dadin (R1, R41) e1 distantzia ezagutu nahi da: y = h 3 I= bh 1 bh 3 I 1 h e1 = z = = Ay h 6 bh A=bh Era berean, karga P bada: e = b 6 P karga, P1-tik P-ra mugituz, LN R1 puntuarekiko biratzen da. Nukleoa erronbo bat dela ondoriozta dezakegu, eta haren diagonalak b/3 eta h/3 dira. Erronboaren barnean aplikatutako edozein konpresio-kargak ez du trakzio tentsiorik sortuko sekzioan MAKURDURA ASIMETRIKOA Habeen makurdura-teoria luzetarako ardatzean simetria-plano bat duten habeetan bakarrik aplika daiteke. 11/10/30 r3. MEE 5-7

96 Hegalean dagoen irudiko habean xy planoa simetria plano axial bat da. Kargak simetria-planoan aplikatzen badira, habea y noranzkoan bakarrik deformatuko dela ondorioztatzen da. xy planoari makurdura-plano deitzen zaio. y ardatza simetria-ardatza denez, sekzioaren ardatz nagusi bat da. Lerro neutroa ere (x ardatza) ardatz nagusia da, eta y ardatzarekiko elkarzuta da. Habearen portaera elastiko-lineala bada, lerro neutroa grabitate-zentrotik pasatuko da. Beraz, 'y' eta 'z' ardatzak sekzioaren ardatz zentralak dira. Sekzioekiko elkarzut agertzen diren makurdurako tentsio normalak lerro neutroarekiko distantziaren arabera aldatzen dira, eta Navieren ekuazioaren bitartez kalkulatzen dira: σ x= My Iz Habeen makurdura asimetrikoak zeharkako sekzioak simetrikoak EZ direnean agertzen dira, edo kargak simetria-planotik kanpo aplikatzen direnean. Zeharkako sekzioa simetriaren arabera honela sailkatzen da: simetria bikoitza soilki simetrikoa asimetrikoa Makurdura asimetrikoa jasaten duten habeek normalki zeharkako sekzioarekiko bi ardatz nagusietan makurdura-momentuak jasaten dituzte. MY ETA MZ MAKURDURA-MOMENTUEN ZEINU_IRIZPIDEAK Aurpegi positiboan eragiten duten momentuak positiboak izango dira, haren bektoreek ardatz bakoitzaren noranzko positiboa badute Aurpegi negatiboan eragiten duten My eta Mz makurdura-momentuak positiboak izango dira, haren bektoreek norabidea y eta z ardatzen noranzko negatiboa badute 11/10/30 r3. MEE 5-8

97 ZEHARKAKO KARGA JASATEN DUTEN SIMETRIA BIKOITZEKO DUTEN HABEAK Makurdura asimetrikoko kasu sinpleena zera da, simetria bikoitzeko habe bat LNrekiko zeharka kargaturik dagoenean. Adibidea: hegalean dagoen habea, bere muturrean zeharkako P karga bat duena. P karga bi ardatzetan deskonposatuz, y ardatza Py = P cos θ z ardatza Pz = P sin θ Orain habearen makurdura gainezarpen-printzipioa erabiliz azter daiteke. KONTUZ! Karga-sekzioaren G grabitate-zentroan aplikatua egon behar du bihurdurarik ager ez dadin luzetarako ardatzean. Landapenetik x distantziara, sekzioan eragina duten makurdura-momentuak hauek dira: Mz = Py (L x) = P cos θ (L x) My = Py (L x) = P sin θ (L x) My eta Mz makurdura-momentuek habearen simetria-planoan eragiten dutenez, makurdura-tentsioak Navieren formularen bidez lor daitezke. A puntua (y, z) koordenatuetan kokatua badago: 11/10/30 r3. MEE 5-9

98 Tentsio normala puntu horretan: σ x= My z Mz y Iy Iz Iy: sekzioaren inertzia-momentua y ardatzarekiko Iz: sekzioaren inertzia-momentua z ardatzarekiko Lerro neutroa, σx = 0 duten puntuek osatzen duten zuzena denez: My z Mz y =0 Iy Iz y= My Iz z M z Iy G puntua zeharkatzen duen zuzen baten ekuazioa lortzen da (jatorrian y = 0), haren malda tan β= tan β= M y Iz My izanik. tan θ= definituz, orduan: Mz Iy Mz Iz tan θ Iy Ekuazio horretatik, β eta θ angeluak ezberdinak direla ondorioztatzen da ( β θ). LN lerro neutroa ez da karga-planoarekiko elkarzuta. SALBUESPENAK 1. θ = 0o bada, kargak XY planoan eragiten du, eta z ardatza LN da.. θ = 90o bada, kargak XZ planoan eragiten du, eta y ardatza LN da. 3. Iy = Iz bada, tan β= Iz tan θ Iy eta θ = β Iy = Iz denez, inertzia-momentu nagusiak berdinak dira. Beraz, G-tik igarotzen diren ardatzak nagusiak dira. Ondorioz, kargaren planoa LNrekiko elkarzuta da. 11/10/30 r3. MEE 5-30

99 Simetria bikoitza duen habe batek zeharkako kargak jasaten baditu, habearen geziak edo deflexioak lortzen dira kargaren osagai bakoitza bere aldetik aztertuz eta gainezarpen-printzipioa aplikatuz (ikus 7. gaia) 1 P cos θl L 3 3 P cosθ L δy = = EI z 3EIz 1 P sinθl L 3 3 P sinθ L δz= = EI y 3EI y Lortzen den gezia: = y z tan β= P sin θl3 3EIy δz I = = z tan θ δ y P cos θl3 I y 3EIz (Aurreko ekuazio bera lortu da: deflexioa plano neutroarekiko elkarzuta den plano batean egongo da) MAKURDURA HUTSA HABE ASIMETRIKOETAN Habe baten sekzioa asimetrikoa bada, makurdura-analisia konplexuagoa da. Momentua ezaguna izanik, ezinezkoa da zuzenean sortzen duen tentsio normala eta ardatz nagusia ondorioztatzea. Baina lerro neutro bat proposatu eta makurduramomentuarekin duen erlazioa aztertuko dugu. Irudiko habeak M makurdura-momentua jasaten du Helburua: y eta z ardatzak bete behar dituzten baldintzak zehaztea makurduran LN izan daitezen. 11/10/30 r3. MEE 5-31

100 Hasteko elkarzutak diren z eta y ardatzak eraikiko ditugu sekzioaren edozein puntutan. Ondoren, z planoa LN dela joko dugu. Beraz XY planoa makurdura-planoa izango da, eta habea plano horretan deformatuko da. Makurdura pean dagoen habearen κy kurbaduraren zeinua definitzeko irizpidea: LNtik y distantziara dagoen da azalera-elementuan dagoen tentsio normala: y ϵx = φ = κ y y σ x =E ϵ x = κ y E y eta da elementuan momentuak eragiten duen indarra: df = σx da F = σ x da= κ y E y da= κy E y da Makurdura hutsa dela jo denez, df azaleran integratuz F = 0 da eta orduan yda=0. Ekuazio horrek LN sekzioaren GZtik igaro behar duela frogatzen du. da azaleran eragiten duen tentsio normala, beraz: σ x = κz E z Indar normal erresultantea: σ x da= κz E zda=0 z da=0 Ondorioz, y ardatzak ere GZtik pasatu behar du. Beraz, y eta z ardatzen jatorria GZ puntuan kokatzen da. Orain σx tentsioek sortzen duten tentsio erresultantea aztertuko dugu. Makurdura x ardatzean gertatzen dela joz, momentuak: M z = σ x y da= κy E y da=κy EI z =M z M y = σ x z da= κ y E yz da= κ y EI yz =M y Iz z ardatzarekiko inertzia-momentua da, eta Iyz y eta z ardatzen inertziamomentuen biderkadura. 11/10/30 r3. MEE 5-3

101 ONDORIOAK: - Lerro bat LN izango da, baldin eta My eta Mz momentu jakin batzuk aplikatzen badira. - LN (kasu honetan z ardatza) inertzia-ardatz nagusi bat bada: My da eragiten duen momentu bakarra, eta XZ planoan gertatuko da makurdura, makurdura simetrikoaren kasuan bezala. Eta ardatz-sistema ortogonala denez, y ardatza ere ardatz nagusia izango da Makurdura hutsa jasaten duen habe asimetriko baten makurdura-planoa LNrekiko elkarzut izango da, baldin eta y eta z ardatzak sekzioaren inertzia-ardatz nagusiak badira. Makurdura-momentu batek plano nagusi batean eragiten badu, plano hori makurdura-planoa izango da (LNrekiko elkarzuta), eta makurduraren teoria erabili ahal izango da. HABE ASIMETRIKO BAT AZTERTZEKO METODO ZUZENA 1. Sekzioaren GZ puntua definitu.. y eta z inertzia-ardatz nagusiak definitu. 3. Aplikatutako M momentua deskonposatu, My eta Mz. My = M sin θ Mz = M cos θ θ : M momentuak OZ ardatzarekin osatzen duen angelua 4. Sekzioko edozein puntuk (adibidez A) jasaten duen tentsioa habe simetrikoen antzera lortzen da. σ x= M y z M z y (M sinθ)z (M cosθ) y = Iy Iz Iy Iz y eta z, A puntuaren koordenatuak izanik. 5. LNren ekuazioa σx = 0 eginez lortzen da. 11/10/30 r3. MEE 5-33

102 6. GAIA TENTSIO ETA DEFORMAZIOEN AZTERKETA 6.1 SARRERA 6. TENTSIO LAUA 6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK 6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN 6.5 HOOKE-REN LEGEA TENTSIO LAUAN 6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA 6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN 6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN 6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA 6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN 6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ ZIRKULARRETAN 6.1 SARRERA Sekzio bateko puntuetan tentsioak definitzeko, ekuazioak hauek erabiltzen dira: σ= M y Iz τ= V Q b I z 11/10/30 r3. MEE 6-1

