Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Transcript

1 Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

2 Η ιστορία του π 2

3 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος της σε μια τεχνολογικά υποστηριζόμενη τάξη. Περιγραφή δραστηριότητας για την Β Γυμνασίου 1o μέρος: Ένταξη του προβλήματος στο ιστορικό του πλαίσιο Οι μαθητές χωρίζονται σε τριμελείς ή τετραμελείς ομάδες. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης 1. Το π στα προελληνικά μαθηματικά (Μεσοποταμία Παλαιά Διαθήκη Αίγυπτος)_ (5 ) Κάθε ομάδα επεξεργάζεται ένα πρόβλημα και τα αποτελέσματα ανακοινώνονται και αναγράφονται στον πίνακα. 2. Αρχαία Ελληνικά μαθηματικά (5 ) Τέσσερα μικρά κείμενα του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη ανατίθενται σε διαφορετικές ομάδες που καλούνται να τα ερμηνεύσουν. Οι απαντήσεις αναγράφονται στον πίνακα. 2ο μέρος: Η μέθοδος του Αρχιμήδη Αρχικά οι μαθητές αναπαράγουν με κανόνα και διαβήτη τα πρώτα βήματα της μεθόδου του Αρχιμήδη (τρίγωνο εξάγωνο - δωδεκάγωνο) και μετρούν με το υποδεκάμετρο τα αντίστοιχα μήκη. (10 ) Στη συνέχεια μαθητές καθοδηγούνται μέσω του φύλλου εργασίας τους να υπολογίσουν την πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου και ενός κανονικού δωδεκαγώνου εγγεγραμμένων σε κύκλο ακτίνας 12 cm. (10 ) Τέλος παρακολουθούν σε ήδη προγραμματισμένο λογιστικό φύλλο Excel την ίδια διαδικασία να επαναλαμβάνεται για 24, 48 και 96 πλευρές, ώστε να κατανοήσουν το πώς έφτασε ο Αρχιμήδης στις προσεγγίσεις που μας κληροδότησε. (5 ) 3ο μέρος: Τα όρια της τεχνολογίας Τίθεται το ερώτημα αν με τη βοήθεια του υπολογιστή μπορούμε να κάνουμε καλύτερες προσεγγίσεις. Δοκιμάζουμε και διαπιστώνουμε ότι μέχρι το κανονικό γωνο η διαδικασία προχωρά κανονικά και βρίσκουμε μια προσέγγιση του π σωστή μέχρι το 6ο δεκαδικό ψηφίο. Στη συνέχεια ο υπολογιστής αρχίζει να δίνει χαοτικά αποτελέσματα. Αυτό ανοίγει μια συζήτηση για τα όρια της τεχνολογίας, την αναζήτηση αποτελεσματικών αλγορίθμων και το μάθημα καταλήγει με την παράθεση άλλων προσεγγιστικών μεθόδων του π (Euler, Gregory Leibniz, Viête κλπ.). (5 ) Σημείωση: Ιδανικά το σενάριο απαιτεί 2 διδακτικές ώρες με διπλασιασμό του χρόνου που δίνεται σε κάθε μέρος του. Η ιστορία του π 3

4 Όνομα. Τάξη Συνεργάτες. Το π στην αρχαία Μεσοποταμία Η πήλινη πινακίδα που εικονίζεται χαράχθηκε στη Μεσοποταμία κατά τη δεύτερη χιλιετία π.χ. σε σφηνοειδή γραφή. Οι αριθμοί έχουν μετατραπεί στο δικό μας αριθμητικό σύστημα. Η ένδειξη στο κέντρο αντιστοιχεί στο εμβαδόν και αυτή στο επάνω μέρος στην περίμετρο του κύκλου. Εμβαδόν κύκλου =.. Περίμετρος κύκλου =.. Άρα π =.. Παλαιά Διαθήκη, Παραλειπομένων Β, Κεφ. 4 στίχος 2 Σχέδιο του Grassman με βάση το πιο πάνω κείμενο Ελεύθερη απόδοση στα Νέα Ελληνικά Έφτιαξε ένα χάλκινο θυσιαστήριο [...] και μια θάλασσα σε σχήμα κυκλικό με διάμετρο δέκα πήχεις και περίμετρο τριάντα πήχεις. Σύμφωνα με το πιο πάνω κείμενο της Παλαιάς Διαθήκης, ο λόγος της περιμέτρου προς τη διάμετρο του κύκλου, δηλαδή το π, ισούται με. Η ιστορία του π 4

