3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
|
|
|
- Ὑπατια Λαμέρας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος Η ακολουθία με ιοστό όρο α = α είαι αριθμητική πρόοδος. β + γ 3. Α ισχύει α =, ο α λέγεται αριθμητικός μέσος τω β και γ. 4. β + γ Α ισχύει α =, αυτό σημαίει ότι οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. Ο 3 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με α 1 = 1,6 και ω = 0, είαι α 3 = Η αριθμητική πρόοδος με α 4 = 10 και α 7 = 19 έχει α 1 = 3 και ω = Το άθροισμα (n 1) + n + (n 1) ισούται με n. 8. Η ακολουθία, 5, 8, 11, είαι αριθμητική πρόοδος. 9. Η ακολουθία 4, 1, 18, 15, είαι αριθμητική πρόοδος. 10. Η ακολουθία, 5, 8, 11,... είαι αριθμητική πρόοδος. 11. Η ακολουθία με ιοστό όρο α = είαι αριθμητική πρόοδος. 1. Η ακολουθία με ιοστό όρο α = + 6 είαι αριθμητική πρόοδος Οι αριθμοί x x 1, x + 1, x + x 1 αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 49
2 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 14. Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α 1 + ( - 1) ω. 15. Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι (α + α ) S = Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι α + ( 1) ω 1. S = [ ] 17. Α α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. 18. ( + 1) Το άθροισμα S = = Η ακολουθία,,,... είαι αριθμητική πρόοδος τη αριθμητική πρόοδο, 7, 1, 17,... η διαφορά ω είαι ε μία αριθμητική πρόοδο με α 1 = 5 και ω = - 3 είαι S = (13-3). Η αριθμητική πρόοδος 3, 7, 11,... έχει S = Η αριθμητική πρόοδος - 5, - 8, - 11,... έχει α = ε μια αριθμητική πρόοδο με α 1 = - 3 και ω = 5 το α = Η αριθμητική πρόοδος 4, 17, 10,... είαι γησίως αύξουσα.. ε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις α σημειώσετε τη σωστή απάτηση. 1. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου α = 7 + είαι: Α. 7 Β. 9 Γ. 5 Δ
3 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ. Για κάθε αριθμητική πρόοδο με το πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω ο ιοστός όρος είαι: Α. α = α 1 + ( + 1) ω Β. α = α 1 + ω Γ. α +1 = α 1 + ( 1) ω Δ.. α = α 1 + ( 1) ω. 3. Για κάθε αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω το άθροισμα τω πρώτω όρω είαι: v Α. Sv = a1 + ( v 1) ω Β. Sv = v a1 + ( v 1) ω a1 + vω Γ. Sv = v v Δ.. Sv = a1 + ( v+ 1) ω 4. 1 Α για αριθμητική πρόοδο α 1 = 4, ω = και = 13, τότε: 4 Α. α = 1 Β. α = 1 Γ. α = 0 Δ.. α = 7 5. Η αριθμητική πρόοδος με α 1 = 8 και α 8 = 85 έχει διαφορά: Α. ω = 13 Β. ω = 10 Γ. ω = 1 Δ. ω = Το άθροισμα τω πρώτω 30 όρω της αριθμητικής προόδου 3, 7, 11, 15, είαι: Α Β. 183 Γ. 330 Δ Το άθροισμα είαι ίσο με: Α. 100 Β. 55 Γ. 00 Δ Το άθροισμα είαι ίσο με: Α. 87 Β. 40 Γ. 78 Δ Η διαφορά ω μιας αριθμητικής προόδου πρέπει α είαι: Α. ω 1 Β. ω 0 Γ. ω > 0 Δ. ω R 10. Α η αριθμητική πρόοδος έχει διαφορά ω = 0, τότε είαι Α. αύξουσα Β. φθίουσα Γ. σταθερή Δ. τίποτα από τα προηγούμεα 51
4 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 11. Ο τρίτος όρος της αριθμητικής προόδου με Sv = 6v είαι: Α. α 3 = 54 Β. α 3 = 30 Γ. α 3 = 4 Δ. α 3 = Να βρεθεί η τιμή του x ώστε οι αριθμοί 6x, 3x, 5x 3 α αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 5 Α. x = 0 Β. x = Γ. x = 1 Δ. x = Α οι αριθμοί α, β, γ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς: Α. αβ, βγ, γα Β. α + β, β + γ, γ +α Γ. α βγ, β αγ, γ αβ Δ. α βγ, β αγ, γ αβ 14. Α οι γωίες Α, Β, Γ του τριγώου ΑΒΓ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει: Α. Α=Β=Γ Β. 0 Γ=90 Γ. 0 Β= 60 Δ. Α= Α στο τρίγωο ΑΒΓ οι πλευρές α, β, γ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς: Α. ημα, ημβ, ημγ Β. συα, συβ, συγ Γ. εφα, εφβ, εφγ Δ. σφα, σφβ, σφγ 16. Aπό τις παρακάτω ακολουθίες αριθμητική πρόοδος είαι η Α. 3, 6, 8, 10, 11,... Β., 4, 8, 16, 3,... Γ. -3, 1, 5, 9, 13,... Δ. -3, 0, 3, 6,... Ε.,,,, Α η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου είαι η μεγαλύτερη ρίζα και ο πρώτος της όρος η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x 5x+ 6= 0, τότε ο 3 ος όρος της προόδου είαι ο Α. 7 Β. 5 Γ. 5 Δ. 7 Ε. 8 5
5 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 18. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 3 και α 5 = 3. Τότε η διαφορά ω είαι ίση με Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ. 1 Ε ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 10 = και ω =3. Τότε α1 είαι ίσο με Α. 5 Β. 1 Γ. - 1 Δ. 6 Ε ε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α1 = 3 και διαφορά ω = 4 έχουμε α =35. Τότε το πλήθος τω όρω της είαι Α. 7 Β. 3 Γ. 31 Δ. 9 Ε ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 8 = 40 και α 0 = 0. Τότε o 14 ος όρος της είαι ίσος με Α. 5 Β. 1 Γ. 10 Δ. 9 Ε. 0. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 11 και ω = 3. Τότε οι θετικοί της όροι είαι οι Α. Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε. όλοι οι όροι της 3. Ο 10 ος όρος της αριθμητικής προόδου : 10, 7, 4, είαι Α. 14 Β. 0 Γ Δ. 30 Ε ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 7 και ω =. Τότε δε είαι όρος της ο Α. 15 Β. 11 Γ. 5 Δ. 1 Ε Η ακολουθία με γεικό όρο α = 3 + είαι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω ίση με Α. 5 Β. Γ. - 1 Δ. 3 Ε ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 8 και ω =3. Τότε ο ιοστός της όρος είαι ίσος με Α. α = 8+ 3 Β. α = Γ. α = Δ. α = 5+ 3 Ε. α =
6 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 7. Έας μαθητής ύψους 1,7 m στέκεται μπροστά σε μια σκάλα, κάθε σκαλοπάτι της οποίας έχει ύψος 18 cm. α) Το πρώτο σκαλοπάτι της σκάλας, που βρίσκεται σε μεγαλύτερο ύψος από το μαθητή, είαι το Α. όγδοο Β. δέκατο Γ. εδέκατο Δ. δωδέκατο Ε. Εικοστό β) Δε υπάρχει σκαλοπάτι που α βρίσκεται σε ύψος από το έδαφος Α. 36 cm Β. 54 cm Γ. 7 cm Δ. 1,44 m Ε. 1,56 m 8. Η αριθμητική πρόοδος: α, α+ c, α + 4c, είαι γησίως αύξουσα ότα Α. α> 0 Β. c 0 Γ. c < 0 Δ. c > 0 Ε. πάτοτε 9. Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 4 = x και α 6 = y, τότε η διαφορά ω είαι ίση με x+ y x y x Α. Β. Γ. y y x y Δ. Ε. x 30. Η διαφορά της αριθμητικής προόδου : α + β, α, α β, είαι Α. α Β. β Γ. β Δ. α Ε. β 31. Από τις παρακάτω τριάδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους προόδου η Α. 5, 0, 35 Β. - 5, 0, 5 Γ. 45, 0, - 5 Δ. 5, -10, -5 Ε. - 5, 0, 35 αριθμητικής 3. Α οι αριθμοί 3k, k + 4, k - 1 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ο k είαι ίσος με Α. 4 Β. Γ. 5 Δ. 4,5 Ε. 1,5 33. Α τρεις ακέραιοι αριθμοί είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχου άθροισμα 1 και γιόμεο 80, τότε αυτοί είαι Α., 10, 14 Β. 5, 7, 9 Γ. 4, 7, 10 Δ. 1, 7, 13 Ε. - 4, 7,
7 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 34. Α οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει Α. y = x+ z Β. z= x+ y Γ. z= x+ y Δ. z y = y x Ε. z x = y 35. Α οι γ, α+ β, α β είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. 1 Β. γ = β α Γ. γ = α +β Δ. γ = α+3β Ε. γ = α +4β Α οι αριθμοί 1 1 1,, α β γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. 1 α+ γ = Β. = Γ. = + β β α+ γ β α γ Δ. β = + Ε. = + α γ β α γ Από τις επόμεες τετράδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου η Α., 5, 8, 11 Β. - 13, - 9, - 5, - 1 Γ. 8, 18, 38, 58 Δ. - 6, - 1, 4, 9 Ε. - 4, -, 0, 38. Α οι α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ποια από τις παρακάτω απατήσεις δε είαι σωστή; Α. β+ γ = α+ δ Β. α + γ =β Γ. β + δ =γ Δ. δ γ = β α Ε. α + β + γ = δ 39. Ο 15 είαι ο αριθμητικός μέσος τω αριθμώ Α. 5 και 0 Β. -5 και 5 Γ. -9 και -1 Δ. 9 και 1 Ε. 9 και τη αριθμητική πρόοδο: 5, 9, 13, 17, 1, 5 αριθμητικός μέσος είαι ο Α. 18 Β. 0 Γ. 30 Δ. 15 Ε Οι διάφοροι του μηδεός πραγματικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποια από τις παρακάτω τριάδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου; Α. γ, β, α Β. α, β, γ Γ. α, β, γ Δ.,, Ε. γ, β, α α β γ
8 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 4. Α σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε α 1 = 5 και ω = 5, τότε το άθροισμα τω 4 πρώτω όρω της είαι Α. 18 Β. 43 Γ. 50 Δ. 0 Ε ε μια αριθμητική πρόοδο τα αθροίσματα S 6 = 93 και S 5 = 90. Τότε ισχύει Α. ω = 3 Β. α 1 = 3 Γ. α 5 = 3 Δ. α 6 = 3 Ε. S 4 = Τα πολλαπλάσια του 3 μεταξύ του 5 και του 35 είαι Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ. 10 Ε Μια ακολουθία α 1, α, α 3,, α είαι αριθμητική πρόοδος α Α. η διαφορά δυο οποιωδήποτε όρω της είαι σταθερός πραγματικός αριθμός Β. η διαφορά μεταξύ πρώτου και τελευταίου όρου της είαι σταθερός αριθμός Γ. οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της είαι ίδιοι πραγματικοί αριθμοί Δ. οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της είαι ίδιοι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Ε. το άθροισμα τω όρω της είαι σταθερός πραγματικός αριθμός. 46. ε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω, το άθροισμα δυο όρω της που ισαπέχου από τα άκρα της είαι Α. Πολλαπλάσιο της διαφοράς ω. Β. Παίρει τιμές που εξαρτώται από τη τάξη τω όρω αυτώ. Γ. Ίσο με το πλήθος. Δ. Ίσο με το άθροισμα τω άκρω όρω της προόδου. Ε. Ίσο με το αριθμητικό μέσο της. 47. ε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω > 0 ισχύει Α. α4 = α 1+ α3 Β. α 4 = α1+ 4ω Γ. α3 = α4 ω Δ. α = α ω Ε. α α = α ε κάθε αριθμητική πρόοδο η διαφορά ω είαι Α. θετικός ρητός Β. σταθερός ακέραιος Γ. 0 Δ. ίσος με Ε. σταθερός πραγματικός 49. Α οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. x = y + z Β. z = x + y Γ. y = x + z Δ. y = x + z Ε. y = x z 56
9 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 50. ε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι Α. ( α α ) α α ) ω + 1 α α ) 1 Β. ( Γ. ( + 1 Δ. ( α α ) ω 1 Ε. ( α ω) ε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι Α. [ α1 + ( 1)] Β. [α1 + ω ] Γ. [ α ( ) ω] Δ. [ α ] α ω) 1 + ( 1) ω Ε. ( + 3. υμπληρώστε τα κεά με τη λέξη που λείπει 1. Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεο του.. του ίδιου πάτοτε αριθμού. Το αριθμό αυτό το λέμε.. της προόδου.. Ο ιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με το πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι. 3. Η αριθμητική πρόοδος με α 1 = 5, και ω = 0,4 έχει 43 ο όρο α 43 =.. 4. Αριθμητική πρόοδος με α 1 =. και ω = έχει α 5 = 54 και α 11 = Αριθμητική πρόοδος με α 1 = 3x + και α = 5x + 6 έχει τρίτο όρο α 3 =. 6. Αριθμητική πρόοδος με α 1 = 3x + και α = 5x + 6 έχει δεύτερο όρο α =.. 7. Το άθροισμα τω πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου με α 1 = 10 και ω = 10 είαι Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 5, 8,, 14, 17,,, 6. β) 7,,, 5. γ) k, k + 3,, 4k + 9,. δ) x,, 5x +, 7x + 3,,. 57
10 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 5. Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) β) γ) δ) Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) β) γ) δ) Να γράψετε τους όρους που λείπου έτσι ώστε κάθε γραμμή α είαι αριθμητική πρόοδος α) x + y x - y β) x - y x + y γ) x - 3y x + 3y δ) x + 3y x - 3y 8. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Αριθμητική πρόοδος ΤΗΗ Β Γεικός όρος της 1) 7, 9, 11, 13, 15 Α) α = 7 + ( 1) 3 ) 7, 4, 1,, 5 Β) α = 7 + ( 1) 3) 3, 1, 5, 9, 13 Γ) α = 3 + ( 1) ( 4) 4) 1, 0, 1,, 3 Δ) α = 1 + ( 1) ( 1) 58
11 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 9. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Για μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ΤΗΗ Β Να βρεθεί το 1) α 1 = 4,5, ω = 5,5, α = 100 Α) = 3 ) α 1 = 38,5, ω = 4, α = 46,5 Β) = 0 3) α 1 = 14,5, ω = 0,7, α = 3 Γ) = Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Για μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ΤΗΗ Β Το (α 1, ω) είαι 1) ) 3) a + a = 5 1 a a = a + a = 10 8 a + a = a + a a = a + a = Α) (1, 3) Β) (7, ) Γ) (3, 4) Δ) ( 7, 3) 4) a + a 3a = 11 a a =
12 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 11. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Για μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ΤΗΗ Β Το (α 1, ω) είαι 1) ) 3) 5a + 10a = 0 S S S 4 4 = 14 = 9 =,4 a + S a = S = 1a 6 Α) (8, 3) Β) 7 3, Γ) 3 0, Δ) (, 4) 4) S S a = 0,1 5 5 S + a = 0, Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Ακολουθία ΤΗΗ Β 5ος Όρος ακολουθίας ),,, Α) Β) ) 8,4,, Γ) 1 Δ) 1 3) 10, 7, 4, 4 Ε) 5 1 4) 7, 9, 3, Τ) 3 60
13 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 13. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Αριθμητική πρόοδο ΤΗΗ Β Νιοστό όρο 1) α1 =, ω = 3 Α) α = 4 14 ) α1 = 4, ω = 3 Β) α 5 10 = 3) α1 = 10, ω = 4 Γ) α 3 1 = Δ) α = Ε) α = Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β Αριθμητική πρόοδο Το άθροισμα S 1) α1 =, ω = 3 Α) S = ) α = 4, ω = 3 1 ( ) Β) S = + 3) α = 10, ω 4 1 = Γ) S = ( ) Δ) S = 6 ( 1) Ε) S = 61
14 3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 15. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΤΗΗ Β Τιμή του x 1), x + 1, 1 Α) x = 5 ) 3 + x, 15, Β) x = 16 3) 14, 9 + x, 0 + x Γ) x = Δ) x = 6 Ε) x = Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους 11 ους όρους στις αριθμητικές προόδους: 1 (α ): α 1 = και ω = 4, (β ): β 1 = 68 και ω = 3, (γ ): γ 1 = 34 και ω = 17. Να βάλετε στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς x, y, z α οι αριθμοί : (α) x 4, x + 1, x + 3, (β) y, y + 1, y + 7, (γ) z 5, z, z + 6 αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικώ προόδω. 6
1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ
ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε
4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ
Κεφάλαιο 3ο: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. * Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α + ( - ) ω. Σ Λ (α + α ). * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΥΝΑΡΤΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ.-. ΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΥΝΑΡΤΗΗ. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς:. Η εξίσωση α x = θ, όπου α > 0 με α και θ >
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:
Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος
Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής
3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ
Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των
στους μιγαδικούς αριθμούς
Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;
5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική
Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
+ + = + + α ( β γ) ( )
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε
ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος
Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)
Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,
ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù
ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù úï ùþ üÿùÿ üÿ ù + ü ú ù 10 03. ÿ+ü ÿù ü!&10" # *Œ # ³&1)- " 1. * þ1#!1 I [ 03[ 0. Œ0! / 0 Œ0! / Œ. * þ1#!1 I [ 1#[ 0. Œ0!. 3. * þ 1#!1 I [ 13[ $0 Œ0/!1 * 1* ^x R x 0 }. 4.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Στθερές. π = 03,459 6535 89793 3846 643... e = 0,788 884 59045 3536 087... e π = 3,4069 637 7969 006... π e =,4595 7783 6045 4734 75... e e = 5,546 44 7964 90... = 0,44 3563 73095
5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Çëéáó Óêáñäáíáó - Ìáèçìáôéêïó. Στθερές. π = 03,459 6535 89793 3846 643... e = 0,788 884 59045 3536 087... e π = 3,4069 637 7969 006... π e =,4595 7783 6045 4734 75... e e = 5,546 44
, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με
5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
Δυνάμεις πραγματικών αριθμών
Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται
3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία
Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..
72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη
1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,
. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)
ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 8) ( 12) ( 8) ( 12) Α= + + 10 + 22. 3 3 2 2 2 ( 3) 2 ( 3) Στο διπλαό σχήμα το τρίγωο ΑΒΓ είαι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ), με, και ΑΔ είαι η
σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log
Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου
Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -
ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή
4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί
α έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για
Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.
Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία
iii. Ακόμα, αλλάζουμε πρόσημα (όλα!) όποτε θέλουμε : α α, α β β α
. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ετός από τις λασσιές, θυμηθείτε υρίως τις δύο παραάτω : α β α β α αβ β α β α β α αβ β, αλλά αι τη γειότητα: α β α β α α β α β... αβ β, α,β,.. ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ορισμοί σχέσεις συμπεράσματα)
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Να γράψετε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί
Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς
2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν
1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2
Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ
Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο
Μαθηµατική Επαγωγή 175.
Μαθηµατική Επαγωγή 75. Μαθηµατική Επαγωγή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο τω προόδω έχει αποδειχθεί ότι ο ισχυρισµός v( v+ ) P( v ):+ + 3 +... + v, v N είαι αληθής (ως άθροισµα
Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-
Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια
ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.
13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί
Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου
ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη
Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού
Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α
Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127
Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών
5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση
Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές
(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε
1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.
Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας
Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2
Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών
Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό
Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i
Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες
ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών
ΜΑΘΗΜΑ 9 Γεικές ασκήσεις µιγαδικώ. Για το µιγαδικό δίεται ότι. Να βρείτε i) το ii) το σύολο τιµώ του i. i) ( )( ) [ ] Άρα ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 () (). 0 ii) i i ( ) ( i) i ( ) ( i) ( ) i () i ( ) ( i)
3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε
Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού
ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008
ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1