103 Gai honetan, tentsioak edozein norabidetan aztertzeko metodoa ikasiko dugu. Trakzioan eta bihurduran sekzio inklinatuetako tentsioak aztertu genituen: HELBURUA: Ardatzen edozein orientaziotarako tentsio-osagaiek dituzten transformazio-erlazioak lortzea izango da. Hau da, ebakidura-plano bateko puntu baten tentsio-egoerak ezagunak izanik, ebakidura-planoa biratuz haren tentsio-egoera baliokidea ezagutu nahi da. Prozesuari tentsio-transformazio deritzo. Tentsiopean dagoen puntu bat aztertzean, elementua biratzean, elementuaren aurpegietako tentsioak aldatuz doaz, eta tentsio-egoera berdina adierazten dute. Tentsio-egoera bakarra da, elementua edozein orientaziotan dagoela ere. Orientazio ezberdineko tentsioek egoera berdina adierazten dute. Nahiz eta gezien bidez adierazi, tentsioak ez dira bektoreak. Tentsore deitzen zaie matematiketan, deformazio unitario eta inertzia-momentuen antzera. 11/10/30 r3. MEE 6 -

104 6. TENTSIO LAUA Axialki kargatuak dauden barrak, bihurdura hutsa edo makurdura jasaten duten habeen tentsio-egoerak dira tentsio lauaren adibideak. A puntua inguratzen duen elementu infinitesimal batek ondorengo tentsioegoera jasaten du: x : tentsio normala x noranzkoan xy : tentsio ebakitzailea x ardatzarekiko plano elkarzuta eta y noranzkoa dituena Plano elkarzutetako tentsio ebakitzaileek balio berdinak dituzte, eta haien noranzkoak ebakidura-ertzerantz gerturatu edo urruntzen dira: xy= yx Tentsioak bi dimentsiotan adieraziz: datuak: x, y, xy, yx ezezagunak: σ x1, σ y1, τ x1y1 (τ y1x1 ) Elementua erpin batean ebakiz gero, falka-itxura duen elementu bat lortzen da. Falkak jasaten dituen indarrek ere orekan egon beharko dute (tentsioa x azalera): 11/10/30 r3. MEE 6-3

105 F x1 ardatzean indarren oreka planteatuz: σ x1 X1 =0 Ao σ x Ao cos θ τ xy Ao sinθ σ y Ao tan θ sinθ τ yx A0 tan θ cos θ=0 cos θ eta y1 ardatzean antzera eginez: τ x1y1 Ao cos θ F Y1=0 +σ x Ao sin θ τ xy Ao cos θ σ y Ao tan θ cos θ+τ xy A0 tan θ sin θ=0 xy= yx da, eta aurreko bi ekuazioak berrantolatuz: x1= x cos y sin xy sin cos (1) x1y1 = x y sin cos xy cos sin () (1) eta () ekuazioen bidez, x1 ardatzean tentsio normal eta ebakitzaileak lortzen dira θ, τxy, σx-ren eta σy-ren funtzioan. Formulek ondorengoa ere betetzen dute: θ = 0º denean θ = 90º denean x1= x x1y1 = xy x1 = y x1y1 = xy Erlazio trigonometrikoen berrikuspena sin = sin cos (a) 1=cos sin cos =cos sin (b+c) 1 cos =cos (b-c) 1 cos =sin (b) (c) 1 cos =cos 1 cos =sin 11/10/30 r3. MEE 6-4

106 Aurreko ekuazioetara itzuliz eta erlazio trigonometrikoak aplikatuz: x y x y cos xy sin y x1y1 = x sin xy cos (3) x1 = (4) (1), (), (3) eta (4) ekuazioei tentsio lauko transformazio-ekuazio deitzen zaie. A puntuko tentsio-egoera, xy planoan eta x1y1 planoan berdina da. Transformazio-ekuazioak indarren oreka planteatuz definitu direnez, edozein materialentzat aplika daitezke. θ angelua (θ + 90º)-z ordezkatuz, σx1 σy1 lortzen da. Hirugarren ekuazioan ordezkatuz: x y x y cos 180 xy sin 180 y x y (5) y1 = x cos xy sin y1= (3) eta (5) ekuazioak osagaiz osagai batuz: (6) x1 y1= x y Elementu batean gainazalekiko elkarzut agertzen diren tentsio normalen batura konstantea da tentsio lauan. - TENTSIO-EGOERA BEREZIAK Tentsio lauan, tentsio-egoera orokor honen hiru kasu berezi agertzen dira: tentsio egoera uniaxiala, biaxiala eta ebakitzaile hutsa. 1 - Tentsio guztiak nuluak badira σx ezik, elementua tentsio-egoera uniaxialean dagoela esaten da. (1) eta () ekuazioetan, y =0 eta xy =0 bada: x1= x 1 cos = x cos x1y1= x sin = x sin cos 11/10/30 r3. MEE 6-5

107 Tentsio ebakitzaile hutsa beste kasu berezi bat da, x =0 eta y=0, orduan (1) eta () ekuazioak: x1= xy sin = xy sin cos x1y1= xy cos = xy cos sin 3 Tentsio-egoera biaxiala berriz, x1= x 0, y 0 eta xy =0 : x y x y cos x1y1= x y sin tentsio biaxiala besteak beste, presiopean dauden edukiontzietan agertzen da (ikusi 6.6 atala) 6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK σx1 tentsio normala eta x1y1 tentsio ebakitzailea modu jarraituan aldatzen dira elementua θ angelua biratzen den heinean. 11/10/30 r3. MEE 6-6

108 Diseinuaren ikuspegitik balio maximoak aurkitzea komeni zaigu, bai positiboak, bai negatiboak. Aurreko irudiak erakusten du tentsio normal eta ebakitzaile maximoak 90º-ro kokatzen direla (non σy = 0,σx eta τxy = 0,8σx). Tentsio normal maximo eta minimoei tentsio nagusi deitzen zaie, eta 1 eta azpiindizeen bidez adierazten dira. (3) ekuaziotik abiatuz: x1 = x y x y cos xy sin Maximoa lortzeko θ-rekiko deribatuz eta zerorekin berdinduz: d x1 d = x y sin xy cos =0 tan p= xy (7) x y p azpiindizeak plano nagusia adierazten du. θp-ren bi balio daude: θp θp +180º θp = θp1 θp +90º = θp 'Tentsio nagusiak plano elkarzutetan agertzen dira' Orain, tentsio nagusien balioak aurkitu nahi dira. Horretarako, ondorengo hirukia aztertuko da. Pitagoras aplikatuz, R lortzen da, eta, gainera, hiruki horretatik ondokoa ondoriozta daiteke, τ sin θp= xy eta cos θp = R ( σ x σ y ) R θp-ren balioa (3) ekuazioan ordezkatuz: x1 = σ 1= x y x y cos xy sin σ x +σ y + ( σ x σ y σ x σ y x y 1= ) : R+τ xy τ xy R ( ) x y xy σ1, tentsio nagusi maximoa eta tentsioen batura erlazioa aplikatuz, (6) ekuazioa, σ1 +σ =σ x+σ y, y = x x y xy σ, tentsio nagusi minimoa 11/10/30 r3. MEE 6-7

109 eta orokortuz, tentsio nagusien ekuazioa: y 1, = x ± Tentsio x y xy nagusien ezaugarri garrantzitsuenetako bat da, tentsio ebakitzailearen balioa orientazio horretan zero dela. Orduan, elementua tentsio egoera uniaxial edo biaxialean egongo da. 'Tentsio-plano nagusitan tentsio ebakitzaileak zero dira' Kasu bereziak 1 Tentsio uniaxialaren eta biaxialaren kasuan: tan p= xy x y =0 xy =0 θp1 = 0º eta θp = 90º, x eta y ardatzak norabide nagusiak dira. uniaxiala biaxiala Tentsio ebakitzaile hutsaren kasuan: tan p= xy = x y xy 0 = θp = 90º θp1 = 45º eta θp = 135º 1= xy sin 90º= xy = xy sin 70º= xy 11/10/30 r3. MEE 6-8

110 6.3. Tentsio ebakitzaile maximoak Tentsio ebakitzaile maximoak aurkitzeko, x1y1 θ-rekiko deribatuko da, d x1y1 = d x y non θs cos xy sin =0 tan s= x y xy (8) θs = θs1 θs + 180º θs + 90º = θs s azpiindizeak tentsio ebakitzaile maximoko planoa izendatzen du, eta 90º bakoitzean errepikatuko da. θs eta θp erlazionatuz, (7) eta (8) ekuazioetatik, bien arteko erlazioa: tan s= 1 = cotan p dela ondorioztatzen da tan p Hori garatuz sin s cos s cos p sin p =0 sin s sin p cos p cos s=0 cos s p =0 (cos±90º=0º) θs = θp ± 90º θs = θp ± 45º 'Tentsio ebakitzaile maximoko planoak plano nagusiekiko 45º-ra kokatzen dira' (4) transformazio-ekuazioan θs ordezkatuz, tentsio ebakitzaile maximoa lortzen da: x1y1 = x y xy = max Bestalde, σ1 eta σ tentsio nagusiak erabiliz tentsio ebakitzaile maximoa lortzeko: max = 1 Oro har, tentsio ebakitzaile maximoko planoek tentsio normalak dituzte, 11/10/30 r3. MEE 6-9

111 ebakidura hutsaren kasuan ezik. σx1 ekuazioan θs ordezkatuz, haren balioa xy planoko tentsio normalen batezbestekoa dela ondorioztatzen da: s = med = x y 6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN Ondoko ekuazioak: x y x y cos xy sin y x1y1 = x sin xy cos (3) x1 = (4) Mohr-en zirkulu (MZ) deritzon grafikoaren bitartez adieraz daitezke. Horretarako, ekuazioak berrantolatuko ditugu: x y x y = cos xy sin y x1y1 = x sin xy cos x1 Zirkunferentziaren ekuazioa, (x xc) + (y yc) = R θ parametro gisa erabiliz, adierazpen horiek zirkulu baten ekuazio parametrikoak direla ohartzen gara. Ekuazioen bi aldeak ber bi eginez, parametroa desagertzen da: ( ) ( ) σ x +σ y σ x σ y σ x1 +τ xy = +τ xy Formulan ondokoak ordezkatuz: (σ x1 σ med ) +τ x1y1 =R σ med = σ x +σ y R= ( σ x σ y 11/10/30 r3. ) +τ xy MEE 6-10

112 A aurpegitik A1 aurpegira joateko, A A1: elementua θ angelua biratu behar da zirkuluan θ angelua biratu behar da (A1 puntua) Zirkuluko P1 puntuan, tentsio normalek balio maximoa lortzen dute, eta tentsio ebakitzailea zero da. P1 puntua plano nagusi bat da. Zirkuluan A-tik P1-era joateko θp1 angelua biratu behar da. Elementua berriz, θp1 angelua biratu beharko da. Tentsio nagusiaren balioa: σ 1=OC+CP 1= R= ( σ x +σ y +R ) σ x σ y +τ xy denez, σ +σ y σ 1= x + ( ) σ x σ y +τ xy σ x σ y cos θp1= R τ xy edo sin θp1= R S eta S1 puntuek tentsio ebakitzaile maximoko planoak adierazten dituzte, θp1 angelua: eta zirkuluan P1-ekiko eta P-ekiko 90º-ra kokatuak daude (elementuan 45º). Tentsio ebakitzaile maximoaren balioa: MAX =R= x y xy 11/10/30 r3. MEE 6-11

