Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά κάποια στοιχεία συνολοθεωρίας που θα µας χρειαστούν αν µη τι άλλο, µε τον τρόπο αυτό θα εµπεδώσουµε τον σχετικό συµβολισµό. Συνιστούµε στον αναγνώστη, αντί να µελετήσει εξαντλητικά αυτό το κεφάλαιο εξαρχής, απλώς να ανατρέχει σε αυτό αν και όταν ανακύψουν ζητήµατα συνολοθεωρητικής φύσης στα επόµενα κεφάλαια. Το αγαπηµένο βιβλίο συνολοθεωρίας του συγγραφέα είναι φυσικά το Elements of Set Theory του ιδίου (βλ. τη βιβλιογραφία στο τέλος του βιβλίου). Κατ αρχάς, δύο λόγια για την τεχνική «αργκό». Σε όλο το βιβλίο θα χρησιµοποιήσουµε διάφορες καθιερωµένες µαθηµατικές συντοµογραφίες. Το σύµβολο δηλώνει το τέλος µιας απόδειξης. Μια φράση του τύπου «Αν...,τότε...»θαγράφεται µερικές φορές στη συνοπτική µορφή «......». Επίσης, για τηναντίστροφη συνεπαγωγή έχουµε το σύµβολο. Για τη φράση «αν και µόνο αν» χρησιµοποιούµε τη σύντµηση «ανν» (η οποία έχει πλέον καθιερωθεί στη µαθηµατική γλώσσα) και το σύµβολο. Για τη λέξη «εποµένως», χρησιµοποιούµε το σύµβολο. Ο συµβολιστικός «µηχανισµός» µέσω του οποίου η έκφραση «x y» νοείται ως άρνηση της «x = y» καιη«x / y» ως άρνηση της «x y» θα επεκταθεί και σε άλλες περιπτώσεις. Για παράδειγµα, στην Ενότητα 1.2 ορίζουµε την έκφραση «Σ = τ», οπότε η «Σ = τ» είναι η άρνησή της. Συνεχίζουµε: ένα σύνολο είναι µια συλλογή από αντικειµένα, τα οποία ονοµάζονται µέλη ή στοιχεία του συνόλου. Ως συνήθως, η έκφραση «t A» σηµαίνει ότι το t είναι µέλος του A, και η έκφραση «t / A» ότι το t δεν είναι µέλος του A.Ηέκφραση «x = y» σηµαίνει ότι τα x και y είναι το ίδιο αντικείµενο. ηλαδή, η παράσταση «x» στα αριστερά του συµβόλου της ισότητας είναι ένα όνοµα για το ίδιο αντικεί- µενο που ονοµατίζει και η άλλη παράσταση, η «y». Αν A = B, τότε για οποιοδήποτε 1

2 2 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική αντικείµενο t ισχύει αυτοµάτως ότι t A ανν t B, για τον απλό λόγο ότι τα A και B είναι το ίδιο αντικείµενο. Το αντίστροφο είναι η αρχή της εκτατικότητας: Εάν τα A και B είναι σύνολα τέτοια ώστε για κάθε αντικείµενο t να ισχύει ότι t A ανν t B, τότε A = B. Η αρχή αυτή αντανακλά και το τι είναι ένα σύνολο ένα σύνολο καθορίζεταιµόνοαπόταµέλητου. Μια χρήσιµη πράξη είναι η προσάρτηση ενός επιπλέον αντικειµένου σε ένα σύνολο. Για ένα σύνολο A, έστω A; t το σύνολο του οποίου τα µέλη είναι (i) τα µέλη του A, συν (ii) το (πιθανώς νέο) µέλος t.τοt µπορεί να ανήκει η να µην ανήκει ήδη στο A και, χρησιµοποιώντας συµβολισµό που θα οριστεί παρακάτω, έχουµε ότι και A; t = A {t} t A ανν A; t = A. Ένα ειδικό σύνολο είναι το κενό σύνολο,, το οποίο δεν έχει απολύτως κανένα µέλος. Οποιοδήποτε άλλο σύνολο χαρακτηρίζεται µη κενό. Για οποιοδήποτε αντικεί- µενο x υπάρχει το µονοµελές σύνολο {x} το οποίο έχει ως µοναδικό µέλος το x. Γενικότερα, για οποιοδήποτε πεπερασµένο πλήθος αντικειµένων, x 1,...,x n,υπάρχει το σύνολο {x 1,...,x n }, το οποίο έχει ως µέλη ακριβώς αυτά τα αντικείµενα. Να σηµειωθεί ότι {x, y} = {y, x}, αφού τα δύο αυτά σύνολα έχουν ακριβώς τα ίδια µέλη. Απλώς χρησιµοποιήσαµε διαφορετικές εκφράσεις για να περιγράψουµε το σύνολο. Εάν η διάταξη των στοιχείων έχει σηµασία, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διατεταγµένα ζεύγη (τα οποία εξετάζονται παρακάτω). Θα προεκτείνουµε τον συµβολισµό αυτό για να καλύψουµε και ορισµένες άπειρες περιπτώσεις. Για παράδειγµα, {0, 1, 2,...