Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά κάποια στοιχεία συνολοθεωρίας που θα µας χρειαστούν αν µη τι άλλο, µε τον τρόπο αυτό θα εµπεδώσουµε τον σχετικό συµβολισµό. Συνιστούµε στον αναγνώστη, αντί να µελετήσει εξαντλητικά αυτό το κεφάλαιο εξαρχής, απλώς να ανατρέχει σε αυτό αν και όταν ανακύψουν ζητήµατα συνολοθεωρητικής φύσης στα επόµενα κεφάλαια. Το αγαπηµένο βιβλίο συνολοθεωρίας του συγγραφέα είναι φυσικά το Elements of Set Theory του ιδίου (βλ. τη βιβλιογραφία στο τέλος του βιβλίου). Κατ αρχάς, δύο λόγια για την τεχνική «αργκό». Σε όλο το βιβλίο θα χρησιµοποιήσουµε διάφορες καθιερωµένες µαθηµατικές συντοµογραφίες. Το σύµβολο δηλώνει το τέλος µιας απόδειξης. Μια φράση του τύπου «Αν...,τότε...»θαγράφεται µερικές φορές στη συνοπτική µορφή «......». Επίσης, για τηναντίστροφη συνεπαγωγή έχουµε το σύµβολο. Για τη φράση «αν και µόνο αν» χρησιµοποιούµε τη σύντµηση «ανν» (η οποία έχει πλέον καθιερωθεί στη µαθηµατική γλώσσα) και το σύµβολο. Για τη λέξη «εποµένως», χρησιµοποιούµε το σύµβολο. Ο συµβολιστικός «µηχανισµός» µέσω του οποίου η έκφραση «x y» νοείται ως άρνηση της «x = y» καιη«x / y» ως άρνηση της «x y» θα επεκταθεί και σε άλλες περιπτώσεις. Για παράδειγµα, στην Ενότητα 1.2 ορίζουµε την έκφραση «Σ = τ», οπότε η «Σ = τ» είναι η άρνησή της. Συνεχίζουµε: ένα σύνολο είναι µια συλλογή από αντικειµένα, τα οποία ονοµάζονται µέλη ή στοιχεία του συνόλου. Ως συνήθως, η έκφραση «t A» σηµαίνει ότι το t είναι µέλος του A, και η έκφραση «t / A» ότι το t δεν είναι µέλος του A.Ηέκφραση «x = y» σηµαίνει ότι τα x και y είναι το ίδιο αντικείµενο. ηλαδή, η παράσταση «x» στα αριστερά του συµβόλου της ισότητας είναι ένα όνοµα για το ίδιο αντικεί- µενο που ονοµατίζει και η άλλη παράσταση, η «y». Αν A = B, τότε για οποιοδήποτε 1

2 2 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική αντικείµενο t ισχύει αυτοµάτως ότι t A ανν t B, για τον απλό λόγο ότι τα A και B είναι το ίδιο αντικείµενο. Το αντίστροφο είναι η αρχή της εκτατικότητας: Εάν τα A και B είναι σύνολα τέτοια ώστε για κάθε αντικείµενο t να ισχύει ότι t A ανν t B, τότε A = B. Η αρχή αυτή αντανακλά και το τι είναι ένα σύνολο ένα σύνολο καθορίζεταιµόνοαπόταµέλητου. Μια χρήσιµη πράξη είναι η προσάρτηση ενός επιπλέον αντικειµένου σε ένα σύνολο. Για ένα σύνολο A, έστω A; t το σύνολο του οποίου τα µέλη είναι (i) τα µέλη του A, συν (ii) το (πιθανώς νέο) µέλος t.τοt µπορεί να ανήκει η να µην ανήκει ήδη στο A και, χρησιµοποιώντας συµβολισµό που θα οριστεί παρακάτω, έχουµε ότι και A; t = A {t} t A ανν A; t = A. Ένα ειδικό σύνολο είναι το κενό σύνολο,, το οποίο δεν έχει απολύτως κανένα µέλος. Οποιοδήποτε άλλο σύνολο χαρακτηρίζεται µη κενό. Για οποιοδήποτε αντικεί- µενο x υπάρχει το µονοµελές σύνολο {x} το οποίο έχει ως µοναδικό µέλος το x. Γενικότερα, για οποιοδήποτε πεπερασµένο πλήθος αντικειµένων, x 1,...,x n,υπάρχει το σύνολο {x 1,...,x n }, το οποίο έχει ως µέλη ακριβώς αυτά τα αντικείµενα. Να σηµειωθεί ότι {x, y} = {y, x}, αφού τα δύο αυτά σύνολα έχουν ακριβώς τα ίδια µέλη. Απλώς χρησιµοποιήσαµε διαφορετικές εκφράσεις για να περιγράψουµε το σύνολο. Εάν η διάταξη των στοιχείων έχει σηµασία, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διατεταγµένα ζεύγη (τα οποία εξετάζονται παρακάτω). Θα προεκτείνουµε τον συµβολισµό αυτό για να καλύψουµε και ορισµένες άπειρες περιπτώσεις. Για παράδειγµα, {0, 1, 2,...} είναι το σύνολο N των φυσικών αριθµών, και {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} είναι το σύνολο Z όλων των ακεραίων. Μια έκφραση του τύπου «{x x }» δηλώνει το σύνολο όλων των αντικειµένων x για τα οποία ισχύει ότι x. Θα χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό αυτό µε αρκετή ελευθερία. Παραδείγµατος χάριν, { m, n m<n ανήκουν στο N} είναι το σύνολο όλων των διατεταγµένων ζευγών φυσικών αριθµών στα οποία η πρώτη συνιστώσα είναι µικρότερη από τη δεύτερη, ενώ {x A x } είναι το σύνολο όλων των µελών x του A για τα οποία ισχύει ότι x. Εάν το A είναι ένα σύνολο του οποίου όλα τα µέλη είναι επίσης µέλη του B,τότε το A είναι υποσύνολο του B, γεγονός που συµβολίζεται «A B». Σηµειωτέον ότι οποιοδήποτε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. Επίσης, το είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. (Η έκφραση «A» είναι «αληθής εν κενώ», αφού για να επαληθεύσουµε, για κάθε µέλος του, ότι ανήκει επίσης στο A δεν χρειάζεται να κάνουµε απολύτως τίποτα. Ή, από µια άλλη οπτική γωνία, η έκφραση «A B» µπορείνα

3 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 3 είναι ψευδής µόνο αν κάποιο µέλος του A δεν ανήκει στο B.ΕάνόµωςA =, αυτό είναι αδύνατο.) Από το σύνολο A µπορούµε να σχηµατίσουµε ένα νέο σύνολο, το δυναµοσύνολο PA του A, το οποίο έχει ως µέλη τα υποσύνολα του A. ηλαδή, PA = {x x A}. Παραδείγµατος χάριν, P = { }, P{ } = {, { }}. Η ένωση των A και B,A B, είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων που είναι µέλη του A ήτουb (ή και των δύο). Παραδείγµατος χάριν, A; t = A {t}. Αντίστοιχα, η τοµή των A και B,A B, είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων που είναι µέλη αµφότερων των A και B. Τα σύνολα A και B είναι ξένα ανν η τοµή τους είναι κενή (δηλ. αν δεν έχουν κανένα κοινό µέλος). Περισσότερα από δύο σύνολα χαρακτηρίζονται ανά δύο ξένα ανν για κάθε ζεύγος από αυτά ισχύει ότι τα µέλη του ζεύγους είναι ξένα µεταξύ τους. Γενικότερα, έστω ένα σύνολο A του οποίου τα µέλη είναι σύνολα και τα ίδια. Η ένωση, A,τουA είναι το σύνολο που προκύπτει αν εντάξουµε όλα τα µέλη του A σε ένα ενιαίο σύνολο: A = {x το x ανήκει σε κάποιο µέλος του A}. Αντίστοιχα, για οποιοδήποτε µη κενό τέτοιο σύνολο A, A = {x το x ανήκει σε όλα τα µέλη του A}. Παραδείγµατος χάριν, αν A = {{0, 1, 5}, {1, 6}, {1, 5}}, τότε A = {0, 1, 5, 6}, A = {1}. ύο άλλα παραδείγµατα είναι τα εξής: A B = {A, B}, PA = A. Στις περιπτώσεις όπου έχουµε ένα σύνολο A n για κάθε φυσικό αριθµό n, ηένωση όλων αυτών των συνόλων, {A n n N}, συµβολίζεται συνήθως «n N A n», ή απλώς «n A n».

