ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ"

Transcript

1 1 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΜΕΡΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013 Α 3

2 2 MNEIA Μάγια 1. Παπαχρήστου Μάριος Κινέζοι 1. Παπαδάκης Δημήτρης 2. Πλαφουντζής Σπύρος Αιγύπτιοι 1. Παναγοπούλου Μαρία 2. Πολυχρονοπούλου Πετρούλα 3. Ρένεση Μαριάννα 4. Ρεντίφη Μαρία Σουμέριοι 1. Πρίντζη Δανάη 2. Πετράκου Κωνσταντίνα 3. Ρουντζούνη Χριστίνα 4. Μπούμης Άγγελος Βαβυλώνιοι 1. Παπαβασιλόπουλος Γιώργος 2. Πανούση Ευδοκία 3. Ποδογύρου Μαρία 4. Ντόλιτζε Κωνσταντίνα Έλληνες 1. Παπαζιάν Χρήστος 2. Μπάτσιος Θανάσης 3. Παράσχου Ζωή 4. Μπελδέκος Δημήτρης Ινδοί Ίνκα 1. Παρτσακλός Χρήστος 2. Ξιαρχογιαννόπουλος Θοδωρής 3. Νεράντζη Κατερίνα 4. Ξυλάς Νίκος

3 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Την αναδίπλωση της λογικής του ανθρώπου θα μπορούσαμε κάλλιστα να την αποδώσουμε στην επιστήμη των Μαθηματικών, η οποία εξελλίσεται δυναμικά και αποτελεί, ουσιαστικά, τον τροχό πάνω στον οποίο είναι στημένες όλες οι ανθρώπινες και φυσικές δραστηριότητες. Γνωρίζουμε πως η Μαθηματική Επιστήμη αναπτύχθηκε από πολλούς αρχαίους λαούς, οι οποίοι είναι οι Αιγύπτιοι, οι Κινέζοι, οι Σουμέριοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Έλληνες, οι Ινδοί, οι Μάγια και οι Ίνκα. Εκτός αυτού, οι άνθρωποι είχαν αρχίσει ήδη από την αρχαιότητα να μελετούν τα Μαθηματικά και έκτοτε δόμησαν πραγματικά εκλπηκτικά αριθμητικά συστήματα τα οποία φέτος μελετούμε στο μάθημα της Ερευνητικής Εργασίας (Project). Η ολομέλεια του Α3 του 2ου Γενικού Λυκείου Υμηττού συγκέντρωσε πληροφορίες για τους λαούς του Αρχαίου Κόσμου, εστιάζοντας στα συστήματα αρίθμισης που οδήγησαν στην ανάπτυξη της επιστήμης των Μαθηματικών η οποία, με τη σειρά της, τους βοήθησε στην απλούστευση των καθημερινών τους δραστηριοτήτων. Από την μέτρηση του χρόνου από τους Βαβυλώνιους και τους Μάγια, λοιπόν, μέχρι τις αρχαίες αιγυπτιακές πυραμίδες, τα Μαθηματικά στιγμάτιζαν, στιγματίζουν και θα στιγματίζουν τον Άνθρωπο και τη Φύση.

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Μνεία...σελ Πρόλογος...σελ Μάγια...σελ Κινέζοι...σελ Αιγύπτιοι...σελ Βαβυλώνιοι...σελ Σουμέριοι...σελ Έλληνες...σελ Ίνκα...σελ Ινδοί...σελ Επίλογος

5 5 Μάγια (2000πΧ μΧ) Αριθμητικό Σύστημα Οι Μάγια είχαν θεσιακό, δηλαδή σύστημα αρίθμησης στο οποίο οι αριθμοί παριστάνονται με ορισμένα σύμβολα ή συνδυασμούς τους και η αξία των αριθμών αυτών υπολογίζεται με βάση τις αξίες των συμβόλων και τη θέση των συμβόλων, εικοσαδικό, σύστημα που είχε ως βάση τον αριθμό είκοσι (20), αριθμητικό σύστημα. Υπήρχαν σύμβολα για το ένα, το πέντε, ακόμη και για το μηδέν. Αξίζει, επίσης, να παρατηρήσουμε πως οι Μάγια ήταν από τους μόνους αρχαίους λαούς που είχαν κατανοήσει την σημασία του μηδένος. Η χρήση του μηδενός τους επέτρεπε να γράφουν πολύ μεγάλους αριθμούς. Αριθμός Τιμή 1 Συμβολισμός των Μάγια Μηδέν 0 ή Ένα 1 Πέντε 5 Τα συγκεκριμένα (3) σύμβολα επέτρεπαν αρίθμηση Που σημαίνει ότι ο αριθμός π.χ. 13 θα ήταν 13 = , δηλαδή τον αναπαριστούσε το σύμβολο Μετά το 20 οι αριθμοί αναλύονται σε πολλαπλάσια δυνάμεων του 20 ( από το 1 έως το δεκαεννέα οι αριθμοί παριστάνονταν ως εξής: ). Δηλαδή, 400 ( ) 20 ( ) 1 Αναφέρεται στο αραβικό δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (0-9)

6 6 1 ( ) Αριθμός Αναλύοντας, παραδείγματος χάρη, την τελευταία στήλη έχουμε (αναλυτικά): Στην πρώτη θέση έναν αριθμό από το Δηλαδή: που στο δικό μας σύστημα είναι: Στην δεύτερη θέση έναν αριθμό από το που αναπαρίσταται όπως ο προηγούμενος. Δηλαδή: που στο δικό μας σύστημα είναι: Στην τρίτη θέση (εδώ) έχουμε έναν αριθμό από το , γραμμένος κατά τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή: που στο δικό μας σύστημα είναι: Τέλος, αθροίζοντας τους αριθμούς βλέπουμε ότι προκύπτει ο αριθμός 5125 Η σημασία του μηδενός για τους Μάγια Ο λαός των Μάγια έκανε χρήση ξεχωριστού συμβόλου για το μηδέν. Οι περισσότεροι λαοί του Αρχαίου Κόσμου δεν αναπαριστούσαν καν τον συγκεκριμένο αριθμό διότι θεωρούσαν ότι είχε τη θέση του κενού ή του τίποτα, πράγμα το οποίο δυσκόλευε πολύ την αναπαράσταση αριθμών που είχαν κενές θέσεις ανάμεσα στα ψηφία όπως και μαθηματικές πράξεις. Έτσι, με την χρήση ξεχωριστού συμβόλου για το μηδέν, οι Μάγια μπορούσαν να εξελίξουν την επιστήμη των Μαθηματικών ευκολότερα από άλλους λαούς

7 7 Μαθηματικά Οι Μάγια ανέπτυξαν τα Μαθηματικά κυρίως για την επιστήμη της Αστρονομίας, στην οποία συνείσφεραν κατά το μέγιστο. Είχαν δύο ημερολόγια τα οποία είχαν ως έτος έναρξης το 3114π.Χ. Αυτά είναι: Tzolkin. Αποτελούνταν από 260 μέρες, χωρισμένο σε 13 μήνες (που είχαν ονόματα θεών), οι οποίοι είχαν 20 ημέρες ο καθένας. Haab. Αποτελούνταν από 365 μέρες, χωρισμένο σε 18 μήνες, οι οποίοι είχαν 20 ημέρες ο καθένας - πλην ενός ο οποίος είχε 5. Ο παρακάτω πίνακας αναλύει το συγκεκριμένο ημερολόγιο και το χωρίζει σε μήνες, όπως έκαναν οι Μάγια: 1 Pop 10 Yax 2 Wo' 11 Sak' 3 Sip 12 Keh 4 Sotz' 13 Mak 5 Sek 14 K'ank'in 6 Xul 15 Muwan' 7 Yaxk'in' 16 Pax 8 Mol 17 K'ayab 9 Ch'en 18 Kumk'u

