Конструкција правилних конвексних 4-политопа и њихових дводимензиналних пројекција

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Конструкција правилних конвексних 4-политопа и њихових дводимензиналних пројекција"

Transcript

1 MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7) DOI: 7/МК789D ISSN (o) ISSN (o) Конструкција правилних конвексних -политопа и њихових дводимензиналних пројекција Ратко Динић Јована Дучића х-6 Теслић Босна и Херцеговина Увод У овом се раду бавимо конструкцијама вишедимензионалних објеката Под конструкцијом се уопште подразумева низ правила на основу којих се од задатих елемената добија објекат са задатим својствима Овде се ради о геометријским конструкцијама које подразумевају одређивање задатог објекта положајем у задатом геометријском простору Ове конструкције изводимо у реалном Еуклидовом простору R n (или Е n ); у даљем тексту се овај простор означава и са n-простор Геометријске конструкције су се по Еуклиду изводиле у -простору (равни) и подразумевале су графичко предочавање равних фигура које се изводи шестаром и лењиром Овај се захтев и данас подразумева иако конструкција подразумева низ правила Положај тражене фигуре се успоставља у односу на неке утврђене фигуре у задатом простору То може бити и координатни систем простора у којем се изводи конструкција На тај начин се конструкција преноси у подручје аналитичке геометрије Користићемо и тај метод У овом раду се говори о конструкцијама фигура у просторима три или четири димензије Графичко предочавање ових фигура је једино могуће конструкцијама њихових пројекција на раван или -простор Овде ће то ипак бити пројекције на раван За овакав начин предочавања користиће се рачунарски програми и рачунарска графика која се у овом раду показала као врло ефикасан метод Основни програм је урадио сам аутор Основна фигура од које се полази у свим конструкцијама је -коцка или у Шлефлијевој ознаци политоп { } Друга фигура у редоследу конструкција је - политоп Овде је тај политоп изведен ауторском конструкцијом која је описана и доказана и представља централно место у раду Од овог политопа добијен је Госетовом конструкцијом -политоп ; ова конструкција је такође детаљно описана и доказана Од политопа се инверзијом у односу на сферу

2 MAT-KOL XXIII ()(7) (-сферу) добија политоп Све конструкције су илустроване детаљним графичким пројекцијама што читаоцу олакшава прихватање фигура -простора Опште о политопима У жељи да текст о конструкцијама правилних -политопа буде довољно потпун тј да буде задовољавајуће јасан и читаоцу који се овом приликом први пут среће са политопима простора димензије веће од даћемо неке приступе дефинисању ових објеката Дефиниција о Свака тачка је -политоп; о Свака дуж је -политоп; о Конвексни n-политоп Еуклидовог простора R n је унија N n- > n (n-)-политопа таквих да је сваки (n-)-политоп који одређује неки од (n-)-политопа заједнички за тачно два таква (n-)-политопа Коначна конвексна област n-простора ограничена скупом ових N n- (n-)-политопа се такође зове n-политоп Пример Сваки полигон је -политоп од N - > дужи при чему је сваки крај дужи (-политоп) заједнички за тачно две дужи Пример Сваки конвексни полиедар је -политоп сачињен од N - > полигона при чему је свака страница (-политоп) ових полигона заједничка за тачно два таква полигона Пример Сваки -политоп је област ограничена са N - > полиедара при чему је свака страна било ког од ових полиедара заједничка за тачно два таква полиедра На сличан начин могу се добити -политопи итд n-политопи Задате тачке које одређују n-политоп зову се темена задате дужи се зову ивице задати полигони стране задати полиедри ћелије итд Задати k-политопи (k < n) се такође зову ћелије Неки аутори и ћелије зову стране а неки их зову фацети Ова дефиниција је индуктивна и аналогна је познатим дефиницијама полигона и полиедра па је погодна за прихватање појма политопа по аналогији Дефиниција Скуп тачака а а а p Еуклидовог простора R n је линеарно независан ако из једнакости i p p i ia и i следи i p Ово је у ствари линеарна независност вектора положаја ових тачака у простору R n Дефиниција Нека су а а а p независне тачке простора R n Скуп свих x x x које задовољавају услов x n тачака 9

3 MAT-KOL XXIII ()(7) p i x ia i i p ; i i i зове се Еуклидов отворени р-симплекс или кратко р-симплекс Пример Свака тачка дужи p a a дели ту дуж у размери тј важи x a : a x : x a a x x x a : a a x x a a a x a a узимајући и следи дужи Пример За сваку тачку x троугла a a таква да је x тачка дужи x a a a a (-сомплекса) постоји тачка a (Сл ) На основу примера важи x x x Сл a a a и x a x x a Из ових једнакости следи x a a a x a a a Стављајући следи x a a a i x и a i i Дакле свака тачка троугла сличан начин се може показати да тачке тетраедра дефиниције -симплекса a a a задовољава услове дефиниције -симплекса На 9 a a a a задовољавају услове Ова дефиниција може бити од користи у одређивању неких унутрашњих тачака ћелија правилних политопа значајних за њихову конструкцију Ако се у дефиницији услов замени са добије се затворени симплекс i i

4 MAT-KOL XXIII ()(7) Теорема Отворени и затворени симплекси су конвексни подскупови простора R n Доказ Нека су p a i i a i p i i и b i a i i две произвољне тачке p -симплекса Произвољна тачка x a x b дужи ab као што је речено има облик x b a Из ових претпоставки следи x p i i i i a Како је тада показује да уз наведене претпоставке важи p 9 p i p i то је онда p i i i i i i i Дакле тачка x припада p -симплексу p i i Лако се За доказ конвексности затвореног симплекса треба дефинисати конвексни омотач скупа а затим доказати да је затворени симплекс конвексни омотач својих темена Како се у овом тексту не бавимо општом теоријом политопа то ћемо конвексност политопа узимати интуитивно уз извесна образложења (Детаљније о конвексности видети у [] ) Дефиниција Коначан скуп K s p отворених симплекса који испуњавају услов: два различита симплекса немају заједничких тачака зове се симплицијални геометријски комплекс Ако за сваки симплекс који припада комплексу важи да и свака његова ћелија припада комплексу онда је комплекс потпун Дефиниција Унија свих симплекса једног комплекса зове се тело комплекса Ако је комплекс потпун онда се његово тело зове политоп (полиедар) Овакав приступ дефинисању политопа заснован је на координатном систему простора R n па је као такав аналитички Ова дефиниција политопа није погодна за разматрање политопа у овом тексту па се неће користити (наведена је због проширења појма симплекса) Ипак симплекси овако дефинисани биће од користи Следећа дефиниција политопа је такође аналитичка и користи се у многим математичким теоријама (на пример у Линеарном програмирању) Дефиниција 6 Еуклидов политоп П n је ограничен скуп тачака чије Декартове координате задовољавају N n n линеарних неједначина bkx bk x bknxn bk k Nn чији скуп решења није празан и да међу неједначинама система нема еквивалентних Ако се једна неједначина система замени одговарајућом једначином (која је тада једначина хиперравни или n -простора) а остале неједначине система остану

5 MAT-KOL XXIII ()(7) непромењене добије се n -политоп n за који кажемо да је ћелија политопа Ако се две неједначине замене одговарајућим је-дначинама добије се n - n политоп n заједнички за тачно два политопа n којима је то једина заједничка ћелија Отуд је ова дефиниција еквивалентна дефиницији Пример 6 Систем неједначина x y x y x y одређује троугао AB који је -политоп (Сл ) A B Сл Ако се прва неједначина замени једначином x y добије се дуж АВ која је - политоп и ћелија (страница) троугла АВС Ако се и друга неједначина замени једначином x y добије се тачка А која је -политоп и заједничка је за два -политопа тј дужи АВ и АС Правилност политопа Пре него што наведемо дефиницију правилног политопа подсетимо се дефиниција правилног полигона и правилног полиедра Правилан полигон се дефинише као полигон чије су све странице једнаке и сви углови једнаки Правилан полиедар се дефинише као полиедар чије су све стране подударни правилни полигони и сви рогљеви правилни или полиедар чије су све стране правилни полигони са истим бројем страница а сви рогљеви имају исти број ивичних углова тада подударност страна следи из дефиниције а правилност рогљева из правилности страна У разматрању особина правилних полиедара рогљеви нису подесни (Видети у [] доказ теореме ) У случају политопа представљју још неподесније фигуре Уместо рогљева биће погодније увести темену фигуру 9