5 Το π στην αρχαία Αίγυπτο Βρες πόση έκταση περικλείεται από ένα κύκλο με διάμετρο 9 κετ Λύση: Αφαίρεσε το 1/9 της διαμέτρου, δηλαδή 1. Περισσεύουν 8 8 φορές το 8 είναι 64 Άρα ο κύκλος περικλείει 64 σετάτ γης 1 κετ = 52,12 μέτρα 1 σετάτ = 1 τετραγωνικό κετ = 2.716,5 τετρ. μέτρα Πρόβλημα 50 από τον πάπυρο του Αχμές (~1600 π.χ.) Σύμφωνα με το πιο πάνω κείμενο προσπαθήστε να βρείτε τον «τύπο» με τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι υπολόγιζαν το εμβαδόν του κύκλου. Συγκρίνοντας αυτόν τον τύπο με τον σημερινό, ποια προσέγγιση προκύπτει για το π; Έστω δ η διάμετρος Αφαίρεσε το 1/9 της διαμέτρου.. Ύψωσε το αποτέλεσμα στο τετράγωνο Ο τύπος του Αχμές Ο τύπος που χρησιμοποιούμε σήμερα Άρα η τιμή του π στην αρχαία Αίγυπτο ήταν : Η ιστορία του π 5

6 Η μέθοδος της εξάντλησης Από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο Χ, πρόταση 1 Ελεύθερη απόδοση στα Νέα Ελληνικά: Αν δοθούν δυο άνισα μεγέθη και από το μεγαλύτερο αφαιρεθεί μέρος μεγαλύτερο από το μισό του και από αυτό που θα απομείνει μέγεθος μεγαλύτερο από το μισό του και αυτό συνεχιστεί αδιάκοπα, θα καταλήξουμε σε ένα μέγεθος που θα είναι μικρότερο από το μικρότερο των δύο μεγεθών που δόθηκαν. Για ποιο λόγο νομίζετε ότι η μέθοδος που περιγράφεται εδώ ονομάζεται μέθοδος της εξάντλησης;. Η ιστορία του π 6

7 Αρχιμήδους: Κύκλου Μέτρησις Προσπαθήστε να αποδώσετε σε σημερινή μαθηματική γλώσσα το νόημα των πιο κάτω κειμένων. Κάθε κύκλος είναι σαν ορθογώνιο τρίγωνο που η μια περί την ορθή γωνία πλευρά του ισούται με την ευθεία από το κέντρο και η βάση ισούται με την περίμετρο του κύκλου.... Ο κύκλος έχει προς το τετράγωνο με βάση τη διάμετρό του λόγο ίσο με ια προς ιδ Σε κάθε κύκλο η περίμετρος είναι περίπου τριπλάσια της διαμέτρου και διαφέρει από αυτήν περισσότερο από ένα έβδομο μέρος της διαμέτρου και λιγότερο από δέκα εβδομηκοστά πρώτα... Η ιστορία του π 7

8 Υπολογισμός του π με διαδοχικές προσεγγίσεις Κατασκευάζουμε εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα διπλασιάζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλευρών Οι προσεγγίσεις αυτές θα είναι με έλλειψη ή με υπεροχή;. Μετρήστε: τη διάμετρο του κύκλου. την πλευρά του τριγώνου. Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Πρώτη προσέγγιση του π Να φέρετε από το κέντρο του κύκλου την κάθετο προς την πλευρά ΑΒ του τριγώνου που τέμνει το αντίστοιχο τόξο στο Δ. Το Δ χωρίζει το τόξο ΑΒ σε δύο ίσα μέρη. Το τμήμα ΑΔ είναι πλευρά... Μετρήστε την πλευρά του. και υπολογίστε την περίμετρό του. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Δεύτερη προσέγγιση του π Να φέρετε από το κέντρο του κύκλου την κάθετο προς την πλευρά ΑΔ που τέμνει το αντίστοιχο τόξο στο Ε. Το Ε χωρίζει το τόξο ΑΔ σε δύο ίσα μέρη. Το τμήμα ΑΕ είναι πλευρά... Μετρήστε την πλευρά του. και υπολογίστε την περίμετρό του. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Τρίτη προσέγγιση του π Γ O A Β Η ιστορία του π 8

