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8 ¾ ½º½º¾ Ò Õ ÔÖ Ñ Ò Ñ Ò ÐÙ Å Ò ÐÙ Ö Ú Ð Ù ÙÐÓ Ù Ù Ò Ù Ø Ò º ÈÖ Ñ Ò ÖÙ Ó ÓÚÓÖ ÑÓ Ù ÔÓ Ð Ø Ù Ú Ö ÞÐ Õ Ø ÖÙÔ º µ ÇÔ ØÖÙ Ú Ø Ð Ò ÔÖ Ñ Ö ÑÓØÓÖÒ ÚÓÞ Ð Ú ÓÒ Þ Ö ÔÐÓÚÒ Ó Ø º ÇÚ Ó ÒØ Ö ÔÓ Ü ØÖÙ Ø º ÖÞ Ò ÔÖ Ø Ù Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù Ð Þ Ò Ø Ð Ð Ó Ó º ÌÓ ÓÑÓ Ù Ù ÞÖ ÕÙÒ Ú Ò ÔÖ Ñ Ö ØÚ Ð Ò ÓÔ ØÖÙ Ú ÒÓ Ø ÐÓº ËØÖÙ ÖÓÞ Ò Ð ÚÓ ÓÚ Ñ Ü Ò Õ Ø Ú ÔÓ ØÖÓ º Í ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù Ù Ó ÒØ Ö ÙÒÙØÖ Ü ØÖÙ Ø º ØÖÙ Ù Ú Ñ ÙÞÓÖ Ñ ÑÐ ÞÒ Ñ º ÇÚ Ù Ú Ò ÙØ ØÖ Ó Ñ Ò ØÙ Ù ÖÓÞ Ô ÓÚ Ù Ø µ ÔÖ Ø º ÈÖ Ö Ü Ú Ù ØÙ ÐÒ Ø Ò Õ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Õ Ü ÔÓ Ú Ù Ù Ó ÖÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ º ÅÒÓ Ó ÖÓ Ò ÔÖ Ñ Ò Ù Ù Ó Ð Ø Ñ ØÖÙ Ò Ñ Ü Ò ÔÖÓ Ò Ø Ò Ú Þ Ù ÓÔÐÓÚ ØÚ Ò Ö Ø Ó Ó Ö ÒÓ Ñ Ü Ò ØÚ ÖÓ Ò Ñ Þ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Þ ÖÙ Óº ½º½º ÃÚ ÒØ Ø Ø ÚÒ ÓÔ ØÖÙ ÃÚ ÒØ Ø ÚÒ ÓÔ ØÖÙ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú ÔÓÞÒ Ú Ø º Ó Ö Æ Ú ÖÞ Ò U(u, v, w) ÔÖ Ø p Ù Ø Ò ρ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ù Ú Ó Ø Õ r(x, y, z) ÔÓ Ñ ØÖ ÒÓ ÔÓ Ù ÐÓ ÓÑ ØÖ ÒÙØ Ù tº ÖÙ Ñ Ö Õ Ñ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Þ Ø Ò ÓÚ Þ Õ Ú Ð Õ Ò Ó ÙÒ ÔÖÓ ØÓÖÒÓ¹ÚÖ Ñ Ò Ø Õ Ø f = f( r, t) = f(x, y, z, t) f = U, ρ, p, Tº ÇÚÓ ÔÖ Ô Ó Ð Ø Ñ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ º Í ÙÔÒÓ Ü Ø Þ Ú ÒÓ Õ Ø Ö Ò Þ Ú ÒÓ ÔÖÓÑ Ú º Ó Ö Æ Ú Ò ÔÓÞÒ Ø Ú Ð Õ Ò ÔÓØÖ ÒÓ Ò Õ Ò Ø º Þ Õ Ó ÒÓÚÒ Þ ÓÒ Ò Ù Ó ØÖÙ Ù Ó Ó ÕÒÓ ÓÖÑÙÐ ÜÙ Ù Ó Ð Ù Þ ÓÒ Ó Ö Ø Ð ½º½µº Þ Õ Þ ÖÓ ÎÖ Ø ÞÒ Õ µ Ò Õ Ò Ò Õ Ò ÓÒ ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ö Ñ µ ½ Ð ÖÒ Ó Ö ÃÓÐ Õ Ò Ö Ø Þ ÓÒ ÑÔÙÐ µ Ú ØÓÖ Ò Ö ÔÖÚ ÔÖ Ò Ô Ø ÖÑÓ Ò ¹ ½ Ð ÖÒ Ñ µ ÐÙ Â Ò Õ Ò Ø Ø ÖÑÓ Ò Ñ Õ Þ ¹ Ú ÒÓ Ø ÞÑ ÆÙ p ρ Tµ ½ Ð ÖÒ Ì Ð ½º½º ÓÒ Ó Ö Ù Ò Ù Ó ØÖÙ Ù ÇÚ Ñ Ò Õ Ò Ñ Ù Ð Ö ÓÑ Ö Ò ÐÒÓÑ Ð ÒØ Ö ÐÒÓÑ Ó Ð Ù ÔÖ Ó Ù ÔÓÕ ØÒ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ Þ ÙÔ Ú ÑÓ Ù Ö Ü ÔÖÓÒ ÜÐÓ ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö Æ ÒÓ Ö Ü ÔÓ Ø Ú ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ º ÈÖ ØÖ Ù ÓÔÜØ Ö Ü Ó ÒÓÚÒ Ò Õ Ò Ñ Ò ÐÙ Ò ÜÐÓ Ò Ó Ò ÔÖ ÑÓ Ø Ú Ø Ü Ó Ö Ù Ó ÓÚ Ö Ù ¹ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò Ò Ð Ò ÖÒ º

9 ½º½º Á ØÓÖ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ ÈÖ Ð ÒÓ Ó ½ ¼¼º Ó Ò Ñ Ò ÐÙ Ö ÞÚ Ð Ù Ú Ö ÞÐ Õ Ø ÔÖ Ú µ Ì ÓÖ ÔÖ Ø ÞÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Õ Ñ Ò ÐÙ ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ò Ñ ÙØÒ Newton ½ ¾¹½ ¾ µ Ç Ð Ö Euler ½ ¼ ¹½ µ ÖÒÙÐ Bernoulli ½ ¼¼¹½ ¾µ Рѹ Ö D lambert ½ ½ ¹½ µ Ã Ö Ó Kirchhoff ½ ¾ ¹½ µ À ÐÑ ÓÐ Helmholtz ½ ¾½¹½ µ Ê Ð Reyleigh ½ ¾¹½ ½ µº ÈÖ ØÓÑ ÔÖ Ø ÒÓ Ö ÐÓ Ó Ø ÓÖ ÓÑ ÔÖÓÙÕ Ú Ù ØÖÙ Ò Ú ÓÞÒÓ ÐÙ ØÞÚº ÔÓØ Ò ÐÒÓÑ ØÖÙ Ù Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÓ ÑÓ Ù Ú ÒØ Ø Ø ÚÒÓ Ó Ö Ø Ù Ø Ù ÙÒÙØÖ Ü Ñ ÔÓ Ü¹ Ñ ØÖÙ Ñ º µ Ì Ò Õ ÖÓÑ Ò Ð Ö ÙÐ Ò Ú Ü Ù Ù À ÒÙ Hagen ½ ¹½ µ ÈÙ Þ Ù Poiseuille ½ ¹½ µ Ê ÒÓÐ Ù Reynolds ½ ¾¹½ ½¾µº Æ Ú ÓÔÖ ÒÓ Ù Ó Ð Ø Ñ Ö Ö Ü Ú Ù ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÙ Ú ÓÞÒÓ ÐÙ Ò ÔÖ Ñ Ö Ù Ó Ö Æ Ú Ù Þ ÓÒ ØÖ ÔÖ ØÖÙ Ù Ù Ú Ñ º Ç ÔÖ Ú ÈÖ ÒØÐ Prandtl ½ ¹½ µ ½ ¼ º Ó Ò ÚÓ ÓÑ Ø ÓÖ ÓÑ Ö Ò ÕÒÓ ÐÓ Þ ÖÙ Óº Ë Ð ÒÓ ÓÚÓ Ø ÓÖ ÙÞÖÓ Þ ÓØÔÓÖ ØÖ Ø Ð ÔÓØÖ ÒÓ ØÖ Ø Ù ØÞÚº Ö Ò ÕÒÓÑ ÐÓ Ùº ÌÓ ÐÓ ÐÙ Ù ÓÑ Ò Ø ÞÒ ØÒ ÔÖÓÑ Ò ÖÞ Ò Ó ÒÙÐ Ò Þ Ù ÕÚÖ ØÓ ÔÓÚÖÜ µ Ó ÚÖ ÒÓ Ø ÖÞ Ò ÔÓ Ü ØÖÙ º ÈÖ ØÓÑ Ø Ò Ù ÐÓÚ ÔÖ Ð Ô µ ÐÙ Ò ÔÓÚÖÜ Ø Ð º Ó Ø ÐÓ Ö Ø ÐÙ Ò ÔÓÚÖÜ Ø Ð ØÖÙ ØÓÑ ÖÞ ÒÓÑ Ø º Ö Ò Ø Ò Õ Òº ÇÒ ÔÖ Æ Ð ½º¾ Ø ÔÖ Ñ Ö Ö Ò ÕÒÓ ÐÓ Ò Ö ÚÒÓ ÔÐÓÕ º ÈÖ ÒØÐÓÚ ÓÒ ÔØ Ö Ò ÕÒÓ ÐÓ ÓÑÓ Ù Ú ØÒ ÔÓ ÒÓ Ø Ú Ù Ò Ð Ò ÖÒ Ñ Ö Ò ÐÒ Ñ Ò Õ Ò Ñ º T U U Ò Ú ÓÞ Ò ÐÙ η = 0µ U Ú ÓÞ Ò ÐÙ η 0µ δ T U T w δ δ T Ö Ò ÕÒ ÐÓ ËÐ ½º¾º ÖÞ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ò ÕÒ ÐÓ Ò ÔÓ Ù ÒÓ ÓÔ ØÖÙ Ú ÒÓ ÔÐÓÕ U ¹ ÖÞ Ò ÔÓ Ü Ò ÔÓÖ Ñ ÒÓ ØÖÙ δ ¹ Ò Ö Ò ÕÒÓ ÐÓ η ¹ Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Ø ÐÙ T ¹ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓ Ü ØÖÙ T w ¹ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÔÐÓÕ σ T ¹ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ö Ò ÕÒÓ ÐÓ º Í ÐÙÕ Ù ÔÓÖ ÙØ ØÖ Ú ÒÓ ÔÖ ÒÓÜ ØÓÔÐÓØ ÓÒ Ó Ñ ÖÞ Ò Ó Ö Ò ÕÒÓ ÐÓ ÔÓ Ú Ù Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ò ÕÒ ÐÓ º ÍÞÖÓ Ù ÔÓØÔÙÒÓ Ò ÐÓ Ò Ñ ÔÓ Ú Ñ ØÖ Ù ÔÖ ÒÓÜ Ù ØÓÔÐÓØ º

10 ½º¾ ÅÓ Ð ÐÙ Ó Ò ÔÖ Ò Ð Ó ÓÖÑ ÐÒ Ö ¹ Ò ÅÓÐ ÙÐ ÖÒÓ¹ Ò Ø Õ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Å ÖÓ ÓÔ Ø ÓÖ µ Å Ò Ò ÔÖ Ò Ö Ò Å ÖÓ ÓÔ Ø ÓÖ ¹ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÅÓÐ ÙÐ ÖÒ ØÖÙ ØÙÖ Ñ Ø Ö ÑÓÐ ÙÐ ØÓÑ µ ÔÖ ÕÒ ÑÓÐ ÙÐ d m Ö ÐÓ Ó Ò ÔÙØ ÑÓÐ ÙÐ l = 10 7 m Ö ÖÞ Ò ÑÓÐ ÙÐ V = 500m/s ÖÓ Ù Ö Ù ÙÒ 5, ËØ Ø Ø Õ Þ Î Þ Ù Ù Ó Þ ÔÖ Ñ Ò 1mm 3 2, ÑÓÐ ÙÐ À ÔÓØ Þ Ó Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ñ Ø Ö º ÈÖÓ ØÓÖ Ò ÔÖ ÒÓ ÔÙ Ò Ñ Ø Ö ÓѺ ÐÙ ÔÓÒ Ü Ó ÓÒØ ÒÙÙѺ ÃÒÙ ÒÓÚ ÖÓ Kn = l L 0,01 L ¹ Ö Ø Ö Ø ÕÒ Ñ ÒÞ Ø Ð µº ÈÓ Ð ÔÓØ Þ ÔÓÜØÓ Ñ Ø Ö ÒÓ Ð ÔÓ Ò Þ Õ ¹ Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ ÐÓ Ó Ú Ð Õ Ò Ø Ð ÖÒ Ú ØÓÖ Ø ÒÞÓÖ µ f Ò ÔÖ Ò ÙÒ ÔÖÓ ØÓÖÒ ÓÓÖ Ò Ø ÚÖ Ñ Ò Ø º f = f(x,y,z,t)º ÇÚ Ñ ÓÑÓ Ù Ò ÔÖ Ñ Ò Ø ÓÖ ÔÓ Ö Ò ÐÒÓ ÒØ Ö ÐÒÓ Ö ÕÙÒ º Æ ÔÓÑ Ò ØÖ ÚÓ Ø Ö ÕÙÒ ÓÚ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ò Ú Ü ÙÚ ¹ Ò Ö ØÓ Ù Ó ½ ¼ km Ó ÔÓ¹ ÚÖÜ Ò Ñ Ù Ó ØÖ Ò ½mm Ò Ð Þ ÑÓ ½ ÑÓÐ ÙÐ Ç Ð Ø Ñ Ò ÐÙ Ó ÔÖÓÙÕ Ú Ø Ú ÐÙÕ Ú Ò Þ Ú Ò Ñ Ö ÞÖ Æ Ò ÓÚ º À ÔÓØ Þ Ó Ú Ð Ó ÔÓ Ö Ø ÚÓ Ø º ÇÚ ÔÓØ Þ ÓÜ Ò Þ Ú ÔÓØ Þ Ó Ð Ó Ú Ð Ó ÓÖÑ ÐÒÓ Ø º ÈÓ Ð ÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ñ ÖÓµ ØÖÙ ØÙÖ Ø ÕÒÓ Ø ÓÚ Ð ÔÓ Ö Ø ÚÓ Ø Ø Õ ÚÓ Øµ Ø Ó ÚÖÐÓ Ñ Ð Ð Þ Þ Ú Ù Ú Ð ÓÖÑ ÐÙ º Ö ØÒ ÔÓ Ð ÔÓØ Þ Ù µ ËÑ Ò Ø Ò Ò ÐÒ µ Ò ÔÓÒ Ø º ØÖ Ò Ú Ù Ù ÐÙ Ù Ó Ñ ÖÙ º ¹ Ð Ø Ø Õ Ó ØÖ Ù ÐÙ Ù Ò ÑÓ Ù º Å ÆÙØ Ñ Þ Ó Þ Ö ÜØÓ ØÖÙ ÐÙ Ò Ñ ÒÓÚÒÓ ÓÚÓ Ó ØÚ Ö Ð ØÖ ÔÓÞÒ ØÓ Ù Ù ÑÒÓ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÖÙ ÓÒ ÚÖÐÓ Ñ Ð Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ò Ö ÐÒ Ð ÑÓ Ù Þ Ò Ñ Ö Ø ÜØÓ Ó ÓÚ Ö ÑÓ ÐÙ Ò Ú ÓÞÒÓ ÚÖÜ ÒÓ µ ÐÙ º µ ÁÞ ÚÓ ØÚ µ Ð Ñ ÆÙ ØÚÓ ÐÙ Ö ÞÐ Õ Ø ØÖ Ò ÞÚ Ò ÔÓÚÖÜ Ó ØÚ ÖÙ ÙÕ ÚÓ Ù ÔÖ ÚÙ ÒÓÖÑ Ð Ò ÔÓÚÖÜ Ð ÔÓ Ö ØÚÓÑ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ¹ ÔÓÒ º Å ÆÙØ Ñ Ò ÔÓÒ Ø Þ Ò ÑÓ Ù ÔÓ Ú Ø Ù ÐÙ Ù Ø Ó ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ ÚÓ Ò ÔÖ Ø º