113 6.4.1 Noranzkoak (OSO GARRANTZITSUA!) MZ bi eratara marraztu daiteke. Lehenengoan, (ezkerreko irudia) σx1 tentsio normal positiboak eskuinerantz kokatzen dira, eta x1y1 tentsio ebakitzaile positiboak gorantz. Disposizio horren abantaila nagusia zera da: θ angeluaren biraketa positiboak erlojuaren aurkako noranzkoa duela, transformazio- ekuazioetan ondorioztatzeko erabili dugun irizpide berdina. Beste eran (eskuineko irudia), x1y1 tentsio ebakitzaile positiboak beheranzko noranzkoa dauka, θ angeluaren biraketa erlojuaren noranzkoa izanik, elementuan aplikatutako biraketaren aurkakoa. Biak dira matematikoki zuzenak, baina guk ezkerrekoa erabiliko dugu, argiagoa baita. Horrela, elementuaren biraketaren noranzkoa eta MZrena bat etorriko dira. Tentsio ebakitzaileen zeinua definitzeko berriz, erreferentziatzat beraren noranzkoa hartzen da. Tentsio ebakitzaileak elementuaren erdiko puntuarekiko erloju-orratzen alderanzko biraketa sortzen badu positiboa da, eta, aurreko irizpidearen arabera, MZren goialdean kokatuko da. Eta, alderantziz, erlojuorratzen aurkako biraketa sortzen badu, MZren behealdean egongo da puntua. 11/10/30 r3. MEE 6-1

114 Irizpide horrek, positibo-negatibo kontzeptua barik biraketa kontuan hartzen duenez, tentsio-egoera argiago azaltzen du Mohr-en zirkulua eraikitzeko pausoak Puntu bateko tentsio-egoera ezaguna izanik, MZ eraiki nahi da, tentsio eta norabide nagusiak aztertzeaz gainera, edozein orientaziotan izango dituen tentsioak ezagutzeko. Datu izango dira x, y eta xy. 1. Ardatz-sistema marraztu: horizontalean x1 ardatza izango da (positiboa eskuinerantz) eta bertikalean x1y1 (positiboa gorantz). C puntua aurkitu: C puntua MZren zentroa izango da, eta (σ C = σ x+σ y, τ x1y1 =0) puntuan egongo da 3. A puntua aurkitu: A puntuak x aurpegiko tentsio-egoera adierazten du. x1= x eta x1y1= xy koordenatuetan dago (erlojuaren orratzen aurkako norazkoa) 4. B puntua aurkitu: B puntuak berriz, y aurpegiko tentsio-egoera adierazten du, eta x1y1= xy koordenatuetan dago (erlojuaren orratzen aldeko noranzkoa) 5. A eta B puntuak lotuz, AB lerroa zirkuluaren diametroa da, eta x ardatza C puntuan ebakitzen du, C Mohrren zirkuluaren zentroa izanik. A eta B puntuak 90º-ra dauden elementuaren bi aurpegi dira 11/10/30 r3. MEE 6-13

115 6. C puntua zirkunferentziaren zentroa izanik, Mohren zirkulua marrazten da. Haren erradioa formula honekin definitzen da: OA=R= ( σ x σ y ) +τ xy 7. P1 eta P zirkuluko puntuek plano nagusiak adierazten dituzte. Tentsio nagusien norabidea lortzeko, MZn A-tik 1-era pasatzeko (irudiko adibidean!) erlojuaren kontrako noranzkoan θ angelua biratu behar da, baita B-tik ra ere. Elementuan, berriz, θ angelua biratu beharko da. 8. σ1 tentsio nagusiaren balioa: O1 zuzenaren luzera izango da. Irudia aztertuz: O1=OC+CA OC= σ x +σ y O1= eta OA=R= σ x +σ y + ( ( σ x σ y σ x σ y ) +τ xy orduan, ) +τ xy 9. σ tentsio nagusien balioa, berriz O segmentuaren luzera da, eta haren balioa: σ +σy O=OC CA= x ( ) σ x σ y +τ xy MOHR-EN ZIRKULUARI BURUZKO IRUZKINAK - Plano bateko tentsio-egoera ezaguna bada, edozein planotako tentsio-egoera ezaguna da MZ erabiliz, xy planoa bakarrik aztertzen ari garela (bi dimentsio, tentsio laua), biratutako angeluak bikoitzak izanik (θ) eta horien noranzkoa kontuan hartuz. - Tentsio uniaxial eta biaxialaren, eta ebakidura hutsaren kasuetan, MZ erraz eraikitzen da. - MZ eskalan marraztu, eta zuzenean erlazioak eta balioak lor daitezke hainbat planotan. Teknika grafikoak gero eta gutxiago erabiltzen dira ingeniaritzan, baina MZk begirada batean informazio asko eskaintzen du - MZ deformazio-transformazioen azterketan ere erabil daiteke, hala nola inertziamomentuetan ere 11/10/30 r3. MEE 6-14

116 6.5 HOOKEREN LEGEA TENTSIO LAUAN Orain arte, elementu lau baten orientazio-aldaketak aztertu dira estatika bakarrik erabiliz eta materialaren propietateak kontuan hartu gabe. Orain, materiala kontuan hartuko dugu. Demagun aztertzen ari garen materiala honelakoa dela: - homogeneoa: materiala uniformea da pieza osoan - isotropoa: propietate berdinak ditu norabide guztietan - portaera elastiko-lineala: Hookeren legea betetzen du Baldintza horietan, elementuan tentsioaren eta deformazioen arteko erlazioa aurkitu nahi da. Kubo infinitesimal baten ertzen luzera-aldaketak aztertuko ditugu: x, y, z 1- Deformazioak tentsioen funtzioan aztertuz: DATUAK: σx, σy, xy, G, eta E EZEZAGUNAK: εx, εy, εz eta xy (bi konstante independente daude: G= E (1+ν) ) Tentsio normalen eraginez, dagokion ardatza deformatzeaz gainera, beste ardatzetako luzerak ere Poissonen erlazioaren arabera deformatuko dira, (ν/e ) σ x, y. xy ebakitzaileak berriz elementuan distortsioa sortzen du, eta z aurpegia erronbo bihurtzen ( xy, deformazio angeluarra) 11/10/30 r3. MEE 6-15

117 ϵx = ϵy = 1 E 1 E (σ x νσ y ) γ xy = (σ y ν σ x ) τ xy G ϵz = ν (σ x +σ y ) E Tentsioak ere kalkula daitezke deformazioak ezagunak badira: DATUAK: εx, εy, εz, xy, G, eta E EZEZAGUNAK: σx, σy eta xy E ( ϵx +ν ϵ y ) (1 ν ) E σy= ( ϵ y +ν ϵ x ) (1 ν ) τ xy =G γ xy σx= BOLUMEN-ALDAKETA UNITARIOA Aurreko orrialdeko (6-15) irudia aztertuz: Hasierako bolumena: Vo = = 1 Bolumena kargapean: Vf = (1 + εx)(1 + εy)(1 + εz) = 1 + εx + εy+ εz Luzera-aldaketa txikien arteko biderkadurak mespretxatzen dira. Orduan bolumen-aldaketa: Eta deformazio bolumetrikoa edo bolumen-aldaketa unitarioa: e= ΔV = Vf Vo = εx + εy+ εz ΔV =ϵ x +ϵ y +ϵ z Vo εx + εy+ εz ordezkatuz: 1 1 (σ x ν σ y +σ y ν σ x ν σ x ν σ y )= (σ x νσ y +σ y ν σ x ) E E Δ V 1 ν e= = (σx +σy ) Vo E e= Ondorioz, materialak Hookeren legea betetzen badu, aurreko adierazpenaren bidez edozein objekturen bolumen-aldaketa kalkula daiteke gorputza bolumenean integratuz. 11/10/30 r3. MEE 6-16

118 6.5. DEFORMAZIO UNITARIOAREN NEURKETA Erresistentzia elektrikoko galga estentsometrikoak erabiltzen dira pieza batean gainazaleko deformazio unitarioak neurtzeko. Txikiak dira (lekuko efektuak hobeto neurtzeko) eta piezaren gainazalean itsasten dira. Gorputza kargapean dagoenean, galgak ere deformatzen dira, eta haren erresistentzia elektrikoa aldatu egiten da. Tentsio elektrikoaren aldaketa neurtuz (ΔV), deformazioak ezagutu daitezke, eta galgen transformazio-ekuazioak erabiliz tentsioak. Zehaztasun handia eta erantzun azkarra dira haien ezaugarri nagusiak (10-6 ordenako deformazio unitarioko aldaketak neurtzeko gai dira) TENTSIO EGOERA TRIAXIALA Tentsio-egoera triaxialean, σx, σy eta σz tentsioak agertzen dira (tentsio nagusiak), tentsio ebakitzaileak zero izanik. Egoera hori oso berezia da, eta presiopean dauden edukiontziak dira egoera horren adibide. Elementua OZ ardatzarekiko plano paralelo batez ebakiz gero, plano inklinatuan σ eta tentsioak agertuko dira. Horiek xy planoan indarren oreka-ekuazioak planteatuz definitzen dira, σz-rekiko independenteak izanik. Beraz, σ eta tentsioak kalkulatzean, tentsio lauko transformazio-ekuazioak erabil daitezke eta baita MZ ere. Ondorio berdinak lortzen dira, elementua x eta y ardatzekiko paraleloak diren planoekin moztuz gero. 11/10/30 r3. MEE 6-17

119 z ardatzarekiko planoa // x ardatzarekiko planoa // y ardatzarekiko planoa // TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK TENTSIO-EGOERA TRIAXIALEAN ( τ max )z =± σ x σ y (τ max )x=± σ y σ z max y =± x z 11/10/30 r3. MEE 6-18

