ÂÙº ; º ,31A(5): MR(2000) ½ 94A20; 94A12; 41A35 ¼ O A Ð (2011)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÂÙº ; º ,31A(5): MR(2000) ½ 94A20; 94A12; 41A35 ¼ O A Ð (2011)"

Ξάνθη Πολίτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 2011,31A5: HERMITE ¹Å² Æ ³ ÕÓÏ ÚÍ Ã ± ÜÃ Ç Ë ÇÃ Marcikiwicz-Zygmud Å Á ÐÍ ± º Ã Soblv Ã±ÅÙµ Marcikiwicz-Zygmud Å ÐÍ ± Ç Ë Ç ±ÅÙµ MR2000 ½ 94A20; 94A12; 41A35 ¼ O A Ð ± «Á À Ü Ü º ²Â ² ÜÀ Ü Â Ö 20 µ C.shao ÂÖĐ Â ¾ Ï»Ù ÜÞ ÙÏØÂ º» Ô ÂÖ ± Å Ü À ÜÖ Ø Å Ø ÜÉÀ¹ Ø À Â Ñ ÆÕ Õ «² À¹ ² ÀÂ»ÄÝ Ô Â À«Õ Â ³ÉÀÉ À¹ ÝÛÕ Â Æ Ø ½Đ Ù Ä Â Ù Ø ÂØ¹ Ð Â ² «Ä Æ Õ»À Ü Þ ÆÀ ÆÆ Å½Â º Ü ÈÎ Â ØºÙ ÜÝ Ô Ü Ä¾Ä½ Â Ô «Ü ÈÂÝ ½. x 1t x 2t x pt Þ. y 1t y 2t y qt 1 Â 1 Ú Ä¾ p Ü Ä½ q Ü x 1 t, x 2 t,, x p t Ä¾Ý Â p ÜÄ¾ y 1 t, y 2 t,, y q t ÆÀÇÆÝ Â q ÜÄ½ ÂÙº ; º xuyyts@163.com µà Ê ¾ Ê µà 05JY Û Ê - È XZD Û µà Q ÓÐ

2 No.5 Ä HERMITE Ì Ï ¹ Ø Đ 1221 Ý Ä¾Ä½ Ñ «Ý ÆÕ Ý ÆÕ Ì «Õ Â É ½ ³ Ô Đ ÂÖ ÆÕ «ºÌÐ Đ Â Ë Ä É ÀÆÕ Ý Â ²Øº Ñ ÂÜ ÉÀ «½Â«Ñ º Ä ÂÆÕ Ü Û º«ÜÂÆÕ Þ Ù Äß «Ä»Õ Â¼ Ü Í º ÆËÂ Í Â ÂÆ» ¼ Â À Ü» ³ ÂÕ Æ Ñ º ÜÆ Û» ³ Â Æ, º É É ÉÆ É ¹Â Ë ³ Ä Đ ÜÂ È Ï ÉÀ «ÆÕ Â ¾ Ï Å ÜÆ» À¼» Õ Ñ À Â» Â ºÕ Â À Â Æ Õ Â ¹ Ò ¼ ÆÀÂ ¹¼ Û Ñ Û ØÕ Â É Â ÛÆÕ ¹ Ù Â Â¼ À ¼ ÙÕ Â Ê Ü É ¹ Ä ÛÂ¼ Æ ² ¼ Õ Â Ñ Ü ÀÔ ÞË¼ Â Õ ÜÉ ÏÂØ Â Ý ¹ Ø ÇËÂ Whittakr-Kotlikov-shao [1] Ï ÙÄ shao 1948 ½Â ½ ÜÂ [, ] Â Ü Æ Â ÛÜÌ É Â Æ Å A [2] f L 2 CR, ˆf f Â» Æº» ÂÓÑµ supp ˆf [, ], Æ a fx = f k si cx k, x R; b lim fx f k sicx k 2 = 0, x 0 sicx = x 1 si x; m k m x = 0, sicx = 1. ÉÑ f k si cx k ÉÀ Â Whittakr cardial ¼Æ ÉÜ¼ÆÂ Æ R ÂºÂ Ï ÁÖ Å½ «Å È Ô ÔÏ Æ Ä ÙÉ Â Ñ ½ Æ Ê Æ [3] Â Ï B [4] 1 < p < +, B,p = {f L p : supp ˆf [, ]}, Æ º f B,p, a fx =, x R, ¼Æ f k sicx k Â R ÁÖ ºÓ f k sicx k b m fx k m f k si cx k p 0; c ÂÒÃ p ÂÌÆ A p B p, À A p f p 1/p f k p Bp f p ÉÜÏ ÉÀ Whittakr-Kotlikov-shao Ï Â B,p 1 < p < Â Ï ½ Æ [, ] Â Æ Æ ¹ ÄÎÑ Â Ä ÂÏ ¹ Ì Ï ¹ Â ÜÜÆÀÕ Ü À À Õ Ü Ü À Ü¼ ¼ Ô ² Ü É Â kǫz

3 1222 Æ Ö Vol.31A Æ ÆÄ É Â Å Æ ÆÂ Ô ¹ Ø ß Â Æ Æ ¹ÐÒ Æ Ä Å ² Æ Whittakr cardial ¼ Æ Å Ë Ø Ô ¹É Ø Ø aliasig rror. Ï ÂÞ Ü À Ï ÄÎ»Ì É ÄÎ» Ì É Â Ü Â¼ Æ» Å Â µ É À¼ À Â ÆË ÏÀÄÎÂ ÂÁ Æ» ²Ä ÉØ «³ Ï ÀÒ²ºÓ»¼ ÉÂÑ À ÆÀÒ Paly Wir [5] Æ È Đ Æ f B,2 Æ ÄÎ ÉÂ» Æ Û x = {x k } kεz D := sup kεz Gx := x x 0 x k k < 4, Ï» d j=1 Æ Ê Æ Æ ºÂ f B,2 fx = + k= 1 x x k 1 x x k fx k G k x, Gx x R\{x k } G k x = G xx x k ; x = x k G k x = 1. Ô «É ÄÎÑ ¼ Â Ï ¹ Ì Ï =, ÅÂ Æ D ÉÀ Kadc 1 4 Æ [6], ÉÑÌ ÂÒ [7] Ý½Ù Æ±Æ Buttr Splttsossr ÂÒ [8] Ý½Ù Æ Ì Ï Â ßÌ ÂÒ [9] ÑÚ Î ÑÚÂ À Ì ³ Â Ì Ï» { C [9] δ = mi D, logbp/ap+1 2 }, D = 4, 1 p 2; D = 2p, 1 p <, A p, B p Ï Bc Â Ä ¹ > 0, ß ÆÛ {λ k } À Û {k/} Â³ Û λ 0 = 0, M := sup λ k k { < mi D, logb } p/a p + 1, 2 Æ º f B,p, 1 < p <, a A p 1 T f p Z Gz fλ p 1/p Bp 1 + T f p, T = Ap B p M 1; b fz = fλ G λ, z C, Gt = t t z λ 0Π =1 1 t t 1 t t. Z ÂÏ 2009 Å [10] Ä Ù À Ù Ì Ï Ï ÂÇ Ü ÉÀÇ É Â Ò Hrmit ² Æ 1956 Jagrma [11] Fogl» p = 2 Æ Â Æ Ç Ù É ÆÂ» Ï A Â Û {fk/} Û {fk/} {f k/} À Ù Hrmit Ï 2000 ßÌ ÐÝÅ [12] ÔÏ ÑÚ Î ÑÚÂ ÛÙÄ Â À 1 p <, f B 2,p ²ºÓ» D [12] f B 2,p, 1 p <, Æ a fx = 1 fk/ 2 x k/ + f k/ 2 x k/ si 2 x, x R, ¼ÆÂ R ÁÖ

4 No.5 Ä HERMITE Ì Ï ¹ Ø Đ 1223 b fx 1 fk/ 2 x k/ + f k/ 2 x k/ si 2 x p 0, N ; k N 1/p c f p C p / 1/p fk/ p + 1 1/p f k/ ; p d y = {y k }, y = {y k }, y y l p, 1 p <, Æ Â Â Æ g B 2,p, 1 p <, À g k = y k, g k = y k, gx = 1 2 gk/ x k/ 2 + g k/ x k/ si 2 x, Â¼ÆÂ R ÁÖ Â g B 2,p, 1 p <, k g = y k, g k = y k, k Z, Æ y = {y k } l p, y = {y k } l p. ÞË Â Ü Â Ò ÛÂ Ì Ï Ò ÐÎ Ì Û fλ f λ Â Æ Ê ÆÂ Marcikiwicz-Zygmud Ä À Ì Ï ¹ Â Soblv Â Ø Đ» p <, M < logap/bp+1 2 º f B 2,p 1 TA p f p Z, ÉÑ A p, B p ¾ 2.1 ÂÌÆ Æ fλ + 1 f λ p 1/p 1 + TB p f p. 1 T = Bp A p 2 ρ p 1 1/p ρm q 1 1/q, ρ ÌÆ Ï 1.1, Ô ¹À L p ÆÂ Ì É Â Hrmit ² Ï p <, {λ } À ÆÛ M := sup λ k k < logap/bp+1 2, Æ a º y = {y k }, y = {y k }, y y l p, Â Â g B 2,p, À gλ k = y k, g λ k = y k, k Z; b g B 2,p, Æ {gλ k } l p, {g λ k } l p ; c º f B 2,p, fx = Â¼ÆÂ R ÁÖ fλk x λ k 2 + f λ k G 2 x x λ k G 2 λ k, ÂÏ Ý½ Ì É Â Hrmit ² Â Soblv Â Ø Đ Ð Æ ÆÖ ß 1 p <, L p p - ÆÚ Â Æ p Ï»Â Æ L r p L p Ì r 1 Ê Õ Â Æ r Æ Â p - Æ Â Æ k h fx = k 1 k j c j kfx + jh ÆÂ k - Ñ k - Õ «Ï» j=0 ω k f, t p := sup k h fx p. h t

5 1224 Æ Ö Vol.31A Ù ³ Ø Ð Hrmit ² ËÔ ß f L p {fλ k } l p, {f λ k } l p, Æ Ï 1.2 Â² ËÔ H f, x B 2,p, À H f, λ k = fλ k, H f, λ k = f λ k, H f := H f, x = fλk x λ k 2 + f λ k G 2 x x λ k G 2 λ k. Ë f H f»à Ø Đ Â ÂÏ 1.3 Ý½ 1.3 f L r p, 1 p <, Æ a f H f p C r,p r ω f r, 1 b 1 < q p <, Æ f H f p C r,p,q r+ 1 q 1 p ω f r, 1 p ; q. 2 ¾ ÃÐ Ô ÐÝ½Î Ï 1.1 Î² Â Æ¾ µ 2.1 [13] ß 1 < p <, º f B 2,p, ÂÆ A p B p À A p f p 1/p k f + 1 f k p 1/p B p f p. µ 2.2 Brsti iquality [14] ß 1 < p <, f B 2,p, Æ + + f k x p dx 2 pk pk fx p dx. µ 2.3 ß 1 < p <, ÆÛ {λ } sup Z fλ + 1 f λ f T p f + 1 f p, λ = M, M > 0, Æ + 1 f p T = Bp A p 2/ρ p 1 1/p ρm q 1 1/q, ρ > 0, 1/p + 1/q = 1. º Taloy Ð À fλ f = fλ f f k / λ k. f k / M k. 2 À 1 f λ 1 f 1 f k+1 / M k. 3

6 No.5 Ä HERMITE Ì Ï ¹ Ø Đ , 3 À fλ + 1 f λ f + 1 f f k / + 1 fk+1 / M k [ f k / + 1 fk+1 / p] 1/p [ ρm qk ρ pk [ f k / + 1 = fk+1 / p] 1/p ρ pk [ ρmq 1 ] 1/q. Â Ä ¹¾ 2.1, ¾ 2.2 À fλ + 1 f λ f + 1 f p 1 ρ pk Bp p fk p p [ ρmq 1 ] p/q 1 ρ pk Bp p 2 pk f p [ q ρm p 1 ] p/q 1 ρ pk Bp p 1 2pk A p p = T p f/ + 1 p / f, ] 1/q f/ + 1 p f / [ ρmq 1 ] p/q T = Bp A p [ 2/ρ p ] 1/p [ ρm q 1 ] 1/q, 1/p + 1/q = 1. Î Ï º ¾ 2.3 À fλ + 1 f λ f + 1 f p T p f + 1 f p. [ ] T = Bp A p 2/ρ p 1/p [ ρm q 1 ] 1/q, 1/p + 1/q = 1, ρ > 0. ¼ [ fλ + 1 ] p 1/p f λ [ f [ = 1 + T + 1 f ] p 1/p [ + T f f 1 + TB p 1/p f p. + 1 f ] p 1/p + 1 f ] p 1/p

7 1226 Æ Ö Vol.31A À [ fλ + 1 ] 1/p [ f λ 1 T f 1 TA p 1/p f p. + 1 f ] p 1/p ÀÏ 1.1 ÀÎ Â¾ 2.4 Ï 1.2 ÂÎ ² µ 2.4 [15] X, Y Baach T : X Y ËÔ ÂÌÆ M ε, 0 < ε < 1, Y º Ñ Ø y, Â Ø x X, À x M, Tx y < ε, Æ T À X Y Â Â µ 2.5 Y = l p l p, º y = y, y, Ï» Æ y Y = Æ Y, Y À Baach Y À Y Æ ¾ ²ºÓ É Á ßÎ 1/p. y k + 1 y k p Ï 1.2 ÂÎ Â ÅÂ Jackso-Nikolskii Ä ¾ 2.6. µ 2.6 [14] f B,p, 1 p < q, Æ f q 2 1/p 1/q f p. 1.2 º a T : B 2,p Y = l p l p,» Tf = fλ, f λ. Ï 1.1 T À ËÔ ß c = c, c Y c Y 1. Ï D d, Â f B 2,p, À fk/ = c k, f k/ = c k. ¾ 2.1, À f p 1 1/p k f + 1 A p f k p 1/p = 1 1/p c Y 1 1/p. A p A p ÞË¾ 2.3, ß ρ = 21/p, Æ M 1/p [ Tf c Y = fλ k c k + 1 p ] 1/p f λ k c k M < logap/bp+1 2, i.. k [ k = fλ k f k A p B p 2M 1 c Y A p B p 2M f λ k f k p ] 1/p A p B p 2M 1 < 1, ÞË¾ 2.4, T À B 2,p Y Â Â À º y = {y k } l p, y = {y k } l p, Â g B 2,p, À gλ k = y k, g λ k = y k, k Z. ĐÂ Î g Â ÂÞ Ü Æ h B 2,p, hλ k = y k, h λ k = y k, h Z. ² g, h B 2,p, Ï 1.1 g h. [ g h p gλ k hλ k + 1 p ] 1/p g λ k h λ k = 0, k k

8 No.5 Ä HERMITE Ì Ï ¹ Ø Đ 1227 b Ï 1.1 À 1 TA p g p Z ¹ g L p, {gλ k } l p, {g λ k } l p. c ºÂ fx B 2,p, ß f N x = N k= N gλ + 1 g λ p 1/p 1 + TB p g p, fλk x λ k 2 + f λ k G 2 x x λ k G 2 λ k, N N, ² f N x B 2,p, Jackso-Nikolskii Ä Ï 1.1, f f N q 2 1/p 1/q f f N p 2 1/p 1/q 1 A p 1 T ÆÏ 1.2 ÀÎ k >N fλ k + 1 f λ k p 1/p 0 N. Ù Ô ³ Ø ÙÎ Ï 1.3, Ð¾¾ Â¾ µ 2.7 f L r p, {fλ k} l p, {f λ k } l p, 1 p <, Æ g B 2,p, f H f p C p [ º Ï 1.1, À fλ k gλ k + 1 f λ k g λ k p ] 1/p + f g p. f H f p f g p + g H f p = f g p + H g f p [ C p fλ k gλ k + 1 p ] 1/p f λ k g λ k + f g p. Î µ 2.8 [14] f L r p, Æ f L p, 1 p <, 1, Æ Â ÂÊ Æ g B 2,p, À f g p C k,p ω k f, 1 ; p f j g j p C k,j,p ω k f j, 1. p µ 2.9 [12] 1 < q p <, f L r p, r N, Æ f H f p C r,p,q 1+ 1 q 1 p f H f q. µ 2.10 [9] f L r p, r N, 1 p <, {λ k } Ï 1.2 Â ÆÛ Æ 1/p fλ k p 3 f p f p.

9 1228 Æ Ö Vol.31A ĐÂÔ Î Ï º a f L r p, g x ¾ 2.5 Â ¾ 2.9, ¾ 2.5 ¹ ¾ 2.7, f H f p [ C p [ C p C p fλ k g λ k + 1 f λ k g λ k p ] 1/p + f g p ] 1/p [ ] 1/p fλ k g λ k p 1 + C p f λ k g λ k p + f g p 3 f g p f g 1 p + C p 3 f g p f g p + f g p C r,p ω r+1 f, 1 + p ω r f, C r,p p ω r f, 1 + p 2 ω r 1 f, 1 p C r,p r ω f r, 1 p. b Â 1 ¾ 2.7 À» f H f q H f g q + f g q ¾ 2.9, H f g q + f g q C r,q r+1 ω f r, 1. q f H f p C r,p,q 1+ 1 q 1 p +1 r ω f r, 1 q = C r,p,q r+ 1 q 1 p ω f r, 1.0 q À ºÏ 1.3 ÂÎ Đ [1] Butzr P L. A survy of th Whittakr Shao samplig thorm ad som of its xtsios. J Math Rs Expositio, 1983: [2] Shao C E. A mathmatical thory of commuicatio. Bll Systm Tch J, 1948, 27: 379 [3] Boas R P, Jr. Etir Fuctios. Nw York: Acadmic Prss, 1954 [4] Fag G S. Whitakr Kotlikov Shao samplig thorm ad alaisig rror. J Approx Thory, 1996, 85: [5] Paly R, Wir N. Fourir Trasform i Complx Domai. Colloq Publ Vol 19. Providc: AMS, 1934 [6] Kadc M I. Th xact valu of th Paly-Wir costat. Sovit Math Dokl, 1964, 5: [7] Su W C, Zhou X W. O th stability of multivariat trigoomtric systms. J Math Aal Appl, 1999, 235: [8] Splttstosr W. Error stimats for samplig approximatio of o-badlimitd fuctios. Math Appl Sic, 1979, 1: 127 [9] Wag J J, Fag G S. Marcikiwicz-Zygmard typ iquality with o-quidistat spacd samplig poits ad irrgular samplig approximatio of o-badlimitd fuctios. J Bijig Normal Uivrsity Natural Scic, 1999, 352: 157

10 No.5 Ä HERMITE Ì Ï ¹ Ø Đ 1229 [10] Ch G G, Fag G S. Discrt charactrizatio o th Paly-Wir spac with svral variabls. Acta Mathmatica Applicata Sicia, 2000, 264: [11] Jagrma D L, Fogl L J. Som gral aspcts of th samplig thorm. IEEE Tras Iform Thorm, 1956, 2: [12] Li H A, Fag G S. Samplig thorm of Hrmit typ ad aliasig rror o th Sobolv class of fuctios. J Bijig Normal Uivrsity Natural Scic, 2004, 40: [13] Fag G S, Li Y W. Multidimsioal samplig thorm of Hrmit typ ad stimats for aliasig rror o Sobolv classs. Chis Joural of Cotmporary Mathmatics, 2006, 27: [14] Nikolskii S M. Approximatio of Fuctios of Svral Variabls ad Imbddig Thorm. Bril, Hidlbrg, Nw York: Sprigr-Vrlag, 1975 [15] Yog R M. A Itroductio to No-harmoic Fourir Sris. Nw York: Acadmic Prss, 1980 Irrgular Samplig Thorm of Hrmit Typ ad Estimat of Aliasig Error Xu Yaya Zhag Yala Ch Guaggui School of Mathmatics ad Computr Egirig, Xihua Uivrsity, Chgdu Abstract: I this papr, th authors prov a Marcikiwicz-Zygmud typ iquality for tir fuctios of xpotial typ with multipl samplig squcs fλ ad f λ. Ad from this rsult, th authors stablish a irrgular Whittakr-Kotlikov-Shao typ samplig thorm ad dtrmi th boud of its aliasig rror o th Sobolv classs. Ky words: Marikiwicz-Zygmud typ iquality; Irrgular samplig thorm; Etir fuctio of xpotial typ; Aliasig rror. MR2000 Subjct Classificatio: 94A20; 94A12; 41A35

Σχετικά έγγραφα

! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C