11 ½º ÈÓ Ñ ÐÙ ÒÓ Ð º Ù Ø Ò ÐÙ º Æ Ø Ü Ú Ø Ü Ú ÐÙ ÐÙ Ò Ð Ó Ñ Ø Ö ÚÖÐÓ Ñ Ð Þ ÔÖ Ñ Ò Ù Ó Ó ÔÖÓÑ Ò Ú Ú Ð Õ Ò p T ρ º º º µ ÑÓ Ù Þ Ò Ñ Ö Ø Ô Ñ Ñ Ð ÓÚÓÖ Ø Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð Ù Ø Ò Ð Ð ÕÒÓº Ë ÖÙ ØÖ Ò Ñ ÆÙØ Ñ ÐÙ Ò Ð ØÓÐ Ó Ú Ð Þ ÔÖ Ñ Ò Ó ÓÜ ÙÚ Ö ÚÖÐÓ ÑÒÓ Ó ÑÓÐ ÙÐ Ø Ó ÔÓØ Þ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ø º Ò ÔÖ ÒÓ Ø Ö Ò Þ ÓÚÓ Ò º ÐÙ Ò Ð ρ dv U dm M V m V m ËÐ ½º º ÐÙ Ñ m Ù ÓÒ ÕÒÓ Þ ÔÖ Ñ Ò V Ó Ö Ò Õ ÒÓ ÔÓÚÖÜ º Î Ð Õ Ò U ρ dv dm Ù ÖÞ Ò Ù Ø Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Ñ ÐÙ ÒÓ Ð º ½º º½ Ù Ø Ò ÐÙ Ù Ø Ò ÐÙ Ú Ð Õ Ò Ø ÐÙ ÔÖ Ø Ú Ð ÖÒÓ ÔÓ ρ = ρ(x, y, z, t)º ËÖ Ù Ø Ò ÐÙ ρ = m/v º Ù Ø Ò ÐÙ ρ = lim V 0 ( V M) m V = ρ(m). ÐÙ Ò Ð Ù ÒÓÑ ÒÓÐÓÜ ÓÑ Ñ ÐÙ Ñ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ Ò Ò Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÒÓÑ Ñ ÓÑ dm = ρdv Ó ÓÒ Ø ÒØÒ Ò Ñ º Å ÆÙØ Ñ Ó Ð Ñ Ù ÙÚ ØÙ Ñ Ù dm = const ÓÚ Ù Ø Ò ρ(x, y, z, t) = dm/dv Ø Ñ Þ ÔÖ Ñ Ò Ó Ð ÑÓ Ù Ð Ò ÑÓÖ Ù Ñ Ø ØÓ ÓÑ ÚÖ Ñ Ò º ÌÓ ÚÓ Ô Ø Ù Ø Ü ÚÓ Ø ÓÖÑ Ò ÔÖ Ò Ö Ò º Æ ÔÓÑ Ò Ë Ñ Ø Ñ Ø Õ Ø Õ Ð ÜØ Ú ÒÓ Ð ÑÓ Þ Ñ Ð Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ó Ú Ø ØÖ Ö ÐÓÔØ Ð ÐÓ Ó ÖÙ Ó ÔÖ Ú ÐÒÓ Ð Ò ÔÖ Ú ÐÒÓ ÓÑ ØÖ Ó Ø ÐÓº ÌÓ ÔÓ Ð ÚÖÐÓ Ñ Ð Ñ ÒÞ Ð Ó Ù Ô Ò ÞÑ ÖÒÓ Ú Ó Ñ ÒÞ ÑÓÐ ÙÐ µ Ô ÓÚ Ó Ð Ò Ö ÙÐÓ Ù ÔÖ ÔÓ Ñ ØÖ Ù Þ Õ Ó¹Ñ Ø Ñ Ø Õ ÓÑ ÑÓ Ð Ö Ùº

12 ½º º¾ ÃÚ Ð Ø Ø ÚÒ ÓÔ Ø Ü ÚÓ Ø ÅÓÐ ÙÐ ÖÒ ØÖÙ ØÙÖ Ñ Ø Ö ¹ Ñ ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ð µ Ö ÙÒÓÚÓ ÑÓÐ ÙÐ ÖÒÓ Ö Ø Ó º ËÖ Ø Ø Ø Õ ÖÞ Ò ÑÓÐ ÙÐ ÔÖÓ¹ ÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ú Ö ØÒÓÑ ÓÖ ÒÙ Þ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ V T Ö Ø Ö Ø ÕÒ Þ Ú ÒÓ Ø Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ µ ÅÓÐ ÙÐ Ö Ð Ø ÚÒÓ Ð ÞÙ Ò ÖÙ ÓÑ ÐÙ Ù Ñ ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ ØÞÚº Î Ò ÖÚ Ð ÓÚ Van-der-Waalsµ Ð Ó Ø Ù Ö ØÓ ÔÖ Ó10d 10 9 mº ÇÚ Ð Ù ÔÓ ÔÖ ÖÓ Ö Ú Ø ÓÒ ÑÓ Ù Ö Ù ÑÓÐ ÙÐ Ò ÔÖ Ñ Ö Ù ÒÙ Ö ÙÐ ÖÒÙ Ö Ø ÐÒÙ Ö Ü Ø Ùº Ê ÞÐ Õ Ø ÙÞ ÑÒ Ó ÒÓ Õ Ò µ µ ÓÚÓ Ó ÓÖÑ Ö ØÖ Ö ØÒ Ø Ñ Ø Ö Ø ÕÒÓ Ø ÕÚÖ ØÓ Ø ÐÓµº F d r + V r Ó ÔÖ ÚÐ Õ ËÐ ½º º Å ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ð F Ó ÓÑ Ð Ù ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ ÔÓÕ Ø Ù ÐÙ Ò ÖÙ Ò Ñ ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒÓÑ Ö ØÓ Ù rº Æ Ø Ü Ú ÐÙ Ù Ð ÚÒÓÑ Ø ÕÒÓ Ø µ Å ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ö ØÓ r Ù ÚÖÐÓ Ñ Ð Ñ ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ð F Ù Ú Ð Ó Ó Ò Ð ½º µ Ô Ð ÔÖ Ø Ò ÓÚÓ Ó ØÒ ÔÖÓÑ Ò r Ø Ñ Þ ÔÖ Ñ Ò V Ù Ø Ò ρº Ò Õ Ñ ÑÓ Ó Ð Þ ÔÖ Ñ Ò ÔÓØ Þ Ó Ð Ó ÔÓ Ö Ø ÚÓ Ø ÓÖÑ Ð¹ ÒÓ Ø µ Ó Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ó Ø Ø º ËØ Ü Ú ÐÙ Ù Ð ÚÒÓÑ ÓÚ µ Ê ØÓ r ÞÑ ÆÙ ÑÓÐ ÙÐ Ù Ú Ð Ð Ñ ÆÙ ØÚ F Ù Ñ Ð ÔÖ ÚÐ ÕÒ Ð ½º µ Ô ØÚÓ ÔÖ Ø ÑÓ ÔÖÓÑ Ò Þ ÔÖ Ñ ÒÙ V 1 Ø Ñ Ù Ø ÒÙ ρ 1 Ð ÒÓ Þ ÓÒÙ Ó Ö Ñ m = ρv = const Ø º dm = ρdv = constº Ð ÓÑÔÖ µ Ð Ü Ö Ô ÒÞ µ ρ const Ø Ü Ú ÐÙ µº

13 ØÖ ØÓÖ ÐÙ ÒÓ Ð ρ dv ρ dv dm = ρdv = const ÐÙ Ò Ð µ dv 1 = dv 2 = dv = const m V m V ρ 1 = ρ 2 = ρ = const Ò Ø Ü Ú ÐÙ t = t 1 t = t 2 ËÐ ½º º Æ Ø Ü Ú ÐÙ ρ = const Ñ m = const Ù Ú ØÖ ÒÙØ t 1 t 2 º ØÖ ØÓÖ ÐÙ ÒÓ Ð ρ 1 dv 1 = ρ 2 dv 2 ρ 1 dv 1 dv 2 dv 1 ρ 1 ρ 2 ρ 2 dv 2 dv 1 m V 1 m V 2 V 1 ρ const Ø Ü Ú ÐÙ µ t = t 1 t = t 2 ËÐ ½º º ËØ Ü Ú ÐÙ ρ const Ñ m = const Ù Ú ØÖ ÒÙØ t 1 t 2 º Æ ÔÓÑ Ò µ ÈÖ Ú Ð Ñ ÔÖÓÑ Ò Ñ ÔÖ Ø Ö ÙÐ Õ Ù Ö ÔÓ ÚÓ Ò ÔÐÓÞ µ Ò Ø Ü Ú ÐÙ Ù Ð ÚÒÓÑ Ø ÕÒÓ Øµ ÔÓÒ Ü Ó Ø Ü Úº µ ÈÖ ÔÓÖÓÑ Ð ÒÓÑ ØÖÙ Ù Ù ÔÖÓÑ Ò ÔÖ Ø Ñ Ð ÔÓ¹ Ò Ü ÔÖ Ð ÒÓ Ó Ò Ø Ü Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÑÓØ Ò Ð Ñ Ø Þ Ú Ø Ð ÖÙ Óµº ÃÚ ÒØ Ø Ø ÚÒ ÓÔ Ø Ü ÚÓ Ø º Ù Ø Ò Ú Ð Õ Ò Ø ρ = ρ(x, y, z, t) Þ Ú Ó ÖÙ Ú Ú Ð Õ Ò Ø ¹ Ó ÔÖ Ø p Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Tº ÃÓ ÒØ Ø Ü ÚÓ Ø s Ö Ð Ø ÚÒ ÔÖÓÑ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Ð ÔÓ Ò ÕÒÓ ÔÖÓ¹ Ñ Ò ÔÖ Ø s = (dv) p ØÚÓ ÔÖ Ø ¹ Ø Ü ÚÓ Ø 1 dv dp > 0 d(dv) < 0, dp < 0 d(dv) > 0. dv = f(p, T) dρ = F(p, T) ρdv = const ρ (dv) dv +ρ p p ÙØ ÔÖ Ø = 0 = s = 1 ρ ρ p

14 ÅÓ ÙÐ Ø Ü ÚÓ Ø ε = ε(p, T) ε = 1 s ε voda bar = kpa, ε vazduh 1bar = 10 5 Pa ½º Â Ò Õ Ò Ø Â Ò Õ Ò Ø ÔÖ Ø Ú ÒÙ Ó ÓÒ Ø ØÙØ ÚÒ Ò Õ Ò Ñ Ò ÐÙ º ÇÒ Ó ÕÒÓ Ð Ö Ò Õ Ò ÔÓÚ ÞÙ ØÖ Ð ÖÒ ÔÓ Ø º ÔÓ ÔÖ Ø Ù Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù ÑÐ ØÒÓÑ Ð ÔÐ ØÒÓÑ Ó Ð Ù Ó Ð f(ρ, p, T) = 0 ρ = ρ(p, T). ½º½µ ÈÓÞÒ ØÓ ÑÒÓ ÓÚ Ù Ó Ð Ø Ñ ÔÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ú Ù Ù Ø Ò Õ Ó ÔÖ ÔÓÒ Ü Ù Ó ÐÒ Ø Ó Ù Ø Ñ ÐÙÕ Ú Ñ ÙÑ ØÓ Ò Õ Ò ½º½µ ÓÖ Ø Ò Õ Ò Ø ÐÒÓ p = ρrt, ½º¾µ Ó Ø ÒÓ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ù Ø ÖÑÓ Ò Ñ º Î Ð Õ Ò R ÓÒ Ø ÒØ Ó Þ Ú Ó ÚÖ Ø Þ Ú Þ Ù ÓÒ ÞÒÓ R = 287J/kgKµº Ó Ù p 1 ρ 1 T 1 Ò Ö Ö ÒØÒ ÚÖ ÒÓ Ø ÔÖ Ø Ù Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ Ú Þ Ú ÒÓ Ø ρ ρ 1 = p p 1 T 1 T. Ð Ù Ø Ò Ó ÐÒÓ ÐÙ Ñ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒÓ ÔÖ Ø Ù Ó ÖÒÙØÓ ÔÖÓ¹ ÔÓÖ ÓÒ ÐÒÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ê Ð ÓÑ ½º½µ Ò Ò Ù ÖÓ Ð Ò ÐÙ º Å ÆÙØ Ñ Ù ÑÒÓ Ñ ÔÖÓ Ñ Ù Ø Ò ρ ÙÕ ÚÓ Ø ÕÒ Ö Õ ÒÓ ÑÒÓ Ó Ú Ü Þ Ú Ó ÔÖ Ø Ò Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ò Ò ÒÓ Ó ÔÓØÖ ÒÓ ÑÓ ÞÖ ÕÙÒ º Ì Ú Ð ÐÙ Ù ÖÓØÖÓÔÒ ÐÙ ρ = ρ(p), ½º µ Ó Ù ÓÚÓÑ ÙÖ Ù Ù Ð ÚÒÓÑ ÔÖÓÙÕ Ú Ø º ÇÕ Ð ÒÓ Ù ÓÚÙ ÖÙÔÙ Ô Ù ÐÙ Õ Ò Õ Ò Ø ÔÓ ÓÖ Ú Ò Õ Ò Ø Þ ÐÒ Ó ÓÒ Ø ØÙØ ÚÒ Ò Õ Ò Ó Ð ( ρ ρ 1 ) n = p p 1 p ρ n = const, Ó ÓÑ ÓÔ Ù Ù ÞÓØ ÖÑ n = 1µ Ø n = κµ ÔÓÐ ØÖÓÔ ÔÓÒ ÒØ n ÙÞ Ñ Ó Ø Ð ÑÓ Ù ÚÖ ÒÓ Ø µ ÔÖÓÑ Ò Ø ÐÙ º Æ Ø Ü Ú ÐÙ Ø ÓÆ ÖÓØÖÓÔ Ò ÐÙ º ½º µ