120 HOOKEREN LEGEA TENTSIO-EGOERA TRIAXIALEAN Deformazioak σ ϵ x = x ν (σ y +σ z ) E E Tentsioak σy ν (σ +σz ) E E x σ ϵ z= z ν (σ x +σ y ) E E ϵy = σx= E [(1 ν)ϵ x +ν(ϵy +ϵz )] (1+ν)(1 ν) σy= E [(1 ν)ϵ y +ν (ϵ x +ϵ z )] (1+ν)(1 ν) σ z= E [(1 ν)ϵz +ν(ϵ x+ϵ y )] (1+ν)(1 ν) BOLUMEN-ALDAKETA UNITARIOA Vo = = 1 V f =(1+ϵx )(1+ϵy )(1+ϵz ) Bolumen-aldaketa unitarioa e= e= e= Δ V V f V o V f = = 1 Vo Vo Vo (1 +ϵx )( 1+ϵy )(1 +ϵz ) 1 1 ν E 1=ϵx +ϵy +ϵz (σ x +σ y +σ z ) 6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA Presiopean dauden edukiontziak, likido edo gasak gordetzen dituzten egitura itxiak dira. Adibidez: likidoak gordetzeko tanke esferikoak, gas konprimitua gordetzeko tanke zilindrikoak, presiopean dauden hodiak, eta abar. Edukiontzien horma kurbadunak normalki oso meheak dira, diametroarekin eta luzerarekin konparatuz. Egitura mekaniko horiei oskol deritze. Baldintzak: - horma mehea, r > 10t (erradio/lodiera erlazioa) - barne-presioa > kanpo-presioa (bestela, egitura barrurantz eraits daiteke alboko gilborduraren eraginez) 11/10/30 r3. MEE 6-19

121 6.6.1 EDUKIONTZI ESFERIKOAK Hauxe da barne-presioa jasateko edukiontzi ideala. Adibidez, xaboi-ponpak esferikoak dira: energia minimoa eta erresistentzia maximoa dituen geometria da esfera. Hormako tentsioa kalkulatzeko, esfera plano diametral bertikalean zatituko dugu gasaren eragina aztertzeko. Indarrak: - Presioa (barnekoa kanpokoa) x Azalera (πr) - Tentsioa x Sekzioaren azalera: Indarren oreka ΣFH = 0 σ= σ πr t σ πr t - Pπr = 0 Pr t Ekuazio hori baliagarria da, esferaren zentrotik igarotzen den edozein norabidetako plano ebakitzailearentzat. Presiopean dagoen esferak σ tentsio uniformea jasango du norabide guztietan. 11/10/30 r3. MEE 6-0

122 Edukiontzi esferiko baten kanpo-azaleran, azalerarekiko tentsio normalik ez da agertzen. Beraz, σx = σy den tentsio biaxialeko egoeran dago. Haren MZa puntu batera murrizten da, edozein plano orientazio-plano nagusia izanik. Tentsio nagusiak σ1 = σ = Pr/t dira, eta tentsio ebakitzailea nulua da. Kontuan hartu behar da elementua tridimentsionala dela eta σz = 0 dela. Tentsio ebakitzailea planoan zero da (egoera biaxiala baita), baina ebakitzaile Pr maximoa x edo y ardatzean biratuz agertuko dira, haren balioa τ max= σ = 4t izanik. Edukiontzi esferiko baten hormaren barne-azaleran, elementuak, kanpoazaleran dituen tentsioez gainera, z norabidean P presioa jasaten du. σ 1=σ = pr t σ 3= p τ max= σ+p = Pr 4t + P OZ ardatzarekiko perpendikularra den planotan tentsio ebakitzailea zero da edozein orientaziotan (xy planoan zero da). XZ edo YZ planoak biratuz, tentsio ebakitzailea maximoa OZ-rekiko 45º-ra dago (90º MZan). r/t erlazioa 11/10/30 r3. MEE 6-1

123 oso handia bada, tentsio ebakitzaile maximoaren bigarren osagaia mespretxa daiteke, eta orduan: τ max = Pr 4t (σ3 = -p mespretxatzearen baliokidea) Edukiontziak gutxienez sarrera bat edukiko du, eta, horretaz gainera, euskailuak eta hainbat osagarri. Horiek horman bermatzen direnez, tentsiokontzentrazioak sortzen dituzte, eta ondorioz horien inguruak indartu behar izaten dira. Beraz, ekuazio horiek edukiontziaren edozein puntutan dira baliagarriak, ezjarraitutasun horien inguruetan ezik. Edukiontzien diseinuan kontuan hartu beharreko beste faktoreak: korrosioefektuak, ezbeharren inpaktu eta prebentzioa, eta efektu termikoak (soldadurak, eta abar) EDUKIONTZI ZILINDRIKOAK Horma-lodiera txikia duen edukiontzi zilindrikoa aztertuko da, kontuan izanik bi aldeetako muturrak itxita daudela eta P barne-presioa jasaten duela. σ1: tentsio tangentziala (uztai-tentsioa [zuncho]) σ: luzetarako tentsioa edo axiala Tentsio horiek oreka-ekuazioen bidez ondorioztatuko ditugu. 11/10/30 r3. MEE 6 -

124 Tentsio tangentziala, σ1 Edukiontzia ardatz axialean bertikalki banatuz, m-n eta p-q: P b r σ1 b t = 0 σ 1= Pr t Tentsio axiala, σ Ardatz axialarekiko elkarzut ebakiz: P πr = σ πr t σ = Pr t Bi tentsioak konparatuz, σ1 = σ dela ohartzen gara. Beraz, luzetarako soldadurek zirkunferentzialen halako bi indartsuago izan beharko dute. Kanpo-azaleran agertzen diren tentsio nagusiak: σ1, σ eta σz =0 σ σ ( τ max )z= 1 = σ Pr σ Pr σ1 4 = Pr 4t ( τ max )x= 1 = t ( τ max )y = = 4t Barne-azaleran, σ1, σ, σ3 = -P (τ max )z = (τ max )x = σ 1 σ = σ y σ z Pr = 4t Pr +P t Pr (τ max )y = σ x σ z = t = +P = Pr t Pr 4t + p + p 11/10/30 r3. MEE 6-3

125 6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN Egituren osagaiek normalki karga mota bat baino gehiago jasaten dituzte aldi berean. Adibidez, bihurduran lan egiten duen ardatz batek makurdura eta trakzioa jasan ditzake aldi berean. Karga konbinatuak jasaten dituzten egitura-osagaien analisia karga bakoitzak eragiten dituen tentsioen gainezarpenaren bidez azter daiteke. Gainezarpena erabiltzea onargarria da, betiere tentsioek kargekiko portaera lineala badute. Analisia hasten da indar axialak, ebakitzaileak, makurdura-momentuak eta bihurdurak sortutako tentsioak banaka aztertuz. Ondoren, tentsio horiek konbinatu egiten dira, tentsio erresultanteak lortzeko. Behin puntu horretako tentsio-egoera ezagututa, Mohrren zirkulua erabiliz tentsioak edozein orientaziotan tentsio nagusiak kalkula daitezke transformazio-ekuazioak erabiliz. Diseinatzean tentsio nagusiak eta tentsio ebakitzaile maximoak ezagutu nahi dira, eta horiek materialaren tentsio onargarriarekin konparatzen dira (hutsegite-irizpideak: Von Mises, Tresca). Adibidez, habe landatu batek mutur librean P karga eta Mt bihurdura jasaten ditu. Sekzio bakoitzean, V, MF eta MT ezberdinak agertzen dira. A elementua isolatuz, ondoko tentsioak jasaten ditu aurreko kargen ondorioz: A σ x= Hortik aurrera Mf r I ln τ Mt = Mt r IP eta barraren goialdean V =0 eta biratutako edozein planotan lor daitezke. 11/10/30 r3. MEE 6-4

126 σ 1,= σx max = ± ( ) +τ σx x eta horiek tentsio onargarri maximoekin konparatzen dira. Aztertutako puntua landapenetik gertu badago, makurdura-momentua handiagoa da. Beraz, A puntua landapenaren gainean aztertzea komeni da. Aztertzeko beste puntu interesgarri bat lerro neutroko B puntua da: B x=0 τ Mt = Mt r IP eta τv = 4V 3A beraz, τ=τ Mt +τv = M t r 4V + IP 3A B elementuak ebakitzaile hutsean lan egiten du: Egiturako analisi-puntuak aukeratzean, tentsio normal edo ebakitzaileak maximoak diren posizioek dute interes berezia. Aukeraketa on baten bidez, tentsio maximo absolutuak lor daitezke, puntu asko aztertu beharrik izan gabe. 11/10/30 r3. MEE 6-5

127 6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN Habe batean, tentsio normala: σ= tentsio ebakitzailea: My I τ= VQ bi Tentsio makurtzailea, σ, sekzioan LNtik urrunen dauden puntuetan da maximoa, eta zero da LN-n. Tentsio ebakitzailea, τ, nulua da LNtik urrunen dauden puntuetan, eta maximoa LN-n, Kasu askotan, egitura bat diseinatzean, tentsio horiek aztertzea nahikoa izaten da. Hala ere, analisi sakonago batek puntu guztietan tentsio nagusi eta ebakitzaile maximoak aztertzea eskatzen du. Sekzio bateko bost puntu aztertuko ditugu: A, B, C, D eta E. σ= My I ln τ= VQ bi ln (uniaxiala muturretan, ebakitzaile hutsa zentroan) 11/10/30 r3. MEE 6-6

128 Eskemak aztertuz, tentsio nagusien bilakaera erakusten dute sekzioan zehar. Habearen goialdean, konpresio-tentsio nagusiak norabide horizontalean 11/10/30 r3. MEE 6-7

129 jarduten du. LNrantz hurbiltzen garen heinean, tentsio-egoera biratuz doa, LN-n 45º-ra iristeraino arte. Bertan konpresio-tentsioa desagertu eta tentsio-egoera MZn ardatz bertikalean agertzen zaigu, tentsio ebakitzaile huts bihurtuz. Beherantz jarraituz gero, tentsio nagusiaren norabidea horizontalerantz bueltatzen da, trakzio hutseko egoera lortzeraino. Tentsio-egoera linealki aldatzen da goitik behera. Tentsioak habearen puntu guztietan aztertuz, tentsio nagusien bilakaera zehaztu daiteke. Tentsio-egoera adierazteko, bi kurba mota erabiltzen dira. Grafikoetako tentsioen ibilbideek kurba ortogonalek tentsio nagusien norabideak adierazten dituzte. Irudiko adibidean (ezkerrekoa), lerro jarraituek trakzio-tentsio nagusiak adierazten dituzte, eta ez-jarraituek konpresiozkoak. Bi kurbak beti elkarzut ebakitzen dira. Habeko goiko eta beheko azaleretan, tentsio ebakitzailea zero izanik, ibilbideak horizontalak edo bertikalak dira. Tentsioen ingurune grafikoetan (contorno de tensiones), berriz, tentsio nagusi berdineko puntuak lotzen dira (eskuineko irudia). Lerro jarraituek trakzio-tentsio nagusiak adierazten dituzte; lerro ez-jarraituak, berriz, konpresio tentsio nagusiak dira; ezkerreko irudian, tentsioen ibilbideak eta eskuinekoan, tentsioen ingurunea. 6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA Habe baten diseinuan, makurdura-momentuaren balio maximo absolutua zer sekziotan dagoen identifikatzea erabakigarria da, hark sortzen baititu gainazalean (normalki) tentsio normal maximoak. Ondoko formulak definitzen du: σ MAX =M y MAX I ln 11/10/30 r3. MEE 6-8