} είναι το σύνολο N των φυσικών αριθµών, και {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} είναι το σύνολο Z όλων των ακεραίων. Μια έκφραση του τύπου «{x x }» δηλώνει το σύνολο όλων των αντικειµένων x για τα οποία ισχύει ότι x. Θα χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό αυτό µε αρκετή ελευθερία. Παραδείγµατος χάριν, { m, n m<n ανήκουν στο N} είναι το σύνολο όλων των διατεταγµένων ζευγών φυσικών αριθµών στα οποία η πρώτη συνιστώσα είναι µικρότερη από τη δεύτερη, ενώ {x A x } είναι το σύνολο όλων των µελών x του A για τα οποία ισχύει ότι x. Εάν το A είναι ένα σύνολο του οποίου όλα τα µέλη είναι επίσης µέλη του B,τότε το A είναι υποσύνολο του B, γεγονός που συµβολίζεται «A B». Σηµειωτέον ότι οποιοδήποτε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. Επίσης, το είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. (Η έκφραση «A» είναι «αληθής εν κενώ», αφού για να επαληθεύσουµε, για κάθε µέλος του, ότι ανήκει επίσης στο A δεν χρειάζεται να κάνουµε απολύτως τίποτα. Ή, από µια άλλη οπτική γωνία, η έκφραση «A B» µπορείνα

3 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 3 είναι ψευδής µόνο αν κάποιο µέλος του A δεν ανήκει στο B.ΕάνόµωςA =, αυτό είναι αδύνατο.) Από το σύνολο A µπορούµε να σχηµατίσουµε ένα νέο σύνολο, το δυναµοσύνολο PA του A, το οποίο έχει ως µέλη τα υποσύνολα του A. ηλαδή, PA = {x x A}. Παραδείγµατος χάριν, P = { }, P{ } = {, { }}. Η ένωση των A και B,A B, είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων που είναι µέλη του A ήτουb (ή και των δύο). Παραδείγµατος χάριν, A; t = A {t}. Αντίστοιχα, η τοµή των A και B,A B, είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων που είναι µέλη αµφότερων των A και B. Τα σύνολα A και B είναι ξένα ανν η τοµή τους είναι κενή (δηλ. αν δεν έχουν κανένα κοινό µέλος). Περισσότερα από δύο σύνολα χαρακτηρίζονται ανά δύο ξένα ανν για κάθε ζεύγος από αυτά ισχύει ότι τα µέλη του ζεύγους είναι ξένα µεταξύ τους. Γενικότερα, έστω ένα σύνολο A του οποίου τα µέλη είναι σύνολα και τα ίδια. Η ένωση, A,τουA είναι το σύνολο που προκύπτει αν εντάξουµε όλα τα µέλη του A σε ένα ενιαίο σύνολο: A = {x το x ανήκει σε κάποιο µέλος του A}. Αντίστοιχα, για οποιοδήποτε µη κενό τέτοιο σύνολο A, A = {x το x ανήκει σε όλα τα µέλη του A}. Παραδείγµατος χάριν, αν A = {{0, 1, 5}, {1, 6}, {1, 5}}, τότε A = {0, 1, 5, 6}, A = {1}. ύο άλλα παραδείγµατα είναι τα εξής: A B = {A, B}, PA = A. Στις περιπτώσεις όπου έχουµε ένα σύνολο A n για κάθε φυσικό αριθµό n, ηένωση όλων αυτών των συνόλων, {A n n N}, συµβολίζεται συνήθως «n N A n», ή απλώς «n A n».