8 8 19 Wayeb' Ημερολογιακός Κύκλος. Διαρκούσε 32 Haab, δηλαδή ημέρες. 1 Επιπλέον, είχαν και άλλα συστήματα μέτρησης μεγαλυτέρων περιόδων (επιγραμματικά): Μεγάλος Κύκλος (Long Count) Μικρός Κύκλος (Short Count) Κύκλος της Αφροδίτης (Venus Cycle) Επιρροές στον κόσμο των Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Μάγια και των λαών της Μέσης Αμερικής εκείνη την περίοδο δεν είχαν επηρεαστεί από κανέναν λαό του Αρχαίου Κόσμου, λόγω της γεωγραφικής τους θέσης. Εκτός αυτού, δεν έχουν διασωθεί πολλά στοιχεία για τον πολιτισμό των Μάγια. Κατά την άφιξη του Κορτές (Cortéz) και του ισπανικού στρατού στην Μέση Αμερική το 1518, οι πολιτισμοί των Αζτέκων και των Μάγια ισοπεδώθηκαν Οι μόνες γραπτές πηγές που υφίστανται είναι τα κείμενα του μοναχού Ντιέγκο ντε Λάντα (Diego de Landa). Εν τέλει, δεν επηρέασαν κανέναν άλλο λαό διότι δεν επεκτάθηκαν πέραν της Μέσης Αμερικής. Εκτός αυτού, η μεγαλύτερη συνεισφορά τους στον κόσμο των Μαθηματικών υπήρξε ο τρόπος μέτρησης των χρονικών περιόδων, τα ημερολόγια. 1 Ο Ημερολογιακός Κύκλος χρησιμοποιείται ακόμα από κατοίκους των νησιών της Γουατεμάλας

9 9 Κινέζοι (περ πΧ -) Αριθμητικό Σύστημα Η διαφορά του κινεζικού συστήματος αριθμών από τα άλλα συστήματα οφείλεται στην ξενική για εμάς δομή της κινέζικης γλώσσας. Ένα από τα παράδοξα της γλώσσας των Κινέζων, είναι ότι δεν υπάρχουν χρόνοι, γένη ή άρθρα. Ωστόσο, υπάρχουν πάνω από σαρανταπέντε χιλιάδες (45.000) ξεχωριστά πικτογράμματα και χαρακτήρες και ο κάθε χαρακτήρας επαρκεί για να εκφράσει μια ολόκληρη ιδέα. Έτσι συμπεραίνουμε ότι, αν και η κινέζικη γλώσσα αποτελεί μια φτωχή γλώσσα στην προφορική της μορφή, έχοντας λίγες λέξεις (αλλά πολλές διαλέκτους) και μην έχοντας χρόνους, γένη ή άρθρα,η γραπτή μορφή της περιέχει πολλές χιλιάδες σύμβολα (σε αντίθεση με το δικό μας αλφάβητο).εν κατακλείδι, το αριθμητικό σύστημα των Κινέζων ήταν εξίσου πολύπλοκο με το αλφάβητό τους. Το βασικό σύστημα αριθμών ήταν δεκαδικό και είχε ξεχωριστές λέξεις για τους αριθμούς από το 1 έως το 9. Η λέξη για τον αριθμό 10 είναι σιρ και αποτελούσε την αρχή ενός νέου κύκλου. Ο αριθμός 1 ονομαζόταν ι και ο αριθμός δύο ερ. Αριθμοί όπως το 11, το 12 και ούτω καθεξής σχηματίζονταν με συνδυασμό της λέξης σιρ (δέκα) με τις λέξεις που αποτελούσαν τους μικρότερους αριθμούς. Για παράδειγμα το 11 ήταν το σιρ-ι, το 12 το σιρ-ερ. Οι δεκάδες από το 20 έως το 90,σχηματίζονταν απλά αντιστρέφοντας τις λέξεις των μονάδων και του σιρ: το 20 ήταν απλώς ερ-σιρ. Ξεχωριστές λέξεις υπήρχαν για το εκατό (μπάι), το χίλια (τσιέν) και για το δέκα χιλιάδες (γουαν).

10 10 Η σημασία του μηδενός για τους Κινέζους Αρχικά, το μηδέν απουσίαζε τόσο από τη γραπτή, όσο και από την προφορική μορφή του Κινέζικου συστήματος αρίθμησης.κάτι ανάλογο συμβαίνει και με το δικό μας αριθμητικό σύστημα στην προφορική του μορφή. Οι Κινέζοι μέχρι τον 13 αι. μ.χ. δεν χρησιμοποιούσαν το 0 ούτε στη γραπτή, ούτε στην προφορική γλώσσα, οπότε και αποφάσισαν να προσθέτουν ένα σύμβολο για το μηδέν, επηρεαζόμενοι από την παρουσία του μηδενός σε Ευρώπη, αλλά και στον πολιτισμό των Μάγια στον νέο κόσμο, πράγμα το οποίο εξυπηρετούσε στο εμπόριο και την επικοινωνία με τον υπόλοιπο κόσμο. Τα Μαθηματικά Τα μαθηματικά της Κίνας αποτελούν,όπως και η γλώσσα της μια απομακρυσμένη από πολιτισμικές αλλοιώσεις πολιτισμική οντότητα.οποιαδήποτε αναφορά στην Κίνα, άλλωστε, από το λαό μας, μας παραπέμπει σε δυσνόητα και δυσεπίλυτα ζητήματα πόσο μάλλον τα μαθηματικά τους, που από μόνα τους κάνουν τη ζωή μας πιο δύσκολη.το αριθμητικό σύστημα της Κίνας έχει δεχτεί μόλις μια αλλοίωση και αυτήν όσον αφορά την μη ύπαρξη του μηδενός στη γραπτή μορφή της Κινέζικης αριθμητικής.συμπεραίνουμε ότι ένας αδύναμος πολιτισμός, που οδηγείται στην αλλοίωση. Η συνεισφορά των Κινέζων στα μαθηματικά ΟΙ Κινέζοι αν και δεν δημιούργησαν το πιο απλό και πρακτικό αριθμητικό σύστημα, κατάφεραν να εμπλουτίσουν την επιστήμη των Μαθηματικών, προσθέτοντας ένα ακόμα μέσο με το οποίο θα εξασκείται ο νους μας, αποδεικνύοντας και αυτοί, όπως και τόσοι άλλοι, την αναγκαιότητα αυτής της επιστήμης στη ζωή του ανθρώπου. Ακόμη, μας κάνει να θεωρούμε τα δικά μας μαθηματικά απλούστερα, συγκριτικά με τα δικά τους, που είναι πολύ πιο πολύπλοκα. Με την συγγραφή των Εννέα Κεφαλαίων, βιβλίο που αναφέρεται στην Επιστήμη των Μαθηματικών αναφέρθηκαν σε προβλήματα, μηχανική φορολογία, επίλυση εξισώσεων και γραμμικών συστημάτων, όπως και αναφορά στις ιδιότητες των ορθογωνίων συστημάτων, τα οποία βασίστηκαν στην λογική των Βαβυλωνιακών και των Αιγυπτιακών μαθηματικών.

11 11 Ιδιαιτερότητες και αδυναμίες των μαθηματικών της Κίνας Το κινεζικό σύστημα αρίθμησης έχει μια σημαντική ιδιαιτερότητα.δεν είναι θεσιακό (η αξία δηλαδή του αριθμού δεν καθορίζεται από τη θέση του συμβόλου μέσα σε αυτόν), αφού οι διάφοροι αριθμοί μπορούν να μετακινηθούν χωρίς να χάσουν τις διατακτικές τους ιδιότητες.κάτι αντίστοιχο συμβαίνει στο Αγγλικό, όχι όμως στο ινδοαραβικό σύστημα. Στα Κινέζικα, ο αριθμός γράφεται από πάνω προς τα κάτω αντί να γράφεται από αριστερά προς τα δεξιά. Ακόμη οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν ένα ζεύγος συμβόλων για να ερμηνεύσουν το αριθμητικό ψηφίο και τη θέση του. Άρα μας δίνεται η δυνατότητα να αλλάζουμε τις θέσεις των ζευγών των συμβόλων χωρίς να χαθεί η διάταξη, κάτι που στο δικό μας σύστημα δεν είναι εφικτό. Τέλος μια αδυναμία των μαθηματικών των Κινέζων είναι ότι το σύμβολο του μηδενός δεν είχε αποδυθεί σε προφορικό αλλά ούτε και σε γραπτό λόγο.αυτό ανάγκασε τους Κινέζους μαθηματικούς να ορίσουν ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει το μηδέν.

12 12 Αιγύπτιοι ( π.Χ.) Αριθμητικό Σύστημα Το αριθμητικό σύστημα των Αρχαίων Αιγυπτίων εμφανίστηκε περίπου το π.Χ. Οι Αιγύπτιοι δημιούργησαν δυο ειδών γραφές την αιγυπτιακή ιερογλυφική την οποία χρησιμοποιούσαν καθημερινά και την αιγυπτιακή ιερατική που χρησιμοποιούνταν κυρίως από το ιερατείο. Ήταν οι πρώτοι που παρίσταναν τον κάθε αριθμό με το ίδιο κατακόρυφο σημάδι που μοιάζει με δάχτυλο. Τα ιερογλυφικά είναι ελάχιστες εικόνες που αντιπροσωπεύουν λέξεις, αλλά χωρίς περαιτέρω ανάπτυξη αυτό το σύστημα γραφής δεν μπορεί να αντιπροσωπεύσει πολλά λόγια. Οι Αιγύπτιοι είχαν ένα σύστημα με βάση δέκα ιερογλυφικά, δηλαδή είχαν ξεχωριστά σύμβολα για τις μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κ.τ.λ. Δεν είναι σύστημα θέσης αφού η αξία κάθε συμβόλου είναι πάντοτε ίδια, ανεξάρτητα από τη θέση που έχει μέσα στον αριθμό. Επίσης οι αριθμοί γράφονταν πάντα από τα δεξιά προς τα αριστερά. Οι Αιγύπτιοι δεν χρησιμοποιούσαν το μηδέν στα μαθηματικά τους ενώ φαίνεται να έχουν σύμβολο για το άπειρο. Αριθμοί στην ιερογλυφική γραφή Αριθμοί στην ιερατική γραφή Στην ιερογλυφική γραφή, οι δυνάμεις του 10 από το 10 0 ως το 10 6 γράφονταν ως εξής: Μετα επτά παρακάτω σύμβολα οι Αιγύπτιοι ήταν σε θέση να γράφουν οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό από το 1 ως το , και αυτό αρκούσε για τις καθημερινές απαιτήσεις τους.

13 13 Για να καταλάβουμε τον τρόπο της γραφής του αριθμητικού συστήματος τους να ο αριθμός 276: Οι Πράξεις των Αιγυπτίων Η πρόσθεση καθώς και αφαίρεση ακέραιων αριθμών ήταν απλές για τους Αιγύπτιους. Για να προσθέσουν αριθμούς άθροιζαν τα σύμβολά τους και στη συνέχεια τα αντικαθιστούσαν με ένα σύμβολο της επόμενης τάξης. Την αφαίρεση την αντιμετώπιζαν ως αντίθετη πράξη της πρόσθεσης. Για τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιούσαν τη μέθοδο του διπλασιασμού και της πρόσθεσης. Η συγκεκριμένη μέθοδος αποτελεί τη βάση ολόκληρης της αιγυπτιακής αριθμητικής. Την διαίρεση την αντιμετώπιζαν ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Για να εκτελέσουν την διαίρεση α:β έβρισκαν έναν αριθμό γ έτσι ώστε β* γ= α. Όσον αφορά τα κλάσματα οι Αιγύπτιοι γνώριζαν τα κλάσματα που είχαν στον αριθμητή το 1(μονοειδή) και τα κλάσματα 2/3 και 3/4. Αδυναμίες και Ιδιαιτερότητες Παρόλο που τα Μαθηματικά των Αιγυπτίων υστερούσαν σε σχέση με αυτά των Βαβυλώνιων, οι Αιγύπτιοι κατάφεραν μεγάλους άθλους όσον αφορά τις μετρήσεις. Για τις διαστάσεις των πυραμίδων, σύμφωνα με κάποιους επιστήμονες, οι Αιγύπτιοι φαίνεται να γνώριζαν ορισμένες ανώτερες μαθηματικές σχέσεις. Από την άλλη πλευρά, οι Αιγύπτιοι είχαν και κάποιες αδυναμίες. Δεν γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα, παρ όλα αυτά το εφάρμοζαν χωρίς να το καταλαβαίνουν. Δεν γνώριζαν και τους άρρητους αριθμούς. Επίσης δεν κατόρθωσαν να δώσουν ζωή σε κάποια μαθηματική θεωρία, ούτε να γράψουν ένα κεφάλαιο Αριθμητικής ή Γεωμετρίας. Ο λόγος αυτής της αδυναμίας πρέπει να αναζητηθεί στην γενική τάση των ερευνών να μην έχουν στόχο την αποκατάσταση αληθειών θεωρητικού χαρακτήρα αλλά μόνο την εξυπηρέτηση πρακτικών αγαθών (αστρολογία, μηχανική).

14 14 Η Επίδραση τους στα Μαθηματικά Οι Αρχαίοι Έλληνες επαινούσαν συχνά τις μαθηματικές ικανότητες των Αιγυπτίων και θεωρούσαν ότι τα μαθηματικά κατάγονται από την Αίγυπτο. Μάλιστα, στα ελληνικά σχολεία των πρώτων μεταχριστιανικών αιώνων διδασκόταν ως «αιγυπτιακός λογισμός». Η αιγυπτιακή γεωμετρία βρισκόταν στο ίδιο περίπου στοιχειώδες επίπεδο όπως και στη Μεσοποταμία. Βρήκαν πολύ ακριβέστερη τιμή του π δηλ. 3,16 η οποία είναι αρκετά καλή και ασφαλώς πολύ καλύτερη από την τιμή π = 3 που χρησιμοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι.

15 Βαβυλώνιοι (4.000 πχ 539 πχ) Αριθμητικό Σύστημα Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων ήταν εξηνταδικό,θεσιακό και δηλαδή το κάθε σύμβολο αναγραφόταν όσες φορές χρειαζόνταν.θεωρείται ως ένα απο τα αρχαιότερα αριθμητικά συστήματα.αρχικά χρησιμοποιήθηκε απο τους Σουμέριους κατά την 4 η χιλιετία π.χ. Κατά τον 18 ο αιώνα όμως όταν οι Βαβυλώνιοι κατέκτησαν τους Σουμέριους άρχισε να χρησιμοποιήτε απο αύτους οι οποίοι και το ανέπτυξαν. Υπάρχουν αρκετοί λόγοι για τους οποίους επέλεξαν αυτό το αριθμητικό σύστημα οι δύο πιο πιθανοί λόγοι ήταν α) επείδη υπήρχαν πολλοί διαιρέτες από το 1 μέχρι το 60 και β) προέκυψε μέσα από νομισματικές μονάδες, τον τρόπο μέτρησης των βαρών και των μονάδων μήκους. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν δύο μόνο σύμβολα για τα μαθηματικά τους το καρφί για τις μονάδες και τη σφήνα για τις δεκάδες. Συνδύαζαν αυτά τα σύμβολα και παρίσταναν όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 59 χρησιμοποιώντας την πρόσθεση με βαση το 10. Στην πραγματικότητα το αριθμητικό τους σύστημα δεν είχε καμία σχέση με αυτό των Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι μαζί με τους Ινδούς είχαν από τα πιο αξιόπιστα αριθμητικά συστήματα όπου έγραφαν τον αριθμό αριστερά και στα δεξιά ανάλυαν τα ψηφία του ώστε να φαίνεται η αξία του. Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα; 15

16 Οι Βαβυλώνιοι δεν είχαν σύμβολο για το μηδέν για αυτό και αφήναν κενό στη θέση του. Η έλλειψη ενός συμβόλου για το μηδέν δημιουργούσε πολλά προβλήματα, δηλαδή μπέρδευαν τους αριθμούς που είχαν μηδέν π.χ δεν μπορούσαν να ξεχωρίσουν το 22 από το 202. Ωστόσο, κατά την εποχή του Μ.Αλεξάνδρου είχαν εφεύρει ένα σύμβολο για το μήδεν δύο πλάγιες σφήνες για να ανικαθιστούν το κενό όπου έλειπε το ψήφιο μηδέν. Παρ όλα αυτά το σύμβολο αυτό για το μηδέν δεν έβαλε τέρμα σε όλα τα προβλήματα γιατί φαίνεται ότι το χρησιμοποιούσαν μόνο για να δηλώσουν κενές θέσεις στα ενδιάμεσα ενός αριθμού. Από τις τελευταιές πληροφορίες δεν έχουμε στοιχεία για το μηδέν που σημαίνει ότι οι Βαβυλώνιοι στην αρχαιότητα ποτέ δεν κατάφεραν να χρησιμοποιήσουν ένα σύστημα απόλυτης θέσης. Ποιές ήταν οι ιδιαιτερότητες και οι αδυναμίες των μαθηματικών τους; Τα μαθηματικά τους είχαν κάποιες ιδιαιτερότητες: Ήξεραν να υπολογίζουν σωστά την επιφάνεια τριγώνου, τετραγώνου, ορθογωνίου και τραπεζίου. Γνώριζαν να υπολογίζουν την επιφάνεια και τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Το μήκος c της περιφέρειας του κύκλου το θεωρούσαν ίσο με το τριπλάσιο της διαμέτρου. Γνώριζαν να υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα πολλών αριθμών με την βοήθεια ανίστοιχων πινακίδων τετραγώνων. Γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ήξεραν να χειρίζονται τις πράξεις ( πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό) Οι αδυναμίες των Μαθηματικών τους: Τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά ήταν περισσότερο πρακτικά παρά θεωρητικά ( περιορισμένη χρήση θεωρημάτων) Δεν χρησιμοποιούσαν αποδείξεις με αποτέλεσμα να μην μπορούν να ισχυροποιήσουν τίποτα. Η έλλειψη ειδικού συμβόλου για το μηδέν. 16

17 Το ίδιο σύμβολο παρίστανε τις ίδιες βασικές μονάδες όλων των τάξεων με αποτέλεσμα να προκαλεί δυσκολίες και σύγχυση στην αναγνώριση των αριθμών. Δεν μπορούσαν να λύσουν σύνθετες διαιρέσεις. Τα μαθηματικά τους επηρέασαν ή επιρεάστηκαν από άλλους λαούς; Ο κύριος λαός από τον οποίον επιρεάστηκαν οι Βαβυλώνιοι ήταν οι Σουμέριοι. Αφού τους κατέκτησαν πήραν το βασικό σύστημα αρίθμησής τους που είχε ως βάση το δέκα και το εξήντα. Παρ όλα αυτά εγκατέλειψαν τα σύμβολα τα οποία χρησιμοποιούσαν οι Σουμέριοι για τα νούμερα και κράτησαν μόνο το τρίγωνο με την κάθετη ουρά που ονομαζόταν καρφι και συμβόλιζε το 1 και το τρίγωνο με τις δύο ουρές στα πλάγια που ονομαζόταν σφήνα και συμβόλιζε το 10. Ποιά ήταν η μεγαλύτερη συνεισφορά τους στα μαθηματικά; Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας και το σύστημα τους είναι πολύ σημαντικό διότι έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα και χρησιμοποιείται στο μέτρημα του χρόνου. Για παράδειγμα όταν ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75 έλεγαν <<1,15>> όπως και εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά. 17

18 Σουμέριοι (3500π.Χ. 1500π.Χ.) Οι Σουμέριοι είχαν τη σφηνοειδή γραφή, η οποία κατά τους ειδικούς εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη νότια Μεσοποταμία το 3500 π.χ. Κύρια γραφική ύλη ήταν η πήλινη πλάκα που κατασκευαζόταν από ένα σβώλο πηλού, δίνοντάς του σχήμα στρογγυλό, επίμηκες ή τετράγωνο. Για να γράφουν, χρησιμοποιούσαν τη γραφίδα, που ήταν κατασκευασμένη από ένα καλαμένιο στέλεχος. Περίπου το 2500 π.χ. είχαν αναπτύξει ένα πολύπλοκο σύστημα μετρολογίας, το εξηνταδικό θεσιακό σύστημα, σε συνδιασμό στοιχείων του δεκαδικού. Οι σφηνοείδεις αριθμοί γράφτηκαν σε ανώτερη τάξη, την εξηντάδα. Όταν έφταναν στο δέκα, η γραφίδα πιεζόταν κάθετα μέσα στον πηλό κι έτσι σχηματιζόταν ένας μικρός κύκλος (ο). Το σύστημα, όμως, των Σουμερίων δεν είχε ως βάση το δέκα, αλλά το εξήντα. Από το ένα εώς το πενήντα εννιά, χρησιμοποιούνταν ένας συνδυασμός μονάδων και δεκάδων. Για το εξήντα ζωγραφιζόταν ένα μεγάλο σύμβολο με το σχήμα του D, πάλι ακουμπισμένο στα πλάγια το επόμενο βήμα ήταν το εξακόσια ή εξήντα επι δέκα, το οποίο συμβολιζόταν με ένα D, που είχε ένα μικρό κύκλο στο εσωτερικό του. Το εξήντα επι εξήντα η αλλιως το τρεις χιλιάδες εξακόσια, ζωγραφιζόταν με ένα μεγάλο κύκλο (Ο) και το τριανταέξι χιλιάδες (10*60*60) ήταν ένας μεγάλος κύκλος με ένα μικρό κύκλο στο εσωτερικό του. Με εξηντάδες έφτιαχναν μια μονάδα επίσης ανώτερης τάξης μια τρισχιλιοεξακοσάδα και ούτο κάθε εξής. Θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικό σημάδι για κάθε αριθμό αλλά προτίμησαν να μην το κάνουν γιατί θα έπρεπε να αποστηθύζουν χιλιάδες διαφορετικά σημάδια. Ήταν λαός που δούλευε με πολύ μεγάλους αλλά και μικρούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τόσο ακέραιους όσο και κλάσματα. Π.χ.για να χαράξουν τον αριθμό ένα πίεζαν την γραφίδα πάνω στον πηλό υπό γωνία. Το σύμβολο για το ένα επαναλαμβανόταν για τον σχηματισμό μεγαλύτερων αριθμών. Ο γραφέας διαχώρηζε τα αριθμητικά ψηφία που συμβόλιζαν έναν αριθμό απο την υπόλοιπη γραφή τοποθετώντας τα σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Σε αντίθεση με το σύγχρονο σύστημα που είναι καθοριζόμενο δηλαδή εξαρτάται απο την θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό, το πρώτο αριθμητικό σύστημα των Σουμερίων ήταν ένα μη καθοριζόμενο από την θέση σύστημα. Αυτό το συμπεραίνουμε διότι ο γραφέας απλώς πρόσθετε τις τιμές των διάφορων συμβόλων για να φτάσει στο άθροισμα. Ακόμα μια ιδιαιτερότητα των Σουμερίων είναι το γεγονός ότι χρησιμοποιούσαν τα κλάσματα ½, 1/3 και 5/6. Αυτή είναι η παλαιότερη γνωστή αναγνώριση ότι τα κλάσματα είναι αριθμοί. Για παράδειγμα σε ένα μη καθοριζόμενο από τη θέση σύστημα, ο αριθμός 743 θα ήταν 7+4+3, ενώ στο δικό μας σύστημα είναι 7*100+4*10+3 = ή 743. Στο σημερινό σύστημα για να αναπαραστήσουμε κλάσματα, τοποθετούμε μία υποδιαστολή στα δεξιά και τα υπόλοιπα στοιχεία συμβολίζουν δέκατα, εκατοστά κ.λ.π. Συνεπώς, το 57,32 είναι : 5*10+7+3*(1/10 ) +2*(1/10)=50+7+0,3+0,02=57,32. Ενώ το καθοριζόμενο από τη θέση σύστημα λειτουργούσε με τον ίδιο τρόπο, αλλά είχε ως βάση το εξήντα και 18

19 όχι το δέκα. Π.χ 6*60+2*60+1= =21721.Ένα ακόμα χαρακτηριστικό είναι η έλλειψη υποδιαστολής. Π.χ τα ψηφία θα μπορούσαν να αναφέρονται στον αριθμό , αλλά και στον Όμως αυτό παρακάμπτονταν απ τα συμφραζόμενα στο κείμενο που περιεχόταν ο αριθμός. Επίσης, παρείχε ευελιξία, αφού στις πράξεις όλοι οι αριθμοί αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι. Όπως και σήμερα ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών αριθμών γίνεται σαν να είναι ακέραιοι και το μόνο που χρειάζεται είναι η τοποθέτηση της υποδιαστολής στην κατάλληλη θέση, μετά την εκτέλεση τον πολλαπλασιασμό. Πολλοί λαοί επηρεάστηκαν από το αριθμητικό σύστημα των Σουμερίων. Ένας από αυτούς ήταν οι Βαβυλώνιοι, οι οποίοι κράτησαν το βασικό αριθμητικό σύστημα, το οποίο είχε ως βάση το δέκα και το εξήντα. 19

20 Έλληνες (7ος αι. π.χ. -) Αριθμητικό Σύστημα Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν δυο είδη αριθμητικών συστημάτων. Το ένα ήταν το ηρωδιανό ή αττικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιούνταν από τότε που ξεκίνησε η γραφή μέχρι την σταδιακή αποχώρισή του, ανάμεσα στο 100 π.χ. και 50 π.χ. Το δεύτερο σύστημα ονομαζόταν ιωνικό ή αλεξανδρινό και χρησιμοποιήθηκε κυρίως μετά το 100 π.χ. Στο Αττικό σύστημα το 1 συμβολιζόταν από μια απλή κάθετη γραμμή, ενω τα άλλα πέντε σύμβολα ήταν όλα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου. 1=, 5=Γ, 10=Δ, 100=Η, 1000=Χ, 10000=Μ Τα σύμβολα γράφονταν συνήθως αλλά όχι πάντα με φθίνουσα σειρά Το ιωνικό αριθμητικό σύστημα περιέχει είκοσι επτά ξεχωριστά σύμβολα, ωστόσο στο αρχαίο ελληνικό αλφάβητο υπήρχαν μόνο είκοσι τέσσερα γράμματα. Για αυτό χρειάστηκε να προστεθούν τρία επιπλέον σύμβολα, το δίγραμμα F, για το έξι, το κόππα Q για το ενενήντα και το σαμπί για το ενιακόσια. Σύμφωνα με το Αττικό σύστημα, οι αριθμοί από το ένα ως το τέσσερα συμβολίζονταν με επαναλαμβανόμενες κατακόρυφες γραμμές. Υιοθέτησαν και ένα νέο σύμβολο για τον αριθμό 5 το γράμμα Π ή Γ. Οι Έλληνες, για να συμβολίσουν το 50 έγραφαν πέντε φορές το 10, για το 500 έγραφαν πέντε φορές το 100, και με τον ίδιο τρόπο έγραφαν και τα υπόλοιπα (5000, κλπ). Π.χ. 500=Γ Η Για τους αριθμούς χρησιμοποιούνταν τα εξής γράμματα:γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Α 1 Ι 10 Ρ 100 Α 1000 Β 2 Κ 20 Σ 200 Β 2000 Γ 3 Λ 30 Τ 300 Γ 3000 Δ 4 Μ 40 Υ 400 Δ 4000 Ε 5 Ν 50 Φ 500 Ε 5000 Ϛ 6 Ξ 60 Χ 600 Ϛ

21 Ζ 7 Ο 70 Ψ 700 Z 7000 Άρα το Ελληνικό αριθμητικό σύστημα ειναι μη θεσιακό και βάση του είναι το

22 Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα; Τον αριθμό μηδέν τον επινόησε ο Brahmagupta. Στο βιβλιο του αναφέρεται οτι όταν το μηδέν προστιθεται ή αφαιρείται αυτός ο αριθμός δεν αλλάζει, όταν όμως ένα οποισδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται με το 0 τότε γινεται και αυτός 0, δεν αναφέρεται όμως τίποτα για την διαίρεση. Το ελληνικό μηδέν εμφανίστηκε μετά τον 3ο αιώνα π.χ., για αυτό και το ιωνικό σύστημα δεν υπάρχει μηδέν.το μηδέν στην Ελλάδα το ξεκίνησε ο Πτολεμαιος. Πιθανότατα το σύμβολο μηδέν (0) προήλθε από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης <<ουδέν>> ή της λέξης <<οβολός>> που σήμαινε το σχεδόν μηδενικό ποσό για την εποχή. Τα Ελληνικά μαθηματικά επιρέασαν τα Ινδουϊστικα(Ινδών). Ιδιαιτερότητες και αδυναμίες των μαθηματικών: Οι Αρχαίοι Έλληνες, αντί για αριθμούς χρησιμοποιούσαν γράμματα, για να μπορούν να κανουν τους πολύπλοκους υπολογισμούς τους με απόλυτη ακρίβεια. Τα σημερινά ψηφία (1,2,3...) δεν είχαν εφευρεθεί ακόμη, καθώς οι Άραβες ήταν αυτοί που τα εφάρμοσαν πρώτοι. Οι αρχαίοι Έλληνες έγραφαν όλους τους αριθμούς τους από το 1 εως το 999 με γράμματα του αλφαβήτου και με την βοήθεια σημείων στίξεως:<<'>> η κεραία επάνω μετά από το γράμμα, <<,>> η ανάποδη κεραία κάτω πριν από το γράμμα, <<.>> η τελεία μεταξύ των γραμμάτων, << >> τα διαλυτικά επάνω από το γράμμα. Έτσι έχουμε: α',β',γ',δ',ε',ζ',η'θ' τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9 αντίστοιχα. Ας δούμε τί είπε ο διάσημος γεωμέτρης του Χάρβαρντ, Τζούλιαν Λόουελ Κούλιτζ για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά: Είναι εκπληκτικό πόσες από τις σημαντικές εξελίξεις των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής έχουν την προέλευση τους σε εργασίες που έγιναν δύο χιλιετηρίδες πριν, από τους αρχαίους Έλληνες. Όπως άρεσε να λέει ο διάσημος γεωμέτρης του Χάρβαρντ Τζούλιαν Λόουελ Κούλιτζ (Julian Lowell Coolidge), που έζησε στις αρχές του αιώνα μας: Τότε στη γη κατοικούσαν γίγαντες. Ας δούμε τώρα την ιδιαιτεροτητα των αρχαιων ελληνικών: Με τα αρχαια ελληνικα μαθηματικα ανοίγεται ένας δρόµος για τη διείσδυση στο υπόβαθρο της µαθηµατικής σκέψης και συµπεριφοράς του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού, µε προσανατολισµό τα γνωστικά και συλλογικά χαρακτηριστικά κι όχι διαµέσου ενός προπετάσµατος από τεχνοκρατικάεπιτεύγµατα και ατοµοκεντρική σπουδαιολογία. Μια από τις πρώτες ενδείξεις του νέου τρόπου σκέψης την περίοδο της αρχαίας ελληνικής Αναγέννησης, του 6ου π.χ. αιώνα, είναι η µέτρηση του ύψους της πυραµίδας. Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο (περ µ.χ.) και τον ιογένη Λαέρτιο 22

23 (3οςαιώνας µ.χ.) ο Θαλής ο Μιλήσιος(περ π.χ.) µέτρησε το ύψος της πυραµίδας συσχετίζοντας τη σκιά της µε τη σκιά µιας ράβδου. Όπως υποδεικνύουν όλες οι ιστορικές ανακατασκευές για το σκοπό αυτό οµιλήσιος σοφός µέτρησε τη σκιά της πυραµίδας, όταν η σκιά της ράβδου είναι ίση µε το ύψος της, οπότε το µήκος της σκιάς της πυραµίδας θα ήταν όσο και το ύψος της. Τα μαθηματικά τους επηρεάστηκαν ή επηρέασαν άλλους λαούς; Το αττικό σύστημα των Ελλήνων είναι πιο πρωτόγονο, καθώς βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική γραφή την οποία συναντάμε στην πρώτη αιγυπτιακή ιερογλυφική αρίθμηση και στα μεταγενέστερα Ρωμαϊκά νούμερα. Οι Έλληνες, επίσης, παρέλαβαν τα θεμελιώδη κλάσματα από τους Αιγυπτίους, γιατί χρησιμοποιούν όπως και οι Αιγύπτιοι ειδικά σύμβολα γαι τα κλάσματα. Γενικότερα, διατήρησαν αριθμητικές μεθόδους οι οποίες διαμορφώθηκαν στις όχθες του Νείλου. Επίσης, Έλληνες ακολούθησαν τις έννοιες των Βαβυλωνίων για τη διαμόρφωση των <<αστρονομικών κλασμάτων>>. Τα στοιχεία που περιλάμβάνει το σύστημα αυτο, χρησιμοποιείται και στα σημερινά μαθηματικά. Ποιά ήταν η μεγαλύτερη συνεισφορά τους στα μαθηματικά; Αυτός που κατόρθωσε να χρησιμοποιόντας γεωμετρικούς αλλά και αριθμητικούς υπολογισμούς να εκτιμήσει των αριθμό των κόκκων της άμμου ήταν ο Αρχιμήδης. Το σύστημα μέτρησης του Αρχιμήδη φτάνει μέχρι τον αριθμό μυριαδα μυριάδων εις την μυριακή μυριάδα και όλο εις την μυριακή μυριάδα. Το έργο του αυτό είναι πλέον ορόσημο της μαθηματικής επιστήμης καθως στην εποχή του θεωρούταν αφάνταστο και αδύνατο, αφου οι τότε επιστήμονες αρκούνταν να πιστέψουν ότι οι κόκκοι της άμμου είναι αμέτρητοι. Το έργο του Αρχιμήδη είχε τίτλο Ψαμμίτης και για να πετύχει έπρεπε πρώτα να επινοηθεί ένα σύστημα μεγάλων αριθμών, ώστε να ορίσει ένα ανώτατο όριο, ξεκινώντας απ'τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής την μυριάδα μυριάδων. Ο Πυθαγόρας ( π.χ.) υπήρξε ο σπουδαιότερος μαθηματικός όλων των εποχών. Αυτός έπλασε τη λέξη μαθηματικά, δηλαδή εκείνο που έχουμε μάθει. Ο Πυθαγόρας μεταμόρφωσε την επιστήμη των μαθηματικών σε στοιχείο ελεύθερης μόρφωσης. Ο Θαλής ο Μιλήσιος ( π.χ.) Οι γραμμές για το Θαλή δεν ήταν κάτι που μπορείς να δεις στην άμμο, αλλά ήταν αντικείμενα σκέψης στη φαντασία μας. Πήρε φυσικά σχήματα και τα έκανε νοητικά σχήματα. Όλα αυτά ήταν επανάσταση για την εποχή του.επίσης έκανε λογικές απαγωγές, 23

24 που τον οδήγησαν από τη μία αλήθεια που αφορούσαν τα θεωρητικά σχήματά του στην ανακάλυψη κι άλλων αληθειών, αυτό επηρέασε τη Δυτική σκέψη για έτη. Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα Μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Η εμβάθυνση στον κόσμο των νοητικών αναπαραστάσεων, που είναι ο κατεξοχήν κόσμος που ζει ένας μαθηματικός, οδηγεί στον κόσμο των ιδεών του Πλάτωνα. Αυτός ο κόσμος, όχι μόνο είναι «αντικειμενικός», αλλά είναι ο μόνος που δυνάμεθα να κατανοήσουμε εις βάθος. Δεν είναι τυχαίο ότι σήμερα οι περισσότεροι ώριμοι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές. Η «Οδός Μαθηματικής» είναι το πρώτο ελληνικό μαθηματικό εγχειρίδιο της νεότερης ιστορίας μας, γραμμένο από τον Μεθόδιο Ανθρακίτη και τον Μπαλάνο Βασιλόπουλο, για χρήση μαθητών στα ελληνικά σχολεία την εποχή της Τουρκοκρατίας. 24

25 Ινκα ( μ.Χ.) Αριθμητικό Σύστημα μ.Χ. Οι Ινκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10,για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους.το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα Quipou.Αυτά ήταν περίπλοκα συστήματα σκοινιών με κόμπους που ήταν χρήσιμα στην καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών.το σύστημά τους ήταν δεκαδικό,θεσιακό,μη ψηφιακό. Ο αριθμός 586 Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα; Στο αριθμητικό τους σύστημα το 0 αναπαριστά το τίποτα.στο Quipou το 0 αναπαριστάτο με το να μην υπάρχουν κόμποι ανάμεσα σε μία συγκεκριμένη θέση δεσμών. Οι ιδιαιτερότητες και οι αδυναμίες των μαθηματικών τους; Οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν ένα είδος άβακα το γιουπάνα για να κάνουν τις πράξεις τους.το γιουπάνα χωριζόταν σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους.όσον αφορά τα Quipou αποτελούνταν από έναν 25

26 οριζόντιο σπάγκο που ήταν περίπου ένα μέτρο και πάνω του ήταν δεμένοι κατακόρυφα πολλοί άλλοι σπάγκοι ποικίλων χρωμάτων. Οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν 24 διαφορετικάχρώματα σπάγκων για τη δημιουργία ενός κουίπου.οι Ίνκας σε αντίθεση με άλλους πολιτισμούς της περιόχης χρησιμοποίουσαν δεκάδικο σύστημα αρίθμησης και δεν χρησιμοποίουσαν μολύβι και χάρτι. ΓΙΟΥΠΑΝΑ Τα μαθηματικά τους επηρεάστηκαν από άλλους λαούς; Δεν υπάρχουν μαρτυρίες ότι τα μαθηματικά τους επηρεάστηκαν από άλλους λαούς. Ποια ήταν η μεγαλύτερή τους συνεισφορά στα μαθηματικά; Είχαν ανακαλύψει τον δυαδικό κώδικα, 500 χρόνια πριν εφευρεθεί ο ηλεκτρονικός υπολογιστής! Μια πιο σύγχρονη έρευνα έγινε από τον ανθρωπολόγο του Harvard, καθηγητή Gary Urton, ο οποίος κατάφερε να μελετήσει 450 από τα διασωθέντα quipu. Τα ευρήματα του, προκαλούν δέος για τον πολιτισμό των Ίνκας: Τα κορδόνια και οι κόμποι των quipu περιέχουν ένα δυαδικό κώδικα παρόμοιο με αυτόν που χρησιμοποιούν σήμερα οι υπολογιστές, ικανό να μεταβιβάσει περισσότερους από χαρακτήρες. Ο δημιουργός του quipu κάθε φορά έπρεπε να πάρει μια απόφαση μεταξύ δύο πιθανοτήτων: παραδείγματος χάρη να κρεμάσει το κορδόνι στο μπροστινό ή στο πίσω μέρος του βασικού οριζόντιου σπάγκου ή να δέσει ένα μάλλινο ή ένα βαμβακερό κορδόνι κλπ. Με δεδομένο ότι οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν 24 διαφορετικά χρώματα σπάγκων για την δημιουργία ενός quipu, οι πιθανότητες που τελικά είχαν σε έναν κώδικα 7 bit ήταν

27 Με απλά λόγια, εάν δεχτούμε πως όλα αυτά είναι γεγονότα, τότε οι Ίνκας είχαν ανακαλύψει έναν δυαδικό κώδικα που τους επέτρεπε να μεταφέρουν περίπου 1536 μονάδες πληροφοριών και ο όποιος μοιάζει πολύ με αυτόν των σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο Urton υποστηρίζει ότι με το σύστημα αυτό οι Ίνκας όχι μόνο κατέγραφαν αριθμητικές πληροφορίες αλλά είναι πολύ πιθανό να περνούσαν στα quipu και την ιστορία του πολιτισμού τους. Αναπαράσταση των αριθμών στο Quipou 27

28 Ινδοί (300 π.χ-) Αριθμητικό σύστημα Είναι ένα σύστημα που έχει ως βάση το 10 και περιέχει ένα σύνολο ξεχωριστών συμβόλων για τους αριθμούς από το 1-9, έχει γραφή θέσης-τιμής, καθώς και ένα 0. Εμφανίστηκε, τον 3 αιώνα π.χ, στις επιγραφές ένα σύνολο ξεχωριστών συμβόλων για τους αριθμούς από το 1-9.Αυτά ήταν τα Βραχμανικά αριθμητικά ψηφία,που ακόμα δεν είχαν εξελιχθεί στα σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Ήταν το 0 αναγκαίο στο αριθμητικό τους σύστημα; Το μηδέν ουσιαστικά,προήλθε από το κενό κατά τον 6 ο αι.μ.χ.και ονομάστηκε kha που σημαίνει κενό.κατα τον 9οαι. εμφανίστηκε μια πιο σίγουρη χρήση του 0 σαν ψήφιο και γραφόταν με μια τελεία που λεγόταν bindu. Επισης οι Ινδοί πήραν την έννοια του μηδενός από τους έλληνες. Ιδιαιτερότητες και αδυναμίες των μαθηματικών τους; Χρησιμοποιούσαν το δεκαδικό σύστημα,τους αρνητικούς αριθμούς,το δυαδικό σύστημα,το άπειρο ενώ αυτοί είναι που φέρνουν στο φως τη χρήση του 0 και τις τεχνικές της Άλγεβρας των Αλγορίθμων της κυβικής και τετραγωνικής ρίζας.επίσης ήξεραν τις δυνάμεις του δέκα,τη μέθοδο των τριών και άλλες μεθόδους σαν και αυτές(πρόσθεση,αφαίρεση,πολλαπλασιασμό,διαίρεση). 28

29 Τα μαθηματικά τους επηρέασαν ή επηρεάστηκαν από άλλους λαούς; Αρχικά, οι αριθμοί Μπραχμί προήλθαν από την Ινδική πεδιάδα περίπου το 2000π.Χ. 1) Επηρεάστηκαν από το αλφάβητο Μπραχμί. 2)Από ένα παλαιότερο αριθμητικό σύστημα. 3)Από την Αίγυπτο. 4)Από το Καρόσθι αλφάβιτο.(το αλφάβητο Καρόσθι ευεβρεθηκε κατά τον 3 ο αιώνα π.χ και χρησιμοποιούνταν στην ευρήτερη περιόχη της βορειοδυτικής Ινδιας και κεντρικής Ασίας μέχρι τον 4 ο αιώνα μ.χ.) 5)Επηρεάστηκαν από τους Έλληνες.Πιο συγκεκριμένα ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε ένα <<ο>> για την ελληνική λεξη ουδέν.ετσι οι ινδοί υιοθέτησαν το σύμβολο του Πτολεμαίου για το 0.Γενικά δεν υπάρχουν απευθείας μαρτυρίες ότι όντως το πήραν από τη σχολή του Πτολεμαίου.Αυτό μας δείχνει ότι ο συμβολισμός του μηδενός ως <<ο>> ή ως μικρός κύκλος μπορεί να είναι ο φυσικός τρόπος του ανθρώπινου νου να συμβολίζει το τίποτα. Σε σχέση με τις επιρροές τους σε άλλους λαούς υπήρξαν πολλές και ειδίκα με το Αραβικό σύστημα που είναι ουσιαστικά το ίδιο με τον Ινδών. 29

30 Kharosthi alphabet Ποια ήταν η μεγαλύτερη συνησφορά τους στα μαθηματικα; Η σπουδαιότερη συνεισφορά των Ινδων σχετίζεται με 2 τομείς: Με την αποδοχή των αρνητικών αριθμών και του μηδενός,και με το συνδυασμό τεσσάρων ξεχωριστών στοιχείων που σχηματίζουν το σύγχρονο σύστημα των αριθμών μας.οι Ινδοί συνείσφεραν σημαντικά χαρακτηρίζοντας τους αρνητικούς αριθμούς ως χρέη,ταυτίζοντάς τους με μια καθημερίνη εφαρμογή. 30

31 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Στην εργασία που μόλις διαβάσατε, παρατηρήσατε ότι πολλοί λαοί διαφέρουν ως προς τα αριθμητικά συστήματα και τις τεχνικές που είχαν αναπτύξει εκείνη την εποχή. Ωστόσο, όσες διαφορές παρουσίαζαν, τόσες ομοιότητες είχαν, όπως: μια βάση (π.χ. 10, 20, κλπ), ένα σύστημα θέσης και το μηδέν. Δηλαδή, παρότι τα συστήματα αριθμών αναπτύχθηκαν ανεξάρτητακαι σε διαφορετικές χρονικές περιόδους κατά βάση είναι παρόμοια, πράγμα που σημαίνει ότι οι άνθρωποι ακολουθούσαν σε γενικές γραμμές τον ίδιο δρόμο για να λύσουν προβλήματα που αφορούν την ανάπτυξη του εμπορίου, της αγροτικής παραγωγής και γενικά την διαχείρηση των καθημερινών προβλημάτων τους. Στις μέρες μας, επίσης, έχουμε υιοθετήσει το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης που δεν είναι άλλο από αυτό που χρησιμοποιούνταν χιλιάδες χρόνια πριν, δημιουργώντας, έτσι, μια γέφυρα στην Παγκόσμια Ιστορία. Ωστόσο, παρατηρείται έντονη ασυμβατότητα ανάμεσα στους συμβολισμούς των οποίων γίνονταν χρήση, πόσο μάλλον όταν οι λαοί αυτοί ήταν γειτονικοί. Επιπλέον, πλήθος θεωριών έρχονταν σε σύγκρουση με τις ήδη κατοχυρωμένες αξίες, προκαλώντας πολλαπλές διενέξεις ανάμεσα στους μελετητες της επιστήμης της λογικής. Συνεπώς, θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι τα Μαθηματικά συνέδεαν τους ανθρώπους, όπως, άλλωστε, συνεχίζουν να τους συνδέουν και σήμερα. Είναι μια επιστήμη οικοιμενική, που ως τώρα έχει προσφέρει τα μέγιστα στο ανθρώπινο ον και ουσιαστικά αποτελεί τον κορμό για την ανάπτυξη όλων των επιστημών από τη Φυσική μέχρι τη Φιλοσοφία και την Ιστορία. 31

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία»

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» 3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ. 33 38 Πηγή: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Κεφ. 33 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΤΟ,,.000. Κάνω τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΑΠΡΙΛΗΣ 08 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/04/08 Ώρα εξέτασης: 5:45-7:45 Να απαντήσετε τα θέματα και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου,

Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, ISBN: 978-9963-0-4611-9) Και Βανδουλάκης Ι., Καλλιγάς

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θέματα μελέτης Ορθότητα και απόδοση αλγορίθμων Παρουσίαση και ανάλυση αλγορίθμου για πρόσθεση Al Khwarizmi Αλγόριθμοι Το δεκαδικό σύστημα εφευρέθηκε στην Ινδία περίπου το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας.

Πρόλογος. 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5. ιαµωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Γ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Γ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Γ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Γ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Μαθηματικά Ο σκοπός της έρευνας είναι η αναζήτηση για

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Ο αριθμός π και η ημέρα του π. Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015

Ο αριθμός π και η ημέρα του π. Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015 Ο αριθμός π και η ημέρα του π Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015 Ημέρα του π- piday.org 14 Μαρτίου ή 14 / 3 ή όπως Αμερική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Πως μπορούμε να χωρίσουμε Η ακέραια μονάδα μπορεί να χωριστεί σε 10, 100, 1.000 κλπ. ίσα μέρη. 1 = 10

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα

ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα Οι νοεροί υπολογισμοί απαιτούν ικανότητα οπτικοποίησης: να μπορείς να φανταστείς κάτι και να δουλέψεις με το νου.. Είναι ένα είδος νοητικού πειράματος, η νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εισαγωγή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Όπως για όλες τις επιστήμες, έτσι και για την επιστήμη της Πληροφορικής, ο τελικός στόχος της είναι η επίλυση προβλημάτων. Λύνονται όμως όλα τα προβλήματα;

Διαβάστε περισσότερα

5ο Παναρσακειακό Μαθητικό Συνέδριο Αγώνας και Αγώνες Πρόκληση στο πνεύμα, στην κοινωνία, στην επιστήμη, στον πολιτισμό

5ο Παναρσακειακό Μαθητικό Συνέδριο Αγώνας και Αγώνες Πρόκληση στο πνεύμα, στην κοινωνία, στην επιστήμη, στον πολιτισμό Υπεύθυνος καθηγητής: Γιώργος Καγκάκης 5ο Παναρσακειακό Μαθητικό Συνέδριο Αγώνας και Αγώνες Πρόκληση στο πνεύμα, στην κοινωνία, στην επιστήμη, στον πολιτισμό Τίτλος εργασίας: Ελληνική γλώσσα και «γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Γ ΤΑΞΗ) ΟΝΟΜΑ:. (ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΑΤΕ ΝΑ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ ΜΑΖΙ: Υπάρχουν άραγε αριθμοί ανάμεσα στο 0 και

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη

Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη Θέμα: Η Γεωμετρία εκτός της Ελλάδας, μέχρι τον 3 ο αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

5η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ )

5η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 5η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 35 40) Πηγή πληροφόρησης: e-selides 5η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 35 40) 1.Παρατηρώ και συμπληρώνω κατάλληλα:

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ Εισαγωγή στην Πληροφορική 1 Περιεχόµενα - Κωδικοποιήσεις - Αριθµητικά Συστήµατα 2 Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Είπαµε ότι είναι, µία Ηλεκτρονική Μηχανή, που δουλεύει κάτω από τον έλεγχο εντολών αποθηκευµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΑΔΑ Α ΘΕΜΑ Α1 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα

Διαβάστε περισσότερα