130 Profil mota batzuetan, σx tentsio maximoa sekzioaren barnean ager daiteke. Horrez gainera, kasu batzuetan indar ebakitzaileek, IVMAXI, makurdura- momentuek, IMMAXI baino garrantzia handiagoa dute. Habe baten diseinuan faktore horiek guztiak kontuan hartu behar dira, profilik egokiena aukeratzeko. Tentsio onargarria berdina izanda, material berdineko habeen artean luzera unitateko pisu gutxien duen profila aukeratu behar da, merkeena izango baita. Diseinuak pauso hauek ditu: 1. Aukeratutako materialarentzat onarg eta onarg balioak propietateen tauletatik eskuratzen dira, edo diseinu-eskakizunek definituak daude, haustura- edo isurpen-tentsioak segurtasun-koefizienteaz zatituz. Indar ebakitzaile eta makurdura-momentuen diagramak marrazten dira diseinuko kargen arabera, eta IVMAXI eta IMMAXI agertzen diren sekzioak identifikatzen dira. 3. Habearen diseinua, makurdura-momentu maximoa dagoen sekzioan, y = ±h/ gainazaleko tentsio normalak definitzen du. Sekzioaren modulu erresistente minimo onargarria definitzen da: S= ordezkatuz, IM I S min= σ MAX lortzen da onarg Iz h/. σmax σonarg-z 4. Habeen profilen artean, S > Smin direnak bakarrik hartzen dira kontuan, eta talde horretatik pisu espezifiko txikiena duena aukeratzen da. Profil hori izango da ekonomikoena, eta σmax σonarg erlazioa beteko da. Hala ere, ez da beti S balio txikiena duena aukeratzen, aukeraketan beste faktore batzuk ere kontuan hartzen baitira, hala nola profilaren altuera-muga edo habearen deformazio onargarria. 5. Orain aukeratutako profilak indar ebakitzaile maximoa jasaten duen frogatuko da. Kasu orokorrean, tentsio ebakitzaile maximoaren balioa: τ max = I V max I Q b I ln Sekzio laukizuzena bada, τ max= 3 I V max I A eta T-bikoitz eta hegal zabaleko T-bikoitz profiletan esfortzu ebakitzaile 11/10/30 r3. MEE 6-9

131 guztia ariman banatua dagoela joz: τ max = I V max I Aarima max onarg bada, aukeratutako profila egokia da. Kontrako kasuan hurrengo neurriarekin saiatu edo profil mota aldatu beharko da. 6. IPN, IPE eta HEB profilen kasuan beharrezkoa da frogatzea arimen eta hegalen arteko lotunean tentsio maximoak onargarria ez duela gainditzen. Aurreko diseinu-prozedura trakzio- eta konpresio-tentsio onargarri berdinak dituzten materialentzat definitu da. Trakzio eta konpresio σonarg-ak ezberdinak badira, profilaren aukeraketan bakoitza bere aldetik aztertu beharko da. Profila LNrekiko simetrikoa ez bada, trakzio- eta konpresio-tentsio maximoek ez dute zertan IMMAXI den sekzioan agertu beharrik. Bat IMMAXI den lekuan eta bestea IMMINI-an agertuko da. Horrela, bigarren pausoari IMMAXI-aren eta IMMINI-aren kalkulua gehitu behar zaio, eta hirugarrenak trakzio- eta konpresiotentsioak kontuan hartuko ditu INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN Uniformeki banatua dagoen indar erradiala eraztun mehe zirkular baten perimetroan aplikatua badago, eraztunean luzapen uniforme bat gertatzen da. Eraztunean gertatzen den luzapen-indarra definitzeko, plano diametral batean moztu eta solido askearen oreka-ekuazioak aplikatuko dizkiogu: 11/10/30 r3. MEE 6-30

132 dp=q r d ρ P= q r sin ρ d ρ=q r 1 ( 0tik π ra) σ= P A = q r 1 qr = t t 1 q: karga uniformea zirkunferentziaren luzera unitateko r: zirkunferentziaren erradioa Fz INDAR ZENTRIFUGOAK SORTUTAKO TENTSIOA q=m ω r =m P = σ= non, q r v r =q r baina q=m v P v γ =m r = A v r r g P / γ Av γ = = v A g A g m: masa luzera unitateko q: Fz luzera unitateko γ : pisu espezifikoa 6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ ZIRKULARRETAN Transmisio-ardatzen aplikazio praktikoetan, ohikoa da ardatza aldi berean makurdura- eta bihurdura-momentuen pean egotea. Polea, engranaje edo bolante batek ardatz bati eragindako indarrek makurdura eta bihurdura sortzen dituzte. Adibidez, ondorengo irudiak mutur batean landatua dagoen ardatz zirkular bat erakusten digu, beste muturrean P indar bertikala ardatzetik R distantziara aplikatua dagoela. 11/10/30 r3. MEE 6-31

133 Kasu honetan, indar bertikalak ardatzean bi karga sortuko ditu: Mt bihurduramomentua (Mt = P R), eta P indar ebakitzailea aske dagoen muturrean. Bihurdura-momentua konstantea da ardatzean zehar. P indar ebakitzaileak, berriz, landapenera dagoen distantziarekiko proportzionala den makurduramomentu aldakorra sortzen du (Mf = -P (L x)). Ardatzean eragindako tentsio maximoa aztertzeko, Mt-k, Mf-k eta V-k sortutako tentsioak kontuan hartu beharko dira, 1. Mt bihurdura-momentuak sortutako tentsio ebakitzaileak (ardatz osoan konstante) τ max = Mt 0, d 3 = Mt 3 πd 16 = Mt Mt = Z f Z t (ebakitzaile maximoa gainazalean) non Zt = 0, d3 eta Zf = 0,1 d3 modulu erresistentea baita [ τ= Mt r Mt Mt = = d πr πr π 3 () = Mt 3 πd 16 = Mt 0, d 3 ] 11/10/30 r3. MEE 6-3

134 . Mf makurdura-momentuak sortutako tentsio normalak (maximoa landapenean) σ max = [ σ= Mf 3 πd 3 = Mf 0,1 d 3 = Mf Zf (maximoa gainazalean, ±ymax) Mf r M r Mf Mf M Mf = f = = = f3 = 3 Iz d πd 0,1d 3 πr πr π ] 3. V ebakitzaileak sortutako tentsio ebakitzailea τ max = [ 4V 4 P = 3 A 3 π d 4 3 r V y Qz 3 4 P τ= = = ty I z 3 (π r ) 1 r π r 4 4 P ( ) ] y 1= 4r 3π A 1= π r Qz= π r 4r 3 3 = r 3π V-k sortutako tentsio ebakitzaileek normalki bigarren mailako garrantzia dute. Haren balio maximoa sekzioaren LN-n kokatzen da, makurdurak eraginik ez duen puntuan. 11/10/30 r3. MEE 6-33

135 Landapenean, goiko gainazaleko puntuan agertzen diren tentsioak: σ max= σx + ( M 1 σ max= f + z σx σ 1 +τ = x + σ x +4 τ ) ( 1 M f + M f +M t ) IDEALA ( Mf Mt M 1 +4 = (M f + M f +M t )= = f z z z z z ) ( ) Lortutako σmax Mf baliokide (ideal) batek makurdura hutsean lortutako balio berdina dela ondorioztatzen da, non Mf baliokide horren balioa baita: i Mf = 1 M f + M f +M t ) ( Tentsio ebakitzaile maximoa, τmax Mohrren zirkuluan aztertuz: τmax = MZ erradioa = σ MAX = τ MAX MZ diametroa σmax σ min = 1 ( M f + M f +M t ) z f M = f +M t zf Ardatzak egiteko σ min= 1 ( M f M f +M t ) z f M IDEALA τ MAX = t zt non erabiltzen diren zt = zf metal harikorretan normalki onarg onarg denez, diametroa zehazteko tentsio ebakitzaile maximoa erabili MAX =0,55 MAX ohi da irizpide gisa. τmax τonarg-rekin berdinduz: τmax = τonarg τ onarg MAX = M +M f 3 πd 16 t d= 3 16 M f +M t onarg π τ MAX 11/10/30 r3. MEE 6-34

136 7. GAIA MAKURDURAK HABETAN ERAGINDAKO DEFORMAZIOAK 7.1 SARRERA 7. DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA 7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO BIKOITZA 7.4 MOHR-EN TEOREMAK Mohr-en 1. teorema 7.4. Mohr-en. teorema 7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA Mohr-en 3. teorema edo habe konjokatuaren 1.a 7.5. Mohr-en 4. teorema edo habe konjokatuaren.a 7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA 7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (habe ez-prismatikoak) 7.1 SARRERA Habe bat kargatzean, hasieran zuzena zen luzetarako ardatza kurba-forma hartuz deformatzen da, eta deformazio-kurba horri deflexio-kurba, makurdurakurba edo kurba elastiko deituko diogu. Gai honetan, deflexio-kurbaren ekuazioa nola lortzen den azalduko da, ondoren habearen ardatzean zehar puntu zehatzetan deflexioa kalkulatzeko baliagarria izango dena. Deflexioen kalkulua oso garrantzitsua da estatikoki lan egiten duten habe eta egituretan. Egoera zehaztugabeak hurrengo gaian aztertuko dira. 7. DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA xy planoa simetria-planoa bada eta karga plano horretan aplikatua badago, orduan xy planoa makurdura-planoa izango da. DEFLEXIOA (y): y norabidean puntu baten translazioa (desplazamendua), x ardatzetik deflexio-kurbara neurtua. 11/10/30 r3. MEE 7-1