4 4 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική Το διατεταγµένο ζεύγος x, y των αντικειµένων x και y θα πρέπει να οριστεί έτσι ώστε x, y = u, v ανν x = u και y = v. Οποιοσδήποτε ορισµός που έχει αυτή την ιδιότητα είναι έγκυρος ο καθιερωµένος είναι ο εξής: x, y = {{x}, {x, y}}. Για διατεταγµένες τριάδες, ορίζουµε x, y, z = x, y,z. Γενικότερα, ορίζουµε τις διάφορες n-άδες αναδροµικά ως εξής: x 1,...,x n+1 = x 1,...,x n,x n+1 για n>1. Μας διευκολύνει να ορίσουµε επίσης x = x στην περίπτωση αυτή, η παραπάνω ισότητα ισχύει και για n = 1.ΗS είναι πεπερασµένη ακολουθία (ή αλλιώς συµβολοσειρά) µελών του A ανν υπάρχει θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε S = x 1,...,x n,όπουκάθεx i A. (Ως πεπερασµένες ακολουθίες ορίζονται συχνά κάποιες πεπερασµένες συναρτήσεις, αλλά ο παραπάνω ορισµός είναι κάπως πιο εύχρηστος για εµάς.) Τµήµα της πεπερασµένης ακολουθίας S = x 1,...,x n είναι µια πεπερασµένη ακολουθία x k,x k+1,...,x m 1,x m, όπου 1 k m n. Το τµήµα αυτό είναι αρχικό ανν k =1και γνήσιο ανν είναι διαφορετικό από την S. Αν x 1,...,x n = y 1,...,y n, τότε, όπως κανείς να αντιληφθεί εύκολα, x i = y i για 1 i n. (Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή ως προς n και µε χρήση της βασικής ιδιότητας των διατεταγµένων ζευγών.) Αν όµως x 1,...,x m = y 1,...,y n,τότε δεν έπεται εν γένει ότι m = n. Σε τελική ανάλυση, κάθε διατεταγµένη τριάδα είναι επίσης διατεταγµένο ζεύγος. Θα δείξουµε όµως ότι τα m και n µπορούν να είναι άνισα µόνο αν κάποιο x i είναι το ίδιο πεπερασµένη ακολουθία από y j, ή αντιστρόφως: Λήµµα 0A Αν x 1,...,x m = y 1,...,y m,...,y m+k,τότεx 1 = y 1,...,y k+1. Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε επαγωγή ως προς m. Εάνm =1, το συµπέρασµα έπεται αµέσως. Όσον αφορά το επαγωγικό βήµα, έστω ότι x 1,...,x m,x m+1 = y 1,...,y m+k,y m+1+k. Οι πρώτες συνιστώσες αυτών των διατεταγµένων ζευγών όµως θα πρέπει να είναι ίσες: x 1,...,x m = y 1,...,y m+k. Κατόπιν, εφαρµόζουµε την επαγωγική υπόθεση.

5 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 5 Παραδείγµατος χάριν, έστω ότι το A είναι ένα σύνολο τέτοιο ώστε κανένα µέλος του A δεν είναι πεπερασµένη ακολουθία άλλων µελών. Στην περίπτωση αυτή, αν x 1,...,x m = y 1,...,y n και κάθε x i και y j ανήκει στο A, τότε σύµφωνα µε το παραπάνω λήµµα m = n. Κατά συνέπεια έχουµε επίσης ότι x i = y i. Από τα σύνολα A και B µπορούµε να σχηµατίσουµε το καρτεσιανό γινόµενό τους, δηλαδή το σύνολο A B όλων των ζευγών x, y για τα οποία x A και y B. Το A n είναιτοσύνολοόλωντωνn-άδων από µέλη του A. Παραδείγµατος χάριν, A 3 =(A A) A. Μια σχέση R είναι ένα σύνολο διατεταγµένων ζευγών. Παραδείγµατος χάριν, η σχέση διάταξης πάνω στους αριθµούς 0 3 εκφράζεται από και στην πραγµατικότητα είναι το σύνολο των διατεταγµένων ζευγών { 0, 1, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3 }. Το πεδίο ορισµού της R (το οποίο συµβολίζεται dom R) είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων x για τα οποία ισχύει ότι x, y R για κάποιο y. Τοπεδίο τιµών της R (το οποίο συµβολίζεται ran R) είναι το σύνολο όλων των αντικειµένων y για τα οποία ισχύει ότι x, y R για κάποιο x. Η ένωση των dom R και ran R είναι το σώµα (ή αλλιώς πεδίο) της R, fld R. Μια n-µελής σχέση πάνω στο A είναι ένα υποσύνολο του A n.ανn>1, είναι σχέση. Μια 1-µελής (µονοµελής) σχέση πάνω στο A, όµως, είναι απλώς ένα υποσύνολο του A. Μια ιδιαίτερα απλή διµελής σχέση πάνω στο A είναι η σχέση της ισότητας { x, x x A} πάνω στο A. ΑνR είναι µια n-µελής σχέση πάνω στο A και B είναι ένα υποσύνολο του A,οπεριορισµός της R στο B είναι η τοµή R B n. Παραδείγµατος χάριν, η σχέση που παραθέσαµε παραπάνω είναι ο περιορισµός στο σύνολο B = {0, 1, 2, 3} της σχέσης διάταξης πάνω στο N. Μια συνάρτηση είναι µια σχέση F που έχει την ιδιότητα να είναι µονότιµη: Για κάθε x στο dom F υπάρχει µόνο ένα y τέτοιο ώστε x, y F. Ως συνήθως, λέµε ότι το µοναδικό αυτό y είναι η τιµή F (x) που παίρνει η F στο x. (Ο συµβολισµός αυτός ανάγεται στον Euler. Είναι κρίµα που ο Euler δεν επέλεξε αντ αυτού την έκφραση (x)f µια τέτοια επιλογή θα ήταν χρήσιµη για τη σύνθεση συναρτήσεων: η f g είναι η συνάρτηση της οποίας η τιµή στο x είναι η f(g(x)), δηλαδή η τιµή που προκύπτει αν εφαρµόσουµε πρώτα την g και µετά την f.) Λέµε ότι η F απεικονίζει το A στο B. Αυτό εκφράζεται συνοπτικά στη µορφή F : A B που σηµαίνει ότι η F είναι µια συνάρτηση, dom F = A, καιran F B. Εάνεπιπλέον ran F = B,τότεηF απεικονίζει το A επί του B.ΗF είναι ένα προς ένα ανν για κάθε y στο ran F υπάρχει µόνο ένα x τέτοιο ώστε x, y F. Εάν το ζεύγος x, y ανήκει στο dom F, τότε θέτουµε F (x, y) =F ( x, y ). Ο συµβολισµός αυτός επεκτείνεται και σε n-άδες F (x 1,...,x n )=F ( x 1,...,x n ).

6 6 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική Μια n-µελής πράξη πάνω στο A είναι µια συνάρτηση που απεικονίζει το A n στο A. Παραδείγµατος χάριν, η πρόσθεση είναι µια διµελής πράξη πάνω στο N, ενώη πράξη της «διαδοχής»s (όπου S(n) =n +1) είναι µια µονοµελής πράξη πάνω στο N. Εάνηf είναι µια n-µελής πράξη πάνω στο A, τότεοπεριορισµός της f σε ένα υποσύνολο B του A είναι η συνάρτηση g µε πεδίο ορισµού B n η οποία συµπίπτει µε την f σε κάθε σηµείο του B n. ηλαδή, g = f (B n A). Αυτή η συνάρτηση g θα είναι n-µελής πράξη πάνω στο B ανν το B είναι κλειστό ως προς την f, µε την έννοια ότι f(b 1,...,b n ) B όταν καθένα από τα b i ανήκει στο B. Σε αυτήν την περίπτωση, g = f B n+1, σε συµφωνία µε τον ορισµό που δώσαµε για τον περιορισµό µιας σχέσης. Παραδείγµατος χάριν, η πράξη της πρόσθεσης πάνω στο N, η οποία περιέχει τριάδες όπως η 3, 2, 5, είναι ο περιορισµός στο N της πράξης της πρόσθεσης πάνω στο R, η οποία περιέχει πολύ περισσότερες τριάδες. Μια ιδιαίτερα απλή µονοµελής πράξη πάνω στο A είναι η ταυτοτική συνάρτηση Id πάνω στο A, η οποία περιγράφεται από την ισότητα Id(x) =x για x A. ηλαδή, Id = { x, x x A}. Για µια σχέση R, ορίζουµε τα ακόλουθα: Η R είναι ανακλαστική πάνω στο A ανν x, x R για κάθε x στο A. Η R είναι συµµετρική ανν για κάθε x, y R,έχουµεεπίσης y,x R. Η R είναι µεταβατική ανν οποτεδήποτε ισχύει ότι x, y R και y,z R (εφόσον υπάρχουν τέτοιες περιπτώσεις), έχουµε επίσης ότι x, z R. Η R ικανοποιεί την τριχοτοµική ιδιότητα πάνω στο A ανν για κάθε x και y που ανήκουν στο A, ισχύει ένα και µόνο ένα από τα εξής τρία ενδεχόµενα: x, y R, x = y, ή y,x R. Η R είναι σχέση ισοδυναµίας πάνω στο A ανν αποτελεί διµελή σχέση πάνω στο A η οποία είναι ανακλαστική πάνω στο A, συµµετρική και µεταβατική. Η R είναι σχέση διάταξης πάνω στο A ανν είναι µεταβατική και ικανοποιεί την τριχοτοµική ιδιότητα πάνω στο A. Για µια σχέση ισοδυναµίας R πάνω στο A και για x A, ορίζουµε ως κλάση ισοδυναµίας [x] του x το σύνολο {y x, y R}. Οι κλάσεις ισοδυναµίας διαµερίζουν το A. ηλαδή, οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι υποσύνολα του A τέτοια ώστε κάθε µέλος του A να ανήκει σε µία και µόνο µία κλάση ισοδυναµίας. Για οποιαδήποτε µέλη x και y του A, [x] =[y] ανν x, y R. Το σύνολο N των φυσικών αριθµών είναι το σύνολο {0, 1, 2,...}. (Οι φυσικοί αριθµοί µπορούν επίσης να οριστούν συνολοθεωρητικά το ζήτηµα αυτό ανακύπτει,

7 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 7 χωρίς να αναπτύσσεται εκτενώς, στην Ενότητα 3.7.) Ένα σύνολο A είναι πεπερασµένο ανν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση f η οποία απεικονίζει το A επί του {0, 1,..., n 1}, όπ ου n κάποιος φυσικός αριθµός. (Μπορούµε να θεωρούµε ότι η f «αριθµεί» τα µέλη του A.) Ένα σύνολο A είναι αριθµήσιµο ανν υπάρχει συνάρτηση που να απεικονίζει ένα προς ένα το A στοn. Παραδείγµατος χάριν, οποιοδήποτε πεπερασµένο σύνολο είναι προφανώς αριθµήσιµο. Αν έχουµε τώρα ένα άπειρο αριθµήσιµο σύνολο A,τότεαπό τη δεδοµένη συνάρτηση f που απεικονίζει το A ένα προς ένα στο N, µπορούµε να εξαγάγουµε µια συνάρτηση f η οποία απεικονίζει ένα προς ένα το A επί του N.Για κάποιο a 0 A, όπουf(a 0 ) είναι το µικρότερο µέλος του ran f, έστω f (a 0 )=0. Εν γένει, υπάρχει µοναδικό a n A τέτοιο ώστε το f(a n ) να είναι το (n +1)-οστό µέλος του ran f έστω f (a n )=n. Σηµειωτέον ότι A = {a 0,a 1,...}. (Μπορούµε επίσης να θεωρούµε ότι η f «αριθµεί» τα µέλη του A, µόνο που τώρα η διαδικασία αρίθµησης είναι ατέρµονη.) Θεώρηµα 0B Αν A είναι ένα αριθµήσιµο σύνολο, τότε το σύνολο όλων των πεπερασµένων ακολουθιών από µέλη του A είναι επίσης αριθµήσιµο. Απόδειξη. Το σύνολο S όλων αυτών των πεπερασµένων ακολουθιών µπορεί να εκφραστεί ως εξής S = A n+1. n N εδοµένου ότι το A είναι αριθµήσιµο, υπάρχει συνάρτηση f η οποία απεικονίζει το A ένα προς ένα στο N. Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι να απεικονίσουµε το σύνολο S ένα προς ένα στο N αντιστοιχίζοντας στην ακολουθία a 0,a 1,...,a m τον αριθµό 2 f(a0)+1 3 f(a 1)+1... p f(am)+1 m,όπουp m είναι ο (m +1)-οστός πρώτος αριθ- µός. Η επιλογή αυτή έχει το µειονέκτηµα ότι η παραπάνω αντιστοίχιση πιθανόνναµηνείναικαλάορισµένη,διότιθαµπορούσαµεενδεχοµένωςναέχουµε a 0,a 1,...,a m = b 0,b 1,...,b n,όπουταa i και b j ανήκουν στο A αλλά m n. Αυτό όµως δεν αποτελεί σοβαρό πρόβληµα απλώς αντιστοιχίζουµε σε κάθε µέλος του S τον µικρότερο αριθµό που µπορεί να προκύψει µε τον παραπάνω τρόπο, οπότε έχουµε µια καλά ορισµένη απεικόνιση η οποία, όπως µπορούµε να αντιληφθούµε εύκολα, είναι ένα προς ένα. Στη µελέτη µας, θα τύχει περιστασιακά να αναφερθούµε σε δέντρα, τα οποία σε ορισµένες περιπτώσεις µπορεί να παράσχουν εποπτικά χρήσιµες εικόνες. Ωστόσο, οι αναφορές µας σε δέντρα θα περιοριστούν σε άτυπα σχόλια τα θεωρήµατα και οι αποδείξεις δεν θα βασίζονται σε αυτά. Ως εκ τούτου, η παρακάτω παρουσίαση των δέντρων θα είναι επίσης άτυπη. Για κάθε δέντρο, υπάρχει µια υποκείµενη πεπερασµένη µερική διάταξη. Η µερική αυτή διάταξη R µπορεί να αναπαρασταθεί σχηµατικά ως εξής: αν a, b R,

8 8 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική τότε τοποθετούµε το a χαµηλότερα από το b και συνδέουµε τα δύο σηµεία µε ένα ευθύγραµµο τµήµα. ύο τυπικές δενδροειδείς διατάξεις είναι οι ακόλουθες. (Στα µαθηµατικά, τα δέντρα αναπτύσσονται προς τα κάτω, και όχι προς τα πάνω.) Σε µια τέτοια εικόνα υπάρχει πάντοτε ένα ανώτατο σηµείο (η ρίζα). Επιπλέον, ενώ επιτρέπεται να υπάρχουν διακλαδώσεις κάτω από οποιονδήποτε κόµβο, τα σηµεία επάνω από οποιονδήποτε δεδοµένο κόµβο θα πρέπει να κείνται σε µια γραµµή. Εκτός από αυτήν την υποκείµενη πεπερασµένη µερική διάταξη, για κάθε δέντρο υπάρχει επίσης µια «επιγραφική» συνάρτηση, της οποίας το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο των κόµβων. Ένα ενδεικτικό δέντρο, στο οποίο οι επιγραφές είναι φυσικοί αριθµοί, είναι το ακόλουθο. Σε λίγα σηµεία της µελέτης µας σε αυτό το βιβλίο θα χρησιµοποιήσουµε το αξίωµα της επιλογής. Συνήθως, όµως, η χρήση αυτού του αξιώµατος µπορεί να παραλειφθεί αν τα θεωρήµατα που πραγµατευόµαστε περιοριστούν σε αριθµήσιµες γλώσσες. Από τις πολλές ισοδύναµες διατυπώσεις του αξιώµατος της επιλογής, ιδιαίτερα χρήσιµη είναι η µορφή του λήµµατος του Zorn. Λέµε ότι µια συλλογή C από σύνολα αποτελεί αλυσίδα ανν για οποιαδήποτε στοιχεία x και y της C έχουµε είτε x y είτε y x. Λήµµα του Zorn Έστω A ένα σύνολο τέτοιο ώστε για οποιαδήποτε αλυσίδα C A, το σύνολο C ανήκει στο A. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχει κάποιο στοιχείο m A το οποίο είναι µεγιστιαίο, µε την έννοια ότι δεν αποτελεί υποσύνολο κανενός άλλου στοιχείου του A.

9 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 9 Πληθάριθµοι Όλα τα άπειρα σύνολα είναι µεγάλα, αλλά κάποια είναι µεγαλύτερα από άλλα. (Παραδείγµατος χάριν, το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι µεγαλύτερο από το σύνολο των ακεραίων.) Οι πληθάριθµοι µας παρέχουν ένα εύχρηστο, αν και όχι «αναντικατάστατο», τρόπο να αναφερόµαστε στο µέγεθος διαφόρων συνόλων. Είναι εύλογο να λέµε ότι δύο σύνολα A και B έχουν το ίδιο µέγεθος ανν υπάρχει συνάρτηση που απεικονίζει ένα προς ένα το A επί του B. ΕάνταA και B είναι πεπερασµένα, τότε η έννοια αυτή είναι ισοδύναµη µε τη συνήθη έννοια του «ισοµεγέθους»: Εάν αριθµήσουµε τα µέλη του A και τα µέλη του B, θαπροκύψεικαιτις δύο φορές ο ίδιος αριθµός. Η έννοια αυτή όµως µπορεί να εφαρµοστεί ακόµη και σε άπειρα σύνολα A και B, όπου η αρίθµηση είναι δύσκολη. Σε τυπικό επίπεδο, λοιπόν, λέµε ότι τα A και B είναι ισοπληθή (σε συµβολική µορφή: A B) ανν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση που απεικονίζει το A επί του B. Παραδείγµατος χάριν, το σύνολο N των φυσικών αριθµών και το σύνολο Z των ακεραίων είναι ισοπληθή. Όπως µπορούµε να αντιληφθούµε εύκολα, η σχέση της ισοπληθικότητας είναι ανακλαστική, συµµετρική, και µεταβατική. Για πεπερασµένα σύνολα, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ως µέτρο του µεγέθους τους φυσικούς αριθµούς. Σε δύο πεπερασµένα σύνολα θα αποδιδόταν ο ίδιος φυσικός αριθµός (ως µέτρο του µεγέθους τους) ανν τα σύνολα ήταν ισοπληθή. Για να µπορέσουµε να γενικεύσουµε αυτήν την κατάσταση σε άπειρα σύνολα εισάγονται οι πληθάριθµοι. Σε κάθε σύνολο A µπορούµε να αποδώσουµε ένα συγκεκριµένο «αντικείµενο», τονπληθάριθµο (ή πληθικό αριθµό,ήπληθικότητα)του A (που συµβολίζεται card A), έτσι ώστε σε δύο σύνολα να αποδίδεται η ίδια πληθικότητα ανν τα σύνολα αυτά είναι ισοπληθή: card A =cardb ανν A B. (Κ) Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αποδώσουµε αυτό το «αντικείµενο» ο καθιερωµένος τρόπος στις µέρες µας είναι να ορίσουµε ως card A το ελάχιστο τακτικό αριθµητικό που είναι ισοπληθές µε το A. (Η επιτυχία αυτού του ορισµού βασίζεται στο αξίωµα της επιλογής.) εν πρόκειται να εξετάσουµε εδώ τα τακτικά αριθµητικά, διότι δεν έχει σχεδόν καµία σηµασία για τη µελέτη µας τι είναι στην πραγµατικότητα ο card A, όπως δεν έχει σηµασία τι είναι στην πραγµατικότητα ο αριθµός 2. Το σηµαντικότερο απ όλα είναι ότι η (Κ) ισχύει. Ωστόσο, είναι χρήσιµο αν για ένα πεπερασµένο σύνολο A, οcard A είναι ο φυσικός αριθµός που δηλώνει πόσα στοιχεία έχει το A. Χαρακτηρίζουµε κάτι πληθάριθµο, ήπληθικό (αριθµό), ανν είναι card A για κάποιο σύνολο A. (Ο Georg Cantor, ο οποίος ήταν αυτός που εισήγαγε την έννοια του πληθάριθµου, χαρακτήρισε το 1985 τον πληθάριθµο ενός συνόλου M «τη γενική έννοια η οποία, µε τη βοήθεια της ενεργού διάνοιάς µας, απορρέει από το σύνολο M κατόπιν αφαίρεσης από τη φύση των διαφόρων στοιχείων του και από τη δοθείσα διάταξή τους.»)

10 10 Μια µαθηµατική εισαγωγή στη λογική Λέµε ότι το A κυριαρχείται από το B (σε συµβολική γραφή, A B) ανντο A είναι ισοπληθές µε ένα υποσύνολο του B. Με άλλα λόγια, A B ανν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση που απεικονίζει το A στο B. Η αντίστοιχη έννοια για τους πληθάριθµους είναι card A card B ανν A B. (Όπως µπορούµε να αντιληφθούµε εύκολα, η σχέση είναι καλά ορισµένη δηλαδή, το κατά πόσο κ λ εξαρτάται µόνο από τους ίδιους τους πληθάριθµους κ και λ, και όχι από την επιλογή των συνόλων που έχουν αυτές τις πληθικότητες.) Η κυριαρχία είναι ανακλαστική και µεταβατική. Ένα σύνολο A κυριαρχείται από το N ανν το A είναι αριθµήσιµο. Ένα γνωστό σχετικό θεώρηµα είναι το ακόλουθο. Θεώρηµα Schröder Bernstein (α) Για οποιαδήποτε σύνολα A και B,ανA B και B A, τότεa B. (β) Για οποιουσδήποτε πληθάριθµους κ και λ, ανκ λ και λ κ,τότεκ = λ. Το σκέλος (β) είναι απλή αναδιατύπωση του σκέλους (α) συναρτήσει των πληθάριθµων. Το ακόλουθο θεώρηµα, που τυχαίνει να είναι ισοδύναµο µε το αξίωµα της επιλογής, διατυπώνεται µε τον ίδιο δυϊκό τρόπο. Θεώρηµα 0C (α) Για οποιαδήποτε σύνολα A και B,είτεA B είτε B A. (β) Για οποιουσδήποτε πληθάριθµους κ και λ, είτεκ λ είτε λ κ. Συνεπώς, για οποιουσδήποτε δύο πληθάριθµους, ο ένας είναι µικρότερος από τον άλλο. (Μάλιστα, οποιοδήποτε µη κενό σύνολο πληθάριθµων περιέχει έναν ελάχιστο αριθµό.) Οι µικρότεροι δυνατοί πληθάριθµοι είναι αυτοί των πεπερασµένων συνόλων: 0, 1, 2,... Στη συνέχεια, έχουµε τον µικρότερο δυνατό άπειρο πληθάριθµο, τον card N, ο οποίος ονοµάζεται ℵ 0 (προφέρεται «άλεφ µηδέν»). Συνεπώς, έχουµε 0, 1, 2,...,ℵ 0, ℵ 1,..., όπου ℵ 1 είναι ο µικρότερος δυνατός πληθάριθµος που είναι µεγαλύτερος του ℵ 0.Η πληθικότητα των πραγµατικών αριθµών, card R, ονοµάζεται «2 ℵ 0». εδοµένου ότι το σύνολο R είναι υπεραριθµήσιµο, έχουµε ότι ℵ 0 < 2 ℵ 0. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού, προ πολλού γνωστές για τους πεπερασµένους πληθάριθµους, µπορούν να επεκταθούν σε όλους τους πληθάριθµους. Για να υπολογίσουµε το άθροισµα κ + λ επιλέγουµε ξένα σύνολα A και B πληθικότητας κ και λ, αντίστοιχα, οπότε έχουµε κ + λ =card(a B). Η πράξη αυτή είναι καλά ορισµένη, δηλ. το κ + λ εξαρτάται µόνο από τα κ και λ, και όχι από την επιλογή των ξένων συνόλων A και B. Για τον πολλαπλασιασµό, χρησιµοποιούµε τη σχέση κ λ =card(a B).

11 Κεφάλαιο 0. Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα 11 Οι ορισµοί αυτοί είναι εµφανώς σωστοί για πεπερασµένους πληθάριθµους. Η αριθ- µητική των άπειρων πληθάριθµων είναι αναπάντεχα απλή (βάσει του αξιώµατος της επιλογής). Το άθροισµα ή το γινόµενο δύο άπειρων πληθάριθµων ισούται απλώς µε τον µεγαλύτερο από τους δύο τους: Θεώρηµα της αριθµητικής πληθάριθµων Για δύο πληθάριθµους κ και λ, αν κ λ και ο λ είναι άπειρος, τότε κ+λ = λ. Επιπλέον, αν κ 0,τότεκ λ = λ. Ειδικότερα, για κάθε άπειρο πληθάριθµο κ, ℵ 0 κ = κ. Θεώρηµα 0D Για ένα άπειρο σύνολο A, το σύνολο n An+1 όλων των πεπερασµένων ακολουθιών από στοιχεία του A έχει πληθικότηταίση µε card A. Έχουµε ήδη αποδείξει το θεώρηµα αυτό για την περίπτωση ενός αριθµήσιµου συνόλου A (βλ. Θεώρηµα 0B). Απόδειξη. Βάσει του θεωρήµατος της αριθµητικής πληθάριθµων (εφαρµοσµένου n φορές), κάθε σύνολο A n+1 έχει πληθικότητα ίση µε card A. Εποµένως, έχουµε την ένωση ℵ 0 συνόλων αυτού του µεγέθους, η οποία δίνει συνολικά ℵ 0 card A =carda σηµεία. Παράδειγµα. Έπεται ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθµών έχει πληθικότητα ℵ 0. Κατ αρχάς, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε κάθε πολυώνυµο (µίας µεταβλητής) πάνω στους ακεραίους µέσω της ακολουθίας των συντελεστών του. Σύµφωνα µε το θεώρηµα, υπάρχουν ℵ 0 πολυώνυµα. Καθένα από αυτά έχει πεπερασµένο πλήθος ριζών. Για να θέσουµε ένα υπερβολικό άνω φράγµα, παρατηρούµε ότι ακόµη και αν κάθε πολυώνυµο είχε ℵ 0 ρίζες, θα είχαµε συνολικά ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 αλγεβρικούς αριθµούς. Αφού υπάρχουν τουλάχιστον τόσοι τέτοιοι αριθµοί, το ζητούµενο έχει αποδειχθεί. εδοµένου ότι υπάρχουν υπεραριθµήσιµοι (στην πραγµατικότητα, 2 ℵ 0 )πραγµατικοί αριθµοί, έπεται ότι υπάρχουν υπεραριθµήσιµοι (στην πραγµατικότητα, 2 ℵ 0 ) υπερβατικοί αριθµοί.

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Kamke 1950, Halmos 1960 και C. L. Liu and C. Liu 1985. 1.1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii)

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii) Καρλόβασι 17/02/2011 Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. 1. Να υπολογίσετε κάθε ένα από τα παρακάτω όρια (για ). (i)! (ii) 4 + 4 2 (iii) 1 1+ 2 2+ 3 3+ + (i) Χρη- οπότε a+1

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα