ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING DEPARTMENT OF WATER RESOURCES AND ENVIRONMENTAL ENGINEERING LABORATORY OF APPLIED HYDRAULICS ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Έκδοση Ακαδηµαϊκό Έτος 0-03 Παναγιώτης Ν. Παπανικολάου, Ph.D. ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 0

2

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Έκδοση Ακαδηµαϊκό Έτος 0-03 Παναγιώτης Ν. Παπανικολάου, Ph.D. κι αν τα τρένα τρέχουν σε τροχιές τ άστρα καβαλάνε οι ψυχές... Νικόλας Άσιµος (από τη Βιοµηχανία του πεζοδροµίου )

4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Π. Ν. Παπανικολάου 0 Επ. Καθηγητής Σχολής Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι περιληπτικές αυτές σηµειώσεις αποτελούν ένα επί πλέον βοήθηµα για το Μάθηµα Κορµού Εφαρµοσµένη Υδραυλική του 5 ου Εξαµήνου Σπουδών της Σχολής Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ. Καλύπτουν σε γενικές γραµµές την ύλη του µαθήµατος, σε συνδυασµό µε τα συγγράµµατα που διατίθενται, καθώς επίσης και τις ασκήσεις που δίδονται για επίλυση στο σπίτι. Με δεδοµένο ότι ένας σπουδαστής παρακολουθεί ανελλιπώς τις παραδόσεις, ο απαιτούµενος συνολικός χρόνος για µελέτη και εργασία στο σπίτι δεν πρέπει να υπερβαίνει τις 50 ώρες. Οι σηµειώσεις έχουν γραφτεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε αφού ο σπουδαστής κατανοήσει τις βασικές αρχές, να έχει τη δυνατότητα εφαρµογής τους σε επίλυση των προβληµάτων υδραυλικής, αναπτύσσοντας προσωπικές µεθοδολογίες υπολογισµού των ζητούµενων παραµέτρων της ροής. Οι σηµειώσεις αποτελούνται από τις παρακάτω ενότητες: () Αγωγοί υπό πίεση, όπου παρουσιάζεται συνοπτικά η θεωρία και µερικά λυµένα παραδείγµατα σε κλειστούς αγωγούς, υλικό απαραίτητο στους σπουδαστές για την εµπέδωση της θεωρίας. () Αγωγοί µε ελεύθερη επιφάνεια, όπου παρουσιάζεται συνοπτικά η θεωρία και µερικά λυµένα παραδείγµατα σε πρισµατικούς αγωγούς µε ελεύθερη επιφάνεια για την εµπέδωση της αντίστοιχης θεωρίας. (3) Στοιχεία Μηχανικής των Ρευστών σε συνοπτική θεώρηση ως προαπαιτούµενο, για να είναι εφικτή η παρακολούθηση του µαθήµατος. Έµφαση δίδεται κυρίως σε στοιχεία τύρβης και οριακής στοιβάδας (κεφάλαια 6, 7). (4) ιάφορα φυλλάδια (Handouts) που συνήθιζε να δίνει ο διδάσκων παλαιότερα κατά τη διάρκεια των διαλέξεων (παραδόσεων), τα οποία ενσωµατώθηκαν στο παρόν εγχειρίδιο. (5) Τετρασέλιδο τυπολόγιο µε τις βασικότερες σχέσεις και διαγράµµατα που συναντώνται στο µαθηµα της εφαρµοσµένης υδραυλικής, χρησιµότατο για τη γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαµήνου. Οι σπουδαστές ενθαρρύνονται να χρησιµοποιούν τη βιβλιογραφία που προτείνεται και υπάρχει σχεδόν ολόκληρη στη Βιβλιοθήκη του του Τοµέα Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος και την Κεντρική Βιβλιοθήκη του Ιδρύµατος. Αθήνα, Αύγουστος 0 PPap.

6

7 ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Γκανούλης, ΙΓ, 98. Εισαγωγή στη Μηχανική των Ρευστών. Θεσσαλονίκη.. ηµητρίου, Ι, 997. Ρευστοµηχανική, Τεύχος - Εισαγωγή. Αθήνα. 3. ηµητρίου, Ι, 995. Εφαρµοσµένη υδραυλική, Τεύχος Α - Εισαγωγή. Αθήνα. 4. ηµητρίου, Ι, 995. Εφαρµοσµένη υδραυλική, Τεύχος Β - Εφαρµογές. Αθήνα. 5. Κωτσοβίνος ΝΕ, 983. Υδραυλική, Τόµος πρώτος. Ξάνθη. 6. Νουτσόπουλος, Γ 97. Μαθήµατα θεωρητικής και εφηρµοσµένης υδραυλικής, Τεύχος Α. Αθήνα. 7. Νουτσόπουλος, Γ 973. Μαθήµατα θεωρητικής και εφηρµοσµένης υδραυλικής, Τεύχος B. Ροή εις κλειστούς αγωγούς υπό πίεσιν. Αθήνα. 8. Νουτσόπουλος, Γ 976. Αγωγοί µε ελεύθερη επιφάνεια, Ανοικτοί αγωγοί, Σηµειώσεις, ΕΜ Πολυτεχνείο, Αθήνα. 9. Νουτσόπουλος, Γ & Χριστοδούλου, Γ, 996. Μαθήµατα Μηχανικής των Ρευστών για Πολιτικούς Μηχανικούς. Α' Έκδοση. ΕΜ Πολυτεχνείο. 0. Παπαϊωάννου, ΑΘ, 976. Μηχανική των ρευστών, Τόµοι Ι και ΙΙ. Αθήνα.. Ξανθόπουλος, ΘΣ, 975. Μόνιµος ροή υπό πίεσιν εντός κυλινδρικών αγωγών. Τόµος ΙΙ, Εγχειρίδιον γενικής υδραυλικής. Θεσσαλονίκη.. Τσαγγάρης, Σ, 995. Μηχανική των ρευστών. Εκδόσεις Συµεών, Αθήνα. 3. Bakhmeteff, BA, 93. Hydraulics of open channels. McGraw-Hill. 4. Brater, EF and King, HW, 976. Handbook of hydraulics. Sixth Edition, McGraw-Hill. 5. Chow, VT, 973. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill. 6. Chow, VT, 964, Editor in Chief. Handbook of applied hydrology. McGraw- Hill. 7. Currie, IG, 974. Fundamental mechanics of fluids. McGraw-Hill. 8. Jain, AK, 976. Accurate explicit equation for friction factor. J. Hyd. Eng. ASCE, 9. Daily, JW, & Harlemman, DRF, 966. Fluid dynamics. Addison-Wesley. 0. French, RH, 985. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill.. Henderson, FM, 966. Open channel flow. Macmillan.. Kumar, SG, 993. Transitional flow in channel junctions. J. Hyd. Res., 3(5), Monin, AS and Yaglom, AM (97). Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of turbulence. Volume, MIT Press. 4. Rouse, H, 96. Fluid mechanics for hydraulic engineers. Dover. 5. Schlichting, H, 979. Boundary-layer theory. McGraw-Hill. 6. Streeter, VL, 96. Handbook of fluid dynamics. McGraw-Hill. 7. Sturm, TW, 00. Open channel hydraulics. McGraw-Hill. 8. Tullis, JP, (Editor) 97. Control of flow in closed conduits. Fort Collins, Colorado. 9. Vardy, A, 990. Fluid principles. McGraw-Hill. 30. Viessman, Jr, W, & Hammer, MJ, 993. Water supply and pollution control. Harper Collins. 3. White, FM, 994. Fluid mechanics. 3 rd Edition, McGraw-Hill.

8

9 V p p p - p ρgh V h p ΑΓΩΓΟΙ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ Παναγιώτης Ν. Παπανικολάου, Ph.D. Αθήνα 0 i

10 ii

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... Σωληνοειδείς (µονοδιάστατες) ροές.... Ροή σε κλειστούς (υπό πίεση) αγωγούς....3 Χαρακτηρισµός της ροής Είσοδος σε σωλήνα ανάπτυξη τυρβώδους οριακού στρώµατος Μόνιµη οµοιόµορφη ροή σε σωλήνες Παραδείγµατα και εφαρµογές....7 Γραµµή ενέργειας και πιεζοµετρική γραµµή AΠΩΛΕΙΕΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ ΤΥΡΒΩ ΗΣ ΡΟΗ Κατανοµή µέσης ταχύτητας σε λείους σωλήνες Τραχείς σωλήνες Το πείραµα του Nikuradse....4 Κατανοµή ταχυτήτων σε τραχείς σωλήνες ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ Γενικά ιάγραµµα του Moody Εξίσωση των Swamme & Jain Χαρακτηριστικά προβλήµατα στους αγωγούς υπό πίεση Τυπικές τιµές των σταθερών υπολογισµού και τραχύτητας αγωγών ΑΓΩΓΟΙ ΜΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΙΑΤΟΜΗΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙ-ΣΜΟΥ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΠΩΛΕΙΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Τύπος του Chézy Άλλοι εµπειρικοί τύποι Εξίσωση των Hazen - Williams ΜOΝΙΜΗ ΑΝΟΜΟΙOΜΟΡΦΗ ΡΟH Χαρακτηριστικά συγκλίνουσας ή αποκλίνουσας ροής Απώλειες ενέργειας σε συγκλίνουσα και αποκλίνουσα ροή Αλλαγές κατεύθυνσης καµπύλες και γωνίες ικλίδες ρύθµιση της ροής (δες επίσης Παράρτηµα Β) Ισοδύναµο µήκος σηµασία των τοπικών απωλειών ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΩΛΗΝΩΝ Ορισµοί: Υπολογισµοί συστηµάτων σωλήνων Αγωγοί σε σειρά Παράλληλοι αγωγοί Ισοδύναµοι αγωγοί Γήρανση των αγωγών ενός δικτύου ΕΞΑΜΕΝΕΣ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΤΑ ΙΚΤΥΑ - ΑΝΤΛΙΕΣ Είδη αντλιών Φυγοκεντρικές αντλίες Xαρακτηριστικές καµπύλες αντλιών Σηµείο λειτουργίας αντλίας - δικτύου iii

12 9.5 Παράλληλη σύνδεση αντλιών Σύνδεση αντλιών σε σειρά Σπηλαίωση (cavitation) Καθαρό ύψος αναρρόφησης αντλίας (Net positive suction head - NPSH) Σίφωνας ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΑΓΩΓΟΙ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ Α. Το θεώρηµα των Π του Buckingham Α. Συστηµατοποίηση της εφαρµογής του θεωρήµατος Π ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΙΚΛΙ ΕΣ iv

13 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Σωληνοειδείς (µονοδιάστατες) ροές Σωληνοειδής χαρακτηρίζεται η ροή ρευστού σε αγωγούς που η µορφή τους έχει το σχήµα ενός σωλήνα. Ας θυµηθούµε από τη µηχανική των ρευστών τους ορισµούς της γραµµής ροής, του ροϊκού νήµατος και του ροϊκού σωλήνα, του οποίου τα τοιχώµατα αποτελούνται από ροϊκά νήµατα. Ο ορισµός σωληνοειδής ροή (Γκανούλης, 98) είναι ταυτόσηµος µε τον όρο "µονοδιάστατη ροή", δηλαδή η ροή την οποία αναλύουµε σε µια µόνο διάσταση. Σωλήνας Ροϊκό νήµα Κανάλι Ροϊκός σωλήνας Σχήµα. Σωληνοειδής ροή σε αγωγό υπό πίεση (σωλήνα) και αγωγό µε ελεύθερη επιφάνεια (πρισµατικό κανάλι). Κλασσικά παραδείγµατα σωληνοειδών ροών αποτελούν τα εξωτερικά υδραγωγεία (αγωγοί υπό πίεση ή διώρυγες µεταφοράς νερού), τα δίκτυα ύδρευσης, τα αρδευτικά κανάλια κ.α. Η ροή σε κάθε ένα αγωγό από τους παραπάνω θεωρείται ότι είναι µονοδιάστατη (σωληνοειδής). Τα τοιχώµατα ενός σωλήνα ορίζουν το ροϊκό σωλήνα, ενώ σε ένα κανάλι ο ροϊκός σωλήνας αποτελείται από τη βρεχόµενη περίµετρο και την ελεύθερη επιφάνεια.

14 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση - εξαµενή Οικισµός ίκτυο ύδρευσης Σχήµα. Σύστηµα διανοµής νερού µε δίκτυο σωλήνων υπό πίεση. Στα παραπάνω παραδείγµατα οι αγωγοί του ρευστού έχουν ενιαία διατοµή κατά τµήµα. Η ροή ενός ποταµού ή φυσικού υδατορρεύµατος, µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι µονοδιάστατη (αν και η διατοµή του διαφέρει καθ όλο το µήκος) και να αναλυθεί µε βάση τις αντίστοιχες αρχές. Ποταµός Θάλασσα Σχήµα.3 Ένας ποταµός είναι αγωγός µε ελεύθερη επιφάνεια που η εγκάρσια διατοµή του µεταβάλλεται χωρικά. ύο είναι οι βασικές κατηγορίες της µονοδιάστατης (σωληνοειδούς ροής) που πρόκειται να διερευνηθούν στα κεφάλαια που ακολουθούν. (α) Οι αγωγοί υπό πίεση ή κλειστοί αγωγοί και (β) οι αγωγοί µε ελεύθερη επιφάνεια ή ανοικτοί αγωγοί.. Ροή σε κλειστούς (υπό πίεση) αγωγούς Ως ροή υπό πίεση ορίζοµε αυτή στην οποία το ρευστό καλύπτει ολόκληρη τη διατοµή του αγωγού, ενώ η πίεση είναι διαφορετική από την ατµοσφαιρική. εν υπάρχει ελεύθερη επιφάνεια αφού τα όρια της ροής συµπίπτουν µε τα τοιχώµατα του αγωγού. Με αγωγούς υπό πίεση µεταφέρουµε νερό για ύδρευση, άρδευση ή για την κίνηση των υδροδυναµικών µηχανών (υδροστροβίλων). Ορισµοί που θα χρησιµοποιούνται στο εξής για την περιγραφή της ροής σε αγωγούς υπό πίεση δίδονται στη συνέχεια. Οµοιόµορφος: Σωλήνας: Στη πράξη: Ονοµάζεται ο κλειστός (υπό πίεση) αγωγός µε σταθερή διατοµή και ενιαία κλίση. Ονοµάζεται ο αγωγός µε κυκλική διατοµή Συνήθως χρησιµοποιούµε κυκλικούς αγωγούς (σωλήνες) και αγωγούς ορθογωνικής ή τετραγωνικής διατοµής.

15 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -3 Η πίεση: Κατανέµεται υδροστατικά, κάθετα στις γραµµές ροής (ή στην κύρια διεύθυνση του αγωγού). Συνήθως, όταν αναφερόµαστε στην πίεση, εννοούµε αυτή στον άξονα του αγωγού. Iδιαίτερα, υδροστατική κατανοµή της πίεσης εµφανίζεται στην περιοχή µόνιµης * και οµοιόµορφης ροής που είναι η περισσότερο συνηθισµένη περίπτωση ροής σε αγωγούς υπό πίεση. Στον οριζόντιο σωλήνα του Σχήµατος.4 µε οµοιόµορφη παράλληλη ροή, η πίεση στην κατώτερη και ανώτερη γενέτειρα του σωλήνα διαφέρει από αυτή στον άξονα κατά ± ρgd/ αντίστοιχα. p-ρgd/ D p x p+ρgd/ Σχήµα.4 Υδροστατική κατανοµή των πιέσεων σε ένα σωλήνα µε µόνιµη ροή..3 Χαρακτηρισµός της ροής Σαν µόνιµη οµοιόµορφη ροή ορίζουµε τη ροή που πραγµατοποιείται σε αγωγούς ικανού µήκους για την οποία: () Οι γραµµές ροής είναι παράλληλες µεταξύ τους, () Η ταχύτητα είναι σταθερή κατά µήκος µιας γραµµής ροής και (3) Η πίεση κατανέµεται υδροστατικά, κάθετα στις γραµµές ροής. Σαν µόνιµη ανοµοιόµορφη ροή ορίζουµε τη ροή στην οποία το διάνυσµα της ταχύτητας µεταβάλλεται κατά µήκος της γραµµής ροής (ακόµη και αν υπάρχει οµοιόµορφη τοπικά ροή, σε διαφορετικές διατοµές του αγωγού). Η µόνιµη ανοµοιόµορφη ροή διακρίνεται σε: () Επιταχυνόµενη (συγκλίνουσα) ροή, () Επιβραδυνόµενη (αποκλίνουσα)ροή, ή (3) Ροή σε καµπύλη. Μόνιµη ανοµοιόµορφη ροή συναντούµε κυρίως στις αλλαγές διαµέτρου του σωλήνα, σε καµπύλες αγωγών (οριζοντιογραφικές ή σε µηκοτοµή αλλαγές κατεύθυνσης του αγωγού), σε συσκευές ελέγχου της ροής (µετρητές Venturi) καθώς και στην εισροή ή την εκροή από και προς δεξαµενές αντίστοιχα. * Μόνιµη ονοµάζεται η ροή στην οποία η παροχή (και ως εκ τούτου η ταχύτητα) σε δεδοµένη διατοµή του αγωγού παραµένουν αµετάβλητες στο χρόνο. Μη µόνιµη ονοµάζεται η ροή στην οποία η παροχή είναι συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή QQ (t). Ένα παράδειγµα είναι η ροή από δεξαµενή σε αγωγό, χωρίς προσθήκη υγρού στη δεξαµενή (άδειασµα). Εφόσον οι µεταβολές της παροχής στο χρόνο είναι αργές, η ροή που µελετάµε µπορεί να θεωρηθεί σαν µόνιµη σε δεδοµένες χρονικές στιγµές (π.χ. η πληµµυρική παροχή µεγάλου ποταµού). Όταν οι µεταβολές της παροχής στο χρόνο είναι µεγάλες, επιδρούν στα δυναµικά χαρακτηριστικά της ροής (π.χ. το απότοµο κλείσιµο δικλείδας δηµιουργεί κύµατα υπερπίεσης και υποπίεσης στον αγωγό, λόγω της αδράνειας της µάζας του ρευστού που κινείται. Έτσι ο αγωγός υπερφορτίζεται από δυνάµεις λόγω πιέσεων, το δε φαινόµενο ονοµάζεται υδραυλικό πλήγµα (waterhammer) ή πλήγµα κριού.

16 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -4 U U Περιοχή Αποκόλλησης Σχήµα.5 Ροή σε κωνικό αγωγό µε τοιχώµατα που συγκλίνουν (αριστερά) και σε καµπύλη 90 ο αλλαγής διεύθυνσης (αριστερά). Στρωτή ονοµάζεται η ροή σε ένα αγωγό όταν ο αριθµός Reynolds (Re) είναι µικρότερος από, κάποια κρίσιµη τιµή (Re c ). Ο αριθµός Reynolds ορίζεται ως γνωστον από τη σχέση Re VD ν, όπου V είναι κάποια χαρακτηριστική ταχύτητα (συνήθως η µέση ταχύτητα ροής στη διατοµή), D είναι κάποιο χαρακτηριστικό µήκος του πεδίου ροής (συνήθως είναι η διάµετρος προκειµένου περί κυκλικού αγωγού ή κάποια άλλη χαρακτηριστική εγκάρσια κλίµακα µήκους) και ν µ/ρ είναι το κινηµατικό ιξώδες του ρευστού. O κρίσιµος αριθµός Reynolds εξαρτάται από τη γεωµετρία της διατοµής του αγωγού. Είναι διαφορετικός σε έναν κυκλικό αγωγό απ ότι σ ένα τριγωνικό ή ορθογωνικό που έχουν το ίδιο εµβαδόν εγκάρσιας διατοµής. Η τιµή του κρίσιµου αριθµού Reynolds σε σωλήνα (κλειστό αγωγό κυκλικής διατοµής) είναι περίπου Στην πράξη είναι δυνατόν να επιτύχουµε στρωτή ροή σε σωλήνα µε αριθµό Reynolds έως και Η ροή όµως είναι ιδιαίτερα (υδροδυναµικά) ασταθής και η παραµικρή διαταραχή (όπως ένα κτυπηµατάκι στο σωλήνα) θα τη µετατρέψει αµέσως σε τυρβώδη. Τυρβώδης ονοµάζεται η ροή για την οποία ο Re υπερβαίνει κάποια κρίσιµη τιµή Re c. Σε κυκλικούς αγωγούς (σωλήνες) υπό πίεση συνήθως θεωρούµε ότι Re c Στην πράξη, τα προβλήµατα που αντιµετωπίζει ο Πολιτικός Μηχανικός σε σωλήνες, αφορούν τυρβώδη ροή. Πρακτικά µιλώντας, ένας σωλήνας οικιακής παροχής διαµέτρου.85cm δηλαδή 3/4 µπορεί να γεµίσει το καζανάκι στην τουαλέτα χωρητικότητας 5Lt σε χρόνο µικρότερο του ενός λεπτού της ώρας. Αυτό σηµαίνει ότι η µέση ταχύτητα ροής είναι τουλάχιστον 30cm/s, δηλαδή ο αριθµός Re30.85/ >Re c (v 0.0cm /s για θερµοκρασία νερού περί τους 0 ο C). Οι αγωγοί µεταφοράς νερού από την πηγή στη δεξαµενή ενός οικισµού καθώς επίσης και οι αγωγοί του δικτύου ύδρευσης του οικισµού έχουν εσωτερική διάµετρο τουλάχιστον 90mm, η παροχή που µεταφέρουν είναι της τάξης µερικών L/s, η δε τιµή του αριθµού Reynolds µπορεί να κυµαίνεται από έως και µερικά εκατοµµύρια. Είναι εποµένως σκόπιµο να µελετήσουµε στο εξής µόνο την τυρβώδη ροή, δεδοµένων των πρακτικών εφαρµογών τις οποίες έχει κατά νου ο Πολιτικός Μηχανικός.

17 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -5.4 Είσοδος σε σωλήνα ανάπτυξη τυρβώδους οριακού στρώµατος Η φωτογραφία του Σχήµατος.6(α) δείχνει το προφίλ (κατανοµή) της αξονικής ταχύτητας σε σωλήνα όταν η ροή είναι στρωτή, εφαρµόζοντας τη µέθοδο οπτικοποίησης της ροής µε φυσσαλίδες υδρογόνου. Παρατηρούµε ότι η κατανοµή της ταχύτητας µεταβάλλεται σαν συνάρτηση της απόστασης από τη στρογγυλευµένη διατοµή εισόδου στον σωλήνα, από ορθογωνική που αντιστοιχεί σε οµοιόµορφη ροή έως παραβολική, που είναι η κατανοµή ταχύτητας της µόνιµης στρωτής ροής Poiseuille. Η µετάβαση από οµοιόµορφη σε παραβολική κατανοµή ταχύτητας παρουσιάζεται σχηµατικά στο Σχήµα.6(β). Παρατηρούµε ότι σε µήκος L e από την είσοδο του νερού αναπτύσσεται το στρωτό αξονοσυµµετρικό οριακό στρώµα στο σωλήνα, ενώ υπάρχει µια περιοχή γύρω από τον άξονα όπου η ροή είναι οµοιόµορφη (πυρήνας ή core), η δε τιµή της οµοιόµορφης ταχύτητας εκεί αυξάνεται (γιατί;) σαν συνάρτηση της απόστασης από την είσοδο. Η περιοχή 0<x< L e ονοµάζεται περιοχή εισόδου όπου η ροή είναι ανοµοιόµορφη χωρικά, το δε µήκος L e ονοµάζεται µήκος εισόδου. Η περιοχή x>l e ονοµάζεται περιοχή της εγκατεστηµένης, πλήρως ανεπτυγµένης µόνιµης ροής, όπου η κατανοµή της αξονικής ταχύτητας παραµένει αµετάβλητη. Το µήκος εισόδου όταν η ροή είναι στρωτή δίδεται από τη σχέση L e (0.06Re)D και µπορεί να φθάσει τις 40 διαµέτρους για οριακές τιµές του αριθµού Reynolds (Re 300). (α) πυρήνας οριακή στοιβάδα (β) µήκος εισόδου L e ανεπτυγµένη ροή Σχήµα.6 Ανάπτυξη στρωτής ροής κατά την είσοδό της σε σωλήνα, (α) οπτικο-ποίηση µε τη µέθοδο φυσσαλίδων υδρογόνου και (β) σχηµατική ανάπτυξη του οριακού στρώµατος εισόδου. Visualized flow, 988, Fig 3, Flow in an inlet region of a circular pipe (water, flow velocity 6 cm/s, pipe diameter 7 mm, Re.6 0 3, hydrogen bubble method, Japan Society of Mechanical Engineers Ed., Pergamon Press. F. Durst, S. Ray, B. Ünsal & O.A. Bayoumi, 005. The development lengths of laminar pipe and channel flows. Trans. ASME, 7,

18 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -6 Στο διάγραµµα του Σχήµατος.7 παρουσιάζονται τα προφίλ της µέσης κατά µήκος ταχύτητας σε διαφορετικές αποστάσεις από την είσοδο αέρα στην αεροσήραγγα κυκλικής διατοµής διαµέτρου 8.cm και µήκους 3m του Εργαστηρίου Υδροµηχανικής και Περιβαλλοντικής Τεχνικής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας, που µετρήθηκαν µε καθολικό σωλήνα Pitot 3. Επειδή η αεροσήραγγα είναι αναρροφητικού τύπου µε την αντλία τοποθετηµένη στην έξοδο αυτής, έχει τοποθετηθεί στην είσοδο σταυρός από δύο λεπτά ελάσµατα για την αποφυγή στροβιλισµού της ροής στο σωλήνα (µηδενική µέση εφαπτοµενική ταχύτητα u θ 0). Η µέση ταχύτητα εισόδου είναι m/s, ο δε αριθµός Reynolds της ροής είναι περίπου ReVD/ν Το µήκος ανάπτυξης του τυρβώδους οριακού στρώµατος, δηλαδή η απόσταση όπου το οριακό στρώµα έχει πάχος ίσο µε την ακτίνα του σωλήνα εκτιµάται από πειραµατικές µετρήσεις ότι βρίσκεται σε απόσταση L e (4.40Re /6 )D.50m, όπου η ροή θεωρείται πλήρως ανεπτυγµένη. Το µήκος ανάπτυξης είναι περίπου ίσο µε την µέγιστη απόσταση από την είσοδο της αεροσήραγγας όπου έγιναν οι µετρήσεις (.534m), το δε προφίλ της ταχύτητας (µαυρισµένοι κύκλοι) σε µεγαλύτερες αποστάσεις παραµένει ουσιαστικά αµετάβλητο r (cm) 0 - x54mm x94mm x774mm x574mm x534mm Σχήµα u (m/s) Ανάπτυξη τυρβώδους οριακού στρώµατος κατά την είσοδο αέρα σε αεροσήραγγα 4. Στη συνέχεια θα αναλύσουµε τη µόνιµη οµοιόµορφη, πλήρως ανεπτυγµένη τυρβώδη ροή σε σωλήνες. Στο εξής, θα αναφερόµαστε σε τυρβώδη ροή, εκτός εάν αναφέρουµε ρητά το αντίθετο. 3 Βλ. Παραρτηµα Γ. 4 Εργαστήριο Υδροµηχανικής και Περιβαλλοντικής Τεχνικής, Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας.

