4. Αναρµονικά περιοδικά κύµατα και σειρές Fourier

Transcript

1 Αναρµονικά περιοδικά κύµατα και σειρές Furier Στο (κεφ. ) έχουµε περιγράψει αναλυτικά το αρµονικό συνηµιτονικού προφίλ κύµα: f(z,t)=αcs (ωt kz), το οποίο αποτελεί λύση της κυµατικής εξίσωσης του Maxwell. Το α από φυσική άποψη µπορεί να παριστάνει το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, ω=πν = π/τ είναι η κυκλική πυκνότητα, Τ η χρονική περίοδός του και k=π/λ ο κυµατάριθµος µε λ το µ.κ. δηλ. την χωρική του περίοδο. Από θεωρητική άποψη το κύµα µπορεί να είναι άπειρης διάρκειας και να εκτείνεται σε άπειρη απόσταση. Στην πράξη όµως αυτό δεν µπορεί να συµβεί. Πράγµατι ακό- µη και αν χρησιµοποιηθεί για την παραγωγή του ένας ιδανικός αρµονικός ταλαντωτής, θα έχουµε τον περιορισµό της απαρχής της λειτουργίας του (χωρικής και χρονικής), γεγονός που αµέσως θέτει όρια στο αρχικό θεωρητικό µοντέλο. Εντούτοις τα αρµονικά περιοδικά κύµατα άπειρης διάρκειας και απείρου µήκους χρησιµοποιούνται κατά κόρον, προκειµένου να συνθέσουµε και να περιγράψουµε: κύµατα που είναι µεν περιοδικά αλλά όχι αρµονικά και το σπουδαιότερο, διαδιδόµενα κύ- µατα των οποίων η χρονική διάρκεια της γέννεσής τους και κατά συνέπεια και το χωρικό τους µήκος είναι περιορισµένο. Σαν πρώτο παράδειγµα θ αναφέρουµε ένα ραδιοφωνικό ποµπό µεσαίων κυµάτων. Γι αυτόν, ο τρόπος παραγωγής του πεδίου είναι οι ταλαντώσεις (επιταχυνόµενη κίνηση) των ηλεκτρονίων στο δίπολο εκπο- µπής (κεραία). Αν η ταλάντωση είναι αρµονική, τότε µπορούµε λειτουργώντας τον ποµπό για µεγάλα χρονικά διαστήµατα, να δηµιουργήσουµε ένα αρµονικό Η/Μ κύ- µα πολύ µεγάλης διάρκειας, το οποίο θα εκτείνεται διαδιδόµενο σε πάρα πολύ µεγάλες αποστάσεις. Για το συγκεκριµένο όµως κύµα θα υφίσταται ο προαναφερόµενος περιορισµός που αφορά την απαρχή της δηµιουργίας του. Το επόµενο παράδειγµα, αναφέρεται στον τρόπο εκποµπής φωτός από µια θερµική πηγή έστω από µια λυχνία πυράκτωσης. Εδώ οι ταλαντωτές είναι ως γνωστόν τα άτοµα για τα ο- ποία οι µεταπτώσεις των ηλεκτρονίων των εξωτερικών στοιβάδων, έχει σαν αποτέλεσµα την εκποµπή ακτινοβολίας στην ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος. Η διαδικασία όµως της εκποµπής για κάθε άτοµο, διαρκεί για πολύ µικρό χρονικό διάστη- µα (0-8 s), µε συνέπεια να εκπέµπονται από το καθένα στο χώρο κυµατοσυρµοί µικρού µήκους και διάρκειας. Σαν αποτέλεσµα της εκποµπής, θα έχουµε Η/Μ διαταραχές πολύ εντοπισµένες χωρικά και χρονικά. Θα προσπαθήσουµε κατ αρχήν στοιχειωδώς να µελετήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο είναι δυνατόν να περιγραφεί ένα περιοδικό µη αρµονικό (αναρµονικό) κύµα. εδοµένου όµως ότι τα κύµατα συνιστούν χωροχρονικές µεταβολές ενός µεγέθους, θα πρέπει να επιλέξουµε τη χρονική ή την χωρική από τις ανεξάρτητες µεταβλητές του, προκειµένου ν απλοποιήσουµε τη διαδικασία. Κατά τα άλλα ο χρονικός ή χωρικός τρόπος µελέτης είναι απόλυτα ισοδύναµοι, δεδοµένου ότι οι παρά- µετρες ω και k στο όρισµα ωt-kz της συνάρτησης του συνηµιτόνου συνδέονται µε-

2 ταξύ τους κατά τα γνωστά µε γραµµική σχέση µέσω της ταχύτητας φάσης υ του κύµατος c = ω/k (τουλάχιστον για διάδοση στο κενό). Θα επιλέξουµε συγκεκριµένα τη χρονική περιγραφή των αρµονικών κυµάτων για z =0 ή z = σταθ. Τότε θα είναι: f (z,t) = α cs (ωt-kz) και για z = 0 f (0,t) = f (t) = α cs (ωt) (4.) Από τη (σχ. 4.) βλέπουµε ότι η f (t) είναι µια αρµονική συνηµιτονική συνάρτηση του χρόνου, κυκλικής συχνότητας ω=πν=π/τ, όπου ν η συχνότητα και Τ η περίοδός της (Σχ. 4.). Για λόγους σύγκρισης, παραθέτουµε στο (Σχ. 4.) το αντίστοιχο (Σχ. 4.) στιγµιότυπο του κύµατος, που ο χωρική του εξάρτηση για t =0 ή t =σταθ. είναι f(z)= α cs kz. (Σχ. 4.) Ας θεωρήσουµε τη χρονικά εξαρτώµενη επαλληλία ενός ορισµένου αριθµού συνηµιτονικών διαταραχών, οι οποίες θα µπορούσαν να έχουν διαφορετικά πλάτη, διαφορετικές συχνότητες και διαφορές φάσης µεταξύ τους. Πιο συγκεκριµένα σαν πρώτο παράδειγµα (Σχ. 4.3) θα προσθέσουµε αλγεβρικά τρεις διαταραχές των ο- ποίων οι συχνότητες είναι: ω ο, ω = ω ο και ω =4ω ο µε ω ο τη θεµελιώδη. Τα πλάτη των συνιστωσών είναι ίδια και οι διαφορές φάσεις µεταξύ τους µηδέν (Σχ. 4.3α). Η χρονική εξάρτηση της συνισταµένης διαταραχής φαίνεται στο (Σχ.4.3β) ή σχεδιασµένη για µεγαλύτερο αριθµό περιόδων στο (Σχ. 4.3γ) και είναι σαφές ότι πρόκει-