6 MAT-KOL XXIII ()(7) Дефиниција 7 Ако средишта свих ивица које полазе из једног темена политопа n леже у једној хиперравни тада су ова средишта темена n - политопа који се зове темена фигура На пример ако има n таквих ивица (темена фигура -коцке је троугао јер је n ) или ако сва темена политопа леже на сфери и све ивице су једнаке Дефиниција 8 Политоп n је правилан ако и само ако су све његове ћелије правилне и код сваког темена је правилна темена фигура Из ове дефиниције следи да су све ћелије подударне и све темене фигуре подударне (Видети [] ) Темене фигуре су погодне и за означавање правилних политопа ознакама које се зову Шлефлијеве ознаке и које ћемо користити у овом раду За правилан полигон који има p страница уводи се ознакаp За правилан полиедар ознака је p q где је p страна а q темена фигура Код ових политопа број q означава број страна које окружују једно теме тј те стране одређују рогаљ са q ивица; у том случају темена темене фигуре леже на ивицама овог рогља Тако је на пример правилан тетраедар коцка правилни октаедар правилни икосаедар правилни додекаедар За правилне -политопе ознаке се добијају додавањем још једног броја r тако да је за њих ознака p q r при чему је p q ћелија -политоп q r темена фигура која је такође -политоп Правилни политопи α n β n γ n Најједноставнији правилни политопи који постоје у свим n -просторима су: правилни симплекси правилни крст политопи и хиперкоцке На основу дефиниције симплекс се може схватити као унија свих дужи n - простора којима је један крај било која утврђена тачка n просто ра која не припада хиперравни n симплекса а други било која тачка тог n симплекса Унија дужи које спајају задату тачку са тачкама n ћелије тог n симплекса је n ћелија n симплекса итд Дужи које спајају задату тачку са теменима n -симплекса су ивице n симплекса Ако су све ивице симплекса једнаке онда је симплекс правилан Правилан n симплекс се може конструисати на различите начине Један начин би био да се правилни n симплекс постави тежиштем (центром) у координатни почетак тако да лежи у хиперравни одређеној са n вектора система тада се у правцу n тог вектора система (у једном или другом смеру) може одредити тачка једнако удаљена од свих темена n симплекса Спајањем те тачке са тачкама n симплекса доби-ја се n симплекс (Видети Сл ) 9

7 MAT-KOL XXIII ()(7) y z D y x O=Т A O=Т B x A B Сл Сл -симолекс АВ и -симплекс АВС -симплекс АВС и -симплекс ABD u E z D y x O=T T A B Сл : -симплекс ABD и -симплекс ABD Правилни симплекси се обично означавају са n Тако је тачка дуж итд Дефиниција 9 Нека је n политоп хиперравни n простора и нека има препознатљив центар у координатном систему тог n простора Нека су даље задате две тачке у различитим смеровима n тог вектора система на једнаком растојању од координатног почетка система Спајањем тих тачака са тачкама политопа n добија се политоп n простора који се зове дипирамида Политоп n се зове основа дипирамиде Задате тачке се зову врхови дипирамиде Дефиниција Ако су темена политопа n постављена по два на свакој оси кординатног система n простора у различитим смеровима и на једнаком растојању 9

8 MAT-KOL XXIII ()(7) од координатног почетка онда се такав политоп зове правилан крст политоп и обележава се са n Јасно је да је ивица политопа n једнака растојању темена од координатног почетка помноженом са и да има центар у координатном почетку На основу дефиниција 9 и n је дипирамида чија је основа n Овај се D А О В x A O B x Сл дуж АВ Сл : квадрат АBD E y D u H y A O B D A O B x F z E G Сл F октаедар ABDEF Сл политоп АBDEFGH закључак може користити у конструкцији n политопа Тако је дуж дипрамида чија је основа дуж а то је квадрат је дипирамида чија је основа квадрат а то је октаедар је дипирамида чија је основа октаедар итд (Сл ) 96

9 MAT-KOL XXIII ()(7) На основу претходног се може закључити да за политоп n ивице 97 његова темена представљају пермутације са понављањем чланова n -торки у координатном систему n може лако одредити и простора Број темена се из овог закључка n! n! n n! n n!! n!! n! је октаедар чија су темена ()()( ) На пример ( ) а има их 6 има 8 темена и њихове координате су Број темена ивица и осталих ћелија биће од значаја за остале политопе у -простору којима се бавимо па ћемо ове бројеве одредити за и је правилни отаедар који има 6 темена ивица и 8 троугаоних страна Ово се врло лако утврђује на основу претходног има 8 темена Једно теме -дипирамиде се спаја са 6 темена основе па таквих ивица има 6+6= Поред ових ивице од су и ивица од ; укупно ивице Свака ивица основе дипирамиде са једним њеним врхом одређује троугаону страну а како таквих ивица има то је онда укупан број троугаоних страна Овом броју треба додати и 8 страна основе па је укупно троугаоне стране Свака страна основе дипирамиде одређује са врхом тетраедарску ћелију; укупно је онда 8 = 6 тетраедарских ћелија Уобичајене ознаке за темена ивице ћелије политопа су N N N Ове ознаке ћемо и убудуће користити N 8 N N N Дакле за је N 6 Користићемо и Ојлерову формулу примењену на n поитопе коју ћемо сматрати опште-познатим тврђењем N N N n За -политопе је тада N N N N n За је лако утврдити да важи = За наш проблем најзначајнија фигура је хиперкоцка или -коцка или па ћемо навести једну њену конструкцију која ће убудуће бити најпогоднија Дефиниција Дуж чији су крајеви тачке и је једи- нична -коцка у координатном систему n простора Транслацијом n коцке у позитивном смеру n тог вектора система дужине добија се још једна n коцка Спајањем свих одговарајућих тачака ових двеју коцака дужима добија се n коцка или n Ова дефиниција је индуктивна тј транслацијом дужи се добија квадрат или - коцка транслацијом квадрата се добија -коцка (обична коцка) транслацијом - коцке се добија -коцка итд (Сл) -коцка или има Шлефлијеву ознаку Из дефиниције такође индукцијом следи да су координате темена јединичне n коцке све варијације са понављањем n -те класе од елемената и Број темена n једнак је броју ових варијација тј

10 MAT-KOL XXIII ()(7) G H F E G H E z F D B u С A D y В x О=А Сл Размотримо посебно ћелије -коцке На основу претходног -коцка има = 6 темена Узимајући општепознатим тврђење да -коцка има 8 темена ивица и 6 страна можемо одредити бројеве ћелија -коцке Како -коцка има 8 темена то онда -коцка има 8 ивица које спајају одговарајућа темена ове -коцке и њене слике добијене наведеном транслацијом и како -коцка има ивица то је онда укупан број ивица -коцке 8++ = Сваке две одговарајуће стране ових двеју -коцака одређују квадратне стране -коцке а како има 6 оваквих парова то би онда требало да оваквих страна -коцке има 6 Међутим свака ивица -коцке је заједничка за две стране па је и свака од ових квадратних страна -коцке урачуната два пута дакле оваквих страна има два пута мање тј Свака од -коцака има по 6 страна па је онда укупан број квадратних страна (-ћелија) -коцке +6+6 = Сваке две одговарајуће стране полазне -коцке и њене слике одређују једну - коцку и како оваквих парова има 6 то онда уз полазну -коцку и њену слику -коцка има 6+ = 8 -коцака (-ћелија) Према томе N 6 N N N 8 Лако се проверава да је и у овом случају задовољена Ој-лерова формула: = 98

11 MAT-KOL XXIII ()(7) Инверзија правилних политопа Из геометрије -простора (равни) познато је да се трансформација инверзија у односу на круг K O r дефинише као пресликавање које свакој тачки P O равни круга K O r придружује тачку P тако да тачке O P P леже на једној правој и да важи OP OP r Права кроз P нормална на OP се зове полара пола P и обрнуто права кроз P нормална на OP је по-лара пола P На сличан начин се дефинише инверзија у односу на сферу (хиперсферу) само што треба појам равни заменити n простором У том случају полара је хиперраван У геометрији правилних политопа се обично посматрају три сфере (хиперсфере): уписана описана и сфера средина Сфера средина је сфера која садржи средишта ивица политопа Ако се у средиштима ивица правилног политопа конструишу тангенте на сферу (хиперсферу) средина нормалне на ивице тог политопа онда се те тангенте секу у тачкама које су темена другог правилног политопа за који кажемо да је инверзан првом Темена ових политопа нису инверзне тачке већ су темена једног полови хиперравни n ћелија другог и обрнуто Инверзне тачке су темена једног и одговарајући центри n сфера описаних око n ћелија другог Према томе политоп одређен средиштима n ћелија једног правилног политопа је њему инверзан правилни политоп Оба закључка биће коришћена у овом раду Инверзни политопи имају обрнут редослед ћелија и темених фигура тј за p q r инверзан је r q p На основу Шлефлијевих ознака правилних политопа чије смо конструкције до сада описали закључујемо да су и инверзни политопи док је сам себи инверзан у ствари једном инверзан је други такође Поред ових правилних -политопа постоје још три правилна конвексна - политопа: и Такође постоји још десет правилних - политопа који нису конвексни То су звезда политопи Ми се њима овом приликом нећемо бавити О појму конструкције Под конструкцијом се у општем случају подразумева низ правила по којима се од задатих објеката добија тражени објекат са задатим особинама Овај општи приступ ћемо сузити и прилагодити политопима Дефиниција Под конструкцијом политопа подразумева се одређивање положаја његових темена и ивица у минималном n простору којем припада а на основу задатих елемената 99

12 MAT-KOL XXIII ()(7) Под положајем темена подразумева се везаност за неки утврђени објекат простора На пример за Декартов правоугли координатни систем тог простора Ми ћемо конструкције поменутих политопа изводити (неке смо већ изводили) у Декартовом координатном систему Ивице се могу одредити на основу њихових дужина у односу на задату јединичну дуж водећи рачу-на како се заснива растојање у одговарајућем n простору Дефиниција Под конструкцијом пројекције задатог политопа подразумева се одређивање продора свих правих које су у одређеном међусобном односу и које садрже темена тог политопа кроз неки одређени потпростор (хиперраван) n простора у којем се тај политоп налази Како пројекције ивица неће имати исте дужине са ивицама оригинала то ће дужи пројекције које представљају ивице бити одређене према теме-нима оригинала подразумевајући да се пројекцијом успоставља - пресликавање Ми ћемо користити паралелну пројекцију која испуњава овај услов Било би добро кад би то пресликавање преводило различита темена у различите тачке Ово се врло тешко постиже; ипак могуће је ако се проје-кцијска хиперраван погодно изабере у односу на поројекцијски зрак За конвексне -политопе (полиедре) може се доказати тврђење: Постоји раван на коју се може пројектовати ковексан полиедар тако да се два или више темена не пројектују у једну тачку и да се ниједна страна не пројектује у дуж Претпоставићемо да овакво тврђење важи и за политопе n простора при чему је n Из ових напомена је јасно да се пројекције сложенијих политопа тешко могу извести класичним техничким средствима Ове захтеве је у неким случајевима могуће испунити рачунарским програмима о којима ћемо говорити у овом тексту 6 Конструкција политопа {} Ако неки политоп има препознатљив центар (центар описане или центар уписане сфере или сфере средина) онда ћемо убудуће ту тачку звати центар или средиште политопа Теорема (основна) Средишта -ћелија (убудуће квадрата) -коцке су темена правилног политопа Доказ Нека је задата -коцка Е Е Е Е F F (Сл 6) Како су четири ивице - коцке које имају заједничко теме међусобно нормалне то су онда и равни свих квадрата одређених са по две од ових ивица међусобно нормалне Таквих квадрата тј квадрата са заједничким теменом има 6 Уочимо такве квадрате са заједничким теменом Е Наспрамна темена заједничком темену у два таква квадрата којима је заједничко теме је дина заједничка тачка су дијаметрално супротне тачке ове -коцке

13 MAT-KOL XXIII ()(7) Е B A Е A A Е A B Е A A N G F B B M G B D G D F F Сл 6 Нека су то квадрати Е Е Е Е и E F F F ; наспрамна темена темену Е у овим квадратима су редом тачке Е иf Дуж E F је главна дијагонала -коцке и пречник -сфере описане око -коцке Средишта квадрата Е Е Е Е и E F F F тачке А и М одређују средњу линију троугла Е Е F па је дуж А М једнака половини дужи E F Како је полупречник -сфере описане око -коцке једнак њеној ивици то је онда дуж А М једнака ивици коцке Познато је такође да је дијагонала правилног октаедра уписаног у -коцку једнака ивици коцке Према томе тачке А и М могу бити темена правилног октаедра уписаног у -коцку која припада овој -коцки Остала четири квадрата који садрже теме Е имају по једну заједничку страницу са сваким од ова два квадрата Растојања средишта два квадрата -коцке који имају заједничку страницу једнако је половини њихове дијагонале Како је и ивица правилног октаедра уписаног у - коцку једнака половини дијагонале стране то су онда средишта ова четири квадрата темена правилног октаедра То је на Сл 6 октаедар А А А М В В Дакле ако постоји правилан -политоп коме су ове тачке темена онда његова -ћелија мора бити правилан октаедар Поступак можемо наставити даље окружујући квадрат Е Е Е Е квадратима који са њим имају само заједничко теме Уочимо такав квадрат E G G G Средиште тога квадрата тачка N је теме другог октаедра На исти начин као у претходном случају добијају се још четири темена овог октаедра А А В и В па је и правилни октаедар А А А N B B могућа -ћелија правилног -политопа

14 MAT-KOL XXIII ()(7) Из ове конструкције је јасно да ова два октаедра имају заједничку троугаону страну А А В Ако би постојао још један октаедар који садржи страну А А В онда би његово теме наспрамно темену А морало да припада квадрату који са квадратом Е Е Е Е има само заједничко теме Е што је немогуће јер према претходном постоји само један такав квадрат Према томе заједничка страна два октаедра А А А М В В и А А А N B B припада само њима Настављајући овај поступак за темена Е и Е добијају се још два октаедра са заједничком страном Квадрат Е Е Е Е је заједничка страна двеју -коцака Наспрамни квадрати ових коцака квадрату Е Е Е Е имају средишта на растојању од А једнаком ивици коцке; на Сл 6 то су тачке В и А Средишта осталих страна ове две коцке према познатом тврђењу из геометрије -простора представљају темена два правилна октаедра То су октаедри А А А А А А и В А А А А А (Сл 6) Из конструкције је јасно да октаедри А А А А А А и А А А N В В имају заједничку страну А А А а октаедри А В В В В В и А А А М В В имају заједничку страну А В В Такође октаедри А А А N В В и А В В В В В имају заједничку страну А В В а октаедри А А А М В В и А А А А А А имају заједничку страну А А А На овај начин је теме А окружено са шест правилних октаедара тако да је свака страна ових октаедара којој је теме А заједничка за тачно два таква октаедра Настављајући овај поступак за средишта осталих квадрата а искључујући већ добијене октаедре добија се скуп октаедара такав да је страна сваког октаедра заједничка за тачно два од њих па такав скуп октаедара огра-ничава један део -простора Сл 7: уписан у -коцку

15 MAT-KOL XXIII ()(7) Дакле овако добијени елементи представљају политоп чије су -ћелије правилни октаедри а -ћелије једнакостранични троуглови Како је темена фигура правилног октаедра квадрат и како шест повезаних октаедара окружују теме А то су онда и странице темених фигура повезане тако да је страница сваког квадрата заједничка за тачно два квадрата а тако добијена фигура може бити само -коцка На Сл 6 то је коцка А А А А В В В В Према томе ћелије добијеног -политопа су правилни октаедри а темене фигуре -коцке па је на основу дефиниције 8 политоп правилан На основу Шлефлијеве ознаке за ћелију и за темену фигуру следи Шлефлијева ознака за овај политоп Крај доказа Како -коцка има -ћелије (квадрата) то онда има темена Свако теме је заједничко за 6 -ћелија (октаедара) то би онда ћелија било 6 а како 6 таквих тачака одређују октаедар то је онда укупан број -ћелија Како сваки октаедар има 8 страна а укупан број ћелија политопа је то би онда укупан број страна био 8 међутим свака страна је заједничка за тачно две ћелије то је онда број страна два пута мањи па је укупан број -ћелија (страна) једнак 96 Како код сваког темена политопа постоје два октаедра којима је то теме једина заједничка тачка а сваки од њих има ивице којима је то заједнички крај а остали октаедри повезују ова два тј одређени су са две ивице једног и две ивице другог па међу њима нема нових ивица Према томе за свако теме постоји 8 ивица којима је то један крај Свака ивица повезује два темена па је укупан број ивица 8 96 Коначно N N 96 N 96 N Лако се проверава да је Ојлерова формула задовољена: = 7 Повезано индексирање и одстрањивање делова политопа Сл 8 Ивице октаедра код једног темена се могу усмерити од тог темена или према том темену Ако су ивице код сваког темена оријентисане тако да од две ивице које припадају истој страни једна буде оријентисана од темена а друга према темену а

16 MAT-KOL XXIII ()(7) тада су наспрамне ивице које су међусобно нормалне оријентисане обе или од темена или према темену онда се таква оријентација ивица октаедра зове повезано индексирање октаедра (Сл 7) Свака страна октаедра је тада оријентисана или позитивно или негативно гле-дано из спољашности октаедра на видљиве стране Политоп има ћелије и све су октаедри Свака страна октаедра је заједничка за тачно два октаедра Ако смо ивице једног октаедра оријен-тисали на преткодни начин онда заједничка страна имплицира оријентисање ивица другог задржавајући оријентацију првог Заједничка страна је за један октаедар позитивно а за други негативно оријентисана Овакав поступак оријентисања се може наставити до последњег од октаедара политопа Овакво оријентисање ивица политопа зове се повезано индексирање политопа У добијању полуправилних полиедара се често користе одстрањивања делова правилних полиедара Та одстрањивања могу бити изведена на више начина (Видети [] стр ) Код политопа се та одстрањивања могу извести на сличан начин Један начин таквог одстрањивања делова правилног политопа је да се одстрани свака пирамида чија је основа темена фигура а врх одговарајуће теме политопа; тај поступак се зове зарубљивање Зарубљивањем политопа добија се политоп у ознаци чије су ћелије коцке (темене фигуре од ) и кубоктаедара (остаци од октаедара) За наш проблем ова фигура неће бити од посебног значаја већ једна -фигура која настаје деформацијом темене фигуре од Темена фигура политопа се може са шест дијагонала својих страна разложити на је-дан правилни тетраедар чије су ивице те дијагонале и на четири пирамиде чије су основе стране тетраедра а врх основи најближе теме коцке (Сл8) На слици су ивице тетраедра представљене испрекиданом линијом Сл 9 8 Деформисани квадрат и тело остатка октаедра Дефиниција Ако се ивице правилног октаедра поделе у размери a : b у смеру добијеном повезаним индексирањем онда подеоне тачке код сваког темена октаедра одређују замену за темену фигуру коју ћемо звати деформисани

17 MAT-KOL XXIII ()(7) квадрат Дужи које спајају несуседна темена деформисаног квадрата зваћемо дијагонале Напомена: Ако је a : b онда је то темена фигура октаедра Деформација се може објаснити на следећи начин Квадрат се развуче у ромб а затим се раван квадрата савије по једној дијагонали На тај начин се добије просторни полигон Убудуће ћемо реч деформисан писати без наводника Теорема Ако се у дефиницији изабере размера : (златни пресек) онда се добије деформисани квадрат чија је једна дијагонала једнака страници Доказ Нека је ивица правилног октаедра једнака Ако се ова јединична дуж подели у размери : онда је већи део а мањи Страница a деформисаног квадрата припада страни октаедра и страница је троугла чије су две странице и а угао који заклапају је угао стране октаедра тј 6 A A A A A Сл На Сл то је на пример троугао А С С Косинусном теоремом се добија: a cos 6 6 a 8 Мања дијагонала деформисаног квадрата је хипотенуза правоуглог троугла (на Сл и то је троугао А С С ) чије су катете јер су наспрамне ивице нормалне па је

18 MAT-KOL XXIII ()(7) d A Сл Дакле a d Крај доказа Теорема Ако се од правилног октаедра одстране све пирамиде чије су основе једнакостранични троуглови који чине деформисани квадрат од октаедра остаје тело које је правилни икосаедар Доказ Ако се од правилног октаедра одстране све пирамиде чије су основе јенакостранични троуглови који чине деформисани квадрат а то су троуглови чије су две странице странице деформисаног квадрата а трећа мања дијагонала онда је тело остатка октаедра ограничено и тим троугловима На Сл 9 и 9 то су код темена А пирамиде А С С С и А С С С Како октаедар има шест темена то ће од октаедра бити одстрањено таквих пирамида а тело остатка биће ограничено и њиховим основама тј са једнакостраничних троуглова Овим одстрањивањем од сваке стране октаедра остаје једнакостранични троугао подударан претходним троугловима Како страна октаедра има 8 то ће и ових 8 троуглова бити стране тела остатка Према томе тело остатка правилног октаедра је ограничено са једнакостраничних троуглова Јасно је да су сви ивични углови рогљева тела остатка једнаки (6 ) а уз мало рачуна се може показати да су и сви диедри рогљева једнаки А А М A М А Сл 6 Р А

19 MAT-KOL XXIII ()(7) 7 Нека је је С С С С деформисани квадрат октаедра на Сл Троуглови С С С и С С С су и стране тела остатка октаедра Нека је тачка М подножје нормале из С на С С Тада је М подножје нормале и из С на С С Угао диедра одређеног овим странама је угао С МС = φ У троуглу С С М страница наспрам угла С МС је С С Тачке С и С се налазе на норма-лним ивицама октаедра А А и А А редом на растојању од тачке А Тада је Нека је М подножје нормале из М на С С Та-да је С ММ једнако а троугао С ММ правоугли са правим углом код М па је 6 sin M Према томе је угао диедра правилног икосаедра (Видети [] стр ) Треба доказати да и стране тела остатка којима заједничка страница није дијагонала деформисаног квадрата одређују диедар чији је угао У том случају уочимо троугао А А С (Сл ) Из троугла А А С се косинусном теремом добија cos 6 A Тада је A А С је хипотенуза правоуглог троугла А А С па је A Тада за угао С А А = ψ троугла А А С важи cos A A A A A A A cos Из ове једначине следи cos Тачка Р ивице А А добијена је поделом од А према А тј теме остатка тела октаедра С С Р је страна суседна страни С С С Из троугла А С Р следи cos P A A P A A P Даље је P P P

20 MAT-KOL XXIII ()(7) Дакле растојање између слободних темена троугаоних страна С С Р и С С С је исто као и у првом случају Одређивање угла диедра је исто као и у првом случају и даје исти резултат Према томе тело остатка октаедра је правилни икосаедар Крај доказа 9 Деформисана коцка политопа {} Теорема Нека су ивице политопа повезано индексиране и нека су код сваког темена одстрањене пирамиде октаедара на основу теореме Тада је тело остатка једним делом сачињено од -фигура које су уније од по пет правилних тетраедара А С С А А А С С D А В D В D В В D Сл Доказ Нека су ивице политопа повезано индексиране и нека су код сваког темена одстрањене пирамиде октаедара на основу теореме Код једног темена политопа постоје две групе од по четири ивице при чему су ивице у једној групи међусобно нормалне У једној од тих група се налазе ивице на којима су тачке које одређују дијагонале деформисаних квадрата једнаке страници Сваке две ивице одређују једну дијагоналу а како парова ивица има 6 онда има и 6 дијагонала Из сваке тачке на ивици полазе три дијагонале јер ако се једна изабере 8

21 MAT-KOL XXIII ()(7) онда остају још три које се могу спојити са изабраном тачком Како су три ивице међусобно нормалне то онда не леже у истој равни па ни наведене дијагонале не леже у истој равни Дакле ових 6 дијагонала одређују правилан тетраедар На Сл то је тетраедар D D Ивице су му представљене подебљаним испрекиданим линијама На ивицама из друге групе које су на други начин оријентисане повезаним индексирањем налазе се још тачке Сваку ивицу политопа окружују три октаедра па и сваку од ивица друге групе Заједничке стране од по два таква октаедра садрже изабрану ивицу Таквих страна такође има три У свакој од тих страна постоји једна тачка из прве групе која је на растојању од тачке на изабраној ивици једнаком страници деформисаног квадрата Дакле свака тачка из друге групе заједно са три тачке из прве групе (страном већ одређеног тетраедра) одређује правилан тетраедар подударан тетраедру одређеном дијагоналама дефор-мисаних квадрата Оваквих тетраедара има четири и повезани су са тетрае-дром дијагонала (убудуће централним тетраедром) једном страном Докажимо да је унија ових пет тетраедара -фигура тј да ових 8 тачака не леже у истом -простору Претпоставимо супротно тј нека свих 8 тачака припадају истом -простору Нека је централни тетраедар (тетраедар чије су ивице дијагонале деформисаних квадрата) D D (Сл ) и нека су D D и D D тетраедри који редом имају заједничке стране са централни тетраедром D и D Нормале из темена и D ова два тетраедра на заједничке D O O O D D Сл стране са централним тетраедром пролазе кроз центре (тежишта) О и О страна D и D и секу се у центру (тежишту) О централног тетраедра D D јер су су сва три тетраедра у истом -простору Тада су дужи O D и О С висине правилних тетраедара једнаких ивица па су њи-хове дужине O D O a где је a дужина ивице (Видети [] стр ) Дужи ОО и ОО су полупречници уписаних сфера у правилни тетраедар чија је дужина 9

22 MAT-KOL XXIII ()(7) a Тада је OD O a a a Угао који заклапају ове нормале је суплементан углу диедра правилног тетраедра 6 и за тај угао важи cos Троугао O D је једнакокраки са основицом D и углом наспрам основице 8 -φ У теореми претпостављено је да је ивица октаедра и да је тада ивица тетраедра једнака (видети теорему ) то је онда D 8 O sin D sin9 cos D 6 Међутим тачке D и С леже на нормалним ивицама политопа на растојању од темена А па је D Лако се показује да ове две вредности нису једнаке па тачке D и С не припадају -простору тачака прве групе Из ових закључака следи да је фигура добијена описа-ним поступком четвородимензионална фигура сатављена од правилних тетраедара Ову фигуру можемо звати деформисана коцка или замена за темену фигуру Крај доказа Политоп П{} Теорема 6 Нека су ивице политопа подељене по златном пресеку у складу са повезаним индексирањем и нека су код сваког темена одстрањене све пирамиде према теореми Тада је тело остатка -политоп чије су ћелије правилни икосаедри и правилни тетраедри Доказ На основу теорема и одстрањивањем пирамида добија се -фигура сачињена од правилних икосаедара (остаци од октаедара) и правилних тетраедара на које су разложене деформисане коцке (замене за темене фигуре) Докажимо да је свака страна (троугаона) икосаедара или тетраедара заједничка за тачно две од ових фигура Како је свака страна октедара који је ћелија од заједничка за тачно два октаедра то је онда и свака страна икосаедара добијена од стране октаедра заједничка за тачно два икосаедра Остале стране икосаедара су основе одстрањених пирамида Таквих страна има за свако теме поли-топа јер темена фигура политопа има 6 квадратних страна којима одговарају 6 деформисаних квадрата деформисане коцке који су сачињени од по два једнакостранична троугла Свака таква страна је заједничка за један икосаедар и један тетраедар деформисане коцке На основу доказа теореме свака страна централног тетраедра

23 MAT-KOL XXIII ()(7) деформисане коцке припада још само једном тетраедру Према томе свака страна икосаедара или тетраедара је заједничка или за два икосаедра или за два тетраедра или за један икосаедар и један тетраедар Из овог закључка следи да унија свих ових правилних икосаедара и тетраедара ограничава један део -простора па је добијена -фигура један -политоп -ћелије овог политопа су правилни икосаедри и правилни тетраедри а -ћелије су једнакостранични троуглови Све -ћелије овог политопа су правилне али међусобно нису подударне Крај доказа Сл : П Како политоп има 96 ивица а на свакој од њих се налази по једно теме то онда добијени политоп има 96 темена има октаедарске ћелије а од сваке се добија по једна икосаедарска ћелија па добијени поли-топ има икосаедарске ћелије Деформисану коцку чине тетраедарских ћелија а ових фигура има колико и темена од то онда тетраедар-ских ћелија има = Укупан број - ћелија је онда + = Како икосаедар има троугаоних страна а тетраедар то би онда укупан број труогаоних ћелија био + = 96 међутим свака троугаона страна је заједничка за две ћелије па је укупан број -ћелија овог

24 MAT-KOL XXIII ()(7) политопа 8 Речено је да сваку ивицу политопа окружују три октаедра па је свако теме добијеног политопа заједничко за три икосаедра од којих свака два имају заједничку страну чије две ивице садрже заједничко теме; према томе 6 ивица страна ових икосаедара добијених од страна октаедара садрже заједничко теме Поред ових ивица постоји још по једна ивица сваког од ова три икосаедра одређена дијагоналом деформисаног квадрата које са-држе заједничко теме Дакле из једног темена добијеног политопа полази 9 ивица Укупан број ивица је тада (9 96): = Тако смо добили N = 96 N = N = 8 N = Лако се проверава Ојлерова формула = Како из једног темена овог политопа полази 9 ивица то онда темена фигура има 9 темена а како не постоји правилан полиедар са 9 темена то онда темене фигуре нису правилне Ивице темене фигуре су средње линије троугаоних страна које су једнакостранични троуглови па су међусобно једнаке На основу симетрија политопа могу се извести симетрије добијеног политопа а из тога подударност темених фигура (Видети [] Поглавље VII) Аналогно полуправилним полиедрима (видети [] стр -) овако добијени -политоп може да се зове полуправилни означићемо га са П Госетова конструкција политопа {} У неким претходним конструкцијама смо тражене објекте положајем постављали у Декартов правоугли координатни систем док за неке то није експлицитно урађено На пример конструкције су изведене у координатном систему док су конструкције политопа и П изведене од -коцке за коју није прецизиран положај у координатном систему тј те конструкције можемо сматрати синтетичким Конструкције преостала два правилна -политопа и њихових пројекција на раван извешћемо у Декартовом правоуглом координатном систему Предочавање ових политопа могуће је извести и синтетички помоћу њихових пресека са посебним рав-нима или њихових пројекција на посебну раван (Видети [] поглавље XIII) Како се конструкције свих ових политопа осим и изводе одређеним редоследом полазећи од (-коцке) то ћемо као полазну фигуру узети јединичну -коцку конструисану у координатном систему на основу дефиниције у одељку Темена тако конструисане коцке су све варијације са понављањем четврте класе од елемената и То можемо записати и на следећи начин ( k -k ) k = ; где k значи да у тој уређеној четворки има k нула Нека су x i i координатне осе Једначине -простора који садрже ћелије (-коцке) од -коцке су x или x i Неки парови ових -простора одређују раван -ћелије (квадратне i стране) -коцке x x i ; k i i k Таквих парова има 6 x i xk i ; k i Дакле још три групе са по 6 парова Укупно парова Толико има и квадратних страна -коцке Средишта квадрата се налазе у i x x јер су то комбинације без понављања x i xk i k

25 MAT-KOL XXIII ()(7) пресеку симетрала страница а како су то јединични квадрати то су онда две координате средишта једнаке Друге две координате су одређене паровима - простора који садрже раван ква-дратне стране тј те координате су или Према томе средишта квадра-тних страна -коцке су уређене четворке скупова и Те уређене четворке се сада могу схватити као пермутације са понављањем У првом скупу има два елемента и сваки се понавља два пута! Дакле први скуп одређује 6 тачака Други има три елемента при чему се!!! један елемент понавља два пута па је на овај начин одређеено тачака!! Трећа група је слична првој па она одређује 6 тачака Коначно на овај начин је одређено средишта квадратних страна -коцке у координатном систему На основу теореме одељак 6 ове тачке су темена политопа (видети Сл 7) Да бисмо одредили координате темена политопа П (конструисали овај политоп) потребно је извршити повезано индексирање ивица политопа а затим поделом ивица по златном пресеку одредити темена политопа П Ово се може урадити на два начина Први начин би био да се постепено изводи повезано индексирање уз помоћ графичке пројекције и упоредо са тим одређују темена овог политопа Овај се поступак у даљем току знатно компликује због слабе видљивости која је условљена великим бројем дужи и тачака Други начин би био да се поступак повери рачунарском програму Ми се овом приликом опредељујемо за други начин док ћемо први начин провести за једну ћелију Посматрајмо -коцку јединичне -коцке одређену координатним осама x y z (Сл ) Тада је четврта координата у том -простору Октаедарска ћелија политопа у том простору има темена: A A A A A A 6 Треба напоменути да је сада ивица октаедра тј ивица политопа дужине јер је ивица коцке Повезано индексирање почињемо са ивицом А А коју оријентишемо од А према А Ознака А -А Тачку В икосаедарске ћелије добићемо поделом дужи А А од А према А у размери политопа П :

26 MAT-KOL XXIII ()(7) A 6 B B S B 9 z B A B 8 B 7 A A S B 6 B B A B B B u y A x Сл x y z u Према томе је B На основу правила повезаног индексирања ивица А А биће оријентисана од А према А јер су ивице А А и А А нормалне што се лако проверава Наиме A A A A A A A A За тачку В тада важи

27 MAT-KOL XXIII ()(7) 6 x y z u Према томе B Ивица А А биће оријентисана од А према А па за тачку В важи x y z u Дакле B Ивица А А оријентисана је од А према А тј важи А -А па је x y z u B Како је А -А и тачке А А и А леже у истој страни октаедра то је онда А -А па су координате за тачку В следће x y

28 MAT-KOL XXIII ()(7) 6 z u B На сличан начин се одређују и остала темена ове икосаедарске ћелије политопа П 6 B 7 B 8 B 9 B B B B Темена ове икосаедарске ћелије могу се сврстати у четири групе: в) B B B а) 6 B ; B B ; б) 7 B B B ; г) 8 B 9 B B Из конструкције је јасно да је четврта координата сваке тачке За остале три координате се уочава да се тачке В и В добијају цикличним померањем прве три координате темена В редом На исти начин се од темена В 6 добијају темена В и В а од В 7 темена В и В и од темена В 8 темена В 9 и В Дакле сва темена ове икосаедарске ћелије се могу добити од В В 6 В 7 и В 8 Ова икосаедарска ћелија политопа П уписана је у октаедарску ћелију политопа а ова у -коцку ћелију -коцке Ћелија -коцке има 8 и две од њих могу имати само заједничку страну а тада октаедарске ћелије политопа могу имати само заједничку тачку док икосаедарске ћелије политопа П тада немају заједничких тачака Према томе овако дибијених икосаедарских ћелија политопа П има 8 и како сва-ка од њих има темена то је онда добијено 8 = 96 темена овог политопа Како је већ речено П има укупно 96 темена то би се онда овим поступком добила сва темена овог политопа Координате темена осталих икосаедарских ћелија

29 MAT-KOL XXIII ()(7) се могу добити од темена ове икосаедарске ћелије Да бисмо то показали размотримо мрежу -коцке (видети [] стр 7) u 7 u 8 y 6 z x u Сл Тачке -коцке (Сл ) имају u-координату и у тој коцки је добијена прва икосаедарска ћелија Коцка има y координату док је u-координата због симетрије једнака одговарајућој y-координати коцке Према томе коцке и имају исте бројеве за координате само што су код коцке то прва друга и трећа а код коцке прва друга и четврта Слично је и код коцака и само је код њих четврта односно друга координата Дакле ове четири коцке имају исте бројеве за координате само што им је друга односно четврта координата редом и Према томе икосаедри који се налазе у коцкама и добијају се цикличним померањем координата различитих од и тачака В В 6 В 7 и В 8 при чему су друга односно четврта координата или Полазећи од једног добијеног икосаедра и прелазећи на остале ћелије политопа и водећи рачуна о преношењу повезаног индексирања добијају се темена осталих икосаедарских ћелија политопа П Упоређивањем тога резултата са теменима В В 6 В 7 и В 8 може се закључити да се за икосаедре у коцкама координате добијају кад се за прву односно трећу координату узме или затим у тачкама В В 6 В 7 и В 8 координате различите од 7

30 MAT-KOL XXIII ()(7) 8 и од и од замене места и на крају изврши циклично померање координата различитих од и На тај начин се сва темена политопа П могу добити од темена В В 6 В 7 и В 8 (Видети и [] стр 6-7 имајући на уму да су тамо координате полазне -коцке задате нешто другачије) Теорема 7 Око политопа П се може описати сфера Доказ Центар -коцке је уједно и центар политопа јер су његова темена центри -ћелија (равних страна) -коцке То је тачка S Речено је да су координате темена политопа (видети стр 9) све пермутације са понављањем скупова и Растојања тих темена од тачке Ѕ су: за прву групу ; за другу групу ; за трећу групу Дакле сва темена политопа су удаљена од тачке Ѕ за вредност Према томе око политопа се може описати -сфера са центром Ѕ и полупречником R Приметимо да је полупречник ове сфере једнак ивици политопа У претходном закључку је речено да се темена политопа П могу добити од темена В В 6 В 7 В 8 па је онда довољно показати да су њихова растојања од тачке Ѕ једнака SB

31 MAT-KOL XXIII ()(7) 9 6 SB 7 SB 8 SB SB SB SB SB Дакле темена В В 6 В 7 В 8 а на основу претходног су и сва остала темена политопа П једнако удаљена од тачке Ѕ па је -сфера чији је центар тачка Ѕ а полупречник R описана око политопа П Крај доказа Теорема 8 За сваку икосаедарску ћелију политопа П постоји тачка у - простору која је у спољашњој области политопа и на растојању од сваког темена те ћелије једнаком ивици овог политопа Доказ Посматрајмо икосаедарску ћелију В В В В 6 В 7 В 8 В политопа П добијену од октаедарске ћелије А А А А А А 6 политопа (Сл ) Центар овог октаедра је центар јединичне -коцке одређене осама z y x а то је тачка S Докажимо да је Ѕ центар и икосаедра Тачка Ѕ је и центар уписане сфере у октаедар па се налази у унутрашњој области одређеној и равнима икосаедарских страна које леже у странама октаедратачка Ѕ је на растојању од темена октаедра једнаком половини дијагонале октеадра а то је јер је ивица октаедра Растојање темена октаедра до ивице диедра икосаедарских страна које не припадају странама октаедра је висина правоуглог троугла чије су катете која одговатра хипотенузи и једнака њеној половини Дакле растојање

32 MAT-KOL XXIII ()(7) темена од ивице диедра (дијагонале деформисаног квадрата) је а то је једнако што је мање од Према томе теме октаедра и тачка Ѕ су са различитих страна ивице диедра одређеног поменутим странама икосаедра Из тога следи да тачка Ѕ лежи у унутрашњости диедра икосаедра а самим тим и у унутрашњости икосаедра Одредимо растојања темена икосаедра од тачке Ѕ B S SB На исти начин се показује да су и остала темена на растојању Према томе тачка Ѕ је центар а је полупречник описане сфере око икосаедра В В В Ивица икосаедра је полупречник сфере око икосаедра је Овај резултат је сагласан претходно добијеном резултату Вектор SS је нормалан на сваки вектор -простора који са-држи икосаедарску ћелију В В В јер сваки вектор овог простора има четврту координату а вектор SS има прве три координате па ће њихов скаларни производ бити Према томе вектор SS је нормалан на -простор који садржи икосаедарску ћелију Ако постоји тачка са наведеним својством онда она мора да се налази на правој ЅЅ и да су та тачка и

33 MAT-KOL XXIII ()(7) тачка Ѕ са различитих страна -простора икосаедарске ћелије Претпоставимо да је то тачка С за коју важи B Тада важи B S B S На основу претходног резултата следи: 6 S 9 Како је SS а распоред је S S то је онда S SS S Дакле тачка С лежи на сфери описаној око политопа П и да је B i i B i су темена икосаедарске ћелије Координате тачке С се могу одредити на следећи начин Како је S S SS и како је SS S S то онда тачка Ѕ дели дуж ЅС у размери : па за координате тачака Ѕ Ѕ С важи x x x Остале координате тачке С су y z u Према томе тачка С има координате На исти начин се могу одредити остале тачке i i које испуњавају наведени ус-лов за сваку икосаедарску ћелију политопа П Крај доказа Теорема 9 Темена политопа П и све тачке i i које испуњавају услов теореме 8 представљају темена правилног -политопа

34 MAT-KOL XXIII ()(7) Доказ Скуп тачака састављен од темена политопа П и тачака i i има 96+ = тачака Свака тачка i са троугаоним странама одговара-јућег икосаедра одређује нових правилних тетраедара Укупан број нових тетредара је = 8 - B A A B M A B A D A Сл 6 B A A M B A A B D A Сл 6

35 MAT-KOL XXIII ()(7) Свака страна икосаедарске ћелије политопа политопа П Нека је једна троугаона страна заједничка за две икоса-едарске ћелије Тада она са одговарајућим тачкама овим икосаедрима одређује два од нових тетраедара којима је она i заједничка страна Нека је страна икосаедарске ћелије заједничка са тетраедарском ћелијом политопа П Тада је та страна заједничка само једном од нових тетраедара који је одређен том страном и одговарајућом тачком i икосаедарској ћелији политопа П Свака ивица икосаедарске ћелије са одговарајућом тачком одређује једну троугаону страну Како је свака ивица икосаедра заједничка i за тачно две стране икосаедра то је онда поменута страна заједничка за тачно два од нових тетраедара Већ је показано да је свака страна тетраедарских ћелија политопа П заједничка за тачно два тетраедра Према томе све ћелије добијене од темена политопа П и тачака i су правилни тетраедри и свака њихова страна је заједничка за тачно два тетраедра Дакле на овај начин је добијен -политоп чије су ћелије правилни те-траедри Докажимо да су темене фигуре добијеног -политопа правилни полиедри За темена важи да је свако спојено ивицом са једним правилним икосаедром и да су i то једине ивице које полазе из таквог темена Средишта тих ивица су темена полиедра сличног поменутом икосаедру па је онда и тај полиедар правилни икосаедар Дакле темене фигуре код темена су правилни икосаедри Да бисмо доказали да су темене фигуре код осталих темена добијеног политопа правилни икосаедри размотримо најпре темене фигуре политопа П Нека је М било које теме политопа П (Сл 6 ) Тада тачка М припада трима икосаедрима од којих свака два имају заједничку страну (видети одељак стр 8) којима је М заједничко теме Свако теме икосаедра је ивицом спојено са пет његових темена која су темена правилног петоугла Заједничка страна два икосаедра има две странице којима је један крај тачка М а трећа је једна од страница петоуглова добијених од темена једног и другог икосаедра Према томе свака два од три петоугла одређених тачком М и овим трима икосаедрима имају заједничку страни-цу и не леже у истој равни јер су то основе правилних петостраних пира-мида које имају само једну заједничку бочну страну На Сл 6 и 6 су то петоуглови А А А А А А А В В В и А А В В D Ако је А А заједничка страница петоуглова А А А А А и А А В В В онда заједничка ивица петоуглова А А А А А и А А В В D може бити А А а петоуглова А А В В В и А А В В D В В или су то редом ивице А А и В В То за-виси од положаја тачака А и А према тачки М и крајевима ивице политопа која садржи тачку М Нека су крајеви те ивице тачке P и Q Ако тачка М дели дуж PQ у размери : а тачка А дели одговарајућу ивицу политопа из P у размери : тј PA PM онда су странице А А и А В дијагонале деформисаних квадрата Тада је и А В дијагонала деформисаног квадрата Како су дијагонале i

36 MAT-KOL XXIII ()(7) деформисаних квадрата једнаке ивици политопа то је онда и дуж А В страница петоугла а троугао А А В је једнакостранични B A A M B A B A D A Сл 7 Ако ово није испуњено онда важи други случај Симетријом петоуглова А А А А А и А А В В В у односу на симетралну раван ивице А А следи да је и троугао А А В једнакостранични На исти начин се закључује да су и троуглови А А D и B B D једнакостранични па је онда и троугао А В D једнакостранични B A A M B A Ѕ B A D A Сл 7 Ѕ

37 MAT-KOL XXIII ()(7) Дужи А D B D и А В нису странице ових петоуглова али су ивице политопа П На овај начин је добијен полиедар који има 9 темена јер из темена М полази 9 ивица политопа П и који је ограничен са три правилна петоугла и пет једнакостраничних троуглова Темена фигура политопа П је полиедар чија су темена средишта ових 9 ивица а онда је то по-лиедар сличан добијеном полиедру Према томе темена фигура политопа П је полиедар ограничен са три правилна петоугла и пет једнакостраничних троуглова Нека је политоп П допуњен са нова темена i Нека су даље С С С тачке из скупа i i које одговарају икосаедрима који садрже тачку М (Сл 7 и 7 ) Тада из тачке М полази ивица које спајају темена новог политопа са тачком М Свака од тачкака С С и С са одговарајућим петоуглом полиедра А А В В В D одређује пет једнако-страничних троуглова; укупно једнакостраничних троуглова Узимајући и пет троуглова одређених теменима ова три петоугла укупан број тро-углова одређених са тачака А А В В В D С С С је Страница сваког троугла је заједничка за тачно два троугла јер су тро-углова бочне стране петостраних пирамида које имају различите врхове а основе могу имати само заједничку ивицу За четири од осталих пет троуглова је показано да су једнаким ивицама повезани са петоугловима а пети троугао је повезан са три троугла Према томе ових темена одређују полиедар чије су стране једнакостраничних троуглова Нека је Ѕ среди-ште -сфере описане око добијеног политопа тј и око политопа П и нека је на пр С једно од темена добијеног политопа Нека је даље Ѕ подножје нормале из С на полупречник ЅМ -сфере (Сл 7 ) Означимо са x дужину дужи Ѕ М а са y дужину дужи Ѕ С Тада је M ивица добијеног политопа а SM S полупречник описане -сфере Из правоуглих троуглова МЅ С и ЅЅ С следи x y и x y Решавањем овог система добија се x и y Дакле дуж Ѕ С је има дужину једнаку полупречнику описане сфере око икосаедра ивице На основу доказа теореме 8 следи да су и остале тачке полиедра удаљене од тачке Ѕ за дужину полупречника сфере описане око икосаедра ивице Према томе полиедар А А В В В D С С С је правилни икосаедар Темена фигура која одговара темену М је полиедар сличан овом па је и он правилан икосаедар Како је М произвољно теме то је онда свака темена фигура добијеног -политопа правилни икосаедар Како су ћелије (већ речено) правилни тетраедри то је онда добијени -политоп правилан чија је Шлефлијева ознака Крај доказа теореме 9

38 MAT-KOL XXIII ()(7) Подсетимо да политоп П има 96 темена ивице 8 троугаоних страна и икосаедарске и тетраедарских ћелија На основу проведеног доказа теореме 9 политоп има 96+ = темена + = 6 тетраедарских ћелија Из сваког темена полази ивица и како се на тај начин свака ивица рачуна два пута то је онда њихов број 7 На основу Ојлерове формуле је 7 N 6 па је N = Дакле N = N = 7 N = N = 6 Политоп {} Како је је политоп правилан то онда на основу инверзије прави-лних политопа постоји њему инверзан (видети одељак стр ) Иверзан политоп политопу је политоп Темена политопа су центри (тежишта) тетраедарских ћелија политопа Ћелије овог политопа су правилни додекаедри равне стране (-ћелије) правилни петоуглови Сл 8 6

39 MAT-KOL XXIII ()(7) На основу инверзије ова два политопа следи да политоп има N 6 темена N ивица N 7 петоугаоних страна и N додекаедарских ћелија (Сл 8) Пројекције политопа и њихове конструкције У физичком свету који нас окружује често постављамо на изглед једноставно питање: Какав је свет који нас окружује? Колико димензија има? На ова питања би се могло одговорити питањем: Како доживљавамо и представљамо објекте који нас окружују? Удаљене просторне објекте најчешће представљамо равним фигурама али и неке објекте из ближе околине представљамо равним фигурама За неке просторне објекте правимо тродимензионалне моделе који су погоднији за уочавање значајних карактери-стика посматраних објеката Први начин би се могао окарактерисати као пројекција док би други представљао трансформацију сличности али и као пројекција (на пример пројекција на сферу) У овом кратком разма-трању очигледно мислимо на просторе од две или три димензије које можемо визуелно да доживимо За објекте у просторима димензија већих од три израда модела у тим просторима није могућа За визуелно представљање таквих објеката преостају само пројекције и пресеци са хиперравнима тог простора Ми се овом приликом бавимо само пројекцијама Дефиниција Под пројекцијом фигуре F n простора на хиперраван подразумева се скуп свих продора правих које су у неком посебном међусобном односу (све су паралелне или се све секу у истој тачки) при чему свака од изабраних правих садржи бар једну тачку фигуре F кроз неку хиперраван ( k простор k n ) Скуп свих тачака продора зове се пројекција фигуре F на k простор а k простор пројекцијска хиперраван Може се дати још општија дефиниција ако се појам права замени са n k простором Политопи су фигуре које имају најједноставније пројекције Наиме за њих је довољно одредити пројекције њихових темена и утврдити које су дужи одређене теменима ивице У овом раду односно у рачунарском програму користимо пројекције -политопа на -простор (хиперраван) и на -простор (раван) При чему је крајњи циљ пројекција на раван Да би се схватио начин на који рачунарски програм одређује пројекци-је наводимо једначине основних фигура - простора у Декартовом правоу-глом систему Једначина -простора (хиперравни) је Ax By z Du E где је A B D вектор хиперравни Параметарски облик једначине -простора (праве) је x at x y bt y z ct z u dt u где је a b c d вектор праве а x y z u тачка кроз коју права пролази Ово је аналогно аналитичкој геометрији у -простору Растојање између тачака P x y z u и x y z u x x y y z z u d( P Q) u Q је 7

40 MAT-KOL XXIII ()(7) Аутор овог текста је урадио рачунарски програм који задовољавајуће испуњава услов да се два или више темена не пројектују у исту тачку У следећем делу текста укратко ћемо описати израду и учинак рачунарског програма Израда и функционисање рачунарског програма Овај програм конструише политопе (-коцка) и и њихове пројекције при чему је полазна фигура -коцка се конструише тј њена темена у четвородимензионалном координатном систему Oxyzu се одређују као све варијације са понављањем од елемената и а где је а дужина ивице коцке у пикселима Ова дуж је полазна; ивице осталих политопа се одређују на описани начин од ове дужи Ово се у програму реализује са четири програмска циклуса чије променљиве узимају вредности и а Затим се -коцка пројектује на једну хиперрван која је погодно изабрана својим вектором и уз погодно изабран зрак паралелног пројектовања својим вектором У овом програму се пројекција из ове хиперравни опет пројектује али сада на раван уз погодно изабран зрак Ово друго пројектовање се могло и изоставити али се показало као најпо-годнији начин Слика на екрану се добија ако се изаберу било које две од четири координате темена подешавајући координате слике на екрану према резолуцији и организацији екрана Координате темена коцке се чувају у једном низу а пројекције темена у другом тако да одговарајућа темена и темена пројекције имају исте индексе Ово омогућава да се на основу ивице коцке одреде и споје темена пројекције која одређују ивицу Речено је да се пројектовање врши паралелном пројекцијом која чува размеру дужи па у следећим конструкцијама не морамо да вршимо посебно пројектовање добијене фигуре већ на исти начин добити и пројекцију нове фигуре од пројекције претходне Темена политопа се одређују као средишта дијагонала равних страна - коцке (квадрата) тако што се узимају парови темена -коцке чије је растојање a и испитује да ли је та тачка већ једном одређена па ако јесте онда се не узима у обзир У исто време се одређује и одговарајуће теме пројекције На тај начин су и темена политопа и темена пројекције смештени у два нова низа Повезано индексирање је најсложенији сегмент у програму У овом про-граму тај сегмент није изведен потпуно аутоматски већ уз делимичну интервенцију програмера Извесним програмерским досеткама се овај проблем могао решити али се програмер одлучио за поступак који ћемо укратко описати Прво се формира низ парова темена која одређују ивицу Ово се одређује на основу дужине ивице политопа која је a Ти парови су у низу записани као рационални бројеви На пример значи да је у питању ивица одређена теменом под редним броје и теменом под редним бројем Повезано индексирање почиње паром при чему то значи да је та ивица оријентисана од темена према темену За остале ивице које полазе из темена оријентација се врши на следећи начин Програм одређује векторе задате теменом и теменима осталих ивица и испитује који је од њих нормалан на вектор 8

41 MAT-KOL XXIII ()(7) одређен теменима и па ако је тај вектор нормалан онда је оријентација од темена према том другом темену и тада одговарајући рационални број остаје непромењен а ако није онда је орије-нтација према темену на пр прелази у Теме се везује за теме па је лако извршити усмерење ивица које полазе из темена За остала те-мена била је потребна интервенција програмера Програм се извршавао делимично с тим што је издавао парове који су већ индексирани Програмер је тада редом за свако теме активирао циклус за ново теме које је повезано са неким (најнижег индекса) већ повезаним То је програмер уносио у програм као наредбу На тај начин су све ивице политопа оријентисане наредбама у програму Темена П су одређена поделом ивица политопа у размери : у одговарајућем смеру с тим што су темена и усмерење ивица од-ређени из формираног низа претварањем целобројног и рационалног дела у целе бројеве (индексе низа темена) Координате темена политопа П су смештене у један (дводимензионални) низ а пројекција у други и тако сачуване у програму Критеријум за ивице је дужина ивице a нова темена за политоп се добијају помоћу размере која је већ опи-сана Темена политопа су одређена као тежишта тетраедара политопа Та конструкција је решена са четири циклуса који одређују темена по једног тетраедра којем се тада одређује тежиште на сличан начин као и тежиште троугла у x x x x Oxy систему тј за координате тежишта тетраедра важи x T итд Критеријум за ивице је растојање између тежи-шта две суседне тетраедарске ћелије политопа Ово растојање тј ивица политопа одређено је на основу темена B B B B и На основу претходног (Сл ) троуглови В В В и В В В су суседни (заједничка ивица В В ) па су и тетраедри В В В С и В В В С суседни (заједничка страна В В С ) а онда је растојање између њихових тежишта једнако ивици политопа Тежиште тетраедра В В В С је 9 x y 6 9

42 MAT-KOL XXIII ()(7) 6 7 z 8 u T T 6 7 z 8 u T 6 7 x y 6 7 z 8 u T T T = Добијена вредност 8 је дужина ивице политопа ако је -коцка јединична иначе је a 8 кад је дужина ивице -коцке а Ова вредност је критеријум за повезивање темена пројекције политопа На Сл 9 и приказане су пројекције политопа и за не-ке друге пројекцијске хиперравни и равни

43 MAT-KOL XXIII ()(7) Сл 9 Сл

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC ТРОУГАО 1. У троуглу АВС израчунати оштар угао између: а)симетрале углова код А и В ако је угао код А 84 а код С 43 б)симетрале углова код А и В ако је угао код С 40 в)између симетрале угла код А и висине

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира

Διαβάστε περισσότερα

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ z ib, Re( z), b Im( z), z ib b b z r b,( ) : cos,si, tg z r(cos i si ) r r k k z r (cos i si ), z r (cos i si ) z r (cos i si ), z r (cos i si ) z z r r (cos( ) i si( )), z z r (cos(

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАКСИМОВИЋ ТАЊА Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе МАСТЕР РАД Ментор: др. Александар Липковски Београд 2015. Садржај Увод

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г. Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА Математички факултет Београд КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА - магистарски рад - Ментор: проф Миодраг Матељевић Кандидат: Слађана Бабић јун 009 Садржај I Комплексна раван, геометријска интерпретација сабирања

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SketchPad

Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SketchPad Универзитет у Београду Математички факултет Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SkethPd Студент: Марија Миленковић

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП

УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП ПОГЛАВЉЕ XI УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП ОВО може бити појам којим смо скренули од наслова ове књиге. Али како је симетријска група сваког правилног политопа или ханикомба изведена рефлексијама, то онда изгледа

Διαβάστε περισσότερα

САДРЖАЈ ПОЛОЖАЈ ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ ПРЕМА СФЕРИ И СФЕРЕ ПРЕМА СФЕРИ...4 ИЗВОЂЕЊЕ ОБРАСЦА ЗА P СФЕРЕ И ЊЕНИХ ДИЈЕЛОВА ПОМОЋУ ИНТЕГРАЛА...

САДРЖАЈ ПОЛОЖАЈ ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ ПРЕМА СФЕРИ И СФЕРЕ ПРЕМА СФЕРИ...4 ИЗВОЂЕЊЕ ОБРАСЦА ЗА P СФЕРЕ И ЊЕНИХ ДИЈЕЛОВА ПОМОЋУ ИНТЕГРАЛА... САДРЖАЈ ОБРТНЕ ПОВРШИ... БРТНА ТИЈЕЛА... СФЕРА И ЛОПТА..... ПОЛОЖАЈ ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ ПРЕМА СФЕРИ И СФЕРЕ ПРЕМА СФЕРИ...4 ОСОБИНЕ СФЕРНИХ ФИГУРА........5 ПОВРШИНА СФЕРЕ...8 ПОВРШИНА ДИЈЕЛОВА СФЕРЕ ПОВРШИНА

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ АЛГЕБРА Природни, цели, рационални, ирационални

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2013.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2013. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНУВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Површине неких равних фигура

Површине неких равних фигура Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12 Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма

Διαβάστε περισσότερα