15 ½º ½º º½ Î ÓÞÒÓ Ø Ö ÓÐÓÜ ÑÓ Ð º Æ ÔÓÒ ÓÖÑ ÖÞ Ò ÓÖÑ Å ÖÓ ÓÔ ÑÓ Ð Ú ÓÞÒÓ Ø Ã Ò Ø Õ Ø ÓÖ ÓÚ ¹ ÔÖÓ ÑÓÐ ÙÐ ÖÒÓ ÔÖ ÒÓ Ñ ÑÔÙÐ Ò Ö ¹ ÙÞ Ú ÓÞÒÓ Ø ØÓÔÐÓØÒ ÔÖÓÚÓ ÚÓ Øº y V y +l y y l τ u(y l) u(y +l) x V ËÐ ½º º Ñ Ø ÔÖ Þ ÑÓÐ ÙÐ ÖÒÓ ÔÖ ÒÓ ÑÔÙÐ º Å ØÓ Ø Ø Ø Õ Þ Ù ÙÔ Ò ÔÖ ÒÓ ÑÔÙÐ Ù Ò ÚÖ Ñ Ò ÔÓ Ò ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ ÔÓÚÖÜ Ò Ö ØÓ Ù y Ð ÔÓ Ò ÔÓÚÖÜ Ø Ò Ò ÐÒ Ø º Ñ Ò Ò ÔÓÒ τ Ù ÐÓ Ù Ò Ò ÚÓÙ y τ = ρvl 3 u y. ½º µ ½º º¾ Å ÖÓ ÓÔ ÑÓ Ð Ú ÓÞÒÓ Ø Å ÖÓ ÓÔ ÑÓ Ð ¹ ÙÒÙØÖ Ü ØÖ viscosité ¹ Ð Ô ÚÓ Øº y h F U τ u(y) u(y) = U 0 y h τ = F = η U 0 h = η u y y y τ u u(x, y) ÔÓ Ü ØÖÙ η 0 τ 0 Ö Ò ÕÒ ÐÓ η 0 τ ËÐ ½º º ÃÙ ØÓÚÓ Couetteµ ØÖÙ Ñ ÒÓ ØÖÙ Ù Ö Ú Ò ÓÑ ÔÖÓ ÔÙµ ÔÓ Ü ØÖÙ¹ ¹ Ö Ò ÕÒ ÐÓ º ËÑ Ò Ò ÔÓÒ τ ¹ ÙÒÙØÖ Ü ØÖ Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Ø η ¹ ÔÖ Ð Ô µ ÐÙ Ò ÕÚÖ Ø Ñ ÔÓÚÖÜ Ñ º ÈÖÓÑ Ò ÖÞ Ò Ø º ÔÖÓ Ð ÖÞ Ò u(x, y) ÔÓ Ð ÐÓÚ Ø Þ ÓÒ Ó¹ Þ ÓÒ Ñ ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ð º Ì Ñ ÆÙ ØÚ ÔÓ Ú Ù Ù ÔÖ ÚÙ Ø Ò ÒØ Ó Ø Ò Ò ÐÒ Ø º Ñ Ò Ò ÔÓÒ τ Ò Ò ÞÖ ÞÓÑ τ = η u. ÙØÒ ½ µ ½º µ y

16 ½¼ Î ÓÞÒÓ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø ÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ø º Ñ ÖÓ ÓÔ Ö ÞÑ Ò ÑÔÙÐ ÔÓ¹ Ò ÐÙ Ò Ð Ó ÔÓ Ú Ó ÙÒÙØÖ Ü ØÖ ÐÙ Ù Ú Ù Ñ Ò Ò ÔÓÒ Ð ØÖ º Î Ð Õ Ò η Ó ÒØ Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Ø Ø º Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Ø ÔÖ Ø Ú Þ Õ Ó ÚÓ ØÚÓ ÐÙ º Ã Ò Ñ Ø Õ Ú ÓÞÒÓ Ø Ò Ü Ó ν = η/ρº η 10 6 Pa s ν 10 6 m 2 /s Ú Þ Ù ½ ¾ ½ ½½ ÚÓ ½¼¼¾ ½ ¼¼ Ð ÓÒ Ó Ù ½ ¼ ¼ ½ ½º º Ì Ð ½º¾º Ã Ö Ø Ö Ø ÕÒ ÚÖ ÒÓ Ø Ú ÓÞÒÓ Ø º Æ ÔÓÑ Ò ν vode = 1mm 2 /s ν vazduha = 15mm 2 /s µ Ú ÒÓ Ø Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Ø Ó ÔÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Þ ¹ ÓÚ Ø ÕÒÓ Ø Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Øη Þ Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÖ Ø Ð Þ Ú ÒÓ Ø Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÞÒ ØÒÓ ÞÖ Ò Ô ÑÓ Ñ ØÖ Ø η(t, p) η(t)º ÈÖ ØÓÑ η Ö Ø ÔÓÖ ØÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ÓÚ ÓÔ Ó Ø ÕÒÓ Ø Ð ½º µ ÜØÓ ÔÓ Ð Ñ ÖÓ ØÖÙ ØÙÖ Ø ÕÒÓ Ø ÓÚ º η Ø ÕÒÓ Ø ÓÚ Ô Ö ËÐ ½º º ÈÖÓÑ Ò Ò Ñ Õ Ú ÓÞÒÓ Ø η Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÑ T º ÃÓ ÓÚ ÔÓÚ Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓÚ Ú ÖÞ Ò ÑÓÐ ÙÐ Tր Vր Ö V Tµ Ñ Ñ Ø Ñ ÔÖ ÒÓÜ ÑÔÙÐ ÔÖ Ù ÖÙ ÑÓÐ ÙÐ ÜØÓ Ð ÒÓ ÞÖ Þ Ñ ½º µ ½º µ Ø º Ö Ð η = 1 3ρVl ÓÚÓ Ó ÔÓÖ Ø Ú ÓÞÒÓ Ø ηº ÃÓ Ø ÕÒÓ Ø Ñ ÆÙØ Ñ Ñ ÆÙÑÓÐ ÙÐ ÖÒ Ð Ñ Ù Ó ÐÙÕÙ Ù Ù ÙÐÓ Ù Ø Ó ÔÓ¹ Ö ØÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð Ñ ÆÙ Ó Ò Ú Þ ÑÓÐ ÙÐ Ð Ð Ü ÔÓ Ö Ù Ú ÓÞÒÓ Ø ÓÔ Ð ½º µº Í Ð Ø Ö ØÙÖ Ù ÑÒÓ Ó ÖÓ Ò ÑÔ Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ð Ö Ñ Þ Ó Ö Æ Ú ¹ η Ù ÙÒ Ó T p Þ Ö ÞÐ Õ Ø ÐÙ º Í ÓÚÓÑ ÙÖ Ò ÚÓ Ú Ö Ø Ö Ø ÕÒ T

17 ½½ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÚ Ø ÕÒÓ Ø º ÓÚ Ú Ð Ö Ð η = T ( ) 0 +T s T 3/2 ( T η 0 T +T s T 0 Ë Ø ÖÐ Ò Sutherlendµ Ò Ø Õ Ø ÓÖ ÓÚ T 0 ÑÔ Ö ÓÖÑÙÐ ) n. ½º µ Ê Ö ÒØÒ ÚÖ ÒÓ Ø Þ Ú Þ Ù ÔÖ p 0 = 1bar Ù T 0 = 273,16K η 0 = 17,1µPa s T s = 122K Ë Ø ÖÐ Ò ÓÚ Satherlendµ ÓÒ Ø ÒØ º ÔÓÒ ÒØ n Þ Ú Ó ÚÖ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ÒØ ÖÚ Ð º Ú Þ Ù n = 1 Ð Þ Ú Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ n 0,76º ÎÖ ÒÓ Ø n Ù Ù ÒØ ÖÚ ÐÙ 0.5 n 1,56º Ø ÕÒÓ Ø Ù Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÑ ÒØ ÖÚ ÐÙ 0 < T c < 100 C ÔÖ Ñ Ù ÞÖ Þ ( η T = exp T ). ½º µ η 0 T +T B T B +T 0 ÚÓ Ù Ù ÚÖ ÒÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ T = 506K T B = 150K ÔÖ ÔÖ Ø Ù p 0 = 1bar Ù Ö Ö ÒØÒ ÚÖ ÒÓ Ø T 0 = 273,16K η 0 = 1,793mPa s ½º º ÇØÔÓÖ ÔÖÓÑ Ò Ó Ð ¹ Ú ÓÞÒÓ Øº Æ ÔÓÒ ÓÖÑ ÖÞ Ò ÓÖÑ ¹ Ö ÓÐÓÜ ÑÓ Ðº Þ Õ Ó ØÙÑ Õ ÞÚÓ ÖÞ Ò Ù ÞÖ Þ Ñ ½º µ ½º µº y Ò ÔÓÒ Ñ τ τ yx u C = u + u dy y dy y C C dγ D B D u(x, y) x C dy τ τ yx ÖÞ Ò C D u C dγ u B B D tg(dγ) dγ = CC C CC = u dydt, C = dy y dγ dt = u y γ ËÐ ½º½¼º Þ Õ Ó¹ ÓÑ ØÖ Ñ Ó ÞÚÓ ÖÞ Ò u/ yº ½º µ Î Ð Õ Ò γ ÔÖ Ø Ú ÖÞ ÒÙ ÓÖÑ ÔÖÓÑ ÒÙ Ó Ð ÐÙ ÒÓ Ð Ù ¹ Ò ÚÖ Ñ Ò Ø º ÖÞ ÒÙ ÓÖÑ ÐÙ ÒÓ Ð Ó Ù ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù ÞÖ Ò ÖÞ ÒÓÑ ÔÖÓÑ Ò Ù Ð Ñ γ Ø º ÖÞ ÒÓÑ ÔÖÓÑ Ò Ó Ð Ð º ÖÙ ÚÖ Ø ÓÖ¹ Ñ Ø º ÖÞ Ò ÔÖÓÑ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò ÐÙ ÒÓ Ð Ö ÞÑÓØÖ Ù Ó Ú ÖÙ Ò Õ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø º

18 ½¾ À ÔÓØ Þ Ó Ú Ð Ó ÔÓ Ö Ø ÚÓ Ø ÓÖÑ ÐÒÓ Ø ÉÚÖ ØÓ Ð Ø ÕÒÓ Ø ÐÓ F ÐÙ γ F = τ τ = Gγ ÀÙ ½ µ τ = η γ ÙØÒ ½ µ dγ Ò ÔÓÒ ÓÖÑ Ò ÔÓÒ ÖÞ Ò ÓÖÑ ÀÙ ÓÚ Ö ÓÐÓÜ ÑÓ Ð Ê ÓÐÓÜ ÑÓ Ð ÙØÒÓÚ Ó ÐÙ G ¹ ÑÓ ÙÐ Ñ Ð Þ µ Ð Ò ÖÒ Þ Ú ÒÓ Ø ÞÑ ÆÙ Ò ÔÓÒ γ ¹ Ù Ó Ñ Ð Þ µ ÖÞ Ò ÓÖÑ R. Hooke ( ) ¹ Ó ÒØ ÔÖÓÔÖÓ ÓÒ ÐÒÓ Ø η ËÙÜØ Ò Ö ÞÐ ÞÑ ÆÙ ÐÙ ÕÚÖ ØÓ Ø Ð Ð Ø ÕÒ Ñ Ø Ö µ Ù Ö ÓÐÓÜ Ó Þ ÓÒ ØÓ Ø Ø º Ù Ñ ÆÙÞ Ú ÒÓ Ø Ò ÔÓÒ ÓÖÑ Æ ÔÓÒ Ù ÙÒ ÓÖÑ Ó Ð Ø ÕÒÓ Ø Ð Ó Ù Ó ÐÙ Ò ¹ ÔÓÒ ÙÒ Ó ÖÞ Ò ÓÖÑ º ½º º ÙØÒÓÚ Ò ÙØÒÓÚ ÐÙ Ê ÓÐÓ Ò Ù Ó ÞÙÕ Ú Ñ ÆÙÞ Ú ÒÓ Ø Ò ÔÓÒ Ó ÓÖÑ ÓÒÓ Ø Ò ¹ ÔÖ Ò Ö Ò Ø º ÓÒØ ÒÙÙÑ º Í ÔÖ Õ ØÓ ÔÓ Ú Ù ÓÔÜØ Ö ÓÐÓÜ Þ Ú ÒÓ Ø τ = f( γ)º Ó f Ð Ò ÖÒ ÙÒ ÓÒ Ö Ó ÙØÒÓÚ Ñ ÐÙ Ñ ÚÓ Ú Þ Ù Ø Ò Õ Ù µº Æ Ð Ò ÖÒ Ñ ÙÒ Ñ f( γ) ÓÔ Ò Ù Ò ÙØÒÓÚ Ñ ÐÙ Ñ Ù Ô ÒÞ ÔÓÐ Ñ Ö Ù Ò Ó ÖÙ Óµº Ò Õ Ö ÓÐÓÜ Þ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖ ÞÙ Ø Ô ÒÓÑ ÙÒ ÓÑ τ = k γ n n < 1 Ô Ù ÓÔÐ Ø ÕÒ ÐÙ n = 1 ÙØÒÓÚ ÐÙ n > 1 Ð Ø ÒØÒ ÐÙ º Ò ÑÓÚ ÐÙ Þ τ < τ g Ð ½º½½µ ÔÓÒ Ü Ó ÕÚÖ ØÓ Ð Ø ÕÒÓ Ø ÐÓ Þ τ > τ g Ó ÙØÒÓÚ ÐÙ º ÈÖ Ñ Ö Þ Ò ÑÓÚ Ø Ô ÐÙ ÞÙ Ò Ô Ø º

19 ½ τ g τ Ò ÑÓÚ ÐÙ ÞÙ Ò Ô Ø µ Ô Ù ÓÔÐ Ø ÕÒ ÐÙ (n < 1) Ö ØÚÓÖ Ú ÓÔÓÐ Ñ ÖÒ Ñ Ø Ö µ ÙØÒÓÚ ÐÙ (n = 1) Ð Ø ÕÒ Ñ Ø Ö Ð Ø Ò ØÒ ÐÙ (n > 1) Ù Ô ÒÞ ÕÚÖ Ø Ð ÔÖ Ú Ó Ñ ÓÒ ÒØÖ Ñ Ð Ô ÓÚ µ Ò Ú ÓÞ Ò ÐÙ γ u/ y ËÐ ½º½½º Ê ÓÐÓÜ Ö Ñ ¹ ÙÒ Ò ÔÓÒ Ó ÖÞ Ò ÓÖÑ ¹ Ö Ú Ø Õ º ÇÚ Ú ÒÓ Ø Ð ½º ÃÓ ÙØÒÓÚ ÐÙ η Ò Þ Ú ÒÓ Ó γº ¾º Æ ÓÔÜØ Ö ÓÐÓÜ Þ ÓÒ ØÓ Ø Ø ÞÖ ÞÓÑ P = F(Ṡ) Ù ÓÑ P Ø ÒÞÓÖ Ò ÔÓÒ Ṡ Ø ÒÞÓÖ ÖÞ Ò ÓÖÑ º º Ê ÓÐÓÜ Þ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖ Ø Ú Ù Ó ÒÓÚ Þ ÞÙÕ Ú Ò Ñ Ó ÙØÒÓÚ Ø Ó Ò ÙØÒÓÚ ÐÙ º

20 ¾ Ò Ð Þ ÓÔÜØ Ø Ò ÔÓÒ Ù ÐÙ Ù Í Ñ Ò ÐÙ Ú Ð Ð Ò Ñ Ò Ø º Þ ÔÖ Ñ Ò ÔÓÚÖÜ Ò º Å Ò Ð ÐÙ Ù Ò Ñ ÐÙ Ò Ð Ø º Ò Ñ Ù Þ ÚÓ ÒÓ Ð ÐÙ Þ ÔÖ Ñ Ò V ÔÓÚÖÜ Ò Ð ÚÓ ØÚÓ Ó ØÚ ÖÙ Ù ÔÖ Ó Ö Ò ÕÒ ÔÓÚÖÜ ÞÑ ÆÙ Þ ÚÓ ÒÓ ÐÙ ÓÚ Ó ÓÐ Ò Ø º Ó Ö٠к ¾º½µº x i R m z k ¼ j F r M m V y m V n N M ρ dv R n T F 1 n 1 M 2 n 2 t n = t = 1 ËÐ ¾º½º Å Ò ÔÓÚÖÜ Ò Ð º Î ØÓÖ Ò ÔÓÒ p 1 p n1 ( r;t; n 1 ) p 2 p n2 ( r;t; n 2 ) Ù Ø Õ Å Þ Ú Ó ÓÖ ÒØ ÔÓÚÖÜ 1 2 Ø º Ó ÓÚ Ò ÕÒ Ú ØÓÖ n 1 n 2 ÒÓÖÑ Ð Ù Ø Õ Åº ÃÓÑÔÓÒ ÒØÒ Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ p n Ù Ø Õ Å Ù ÔÖ ÚÙ ÒÓÖÑ Ð p nn µ Ø Ò ÒØ p nt µ Ò ÔÓÚÖÜ Ò Ù d Ù Ø Õ Åº p n1 p n2 d p n n p nn M p nt n p n ¾º½ Å Ò Ð Å Ò Ð Ù Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ð Ñ Ò Ø µ Ò Ö ÐÒ Ð ÒØÖ ¹ Ù ÐÒ ÃÓÖ ÓÐ ÓÚ µ Ð ØÖÓÑ Ò ØÒ Ð ÄÓÖ ÒÓÚ ¹ Ð ØÖÓÔÖÚÓ Ò ÐÙ ØÖÙ Ù Ñ Ò ØÒÓÑ Ð ØÖ ÕÒÓÑ ÔÓ Ùµ Ð Ó Ú Ù ÔÖ Ö ÞÐ Õ Ø Ñ Ñ Ñ Ö Ñ ÖÙ º Î ØÓÖ Ó ÔÓ Ò ÕÒ Ñ Ò Ð F( r, t) Ó ÑÓ Ù Ó¹ ÑÓ ÒÓ Ð Ò ÓÑÓ ÒÓ Ø ÓÒ ÖÒÓ Ð Ò Ø ÓÒ ÖÒÓ Ó Ö Æ ÒÓ Ö Ð ÓÑ F = lim m M R m m = lim V 0 R m ρ V = 1 ρ lim V 0 R m V = 1 dr m ρ dv. Å Ò Ð Ó ÐÙ Ò Ò ÐÙ Ò Ð dr m Ù ÙÔÒ Ø º Ö ÞÙÐØÙ Ù Ñ Ò Ð Ó ÐÙ Ò Þ ÚÓ ÒÙ ÓÐ Õ ÒÙ ÐÙ Ñ m Þ ÔÖ Ñ Ò V R m ÓÒ Ù ¾º½µ

21 Ò Ò ÞÖ Þ Ñ dr m = ρf dv = Rm = V ρ F dv. ½ ¾º¾µ ¾º¾ ÈÓÚÖÜ Ò Ð º Î ØÓÖ Ø ÒÞÓÖ Ò ÔÓÒ ÍØ Ó ÓÐ Ò Ø ÕÒÓ Ø ÕÚÖ Ø ÔÓÚÖÜ ÖÙ Ó µ ÔÖ Ó ÔÓÚÖÜ Ò Þ ÚÓ ÒÙ ÓÐ Õ ÒÙ Ñ Ø Ö Ø º Ò ÔÖ Ò Ö Ò Ñ m Ù ÔÓ Ñ ØÖ ÒÓ Þ ÔÖ Ñ Ò V ÔÖ ÞÙ Ò ÔÖ Ò Ñ Ú ØÓÖ Ñ ÔÓ Ñ ÔÓÚÖÜ Ò Ð Õ Ñ ÚÓÆ Ñ Ò Ò Ù ÔÓÚÖÜ Ó Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ p n Ù ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ Ø Õ ØÖÙ ÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ º p n = lim 0 M R n = dr n d = p n( r, t; n). Í ÞÖ ÞÙ ¾º µ Ú Ð Õ Ò dr n Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ó ÐÙ Ò ÔÓÚÖÜ Ò Ù d Õ Ò ÕÒ Ú ØÓÖ ÔÓ Ü ÒÓÖÑ Ð nº ÈÓ Ö ØÚÓÑ Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ ¾º µ Ò Ü Ù ÙÔÒ Ö ÞÙÐØÙ Ù ÔÓÚÖÜ Ò Ð R n Ó Ð dr n = p n d = R n = p n d. Î ØÓÖ Ò ÔÓÒ p n Ð ÒÓ ÓÞÒ Ñ Ò Ð ¾º½ ÑÓ ÔÖ ÔÖ Ó ÚÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù Ó Ð Ù p n = p nx i+p ny j +p nz k = pnn n+p nt t, ¾º µ ÔÖ Õ ÑÙ Ú Ð Õ Ò N p nn n = lim 0 = dn d p nt t = lim 0 T = ÔÖ Ø Ú Ù Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÓÒ Ú ØÓÖ Ñ ÒÓ Ø º Ø Ò Ò ÐÒÓ Ò ÔÓÒ º ÈÖ Ñ ÒÓÑ ØÖ ÙØÒÓÚÓ Þ ÓÒ Ù Ð Ù ÓÞÒ Ñ Ò Ð ¾º½ Ó Ö Ð dt d ¾º µ ¾º µ p n d = p n d = p n = p n. ¾º µ Ë Ð ¾º½ ÙÓÕ Ú ÖÓÞ Ø Õ Ù M Ù Ó Ó ÔÓØÖ ÒÓ Ó Ö Ø Ø Ò ÔÓÒ ÔÖÓ¹ Ð Þ ÓÒ ÕÒÓ ÑÒÓ Ó ÔÓÚÖÜ Ö ÞÐ Õ Ø Ñ ÓÖ ÒØ Ñ Ø º Ö ÞÐ Õ Ø Ñ Ò ÕÒ Ñ Ú ØÓÖ Ñ ÒÓÖÑ Ð n Ø Ó Ð ÒÓ ÞÖ ÞÙ ¾º µ ÔÓ Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ p n Ò ÒÓ¹ ÞÒ ÕÒÓ Ú ØÓÖ Ó ÔÓ º Æ Ñ p n Ù Ø Õ Å Ò Þ Ú ÑÓ Ó Ú ØÓÖ ÔÓÐÓ r ÚÖ Ñ Ò t Ú Ó ÓÖ ÒØ ÔÓÚÖÜ n Ó ÖÓÞ ØÙ Ø Õ Ù ÔÖÓÐ Þ º Æ ØÓ Ù Þ٠к ¾º¾µ Ø º ØÓ Ø Ñ Ó ÓÞÒ n Ù Ó Ð Ú Ù Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ p n º ÈÖ Ò Ô Ò ÔÓÒ ÃÓÜ Cauchy ½ ¹½ µ ÃÓÜ Ú Ò Õ Ò ½ ¾¾µ Ù Ö ÞÖ Ü Ð ÓÚ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ñ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ º Í ØÓÑ Ù Þ ÐÙ Þ ÔÖ Ñ Ò V к ¾º½µ Þ Ú Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÓÐ Õ Ò ÐÙ Þ ÔÖ Ñ Ò V Ù Ó Ð Ù Ø ØÖ Ö Ðº ¾º¾ Ò ØÙ

22 ½ Ð Ñ ÒØ ÖÒÙ Ñ Ù m = ρ V ÔÖ Ñ Ù ÖÙ ÙØÒÓÚ Þ ÓÒ Ö Ø aρ V }{{} Ò Ö ÐÒ Ð = ρf V + p }{{} n n + p x x + p y y + p z z Ñ Ò Ð } {{ } ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ú ØÓÖ Þ Ö ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ò ØÖ Ò Ñ Ø ØÖ Ö µ. ¾º µ Í Ò Õ Ò ¾º µ a ÓÞÒ Õ Ú Ù ÖÞ p x p y p z Ù Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ Þ ÔÓÚÖÜ Ò Õ Ù ÔÓ Ü ÒÓÖÑ Ð Ô Ö Ð ÐÒ ÙÔÖÓØÒÓ Ù Ñ Ö Ò Ó Ó x y z Ø º Ó ÓÚ Ò ÕÒ Ú ØÓÖ i j kº Ë Ð ÒÓ ÞÖ ÞÙ ¾º µ Ó p x = p x, p y = p y, p z = p z, ¾º µ z z z p x x F p y j y M n p x i a p n x τ xz k σ yy p z y z τxy τ yx σ xx x z y x M σ zz x p x y p y p yy j p yx i τ zy τ zx τ yz x r z 1 p yz k ¼ y 1 x 1 M i k j p z y ËÐ ¾º¾º Ò Ð Þ Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ p n p ξ ξ = x,y,zº Ò Ð ÞÙ Ò Õ Ò ¾º µ ÓÖ Ø Ð Ö Ð n = n x i+n y j +n z k = cos(n,x) i+cos(n,y) j +cos(n,z) k x y z = n x, = n y, = n z ξ = n ξ, ξ = x, y, z n n n n lim l 0 V = 0 V l 0 0, Ö V l 3 n l 2. n n ÈÓ Ð Ò Õ Ò ¾º µ ÔÓÚÖÜ Ò ÓÑ n ÓÖ Ü Ö Ð ¾º µ Ó ÃÓÜ Ú Ò Õ Ò ¾º½¼µ p n = p x n x + p y n y + p z n z Ó ÔÖ Ø Ú Ó ÒÓÚÒÙ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÙ Ò Õ ÒÙ Þ Ò Ð ÞÙ Ø Ò ÔÓÒ Ù Ñ Ò Ò ÔÖ Ò Ö Ò º ÇÒ Ú Þ ÐÓ Ó Ú ØÓÖ nº Ð Ø Ò ÔÓÒ Ù ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ Ø Õ Å ÐÙ ÔÓØÔÙÒÓ Ó Ö Æ ÒÓ Ú ØÓÖ Ñ Ò ÔÓÒ p x p y p z Ø º Ó ÞÒ Ø Ò ÔÓÒ Ù ØÖ Ö ÚÒ Ó Ó Ö ÆÙ Ù ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÙ Ø Õ Ù ÓÒ ÓÒÓ ÞÒ ÐÓ Ó Ù Õ ØÚÖØÙ Ö Ú Ò Ó Ö Æ ÒÙ n Ó ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ ØÙ Ø Õ Ùº ÈÓÞÒ ØÓ Ú ØÓÖ Ò Õ Ò ¾º½¼µ ÑÓ Ò Ô Ø Ù Ö ÞÐ Õ Ø Ñ Ð ÖÒ Ñ Ñ ØÖ ÕÒ Ñ Ó Ð Ñ º Æ ÔÖ Ñ Ö Ó ÞÖ Þ Þ p x к ¾º¾µ ¾º µ

23 ½ p x }{{} Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ Þ ÔÓÚÖÜ Õ ÒÓÖÑ Ð Ô Ö Ð ÐÒ Ó x = p xx i }{{} + p xy j +p xz k }{{} ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Ñ Ò Ø Ò Ò ÐÒ µ Ò ÔÓÒ ¾º½½µ Ò ÐÓ Ò ÞÖ Þ Þ p y p z ÙÚÖ Ø Ù Ò Õ ÒÙ ¾º½¼µ Ó Ø Ñ Ð ÖÒ Ò Õ Ò p nx = p xx n x +p yx n y +p zx n z p ny = p xy n x +p yy n y +p zy n z ¾º½¾µ p nz = p xz n x +p yz n y +p zz n z Ó ÑÓ Ò Ô Ü Ù ÙÓ Õ ÒÓÑ ÓÑÔ ØÒÓÑ Ó Ð Ù p nm = k p km n k = p km n k, m,k = x,y,z. ËÙÑ Ö ÔÓ k ¾º½ µ Æ ÈÇÅ Æ ½ ÍÚÓÆ Ñ Ò Ò ÒÓØ ÔÖ Ú Ð Ó ÙÑ Ö Ù ÔÓ ÔÓÒÓÚ Ò Ñ Ò¹ Ù Ò Õ Ò ¾º½¼µ Ó Ó Ð p n = p 1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 = p i n i, i = 1,2,3. ¾º½ µ ÈÖ Ñ ØÓÑ p n ÔÖ Ø Ú Ð Ò ÖÒÙ ÙÒ Ù ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ú ØÓÖ n Ô Ú p nj = p ij n i, p ij = p ij ( r, t). ¾º½ µ Å ØÖ Ó Ò Ø p ij ÓÖÑ Ö ÓÕ Ð ÒÓ Ø ÒÞÓÖ Ó Ò Þ Ú Ø ÒÞÓÖÓÑ Ò ÔÓÒ Ù ÓÚÓÑ ÙÖ Ù ÓÞÒ Õ Ø Pº Ì Ò ÒÓÑ Þ Ô Ù ¾º½ µ Ó Ø ÑÙ Ò Õ Ò ¾º½¾µ Ù Ñ ØÖ ÕÒÓÑ Ó Ð Ù p n = P n, ¾º½ µ Ù ÓÑ P = p ij = P = p xx p yx p zx p xy p yy p zy p xz p yz p zz. ¾º½ µ ËÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ p ij Ñ ÒÙ Þ Õ Ù ÒØ ÖÔÖ Ø Ù Ö ÔÖ Ø Ú ÓÑÔÓÒ ÒØÙ Ò ÔÓÒ Ó ÐÙ Ò ÔÓÚÖÜ Õ ÔÓ Ü ÒÓÖÑ Ð Ô Ö Ð ÐÒ Ó i Ù Ñ Ö Ò Ù j ÔÖ ÚÙº ÈÓ Ò ÕÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÔÓÒ p ij Ñ ØÖ ¾º½ µ Ð ÒÓ ÞÖ Þ Ñ ¾º½¼µ¹ ¾º½ µ Þ Ú Ó Þ ÓÖ ÓÓÖ Ò ØÒÓ Ø Ñ Ñ ÆÙØ Ñ Ø ÒÞÓÖ P Þ Õ Ú Ð Õ Ò Ó ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö ÆÙ Ø Ò ÔÓÒ Ù Ø Õ ÐÙ P = P( r,t) Ò Þ Ú Ó Þ ÓÖ ÓÓÖ Ò ØÒÓ Ø Ñ Ø º ÒÚ Ö ÒØ Ò Ù Ó ÒÓ Ù Ò º Æ ÈÇÅ Æ ¾ Í Ð Ø Ö ØÙÖ Õ ØÓ ÔÓÖ ÓÚ ÓÞÒ p ij ÓÖ Ø ÓÞÒ σ kk Þ ÒÓÖ¹ Ñ ÐÒ Ò ÔÓÒ τ ij i jµ Þ Ñ Ò Ò ÔÓÒ º Ë Ó ÒÓ ÓÚÓÑ ÙÚÓ Ð Ú Ú Ð ÒØÒ

24 ½ ÓÞÒ Õ Ú ÆÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ ËÑ Ò Ò ÔÓÒ p xx = σ xx = σ 11 p xy = τ xy = τ 12 p yy = σ yy = σ 22 p xz = τ xz = τ 13 ¾º½ µ p zz = σ zz = σ 33 p yz = τ yz = τ 23 Å ØÖ ÕÒ Þ Ô Ò Õ Ò Ø Ñ Ñ Ó Ð p nx p ny = σ xx τ yx τ zx τ xy σ yy τ zy n x n y. ¾º½ µ p nz τ xz τ yz σ zz n z ¾º¾º½ Ç ÒÓÚÒ ÚÓ ØÚ Ò ÔÓÒ I Ë Ñ ØÖ ÕÒÓ Ø τ ij = τ ji τ xy = τ yx, τ xz = τ zx, τ yz = τ zy ¾º¾¼µ Ì ÒÞÓÖ Ò ÔÓÒ Ñ ØÖ Õ Òº Ó Þ ÞÚÓ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ò Õ Ò Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ó¹ Ð Õ Ò Ö Ø º II ÈÖÚ ÒÚ Ö ÒØ Ø ÒÞÓÖ Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ z σ x x +σ y y +σ z z = σ xx +σ yy +σ zz. ¾º¾½µ z x x ¼ y y Í Ò ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕ Ù ÔÓÚÖÜ Ò Ð ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ¹ ÔÓÒ Ù ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ Ø Õ Å ÐÙ Ñ Ù ÔÖÓÑ ¹ ÒÓÑ ÓÖ ÒØ ÔÓÚÖÜ ÖÓØ ÓÓÖ Ò ØÒÓ Ø Ñ 0xyz 0x y z µ Ù ØÓ Ø Õ Ò ÔÖ Ñ Ö σ xx σ x x µº Å ¹ ÆÙØ Ñ Þ Ö ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Ò ØÖ Ñ ÆÙ Ó ÒÓ ÓÖØÓ Ó¹ Ò ÐÒ Ö ÚÒ Ù ÒÓ Ø Õ ÔÖ Ø Ú ÒÚ Ö ÒØÙº ¹ Ð Þ Ö Ð Ñ Ò Ø Ò Ð ÚÒÓ ÓÒ Ð Ø ÒÞÓÖ Ò ÔÓÒ P Ð ÖÒ Ú Ð Õ Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÓÖ ÒØ ¹ Ù ÓÓÖ Ò Ø º ÁÞÖ Þ ¾º¾½µ Ð ÒÓ Ö Ð Ñ ¾º½ µ Ð σ 11 +σ 22 +σ 33 = σ 1 1 +σ 2 2 +σ 3 3 ¾º¾¾µ III ËÚÓ ØÚÓ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Þ ÐÙÕ Ò ÐÙ Ù Ñ ÕÙ Ø º Ø Ò Ò¹ ÐÒ Ò ÔÓÒ

25 ½ Æ ÔÓ ØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÒ Ð ÒÓ ÞÖ Þ Ñ ¾º µ ¾º½ µ ¾º½ µ Ò ÒÓ Ö Ð ÓÑ p nt = 0 τ ij = 0, i j τ xy = τ xz = τ yz = 0. ¾º¾ µ ËØ Ò ÔÓÒ Ó Ö Æ ÒÓ ÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ò ÔÓÒ Ñ p n = p nn n σ nn n, p x = σ xx i,..., p z = σ zz k. ¾º¾ µ ¾º¾º¾ ÍÚÖÜØ Ú Ñ Ö Ð ¾º¾ µ Ù ÃÓÜ ÚÙ Ò Õ ÒÙ ¾º½¼µ Ó σ nn (n x i+n y j +n z k) = σxx n x i+σ yy n y j +σ zz n z k Ó Ð Þ Ò Õ Ú Ñ Ú Ð Õ Ò ÙÞ Ø Ò ÕÒ Ú ØÓÖ Ð Ú Ò ØÖ Ò Ò Õ Ò Ð È ÐÓÚ Þ ÓÒ σ nn = σ xx = σ yy = σ zz σ 1 1 = σ 11,.... ¾º¾ µ Ð Ó Ù Ñ Ò Ò ÔÓÒ Ò ÒÙÐ ÓÒ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Ù ØÓ Ø Õ Ò Þ Ú Ó ÓÖ ÒØ ÔÓÚÖÜ Ø º ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ ÒÓ Ø Õ Ø Þ Ú ÔÖ Ú º ÈÖ Ø Ò ÔÓÒ Ù Ð Ú ÓÞÒÓ Ø Ë Ó ÒÓ ÔÓØ Þ Ó Ð Ó ÔÓ Ö Ø ÚÓ Ø Ú Ð Ó ÓÖÑ ÐÒÓ Ø ÐÙ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Ù ¾º¾ µ Ò ÑÓ Ù Ø Ò ÔÓÒ Ø Þ Ö ÐÙ ØÖÔ ÑÓ ÔÖ Ø º Ð ÔÖ Ø p ÔÖ τ ij = 0 Ú Ö Ð ¾º¾ µ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ ÙÞ Ø ÙÔÖÓØÒ Ñ ÞÒ ÓÑ τ ij = 0 p = σ nn = σ xx = σ yy = σ zz. ¾º¾ µ Ð ÔÖ Ø Ð ÖÒ Ú Ð Õ Ò º ÇÒ Ò Þ Ú Ó ÓÖ ÒØ ÔÓÚÖÜ Ø º Ø Ù Ú Ñ ÔÖ Ú Ñ Ó ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ Ò Ù Ø Õ Ù È ÐÓÚ Þ ÓÒµº ÆÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Ø º Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ Ù ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù Ð ÒÓ ÞÖ Þ Ñ ¾º¾ µ ¾º¾ µ ÞÖ ÕÙÒ Ú Ù ÔÓÑÓ Ù ÔÖ Ø τ ij = 0 p n = p n, p x = p i, p y = p j, p z = p k ¾º¾ µ Ò ÔÓ ÞÙ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÓÒ ÙÚ Ù Ñ Ö Ò ÙÔÖÓØÒÓ ÔÓ Ü Ó ÒÓÖÑ Ð ÔÓÚÖÜ Ú Ó Ò ÔÓÒ ÔÖ Ø º Ã Ó Ò Ü ÔÖ Ø τ ij 0 Æ Ø ØÚÓ Ñ Ò Ò ÔÓÒ τ ij Þ ÞÚ ÒÓ ØÓÚÖ Ñ Ò Ñ ÙØ Ñ Ö Ø Ø º ØÖÙ ÐÙ U 0µ ÓÚÓÑ Ú ÓÞÒÓÜ Ù η 0µº Î ÓÞÒÓ Ø ÓÚÓ Ó ÔÓ Ú Ò ÑÓ Ø Ò Ò ÐÒ Ø º Ñ Ò Ò ÔÓÒ τ ij Ú Ó ÔÖÓÑ Ò ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÐÙÕ Ò Ú ÓÞÒÓ ÐÙ η = 0µº Ë Ó ÒÓ ØÓÑ ÙÚÓ ÔÓØ Þ Þ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ σ xx = p+σ η xx, σ yy = p+σ η yy, σ zz = p+σ η zz, ¾º¾ µ

26 ¾¼ ÔÖ Õ ÑÙ ÓÖ Ò η ÓÞÒ Õ Ú Ö Ó ÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ò ÔÓÒ Ñ Ù Ð Ú ÓÞÒÓ¹ Ø Ø º ÒÓÖÑ ÐÒ Ú ÓÞÒ Ñ Ò ÔÓÒ Ñ º Î Ð Õ Ò τ ij i,j = 1,2,3 Ù Ñ Ò Ò ÔÓÒ Ó Ù Ö ØÒ ÔÓ Ð Ú ÓÞÒÓ Ø ÐÙ º Í ÓÚ ÚÓÑ ÔÓ Ù Ò ÔÓÒ Ð ÒÓ ÞÖ Þ Ù ¾º¾½µ Þ Ö ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ñ ÚÓ ØÚÓ ÔÖ Ø º ÍÓÔÜØ Ú Ñ ÓÚÓ ÔÓ Ñ ÔÖ Ø ÞÖ Ú Ð ÓÑ ÔÓØ ÞÓÑ ÔÖ Ø Ò Ø ÚÒ Ö Ö Ø¹ Ñ Ø Õ ÚÖ ÒÓ Ø ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ º Ð ÔÖ Ø Ù Ú ÓÞÒÓÑ ÐÙ Ù Ò Ü ÔÖÚÓÑ ÒÚ Ö ÒØÓÑ Ø ÒÞÓÖ Ò ÔÓÒ Ù Ó Ð Ù p = 1 3 (σ xx +σ yy +σ zz ). ¾º¾ µ Ë Ð ÖÒÓ ÔÓ ÔÖ Ø Ù Ú ÓÞÒÓÑ ÐÙ Ù Ø º ÖÓ Ò Ñ Õ ÔÖ Ø Ù Ò Ó Ø Õ ÐÙ Ó Ö ÆÙ ÔÓÑÓ Ù Ù ÙÔÒ ÒÓÖÑ ÐÒ Ò ÔÓÒ º ¾º¾º Æ ÔÓÒ ÑÓ Ð Ù Ø Ø Ò Ñ Ò Ú ÓÞÒÓ Ú ÓÞÒÓ ÐÙ ËØ Ø ÐÙ U = 0 ÅÓ Ð Ò ÔÓÒ p nt = 0 τ ij = 0 p nn = σ nn = σ xx = σ yy = σ zz = p p n = p n p x = p i p y = p j p z = p k Ò Ñ Ò Ú ÓÞÒÓ ÐÙ U 0, η = 0 p ij = pδ ij P = pe P = p ij = p p p E = δ ij = { 1, i = j 0, i j Ò Ñ Ú ÓÞÒÓ ÐÙ U 0, η 0 p = 1 3 (σ xx +σ yy +σ zz ) ÅÓ Ð Ò ÔÓÒ p n = p n+ p η n p ij = pδ ij +p η ij P = pe +T p η n ¹ Ú ØÓÖ Ú ÓÞÒ Ò ÔÓÒ Ú ØÓÖ Ò ÔÓÒ ØÖ µ T ¹ Ø ÒÞÓÖ Ú ÓÞÒ Ò ÔÓÒ T = p η n = T n, σ η xx τ η yx τ η xy σ η yy τ η xz p n = P n τ η zx τ η zy τ η yz σ η zz.

27 ¾½ ¾º¾º Ê ÞÙÐØÙ Ù Ú ØÓÖ ÔÓÚÖÜ Ò Ð ËØ Ø ÐÙ U = 0 Ò Ñ Ò Ú ÓÞÒÓ ÐÙ U 0, η = 0 R n = [ ] Ù ¹ p n d = p nd = Ç ØÖÓ Ö = graddv P Ð ÔÖ Ø µ V Ì ÓÖ Ñ Ù ¹Ç ØÖÓ Ö Ó n x (...)d = V x (...)dv Ò Ñ Ú ÓÞÒÓ ÐÙ U 0, η 0 R n = p n d = [ ] Ù ¹ = = Ç ØÖÓ Ö ( p x n x + p y n y + p z n z )d V ( px x + p y y + p ) z dv z Æ ÈÇÅ Æ Æ ÔÓÒ ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ù ÔÖÓ ÞÚÓ Ò Ñ ÔÖ Ú Ñ ËØ Ò ÔÓÒ ÑÓ ÓÔ Ü ÔÓÑÓ Ù ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ó Ð p ij = dr j d i i,j=x,y,z = p xz τ xz = dr z d x. i j y τ xy x σ xx d i z τ xz p ij ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÔÓÒ Ó ÐÙ Ò i¹ôóúöü d i µ Ù j¹ôö ÚÙ Ê ÞÙÐØÙ Ù ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ù j¹ôö ÚÙ Ø ÞÖ ÞÓÑ R j = p ij n i d = V Ù ¹Ç ØÖÓ Ö p ij x i dv. Ð Þ ÞÖ ÕÙÒ Ú ØÚ ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ò Ñ Ù ÐÙ Ù Þ ÔÖ Ñ Ò V Ó Ö ¹ Ò Õ ÒÓ ÔÓÚÖÜ ÓÚÓ ÒÓ ÔÓÞÒ Ú Ø ÔÓ Ò ÔÓÒ ÑÓ Ò Ö Ò ÕÒÓ ÔÓÚÖÜ Ò ÙÒÙØ Ö Þ ÔÖ Ñ Ò V º

28 Å ÖÓÚ ÐÙ º½ ËØ Ò ÔÓÒ º ËØ Ø Õ ÔÖ Ø ÁÞ ÔÓ Ð Ú ½º¾ ¾º¾º Ð Í ÐÙ Ù Ó Ñ ÖÙ Ò ÔÓ ØÓ ØÖ º p n = p n, p ξ = p i ξ, ξ = x,y,z. º½µ ÈÖ Ø p ÔÖ Ñ ÖÓÚ Ù ÐÙ ÓÞÒ Õ Ú Ó Ø Ø Õ ÔÖ Ø º ÈÓ Ø º Ø Ò ÔÓÒ Ò ÒÓ Ð ÖÒ Ñ ÔÓ Ñ ÔÖ Ø p = p( r)º ÈÖ Ø Ð Ö Ì Ó Ø Ò ÔÓÒ Ù Ø Ø Ð ÒÓ Ð ¾º ÑÓ ÔÖ Þ Ø Ð ÓÑ º½º z p x p x = ( p i) = p i p y p y = p j M p n n y x p z p z = p k ËÐ º½º ÈÓÚÖÜ Ò Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÐÙ Ò Ð Ó Ð Ø ØÖ Ö Ù ÐÙÕ Ù Ø Ø ÐÙ º p n = p nn n = p n, p x = p i, p y = p j, p z = p k Í ÐÙ Ù Ó Ñ ÖÙ Ò ÔÓ ØÓ ÒÓÖÑ ÐÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÔÓÒ Ò Þ Ú Ó ÓÖ ¹ ÒØ ÔÓÚÖÜ Ù Ú Ó Ø Õ ØÓ ÐÙ p nn = p xx = p yy = p zz = p

29 ¾ º½º½ ÈÓ Ñ Ô ÓÐÙØÒÓ ÔÖ Ø ÔÓØÔÖ Ø Ò ØÔÖ Ø Ã Ó ÜØÓ Ö Õ ÒÓ Ù ÙÚÓ Ù ÔÖ Ñ ÖÓÚ Ù ÐÙ Ò ÔÓÒ Ó Ø Ù ÐÙ Ù ÚÓ Ò ÔÖ Ø º Ç ÒÓÚÒ Ò Ù SI Ø ÑÙ Þ ÔÖ Ø Ô Ð ¹ [Pa]º ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ Ò Þ ÔÖ Ø Ó Õ ØÓ ÓÖ Ø Ù Ñ Ò ÐÙ bar ¹ 1bar = Pa 10 5 Paº p (p m ) ØÑÓ Ö ÔÖ Ø p Î (p v ) B p a p B Ô ÓÐÙØÒ ÒÙÐ ÔÖ Ø Ú ÙÙѵ ËÐ º¾º Ê ÞÒ Ò Õ Ò ÔÖ Ø Ú ÔÖ Ø Ò Ü ÑÓ ÔÓ ÑÓÚ Ú Þ Ò Þ ÔÖ Ø Ó ÑÓ Õ ØÓ Ö Ø Ø º ÌÓ Ù ØÑÓ Ö ÔÖ Ø ¹ ÔÖ Ø Ú ÔÖ Ø Ó ÓÐÒÓ Ú Þ Ù ÓÒ ÙÒ ÚÖ Ñ Ò Ù ÐÓÚ Ò ÑÓÖ Ú Ò º ÇÞÒ Õ Ú p a Ð p b º Í Ò Ü Ñ ÔÖÓÖ ¹ ÙÒ Ñ Ò Õ Ü ÙÞ Ñ Ø p a = const Ø ÚÖ ÒÓ Ø ÞÒÓ ÔÖ Ð ÒÓ p a 1bar Ø ÕÒ p a = Paº ÇÚ ÚÖ ÒÓ Ø ÔÖ Ø Ú ØÞÚº Ø Ò Ö ÒÙ ØÑÓ¹ ÖÙº Ô ÓÐÙØÒ ÔÖ Ø ¹ Ô ÓÐÙØÒ ÔÖ Ø Ñ Ö Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ô ÓÐÙØÒÙ ÒÙÐÙ ÔÖ Ø Ú Ð Ù Ð Ù º¾µ ÓÒ Ù ÐÙ Ù ÑÓ Ø Ñ Ò Ð Ú Ó ØÑÓ Ö Ó º ÇÞÒ Õ Ú pº Æ ØÔÖ Ø ¹ Ó Ù Ò Ó Ø Õ ÐÙ Ù ÔÖ Ø Ú Ó ØÑÓ Ö Ó ÓÒ Ù ØÓ Ø Õ ÑÓ Ò Ø Ò ØÔÖ Ø Ó ÔÖ ØÚ Ö ÞÐ Ù Ô ÓÐÙØÒÓ ÔÖ Ø Ù ØÓ Ø Õ ØÑÓ Ö Ó ÔÖ Ø º ÇÞÒ Õ Ú p m º ÈÓØÔÖ Ø ¹ Ó Ù Ò Ó Ø Õ Ù ÐÙ Ù ÔÖ Ø Ñ Ó ØÑÓ Ö Ó ÓÒ Ù ØÓ Ø Õ ÑÓ Ò Ø ÔÓØÔÖ Ø Ó ÔÖ Ø Ú Ö ÞÐ Ù ØÑÓ Ö Ó ÔÖ Ø Ô ÓÐÙØÒÓ ÔÖ Ø Ù ØÓ Ø Õ º ÇÞÒ Õ Ú p v º p = p a +(p m ) p B = p a (p v ) B Ô ÓÐÙØÒ ÔÖ Ø Ù Ø Õ Ô ÓÐÙØÒ ÔÖ Ø Ù Ø Õ Î (p m ) Ò ØÔÖ Ø Ù Ø Õ (p v ) B ÔÓØÔÖ Ø Ù Ø Õ Î

30 ¾ º¾ Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò ÈÓ Ñ ØÖ ÔÖÓ ÞÚÓ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò ÐÙ V Ó Ò Ð Þ Ù Ø Ù Ñ ÖÓÚ Ðº º µº m d n dr n = dp = p nd f ρ dv V ËÐ º º ÁÞ ÚÓ Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ò ÓÐ Õ Ò ÐÙ Ñ m Þ ÔÖ Ñ Ò V Ó Ò Ð Þ Ù Ø Ù Ñ ÖÓÚ º ÁÞ ÔÓ Ð Ú ¾º¾º ÞÖ Þ º½µ Ð ÞÖ Þ Þ Ö ÞÙÐØÙ Ù Ù ÔÓÚÖÜ Ò Ù ÐÙ R n = p n d = p nd = pdv = P V º¾µ Ó Ù ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù ÚÓ Ò ÐÙ ÔÖ Ø Pº Í ÞÖ ÞÙ º¾µ ÓÖ Ü Ò ÓÖÑÙÐ Ù ¹Ç ØÖÓ Ö Ó p nd = V gradp dv. º µ ÈÖ Ñ ÒÓÑ ÔÖÚÓ ÙØÒÓÚÓ Þ ÓÒ Ò Þ ÚÓ ÒÙ Ñ Ù ÐÙ Ù Þ ÔÖ Ñ Ò V Ó Ö Ò Õ ÒÓ ÔÓÚÖÜ Ó F i = 0 R m + R n = 0 i V V ( ρf ) p dv = 0. ρf dv + gradp dv = 0, V Â Ò Õ Ò º µ ÔÖ Ø Ú ÒØ Ö ÐÒ Ó Ð Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò Ø Ø º Ã Ó Þ ÔÖ ¹ Ñ Ò V ÔÓØÔÙÒÓ ÔÖÓ ÞÚÓ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÒÙÐ ÓÒ ÔÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÓÑ ÔÓ ÒØ Ö ÐÒ ÙÒ Ò ÔÖ Ò ÑÓÖ ÒØ Ö Ò Ø Ò ÒÙÐ Ó Ð º µ gradp = ρ f. º µ Â Ò Õ Ò º µ ÔÖ Ø Ú Ö Ò ÐÒ Ó Ð Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò º Æ ÔÓÑ Ò ½ Ç Ó Ð Ù ÔÓÚÖÜ p = const ÁÞ Ú ØÓÖ Ò Õ Ò º µ Ð Ð ÖÒÓ ÔÓ ÔÖ Ø Ø Ó ÓÖÑ Ö ÔÓÚÖÜ ÓÒ Ø ÒØÒÓ ÔÖ Ø ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ µ p = const Ù Ú Ó ÚÓ Ó Ø Õ Þ ÒÓÖÑ ÐÙ Ñ Ù Þ ØÓ ÔÓ Ñ Ò Ð f( r) Î ØÓÖ p f Ù Ñ ÆÙ Ó ÒÓ ÓÐ Ò ÖÒ Ú ØÓÖ º

31 ¾ p f p = const à ٠ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ö ÚÒ Ö Ú ÌÓ Þ Ú Ó Ö Ø Ö ÔÖ ÖÓ µ Ñ Ò Ð fº ÇÕ Ð ÒÓ Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Ð f ÓÑÓ ÒÓ f f( r) f = constµ ÔÓÚÖÜ p = const ÑÓÖ Ù Ø Ö ÚÒ ÔÓÚÖÜ ÐÙÕ Ò ¹ ÓÑÓ ÒÓ ÔÓ Ñ Ò Ð f ÔÓÚÖÜ ÓÒ Ø ÒØÒÓ ÔÖ ¹ Ø ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ú ÔÖ Ø Ò ÔÓÚÖÜ µ Ù Ö Ú ÔÓÚÖÜ º Ç Ö Æ Ú ÔÓ ÔÖ Ø Ù Ò Ø Ü ÚÓÑ Ø Ü ÚÓÑ ÐÙ Ù ÈÓ ÔÖ Ø p( r) Ó Ö ÆÙ Þ Ò Õ Ò º µ Þ Þ ØÓ Ð ÖÒÓ ÔÓ Ù Ø Ò ρ( r) Þ ØÓ Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Ñ Ò Ð f( r)º ρ = const ρ ρ = ρ(p) f ØÓ (Ò Ø Ü Ú ÐÙ ) ( ÖÓØÖÓÔ Ò ÐÙ ) ρ = ρ(p,t) ( ÖÓ Ð Ò ÐÙ ) { f = const ÓÑÓ ÒÓ ÔÓ µ f = f( r) (Ò ÓÑÓ ÒÓ ÔÓ ) Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò ÌÖ p( r) = p(x,y,z) Ó ½µ p(m) ÔÖ Ø Ù ÐÓ Ó Ó Ø Õ Å Ù ÐÙ Ù ¹ ÔÓ ÔÖ Ø µ ¾µ p = const Ò Õ Ò ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ µ µ P = p nd Ð ÔÖ Ø µ Æ ÔÓÑ Ò ¾ Ë Ð ÖÒ Ó Ð Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò Í Ù Ó Ö Æ Ú ÔÓ ÔÖ Ø ÔÓØÖ ÒÓ Ç Ð ÖÓÚÙ Ú ØÓÖ Ù Ò Õ ÒÙ Ò Ô Ø Ù Ò Ñ Ð ÖÒ Ñ Ó Ð Ñ Ó Ð p x = ρf x, p y = ρf y p z = ρf z, f = f x i+f y j +f z k, dr = dx i+dy j +dz k p = ρf/ dr ( ) dp = ρ f dr dp = ρ(f x dx+f y dy +f z dz) º µ

32 ¾ Æ ÔÓÑ Ò ËÔ ÐÒ ÐÙÕ Ú Ñ Ò Ð Ú Ò Þ Ñ Ò Ù ÐÙ ½º ÀÓÑÓ ÒÓ ÔÓ Ð Ë Ð Ñ Ò Ø f = g = {0,0, g} ÁÒ Ö ÐÒ Ð ÔÖ ØÖ Ò Ð ØÓÖÒÓÑ ÔÖ ÚÓÐ Ò ÓÑ Ö Ø Ù ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ù Ö¹ Þ Ñ a fin = a ¾º Æ ÓÑÓ ÒÓ ÔÓ Ð ÒØÖ Ù ÐÒ Ð ÔÖ ÖÓØ ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ Ù ÓÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ω Ó Ó Ú ÖØ ÐÒ Ó z f = ω 2 r = ω 2 x i+ω 2 y j = { ω 2 x, ω 2 y,0 } º º½ ËØÖÓ Ó ÙÞ ÚÜ ÓÚ ÐÙÕ Ò ÔÖ Ô Ó Ð Ø Ø Ø ÐÙ º Å ÆÙØ Ñ Ù Ø ÑÙ ÔÓ Ø Ò ÖÓØ ÐÙ Ó ÖÙØÓ Ø Ð ÓÒ ÑÓ Ù ÔÖ Ñ Ò Ø Ò Ð Þ ¹ Ö Ò Ò Õ Ò º ÈÓ ÔÖ Ø Ò Õ Ò ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ù ÐÙÕ Ù Ñ ÖÓÚ Ò Ø Ü ÚÓ ÓÑÓ ÒÓ ÐÙ º ÈÓ Ñ ØÖ Ñ ÖÓÚ Ò Ø Ü ÚÓ ÓÑÓ ÒÓ ÐÙ ¹ ρ = const Ù ÐÙÕ Ù ÓÒ Ò Ð Þ Ù ÓÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÑÓ ÒÓÑ ÔÓ Ù Ñ Ò Ð º Å ÖÓÚ Ù ÔÓ Ù Ð Ñ Ò Ø Ã ÐÙ Ñ ÖÙ Ù ÔÓ Ù Þ Ñ Ò Ø Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Þ ÔÖ Ñ Ò Ð ÓÒ¹ Ø ÒØÒÓ Ø º f = g k Ð f = g k Ù Þ Ú ÒÓ Ø Ó ØÓ Ó Ù Ñ Ö Ò Ó z Ò Ú Ü Ð Ò Ò µº ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ù Ó Ò ÔÙ Ò Ø ÕÒÓÜ Ù Ó Ñ ÖÙ Ð º µº ÈÓÞ Ø Ú Ò Ñ Ö z Ó Ú ÖØ ÐÒÓ Ò Ò Ø Ó f = g kº ÓÚ Ó Ù ÚÓ Ò ÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ ÔÖÓ Ú ØÓÖ f Ò Ó ÓÓÖ Ò ØÒÓ Ø Ñ x,y,z Ù f x = f y = 0 f z = gº Ó ØÓ Þ Ñ Ò Ù Ò Õ ÒÙ º µ Ó ˆ p = p(x,y,z) = ρ(gdz)+c p = p a g H ρ z 0 x p = p a +ρgh ËÐ º º Ê ÔÓ Ð ÔÖ Ø ÔÖ Ñ ÖÓÚ Ù Ò Ø Ü ÚÓ ÐÙ Ù ÔÓ Ù Ð Ñ Ò Ø

33 ¾ Ã Ó Ö Ó Ñ ÖÓÚ Ù Ò Ø Ü ÚÓ ÐÙ Ø º Ó ρ = const. Ó p = ρgz +C º µ ÃÓÒ Ø ÒØ C Ó Ö ÆÙ Þ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ º ÓÒ Ö Ø Ò ÔÖ Ñ Ö Ð ½º Þ x = z = 0 p = p a p a ØÑÓ Ö ÔÖ Ø º Ì Ó ÓÒ ÕÒÓ Ó Ö ÔÓ Ð ÔÖ Ø p = p a +ρgz º µ ÁÞ Ò Õ Ò º µ Þ ÙÕÙ ÑÓ Ù ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ó Ö Æ Ò Ò Õ ÒÓÑ z = const ÓÒ ÔÖ Ø Ú Ù ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ Ö ÚÒ º Ì ÓÆ Ø ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ú ØÓÖ g Ù ÒÓÖ¹ Ñ ÐÒ ÜØÓ ÑÓ Ö Ò Þ ÙÕ Ð Ú ØÓÖ g ÔÓ ÞÙ Ñ Ö Ò Ú ÔÓÖ Ø ÔÖ Ø ¹ Ú ÖØ ÐÒÓ Ò Ò º ÁÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ò Ó Ó p = p a Ò Þ Ú ÐÓ Ó Ò ÔÓÚÖÜ ÓÞÒ Õ Ú ÑÓ Ó ÖÒÙØ Ñ ØÖÓ٠РѺ Ó Ø ÕÒÓ Ø Ò Ð Þ Ù Ò ÓÑ Þ ØÚÓÖ ÒÓÑ Ù Ù Ó ÞÒ Ò Ð Þ Ò Ù ÓÑ ÚÐ Ò ØÔÖ Ø p m ÔÖ Ñ Ö ¹ Ó Ò Ó Þ Ö ÒÓ Ô µ Ö ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ø ÚÖÐÓ Ð ÕÒ Ò Õ Ò º µ Ö ÞÐ ÓÚ ÑÓ ÓÒ Ø ÒØÒ Cº Í ØÓÑ ÐÙÕ Ù ÓÒ Ø C = p a +p m º Ë ÖÙ ØÖ Ò Ó ÞÒ Ò ÚÓ Ø ÕÒÓ Ø Ù ÓÑ ÚÐ ÔÓØÔÖ Ø p v ÚÖ ÒÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ C Ø C = p a p v º Å ÖÓÚ Ù ÔÓ Ù Ò Ö ÐÒ Ð Ð Ñ Ò Ø ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ö Þ ÖÚÓ Ö Ó Ö ÔÓ ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒÓ ÔÓ ÐÓÞ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ù ÖÞ Ñ aº Í Ø Ù Ô ÓÐÙØÒÓ Ñ ÖÓÚ Ù Ó Ò ÔÙ Ò Ó Ú Ò Hº ÁÞ Ù ØÚ ÞÒ ÑÓ Ø ÕÒÓ Ø Þ ÙÞ Ø ÔÓÐÓ ÔÖ Þ Ò Ò Ð º º Ó Ò ÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ Ú ÑÓ Þ Ù Ù ØÓÑ ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ Ø ÑÙ Ò ÑÓ Ñ Ø Ö Ø Ø ÕÒÓ Ø ¹ Ù ØÓÑ ÓÓÖ Ò ÒØÓÑ Ø ÑÙ Ú Ø Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò º Í ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù Ñ Ò Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÐÙ Ù g Ò Ö ÐÒ Ð a in º ÁÒ Ö¹ ÐÒ Ð ØÓ ÒØ ÒÞ Ø Ø ÙÔÖÓØÒÓ Ñ Ö Ó Ñ Ö Ù ÖÞ Ó Ñ Ö Ù a in = aº Í ÙÔÒ Þ ÔÖ Ñ Ò Ð Ó ÐÙ Ò ÐÙ f = g + a in = g a º µ ÁÞ Ö Ò ÐÒÓ Ó Ð Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò ρ f = gradp Þ ÙÕÙ Ù Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ú ØÓÖ f ÓÐ Ò ÖÒ Ø º Ú ØÓÖ f ÙÔÖ Ú Ò Ò ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ó Ù Ò ÒÙØ ÔÓ Ù ÐÓÑ α Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÓÖ ÞÓÒØ ÐÙº Í Ó α ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ò Ò ÒØÞ Ø ØÙ Ù ÖÞ aº ÃÓÖ Ø Ò Õ ÒÙ º µ Ñ Ù Ù Ú Ù Ù ÔÖÓ Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Þ ÔÖ ¹ Ñ Ò Ð Ò Ó Ù ÚÓ ÒÓ ÓÓÖ Ò ÒØÓ Ø Ñ f x = a, f y = 0 f z = g,

34 ¾ z y α a p = const O a in α g f x H ËÐ º º Ê Ð Ø ÚÒÓ Ñ ÖÓÚ ÐÙ ÔÖ ØÖ Ò Ð º ÔÓ ÔÖ Ø Ó Ö Æ ÒÓ ÞÖ ÞÓÑ ˆ dp = ρ(adx gdz) = p = ρ(ax gz)+c ÃÓÒ Ø ÒØ C Ó Ö ÆÙ Þ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ Ó Þ ÓÒ Ö Ø Ò ÔÖ Ñ Ö Ù ÚÓ Ò ÓÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ x = 0, z = 0 : p = p a = C = p a ÃÓÒ ÕÒÓ ÔÓ ÔÖ Ø Ó Ö Æ ÒÓ ÞÖ ÞÓÑ p p a = ρ(ax gz) ÅÓ Þ ÙÕ Ø Ù ÞÓ Ö ÔÓÚÖÜ Ñ ÆÙ Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÒ ÔÖ Ú p = C, C = const. z = a g x+c Ó Þ Ð Ô Ù Ù Ó α = arctg a g ÔÓÞ Ø ÚÒ Ñ Ñ ÖÓÑ oseº Â Ò Õ ÒÙ ÐÓ Ó Ò ÔÓÚÖÜ Ó Ö ÆÙ ÑÓ Þ ÔÓ ÔÖ Ø Ù ÐÓÚ Ò ÐÓ Ó ÒÓ ÔÓÚÖÜ p = p a ¹ ÚÖ ÒÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ C Ù ØÓÑ ÐÙÕ Ù Ò ÒÙÐ Ø Ó Ò Õ Ò ÐÓ Ó Ò ÔÓÚÖÜ Ó Ö Æ Ò ÞÖ ÞÓÑ z = a g x. Å ÖÓÚ ÐÙ Ù ÔÓ Ù ÒØÖ Ù ÐÒ Ð ÈÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö ÕÒ Ù ÔÖ ÕÒ D Ó Ò ÔÙ Ò Ø ÕÒÓÜ Ù Ù Ø Ò ρ Ó Ú Ò Hº Æ Ù ÔÓÕÒ Ó ÖØ Ø ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ Ù ÓÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ω Ó Ó Ú ÖØ ÐÒ Ó Ò Ø Ó ÔÓ Ð Ô Ó ÓÑ Ù º Í Ð ØÚ Ú ÓÞÒÓ Ø Ð Ø ÕÒÓ Ø Ó Ò Ð Þ Ò Þ Ù Ù Ó ÖØ Ø Þ ÒÓ Ù ÓÑ Ø Ð Ù ØÓÑ Ö Ø Ù Ó ÓÑ ÔÓÚÐ Õ Ø Ó Ø Ð Ð ÓÚ Ù Ò Ò Ñ Ñ Ö Ù Ù Ú Ó Ó Ú º ÈÓ Ð ÞÚ ÒÓ ÚÖ Ñ Ò Ú Ø ÕÒÓ Ø Ù Ù Ù Ó ÖØ Ø Þ ÒÓ Ñ ¹ ÑÓ ÑÓ Ñ ØÖ Ø

35 ¾ Ø ÕÒÓ Ø Ó Ö Ó ÖÙØÓ Ø ÐÓº Í ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ Ø ÑÙ Ú Þ ÒÓÑ Þ Ù Ø ÕÒÓ Ø Ñ ÖÙ Ô Þ Ù Ú Ø Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò Ø Ø ÐÙ º ω = const z ÐÙ Ò Ð z f c r f c x r ¼ y H D ω = const ËÐ º º Ê Ð Ø ÚÒÓ Ñ ÖÓÚ ÔÖ ÖÓØ º ÃÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ 0xy Ø ÓÆ ÖÓØ Ö Ù ÓÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ω Ó Ó Ó zº ¼ r ÈÓÜØÓ Ø ÕÒÓ Ø ÖÓØ Ö ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ Ù ÓÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ Ò Ú ÐÙ Ò Ð Ó Ò Ð Þ Ò Ö ØÓ Ù r Ó Ó ÖÓØ ÐÙ ÒØÖ Ù ÐÒ Ð ÔÓ Ò Ñ µ Ù Ñ Ö Ò Ó ÖÓØ f c = f x i+f y j = ω 2 r = ω 2 (x i+y j) º½¼µ Ô Ù ÔÖÓ Þ ÔÖ Ñ Ò Ð Ó ÐÙ Ò ÐÙ Þ Ù ÚÓ Ò ÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ z Ó ÑÓÖ ÔÓ Ð Ô Ø Ó ÓÑ ÖÓØ Þ Ó Ò Õ Ò Ò ÒØÖ Ù ÐÒ Ð r Ó ÑÓ Ù ÚÓ Ø ÐÓ Ò Ó ÖÓØ µº f x = ω 2 x; f y = ω 2 y; f z = g º½½µ Ñ ÒÓÑ Ò Õ Ò º½½µ Ù Ò Õ ÒÙ º µ Ò Ñ ÒØ Ö Ñ Ó p = 1 2 ρω2 (x 2 +y 2 1 ) ρgz +C = }{{} 2 ρω2 r 2 ρgz +C º½¾µ r 2 ÃÓÓÖ Ò Ø r Ñ Ö Ó Ó Ù ÓÒ ÙÚ ÔÓÞ Ø ÚÒ ØÓ Ö Ù Ñ Ö Ò Ó Ó ÖÓØ µ ÃÓÒ Ø ÒØ C Ó Ö ÆÙ Þ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ º Ù ÚÓ Ò ÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ Ø Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ x = 0, z = 0 : p = p a = C = p a Ô ÓÒ ÕÒÓ ÔÓ ÔÖ Ø Ó Ö Æ ÒÓ ÞÖ ÞÓÑ p p a = 1 2 ρω2 r 2 ρgz º½ µ Ð ÔÓ ÔÖ Ø Ò Ð Ò ÖÒÓ ÔÓ ÓÓÖ Ò Ø r Ð Ò ÖÒÓ ÔÓ ÓÓÖ Ò Ø zº ÁÞÓ¹

36 ¼ Ö ÔÓÚÖÜ Ù Ó ÖØÒ Ô Ö ÓÐÓ z = ω2 2g r2 +C, C = const º½ µ Ò Õ Ò ÐÓ Ó Ò ÔÓÚÖÜ p = p a µ ÐÓ Ó Ò ÔÓÚÖÜ Ó Ö Æ Ò ÞÖ ÞÓÑ z = ω2 2g r2 º½ µ º º¾ Å ÖÓÚ Ø Ü ÚÓ ÐÙ Ù ÔÓ Ù Ð Ñ Ò Ø ÈÓ Ñ ØÖ Ñ ÖÓÚ Ø Ü ÚÓ ÐÙ Ù ÔÓ Ù Ð Ñ Ò Ø Ú Þ Ù Ù Ñ ¹ ÒÓ ØÑÓ Ö µº z Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò dp = ρgdz f = g k k ρ Â Ò Õ Ò Ø p = ρrt ÁÞ ÔÖ Ø Ó Ò Ú Ò Õ Ò ÓÚ Ñ Ñ ÆÙ Ó Ò Ñ ¹ Ñ ÓÐ Þ Ó Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò dp p = gdz RT(z) Õ Ö Ü Þ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ z = z 0 p = p 0 Ó Ö ÆÙ Þ ÞÖ Þ ( ˆ z ) gdz p = p 0 exp. z 0 RT(z) ÌÖ Ö Ø Ö Ø ÕÒ ÐÙÕ Þ Ú ÒÓ Ø T = T(z) ½º T = T 0 = const ¾º T(z) = T 0 γz º p/ρ κ = p/ρ κ 0 [ p = p 0 exp g ] (z z 0 ) RT 0 ( p = p 0 1 γz ) g γr T 0 [ z z 0 = κ ( ) κ ] p p κ 1 1 κ 1gρ 0 p 0 º½ µ º½ µ º½ µ ÈÓ Ñ Ø Ò Ö Ò ØÑÓ Ö Ñ Ò ØÑÓ Ö ÐÓ Ú Ø Ò ÜÙ Õ Ø Ö Ò ÐÓ ØÖÓÔÓ Ö ØÖ ¹ ØÓ Ö Ñ ÞÓ Ö ÓÒÓ Ö º Í ØÖÓÔÓ Ö Ó Ò Ó Ó 11km Ø ÑÔ Ö ØÙÖ

37 ÁÞÓØ ÖÑ Å À ÆÁà ÄÍÁ ½ Ð Ò ÖÒÓ ÓÔ Ú ÒÓÑ Ø º T(z) = T 0 γz, T 0 = 288K, γ = 6,5K/km Ô Ö ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ù ØÖÓÔÓ Ö Ò Ò ÞÖ ÞÓÑ º½ µ Ó Ó Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø Ò Ó Ú Ò ÓÐ Þ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ò Õ Ò Ø p = ρrt ( ρ = ρ 0 1 γz ) g γr 1 T 0 º½ µ Í ØÖ ØÓ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú Þ Ù ÔÖ Ð ÒÓ ÓÒ Ø ÒØÒ ÓÒ ÔÖ Ð ÒÓ ÞÒÓ t = 56,5 C Ô Ö ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ù ØÖ ØÓ Ö Ò Ò ÞÖ ÞÓÑ º½ µº z z ËØÖ ØÓ Ö 10km ÌÖÓÔÓÔ ÙÞ ÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ ÌÖÓÔÓ Ö ËØ Ô Ò ÙÒ T 0 T ËÐ º º Ê ÔÓ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÖ Ø Ù ØÑÓ Ö º p 0 p Ç ÙÒ ÔÖ Ø Ø Ô Ò Ù ØÖÓÔÓ Ö ÔÓÒ Ò ÐÒ Ù ØÖ ØÓ Ö Ù Ù ØÖÓÔÓÔ ÙÞ Ò ÔÖ Ò Ø º ÔÖ Ð Þ Ò Ù ÖÙ Ù Ù ØÖÓÔÓÔ ÙÞ Ò ÔÖ ÒÓ Ò ÔÖ ÒÓ Ö Ò ÐÒÓ Ò ÔÖ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò ÔÖ Ò ÔÖÚ ÞÚÓ Ù Ô Ù Ó ÙÒ Ø º Ò Ñ Ó ÔÖ µ Ò ÔÖÚ Ò ÖÙ ÚÖ Ø ÔÖ ÔÖ Ð Ù ÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ ÔÖ Ø Ù Ø Ô ÒÙ Ó Ö ØÒÓº º ØÚÓ Ð ÔÖ Ø Ò Ö ÚÒ Ö Ú ÔÓÚÖÜ µ Ê ÚÒ ÔÓÚÖÜ ÈÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ø º Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ð ÔÖ Ø dp ÔÖ Ø ¹ Ú ÔÓ Ñ ÆÙ Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÒ Ú ØÓÖ Ø Ó Ú ØÓÖ Ó Ö Þ Ñ Ù Ð ÖÒ Ñ dp dp = p nd P = p nd = n pd. º¾¼µ d n dp = pd P = pd. º¾½µ

38 ¾ µ ÃÖ Ú ÔÓÚÖÜ dp d n Ð Þ Ô ÒÓ Ù Ò ÒÓ ÒÓØ Í ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Ò ÕÒ Ú ØÓÖ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÔÓÚÖÜ n Ò ÓÑÓ ÒÓ Ø º n const Ë Ó ÒÓ ØÓÑ Ú Ð Ö Ð dp j = pn j d = pd j P = dp = p nd P = P = p p nd (n x i+n y j +n z k ) d, pn j d, j = x,y,z. º¾¾µ º¾ µ Úµ Ê ÞÙÐØÙ Ù ÔÓÚÖÜ Ò Ð Ò ÔÓØÔÙÒÓ Ó Ú Ü ÒÙ Þ ØÚÓÖ ÒÙ ÔÓÚÖÜ ¹ Ö Ñ ÓÚ Ð Ð ÔÓØ µ ρ d V n dp dp = p nd P = p nd º¾ µ ÈÓÚÖÜ Þ ØÚÓÖ Ò Ô ÑÓ ÔÖ Ñ Ò Ø Ø Ó¹ Ö Ñ Ù ¹Ç ØÖÓ Ö Ó Ó Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò º µ Ò ÓÒ ØÓ Ô Ð ÞÖ Þ Þ Ö Ñ ÓÚÙ Ð ÔÓØ P ¹Ç = V pdv Ç Ð Ö = ρf dv. V º¾ µ ÈÓØ Ò Ò Ú ÓÔÙÒ Ð Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÐÙ ÔÖ Ø ÙÕ Ð Ù Ø Ø ÐÙ ØÒÓ Ó Ö Ø Ø Ò ÔÓÒ Ø º Ð ÖÒÓ ÔÓ ÔÖ Ø p( r) = p(x,y,z) Þ Ç Ð ÖÓÚ Ò Õ Ò gradp = ρ f Ø º dp = ρf i dx i ÙÑ Ö ÔÓi = 1,2,3µ ÍÚÖÜØ Ú Ñ Ð ÖÒ ÙÒ ÔÖ Ø pù ÞÖ Þ º¾¼µ ¹ º¾ µ ÞÖ ÕÙÒ Ú Ñ Ò ÞÒ Õ Ò ÒØ Ö Ð Ó Ù Ð ÔÖ Ø Ò Ö ÚÒ Ö Ú ÔÓÚÖÜ º º½ Ç Ö Æ Ú Ð ÔÖ Ø Ò Ö ÚÒÙ ÔÓÚÖÜ ÈÓ Ñ ØÖ Ò Ö Þ ÖÚÓ Ö Ó Ñ ÓÕÒ Ñ Þ ÓÑ Ù ÓÑ Ò Ð Þ Ø ÕÒÓ Ø Ù Ø Ò ρ Ð º µº Æ ÓÕÒÓÑ Þ Ù Ò Ð Þ ÔÖ ÚÓÙ ÓÒ ÓØÚÓÖ Ó Þ ØÚÓÖ Ò Ò Ñ Þ ØÚ Ö ¹ Ѻ ÃÓÐ ÓÑ ÐÓÑ Ø ÕÒÓ Ø ÐÙ Ò Ø Þ ØÚ Ö Õ ÓÒ ÔÖ ÕÚÖÜ Ò Ö ÑÓ Þ ÚÖØ Ñ Ú Þ Ñ Þ Þ Ù ¹ ÑÓ Ó Ö Ð Ð ÓÔØ Ö Ù Ú Þ Ñ ÑÓÖ ÑÓ Ö ÕÙÒ Ø ÐÙ ÔÖ Ø µ Ã Ó Ù Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ð Þ Ò Ô Ò Ø Õ Ø Ð Ç ÓÚÓÖ Ò ÓÚ Ô Ø Ð Þ ÓÚ Ö ÓÚ º Ë Ð ÔÖ Ø Ò Ò Ù Ö ÚÒÙ ÔÓÚÖÜ ÐÙ ÙÚ Ù ÔÖ ÚÙ Ó ÒÓÖÑ Ð Ò Ò ØÙ ÔÓÚÖܺ

39 Ù Ë ÐÙ ÔÖ Ø Ù Ñ Ö Ú ÑÓ Ó Ø ÕÒÓ Ø ÔÓÚÖÜ Ó Ó Ú Ü Ò ØÓÑ Ø ÕÒÓÜ Ùº Ë ÐÙ ÔÖ Ø Ö ÕÙÒ ÑÓ ÔÓÑÓ Ù ÞÖ Þ º¾¼µ Ñ Ù Ù Ú Ù Ö ÔÓ ÐÙ ÔÖ Ø Ù Ø ÕÒÓ Ø Ó Ó Ö Æ Ò ÞÖ ÞÓÑ º µ P = pd = ( ) (p a +ρgz)d p a d = p a +ρg zd p a = (p a +ρgz C ) }{{} p a = (p c p a ) ρgz C º¾ µ p C z C ¹ z ÓÓÖ Ò Ø Ø ÜØ ÔÓÚÖÜ Ñ Ö Ò Ó ÐÓ Ó Ò ÔÓÚÖÜ Ø ÕÒÓ Ø p c ¹ Ô ÓÐÙØÒ ÔÖ Ø Ù Ø ÜØÙ ÔÓÚÖÜ p a ¹ ØÑÓ Ö ÔÖ Ø Ó ÓÐÒÓ Ú Þ Ù ¹ ÔÓÚÖÜ Ò ÔÓÚÖÜ Ò Ó Ù ØÖ Ð ÔÖ Ø ¼ d P d z C z P D C ξ v C v D n u ρ v α η v C ËÐ º º Ë Ð ÔÖ Ø Ò Ö ÚÒ ÔÓÚÖÜ Ð Ö Ü Ú Ñ ÒØ Ö Ð ÞÖ ÞÙ º¾¼µ Ó ÒÓ Ø Ú Ò Ð Ö ÞÖ Þ Þ Ó Ö Æ Ú ÒØ ÒÞ Ø Ø Ð ÔÖ Ø P = (p c p a ). º¾ µ à ÔÓÚÖÜ Þ Ð Ô Ò Ù Ó α ÓÖ ÞÓÒØ ÐÓÑ 180 < α < 0 µ Ö ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ò ÔÓÚÖÜ Ò Ö ÚÒÓÑ ÖÒ ÔÖ Ø Ð Ò ÖÒÓ Ö Ø ÔÓÚ Ñ ÓÓÖ Ò Ø zµ Ø ØÓ Ð ÔÖ Ø ÐÙ Ù Ø Õ D Ó Ò Þ Ú ÒØ Ö ÔÖ Ø º ÈÓÐÓ Ø Ø Õ Ó Ö ÆÙ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Î Ö ÓÒÓÚ Ø ÓÖ Ñ ÑÓÑ ÒØ Ö ÞÙÐØÙ Ù Ð Þ ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÙ Ó Ù Ò ÙÑ ÑÓÑ Ò Ø Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ù Ó ÒÓ Ù Ò ØÙ ØÙ Ó Ù ÙÞ Ñ Ù Ó Ñ ÖÓ ÚÒÙ

40 Ó Ù Ó Ù u Ð P v D = ˆ vdp ρgz C v D = ρg zvd, Ó ÒÓ ÒÓ Ñ Ù Ù Ú Ù Ú ÞÙ ÓÓÖ Ò Ø z = v sinα v D = 1 v 2 d = I u v C v C, I u ÑÓÑ ÒØ Ò Ö ÔÓÚÖÜ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ó Ù uº Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ò ÖÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ó ÒÓ ÒÓ I u = I Cξ + v 2 C Ó Ö Ð Ø ÚÒ ÔÓÐÓ ÒØÖ ÔÖ Ø Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ø ÜØ v D = 1 ( v 2 C v C +I ) Cξ = vc + v C v C v D v C = I Cξ v C. Ó Ù ÔÓ Ð ÞÖ Þ v C ÞÖ Þ Ó v C = z C /sinα ÔÓØÓÑ z C Ó P/ρg Ó v C = I Cξsinα z C = ρgi Cξsinα P Ð Ö Ð Ø ÚÒ ÔÓÐÓ ÒØÖ ÔÖ Ø Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ø ÜØ ÔÓÚÖÜ Ó Ö ÆÙ Ò Ó ÒÓÚÙ ÞÖ Þ v C = I Cξ v c ρgi Cξsinα P º¾ µ Ù I cξ Ø ÜÒ ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Þ Ó Ù ξ P Ö ÞÙÐØÙ Ù Ð ÔÖ Ø Ó Ö Æ Ò ÞÖ ÞÓÑ º¾ µº Ó ÔÓÚÖÜ Ò Ñ ØÖ ÕÒ ÓÒ ÔÓ ØÓ ÔÓÑ Ö Ò Ô Ò Ø Õ ÔÓ ÓÓÖ Ò Ø uº ÌÓ Ö ØÓ Ó Ö Æ ÒÓ ÞÖ ÞÓÑ u c = I ξη º Í Ú Ò Þ Ø ÔÓÚÖÜ Ø Ñ ØÖ ÕÒ º u c Í ÐÙÕ Ù ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ ÔÓÚÖÜ ÔÖ Ø Ù Ú Ñ Ø Õ Ñ ÔÓÚÖÜ Ñ ØÙ ÚÖ ¹ ÒÓ Ø Ô Ð ÔÖ Ø ÐÙ Ù Ø ÜØÙ ÔÓÚÖÜ