137 BIRAKETA-ANGELUA (θ): x ardatzak eta deflexio-kurbaren tangenteak definitzen duten angelua. arkua: ds = ρ d θ κ kurbadura: κ= 1 ρ = d θ ds ρ kurbadura erradioa izanik tanθ= dy θ=arctan dx ( dy dx ) azken horrek malda adierazten du ds cos θ = dx ds= dx cos θ cos θ 1 denean, θ oso txikia da eta, beraz, tan θ θ= dy dx ds=dx κ= 1 ρ = d θ ds =d y dx kurbadura 11/10/30 r3. MEE 7 -

138 Materiala elastiko-lineala bada eta Hookeren legea betetzen badu, orduan kurbadura: κ= 1 ρ = M (ikus 5. gaia). Lehen lortutako kurbaduraren EI ekuazioarekin erlazionatuz: d y dx = d θ M dx = (1) DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA EI Ikurren hitzarmena gogoratuz: Eta (1) ekuazioa diferentziatuz: ( dm d 3 y dx = dx ) = V eta 3 EI EI d 4 y dx = (dv dx ) = q 4 EI EI Deflexio-kurbaren ekuazioak lortzeko (biraketa eta desplazamendua), hainbat aldiz integratu beharko da. θ= dy dx = M EI dx+c 1 biratutako angelua y= [ M IE dx ] dx+c 1 x+c gezia 7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO BIKOITZA d y dx = M EI (1) ekuazioa bigarren mailako ekuazio diferentziala da; beraz, hura askatzeko bitan integratu behar da. PAUSOAK - Makurdura-momentuaren ekuazioa formulatu luzerarekiko. Karga edo sekzioa bat-batean aldatzen bada, adierazpen banatuak egongo dira habe zati bakoitzarentzat. Zati bakoitzean M-ren adierazpena ordezkatzen da ekuazio diferentzialean. - Lehen integrazioak θ= dy dx angeluaren adierazpena lortzen du, eta C 1 integrazio 11/10/30 r3. MEE 7-3

139 konstantea ezezagun gisa agertzen da. - Bigarren integrazioak y deflexioaren adierazpena ematen du, oraingoan C integrazio konstantea agertuz - C 1 eta C integrazio konstanteak kalkulatzeko, euskarrietako mugaldebaldintzak (y eta y ' = dy dx =θ ) eta integrazio-eremuan jarraitasun-baldintzak (y eta y') aplikatzen dira. Baldintza bakoitzak konstante bat edo bi jasotzen dituen ekuazio bat eskaintzen du. Baldintza kopurua konstante kopuruarekin egokitzen denez, ekuazio-sistema askatuz lortzen dira konstanteen balioak. Konstante horiek ekuazioan ordezkatuz, deflexio-kurbaren ekuazio orokorrak lortzen dira. Deflexioak lortzeko era horri segidako integrazio-metodo deritzo. Adibideak: 1) C 1 θ= dx dx =0 x= L C x = 0 y = 0 x = L y = 0 ) C 1 θ = 0 x = 0 C x = 0 y = 0 3) C 1 x = a θ 1 = 0 C x = a y 1 = 0 C 3 x = 0 y = 0 C 4 x = L y = 0 11/10/30 r3. MEE 7-4

140 7.4 MOHR-EN TEOREMAK Integralaren esanahi matematikoa funtzio batek sortutako azalera denez, makurdura-momentuaren diagramako azaleraren propietateak erabiltzen ditu. Bereziki erabilgarria da, puntu jakin batean θ angelua eta y gezia ezagutu nahi direnean MOHR-EN LEHEN TEOREMA A eta B habearen makurdura-kurbako edozein bi puntu badira, A eta B puntuen tangenteek osatzen duten angelua zera izango da: makurdura-momentuen diagraman bi puntu horien artean dagoen azalera zati habearen makurdurarekiko zurruntasuna. θ B/A = S EI z κ= 1 ρ = d θ ds d θ= M dx = ds EI EI B θ B/A = A d θ dx = M EI x B d θ= M x A EI [ dx= M x EI (x x ) B A B = S ]x EI A (radianetan!!) Lehen teoremaren aplikazioa: Mutur bat landatua eta bestea libre duten habeen biraketa-angelua lortzeko: 11/10/30 r3. MEE 7-5

141 1 θ B /A = S AB EI = P L L EI Adibideak: θ B? θ B? 7.4. MOHR-EN BIGARREN TEOREMA A eta B makurdurakurbako bi puntu badira, B-tik A-ren tangentera dagoen distantzia honela lortzen da: momentuen diagraman A eta B puntuen arteko azaleraren B-rekiko momentu estatikoa (A eta B puntuen arteko makurdura-momentuen diagramako azalera bider azaleraren grabitate-zentroarekiko distantzia) zati habearen zurruntasuna. δ B /A = S x G, x G = x B puntutik momentuen azaleraren GZrako distantzia izanik EI OHARRA: B-tik A-ren tangentera distantzia norabide bertikalean neurtuko da. 11/10/30 r3. MEE 7-6

142 d δ B/ A =x 1 d θ, eta d θ= M EI d x denez, d δ=x 1 M EI d x B δ B /A = A x B x B M d δ= x 1 x A EI dx= (x B x) M x A EI dx=s x AB G (B ) EI Bigarren teoremaren aplikazio zuzena: Mutur bat landatua eta bestea libre dituzten habeetan gezia kalkulatzeko balio du. δ B /A = [ 1 P L L ] 3 L EI δ B? δ B? 7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA Makurdura bakunean dauden habeetan, puntu bateko eta lor daitezke habe konjokatuan puntu horretan estatikako ekuazioak aplikatuz. Hasieran karga-egoera jakin bat jasaten duen habea izango dugu. Horri jatorrizko habe (viga primitiva) deituko diogu. Haren habe konjokatuaren karga izango da karga errealek habean sortzen duten makurdura-momentuen diagrama. Habearen makurdura-momentuen 11/10/30 r3. MEE 7-7

143 diagrama kalkulatu ondoren, EI z zurruntasunaz zatituz habe konjokatuaren q' karga-diagrama lortzen da. Ondorioz, habe konjokatuak M/EI z indar-sistema banatua jasaten du. M (+) --> Indar banatua berantz ( ) M (-) --> Indar banatua gorantz ( ) Habe konjokatuaren puntu bateko indar ebakitzailea jatorrizko habean puntu horrek duen tangentearen angelua da, eta puntu horretako makurdura-momentua habearen gezia da. Metodo hori Mohrren teoremen erabilera ezkutua da. - HABE KONJOKATUAREN PROPIETATEA Jatorrizko habeak bermapuntu batean biratutako angelua habe konjokatuan bermapuntu horren erreakzioa zati habearen zurruntasuna izango da θ A = R ' A EI, non R' A habe konjokatuan oreka planteatuz: ' ' M B =0 R A L= 1 Pab L ( a 1 3 ) a+b + 1 Pab L ( 3 b ) Frogapena: Demagun bi muturretan bermatua dagoen habe bat dugula. Haren habe konjokatua haren momentuen diagrama jasango duen habe berdina izango da. Jatorrizko habeko A puntuak biratutako angelua θ A Mohrren teoremak aplikatuz: θ A = δ B / A L (integratzean momentuen diagramaren azalera kalkulatzen da) baina δ B /A = S B /A x G EI denez, orduan θ A = 1 L SB / A x G EI 11/10/30 r3. MEE 7-8

144 eta R' A1 erreakzioa habe konjokatuan: ' R A1 = S B / A x G L, beraz, θ A = 1 L R ' A1 EI L = R ' A1 EI Adibideak ' 1. M B =0 (habe konjokatuan) ' R 1 L 1 ML 3 L=0 R 1 ' = 1 3 ML ' M A =0 ' R L 1 ML 3 L=0 ' R = 1 6 ML. 11/10/30 r3. MEE 7-9

145 3. Azalera osoa = 0 θ A (-) θ B (+) ' M B =0 ' R 1 L 1 ML ( L L R 1 ' R = ML 1 ML 4 = ML 4 ' = ML 4 ) ML ( 3 L ) = MOHRREN 3. TEOREMA EDO HABE KONJOKATUAREN 1. TEOREMA Soilki bermatua dagoen habe bateko puntu bateko tangentearen angelua zera da: haren habe konjokatuak puntu horretan jasaten duen indar ebakitzailea zati habearen zurruntasuna. FROGAPENA AB habea soilki bermatua badago, C puntuan tangentearen angelua θ C = θ A θ A/C izango da. Habe konjokatuaren propietatearengatik: θ A = R ' 1 EI 11/10/30 r3. MEE 7-10

146 eta Mohrren 1. teoremaren arabera: Beraz, θ C = R ' 1 EI S C EI θ A /C = S C EI, baina R 1 - S C = V C θ C = V ' C EI Aplikazioa: Mohrren 3. teoremak soilki bermatuak dauden habeetan biraketa-angeluak lortzeko balio du. Adibideak: θ C? θ A? θ MAX? 7.5. MOHR-EN 4. TEOREMA EDO HABE KONJOKATUAREN. TEOREMA Soilki bermatua dagoen habe batean edozein puntutako gezia zera da habe konjokatuan: puntu horretan dagoen makurdura-momentua zati habearen zurruntasuna da FROGAPENA: AB habea aztertuz, C puntuan gezia: y C = θ A x - y C/A θ A = R ' 1 EI direnez: eta y C = R ' 1 EI x y C/ A = S C x G EI S C x G EI = M ' C EI 11/10/30 r3. MEE 7-11

147 Aplikazioa: Soilki bermatutako habeetan gezia edozein sekziotan kalkulatzeko balio du. ad, y C? y MAX? BERMA-BALDINTZAK ANTZINAKO HABEA HABE KONJOKATUA BERMAPUNTU SOILA y = 0 θ 0 BERMAPUNTU SOILA M' = 0 V' 0 LANDAPENA y = 0 θ = 0 HEGALKINA M' = 0 V' =0 HEGALKINA y 0 θ 0 LANDAPENA M' 0 V' 0 GILTZADURA TARTEKO BERMAPUNTUA y 1 = y θ 1 θ M 1 ' = M ' V 1 ' V ' TARTEKO BERMAPUNTUA GILTZADURA y = 0 θ 1 = θ M' = 0 V 1 ' = V ' 11/10/30 r3. MEE 7-1