19 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -7.5 Μόνιµη οµοιόµορφη ροή σε σωλήνες Σχήµα.7 Σχηµατικό διάγραµµα της πλήρως ανεπτυγµένης τυρβώδους ροής σε σωλήνα. Θεωρούµε τον κεκλιµένο σωλήνα του σχήµατος όπου η ροή είναι (α) µόνιµη δηλαδή / t0, (β) οµοιόµορφη δηλαδή / x 0, (γ) πλήρως ανεπτυγµένη, (δ) αξονοσυµµετρι-κή µε κυλινδρική συµµετρία και (ε) τυρβώδης. Οι µέσες χρονικά (time-averaged) εξισώσεις συνέχειας και ορµής ή ποσότητας της κίνησης της ροής, που ονοµάζουµε εξισώσεις Reynolds, στην ακτινική και αξονική διεύθυνση µπορούν να γραφούν ως ακολούθως [u(r)u x ]: (α) Εξίσωση συνέχειας r x r r u x u r u r u (επειδή u x / x 0) (.) (β) Εξίσωση Reynolds (ποσότητας της κίνησης ή ορµής) στην αξονική διεύθυνση x u u x u u u r r u r r r x h g x p x u u r u u x u r u r r u x z g x p r u u x u u x x x r x x r x x x x r x x x ρ µ ρ µ ρ ρ ρ µ ρ ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) ( ) ( ή ( ) τ ρ ρ r r r g x p x 0 + (.) όπου ' ' r u x u r u ρ µ τ Οι συνιστώσες της ταχύτητας µε τους τόνους αντιστοιχούν στη διακύµανσή τους σε σχέση µε τη µέση ταχύτητα στο σηµείο που µελετούµε, είναι δηλαδή x x x u u u '. R x u x u r u θ u x r θ α u r u θ r θ Εγκάρσια τοµή z

20 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -8 (γ) Εξίσωση ορµής (ποσότητας της κίνησης) στην ακτινική διεύθυνση ( urur ) ( uru x ) p z µ u r u r ur u x ( u' r u' r ) ( u' r u' x ) + g r x ρ r r ρ r r r r x r x ή επειδή η ροή είναι µόνιµη ( / t 0) και οµοιόµορφη ( / x 0) p ( u' r u' r ) 0 g r ρ r r. (.3) Επειδή όµως οι εξισώσεις της ορµής στις διευθύνσεις r και θ περιέχουν µόνο τον όρο της πίεσης, του οποίου οι µερικές παράγωγοι ως προς r και θ µηδενίζονται, η εξίσωση (.) µπορεί να γραφτεί ως εξής (οι µερικές παράγωγοι γίνονται ολικές παράγωγοι) dp + ρ gz + dx r d dr ( rτ) 0 ή µετά από ανασύνταξη των όρων και διαιρώντας δια ρg d dx p ρg (.4) d + z ( τr). (.4α) ρgr dr Η εξίσωση της ενέργειας ανάµεσα σε δύο κοντινές διατοµές του αγωγού που απέχουν dx µεταξύ τους µπορεί να γραφτεί ως εξής H ( x) H ( x+ dx) + dh (.5) ή για πεπερασµένο µήκος αγωγού x ανάµεσα σε δύο διατοµές () και () όπου και H (.6) H H H + H a( ) p V + z + (.7) ρg g α p V + z + (.8) ρg g α είναι οι αντίστοιχες ενεργειακές στάθµες στις δύο διατοµές. Ο διορθωτικός συντελεστής α είναι απόρροια της παραδοχής της οµοιόµορφης µέσης ταχύτητας στη διατοµή, η οποία στην πραγµατικότητα δεν ισχύει. Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις ενέργειας µεταξύ των διατοµών x και x+ x θεωρώντας ότι οι µέσες ταχύτητες είναι ίδιες (από την εξίσωση συνέχειας) προκύπτει ότι p p H ( ) + z + z ρg ρg (.9) α και σε διαφορική µορφή η εξίσωση dh dx d p + z dx ρg (.0)

21 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -9 Ορίζουµε την κλίση της γραµµής ενέργειας J Ε της ροής ως J E dh d p + z. (.) dx dx ρg Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (.4) έχουµε ότι r d p τr ρg z + C dx + g ρ (.) όπου η σταθερά C µηδενίζεται επειδή η διατµητική τάση τ 0 για r 0 (λόγω αξονικής συµµετρίας της ροής). Εποµένως r d p τ ρg + z dx ρg και στο όριο (τοίχωµα του αγωγού όπου r R D/) R d p D d p τ o ρg + z ρg + z dx ρg 4 dx ρg Eποµένως, από τις σχέσεις (.) και (.4) προκύπτει ότι J E (.3) (.4) 4 τ o. (.5) ρgd Από τη µηχανική των ρευστών υπενθυµίζουµε ότι η αντίσταση λόγω τριβών στην επιφάνεια ενός σώµατος µπορεί να γραφτεί V τ o C f ρ. (.6) όπου C f είναι ο συντελεστής αντίστασης του στερεού ορίου. Από τις δύο προηγούµενες σχέσεις προκύπτει ότι η κλίση της γραµµής ενέργειας είναι J E 4C f V (.7) D g και ορίζοντας το συντελεστή τριβών d p f V J E z dx + g ρ D g f 4C f, η παραπάνω σχέση γράφεται (σχέση των Darcy και Weisbach). (.8) Η σχέση των Darcy - Weisbach είναι γενική και αναζητούµε τρόπους υπολογισµού του συντελεστή τριβών f, έτσι ώστε από την παροχή Q σε αγωγό διαµέτρου D να µπορούµε να υπολογίζουµε τις απώλειες ενέργειας ανά µονάδα µήκους του αγωγού. Για παράδειγµα, το συνολικό ύψος απωλειών ενέργειας στον οριζόντιο αγωγό του Σχήµατος.7 µήκους L είναι h f p(0) p( L) f V J EL L g. (.9) ρ D g

22 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -0 h f J E L p(0)/ρg p(l)/ρg D x x 0 L x L Σχήµα.8 Γραµµή ενέργειας κατά µήκος σωλήνα µήκους L σε µόνιµη, πλήρως ανεπτυγµένη ροή. Για να υπολογίσουµε εποµένως το συντελεστή τριβών f, θα πρέπει να προσδιορίσουµε () την κατανοµή ταχυτήτων στον αγωγό και () το συσχετισµό της διατµητικής τάσης το στο όριο µε την κατανοµή των ταχυτήτων τόσο στη στρωτή όσο και στην τυρβώδη ροή. Παρατήρηση: Στη σχέση των Darcy Weisbach µπορούµε επίσης να καταλήξουµε εφαρµόζοντας την ολοκληρωµατική εξίσωση ποσότητας της κίνησης σε ένα στοιχειώδη όγκο ανάµεσα σε δύο γειτονικές εγκάρσιες διατοµές ενός σωλήνα διαµέτρου D όταν η ροή είναι πλήρως ανεπτυγµένη. Όταν η ροή είναι µόνιµη, δηλαδή η επιτάχυνση του ρευστού είναι µηδενική, υπάρχει ισορροπία των δυνάµεων κατά µήκος του άξονα x που ασκούνται στον στοιχειώδη όγκο (Σχήµα.9), δηλαδή p A p A+ ρ glasinθ τ os ρq( V V ) 0. τ ο z p V τ ο L g sinθ g p V θ D x Σχήµα.9 υναµική ισορροπία ρευστού σε κίνηση σε µόνιµη, πλήρως ανεπτυγµένη ροή σε σωλήνα. Στην παραπάνω εξίσωση θεωρούµε ότι η πίεση και ταχύτητα κατανέµονται οµοιόµορφα στις δύο διατοµές. Όµως, το εµβαδόν διατοµής του κυκλικού αγωγού είναι Α πd /4 και η βρεχόµενη επιφάνεια είναι S πdl PL, όπου P πd είναι η βρεχόµενη περίµετρος του αγωγού. ιαιρώντας τους όρους της εξίσωσης διά ρga έχουµε

23 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση - 4 / / sin gd L gr L P ga L L g p p o H o o ρ τ ρ τ ρ τ θ ρ + όπου ο λόγος R H A/P D/4 ορίζεται ως η υδραυλική ακτίνα της διατοµής. Εάν θεωρήσουµε ένα µικρό όγκο, µήκους L, τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται 4 gd / L z g p o ρ τ ρ + και διαιρώντας διά L 4 / gd z g p L z g p L o ρ τ ρ ρ + + απ όπου προκύπτει η διαφορική εξίσωση (.4) της προηγούµενης παραγράφου 4 gd / z g p dx d o ρ τ ρ +..6 Παραδείγµατα και εφαρµογές Παράδειγµα.. Να προσδιορίσετε το συντελεστή τριβών f σε σωλήνες όταν η ροή είναι στρωτή. Απάντηση Η κατανοµή των ταχυτήτων σε στρωτή ροή σε αγωγό διαµέτρου D που υπόκειται σε δεδοµένη κλίση πίεσης dp/dx, δίνεται από τη σχέση (βλ. Παράγραφο 0.3 Νουτσόπουλος - Χριστοδούλου, 996) + 4 ) ( R r z g p dx d gr r u ρ µ ρ και + z g p dx d gr u U ρ µ ρ 4 (0), (.0) όπου u(0) U είναι η ταχύτητα στον άξονα του σωλήνα. Σε αδιαστατοποιηµένη µορφή ) ( R r U r u (.0α) Η µέση ταχύτητα V στον σωλήνα προκύπτει ότι είναι + z g p dx d gr U u V ρ µ ρ 8 (0) (.) Η διατµητική τάση στο τοίχωµα του σωλήνα συσχετίζει την κλίση της πίεσης µε το συντελεστή τριβών µε τη σχέση 4 4 V f R V h g p dx d gr dr du R r o ρ µ ρ ρ µ τ + (.) απ όπου προκύπτει ότι σε στρωτή ροή ο συντελεστής τριβών σχετίζεται άµεσα µε τον αριθµό Reynolds της ροής µε τη σχέση

24 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση - 64 f, (.3) Re όπου ο αριθµός Reynolds της ροής σε σωλήνα είναι VD VD Re µ /. (.4) ρ ν Παράδειγµα.. Να προσδιορίσετε το συντελεστή τριβών f σε λείους σωλήνες όταν η ροή είναι τυρβώδης, η δε κατανοµή της µέσης ταχύτητας σαν συνάρτηση της απόστασης r από τον άξονα δίνεται από τη σχέση Απάντηση u( r) U r R 6. Γνωρίζουµε ότι (σχέση.6) V f V du τ o C f ρ ρ και τ o µ 4 dr r R 6µ U R όπου V είναι η µέση ταχύτητα στη διατοµή που υπολογίζεται από την εξίσωση συνέχειας Εποµένως R R U V u( r) rdr R π π R o o r R 6 3 rdr... U 4 τ o f V ρ 4 6µ U R 8µ V R f 64µ / ρ 8 VD / Re Παρατήρηση: Σην πραγµατικότητα η κατανοµή των ταχυτήτων σε τυρβώδη ροή σε αγωγό µε ακτίνα R εξαρτάται από τον αριθµό του Reynolds της ροής Re VD / ν ; D R, δίδεται δε προσεγγιστικά από την εκθετική σχέση (Schlichting 979) / n u( r) r, (.5) U R Ο εκθέτης n εξαρτάται από τον αριθµό του Reynolds (Schlichting 979), συγκεκριµένα όταν Re 4 0 3, τότε n 6 όταν Re , τότε n 7 και όταν Re , τότε n 0 Η µέση ταχύτητα V στο σωλήνα προκύπτει από την εφαρµογή της εξίσωσης συνέχειας R U r V u( r) rdr R π π πr R R / n n π rdr... ( n+ )(n + o o όπου Uu(0) είναι η ταχύτητα στον άξονα του αγωγού. U ) (.6)

25 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -3 Στο διάγραµµα του Σχήµατος.0 φαίνεται η κατανοµή της µέσης αδιαστατοποιηµένης ταχύτητας u ( r) / U σαν συνάρτηση της αδιαστατοποιηµένης απόστασης από τον άξονα r / R για στρωτή ροή (εξίσωση.0α) και τυρβώδη ροή σε λείους σωλήνες (εξίσωση.5) για τρείς διαφορετικές τιµές του εκθέτη n. Παρατηρούµε ότι η κατανοµή της ταχύτητας στην τυρβώδη ροή είναι επίπεδη στο κεντρικό τµήµα του σωλήνα. r/r u/u_στρωτή ροή u/u_τυρβώδης n6 u/u_τυρβώδης n7 u/u_τυρβώδης n u/u Σχήµα.0 Αδιάστατα προφίλ ταχύτητας σε λείο σωλήνα. Η διατµητική τάση του ορίου µε βάση την κατανοµή της εξίσωσης (.5) είναι µηδέν, πράγµα αδύνατον για πραγµατικά ρευστά. Ο Blasius (9) εκτίµησε το συντελεστή τριβών από πειράµατα και έδωσε την ακόλουθη εµπειρική σχέση / 4 f Re (.7) που ισχύει για αριθµούς Reynolds στην περιοχή 3000 <Re < Ο ακριβής προσδιορισµός του συντελεστή τριβών f για λείους και όχι µόνον αγωγούς πρόκειται να συζητηθεί στο κεφάλαιο που ακολουθεί. Στο διάγραµµα του Σχήµατος. φαίνεται η µεταβολή του συντελεστή τριβών f για στρωτή ροή σε σωλήνες και τυρβώδη ροή σε λείους σωλήνες όπως προέκυψε από το Παράδειγµα. και την εµπειρική σχέση του Blasius. στρωτή ροή εξίσωση Blasius παράδειγµα. συντ τριβών f ReVD/ν Σχήµα. Μεταβολή του συντελεστή τριβών σαν συνάρτηση του αριθµού Reynolds της ροής σε σωλήνα (α) για στρωτή και (β) για τυρβώδη ροή σε λείο σωλήνα µε βάση το παράδειγµα. και την εµπειρική σχέση του Blasius.

26 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -4 Εφαρµογή.. Αγωγός διαµέτρου D0.50m µεταφέρει γλυκερίνη µε ρυθµό Q0 L/s από δεξαµενή στο εργοστάσιο. Σε ποιο υψόµετρο σε σχέση µε το υψόµετρο του εργοστασίου θα πρέπει να τοποθετηθεί η δεξαµενή όταν απέχει από το εργοστάσιο 000m; Το κινηµατικό ιξώδες της γλυκερίνης είναι ν 0-5 m /s. Η ροή γίνεται µε βαρύτητα χωρίς να υποβοηθείται. Απάντηση Η ταχύτητα στον αγωγό είναι (Q 0.00 m 3 /s) Q 4Q 4(0.00) V 0.05 m/s A πd π(0.50) O αριθµός Reynolds της ροής είναι VD (0.05)(0.50) Re 73< 000 Re ν Εποµένως η ροή είναι στρωτή µε συντελεστή τριβών f Re 73 και γραµµικές απώλειες ενέργειας h f L f D V g g 0.03m.3cm Εποµένως η δεξαµενή θα τοποθετηθεί στο ίδιο επίπεδο µε το εργοστάσιο. c Εφαρµογή.. Να βρεθεί η ισχύς της αντλίας για µεταφορά λαδιού 80 L/min, πυκνότητας ρ900 Kg/m 3 και ιξώδους µ gr/cm/s σε ύψος h 7.50 m µε σωλήνα διαµέτρου 0.05 m και µήκους 75 m. Απάντηση V Q Q A 4 D. 38 m/s π / ρ 0./ ν µ m /s VD (.38)(0.05) Re 07< 000 Re 4 ν. 0 Εποµένως η ροή είναι στρωτή f 64 Re και οι γραµµικές απώλειες ενέργειας είναι f V h f L D g g 588. m Το συνολικό λοιπόν ύψος απωλειών ενέργειας είναι c

27 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -5 H h+ h m. f Η απαιτούµενη ισχύς της αντλίας ( P mgh / t ρ gh / t ρgq; Q / t ) είναι P ρgqh 900 (9.8) (0.8/60) (33.38) 370W.37kW. Εφαρµογή.3. Λείος σωλήνας µήκους 000m και διαµέτρου 00mm µεταφέρει παροχή νερού 50 L/s από τη δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β. Να προσδιορίσετε τη διαφορά της στάθµης Η των δεξαµενών θεωρώντας τη ροή πλήρως ανεπτυγµένη και αµελώντας τις απώλειες εισόδου-εξόδου. Η πυκνότητα του νερού είναι 000 Kg/m 3 και το ιξώδες του 0.00 Kg/m/s. Α Η Απάντηση Q 4Q V.59 m/s A πd π 0.0 VD Re 38300> 000 Re ν 0.00/000 Εποµένως η ροή είναι τυρβώδης και προσεγγιστικά (Re>00000) µε βάση την εµπειρική σχέση του Blasius f / 4 Re Εποµένως οι γραµµικές απώλειες ενέργειας είναι c Β h f f V L D g g 8.58 m Η διαφορά στάθµης των δύο δεξαµενών είναι ίση µε τις γραµµικές απώλειες ενέργειας, δηλαδή Η 8.58m..7 Γραµµή ενέργειας και πιεζοµετρική γραµµή Από τη Μηχανική των Ρευστών γνωρίζουµε ότι το ενεργειακό ύψος (ενέργεια ανά µονάδα βάρους του ρευστού που ρέει, µε διαστάσεις µήκους) σε κάποια διατοµή του αγωγού προκύπτει από την εξίσωση H z+ p ρg V + g (.8)

28 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -6 και οι απώλειες ενέργειας ανάµεσα στις διατοµές () και () είναι Η Η Η όπου z p ρg το υψόµετρο του άξονα από το επίπεδο αναφοράς (datum) το πιεζοµετρικό ύψος στον άξονα V g το ύψος της κινητικής ενέργειας Η το ύψος απωλειών ενέργειας µεταξύ των διατοµών () και (). Στην εξίσωση (.8) θεωρήσαµε ότι η κατανοµή της µέσης ταχύτητας είναι περίπου οµοιόµορφη και ως εκ τούτου ο διορθωτικός συντελεστής α έχει ληφθεί ίσος µε µονάδα. Η απόσταση Η από το επίπεδο αναφοράς για κάθε σηµείο του αγωγού, ορίζει µια γραµµή που ονοµάζεται γραµµή ενέργειας (ΓΕ, ή Energy Line EL). Η απόσταση H V / g z+ p / ρg, ορίζει µια γραµµή που ονοµάζεται πιεζοµετρική γραµµή (ΠΓ ή Hydraulic Grade Line HGL) του αγωγού. Η θέση των γραµµών ενέργειας και πιεζοµετρικής σε σχέση µε τη µηκοτοµή του άξονα, παίζουν καθοριστικό ρόλο στο σχεδιασµό των αγωγών µεταφοράς ρευστών. Σηµείωση: Στην περίπτωση αγωγού µε ενιαία διατοµή οι Γ.Ε. και Π.Γ. είναι παράλληλες µεταξύ τους όταν η ροή είναι πλήρως ανεπτυγµένη. V /g p /ρg Π.Γ. Γ.Ε. Η V /g V p /ρg V z z z Επίπεδο αναφοράς: z 0. x Σχήµα. Γραµµή ενέργειας και πιεζοµετρική γραµµή κατά µήκος αγωγού υπό πίεση.

29 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -7. AΠΩΛΕΙΕΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ Όπως έχουµε ήδη συζητήσει στην παράγραφο.5, ο συντελεστής τριβών σε τυρβώδη ροή εξαρτάται από τη διατµητική τάση στο όριο, δηλαδή από την κατανοµή της ταχύτητας στο όριο. Η κατανοµή της ταχύτητας όµως είναι συνάρτηση της τραχύτητας του ορίου καθώς επίσης και του αριθµό του Reynolds της ροής, σύµφωνα µε τη θεωρία του τυρβώδους οριακού στρώµατος (Schlichting, 979). Στη συνέχεια θα προσδιορίσουµε το συντελεστή τριβών στο όριο (και συνεπώς τις απώλειες ενέργειας) µε βάση τις εκεί συνθήκες ροής.. Κατανοµή µέσης ταχύτητας σε λείους σωλήνες Ως λείος χαρακτηρίζεται ο σωλήνας του οποίου η τραχύτητα (επιφανειακή ανωµαλία) των τοιχωµάτων του είναι µικρότερη από το πάχος του στρωτού οριακού υποστρώµατος δ'. Λείοι µπορούν να θεωρηθούν οι γυάλινοι ή εσωτερικά εφυαλωµένοι σωλήνες, οι χαλκοσωλήνες καθώς επίσης και οι πλαστικοί σωλήνες (από PVC ή HDPE). Στη µηχανική ρευστών ορίσαµε την ταχύτητα διάτµησης του ορίου u * που σχετίζεται µε τη διατµητική τάση στο στερεό τοίχωµα τ ο µε τη σχέση τ o u *. (.) ρ όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού. Η κατανοµή των µέσων (χρονικά ή time-averaged) ταχυτήτων uu(y) στο στρωτό οριακό υπόστρωµα είναι γραµµική συνάρτηση της απόστασης y από το τοίχωµα, δηλαδή

30 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -8 u * u * u y (.) ν στην περιοχή κοντά στο τοίχωµα του αγωγού, δηλαδή όταν 0 < u * y / ν < 5, όπου νµ/ρ είναι το κινηµατικό ιξώδες του ρευστού. Στην περιοχή u * y / ν > (περιοχή του εσωτερικού νόµου) η διατµητική τάση δίδεται από τη σχέση (εξίσωση.) u τ µ ρu'v'. r Πρακτικά µιλώντας, στην περιοχή 0 < u * y / ν < 5 η συνεισφορά της τύρβης στη διατµητική τάση είναι αµελητέα, στην περιοχή 5 < u * y / ν < 70 η συνεισφορά ιξώδους και τύρβης στη διατµητική τάση είναι ίδιας τάξης µεγέθους, ενώ στην περιοχή u * y / ν > 70 η συνεισφορά του ιξώδους στη διατµητική τάση είναι αµελητέα συγκρινόµενη µε την τυρβώδη διατµητική τάση ρu'v'. Στην περιοχή ισχύος του εσωτερικού νόµου ( u * y / ν > 70 ) και κοντά στο τοίχωµα, εφαρµόζοντας τη θεωρία του µήκους ανάµειξης του Prandtl προσεγγιστικά ισχύει ότι τ τ ρu' v' ρl o du dy du dy Θεωρώντας επίσης ότι l κy (Prandtl) έχουµε ότι du du du u* τ o ρu* ρκ y ή dy dy dy κ y. du dy d( yu* / ν ) u* κ y κ yu* / ν απ όπου µε ολοκλήρωση προκύπτει η λογαριθµική εξίσωση κατανοµής της µέσης ταχύτητας uu(y) u u* y.3 u* y ln + C log + C, (.3) u κ ν κ ν * όπου yr-r είναι η κάθετη απόσταση από το τοίχωµα και κ είναι η σταθερά του von Karman. Από πειραµατικά δεδοµένα που έχουν προκύψει από µετρήσεις σε σωλήνες C5.50 και κ 0.40, εποµένως η εξίσωση (.3) γράφεται ως u u * u 5.75 log * ( R r) (εσωτερικός νόµος universal law). (.4) ν Η σχέση αυτή της διανοµής των ταχυτήτων προκειµένου περί λείων σωλήνων, παριστάνει µε πολύ καλή προσέγγιση την κατανοµή των ταχυτήτων σε ολόκληρη την τυρβώδη ζώνη, µέχρι και τον άξονα του σωλήνα. Οι σχέσεις (.) και (.4) απεικονίζονται γραφικά στο Σχήµα., όπου παρουσιάζονται και τα αποτελέσµατα πειραµατικών µετρήσεων σε αδιάστατη µορφή. Παρατηρούµε ότι η περιοχή όπου η αδιάστατη απόσταση από το τοίχωµα 5 < u * y / ν < είναι µεταβατική, δηλαδή τα πειραµατικά δεδοµένα αποκλίνουν από τις εξισώσεις (.) και (.4). Στην εξίσωση (.4) όταν r0 η ταχύτητα είναι µέγιστη, δηλαδή u(0)u και γράφεται ως U u * u* R 5.75 log (.4α) ν

31 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -9 Εξίσωση (.4) Εξίσωση (.) Σχήµα. Κατανοµή των ταχυτήτων σε λείους σωλήνες - εσωτερική περιοχή (Schlicting, 979, Fig. 0.4, σελ.60). Αφαιρώντας τις εξισώσεις (.4) και (.4α) κατά µέλη, καταλήγουµε στη σχέση U u R 5.75log u R r * (εξωτερικός νόµος velocity defect law). (.5) Η σχέση αυτή που ονοµάζεται και νόµος της διαφοράς των ταχυτήτων, διαπιστώθηκε ότι ισχύει τόσο για λείους σωλήνες, όσο και για τραχείς στην περιοχή 0.0<r/R<. Όµως από τις σχέσεις τ o f V u * και τ o ρ (.6) ρ 4 (V είναι η µέση ταχύτητα στη διατοµή του σωλήνα) προκύπτει η σχέση f u * V. (.7) 8 Σε συνδυασµό µε την εξίσωση συνέχειας η αδιαστατοποιηµένη µέση ταχύτητα V είναι V u * R Ru ( ) ln * +.75 u r πrdr πr ν 0 (.8) όπου u(r) λαµβάνεται από την εξίσωση (.4). Από τις εξισώσεις (.7) και (.8) καταλήγουµε στη σχέση 8 RV.50 ln f ν f RV log 8 ν f (.9) απ' όπου προκύπτει ότι ο συντελεστης τριβών f είναι συνάρτηση του αριθµού Reynolds της ροής ReVD/ν, DR είναι η διάµετρος του σωλήνα. Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και από τη διαστατική ανάλυση (βλ. Παράρτηµα Α). Μετά από πράξεις

32 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -0 f.033log f ( Re ) 0. 9 (.9α) Η παραπάνω σχέση βρίσκεται σε συµφωνία µε τη σχέση f ( Re ) log f (.0) που προέκυψε από τα πειραµατικά δεδοµένα διάφορων ερευνητών. Οι σταθερές.00 και προέκυψαν από µετρήσεις σε λείους σωλήνες σε τυρβώδη ροή όπως φαίνεται από το διάγραµµα του Σχήµατος. και αντικαθιστούν αυτές της εξίσωσης (.9α). Στο εν λόγω διάγραµµα εµφανίζονται τα πειραµατικά δεδοµένα από διάφορους ερευνητές σε αδιάστατη µορφή (/ f σαν συνάρτηση του Re f). Αντικαθιστώντας, η εξίσωση (.0) για λείους σωλήνες γράφεται ( ) Re Re f 0.80 log.5 log f f (.0α) και ισχύει για τυρβώδη ροή σε σωλήνα για οποιαδήποτε τιµή του Re δεδοµένου ότι υπερβαίνει την κρίσιµη τιµή µετάβασης σε τύρβη (βλ. Σχήµα.). Σχήµα. Μεταβολή του συντελεστή τριβών / f σαν συνάρτηση του Re f σε λείους σωλήνες (Schlicting, 979, Fig. 0.9, σελ.60).. Τραχείς σωλήνες Ορίζουµε σαν τραχύ τον σωλήνα του οποίου η τραχύτητα (επιφανειακή ανωµαλία) των τοιχωµάτων του είναι µεγαλύτερη από το πάχος του στρωτού οριακού υποστρώµατος δ'. Στους τραχείς σωλήνες (Σχήµα.3) υπάρχουν προεξοχές, µε αποτέλεσµα η διατµητική τάση του ορίου και κατ επέκταση η κατανοµή ταχυτήτων να επηρεάζονται απ αυτές. Ορίζοντας σαν k το χαρακτηριστικό ύψος της τραχύτητας. όταν k < δ' οι προεξοχές είναι πλήρως βυθισµένες στο στρωτό οριακό υπόστρωµα και ουδεµία επίδραση έχουν στην κατανοµή των ταχυτήτων.

33 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -. όταν k >> δ' έχει αποδειχτεί πειραµατικά ότι ο f είναι ανεξάρτητος του Re, εξαρτάται δε από το λόγο k/d. (a) δ k (b) k δ Σχήµα.3 Τοιχώµατα (a) "λείων" και (b) τραχέων σωλήνων..3 Το πείραµα του Nikuradse O Nikuradse κόλλησε ισοµεγέθεις (ίσης διαµέτρου ) κόκκους άµµου µεγέθους k s σε σωλήνες διαφορετικών διαµέτρων και διερεύνησε πειραµατικά τη µεταβολή του συντελεστή τριβής f για µεγάλο εύρος τιµών των Re και k s /D. Βοηθούµενος από τη διαστατική ανάλυση (βλ. Παράρτηµα Α), κατέληξε στις ακόλουθες τρεις περιοχές ροής: Υδραυλικά λεία περιοχή: Θεωρείται η περιοχή 0 < u * k s /ν < 5 όπου η τραχύτητα του σωλήνα είναι µικρή και οι προεξοχές βρίσκονται µέσα στο στρωτό οριακό υπόστρωµα. Ο συντελεστής τριβών είναι συνάρτηση µόνο του αριθµού Reynolds της ροής f f (Re) Μεταβατική περιοχή: Θεωρείται η περιοχή 5 < u * k s / ν < 70 όπου η τραχύτητα του σωλήνα είναι τέτοια που οι προεξοχές εν µέρει τέµνουν το στρωτό οριακό υπόστρωµα. Ο συντελεστής τριβών είναι συνάρτηση του αριθµού Reynolds και της σχετικής τραχύτητας k s / D f f (Re, k s / D) Τραχεία περιοχή: Θεωρείται η περιοχή u * k s /ν > 70 όπου οι προεξοχές του σωλήνα τέµνουν το στρωτό οριακό υπόστρωµα. Ο συντελεστής τριβών είναι συνάρτηση µόνο της σχετικής τραχύτητας f f ( k / D) s Στο σχήµα.4 φαίνεται η µεταβολή του συντελεστή τραχύτητας f κατά Nikuradse για διαφορετικές τιµές της σχετικής τραχύτητας k s /D του σωλήνα και του αριθµού Reynolds Re της ροής.

34 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση - Σχήµα.4 Συντελεστές τριβών για τοιχώµατα σωλήνων µε τεχνητή τραχύτητα (Schlicting, 979, Fig. 0.8, σελ.67)..4 Κατανοµή ταχυτήτων σε τραχείς σωλήνες Σε τραχείς σωλήνες η κατανοµή ταχυτήτων που προέκυψε από µετρήσεις είναι της µορφής u u * y Alog + B (.) k s όπου Α και Β είναι σταθεροί συντελεστές. Στην περιοχή ισχύος του εξωτερικού νόµου διαφοράς των ταχυτήτων, η κατανοµή θα πρέπει να είναι συµβατή τόσο σε τραχείς όσο και σε λείους σωλήνες, εποµένως ο συντελεστής Α Η τιµή της σταθεράς Β εξαρτάται από τον αριθµό Reynolds u * k s /ν που βασίζεται σε µεγέθη γύρω από το στερεό όριο της ροής. Για την υδραυλικά λεία περιοχή (0 < u * k s /ν < 5) η παραπάνω σχέση θα πρέπει να ταυτίζεται µε τη σχέση (.5), δηλαδή τον εσωτερικό νόµο σε λείους σωλήνες. Εποµένως από τις σχέσεις (.5) και (.) και προκύπτει ότι u k B log * s ν. (.) Στην τραχεία περιοχή (u * k s /ν > 70) Β 8.50 και η (.) γράφεται (Σχήµα.5), u y u 5. 75log. * k (.3) s

35 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -3 Σχήµα.5 Κατανοµή ταχυτήτων σε τραχείς σωλήνες (Schlicting, 979, Fig. 0.0, σελ.69). Στη µεταβατική περιοχή (5 < u * k s / ν < 70), δεν υπάρχει αναλυτική σχέση που να περιγράφει το συντελεστή Β, παρά µόνο η σχέση Β Β (u * k s /ν). Η µεταβολή της σταθεράς Β σαν συνάρτηση του u * k s /ν παρουσιάζεται στο Σχήµα.6. Σχήµα.6 Μεταβολή του συντελεστή Β σαν συνάρτηση του u * k s /ν (Schlicting, 979, Fig. 0., σελ. 60).

36 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -4 Στην τραχεία περιοχή ο συντελεστής τριβών µπορεί να εκφραστεί µε τη γενική σχέση f k s k s Γ log + log +. 4 D D (.4) οι δε συντελεστές Γ και από τα πειράµατα του Nikuradse λαµβάνουν τις τιµές -.00 και.4 αντίστοιχα. Στη µεταβατική περιοχή είναι δύσκολο να δοθεί αναλυτική σχέση για το συντελεστή τραχύτητας. Για τους σωλήνες του εµπορίου χρησιµοποιείται ο όρος ΙΣΟ ΥΝΑΜΗ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑ, που αντιστοιχεί στην τραχύτητα k s κατά Nikuradse που δίνει τον ίδιο συντελεστή τριβών f. Οι Colebrook και White κατέληξαν στην ακόλουθη σχέση για τη µεταβατική περιοχή σε σωλήνες του εµπορίου f που µετά από πράξεις (γράφεται f k s D / k s + log 4. log D Re f k s log + D Re f (.5). (.5α) και είναι ασυµπτωτική ως προς τη σχέση της πλήρως τραχείας περιοχής σε τυρβώδη ροή καθώς και ως προς τη σχέση των λείων σωλήνων σε τυρβώδη ροή. Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζεται η πρακτική εφαρµογή των παραπάνω σχέσεων σε προβλήµατα αγωγών υπό πίεση. Εφαρµογή.. Από τη σχέση των Colebrook-White (.5α) για τη µεταβατική περιοχή, να καταλήξετε στις ασυµπτωτικές σχέσεις (.0) και (.4) για υδραυλικά λείους και τραχείς σωλήνες αντίστοιχα. Απάντηση (α) Λείοι σωλήνες: Όταν k s 0, ο λόγος k s /D 0 και εποµένως, η σχέση των C-W γίνεται, f.4 log(9.35) + log ( Re f ) log( Re f ) log ( Re f ) Re f log (β) Τραχείς σωλήνες: Όταν ο σωλήνας είναι τραχύς, k s /D > 0. Εποµένως, όταν Re (λαµβάνει µεγάλες τιµές) ο λόγος 9.35/Re f 0, δηλαδή f k s + log D.4.

37 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -5 Παράδειγµα.. Τµήµα λείου οριζόντιου σωλήνα διαµέτρου 500mm και µήκους 000m µεταφέρει παροχή νερού 500Lt/s θερµοκρασίας 5 ο C. () Να υπολογίσετε την πτώση πίεσης στον αγωγό, () να υπολογίσετε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα και (3) να δώσετε την κατανοµή της ταχύτητας σαν συνάρτηση της ακτίνας. Απάντηση h f J E L p(0)/ρg p(l)/ρg D x x 0 L x L () Η µέση ταχύτητα στον αγωγό είναι Q Q 4Q V.546 m/s A πd / 4 πd π (0.500) Η πυκνότητα και το ιξώδες νερού σε θερµοκρασία 5 ο C είναι ρ Kg/m 3 και µ Kg/m/s, εποµένως το κινηµατικό ιξώδες είναι νµ/ρ m /s. Εποµένως ο αριθµός Reynolds της ροής είναι VD Re ν Από τη σχέση (.0α) που συσχετίζει το συντελεστή τριβών µε τον αριθµό Reynolds της ροής σε λείους σωλήνες Re f Re f log f log f.5.5 µπορούµε µε δοκιµές να προσδιορίσουµε τον f όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. f Re f log Μετά από 3 4 δοκιµές προκύπτει ότι f0.044, εποµένως από τη σχέση των Darcy Weisbach L V h f f m. D g Επειδή η µέση ταχύτητα είναι ίδια κατά µήκος του αγωγού, δηλαδή η πιεζοµετρική γραµµή είναι παράλληλη µε τη γραµµή ενέργειας ισχύει ότι

38 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -6 p h f H p ρg H 74.94kPa. ρg () Από τη σχέση (.5) προκύπτει η µέση διατµητική τάση του ορίου h f 4 h f J E τ o τ o ρgd 9.74 Pa. L ρgd 4L (3) Η ταχύτητα διάτµησης προκύπτει από τη διατµητική τάση τ o u * m/s. ρ H κατανοµή της ταχύτητας σαν συνάρτηση της ακτίνας προκύπτει από τη σχέση (.4) u u* ( R r) u* ( R r) 5.75 log u u* 5.75 log u* ν ν και δίδεται στον παρακάτω πίνακα σαν συνάρτηση της απόστασης r από τον άξονα του σωλήνα, καθώς επίσης και διαγραµµατικά στο πλάι. r (m) yu*/ν u(r) (m/s) r (m) u (m/s) Παράδειγµα.. Εάν ο αγωγός του παραδείγµατος. έχει ισοδύναµη τραχύτητα mm ενώ οι διαστάσεις του και η παροχή που µεταφέρει είναι ίδιες: () Να υπολογίσετε την πτώση πίεσης στον αγωγό, () να υπολογίσετε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα και (3) να δώσετε την κατανοµή της ταχύτητας σαν συνάρτηση της ακτίνας. Απάντηση () Η µέση ταχύτητα και ο αριθµός Reynolds της ροής είναι 4Q VD V.546 m/s και Re πd π (0.500).46 0 ν όπως στο προηγύµενο παράδειγµα. Για να προσδιορίσουµε όµως τις γραµµικές απώλειες ενέργειας και στη συνέχεια την πτώση της πίεσης, πρέπει να εκτιµήσουµε τον συντελεστή τριβών f. Όµως (εξίσωση.8) V f V τ o f V 8 τ o C fρ ρ u* V 4 ρ 8 u* f σχέση που συνδέει τη µέση ταχύτητα µε το συντελεστή τριβών f. Στην πλήρως τραχεία περιοχή (πραγµα που θα εξετασθεί στη συνέχεια) η κατανοµή της µέσης ταχύτητας στο σωλήνα δίδεται από την εξίσωση (.3)

39 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -7 u y R r 5.75log ln u* k s k s Η µέση ταχύτητα ροής υπολογίζεται από την εξίσωση συνέχειας από την οποία προκύπτει ησχέση R V u( r)πrdr u πr Όµως πr R όπου xr/r και δηλαδή 0 * πr πr 0 R 0 R r.50 ln πrdr ks R 0.50 ln.50 ln r R r R πrdr +.50 ln( R).50 ln( k 0 {.50ln( x) } xdx x.50 x ln x s ) πrdr ln x R {.50 ln( R).50 ln( k ) } {.50 ln( R).50 ln( k ) } s s πrdr πr π R 0 πr V u * R.50 ln( R).50 ln( k s ) ( ) ln( ).50 ln( ) u r πrdr + R k s π R 4 0 σχέση που είναι ισοδύναµη µε την 8 R.50 ln ln f k s D k s.50ln D.50 ln k s Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι D k s / D / ln log.0 log 6.55 f k s και f Έλεγχος: Ισχύει η σχέση της πλήρως τραχείας περιοχής; u f V m/s και 8 8 u* k s > 70 6 ν.46 0 *

40 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -8 δηλαδή πρόκειται για την πλήρως τραχεία περιοχή όπως αρχικά υποθέσαµε! Οι γραµµικές απώλειες φορτίου είναι L V h f f m D g που συµπίπτουν µε τις απώλειες του ύψους πίεσης p/ρg, εποµένως p h f H p ρg H 5.80kPa. ρg () Από τη σχέση (.5) προκύπτει η µέση διατµητική τάση του ορίου h f 4 h f J E τ o τ o ρgd 9.0 Pa. L ρgd 4L H κατανοµή της ταχύτητας σαν συνάρτηση της ακτίνας προκύπτει από τη σχέση (.3) u R r 5.75 log u* k s και δίδεται στον παρακάτω πίνακα σαν συνάρτηση της απόστασης r από τον άξονα του σωλήνα, καθώς επίσης και διαγραµµατικά στο πλάι. r (m) (R-r)/k s u(r) (m/s) r (m) u (m/s) Σηµείωση: Για να απαντηθεί το πρώτο ερώτηµα, θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε απ ευθείας τη σχέση (.4) k s log +.4 f D στην οποία οι σταθερές έχουν προσδιοριστεί από πειραµατικά δεδοµένα και διαφέρουν κατά τι από τη σχέση D k s ln log f k s D που προέκυψε παραπάνω. Η όλη διαδικασία υπολογισµού του ορισµένου ολοκληρώµατος R u* V u( r)πrdr πr 0 πρέπει να γίνεται πολύ προσεκτικά και καλό θα ήταν ο σπουδαστής να προσπαθήσει να το αναπαράγει (βλ. άσκηση ).

41 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να δείξετε ότι σε λείους σωλήνες µε τυρβώδη ροή η µέση ταχύτητα V στη διατοµή προκύπτει από τη σχέση (.8) V Ru*.50 ln +.75 u ν *. Να αναπαράξετε τις γραµµές του διαγράµµατος Moody (συντελεστής γραµµικών απωλειών f σαν συνάρτηση του αριθµού Reynolds Re της ροής) στην περιοχή 5000<Re<0 7, για τις εξής περιπτώσεις: () Λείος αγωγός, k s /D0, () Τραχύς αγωγός k s /D0.0000, (3) Τραχύς αγωγός k s /D0.000, (4) Τραχύς αγωγός k s /D0.00, (5) Τραχύς αγωγός k s /D0.0 και (6) Τραχύς αγωγός k s /D0.05. Να χρησιµοποιήσετε το περιβάλλον εργασίας Excel ή αντίστοιχο και να δώσετε το διάγραµµα σε λογαριθµικές κλίµακες αξόνων. 3. Χαλύβδινος σωλήνας διαµέτρου D300mm, µεταφέρει παροχή νερού Q 0.30 m 3 /s από µια πηγή σε ένα οικισµό. Η υψοµετρική διαφορά µεταξύ της στάθµης της πηγής και της δεξαµενής του οικισµού είναι Η 50m και το µήκος του αγωγού είναι L000m. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάτµησης u * και την ισοδύναµη τραχύτητα k s του αγωγού.

42 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -30 Η σελίδα αυτή έχει αφεθεί κενή σκόπιµα.

43 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ 3. Γενικά Οι µεταβλητές και τα σύµβολα που θα χρησιµοποιήσουµε στο κεφάλαιο αυτό είναι L D Q V k s f g ν R το µήκος του αγωγού η διάµετρος του αγωγού η παροχή του αγωγού η µέση ταχύτητα νερού στον αγωγό ο συντελεστής τραχύτητας του αγωγού ο συντελεστής τριβών η επιτάχυνση της βαρύτητας. µ/ρ το κινηµατικό ιξώδες του ρευστού (νερού). ο αριθµός Reynolds που δίνεται από τη σχέση VD R (3.) ν Το ύψος των απωλειών ενέργειας (φορτίου) σε ένα µήκος L του αγωγού υπολογίζεται από τη σχέση των Darcy & Weisbach h L V f D g f J E L (3.)

44 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -3 όπου J f V D g E (3.3) ορίζεται ως η κλίση των γραµµικών απωλειών ενέργειας. Ο συντελεστής τριβών f για τους σωλήνες του εµπορίου µπορεί να υπολογιστεί από τις σχέσεις (α) Υδραυλικά λεία περιοχή f.0 log( R f ) 0.8 (3.4) (β) (γ) Μεταβατική περιοχή (Colebrook - White) f k s log + D Re f Πλήρως τραχεία περιοχή (µεγάλοι αριθµοί Reynolds) k s.0 log +.4 f D (3.5) (3.6) 3. ιάγραµµα του Moody Η επίλυση των παραπάνω σχέσεων (3.4) έως (3.6) µπορεί γίνει είτε αριθµητικά, είτε γραφικά µε το διάγραµµα του Moody (βλ. ιαγράµµατα που ακολουθούν), από το οποίο µπορούµε µε βάση τη σχετική τραχύτητα k s /D των αγωγών του εµπορίου και τον αριθµό Reynolds της ροής να υπολογίσουµε το συντελεστή αντίστασης f. 3.3 Εξίσωση των Swamme & Jain 5 Στη µεταβατική περιοχή (από λεία σε τραχέα τοιχώµατα αγωγών), η σχέση των Colebrook - White αν και δίνει εξαιρετικά αποτελέσµατα, είναι δύσχρηστη επειδή είναι πεπελεγµένη ως προς το συντελεστή τραχύτητας f. Ο Jain (976) προτείνει την εναλλακτική σχέση (αναφέρεται επίσης και ως σχέση των Swamme & Jain) 4 f k s 9.35 log D 3.75 Re f 0.5 f 0.7k s log + D Re (3.5α) που δεν παρουσιάζει τη δυσκολία της σχέσης των Colebrook - White, δεδοµένου ότι µπορούµε να υπολογίσουµε απ' ευθείας το συντελεστή τραχύτητας f σαν συνάρτηση της σχετικής τραχύτητας k s /D και του αριθµού Reynolds της ροής. 5 Jain, AK, 976. Accurate explicit equation for friction factor. ASCE, J. Hyd. Div., 0,

45 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση f_moody S-J f 0.0.E+03.E+04.E+05.E+06.E+07 ReVD/ν Στο παραπάνω διάγραµµα συγκρίνουµε το συντελεστή τραχύτητας στη µεταβατική περιοχή για k s /D υπολογισµένο από τις σχέσεις των Colebrook - White (C-W) και του Jain (S&J). Οι διαφορές που προκύπτουν δεν υπερβαίνουν το 3.0% στους µικρότερους κυρίως αριθµούς του Reynolds. Το διάγραµµα που ακολουθεί είναι το αυθεντικό διάγραµµα που δηµοσιεύτηκε από τον Moody (944).

46 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -34

47 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΠΝ Παπανικολάου ιάγραµµα του Moody Από το βιβλίο: Daily & Harleman, 966. Fluid Dynamics. Addison-Wesley -35

48 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Χαρακτηριστικά προβλήµατα στους αγωγούς υπό πίεση Τα χαρακτηιστικά προβλήµατα που αντιµετωπίζουµε στους αγωγούς υπό πίεση είναι τρία, ανάλογα µε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα. Το πρώτο αφορά στον προσδιορισµό των γραµµικών απωλειών σε σωλήνες, το δεύτερο στον προσδιορισµό της παροχής από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και το ύψος των απωλειών και το τρίτο στον προσδιορισµό της διαµέτρου του αγωγού. ο Τυπικό πρόβληµα εδοµένα Ζητούµενο Παροχή ρευστού Q Ύψος απωλειών h f Κινηµατικό ιξώδες Μήκος αγωγού ιάµετρος αγωγού Τραχύτητα αγωγού ν L D k s ιαδικασία υπολογισµών. Υπολογίζουµε την ταχύτητα ροής: V Q 4 πd. Υπολογίζουµε τον αριθµό Reynolds: R VD ν 3. Υπολογίζουµε το λόγο: Από το διάγραµµα Moody (ή τις σχέσεις των C-W ή S&J) προσδιορίζουµε το συντελεστή τριβών f (βλ. παράπλευρο σχήµα) και στη συνέχεια τις γραµµικές απώλειες ενέργειας h f h L V f D g f J L. E k s D f k s /D R Παράδειγµα 3.. Χαλύβδινος σωλήνας µε ισοδύναµη τραχύτητα k s 0.5 mm και διάµετρο D 500mm, µεταφέρει νερό από µια πηγή σε ένα οικισµό. Άν η παροχή που µεταφέρει είναι Q 0.5 m 3 /s, να προσδιορίσετε την υψοµετρική διαφορά Η µεταξύ της στάθµης της πηγής και της δεξαµενής του οικισµού, εάν το µήκος του αγωγού είναι L 000m. Για το νερό να ληφθεί ν.5x0-6 m /s.

49 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -37 Απάντηση Η διαφορά στη στάθµης της δεξαµενής από αυτή της πηγής Η είναι ίση µε το ύψος των γραµµικών απωλειών ενέργειας h f του αγωγού, αµελώντας τις τοπικές απώλειες ενέργειας. Η λύση του προβλήµατος ανάγεται στο ο τυπικό πρόβληµα των αγωγών υπό πίεση. εδοµένα Ζητούµενo k s 0.5 mm m h f D 500 mm 0.50 m L 000 m Q 0.50 m 3 /s ν.5x0-6 m /s k s /D 0.00 g 9.8m/s Θα υπολογίσουµε την ταχύτητα στον αγωγό, και τον αριθµό Reynolds. Από το διάγραµµα του Moody ή τη σχέση των Colebrook-White θα προσδιορίσουµε το συντελεστή τραχύτητας και στη συνέχεια τις γραµµικές απώλειες h f. 4Q Υπολογίζουµε την ταχύτητα ροής V.55 m/s πd π (0.50) VD Υπολογίζουµε τον αριθµό Reynolds R 0765 ν Υπολογίζουµε το λόγο Από το διάγραµµα Moody βρίσκουµε f 0.0 k s 0.00 D Τέλος υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες ενέργειας h f Εποµένως, Η 3.5 m. Παρατήρηση h f L f V J E L x m. D g Ο συντελεστής τριβών µπορεί να υπολογιστεί απ ευθείας µε τη σχέση S-J 0.5 f ks 5.74 log Re D log (07000) που δεν διαφέρει από το συντελεστή τριβών που υπολογίστηκε από τη σχέση C-W.

50 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -38 ο Τυπικό πρόβληµα εδοµένα Ζητούµενο Ύψος απωλειών h f Παροχή ρευστού Q Κινηµατικό ιξώδες Μήκος αγωγού ιάµετρος αγωγού Τραχύτητα αγωγού ν L D k s ιαδικασία υπολογισµών Λύνοµε τη σχέση των Darcy - Weisbach ως προς V V / D ghf L (3.7) f Oπότε και / 3 / VD ghf D R (3.8) ν L ν f / 3 / ghf D R f (γνωστή τιµή) (3.9) L ν Επίσης k s /D γνωστή τιµή Από το διάγραµµα του Moody (βλ. σχήµα παραπλεύρως) ή από τη σχέση των Colebrook-White µε δεδοµένα τα k s /D και R f βρίσκουµε ή υπολογίζουµε αντίστοιχα απευθείας το f. Τέλος, από τη σχέση (3.7) υπολογίζουµε τήν ταχύτητα V, από την οποία προκύπτει η παροχή Q (πd /4)V. Re f f k s /D R Παράδειγµα 3.. Χαλύβδινος σωλήνας µε ισοδύναµη τραχύτητα k s mm και διάµετρο D 500mm, µεταφέρει νερό από µια πηγή σε ένα οικισµό. Η υψοµετρική διαφορά µεταξύ της στάθµης της πηγής και της δεξαµενής του οικισµού είναι Η60m και το µήκος του αγωγού είναι L000m. Να υπολογιστεί η µέγιστη παροχή νερού Q που µπορεί να µεταφέρει ο αγωγός. Για το νερό να ληφθεί ν.5x0-6 m /s.

51 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -39 Απάντηση εδοµένα Ζητούµενo k s mm 0.00m Q D 500 mm 0.50 m L 000 m h f 60 m ν.5x0-6 m /s k s /D 0.00 g 9.8m/s Τα δεδοµένα και ζητούµενο του προβλήµατος υποδεικνύουν την αντιµετώπιση του ου τυπικού προβλήµατος. Υπολογίζουµε αρχικά το γινόµενο R gh f L f / 3/ D ν Από το διάγραµµα του Moody ή τη σχέση των Colebrook - White µε γνωστά τα k s / D και Rf /, βρίσκουµε (υπολογίζουµε) τον συντελεστή τριβών f Η ταχύτητα προκύπτει από τη σχέση των Darcy - Weisbach λύνοντας ως πρός V V / D gh f L 5.0 m/s f και η παροχή που προκύπτει είναι Q πd V m 3 /s. 3 ο Τυπικό πρόβληµα εδοµένα Ζητούµενο Παροχή ρευστού Q ιάµετρος αγωγού D Κινηµατικό ιξώδες ν Ύψος απωλειών h f Μήκος αγωγού Τραχύτητα αγωγού L k s ιαδικασία υπολογισµών Ο υπολογισµός της διαµέτρου του αγωγού επιτυγχάνεται µε διαδοχικές δοκιµές ως εξής: Υποθέτουµε µια τιµή του f. Λύνοµε τη σχέση των Darcy - Weisbach ως προς D, αντικαθιστώντας Q(πD /4)V

52 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -40 D / f 5 8LQ π gh f / 5 (3.0) Υπολογίζουµε τον αριθµό Reynolds R VD ν Υπολογίζουµε το λόγο k s D Από το διάγραµµα Moody προσδιορίζουµε το f. Αν f f σταµατούµε, αλλιώς επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία ξεκινώντας µε f f µέχρις ότου f i f i+. Η διαδικασία αυτή θα µας δώσει το συντελεστή τραχύτητας αν ξεκινήσουµε µε f 0.00 µετά από δύο ή τρεις δοκιµές. Παράδειγµα 3.3. Πρόκειται να κατασκευαστεί αγωγός µεταφοράς νερού από το φράγµα της περιοχής µε ανώτατη στάθµη ύδατος (ΑΣΥ) +400 m και κατώτατη στάθµη ύδατος (ΚΣΥ) +390 m, στη δεξαµενή της πόλης σε υψόµετρο +350m που βρίσκεται σε απόσταση L000m και απαιτεί παροχή νερού Q 00 l/s. Λαµβάνοντας ν.5x0-6 m /s για το νερό: (α) Να υπολογίσετε την απαιτούµενη διάµετρο χαλύβδινου αγωγού µε ισοδύναµη τραχύτητα k s mm. (β) Σε περίπτωση που χρησιµοποιηθούν λείοι σωλήνες PVC (πλαστικοί), ποια θα είναι η διάµετρος του αγωγού; (γ) Ποια είναι η µέγιστη παροχή που µπορεί να µεταφέρει ο χαλύβδινος αγωγός; Απάντηση εδοµένα Ζητούµενο k s mm 0.00m D Q 00 l/s 0.00 m 3 /s L 000 m h f 40 m ν.5x0-6 m /s k s /D? g 9.8m/s Για να είναι εξασφαλισµένη η παροχή υπολογισµού, αντιστοιχεί στο ελάχιστο διαθέσιµο ενεργειακό φορτίο, δηλαδή στην ελάχιστη στάθµη του νερού στην ανάντη δεξαµενή. Είναι εποµένως h f H -H m (α) Τα δεδοµένα και ζητούµενο του προβλήµατος υποδεικνύουν την αντιµετώπιση του 3 ου τυπικού προβλήµατος. Η λύση επιτυγχάνεται µε διαδοχικές δοκιµές ως εξής: Υποθέτουµε ότι f Λύνοµε τη σχέση Darcy - Weisbach ως πρός D, αντικαθιστώντας Q(πD /4)V

53 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -4 D / 5 8LQ / 5 f 0.78m π gh f Υπολογίζουµε τον αριθµό Reynolds Re VD/ν 798 και το λόγο k s /D µε τα οποία προσδιορίζουµε το νέο f 0.07 από το διάγραµµα του Moody. Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία µέχρι τη σύµπτωση των f. Οι δοκιµές φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. f D V Re k s /D f (m) (m/s) Εποµένως, η ζητούµενη διάµετρος είναι D 0.95 m 95 mm. (β) Στη περίπτωση λείων σωλήνων, k s /D 0. Εφαρµόζοντας την παραπάνω διαδικασία καταλήγουµε στη διάµετρο D 0.5 m για f 0.0. (γ) Η µέγιστη παροχή αντιστοιχεί στο µέγιστο ενεργειακό φορτίο, δηλαδή στη µέγιστη στάθµη του νερού στην ανάντη δεξαµενή. Είναι εποµένως h f H -H m. εδοµένα Ζητούµενο Ύψος απωλειών : h f 50m Παροχή: Q Κινηµατικό ιξώδες: ν.5x0-6 m /s Μήκος: ιάµετρος: Τραχύτητα: L 000 m D 0.95 m k s 0.00 m Έχουµε λοιπόν να επιλύσουµε το o τυπικό πρόβληµα. R gh f L f / 3/ D ν Από το διάγραµµα του Moody ή τη σχέση των Colebrook - White µε γνωστά τα k s /D και Rf / 37997, βρίσκουµε (υπολογίζουµε) τον συντελεστή τριβών f Κατόπιν, η ταχύτητα προκύπτει από τη σχέση των Darcy - Weisbach λύνοντας ως πρός V / V gh D f L f 3.7 m/s και η µέγιστη παροχή προκύπτει από τη σχέση Q πd V m 3 /s.

54 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Τυπικές τιµές των σταθερών υπολογισµού και τραχύτητας αγωγών Το κινηµατικό ιξώδες του καθαρού νερού για θερµοκρασίες µεταξύ 5 και 0 ο C δίδεται µε σφάλµα µικρότερο του 0.5% από την προσεγγιστική σχέση ν T T όπου η θερµοκρασία είναι σε ο C και το ιξώδες σε cm /s. Η παραπάνω σχέση εκτιµήθηκε από τιµές του ιξώδους του καθαρού νερού σαν συνάρτηση της θερµοκρασίας που δίδονται στη βιβλιογραφία. Οι τυπικές τιµές των σταθερών που θα χρησιµοποιούµε στο εξής στο παρόν κείµενο είναι ν.5x0-6 m /s (για νερό θερµοκρασίας 5 ο C) και g9.8m/s (επιτάχυνση της βαρύτητας). Οι συνήθεις τιµές της τραχύτητας για σωλήνες του εµπορίου (σε περίπτωση που αυτή δεν δίνεται) φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. ΕΙ ΟΣ ΑΓΩΓΟΥ Ισοδύναµη τραχύτητα k s PVC ή HDPE (Πλαστικοί) 0. mm (0.000 m) Χυτοσιδηροί σωλήνες 0.5 mm ( m) Χαλύβδινοι σωλήνες.00 mm (0.00 m) Αµιαντοτσιµεντοσωλήνες 0.50 mm ( m) Στην πράξη όµως, επειδή ένα δίκτυο αγωγών σχεδιάζεται για πολυετή χρήση (30 έως 50 ετών), οι µέγιστες απώλειες ενέργειας στους αγωγούς θα πρέπει να υπολογίζονται για το χρόνο ζωής του δικτύου. Η ποιότητα του νερού καθώς και το υλικό κατασκευής των αγωγών δηµιουργούν συνθήκες απόθεσης αλάτων στην εσωτερική επιφάνειά τους, µε αποτέλεσµα την µείωση της παροχετευτικότητας των αγωγών µε την πάροδο του χρόνου λόγω αύξησης της τραχύτητας ή µείωσης της διατοµής τους. Η διεργασία αυτή προκαλεί τη γήρανση του αγωγού, δηλαδή προκαλεί αύξηση των γραµµκών του απωλειών µε την πάροδο του χρόνου. Για το λόγο αυτό, η εµπειρία των Μελετητών Υδραυλικών Έργων, προτείνει τη χρήση σχετικής τραχύτητας όχι µικρότερης από mm (0.00m), για κάθε είδος αγωγού. Παράδειγµα 3.4. Σωλήνας από γυαλί (λείος) διαµέτρου D00mm, µήκους L00m µεταφέρει παροχή νερού Q. Εκφράζοντας τις γραµµικές απώλειες ενέργειας h f CQ και για ν.5x0-6 m /s: (α) Υπολογίστε το C σαν συνάρτηση της παροχής Q και συζητείστε τη συµπεριφορά του. (β) Βρείτε την ελάχιστη παροχή που µεταφέρει ο αγωγός ώστε να εξασφαλίζεται τυρβώδης ροή. (γ) Προσδιορείστε τη µέγιστη παροχή που µεταφέρεται όταν οι γραµµικές απώλειες είναι 50m.

55 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -43 Απάντηση (α) Ισχύει η σχέση των Darcy - Weisbach h f L f V πd JE L, όπου Q V D g 4 Αντικαθιστώντας την ταχύτητα στην πρώτη σχέση προκύπτει ότι. L 6Q D gπ D 8 fl gπ D h f f Q 4 5 CQ 8 fl όπου C 5 gπ D όπου το C µεταβάλλεται λόγω µεταβολής του f (βλ. Πίνακα που ακολουθεί). D Q k s L V Re f J E h f C (m) (m 3 /s) (m) (m) (m/s) VD/ν m/m (m) Με τα δεδοµένα του προβλήµατος και για διάφορες παροχές, κατασκευάζουµε τον παραπάνω πίνακα υπολογισµών, µεταβάλλοντας την παροχή (f από Moody για k s /D 0, λείοι σωλήνες). Στη συνέχεια κατασκευάζουµε το διάγραµµα του C σαν συνάρτηση της παροχής Q C Q Από το παραπάνω διάγραµµα παρατηρούµε ότι ο συντελεστής C µειώνεται καθώς η παροχή αυξάνεται, και παίρνει περίπου σταθερή τιµή για µεγάλους αριθµούς Re.

56 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -44 (β) Η ελάχιστη παροχή που µεταφέρεται για να εξασφαλίσουµε τυρβώδη ροή (Re 000) είναι 0.57 Lt/s. (γ) Από τον παραπάνω πίνακα µε γραµµική παρεµβολή προκύπτει ότι το ύψος γραµµικών απωλειών είναι h f 50m όταν η παροχή είναι Q 0.070m 3 /s. Παράδειγµα 3.5. Για τους χαλυβδοσωλήνες, (k s 0.5mm) του εµπορίου µε διαµέτρους 00, 50, 00, 300, 400 και 500 mm (α) να υπολογιστεί η παροχή που µεταφέρει η κάθε διάµετρος σε απόσταση 000 m όταν οι γραµµικές απώλειες είναι 0 m. (β) Να γίνει γραφική παράσταση της Q σαν συνάρτηση της D. Για το νερό να ληφθεί ν0-6 m /s. Απάντηση (α) Για κάθε µια από τις διαµέτρους λύνουµε το τυπικό πρόβληµα µε την εξής διαδικασία. Υπολογίζουµε τους όρους R gh f L f / 3/ D ν και k s / D. Από το διάγραµµα του Moody ή τη σχέση των Colebrook - White, βρίσκουµε (υπολογίζουµε) τον συντελεστή τριβών f. Κατόπιν, η ταχύτητα και η παροχή προκύπτουν από τις σχέσεις των Darcy - Weisbach λύνοντας ως πρός V / V gh D f L f και Q πd V 4. Οι υπολογισµοί συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. D k s L h f k s /D Re f / f V Q (m) (m) (m) (m) (m/s) (m 3 /s) (β) Η παροχή σαν συνάρτηση της διαµέτρου φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα (log - log). Από το διάγραµµα αυτό προκύπτει ότι για δεδοµένο ύψος γραµµικών απωλειών, η σχέση των Q και D σε λογαριθµικό διάγραµµα είναι ευθεία γραµµή (γιατί;).

57 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -45 Q (m3/s) D (mm) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για το νερό να ληφθεί ν.5x0-6 m/s και ρ 000 Kg/m 3 σε όλες τις παρακάτω ασκήσεις.. Σωλήνας από PVC διαµέτρου D400 mm και µήκους L000 m, µεταφέρει νερό µια πηγή σε ένα οικισµό. Η υψοµετρική διαφορά µεταξύ της στάθµης της πηγής και της δεξαµενής του οικισµού είναι Η 80m και η ισοδύναµη τραχύτητα του k s αγωγού είναι 0. mm. Να υπολογιστεί η παροχή νερού που µεταφέρεται.. Αγωγός διαµέτρου D550 mm και µήκους L000 m, µεταφέρει παροχή νερού Qm 3 /s από µια πηγή στη δεξαµενή ενός οικισµού µε στάθµη στο Εάν η ισοδύναµη τραχύτητα k s του αγωγού είναι 0.5 mm. (α) Να υπολογιστεί η υψοµετρική διαφορά µεταξύ της στάθµης της πηγής και της δεξαµενής του οικισµού. (β) Να υπολογιστεί η πίεση στο µέσο του αγωγού αν το υψόµετρο του άξονα εκεί είναι στα (γ) Να υπολογιστεί η διατµητική τάση που ασκείται στα τοιχώµατα του αγωγού. 3. Για τη µεταφορά νερού από το φράγµα της περιοχής στη δεξαµενή της πόλης σε απόσταση L000 m, µε υψοµετρική διαφορά 40 m, πρόκειται να κατασκευαστεί χαλύβδινος αγωγός. Εάν η απαιτούµενη παροχή νερού είναι Q300 L/s: (α) Να υπολογίσετε την απαιτούµενη διάµετρο του χαλύβδινου αγωγού µε ισοδύναµη τραχύτητα mm. (β) Σε περίπτωση που χρησιµοποιηθούν λείοι σωλήνες (k s 0.0 mm), ποιά είναι η παροχή που θα µεταφέρει ο αγωγός; Τι παρατηρείτε; 4. Χαλύβδινος σωλήνας διαµέτρου D50 mm, µεταφέρει παροχή νερού Q 0.0 m 3 /s από µια πηγή σε ένα οικισµό. Η υψοµετρική διαφορά µεταξύ της στάθµης της πηγής και της δεξαµενής του οικισµού είναι Η 80 m και το µήκος του αγωγού είναι L500 m. Να υπολογιστεί η ισοδύναµη τραχύτητα k s του αγωγού.

58 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -46 Αυτή η σελίδα έχει αφεθεί σκόπιµα λευκή.

59 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΑΓΩΓΟΙ ΜΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Στους αγωγούς των οποίων η διατοµή δεν είναι κυκλική, λόγω σχήµατος υπάρχει ανοµοιοµορφία στην κατανοµή των ταχυτήτων (βλ. Σχήµα 4., δυο ισοταχείς καµπύλες δεν έχουν την ίδια απόσταση µεταξύ τους σε ολόκληρη τη διατοµή του αγωγού όπως συµβαίνει στους σωλήνες). Στο επίπεδο της διατοµής υπάρχει δευτερεύουσα ροή, και η διατµητικές τάσεις στις γωνίες είναι µικρότερες (αραιότερες ισοταχείς σχήµα 4.). Σχήµα 4. Ισοταχείς καµπύλες - δευτερεύουσα ροή σε µη κυκλικούς αγωγούς (Daily, JW, and Harleman, DRF, 966, Fig.3.3, σελ. 6).

60 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -48 P A y x Σχήµα 4. Κυλινδρικός αγωγός τυχαίας διατοµής. Έστω ο κλειστός κυλινδρικός αγωγός µη κυκλικής διατοµής του σχήµατος 4.. Στην κατεύθυνση του αγωγού η εξίσωση των Navier - Stokes γράφεται d dx ρ p g + h ρg Ολοκληρώνοντας ως προς y από όπου προκύπτει ότι d dy µ du dy ρu' v' ρg d dy τ( y). (4.) d p τ y y + h + ( y) 0, (4.) 0 dx ρg ρg τo y ρg d dx ρ p g + h +τ(y). (4.3) y yδ(x) y U(x) τ στρ τ τυρβ Εξωτερική, τυρβώδης Ενδιάµεση περιοχή Περιοχή στρωτής ροής u(x,y) x (α) (β) Σχήµα 4.3 Τυπικές κατανοµές (α) διατµητικών τάσεων και (β) µέσης ταχύτητας πλησίον στερεάς επίπεδης επιφάνειας. Στην παραπάνω σχέση τ ο είναι η τάση του ορίου και τ(y) η τάση σε απόσταση y από το στερεό όριο. Όταν το y είναι µεγάλο (περιοχή οµοιόµορφης ταχύτητας µακριά από το τοίχωµα) η διατµητική τάση τ(y) 0. Πολύ κοντά στο τοίχωµα η διατµητική τάση

61 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -49 οφείλεται κατά κύριο λόγο στο ιξώδες. Σε µεγαλύτερη απόσταση (εκτός του στρωτού οριακού υποστρώµατος) είναι συνάρτηση της τύρβης και του ιξώδους (βλ. Σχήµα 4.3), ενώ σε ακόµη µεγαλύτερη απόσταση είναι συνάρτηση της τύρβης του ορίου µέχρι την περιοχή οµοιόµορφης ροής όπου µηδενίζεται. Λαµβάνοντας τη µέση διατµητική τάση τ m στην περίµετρο του αγωγού και ολοκληρώνοντας στη διατοµή έχουµε τm P A ρg d dx ρ p g + h, (4.4) όπου Ρ είναι η περίµετρος και Α η επιφάνεια της εγκάρσιας διατοµής του αγωγού. Ορίζοντας σαν υδραυλική ακτίνα της διατοµής R το λόγο R A/P, η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφτεί τ m ρgr d dx ρ p g + h που είναι παρόµοια µε την σχέση τ o D ρg 4 d dx ρ p g + h (4.5) (4.6) που έχουµε ήδη αναλύσει σε κυκλικό αγωγό, όπου Α/Ρ (πd /4)/πD D/4 είναι η υδραυλική ακτίνα του σωλήνα διαµέτρου D. Εποµένως από τις σχέσεις (4.5) και (4.6) προκύπτει ότι οι απώλειες ενέργειας στην παραπάνω τυχαία διατοµή µπορεί να θεωρηθούν ίδιες µε αυτές της ισοδύναµης κυκλικής διατοµής διαµέτρου D 4R, όπου R είναι η υδραυλική ακτίνα της διατοµής που εξετάζουµε. Συµπερασµατικά λοιπόν, αναφορικά µε διατοµές που δεν διαφέρουν πολύ από την κυκλική (π.χ. σκουφοειδείς, ωοειδείς κλπ), η κλίση ενέργειας σε αυτές µπορεί να γραφτεί f V J E σχέση των Darcy - Weisbach (4.7) 4R g και το συνολικό ύψος απωλειών σε αγωγό µήκους L είναι h f f V J E L L. (4.8) 4R g Ο συντελεστής τριβών f προκύπτει από το διάγραµµα του Moody (σχέση των Colebrook - White) ή από τη σχέση των Swamme & Jain για αριθµό Reynolds V 4R Re (4.9) ν όπου V είναι η µέση ταχύτητα της πραγµατικής διατοµής και σχετική τραχύτητα ks/4r.

62 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -50 Παράδειγµα 4. h m Η.50 m b m L Ο ορθογωνικός αγωγός αποχέτευσης οµβρίων του σχήµατος, µήκους L000 m, συνδέει δύο φρεάτια επίσκεψης και µεταφέρει παροχή 0 m 3 /s όταν η ροή γίνεται υπό πίεση όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογίσετε την ισοδύναµη τραχύτητα του αγωγού (k s ) που µεταφέρει την ίδια παροχή, κατά Darcy - Weisbach. Να ληφθεί για το νερό ν.5x0-6 m /s. Απάντηση εδοµένα Ζητούµενο Ύψος απωλειών : h f.50 m Τραχύτητα: k s? Κινηµατικό ιξώδες: ν.5x0-6 m /s Μήκος: L 000 m Υγρή επιφάνεια: Α 4 m Βρεχόµενη περίµετρος: Υδραυλική ακτίνα: Ισοδύναµη διάµετρος: P 8 m R A/P 0.50 m D 4R m Παροχή: Q 0 m 3 /s Η µέση ταχύτητα ροής είναι Ο αριθµός του Reynolds της ροής είναι V Q/A 0/4.50 m/s. V 4R Re 4.347x0 6 6 ν.5 0 Επίσης J E h f /L.5/ Από τη σχέση των Darcy-Weisbach, λύνοντας ως προς f έχουµε 4R g 4 (0.50) g f J E (0.005) V (.50) Από το διάγραµµα του Moody, µε Re 4.4x0 6 και f προκύπτει ότι δηλαδή k s /D k s x D x 4R m 0.7 mm.

63 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -5 Παράδειγµα 4. Χρησιµοποιώντας τη σχέση Darcy - Weisbach, να υπολογίσετε την παροχή που µεταφέρει ορθογωνικός αγωγός 0.50 m 0.30 m από τη δεξαµενή Α στη δεξαµενή Β. εδοµένα: L000 m, H0 m, k s mm. Για το νερό θεωρείστε ότι ν.5x0-6 m /s. Υπόδειξη: Να προσδιορίσετε τον ισοδύναµo σωλήνα και να εργαστείτε κατά τα γνωστά. Απάντηση Α m P ( ).60 m R A/P m D 4R m a0.50m b0.30m Α Β Η0 m Έχουµε να επιλύσουµε το ο τυπικό πρόβληµα. εδοµένα Ζητούµενο Ύψος απωλειών : h f 0m Παροχή: Q Κινηµατικό ιξώδες: ν.5x0-6 m /s Μήκος: ιάµετρος: Τραχύτητα: L 000 m D m k s 0.00 m Για να επιλύσουµε το o τυπικό πρόβληµα υπολογίζουµε τον αριθµό R gh f L f / 3/ D ν 5087 Από το διάγραµµα του Moody ή τη σχέση των Colebrook - White µε γνωστά τα k s /4R και Ref / 5087, βρίσκουµε (υπολογίζουµε) τον συντελεστή τριβών f Κατόπιν, η ταχύτητα προκύπτει από τη σχέση των Darcy - Weisbach λύνοντας ως πρός V / V gh D f L f.38 m/s και η παροχή προκύπτει από τη σχέση Q a b V m 3 /s. Παράδειγµα 4.3 Σε χαλύβδινο αγωγό µήκους L000 m και διαµέτρου D300 mm πρόκειται να αντικατασταθούν τα 00 m µε ορθογωνικό χαλύβδινο σωλήνα. Άν η αρχική παροχή του αγωγού που είναι Q00 L/s πρόκειται να διατηρηθεί:

64 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -5 Να βρείτε το µήκος των πλευρών του ορθογώνιου σωλήνα µε λόγο πλευρών :. ίνεται η ισοδύναµη τραχύτητα ks mm και ν.5x0-6 m /s. Απάντηση Υπολογίζουµε τις απώλειες ενέργειας του κυκλικού αγωγού. 4Q Υπολογίζουµε την ταχύτητα ροής V.83 m/s πd π (0.30) VD Υπολογίζουµε τον αριθµό Reynolds R 7380 ν Υπολογίζουµε το λόγο Από το διάγραµµα Moody βρίσκουµε f k 0.00 s D Τέλος οι γραµµικές απώλειες ενέργειας h f στον 000m µήκους αγωγό είναι h f L f V J E L x m. D g Οι γραµµικές απώλειες του ορθογωνικού αγωγού µήκους 00m θα πρέπει εποµένως νάναι 3.74m, η δέ κλίση γραµµικών απωλειών Έστω ορθογωνικός αγωγός πλευρών b και b, τότε A b b b P b + b + b + b 6b R A/P b/3. D4R και V Q/A. Καταρτίζουµε τον παρακάτω πίνακα µεταβάλλοντας το b έως ότου επιτύχουµε µε δοκιµές ίδια κλίση απωλειών του ορθογωνικού αγωγού µε αυτή του σωλήνα. b V D4R k s /D ReV 4R/ν f J E h f Παρατηρούµε ότι οι γραµµικές απώλειες είναι περίπου αυτές του κυκλικού αγωγού όταν b0.95 m. Εποµένως ο ορθογωνικός αγωγός θα έχει διαστάσεις 0.95 m 0.39 m (στην πραγµατικότητα 0.0 m 0.40 m). b b

65 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙ- ΣΜΟΥ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΠΩΛΕΙΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 5. Τύπος του Chézy Ο Antoine de Chézy (78 798) ήταν Γάλλος Υδραυλικός Μηχανικός, γνωστός για τη φόρµουλα του Chézy που αφορά σε ροή σε σωλήνες. Πέθανε το 798 αφού διατέλεσε διευθυντής στην École nationale des ponts et chaussées για διάστηµα µικρότερο από ένα έτος. Από τη γενικευµένη σχέση των Darcy - Weisbach h f J E f V L L 4R g λύνοντας ως προς την ταχύτητα V g V 8 RJ E C RJ E (τύπος του Chézy) (5.) f καταλήγουµε στη σχέση ου Chézy (5.) όπου C ορίζεται σαν ο συντελεστής του Chézy. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι ο συντελεστής του Chézy δεν είναι σταθερός αλλά είναι συνάρτηση της ταχύτητας και τραχύτητας του αγωγού (γιατί;). 5. Άλλοι εµπειρικοί τύποι. (α) Τύπος του Kutter.

66 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -54 Εάν στη σχέση του Chèzy αντικαταστήσουµε το συντελεστή C µε τη σχέση 00 R C m+ R προκύπτει ο τύπος του Kutter (5.) V 00 R m+ R RJ (5.3) όπου J είναι η κλίση της γραµµής ενέργειας ή της πιεζοµετρικής γραµµής και R η υδραυλική ακτίνα. Ο συντελεστής m λαµβάνει τις τιµές m 0.5 m 0.35 για σχετικά καθαρό νερό (δίκτυα ύδρευσης και άρδευσης) για όχι καθαρό νερό (αποχετευτικά δίκτυα υπό πίεση - καταθλιπτικός αγωγός ακαθάρτων). (β) Τύπος του Manning. Η σχέση του Chézy όπως είναι διατυπωµένη δεν λαµβάνει υπόψη τη σχετική µε το βάθος ροής τραχύτητα. Όµως αν στη σχέση του Chézy αντικαταστήσουµε το συντελεστή C µε το γινόµενο R / n 6 C, αν δηλαδή ελαττώνουµε την τραχύτητα σε συνάρτηση µε την υδραυλική ακτίνα, προκύπτει ο τύπος του Manning V n R / 3 J / (5.4) όπου όπου J είναι η κλίση της γραµµής ενέργειας, V η µέση ταχύτητα σε m/s και R η υδραυλική ακτίνα σε m. Ο συντελεστής n εξαρτάται µόνο από το είδος της επιφάνειας, π.χ. n για λείους τσιµεντοσωλήνες και είναι σταθερός, ανεξάρτητα από τις διαστάσεις του αγωγού. Τη σχέση του Manning χρησιµοποιούσαν οι µηχανικοί ευρύτατα κατά το παρελθόν, δίνει δε πολύ καλά αποτελέσµατα όταν εφαρµοστεί. 5.3 Εξίσωση των Hazen - Williams Παλαιότερα, για τον υπολογισµό των γραµµικών απωλειών σε σωλήνες, οι µηχανικοί χρησιµοποιούσαν την εµπειρική σχέση των Hazen - Williams όπου h f 6. 79L V. 6 D C h f... οι γραµµικές απώλειες ενέργειας σε m L... το µήκος του αγωγού σε m D... η διάµετρος του αγωγού σε m. 85

67 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -55 V... η µέση ταχύτητα σε m/s C... ο συντελεστής τριβών των Hazen - Williams. Στην παραπάνω σχέση, για τραχύτερους αγωγούς χρησιµοποιούµε µικρότερα C. Η τιµή του συντελεστή τριβής µεταβάλλεται από περίπου 00 (πολύ τραχείς σωλήνες) µέχρι περίπου 40 (λείοι σωλήνες). Η παραπάνω σχέση φυσικά δεν είναι αδιάστατη και εποµένως οι σταθερές διαφέρουν ανάµεσα στο SI και το Αµερικάνικο σύστηµα µονάδων. Παράδειγµα 5. Ο σωλήνας µεταφοράς νερού του σχήµατος από το φράγµα της περιοχής στη δεξαµενή της πόλης διαµέτρου D0.50 m και µήκους L5000 m, έχει συντελεστή τραχύτητας Manning n0.0. Να υπολογίσετε τις παροχές που µεταφέρει, εάν η στάθµη της δεξαµενής είναι στα +3m και η κατώτατη και ανώτατη στάθµη του φράγµατος στα +57m και +65 m αντίστοιχα ροή D0.50 m L Απάντηση Οι γραµµικές απώλειες ενέργειας για την ανώτατη και κατώτατη στάθµη του φράγµατος είναι Η m και Η m αντίστοιχα, οι δε κλίσεις της γραµµής ενέργειας του αγωγού είναι J E 4/ και J E 34/ Επίσης Α (π 0.5 )/40.96 m και RD/40.5 m. Από τη σχέση του Manning A n / 3 / Q max R J E m 3 /s και A n / 3 / Q min R J E m 3 /s. Παράδειγµα 5. Ο ορθογωνικός αγωγός αποχέτευσης οµβρίων του σχήµατος, µήκους L000 m, συνδέει δύο φρεάτια επίσκεψης και µεταφέρει παροχή 0 m 3 /s όταν η ροή γίνεται υπό πίεση όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογίσετε το συντελεστή Manning του αγωγού.

68 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -56 h m Η.00 b4 m L Απάντηση Η κλίση της γραµµής ενέργειας του αγωγού είναι J E.00/ Επίσης Α 8m, P m και RA/P 0.667m. Από τη σχέση του Manning AR Q 8 (0.667) 0 / 3 / 3 / / n J E (0.00) 0.07 Ο συντελεστής του Manning που προσδιορίσαµε είναι αρκετά µεγαλύτερος από αυτόν του τραχέος σκυροδέµατος.

69 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΜOΝΙΜΗ ΑΝΟΜΟΙOΜΟΡΦΗ ΡΟH Ανοµοιόµορφη χαρακτηρίζεται η µόνιµη ροή στην οποία το διάνυσµα της ταχύτητας κατά µήκος της γραµµής ροής µεταβάλλεται (κατά µέγεθος, κατά διεύθυνση ή και τα δύο). Γεωµετρικές µεταβολές των στερεών ορίων της ροής επιτυγχάνονται µε ειδικά τεµάχια. Οι µεταβολές αυτές µπορεί να είναι (α) (β) (γ) (δ) Μεταβολές διατοµής () συστολή (βαθµιαία ή απότοµη) () διαστολή (βαθµιαία ή απότοµη) Μεταβολές κατεύθυνσης (σε οριζοντιογραφία ή µηκοτοµή) Παρεµβολή µετρητικών συσκευών (π.χ. µετρητές Venturi) ή συσκευών ελέγχου της ροής (π.χ. δικλίδες). ιακλαδώσεις (αλλαγή στην κατεύθυνση της ροής µε ή χωρίς αλλαγή της διατοµής. Οι γεωµετρικές µεταβολές προκαλούν διαταραχή στα χαρακτηριστικά της οµοιόµορφης ροής. Οι µεταβολές αυτές στην οµοιόµορφη ροή µπορεί να είναι επιτάχυνση ή επιβράδυνση της ροής, αποκόλληση και νάπτυξη οριακού στρώµατος. Οι γεωµετρικές µεταβολές προκαλούν απώλειες ενέργειας λόγω παραγωγής τύρβης (η κινητική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα από την επενέργεια του ιξώδους στην περιοχή "viscous subrange" του φάσµατος της τύρβης), και όχι λόγω τριβών στα τοιχώµατα του αγωγού, που ονοµάζονται απώλειες σχήµατος. Οι απώλειες αυτές λαµβάνουν χώρα σε µικρό µήκος.

70 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Χαρακτηριστικά συγκλίνουσας ή αποκλίνουσας ροής (α) Συγκλίνουσα ροή () (β) (γ) () b b x s p/ s > 0 p/ s < 0 p/ s > 0 Σχήµα 6. Βαθµιαία συστολή. Θεωρούµε τη διδιάστατη (-D) βαθµιαία συστολή του σχήµατος. Η εξίσωση Bernoulli µεταξύ των διατοµών οµοιόµορφης ροής () και () αµελώντας τις απώλειες ενέργειας µπορεί να γραφτεί ως εξής p V +α γ g p γ + α V g (6.) όπου ο αγωγός θεωρούµε ότι είναι οριζόντιος. Από την εξίσωση της συνέχειας όµως προκύπτει ότι V < > (6.) V p p πράγµα που σηµαίνει ότι θεωρητικά δεν υπάρχει αποκόλληση της ροής. Πρακτικά όµως λόγω της έντονης καµπύλωσης των γραµµών ροής, υπάρχουν κλίσεις της πίεσης κάθετες προς τις γραµµές ροής µε αποτέλεσµα η µονοδιάστατη ανάλυση να µην µπορεί να αποδώσει πιστά τις λεπτοµέρειες του πεδίου ροής. Αµελώντας τις τριβές το πεδίο ροής είναι αυτό του ιδεατού ρευστού που περιγράφεται από την εξίσωση του Laplace Φ 0 (ή Ψ 0 ). (6.3) Από το πεδίο των ταχυτήτων προκύπτει η κατανοµή των πιέσεων πάνω στο στερεό όριο. Στις περιοχές () - (β) και (γ) - () υπάρχει ανάστροφη κλίση της πίεσης και εποµένως πιθανότητα αποκόλλησης του οριακού στρώµατος στις περιοχές αυτές. Σηµαντική κλίση p/ s > 0 αποκόλληση. Στο σχεδιασµό των συστολών προσπαθούµε κατά το δυνατόν να κρατούµε την κλίση της πίεσης p/ s < 0 κατά µήκος των στερεών ορίων.

71 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -59 (β) ιαστολές (αποκλίνουσα ροή) Στο Σχήµα 6. θεωρούµε διδιάστατη αποκλίνουσα ροή. Επειδή κατά µήκος της γραµµής ροής η κλίση της πίεσης είναι θετική, παρατηρούµε αποκόλληση της ροής στα σηµεία όπου η διεύρυνση της διατοµής είναι έντονη. Η κύρια διαφορά µεταξύ συγκλίνουσας και αποκλίνουσας ροής είναι ότι οι απώλειες ενέργειας στην αποκλίνουσα είναι κατά πολύ µεγαλύτερες από αυτές στη συγκλίνουσα ροή, επειδή δηµιουργείται αποκόλληση (και κατά συνέπεια έντονη τύρβη) ευκολότερα. Οµοιόµορφη Ανοµοιόµορφη Οµοιόµορφη Γ.Ε. () () Η α(-) V /g V /g Π.Γ. p /ρg p /ρg x l Σχήµα 6. Επάνω: Βαθµιαία διαστολή.κάτω: Οπτικοποίηση της ροής (Visualized flow, 988. Ed. Japan Society of Mechanical Engineers. Pergamon Press.) σε βαθµιαία διεύρυνση υπό γωνία 0 ο, χαµηλή ταχύτητα (αριστερά) και µεγαλύτερη ταχύτητα (δεξιά). Η περιοχή αποκόλλησης είναι εµφανής.

72 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Απώλειες ενέργειας σε συγκλίνουσα και αποκλίνουσα ροή. Οι απώλειες ενέργειας µεταξύ των διατοµών οµοιόµορφης ροής και των σχηµάτων 6. και 6. είναι όπου και H H H (6.4) H H ( ) p V + h + (6.5) ρg g α p V + h +. (6.6) ρg g α Στην περίπτωση που ο αγωγός είναι οριζόντιος, η εξίσωση των απωλειών ενέργειας µπορεί να γραφτεί (α ) p V H ( ) ρg g p ρg (α) Βαθµιαία µεταβολή διατοµής όπου ορίζουµε ) V g (6.7) H ( h f + h a (6.8) h f... γραµµικές απώλειες (σε περίπτωση ικανού µήκους µεταβολής διατοµής) h a... απώλειες σχήµατος Οι απώλειες σχήµατος υπολογίζονται σαν ποσοστό της κινητικής ενέργειας h K V g a όπου ο συντελεστής Κ είναι συνάρτηση της γεωµετρίας και του αριθµού Reynolds, K φ(γεωµετρία, Re). (β) Απότοµη µεταβολή διατοµής (6.9) Ο συντελεστής απωλειών είναι συνάρτηση της γεωµετρίας και µόνο (δεν επηρεάζεται πρακτικά από τον αριθµό του Reynolds) στην περίπτωση πλήρως ανεπτυγµένης τυρβώδους ροής. Όταν η ροή πλησιάζει προς τη στρωτή, K φ(γεωµετρία, Re). (γ) Aπότοµη διαστολή - αποκλίνουσα ροή Η απότοµη διαστολή (sudden expansion) είναι η µοναδική περίπτωση για την οποία είναι δυνατός ο αναλυτικός υπολογισµός του συντελεστή τοπικών απωλειών από τη µονοδιάστατη ανάλυση. Θα παραθέσουµε στη συνέχεια τον υπολογισµό του Κ. Η εξίσωση συνέχειας γράφεται Q V E (6.0) VE

73 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -6 Γ Ε () () V g Π Γ h α E E p p x V V Σχήµα 6.3 Απότοµη διαστολή. Η οπτικοποίηση της ροής ελήφθη από το Visualized flow, 988. Ed. Japan Society of Mechanical Engineers. Pergamon Press. Θεωρητικά, οι µεταβολές στη ΓΕ και ΠΓ είναι σηµειακές (απότοµες), ενώ στην πραγµατικότητα είναι οµαλές και πραγµατοποιούνται σε κάποιο µήκος, που πρακτικά θεωρείται αµελητέο. Από την εξίσωση ενέργειας µεταξύ των διατοµών () και () του σχήµατος προκύπτει ότι για οριζόντιο αγωγό p V p V p p V V Hα ( ) ha Hα( ) + (6.) ρg g ρg g ρg g Από την εξίσωση ορµής (ποσότητας κίνησης) κατά µήκος του άξονα x F Fp + Fg + Fτ ρq( V V p E p E ) όπου F g F 0και F p pe peπροκύπτει ότι τ ρ V E V V ) p E p E p p ρv ( V ). (6.) ( V

74 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -6 Από τις σχέσεις (6.) και (6.) εποµένως προκύπτει ότι (µηδενικό µήκος συστολής) έχουµε µόνο απώλειες σχήµατος που είναι p p V V ρv ( V V ) V V ( V V ) h a Hα( ) ρg g ρg g g Από τις παραπάνω εξισώσεις λοιπόν συνάγεται ότι ο συντελεστής απωλειών K SE σε απότοµη διαστολή (sudden expansion SE) θα είναι K SE h α V V / g V. (6.4) Από την εξίσωση συνέχειας (6.0) όµως ο συντελεστής απωλειών µπορεί να εκφραστεί µε βάση τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της ροής µε την ακόλουθη σχέση E K SE. (6.5) E Στην περίπτωση που ο αγωγός έχει αξονική συµµετρία (σωλήνας) ο συντελεστής τοπικών απωλειών γράφεται (D διάµετρος σωλήνα) D K SE. (6.6) D Η παραπάνω σχέση για την περίπτωση εισόδου σωλήνα σε δεξαµενή ασυµπτωτικά δίνει την τιµή Κ SE, επειδή D. Αυτό είναι λογικό επειδή έχουµε καθολική µετατροπή της κινητικής ενέργειας του νερού σε θερµότητα λόγω τυρβώδους ανάµιξης του νερού του σωλήνα µε αυτό της δεξαµενής.. (δ) Κωνικός διαχύτης. Είναι το ειδικό τεµάχιο που επιτρέπει τη βαθµιαία µεταβολή σωλήνα διαµέτρου D σε σωλήνα µεγαλύτερης διαµέτρου. Χρησιµοποιείται για ελαχιστοποίηση των απωλειών ενέργειας. Χρησιµοποιείται επίσης για µεγιστοποίηση της µετατροπής κινητικής ενέργειας σε πιεζοµετρικό ύψος. Η βέλτιστη γωνία για ελαχιστοποίηση των απωλειών ενέργειας είναι θ 7 ο (µικρότερη γωνία από αυτή συνεπάγεται µεγαλύτερες γραµµικές απώλειες ενέργειας). Η χρήση πτερυγίων συµβάλλει στη σµίκρυνση της γωνίας θ. Το µήκος των πτερυγίων θα πρέπει να είναι µικρότερο από αυτό του διαχύτη (l < L).

75 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -63 l (α) d θ D x L (β) Σχήµα 6.4 (α) Κωνικός διαχύτης, (β) απώλειες ενέργειας (Daily & Harleman, 966, Fig. 4-7, σελ. 36). (ε) Aπότοµη συστολή - συγκλίνουσα ροή. Παρουσιάζονται απώλειες ενέργειας για δύο λόγους: () από την παρουσία δευτερεύουσας ροής και () από την παραγωγή τύρβης κατά την απόκλιση της φλέβας κατάντη της διατοµής συστολής. Κατά µήκος του αγωγού ο τύπος της ροής που παρατηρούµε είναι:. Οµοιόµορφη ροή ανάντη της διατοµής () και κατάντη της διατοµής ().. Ανοµοιόµορφη ροή µεταξύ των διατοµών () και (). Αποκόλληση στη διατοµή συστολής (α). Πλήρης συστολή στη διατοµή (σ). Συγκλίνουσα ροή από () έως (σ). Αποκλίνουσα ροή από (σ) έως (). Ο συντελεστής τοπικών απωλειών K SC για απότοµη συστολή (sudden contraction SC) έχει προκύψει από διεξοδική πειραµατική διερεύνηση ότι είναι K SC φ(ε /Ε ), βλ. πίνακα 6., όπου K SC ha. (6.7) V / g

76 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -64 () (α) (σ) () Γ Ε Π Γ h α V g Ε E V V Σχήµα 6.5 Περιοχή αποκόλλησης Απότοµη συστολή. Η οπτικοποίηση της ροής ελήφθη από το Visualized flow, 988. Ed. Japan Society of Mechanical Engineers. Θεωρητικά, οι µεταβολές στη ΓΕ και ΠΓ είναι σηµειακές ενώ στην πραγµατικότητα είναι οµαλές και πραγµατοποιούνται σε κάποιο µήκος, που θεωρείται αµελητέο. Από τη διατοµή πλήρους συστολής έως τη διατοµή () οι απώλειες ενέργειας µπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση (6.3) h α ( σ ) ( Vσ V ) g C V g (6.8) όπου V σ V / C. Εποµένως οι απώλειες ενέργειας από τη διατοµή () έως τη διατοµή () θα είναι K. (6.9) ( V / g) ha ha( ) ha( σ ) + ha( σ ) Από τις εξισώσεις (6.7), (6.8) και (6.9) και την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι V E VE Vσ Eσ CE V σ h α( σ) h a h a( σ ) V K g C K σ C V g K K C σ V σ g. (6.0) Γενικά ισχύει V hα ( ) K SC g όπου το Κ προσδιορίζεται µε βάση το λόγο των διατοµών Ε / Ε από τον παρακάτω πίνακα.

77 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -65 Πίνακας 6. Χαρακτηριστικά απότοµων συστολών. Ε /Ε C K Εκτός από τον παραπάνω πίνακα, αναπτύχθηκαν εµπειρικές σχέσεις για τις απώλειες ενέργειας της συστολής που βασίζονται σε πειραµατικές µετρήσεις, δεδοµένου ότι η θεωρία δεν µπορεί να δώσει λύσεις. Μια από τις σχέσεις προσδιορισµού του συντελεστή απωλειών σε απότοµη συστολή K SC δίδεται από τον White (994) d K SC 0.4 (6.) D που για τιµές του λόγου των διαµέτρων που υπερβαίνουν το d/d0.76 οι συντελεστές απωλειών απότοµης συστολής και διαστολής σχεδόν ταυτίζονται. Στο διάγραµµα που ακολουθεί φαίνονται οι µεταβολές των Κ σαν συνάρτηση του λόγου d/d (εξισώσεις 6.6, 6.0 και Πίνακας 6.). 0.8 KSE KSC Από Πίνακα KSE, KSC d/d Σχήµα 6.6 Μεταβολή των συντελεστών τοπικών απωλειών σε απότοµη διεύρυνση και στένωση σωλήνα σαν συνάρτηση του λόγου των διαµέτρων d/d. Εφαρµογή: Να προσδιορίσετε το συντελεστή απωλειών εισόδου σε σωλήνα από µεγάλη δεξαµενή (υδροληψία). Απάντηση Όταν Ε (Ε /Ε 0), τότε από τον πίνακα 6. προκύπτει ότι Κ Κ ε Όταν όµως το στόµιο της οπής είναι στρογγυλευµένο, ακόµη και για µικρή ακτίνα καµπυλότητας, τότε Κ ε 0.0. Σε µεγάλα έργα υδροληψίας χρησιµοποιούνται ελλειπτικές συναρµογές στην είσοδο και οι απώλειες είναι ακόµα µικρότερες π.χ. Κ ε 0.05.

78 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -66 Στο Σχήµα 6.7 παρουσιάζονται οι τοπικές απώλειες εισόδου από δεξαµενή σε σωλήνα για τις περισσότερο συνηθισµένες τρεις διαµορφώσις εισόδου. (α) h α Γ Ε Π Γ V g (β) h α Γ Ε Π Γ V g Κ 0.5 Κ (γ) h α Γ Ε Π Γ V g Κ Σχήµα 6.7 Συντελεστές τοπικών απωλειών εισόδου σε σωλήνα (α) χωρίς προσαρµογή, (β) εισερχόµενου στη δεξαµενή και (γ) µε στρογγυλευµένη είσοδο. Παράδειγµα 6. Ο αγωγός αποχέτευσης οµβρίων του σχήµατος, µε συντελεστή Manning n 0.04, συνδέει δύο φρεάτια επίσκεψης που απέχουν µεταξύ τους L000 m και µεταφέρει παροχή Q 6 m 3 /s. Σε περίπτωση που η ροή γίνεται υπό πίεση και η υψοµετρική διαφορά στάθµης των δύο φρεατίων είναι Η.0m, να υπολογίσετε τη διάµετρο του αγωγού, λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες, Κ εισ 0.5, Κ εξ.0. L Η Απάντηση (α) Λαµβάνοντας υπόψη τις τοπικές απώλειες εισόδου εξόδου έχουµε ότι H h f + K εισ V + K g εξ V J g E L+ h ; e h e V.50 g όπου V η µέση ταχύτητα ροής στο σωλήνα που προσδιορίζουµε από τη σχέση του Manning. Η λύση θα γίνει µε δοκιµές. Θεωρούµε αρχικά τη διάµετρο γνωστή, απ όπου µε την εξίσωση του Manning προσδιορίζουµε την κλίση του αγωγού J E, τις γραµµικές, τοπικές και ολικές απώλειες, που πρέπει να είναι.0m. Οι δοκιµές φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.

79 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -67 Q D R V J E h f h e Hh f +h e m 3 /s m m m/s m m m Εποµένως, η διάµετρος του αγωγού είναι.95m. 6.3 Αλλαγές κατεύθυνσης καµπύλες και γωνίες. Αλλαγή κατεύθυνσης σε σωλήνες πραγµατοποιείται µε γωνίες ή µε καµπύλες. Η ροή σε καµπύλη είναι αρκετά πολύπλοκη επειδή (i) είναι τριδιάστατη, (ii) υπάρχει δευτερεύουσα ροή, (iii) υπάρχει ελικοειδής κίνηση που συνεχίζεται σε ικανό µήκος µετά το τέλος της καµπύλης και (iv) υπάρχει αποκόλληση στην εσωτερική παρειά. Μια περιγραφή της ροής σε καµπύλη δίνεται στο Σχήµα 6.8. ευτερεύουσα ροή φαίνεται στο σχήµα 6.8 (a), στο δε διάγραµµα των ισοταχών (b) φαίνεται έντονα το φαινόµενο της αποκόλλησης της ροής, ενώ η κατανοµή των πιέσεων στην εσωτερική και εξωτερική παρειά της καµπύλης φαίνεται στο σχήµα 6.8(c). Στις φωτογραφίες του Σχήµατος 6.9 φαινεται η λειτουργία των πτερυγίων σε καµπύλη και γωνία 90 ο. Είναι εµφανής η βελτίωση της ροής µε τη σηµαντικότατη µείωση των περιοχών αποκόλλησης της ροής και κατά συνέπεια των τοπικών απωλειών ενέργειας. Ο συντελεστής τοπικών απωλειών Κ είναι συνάρτηση της γωνίας της καµπύλης θ και του λόγου των ακτινών r/r ha r K φ, θ. (6.) V / g R και µεταβάλλεται σύµφωνα µε την σχέση 0.5 < Κ < Η βέλτιστη τιµή του Κ προκύπτει για R /r 4. Όταν R 0 (απότοµη γωνία 90 ο ), Κ.0. Χρήση πτερυγίων µπορεί να µειώσει το συντελεστή τοπικών απωλειών σε γωνίες µέχρι και την τιµή Κ0.0. Στο Σχήµα 6.0 φαίνεται ο µετρηµένος συντελεστής απωλειών σε καµπύλες λείων σωλήνων, για διαφορετικές γωνίες και λόγο ακτίνας καµπυλότητας προς ακτίνα του αγωγού. 6.4 ικλίδες ρύθµιση της ροής (δες επίσης Παράρτηµα Β). Από τεχνική άποψη η ρύθµιση της ροής επιτυγχάνεται µειώνοντας ή αυξάνοντας τη διατοµή διόδου του ρευστού. Από υδραυλική άποψη, η ρύθµιση της ροής επιτυγχάνεται µε την εισαγωγή τοπικών απωλειών. Οι συσκευές µε τις οποίες ρυθµίζουµε την παροχή των αγωγών ονοµάζονται δικλίδες ή βάνες. Υπάρχουν διαφόρων ειδών δικλίδες, όπως οι σφαιρικές, οι συρταρωτές, οι δικλειδες βύσµατος, πεταλούδας κλπ. Για παράδειγµα, στις συρταρωτές δικλίδες οι τοπικές απώλειες µπορούν να εκφραστούν µε µια σχέση της µορφής ha K (6.3) V / g

80 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -68 V R θ V Πτερύγια R0 Σχήµα Ροή σε καµπύλη σωλήνα. Σχήµα 6.9 Οπτικοποίηση της ροής χωρίς ή µε την χρήση πτερυγίων σε καµπύλη και γωνία 90 ο, (από Visualized flow, 988. Ed. Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press). 6 Rouse, H 96. Fluid mechanics for hydraulic engineers (Fig. 39). Dover.

81 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -69 Σχήµα 6.0 Μεταβολή των απωλειών ενέργειας σε καµπύλες λείων αγωγών (Daily & Harleman, 966, Fig. 4-5, σελ. 3). Ο συντελεστής απωλειών Κ της δικλίδας εξαρτάται από τον τύπο αυτής, καθώς επίσης και από το άνοιγµα της δικλίδας, σε σχέση µε την πλήρη διατοµή του αγωγού (βλ. Παράδειγµα στον πίνακα που ακολουθεί). Όπως φαίνεται από τον πίνακα που ακολουθεί, µια δικλίδα ακόµη και άν είναι τελείως ανοικτή προκαλεί τοπικά απώλειες ενέργειας. Το διάγραµµα του συντελεστή απωλειών σε δικλίδες δίνεται συνήθως από τον κατασκευαστή. Θέση δικλίδας Open 3/4 - Open / - Open /4 - Open K Σφαιρική δικλίδα Συρταρωτή δικλίδα ικλίδα πεταλούδας ικλίδες βύσµατος Σχήµα 6.9 ικλίδες.

82 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -70 Παράδειγµα A B Γ ±0.00 Ο λείος οριζόντιος σωλήνας Α συνολικού µήκους 300m υδροδοτείται από δεξαµενή. Το τµήµα ΑΓ 00m έχει διάµετρο D500 mm. Στη συνέχεια σε µήκος Γ 00m, η διάµετρος µειώνεται στα D 00 mm το δε νερό εκρέει ελεύθερα στην ατµόσφαιρα. Στο µέσο του τµήµατος ΑΓ υπάρχει συρταρωτή δικλίδα Β για τη ρύθµιση της παροχής. Να υπολογίσετε την παροχή του αγωγού όταν η δικλίδα είναι ανοικτή κατά το / (Κ6) και να χαράξετε τη γραµµή ενέργειας και πιεζοµετρική γραµµή λαµβάνοντας υπόψη όλες τις τοπικές απώλειες. (Για το νερό να ληφθεί ν.5x0-6 m /s.) Απάντηση Οι απώλειες ενέργειας είναι γραµµικές και τοπικές. Οι γραµµικές απώλειες των τµηµάτων ΑΓ και Γ βρίσκονται από το γινόµενο της κλίσης απωλειών και µήκους. Οι τοπικές απώλειες είναι οι εξής: Απώλειες εισόδου στο σηµείο Α (Κ0.5): Απώλειες δικλίδας στο σηµείο Β (Κ δ 6): Απώλειες στένωσης στο σηµείο Γ: Ενέργεια νερού στο σηµείο εξόδου (Κ): 0.50V A / g Γ K V A / g δ Γ KV / g Γ V / g Ο συντελεστής απωλειών της στένωσης υπολογίζεται από το λόγο των επιφανειών των διατοµών του αγωγού Ε /Ε (D /D ) (0./0.5) 0.6. Από τον Πίνακα 6. προκύπτει από παρεµβολή ότι C 0.68 και Κ Η εξίσωση ενέργειας εποµένως γράφεται h h ( ΑΓ) + h ( Γ ) V f h ( ΑΓ) + h ( Γ ) V f f f ΑΓ ΑΓ / / Γ g+ 6V ΑΓ g+.435v / g V Γ / g Γ / g+ V οκιµάζουµε διάφορες παροχές για τη λύση. Οι παροχές δοκιµών είναι 0.00, 0.50 και 0.00 m 3 /s. Η πορεία των υπολογισµών δίνεται σχηµατικά µε τα παρακάτω βήµατα (Q, D) V (V,D) Re (Re, Ks0) f () () (3) (4) (5) (6) Γ / g

83 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -7 (D, V, f) J h f JL και οι υπολογισµοί φαίνονται στους πίνακες που ακολουθούν. Q0.00 m 3 /s D L V Re JE f hf ή ha Τµήµα ή Σηµείο (m) (m) (m/s) VD/ν m/m (m) ΑΓ (γραµµικές) Γ (γραµµικές) Α (τοπικές) V /g 0.0 Β (τοπικές) V /g 0.08 Γ (τοπικές) V /g 0. (ενέρ. εξόδου) V /g 0.5 Σh 4.4 Q0.50 m 3 /s D L V Re JE f hf ή ha Τµήµα ή Σηµείο (m) (m) (m/s) VD/ν m/m (m) ΑΓ (γραµµικές) Γ (γραµµικές) Α (τοπικές) V /g 0.0 Β (τοπικές) V /g 0.8 Γ (τοπικές) V /g 0.5 (ενέρ. εξόδου) V /g.6 Σh 9.0 Q0.00 m 3 /s D L V Re JE f hf ή ha Τµήµα ή Σηµείο (m) (m) (m/s) VD/ν m/m (m) ΑΓ (γραµµικές) Γ (γραµµικές) Α (τοπικές) V /g 0.03 Β (τοπικές) V /g 0.3 Γ (τοπικές) V /g 0.90 (ενέρ. εξόδου) V /g.07 Σh 5.4 Η παροχή που δίνει συνολικό ύψος ενέργειας Σh 0m προκύπτει µε γραµµική παρεµβολή και είναι Q 0.59 m 3 /s. (γ) Η χάραξη των ΓΕ και ΠΓ θα γίνει για Q0.59 m 3 /s. Οι µέσες ταχύτητες ροής στα δύο τµήµατα του αγωγού είναι V ΑΓ 0.8 m/s και V Γ 5.05 m/s. Mε αυτά δεδοµένα, οι ΓΕ και ΠΓ υπολογίζονται παρακάτω. Η() VΑΓ / g 9.97 m (ΓΕ) p /ρg Η() - VΑΓ / g 9.93 m (ΠΓ) Η() Η() - h f (AB) m (ΓΕ) p /ρg Η() - VΑΓ / g 9.84 m (ΠΓ)

84 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -7 Η(3) Η() - 6 VΑΓ / g 9.68 m (ΓΕ) p 3 /ρg Η(3) - VΑΓ / g 9.64 m (ΠΓ) Η(4) Η(3) - h f (BΓ) m (ΓΕ) p 4 /ρg Η(4) - VΑΓ / g 9.55 m (ΠΓ) Η(5) Η(4) VΓ / g 9.0 m (ΓΕ) p 5 /ρg Η(5) - VΓ / g 7.7 m (ΠΓ) Η(6) Η(5) - h f (Γ ) m (ΓΕ) p 6 /ρg Η(6) - V / g m (ΠΓ) Γ Η ΠΓ και ΓΕ φαίνονται σχηµατικά στο σχήµα που ακολουθεί ± ΓΓ.Ε ΓΠ.Γ Ισοδύναµο µήκος σηµασία των τοπικών απωλειών. Ορίζουµε σαν ισοδύναµο µήκος L e του ειδικού τεµαχίου αγωγού, το µήκος του αγωγού της ίδιας διαµέτρου D, στο οποίο οι γραµµικές απώλειες ενέργειας είναι ίσες µε τις τοπικές απώλειες του υπό µελέτη ειδικού τεµαχίου, δηλαδή V Le V ha K h f f Le g D g KD f. (6.4) Κατ' αυτό τον τρόπο, αγωγός στον οποίο κατά µήκος υπάρχουν και τοπικές απώλειες, µπορεί να αντικατασταθεί µα αγωγό µεγαλύτερου µήκους, στον οποίο υπάρχουν µόνο γραµµικές απώλειες φορτίου. Αρκεί τα ειδικά τεµάχια (συστολές, διαστολές, δικλίδες κλπ) να αντικατασταθούν µε τα αντίστοιχα ισοδύναµα µήκη τους. Η σηµασία των τοπικών απωλειών σε ένα αγωγό µεταφοράς ρευστών είναι µεγάλη, ειδικότερα όταν είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε τις γραµµικές απώλειες φορτίου του αγωγού. Σε µεγάλα τµήµατα οµοιόµορφων αγωγών που διασυνδέονται, οι τοπικές απώλειες ενέργειας µπορούν να αµεληθούν, εάν τις συγκρίνουµε µε τις γραµµικές. Σαν κανόνα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι οι τοπικές απώλειες ενέργειας µπορούν να αµεληθούν, εάν δεν υπερβαίνουν το 5% των γραµµικών. Αυτό επιτυγχάνεται πρακτικά, αµελώντας τις απώλειες ενέργειας όταν τα οµοιόµορφα τµήµατα µεταξύ των ειδικών τεµαχίων είναι µεγαλύτερα από 000 D.

85 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΩΛΗΝΩΝ Τα συστήµατα σωλήνων κατατάσσονται σε δύο απλές κατηγορίες: () Απλά συστήµατα ονοµάζονται αυτά που διαθέτουν ένα σηµείο υδροληψίας και ένα σηµείο υδροδότησης. Σ αυτά παρουσιάζεται µια και µοναδική διαδροµή νερού. () Σύνθετα συστήµατα ονοµάζονται αυτά στα οποία υπάρχουν περισσότερα του ενός συστήµατα υδροδότησης και υδροληψίας. Κάθε σύστηµα αποτελείται από τους αγωγούς του που είναι τµήµατα ενιαίας διαµέτρου, κατά µήκος των οποίων η παροχή παραµένει σταθερή και τους κόµβους του συστήµατος, που είναι τα σηµεία στα οποία τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά (διάµετρος και τραχύτητα ή υλικό κατασκευής) ή και η παροχή µεταβάλλονται. εξαµενή Ταµιευτήρας Οικισµός (α) εξαµενή Πηγάδι/γεώτρηση (β) Σχήµα 7. (α) Απλό και (β) σύνθετο σύστηµα σωλήνων.

86 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Ορισµοί: Ακτινωτά ονοµάζουµε τα συστήµατα στα οποία κάθε σηµείο υδροδότησης µπορεί να υδροδοτηθεί από κάθε υδροληψία µέσα από µια και µοναδική διαδροµή. Κυκλοφοριακά ονοµάζονται τα συστήµατα όπου ένα σηµείο υδροδότησης µπορεί να υδροδοτηθεί από δεδοµένη υδροληψία µέσα από περισσότερες της µιας διαδροµές. Σύστηµα βαρύτητας ονοµάζουµε αυτό στο οποίο η απαιτούµενη για τη µεταφορά νερού ενέργεια υπάρχει λόγω βαρύτητας στη φύση. Σε περίπτωση που η διαθέσιµη ενέργεια δεν επαρκεί για τη µεταφορά της απαιτούµενης παροχής, προσδίδουµε ενέργεια στο σύστηµα µε αντλίες. 7. Υπολογισµοί συστηµάτων σωλήνων. Για τον υπολογισµό ενός συστήµατος σωλήνων, πρέπει να υπολογίσουµε τις απώλειες ενέργειας κατά µήκος των αγωγών (γραµµικές απώλειες) f V h f L D g ; f f ks Re, (7.) D και τις τοπικές (σηµειακές) απώλειες ενέργειας που θεωρούνται ότι είναι συγκεντρωµένες στο υπόψη σηµείο h a K V ; K K (γεωµετρίας, Re). (7.) g Εξίσωση ενέργειας Έστω σηµείο () το ανάντη σηµείο και () το κατάντη σηµείο σε κάποιο τµήµα του δικτύου. Η εξίσωση της ενάργειας µπορεί να γραφτεί ως εξής H H + H m + H (7.3) ( ) όπου Η... το ύψος ενέργειας του σηµείου () ανάντη Η... το ύψος ενέργειας του σηµείου () κατάντη Η m... το ύψος της µηχανικής ενέργειας που αποδίδεται από το σύστηµα (θετικό σε περίπτωση υδροστροβόλου), ή που λαµβάνεται από το σύστηµα (αρνητικό σε περίπτωση αντλίας). Η (-)... Σ (h f(-) +h (-)) το σύνολο των γραµµικών και τοπικών απωλειών στους επί µέρους αγωγούς και κόµβους του συστήµατος. Εξίσωση συνέχειας Q + (7.4) Q Q3 Q Q 3 Q

87 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Αγωγοί σε σειρά Γ.Ε. αγωγός n κόµβος Ν αγωγός n+ Σχήµα 7. Αγωγοί σε σειρά. Οι απώλειες ενέργειας είναι το άθροισµα των επί µέρους απωλειών H L... + h f ( n) + ha ( N) + h f ( n+ ) +... (7.5) Παράδειγµα 7. Αµελώντας τις τοπικές απώλειες ενέργειας ζητείται: (α) Να υπολογίσετε την παροχή του αγωγού ΑΒ από τη δεξαµενή στη δεξαµενή. (β) Να σχεδιάσετε την Π.Γ. του αγωγού. (γ) Να προσδιορίσετε την πίεση περί το σηµείο Ο. εδοµένα: L ΑΟ 000m, D ΑΟ 0.50m, L ΟΒ 500m, D ΟΒ 0.30m, z(o)-5.00m και k s 0.5mm. Για το νερό θεωρείστε ότι ν.5x0-6 m /s και ρ 000Kg/m Α Γ.Ε Π.Γ. ±0-5 O -.05 Απάντηση (α) εν γνωρίζουµε την στάθµη της Γ.Ε. στο σηµείο Ο. Εποµένως θα βρούµε τη λύση µε δοκιµές. οκιµή η : Έστω ότι Η(Ο)5m, εποµένως h f (AO)5m και h f (OB)5m. Με το δεύτερο τυπικό πρόβληµα προσδιορίζουµε τις παροχές των τµηµάτων ΑΟ και ΟΒ κατά τα γνωστά µε βάση τον πίνακα B

88 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -76 D h f L k s k s /D Rf / f V Q (m) (m) (m) (m) (m/s) (m 3 /s) απ' όπου προκύπτει ότι Q Q(AO) Q(OB) 0.3m 3 /s. Η παροχή που έρχεται από το σηµείο Α προς το Ο είναι µεγαλύτερη από αυτήν που φευγει προς το Β, εποµένως πρέπει να µειωθεί το ύψος της διαθέσιµης ενέργειας στο τµήµα ΑΟ, δηλαδή Η(Ο)>5m. οκιµή η : Έστω ότι Η(Ο)40m, εποµένως h f (AO)0m h f (OB)40m. Με το δεύτερο τυπικό πρόβληµα προσδιορίζουµε τις παροχές των τµηµάτων ΑΟ και ΟΒ µε βάση τον πίνακα D h f L k s k s /D Rf / f V Q (m) (m) (m) (m) (m/s) (m 3 /s) Εποµένως Q Q(AO) Q(OB) -0.07m 3 /s. Με γραµµική παρεµβολή βρίσκουµε ότι Η(Ο)39.5m και Q0.3m 3 /s. (β) Υπολογισµός της Π.Γ. Οι µέσες ταχύτητες ροής στους αγωγούς ΑΟ και ΟΒ είναι V(AO).63m/s και V(OB)4.53m/s αντίστοιχα. Εποµένως p( A) V ( A0) + z H( A) 49.86m ρg g p( O) ρg V + z H ( O) up ( AO) g 39.0m p( O) ρg V + z H( O) down ( OB) g 38.0m p( B) V ( OB) + z H ( B) -.05m ρg g (γ) Πιέσεις γύρω από το σηµείο Ο (z -5m): p( O) ρg up m p up ( O) ( ) ρg 59.9kPa p( O) ρg down m p down ( O) ( ) ρg 50.98kPa 7.4 Παράλληλοι αγωγοί Ισχύουν οι σχέσεις Q Q Qα + Qβ (7.6)

89 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -77 όπου p V p V + z+ + z + + h f (7.7) γ g γ g h f V f V α α β β L L f α β D g D (7.8) g α β h f p /γ α p /γ Γ.Ε. Π.Γ. β () () Σχήµα 7.3 Αγωγοί σε παράλληλη διάταξη. 7.5 Ισοδύναµοι αγωγοί (α) Σε σειρά: ύο αγωγοί σε σειρά διαµέτρων D a και D b µε µήκη L a και L b αντίστοιχα, αντικαθίστανται µε αγωγό διαµέτρου D του οποίου το µήκος είναι L L a + L b, µεταφέρει την ίδια παροχή Q Q a Q b και οι συνολικές απώλειες φορτίου είναι h f a hf b + h f. (7.9) ΓΕ h f a ΓΕ h f b h f L a L b L b D a, L a D b, L b D, L L a + L b Σχήµα 7.4 Ισοδύναµος αγωγός µε αγωγούς σε σειρά. (β) Σε παράλληλη διάταξη: ύο αγωγοί µήκους L L a L b σε παράλληλη διάταξη διαµέτρων D a και D b που µεταφέρουν παροχές Q a και Q b αντίστοιχα, αντικαθίστανται µε

90 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -78 αγωγό διαµέτρου D του οποίου το µήκος είναι L, µεταφέρει παροχή Q Q a + Q b και οι απώλειες φορτίου είναι a b h f h f h f. (7.0) ΓΕ h f ΓΕ h f Q a, D a, L a Q b, D b, L b Q, D, L Σχήµα 7.5 Ισοδύναµος αγωγός µε αγωγούς σε παράλληλη διάταξη. 7.6 Γήρανση των αγωγών ενός δικτύου Σε κάθε δίκτυο µε την πάροδο του χρόνου οι αποθέσεις, η διάβρωση και η δηµιουργία αλάτων στους σωλήνες, µεταβάλλουν την ισοδύναµη τραχύτητα και ως εκ τούτου την παροχετευτικότητά του. Ο νόµος µεταβολής της τραχύτητας είναι συνήθως γραµµικός της µορφής k (t)k ( 0 ) at (7.) s s + όπου k s (0) είναι η ισοδύναµη αρχική τραχύτητα που δίνει ο κατασκευαστής, a είναι µια σταθερά που πρέπει να προσδιοριστεί και t είναι ο χρόνος συνήθως σε έτη. Παράδειγµα 7. ίδονται δύο αγωγοί διαµέτρων D και D µε µήκη L και L. Ζητούνται σχέσεις που συνδέουν το συντελεστή τραχύτητας και την διάµετρο του ισοδύναµου αγωγού µε τα χαρακτηριστικά των δύο αγωγών όταν οι αγωγοί είναι συνδεδεµένοι (α) σε σειρά και (β) σε παράλληλη διάταξη. Τι παρατηρείτε; Απάντηση (α) Έστω ότι ο ισοδύναµος αγωγός έχει µήκος L L + L και διάµετρο D. Επειδή οι αγωγοί είναι συνδεδεµένοι σε σειρά, από το θεώρηµα της συνέχειας έχουµε ότι πd πd Q V V. (α) 4 4 Η σχέση των Darcy -Weisbach τότε γράφεται L V L V L V hf f + f f D g D g D g Από τις παραπάνω σχέσεις (α ) και (α ) προκύπτει ότι (α)

91 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -79 ή µετά από απλοποίηση L 6Q L 6Q L 6Q hf f + f f 4 4 D gπ D D gπ D D gπ D 5 5 L L L f + f f. (α3) 5 D D D (β) Όταν οι αγωγοί βρίσκονται σε παράλληλη διάταξη, τότε Q + Q Q (β) και Εποµένως ή αντικαθιστώντας h h. (β) f f L V L V L V hf f f f D g D g D g 4 6Q L 6Q L 6Q L h f f f 4 f. (β3) 4 4 D g π D D g π D D g π D Από τη σχέση (β 3) προκύπτει ότι Q f f / / 5/ L L D D Q και Q f f / / 5/ L L D D Q (β4) Από τις σχέσεις (β ) και (β 4) προκύπτει µετά από απλοποιήσεις ότι 5 D L f / / / 5 D + L f 5 D Lf (β5) Στην περίπτωση αγωγών σε σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη παρατηρούµε ότι η σχέση που συνδέει το συντελεστή τραχύτητας την διάµετρο και το µήκος του ισοδύναµου αγωγού µε τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά των δύο αγωγών, είναι ανεξάρτητη από την παροχή που διέρχεται.

92 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -80 Αυτή η σελίδα έχει αφεθεί σκόπιµα λευκή.

93 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΔΕΞΑΜΕΝΕΣ Είναι τα σηµεία του δικτύου που αποθηκεύουµε νερό προσωρινά για να το διοχετεύσουµε στην κατανάλωση όταν µας ζητηθεί. Η διαστασιολόγηση µιας δεξαµενής γίνεται ανάλογα µε το λόγο λειτουργίας της. Υπάρχουν δεξαµενές ύδρευσης, αποθήκευσης, αναρρύθµισης κλπ Qin*t Σ(Qout* t) Vo+Qin*t V ο Vin, Vout V ο V δεξ t (hr) Qout (m 3 /hr) t (hr) Σχήµα 8. Καµπύλες εισροών και εκροών δεξαµενής. Στο πλάϊ δίδεται η καµπύλη κατανάλωσης σε 4-ωρη βάση.

94 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -8 Στην περίπτωση π.χ. των δεξαµενών ύδρευσης, ο όγκος τους θα πρέπει να είναι τόσος που να µην αδειάζει ποτέ. Για παράδειγµα, σε περίπτωση σταθερής παροχής εισροής, η δεξαµενή (βλ. Σχήµα 8.) στις 6:00 το πρωί θα πρέπει να έχει όγκο νερού Vδεξ ώστε στις 9:00 το απόγευµα να µην είναι άδεια. Ο όγκος της δεξαµενής Vδεξ καθορίζεται από τη µέγιστη διαφορά όγκων εισροής (κύκλοι) και κατανάλωσης (τετράγωνα). Εάν ο όγκος της δεξαµενής είναι µηδέν τα µεσάνυχτα (0:00πµ), θα υπάρχει έλειµµα όγκου V o στις 7:00µµ. Εποµένως για σταθερή παροχή εισροής 3m 3 /hr, η δεξαµενή στις 0:00πµ θα πρέπει να περιέχει V ο 7m 3 νερού. Ο όγκος της δεξαµενής προκύπτει από τη διαφορά των αθροιστικών όγκων εισροής (V o +Q in t) και εκροής (ΣQ out t) στις 6:00πµ και είναι 66m 3. Εποµένως, η δεξαµενή που θα σχεδιάσουµε θα πρέπει να έχει όγκο µεγαλύτερο από 66m 3, πρακτικά περι τα 80m Σύνδεση δεξαµενών (α) Πρόβληµα τριών δεξαµενών (Σχήµα 8.) Είναι το κλασσικό πρόβληµα υπολογισµού των παροχών από ή προς τρεις δεξαµενές που συνδέονται µε τρεις αγωγούς που έχουν ένα κοινό σηµείο, µε δεδοµένα µήκη και διαµέτρους όταν η στάθµη νερού σε κάθε µια από αυτές είναι δεδοµένη. Η επίλυση για τον προσδιορισµό των παροχών γίνεται µε δοκιµές. Υποθέτουµε ότι το πιεζοµετρικό ύψος (ή η στάθµη της γραµµής ενέργειας) στο σηµείο συµβολής των αγωγών είναι γνωστό και στη συνέχεια επιλύουµε τους αγωγούς ΑΟ, ΟΒ και ΟΓ (προσδιορισµός παροχών). Εάν µετά τον υπολογισµό των παροχών ικανοποιείται το θεώρηµα συνέχειας, σταµατάµε, αλλιώς δοκιµάζουµε νέο πιεζοµετρικό ύψος µέχρις ότου Q ΑΟ + Q ΟΒ + Q ΟΓ 0 Περίπτωση : Η(Ο) > Η(Β) >Η(Γ), τότε η ροή γίνεται από τη δεξαµενή Α προς τις Β και Γ και ισχύει Q ΑΟ Q ΟΒ + Q ΟΓ. Περίπτωση : Η(Ο) Η(Β) >Η(Γ), τότε η ροή γίνεται από τη δεξαµενή Α προς τη Γ (Q ΟΒ 0) και ισχύει Q ΑΟ Q ΟΓ. Περίπτωση 3: Η(Β) > Η(Ο) > Η(Γ), τότε η ροή γίνεται από τις δεξαµενές Α και Β προς τη Γ και ισχύει Q ΑΟ + Q ΟΒ Q ΟΓ. Για τον προσδιορισµό των παροχών προτείνεται η παρακάτω διαδικασία υπολογισµών.. Αρχικά υποθέτουµε ότι Η Ο Η Β, δηλαδή Q OB 0. Εάν Q ΑΟ Q ΟΓ, τότε σταµατούµε τον υπολογισµό, έχοντας προσδιορίσει και τις τρεις παροχές.. Εάν Q ΑΟ >Q ΟΓ, αυτό σηµαίνει ότι (i) το Η O που υποθέσαµε πρέπει να αυξηθεί και (ii) ότι η δεξαµενή Α τροφοδοτεί τις Β και Γ. 3. Εάν Q ΑΟ <Q ΟΓ, αυτό σηµαίνει ότι (i) το Η O που υποθέσαµε πρέπει να µειωθεί και (ii) ότι οι δεξαµενές Α και Β τροφοδοτούν τη Γ.

95 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -83 H(A) Α H(Ο) Η(Β) 3 Β Ο Η(Γ) Γ Σχήµα 8. ιασύνδεση τριών δεξαµενών. (β) Γενικό πρόβληµα σύνδεσης Ν δεξαµενών ΗI ΗII I L, D L, D II O LN, DN L3, D3 ΗN ΗIII N III Σχήµα 8.3 ιασύνδεση Ν δεξαµενών. Για την επίλυση του συστήµατος των Ν δεξαµενών χρειάζονται: (α) Ν- ενεργειακές εξισώσεις όπως π.χ. η εξίσωση ενέργειας από τη δεξαµενή Ι στη δεξαµενή ΙΙ H ( I,II ) f V f V K I O L K O II L D g D Σ + + Σ + (8.) g (β) Eξισώσεις συνέχειας στους κόµβους, π.χ. σηµείο Ο

96 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -84 n Q Q + Q + Q3 + Q4 0 (8.) στο σηµείο Ο.Τα συνηθισµένα προβλήµατα διασυνδεδεµένων δεξαµενών συνοψίζονται στα εξής (α) ίνονται οι Ν- παροχές και ζητούνται οι διάµετροι των αγωγών, οπότε (i) η άγνωστη παροχή προσδιορίζεται από την εξίσωση συνέχειας και (ii) οι Ν- ενεργειακές εξισώσεις έχουν Ν αγνώστους τις Ν διαµέτρους. Καθορίζουµε τη µια από αυτές και υπολογίζουµε τις υπόλοιπες. Αντί αυτού, καθορίζουµε το ύψος της ενέργειας στον κεντρικό κόµβο µε βάση την τοπογραφία της περιοχής και τη φορά των επιδιωκόµενων παροχών. Εποµένως, ορίζεται αυτόµατα η µια διάµετρος και από αυτήν οι υπόλοιπες. Επειδή οι αγωγοί του εµπορίου υπάρχουν σε περιορισµένο αριθµό διαµέτρων, γίνεται χρήση δικλίδων ή δύο διαµέτρων ανά τµήµα για την επίτευξη των επιθυµητών γραµµικών απωλειών ενέργειας και ως εκ τούτου των επιθυµητών παροχών. (β) ίνονται όλες οι διάµετροι (π.χ. περίπτωση εγκατεστηµένου δικτύου) και ζητούνται οι παροχές. Το σύστηµα εποµένως των εξισώσεων της συνέχειας και των Ν- ενεργειακών εξισώσεων λύνεται µονοσήµαντα για τον προσδιορισµό των Ν παροχών συνήθως µε κάποια µέθοδο διαδοχικών προσεγγίσεων, ειδικότερα όταν ο αριθµός των δεξαµενών είναι µεγαλύτερος από 3, επειδή οι εξισώσεις ενέργειας είναι µη γραµµικές. Παράδειγµα 8. Να προσδιοριστεί η κατεύθυνση ροής στο παρακάτω σύστηµα των τριών δεξαµενών (χωρίς να υπολογίσετε τις παροχές). ίδεται k s 0. mm. Για το νερό να ληφθεί ν.5x0-6 m /s. +0 A L Α 000 m D Α 0.30 m L Γ 500 m D Γ 0.30 m Γ L Β 500 m D Β 0.30 m ±0.00 B +0 Απάντηση Έστω ότι Η( ) m, πράγµα που σηµαίνει ότι η παροχή του κλάδου (αγωγού) Β είναι µηδενική. Εποµένως δηλαδή h f (A ) m και h f ( Γ) m h f (A ) h f ( Γ).

97 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -85 Θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε τις παροχές των κλάδων Α και Γ µε βάση το ο τυπικό πρόβληµα. Όµως, η διεύθυνση της ροής µπορεί να προκύψει από τα δεδοµένα του προβλήµατος χωρίς τον υπολογισµό των παροχών ως εξής: ος τρόπος: Επειδή οι διάµετροι των δύο αγωγών είναι ίδιες, ενώ το µήκος του αγωγού ανάντη είναι διπλάσιο, άν υπολογίζαµε τις παροχές θα προέκυπτε ότι Q(Α ) < Q( Γ) για να έχουµε τις ίδιες γραµµικές απώλειες στους δύο αγωγούς. Αυτό σηµαίνει ότι Η( ) < Η(Β) και εποµένως έχουµε ροή και από τη δεξαµενή Β προς την Γ. ος τρόπος: Εάν δεν υπήρχε ροή στον αγωγό Β, τότε Q(Α ) Q( Γ). Επειδή όµως οι διάµετροι των αγωγών Α και Γ είναι ίδιες, η κλίση των γραµµικών απωλειών ενέργειας θα πρέπει να είναι ίδια και στους δύο αγωγούς πράγµα που σηµαίνει ότι οι γραµµικές απώλειες του αγωγού Α, h f (A ), πρέπει να είναι διπλάσιες απ αυτές του αγωγού Γ επειδή L Α L Γ 000m. ηλαδή, h f (A ) h f ( Γ) και εποµένως h f (A ) Η(Α) Η( ) (/3)x0 3.33m. H( ) Η(Α) m < 0m Η(Β). Εποµένως θα πρέπει να έρχεται παροχή και από τη δεξαµενή Β προς την Γ. Παράδειγµα 8. (α) Να υπολογιστούν οι παροχές που µεταφέρουν οι αγωγοί Α, Β και ΒΓ. (β) Να υπολογιστεί η πίεση στο σηµείο (διακλάδωση). εδοµένα: z +0m, k s 0 (λείοι αγωγοί), ρ 000Kg/m 3, ν.5x0-6 m /s. +35 m A L Α 000 m D Α 0.50 m +0 m L Γ 500 m D Γ 0.30 m L Β 500 m D Β 0.40 m ±0.00 B +5 m Γ Απάντηση (α) Έστω ότι Η( ) +5.00m, πράγµα που σηµαίνει ότι η παροχή του κλάδου (αγωγού) Β είναι µηδενική. Εποµένως h f (A ) m και h f ( Γ) m

98 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -86 Από τις παραπάνω γραµµικές απώλειες υπολογίζουµε τις αντίστοιχες παροχές Q Α και Q Γ στους αγωγούς Α και Γ, µε βάση το ο τυπικό πρόβληµα. Τα επί µέρους αποτελέσµατα φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Η( ) 5m Αγωγός D hf L k s /D Rf / f V Q (m) (m) (m) (m) (m/s) (m 3 /s) Α Β Γ Επειδή Q Α > Q Γ, η δεξαµενή Α θα τροφοδοτεί µε νερό και τη δεξαµενή Β και εποµένως η στάθµη της γραµµής ενέργειας στο σηµείο της διακλάδωσης θα είναι Η( ) > 5m. Ο προσδιορισµός των παροχών των αγωγών θα γίνει µε δοκιµές. Θεωρούµε ότι Η( )5m > Η(Β). Εποµένως h f (A ) m h f ( Β) 5 5 0m και h f ( Γ) m Από τις παραπάνω γραµµικές απώλειες υπολογίζουµε τις αντίστοιχες παροχές Q Α, Q Β και Q Γ στους αγωγούς Α Β και Γ, µε βάση το ο τυπικό πρόβληµα. Τα επί µέρους αποτελέσµατα φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Η( ) 5m Αγωγός D hf L k s /D Rf / f V Q (m) (m) (m) (m) (m/s) (m 3 /s) Α Β Γ Από την επίλυση για Η( ) +5.00m έχουµε ότι Q Q Α (Q Β + Q Γ ) m 3 /s, ενώ για Η( ) 5m Q Q Α (Q Β + Q Γ ) m 3 /s. Με γραµµική παρεµβολή προκύπτει ότι Q 0 όταν Η( ) 4.30m και οι παροχές είναι Q Α 60l/s, Q Β 50l/s και Q Γ 360l/s (δείτε τα διαγράµµατα που ακολουθούν). (γ) Από την εξίσωση ενέργειας προκύπτει ότι ανάντη του σηµείου στον αγωγό Α η πίεση υπολογίζεται ως p VA p VA H z ρg g ρg g 3. p g kPa g ρ Μετά τη διακλάδωση στον αγωγό Β η πίεση είναι

99 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -87 p V B p ρg g g ρ g και στον αγωγό Γ η πίεση είναι p V Γ p ρg g g ρ g kPa 7. 3kPa Q (m^3/s) H( ) (m) Q (l/s) H( ) (m)

100 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -88 Αυτή η σελίδα έχει αφεθεί σκόπιµα λευκή.

101 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ - ΑΝΤΛΙΕΣ Οι υδροδυναµικές µηχανές είναι δύο τύπων, αυτές που προσδίδουν ενέργεια στο σύστηµα και ονοµάζονται αντλίες και αυτές που λαµβάνουν ενέργεια από το ρευστό και ονοµάζονται τουρµπίνες. Οι αντλίες χρησιµοποιούνται για τη µεταφορά υγρών, όπου η βαρύτητα δεν είναι αρκετή να µεταφέρει την απαιτούµενη παροχή, ή όπου χρειάζεται να µεταφερθεί ένα υγρό σε στάθµη µε µεγαλύτερη δυναµική ενέργεια (υψηλότερη από την αρχική στάθµη). Οι αντλίες µετατρέπουν την ηλεκτρική ή την µηχανική ενέργεια του κινητήρα τους σε κινητική ενέργεια του ρευστού, που µε τη σειρά της µετατρέπεται σε δυναµική ενέργεια και σε θερµότητα από τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών. 9. Είδη αντλιών Αντλίες θετικής εκτόπισης (Positive Displacement Pumps, PDP) που αναπτύσσουν µεγάλες πιέσεις στο ρευστό. υναµικές αντλίες που προσδίδουν ορµή στο ρευστό από πτερύγια που κινούνται γρήγορα. 9. Φυγοκεντρικές αντλίες Είναι δυναµικές αντλίες που προσδίδουν ορµή στο ρευστό. Χρησιµοποιούνται ευρύτατα σε έργα υποδοµής και εφαρµογές έργων Πολιτικού Μηχανικού. Σε µόνιµη ροή, η αντλία προσδίδει ενέργεια µεταξύ εισόδου του νερού (σωλήνας αναρρόφησης, σηµείο, eye) και εξόδου (σωλήνας κατάθλιψης, σηµείο ).

102 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -90 H H H z+ ρ p g V + g z+ ρ p g V + g H s h f όπου Η s... το ύψος ενέργειας που προσδίδει η αντλία στο ρευστό h f... το ύψος απωλειών από τριβές. (9.) Αναρρόφηση Συµπίεση Σχήµα 9. Αντλία θετικής εκτόπισης (PDP). Σχήµα 9. Φυγοκεντρική αντλία. Αναρρόφηση Κατάθλιψη z () () z Σχήµα 9.3 Φυγοκεντρική αντλία σχηµατικά.

103 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -9 Συνήθως V V και z z. Εποµένως η σχέση (9.) γίνεται H p p ρg H ισχύς (έργο ανά µονάδα χρόνου) που αποδίδεται στο ρευστό από την αντλία είναι ( mg) (9.) W H ρg H P ρgqh. (9.3) t t t 9.3 Xαρακτηριστικές καµπύλες αντλιών. Τρεις είναι οι χαρακτηριστικές καµπύλες που χρειάζεται να γνωρίζουµε για κάθε αντλία: Η καµπύλη µανοµετρικού ύψους - παροχής (Q - H), χαρακτηριστική καµπύλη που δίνεται από τον κατασκευαστή. Όταν αυξάνουµε την παροχή ελαττώνεται το µανοµετρικό και αντίστροφα. Ο βαθµός απόδοσης η της αντλίας σαν συνάρτηση της παροχής (καµπύλη η - Q). Η µέγιστη τιµή του βαθµού απόδοσης δεν ξεπερνά το 0.80 έως 0.90 και αντιστοιχεί στο 60% συνήθως της µέγιστης παροχής της αντλίας. Η καµπύλη ισχύος σαν συνάρτηση της παροχής της αντλίας (P - Q), όπου Ρ είναι η ισχύς που προσδίδουµε στην αντλία. Στο σχήµα 9.4 φαίνονται σχηµατικά οι τρεις χαρακτηριστικές καµπύλες. H Βέλτιστο σηµείο λειτουργίας η Q max η Ρ Q* 0.60 Qmax Q Q Σχήµα 9.4 Χαρακτηριστικές καµπύλες µιας φυγοκεντρικής αντλίας.

104 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Σηµείο λειτουργίας αντλίας - δικτύου. Γ. Ε. h f H s H o z z Σχήµα 9.5 Άντληση από στάθµη z στη στάθµη z. Η αντλία αντλεί νερό από τη δεξαµενή µε τη χαµηλότερη στάθµη z και το στέλνει στη δεξαµενή µε την υψηλότερη στάθµη z. που οι στάθµες τους απέχουν. Το ύψος ενέργειας που προσδίδει η αντλία στο σύστηµα θα πρέπει να είναι ίσο µε το σύνολο των απωλειών ενέργειας h f +h a και υψοµετρικής διαφοράς Ηz -z των δύο δεξαµενών, και αυτό να συµβαίνει στην περιοχή βέλτιστης λειτουργίας της αντλίας. L V H z z h h H f K V s + f + a + + D g Σ Σ (9.4) g Εφαρµογή. Να µελετηθεί το σηµείο λειτουργίας του συστήµατος που φαίνεται στο Σχήµα 9.5 για τις περιπτώσεις: () ροή χωρίς τριβές, () στρωτή ροή και (3) τυρβώδη ροή όταν η καµπύλη Q - H της αντλίας είναι δεδοµένη. () Μηδενικές απώλειες τριβών H s z z σταθερά Εποµένως Q Q. () Στρωτή ροή: Οι απώλειες ενέργειας σε στρωτή ροή δίδονται από τη σχέση L V 64 L V νlq h f f 8 β Q 4 D g Re D g πgd

105 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -93 Εποµένως και H s z z + βq Q Q. (γ) Τυρβώδης ροή: Οι απώλειες ενέργειας σε τυρβώδη ροή προκύπτουν από τη σχέση Εποµένως L V hf f CQ D g H s + H + CQ z z CQ και Q3 Q. H Η s z - z + CQ Η s z - z + βq H o Η s z - z Q 3 Q Q Q Σχήµα 9.6 Σηµείο λειτουργίας αντλίας σε άτριβη, στρωτή και τυρβώδη ροή. Παράδειγµα 9. Η40 m Β Α Αντλία ισχύος 00 KW χρησιµοποιείται για τη µεταφορά παροχής νερού 50 L/s από δεξαµενή µε στάθµη ±0.00 στη στάθµη m (P ρgqh s /η). (α) Να προσδιοριστούν οι γραµµικές απώλειες του συστήµατος όταν ο συντελεστής απόδοσης της αντλίας είναι η0.80. (Να αµελήσετε τις τοπικές απώλειες). Ο

106 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -94 (β) Να προσδιοριστεί η διάµετρος του αγωγού ΟΒ. εδοµένα: L ΑΟ 000 m, D ΑΟ 0.50 m, L ΟΒ 500 m, k s 0.5 mm, H40 m. Για το νερό θεωρείστε ρ 000 Kg/m 3, ν.5x0-6 m /s. Απάντηση (α) Υπολογίζουµε το µανοµετρικό ύψος της αντλίας. P ρgqh s / η H s Pη / ρgq x (0.80) /(000 x 9.8 x 0.50) m. Όµως H H + h h H H m. s f f Οι γραµµικές απώλειες του συστήµατος είναι 4.37m. (β) Επιλύοντας (το σύστηµα 3 ο τυπικό πρόβληµα) κατά τα γνωστά προκύπτι ότι D 34 mm. s 9.5 Παράλληλη σύνδεση αντλιών Όταν µια αντλία παρέχει το απαιτούµενο µανοµετρικό ύψος αλλά όχι και την απαιτούµενη παροχή, τότε πρέπει να συνδυάσουµε δύο ή περισσότερες αντλίες του ιδίου ή και διαφορετικού τύπου έτσι ώστε να πάρουµε την απαιτούµενη παροχή. Για το σύστηµα π.χ. Ν ίδιων αντλιών έχουµε και H S H S... H SN H S (9.5) Q + Q Q N Q. (9.6) 9.6 Σύνδεση αντλιών σε σειρά Σε περίπτωση που διαθέτουµε αντλίες που µας παρέχουν την απαιτούµενη παροχή αλλά σε χαµηλότερο µανοµετρικό ύψος από το απαιτούµενο, τότε στην έξοδο της πρώτης αντλίας προσθέτουµε και δεύτερη, στην έξοδο της δεύτερης και τρίτη, κοκ, έως ότου πετύχουµε το µανοµετρικό ύψος που απαιτείται. Για σύστηµα λοιπόν Ν αντλιών σε σειρά έχουµε και H S + H S H SN H S (9.7) Q Q... Q N Q. (9.8)

107 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -95 Παράδειγµα 9. Σύνδεση δύο αντλιών σε παράλληλη διάταξη - σηµείο λειτουργίας. Γ.Ε. Hs Q Q 3 Q Σχηµατική διάταξη παράλληλων αντλιών Q Συλλεκτήρας H Αντλία Α l Αντλία Β l Η s H o + CQ Αντλία Α+Β QB QA QB QA QA+B Q Αθροίζουµε τις παροχές των αντλιών για κάθε µανοµετρικό και προσδιορίζουµε την καµπύλη Q H του συστήµατος. Παράδειγµα 9.3 Σύνδεση δύο αντλιών σε σειρά - σηµείο λειτουργίας συστήµατος. Αθροίζουµε τα µανοµετρικά των αντλιών για κάθε παροχή και προσδιορίζουµε την καµπύλη Q H του συστήµατος. Σε ένα σύστηµα δύο αντλιών που συνδέονται παράλληλα ή σε σειρά ο συντελεστής απόδοσης του συστήµατος είναι η A+ B γqa+ B H A+ B (9.9) P motors

108 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -96 Η S3 Hs Η S Η S Q Q Σχηµατική διάταξη τριών (3) αντλιών σε σειρά Η Καµπύλη αντλιών Α+Β Η s Ho + CQ Καµπύλη αντλίας Β Καµπύλη αντλίας Α Q Q Α Q Β Q Α+Β 9.7 Σπηλαίωση (cavitation) Πίεση (ή τάση) ατµών ορίζουµε την πίεση εκείνη για την οποία το υγρό και οι ατµοί του βρίσκονται σε ισορροπία. Σε περίπτωση που σε ένα υγρό µε ελεύθερη επιφάνεια η πίεση στη µάζα του υγρού είναι µεγαλύτερη από την πίεση των ατµών του, τότε η µοναδική εναλλαγή ατµών - υγρού συµβαίνει στη διεπιφάνεια (ελεύθερη επιφάνεια). Όταν η πίεση ενός κινούµενου υγρού γίνει µικρότερη από την πίεση των ατµών του (για δεδοµένη θερµοκρασία), τότε στα σηµεία χαµηλής πίεσης αρχίζουν να εµφανίζονται φυσσαλίδες ατµού, µε αποτέλεσµα την έναρξη βρασµού στο υγρό (λόγω υποπίεσης). Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται σπηλαίωση (cavitation). Η παράµετρος που εκφράζει το βρασµό σε ένα υγρό που κινείται είναι ο αριθµός σπηλαίωσης (cavitation number) που ορίζεται ως C a pa p (9.0) V υ ( ρ ) όπου p a... η πίεση του περιβάλλοντος ρευστού p υ... η πίεση των ατµών V... χαρακτηριστική ταχύτητα (π.χ. µέση ταχύτητα του ρευστού)

109 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -97 Όταν η φυσαλίδα του ατµού µετακινηθεί σε περιοχή µε µεγαλύτερη πίεση, τότε καταστρέφεται µε τη σύγχρονη δηµιουργία µιας µικρο-έκρηξης που έχει αρνητικές επιπτώσεις στο περιβάλλον. Π.χ σε περίπτωση που αυτό συµβεί κοντά σε στερεό τοίχωµα, η επιφάνειά του καταστρέφεται σταδιακά. Σπηλαίωση εµφανίζεται στις προπέλες των πλοίων, στα κινούµενα µέρη των αντλιών και των υδροστροβίλων, σε περιοχές αποκόλλησης λόγω απότοµης διεύρυνσης της διατοµής ενός αγωγού κλπ. Στο διάγραµµα που ακολουθεί φαίνεται η τάση των ατµών του νερού σαν συνάρτηση της θερµοκρασίας. 0 Τάση ατµών νερού kpa Σχήµα 9.7 Τάση των ατµών νερού σαν συνάρτηση της θερµοκρασίας T (oc) 9.8 Καθαρό ύψος αναρρόφησης αντλίας (Net positive suction head - NPSH) Καθαρό ύψος αναρρόφησης µιας αντλίας (NPSH στο εξής) είναι το ύψος της ενέργειας ή η στάθµη τοποθέτησης της αντλίας σε σχέση µε τη στάθµη του αντλούµενου υγρού, που απαιτείται για την αποφυγή βρασµού ή σπηλαίωσης. Q ( i ) () z i Σχήµα 9.8 Αναρρόφηση υγρού από αντλία που βρίσκεται σε στάθµη z i υπεράνω της ελεύθερης επιφάνειας.

110 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -98 Η εξίσωση ενέργειας από τη διατοµή () στη διατοµή της εισόδου του αγωγού στην αντλία (i) γράφεται ως εξής και αναλυτικότερα H Hi + h (9.) f ( i ) pa + ρg p V i i zi + + h f ( i ) (9.) ρg g όπου p a... η ατµοσφαιρική πίεση p i... η πίεση στην είσοδο (eye) της αντλίας V i... ταχύτητα του ρευστού στην είσοδο της αντλίας z i... η υψοµετρική διαφορά ελ. επιφάνειας και άξονα της αντλίας. Στη συνέχεια ορίζουµε το NPSH σαν τη διαφορά NPSH p V p p p i i υ a υ + zi h f ( i ) ρg g ρg ρg όπου p υ... η πίεση των ατµών και h f(-i)... οι απώλειες ενέργειας στο σωλήνα εισόδου. (9.3) Για να µη διακοπεί η λειτουργία της αντλίας λόγω διακοπής της στήλης νερού από βρασµό ή εξαέρωση από την υποπίεση θα πρέπει δηλαδή pi Vi pυ + > ρg g ρg (9.4) pi Vi pυ pa pυ NPSH + zi h f ( i ) > 0. (9.5) ρg g ρg ρg Για αντλίες στις οποίες ο αγωγός εισόδου έχει µικρό µήκος, δηλαδή h f(-i) 0, θα πρέπει η απόσταση του άξονα της αντλίας z i από την ελεύθερη επιφάνεια να είναι µικρότερη από τη διαφορά (p a - p υ ) / ρg. Όµως για θερµοκρασία 0 ο C, p a atm (p a / ρg 0.33 m H O) p υ.337 kpa (p υ / ρg 0.4 m H O) και εποµένως πρέπει p a p υ m> zi. (9.6) ρg Για λόγους ασφάλειας όµως θεωρούµε z i < 7 m, δηλαδή η αντλία δεν τοποθετείται σε απόσταση που υπερβαίνει τα 7 m (στάθµη αναρρόφησης) πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια.

111 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -99 Ερώτηση: Υπάρχει περίπτωση η στάθµη αναρρόφησης της αντλίας να είναι κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια και να έχουµε διακοπή λειτουργίας της λόγω σπηλαίωσης; 9.9 Σίφωνας Σίφωνας είναι ένας σωλήνας µικρής διαµέτρου που χρησιµοποιείται για παροχέτευση υγρών από δεξαµενή ή δοχείο σε άλλη δεξαµενή ή δοχείο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο αντεστραµµένος σίφωνας, στον οποίο η ψηλότερη διατοµή βρίσκεται πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια. () z h p /ρg () Γ.Ε. Π.Γ z. (3) V V /g z 3 Σχήµα 9.9 Σίφωνας. Όταν ο σίφωνας είναι σε λειτουργία η εξίσωση ενέργειας µεταξύ των διατοµών (), () και (3) γράφεται ως εξής και αναλυτικότερα H H + hf H3 + h (9.7) ( ) f ( 3) pa + z ρg + p ρg V g z + + h f ( ) + z + + h f ( 3 ) p ρg V g. (9.8) Εποµένως p pa ρg ρg z z V h g V h h g f ( ) f ( ) < 0. (9.9) Για να µην υπάρχει εποµένως διακοπή της στήλης του νερού θα πρέπει η σχετική πίεση (πάνω από την ατµοσφαιρική) στη διατοµή () να είναι µεγαλύτερη από την πίεση των ατµών του νερού, δηλαδή p ρg σχ p pa pυ >. (9.0) ρg ρg ρg

112 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -00 ηλαδή, χρησιµοποιώντας τον ορισµό NPSH, όπου η βαρύτητα οδηγεί το νερό αντί της αντλίας, που σηµαίνει ότι p V pυ pa pυ NPSH + h h f ( ) > 0 (9.) ρg g ρg ρg pa pυ h+ h f ( ) < m. (9.) ρg Για h f m, πρέπει πρακτικά h < 9.0 m. Στην πράξη όµως h < 7.0 m από την επιφάνεια του νερού για λόγους ασφαλείας. Σηµείωση: Η έναρξη λειτουργίας του σίφωνα γίνεται µε αναρρόφηση νερού, έτσι που να γεµίσει ο σωλήνας και να υπάρξει συνέχεια στη στήλη του νερού. Τότε η βαρύτητα αρχίζει να κινεί το νερό. Σε περίπτωση όµως που p V pυ + <, (9.3) ρg g ρg η υποπίεση δηµιουργεί εξάτµιση και εποµένως µεγάλη φυσαλίδα ατµών που διακόπτει τη ροή. Για να υπάρξει κίνηση θα πρέπει Η >Η 3, δηλαδή από την εξίσωση (9.8) προκύπτει ότι V3 z z + > h f ( 3). (9.4) g Παράδειγµα m Α 000 m Γ 3000 m 00 m Β (α) Σε περίπτωση που χρησιµοποιηθεί ο λείος (k s 0) αγωγός µήκους 4000m και ενιαίας διαµέτρου που προκύπτει χρησιµοποιώντας την διαφορά στάθµης των δεξαµενών Α και Β σαν µήκος γραµµικών απωλειών ενέργειας, υπάρχει περίπτωση να διέλθει από τον αυχένα η παροχή των 00 L/s; (β) Αν όχι, ποια ή ποιες διάµετροι αγωγού πρέπει να χρησιµοποιηθούν ώστε να µεταφέρεται παροχή 00 L/s; εδοµένα: L(AΓ)000 m, L(ΓΒ)3000 m. Να αµελήσετε τις τοπικές απώλειες.

113 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -0 Απάντηση (α) Υπολογίζουµε τη διάµετρο του τµήµατος ΑΒ για παροχή 00 L/s µε βάση το τρίτο τυπικό πρόβληµα. εδοµένα Ζητούµενο k s 0 D Q 0. m 3 /s L 4000 m h f 00 m ν m /s k s /D 0 g 9.8 m/s Με διαδοχικές προσεγγίσεις υπολογίζουµε τη διάµετρο D. Oι υπολογισµοί φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: f D V Re k s /D f Εποµένως D(AΒ) 0.76 m. Η κλίση απωλειών υπολογίζεται κατά τα γνωστά στον παρακάτω πίνακα D Q k s V Re f J (m) (m 3 /s) (m) (m/s) VD/ν m/m Εποµένως, οι γραµµικές απώλειες µέχρι το σηµείο Γ είναι Το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο Γ θα είναι h f (ΑΓ) 000 J E 000 x m m Το υψόµετρο στο Γ είναι z Γ m. Εποµένως p V γ m. g Γ Για να µην υπάρξει διακοπή της στήλης του νερού πρέπει p V γ + > m. g Γ Αλλά m < m και εποµένως θα υπάρξει διακοπή της στήλης νερού. Άρα δεν περνά η παροχή των 00 L/s από αγωγό µε ενιαία διάµετρο. Σηµείωση: Το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί απ ευθείας. Επειδή η διάµετρος θα είναι ενιαία, οι γραµµικές απώλειες στο ¼ του αγωγού (000 m) θα είναι Η/45 m. Εποµένως, η Γ.Ε. θα βρίσκεται 5m κάτω από το υψόµετρο του άξονα του αγωγού,

114 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -0 δηλαδή το ύψος υποπίεσης υπερβαίνει τα 0 m που συνεπάγεται τη διακοπή της στήλης του νερού από τη δηµιουργία υδρατµών. (δ) Για να διέλθει η παροχή των 00 L/s, θα χρησιµοποιήσουµε αγωγούς διαφορετικής διαµέτρου ανάµεσα στα σηµεία ΑΓ και ΓΒ, έτσι ώστε p γ V + g Γ 7.00 m, ή ότι h f (ΑΓ) m. Έστω ότι h f (ΑΓ) 5 m. Από το 3 o τυπικό πρόβληµα έχουµε ότι εδοµένα Ζητούµενo k s 0 mm D Q 00 L/s L 000 m h f 5 m ν m /s k s /D 0 g 9.8m/s απ' όπου προκύπτει κατά τα γνωστά D 307mm. Τότε h f (ΓΒ) 85 m. Από το 3 o τυπικό πρόβληµα έχουµε ότι εδοµένα Ζητούµενo k s 0 mm D Q 00 L/s L 3000 m h f 85 m ν m /s k s /D 0 g 9.8m/s απ' όπου προκύπτει κατά τα γνωστά D 69mm.

115 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΑΓΩΓΟΙ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ Στο Εργαστήριο Υδροµηχανικής και Περιβαλλοντικής Τεχνικής του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας, υφίσταται ένα σύστηµα µέτρησης των απωλειών φορτίου σε αγωγούς υπό πίεση. Είναι η Πειραµατική συσκευή H6 - Losses in Piping Systems που κατασκευάστηκε από τον Οίκο TecQuipment 7 Limited, που έχει έδρα στο Ηνωµένο Βασίλειο. Η συσκευή αποτελείται από δύο κυκλώµατα σωλήνων που ελέγχονται από τις δικλίδες Α και Β, που στο εξής θα αποκαλούµε κύκλωµα Α και κύκλωµα Β. Τα µήκη των σωλήνων ανάµεσα σε διαδοχικά πιεζόµετρα είναι 0.94 m. Το κύκλωµα Α αποτελείται από τα παρακάτω τµήµατα µήκους 0.94 m το καθένα: Ευθύγραµµο σωλήνα l 0.94m, D 3.7mm (3 4) Σωλήνα l 0.94m, D 3.7mm µε γωνία 90 ο (5 6) Σωλήνα l 0.94m, D 3.7mm µε καµπύλη 90 ο µικρής R ( ) Το κύκλωµα Β αποτελείται από τα παρακάτω τµήµατα µήκους 0.94 m το καθένα: Απότοµη διεύρυνση από 3.7mm σε 6.4mm (7 8) Ευθύγραµµο σωλήνα l 0.94m, D 6.4mm (8 9) Απότοµη στένωση από 6.4 mm σε 3.7 mm (9 0) Σωλήνα l 0.94m, D 3.7mm µε καµπύλη 90 ο R 5 mm (5 6) Σωλήνα l 0.94m, D 3.7mm µε καµπύλη 90 ο R 0 mm ( ) Σωλήνα l 0.94m, D 3.7mm µε καµπύλη 90 ο R 5 mm (3 4) 7 TecQuipment Limited, Bonsall St., Long Eaton, Nottingham, NG0 AN, ENGLAND.

116 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση A B Από παλαιότερα πειράµατα που διεξήχθησαν στο εργαστήριο έχουµε τα παρακάτω δεδοµένα: Η θερµοκρασία στο εργαστήριο ήταν 0 ο C. (α) εδοµένα για το κύκλωµα Α Η παροχή του κυκλώµατος Α ήταν Q 337. cc/s. Οι πιέσεις που µετρήθηκαν στα πιεζόµετρα (p/ρg, σε mm Η Ο) είναι: p 73, p 50, p 3 740, p 4 305, p και p Ζητείται να υπολογίσετε: (α) Το συντελεστή f των γραµµικών απωλειών του σωλήνα, τι παρατηρείτε; (β) τις τοπικές απώλειες στη γωνία 90 ο ανάµεσα στα πιεζόµετρα 5 και 6 και τον αντίστοιχο συντελεστή τοπικών απωλειών και (γ) τις τοπικές απώλειες στην καµπύλη 90 ο ανάµεσα στα πιεζόµετρα και και τον αντίστοιχο συντελεστή τοπικών απωλειών. (β) εδοµένα για το κύκλωµα Β Η παροχή του κυκλώµατος B ήταν Q 336.4cc/s. Οι πιέσεις που µετρήθηκαν στα πιεζόµετρα (p/ρg, σε mm Η Ο) είναι: p 7 480, p 8 570, p 9 548, p 0 0, p 695, p 9, p 3 556, p 4 75, p και p Ζητείται να υπολογίσετε: (α) Το συντελεστή γραµµικών απωλειών του σωλήνα (8-9) διαµέτρου 6.4mm, (β) τις τοπικές απώλειες στην διεύρυνση (7-8) και τη στένωση (9-0) και τους αντίστοιχους συντελεστές τοπικών απωλειών, (γ) τις τοπικές απώλειες στις καµπύλες 90 ο R 5 mm (5 6), R 0 mm ( ) και R 5 mm (3 4) και τους αντίστοιχους συντελεστές τοπικών απωλειών. Απάντηση Κύκλωµα Α: Από πιεζόµετρα 3 και 4 προέκυψε ότι f 0.04

117 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -05 Από πιεζόµετρα και προέκυψε ότι για καµπύλη 90 ο Κ 0.89 Από πιεζόµετρα 5 και 6 προέκυψε ότι για γωνία 90 ο Κ.743 Κύκλωµα Β: Από πιεζόµετρα 8 και 9 προέκυψε ότι f Από πιεζόµετρα 7 και 8 προέκυψε ότι για τη διεύρυνση Κ 0.59 Από πιεζόµετρα 9 και 0 προέκυψε ότι για τη στένωση Κ 0.75 Από πιεζόµετρα και προέκυψε ότι για καµπύλη 90 ο 0mm Κ 0.4 Από πιεζόµετρα 3 και 4 προέκυψε ότι για καµπύλη 90 ο 5mm Κ 0.8 Από πιεζόµετρα 5 και 6 προέκυψε ότι για καµπύλη 90 ο 5mm Κ 0.4

118 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -06 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 8 Γκανούλης, ΙΓ, 98. Εισαγωγή στη Μηχανική των Ρευστών. Θεσσαλονίκη. 9 ηµητρίου, Ι, 997. Ρευστοµηχανική, Τεύχος - Εισαγωγή. Αθήνα. 0 ηµητρίου, Ι, 995. Εφαρµοσµένη υδραυλική, Τεύχος Α - Εισαγωγή. Αθήνα. ηµητρίου, Ι, 995. Εφαρµοσµένη υδραυλική, Τεύχος Β - Εφαρµογές. Αθήνα. Κωτσοβίνος ΝΕ, 983. Υδραυλική, Τόµος πρώτος. Ξάνθη. 3 Νουτσόπουλος, Γ 97. Μαθήµατα θεωρητικής και εφηρµοσµένης υδραυλικής, Τεύχος Α. Αθήνα. 4 Νουτσόπουλος, Γ 973. Μαθήµατα θεωρητικής και εφηρµοσµένης υδραυλικής, Τεύχος B. Ροή εις κλειστούς αγωγούς υπό πίεσιν. Αθήνα. 5 Νουτσόπουλος, Γ & Χριστοδούλου, Γ, 996. Μαθήµατα Μηχανικής των Ρευστών για Πολιτικούς Μηχανικούς. Α' Έκδοση. ΕΜ Πολυτεχνείο. 6 Παπαϊωάννου, ΑΘ, 976. Μηχανική των ρευστών, Τόµοι Ι και ΙΙ. Αθήνα. 7 Ξανθόπουλος, ΘΣ, 975. Μόνιµος ροή υπό πίεσιν εντός κυλινδρικών αγωγών. Τόµος ΙΙ, Εγχειρίδιον γενικής υδραυλικής. Θεσσαλονίκη. 8 Τσαγγάρης, Σ, 995. Μηχανική των ρευστών. Εκδόσεις Συµεών, Αθήνα. 9 Brater, EF and King, HW, 976. Handbook of hydraulics. Sixth Edition, McGraw-Hill. 0 Chow, VT, 964, Editor in Chief. Handbook of applied hydrology. McGraw-Hill. Currie, IG, 974. Fundamental mechanics of fluids. McGraw-Hill. Daily, JW, & Harlemman, DRF, 966. Fluid dynamics. Addison-Wesley. 3 F. Durst, S. Ray, B. Ünsal & O.A. Bayoumi, 005. The development lengths of laminar pipe and channel flows. Trans. ASME, 7, Jain, AK, 976. Accurate explicit equation for friction factor. J. Hyd. Eng. ASCE, 0, Japan Society of Mechanical Engineers Ed., 988, Visualized flow. Pergamon Press. 6 Monin, AS and Yaglom, AM (97). Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of turbulence. Volume, MIT Press. 7 Rouse, H, 96. Fluid mechanics for hydraulic engineers. Dover. 8 Schlichting, H, 979. Boundary-layer theory. McGraw-Hill. 9 Streeter, VL, 96. Handbook of fluid dynamics. McGraw-Hill. 30 Tullis, JP, (Editor) 97. Control of flow in closed conduits. Fort Collins, Colorado. 3 Vardy, A, 990. Fluid principles. McGraw-Hill. 3 Viessman, Jr, W, & Hammer, MJ, 993. Water supply and pollution control. Harper Collins. 33 White, FM, 994. Fluid mechanics. 3 rd Edition, McGraw-Hill.

119 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -07 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Α. Το θεώρηµα των Π του Buckingham Το θεώρηµα του Buckingham µπορεί να διατυπωθεί σε δύο φράσεις:. Όλα τα φυσικά φαινόµενα µπορούν να περιγραφούν µε αδιάστατα µονώνυµα που αποτελούνται από µεταβλητές που το περιγράφουν.. Ο αριθµός των φυσικών µεταβλητών υπερβαίνει τον αριθµό των ανεξάρτητων αδιάστατων µονωνύµων κατά ποσότητα, όση και ο αριθµός των θεµελιωδών διαστάσεων που εµφανίζονται στο φαινόµενο. ηλαδή, εάν σε ένα φυσικό φαινόµενο υπεισέρχονται n µεταβλητές και εµφανίζονται m θεµελιώδεις διαστάσεις, τότε υπάρχουν n-m αδιάστατα µονώνυµα τα οποία µπορούν να το περιγράψουν. Οι συνήθεις διαστάσεις που εµφανίζονται σε προβλήµατα Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου είναι το µήκος (L), η µάζα (M) και ο χρόνος (T). Παράδειγµα Α. Να βρείτε τη σχέση προσδιορισµού της φυσικής συχνότητας ταλάντωσης µάζας m στην κορυφή αβαρούς ράβδου µήκους l και διαµέτρου d µε ακαµψία EI όπου Ε είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού της ράβδου και Ι η ροπή αδράνειας της διατοµής. Απάντηση Η φυσική συχνότητα ταλάντωσης ω είναι συνάρτηση των εξής µεταβλητών ω f(ε, d, l, m) f'(ει, l, m). () Στην εξίσωση εµφανίζονται 4 µεταβλητές (ω, ΕΙ, l, m) και 3 διαστάσεις, εποµένως αναζητούµε 4-3 αδιάστατο µονώνυµο. ιαστάσεις [ω] Τ - [Ε] [F/A] MLT - /L ML - T - [I] L 4 [EI] ML 3 T - [l] L [m] M Εποµένως ω (EI) a l b m c και λαµβάνοντας τις διαστάσεις Τ - (ML 3 T - ) a L b M c () απ όπου εξισώνοντας τους εκθέτες των ίδιων διαστάσεων προκύπτει το σύστηµα των εξισώσεων ω

120 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -08 Μ: 0 a + c L: 0 3a + b T: - -a από την επίλυση του οποίου προκύπτουν οι εκθέτες a /, b -3/, c -/. Εποµένως η εξίσωση που δίνει τη φυσική συχνότητα ταλάντωσης της ράβδου είναι η / ( EI) ω C (3) 3 / ( ml ) όπου C είναι µία σταθερά που µπορεί να προσδιοριστεί πειραµατικά. Για τον προσδιορισµό της σταθεράς αυτής χρειάζεται να γίνει ένα µόνο πείραµα και να µετρηθεί η συχνότητα. Φυσική συχνότητα ράβδου από αλουµίνιο Ας πούµε ότι µετρήσαµε συχνότητα 0.9 Hz σε µια χαλύβδινη (Ε.03x0 Pa) ράβδο µήκους 0.40 m και διαµέτρου mm τοποθετώντας µάζα Kg. Ποια θα είναι η φυσική συχνότητα αλουµινένιας (Ε7.4x0 0 Pa) ράβδου των ιδίων διαστάσεων όταν τοποθετηθεί µάζα Kg στο άκρο της; Από το πείραµα της χαλύβδινης ράβδου, προσδιορίζουµε τη σταθερά C από τη σχέση 3 ω( ml ) C / ( EI ) / 3 / (0.9)[(.0)(0.4) ] [(.03)0 ( π / 4)(0.006) ] 4 / 0.04 εδοµένης της σταθεράς C 0.04, αντικαθιστώντας στη παραπάνω εξίσωση της συχνότητας E 7.4x0 0 Pa και m.0 Kg, βρίσκουµε ότι η συχνότητα ταλάντωσης της αλουµινένιας ράβδου είναι 0.77 Hz. Παράδειγµα Α. Θεωρείστε ότι η κατακόρυφη µετακίνηση δ (βέλος κάµψης) του άκρου ενός προβόλου µήκους l µε ακαµψία EI όπου Ε είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού της ράβδου και Ι η ροπή αδράνειας της διατοµής είναι συνάρτηση της δύναµης P που εφαρµόζεται στο άκρο του. Να προσδιορίσετε τη σχέση υπολογισµού του δ. A A l ΕΙ P δ TOMH A - A Απάντηση Οι παράµετροι και οι αντίστοιχες διαστάσεις τους είναι δ Ρ l EI L MLT - L ML 3 T -

121 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -09 Οι παράµετροι είναι 4 και οι θεµελιώδεις διαστάσεις είναι 3 εποµένως υπάρχει 4-3 αδιάστατο µονώνυµο που περιγράφει το φαινόµενο. Θεωρώντας τη σχέση δ P a l b (EI) c, (4) Αντικαθιστούµε τις διαστάσεις, εξισώνουµε τους εκθέτες των αντίστοιχων θεµελιωδών διαστάσεων και προκύπτει το σύστηµα εξισώσεων 0 a + c a + b + 3c 0 -a - c a + c 0 L (MLT - ) a L b (ML 3 T - ) c που αποτελεί σύστηµα δύο εξισώσεων µε τρεις αγνώστους. Προσδιορίζοντας τον ένα άγνωστο, έστω a, τότε c - και b 3. Η εξίσωση του βέλους κάµψης του προβόλου γράφεται δ C Pl 3, (5) EI η δε σταθερά προκύπτει από τη θεωρία της αντοχής των υλικών ότι είναι C/3. Α. Συστηµατοποίηση της εφαρµογής του θεωρήµατος Π. Ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Επιλογή των σχετικών µε το πρόβληµα n µεταβλητών που συνδέονται µε τη σχέση f(x, x,..., x n ) 0 Επιλέγονται οι επαναλαµβανόµενες µεταβλητές, δηλαδή αυτές που θα εµφανίζονται σε κάθε µονώνυµο Π, που είναι και όσος είναι ο αριθµός των m θεµελιωδών ποσοτήτων που υπεισέρχονται στις n µεταβλητές. Πρακτικά, στα προβλήµατα της ρευστοµηχανικής όπου υπεισέρχονται και οι τρεις θεµελιώδεις διαστάσεις, επιλέγουµε την πυκνότητα ρ, µια ταχύτητα V και ένα χαρακτηριστικό µήκος l που τις περιλαµβάνουν. 3 Οµαδοποιούνται οι µεταβλητές ανά m+ και διαµορφώνονται τα µονώνυµα Π i, (i,,..., n-m). Κάθε µονώνυµο περιέχει τις m επαναλαµβανόµενες µεταβλητές και µια µεταβλητή µε εκθέτη. 4 Προσδιορίζονται οι εκθέτες των επαναλαµβανόµενων µεταβλητών στα µονώνυµα. 5 Γράφεται η εξίσωση στη µορφή f(π, Π,..., Π n-m ) 0 6 Η εξίσωση αυτή µπορεί να επιλυθεί συνήθως ως προς ένα από τα µονώνυµα. 7 Τέλος, µερικά από τα µονώνυµα µπορούν να αντικατασταθούν από άλλα που προκύπτουν από συνδυασµούς τους, αρκεί τα νέα µονώνυµα να είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους.

122 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση -0 Παράδειγµα Α.3 Να µελετηθεί διαστατικά η µόνιµη ροή ρευστού σε τραχείς σωλήνες. Θα ακολουθήσουµε τα παραπάνω βήµατα για τον προσδιορισµό της σχέσης που συσχετίζει τις απώλειες ενέργειας µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού, του αγωγού και του πεδίου ροής. Οι απώλειες ενέργειας σε σωλήνες είναι συνακόλουθο φαινόµενο της µέσης διατµητικής τάσης στο στερεό όριο. Η γενική σχέση είναι της µορφής φ(τ ο, ρ, µ, V, d, k s ) (6) όπου (σε παρένθεση δίνονται οι διαστάσεις της κάθε µεταβλητής) τ ο... η µέση διατµητική τάση στο όριο (ML - T - ) ρ... η πυκνότητα του ρευστού (ML -3 ) µ... το ιξώδες του ρευστού (ML - T - ) V... η µέση ταχύτητα ροής (LT - ) d... η διάµετρος του σωλήνα (L) k s... η ισοδύναµη τραχύτητα του αγωγού (L) περιέχει 6 µεταβλητές και 3 θεµελιώδεις διαστάσεις, ζητούνται εποµένως 6-33 αδιάστατα µονώνυµα Π. Θεωρούµε σαν επαναλαµβανόµενες µεταβλητές την πυκνότητα ρ, την ταχύτητα V και τη διάµετρο d του αγωγού. Τα τρία µονώνυµα θα είναι της µορφής Π τ ο / ρ Χ V Y d Z Π µ / ρ Χ V Y d Z Π 3 k s / ρ Χ3 V Y3 d Z3 Τα παραπάνω µονώνυµα είναι αδιάστατα. Γράφοντας τις εξισώσεις των διαστάσεων για το κάθε µονώνυµο, προκύπτουν τρία συστήµατα εξισώσεων µε τρεις αγνώστους το καθένα που θα καθορίσουν τους εκθέτες των επαναλαµβανόµενων µεταβλητών. Π : ML - T - (ML -3 ) Χ (LT - ) Y (L) Z απ όπου προκύπτει το σύστηµα Χ - -3Χ + Υ + Ζ - -Υ εποµένως Χ, Υ και Ζ 0 και το µονώνυµο που προκύπτει είναι Όµοια Π : o Π τ ρv ML - T - (ML -3 ) Χ (LT - ) Y (L) Z απ όπου προκύπτει ότι Χ, Υ και Ζ και το µονώνυµο που προκύπτει είναι (7)

123 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση - Π µ ρvd (8) και Π 3 : L (ML -3 ) Χ3 (LT - ) Y3 (L) Z3 απ όπου προκύπτει ότι Χ3 0, Υ3 0 και Ζ3 και το µονώνυµο που προκύπτει είναι Π 3 k ds. (9) Η αδιάστατη εποµένως εξίσωση τριβών σε σωλήνα είναι τ o s ρ ρv k F R Vd, ; R. (0) d µ Το µονώνυµο Π δεν είναι τίποτα άλλο από το συντελεστή αντίστασης τριβών f/8, γνωστό από την υδραυλική και προσδιοριστέο από την εξίσωση των Darcy-Weisbach ή το διάγραµµα Moody. Στο παραπάνω παράδειγµα, στην περίπτωση που ο αγωγός είναι λείος, δηλαδή η ισοδύναµη τραχύτητα δεν επηρεάζει τη ροή, η παραπάνω σχέση είναι µόνο συνάρτηση του αριθµού Reynolds, ενώ στην περίπτωση της πλήρως τραχείας περιοχής όπου το ιξώδες δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη διατµητικής τάσης σε σχέση µε την τραχύτητα των ορίων, είναι µόνο συνάρτηση του λόγου k s /d.

124 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΙΚΛΙ ΕΣ (ΑΠΟ ΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ). Συρταρωτή δικλίδα (Gate Valve). ικλίδα πεταλούδας (Butterfly Valve) 3. ιαφραγµατική δικλίδα (Diaphragm Valve)

125 Εφαρμοσμένη Υδραυλική - Αγωγοί υπό πίεση Βάνα αντεπιστροφής (Check Valve) 5. Βάνα βύσµατος (Globe Valve) 6. ικλίδα κοίλης φλέβας (Needle Valve)