3 - 4 - ται για µια περιοδική αναρµονική διαταραχή. Σε παρόµοια συµπεράσµατα καταλήγουµε π.χ. και κατά την αλγεβρική άθροιση τεσσάρων διαταραχών (Σχ. 4.4), των (Σχ. 4.3) οποίων οι συχνότητες είναι: ω ο, ω =ω ο, ω =4ω ο, ω 3 =8ω ο. Τα πλάτη τους είναι: α ο, α =α ο /, α =α ο /4 και α 3 =α ο /8. Επίσης η δεύτερη και η τέταρτη συνιστώσα διαταραχή, έχουν διαφορά φάσης π µε την πρώτη και την τρίτη (Σχ. 4.4α). Η συνισταµένη, χρονικά εξαρτώµενη διαταραχή (επαλληλία των τεσσάρων προηγούµενων) φαίνεται στο (Σχ. 4.4 β) ή σχεδιασµένη για µεγαλύτερο αριθµό περιόδων στο (Σχ γ). Είναι εµφανής και εδώ η περιοδικότητα της κατά άλλα όµως αναρµονικής διαταραχής. Το σηµαντικό συµπέρασµα τουλάχιστον ποιοτικό το οποίο προκύπτει από την παράθεση των δύο παραδειγµάτων, είναι ότι θα µπορούσαµε κατ αρχήν να ι- σχυριστούµε µε όχι αυστηρό τρόπο, ότι κάθε περιοδική διαταραχή έχει τη δυνατότητα να προκύψει από το αλγεβρικό άθροισµα ενός ορισµένου αριθµού αρµονικών διαταραχών διαφορετικών συχνοτήτων, πλατών και διαφορών φάσης µεταξύ τους. Γενικά µια χρονικά εξαρτώµενη διαταραχή, για να είναι περιοδική, η συνάρτηση f(t) που την περιγράφει θα πρέπει να υπακούει στη σχέση: f () t = f( t+ ) ή στη γενικότερη περίπτωση: f (t) = f (t + Τ), = 0, ±, ± (4.)

4 - 4 - (Σχ. 4.4.) Όπου Τ η περίοδος της συνάρτησης. Όταν όµως µια συνάρτηση είναι περιοδική, από µαθηµατική άποψη αποδεικνύεται (εφόσον βέβαια πληρούται ορισµένοι όροι σύγκλισης), ότι µπορεί να προσεγγισθεί από µια τριγωνοµετρική σειρά αρµονικών όρων της µορφής: f (t) = a + a cs ωt + a cs ωοt b si ωt + b si ωt +... a (4.3) = = + ( a csω t + b si ω t) όπου ωt = π/ και µε Τ συµβολίζουµε την περίοδο. Μια τέτοια σειρά ονοµάζεται τριγωνοµετρική σειρά Furier και µια άλλη της µορφή είναι η: όπου c = α ο /, = ( ω t θ ) f ( t) = c + c cs (4.4) c = a + b και tαθ = b /α. Σηµείωση Οι συνθήκες σύγκλισης µιας περιοδικής συνάρτησης f(t) σε σειρά Furier είναι γνωστές σαν συνθήκες Dirichlet: α) Η f (t) θα πρέπει να έχει ένα πεπερασµένο αριθµό ασυνεχειών µέσα σε µια περίοδο. β) Ο αριθµός των µεγίστων και ελαχίστων σε µια περίοδο να είναι πεπερασµένος.

5 γ) Η f (t) θα πρέπει να είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη υπεράνω µιας περιόδου / δηλ. να ισχύει: f () t dt < / Είναι προφανές από τη (σχ. 4.4) ότι η προσέγγιση µιας περιοδικής συνάρτησης από µια σειρά Furier, παριστάνεται σαν το άθροισµα συνηµιτονικών όρων διαφορετικών συχνοτήτων, πλατών και διαφορών φάσης µεταξύ τους. Ο όρος για ω = ω0 ονοµάζεται - αρµονική. Η πρώτη αρµονική ονοµάζεται θεµελιώδης συνιστώσα επειδή έχει την ίδια περίοδο µε αυτή της συνάρτησης f (t) (είναι η ω για = δηλ. η ω ο = π/τ). Οι συντελεστές c και θ ονοµάζονται αντίστοιχα αρµονικά πλάτη και γωνίες φάσης. Προκειµένου λοιπόν ν αναπτύξουµε µια περιοδική συνάρτηση f (t) σε σειρά, θα πρέπει να προσδιορίσουµε τους συντελεστές α και b για κάθε. Η διαδικασία συντελείται µε τη βοήθεια των γνωστών σχέσεων ορθογωνιότητας µεταξύ των συναρτήσεων csω t και siω t για το χρονικό διάστηµα µεταξύ Τ/ < t < /. Για m και µη µηδενικούς ακέραιους αριθµούς, οι σχέσεις είναι οι εξής: si mω0tcs ω0tdt = 0 m, 0 m cs mω0tcs ω0tdt = m= 0 0 m si mω tsi ω tdt = m= 0 cs mω tdt = 0 γιά m 0, si ω tdt = 0 m (4.5) Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων και πολλαπλασιάζοντας τα δύο µέλη της (σχ. 4.3) διαδοχικά µε το cs mω ο t και si mω ο t και ολοκληρώνοντας µεταξύ των ορίων [-Τ/, Τ/], βρίσκουµε τελικά: α b = = / / / / f () t csω tdt f () t si ω tdt = 0,,, (4.6) =,, (4.7) H συµµετρία που παρουσιάζουν οι διάφορες περιοδικές συναρτήσεις, απλοποιούν την ανάπτυξή τους δεδοµένου ότι απαλείφονται οι όροι α ή b αντίστοιχα. Μια συνάρτηση f(t) ονοµάζεται άρτια όταν γι αυτήν ισχύει: f(-t)= f(t) και περιττή όταν f(-t)= - f(t). Κάτω από αυτές τις συνθήκες µια άρτια περιοδική συνάρτηση α- ποδεικνύεται ότι µπορεί να εκφραστεί µόνο µε συνηµιτονικούς όρους ως εξής:

6 όπου f ( t) = a / + = a csω t 4 a = f()cs t ω tdt ω = π / 0 (4.8) Σαν παράδειγµα θεωρούµε τη συνάρτηση (Σχ. 4.5α) 4t +, - / < t 0 f ( t) = (4.9) 4t, 0 t < / για την οποία f(-t) = f(t) δηλ. είναι άρτια. Τότε εφαρµόζοντας τις (σχ. 4.8) βρίσκου- µε: (Σχ. 4.5) 4 0 όταν άρτιος a = ( csπ ) ή a = 8 (4.0) π όταν περιττός π 8 8 οπότε: f () t = cs cs cs3 cs5. ωο t = ω οt + ωοt + ωοt +... π = π 9 5 για =, 3, 5,... (4.)

7 Επίσης µια περιττή περιοδική συνάρτηση f(t) αποδεικνύεται ότι µπορεί να εκφραστεί µόνο µέσω ηµιτονικών όρων µε τη µορφή: όπου f () t = bsi ωt ωt= πτ / = / (4.) 4 b = f ()si t ωtdt Σαν παράδειγµα θεωρούµε τη συνάρτηση (Σχ. 4.5β): / t f () t = - < < 0 (4.3) 0 < t < / για την οποία f(-t) = - f(t) δηλ. είναι περιττή. Τότε εφαρµόζοντας τις (σχ. 4.) βρίσκουµε: b = 0 όταν άρτιος ( cs π ) ή b = 4 (4.4) π όταν περριτός π οπότε: 4 4 f( t) = si ωt = (si ωt + si 3ωt + si 5 ωt +... π = π 3 5 για =, 3, 5... (4.5) Στο (Σχ. 4.6) είναι δυνατόν να παρακολουθήσουµε βήµα προς βήµα τη σύνθεση της τετραγωνικής συνάρτησης που µας δίνει η (σχ. 4.3), µε τη βοήθεια της διαδοχικής πρόσθεσης των όρων της σειράς Furier µέσω της (σχ. 4.5), καθορισµένων πλατών και συχνοτήτων. Για = παίρνουµε τη θεµελιώδη µόνο αρµονική αλλά για =99 την πεντηκοστή. Βλέπουµε χαρακτηριστικά ότι η άθροιση των πενήντα όρων της σειράς, οδηγεί µε πολύ καλή ακρίβεια στην προσέγγιση της τετραγωνικής συνάρτησης. Στην περίπτωση που η περιοδική συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια αλλά ούτε περιττή, τότε η ανάλυσή της σε σειρά θα περιλαµβάνει αθροίσµατα συνηµιτονικών και ηµιτονικών όρων ταυτόχρονα. Π.χ. η συνάρτηση: f(t) = e t όπου - Τ/ < t < / (4.6) η οποία απεικονίζεται στο (Σχ. 4.5 γ) περιλαµβάνεται σ αυτήν την κατηγορία. Τότε εφαρµόζοντας τις (σχ. 4.3, 4.6, 4.7) βρίσκουµε: sihπ ( ) f () t = + ( csωt siω t) (4.7) π = + όπου sihx=(e x - e -x )/ η συνάρτηση του υπερβολικού ηµιτόνου και ω =π/τ =.

8 (Σχ. 4.6) Μιγαδική έκφραση των σειρών Furier Σε πολλές εφαρµογές, οι σειρές Furier είναι σκόπιµο να εκφραστούν µέσω µιγαδικών εκθετικών όρων της µορφής: e± jω ο t, χωρίς βέβαια τον κίνδυνο αλλοίωσης της σηµασίας των φυσικών µεγεθών που εκφράζουν. Για τις περιπτώσεις που µελετούµε, περιγράφουν κατά τα γνωστά διαδιδόµενα κύµατα και πιο συγκεκριµένα τη χρονική τους εξάρτηση σε µια συγκεκριµένη θέση του χώρου (π.χ. για z=0). Η ανάλυση µε εκθετικούς όρους γίνεται δυνατή, εφόσον στη (σχ. 4.3) γίνουν οι α- ντικαταστάσεις: jωt jω t jωt jωt cs ωt = ( e + e ) και si ωt = ( e e ) (4.8) j ότε αποδεικνύεται εύκολα ότι:

9 jωt jωt ( ) f ()= t c + c e + c e = όπου c = a c= ( a jb) c = ( a+ jb) (4.9) Προκειµένου να εκφράζουµε την f(t) σε πιο συµµετρική µορφή µπορούµε να γράψουµε: jωt jωt ( ) f ()= t c + c e + c e = jωt jωt = c + ce + ce = ce = = jω t (4.0) όπου µετά τις αντικαταστάσεις των α, b από τις (σχ. 4.6, 4.7) στις (σχ. 4.9) βρίσκουµε: / / jω t c = f ( t) e dt jω t, c = f ( t) e dt / / / και c = α = f() t dt / Οι (σχ. 4.) µπορούν να συνδυαστούν σε µια µε τη µορφή: c = / (4.) jω t f ( t ) e dt = 0, ±, ±,... (4.) / Με βάση την τελευταία, γίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών c µιας περιοδικής συνάρτησης f(t) η οποία εκφράζεται σε µιγαδική µορφή µέσω της (σχ. 4.0). Η έννοια της αρνητικής συχνότητας Προκειµένου όπως αναφέραµε προηγουµένως ν αναπτύξουµε µια περιοδική συνάρτηση f(t) σε µιγαδική µορφή (σχ. 4.0), ουσιαστικά επιτρέψαµε οι συχνότητες να λάβουν αρνητικές τιµές (-ω ο ) µέσω των (σχ. 4.8). ηλ. η ανάδειξη των αρνητικών συχνοτήτων, οφείλεται στο µιγαδικό τρόπο έκφρασης µιας συνάρτησης ηµιτονικού ή συνηµιτονικού τύπου η οποία συντελείται µε βάση τη γνωστή σχέση: e = cs ω t j si ω t (4.3) jω t + Η τελευταία µπορεί να παραχθεί γραφικά µέσω ενός διαγράµµατος Argad (Σχ. 4.7α), όπου το πραγµατικό της µέρος τοποθετείται κατά µήκος του άξονα των τετµηµένων (R e ) και το φανταστικό κατά µήκος του άξονα των τεταγµένων (I m ).

10 (Σχ. 4.7) Η µορφή της jω t e µας δείχνει ότι το πλάτος της είναι σταθερό (ίσο µε τη µονάδα) και η φάση της φ(t)= ω ο t. Η τελευταία αυξάνει γραµµικά συναρτήσει του χρόνου jω t ανάλογα µε σταθερή τιµή της ω ο. ηλ. η συνάρτηση e παριστάνει ένα σηµείο το οποίο κινείται κυκλικά στο διάγραµµα Argad, µε σταθερή ταχύτητα προς τη θετική διεύθυνση περιστροφής που κατά σύµβαση είναι η αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου. Με βάση τώρα τα προαναφερόµενα, είναι σχετικά εύκολο ν αναδείξουµε την έννοια της αρνητικής συχνότητας. Πράγµατι για τη συνάρτηση jω t e η φάση της θα είναι φ(t) = - ω ο t. ηλ. θ αυξάνεται γραµµικά κατ αναλογία µε τη σταθερή τιµή της ω ο, αλλά τώρα το σηµείο που παριστάνει την jω t e στο διάγραµµα Argad κινείται κυκλικά προς την αρνητική διεύθυνση περιστροφής που κατά σύµβαση είναι η φορά κίνησης των δεικτών του ωρολογίου (Σχ. 4.7β). Μια ποσότητα όµως που χαρακτηρίζεται από ένα πλάτος και µία φάση (στο επίπεδο), είναι δυνατόν να τη θεωρήσουµε σαν διάνυσµα. Έτσι λοιπόν προκύπτει η ιδέα της παράστασης µια συνηµιτονικής διαταραχής µε τη βοήθεια των προαναφερόµενων περιστρεφόµενων διανυσµάτων. Για µια πραγµατική συνηµιτονική διαταραχή, α- πλά θα πρέπει να προσθέσουµε δύο περιστρεφόµενα διανύσµατα από τα οποία το ένα µε θετική και το άλλο µε αρνητική συχνότητα, µε ίδια πλάτη ίσα προς l/. (Σχ. 4.8)

11 Το γεγονός αυτό βέβαια αναλυτικά µπορεί να περιγραφεί από τη σχέση: { e } jω t ω t e jω cs t = + (4.4) Η όλη διαδικασία για µια πλήρη χρονική περίοδο Τ φαίνεται στο (Σχ. 4.8). Με παρόµοιο τρόπο µπορεί να εκφραστεί και µια ηµιτονική διαταραχή µέσω της σχέσης: { e } jω t ω t e jω si t = (4.5) j Πράγµατι επειδή / j = -j = e jπ/, τότε η (σχ. 4.5) µπορεί να γραφεί ως εξής: j( ωt π/) j( ωt-π/) { e e } si ωt = ηλ. εδώ θα έχουµε για κάθε χρονική στιγµή να αφαιρέσουµε δύο διανύσµατα τα οποία όµως παρουσιάζουν καθυστέρηση φάσης π/ σε σχέση µε αυτά της (σχ. 4.4). (Σχ. 4.9) Η όλη διαδικασία για µια πλήρη χρονική περίοδο Τ φαίνεται παραστατικά στο (Σχ. 4.9). Μιγαδικό φάσµα συχνοτήτων Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα που προκύπτει, όσον αφορά τους συντελεστές c, είναι όταν η συνάρτηση f(t) είναι πραγµατική. Το γεγονός ισχύει για όλες τις περιπτώσεις που η f(t) παριστάνει τη χρονική εξάρτηση ενός διαδιδόµενου περιοδικού κύµατος. Τότε από τις (σχ. 4.) βλέπουµε ότι: c - = c*, (4.6) όπου c* είναι ο συζυγής µιγαδικός του c. Αν τώρα παραστήσουµε τον µιγαδικό α- ριθµό c κατά µέτρο και φάση θα έχουµε: jφ * jφ c = c e και c = c e = c (4.7)