148 7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA Egitura batean kargen konbinazioaren efektua karga bakoitza bere aldetik aztertu eta emaitzak batuz lor daiteke, ondorengo baldintzak betetzen badira: 1- Efektu bakoitza linealki erlazionatua dago sortu duen kargarekin. - Edozein kargak sortzen duen deformazioa txikia da, eta beste kargen aplikazioan ez du eraginik. Karga multiaxialen kasuan, materialaren proportzionaltasun-muga gainditzen ez bada lehen baldintza betetzen da. Eta bigarrena betetzeko nahikoa da edozein sekziotan aplikatutako kargek beste sekzioetan sortutako deformazioak haien tentsioen kalkuluan eraginik ez izatea. Adibidea: Gainjarpena oso erabilerraza da, karga-sistema ezagunak diren kargabaldintzetan banatzen bada, horien deflexioak ezagunak izanik. ' R 1 = 1 3 M L M L R ' = 1 6 M L M L Gainjarpen-printzipioa oso erabilia da Materialen Mekanikan (MEE), eta 11/10/30 r3. MEE 7-13

149 onargarria da aztertzen den propietatea aplikatutako kargekiko lineala bada. Habeen deflexioen kasuan, gainjarpen-printzipioa baliagarria da, materialak Hookeren legea betetzen badu eta sekzioetan biraketa-angeluak eta geziak txikiak badira. Angelu txikien baldintzak kurba elastikoaren ekuazio diferentzialaren linealtasuna bermatzen du. Gezi txikien baldintzak bermatzen du kargen akzio-lerroak eta erreakzioak era adierazgarrian ez direla aldatuko. 7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (habe ez-prismatikoak) Orain arte habe prismatikoetan erabili diren metodoak habe ez- prismatikoetan ere erabil daitezke y eta θ lortzeko. Ondoko habeak, adibidez: Habe batek bere zeharkako sekzioan aldaketa bortitza badauka, sekzio horretan tentsio-kontzentrazioak agertuko dira. Hala ere, tentsio lokal horiek ez dute gezien kalkuluan eragin nabarmenik izango. Habe koniko batean, orain arte erabilitako habe prismatikoen teknikek emaitza nahiko onak ematen dituzte, betiere konoaren angelua txikia bada. Adibidea. Kalkulatu ondorengo habea kurba elastikoaren ekuazio diferentzialaren bidez: 11/10/30 r3. MEE 7-14

150 Datuak: P, L, E, I 1. METODOA: KURBA ELASTIKOAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA (ad). METODOA: MOHRREN TEOREMAK (ad) Habearen kurbadura 1 ρ = M EI da. Habearen inertzia-momentua konstantea ez bada ere (I z kte), konstantea dela joko dugu: Adibidean, inertzia-momentua I z -tik I z -ra txikitzean, kurbadura berdina mantentzeko 1 ρ = M E I = M/ EI makurdura-momentua proportzio berdinean gutxitu beharko da. 3. METODOA: GAINJARPEN-PRINTZIPIOA (ad) 11/10/30 r3. MEE 7-15

151 8. GAIA HABE HIPERESTATIKOAK 8.1 SARRERA 8. DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO ANALISIA 8.3 MOHR-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO ANALISIA 8.4 HABE JARRAITUAK 8.1 SARRERA Habe hiperestatikoetan, estatikako ekuazioak aplikatzean, oreka lortzeko beharrezkoak diren baino erreakzio gehiago agertzen dira. Habe isostatikoetan: erreakzioak ezagutuz V, M θ, y Habe hiperestatikoetan: estatikako oreka-ekuazioak ez dira nahikoak erreakzioak lortzeko. Ekuazio osagarriak beharko dira oreka-ekuazioak osatzeko, deformazioetan oinarriturik Hiperestatikotasun-maila: ezezagun kopurua ekuazio kopurua Soberan dauden erreakzioak soberakin estatikoak HABE HIPERESTATIKOEN ADIBIDEAK 1- Hiperestatikotasun-maila = 4 ezezagun 3 ekuazio = 1 soberakin estatiko h = 4 err. - 3 ek. = 1 (soberan dagoen erreakzio bat) 11/10/30 r3. MEE 8-1

152 Erreakzio bat indar (V B ) edo momentu (M A ) batez ordezkatuz egitura askatua edo lehen mailako egitura (estructura liberada o primaria) lortzen da. - h = 6 err. 3 ek. = 3 Egitura askatua edo lehen mailako egitura lortzeko, sei erreakzioetako hiru aukeratu, eta hiru indar edo momentuz ordezkatu behar da (adibide honetan, M B, H B, V B edo M A, M B, H B ). 3- h = 4 err. - 3 ek. = 1 Ezezaguna den erreakzioetako bat indar batez ordezkatu beharko da. Egitura askatu ondoren, indar edo momentu ezezagun horien balioak ezagutzeko, habearen deformazioan haien eragina erabiliko da baldintza gisa. Helburua: soberako erreakzioak kalkulatzea, eta behin erreakzioak ezagututa σ, y, θ (tentsioak, geziak, angeluak). 11/10/30 r3. MEE 8 -

153 8. DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO ANALISIA Prozedura estatikoki definitua dagoen habearen antzekoa da. 1- Ekuazio diferentziala planteatu. - Bitan integratu, haren emaitza orokorra lortzeko. 3- Ingurune-baldintzak aplikatu, integrazio konstanteak lortzeko. Beti egongo dira nahiko ingurune-baldintza, ez bakarrik konstanteak lortzeko, baita soberako erreakzioak lortzeko ere. Adibidea: soberako erreakzioa V B aukeratuz (edo M A ) 8.3 MOHR-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN-PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO ANALISIA PROZEDURA: 1. Soberako erreakzioak zein diren zehaztuz hasiko gara.. Ondoren soberan dauden erreakzioei dagozkien bermapuntuak/landapenak kentzen dira. 3. Soberako erreakzioei dagozkien desplazamenduak edo biraketak zehaztuko ditugu (ingurune-baldintzak). 4. Gainjarpen-printzipioa aplikatuz, puntu bateko desplazamendua karga 11/10/30 r3. MEE 8-3

154 errealek eta soberakoek puntu horretan sortutakoak batuz lortzen da. 5. Soberan dauden bermapuntuen kasuan, desplazamenduen batura zero izango da. Soberako landapenen kasuan, berriz, habeak biratutako angelua ere zero izango da. 6. Aurretik definitu diren desplazamenduen ekuazioetan ingurune-baldintza horiek aplikatuz (desplazamendua zero edo/eta angelua zero), soberako erreakzioen balioa kalkulatzen da. 7. Gainerako ekuazioak oreka-ekuazioen bidez definitzen dira. Adibidea: soberako erreakzioa V B aukeratuz (edo M A ) 8.4 HABE JARRAITUAK Bi bermapuntu baino gehiago dituzten habeak, habe jarraitu deritze, eta ohikoa da industria-eraikin, hodi, zubi eta bestelako egituretan horiek aurkitzea. Kargak bertikalak badira eta deformazio axialik ez badago, orduan erreakzio guztiak bertikalak izango dira. Normalki bermapuntu horietako bat finkoa da, eta besteak labainkorrak dira. Orduan, erreakzio kopuruak bermapuntu kopuruarekin bat egingo du, eta 11/10/30 r3. MEE 8-4

155 hiperestatikotasun-maila tarteko bermapuntu kopurua izango da, barnean geratzen direnak (kopuru osoa ken bi). Aurreko irudiko habean: - erreakzio kopurua: 5 - hiperestatikotasun-maila: 3 Lehen aipatutako edozein metodorekin azter badaiteke ere, erabilgarriena gainjarpen-metodoa da (Mohrren teoremekin batera). Horrela, hiru momentuen metodoa garatuko dugu, habe jarraituak era sistematizatuan askatzea ahalbidetuko baitigu. Tarteko bermapuntu bakoitza analizatuko dugu, bermapuntuaren bi aldeetan dauden habe zatiak aztertuz. Tarteko bermapuntuetan agertzen diren momentu makurtzaileak soberako erreakzio bezala aukeratuko dira. Adibidea: (...) HABEAREN MUTUR BATEAN EDO BIETAN LANDAPENA. Habeko mutur bat edo biak landatuak baldin badaude, ezezagun kopurua handituko litzateke. Egoera hori saihesteko, landapena beste habe zati batez ordezkatzen da, zati berri horrek inertzia-momentu infinitua duela. Inertzia infinitua duen zati gehigarri horren zeregina A bermapuntuan biraketa saihestea da, landapenak sortzen zituen baldintza berdinak lortuz. Ordezko habean A eta B puntuetan lortutako makurdura-momentuak eta 11/10/30 r3. MEE 8-5

156 berezko habeak dituenak berdinak dira. Gehitutako habe zatiaren luzerak ez du inongo eraginik emaitzan (> 0 bada), hiru momentuen ekuazioan beti desagertuko baita. Adibidea: Hiperestatikotasun-maila 11/10/30 r3. MEE 8-6

157 9. GAIA GILBORDURA 9.1 SARRERA 9. KARGA KRITIKOA 9.3 EULER-EN FORMULAK 9.4 ZUTABEAREN BERMA-BALDINTZAK 9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA 9.6 OMEGA ω KOEFIZIENTEEN METODOA (ERREFERENTZIA-LIBURUA: Resistencia de Materiales, Manuel Vázquez) 9.1 SARRERA Konpresioan lan egiten duen habe lerdenari zutabe deitzen zaio: σ= P onarg σ A Karga axialak balio kritiko bat gainditzen duenean, zutabeek alboko makurduragatik huts egiten dute, nahiz eta konpresio-tentsioak materialaren isurpen-muga gainditu ez. Gilbordura (pandeo) ez da erresistentzia-arazo bat, desoreka-egoera bat baizik. P P e e P e e P e Gilbordura-haustura (alboko makurdura), sekzioaren inertzia-momentu txikienarekin edo kurbaduraerradioarekin erlazionatua dago. 11/10/30 r3. MEE 9 1

158 9. KARGA KRITIKOA BALDINTZAK 1. P konpresio-indarra habearen ardatz geometrikoan aplikatua dago; hau da, karga zentratua dago.. Barraren materiala homogeneoa eta elastikoa da; beraz, E konstantea da. 3. Barrak ez du alboko indarrik jasaten. 4. Sekzioa uniformea da luzera osoan (A konstantea). KARGA KRITIKOA: zutabeari H indar horizontala aplikatuz gero (perturbazioa), sistemak oreka-egoera galarazten duen P konpresio-karga minimoa da. Hiru kasu ager daitezke: a. P < P k bada, H ezabatuz gero habea jatorrizko posiziora itzultzen da; oreka-egoera egonkorrean dago. b. P > P k bada, H kenduta ere, habeak deformatzen jarraituko du haustura gertatu arte; oreka-egoera ezegonkorrean dago c. P = P k bada, H kenduz gero habeak une horretan duen deformazioa mantenduko du; oreka-egoera indiferentea da. Aipatutako P k karga kritikoa zera da: egoera ezegonkorrera pasatu aurretik zutabe lerden (esbelto) batek jasan dezakeen konpresio karga axial maximoa. 11/10/30 r3. MEE 9

159 9.3 EULER-EN FORMULAK Ezegonkortasun elastikoa definitzen duen karga kritikoaren formula Euler-ek garatu zuen analitikoki orain dela 300 urte. Ezegonkortasun plastikoa sortzen duen karga kritikoa, berriz, enpirikoki definitzen da, eta emaitzak esperimentazio bidez frogatu dira. OINARRIZKO KASUA: BI MUTURRETAN BERMATUTAKO ZUTABEA Demagun deformatua dagoen AB zutabea dugula. A-tik x distantzia batera eragindako momentua: M x = + P k y Makurdura-kurbaren ekuazioa: d y = M = P K y dx EI min EI min P K EI min =k eginez, d y dx = k y haren emaitzak ondorengo itxura du: y = C 1 sin kx + C cos kx x-rekiko bitan deribatuz: dy dx =C 1k cos k x C k sink x ekuazio diferentziala lortzen dugu, eta d y dx = C 1k sink x C k cos k x= k (C 1 sink x+c cos k x)= k y 11/10/30 r3. MEE 9 3

160 C 1 eta C konstanteen balioak muga-baldintzak (MB) aplikatuz lortuko dira: 1. MB A puntuan (x = 0) y = 0 C 1 sin0+c cos0=0 C 1=0 C = 0. MB A puntuan funtzioaren (y = f(x)) malda edo angelua aztertuko dugu, α C konstantea 0 denez, x = 0 dy dx maldaren ekuazioa, dy dx =tanα=c 1k cos0=c 1 k dy dx =C 1k cos k x Deribatuaren esanahi geometrikoa eta α oso txikia dela kontuan hartuz: tan α α beraz C 1 k = α C 1 = α k Habearen makurdura-kurbaren ekuazioa honela geratzen da: y= α k sink x 3. MB x = L puntuan geziak y = 0 izan behar du (B puntuko bermapuntua): 0= α k sink L beraz sin kl = 0 Aurrekoa bete dadin, kl = 0 izan behar du, zentzurik ez duen emaitza (biak 0 dira). Irudiak agertzen duen bezala, kl = π edo n π izan beharko du. baina k= P K EI min beraz P K EI min L G =π erro karratua kentzeko bi aldeetan ber bi eginez, P K EI min L G =π L = L G P K = π EI min L G Sekzioaren inertzia-momentu txikiena erabili behar da beti. P K karga kritikoan eragina duten faktoreak: barraren ezaugarri geometrikoak: I, L G (I min P K ; L G P K ) materialaren propietateak: E Sekzioaren azalera aldatu gabe P K karga kritikoa handitzeko, inertzia-momentua handitu behar da, materiala inertzia-ardatz nagusietatik ahalik eta urrutien kokatuz. Adibidez: 11/10/30 r3. MEE 9 4

161 9.4 ZUTABEAREN BERMA-BALDINTZAK Zutabea bermatuta dagoen baldintzen arabera, aurreko atalean ondorioztatu den formula erabilgarria da, L G gilbordura-luzera berma-baldintzei egokituz gero. L G = c L P K = π EI min L G = π EI min c L c = L G = L P K = π EI min 4L c= 1 L G = L =0,7L P K = π EI min L c= 1 L G = L =0,5 L P K = 4π EI min L 11/10/30 r3. MEE 9 5

162 9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA Habeak gilborduragatik apurtzen dira, kargak P K balioa gainditzen badu (P P K ), zeren, nahiz eta konpresio-tentsioa isurpen-muga baino txikiagoa izan σ= P A σ F, gilbordurak alboko makurdura eragiten baitu. Orain, Eulerren formulatik abiatuz, gilbordura sortzen duen tentsio kritikoa aurkitu nahi dugu: Gilbordura-karga kritikoa (Euler) Gilbordura-tentsio kritikoa P K = π EI min L G σ K = P K A = π EI min E L G A =π L G I min A = π E ρ min L G non eta beraz, ρ min = I min A σ K = π E E ( L G ρ min) =π λ (sekzioaren biraketa-erradioa) non λ= L G ρ min (lerdentasuna) ZUTABEEN LERDENTASUNA, λ (esbeltez) Gilbordura-luzeraren eta biraketa-erradio minimoaren arteko erlazioa da. λ < 0 gilbordura ez dago kontuan hartu beharrik λ > 50 piezak onartezinak dira EULERREN HIPERBOLA λ ren balio altuei σ K tentsio kritiko txikiak dagozkie. Beraz, pieza oso lerdena bada, gilbortuko da eta erresistentzia erraz galduko du σ K tentsio kritiko txikiekin. Tentsio kritikoa lerdentasunarekiko grafikoki adieraziz gero, Nola sendotu daiteke pieza? ρ edo λ = L G delako ρ biraketa-erradioa handitzeko, sekzioazalera berdinarekin inertzia-momentua handitu behar da. Hori materiala ahalik eta urrutien kokatuz lortzen da. Horregatik, profil tubularrak sekzio oso-beteak baino erabiliagoak dira zutabeetan. 11/10/30 r3. MEE 9 6

163 Bestalde, λ txikiagoa den heinean, σ K tentsio kritikoa handitzen da. Makurdurak, materialaren egoera elastiko-linealean, proportzionaltasuneremuaren barnean agertu behar du, K P, Eulerren formula Hookeren legea aplikatuz ondorioztatu baita. Baldintza hori bete dadin, habeak λ L lerdentasunmuga gainditu beharko du: σ K = π E λ σ p λ L= π E σ p λ L = π λ < λ L ZUTABE MOTZAK (eremu plastikoa) λ > λ L ZUTABE LERDENAK (eremu elastikoa) = E σ π p, Altzairuetan Eulerren formula erabilgarria da λ > 100 balioentzat. Beste metalentzat kalkulatu egin behar litzateke bakoitzaren σ p -aren arabera TETMAJER-EN FORMULA λ < 100 diren barretan, Tetmajerrek esperimentazio bidez zera ondorioztatu zuen: λ aldakorra zuten barrak hausteraino kargatuz diagramako σ K = f(λ) puntuak lerro zuzen batean zeudela, Tetmajerren zuzena deitua. Egituretan erabiltzen diren altzairuetan, Tetmajerren zuzenak kg/cm tentsioen inguruan koordenatuen ardatza mozten du, σ R haustura-tentsioari dagokiolako. Puntu hori zuzen baten bidez lotzen da Eulerren tentsio kritikoaren mugara (σ p, λ L puntua). Tentsioak elastikotasun-muga (σ E = 400 kg/cm ) gainditu ezin duenez, Tetmajerren zuzena lerro horizontal batek isurpen-mugaren balioan mozten du. Altzairuetan λ = 60 lerdentasuna dagokio. σ K = π E λ Altzairuentzat: σ K = σ R - a λ Egituretako altzairuak (%C gutxikoak): 60 < λ 100 σ K = ,4 λ 11/10/30 r3. MEE 9 7

164 9.5.3 FORMULA PARABOLIKOA Tetmajerrek proposatutako σ K = f(λ) aldaketa linealaren ordez, ω metodoak eremu ez-elastikoan σ K tentsio kritikoaren balioa zutabe motzentzat (λ < 100), bigarren mailako parabola baten bidez definitzen du (Johnston edo Ostenfeld-en parabola). Parabolaren ekuazioa altzairuentzat, σ K = σ E - a λ = 400 0,03 λ horrela, λ = 0 σ K = σ E non σ E = 400 kg/cm 9.6 ω KOEFIZIENTEEN METODOA Egituren diseinuan gilbordura kontuan hartzeko erabiltzen den irizpidea da. Johnston-en formula parabolikoan oinarritzen da. λ lerdentasunaren arabera v segurtasun-koefizientea definitzen du: v= K G onarg - Eremu elastikoan, λ > λ L v = 3,5 onarg G = K 3,5 = E = 3,5 - Eremu plastikoan, v = f(λ L ) aldakorra da. (altzairuetan) 11/10/30 r3. MEE 9 8

165 λ = 0 denean, onarg onarg G = KONPRESIOA v= =1,7 hortik aurrera v λ-rekin handitzen da λ L denean v-k bere balio maximoa lortzen du, 3,5, eta, beraz, puntu horretan: σ G onarg = σ p v = 100 3,5 =590kg/cm Eremu plastikoan erabilgarria den ekuazio parabolikoa, σ K = f(λ ), egokituz, G onarg = ,08 λ Tentsio kritikoa dagokion v-az zatitzen ibili beharrean, ω koefizienteen prozedurak material eta λ bakoitzarentzat ω koefizientea definitzen du, materialak konpresio sinplean duen tentsio onargarriaren arabera: = onarg sinplean tentsio onargarria =konpresio onarg G gilborduran tentsio onargarria σ F non σ onarg = v (λ=0) ω > 1 izanik, onarg G onag izan behar duelako. Beraz, ω koefizientea, gilbordura-tentsio onargarria lortzeko, konpresio sinpleko tentsio onargarriari σ onarg -z zatitu behar den zenbakia izango da. G onarg = onarg ω-k konpresio-tentsio onargarria zein proportziotan gutxitu behar den 11/10/30 r3. MEE 9 9

166 frakzioa adierazten duen gilbordura-tentsio onargarria lortzeko. ω koefizienteen balioak lerdentasunaz gainera, materialaren propietateen funtzioan daude, konpresio-tentsio onargarria ere kontuan hartzen baitute. onarg Eremu plastikoan: 0 < λ < 100 = ,08 Eremu elastikoan: λ 100 = onarg TAULAK Karga onargarriaren edo efektiboaren kalkulua errazteko, w koefizienteak materialaren eta lerdentasunaren arabera tauletan biltzen dira. σ G onarg = P KONPR A σ onarg = P K A ω P K = σonarg A ω onarg 1ω =σ ω A, sekzioaren azalera σ onarg, konpresio sinplean tentsio-onargarria Karga (P) eta azalera (A) ezagunak direnean, P onarg = A bete behar da. PROZEDURA. Adibidea Datuak: P Ezezaguna: A A4b, σ onarg = 1800 kg/cm L G A 11/10/30 r3. MEE 9 10

167 11/10/30 r3. MEE 9 11