9 Υπολογισμός του π με διαδοχικές προσεγγίσεις Κατασκευάζουμε περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα διπλασιάζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλευρών Οι προσεγγίσεις αυτές θα είναι με έλλειψη ή με υπεροχή;. Μετρήστε: τη διάμετρο του κύκλου. την πλευρά του τριγώνου. Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Πρώτη προσέγγιση του π.. Να ενώσετε το κέντρο του κύκλου με την κορυφή Α του τριγώνου. Η ΟΑ τέμνει το αντίστοιχο τόξο στο Δ. Η εφαπτόμενη στον κύκλο στο Δ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ. Να κάνετε το ίδιο με τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου. Σχηματίζεται έτσι ένα.. με πλευρά μήκους και περίμετρο... Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Δεύτερη προσέγγιση του π Να επαναλάβετε το ίδιο με τις κορυφές του νέου πολυγώνου. Σχηματίζεται έτσι ένα με πλευρά μήκους και περίμετρο... Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Τρίτη προσέγγιση του π.. A Μ Λ Ο B Κ Γ Η ιστορία του π 9

10 Προσε γγιση του π με εγγεγραμμε να κανονικα πολυ γωνα Αν γνωρίζουμε το μήκος της πλευράς ενός κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι αρκετά εύκολο, χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα, να υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του κανονικού πολυγώνου με διπλάσιο μήκος πλευρών, που είναι εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο. Παράδειγμα: Σε κύκλο ακτίνας 12 cm, εγγράφουμε κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πλευρά του ΑΒ.... ΟΑ =... ΟΒ =... Άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι... και ΑΒ =... Έτσι η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ΑΒΓΔΕΖ ισούται με... και η περίμετρός του με... Έτσι μια πρώτη προσέγγιση του π είναι Θέλουμε τώρα να υπολογίσουμε την πλευρά και τη διάμετρο ενός κανονικού... Από το Ο φέρνουμε κάθετη στην ΑΒ που τέμνει την ΑΒ στο Κ και τον κύκλο στο Μ. Η ημιευθεία ΟΜ χωρίζει το τόξο ΑΒ σε δυο...τόξα, τα ΑΜ και ΜΒ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ είναι συνεπώς η πλευρά κανονικού... εγγεγραμμένου στον ίδιο κύκλο. Το ΟΚ είναι...,... και... του τριγώνου ΟΑΒ. Άρα ΑΚ =... Από το Π.Θ. στο ΟΑΚ, ΟΚ... άρα ΚΜ... Από Π.Θ. στο ΑΚΜ, ΑΜ =... Η πλευρά του κανονικού δωδεκαγώνου ισούται με..., άρα η περίμετρός του ισούται με... Συνεπώς μια δεύτερη προσέγγιση του π είναι... Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο ο Αρχιμήδης έφτασε μέχρι το κανονικό 96 γωνο και την προσέγγιση του π που είδαμε πιο πάνω. Όλες αυτές οι προσεγγίσεις είναι προσεγγίσεις με... Για να έχουμε προσεγγίσεις με υπεροχή πρέπει να πάρουμε κανονικά πολύγωνα... στον κύκλο. Η ιστορία του π 10

11 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος της σε μια τεχνολογικά υποστηριζόμενη τάξη. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Περιγραφή δραστηριότητας για την Β Λυκείου Η πιο πάνω δραστηριότητα προσαρμόζεται ανάλογα και στην Β Λυκείου με τις ακόλουθες διαφορές: Τα αρχαία κείμενα δίνονται αμετάφραστα και ζητείται από τους μαθητές να τα μεταφράσουν (έτσι δίνεται η ευκαιρία και στους μαθητές θεωρητικής κατεύθυνσης να αναλάβουν πρωτοβουλίες). Οι μαθητές καλούνται να συναγάγουν μόνοι τους τον τύπο που από το μήκος της λ ν δίνει το μήκος της λ 2ν και να τον μεταφράσουν σε συνάρτηση του Excel. Ο απαιτούμενος χρόνος είναι δύο διδακτικές περίοδοι. 1o μέρος: Ένταξη του προβλήματος στο ιστορικό του πλαίσιο Οι μαθητές χωρίζονται σε τριμελείς ή τετραμελείς ομάδες. Καλό είναι σε κάθε ομάδα να υπάρχουν μαθητές και των δύο κατευθύνσεων (θετικής θεωρητικής). 1. Το π στα προελληνικά μαθηματικά (Μεσοποταμία Παλαιά Διαθήκη Αίγυπτος)_ (5 ) Κάθε ομάδα επεξεργάζεται ένα πρόβλημα και τα αποτελέσματα ανακοινώνονται και αναγράφονται στον πίνακα. 2. Αρχαία Ελληνικά μαθηματικά (10 ) Τα τέσσερα μικρά κείμενα ανατίθενται προς μετάφραση σε διαφορετικές ομάδες και οι απαντήσεις αναγράφονται στον πίνακα. 2ο μέρος: Η μέθοδος του Αρχιμήδη Αρχικά οι μαθητές αναπαράγουν με κανόνα και διαβήτη τα πρώτα βήματα της μεθόδου του Αρχιμήδη (τρίγωνο εξάγωνο - δωδεκάγωνο) και μετρούν με το υποδεκάμετρο τα αντίστοιχα μήκη. (5 ) Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τα όμοια τρίγωνα βρίσκουν τους τύπους διπλασιασμού των πλευρών κανονικού πολυγώνου. (20 ) Οι μαθητές μεταφράζουν σε εντολές Excel τους πιο πάνω τύπους και υπολογίζουν έτσι την περίμετρο κανονικού 96 αγώνου εγγεγραμμένου περιγεγραμμένου σε κύκλο, βρίσκοντας τις προσεγγίσεις του Αρχιμήδη. (15 ) 3ο μέρος: Τα όρια της τεχνολογίας Τίθεται το ερώτημα αν με τη βοήθεια του υπολογιστή μπορούμε να κάνουμε καλύτερες προσεγγίσεις. Δοκιμάζουμε και διαπιστώνουμε ότι μέχρι το κανονικό γωνο η διαδικασία προχωρά κανονικά και Η ιστορία του π 11

12 βρίσκουμε μια προσέγγιση του π σωστή μέχρι το 6ο δεκαδικό ψηφίο. Στη συνέχεια ο υπολογιστής αρχίζει να δίνει χαοτικά αποτελέσματα. (15 ) Αυτό ανοίγει μια συζήτηση για τα όρια της τεχνολογίας, την αναζήτηση αποτελεσματικών αλγορίθμων και το μάθημα καταλήγει με την παράθεση άλλων προσεγγιστικών μεθόδων του π (Euler, Gregory Leibniz, Viête κλπ.) οι οποίες επίσης δοκιμάζονται στον Η.Υ. (10 ) Η ιστορία του π 12

13 Όνομα. Τάξη Συνεργάτες. Το π στην αρχαία Μεσοποταμία Η πήλινη πινακίδα που εικονίζεται χαράχθηκε στη Μεσοποταμία κατά τη δεύτερη χιλιετία π.χ. σε σφηνοειδή γραφή. Οι αριθμοί έχουν μετατραπεί στο δικό μας αριθμητικό σύστημα. Η ένδειξη στο κέντρο αντιστοιχεί στο εμβαδόν και αυτή επάνω στην περίμετρο του κύκλου. Εμβαδόν κύκλου =.. Περίμετρος κύκλου =.. Άρα π =.. Παλαιά Διαθήκη, Παραλειπομένων Β, Κεφ. 4 στίχος 2 Σχέδιο του Grassman με βάση το πιο πάνω κείμενο Μεταφράστε το πιο πάνω κείμενο στα Νέα Ελληνικά. Σύμφωνα με το πιο πάνω κείμενο της Παλαιάς Διαθήκης, ο λόγος της περιμέτρου προς τη διάμετρο του κύκλου, δηλαδή το π ισούται με. Η ιστορία του π 13

14 Το π στην αρχαία Αίγυπτο Βρες πόση έκταση περικλείεται από ένα κύκλο με διάμετρο 9 κετ Λύση: Αφαίρεσε το 1/9 της διαμέτρου, δηλαδή 1. Περισσεύουν 8 8 φορές το 8 είναι 64 Άρα ο κύκλος περικλείει 64 σετάτ γης 1 κετ = 52,12 μέτρα 1 σετάτ = 1 τετραγωνικό κετ = 2.716,5 τετρ. μέτρα Πρόβλημα 50 από τον πάπυρο του Αχμές (~1600 π.χ.) Σύμφωνα με το πιο πάνω κείμενο προσπαθήστε να βρείτε τον «τύπο» με τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι υπολόγιζαν το εμβαδόν του κύκλου. Συγκρίνοντας αυτόν τον τύπο με τον σημερινό, ποια προσέγγιση προκύπτει για το π; Έστω δ η διάμετρος Αφαίρεσε το 1/9 της διαμέτρου.. Ύψωσε το αποτέλεσμα στο τετράγωνο Ο τύπος του Αχμές Ο τύπος που χρησιμοποιούμε σήμερα Άρα η τιμή του π στην αρχαία Αίγυπτο ήταν : Η ιστορία του π 14

15 Η μέθοδος της εξάντλησης Από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο Χ, πρόταση 1 Μεταφράστε το κείμενο στα Νέα Ελληνικά και προσπαθήστε να το ερμηνεύσετε. Για ποιο λόγο νομίζετε ότι η μέθοδος που περιγράφεται εδώ ονομάζεται μέθοδος της εξάντλησης;. Η ιστορία του π 15

16 Αρχιμήδους: Κύκλου Μέτρησις Μεταφράστε τα πιο κάτω κείμενα στα Νέα Ελληνικά και προσπαθήστε να αποδώσετε σε σημερινή μαθηματική γλώσσα το νόημά τους.... Η ιστορία του π 16

17 Υπολογισμός του π με διαδοχικές προσεγγίσεις Κατασκευάζουμε εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα διπλασιάζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλευρών Οι προσεγγίσεις αυτές θα είναι με έλλειψη ή με υπεροχή;. Μετρήστε: τη διάμετρο του κύκλου. την πλευρά του τριγώνου. Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Πρώτη προσέγγιση του π Να φέρετε από το κέντρο του κύκλου την κάθετο προς την πλευρά ΑΒ του τριγώνου που τέμνει το αντίστοιχο τόξο στο Δ. Το Δ χωρίζει το τόξο ΑΒ σε δύο ίσα μέρη. Το τμήμα ΑΔ είναι πλευρά... Μετρήστε την πλευρά του. και υπολογίστε την περίμετρό του. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Δεύτερη προσέγγιση του π Να φέρετε από το κέντρο του κύκλου την κάθετο προς την πλευρά ΑΔ που τέμνει το αντίστοιχο τόξο στο Ε. Το Ε χωρίζει το τόξο ΑΔ σε δύο ίσα μέρη. Το τμήμα ΑΕ είναι πλευρά... Μετρήστε την πλευρά του. και υπολογίστε την περίμετρό του. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Τρίτη προσέγγιση του π Γ O A Β Η ιστορία του π 17

18 Υπολογισμός του π με διαδοχικές προσεγγίσεις Κατασκευάζουμε περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα διπλασιάζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλευρών Οι προσεγγίσεις αυτές θα είναι με έλλειψη ή με υπεροχή;. Μετρήστε: τη διάμετρο του κύκλου. την πλευρά του τριγώνου. Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου. Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Πρώτη προσέγγιση του π.. Να ενώσετε το κέντρο του κύκλου με την κορυφή Α του τριγώνου. Η ΟΑ τέμνει το αντίστοιχο τόξο στο Δ. Η εφαπτόμενη στον κύκλο στο Δ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ. Να κάνετε το ίδιο με τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου. Σχηματίζεται έτσι ένα.. με πλευρά μήκους και περίμετρο... Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Δεύτερη προσέγγιση του π Να επαναλάβετε το ίδιο με τις κορυφές του νέου πολυγώνου. Σχηματίζεται έτσι ένα με πλευρά μήκους και περίμετρο... Λόγος περιμέτρου προς διάμετρο.. Τρίτη προσέγγιση του π.. A Μ Λ Ο B Κ Γ Η ιστορία του π 18

19 Υπολογισμός της πλευράς ενός κανονικού (2ν)-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R ως συνάρτηση του R και της πλευράς λ του αντίστοιχου κανονικού ν- γώνου Έστω R=1 Θέλουμε να βρούμε ένα τύπο που να χρησιμοποιεί την πλευρά λ ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R=1 για να εκφράσει την πλευρά x του αντίστοιχου κανονικού πολυγώνου με διπλάσιο πλήθος κορυφών (2ν). α) Να φέρετε από το κέντρο Ο του κύκλου μια κάθετη στην πλευρά ΑΒ (=λ) του πολυγώνου που να τέμνει τον κύκλο στο Δ και την πλευρά ΑΒ στο Κ. Η ΑΔ είναι η ζητούμενη πλευρά x του πολυγώνου με τον διπλάσιο αριθμό πλευρών. A β) ΑΒ = λ άρα ΑΚ =.. Ο γ) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΟΚ, ΟΚ 2 =. Άρα ΟΚ =. B Γ δ) ΔΚ = ΟΔ ΟΚ =. ε) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΚΔ, ΑΔ 2 =.. Άρα x = ΑΔ =. Αυτόν τον τύπο θα χρησιμοποιήσουμε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για να βρούμε διαδοχικές προσεγγίσεις του π. Μετάφραση του τύπου σε εντολή του Excel:.. Η ιστορία του π 19

20 Υπολογισμός της πλευράς ενός κανονικού (2ν)-γώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R ως συνάρτηση του R και της πλευράς λ του αντίστοιχου κανονικού ν-γώνου Θέλουμε να βρούμε ένα τύπο που να χρησιμοποιεί την πλευρά λ ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές περιγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R για να εκφράσει την πλευρά x του αντίστοιχου κανονικού πολυγώνου με διπλάσιο πλήθος κορυφών (2ν). Έστω R=1 α) Ενώστε το κέντρο του κύκλου με την κορυφή Α του αρχικού πολυγώνου και ονομάστε Ε το σημείο τομής με τον κύκλο. A β) Σχεδιάστε την εφαπτομένη του κύκλου στο Ε που τέμνει τις πλευρές του αρχικού πολυγώνου στα Ζ (την ΑΒ) και Η. Το μήκος ΖΗ είναι το ζητούμενο x. Εκφράστε το ΖΗ ως συνάρτηση του ΕΖ: x = ΖΗ = B Ο Γ γ) Από το κέντρο Ο φέρτε κάθετη ΟΔ προς την πλευρά ΑΒ. ΟΔ = και ΑΔ = = λ δ) Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΔ για να υπολογίσετε το ΟΑ ως συνάρτηση των ΟΔ, ΑΔ και στη συνέχεια των R και λ. ΟΑ 2 = Άρα ΟΑ = = Υπολογίστε τώρα το ΑΕ = ε) Δείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΑΟ και ΕΑΖ είναι όμοια και από την αναλογία που προκύπτει εκφράστε το x ως συνάρτηση των λ και R. Αυτόν τον τύπο θα χρησιμοποιήσουμε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για να βρούμε διαδοχικές προσεγγίσεις του π. Μετάφραση του τύπου σε εντολή του Excel:.. Η ιστορία του π 20

21 Άλλοι τύποι για τον υπολογισμό του π Τύπος του Euler: Τύπος των Gregory Leibniz: ( ) ( ) Η ιστορία του π 21