12 και µε τη βοήθεια των (σχ. 4.9) βρίσκουµε: c α + b φ = ta b / α =, ( ) εκτός του = 0 για το οποίο c = α ο /. (4.8) Η γραφική παράσταση των συντελεστών c ή του µέτρου τους c συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω ονοµάζεται φάσµα πλάτους (amplitude spectrum) της περιοδικής συνάρτησης f (t) η οποία δίνεται κατά τα γνωστά από τη (σχ. 4.0). Επίσης η γραφική παράσταση της γωνίας φάσης φ συναρτήσει της ω ονοµάζεται φάσµα φάσης (phase spectrum) της f(t). Επειδή όµως ο δείκτης παίρνει µόνο α- κέραιες τιµές, τα c και φ δεν είναι συνεχείς καµπύλες αλλά εµφανίζονται διάφορες του µηδενός µόνο για διακεκριµένες τιµές ω ο. Αυτός είναι ο λόγος που ονοµάζονται διακριτά φάσµατα συχνοτήτων ή φάσµατα γραµµών (discrete frequecy spectra -lie spectra). Σαν παράδειγµα υπολογισµού φάσµατος γραµµών, θα επιλέξουµε αυτό της περιοδικής συνάρτησης f(t) του (Σχ. 4.0). Αποτελείται από µια άπειρη (Σχ. 4.0) διαδοχή τετραγωνικών παλµών πλάτους Α και εύρους d, µε περίοδο Τ. Η συνάρτηση αυτή, εκφράζεται από τη σχέση: A για d / < t < d / f(t) = 0 για / < t < d /, d / < t < Τότε µε τη βοήθεια της (σχ. 4.) βρίσκουµε: / (4.9) c = A d / d / e jω t A dt = jω e jω t d / d /

13 - 5 - ωd si και τελικά: c Ad = ωd (4.30) Είναι προφανές από την τελευταία σχέση ότι οι συντελεστές c είναι πραγµατικοί αριθµοί. Τότε µε βάση τη (σχ. 4.9) b =0 οπότε µέσω της (σχ. 4.8), φ =0. Το φάσµα συχνοτήτων λαµβάνει τιµές µόνο για ω=ω ο δηλ. όταν: ω =0, ω= ±ω ο = ± π Τ, ω= ±ω ο= ± 4π Τ,... (4.3) Στα επόµενα τρία παραδείγµατα, θα δούµε µε ποιο τρόπο διαφοροποιείται το διακριτό φάσµα συχνοτήτων, της σειράς που µας δίνει η (σχ. 4.9), όταν διατηρούµε σταθερά το πλάτος Α και το εύρος d και µεταβάλλουµε την περίοδό της Τ. α) Έστω d = /0s και Τ = /4s. Τότε ω ο =π/τ = 8π και d/ = /5. Εποµένως µε βάση τη (σχ. 4.3), το φάσµα θα έχει διακριτές τιµές µόνο στις θέσεις για τις ο- ποίες: ω =0, ω= ±ω ο =±8π, ω= ±ω ο = ±6π, ω= ±3ω ο = ±4π... Επίσης η τιµή του c (για ω=0) επειδή si x/x για x 0, θα είναι Ad/ = A/5, εφόσον d/= /5. Με βάση τη (σχ. 4.30) από τις διακριτές τιµές του φάσµατος θα είναι µηδενικές αυτές για τις οποίες ισχύει: ω d ο = mπ ή π d π = = mπ m = ±, ±,... 5 οπότε =5m δηλ. για τις τιµές ω = ± ω ο = ±5mω ο και επειδή ω ο =8π, µηδενικές τι- µές θα έχουµε για: ω= ± 5 ω ο = ± 40π, ±0ω ο = ±80π, ±5 ω ο = ±0π... Η γραφική παράσταση του διακριτού φάσµατος συχνοτήτων φαίνεται στο (Σχ. 4.). (Σχ. 4.)

14 - 5 - β) Έστω d = /0s και Τ=/s. Τότε ω ο =π/τ = 4π και d/=/0. Εποµένως µε βάση τη (σχ. 4.3), το φάσµα θα έχει διακριτές τιµές µόνο στις θέσεις για τις ο- ποίες: ω=0, ω= ± ω ο = ± 4π, ω= ± ω ο = ± 8π, ω= ± 3ω ο = ± π... Επίσης η τιµή του c (για ω=0) επειδή si x/x για x 0, θα είναι Ad/ = A/0, εφόσον d/= /0. Με βάση τη (σχ. 4.30) από τις διακριτές τιµές του φάσµατος θα είναι µηδενικές αυτές για τις οποίες ισχύει: ω d ο = mπ ή π d π = = mπ m = ±, ±,... 0 οπότε =0m δηλ. για τις τιµές ω = ± ω ο = ±0mω ο και επειδή ω ο =4π, µηδενικές θα έχουµε για: ω= ± 0 ω ο = ± 40π, ω= ±0ω ο = ±80π, ω= ±30 ω ο = ±0π... Η γραφική παράσταση του διακριτού φάσµατος συχνοτήτων φαίνεται στο (Σχ. 4.). (Σχ. 4.) γ) Έστω d=/0s και Τ=s. Τότε ω ο =π/τ=π και d/=/0. Εποµένως µε βάση τη (σχ. 4.3), το φάσµα θα έχει διακριτές τιµές µόνο στις θέσεις για τις οποίες: ω=0, ω= ± ω ο = ± π, ω= ± ω ο = ± 4π, ω= ± 3ω ο = ± 6π... Επίσης η τιµή του c (για ω=0) επειδή si x/x για x 0, θα είναι Ad/ = A/0, εφόσον d/= /0. Με βάση τη (σχ. 4.30) από τις διακριτές τιµές του φάσµατος θα είναι µηδενικές αυτές για τις οποίες ισχύει: ω d ο = mπ ή πd π = = mπ m = ±, ±,... 0

15 οπότε =0m δηλ. για τις τιµές ω=±ω ο = ±0mω ο και επειδή ω ο =π, µηδενικές θα έχουµε για: ω= ± 0 ω ο = ± 40π, ω=±40ω ο = ±80π, ω=±60 ω ο = ±0π... Η γραφική παράσταση του διακριτού φάσµατος συχνοτήτων φαίνεται στο (Σχ. 4.3). (Σχ.4.3) Το περιεχόµενο ισχύος µιας περιοδικής συνάρτησης (Θεώρηµα του Parseval) Το περιεχόµενο ισχύος (pwer ctet) µιας περιοδικής συνάρτησης f(t) σε µια περίοδο της Τ, ορίζεται από τη µέση τιµή του τετραγώνου (mea square) της f(t) δηλ. από τη σχέση: / / [ f () t ] dt (4.3) Από φυσική άποψη, αν η f(t) π.χ. παριστάνει την περιοδική ένταση του ρεύµατος που διαρρέει µια αντίσταση R=Ω σ ένα ηλεκτρικό κύκλωµα, τότε η (σχ. 4.3) θα µας δίνει τη µέση ισχύ που καταναλώνεται σ αυτήν. Μπορεί εύκολα ν αποδειχθεί ότι αν f (t) και f (t) είναι δύο περιοδικές συναρτήσεις της ίδιας περιόδου, τότε θα ισχύει: / f t f( t) dt ( c) ( c) () = (4.33) / = Αν αναφερόµαστε στην ίδια συνάρτηση, τότε f (t)= f (t)= f(t) και αν επιπλέον η τελευταία είναι πραγµατική, λόγω της c = c * (σχ. 4.6), η (σχ. 4.33) γίνεται: / / [ f () t ] dt = c c = = = c (4.34)

16 Η (σχ. 4.34) αποτελεί την έκφραση του θεωρήµατος του Parseval. Μας φανερώνει ότι το περιεχόµενο ισχύος µιας πραγµατικής περιοδικής συνάρτησης, εξαρτάται µόνο από τα πλάτη των αρµονικών της και είναι ανεξάρτητη των φάσεων. 5. Μη περιοδικά κύµατα και ολοκληρώµατα Furier. Φάσµα συχνοτήτων και ενεργειακό φάσµα Στο προηγούµενο κεφάλαιο ασχοληθήκαµε στοιχειωδώς µε τον τρόπο κατά τον οποίο οι σειρές Furier χρησιµεύουν για την επίλυση προβληµάτων που αφορούν τη χρονική (ή ισοδύναµα χωρική) ανάλυση συναρτήσεων που παριστάνουν διαδιδόµενα αναρµονικά περιοδικά Η/Μ κύµατα. Ένα τέτοιο κύµα, µπορεί να γραφεί σαν επαλληλία πολλών αρµονικών συνιστωσών κυµάτων µε τη µορφή: (, ) ( ) = jωt kz (5.) f z t c e = Τότε η χρονική εξάρτηση αυτού του κύµατος (δηλ. για z=0 ή z=σταθ.) (σχ.4.0) θα είναι: = jω t (5.) = () c e f t όπου τώρα ο συντελεστής c δίνεται από τη (σχ.4.) / jω t c = f ( t) e dt = 0, ±, ±,... (5.3) / Αντίστοιχα η χωρική εξάρτηση του κύµατος (δηλ. για t =0) θα είναι: f ( z) = jkz c e (5.4) = όπου οι συντελεστές c θα δίνονται αντίστοιχα από τη σχέση: λ/ - j kz c = f() z e dz λ (5.5) - λ/ Στα περισσότερα όµως πρακτικά προβλήµατα αντιµετωπίζουµε διαδιδόµενα κύµατα που δεν είναι περιοδικά όπως π.χ. ένας παλµός φωτός ή µία διαταραχή αρµονική η οποία όµως είναι περιορισµένη χωρικά και χρονικά. Για το λόγο αυτό θ αποτελούσε σπουδαίο εργαλείο µελέτης να µπορούσαµε ν αναλύσουµε τέτοια σήµατα, γεγονός που επιτρέπεται µέσω του λογισµού των ολοκληρωµάτων Furier. Για ευνόητους λόγους θα επιλέξουµε πάλι ν αναπτύξουµε τη χρονικά εξαρτώµενη µη περιοδική κυµατική συνάρτηση f(t). Η ανάπτυξη είναι εύκολο να κατανοηθεί χωρίς ιδιαίτερα αυστηρή µαθηµατική ανάλυση µέσω της διαδικασίας της µετάβασης από τις σειρές Furier (περιοδικά σήµατα πεπερασµένης περιόδου Τ) στα ολοκληρώµατα Furier (µη περιοδικά σήµατα ή µάλλον περιοδικά σήµατα µε Τ ).

17 Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε την άρτια τετραγωνική περιοδική συνάρτηση της (σχ. 4.9), για τις περιπτώσεις συγκεκριµένα όπου το εύρος της d διατηρείται σταθερό και αυξάνει διαδοχικά η περίοδος της Τ. Στο (Σχ. 5.) βλέπουµε τις περιπτώσεις για τις οποίες Τ/d=5, Τ/d=0 και Τ/d=0, όπου οι αποστάσεις µεταξύ των διαδοχικών τετραγωνικών παλµών γίνονται όλο και µεγαλύτερες. (Σχ. 5.) Η πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι αυτή του (Σχ. 5.δ) για την οποία η περίοδος Τ. Τότε Τ/d και αυτό το οποίο προκύπτει, είναι ένας τετραγωνικός παλµός εντοπισµένος στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων. ηλ. το τελικό αποτέλεσµα αυτής της διαδικασίας είναι ότι η αρχική περιοδική συνάρτηση f(t) ό- πως ορίζεται από τη (σχ. 4.9), µετατράπηκε (για Τ ) στη συνάρτηση f () t = lim f () t η οποία δίνεται από τη σχέση: για - d/ < t < d/ f(t) = lim f (t) = 0 αλλού (5.6) Το κύριο χαρακτηριστικό της τελευταίας, είναι ότι πρόκειται για µη περιοδική συνάρτηση, και το ενδιαφέρον µας θα εστιαστεί στην εύρεση του περιεχοµένου του φάσµατος των συχνοτήτων της. Για το λόγο αυτό θα επικαλεστούµε τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από τη µελέτη του φάσµατος συχνοτήτων της γνωστής ήδη τετραγωνικής περιοδικής συνάρτησης που δίνεται από τη (σχ. 4.9). Για την τελευταία αποδείξαµε ότι το φάσµα της είναι διακριτό και δίνεται από τη (σχ. 4.30). Ε-

18 πειδή ω=ω ο, =0, ±, ±,... µε ω ο =π/τ (σχ. 4.3), τότε η απόσταση µεταξύ των διακριτών συχνοτήτων εξαρτάται από την περίοδο Τ. Άρα εφόσον η περίοδος θα αυξάνεται, η απόσταση µεταξύ των γραµµών του φάσµατος θα γίνεται µικρότερη δηλ. οι τελευταίες θα πυκνώνουν. Το γεγονός γίνεται εµφανές από τη διαδοχική παρατήρηση των (Σχ ). Βλέπουµε δηλ. ότι στο ίδιο φασµατικό εύρος περιλαµβάνεται όλο και µεγαλύτερος αριθµός φασµατικών γραµµών. Για την οριακή περίπτωση που η Τ, τότε το φάσµα συχνοτήτων αποκτά συνεχή δοµή. Άρα κατ αρχήν τουλάχιστον µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, επειδή για Τ, η συνάρτηση f(t) = f (t) καθίσταται µη περιοδική, το φάσµα των συχνοτήτων της θα είναι συνεχές. Επίσης από τη (σχ. 4.30), βλέπουµε ότι επειδή το πλάτος των συνιστωσών του φάσµατος είναι Ad/, τότε για Τ, οι τιµές τους συνεχώς µειώνονται. Μετάβαση από τις σειρές Furier στα ολοκληρώµατα Furier Αν στη (σχ. 4.0), που εκφράζει την ανάπτυξη µιας περιοδικής συνάρτησης f(t) σε µιγαδική σειρά Furier, αντικαταστήσουµε τους συντελεστές c από τη (σχ. 4.), τότε θα έχουµε: / jω x jωt = f(x)e dx e (5.7) = / f(t) Επειδή ω ο = π/τ και /Τ = ω ο /π, τότε η (σχ. 5.7) γράφεται: f(t) / jωx j ωt = f(x)e dx ωοe π (5.8) = / Αν τώρα Τ, από την ω ο = π/τ, η ω ο γίνεται απειροστά µικρή και µπορούµε να κάνουµε την αντικατάσταση ω ο = ω. Τότε η συχνότητα ω ο της κάθε αρµονικής µπορεί να παριστάνει γενικά τη µεταβλητή συχνότητα του αντίστοιχου συνεχούς φάσµατος. Με άλλα λόγια όταν καθώς ω ο = ω 0 (για Τ ), µπορούµε να πούµε ότι το γινόµενο ω είναι πεπερασµένο, δηλαδή: ω ο = ω ω Εποµένως το γινόµενο ω ο στη (σχ. 5.8) µπορούµε να το αντικαταστήσουµε µε την ανεξάρτητη µεταβλητή ω που ούτως ή άλλως παριστάνει συχνότητα. Άρα η (σχ. 5.8) γίνεται: / jωx jωt f(t) = f ( x) e dx e ω (5.9) = π / και στο όριο για Τ, ω dω και το άθροισµα καθίσταται ολοκλήρωµα υπεράνω του ω. ηλ. η µη περιοδική πλέον συνάρτηση f (t) = f(t) γράφεται:

19 Τη συνάρτηση: f(t) = π jωx jωt f(x)e dx e dω (5.0) ( ω) ( ) jωt { } () F = f t = f t e dt (5.) την ονοµάζουµε µετασχηµατισµό Furier (Furier trasfrmati) της f(t). Τότε η συνάρτηση f(t) µπορεί να γραφεί: - jωt () ( ω) { } ( ω) f t = F = F e dt π (5.) και ονοµάζεται αντίστροφος µετασχηµατισµός Furier (Iverse Furier trasfrmati) της F(ω).Η συνθήκη για την ύπαρξη του µετασχηµατισµού Furier είναι η: f(t) dt < (5.3) δηλ. η f(t) πρέπει να είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη. Το αποτέλεσµα της προηγούµενης ανάλυσης είναι πολύ σηµαντικό για τον εξής λόγο: Έχουµε κατορθώσει να εκφράσουµε µια µη περιοδική συνάρτηση f(t) (σχ. 5.), µε τη βοήθεια της επαλληλίας ενός απείρου αριθµού αρµονικών συνιστωσών. Τα πλάτη και οι φάσεις των τελευταίων, δίνονται από τη συνάρτηση F(ω) (σχ. 5.) την οποία ονοµάσαµε µετασχηµατισµό Furier της f(t). Η συνάρτηση F(ω)= F{f(t)} γενικά είναι µιγαδική οπότε: F(ω)= R(ω) + jx(ω) = F(ω) e jφ (ω) (5.4) Η F(ω) ονοµάζεται φάσµα του µέτρου (magitude spectrum) της f(t) ενώ η φ(ω) φάσµα της φάσης (phase spectrum). Στα επόµενα οι συναρτήσεις f(t) των οποίων θα υπολογίσουµε τους µετασχ. Furier θα είναι πραγµατικές. Κάτω από αυτές τις συνθήκες µε βάση τη (σχ. 5.4), αποδεικνύονται οι εξής ιδιότητες: R(-ω) = R(ω), Χ(-ω) = -Χ(ω) και F(-ω) = F* (ω) (5.5) όπου F* (ω) η µιγαδική συζυγής της F (ω). Σαν παράδειγµα θ αναφέρουµε την ανάλυση κατά Furier ενός τετραγωνικού σήµατος πλάτους α και εύρους τ (Σχ. 5.α). Η συνάρτηση µπορεί να εκφράζει τη χρονική εξάρτηση ενός τετραγωνικού Η/Μ παλµού. Περιγράφεται από τη σχέση: α για t < τ/ f ( t) = (5.6) 0 για t > τ/

20 (Σχ. 5.) Τότε µε τη βοήθεια της (σχ. 5.) θα έχουµε: jωt jωt F(ω) = F {f(t)} = f(t) e dt= α e dt α jωtτ α jωτ jωτ α ωτ = e = e e = si jω τ jω ω και τελικά: ωτ si F( ω) = ατ (5.7) ωτ Αν η F(ω) γραφεί συναρτήσει της συχνότητας ν, τότε µε βάση τη σχέση ω = πν η (σχ. 5.7) γράφεται: si πντ F(ν) = ατ (5.8) πντ Η γραφική παράσταση του φάσµατος F(ω) (ή F(ν)) της f(t) (συνεχής γραµµή) και του µέτρου της F(ω) (ή F(ν) ) (στικτή γραµµή) δίνεται στο (Σχ. 5.β). Βλέπουµε ότι µηδενικά ελάχιστα εµφανίζονται όταν: τ/ -τ/ ωτ/ = ± mπ δηλ. όταν ω= mπ /τ (ή ν = m/τ) για m = ±, ±,... Για την τιµή ω=0 (ν=0), ο λόγος si x/x οπότε F(ω) = ατ. Η συνάρτηση si / x x συνηθίζεται να συµβολίζεται σαν sic(x).

21 περιεχόµενο ισχύος µιας µη περιοδικής συνάρτησης (θεώρηµα του Parseval). Ενεργειακό φάσµα Στο (κεφ. 4) έχουµε αποδείξει ότι για µια περιοδική συνάρτηση f(t) η συνολική της ισχύς είναι ίση µε το άθροισµα των ισχύων c που περιλαµβάνεται σε κάθε συνιστώσα c (σχ. 4.33). Η ίδια λογική µπορεί να επεκταθεί και για µη περιοδικές συναρτήσεις. Για τη συγκεκριµένη περίπτωση το ενεργειακό περιεχόµενό της Ε, καθορίζεται από µια αντίστοιχη της (σχ. 4.33) σαν: E = f ( t) dt (5.9) Αν π.χ. η f(t) παριστάνει την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει µια αντίσταση R=Ω σ ένα κύκλωµα, τότε µε βάση την E= I Rdt, η Ε θα παριστάνει την ενέργεια που καταναλώνεται από την πηγή στην αντίσταση R µέσα σ ορισµένο χρονικό διάστηµα. Μπορεί και εδώ να αποδειχθεί µε εύκολο τρόπο ότι δύο συναρτήσεις f (t) και f (t) για τις οποίες F (ω)= F { f (t)} και F (ω)= F { f (t)} επαληθεύουν την σχέση: { () t f () t } dt = F ( ω) F ( ω) dω (5.0) π f Αν υποθέσουµε ότι οι f (t) και f (t) είναι πραγµατικές και ίσες µεταξύ τους, τότε µε βάση την τελευταία των (σχ. 5.5) θα έχουµε: F(-ω) = F*(ω) οπότε η (σχ. 5.0) παίρνει τη µορφή: ( ) ( ) ( ) (5.) f ( x) dt = F ω F* ω dω= F ω dω π π η οποία αποτελεί την έκφραση του θεωρήµατος του Parseval για µια µη περιοδική συνάρτηση f(t). Η (σχ. 5.) εκφράζει το γεγονός ότι το ενεργειακό περιεχόµενο της f(t) δίνεται από το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη F(ω) (το τετράγωνο του µέτρου του φάσµατος της f(t), πολλαπλασιασµένο επί τον παράγοντα l/π. Τη συνάρτηση F(ω) την ονοµάζουµε ενεργειακό φάσµα (eergy spectrum) της f(t). Με βάση τα προαναφερόµενα, το ενεργειακό φάσµα της τετραγωνικής συνάρτησης της (σχ. 5.6) θα δίνεται από την: si ( ωτ/) si ( πντ) F( ω ) = α τ = α τ (5.) ( ωτ/) ( πντ) και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο (Σχ. 5.3)

22 (Σχ. 5.3) Για τη συνάρτηση αυτή ελάχιστα θα έχουµε όταν ωτ/ =mπ µε m = ±, ±,... Είναι προφανές ότι το µέγιστο της ενέργειας περιλαµβάνεται µεταξύ των δύο πρώτων ε- λαχίστων (δηλ. µεταξύ των ω=± π/τ ή ν =± /τ). Σε πολλές όµως περιπτώσεις τα ενεργειακά φάσµατα των συναρτήσεων f(t) δεν παρουσιάζουν ελάχιστα. Για το λόγο αυτό το εύρος των συχνοτήτων µεταξύ των οποίων θα έχουµε τη µέγιστη ενέργεια κατά σύµβαση λαµβάνεται η περιοχή για την οποία το πλάτος της F(ν) (ή της F(ω) ) παίρνει το µισό της τιµής της από όταν ν = 0 (ή ω=0). Από το ενεργειακό φάσµα (σχ. 5.), της τετραγωνικής συνάρτησης f(t), για ν=0 βρίσκουµε F(0) =α τ. Εποµένως η τιµή της ν για την οποία F( ν ) = F(0) / θα δίνεται από τη σχέση si (πν τ)/(πν τ) =/. Από πίνακες βρίσκουµε ότι si x/x =/ όταν x.4 Εποµένως ν = /τ. Άρα το εύρος των συχνοτήτων όπου κατά σύµβαση περιλαµβάνεται το µέγιστο της ενεργείας θα είναι ν = ν. Η σχέση λοιπόν µεταξύ των ν και τ είναι: 0.89 ν= (5.3) τ τ Η τελευταία συσχετίζει µε απλό τρόπο το χρονικό εύρος της µη περιοδικής συνάρτησης f(t) και του περιεχοµένου του ενεργειακού φάσµατος F(ν) της περιοχής που εντοπίζεται η µέγιστη ενέργεια της. Η σπουδαιότητά της θ αναδειχθεί στα επόµενα.