4 4 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική Το διατεταγµένο ζεύγος x, y των αντικειµένων x και y θα πρέπει να οριστεί έτσι ώστε x, y = u, v ανν x = u και y = v. Οποιοσδήποτε ορισµός που έχει αυτή την ιδιότητα είναι έγκυρος ο καθιερωµένος είναι ο εξής: x, y = {{x}, {x, y}}. Για διατεταγµένες τριάδες, ορίζουµε x, y, z = x, y,z. Γενικότερα, ορίζουµε τις διάφορες n-άδες αναδροµικά ως εξής: x 1,...,x n+1 = x 1,...,x n,x n+1 για n>1. Μας διευκολύνει να ορίσουµε επίσης x = x στην περίπτωση αυτή, η παραπάνω ισότητα ισχύει και για n = 1.ΗS είναι πεπερασµένη ακολουθία (ή αλλιώς συµβολοσειρά) µελών του A ανν υπάρχει θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε S = x 1,...,x n,όπουκάθεx i A. (Ως πεπερασµένες ακολουθίες ορίζονται συχνά κάποιες πεπερασµένες συναρτήσεις, αλλά ο παραπάνω ορισµός είναι κάπως πιο εύχρηστος για εµάς.) Τµήµα της πεπερασµένης ακολουθίας S = x 1,...,x n είναι µια πεπερασµένη ακολουθία x k,x k+1,...,x m 1,x m, όπου 1 k m n. Το τµήµα αυτό είναι αρχικό ανν k =1και γνήσιο ανν είναι διαφορετικό από την S. Αν x 1,...,x n = y 1,...,y n, τότε, όπως κανείς να αντιληφθεί εύκολα, x i = y i για 1 i n. (Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή ως προς n και µε χρήση της βασικής ιδιότητας των διατεταγµένων ζευγών.) Αν όµως x 1,...,x m = y 1,...,y n,τότε δεν έπεται εν γένει ότι m = n. Σε τελική ανάλυση, κάθε διατεταγµένη τριάδα είναι επίσης διατεταγµένο ζεύγος. Θα δείξουµε όµως ότι τα m και n µπορούν να είναι άνισα µόνο αν κάποιο x i είναι το ίδιο πεπερασµένη ακολουθία από y j, ή αντιστρόφως: Λήµµα 0A Αν x 1,...,x m = y 1,...,y m,...,y m+k,τότεx 1 = y 1,...,y k+1. Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε επαγωγή ως προς m. Εάνm =1, το συµπέρασµα έπεται αµέσως. Όσον αφορά το επαγωγικό βήµα, έστω ότι x 1,...,x m,x m+1 = y 1,...,y m+k,y m+1+k. Οι πρώτες συνιστώσες αυτών των διατεταγµένων ζευγών όµως θα πρέπει να είναι ίσες: x 1,...,x m = y 1,...,y m+k. Κατόπιν, εφαρµόζουµε την επαγωγική υπόθεση.

5 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 5 Παραδείγµατος χάριν, έστω ότι το A είναι ένα σύνολο τέτοιο ώστε κανένα µέλος του A δεν είναι πεπερασµένη ακολουθία άλλων µελών. Στην περίπτωση αυτή, αν x 1,...,x m = y 1,...,y n και κάθε x i και y j ανήκει στο A, τότε σύµφωνα µε το παραπάνω λήµµα m = n. Κατά συνέπεια έχουµε επίσης ότι x i = y i. Από τα σύνολα A και B µπορούµε να σχηµατίσουµε το καρτεσιανό γινόµενό τους, δηλαδή το σύνολο A B όλων των ζευγών x, y για τα οποία x A και y B. Το A n είναιτοσύνολοόλωντωνn-άδων από µέλη του A. Παραδείγµατος χάριν, A 3 =(A A) A. Μια σχέση R είναι ένα σύνολο διατεταγµένων ζευγών. Παραδείγµατος χάριν, η σχέση διάταξης πάνω στους αριθµούς 0 3 εκφράζεται από και στην πραγµατικότητα είναι το σύνολο των διατεταγµένων ζευγών { 0, 1, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3 }. Το πεδίο ορισµού της R (το οποίο συµβολίζεται dom R) είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων x για τα οποία ισχύει ότι x, y R για κάποιο y. Τοπεδίο τιµών της R (το οποίο συµβολίζεται ran R) είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων y για τα οποία ισχύει ότι x, y R για κάποιο x. Η ένωση των dom R και ran R είναι το σώµα (ή αλλιώς πεδίο) της R, fld R. Μια n-µελής σχέση πάνω στο A είναι ένα υποσύνολο του A n.ανn>1, είναι σχέση. Μια 1-µελής (µονοµελής) σχέση πάνω στο A, όµως, είναι απλώς ένα υποσύνολο του A. Μια ιδιαίτερα απλή διµελής σχέση πάνω στο A είναι η σχέση της ισότητας { x, x x A} πάνω στο A. ΑνR είναι µια n-µελής σχέση πάνω στο A και B είναι ένα υποσύνολο του A,οπεριορισµός της R στο B είναι η τοµή R B n. Παραδείγµατος χάριν, η σχέση που παραθέσαµε παραπάνω είναι ο περιορισµός στο σύνολο B = {0, 1, 2, 3} της σχέσης διάταξης πάνω στο N. Μια συνάρτηση είναι µια σχέση F που έχει την ιδιότητα να είναι µονότιµη: Για κάθε x στο dom F υπάρχει µόνο ένα y τέτοιο ώστε x, y F. Ως συνήθως, λέµε ότι το µοναδικό αυτό y είναι η τιµή F (x) που παίρνει η F στο x. (Ο συµβολισµός αυτός ανάγεται στον Euler. Είναι κρίµα που ο Euler δεν επέλεξε αντ αυτού την έκφραση (x)f µια τέτοια επιλογή θα ήταν χρήσιµη για τη σύνθεση συναρτήσεων: η f g είναι η συνάρτηση της οποίας η τιµή στο x είναι η f(g(x)), δηλαδή η τιµή που προκύπτει αν εφαρµόσουµε πρώτα την g και µετά την f.) Λέµε ότι η F απεικονίζει το A στο B. Αυτό εκφράζεται συνοπτικά στη µορφή F : A B που σηµαίνει ότι η F είναι µια συνάρτηση, dom F = A, καιran F B. Εάνεπιπλέον ran F = B,τότεηF απεικονίζει το A επί του B.ΗF είναι ένα προς ένα ανν για κάθε y στο ran F υπάρχει µόνο ένα x τέτοιο ώστε x, y F. Εάν το ζεύγος x, y ανήκει στο dom F, τότε θέτουµε F (x, y) =F ( x, y ). Ο συµβολισµός αυτός επεκτείνεται και σε n-άδες F (x 1,...,x n )=F ( x 1,...,x n ).

6 6 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική Μια n-µελής πράξη πάνω στο A είναι µια συνάρτηση που απεικονίζει το A n στο A. Παραδείγµατος χάριν, η πρόσθεση είναι µια διµελής πράξη πάνω στο N, ενώη πράξη της «διαδοχής»s (όπου S(n) =n +1) είναι µια µονοµελής πράξη πάνω στο N. Εάνηf είναι µια n-µελής πράξη πάνω στο A, τότεοπεριορισµός της f σε ένα υποσύνολο B του A είναι η συνάρτηση g µε πεδίο ορισµού B n η οποία συµπίπτει µε την f σε κάθε σηµείο του B n. ηλαδή, g = f (B n A). Αυτή η συνάρτηση g θα είναι n-µελής πράξη πάνω στο B ανν το B είναι κλειστό ως προς την f, µε την έννοια ότι f(b 1,...,b n ) B όταν καθένα από τα b i ανήκει στο B. Σε αυτήν την περίπτωση, g = f B n+1, σε συµφωνία µε τον ορισµό που δώσαµε για τον περιορισµό µιας σχέσης. Παραδείγµατος χάριν, η πράξη της πρόσθεσης πάνω στο N, η οποία περιέχει τριάδες όπως η 3, 2, 5, είναι ο περιορισµός στο N της πράξης της πρόσθεσης πάνω στο R, η οποία περιέχει πολύ περισσότερες τριάδες. Μια ιδιαίτερα απλή µονοµελής πράξη πάνω στο A είναι η ταυτοτική συνάρτηση Id πάνω στο A, η οποία περιγράφεται από την ισότητα Id(x) =x για x A. ηλαδή, Id = { x, x x A}. Για µια σχέση R, ορίζουµε τα ακόλουθα: Η R είναι ανακλαστική πάνω στο A ανν x, x R για κάθε x στο A. Η R είναι συµµετρική ανν για κάθε x, y R,έχουµεεπίσης y,x R. Η R είναι µεταβατική ανν οποτεδήποτε ισχύει ότι x, y R και y,z R (εφόσον υπάρχουν τέτοιες περιπτώσεις), έχουµε επίσης ότι x, z R. Η R ικανοποιεί την τριχοτοµική ιδιότητα πάνω στο A ανν για κάθε x και y που ανήκουν στο A, ισχύει ένα και µόνο ένα από τα εξής τρία ενδεχόµενα: x, y R, x = y, ή y,x R. Η R είναι σχέση ισοδυναµίας πάνω στο A ανν αποτελεί διµελή σχέση πάνω στο A η οποία είναι ανακλαστική πάνω στο A, συµµετρική και µεταβατική. Η R είναι σχέση διάταξης πάνω στο A ανν είναι µεταβατική και ικανοποιεί την τριχοτοµική ιδιότητα πάνω στο A. Για µια σχέση ισοδυναµίας R πάνω στο A και για x A, ορίζουµε ως κλάση ισοδυναµίας [x] του x το σύνολο {y x, y R}. Οι κλάσεις ισοδυναµίας διαµερίζουν το A. ηλαδή, οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι υποσύνολα του A τέτοια ώστε κάθε µέλος του A να ανήκει σε µία και µόνο µία κλάση ισοδυναµίας. Για οποιαδήποτε µέλη x και y του A, [x] =[y] ανν x, y R. Το σύνολο N των φυσικών αριθµών είναι το σύνολο {0, 1, 2,...}. (Οι φυσικοί αριθµοί µπορούν επίσης να οριστούν συνολοθεωρητικά το ζήτηµα αυτό ανακύπτει,

7 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 7 χωρίς να αναπτύσσεται εκτενώς, στην Ενότητα 3.7.) Ένα σύνολο A είναι πεπερασµένο ανν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση f η οποία απεικονίζει το A επί του {0, 1,..., n 1}, όπ ου n κάποιος φυσικός αριθµός. (Μπορούµε να θεωρούµε ότι η f «αριθµεί» τα µέλη του A.) Ένα σύνολο A είναι αριθµήσιµο ανν υπάρχει συνάρτηση που να απεικονίζει ένα προς ένα το A στοn. Παραδείγµατος χάριν, οποιοδήποτε πεπερασµένο σύνολο είναι προφανώς αριθµήσιµο. Αν έχουµε τώρα ένα άπειρο αριθµήσιµο σύνολο A,τότεαπό τη δεδοµένη συνάρτηση f που απεικονίζει το A ένα προς ένα στο N, µπορούµε να εξαγάγουµε µια συνάρτηση f η οποία απεικονίζει ένα προς ένα το A επί του N.Για κάποιο a 0 A, όπουf(a 0 ) είναι το µικρότερο µέλος του ran f, έστω f (a 0 )=0. Εν γένει, υπάρχει µοναδικό a n A τέτοιο ώστε το f(a n ) να είναι το (n +1)-οστό µέλος του ran f έστω f (a n )=n. Σηµειωτέον ότι A = {a 0,a 1,...}. (Μπορούµε επίσης να θεωρούµε ότι η f «αριθµεί» τα µέλη του A, µόνο που τώρα η διαδικασία αρίθµησης είναι ατέρµονη.) Θεώρηµα 0B Αν A είναι ένα αριθµήσιµο σύνολο, τότε το σύνολο όλων των πεπερασµένων ακολουθιών από µέλη του A είναι επίσης αριθµήσιµο. Απόδειξη. Το σύνολο S όλων αυτών των πεπερασµένων ακολουθιών µπορεί να εκφραστεί ως εξής S = A n+1. n N εδοµένου ότι το A είναι αριθµήσιµο, υπάρχει συνάρτηση f η οποία απεικονίζει το A ένα προς ένα στο N. Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι να απεικονίσουµε το σύνολο S ένα προς ένα στο N αντιστοιχίζοντας στην ακολουθία a 0,a 1,...,a m τον αριθµό 2 f(a0)+1 3 f(a 1)+1... p f(am)+1 m,όπουp m είναι ο (m +1)-οστός πρώτος αριθ- µός. Η επιλογή αυτή έχει το µειονέκτηµα ότι η παραπάνω αντιστοίχιση πιθανόνναµηνείναικαλάορισµένη,διότιθαµπορούσαµεενδεχοµένωςναέχουµε a 0,a 1,...,a m = b 0,b 1,...,b n,όπουταa i και b j ανήκουν στο A αλλά m n. Αυτό όµως δεν αποτελεί σοβαρό πρόβληµα απλώς αντιστοιχίζουµε σε κάθε µέλος του S τον µικρότερο αριθµό που µπορεί να προκύψει µε τον παραπάνω τρόπο, οπότε έχουµε µια καλά ορισµένη απεικόνιση η οποία, όπως µπορούµε να αντιληφθούµε εύκολα, είναι ένα προς ένα. Στη µελέτη µας, θα τύχει περιστασιακά να αναφερθούµε σε δέντρα, τα οποία σε ορισµένες περιπτώσεις µπορεί να παράσχουν εποπτικά χρήσιµες εικόνες. Ωστόσο, οι αναφορές µας σε δέντρα θα περιοριστούν σε άτυπα σχόλια τα θεωρήµατα και οι αποδείξεις δεν θα βασίζονται σε αυτά. Ως εκ τούτου, η παρακάτω παρουσίαση των δέντρων θα είναι επίσης άτυπη. Για κάθε δέντρο, υπάρχει µια υποκείµενη πεπερασµένη µερική διάταξη. Η µερική αυτή διάταξη R µπορεί να αναπαρασταθεί σχηµατικά ως εξής: αν a, b R,

8 8 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική τότε τοποθετούµε το a χαµηλότερα από το b και συνδέουµε τα δύο σηµεία µε ένα ευθύγραµµο τµήµα. ύο τυπικές δενδροειδείς διατάξεις είναι οι ακόλουθες. (Στα µαθηµατικά, τα δέντρα αναπτύσσονται προς τα κάτω, και όχι προς τα πάνω.) Σε µια τέτοια εικόνα υπάρχει πάντοτε ένα ανώτατο σηµείο (η ρίζα). Επιπλέον, ενώ επιτρέπεται να υπάρχουν διακλαδώσεις κάτω από οποιονδήποτε κόµβο, τα σηµεία επάνω από οποιονδήποτε δεδοµένο κόµβο θα πρέπει να κείνται σε µια γραµµή. Εκτός από αυτήν την υποκείµενη πεπερασµένη µερική διάταξη, για κάθε δέντρο υπάρχει επίσης µια «επιγραφική» συνάρτηση, της οποίας το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο των κόµβων. Ένα ενδεικτικό δέντρο, στο οποίο οι επιγραφές είναι φυσικοί αριθµοί, είναι το ακόλουθο. Σε λίγα σηµεία της µελέτης µας σε αυτό το βιβλίο θα χρησιµοποιήσουµε το αξίωµα της επιλογής. Συνήθως, όµως, η χρήση αυτού του αξιώµατος µπορεί να παραλειφθεί αν τα θεωρήµατα που πραγµατευόµαστε περιοριστούν σε αριθµήσιµες γλώσσες. Από τις πολλές ισοδύναµες διατυπώσεις του αξιώµατος της επιλογής, ιδιαίτερα χρήσιµη είναι η µορφή του λήµµατος του Zorn. Λέµε ότι µια συλλογή C από σύνολα αποτελεί αλυσίδα ανν για οποιαδήποτε στοιχεία x και y της C έχουµε είτε x y είτε y x. Λήµµα του Zorn Έστω A ένα σύνολο τέτοιο ώστε για οποιαδήποτε αλυσίδα C A, το σύνολο C ανήκει στο A. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχει κάποιο στοιχείο m A το οποίο είναι µεγιστιαίο, µε την έννοια ότι δεν αποτελεί υποσύνολο κανενός άλλου στοιχείου του A.

9 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 9 Πληθάριθµοι Όλα τα άπειρα σύνολα είναι µεγάλα, αλλά κάποια είναι µεγαλύτερα από άλλα. (Παραδείγµατος χάριν, το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι µεγαλύτερο από το σύνολο των ακεραίων.) Οι πληθάριθµοι µας παρέχουν ένα εύχρηστο, αν και όχι «αναντικατάστατο», τρόπο να αναφερόµαστε στο µέγεθος διαφόρων συνόλων. Είναι εύλογο να λέµε ότι δύο σύνολα A και B έχουν το ίδιο µέγεθος ανν υπάρχει συνάρτηση που απεικονίζει ένα προς ένα το A επί του B. ΕάνταA και B είναι πεπερασµένα, τότε η έννοια αυτή είναι ισοδύναµη µε τη συνήθη έννοια του «ισοµεγέθους»: Εάν αριθµήσουµε τα µέλη του A και τα µέλη του B, θαπροκύψεικαιτις δύο φορές ο ίδιος αριθµός. Η έννοια αυτή όµως µπορεί να εφαρµοστεί ακόµη και σε άπειρα σύνολα A και B, όπου η αρίθµηση είναι δύσκολη. Σε τυπικό επίπεδο, λοιπόν, λέµε ότι τα A και B είναι ισοπληθή (σε συµβολική µορφή: A B) ανν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση που απεικονίζει το A επί του B. Παραδείγµατος χάριν, το σύνολο N των φυσικών αριθµών και το σύνολο Z των ακεραίων είναι ισοπληθή. Όπως µπορούµε να αντιληφθούµε εύκολα, η σχέση της ισοπληθικότητας είναι ανακλαστική, συµµετρική, και µεταβατική. Για πεπερασµένα σύνολα, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ως µέτρο του µεγέθους τους φυσικούς αριθµούς. Σε δύο πεπερασµένα σύνολα θα αποδιδόταν ο ίδιος φυσικός αριθµός (ως µέτρο του µεγέθους τους) ανν τα σύνολα ήταν ισοπληθή. Για να µπορέσουµε να γενικεύσουµε αυτήν την κατάσταση σε άπειρα σύνολα εισάγονται οι πληθάριθµοι. Σε κάθε σύνολο A µπορούµε να αποδώσουµε ένα συγκεκριµένο «αντικείµενο», τονπληθάριθµο (ή πληθικό αριθµό,ήπληθικότητα)του A (που συµβολίζεται card A), έτσι ώστε σε δύο σύνολα να αποδίδεται η ίδια πληθικότητα ανν τα σύνολα αυτά είναι ισοπληθή: card A =cardb ανν A B. (Κ) Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αποδώσουµε αυτό το «αντικείµενο» ο καθιερωµένος τρόπος στις µέρες µας είναι να ορίσουµε ως card A το ελάχιστο τακτικό αριθµητικό που είναι ισοπληθές µε το A. (Η επιτυχία αυτού του ορισµού βασίζεται στο αξίωµα της επιλογής.) εν πρόκειται να εξετάσουµε εδώ τα τακτικά αριθµητικά, διότι δεν έχει σχεδόν καµία σηµασία για τη µελέτη µας τι είναι στην πραγµατικότητα ο card A, όπως δεν έχει σηµασία τι είναι στην πραγµατικότητα ο αριθµός 2. Το σηµαντικότερο απ όλα είναι ότι η (Κ) ισχύει. Ωστόσο, είναι χρήσιµο αν για ένα πεπερασµένο σύνολο A, οcard A είναι ο φυσικός αριθµός που δηλώνει πόσα στοιχεία έχει το A. Χαρακτηρίζουµε κάτι πληθάριθµο, ήπληθικό (αριθµό), ανν είναι card A για κάποιο σύνολο A. (Ο Georg Cantor, ο οποίος ήταν αυτός που εισήγαγε την έννοια του πληθάριθµου, χαρακτήρισε το 1985 τον πληθάριθµο ενός συνόλου M «τη γενική έννοια η οποία, µε τη βοήθεια της ενεργού διάνοιάς µας, απορρέει από το σύνολο M κατόπιν αφαίρεσης από τη φύση των διαφόρων στοιχείων του και από τη δοθείσα διάταξή τους.»)

10 10 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική Λέµε ότι το A κυριαρχείται από το B (σε συµβολική γραφή, A B) ανντο A είναι ισοπληθές µε ένα υποσύνολο του B. Με άλλα λόγια, A B ανν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση που απεικονίζει το A στο B. Η αντίστοιχη έννοια για τους πληθάριθµους είναι card A card B ανν A B. (Όπως µπορούµε να αντιληφθούµε εύκολα, η σχέση είναι καλά ορισµένη δηλαδή, το κατά πόσο κ λ εξαρτάται µόνο από τους ίδιους τους πληθάριθµους κ και λ, και όχι από την επιλογή των συνόλων που έχουν αυτές τις πληθικότητες.) Η κυριαρχία είναι ανακλαστική και µεταβατική. Ένα σύνολο A κυριαρχείται από το N ανν το A είναι αριθµήσιµο. Ένα γνωστό σχετικό θεώρηµα είναι το ακόλουθο. Θεώρηµα Schröder Bernstein (α) Για οποιαδήποτε σύνολα A και B,ανA B και B A, τότεa B. (β) Για οποιουσδήποτε πληθάριθµους κ και λ, ανκ λ και λ κ,τότεκ = λ. Το σκέλος (β) είναι απλή αναδιατύπωση του σκέλους (α) συναρτήσει των πληθάριθµων. Το ακόλουθο θεώρηµα, που τυχαίνει να είναι ισοδύναµο µε το αξίωµα της επιλογής, διατυπώνεται µε τον ίδιο δυϊκό τρόπο. Θεώρηµα 0C (α) Για οποιαδήποτε σύνολα A και B,είτεA B είτε B A. (β) Για οποιουσδήποτε πληθάριθµους κ και λ, είτεκ λ είτε λ κ. Συνεπώς, για οποιουσδήποτε δύο πληθάριθµους, ο ένας είναι µικρότερος από τον άλλο. (Μάλιστα, οποιοδήποτε µη κενό σύνολο πληθάριθµων περιέχει έναν ελάχιστο αριθµό.) Οι µικρότεροι δυνατοί πληθάριθµοι είναι αυτοί των πεπερασµένων συνόλων: 0, 1, 2,... Στη συνέχεια, έχουµε τον µικρότερο δυνατό άπειρο πληθάριθµο, τον card N, ο οποίος ονοµάζεται ℵ 0 (προφέρεται «άλεφ µηδέν»). Συνεπώς, έχουµε 0, 1, 2,...,ℵ 0, ℵ 1,..., όπου ℵ 1 είναι ο µικρότερος δυνατός πληθάριθµος που είναι µεγαλύτερος του ℵ 0.Η πληθικότητα των πραγµατικών αριθµών, card R, ονοµάζεται «2 ℵ 0». εδοµένου ότι το σύνολο R είναι υπεραριθµήσιµο, έχουµε ότι ℵ 0 < 2 ℵ 0. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού, προ πολλού γνωστές για τους πεπερασµένους πληθάριθµους, µπορούν να επεκταθούν σε όλους τους πληθάριθµους. Για να υπολογίσουµε το άθροισµα κ + λ επιλέγουµε ξένα σύνολα A και B πληθικότητας κ και λ, αντίστοιχα, οπότε έχουµε κ + λ =card(a B). Η πράξη αυτή είναι καλά ορισµένη, δηλ. το κ + λ εξαρτάται µόνο από τα κ και λ, και όχι από την επιλογή των ξένων συνόλων A και B. Για τον πολλαπλασιασµό, χρησιµοποιούµε τη σχέση κ λ =card(a B).

11 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 11 Οι ορισµοί αυτοί είναι εµφανώς σωστοί για πεπερασµένους πληθάριθµους. Η αριθ- µητική των άπειρων πληθάριθµων είναι αναπάντεχα απλή (βάσει του αξιώµατος της επιλογής). Το άθροισµα ή το γινόµενο δύο άπειρων πληθάριθµων ισούται απλώς µε τον µεγαλύτερο από τους δύο τους: Θεώρηµα της αριθµητικής πληθάριθµων Για δύο πληθάριθµους κ και λ, αν κ λ και ο λ είναι άπειρος, τότε κ+λ = λ. Επιπλέον, αν κ 0,τότεκ λ = λ. Ειδικότερα, για κάθε άπειρο πληθάριθµο κ, ℵ 0 κ = κ. Θεώρηµα 0D Για ένα άπειρο σύνολο A, το σύνολο n An+1 όλων των πεπερασµένων ακολουθιών από στοιχεία του A έχει πληθικότηταίση µε card A. Έχουµε ήδη αποδείξει το θεώρηµα αυτό για την περίπτωση ενός αριθµήσιµου συνόλου A (βλ. Θεώρηµα 0B). Απόδειξη. Βάσει του θεωρήµατος της αριθµητικής πληθάριθµων (εφαρµοσµένου n φορές), κάθε σύνολο A n+1 έχει πληθικότητα ίση µε card A. Εποµένως, έχουµε την ένωση ℵ 0 συνόλων αυτού του µεγέθους, η οποία δίνει συνολικά ℵ 0 card A =carda σηµεία. Παράδειγµα. Έπεται ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθµών έχει πληθικότητα ℵ 0. Κατ αρχάς, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε κάθε πολυώνυµο (µίας µεταβλητής) πάνω στους ακεραίους µέσω της ακολουθίας των συντελεστών του. Σύµφωνα µε το θεώρηµα, υπάρχουν ℵ 0 πολυώνυµα. Καθένα από αυτά έχει πεπερασµένο πλήθος ριζών. Για να θέσουµε ένα υπερβολικό άνω φράγµα, παρατηρούµε ότι ακόµη και αν κάθε πολυώνυµο είχε ℵ 0 ρίζες, θα είχαµε συνολικά ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 αλγεβρικούς αριθµούς. Αφού υπάρχουν τουλάχιστον τόσοι τέτοιοι αριθµοί, το ζητούµενο έχει αποδειχθεί. εδοµένου ότι υπάρχουν υπεραριθµήσιµοι (στην πραγµατικότητα, 2 ℵ 0 )πραγµατικοί αριθµοί, έπεται ότι υπάρχουν υπεραριθµήσιµοι (στην πραγµατικότητα, 2 ℵ 0 ) υπερβατικοί αριθµοί.

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα